Решить уравнение 4x 2 – 12x + 7 = 0

Приложение 2

1. Решить уравнение: 4x² – 12x + 7 = 0

Представим его в виде x² =3x -7/4

Построим параболу у = x² и прямую у = 3x -7/4 на промежутке [-3;3] с шагом 0,2

2. Решить уравнение: x² – x + 1 = 0

Запишем уравнение в виде x² = х — 1

Построим параболу у = x² и прямую у = x — 1 на промежутке [-3;3] с шагом 0,2

3. Решить уравнение: x² – 2x + 1 = 0

Представим его в виде x² =2x -1

Построим параболу у = x² и прямую у = 2x -1 на промежутке [-3;3] с шагом 0,2

4. Решить систему уравнений в промежутке [-1; 1], с шагом 0,1

У₁ = 8х + 4

У₂ = -4х — 2

5. Решить систему уравнений в промежутке [-1; 1], с шагом 0,1

-2У₁ = 8х + 4

У₂ = -4х — 2

6. Решить систему уравнений в промежутке [-1; 1], с шагом 0,1

2 У₁ = -8х — 5

У₂= -4х – 1

7. Решить графически кубическое уравнение х³ – х² + 4 = 0

Запишем уравнение в виде x³ = х² — 4

Построим параболу у = x² — 4 ^{и гиперболу у₂ = x 3 в промежутке [-4; 4] с шагом 0,2}

8. Решить графически кубическое уравнение 3х³ – 7х² = 0;

Запишем уравнение в виде 3x³ = 7х²

Построим параболу у = 7x² и гиперболу у₂ = 3x ³ в промежутке [-4; 4] с шагом 0,2

9. Решить графически кубическое уравнение 5х³ – 68х² + 17 = 0

Запишем уравнение в виде 5\4x³ = 4х² — 1

Построим параболу у = 4x² — 1 ^{и гиперболу у₂ = 5/4x 3 в промежутке [-4; 4] с шагом 0,2}

Как решать квадратные уравнения? Формулы и Примеры

Понятие квадратного уравнения

Уравнения — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значения неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.

Уравнением можно назвать выражение 3 + x = 7, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Степень уравнения можно определить по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное. Если неизвестное стоит во второй степени — это квадратное уравнение.

Квадратное уравнение — это ax2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Чтобы запомнить месторасположение коэффициентов, давайте потренируемся определять их.

Есть три вида квадратных уравнений:

• не имеют корней;
• имеют один корень;
• имеют два различных корня.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b² − 4ac. А вот свойства дискриминанта:

• если D < 0, корней нет;
• если D = 0, есть один корень;
• если D > 0, есть два различных корня.

С этим разобрались. А сейчас посмотрим подробнее на различные виды квадратных уравнений.

Вникать во все тонкости математической вселенной комфортнее с внимательным наставником. Наши учителя объяснят сложную тему, ответят на неловкие вопросы и вдохновят ребенка учиться. А красочная платформа с увлекательными заданиями поможет заниматься современно и в удовольствие. Запишите ребенка на бесплатный вводный урок в онлайн-школе Skysmart и попробуйте сами!

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

Квадратное уравнение может быть приведенным или неприведенным — все зависит от от значения первого коэффициента.

Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, где старший коэффициент, тот который стоит при одночлене высшей степени, равен единице.

Неприведенным называют квадратное уравнение, где старший коэффициент может быть любым.

Давайте-ка на примерах — вот у нас есть два уравнения:

• x² — 2x + 6 = 0
• x² — x — 1/4 = 0

В каждом из них старший коэффициент равен единице (которую мы мысленно представляем при x² ), а значит уравнение называется приведенным.

• 2x² − 4x — 12 = 0 — первый коэффициент отличен от единицы (2), значит это неприведенное квадратное уравнение.

Каждое неприведенное квадратное уравнение можно преобразовать в приведенное, если произвести равносильное преобразование — разделить обе его части на первый коэффициент.

Запоминаем!

У преобразованного уравнения те же корни, что и у первоначального. Ну или вообще нет корней.

Пример 1. Превратим неприведенное уравнение: 8x² + 20x — 9 = 0 — в приведенное.

Для этого разделим обе части исходного уравнения на старший коэффициент 8:

Ответ: равносильное данному приведенное уравнение x² + 2,5x — 1,125 = 0.

Полные и неполные квадратные уравнения

В определении квадратного уравнения есть условие: a ≠ 0. Оно нужно, чтобы уравнение ax² + bx + c = 0 было именно квадратным. Если a = 0, то уравнение обретет вид линейного: bx + c = 0.

Что касается коэффициентов b и c, то они могут быть равны нулю, как по отдельности, так и вместе. В таком случае квадратное уравнение принято назвать неполным.

Неполное квадратное уравнение —— это квадратное уравнение вида ax² + bx + c = 0, где оба или хотя бы один из коэффициентов b и c равен нулю.

Полное квадратное уравнение — это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений:

• ax² = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;
• ax² + c = 0, при b = 0;
• ax² + bx = 0, при c = 0.

Давайте рассмотрим по шагам, как решать неполные квадратные уравнения по видам.

Как решить уравнение ax

² = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax² = 0.

Уравнение ax² = 0 равносильно x² = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x² = 0 является нуль, так как 0² = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² = 0 имеет единственный корень x = 0.

Пример 1. Решить −6x² = 0.

Как решаем:

1. Замечаем, что данному уравнению равносильно x² = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.
2. По шагам решение выглядит так:

   −6x² = 0

   x² = 0

   x = √0

   x = 0

Ответ: 0.

Как решить уравнение ax

² + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax² + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы давно знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Ну есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax² + c = 0:

• перенесем c в правую часть: ax² = — c,
• разделим обе части на a: x² = — c/а.

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Если — c/а < 0, то уравнение x² = — c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а < 0 ни для какого числа p равенство р2 = — c/а не является верным.

Если — c/а > 0, то корни уравнения x² = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а)² = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а)² = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.

Пример 1. Найти решение уравнения 8x² + 5 = 0.

Как решать:

1. Перенесем свободный член в правую часть:

   8x² = — 5

2. Разделим обе части на 8:

   x² = — 5/8

3. В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней.

Ответ: уравнение 8x² + 5 = 0 не имеет корней.

Как решить уравнение ax

² + bx = 0

Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x. Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 имеет два корня:

Пример 1. Решить уравнение 0,5x² + 0,125x = 0

Как решать:

1. Вынести х за скобки

   х(0,5x + 0,125) = 0

2. Это уравнение равносильно х = 0 и 0,5x + 0,125 = 0.
3. Решить линейное уравнение:

   0,5x = 0,125,
   х = 0,125/0,5

4. Разделить:

   х = 0,25

5. Значит корни исходного уравнения — 0 и 0,25.

Ответ: х = 0 и х = 0,25.

Формула Виета

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так: 

Если дано x² + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x² + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x² + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Вот она:

Обычно вся суть обратных теорем в том самом выводе, которое дает первая теорема. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это и есть утверждение.

Пример 1. Решить при помощи теоремы Пифагора: x² − 6x + 8 = 0.

Как решаем:

1. Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.

2. Когда у нас есть эти два равенства, можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять обоим равенствам системы.

   Чтобы проще подобрать корни, нужно их перемножить. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

   Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. А значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

3. Значит числа 4 и 2 — корни уравнения x² − 6x + 8 = 0. p>

    

Дискриминант: формула корней квадратного уравнения

Чтобы найти результат квадратного уравнения, придумали формулу корней. Выглядит она так:

где D = b² − 4ac — дискриминант квадратного уравнения.

Эта запись означает:

Чтобы легко применять эту формулу, нужно понять, как она получилась. Давайте разбираться.

Выводим формулу корней квадратного уравнения

Продолжим изучать формулу корней квадратного уравнения.

Пусть перед нами есть задача решить квадратное уравнение ax² + bx + c = 0. Выполним ряд равносильных преобразований:

Так, мы пришли к уравнению , которое полностью равносильно исходному ax² + bx + c = 0.

Отсюда выводы про корни уравнения :

И еще один вывод: есть у уравнения корень или нет, зависит от знака выражения в правой части. При этом важно помнить, что знак этого выражения задается знаком числителя. Потому выражение принято называть дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой D.

По значению и знаку дискриминанта можно сделать вывод, есть ли действительные корни у квадратного уравнения, и сколько.

Повторим:

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

Теперь мы знаем, что при решении квадратных уравнения можно использовать универсальную формулу корней — это помогает находить комплексные корни.

В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный, и только после этого вычислять значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней.

Алгоритм решения квадратного уравнения ax² + bx + c = 0:

• вычислить его значение дискриминанта по формуле D = b²−4ac;
• если дискриминант отрицательный, зафиксировать, что действительных корней нет;
• если дискриминант равен нулю, вычислить единственный корень уравнения по формуле х = — b²/2a;
• если дискриминант положительный, найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней

Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, давайте тренироваться!

Примеры решения квадратных уравнений

Как решать квадратные уравнения мы уже знаем, осталось закрепить знания на практике.

Пример 1. Решить уравнение −4x² + 28x — 49 = 0.

Как решаем:

1. Найдем дискриминант: D = 28² — 4(-4)(-49) = 784 — 784 = 0
2. Так как дискриминант равен нулю, значит это квадратное уравнение имеет единственный корень
3. Найдем корень

   х = — 28/2(-4)

   х = 3,5

Ответ: единственный корень 3,5.

Пример 2. Решить уравнение 54 — 6x² = 0.

Как решаем:

1. Произведем равносильные преобразования. Умножим обе части на −1

   54 — 6x² = 0 | *(-1)

   6x² — 54 = 0

2. Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

   6x² = 54

   х² = 9

   х = ±√9

   х₁ = 3, х₂ = — 3

Ответ: два корня 3 и — 3.

Пример 3. Решить уравнение x²— х = 0.

Как решаем:

1. Преобразуем уравнение так, чтобы появились множители

   х(х — 1) = 0

   х₁ = 0, х₂ = 1

Ответ: два корня 0 и 1.

Пример 4. Решить уравнение x²— 10 = 39.

Как решаем:

1. Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

   x²— 10 = 39

   x²= 39 + 10

   x²= 49

   х = ±√49

   х₁ = 7, х₂ = −7

Ответ: два корня 7 и −7.

Пример 5. Решить уравнение 3x²— 4x+94 = 0.

Как решаем:

1. Найдем дискриминант по формуле

   D = (-4)² — 4 * 3 * 94 = 16 — 1128 = −1112

2. Дискриминант отрицательный, поэтому корней нет.

Ответ: корней нет.

В школьной программе за 8 класс нет обязательного требования искать комплексные корни, но такой подход может ускорить ход решения. Если дискриминант отрицательный — сразу пишем ответ, что действительных корней нет и не мучаемся.

Приходите решать примеры на бытовых ситуациях, с красочными героями и в интерактивном формате.

Запишите вашего ребенка на бесплатный пробный урок в онлайн-школу Skysmart: познакомимся, покажем, как все устроено на платформе и наметим вдохновляющую программу обучения.

Формула корней для четных вторых коэффициентов

Рассмотрим частный случай. Формула решения корней квадратного уравнения , где D = b² — 4ac, помогает получить еще одну формулу, более компактную, при помощи которой можно решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x. Рассмотрим, как появилась эта формула.

Например, нам нужно решить квадратное уравнение ax² + 2nx + c = 0. Сначала найдем его корни по известной нам формуле. Вычислим дискриминант D = (2n)²— 4ac = 4n² — 4ac = 4(n²— ac) и подставим в формулу корней:

Для удобства вычислений обозначим выражение n² -ac как D₁. Тогда формула корней квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид:

где D₁ = n²— ac.

Самые внимательные уже заметили, что D = 4D₁, или D₁= D/4. Проще говоря, D₁ — это четверть дискриминанта. И получается, что знак D1 является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

Сформулируем правило. Чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2n, нужно:

• вычислить D₁= n²— ac;
• если D₁< 0, значит действительных корней нет;
• если D₁= 0, значит можно вычислить единственный корень уравнения по формуле;
• если же D₁> 0, значит можно найти два действительных корня по формуле

Упрощаем вид квадратных уравнений

Если мы ходили в школу всегда одной тропинкой, а потом вдруг обнаружили путь короче — это значит теперь у нас есть выбор: упростить себе задачу и сократить время на дорогу или прогуляться по привычному маршруту.

Так же и при вычислении корней квадратного уравнения. Ведь проще посчитать уравнение 11x² — 4 x — 6 = 0, чем 1100x² — 400x — 600 = 0.

Часто упрощение вида квадратного уравнения можно получить через умножение или деление обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце мы упростили уравнение 1100x² — 400x — 600 = 0, просто разделив обе части на 100.

Такое преобразование возможно, когда коэффициенты не являются взаимно простыми числами. Тогда принято делить обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.

Покажем, как это работает на примере 12x²— 42x + 48 = 0. Найдем наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов: НОД (12, 42, 48) = 6. Разделим обе части исходного квадратного уравнения на 6, и придем к равносильному уравнению 2x² — 7x + 8 = 0. Вот так просто.

А умножение обеих частей квадратного уравнения отлично помогает избавиться от дробных коэффициентов. Умножать в данном случае лучше на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения

умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x² + 4x — 18 = 0.

Также для удобства вычислений можно избавиться от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения — для этого умножим или разделим обе части на −1. Например, удобно от квадратного уравнения −2x²— 3x + 7 = 0 перейти к решению 2x² + 3x — 7 = 0.

Связь между корнями и коэффициентами

Мы уже запомнили, что формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты:

Из этой формулы, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Например, можно применить формулы из теоремы Виета:

• x₁ + x₂ = — b/a,
• x₁* x₂ = c/a.

Для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену. Например, по виду уравнения 3x²— 7x + 22 = 0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3.

Можно активно использовать уже записанные формулы и с их помощью получить ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Таким образом можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты:

А еще найти корни квадратного уравнения можно с помощью онлайн-калькулятора. Пользуйтесь им, если уже разобрались с темой и щелкаете задачки легко и без помощников:

10. Квадратные и биквадратные уравнения

МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

Квадратное уравнение — это уравнение вида:    ax²+bx+c=0, где a, b и с –  числа, причем а не равно 0.

Например:

3x²+2x-5=0, здесь а =3; b = 2; c = -5.

Коэффициенты a , b и с называют:
а — первый или старший коэффициент;
b — второй коэффициент или коэффициент при х;
с — свободный член.

Приведённым называют квадратное уравнение у которого старший
коэффициент равен 1 :

x²+2x-5=0 — приведенное квадратное уравнение.

Если старший коэффициент отличен от 1 , то уравнение называется неприведённым:

3x²+2x-5=0 — неприведенное квадратное уравнение.

Полное квадратное уравнение — уравнение в котором присутствуют  все три слагаемых :

3x²+2x-5=0 — полное квадратное уравнение.

Неполное квадратное уравнение — уравнение в котором хотя бы один из коэффициентов b или c равны нулю :

3x²-5=0;   3x²+2x=0; 3x²=0 — неполные квадратные уравнения.

Корнями квадратного уравнения называют такие значения переменной,
при которых квадратное уравнение обращается в верное числовое равенство.

Решить квадратное уравнение — значит найти все его корни или
установить, что корней нет.

Решение  полного квадратного уравнения   ax²+bx+c=0:

1) Находим дискриминант D=b²-4ac
2) В зависимости от значения дискриминанта находим корень:

если D < 0 , то квадратное уравнение не имеет корней;
если D = 0 , то квадратное уравнение имеет один корень:

 если D > 0 , то квадратное уравнение имеет два корня 

Например:

Решить уравнение: 2x²+3x-2=0 

D=9-4*2*(-2)=25

Ответ: -2; 0,5.

Решение  неполного квадратного уравнения   ax²+bx=0:

ax²+bx=0;

х(ах+b)=0;

x=0 или ax+b=0;

              x=-b/a.

Решение  неполного квадратного уравнения   ax²+c=0:

ax

²+c=0;

x

²=-c/a;

Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виетта

Для приведенного квадратного уравнения  x² + bx + c = 0 сумма корней равна коэффициенту b , взятому с обратным знаком,  а произведение корней равно свободному члену c:

x1 + x2 = – b ; x1 • x2 = c .

В неприведенном квадратном уравнении ax² + bx + c = 0:  

x1 + x2 = – b/a;   x1 • x2 = c/a.

Например: 

Решить уравнение x²-5x+6=0.

x1 + x2=5; x1 • x2=6. Можно догадаться, что х1=2, х2=3.

Биквадратное уравнение

Биквадратным называется уравнение вида ax 4 + bx 2 + c = 0, где a не равно нулю.

Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной.

Решение биквадратного уравнения:

1. Пусть  x 2 = y, приходим к квадратному уравнению ay 2 + by + c =0.

2. Решаем квадратное уравнение ay 2 + by + c =0 относительно переменной у.

3. Решаем уравнения:  x 2 = y1 и   x 2 = y2. Находим значения х.

Например:

Решить уравнение x 4 + x 2 -2=0

1. Пусть x 2 = y, тогда y 2 + y — 2 =0.

2. D=1+8=9.  y1=(-1+3)/2=1;  y2=(-1-3)/2=-2.

3. x 2 =1, следовательно х1=1 и х2=-1.  

   x 2 =-2 — нет решений.

Ответ: -1; 1.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Запишите квадратное уравнение ax²

Урок 42. уравнения первой степени с одним неизвестным. линейные уравнения с одним неизвестным — Алгебра — 7 класс

Алгебра

7 класс

Урок № 42

Уравнения первой степени с одним неизвестным. Линейные уравнения с одним неизвестным

Перечень рассматриваемых вопросов:

Линейные уравнения.

Корень уравнения.

Решение линейных уравнений.

Тезаурус:

Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.

Корень уравнения – это число, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство.

Переменная – символ, используемый для представления величины, которая может принимать любое из ряда значений.

Свободный член – член уравнения, не содержащий неизвестного.

Решить уравнение – значит найти все его корни или установить, что их нет.

Преобразование – это действия, выполняемые с целью замены исходного выражения на выражение, которое будет тождественно равным исходному.

Линейное уравнение – уравнение вида ax = b, где x – переменная, a, b – некоторые числа.

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Давайте посмотрим на 2 уравнения: 10x = 36 и 3x² = 2

Можем ли мы сказать, что оба уравнения являются линейными уравнениями первой степени?

Конечно, нет. Хотя, по определению линейных уравнений, оба уравнения подходят, у второго уравнения переменная входит в него во второй степени, а это противоречит отличительной особенности линейного уравнения первой степени.

Определение: Уравнение вида ax = b, где – x переменная, a, b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

А что означает решить уравнение?

Решить уравнение – означает найти все его корни или доказать, что корней нет.

Линейными уравнениями называются не только уравнения вида ax + b = 0, но и любые уравнения, которые преобразованиями и упрощениями сводятся к этому виду.

Давайте подумаем, является ли уравнение 2(5x + 4) = 2x – 16 – линейным уравнением первой степени? Нет, так как оно не записано в виде ax = b. Можно ли привести его к такому виду?

Попробуем это сделать. Переменная x входит в это уравнение первой степени. Все такие уравнения можно преобразовать в вид ax + b = 0 с помощью тождественных преобразований. Для этого раскроем скобки в левой части уравнения, воспользовавшись распределительным законом умножения.

10x + 8 = 2x + 16

Вычтем из правой и левой частей уравнения 2x и 8.

Затем приведём подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения и получим уравнение стандартного вида.

8x = 8

А как же проверить, является ли число корнем уравнения, не решая его?

В таком случае, нам достаточно подставить значение переменной в уравнение и проверить, выполняется равенство или нет.

Чтобы узнать, является ли число корнем уравнения, нужно:

— Подставить вместо переменной числовое значение.

— Упростить.

— Посмотреть, получилось верное равенство или нет.

Если верное, то число является корнем уравнения, в противном случае – нет.

Чётко распознать линейное уравнение можно в некоторых случаях. Скажем, если перед нами уравнения, в которых есть только неизвестные в первой степени и числа.

2(3x – 5) = x – 3

Приведём это уравнение к стандартному виду. В левой части раскроем скобки:

6x – 10 = x – 3

6x – x = 10 – 3

5x = 7

Линейное уравнение имеет вид:

ax = b, где a = 5 и b = 7.

Тренировочные задания.

Задание 1. Какое значение переменной удовлетворяет уравнению 4x – 2 = 14?

Варианты ответа:

x = 0

x = 2,5

x = 4

x = 0,1

Решение:

Для того чтобы определить, какое из значений удовлетворяет уравнению, нужно подставить вместо переменной соответствующее значение и проверить, получается ли истинное равенство. Соответственно, при истинности, значение переменной будет удовлетворять условию.

При x = 0 получаем: 4 · 0 – 2 = 14

–2 = 14 – ложь. Следовательно, x = 0 не удовлетворяет решению уравнения.

При x = 2,5 получаем: 4 · 2,5 – 2 = 14

3 = 14 – ложь. Следовательно, x = 2,5 не удовлетворяет решению уравнения.

При x = 4 получаем: 4 · 4 – 2 = 14

14 = 14 – истина. Следовательно, x = 4 удовлетворяет решению уравнения.

При x = 0,1 получаем: 4 · 0,1 – 2 = 14

–1,6 = 14 – ложь. Следовательно, x = 0,1 не удовлетворяет решению уравнения.

Ответ: x = 4

Задание 2. Уравнение 2(2x – 3) = 2x + 16 надо привести к стандартному виду.

Варианты ответа:

4x + 3 = 2x + 16

2x – 19 = 3x

4x = 22

2x = 22

Решение:

Для того чтобы определить, какое из значений является верным приведением уравнения к стандартному виду, нужно просто привести уравнение к стандартному виду.

2(2x – 3) = 2x + 16 – раскроем скобки, умножив число на разность;

4x – 6 = 2x + 16 – преобразуем уравнение, перенеся слагаемые, содержащие переменные в левую часть уравнения, а числа в правую, меняя при этом знак на противоположный;

4x – 2x = 16 – 6 – упростим выражение, приведя подобные слагаемые;

2x = 22 – полученное уравнение приведено к стандартному виду ax = b, где a = 1, b = 22

Ответ: 2x = 22

заказ решений на аукционе за минимальную цену с максимальным качеством

Предлагаю идею сайта-аукциона по выполнению домашних заданий. Он будет включать:

• решение задач по математике (сейчас доступен решебник Филиппова), физике, химии, экономике
• написание лабораторных, рефератов и курсовых
• выполнение заданий по литературе, русскому или иностранному языку.

Основное отличие от большинства сайтов, предлагающих выполнение работ на заказ – сайт рассчитан на две категории пользователей: заказчиков и решающих задания. Причем, по желанию (чтобы заработать, увеличить свой рейтинг, получить решение сложной задачи) пользователи могут играть любую из этих ролей.

Объединение сервисов в одну систему

Основой для идеи послужили несколько работающих систем, объединение которых позволит сделать сервис для решения задач на заказ. Эти системы:

• Форум, где посетители обмениваются идеями и помогают друг другу
• Система bugtracking, где обнаруженные проблемы проходят путь от публикации до принятия в исполнение и решения
• Аукцион, где цена за товар или услугу определяется в результате торгов
• Система рейтингов, где участники могут оценивать ответы друг друга. Причем, чем больше рейтинг пользователя, тем более значимым становится его голос

Принцип работы

Для удобства и проведения аналогий с реальной жизнью назовем заказчиков студентами, а решающих задания – репетиторами.

Итак, студенту необходимо решить несколько задач. Он заходит на сайт, выбирает раздел с соответствующей дисциплиной и создает новую тему (аналогия с форумом). Но при создании темы он также указывает стартовую (максимальную) цену, которую он готов заплатить за решение задач и крайний срок исполнения задания. Можно будет назначить и нулевую цену – если студенту нужно только бесплатное решение.

Как только тема создана, все пожелавшие подписаться на раздел репетиторы получают уведомление. Причем, условие получения уведомлений можно настроить. Например, уведомлять только о заказах со стартовой ценой более 500 р. и сроком решения не менее недели.

Заинтересовавшиеся репетиторы делают ставки. Причем студент (автор темы) видит ставки и может посмотреть информацию по каждому репетитору (его решения, рейтинг, дату начала участия в проекте). Когда студент посчитает нужным, он может остановить аукцион и назначить задание одному из репетиторов, сделавшему ставку (не обязательно самую низкую, т.к. можно учитывать и другие факторы – см. выше).

Деньги блокируются на счете студента, и репетитор начинает решать задание. Он должен представить его к сроку, заданному изначально. Выполненное решение публикуется в свободном доступе и его может оценить как заказчик, так и другие репетиторы. На этих оценках и строится рейтинг. Если к решению нет претензий – деньги окончательно переводятся со счета студента на счет репетитора.

За счет чего будет развиваться сервис

Первое – положительная обратная связь. Чем больше условий задач и решений будет опубликовано на сайте, тем чаще его будут находить пользователи через поисковики, будет больше ссылок на готовые решения. Именно поэтому важно размещать решенные задачи в свободном доступе. Знаю это по опыту своего сайта exir.ru (ex irodov.nm.ru) – большая ссылочная база получена исключительно за счет благодарных пользователей.

Второе – удобный сервис для заказчиков и для желающих заработать на решениях.

Преимущества для заказчиков

Студентам и школьникам не нужно перебирать десятки сайтов для сравнения цен, а потом надеяться, что после оплаты они получат качественное решение (и, вообще, все не закончится перечислением денег). Заказчики создают аукцион на понижение цены и могут смотреть на рейтинги желающих решить задачи и ранее выполненные ими решения. Кроме того, деньги окончательно перечисляются исполнителю только после полного решения.

Преимущества для решающих задания

Не нужно создавать и продвигать свой сайт, размещать множество объявлений во всех доступных источниках информации. Заказчики сами придут к вам. Не нужно решать все присланные задания с целью поддержания репутации – можно выбирать те, которые будут интересны по уровню сложности, цене и срокам решения.

Преимущества для владельца сервиса

Если вы не понимаете, какую выгоду получит делающий вам какое-нибудь предложение – будьте осторожны! 🙂 У меня уже есть большой опыт работы с сайтом, предоставляющим бесплатные решения по физике. И вариант с получением прибыли от размещения рекламы подходит и для нового сервиса. Кроме того, мне нравится помогать людям и довольно тяжело смотреть, как множество вопросов по задачам остаются на форуме без ответа. Предложенный аукцион решений сможет значительно сократить число вопросов без ответов.

В будущем возможен вариант и с получением некоторого небольшого процента от оплаты заказов. Но процент этот должен быть минимален и на начальном этапе он взиматься точно не будет.

Что необходимо для создания сервиса

1. Самым важное сейчас – собрать команду, готовую принять участие в выполнении заданий. Если покупатели заходят в пустой магазин – они надолго забывают в него дорогу.

   Поэтому я собираю предварительные заявки от посетителей, готовых заниматься решениями. Не нужно подписания никаких договоров о намерениях. Просто сообщите, на какие темы вы готовы решать задания, какой у вас опыт подобной работы (e-mail: [email protected]). Когда сервис заработает – я пришлю приглашение на регистрацию.

2. Выбрать платежную систему.
3. Сделать подходящий движок для сайта. Нужно решить – создавать его с нуля или изменить какой-нибудь существующий движок (например, форумный) с открытой лицензией.
4. Привлечь посетителей. Учитывая посещаемость exir.ru и число публикуемых на форуме вопросов, думаю, это не будет большой проблемой.

3 6 Решить для? cos (x) = 1/2 7 Решить относительно x sin (x) = — 1/2 8 Преобразование из градусов в радианы 225 9 Решить для? cos (x) = (квадратный корень из 2) / 2 10 Решить относительно x cos (x) = (квадратный корень из 3) / 2 11 Решить относительно x sin (x) = (квадратный корень из 3) / 2 12 График г (x) = 3/4 * корень пятой степени x 13 Найдите центр и радиус х ^ 2 + у ^ 2 = 9 14 Преобразование из градусов в радианы 120 градусов 15 Преобразование из градусов в радианы 180 16 Найдите точное значение коричневый (195) 17 Найдите степень е (х) = 2x ^ 2 (x-1) (x + 2) ^ 3 (x ^ 2 + 1) ^ 2 18 Решить для? тангенс (x) = квадратный корень из 3 19 Решить для? sin (x) = (квадратный корень из 2) / 2 20 Найдите центр и радиус х ^ 2 + у ^ 2 = 25 21 Найдите центр и радиус х ^ 2 + у ^ 2 = 4 22 Решить относительно x 2cos (x) -1 = 0 23 Решить относительно x 6x ^ 2 + 12x + 7 = 0 24 Найдите домен х ^ 2 25 Найдите домен е (х) = х ^ 2 26 Преобразование из градусов в радианы 330 градусов 27 Расширьте логарифмическое выражение натуральный логарифм от (x ^ 4 (x-4) ^ 2) / (квадратный корень из x ^ 2 + 1) 28 Упростить ((3x ^ 2) ^ 2y ^ 4) / (3y ^ 2) 29 Упростить (csc (x) детская кроватка (x)) / (sec (x)) 30 Решить для? тангенс (х) = 0 31 Решить относительно x х ^ 4-3x ^ 3-х ^ 2 + 3x = 0 32 Решить относительно x cos (x) = sin (x) 33 Найдите точки пересечения по осям x и y х ^ 2 + у ^ 2 + 6х-6у-46 = 0 34 Решить относительно x квадратный корень из x + 30 = x 35 Упростить детская кроватка (x) коричневый (x) 36 Найдите домен у = х ^ 2 37 Найдите домен квадратный корень из x ^ 2-4 38 Найдите точное значение грех (255) 39 Оценить, основание журнала 27 из 36 40 преобразовать из радианов в градусы 2п 41 Упростить (F (x + h) -Fx) / час 42 Решить для? 2sin (x) ^ 2-3sin (x) + 1 = 0 43 Решить относительно x tan (x) + квадратный корень из 3 = 0 44 Решить относительно x sin (2x) + cos (x) = 0 45 Упростить (1-соз (х)) (1 + соз (х)) 46 Найдите домен х ^ 4 47 Решить для? 2sin (x) + 1 = 0 48 Решить относительно x х ^ 4-4x ^ 3-х ^ 2 + 4x = 0 49 Упростить 9 / (х ^ 2) + 9 / (х ^ 3) 50 Упростить (детская кроватка (x)) / (csc (x)) 51 Упростить 1 / (с ^ (3/5)) 52 Упростить квадратный корень из 9a ^ 3 + квадратный корень из 53 Найдите точное значение желто-коричневый (285) 54 Найдите точное значение cos (255) 55 Преобразовать в логарифмическую форму 12 ^ (x / 6) = 18 56 Расширьте логарифмическое выражение (основание 27 из 36) (основание 36 из 49) (основание 49 из 81) 57 Недвижимость х ^ 2 = 12 лет 58 Недвижимость х ^ 2 + у ^ 2 = 25 59 График f (x) = — натуральный логарифм x-1 + 3 60 Найдите значение, используя единичную окружность арксин (-1/2) 61 Найдите домен корень квадратный из 36-4x ^ 2 62 Упростить (корень квадратный из x-5) ^ 2 + 3 63 Решить относительно x х ^ 4-2x ^ 3-х ^ 2 + 2x = 0 64 Решить относительно x у = (5-х) / (7х + 11) 65 Решить относительно x х ^ 5-5x ^ 2 = 0 66 Решить относительно x cos (2x) = (квадратный корень из 2) / 2 67 График г = 3 68 График f (x) = — логарифм по основанию 3 из x-1 + 3 69 Найдите корни (нули) f (x) = 3x ^ 3-12x ^ 2-15x 70 Найдите степень 2x ^ 2 (x-1) (x + 2) ^ 3 (x ^ 2 + 1) ^ 2 71 Решить относительно x квадратный корень из x + 4 + квадратный корень из x-1 = 5 72 Решить для? cos (2x) = — 1/2 73 Решить относительно x логарифм по основанию x 16 = 4 74 Упростить е ^ х 75 Упростить (соз (х)) / (1-грех (х)) + (1-грех (х)) / (соз (х)) 76 Упростить сек (x) sin (x) 77 Упростить кубический корень из 24 кубический корень из 18 78 Найдите домен квадратный корень из 16-x ^ 2 79 Найдите домен квадратный корень из 1-x 80 Найдите домен у = грех (х) 81 Упростить квадратный корень из 25x ^ 2 + 25 82 Определить, нечетно ли, четно или нет е (х) = х ^ 3 83 Найдите домен и диапазон f (x) = квадратный корень из x + 3 84 Недвижимость х ^ 2 = 4г 85 Недвижимость (x ^ 2) / 25 + (y ^ 2) / 9 = 1 86 Найдите точное значение cos (-210) 87 Упростить кубический корень из 54x ^ 17 88 Упростить квадратный корень из квадратного корня 256x ^ 4 89 Найдите домен f (x) = 3 / (x ^ 2-2x-15) 90 Найдите домен квадратный корень из 4-x ^ 2 91 Найдите домен квадратный корень из x ^ 2-9 92 Найдите домен е (х) = х ^ 3 93 Решить относительно x е ^ х-6е ^ (- х) -1 = 0 94 Решить относительно x 6 ^ (5x) = 3000 95 Решить относительно x 4cos (x-1) ^ 2 = 0 96 Решить относительно x 3x + 2 = (5x-11) / (8лет) 97 Решить для? грех (2x) = — 1/2 98 Решить относительно x (2x-1) / (x + 2) = 4/5 99 Решить относительно x сек (4x) = 2 100 Решите для n (4n + 8) / (n ^ 2 + n-72) + 8 / (n ^ 2 + n-72) = 1 / (n + 9)

Решение линейных уравнений с нулевым Солнцем, без Солнца и «Все x» Солнцем

Purplemath

Есть три типа решений, которые могут вызвать путаницу.Мы рассмотрим по одному примеру каждого из них, и я объясню различия. Затем мы поработаем над смесью типов уравнений, чтобы вам было удобнее различать типы решений.

Чтобы решить это уравнение, мне сначала нужно упростить левую часть, взяв «минус» в скобки и объединив «похожие» термины:

MathHelp.com

5 — (3 x + 4)

5 — 1 (3 x ) — 1 (+4)

5 — 3 x — 4

5-4-3 x

1-3 x

Теперь я могу решить обычным способом:

1–3x = 1
-1 -1
————
-3x = 0
— —
-3-3

х = 0

Является ли « x = 0″ допустимым решением? Да, действительно, потому что ноль — допустимое число.Дело не в том, что решение — «ничто»; дело в том, что решение — это «что-то», а это «что-то» равно нулю. Итак, мой ответ:

Студенты, как правило, могут привыкнуть к тому, что ноль является решением уравнения, но разница между решением «ноль» (это решение является числовым значением) и «ничего» (возможно, является физической мерой чего-то вроде «без яблок» или «нет денег») может вызвать недоумение.

Убедитесь, что вы понимаете, что «ноль» сам по себе не является «ничем». Ноль — это числовое значение, которое (в «реальной жизни» или в контексте словесной проблемы) может подразумевать , что в том или ином «ничего» нет, но сам ноль — реальная вещь; это существует; это что-то».

• Решить 11 + 3

  x -7 = 6 x + 5-3 x

Во-первых, объедините одинаковые термины; затем решите:

Гм… подожди минутку …

С каких это пор четыре когда-либо равно пяти? Никогда! Есть ли какое-нибудь возможное значение x , которое «исправит» это уравнение, чтобы оно говорило что-то, что имеет смысл? Будет ли любое значение x когда-либо заставить это уравнение работать?

Нет; это просто невозможно. Я сделал все свои шаги правильно, но эти шаги привели к уравнению (а) не содержало переменных и (б) не имело смысла.Поскольку не существует значения x , которое заставило бы это уравнение работать, то это уравнение не имеет решения. Вот мой ответ на это упражнение:

.

Вот логика для приведенного выше примера: когда вы пытаетесь решить уравнение, вы исходите из (неустановленного) предположения, что на самом деле — это решение. Когда вы в конечном итоге получаете бессмыслицу (например, бессмысленное уравнение «4 = 5» выше), это означает, что ваше первоначальное предположение (а именно, что исходное уравнение действительно имело решение) было неверным; на самом деле решения нет.Поскольку утверждение «4 = 5» совершенно неверно, и с момента нет значения x, которое когда-либо могло бы сделать его истинным , то это уравнение не имеет решения.

Рекомендация

: этот ответ полностью отличается от ответа на первое упражнение в верхней части этой страницы, где было , значение x , что будет работать (это значение решения равно нулю). Не путайте эти две очень разные ситуации : «решение существует и имеет нулевое значение» никоим образом не то же самое, что «никакого значения решения не существует вообще».

И не путайте приведенное выше уравнение типа «без решения» со следующим типом уравнения:

• Решить 6

  x + 5-2 x = 4 + 4 x + 1

Во-первых, я объединю похожие термины; тогда решу:

Для предыдущего уравнения я получил «5 = 4», и не было значения x , которое могло бы сделать уравнение истинным. Этот результат противоположен этому. Существует ли для этого уравнения какое-либо возможное значение x , которое могло бы сделать приведенное выше утверждение ложным? Нет; 5 — это , всегда будет равно 5. Фактически, поскольку в последней строке вычислений нет « x », значение x явно не имеет отношения к уравнению; x может быть чем угодно, и уравнение останется верным. Итак, решение:

Это решение также может быть указано как «все действительные числа», «все действительные числа», «вся числовая строка», «(–∞, + ∞)» или « x ∈ & reals;» (последнее означает « x является членом набора действительных чисел»).Вы должны ожидать увидеть некоторые вариации в жаргоне от одного учебника к другому, поэтому не удивляйтесь различиям в форматировании.

Обратите внимание, что, если бы я решил уравнение, вычтя 5 из любой стороны исходного уравнения, я бы получил:

Другими словами, я бы закончил с другим тривиально верным утверждением. Я также мог бы вычесть 4 x с любой стороны, или я мог бы разделить обе стороны приведенного выше уравнения на 4, или я мог бы разделить на 4, а затем вычесть x с любой стороны, или я мог бы вычесть как 4 x , так и 5 с обеих сторон исходного уравнения.Каждый из них — это еще один способ получить другой тривиально верный результат, например «0 = 0». Но независимо от конкретных предпринятых шагов результат (тривиально верное уравнение) всегда будет одним и тем же, и решение останется тем же: «все x ».

Поскольку (как я перечислил выше) есть много способов прийти к одному и тому же выводу для этого типа уравнения, вы не должны удивляться, если для уравнений «все действительные числа» или «без решения» вы не используйте те же шаги, что и некоторые из ваших одноклассников.Существует бесконечно много всегда верных уравнений (например, «0 = 0») и бесконечно много бессмысленных уравнений (например, «3 = 4»), также будет много способов (правильно) прийти к этим ответам.

Основным выводом из приведенных выше примеров должны быть следующие правила:

x = 0: регулярное решение регулярного уравнения

ерунда (например, 3 = 4): нет решения

тривиально верно (например, 0 = 0): решение — все действительные числа

К сожалению, хотя вы почти наверняка увидите хотя бы один из этих вопросов «нет решения» или «все реально» в следующем тесте (и, вероятно, также в финале), обычно их не так много в наборе домашних заданий, и ваш инструктор, вероятно, предоставил только по одному образцу каждого типа.Это не дает вам большой практики в интерпретации этих типов решений, поэтому давайте еще несколько примеров.

Сначала я умножу 3 на скобку в левой части. Тогда я решу.

3x + 12 = 3x + 11
-3x -3x
——————
12 = 11

Мои расчеты верны, но результат — ерунда.Двенадцать никогда не будет равняться одиннадцати. Итак, мой ответ:

• Решите 6 — 2 (

  x + 3) = –2 x

Я буду умножать и упрощать в левой части. Тогда я решу.

6-2 (x + 3) = -2x
6 — 2x — 6 = -2x
6-6 — 2x = -2x
0 — 2x = -2x
-2x = -2x
+ 2x + 2x
———
0 = 0

Ноль всегда будет равен нулю, и в последней строке моей работы нет даже какой-либо переменной, поэтому переменная явно не имеет значения.Это уравнение верно независимо от значения x . Итак, мой ответ:

• Решите 2 (

  x + 1) + x = 3 ( x + 2) — 2

Мне нужно будет умножить и упростить каждую часть этого уравнения.

2 (х + 1) + х = 3 (х + 2) — 2
2x + 2 + x = 3x + 6 — 2
2х + х + 2 = 3х + 4
3х + 2 = 3х + 4
-3x -3x
———————-
2 = 4

Нет; никогда не правда.

• Решить 5

  x + 7 = 4 (2 x + 1) — 3 x — 2

Мне нужно упростить правую часть, а затем посмотреть, к чему это приведет.

5x + 7 = 4 (2x + 1) — 3x — 2
5x + 7 = 8x + 4 — 3x — 2
5x + 7 = 8x — 3x + 4-2
5х + 7 = 5х + 2
-5x -5x
——————
7 = 2

Нет; никогда не правда.

Я разверну левую часть и решу.

8 (х + 2) = 2x + 16
8x + 16 = 2x + 16
-2x -2x
——————
6x + 16 = 16
-16 -16
——————
6x + 0 = 0
—— —
6 6

х = 0

Это уравнение имеет значение решения, равное нулю.

• Решить 1,5

  x + 4 = 4 ( x + 1) — 2,5 x

Я расширяю и упрощаю в правой части, а затем решаю.

1,5x + 4 = 4 (x + 1) — 2,5x
1,5x + 4 = 4x + 4 — 2,5x
1,5x + 4 = 4x — 2,5x + 4
1.5х + 4 = 1,5х + 4
-1,5x -1,5x
———————
4 = 4

Это всегда так, поэтому мой ответ:

Я разверну левую часть и решу.

2 (х + 5) = 2x + 5
2x + 10 = 2x + 5
-2x -2x
——————
10 = 5

Нет; никогда не правда.

URL: https://www.purplemath.com/modules/solvelin5.htm

Квадратное уравнение

Стандартная форма квадратного уравнения:

ax ² + bx + c = 0, где a ≠ 0

В уравнении a, b и c — константы, а x — переменная. Степень уравнения 2 (показатель степени при x) делает уравнение квадратичным.Квадратные уравнения этой формы могут быть решены относительно x, чтобы найти корни уравнения, которые являются точкой (точками), где уравнение равно 0. Корни также могут называться нулями.

Решение квадратных уравнений

Существует несколько различных методов решения квадратного уравнения. Ниже приведены несколько из них.

Квадратные уравнения вида ax

² + c = 0

Квадратное уравнение без члена x ¹ решить относительно просто.Нам не нужно множить или использовать квадратную формулу (обсуждается позже). Все, что нам нужно сделать, это выделить x, как если бы мы пытались найти x в любом уравнении, а затем извлечь квадратный корень из константы.

Пример

Учитывая x ² -4 = 0, найти x:

x ² = 4

х = & pm; = & pm; 2

Одна из ключевых вещей, которые нам нужно помнить при решении квадратных уравнений, — это то, что x может принимать как положительные, так и отрицательные значения, поскольку и -2 × -2, и 2 & times 2 = 4.это также означает, что если bot a и c положительны или отрицательны, реальных решений не существует, поскольку невозможно извлечь квадратный корень из отрицательного числа без использования мнимых чисел.

Использование факторинга

Решение уравнений с использованием факторизации основывается на использовании одного из свойств 0. Если произведение двух чисел или выражений равно 0, то хотя бы одно из выражений должно быть равно 0. Это позволяет нам разделить множители и установить их равными. до 0 индивидуально, чтобы найти решение (я) уравнения.

Примеры

1. Решите 2x ² — 8x = 0:

2x (x — 4) = 0

Мы можем разделить это и решить для 2x = 0 и x — 4 = 0:

2x = 0

х = 0

и

х — 4 = 0

х = 4

Уравнение имеет два решения: x = 0 и x = 4.

2. Решить x ² — 4x + 4 = 0:

x ² — 4x + 4 = (x — 2) ² = 0

х — 2 = & pm; 0

х = 2

В этом случае, хотя мы извлекаем квадратный корень, 0 не является ни положительным, ни отрицательным, поэтому есть только одно решение.Это всегда будет иметь место в уравнениях, которые можно разложить на множители в форме (x — c) ² , поэтому, как только вы начнете распознавать эти уравнения в их развернутой форме, x ² — 2cx + c ² , вы » Я смогу решить их относительно быстро.

3. Решить x ² — x — 6 = 0:

x ² — x — 6 = (x — 3) (x + 2) = 0

х — 3 = 0

х = 3

и

х + 2 = 0

х = -2

Два решения уравнения: x = 3 и x = -2.

Используя формулу корней квадратного уравнения

Термины «квадратная формула» и «квадратное уравнение» иногда используются как синонимы, но их не следует путать. Квадратичная формула относится, в частности, к формуле, используемой для решения квадратных уравнений:

Квадратичная формула может рассматриваться как метод «грубой силы» для решения квадратных уравнений, поскольку ее можно использовать для решения любого квадратного уравнения в стандартной форме, как и все приведенные выше примеры.Однако в зависимости от конкретного квадратного уравнения часто бывает проще использовать такой метод, как разложение на множители, завершение квадрата или какой-либо другой метод, где это возможно, до использования формулы квадратичного. При этом сама квадратная формула относительно проста в использовании, если уравнение имеет стандартную форму.

Все числа a, b и c в квадратной формуле являются константами и относятся к коэффициентам стандартной формы квадратного уравнения:

топор ² + bx + c

Чтобы решить квадратное уравнение с помощью формулы квадратиков, нужно просто подставить коэффициенты уравнения в формулу.

Пример

Решить 7x ² — 13x + 6 = 0:

В приведенном выше уравнении a = 7, b = -13 и c = 6. Подставляя их в формулу корней квадратного уравнения:

x = и x =

Хотя квадратная формула утомительна, она очень эффективна в том смысле, что позволяет нам решать любое квадратное уравнение, если мы приводим его в стандартную форму.

В квадратной формуле выражение под знаком квадратного корня, b ² — 4ac, называется дискриминантом.Стоит отметить, что если:

b ² — 4ac = 0, решение только одно

b ² — 4ac> 0, есть два реальных решения

b ² — 4ac

Еще один метод решения квадратных уравнений — завершение квадрата.

Модель VIII-ch5

Модель VIII-ch5

Факторинг и свойство нулевого продукта

Этот метод решения квадратных уравнений может быть вам знаком.Напомним, что прежде чем пытаться решить какое-либо квадратное уравнение, мы должны представить его в стандартной форме

:

топор ² + bx + c = 0

После того, как уравнение примет стандартную форму, попробуйте разложить его на множители. Если вы не уверены в факторинге, просмотрите заметки по факторингу

. После факторинга мы применим свойство нулевого продукта.

Свойство нулевого произведения

Если AB = 0, то A = 0 или B = 0. Это означает, что если мы умножаем две вещи и получаем 0, одна из них должна быть 0.

Чтобы применить свойство нулевого продукта, мы устанавливаем каждый коэффициент равным нулю и решаем для переменной.

Вот пример: x ² — 2x — 15 = 0

Поскольку уравнение уже имеет стандартную форму, первым делом необходимо разложить на множители:

(х — 5) (х + 3) = 0

Теперь примените свойство нулевого продукта. Установка x — 5 = 0 и x + 3 = 0 дает ответы x = 5 и x = -3.

Решите каждую из следующих проблем, используя факторизацию и свойство нулевого произведения.

1. 4x ² -25 ​​= 0 Решение

2. 6x ² = 43x + 40

Решение

3. 3x ² — x — 14 = 0

Решение

Решение № 1

4x ² -25 ​​= 0

Поскольку уравнение уже имеет стандартную форму, первым делом необходимо разложить на множители. Обратите внимание, что у нас есть разница квадратов

:

(2x — 5) (2x + 5) = 0

Теперь примените свойство нулевого продукта и установите каждый из коэффициентов равным нулю.

2x — 5 = 0 или 2x + 5 = 0

Теперь нам нужно решить два линейных уравнения.

Вернуться к проблемам

Решение № 2

6x ² = 43x + 40

Поскольку уравнение

не в стандартной форме, первым делом нужно преобразовать его в стандартную форму. Вычтем 43x и 40 из обеих частей этого уравнения. Таким образом мы получаем:

6x ² — 43x — 40 = 0

Теперь, когда уравнение имеет стандартную форму, множим трехчлен.

(6x + 5) (x — 8) = 0

Затем примените свойство нулевого произведения и установите каждый из коэффициентов равным нулю.

6x + 5 = 0 или x — 8 = 0

Теперь нам нужно решить два линейных уравнения.

6x = -5 или x = 8

x = -5/6 или x = 8

Вернуться к проблемам

Решение № 3

3x ² — x — 14 = 0

Поскольку уравнение имеет стандартную форму, мы факторизуем трехчлен.

(3x — 7) (x + 2) = 0

Затем примените свойство нулевого произведения и решите.

3х — 7 = 0 х + 2 = 0
3х = 7 х = -2
х = 7/3

Вернуться к проблемам

Вернуться на страницу назначения

страница не найдена — Williams College

chet_carman_math_7 | Продвинутая алгебра | Вопросы

2.Решение квадратных уравнений путем заполнения квадрата

Для квадратных уравнений, которые не могут быть решены путем факторизации,
мы используем метод, который может решить ВСЕ квадратные уравнения, называемый
завершение пл. Мы используем это позже при изучении окружностей в плоской аналитической геометрии. 2 + bx + c = 0`,

выполните следующие действия:

(i) Если a не равно «1», разделите каждую сторону на a (так, чтобы коэффициент x ²
равно «1»).

(ii) Перепишите уравнение с константой в правой части.

(iii) Завершите квадрат, добавив к обеим сторонам квадрат, равный половине коэффициента x .

(iv) Запишите левую часть в виде квадрата и упростите правую.

(v) Приравнять и решить.

Пример 1

Найдите корни x ² + 10 x — 4 = 0, используя метод квадрата.2-4ac)) / (2a) `

Мы будем часто использовать этот результат в оставшейся части математики, которую мы изучаем.

.