Mathway | Популярные задачи

Работа 3. Графическое решение уравнений и систем уравнений

Рис. 11

В появившемся диалоговом окне делаем поворот по часовой стрелке. В результате получаем рис. 12.

Редактировать график можно также при помощи курсора. С этой целью необходимо подвести курсор к элементу графика, например, к стенке и нажать правую клавишу мыши. В результате появится контекстное меню, с помощью которого можно ввести нужные изменения.

Y

Рис. 12

4. Отчет по работе

Распечатки диаграмм и графиков.

Литература: [3], с. 123-132.

1. Цель работы

Ознакомиться с графическими методами решения уравнений и систем уравнений.

2. Основные теоретические положения

Кроме аналитического способа решения уравнений f(x)=0 можно пользоваться и графическим способом. Графический способ наиболее эффективен для решения трансцедентных уравнений. При графическом способе

24

для уравнения строится график y=f(x) и решением уравнения является точка пересечения графика с осью у=0. Если разбить уравнение на две произвольные части, то можно для каждой части построить график. В этом случае решением уравнения будет абсцисса точки пересечения графиков для этих частей. Такой способ может использоваться и для решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

3. Порядок выполнения работы

Задание 1. Решить графически уравнение y=cos2(πx) на интервале [0;1]. Задание 2. Решить графически уравнение х3-4х2-3х+6=0.

х [0;3] с шагом х=0,2.

Задание 4. Решить систему уравнений согласно индивидуальному заданию.

3.1. Выполнение задания 1.

Решить графически уравнение y=cos2(πx) на интервале [0;1] значит найти все значения х внутри данного интервала, где функция у пересекает ось Х.

25

у2=4х2+3х-6 правая часть уравнения (2)

Рис.2+3*A13-6

3.2.1. Открыть новый рабо-

чий лист (Вставка – Лист).

3.2.2. Провести табуляцию значений аргумента х и функций у1 и у2 (см. Работу 2)

В результате получим табл.10.

3.2.3. Строим график функций у1 и у1 на одной диаграмме (рис. 14). Из графиков видно, что на рассмотренном интервале функции у1 и у2 пересекаются только два раза(корни х1=-1,2 и х2=1,2).

3.2.3. Для нахождения третьего корня нужно увеличить диапазон решения. Из графика видно, что при х<-2 функции у1 и у2 расходятся.

Значитрешениенужноискатьприх>2. Увеличимдиапазондох=5, т.е. х [-2;5]: а) продолжитьтабулированиеаргументахдоячейкиА20; б) скопироватьформулуизячейкиВ13 вячейкиВ14:В20; в) скопироватьформулуизячейкиС13 вячейки С14:С20;

г) построить график для этого случая. На этом графике функции у1 и у2 пересекаютсятрижды. Третийкореньх3=4,4.

3.3. Выполнение задания 3

Решить графически систему уравнений значит найти координаты точек, в которых пересекаются графики функций, входящих в систему уравнений. Практически при выполнении задания 2 мы решили систему уравнений

Для нахождения корней уравнений системы

y =sin x

y = cos x

в диапазоне х [0;3] с шагом х=0,2, следует выполнить следующие действия. 3.1.1. Добавить новый рабочий лист (Вставка – Лист).

3.2.2. Провести табулирование переменных х, y=sin x, y=cos x, аналогично Работе 2 и пп. 3.1, 3.2 данной работы:

-в ячейку А1 ввести заголовок Аргумент х, в ячейку А2 – значение 0, в ячейку А3 — значение 0,2 и провести табуляцию аргумента х в ячейках А2:А17;

-в ячейку В1 ввести заголовок y=sin(x);

-в ячейку В2 ввести формулу =SIN(A2) и скопировать ее в ячейки В3:В17;

-в ячейку С1 ввести заголовок y=cos(x);

-в ячейку С2 ввести формулу =COS(A2) и скопировать ее в ячейки C3:C17.

3.2.3. Построить график функций y=sin x, y=cos x на одной диаграмме:

27

а) выполнить команды Вставка – Диаграмма; б) в первом диалоговом окне Мастера диаграмм выберем Тип диаграммы

График, Вид — Левый верхний, Далее; в) во втором окне Мастера диаграмм на вкладке Диапазон данных

ввести:

Диапазон В2:С17

Ряды в: столбцах; Затем щелкнуть по вкладке Ряд и ввести:

Подписи оси Х А2:А17 ;

Щелкнуть по кнопке Далее; г) в третьем окне Мастера диаграмм ввести:

щелкнуть по кнопке Далее; д) на последнем шаге Мастера диаграмм выбрать опцию

На отдельном листе и щелкнуть Готово.

На полученном графике (рис.15) видно, что в указанном диапазоне система имеет единственное решение (графики имеют только одну точку пересечения).

-поставить указатель мыши в точку пересечения графиков;

-щелкнуть левой клавишей мыши. Появится надпись с указанием приблизительного решения системы уравнений:

Ряд “y=cos(x)” Точка “0,8” Значение: 0,6967067

Следовательно, решением уравнения являются:

х=0,8

у=0,697.

28

3.4.Выполнение задания 4

3.4.1. Выбратьизтабл. 11 индивидуальноезаданиепоуказаниюпреподавателя 3.4.2. Добавить новый рабочий лист (Вставка – Лист).

3.4.3. Графически решить систему уравнений по индивидуальному заданию.

Таблица 11

Решить систему уравнений в указанном диапазоне с заданным шагом.

4. Отчет по работе

Распечатка графиков.

Литература: [3], с. 187-193.

Графическое решение уравнений и систем уравнений — КиберПедия

Цель работы: Ознакомиться с графическими методами решения уравнений и систем уравнений.

Основные теоретические положения.Кроме аналитического способа решения уравнений f(x) = 0 можно пользоваться и графическим способом. Графический способ наиболее эффективен для решения трансцендентных уравнений. При графическом способе для уравнения строится график y = f(x) и решением уравнения является точка пересечения графика с осью х при у = 0. Если разбить уравнение на две произвольные части, то можно для каждой части построить график. В этом случае решением уравнения будет абсцисса точки пересечения графиков для этих частей. Такой способ может использоваться и для решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Порядок выполнения работы

Задание 1.2  

12.1.2. Построение графика функции (см. Работу 11).

В результате получим график (рис. 31). Из графика видно, что уравнение имеет единственный корень. Что-бы получить точное решение уравнения, нужно щелкнуть левой клавишей мыши по точке пересечения графика с осью ОХ. На графике появится текст (рис. 32).

Здесь Точка “0,5” – значение х

Значение “4,633Е-05”»0 – значение у.

12.2. Выполнение задания 2

Найдем графическое решение уравнения х³-4х²-3х+6=0.

Для этого представим его в виде

х³ = 4х² + 3х – 6 (2)

и построим на одной диаграмме графики двух функций:

у₁ = х³ левая часть уравнения (2) и

у₂ = 4х² + 3х – 6 правая часть уравнения (2)

Рис. 32. График функции y=cos²(px)

Так как мы ищем корни кубического уравнения, число корней должно быть равно трем. Заранее значения корней неизвестны, поэтому сначала возьмем для построения графиков интервал хÎ[–2; 2], с шагом 0,4 и построим на этом интервале графики функций у₁ и у₂. Координаты точек х пересечения этих графиков дадут нам искомые значения корней.

Очевидно, что если корней должно быть три, то точек пересечения функций у₁ и у₂ тоже будет три. Если точек пересечения окажется меньше, нужно увеличить рассматриваемый интервал (например, построить график на интервале хÎ[–3; 3]).

12.2.1. Открыть новый рабочий лист (Щелчок правой клавишей по имени имеющегося листа – Добавить – Лист).

12.2.2. Провести табуляцию значений аргумента х и функций у₁ и у₂ (см.2+3*A13-6

Рис. 33. Решение уравнения х³-4х²-3х+6=0.

12.2.3. Для нахождения третьего корня нужно увеличить диапазон решения. Из графика видно, что при х<–2 функции у1 и у2 расходятся.

Значит, решение нужно искать при х>2. Увеличим диапазон до х = 4,8, т. е. хÎ[–2; 4,8]:

а) продолжить табулирование аргумента х до ячейки А20;

б) скопировать формулу из ячейки В13 в ячейки В14:В20;

в) скопировать формулу из ячейки С13 в ячейки С14:С20;

г) построить график для этого случая. На этом графике функции у1 и у2 пересекаются трижды. Третий корень х₃ = 4,4.

12.3. Выполнение задания 3

Решить графически систему уравнений значит найти координаты точек, в которых пересекаются графики функций, входящих в систему уравнений.

При выполнении задания 2 мы решили практически систему уравнений

.

Для нахождения корней уравнений системы

в диапазоне хÎ[0; 3] с шагом Dх = 0,2, следует выполнить следующие действия.

12.3.1. Добавить новый рабочий лист

12.3.2. Провести табулирование переменных х, y = sin x, y = cos x, аналогично Работе 11 и пп. 12.1, 12.2 данной работы:

— в ячейку А1 ввести заголовок Аргумент х, в ячейку А2 – значение 0, в ячейку А3 — значение 0,2 и провести табуляцию аргумента х в ячейках А2:А17;

— в ячейку В1 ввести заголовок y = sin(x);

— в ячейку В2 ввести формулу =SIN(A2) и скопировать ее в ячейки В3:В17;

— в ячейку С1 ввести заголовок y = cos(x);

— в ячейку С2 ввести формулу =COS(A2) и скопировать ее в ячейки C3:C17.

12.2.3. Построить график функций y = sin x, y = cos x на одной диаграмме:

а) выполнить команды Вставка – Диаграмма (Вставка – График);

б) в первом диалоговом окне Мастера диаграмм выберем Тип диаграммы График, Вид — Левый верхний, Далее;

в) во втором окне Мастера диаграмм на вкладке Диапазон данных ввести:

Диапазон В2:С17

Ряды в: столбцах;

Затем щелкнуть по вкладке Ряд и ввести:

Подписи оси Х А2:А17 ;

Щелкнуть по кнопке Далее;

г) в третьем окне Мастера диаграмм ввести:

Название диаграммы Система

Ось Х Аргумент

Ось У Значения

щелкнуть по кнопке Далее;

д) на последнем шаге Мастера диаграмм выбрать опцию

 На отдельном листеи щелкнуть Готово.

На полученном графике (рис. 34) видно, что в указанном диапазоне система имеет единственное решение (графики имеют только одну точку пересечения).

Рис. 34. Решение системы уравнений

Для нахождения решения:

— поставить указатель мыши в точку пересечения графиков;

— щелкнуть левой клавишей мыши. Появится надпись с указанием приблизительного решения системы уравнений:

Ряд “y=cos(x)” Точка “0,8”

Значение: 0,6967067

Следовательно, решением уравнения являются:

х = 0,8

у = 0,697.

12.4. Выполнение задания 4

12.4.1. Выбрать из табл. 11 индивидуальное задание по указанию преподавателя.

12.4.2. Добавить новый рабочий лист.

12.4.3. Графически решить систему уравнений в указанном диапазоне с заданным шагом по индивидуальному заданию.

Таблица 11

Отчет по работе: Распечатка графиков.

13. Приближенное решение уравнений

Цель работы: Изучение работы с процедурой Подбор параметра.

Основные теоретические положения. Нахождение корней уравнения вида f(x) = 0 даже в случае алгебраических уравнений третьей степени достаточно сложно. Поэтому широко используется приближенное решение уравнений.

Обычно применяют итерационные методы, когда сначала выбирают некоторое начальное приближение х⁽⁰⁾, затем вычисляют последовательные приближения к истинному значению х.

В Excel для приближенного решения уравнений используются процедуры Подбор параметра и Поиск решений. В данной работе мы познакомимся с использованием процедуры Подбор параметра.

Порядок выполнения работы

Задание 1. Решить уравнение ln x=0.

Задание 2. Решить уравнение х²-3х+2=0.

Задание 3. Решить уравнение согласно индивидуальному заданию.

13.1. Выполнение задания 1

13.1.1. Создать новую рабочую книгу (команды Файл – Создатьпри работесExcel 2003или кнопкаOffice – Создатьпри работе сExcel 2007).

13.1.2. В ячейку А1 введем заголовок Приближенное значение корня.

13.1.3. В ячейку В1 вводим заголовок Левая часть уравнения.

13.1.4. В ячейку А2 вводим первое приближенное значение корня, например число 3.

13.1.5. В ячейку В2 вводим формулу для вычисления левой части уравнения в зависимости от аргумента х: =LN(A2).

Фрагмент получившейся таблицы в режиме показа вычислений приведен в табл. 12, а в режиме показа формул – в табл. 13.

Таблица 12

13.1.6. Для получения приближенного решения уравнения обратимся к процедуре Подбор параметра.

а) Для вызова процедуры Подбор параметра выполнить команды Сервис – Подбор параметра(при работе сExcel 2007выполняем команды: менюДанные –вкладкаРабота с данными – Подбор параметра).

б) в появившемся диалоговом окне Подбор параметра ввести:

Установить в ячейке В2

Значение 0

Изменяя значение ячейки А2

и щелкнуть по кнопке Ок;

в) в появившемся диалоговом окне Результат подбора параметра щелкнем по Ок,чтобы сохранить полученные результаты.

В ячейке А2 получаем приближенное значение корня х=0,999872.

При этом погрешность решения показана в ячейке в ячейке В2: вместо 0 (значение правой части уравнения при его решении) там находится значение

– 0,00013.

Если округлить корень, получим х = 1, что и является известным аналитическим решением уравнения ln x = 0.

13.2. Выполнение задания 2

При решении уравнения х² – 3х + 2 = 0 очевидно, что должны быть получены два корня. Значит, придется дважды задавать начальное приближение корня и обращаться к процедуре Подбор параметра.

13.2.1. Открыть новый рабочий лист (щелчок правой клавишей мыши по имени любого листа — Добавить — Лист).

13.2.2. В ячейку А1 ввести заголовок Приближенное значение первого корня.

13.2.3. В ячейку В1 ввести заголовок Приближенное значение второго корня.

13.2.4. В ячейку С1 внести заголовок Левая часть уравнения.

13.2.5. В ячейку А2 внести ориентировочное значение первого корня, например, число +3.

13.2.6. В ячейку С2 вводим формулу для вычисления левой части уравнения:

=А2^2-3*A2+2

13.2-3*В2+2.

13.2.9. Повторить процедуру поиска приближенного решения уравнения:

а) Сервис – Подбор параметра (Данные –вкладкаРабота с данными – Подбор параметра);

б) ввести:

Установить в ячейке С2

Значение 0

Изменяя значение ячейки В2

щелкнуть по Ок;

в) щелкнуть по Ок в окне Результат подбора параметра.

В ячейке В2 получим приближенное значение второго корня: х₂=0,9996.

13.3. Выполнение задания 3

13.3.1. Выбрать из табл. 14 индивидуальное задание согласно указанию преподавателя.

13.3.2. Добавить новый лист

13.3.3. Найти корни уравнения по индивидуальному заданию.

Таблица 14

Отчет по работе: Распечатки таблиц с найденными значениями корней уравнений.

Задание 2. Графический метод решения тригонометрических уравнений

Прежде чем приступить к решению примеров и задач, обязательно ознакомьтесь с теоретической частью урока 

или 

посмотрите

ВИДЕО УРОК

 1. Решить графически уравнение:

sin x – 2 cos x = 2.

 а)       

 б)        

 в)        

 г)  

 2.
Решить графически уравнение:

2 sin²x + 1 = 3 sin
x – cos x.

 а)        

 б)        

 в)        

 г)  

 3.
Решить графически уравнение:

√͞͞͞͞͞3 sin
x + cos x = 1.

 а)        

 б)        

 в)        

 г)  

 4. Решить графически уравнение:

sin²x +
cos x + 1 = 0.

 а)        

 б)        

 в)        

 г)  

 5. Решить графически уравнение:

sin x + cos  x
= 1.

 а)        

 б)        

 в)        

 г)  

 6. Решить
графически уравнение:

√͞͞͞͞͞3 sin 3x – cos 3х = 1.

 а)        

 б)        

 в)        

 г)  

 7. Решить
графически уравнение:

3 sin x – 4 cos х = 3.

 а)        

 б)        

 в)        

 г)  

 8. Решить графически уравнение:

3 sin 5х – 2 cos 5х = 3.

 а)        

 б)        

 в)        

 г)  

 9. Решить графически уравнение:

5sin 5х – 2cos 5х = 3.

 а)        

 б)        

 в)        

 г)  

10. Решить
графически уравнение:

√͞͞͞͞͞3 sin x – cos x = 1.

 а)        

 б)        

 в)        

 г)  

11. Решить
графически уравнение:

3 cos x + 2 sin x = 1.

 а)       

 б)        

 в)        

 г)  

12. Решить
графически уравнение:

2 sin² x + 3 sin x – 2 = 0.

 а)        

 б)        

 в)        

 г)  

Задания к уроку 4

Задание 3. Графический метод решения тригонометрических уравнений

Прежде чем приступить к решению примеров и задач, обязательно ознакомьтесь с теоретической частью урока 

или 

посмотрите

ВИДЕО УРОК

  1. Решить графически уравнение:

sin² x – sin 2x = 0.

 а)        

 б)        

 в)       

 г)  

 2.
Решить графически уравнение:

cos 3x + sin 2x – cos x = 0.

 а)        

 б)        

 в)        

 г)  

 3.
Решить графически уравнение:

sin x + sin 5x = 0.

 а)        

 б)        

 в)        

 г)  

 4. Решить графически уравнение:

cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1.

 а)        

 б)        

 в)        

 г)  

 5. Решить графически уравнение:

cos 3x – sin x = √͞͞͞͞͞3 (cos x – sin 3x).

 а)        

 б)        

 в)       

 г)  

 6. Решить
графически уравнение:

cos 9x – 2 cos 6x = 2.

 а)        

 б)        

 в)        

 г)  

 7. Решить
графически уравнение:

cos 6x + sin 2,5x = 2.

 а)        

 б)        

 в)        

 г)  

 8. Решить графически уравнение:

sin x + cos 2x = 0.

 а)        

 б)        

 в)       

 г)  

 9. Решить графически уравнение:

4 – 4(cos x – sin x) – sin 2x = 0.

 а)        

 б)        

 в)        

 г)  

10. Решить
графически уравнение:

sin²x + cos 2x = 0,25.

 а)        

 б)        

 в)        

 г)  

11. Решить
графически уравнение:

sin 0,5х + cos x = 1.

 а)       

 б)        

 в)        

 г)  

12. Решить
графически уравнение:

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

 а)        

 б)        

 в)        

 г)  

Задания к уроку 4

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Тригонометрия

      Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида:

sin x = a ,     cos x = a ,     
tg x = a ,     ctgx = a .

где a – произвольное число.

Решение уравнения   sin 

x = a

Обычная форма записи решения:

Более удобная форма записи решения:

Ограничения на число a:

В случае, когда , уравнение решений не имеет.

      Графическое обоснование решения уравнения   sin x = a представлено на рисунке 1

Рис. 1

Частные случаи решения уравнений   sin x = a

Решение уравнения   cos 

x = a

Обычная форма записи решения:

Более удобная форма записи решения:

Ограничения на число a

В случае, когда , уравнение решений не имеет.

      Графическое обоснование решения уравнения   cos x = a   представлено на рисунке 2

Рис. 2

Частные случаи решения уравнений   cos x = a

Решение уравнения   tg 

x = a

Обычная форма записи решения:

Более удобная форма записи решения:

Ограничения на число a:

Ограничений нет.

      Графическое обоснование решения уравнения   tg x = a представлено на рисунке 3.

Рис. 3

Частные случаи решения уравнений   tg x = a

Решение уравнения   ctg 

x = a

Обычная форма записи решения:

Более удобная форма записи решения:

Ограничения на число a:

Ограничений нет.

    Графическое обоснование решения уравнения   ctg x = a представлено на рисунке 4.

Рис. 4

Частные случаи решения уравнений   ctg x = a

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

1 Приближенным числом а называется число незначительно

1

Приближенным числом а называется число, незначительно отличающееся от точного числа А и заменяющее последнее в вычислениях 2

Если а А – приближенным значением по избытку 3

4

Пример 1. Пусть А = 784, 2737, а, = 784, 274. Найти абсолютную погрешность приближенного числа Решение Δа = | А-а| = |784, 2737— 784, 274| = 0, 0003 Ответ: 0, 0003 5

6

Пример 5. Пусть при измерении книги и длины стола были получены результаты: l 1 = 28, 4 ± 0, 1 (см) и l 2 = 110, 3 ± 0, 1 (см). Решение Ответ: измерение стола точнее 7

8

Пример 8. X 50030’ 10’’ Δx Y Δy 3’’ 45015’ 36’’ 2’’ Решение Ответ: измерение y произведено более точно 9

10

Если c=a+b, c*=a*+b* то или c=a-b, c*=a*-b*, 11

Если u=ab, или v=a/b, u*=a*b* v*=a*/b* , то Вывод формулы: 12

Относительные погрешности произведения и частного: 13

, Если u=ab, то Если v=a/b, то 14

Пример 1 Вычислите сумму и разность приближённых чисел 0, 123 и 0, 526. также равна 0, 001.

Пример 2 Измерения цилиндрической полой изнутри трубы показали, что ее внешний радиус равен 100 см, а внутренний радиус – 98 см. Чему равна толщина стенок трубы? Вычислите относительную погрешность произведенных расчетов.

Позиционная запись числа: или a*=± Первая слева цифра данного числа, отличная от нуля, и все расположенные за ней цифры называются значащими Например, числа 25, 047 и – 0, 00259 имеют соответственно 5 и 3 значащих цифры.

Цифра aj называется верной, если , т. е. абсолютная погрешность числа a* не превосходит одной единицы соответствующего разряда десятичного числа Например, a*=0, 03045 (a*)=0, 000003 Последнюю верную цифру или все верные цифры обычно подчеркивают

Правило. За абсолютную погрешность приближенного числа с известными верными значащими цифрами принимается половина единицы того разряда, где находится последняя верная цифра.

Абсолютная и относительная погрешность вычисления функции одной переменной Теорема. Предельная абсолютная погрешность вычисления функции равна произведению абсолютной величины ее производной на предельную абсолютную погрешность аргумента. где 20

Абсолютная и относительная погрешность вычисления функции нескольких переменных . 21

Итак, для оценки погрешности мы получили следующие простые правила: • При сложении и вычитании абсолютные погрешности складываются; • При умножении и делении относительные погрешности складываются; • При возведении в степень относительные погрешности умножаются на абсолютную величину показателя степени; 22

23

План лекции 1. Алгебраические и трансцендентные уравнения 2. Графический метод решения уравнений 3. Отделение корней

φ(x)=g(x) f(x)=0 — корень уравнения, если (1) (2) f( )=0

x -10 sin x = 0 2 x — 2 cos x = 0 lg (x + 5) = cos x Решить уравнение – это значит: • • • установить, имеет ли оно корни, сколько корней, и найти значение корней с заданной точностью

Задача численного нахождения корней уравнения состоит из двух этапов: • отделение корней • уточнение корней

Графический метод решения уравнений f(x)=0 φ(x)=g(x) Рисунок 1 Рисунок 2

Пример 1. Решить графически уравнение х3 — 2 x 2 + 2 х — 1 = 0. Первый способ. Второй способ. х3= 2 x 2 + 2 х– 1 у = х3 у = 2 x 2 + 2 х – 1 Рисунок 3 Рисунок 4

Пример 2. Решить уравнение lg х — Зх + 5 = 0. Второй способ. lg х = Зх — 5 у = lg х у = Зх — 5 Рисунок 5 Ответ: x 0, 00001 и x 1, 75

Пример 3. Решить уравнение 2 х = 2 х. у = 2 х Рисунок 6 Ответ: x 1 =1 и x 2 = 2

Отделение корней Корень уравнения f(х) = 0 считается отделенным на отрезке [a, b], если на этом отрезке уравнение f(х) = 0 не имеет других корней

Аналитический метод отделения корней 1) Если непрерывная на отрезке функция F(x) принимает на его концах значения разных знаков, то уравнение F(x)=0 имеет на этом отрезке, по меньшей мере, один корень 2) Если функция F(x) к тому же еще и строго монотонна, то корень на отрезке единственный

F(A)*F(B)

Математическая сцена — Функции тригонометрии — Более сложные уравнения и неравенства

Математическая сцена — Функции тригонометрии — Более сложные уравнения и неравенства — Урок 5

Урок 5 Подробнее
сложные уравнения и неравенства

Пример
1

Решите уравнение sin x = cos x и тогда неравенство

грех
x> cos x на интервале 0 x <2.

Из единичного круга мы видим, что sin x и cos x
может иметь одно и то же значение только в двух местах, в x = / 4
и х = 5/4
(45 и 225 ).

Уравнение sin x = cos x также может быть решено путем деления на cos x.

тангенс х = 1

x = загар ⁻¹ (1)

х = 45 ∙ /180
+ к ∙

x = / 4 + k ∙ (k — любое целое число, положительное или отрицательное)

Если мы положим k = 0 и k = 1, мы получим решения / 4 (45 )
и /4 + = 5/4 (45 +
180 = 225 ).

Решить неравенство греха
x> cos x нам нужно увидеть, что больше sin x или cos x на интервалах
между решениями / 4
и 5/4.
Решения можно увидеть, если нарисовать графики f (x) = sin x и g (x) = cos
Икс. График sin x лежит над графиком cos x на интервале / 4 x 5x / 4 (см. Заштрихованную область на диаграмме).

sin x cos x на интервале / 4 x 5x / 4.

Пример 2

Решить
уравнение sin x ∙ cos x = 0 и тогда неравенство

sin x ∙ cos x> 0 на интервале 0 x <2.

Неравенство не имеет
решение, когда sin x или cos x принимают значение 0. Это происходит с интервалом 90.

Решения
уравнение sin x ∙ cos x = 0 в интервале 0 x <2, следовательно, равны 0, / 2 и 3/2 (0 , 90 , 180
и 270 ).

Решение sin x
∙ cos x> 0 можно найти, посмотрев на единичный круг. Нам нужно найти
где sin x, умноженный на cos x, положителен. Другими словами sin x и cos x имеют
иметь один и тот же знак, оба будут
положительный или оба отрицательный. Это происходит в первом и третьем квадранте. В
решения поэтому
0

Мы также можем увидеть это по
построение графика
f (x) = sin x ∙ cos x.

Пример
3

Решите уравнение sin x
∙ cos x — sinx = 0 и тогда выполняется неравенство sin x ∙ cos x
— sin x> 0 на интервале 0 x <2.

Уравнение имеет решения
когда sin x = 0 или когда скобка, (cos x — 1) = 0.

грех х = 0

x = 0 или (180 ).

или

cos x — 1 = 0

cos x = 1

х = 0

Единственные решения
уравнение поэтому 0 и.

Неравенство греха
x ∙ cos x — sin x> 0 можно переписать как sin x (cos x — 1)
> 0,

Теперь полезно сделать
таблицу знаков и посмотрите знаки sin x и cos x — 1.

Решение

Мы видим, что оба фактора
отрицательный на интервале

Теперь давайте посмотрим, как это подходит
в с графиком
f (x) = sin x ∙ cos x — sin x

Заштрихованная область над x
ось показывает где
sin x (cos x — 1)> 0, что согласуется с нашими расчетами.

Пример 4

Найти все решения уравнения cos ² x — cos x = 0.

cos ² x — cos
х = 0

cos x ∙ (cos x — 1) = 0

Решения можно найти, когда cos x = 0 или cos x — 1 = 0

cos x = 0

x = / ₂ или 3/ ₂ (90
или 270 )

х = / ₂ + к ∙

или

cos
х — 1 = 0

cos x = 1

х = 0 + к ∙ 2 = к ∙ 2

Все решения укладываются в шаблон x = / 2 +
к ∙

Пример
5

Найти все решения уравнения sin ² x — 5 sin x + 4 = 0.

Это квадратное уравнение с sin x в качестве
Переменная. Таким образом, мы можем найти sin x, используя формулу корней квадратного уравнения. a = 1, b = −5 og c = 4.

Синус мы не можем принять значение 4, поэтому нам не нужно рассматривать sin x =
4. Другая возможность — sin x = 1, которая имеет решение
/ 2 (90 ). Таким образом, полное решение:

х
= / ₂ +
к ∙ 2

Пример 6

Решите уравнение sin 5x
= грех х .

Одна из возможностей состоит в том, что
положение 5x на единичной окружности
совпадает с положением x
и поскольку эта позиция повторяется с интервалом в 360, мы получаем следующее
уравнение:

1) 5x = x
+ к ∙ 360

4x = к ∙ 360

х
= к ∙ 90

Мы показываем эту возможность в
диаграмму.

Приходит вторая возможность
из того, что
грех x = грех (180
— х ). Это дает нам следующее решение:

5x = 180 — x
+ к ∙ 360

6x = 180 + k ∙ 360

x = 30 + k ∙ 60

Это решение показано в
диаграмма справа.

Но мы замечаем, что первое решение содержится в
второе решение, поэтому достаточно дать второе решение

х = 30
+ к ∙ 60

Пример
7

Решите уравнение cos 2x =
cos x на интервале 0 x <2.

1) Сначала рассмотрим
возможность того, что x и 2x находятся в одной позиции на единичной окружности.

2) Приходит вторая возможность
по факту
cos v = cos (−v).Тогда решение будет следующим:

2x = −x
+ к ∙ 2

3x = к ∙ 2

х = к ∙ 2/ ₃

Это дает решения 2/3 (120 )
для k = 1 и 4 /3 (240 ) для k = 2.
итого полное решение:
0, 2 /3 и 4/3.

Пример
8

Решите уравнение tan 3x =
загар 2x.

уравнений Тана во многих
способов самый простой из триггерных уравнений, так как есть только возможность
считайте, что повторяется с интервалом 180 .

3х = х + к ∙ 180

2x = к ∙ 180

x = k ∙ 90

или

в радианах

х = к ∙ / ₂

Попробуйте выполнить тест 5 по триггерным функциям.

Не забудьте использовать контрольный список, чтобы отслеживать свою работу.

графиков функции синуса и косинуса

График изменения y = sin (x) и y = cos (x)

Напомним, что функции синуса и косинуса связывают значения действительных чисел с координатами x и y точки на единичной окружности.Так как же они выглядят на графике на координатной плоскости? Начнем с синусоидальной функции . Мы можем создать таблицу значений и использовать их для построения графика. В таблице ниже перечислены некоторые значения синусоидальной функции на единичной окружности.

Построение точек из таблицы и продолжение по оси x дает форму синусоидальной функции.См. Рисунок 2.

Рисунок 2. Синусоидальная функция

Обратите внимание, что значения синуса положительны между 0 и π, что соответствует значениям функции синуса в квадрантах I и II на единичной окружности, а значения синуса отрицательны между π и 2π, которые соответствуют значениям функция синуса в квадрантах III и IV на единичной окружности. См. Рисунок 3.

Рисунок 3. График значений синусоидальной функции

Теперь давайте аналогичным образом посмотрим на функцию косинуса .Опять же, мы можем создать таблицу значений и использовать их для построения графика. В таблице ниже перечислены некоторые значения функции косинуса на единичной окружности.

Как и в случае с функцией синуса, мы можем построить точки для построения графика функции косинуса, как показано на рисунке 4.

Рисунок 4. Функция косинуса

Поскольку мы можем вычислять синус и косинус любого действительного числа, обе эти функции определены для всех действительных чисел. Если рассматривать значения синуса и косинуса как координаты точек на единичной окружности, становится ясно, что диапазон обеих функций должен быть интервалом [-1,1].

На обоих графиках форма графика повторяется после 2π, что означает, что функции являются периодическими с периодом 2π. Периодическая функция — это функция, для которой определенный горизонтальный сдвиг , P приводит к функции, равной исходной функции: f ( x + P ) = f ( x ) для всех значений x в домене f .Когда это происходит, мы называем наименьший такой горизонтальный сдвиг с P > 0 периодом функции. На рисунке 5 показаны несколько периодов функций синуса и косинуса.

Рисунок 5

Еще раз взглянув на функции синуса и косинуса в области с центром на оси y , можно выявить симметрии. Как мы видим на рисунке 6, синусоидальная функция симметрична относительно начала координат. Вспомните из «Других тригонометрических функций», что мы определили с помощью единичного круга, что синусоидальная функция является нечетной функцией, потому что [latex] sin (−x) = — sinx [/ latex].Теперь мы можем ясно видеть это свойство на графике.

Рисунок 6. Нечетная симметрия синусоидальной функции

На рисунке 7 показано, что функция косинуса симметрична относительно оси y . Опять же, мы определили, что функция косинуса является четной функцией. Теперь мы можем видеть из графика, что [латекс] \ cos (−x) = \ cos x \\ [/ latex].

Рисунок 7. Четная симметрия функции косинуса

Общее примечание: Характеристики функций синуса и косинуса

Функции синуса и косинуса имеют несколько отличительных характеристик:

• Это периодические функции с периодом 2π.
• Область определения каждой функции — (−∞, ∞), а диапазон — [−1,1].
• График y = sin x симметричен относительно начала координат, потому что это нечетная функция.
• График y = cos x симметричен относительно оси y , потому что это четная функция.

Исследование синусоидальных функций

Как мы видим, функции синуса и косинуса имеют постоянный период и диапазон. Если мы увидим океанские волны или рябь на пруду, мы увидим, что они напоминают функции синуса или косинуса.Однако они не обязательно идентичны. Некоторые из них выше или длиннее других. Функция, которая имеет ту же общую форму, что и функция синуса или косинуса , известна как синусоидальная функция . Общие формы синусоидальных функций:

y = A sin ( Bx — C ) + D

и

y = A cos ( Bx — C ) + D

Определение периода синусоидальной функции

Рассматривая формы синусоидальных функций, мы видим, что они являются преобразованиями функций синуса и косинуса.Мы можем использовать то, что мы знаем о преобразованиях, для определения периода.

В общей формуле B связано с периодом соотношением [latex] \ text {P =} \ frac {2π} {| B |} [/ latex]. Если | B | > 1, то период меньше 2π и функция испытывает сжатие по горизонтали, а если | B | <1, то период больше 2π и функция растягивается по горизонтали. Например, f ( x ) = sin ( x ), B = 1, поэтому период равен 2π, который мы знали.Если f ( x ) = sin (2 x ), то B = 2, поэтому период равен π и график сжат. Если [латекс] \ text {f (x) = sin} (\ frac {x} {2}) [/ latex], то [latex] B = \ frac {1} {2} [/ latex], поэтому период равен 4π, и график растянут. Обратите внимание на рис. 8, как период косвенно связан с | B |.

Рисунок 8

Общее примечание: период синусоидальной функции

Если положить C = 0 и D = 0 в уравнениях синуса и косинуса в общем виде, мы получим формы

Период [латекс] \ frac {2π} {| B |} [/ латекс].

Пример 1: Определение периода функции синуса или косинуса

Определите период функции [latex] f (x) = \ sin (\ frac {π} {6} x) \\ [/ latex].

Решение

Начнем с сравнения уравнения с общей формой [latex] y = Asin (Bx) [/ latex].

В данном уравнении [latex] B = \ frac {π} {6} [/ latex], поэтому период будет

[латекс] \ begin {array} P = \ frac {\ frac {2} {\ pi}} {| B |} \ hfill \\ = \ frac {2 \ pi} {\ frac {x} {6} } \ hfill \\ = 2 \ pi \ times \ frac {6} {\ pi} \ hfill \\ = 12 \ hfill \ end {array} \\ [/ latex]

Попробуй 1

Определите период функции [latex] g (x) = \ cos (\ frac {x} {3}) \\ [/ latex].

Решение

Определение амплитуды

Возвращаясь к общей формуле синусоидальной функции, мы проанализировали, как переменная B связана с периодом. Теперь обратимся к переменной A , чтобы мы могли проанализировать, как она связана с амплитудой , или наибольшим расстоянием от покоя. A представляет коэффициент вертикального растяжения и его абсолютное значение | A | это амплитуда. Локальные максимумы будут расстоянием | A | над вертикальной средней линией графика, которая представляет собой линию x = D ; поскольку D = 0 в этом случае, средняя линия является осью x .Локальные минимумы будут на таком же расстоянии ниже средней линии. Если | A | > 1 функция растягивается. Например, амплитуда f ( x ) = 4 sin x в два раза больше амплитуды

f ( x ) = 2 sin x .

Если | A | <1, функция сжимается. На рисунке 9 сравнивается несколько синусоид с разными амплитудами.

Рисунок 9

Общее примечание: амплитуда синусоидальных функций

Если положить C = 0 и D = 0 в уравнениях синуса и косинуса в общем виде, мы получим формы

[латекс] y = A \ sin (Bx) \\ [/ latex] и [латекс] y = A \ cos (Bx) \\ [/ latex]

Амплитуда равна A, а вертикальная высота от средней линии равна | A |.Кроме того, обратите внимание на пример, что

[латекс] | A | = \ text {амплитуда} = \ frac {1} {2} | \ text {maximum} — \ text {minimum} | \\ [/ latex]

Пример 2: Определение амплитуды функции синуса или косинуса

Какова амплитуда синусоидальной функции [латекс] f (x) = — 4 \ sin (x) \\ [/ latex]? Функция растягивается или сжимается по вертикали?

Решение

Начнем с сравнения функции с упрощенной формой y = A sin ( Bx ).

В данной функции A = −4, поэтому амплитуда | A | = | −4 | = 4. Функция растягивается.

Анализ решения

Отрицательное значение A приводит к отражению поперек оси x синусоидальной функции , как показано на рисунке 10.

Рисунок 10

Попробуй 2

Какова амплитуда синусоидальной функции f ( x ) = 12 sin ( x )? Функция растягивается или сжимается по вертикали?

Решение

Анализ графиков вариаций

y = sin x и y = cos x

Теперь, когда мы понимаем, как A и B связаны с уравнением общей формы для функций синуса и косинуса, мы исследуем переменные C и D .Напомним общую форму:

[латекс] y = A \ sin (Bx-C) + D \\ [/ latex] и [латекс] y = A \ cos (Bx-C) + D \\ [/ latex]

или

[латекс] y = A \ sin (B (x− \ frac {C} {B})) + D \\ [/ latex] и [латекс] y = A \ cos (B (x− \ frac {C } {B})) + D \\ [/ latex]

Значение [latex] \ frac {C} {B} \\ [/ latex] для синусоидальной функции называется фазовым сдвигом , или горизонтальным смещением основного синуса или функцией косинуса . Если C> 0, график сдвигается вправо. Если C <0, график сдвигается влево.Чем больше значение | C |, тем больше смещается график. На рисунке 11 показано, что график [latex] f (x) = \ sin (x − π) \\ [/ latex] сдвигается вправо на π единиц, что больше, чем мы видим на графике [latex] f. (x) = \ sin (x− \ frac {π} {4}) \\ [/ latex], который сдвигается вправо на единицы [latex] \ frac {π} {4} \\ [/ latex].

Рисунок 11

В то время как C относится к горизонтальному смещению, D указывает вертикальное смещение от средней линии в общей формуле для синусоидальной функции.Функция [latex] y = \ cos (x) + D \\ [/ latex] имеет среднюю линию в [latex] y = D [/ latex].

Рисунок 12

Любое значение D , кроме нуля, сдвигает график вверх или вниз. На рисунке 13 [latex] f (x) = \ sin x \\ [/ latex] сравнивается с [latex] f (x) = \ sin x + 2 \\ [/ latex], который сдвинут на 2 единицы вверх на графике. .

Рисунок 13

Общее примечание: Вариации функций синуса и косинуса

Дано уравнение в виде [латекс] f (x) = A \ sin (Bx − C) + D \\ [/ latex] или [латекс] f (x) = A \ cos (Bx − C) + D \\ [/ latex], [latex] \ frac {C} {B} \\ [/ latex] — это фазовый сдвиг , а D — вертикальный сдвиг .

Пример 3: Определение фазового сдвига функции

Определите направление и величину фазового сдвига для [латекса] f (x) = \ sin (x + \ frac {π} {6}) — 2 \\ [/ latex].

Решение

Начнем с сравнения уравнения с общей формой [латекс] y = A \ sin (Bx − C) + D \\ [/ latex].

В данном уравнении обратите внимание, что B = 1 и [латекс] C = — \ frac {π} {6} \\ [/ latex]. Итак, фазовый сдвиг

[латекс] \ begin {array} \ frac {C} {B} = — \ frac {\ frac {x} {6}} {1} \ hfill \\ = — \ frac {\ pi} {6} \ hfill \ end {array} \\ [/ latex]

или [latex] \ frac {\ pi} {6} \\ [/ latex] единиц слева.

Анализ решения

Обязательно обратите внимание на знак в уравнении общего вида синусоидальной функции. Уравнение показывает знак минус перед C . Следовательно, [latex] f (x) = \ sin (x + \ frac {π} {6}) — 2 \\ [/ latex] можно переписать как [latex] f (x) = \ sin (x — (- \ гидроразрыв {π} {6})) — 2 \\ [/ latex]. Если значение C отрицательное, сдвиг влево.

Попробовать 3

Определите направление и величину фазового сдвига для [latex] f (x) = 3 \ cos (x− \ frac {\ pi} {2}) \\ [/ latex].

Решение

Пример 4: Определение вертикального сдвига функции

Определите направление и величину вертикального сдвига для [латекса] f (x) = \ cos (x) −3 \\ [/ latex].

Решение

Начнем с сравнения уравнения с общей формой [латекс] y = A \ cos (Bx − C) + D \\ [/ latex]

Попробовать 4

Определите направление и величину вертикального сдвига для [латекса] f (x) = 3 \ sin (x) +2 \\ [/ latex].

Решение

Практическое руководство. Учитывая синусоидальную функцию в форме [латекс] f (x) = A \ sin (Bx − C) + D [/ latex], определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг.

1. Определите амплитуду как | A |.
2. Определите период как [латекс] P = \ frac {2π} {| B |} \\ [/ latex].
3. Определите фазовый сдвиг как [latex] \ frac {C} {B} \\ [/ latex].
4. Определите среднюю линию как y = D.

Пример 5: Определение вариаций синусоидальной функции из уравнения

Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг функции [латекс] y = 3 \ sin (2x) +1 \\ [/ latex].

Решение

Начнем с сравнения уравнения с общей формой [латекс] y = A \ sin (Bx − C) + D \\ [/ latex]. A = 3, поэтому амплитуда | A | = 3.

Далее, B = 2, поэтому период равен [latex] \ text {P} = \ frac {2π} {| B |} = \ frac {2π} {2} = π \\ [/ latex].

В скобках нет добавленной константы, поэтому C = 0, а фазовый сдвиг равен [latex] \ frac {C} {B} = \ frac {0} {2} = 0 \\ [/ latex].

Наконец, D = 1, поэтому средняя линия составляет y = 1.

Анализ решения

Изучая график, мы можем определить, что период равен π, средняя линия равна y = 1, а амплитуда равна 3.См. Рисунок 14.

Рисунок 14

Попробовать 5

Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг функции [латекс] y = \ frac {1} {2} \ cos (\ frac {x} {3} — \ frac {π} {3}) \ \[/латекс].

Решение

Пример 6: Определение уравнения для синусоидальной функции из графика

Определите формулу функции косинуса на рисунке 15.

Рисунок 15

Решение

[латекс] f (x) = \ sin (x) +2 \\ [/ latex]

Попробовать 6

Определите формулу синусоидальной функции на рисунке 16.

Рисунок 16

Решение

Пример 7: Определение уравнения для синусоидальной функции из графика

Определите уравнение для синусоидальной функции на рисунке 17.

Рисунок 17

Решение

При максимальном значении 1 и минимальном значении –5 средняя линия будет находиться посередине между –2. Итак, D = −2.

Расстояние от средней линии до самого высокого или самого низкого значения дает амплитуду | А | = 3.

Период графика равен 6, и его можно измерить от пика при x = 1 до следующего пика при x = 7 или от расстояния между самыми низкими точками. Следовательно, [latex] \ text {P} = \ frac {2 \ pi} {| B |} = 6 [/ latex]. Используя положительное значение для B , находим

[латекс] B = \ frac {2π} {P} = \ frac {2π} {6} = \ frac {π} {3} \\ [/ latex]

Пока что наше уравнение выглядит так: [latex] y = 3 \ sin (\ frac {\ pi} {3} x − C) −2 \\ [/ latex] или [latex] y = 3 \ cos (\ frac {\ pi} {3} x − C) −2 \\ [/ латекс].Для формы и сдвига у нас есть несколько вариантов. Мы могли бы записать это как любое из следующих:

• косинус, смещенный вправо
• отрицательный косинус, сдвинутый влево
• синус, сдвинутый влево
• отрицательный синус смещен вправо

Хотя любой из них был бы правильным, в этом случае с косинусоидальными сдвигами работать легче, чем с синусоидальными сдвигами, поскольку они включают целые числа. Таким образом, наша функция становится

[латекс] y = 3 \ cos (\ frac {π} {3} x− \ frac {π} {3}) — 2 \\ [/ latex] или [латекс] y = −3 \ cos (\ frac {π} {3} x + \ frac {2π} {3}) — 2 \\ [/ латекс]

Опять же, эти функции эквивалентны, поэтому обе дают один и тот же график.

Попробовать 7

Напишите формулу для функции, показанной на рисунке 18.

Рисунок 18

Решение

Графические вариации

y = sin x и y = cos x

В этом разделе мы узнали о типах вариаций функций синуса и косинуса и использовали эту информацию для написания уравнений из графиков. Теперь мы можем использовать ту же информацию для создания графиков из уравнений.

Вместо того, чтобы сосредоточиться на уравнениях общего вида

[латекс] y = A \ sin (Bx-C) + D \\ [/ latex] и [латекс] y = A \ cos (Bx-C) + D \\ [/ latex],

мы положим C = 0 и D = 0 и будем работать с упрощенной формой уравнений в следующих примерах.

Практическое руководство. Для функции [latex] y = Asin (Bx) \\ [/ latex] нарисуйте ее график.

1. Определите амплитуду, | A |.
2. Укажите период, [латекс] P = \ frac {2π} {| B |} \\ [/ latex].
3. Начните с начала координат, функция увеличивается вправо, если A положительно, или уменьшается, если A отрицательно.
4. В [latex] x = \ frac {π} {2 | B |} \\ [/ latex] существует локальный максимум для A > 0 или минимум для A <0, с y = А .
5. Кривая возвращается к оси x в точке [latex] x = \ frac {π} {| B |} \\ [/ latex].
6. Существует локальный минимум для A > 0 (максимум для A <0) в [latex] x = \ frac {3π} {2 | B |} \\ [/ latex] с y = — А .
7. Кривая снова возвращается к оси x в точке [latex] x = \ frac {π} {2 | B |} \\ [/ latex].

Пример 8: Построение графика функции и определение амплитуды и периода

Нарисуйте график [латекса] f (x) = — 2 \ sin (\ frac {πx} {2}) \\ [/ latex].

Решение

Начнем с сравнения уравнения с формой [латекс] y = A \ sin (Bx) \\ [/ latex].

Шаг 1. Из уравнения видно, что A = −2, поэтому амплитуда равна 2.

| A | = 2

Шаг 2. Уравнение показывает, что [latex] B = \ frac {π} {2} \\ [/ latex], поэтому период равен

[латекс] \ begin {array} \ text {P} = \ frac {2 \ pi} {\ frac {\ pi} {2}} \\ = 2 \ pi \ times \ frac {2} {\ pi} \\ = 4 \ end {array} \\ [/ latex]

Шаг 3. Поскольку A отрицательное значение, график опускается вниз по мере того, как мы перемещаемся вправо от начала координат.

Шаг 4–7. Интерпретации x находятся в начале одного периода, x = 0, горизонтальные средние точки находятся на уровне x = 2 и в конце одного периода на уровне x = 4.

Квартальные точки включают минимум x = 1 и максимум x = 3. Локальный минимум будет на 2 единицы ниже средней линии при x = 1, а локальный максимум будет на 2 единицах. над средней линией, x = 3. На рисунке 19 показан график функции.

Рисунок 19

Попробовать 8

Нарисуйте график [латекс] g (x) = — 0,8 \ cos (2x) \\ [/ latex]. Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг.

Решение

Практическое руководство. Для синусоидальной функции со сдвигом фазы и вертикальным сдвигом нарисуйте ее график.

1. Выразите функцию в общем виде [латекс] y = A \ sin (Bx − C) + D [/ latex] или [latex] y = A \ cos (Bx − C) + D \\ [/ latex] .
2. Определите амплитуду, | A |.
3. Укажите период, [латекс] P = 2π | B | [/ латекс].
4. Определите фазовый сдвиг, [latex] \ frac {C} {B} \\ [/ latex].
5. Нарисуйте график [латекс] f (x) = A \ sin (Bx) \\ [/ latex], сдвинутый вправо или влево на [латекс] \ frac {C} {B} \\ [/ latex] и вверх или вниз на D .

Пример 9: Построение преобразованной синусоиды

Нарисуйте граф [латекс] f (x) = 3 \ sin (\ frac {π} {4} x− \ frac {π} {4}) \\ [/ latex].

Решение

Шаг 1. Функция уже записана в общем виде: [latex] f (x) = 3 \ sin (\ frac {π} {4} x− \ frac {π} {4}) \\ [/ латекс]. Этот график будет иметь форму синусоиды , начиная со средней линии и увеличиваясь вправо.

Шаг 2. | А | = | 3 | = 3. Амплитуда 3.

Шаг 3. Поскольку [latex] | B | = | \ frac {π} {4} | = \ frac {π} {4} \\ [/ latex], мы определяем период следующим образом.

[латекс] \ text {P} = \ frac {2π} {| B |} = \ frac {2π} {\ frac {π} {4}} = 2π \ times \ frac {4} {π} = 8 \\ [/ латекс]

Период 8.

Шаг 4. Поскольку [latex] \ text {C} = \ frac {π} {4} \\ [/ latex], фазовый сдвиг равен

[латекс] \ frac {C} {B} = \ frac {\ frac {\ pi} {4}} {\ frac {\ pi} {4}} = 1 \\ [/ latex].

Фазовый сдвиг — 1 ед.

Шаг 5. На рисунке 20 показан график функции.

Рис. 20. Сжатая по горизонтали, растянутая по вертикали и смещенная по горизонтали синусоида

Попробовать 9

Нарисуйте график [латекс] g (x) = — 2 \ cos (\ frac {\ pi} {3} x + \ frac {\ pi} {6}) \\ [/ latex]. Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг.

Решение

Пример 10: Определение свойств синусоидальной функции

Учитывая [латекс] y = −2 \ cos (\ frac {\ pi} {2} x + \ pi) +3 \\ [/ latex], определите амплитуду, период, фазовый сдвиг и горизонтальный сдвиг.Затем изобразите функцию.

Решение

Начните со сравнения уравнения с общей формой и выполните шаги, описанные в Примере 9.

[латекс] y = A \ cos (Bx − C) + D \\ [/ латекс]

Шаг 1. Функция уже написана в общем виде.

Шаг 2. Поскольку A = −2, амплитуда | A | = 2.

Шаг 3. [latex] | B | = \ frac {\ pi} {2} \\ [/ latex], поэтому период равен [latex] \ text {P} = \ frac {2π} {| B |} = \ frac {2 \ pi} {\ frac {\ pi} {2}} \ times2 \ pi = 4 \\ [/ latex].Период 4.

Шаг 4. [latex] C = — \ pi \\ [/ latex], поэтому мы вычисляем фазовый сдвиг как [latex] \ frac {C} {B} = \ frac {- \ pi} {\ frac {\ pi} {2}} = — \ pi \ times \ frac {2} {\ pi} = — 2 \\ [/ latex]. Фазовый сдвиг -2.

Шаг 5. D = 3, поэтому средняя линия составляет y = 3, а вертикальный сдвиг увеличивается на 3.

Поскольку A отрицательно, график функции косинуса отражается относительно оси x .

На рисунке 21 показан один цикл графика функции.

Рисунок 21

Использование преобразований функций синуса и косинуса

Мы можем использовать преобразования функций синуса и косинуса во многих приложениях. Как упоминалось в начале главы, круговое движение можно смоделировать с помощью функции синуса или косинуса .

Пример 11: Нахождение вертикальной составляющей кругового движения

Точка вращается по окружности радиуса 3 с центром в начале координат.Нарисуйте график координаты y точки как функции угла поворота.

Решение

Напомним, что для точки на окружности радиуса r координата y точки равна [latex] y = r \ sin (x) [/ latex], поэтому в этом случае мы получаем уравнение [latex] у (х) = 3 \ грех (х) [/ латекс]. Константа 3 вызывает вертикальное растяжение значений y функции в 3 раза, что мы можем видеть на графике на рисунке 22.

Рисунок 22

Анализ решения

Обратите внимание, что период функции по-прежнему равен 2π; путешествуя по кругу, мы возвращаемся в точку (3,0) для x = 2π, 4π, 6π,….Поскольку выходные данные графика теперь будут колебаться между –3 и 3, амплитуда синусоиды равна 3.

Попробовать 10

Какова амплитуда функции [латекс] f (x) = 7 \ cos (x) [/ latex]? Нарисуйте график этой функции.

Решение

Пример 12: Нахождение вертикальной составляющей кругового движения

Круг радиусом 3 фута устанавливается с центром в 4 футах от земли. Ближайшая к земле точка обозначена P , как показано на рисунке 23.Нарисуйте график высоты над землей точки P при вращении окружности; затем найдите функцию, которая дает высоту через угол поворота.

Рисунок 23

Решение

Набрасывая высоту, мы отмечаем, что она начинается на высоте 1 фута над землей, затем увеличивается до 7 футов над землей и продолжает колебаться на 3 фута выше и ниже центрального значения в 4 фута, как показано на Рисунке 24.

Рисунок 24

Хотя мы могли бы использовать преобразование функции синуса или косинуса, мы начнем с поиска характеристик, которые сделают использование одной функции проще, чем другой.Давайте использовать функцию косинуса, потому что она начинается с самого высокого или самого низкого значения, а функция синуса начинается со среднего значения. Стандартный косинус начинается с самого высокого значения, а этот график начинается с самого низкого значения, поэтому нам нужно включить вертикальное отражение.

Во-вторых, мы видим, что график колеблется на 3 выше и ниже центра, в то время как основной косинус имеет амплитуду 1, поэтому этот график был растянут по вертикали на 3, как в последнем примере.

Наконец, чтобы переместить центр круга на высоту 4, график был сдвинут по вертикали на 4.Объединяя эти преобразования, мы получаем, что

[латекс] y = −3 \ cos (x) +4 [/ латекс]

Попробуй 11

К пружине прикрепляется груз, который затем подвешивается к доске, как показано на рисунке 25. Когда пружина колеблется вверх и вниз, положение груза и относительно доски изменяется в диапазоне от –1 дюйма (при время x = 0) до –7 дюймов. (в момент времени x = π) под доской. Предположим, что положение y задано как синусоидальная функция x .Нарисуйте график функции, а затем найдите функцию косинуса, которая дает положение y в терминах x .

Рисунок 25

Решение

Пример 13: Определение роста всадника на колесе обозрения

Лондонский глаз — это огромное колесо обозрения диаметром 135 метров (443 фута). Он совершает один оборот каждые 30 минут. Всадники садятся на платформу на высоте 2 метров над землей. Выразите высоту всадника над землей как функцию времени в минутах.

Решение

При диаметре 135 м колесо имеет радиус 67,5 м. Высота будет колебаться с амплитудой 67,5 м выше и ниже центра.

Пассажирский борт на высоте 2 м над уровнем земли, поэтому центр колеса должен находиться на высоте 67,5 + 2 = 69,5 м над уровнем земли. Средняя линия колебания составит 69,5 м.

Колесо совершает 1 оборот за 30 минут, поэтому высота будет колебаться с периодом 30 минут.

Наконец, поскольку райдерские борта находятся в самой нижней точке, высота будет начинаться с наименьшего значения и увеличиваться, следуя форме вертикально отраженной косинусоидальной кривой.

• Амплитуда: 67,5, поэтому A = 67,5
• Средняя линия: 69,5, поэтому D = 69,5
• Период: 30, поэтому [латекс] B = \ frac {2 \ pi} {30} = \ frac {\ pi} {15} [/ latex]
• Форма: −cos ( t )

Уравнение для роста всадника будет

[латекс] y = -67,5 \ cos (\ frac {\ pi} {15} t) +69,5 [/ латекс]

, где t в минутах, а y в метрах.

Ключевые уравнения

• Периодические функции повторяются после заданного значения.Наименьшее из таких значений — период. Основные функции синуса и косинуса имеют период 2π.
• Функция sin x нечетная, поэтому ее график симметричен относительно начала координат. Функция cos x четная, поэтому ее график симметричен относительно оси y .
• График синусоидальной функции имеет ту же общую форму, что и синусоидальная или косинусная функция.
• В общей формуле для синусоидальной функции период равен [latex] \ text {P} = \ frac {2 \ pi} {| B |} [/ latex].
• В общей формуле синусоидальной функции | A | представляет амплитуду. Если | A | > 1 функция растягивается, а если | A | <1, функция сжимается.
• Значение [latex] \ frac {C} {B} [/ latex] в общей формуле для синусоидальной функции указывает фазовый сдвиг.
• Значение D в общей формуле для синусоидальной функции указывает вертикальный сдвиг от средней линии.
• Комбинации вариаций синусоидальных функций могут быть обнаружены с помощью уравнения.
• Уравнение для синусоидальной функции может быть определено из графика.
• Функцию можно изобразить, указав ее амплитуду и период.
• Функцию также можно изобразить, указав ее амплитуду, период, фазовый сдвиг и горизонтальный сдвиг.
• Синусоидальные функции могут использоваться для решения реальных проблем.

Глоссарий

амплитуда

вертикальная высота функции; константа A , фигурирующая в определении синусоидальной функции

средняя линия

горизонтальная линия y = D , где D появляется в общем виде синусоидальной функции

периодическая функция

функция f ( x ), которая удовлетворяет [latex] f (x + P) = f (x) [/ latex] для конкретной константы P и любого значения x

сдвиг фаз

горизонтальное смещение основной функции синуса или косинуса; константа [латекс] \ frac {C} {B} [/ latex]

синусоидальная функция

любая функция, которая может быть выражена в форме [латекс] f (x) = A \ sin (Bx − C) + D [/ latex] или [латекс] f (x) = A \ cos (Bx − C) + D [/ латекс]

Упражнения по разделам

1.Почему функции синуса и косинуса называются периодическими функциями?

2. Как соотносится график [латекс] y = \ sin x [/ latex] с графиком [латекса] y = \ cos x [/ latex]? Объясните, как можно горизонтально перевести график [latex] y = \ sin x [/ latex], чтобы получить [latex] y = \ cos x [/ latex].

3. Для уравнения [латекс] A \ cos (Bx + C) + D [/ latex], какие константы влияют на диапазон функции и как они влияют на диапазон?

4. Как диапазон преобразованной синусоидальной функции соотносится с уравнением [латекс] y = A \ sin (Bx + C) + D [/ latex]?

5.Как можно использовать единичный круг для построения графика [латекса] f (t) = \ sin t [/ latex]?

6. [латекс] f (x) = 2 \ sin x [/ латекс]

7. [латекс] f (x) = \ frac {2} {3} \ cos x [/ latex]

8. [латекс] f (x) = — 3 \ sin x [/ латекс]

9. [латекс] f (x) = 4 \ sin x [/ латекс]

10. [латекс] f (x) = 2 \ cos x [/ латекс]

11. [латекс] f (x) = \ cos (2x) [/ латекс]

12. [латекс] f (x) = 2 \ sin (\ frac {1} {2} x) [/ latex]

13. [латекс] f (x) = 4 \ cos (\ pi x) [/ латекс]

14. [латекс] f (x) = 3 \ cos (\ frac {6} {5} x) [/ latex]

15.[латекс] y = 3 \ sin (8 (x + 4)) + 5 [/ латекс]

16. [латекс] y = 2 \ sin (3x − 21) +4 [/ латекс]

17. [латекс] y = 5 \ sin (5x + 20) -2 [/ латекс]

Для следующих упражнений нарисуйте один полный период каждой функции, начиная с [latex] x = 0 [/ latex]. Для каждой функции укажите амплитуду, период и среднюю линию. Укажите максимальное и минимальное значения y и соответствующие им значения x на одном периоде для [latex] x> 0 [/ latex]. Укажите фазовый сдвиг и вертикальный сдвиг, если применимо.При необходимости округлите ответы до двух десятичных знаков.

18. [латекс] f (t) = 2 \ sin (t− \ frac {5 \ pi} {6}) [/ latex]

19. [латекс] f (t) = — \ cos (t + \ frac {\ pi} {3}) + 1 [/ latex]

20. [латекс] f (t) = 4 \ cos (2 (t + \ frac {\ pi} {4})) — 3 [/ латекс]

21. [латекс] f (t) = — \ sin (12t + \ frac {5 \ pi} {3}) [/ latex]

22. [латекс] f (x) = 4 \ sin (\ frac {\ pi} {2} (x − 3)) + 7 [/ latex]

23. Определите амплитуду, среднюю линию, период и уравнение, включающее синусоидальную функцию, для графика, показанного на рисунке 26.

Рисунок 26

24. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение с косинусом для графика, показанного на рисунке 27.

Рисунок 27

25. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение с косинусом для графика, показанного на рисунке 28.

Рисунок 28

26. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение с синусом для графика, показанного на рисунке 29.

Рисунок 29

27.Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение с косинусом для графика, показанного на рисунке 30.

Рисунок 30

28. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение, включающее синус, для графика, показанного на рисунке 31.

Рисунок 31

29. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение с косинусом для графика, показанного на рисунке 32.

Рисунок 32

30. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение с синусом для графика, показанного на рисунке 33.

Рисунок 33

Для следующих упражнений пусть [latex] f (x) = \ sin x [/ latex].

31. На [0,2π) решите [латекс] f (x) = \ frac {1} {2} [/ latex].

32. Вычислить [латекс] f (\ frac {\ pi} {2}) [/ latex].

33. На [0,2π), [латексе] f (x) = \ frac {\ sqrt {2}} {2} [/ latex]. Найдите все значения x .

34. На [0,2π) максимальное значение (я) функции встречается (а) при каком значении (ах) x ?

35. На [0,2π) встречается минимальное значение (я) функции, при каком значении (ах) x ?

36.Покажите, что [latex] f (−x) = — f (x) [/ latex]. Это означает, что [latex] f (x) = \ sin x [/ latex] является нечетной функцией и обладает симметрией относительно ________________ .

Для следующих упражнений пусть [latex] f (x) = \ cos x [/ latex].

37. На [0,2π) решите уравнение [латекс] f (x) = \ cos x = 0 [/ latex].

38. На [0,2π) решите [латекс] f (x) = \ frac {1} {2} [/ latex].

39. На [0,2π) найдите x -перехватывания [latex] f (x) = \ cos x [/ latex].

40. На [0,2π) найдите значения x , при которых функция имеет максимальное или минимальное значение.

41. На [0,2π) решите уравнение [латекс] f (x) = \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ latex].

42. График [латекс] h (x) = x + \ sin x \ text {on} [0,2 \ pi] [/ latex]. Объясните, почему график выглядит именно так.

43. График [латекс] h (x) = x + \ sin x [/ latex] на [−100,100]. График выглядел так, как было предсказано в предыдущем упражнении?

44. Изобразите [латекс] f (x) = x \ sin x [/ latex] на [0,2π] и вербализируйте, как график отличается от графика [латекса] f (x) = \ sin x [/ latex ].

45. Изобразите [латекс] f (x) = x \ sin x [/ latex] в окне [-10,10] и объясните, что показывает график.

46. Изобразите [латекс] f (x) = \ frac {\ sin x} {x} [/ latex] в окне [−5π, 5π] и объясните, что показывает график.

47. Колесо обозрения имеет диаметр 25 метров и поднимается на него с платформы, находящейся на высоте 1 метра над землей. Шесть часов на колесе обозрения находится на уровне погрузочной платформы. Колесо совершает 1 полный оборот за 10 минут. Функция h ( t ) дает высоту человека в метрах над землей t минуты после начала поворота колеса.
а. Найдите амплитуду, среднюю линию и период ч ( t ).
г. Найдите формулу для функции высоты h ( t ).
г. Как высоко над землей окажется человек через 5 минут?

1. Графики y = a sin x и y = a cos x

М. Борна

(a) Синусоидальная кривая

y = a sin t

Мы видим синусоидальные кривые во многих естественных явлениях, таких как волны на воде. Когда волны имеют больше энергии, они поднимаются и опускаются более энергично.Мы говорим, что у них больше амплитуда .

Исследуем форму кривой
y =
a sin t и посмотрите, что означает понятие «амплитуда , ».

Поиграйте со следующим интерактивом.

Синусоидальная кривая Interactive

Вы можете изменить радиус окружности (который изменяет амплитуду синусоидальной кривой) с помощью ползунка.

Масштаб по горизонтальной оси t (и по окружности) составляет радиан .Помните, что π радиан — это `180 °`,
поэтому на графике значение «pi = 3,14» на оси t представляет «180 °», а «2pi = 6,28» эквивалентно «360 °».

Остановка

t = θ = 0

y = 70 sin (0) = 0

Авторские права © www.intmath.com Частота кадров: 0

Вы заметили?

• Форма синусоидальной кривой образует регулярный узор (кривая повторяется после того, как колесо повернет один раз).Мы говорим, что такие кривые периодические . Период — это время, необходимое для прохождения одного полного цикла.
• В интерактивном режиме, когда радиус круга составлял «50» единиц, кривая увеличивалась до «50» единиц и снижалась до «-50» по оси y . Эта величина синусоиды называется амплитудой графика. Это показывает, сколько энергии участвует в отображаемой величине. Более высокая амплитуда означает большую энергию.
• Угол поворота в радиан. совпадает со временем (в секундах). Подробнее о радианах. Все графики в этой главе относятся к углам в радианах. Радианы гораздо более полезны в инженерии и науке, чем степени.
• Когда угол находится в первом и втором квадрантах, синус положительный, а когда угол в 3-м и 4-м квадрантах, синус отрицательный.

[Источники: Вышеупомянутая анимация в общих чертах основана на демонстрационном графике HumbleSoftware.]

Амплитуда

« a » в выражении y =
грех
x представляет собой амплитуду графика. Это показатель того, сколько энергии содержит волна.

Амплитуда — это расстояние от положения «покоя» (также известного как среднее значение или среднее значение ) кривой. В интерактивном режиме выше амплитуда может быть изменена от «10» до «100» единиц.

Амплитуда всегда равна положительной величине . Мы могли бы написать это, используя знаки абсолютного значения. Для кривой y = a sin x ,

амплитуда `= | a |`

График синуса

x — с разной амплитудой

Начнем с y = sin x .

Он имеет амплитуду `= 1` и период ` = 2pi`.

График `y = sin (x)` для `0 ≤ x ≤ 2pi`

Теперь посмотрим на график y = 5 sin x .

На этот раз амплитуда = 5, а период = 2 π . (Я использовал другой масштаб на оси и .)

График `y = 5sin (x)` для `0 ≤ x ≤ 2pi`

А теперь для y = 10 sin x .

Амплитуда = 10 и период = 2 π .

График `y = 10sin (x)` для `0 ≤ x ≤ 2pi`

Для сравнения, используя ту же шкалу осей и , вот графики

p ( x ) = sin x ,
q ( x ) = 5 sin x и
r ( x ) = 10 sin x

на одном комплекте осей.

Обратите внимание, что графики имеют тот же период (который равен «2pi»), но разные
амплитуда .

Графики `p (x), q (x)` и `r (x)` для `0 ≤ x ≤ 2pi`

(б) График косинуса

x — с разными амплитудами

Теперь посмотрим, как выглядит график y = a cos x . На этот раз угол отсчитывается от положительной вертикальной оси.

Косинусная кривая Интерактивный

Подобно синусоидальному интерактиву вверху страницы, вы можете изменить амплитуду с помощью ползунка.

Нажмите «Пуск», чтобы увидеть анимацию.

Начало

t = θ = 0

y = 100 cos (0) = 0

Авторские права © www.intmath.com Частота кадров: 0

Вы заметили?

Графики синуса и косинуса почти идентичны, за исключением того, что кривая косинуса начинается с y = 1, когда t = 0 (тогда как синусоида начинается с y = 0). Мы говорим, что косинусоидальная кривая представляет собой синусоидальную кривую, которая на смещена влево на на `π / 2 \ (= 1.@) `.

Значение функции косинуса положительно в первом и четвертом квадрантах (помните, что на этой диаграмме мы измеряем угол от вертикальной оси) и отрицательно во 2-м и 3-м квадрантах.

Теперь давайте посмотрим на график простейшей косинусной кривой,
y = cos x (= 1 cos x ).

График `y = cos (x)` для `0 ≤ x ≤ 2pi`

Отметим, что амплитуда `= 1` и период ` = 2π`.

Аналогично тому, что мы сделали с y = sin x выше, теперь мы видим графики

• p ( x ) = cos
  x
• q ( x ) = 5 cos
  x
• r ( x) = 10 cos
  x

на одном комплекте осей, для сравнения:

Графики `p (x), q (x)` и `r (x)` для `0 ≤ x ≤ 2pi`

Примечание. Для косинусоидальной кривой, как и для синусоидальной кривой, период каждого графика одинаков («2pi»), но
амплитуда изменилась.

Упражнения

Нарисуйте один цикл следующего без , используя
таблица значений! (Важно знать форму из этих
графики — не то, чтобы можно было соединять точки!)

Каждый имеет период «2 пи». Мы узнаем больше о периоде в следующем разделе Графики y = a sin bx.

В примерах используется t в качестве независимой переменной. В электронике переменная чаще всего составляет t .

1) i = sin t

Ответ

i = sin t

Мы видели эту кривую выше, за исключением того, что теперь мы используем i для тока и t для времени.Это очень распространенные переменные в тригонометрии.

График `i = sin (t)` для `0

Период = 2 π

Амплитуда `= 1`

2) v = cos t

Ответ

v = cos t

Мы снова видели эту кривую выше, за исключением того, что теперь мы используем v для напряжения и t для времени.

График `v = cos (t)` для `0

Период = 2 π

Амплитуда `= 1`

3) i = 3
грех т

Ответ

i = 3 sin t

График `i = 3sin (t)` для `0

Период = 2 π

Амплитуда `= 3`

4) E = −4
cos т

Ответ

E = −4 cos t

Переменная E используется для «электродвижущей силы», другого термина для напряжения.

График `E = -4cos (t)` для `0

Период = 2 π

Амплитуда `= 4`

Обратите внимание, что:

• Отрицательный знак перед косинусом приводит к переворачиванию кривой косинуса «вверх ногами». То есть это зеркальное отображение по горизонтальной оси t .
• Амплитуда — положительное число (это расстояние)

Графическое решение тригонометрического уравнения — видео и стенограмма урока

Решение графически

Вы рассказываете своему другу, как легко нашли ответ, но ваш друг говорит вам, что он не понимает.Видите ли, ему нужно увидеть, как будет найден ответ. Для него не имеет смысла смотреть на единичный круг. Как единичный круг переводится на реальные ответы? Ему нужно увидеть реальные ответы. Как ты теперь можешь помочь своему другу?

Вы можете помочь ему, решив задачу графически. Как это поможет? Это поможет вашему другу, потому что, построив график проблемы, вы можете показать ему, как полученные ответы соотносятся с фактическим графиком. Вы сможете показать ему настоящие ответы.

Поскольку мы собираемся построить график решения, нам нужно построить график функции, связанной с проблемой.Наша проблема: cos (x) = 0. Итак, что это за функция? Поскольку одна часть уравнения уже равна 0, мы можем просто заменить 0 на f (x). Итак, наша функция f (x) = cos (x). Построив график этой функции, мы сможем увидеть решения, в которых функция равна 0, наша задача cos (x) = 0. Если бы у нас была такая проблема, как cos (x) = 1, мы бы просто переместили 1 на с другой стороны путем вычитания, а затем мы заменим 0 на f (x), чтобы получить f (x) = cos (x) — 1.

Мы можем построить график функции, f (x) = cos (x) , используя различные методы.Мы можем использовать графический калькулятор или графическую программу на компьютере. В любом случае будет работать; используйте тот способ, который вам удобнее. Я решил использовать графическую программу на компьютере. Используя эту программу, я получаю такой график для f (x) = cos (x). Вы получите что-то похожее на это: