Решение СЛАУ методами подстановки и сложения

Уравнение называется линейным, если оно содержит переменные только в первой степени и не содержит произведений переменных.

Например, уравнение

—

линейное, а уравнения

и

не являются линейными.

В общем виде система m линейных уравнений с n переменными записывается так:

. (1)

Числа
 

называются коэффициентами при переменных, а
 —
свободными членами.

Совокупность чисел

называется решением системы (1) линейных уравнений, если при подстановке их вместо переменных во все уравнения они обращаются в верные равенства.

Изучение систем линейных уравнений начинается в средней школе. В школьном курсе рассматриваются в основном системы двух линейных уравнений
с двумя переменными и два метода их решения — метод подстановки и метод сложения. Эти методы являются основой изучаемого в курсе
высшей математике метода Гаусса. (Принципиально иной метод — метод Крамера —
основан на использовании определителей).

Чтобы последовательно двигаться от простому к ещё более простому (сложному), повторим два школьных метода.

Решение. При решении системы линейный уравнений методом подстановки сначала из какого-нибудь уравнения выражают
одну переменную через другую (другие, если неизвестных больше двух). Полученное выражение подставляют в другие уравнения, в результате чего приходят к уравнению
с одной переменной. Затем находят соответствующее значение второй (и третьей, если она есть) переменной.

Начнём со вполне школьного примера системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений методом подстановки:

Выразим из первого уравнения
данной системы y через x (можно и наоборот) и получим:

Подставив во второе уравнение данной системы вместо y выражение , получим систему

Данная и полученная системы равносильны. В последней системе второе уравнение содержит только одну переменную.
Решим это уравнение:

Соответствующее значение y найдём, подставив вместо x число -5 в выражение
, откуда

Пара (-5; 2) является решением системы линейных уравнений.

Методом подстановки можно решать и системы трёх линейных уравнений с тремя переменными.

Пример 2. Решить систему линейных уравнений методом подстановки:

Из третьего уравнения системы выразим :

.

Подставим это выражение во второе уравнение данной системы:

.

Произведём преобразования и выразим из этого уравнения :

Полученные выражения для и подставим в первое уравнение системы и получим

.

Вместо можно вновь подставить его выражение, тогда получим
уравнение с одним неизвестным:

откуда

.

Теперь из ранее полученных выражений для остальных переменных найдём и эти переменные:

Итак, решение данной системы линейных уравнений:

.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом подстановки:

Из первого уравнения системы выразим :

.

Подставим это выражение во второе уравнение данной системы, после чего выполним преобразования и получим:

Из третьего уравнения выразим :

Полученное выражение для подставим в преобразованное второе уравнение системы и получим уравнение с одним неизвестным:

.

Произведём преобразования и найдём :

Теперь из ранее полученных выражений для остальных переменных найдём и эти переменные:

Итак, решение данной системы линейных уравнений:

.

При решении систем линейных уравнений методом сложения уравнения системы почленно складывают, причём
одно или оба (несколько) уравнений могут быть умножены на различные числа. В результате приходят к эквивалентной
(равносильной) системе линейных уравнений, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

Пример 4. Решить систему линейных уравнений методом сложения:

Решение. В уравнениях данной системы в этом примере системы коэффициенты при y — противоположные числа.
Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной:

, или , .

Заменим одно из уравнений исходной системы, например, первое, уравнением . Получим систему

Решим полученную систему. Подставив значение
в уравнение , получим уравнение с одной переменной y:

Пара (2; 1) является решением полученной системы линейных уравнений. Она является также решением
исходной системы, так как эти две системы линейных уравнений равносильны.

Пример 5. Решить систему линейных уравнений методом сложения

Почленное сложение уравнений системы не приводит к исключению одной из переменных. Но если умножить все члены первого уравнения на -3,
а второго уравнения на 2, то коэффициенты при x в полученных уравнениях будут противоположными числами:

Почленное сложение уравнений полученной в результате преобразований системы приводит к уравнению с одной переменной:
. Из этого уравнения находим, что . Получили

Решением полученной системы, а следовательно и исходной системы линейных уравнений является пара чисел (-3; 0).

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом сложения:

Решение. Для упрощения решения произведём замену переменных:

, .

Приходим к системе линейных уравнений:

или

Умножим второе уравнение полученной системы на -2 и сложим с первым уравнением, получим
,
. Тогда .

Следовательно, имеем систему уравнений

или

Умножим второе уравнение полученной системы на 3 и сложим с первым уравнением. Получим

.

Решив задачи из примеров на решение систем линейных уравнений методом подстановки и методом сложения, мы научились производить элементарные преобразования,
необходимые для решениях систем линейных уравнений в курсе высшей математики.

Продолжение темы «Системы уравнений и неравенств»

Начало темы «Линейная алгебра»

Поделиться с друзьями

Решение системы линейных уравнений. Метод подстановки, сложения, графический. Особые случаи, тесты

Тестирование онлайн

• Система линейных уравнений

Система линейных уравнений

Обычно уравнения системы записывают в столбик одно под другим и объединяют фигурной скобкой

Система уравнений такого вида, где a, b, c — числа, а x, y — переменные, называется системой линейных уравнений.

При решении системы уравнений используют свойства, справедливые для решения уравнений.

Решение системы линейных уравнений способом подстановки

Рассмотрим пример

1) Выразить в одном из уравнений переменную. Например, выразим y в первом уравнении, получим систему:

2) Подставляем во второе уравнение системы вместо y выражение 3х-7:

3) Решаем полученное второе уравнение:

4) Полученное решение подставляем в первое уравнение системы:

Система уравнений имеет единственное решение: пару чисел x=1, y=-4. Ответ: (1; -4), записывается в скобках, на первой позиции значение x, на второй — y.

Решение системы линейных уравнений способом сложения

Решим систему уравнений из предыдущего примера методом сложения.

1) Преобразовать систему таким образом, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными. Умножим первое уравнение системы на «3».

2) Складываем почленно уравнения системы. Второе уравнение системы (любое) переписываем без изменений.

3) Полученное решение подставляем в первое уравнение системы:

Решение системы линейных уравнений графическим способом

Графическое решение системы уравнений с двумя переменными сводится к отыскиванию координат общих точек графиков уравнений.

Графиком линейной функции является прямая. Две прямые на плоскости могут пересекаться в одной точке, быть параллельными или совпадать. Соответственно система уравнений может: а) иметь единственное решение; б) не иметь решений; в) иметь бесконечное множество решений.

2) Решением системы уравнений является точка (если уравнения являются линейными) пересечения графиков.

Графическое решение системы

Метод введения новых переменных

Замена переменных может привести к решению более простой системы уравнений, чем исходная.

Рассмотрим решение системы

Введем замену , тогда

Переходим к первоначальным переменным

Особые случаи

Не решая системы линейных уравнений, можно определить число ее решений по коэффициентам при соответствующих переменных.

Пусть дана система

1) Если , то система имеет единственное решение.

2) Если , то система решений не имеет. В этом случае прямые, являющиеся графиками уравнений системы, параллельны и не совпадают.

3) Если , то система имеет бесконечное множество решений. В этом случае прямые совпадают друг с другом.

Суть метода в последовательном исключении неизвестных, приводя систему линейных уравнений к ступенчатой форме.

Решение систем линейных уравнений способом подстановки

Вопросы
занятия:

· 
показать еще один способ решения систем линейных уравнений – способ
подстановки.

Материал
урока

На
прошлом уроке мы с вами говорили о системе линейных уравнений с двумя
переменными.

Нам
уже знаком графический способ решения систем линейных уравнений.

Мы
также отмечали, что графический способ чаще всего позволяет находить решения
лишь приближённо.

Сегодня
на уроке мы познакомимся с ещё одним способом решения систем линейных уравнений
с двумя переменными, который называют способом
подстановки.

Итак,
рассмотрим следующую систему

Заметим,
что во втором уравнении системы коэффициент при у
равен 1, поэтому мы легко можем выразить переменную у через переменную х.

Далее
мы подставим вместо у в
первое уравнение системы это выражение и получим уравнение с одной переменной х.

Решим
это уравнение.

Вот
так мы с вами решили систему уравнений способом подстановки.

Таким
образом, чтобы решить систему уравнений способом подстановки, надо:

1. 
выразить
из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;

2. 
подставить
вместо этой переменной полученное выражение в другое уравнение системы;

3. 
решить
получившееся уравнение с одной переменной;

4. 
найти
соответствующее значение второй переменной.

Ранее
мы с вами говорили о равносильных уравнениях, то есть уравнениях, которые имеют
одни и те же корни.

То
же самое можно сказать и о системах уравнений.

Определение.

Системы
уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными.

Системы,
которые не имеют решений, также являются равносильными.

Ну
а теперь давайте решим несколько систем рассмотренным выше способом.

Пример.

Пример.

Итоги
урока

На
этом уроке мы рассмотрели алгоритм решения систем линейных уравнений способом
подстановки и научились решать системы этим способом.

Системы уравнений. Способы решения систем уравнений

Система уравнений — это группа уравнений, в которых одни и те же неизвестные обозначают одни те же числа. Чтобы показать, что уравнения рассматриваются как система, слева от них ставится фигурная скобка:

Решить систему уравнений — это значит, найти общие решения для всех уравнений системы или убедиться, что решения нет.

Чтобы решить систему уравнений, нужно исключить одно неизвестное, то есть из двух уравнений с двумя неизвестными составить одно уравнение с одним неизвестным. Исключить одно из неизвестных можно тремя способами: подстановкой, сравнением, сложением или вычитанием.

Способ подстановки

Чтобы решить систему уравнений способом подстановки, нужно в одном из уравнений выразить одно неизвестное через другое и результат подставить в другое уравнение, которое после этого будет содержать только одно неизвестное. Затем находим значение этого неизвестного и подставляем его в первое уравнение, после этого находим значение второго неизвестного.

Рассмотрим решение системы уравнений:

Сначала найдём, чему равен  x  в первом уравнении. Для этого перенесём все члены уравнения, не содержащие неизвестное  x,  в правую часть:

x — 4y = 2;

x = 2 + 4y.

Так как  x,  на основании определения системы уравнений, имеет такое же значение и во втором уравнении, то подставляем его значение во второе уравнение и получаем уравнение с одним неизвестным:

Решаем полученное уравнение, чтобы найти, чему равен  y.  Как решать уравнения с одним неизвестным, вы можете посмотреть в соответствующей теме.

Мы определили что  y = 1.  Теперь, для нахождения численного значения  x,  подставим значение  y  в преобразованное первое уравнение, где мы ранее нашли, какому выражению равен  x:

x = 2 + 4y = 2 + 4 · 1 = 2 + 4 = 6.

Ответ:  x = 6,  y = 1.

Способ сравнения

Способ сравнения — это частный случай подстановки. Чтобы решить систему уравнений способом сравнения, нужно в обоих уравнениях найти, какому выражению будет равно одно и то же неизвестное и приравнять полученные выражения друг к другу. Получившееся в результате уравнение позволяет узнать значение одного неизвестного. С помощью этого значения затем вычисляется значение второго неизвестного.

Например, для решение системы:

найдём в обоих уравнениях, чему равен  y  (можно сделать и наоборот — найти, чему равен  x):

Составляем из полученных выражений уравнение:

Решаем уравнение, чтобы узнать значение  x:

Теперь подставляем значение  x  в первое или второе уравнение системы и находим значение  y:

Ответ:  x = 6,  y = 1.

Способ сложения или вычитания

Чтобы решить систему уравнений способом сложения, нужно составить из двух уравнений одно, сложив левые и правые части, при этом одно из неизвестных должно быть исключено из полученного уравнения. Неизвестное можно исключить, уравняв при нём коэффициенты в обоих уравнениях.

Рассмотрим систему:

Уравняем коэффициенты при неизвестном y, умножив все члены второго уравнения на -2:

(3x — 2y) · -2 = 16 · -2

-6x + 4y = -32

Получим:

Теперь сложим по частям оба уравнения, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:

Находим значение  x  (x = 6).  Теперь, подставив значение  x  в любое уравнение системы, найдём  y = 1.

Если уравнять коэффициенты у  x,  то, для исключения этого неизвестного, нужно было бы вычесть одно уравнение из другого.

Уравняем коэффициенты при неизвестном  x,  умножив все члены первого уравнения на  3:

(x — 4y) · 3 = 2 · 3

3x — 12y = 6

Получим:

Теперь вычтем по частям второе уравнение из первого, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:

Находим значение  y  (y = 1).  Теперь, подставив значение  y  в любое уравнение системы, найдём  x = 6:

Ответ:  x = 6,  y = 1.

Для решения системы уравнений, рассмотренной выше, был использован способ сложения, который основан на следующем свойстве:

Любое уравнение системы можно заменить на уравнение, получаемое путём сложения (или вычитания) уравнений, входящих в систему. При этом получается система уравнений, имеющая те же решения, что и исходная.

Решение систем линейных уравнений методом подстановки онлайн

Самым простым методом решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛУ) является
метод подстановкиили метод исключения. Рассмотрим его более подробно, предположим, нам дана СЛУ вида:

a11x1a12x2b1a21x1a22x2b2

Требуется её решить, т.е. найти такие значения переменных
x₁,
x₂,
чтобы при подстановке их в исходную СЛУ, последняя обращалась в верное тождество. Метод подстановки заключается в следующем:

1. Решим первое уравнение относительно переменной
x₁:

x11a11b1a12x2a21x1a22x2b2

2. Подставим полученное для переменной
x₁
выражение во второе уравнение системы:

x11a11b1a12x2a211a11b1a12x2a22x2b2

3. Упростим второе уравнение системы:

x11a11b1a12x2a22a12a21a11x2b2a21b1a11

4. Решим второе уравнение системы относительно
x₂:

x11a11b1a12x2x2b2a11b1a21a11a22a12a21

5. Подставим полученное для переменной
x₂
выражение в первое уравнение системы:

x11a11b1a12b2a11b1a21a11a22a12a21x2b2a11b1a21a11a22a12a21

6. Упростим первое уравнение системы:

x1b1a22b2a12a11a22a12a21x2b2a11b1a21a11a22a12a21

Данный онлайн калькулятор
решает СЛУ методом методом подстановки
с описанием пошагового хода решения на русском языке. Коэффициенты СЛУ могут быть не только числами или дробями, но также и параметрами. Для работы калькулятора необходимо ввести уравнения и выбрать переменные СЛУ, которые необходимо найти.

«Решение систем уравнений способом подстановки» конспект урока алгебры 8 класс.

Управление образования администрации муниципального образования «Вельский муниципальный район»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя школа №92 г. Вельска»

«Решение систем уравнений способом подстановки»

конспект урока алгебры 8 класс.

г. Вельск

2016 г.

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение. 3

2. Основная часть. 4

3. Заключение. 10

4. Список литературы. 10

5. Приложения. 11

Введение.

В данной методической разработке представлен конспект урока по алгебре в 8 классе по теме «Решение систем уравнений способом подстановки». Этот материал будет интересен учителям математики по применению проблемно-деятельностного подхода.

Актуальность этой методической разработки состоит в том, что представленный урок математики  разработан с элементами ФГОС. Выбранная тема урока, важный материал для обучающихся 8 класса, так как прочные знания по этой теме помогут решить данное задание при сдаче ОГЭ, а также для решения задач различной тематики и сложности. В данной методической разработке показан урок «открытия» нового знания.

Структура урока «открытия» нового знания (первый из трех в данной теме)

1)этап мотивации (самоопределения) к учебной деятельности;

2) этап актуализации и пробного учебного действия;

3) этап создания проблемной ситуации и выхода из затруднения;

4) этап построения проекта выхода из затруднения, изучение нового;

5) этап первичного закрепления с проговариванием во внешней речи;

6) этап включения в систему знаний и повторения;

7) этап рефлексии учебной деятельности на уроке.

Цель: формировать представление о системе уравнений; познакомить обучающихся со способом подстановки его применением при решении системы уравнения.

Задачи:

• Научить в реальной ситуации использовать способ подстановки;

• Учить слушать вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем.

• Развивать умение обрабатывать информацию, формировать коммуникативную компетенцию, контроль и оценка процесса и результатов деятельности.

1. Техническое оборудование: Компьютер, проектор, учебник «Алгебра» для 8 класса под редакцией Г.Ф.Дорофеева. Издательство Москва «Просвещение» 2009год., электронная презентация.

Основная часть

Технологическая карта урока алгебры в 8 классе по теме «Решение систем уравнений способом подстановки»

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данная методическая разработка была посвящена уроку «открытия» новых знаний по алгебре в 8 классе. Урок был проведен для учителей школы в рамках методической недели.

Задача учителя активизировать деятельность каждого учащегося, создать ситуации для их творческой активности в процессе обучения. Использование новых технологий не только оживляет и разнообразит учебный процесс, но и открывает большие возможности для расширения образовательных рамок, несомненно, несет в себе огромный мотивационный потенциал и способствует принципам индивидуализации обучения.

Из проделанной работы можно сделать следующие общие выводы: для повышения интереса к математике необходимо применять различные технологии, а правильная организация работы по математике и подбор материала поможет созданию эмоционального настроения учащихся по решению учебных задач урока, и тем самым обеспечить прочные и осознанные знания изучаемого материала.

Литература

1. Учебник «Алгебра» для 8 класса под редакцией Г.Ф.Дорофеева. Издательство Москва «Просвещение» 2009год.

2. Дидактические материалы по алгебре для 8 класса к учебнику алгебры 8 класс под редакцией Г.Ф.Дорофеева.

3. Образовательные порталы интернета.

Приложение 4

Решение систем уравнений способом сложения.

а) домножим первое уравнение на 2

(-) вычтем из второго уравнения первое

х=3, найдем у, подставив 3 вместо х в первое уравнение

3·4+6у=9

6у=-3

у=-

Ответ: ( -3;-0.5)

б)

13х=26

х=2 10·2+5у=10

5у=-10

у=-2

Ответ: (2; -2).

Решим эту же систему уравнений способом подстановки.

выразим из второго уравнения у=2-2х.

Подставим вместо у, выражение у=2-2х в первое уравнение.

3х-5(2-2х)=16

3х-10+10х=16

13х=26

Х=2

Найдем у. у=2-2·2= -2

Ответ :(2; -2)

Приложение 5

Решают из учебника № 650 (а,в,д), № 652(а,в,д).

в) д)

3х+2х=5 у=2 2b+3b+=-15 z-4+2z=14

5х=5 5b=-15 3z=18

х=1 b=-3, a=-3 z=6, y=6-4, y=2

Ответ: (1;2) Ответ: (-3;-3) Ответ:(2;6).

№ 651(а,в,д),

а) в)

у=21-х у=21-8 х=2у+5 х=2·(-0,5)+5

21-х-х=3 у=3 3(2у+5)+4у=10 х=4

-2х=-18 6у+15+4у=10

х=9 10у=-5

Ответ:(9;3) у=-0,5

Ответ: (4;-0,5)

д)

u=1-2v u=1-4

3(1-2v)+5v=1 u=-3

3-6v+5v=1

-v=-2

v=2

Ответ: (-3;2)

Приложение 6.

№ 652(а,в)

Решите систему уравнений, применив любой из известных вам способов:

Подстановка:

а)

n=8-2m n=8-10

3m+4(8-2m)=7 n=-2

3m+32-8m=7

-5m=-25

m=5

Ответ: (-5;2)

Сложение:

в) 5·(-47) + 2b=15

-235+2b=15

a=-47 2b=250

b=125

Ответ:(-47; 125)

100 ballov.kz образовательный портал для подготовки к ЕНТ и КТА

В 2021 году казахстанские школьники будут сдавать по-новому Единое национальное тестирование. Помимо того, что главный школьный экзамен будет проходить электронно, выпускникам предоставят возможность испытать свою удачу дважды. Корреспондент zakon.kz побеседовал с вице-министром образования и науки Мирасом Дауленовым и узнал, к чему готовиться будущим абитуриентам.

— О переводе ЕНТ на электронный формат говорилось не раз. И вот, с 2021 года тестирование начнут проводить по-новому. Мирас Мухтарович, расскажите, как это будет?

— По содержанию все остается по-прежнему, но меняется формат. Если раньше школьник садился за парту и ему выдавали бумажный вариант книжки и лист ответа, то теперь тест будут сдавать за компьютером в электронном формате. У каждого выпускника будет свое место, огороженное оргстеклом.

Зарегистрироваться можно будет электронно на сайте Национального центра тестирования. Но, удобство в том, что школьник сам сможет выбрать дату, время и место сдачи тестирования.

Кроме того, в этом году ЕНТ для претендующих на грант будет длиться три месяца, и в течение 100 дней сдать его можно будет два раза.

— Расскажите поподробнее?

— В марте пройдет тестирование для желающих поступить на платной основе, а для претендующих на грант мы ввели новые правила. Школьник, чтобы поступить на грант, по желанию может сдать ЕНТ два раза в апреле, мае или в июне, а наилучший результат отправить на конкурс. Но есть ограничение — два раза в один день сдавать тест нельзя. К примеру, если ты сдал ЕНТ в апреле, то потом повторно можно пересдать его через несколько дней или в мае, июне. Мы рекомендуем все-таки брать небольшой перерыв, чтобы еще лучше подготовиться. Но в любом случае это выбор школьника.

— Система оценивания останется прежней?

— Количество предметов остается прежним — три обязательных предмета и два на выбор. Если в бумажном формате закрашенный вариант ответа уже нельзя было исправить, то в электронном формате школьник сможет вернуться к вопросу и поменять ответ, но до того, как завершил тест.

Самое главное — результаты теста можно будет получить сразу же после нажатия кнопки «завершить тестирование». Раньше уходило очень много времени на проверку ответов, дети и родители переживали, ждали вечера, чтобы узнать результат. Сейчас мы все автоматизировали и набранное количество баллов будет выведено на экран сразу же после завершения тестирования.
Максимальное количество баллов остается прежним — 140.

— А апелляция?

— Если сдающий не будет согласен с какими-то вопросами, посчитает их некорректными, то он сразу же на месте сможет подать заявку на апелляцию. Не нужно будет ждать следующего дня, идти в центр тестирования, вуз или школу, все это будет электронно.

— С учетом того, что школьникам не придется вручную закрашивать листы ответов, будет ли изменено время сдачи тестирования?

— Мы решили оставить прежнее время — 240 минут. Но теперь, как вы отметили, школьникам не нужно будет тратить час на то, чтобы правильно закрасить лист ответов, они спокойно смогут использовать это время на решение задач.

— Не секрет, что в некоторых селах и отдаленных населенных пунктах не хватает компьютеров. Как сельские школьники будут сдавать ЕНТ по новому формату?

— Задача в том, чтобы правильно выбрать время и дату тестирования. Центры тестирования есть во всех регионах, в Нур-Султане, Алматы и Шымкенте их несколько. Школьники, проживающие в отдаленных населенных пунктах, как и раньше смогут приехать в город, где есть эти центры, и сдать тестирование.

— На сколько процентов будет обновлена база вопросов?

— База вопросов ежегодно обновляется как минимум на 30%. В этом году мы добавили контекстные задания, то что школьники всегда просили. Мы уделили большое внимание истории Казахстана и всемирной истории — исключили практически все даты. Для нас главное не зазубривание дат, а понимание значения исторических событий. Но по каждому предмету будут контекстные вопросы.

— По вашему мнению система справится с возможными хакерскими атаками, взломами?

— Информационная безопасность — это первостепенный и приоритетный вопрос. Центральный аппарат всей системы находится в Нур-Султане. Связь с региональными центрами сдачи ЕНТ проводится по закрытому VPN-каналу. Коды правильных ответов только в Национальном центре тестирования.

Кроме того, дополнительно через ГТС КНБ (Государственная техническая служба) все тесты проходят проверку на предмет возможного вмешательства. Здесь все не просто, это специальные защищенные каналы связи.

— А что с санитарными требованиями? Нужно ли будет школьникам сдавать ПЦР-тест перед ЕНТ?

— ПЦР-тест сдавать не нужно будет. Требование по маскам будет. При необходимости Центр национального тестирования будет выдавать маски школьникам во время сдачи ЕНТ. И, конечно же, будем измерять температуру. Социальная дистанция будет соблюдаться в каждой аудитории.

— Сколько человек будет сидеть в одной аудитории?

— Участники ЕНТ не за семь дней будут сдавать тестирование, как это было раньше, а в течение трех месяцев. Поэтому по заполняемости аудитории вопросов не будет.

— Будут ли ужесточены требования по дисциплине, запрещенным предметам?

— Мы уделяем большое внимание академической честности. На входе в центры тестирования, как и в предыдущие годы, будут стоять металлоискатели. Перечень запрещенных предметов остается прежним — телефоны, шпаргалки и прочее. Но, помимо фронтальной камеры, которая будет транслировать происходящее в аудитории, над каждым столом будет установлена еще одна камера. Она же будет использоваться в качестве идентификации школьника — как Face ID. Сел, зарегистрировался и приступил к заданиям. Мы применеям систему прокторинга.

Понятно, что каждое движение абитуриента нам будет видно. Если во время сдачи ЕНТ обнаружим, что сдающий использовал телефон или шпаргалку, то тестирование автоматически будет прекращено, система отключится.

— А наблюдатели будут присутствовать во время сдачи тестирования?

— Когда в бумажном формате проводили ЕНТ, мы привлекали очень много дежурных. В одной аудитории было по 3-4 человека. При электронной сдаче такого не будет, максимум один наблюдатель, потому что все будет видно по камерам.

— По вашим наблюдениям школьники стали меньше использовать запрещенные предметы, к примеру, пользоваться телефонами?

— Практика показывает, что школьники стали ответственнее относиться к ЕНТ. Если в 2019 году на 120 тыс. школьников мы изъяли 120 тыс. запрещенных предметов, по сути у каждого сдающего был телефон. То в прошлом году мы на 120 тыс. школьников обнаружили всего 2,5 тыс. телефонов, и у всех были аннулированы результаты.

Напомню, что в 2020 году мы также начали использовать систему искусственного интеллекта. Это анализ видеозаписей, который проводится после тестирования. Так, в прошлом году 100 абитуриентов лишились грантов за то, что во время сдачи ЕНТ использовали запрещенные предметы.

— Сколько средств выделено на проведение ЕНТ в этом году?

Если раньше на ЕНТ требовалось 1,5 млрд тенге из-за распечатки книжек и листов ответов, то сейчас расходы значительно сокращены за счет перехода на электронный формат. Они будут, но несущественные.

— Все-таки почему именно в 2021 году было принято решение проводить ЕНТ в электронном формате. Это как-то связано с пандемией?

— Это не связано с пандемией. Просто нужно переходить на качественно новый уровень. Мы апробировали данный формат на педагогах школ, вы знаете, что они сдают квалификационный тест, на магистрантах, так почему бы не использовать этот же формат при сдаче ЕНТ. Тем более, что это удобно, и для школьников теперь будет много плюсов.

Решение системы уравнений — методы и примеры

Как решить систему уравнений?

К настоящему моменту у вас есть представление о том, как решать линейные уравнения, содержащие одну переменную. Что, если бы вам представили множественных линейных уравнений, содержащих более одной переменной ? Набор линейных уравнений с двумя или более переменными известен как система уравнений .

Существует несколько методов решения систем линейных уравнений.

Эта статья научит решать линейные уравнения, используя обычно используемые методы , а именно замену и исключение.

Метод замены

Замена — это метод решения линейных уравнений, в котором переменная в одном уравнении выделяется, а затем используется в другом уравнении для определения оставшейся переменной.

Общие шаги для замены:

• Сделайте предмет формулы для переменной в одном из данных уравнений.
• Подставьте значение этой переменной во второе уравнение. ’
• Решите уравнение, чтобы получить значение одной из переменных.
• Подставьте полученное значение в любое из уравнений, чтобы также получить значение другой переменной.

Давайте решим пару примеров, используя метод подстановки.

Пример 1

Решите следующие системы уравнений.

b = a + 2

a + b = 4.

Решение

Подставьте значение b во второе уравнение.

a + (a + 2) = 4

Теперь решите для

a + a + 2 = 4

2a + 2 = 4

2a = 4-2

a = 2/2 = 1

Подставьте полученное значение a в первое уравнение.

b = a + 2

b = 1 + 2

b = 3

Следовательно, решение двойного уравнения: a = 1 и b = 3.

Пример 2

Решите следующие уравнения, используя замену.
7x — 3y = 31 ——— (i)

9x — 5y = 41 ——— (ii)

Решение

Из уравнения (i)

7x — 3y = 31

Сделайте y предмет формулы в уравнении:

7x — 3y = 31

Вычтем 7x из обеих частей уравнения 7x — 3y = 31, чтобы получить;

— 3y = 31 — 7x

3y = 7x — 31

3y / 3 = (7x — 31) / 3

Следовательно, y = (7x — 31) / 3

Теперь подставим уравнение y = ( 7x — 31) / 3 во второе уравнение: 9x — 5y = 41

9x — 5 × (7x — 31) / 3 = 41

Решение уравнения дает;

27x — 35x + 155 = 41 × 3

–8x + 155 — 155 = 123 — 155

–8x = –32

8x / 8 = 32/8

x = 4

Подставляя значение x в уравнении y = (7x — 31) / 3, получаем;

y = (7 × 4 — 31) / 3

y = (28 — 31) / 3

y = –3/3

y = –1

Следовательно, решение этих систем уравнений x = 4 и y = –1

Пример 3

Решите следующие наборы уравнений:

2x + 3y = 9 и x — y = 3

Решение

Сделайте x темой формула во втором уравнении.

х = 3 + у.

Теперь подставьте это значение x в первое уравнение: 2x + 3y = 9.

⇒ 2 (3 + y) + 3y = 9

⇒ 6 + 2y + 3y = 9

y = ⅗ = 0,6

Подставляем полученное значение y во второе уравнение — y = 3.

⇒ x = 3 + 0,6

x = 3,6

Следовательно, решение x = 3,6 и y = 0,6

Метод исключения

При решении систем уравнений методом исключения выполняются следующие шаги:

• Приравняйте коэффициенты данных уравнений путем умножения на константу.
• Вычтите из новых уравнений общие коэффициенты с одинаковыми знаками и сложите, если общие коэффициенты имеют противоположные знаки,
• Решите уравнение, полученное в результате сложения или вычитания
• Подставьте полученное значение в любое из уравнений, чтобы получить значение другого Переменная.

Пример 4

4a + 5b = 12,

3a — 5b = 9

Решение

Поскольку коэффициенты b в двух уравнениях одинаковы, мы складываем члены по вертикали.

4a + 3a) + (5b — 5b) = 12 + 9

7a = 21

a = 21/7

a = 3

подставляем полученное значение a = 3 в уравнение первое уравнение

4 (3) + 5b = 12,

12 + 5b = 12

5b = 12-12

5b = 0

b = 0/5 = 0

Следовательно, решение a = 3 и b = 0.

Пример 5

Решите, используя метод исключения.

2x + 3y = 9 ———– (i)

x — y = 3 ———– (ii)

Решение

Умножьте два уравнения на 2 и выполните вычитание.

2x + 3y = 9

(-)

2x — 2y = 6

-5y = -3

y = ⅗ = 0,6

Теперь подставим полученное значение y во второе уравнение: x — y = 3

x — 0,6 = 3

x = 3,6

Следовательно, решение: x = 3,6 и y = 0,6

Практические вопросы

1. Решите данную систему уравнений:

2y + 3x = 38

y — 2x = 12

2. Решите x — y = 12 и 2x + y = 22

3.Решить x / 2 + 2/3 y = -1 и x — 1 / 3y = 3

4. Решить 2a — 3 / b = 12 и 5a — 7 / b = 1

5. Решить систему уравнений x + 2y = 7 и 2x + 3y = 11

6. Решите систему уравнений 5x — 3y = 1 и 2x + y = -4

7. Решите 2x — 3y = 1 и 3x — 4y = 1

8 Решите систему уравнений 3x — 5y = -23 и 5x + 3y = 7

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Решение систем уравнений методом подстановки

Подстановка — самый элементарный из всех методов решения систем уравнений.Метод замещения, как указывает метод, предполагает замену чего-либо в
уравнения, чтобы упростить их решение. Итак, что мы заменим? Мы выражаем
одна из переменных через другую, пока у нас не будет только одно уравнение с
только одна переменная. Затем мы решаем эту переменную, и после того, как мы получим ее значение,
мы выполняем то, что называется Back Substitution , чтобы найти другой недостающий
переменная (и).

Решение уравнений с двумя переменными методом подстановки

Давайте рассмотрим несколько реальных примеров, чтобы лучше понять, как решить уравнения с двумя переменными.
с использованием метода подстановки.

Пример 1

Решите следующую систему уравнений

Шаг 1

Всегда лучше помечать свои уравнения, чтобы знать, какое уравнение вы
работать с.Поскольку у нас есть два уравнения, обозначим их как 1 и 2.

Шаг 2

Первым шагом в фактическом решении системы уравнений с использованием подстановки является
чтобы выразить одну переменную через другую.

Воспользуемся уравнением (1) и выразим y через x в уравнении (1):

также можно записать как

Шаг 3

Теперь у нас есть y в единицах x , и мы можем заменить y в
уравнение (2)

становится

Шаг 4

Итак, теперь у нас есть только уравнение с одной переменной, которое мы можем решить, используя методы
мы узнали в разделе о
решение уравнений с одной переменной.

Шаг 5

Теперь, когда у нас есть значение x , мы можем подставить его в уравнение, которое
у нас есть y , и это то, что мы называем обратной заменой .

заменяет x

следовательно,

Шаг 6

Итак, теперь мы решили для x как 2 и y как 0.Следовательно, наша координата
точка (2,0) . Мы можем доказать, что эти
являются истинными значениями x и y , подставив их обратно в
исходная система уравнений.

заменяя x и y

Это доказывает, что полученные нами значения являются правильными значениями x и
y .

Теперь, когда у нас есть решение, что оно означает? Глядя на график, мы видим
что при значении (2,0) оба наших исходных уравнения пересекаются в этой точке.

Пример 2

Решите следующую систему уравнений путем замены

Шаг 1

Как и в предыдущем примере, всегда полезно обозначать уравнения, чтобы
знайте, с кем вы работаете.

Шаг 2

Затем мы выражаем одну переменную через другую. Выбираем какую переменную
выразить через другое, исследуя систему уравнений и угадывая
с каким из двух уравнений легче работать, а с какой переменной сложнее
манипулировать.

В приведенном выше примере давайте поработаем с уравнением (2) и выразим x через
y

становится

Шаг 3

Следующим шагом является замена вышеуказанного в уравнение (1), чтобы получить одно
уравнение только с одной переменной, y .

совпадает с

Шаг 4

И затем мы можем заменить 2 в приведенном выше уравнении как:

что становится

следовательно,

Шаг 5

Затем мы выполняем обратную замену, чтобы найти значение x .Подменяем
полученное нами значение для y в уравнение для x

становится

следовательно,

Решение системы уравнений: x = 3 и y = -1.Вы можете это доказать
подставляя эти значения в исходную систему уравнений.

Давайте изобразим уравнения, чтобы увидеть, действительно ли точка пересечения равна (3, -1) .

Решение уравнений с тремя переменными методом подстановки

Подобно решению уравнений с двумя переменными, при решении для трех переменных мы
выразить одну переменную через другую и подставлять до тех пор, пока мы не получим одну
уравнение только с одной переменной.Окончательное уравнение имеет тенденцию быть довольно большим и
порой усложняющий метод подстановки не очень идеальный метод решения
системы уравнений с тремя переменными. Однако простота метода подстановки затмевает
все сложности и делает этот метод очень фундаментальным методом решения
системы уравнений.

Давайте попробуем несколько примеров, чтобы увидеть, как на самом деле работает этот метод.

Пример 3

Решите следующую систему уравнений

Шаг 1

Давайте еще раз начнем с обозначения наших уравнений

Шаг 2

Затем мы проверяем систему уравнений, чтобы выбрать желаемую переменную, которую мы должны выразить
с точки зрения другого.Поскольку у нас есть три системы уравнений, нам нужно заменить
дважды, поэтому нам нужно выбрать два уравнения для работы.

Выберем уравнения (2) и (3)

Шаг 3

Возьмите уравнение (3) и выразите y через x и z

.

становится

Шаг 4

Затем мы подставляем y в уравнение (2)

становится

что упрощается до

Шаг 5

Затем мы выражаем x через z

.

Шаг 6

Теперь у нас есть решения для x и y , и у нас все еще есть один нетронутый
уравнение.Подставляем вместо x и y в уравнение (1), чтобы получить
уравнение только с одной переменной z

Первая замена на y

что упрощается следующим образом:

Шаг 7

Далее заменяем на x

что оставляет уравнение только в виде z , которое мы затем упрощаем, чтобы решить
для z

Шаг 8

Теперь, когда мы получили значение для z , мы выполняем обратную замену, чтобы найти
х

подставив z = 0

Шаг 9

Еще раз выполняем обратную подстановку, чтобы найти значение y .Мы используем значения, полученные для x и z , и подставляем их в
уравнение для y :

Решение системы уравнений: x = -2 , y = 4 , z = 0 .В
трех измерений, это будет означать, что (-2,4,0) является точкой пересечения всех трех
линий.

Пример 4:

Решите относительно переменных в следующей системе уравнений

Шаг 1

Сначала мы помечаем уравнения:

Шаг 2

Затем мы проверяем систему и выбираем, с какими уравнениями мы хотим работать, в каких
заказывать.

Начнем с уравнения (1), а затем перейдем к уравнению (2) и, наконец, к уравнению (3).

Шаг 3

Выразите x через y и z

Шаг 4

Затем вы заменяете x в уравнении (2)

что упрощается до:

Затем мы берем указанное выше уравнение и выражаем z через y

.

Шаг 5

Затем мы подставляем x и z в уравнение (3), чтобы получить одну переменную
уравнение.

Сначала мы заменяем x и упрощаем

Шаг 6

Далее заменяем на z

что упрощается до

Шаг 7

Из чего мы можем решить относительно и следующим образом:

Шаг 8

Используя это значение y = 3 , мы выполняем две обратные подстановки, чтобы получить значения
из x и z .

Сначала мы решаем для z :

Шаг 10

Наконец, мы решаем x:

Следовательно, решение системы уравнений выше: x, y, z = 0.5,3,2,5

Решение систем уравнений подстановкой

Решение линейной системы двух переменных с помощью построения графиков хорошо работает, когда решение состоит из целочисленных значений, но если наше решение содержит десятичные дроби или дроби, это не самый точный метод. Мы рассмотрим еще два метода решения системы линейных уравнений , которые более точны, чем построение графиков. Одним из таких методов является решение системы уравнений методом подстановки , в котором мы решаем одно из уравнений для одной переменной, а затем подставляем результат во второе уравнение, чтобы найти вторую переменную.Напомним, что мы можем решать только одну переменную за раз, поэтому метод подстановки является одновременно ценным и практичным.

Как: дана система двух уравнений с двумя переменными, решите ее с помощью метода подстановки.

1. Решите одно из двух уравнений относительно одной из переменных через другую.
2. Подставьте выражение для этой переменной во второе уравнение, затем решите для оставшейся переменной.
3. Подставьте это решение в любое из исходных уравнений, чтобы найти значение первой переменной.Если возможно, запишите решение в виде упорядоченной пары.
4. Проверьте решение в обоих уравнениях.

Пример 3: Решение системы уравнений с двумя переменными подстановкой

Решите следующую систему уравнений путем подстановки.

[латекс] \ begin {массив} {l} \ text {} -x + y = -5 \ hfill \\ \ text {} 2x — 5y = 1 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Решение

Сначала мы решим первое уравнение для [латекс] y [/ латекс].

[латекс] \ begin {массив} {l} -x + y = -5 \ hfill \\ \ text {} y = x — 5 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Теперь мы можем заменить выражение [latex] x — 5 [/ latex] на [latex] y [/ latex] во втором уравнении.

[латекс] \ begin {array} {l} \ text {} 2x — 5y = 1 \ hfill \\ 2x — 5 \ left (x — 5 \ right) = 1 \ hfill \\ \ text {} 2x — 5x + 25 = 1 \ hfill \\ \ text {} -3x = -24 \ hfill \\ \ text {} x = 8 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Теперь мы подставляем [latex] x = 8 [/ latex] в первое уравнение и решаем относительно [latex] y [/ latex].

[латекс] \ begin {array} {l} — \ left (8 \ right) + y = -5 \ hfill \\ \ text {} y = 3 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Наше решение — [латекс] \ left (8,3 \ right) [/ latex].

Проверьте решение, подставив [latex] \ left (8,3 \ right) [/ latex] в оба уравнения.

[латекс] \ begin {array} {llll} -x + y = -5 \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill \\ — \ left (8 \ right) + \ left (3 \ right) = — 5 \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ text {True} \ hfill \\ 2x — 5y = 1 \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill \\ 2 \ left (8 \ right) -5 \ left ( 3 \ right) = 1 \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ text {True} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Попробовать 3

Решите следующую систему уравнений путем подстановки.

[латекс] \ begin {array} {l} x = y + 3 \ hfill \\ 4 = 3x — 2y \ hfill \ end {array} [/ latex]

Вопросы и ответы

Можно ли методом подстановки решить любую линейную систему с двумя переменными?

Да, но этот метод работает лучше всего, если одно из уравнений содержит коэффициент 1 или –1, чтобы нам не приходилось иметь дело с дробями.

Метод подстановки — Бесплатная справка по математике

Решение системы линейных уравнений: (урок 1 из 5)

Метод замещения

Метод замены наиболее полезен для систем из двух уравнений с двумя неизвестными.
Основная идея здесь в том, что мы решаем одно из уравнений для одного из
неизвестных, а затем подставьте результат в другое уравнение.

Метод замещения можно применить в четыре этапа

Шаг 1:

Решите одно из уравнений относительно x = или y = .

Шаг 2:

Подставьте решение из шага 1 в другое уравнение.

Шаг 3:

Решите это новое уравнение.

Шаг 4:

Найдите вторую переменную.

Пример 1: Решите следующую систему заменой

$$
\ begin {выровнено}
2х + 3у & = 5 \\
х + у & = 5
\ end {выровнен}
$$

Решение:

Шаг 1: Решите одно из уравнений для x = или y = .Мы решим
второе уравнение для y.

$$
\ begin {выровнено}
х + у & = 5 \\
\ color {blue} {y} & \ color {blue} {=} \ color {blue} {5 — x}
\ end {выровнен}
$$

Шаг 2: Подставьте решение из шага 1 во второе уравнение.

$$
\ begin {выровнено}
2x + 3 \ color {синий} {y} & = 5 \\
2x + 3 \ color {blue} {(5 — x)} & \ color {blue} {=} \ color {blue} {5}
\ end {выровнен}
$$

Шаг 3: Решите это новое уравнение.

$$
\ begin {выровнено}
2х + 3 (5 — х) & = 5 \\
2x + 15 — 3x & = 5 \\
— х + 15 & = 5 \\
— х & = 5-15 \\
\ color {красный} {x} & \ color {красный} {=} \ color {красный} {10}
\ end {выровнен}
$$

Шаг 4: Найдите вторую переменную

$$
\ begin {выровнено}
y & = 5 — \ color {красный} {x} \\
y & = 5 — \ color {красный} {10} \\
y & = — 5
\ end {выровнен}
$$

Решение: (x, y) = (10, -5)

Примечание: не имеет значения, какое уравнение мы выберем.
первый, а какой второй.Просто сначала выберите наиболее удобный!

Пример 2: Решить заменой

$$
\ begin {выровнено}
2х + 5у & = 12 \\
4x — y & = 2
\ end {выровнен}
$$

Решение:

Шаг 1. Решите одно из уравнений относительно x = или y =.
Поскольку коэффициент при y в уравнении 2 равен -1, проще всего решить относительно y в уравнении 2.

$$
\ begin {выровнено}
4х — у & = 2 \\
— у & = 2 — 4х \\
\ color {blue} {y} & \ color {blue} {=} \ color {blue} {4x — 2}
\ end {выровнен}
$$

Шаг 2: Подставьте решение из шага 1 во второе уравнение.

$$
\ begin {выровнено}
2x + 5 \ color {синий} {y} & = 12 \\
2x + 5 \ color {синий} {(4x — 2)} & = 12 \\
\ end {выровнен}
$$

Шаг 3: Решите это новое уравнение (для x).

$$
\ begin {выровнено}
2x + 5 \ color {синий} {(4x — 2)} & = 12 \\
2х + 2х + 20х — 10 & = 12 \\
22x & = 22 \\
\ color {красный} {x} & \ color {красный} {=} \ color {красный} {1}

\ end {выровнен}
$$

Шаг 4: Найдите вторую переменную

$$
\ begin {выровнено}
y & = 4 \ color {красный} {x} — 2 \\
y & = 4 \ cdot \ color {красный} {x} — 2 \\
y & = 2
\ end {выровнен}
$$

Решение: $ (x, y) = (1, 2) $

Упражнение: Решите следующие системы заменой

Метод подстановки (системы линейных уравнений)

Когда два уравнения прямой пересекаются в одной точке, мы говорим, что у нее есть единственное решение, которое можно описать как точку \ color {red} \ left ({x, y} \ right) в XY -самолет .

Метод подстановки используется для решения систем линейных уравнений путем нахождения точных значений x и y, которые соответствуют точке пересечения.

Схема, показывающая две линии, пересекающиеся в точке

На схеме ниже показаны две произвольные линии, показывающие, где они пересекаются, как описано упорядоченной парой \ left ({x, y} \ right). В этом уроке нас интересует решение этой общей точки вручную.

Примеры решения систем уравнений методом подстановки

Пример 1: Используйте метод подстановки, чтобы решить систему линейных уравнений ниже.

Идея состоит в том, чтобы выбрать одно из двух заданных уравнений и решить для любой из переменных, x или y. Результат нашего первого шага будет подставлен в другое уравнение. Результатом будет одно уравнение с одной переменной, которое можно решить как обычно.

Это полностью зависит от того, с каким уравнением, по вашему мнению, будет намного легче справиться. Выбор за вами.

Обратите внимание, что верхнее уравнение содержит переменную x, которая является «единственной», то есть ее коэффициент равен +1.Не забывайте всегда искать эту характеристику («единственную» переменную), потому что это значительно облегчит вашу жизнь.

Теперь я начну с решения верхнего уравнения для x.

Поскольку я знаю, что x равно y, я могу вставить это выражение в другое уравнение. На этом я решу уравнение с одной переменной.

Надеюсь, вы получите такое же значение y = — \, 5. Теперь, когда я знаю точное значение y, я решу для другой переменной (в данном случае x), вычислив ее значение в любом из двух исходных уравнений.Неважно, какое исходное уравнение вы выберете, потому что оно в конечном итоге даст тот же ответ.

Однако я должен сказать, что «лучший» способ решения для x — это использовать пересмотренное уравнение, которое я ранее решил, поскольку у меня есть «x = some y». Верно?

Здесь я получаю x = 1. В точечной нотации окончательный ответ можно записать как \ left ({1, — \, 5} \ right). Помните, это точка пересечения двух линий.

Всегда полезно проверять эти значения в исходных уравнениях, чтобы проверить, действительно ли они являются правильными ответами.Я предлагаю вам постоянно их проверять.

Графически решение выглядит так.

Пример 2: Используйте метод подстановки для решения системы линейных уравнений.

Очевидный выбор здесь — выбрать нижнее уравнение, потому что переменная y имеет положительный коэффициент \ left ({+ 1} \ right). Теперь я могу легко найти y через x. Для начала я вычту обе стороны в 3 раза.

После решения для y из нижнего уравнения, теперь я перехожу к верхнему уравнению и заменяю выражение для y через x.Результатом будет многоступенчатое уравнение с одной переменной.

Решите это уравнение, сначала упростив скобки. После этого объедините одинаковые термины с обеих сторон и изолируйте переменную слева. Ваше решение должно быть похоже на приведенное ниже.

Если вы правильно решили для x, вы также должны прийти к значению x = 3.

Так как пересмотренное нижнее уравнение уже написано в той форме, которая мне нравится, я буду использовать его, чтобы найти точное значение y.

С полученным значением y = 1 теперь я могу записать окончательный ответ в виде упорядоченной пары \ left ({3,1} \ right).

Как я упоминал ранее, всегда проверяйте окончательные ответы самостоятельно, чтобы убедиться, что они проверяются с использованием исходных формул.

На графике решением является точка пересечения двух заданных линий.

Пример 3: Используйте метод подстановки для решения системы уравнений.

Это отличный пример, потому что у меня есть два подхода к проблеме. Обе переменные x и y имеют положительные единицы \ left ({+ 1} \ right) в качестве своих коэффициентов.Это означает, что я могу пойти любым путем.

В этом примере я решу для y. Я легко могу сделать это, вычтя обе стороны на x и переставив.

Затем я запишу другое уравнение и заменю его y на y = — x + 3.

После решения вышеприведенного многоступенчатого уравнения я получаю x = 5. Теперь я перехожу к преобразованной версии верхнего уравнения, чтобы решить относительно y.

Здесь y = — \, 2. Окончательный ответ: \ left ({x, y} \ right) = \ left ({5, — \, 2} \ right).

Действительно, две прямые пересекаются в рассчитанной нами точке!

Пример 4: Используйте метод подстановки для решения системы уравнений.

Мне эта задача интересна, потому что я не могу найти ситуацию, когда переменная «одна». Опять же, наше определение «одиночества» — это коэффициент +1. Помнить?

И верхнее, и нижнее уравнения здесь содержат переменную с отрицательным символом. Я предлагаю, чтобы всякий раз, когда вы видите что-то подобное, измените этот отрицательный символ на \ textbf {- 1}.Я помещаю синюю стрелку рядом с ним для акцента (см. Ниже).

Отсюда я могу перейти к решению относительно y, используя верхнее уравнение, или для x, используя нижнее уравнение. В этом упражнении я буду работать с нижним уравнением.

Обратите внимание, что для определения x я разделил все уравнение на — 1. Вы можете видеть здесь, что вид уравнения резко изменился.

Надеюсь, у вас тоже y = — \, 4. В противном случае проверьте и перепроверьте свои шаги при решении многоступенчатого уравнения.

Затем используйте это значение y и подставьте его в преобразованную версию нижнего уравнения, чтобы найти x.

Итак, я получаю x = — \, 2. Окончательный ответ в упорядоченной паре: \ left ({x, y} \ right) = \ left ({- \, 2, — \, 4} \ right).

График согласуется с нами в том, где пересекаются две линии. Большой!

Пример 5: Используйте метод подстановки для решения системы линейных уравнений.

Первое, что я здесь заметил, это то, что нет случая, когда коэффициент переменной равен +1 или -1.Некоторых это может сбить с толку.

В этой задаче можно выделить y в верхнем уравнении и сделать то же самое для x в нижнем уравнении. Поработайте с нуля, и это должно иметь больше смысла.

Вы поймете, что либо x, либо y могут быть легко решены, потому что в процессе не генерируются дроби. В этом упражнении я выбираю главное уравнение, которое нужно решить относительно y.

Как и ожидалось, решение для y вышло хорошо. Теперь я буду использовать это значение для y и подставить его в y нижнего уравнения.Затем я продолжу решение полученного уравнения как обычно.

Если вы все сделали правильно, ваш ответ должен быть x = 2. Подставьте это значение x в исправленную версию верхнего уравнения, чтобы найти точное значение y.

Здесь y = — \, 5. Таким образом, наш окончательный ответ — упорядоченная пара \ left ({2, — \, 5} \ right).

График подтверждает наши рассчитанные значения для x и y.

Возможно, вас заинтересует:

Метод исключения (системы уравнений)

Решение систем нелинейных уравнений

Практика с рабочими листами

Решение линейных систем заменой

Метод замещения

В этом разделе мы определим полностью алгебраический метод решения систем.Идея состоит в том, чтобы решить одно уравнение относительно одной из переменных и подставить результат в другое уравнение. После выполнения этого шага замены у нас останется одно уравнение с одной переменной, которое можно решить с помощью алгебры. Это называется методом подстановки. Средство решения линейной системы путем решения для одной из переменных и подстановки результата в другое уравнение., И шаги описаны в следующем примере.

Пример 1: Решить заменой: {2x + y = 73x − 2y = −7.

Решение:

Шаг 1: Решите для любой переменной в любом уравнении. Если вы выберете первое уравнение, вы можете выделить и за один шаг.

Шаг 2: Подставьте выражение −2x + 7 для переменной y в другое уравнение .

Это оставляет вам эквивалентное уравнение с одной переменной, которое можно решить, используя методы, изученные до этого момента.

Шаг 3: Найдите оставшуюся переменную. Чтобы найти x , сначала распределите −2:

Шаг 4: Обратная подстановка Как только значение найдено для переменной, подставьте его обратно в одно из исходных уравнений или их эквивалентных уравнений, чтобы определить соответствующее значение другой переменной. чтобы найти значение другой координаты. Подставьте x = 1 в исходные уравнения или их эквиваленты.Обычно мы используем эквивалентное уравнение, которое мы нашли при выделении переменной на шаге 1.

Решение системы: (1, 5). Обязательно представляйте решение в виде заказанной пары.

Шаг 5: Проверка. Убедитесь, что эти координаты решают оба уравнения исходной системы:

График этой линейной системы следующий:

Метод подстановки для решения систем является полностью алгебраическим методом.Таким образом, графическое отображение линий не требуется.

Ответ: (1, 5)

Пример 2: Решить заменой: {2x − y = 12x − y = 3.

Решение: В этом примере мы видим, что x имеет коэффициент 1 во втором уравнении. Это означает, что его можно изолировать за один этап следующим образом:

Замените 3 + y на x в первом уравнении. Используйте круглые скобки и позаботьтесь о распространении.

Используйте x = 3 + y, чтобы найти x .

Ответ: (9, 6). Чек предоставляется читателю.

Пример 3: Решить заменой: {3x − 5y = 17x = −1.

Решение: В этом примере переменная x уже изолирована. Следовательно, мы можем подставить x = −1 в первое уравнение.

Ответ: (−1, −4).Построение графика этой конкретной системы — хорошее упражнение для сравнения метода подстановки с методом построения графиков для решения систем.

Попробуй! Решить заменой: {3x + y = 48x + 2y = 10.

Ответ: (1, 1)

Алгебраическое решение систем часто требует работы с дробями.

Пример 4: Решить заменой: {2x + 8y = 524x − 4y = −15.

Решение: Начните с решения относительно x в первом уравнении.

Затем подставляем во второе уравнение и решаем относительно y .

Обратная подстановка в уравнение, использованное на этапе замены:

Ответ: (−1/2, 3/4)

Как известно, не все линейные системы имеют только одно упорядоченное парное решение. Напомним, что некоторые системы имеют бесконечно много упорядоченных парных решений, а некоторые не имеют решений.Затем мы исследуем, что происходит при использовании метода подстановки для решения зависимой системы.

Пример 5: Решить заменой: {−5x + y = −110x − 2y = 2.

Решение: Поскольку в первом уравнении есть член с коэффициентом 1, мы решаем сначала для этого уравнения.

Затем замените это выражение на y во втором уравнении.

Этот процесс привел к истинному утверждению; следовательно, уравнение является тождественным, и любое действительное число является решением.Это указывает на то, что система зависима. Одновременные решения принимают форму ( x , mx + b ) или, в данном случае, ( x , 5 x — 1), где x — любое действительное число.

Ответ: (x, 5x − 1)

Чтобы лучше понять предыдущий пример, перепишите оба уравнения в форме пересечения наклона и изобразите их на одном и том же наборе осей.

Мы видим, что оба уравнения представляют одну и ту же линию, и, следовательно, система является зависимой.Теперь рассмотрим, что происходит при решении противоречивой системы с помощью метода подстановки.

Пример 6: Решить заменой: {−7x + 3y = 314x − 6y = −16.

Решение: Решите относительно и в первом уравнении.

Подставляем во второе уравнение и решаем.

Решение приводит к ложному утверждению. Это указывает на противоречие между уравнением.Нет решения для x и, следовательно, нет решения для системы.

Ответ: Нет решения, Ø

Ложное утверждение указывает на то, что система несовместима, или, говоря геометрическими терминами, что линии параллельны и не пересекаются. Чтобы проиллюстрировать это, определите форму пересечения наклона каждой линии и изобразите их на одном и том же наборе осей.

В форме пересечения наклона легко увидеть, что две линии имеют одинаковый наклон, но разные точки пересечения y .

Попробуй! Решить с помощью замены: {2x − 5y = 34x − 10y = 6.

Ответ: (x, 25x − 35)

Основные выводы

• Метод подстановки — это полностью алгебраический метод решения системы уравнений.
• Метод подстановки требует, чтобы мы решили одну из переменных, а затем подставили результат в другое уравнение. После выполнения шага подстановки результирующее уравнение имеет одну переменную и может быть решено с использованием методов, изученных до этого момента.
• Когда значение одной из переменных определено, вернитесь и подставьте его в одно из исходных уравнений или их эквивалентных уравнений, чтобы определить соответствующее значение другой переменной.
• Решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными, если они существуют, представляют собой упорядоченные пары ( x , y ).
• Если процесс решения системы уравнений приводит к ложному утверждению, то система несовместима и решения нет, Ø.
• Если процесс решения системы уравнений приводит к истинному утверждению, то система является зависимой и существует бесконечно много решений, которые можно выразить в форме ( x , mx + b ).

Тематические упражнения

Часть A: Метод замещения

Решить заменой.

1. {y = 4x − 1−3x + y = 1

2.{y = 3x − 84x − y = 2

3. {x = 2y − 3x + 3y = −8

4. {x = −4y + 12x + 3y = 12

5. {y = 3x − 5x + 2y = 2

6. {y = x2x + 3y = 10

7. {y = 4x + 1−4x + y = 2

8. {y = −3x + 53x + y = 5

9. {y = 2x + 32x − y = −3

10. {y = 5x − 1x − 2y = 5

11. {y = −7x + 13x − y = 4

12. {x = 6y + 25x − 2y = 0

13. {y = −2−2x − y = −6

14.{x = −3x − 4y = −3

15. {y = −15x + 37x − 5y = 9

16. {y = 23x − 16x − 9y = 0

17. {y = 12x + 13x − 6y = 4

18. {y = −38x + 122x + 4y = 1

19. {x + y = 62x + 3y = 16

20. {x − y = 3−2x + 3y = −2

21. {2x + y = 23x − 2y = 17

22. {x − 3y = −113x + 5y = −5

23. {x + 2y = −33x − 4y = −2

24. {5x − y = 129x − y = 10

25.{x + 2y = −6−4x − 8y = 24

26. {x + 3y = −6−2x − 6y = −12

27. {−3x + y = −46x − 2y = −2

28. {x − 5y = −102x − 10y = −20

29. {3x − y = 94x + 3y = −1

30. {2x − y = 54x + 2y = −2

31. {−x + 4y = 02x − 5y = −6

32. {3y − x = 55x + 2y = −8

33. {2x − 5y = 14x + 10y = 2

34. {3x − 7y = −36x + 14y = 0

35. {10x − y = 3−5x + 12y = 1

36.{−13x + 16y = 2312x − 13y = −32

37. {13x + 23y = 114x − 13y = −112

38. {17x − y = 1214x + 12y = 2

39. {−35x + 25y = 1213x − 112y = −13

40. {12x = 23yx − 23y = 2

41. {−12x + 12y = 5814x + 12y = 14

42. {x − y = 0 − x + 2y = 3

43. {y = 3x2x − 3y = 0

44. {2x + 3y = 18−6x + 3y = −6

45. {−3x + 4y = 202x + 8y = 8

46. {5x − 3y = −13x + 2y = 7

47.{−3x + 7y = 22x + 7y = 1

48. {y = 3y = −3

49. {x = 5x = −2

50. {y = 4y = 4

Создайте линейную систему и решите ее с помощью метода подстановки.

51. Сумма двух чисел равна 19. Чем больше число, тем на 1 меньше, чем в три раза меньшее.

52. Сумма двух чисел равна 15. Чем больше 3, тем меньше в два раза.

53. Разница двух чисел равна 7, а их сумма равна 1.

54. Разница двух чисел равна 3, а их сумма равна −7.

55. Где на графике −5x + 3y = 30 координата x равна координате y ?

56. Где на графике 12x − 13y = 1 координата x равна координате y ?

Часть B: Темы дискуссионной доски

57. Опишите, что движет выбором переменной для решения в начале процесса решения с помощью подстановки.

58. Обсудите достоинства и недостатки метода замены.

ответов

1: (2, 7)

3: (−5, −1)

5: (2, 6)

7:

9: (x, 2x + 3)

11: (1/2, −5/2)

13: (4, −2)

15: (3, 12/5)

17: (−3, −7/6)

19: (2, 4)

21: (3, −4)

23: (−8/5, −7/10)

25: (х, −12x − 3)

27:

29: (2, −3)

31: (−8, −2)

33: (1/2, 0)

35:

37: (1, 1)

39: (−11/10, −2/5)

41: (-1/2, 3/4)

43: (0, 0)

45: (−4, 2)

47: (-1/5, 1/5)

49:

51: два числа — 5 и 14.

53: два числа — 4 и −3.

55: (−15, −15)

Решите системы уравнений подстановкой — элементарная алгебра

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Решите систему уравнений путем подстановки
• Решите приложения систем уравнений подстановкой

Решение систем линейных уравнений с помощью графиков — хороший способ визуализировать типы решений, которые могут возникнуть.Однако во многих случаях решение системы с помощью построения графиков неудобно или неточно. Если графики выходят за пределы небольшой сетки с x и y , оба между -10 и 10, построение линий может быть громоздким. И если решения системы не являются целыми числами, может быть трудно точно прочитать их значения с графика.

В этом разделе мы будем решать системы линейных уравнений методом подстановки.

Решите систему уравнений подстановкой

Мы будем использовать ту же систему, которую мы использовали вначале для построения графиков.

Сначала мы решим одно из уравнений для x или y . Мы можем выбрать любое уравнение и решить любую переменную, но мы постараемся сделать выбор, который упростит работу.

Затем мы подставляем это выражение в другое уравнение. В результате получается уравнение с одной переменной — и мы знаем, как его решить!

После того, как мы найдем значение одной переменной, мы подставим это значение в одно из исходных уравнений и решим для другой переменной.Наконец, мы проверяем наше решение и убеждаемся, что оно соответствует обоим уравнениям.

Теперь мы выполним все эти шаги (рисунок).

Как решить систему уравнений подстановкой

Решите систему заменой.

Решите систему заменой.

Решите систему заменой.

Решите систему уравнений путем подстановки.

1. Решите одно из уравнений для любой переменной.
2. Подставьте выражение из шага 1 в другое уравнение.
3. Решите полученное уравнение.
4. Подставьте решение шага 3 в одно из исходных уравнений, чтобы найти другую переменную.
5. Запишите решение в виде упорядоченной пары.
6. Убедитесь, что упорядоченная пара является решением обоих исходных уравнений .

Если одно из уравнений в системе задано в форме углового пересечения, шаг 1 уже выполнен! Мы увидим это на (Рисунок).

Решите систему заменой.

Решение

Второе уравнение уже решено для y . Мы заменим выражение на в первом уравнении.

Решите систему заменой.

Решите систему заменой.

Если уравнения представлены в стандартной форме, нам нужно будет начать с решения для одной из переменных.В следующем примере мы решим первое уравнение относительно y .

Решите систему заменой.

Решение

Нам нужно решить одно уравнение для одной переменной. Затем мы подставим это выражение в другое уравнение.

Решите систему заменой.

Решите систему заменой.

На (рис.) Проще всего было решить и в первом уравнении, потому что оно имело коэффициент 1.На (Рис.) Будет легче найти x .

Решите систему заменой.

Решение

Мы решим первое уравнение для, а затем подставим выражение во второе уравнение.

Решите систему заменой.

Решите систему заменой.

Когда оба уравнения уже решены для одной и той же переменной, их легко заменить!

Решите систему заменой.

Решение

Поскольку оба уравнения решаются относительно y , мы можем подставить одно в другое.

Решите систему заменой.

Решите систему заменой.

Будьте очень осторожны со знаками в следующем примере.

Решите систему заменой.

Решение

Нам нужно решить одно уравнение для одной переменной. Решим первое уравнение относительно y .

Решите систему заменой.

Решите систему заменой.

На (Рисунок) потребуется немного больше работы, чтобы решить одно уравнение для x или y .

Решите систему заменой.

Решение

Нам нужно решить одно уравнение для одной переменной. Решим первое уравнение относительно x .

Поскольку 0 = 0 — истинное утверждение, система непротиворечива.Уравнения зависимы. Графики этих двух уравнений дадут одну и ту же линию. У системы бесконечно много решений.

Решите систему заменой.

бесконечно много решений

Решите систему заменой.

бесконечно много решений

Вернитесь к уравнениям на (Рисунок). Есть ли способ узнать, что это одна линия?

Давайте посмотрим, что происходит в следующем примере.

Решите систему заменой.

Решение

Второе уравнение уже решено относительно y , поэтому мы можем заменить y в первом уравнении.

Поскольку 0 = −10 — ложное утверждение, уравнения несовместимы. Графики двух уравнений будут параллельными линиями. В системе нет решений.

Решите систему заменой.

Решите систему заменой.

Решите приложения систем уравнений подстановкой

Мы скопируем сюда стратегию решения проблем, которую мы использовали в разделе «Решение систем уравнений с помощью графического представления» для решения систем уравнений.Теперь, когда мы знаем, как решать системы с помощью подстановки, это то, что мы сделаем на шаге 5.

Как использовать стратегию решения задач для систем линейных уравнений.

1. Прочтите проблему. Убедитесь, что все слова и идеи понятны.
2. Определите , что мы ищем.
3. Имя то, что мы ищем. Выберите переменные для представления этих величин.
4. Переведите в систему уравнений.
5. Решите систему уравнений, используя хорошие методы алгебры.
6. Отметьте ответ в проблеме и убедитесь, что он имеет смысл.
7. Ответьте на вопрос полным предложением.

Некоторым людям проще создать текстовые задачи с двумя переменными, чем с одной переменной. Выбирать имена переменных проще, когда все, что вам нужно сделать, это написать две буквы. Подумайте об этом в следующем примере — как бы вы сделали это с помощью только одной переменной?

Сумма двух чисел равна нулю.Одно число на девять меньше другого. Найдите числа.

Сумма двух чисел равна 10. Одно число на 4 меньше другого. Найдите числа.

Сумма двух чисел равна −6. Одно число на 10 меньше другого. Найдите числа.

Цифры 2 и −8.

В (Рисунок) мы будем использовать формулу для периметра прямоугольника: P = 2 L + 2 W .

Периметр прямоугольника 88.Длина в пять раз больше ширины в два раза. Найдите длину и ширину.

Периметр прямоугольника равен 40. Длина на 4 раза больше ширины. Найдите длину и ширину прямоугольника.

Длина 12, ширина 8.

Периметр прямоугольника равен 58. Его длина в 5 раз больше ширины. Найдите длину и ширину прямоугольника.

Длина 23, ширина 6.

Для (Рисунок) нам нужно помнить, что сумма углов треугольника равна 180 градусам, а у прямоугольного треугольника один угол 90 градусов.

Размер одного из малых углов прямоугольного треугольника в десять раз больше, чем в три раза больше другого малого угла. Найдите размеры обоих углов.

Решение

Нарисуем и обозначим фигуру.

Размер одного из малых углов прямоугольного треугольника в 2 раза больше, чем в 3 раза больше другого малого угла. Найдите размер обоих углов.

Углы 22 и 68 градусов.

Размер одного из малых углов прямоугольного треугольника на 18 меньше, чем удвоение размера другого малого угла. Найдите размер обоих углов.

Углы 36 и 54 градуса.

Хизер предложили два варианта заработной платы тренера в спортзале. Вариант А платит ей 25 000 фунтов стерлингов плюс 15 фунтов стерлингов за каждую тренировку. Вариант Б платит ей 10 000 + 40 фунтов за каждую тренировку. Сколько тренировок уравняло бы варианты заработной платы?

Джеральдин предложили вакансии в двух страховых компаниях.Первая компания платит заработную плату в размере 12 000 фунтов стерлингов плюс комиссию в размере 100 фунтов стерлингов за каждый проданный полис. Второй платит зарплату в размере 20 000 фунтов стерлингов плюс комиссию в размере 50 фунтов стерлингов за каждый проданный полис. Сколько полисов необходимо продать, чтобы общая сумма выплат была такой же?

Потребуется продать 160 полисов, чтобы общая сумма выплат была такой же.

Кеннет в настоящее время продает костюмы для компании А с зарплатой 22 000 фунтов стерлингов плюс комиссионные в размере 10 фунтов стерлингов за каждый проданный костюм. Компания B предлагает ему должность с окладом в размере 28 000 фунтов стерлингов плюс комиссия в размере 4 фунтов стерлингов за каждый проданный костюм.Сколько костюмов нужно продать Кеннету, чтобы варианты были равны?

Кеннету нужно будет продать 1000 костюмов.

Ключевые понятия

• Решите систему уравнений путем подстановки
  1. Решите одно из уравнений для любой переменной.
  2. Подставьте выражение из шага 1 в другое уравнение.
  3. Решите полученное уравнение.
  4. Подставьте решение шага 3 в одно из исходных уравнений, чтобы найти другую переменную.
  5. Запишите решение в виде упорядоченной пары.
  6. Убедитесь, что упорядоченная пара является решением обоих исходных уравнений.

Практика ведет к совершенству

Решите систему уравнений подстановкой

В следующих упражнениях решите системы уравнений путем подстановки.

Бесконечно много решений

Бесконечно много решений

Решите приложения систем уравнений подстановкой

В следующих упражнениях переведите в систему уравнений и решите.

Сумма двух чисел равна 15. Одно число на 3 меньше другого. Найдите числа.

Сумма двух чисел равна 30. Одно число на 4 меньше другого. Найдите числа.

Сумма двух чисел равна −26. Одно число на 12 меньше другого. Найдите числа.

Числа −7 и −19.

Периметр прямоугольника равен 50. Длина на 5 больше ширины. Найдите длину и ширину.

Периметр прямоугольника равен 60.Длина на 10 больше ширины. Найдите длину и ширину.

Длина 20, ширина 10.

Периметр прямоугольника равен 58. Его длина в 5 раз больше ширины. Найдите длину и ширину.

Периметр прямоугольника равен 84. Длина в 10 раз больше ширины более чем в три раза. Найдите длину и ширину.

Длина 34, ширина 8.

Размер одного из малых углов прямоугольного треугольника в 14 раз больше, чем в 3 раза больше другого малого угла.Найдите размер обоих углов.

Размер одного из малых углов прямоугольного треугольника в 26 более чем в 3 раза превышает размер другого малого угла. Найдите размер обоих углов.

Размеры: 16 ° и 74 °.

Размер одного из малых углов прямоугольного треугольника на 15 меньше, чем удвоение другого малого угла. Найдите размер обоих углов.

Размер одного из малых углов прямоугольного треугольника на 45 меньше, чем удвоение размера другого малого угла.Найдите размер обоих углов.

Размеры 45 ° и 45 °.

Максиму предложили вакансии два автосалона. Первая компания платит зарплату в размере 10 000 фунтов стерлингов плюс комиссию в размере 1000 фунтов стерлингов за каждую проданную машину. Второй платит зарплату в размере 20 000 фунтов стерлингов плюс комиссию в размере 500 фунтов стерлингов за каждую проданную машину. Сколько автомобилей нужно продать, чтобы общая сумма была такой же?

Джеки предложили должности две кабельные компании. Первая компания платит зарплату в размере? 14 000 плюс комиссия в размере 100 евро за каждый проданный пакет кабеля.Второй платит зарплату в размере 20 000 фунтов стерлингов плюс комиссию в размере 25 фунтов стерлингов за каждый проданный пакет кабеля. Сколько пакетов кабеля нужно продать, чтобы общая сумма была такой же?

Необходимо продать 80 пакетов кабеля.

В настоящее время Амара продает телевизоры для компании А с зарплатой 17 000 фунтов стерлингов плюс комиссионные в размере 100 фунтов стерлингов за каждый проданный телевизор. Компания B предлагает ей должность с окладом 29 000 фунтов стерлингов плюс 20 фунтов стерлингов за каждый проданный телевизор. Какие телевизоры нужно будет продавать Amara, чтобы возможности были равными?

В настоящее время Митчелл продает печи компании А с зарплатой 12 000 фунтов стерлингов плюс 150 фунтов стерлингов за каждую проданную печь.Компания B предлагает ему должность с окладом в размере 24 000 фунтов стерлингов плюс комиссионные в размере 50 фунтов стерлингов за каждую проданную печь. Сколько печей нужно продать Митчеллу, чтобы варианты были равны?

Митчеллу потребуется продать 120 печей.

Повседневная математика

Когда Глория провела 15 минут на эллиптическом тренажере, а затем 30 минут выполняла круговые тренировки, ее фитнес-приложение показало, что она сожгла 435 калорий. Когда она потратила 30 минут на эллиптический тренажер и 40 минут на круговые тренировки, она сожгла 690 калорий.Решите систему, количество калорий, которые она сжигает за каждую минуту на эллиптическом тренажере, и количество калорий, которые она сжигает за каждую минуту круговой тренировки.

Письменные упражнения

Решите систему уравнений

ⓐ по графику.
ⓑ по замене.
ⓒ Какой метод вы предпочитаете? Почему?

Решите систему уравнений
путем подстановки и объясните все свои действия словами.

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

ⓑ Что вы сделаете, изучив этот контрольный список, чтобы стать уверенным в достижении всех целей?

.