Калькулятор онлайн — Решение иррациональных уравнений и неравенств

Введите иррациональное уравнение или неравенство

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.

Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

Решение иррациональных уравнений и неравенств

1. Иррациональные уравнения

Иррациональными называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в
дробную степень. Для таких уравнений ищут, как правило, только действительные корни.

Основной метод решения иррациональных уравнений — метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. При этом
следует иметь в виду, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечётную степень есть равносильное преобразование
уравнения, а в чётную — НЕравносильное. 4 =16 \end{array}\right. \)

Решив её, находим:
\( \left\{\begin{array}{l} u_1=0 \\ v_1 =2; \end{array}\right. \)
\( \left\{\begin{array}{l} u_2=2 \\ v_2 =0 \end{array}\right. \)

Таким образом, исходное уравнение свелось к следующей совокупности систем уравнений:
\( \left\{\begin{array}{l} \sqrt[\Large4\normalsize]{1-x} =0 \\ \sqrt[\Large4\normalsize]{15+x} =2; \end{array}\right. \)
\( \left\{\begin{array}{l} \sqrt[\Large4\normalsize]{1-x} =2 \\ \sqrt[\Large4\normalsize]{15+x} =0 \end{array}\right. \)

Решив эту совокупность, находим: \(x_1=1, \; x_2=-15 \)

Проверка. Проще всего проверить найденные корни непосредственной подстановкой в заданное уравнение. Проделав это,
убеждаемся, что оба значения являются корнями исходного уравнения.

Ответ: 1; -15.

ПРИМЕР 6.

\( \sqrt[\Large3\normalsize]{2x+1} + \sqrt[\Large3\normalsize]{6x+1} = \sqrt[\Large3\normalsize]{2x-1} \)

Возведём обе части уравнения в куб:

\( 2x+1 + 3\sqrt[\Large3\normalsize]{(2x+1)^2} \cdot \sqrt[\Large3\normalsize]{6x+1} +
3\sqrt[\Large3\normalsize]{2x+1} \cdot \sqrt[\Large3\normalsize]{(6x+1)^2} +6x+1 = 2x-1 \Rightarrow \)
\( 3\sqrt[\Large3\normalsize]{2x+1} \cdot \sqrt[\Large3\normalsize]{6x+1} \cdot
(3\sqrt[\Large3\normalsize]{2x+1} + \sqrt[\Large3\normalsize]{6x+1} ) = -6x-3 \)

Воспользовавшись исходным уравнением, заменим сумму
\( \sqrt[\Large3\normalsize]{2x+1} + \sqrt[\Large3\normalsize]{6x+1} \) на выражение \( \sqrt[\Large3\normalsize]{2x-1} \):

\( 3\sqrt[\Large3\normalsize]{2x+1} \cdot \sqrt[\Large3\normalsize]{6x+1} \cdot \sqrt[\Large3\normalsize]{2x-1} = -6x-3 \Rightarrow \)

\( 3\sqrt[\Large3\normalsize]{ (2x+1)(6x+1)(2x-1) } = -2x-1 \)

Возведём обе части в куб:

\( (2x+1)(6x+1)(2x-1) = -(2x+1)^3 \Rightarrow \)

\( (2x+1)((6x+1)(2x-1) + (2x+1)^2) =0 \Rightarrow \)

\( 16x^2(2x+1) =0 \Rightarrow \)

\( x_1= -0{,}5; \; x_2=0 \)

Проверка. 2+3x >4 \Rightarrow \)

\( (x+4)(x-1) >0 \Rightarrow \)

\( x1 \)

Ответ: \( x1 \).

Решение иррациональных уравнений онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Иррациональные уравнения бывают от простых до сложных — и всех их можно решить онлайн и с подробным решением с помощью калькулятора онлайн.

Итак:

Простые иррациональные уравнения

Будем считать, что простые уравнения будут содержат только одну часть иррациональности. Тогда рассмотрим пример:

2*x + sqrt(-x + 3)  = 3

Введём это уравнение в форму калькулятора

Тогда, вы получите подробное решение:

Дано уравнение

  _______          
\/ 3 - x  + 2*x = 3

  _______          
\/ 3 - x  = 3 - 2*x

Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень

Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус

Это уравнение вида

Квадратное уравнение можно решить

с помощью дискриминанта. 2 — 4 * (-4) * (-6) = 25

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или

Т.к.

  _______          
\/ 3 - x  = 3 - 2*x

и

то

или

Тогда, окончательный ответ:

Средние иррациональные уравнения

Средними же будем считать уравнения, которые содержат две иррациональные части в уравнении.

Например,

sqrt(4*x + 1)  + sqrt(3*x — 2)  = 2

надо ввести в форму в калькуляторе

Результат будет таким:

Дано уравнение

  _________     __________    
\/ 1 + 4*x  + \/ -2 + 3*x  = 2

Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень

                            2    
/  _________     __________\     
\\/ 1 + 4*x  + \/ -2 + 3*x /  = 4

или

 2                 _____________________    2              
1 *(3*x - 2) + 2*\/ (3*x - 2)*(4*x + 1)  + 1 *(4*x + 1) = 4

или

          __________________          
         /                2           
-1 + 2*\/  -2 - 5*x + 12*x   + 7*x = 4

преобразуем:

     __________________          
    /                2           
2*\/  -2 - 5*x + 12*x   = 5 - 7*x

Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень

                2            2
-8 - 20*x + 48*x  = (5 - 7*x) 

                2                   2
-8 - 20*x + 48*x  = 25 - 70*x + 49*x 

Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус

Это уравнение вида

Квадратное уравнение можно решить

с помощью дискриминанта. 2 — 4 * (-1) * (-33) = 2368

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или

Т.к.

   __________________          
  /                2    5   7*x
\/  -2 - 5*x + 12*x   = - - ---
                        2    2 

и

   __________________     
  /                2      
\/  -2 - 5*x + 12*x   >= 0

то

или

проверяем:

       __________     ___________    
-2 + \/ 1 + 4*x1  + \/ -2 + 3*x1  = 0

=

   _______________________      ________________________        
  /       /         ____\      /        /         ____\         
\/  1 + 4*\25 - 4*\/ 37 /  + \/  -2 + 3*\25 - 4*\/ 37 /  - 2 = 0

=

— тождество

Тогда, окончательный ответ:

Сложные иррациональные уравнения

Самыми сложными же будут уравнения с тремя частями иррациональностями, значит будет такой пример:

sqrt(x + 5)  — sqrt(x — 1)  = sqrt(2*x + 4)

В форме калькулятора это будет выглядеть так:

Тогда получите подробное объяснение

Дано уравнение

  _______     ________     _________
\/ 5 + x  - \/ -1 + x  = \/ 4 + 2*x 

Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень

                        2          
/  _______     ________\           
\\/ 5 + x  - \/ -1 + x /  = 4 + 2*x

или

 2               _________________       2                  
1 *(x + 5) - 2*\/ (x + 5)*(x - 1)  + (-1) *(x - 1) = 4 + 2*x

или

         _______________                
        /       2                       
4 - 2*\/  -5 + x  + 4*x  + 2*x = 4 + 2*x

преобразуем:

      _______________    
     /       2           
-2*\/  -5 + x  + 4*x  = 0

преобразуем

Это уравнение вида

Квадратное уравнение можно решить

с помощью дискриминанта. 2 — 4 * (1) * (-5) = 36

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или

проверяем:

  ________     _________     __________    
\/ 5 + x1  - \/ -1 + x1  - \/ 4 + 2*x1  = 0

=

  _______     ________     _______    
\/ 5 + 1  - \/ -1 + 1  - \/ 4 + 2  = 0

=

— тождество

  ________     _________     __________    
\/ 5 + x2  - \/ -1 + x2  - \/ 4 + 2*x2  = 0

=

  _______     ________     ____________    
\/ 5 - 5  - \/ -1 - 5  - \/ 4 + 2*(-5)  = 0

=

— Нет

Тогда, окончательный ответ:

Решение иррациональных уравнений. Методика

Решение иррациональных уравнений имеет практический интерес для школьников, абитуриентов, преподавателей. Поэтому не теряйте времени и изучите методику решений иррациональных уравнений.

Пример 1. Определить меньший корень иррационального уравнения

Решение.Схема вычислений такого сорта примеров следующая:
Переносим отрицательное слагаемое за знак равенства и возведем корни к квадрату. Чтобы не возникла ситуация, когда под корнем получим отрицательное значение в конце обязательно проверяем ответ

Поскольку подкоренное выражение должно быть положительным по определению то модули опускаем и группируем подобные слагаемые

Полученное квадратное уравнение согласно теореме Виета имеет корни x=1; x=5.
В условии спрашивают за меньшее значение, и здесь половина из вас в ответ впишется x=1.
И это будет неправильно! Попробуйте подставить единицу в уравнение

Получили корни из отрицательных чисел. Это в иррациональных уравнениях недопустимо, в комплексных числах обычная ситуация, но в 10 классе комплексные числа не учат. Теперь попробуйте подставить x=5

Получили тождество и проверили единственный правильное решение иррационального уравнения (x=5).
Корень и есть наименьшим для заданного примера. Вообще говоря, тестовые задания при поступлении в ВУЗы так и построены, что Вы долго решаете, тратите драгоценное время. И если не проверите правильность решения то можете недосчитаться нескольких необходимых для вступления баллов. Поэтому будьте внимательны при решении иррациональных примеров на тестах, контрольных, срезах.

Пример 2. Определить больший корень уравнения

Решение. Схему для такой задачи Вы уже знаете. Записываем область допустимых значений (ОДЗ) корней

Сводим иррациональное уравнение к квадратному

Возведем к квадрату, сгруппируем подобные слагаемые

Вычислим дискриминант уравнения

и его корни

И снова загвоздка — кто не знает отрицательных чисел тянется поставить в ответ x=-4. Однако -2,5 есть больше -5. Кто ответит x=-2,5 тоже может оказаться неправым если окажется, что значение не удовлетворяет ОДЗ. Поэтому, для себя сделайте простой вывод — после вычисления иррациональных уравнений проверяйте решение подстановкой. Поскольку -2,5>-5, то его мы и проверим

В таких вычислениях стоит иметь под рукой инженерный калькулятор.
Правые стороны равны, следовательно x=-2,5 – искомый корень иррационального уравнения.

Пример 3. Решение уравнения

Решение. Знакомьтесь с новым типом иррациональных уравнений — сумма корней равна нулю. Решать их легче, чем предыдущие задания. А все одно простое правило – сумма корней равна нулю тогда и только тогда, когда покоренные функции равны нулю.
То есть, нужно решить два квадратных уравнения и выбрать корень, который является общим для двух если таковой существует. В противном случае уравнение решений не имеет. Поскольку квадратичные функции под корнями несложные то решения находим через теорему Виета

Общим для двух уравнений будет x=-3 – это и есть искомое решение.

Пример 4. Определить сумму корней уравнения

которые являются натуральными числами.
Решение. Согласно условию произведение корней равно нулю. Очевидно, что каждый из корней нужно приравнять к нулю.

Суммируем корни 7-7+5=5.
Ответ: 5.
Здесь умышленно допущена ошибка, потому что такая ситуация часто встречается на практике.
Все решают и часто забывают что требовалось найти: сумму натуральных чисел (корней). Поэтому правильный ответ – (7+5)=12.

Пример 5. Определить наименьшее решение уравнения

Решение. Приравниваем корни до нуля и располагаем корни в ряд по возрастанию.

Есть 4; 7; 9,5. Наименьший из найденных x=4.

Пример 6. Решить уравнение

Решение. Не каждый может сразу увидеть, что поза корнем дело находится подкоренное выражение в квадрате. То есть

Отсюда легко находим решение x=3/2=1,5. Ошибкой в такого рода задачах является перенос квадратичной зависимости вправо за знак равенства и возведения к квадрату с последующими попытками упростить и получить ответ. 2 меньше 15 и уравнение не имеет решения. Однако, проверка на калькуляторе показывает

что х=-3,875 является решением иррационального уравнения.

Это лишь малая часть примеров на иррациональные уравнения которые можно встретить на тестах при поступлении в ВУЗы. Однако на их базе можно получить немалый опыт, как не допустить ошибок при решении иррациональных уравнений.

Похожие материалы:

Пример решения иррационального уравнения с двумя корнями

Решить уравнение

Нам нужно решить иррациональное уравнение (см. что такое иррациональное уравнение). В его записи присутствуют два корня и еще одно слагаемое помимо них. Такие иррациональные уравнения очень характерны, для их решения обычно используется метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Причем, для избавления от обоих радикалов к возведению обеих частей уравнения в степень придется прибегать два раза.

Напомним последовательность действий для решения иррациональных уравнений по методу возведения обеих частей в одну и ту же степень:

• 
  Во-первых, переходим к более простому уравнению, для чего циклически выполняем следующие три действия:
  • 
    Уединяем радикал.
  • 
    Возводим обе части полученного уравнения в одну и ту же натуральную степень.
  • 
    Упрощаем вид уравнения, полученного после возведения в степень.

• 
  Во-вторых, решаем полученное уравнение.
• 
  В-третьих, отсеиваем посторонние корни, если выше проводилось возведение в четную степень.

Начнем. Выполним тройку действий – уединение радикала, возведение в степень, упрощение вида – в первый раз.

Уединение радикала приводит нас к уравнению .

Так как степень уединенного корня равна двум, то возведем обе части уравнения во вторую степень: , что дальше позволит избавиться от уединенного радикала.

Теперь упростим вид полученного уравнения при помощи преобразования уравнений. В первую очередь, базируясь на определении корня, заменим выражение в левой части тождественно равным выражением x−6, и, учитывая формулу сокращенного умножения «квадрат разности», заменим выражение в правой части тождественно равными ему выражением . Имеем . Продолжим упрощать вид уравнения. Вновь оттолкнемся от определения корня для замены выражения тождественно равным ему выражением x+2, а числовое выражение 2² заменим его значением четыре: . Дальнейшие преобразования не нуждаются в комментариях:

Очевидно, после первого прохода цикла мы освободились от одного корня, но остался еще один корень. Поэтому второй раз выполним указанную тройку действий – уединение радикала, возведение обеих частей уравнения в степень, упрощение выражения.

В уравнении уединять радикал не нужно, так как это уже сделано.

Для избавления от квадратного корня выполним возведение обеих частей уравнения в квадрат: .

Упрощаем вид полученного уравнения:

x+2=9,

x=7.

Так мы получили тривиальное уравнение. На этом первый этап решения по методу возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень завершен. Переходим ко второму этапу.

Второй этап – решение полученного уравнения – также можно считать завершенным, так как корень уравнения x=7 очевиден. Это число 7.

Остается третий этап решения – отсеивание посторонних корней. В нашем случае отсеивание обязательно, так как некоторые из проводимых выше преобразований могли привести к появлению посторонних корней. Действительно, мы дважды прибегали к возведению обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, а, как известно, такое преобразование может привести к появлению посторонних корней. Также в цепочке преобразований был переход от уравнения к уравнению x+2=9, при котором расширилась ОДЗ, что тоже могло привести к появлению посторонних корней. Так что проведем отсеивание посторонних корней. Сделаем это через проверку подстановкой. 2$

$x_{1,2}={-b±√D}/{2a}={11±3}/{2}$

$x_1=7; x_2=4$

Проведем проверку корней, подставив их вместо икса в исходное уравнение

$x_1=7$

$7-6=√{8-7}$

$1=1$, получили верное равенство, следовательно, корень нам подходит.

$x_2=4$

$4-6=√{8-4}$

$-2=2$, получили неверное равенство, следовательно, данный корень посторонний.

Ответ: $7$

Иррациональное уравнение как решать – подробная инструкция от А до Я — ЕГЭ/ОГЭ

Иррациональное уравнение: как решать, как проверять ответы на «вшивость», как справляться с несколькими корнями – обо всем расскажу в статье.

Иррациональное уравнение вводит школьников во взрослую жизнь. Напоминает, что все не так уж просто. Только делает это математическим путем…через ОДЗ (область допустимых значений).

Если вы искали подробные схемы решения иррациональных уравнений. Объяснение простыми словами. Наглядный разбор типов. То попали по правильному адресу)

1. Что такое иррациональность?

2. Как решать иррациональное уравнение? – главная фишка

3. «4 шага» решения Иррационального любого уравнения

4.

Различные виды корней:

[su_list icon=»icon: arrow-right» icon_color=»#2a1ae3″ indent=»21″]

[/su_list]

5. Еще 2 подковырки иррациональных уравнений

Давайте сначала введем определение иррационального уравнения.

Опр: Иррациональные уравнения – это уравнения, содержащие неизвестную в корне или в дробной степени. Не важно какой степени – главное его наличие.

Поиск иррациональности

Кстати, вы же помните, что корень – это просто представление дробной степени? Например, квадратный корень – это степень 1/2.
А кубический корень – это степень 1/3 .

Посмотрите на пример. Тут показано разное представление одной и той же степени.

Следовательно, уравнения с переменными в дробных степенях
также являются иррациональными.

Таким образом, можно разделить иррациональные уравнения на 2 вида – по принципу написания степени: с корнем и с дробью.

1. Явный вид {корень виден}:

2. Неявный вид {корень представлен в виде дробной степени}:

Хотел вам напомнить о разных маскировках корня. Пригодится НЕ испугаться необычной записи.

А теперь переходим к сладкому – будем разбираться почему же иррациональные уравнения выделяют в отдельный тип. В чем их подковырка?

Как решить иррациональное уравнение – главная фишка

На математическом пути школьника есть несколько главных преград. Все они связаны с ОДЗ.

Первый капкан – делить на ноль нельзя.
Второй – подкоренное выражения не может быть отрицательным (при условии, что корень четной степени: квадратный, 4 степени, 6-ой…).
Третий – узнаете в статье про логарифмы.

Иррациональное уравнение затаскивает во второй капкан – подкоренное выражение не может быть отрицательным. Равным нулю – ок, может. Но не отрицательным.

Подкоренное выражение не может быть отрицательным

f(x) ⩾ 0

Еще раз оговорюсь, что «неотрицательность» распространяется только на корни четной степени. Кубический корень крутите, как хотите – ему все равно. А вот квадратный – нельзя, математика запрещает.

Что это вам дает при решении иррациональных уравнений? Вы должны проверять корни – действительно ли они существуют. Или с ними подкоренное выражение становится отрицательным?

«4 шага» решения Иррационального любого уравнения

Решение любого иррационального уравнения включает в себя 4 шага:

1) Выписывание и решение ОДЗ

2) Возведение обеих частей уравнения в соответствующую степень (квадратный корень возводим во 2 степень, кубический – в 3, и т. д.).

3) Решение получившегося рационального уравнения (мы избавились от корней, а значит, можем решать уравнение привычным способом).

4) Проверка корней, сверившись с ОДЗ (Вот это самый важный момент. Большинство школьников останавливается на предыдущем этапе – ох, уж эта безответственность к существованию корней!)

Есть 2 способа проверки корней:

            – Подстановка корней в исходное уравнение (Первый метод проверки корней: старая добрая подстановочка. Получившиеся корни подставить в исходное уравнение и посмотреть: не появится ли отрицательное число под корнем).

            – Проверка корней по ОДЗ (Для тех, кто вышел на новый уровень в математике. Подходит, если корней много: тогда не нужно просчитывать каждый корень по методу подстановки).

Если небеса послали вам корень НЕчетной степени – 4-ий шаг пропускаем. Вам повезло отделаться без проверки.

Пора посмотреть, как теория справляется с уравнениями на практике.

К любому иррациональному уравнению можно применить теорию-скальпель «4 шага». Разберу каждый тип по отдельности. Так вы еще раз увидите закономерности в решении иррациональных уравнений и выстроите свой способ логической расправы с корнями.

Начнем с малого: корень равен числу. Как решить популярную звезду школьных учебников и экзаменов.

Различные виды корней:

1) Корень равен числу

По своему опыту могу сказать, что составителям гос.экзаменов
не надоедает это уравнение. Видимо, школьники все еще попадаются в капкан
корней.

Просто возведи обе части в квадрат

x – 3 = 9

x = 11

Ответ: 11

Повышаем уровень прокаченности в иррациональных уравнениях далее…

2) Уравнение с двумя корнями – всего один капкан

Снова применяем технику «4 шага»

1) Запишем ОДЗ

Сколько корней, столько и уравнений в ОДЗ

Нужно, чтоб корни удовлетворялись ОДЗ обоих корней. Поэтому в начале решаем систему неравенств.

2) Возведем обе части во 2 степень {степень корня}

x + 6 = x²

3) Решение получившегося рационального уравнения

x² – x – 6 = 0

По Т.Виетте (Если вы считали это уравнение через дискриминант – то обязательно просмотрите статью «Как решить квадратное уравнение – 6 трюков ». Я привел простые приемы решения квадратных уравнений – в школе такое не расскажут).

x₁ = 3 x₂ = –2

4) Проверка корней. Обратите внимание, что мы записали ОДЗ для обоих корней. Нужно, чтоб корни удовлетворялись ОДЗ обоих корней. Поэтому в начале решаем систему неравенств.

x₁ = 3  x₂ = –2   оба корня входят в ОДЗ

Ответ: –2 ; 3.

Особенность уравнений с двумя квадратными корнями –  в развернутом ОДЗ. Несколько ОДЗ должны быть объединены.

А теперь переходим к правилу, продолжение которого знает всего 10% школьников. А ведь именно в концовке зарыт ключик правильного решения.

3)

Произведение корня и функции

Давайте вспомним золотое правило: «Если произведение двух множителей равно нулю, то каждый из множителей равен нулю и оба они должны существовать»

Первая часть правила понятна: нужно приравнять оба множителя к нулю и найти корни – вуаля, уравнение решено.

Так было раньше в светлом прошлом без ограничений ОДЗ. Теперь
нужно считаться еще и с существованием множителей – о чем и говорит вторая часть правила.

В случае с иррациональными уравнениями вы должны позаботиться о неотрицательности выражения, стоящего под корнем.

Теперь разберем как в реальных условиях выглядит решение подобного примера!

А теперь перейдем к одному из самых опасных видов уравнений в школьной программе.

4) Корень равен функции

Одно из самых сложных уравнений. Его опасность лежит опять-таки в ОДЗ.

Чтоб научиться его решать –  важно понять, что не только подкоренное выражение неотрицательно. Но и то, чему равен корень не может быть отрицательным.

Раскрывается полное ОДЗ корня

Помните, уравнения «корень равен числу»? Корень четной степени никогда не приравнивался к отрицательному значению. Потому что так не бывает в этом мире.

Вот и с этими уравнениями также – только условие неотрицательности нужно прописать ручками в ОДЗ.

Давайте посмотрим на примере:

1) Запишем и решим ОДЗ примера – сделаем самое сложное сначала

2) Возведем обе части в квадрат

3) Решим уравнение

Если б не записали ОДЗ по правой части, то пропустили бы посторонний корень.  

4) Выберем корни подходящие в ОДЗ

Если бы мы не записали ОДЗ по правой части, то пропустили бы посторонний корень  

Ответ: 3

Осталось всего пару важных нюансов – и вас можно будет назвать Мастером в области решения иррациональных уравнений!

Еще 2 подковырки иррациональных уравнений

Теперь пришло время перестать считать и немножко включить воображение.
Оно может помочь не только на литературе, но и в математике.

Расслабьтесь с ОДЗ

Надеюсь, что я достаточно настращал вас ужасными несуществующими корнями (которые проникают в личное пространство корня и делают его отрицательным). Теперь ОДЗ наконец станет вашим другом?

Но все-таки бывают случаи, когда ОДЗ можно не выписывать. Это такие примеры, где выражение будет неотрицательным при любом значении переменных. Какой бы х вы не подставили – все равно выражение останется положительным или равным нулю.

 Разберем на примере.

Когда очевидно, что подкоренное выражение всегда >= 0, то ОДЗ этого корня можно ны выписывать

в данных примерах нет смысла записывать ОДЗ: функции
1) (x² + 6)
2) (x² + x + 6)  — всегда положительны.

В случае 1. Квадрат + положительное число (попробуйте подставить хоть даже -120 миллионов – все равно ответ будет положительным).

В случае 2. Отрицательный дискриминант. Дискриминант говорит нам, что график этой квадратичной функции – парабола, которая существует, только над осью Ох: значит, вообще не принимает отрицательные значения.

(Если вы не в курсе, почему отрицательный дискриминант стал причиной приведенных рассуждений – читайте статью «6 простых трюков как решить квадратное уравнение ». В ней все доходчиво написано, да еще и узнаете пару способов быстрого решения квадратного уравнения).

Вы поняли: можно сначала окинуть взором подкоренное выражение – мало ли оно всегда неотрицательное. Вам меньше трудов – ОДЗ не надо писать.

Уже попадались уравнения, которые НЕ стоит решать возведением? О них далее…

5) Сумма Корней

Некоторые уравнения НЕ решаются простым возведением в лоб. Если их поставить в квадрат – получаются слишком сложные выражения (и снова с корнями!).

Что делать в таких случаях – немного усовершенствовать.

Посмотрите не примеры:

Вы же помните, что возводим в квадрат мы по формуле квадрата разности/суммы, а не по вандальным способом «школьника, который НЕ выучил правила сокращенного умножения»?))

Возведение в квадрат применяется ко всей части уравнения.

И если потребуется, по формулам квадрата суммы и разности!!!

И поверьте мне, я не зря заостряю на этом внимание

Как делают и как не надо делать….

Это была типичная ошибка новичка. Но в любом случае сразу возводить не стоит

Подробно о том, как просто и правильно возводить в квадрат и решать квадратные уравнения рассказываю в статье: 6 трюков — как решить квадратное уравнение без Дискриминанта.

Сразу возводить в квадрат нет никакого смысла, корни останутся, а пример усложнится

Стоит разбить корни и числа по разным частям уравнения и после возводить в квадрат!

ОДЗ в данных примерах опущено для простоты разбора

5) Двойное возведение

И все-таки бывают случаи, когда
приходится пару раз возводить в квадрат. Но сначала – неизменно нужно раскинуть уравнение по две стороны от равно.

Виды уравнений для возведения 2 раза и более

1. Матрешечный корень

Дважды (а то и трижды) придется возводить в степень уравнения с матрешечными корнями (под внешним корнем спрятался внутренний).

Пример решения уравнения

Заметили, что прописали ОДЗ для внутреннего и внешнего корня?

Кстати, корни могут быть разной степени. Например, внешний в степени 1/3, а внутренний — 1/8. Подход остается неизменным: сверху вниз снимайте скорлупу корней возведением в соответствующую степень (в нашем примере сначала возведите в 3 степень (избавьтесь от внешнего корня), а потов в 8.

Далее разберемся с уравнениями, в которых ну просто полно корней.

2. Иррациональное уравнение, в котором корней как грязи

Придется несколько раз возводить уравнения в которых слишком много корней. Еще они бывают намиксованы со свободными числами.

Действуйте по уже знакомому вам принципу: разнесите члены по разные стороны от равно. Постарайтесь сделать так, чтоб одинокий корень остался в одной части уравнения, а оставшиеся свободные от «иррациональности» члены в другой.

Пример решения уравнения

Сделайте так: корень остается в одной части уравнения, а оставшиеся свободные от «иррациональности» члены в другой.

Уравнения с несколькими корнями противные (тратите время на последовательное возведение), но несложные. Следуйте инструкции — это самый быстрый и простой метод.

Я постарался не только показать вам шаблоны-способы решения. Но и прояснить логику как решать иррациональное уравнение.

С ним нужно быть аккуратным (ОДЗ), в остальном иррациональное уравнение не такое уж неприступное, как может показаться.

Надеюсь, статья помогла вам разобраться еще в одной непростой теме математики: «Иррациональное уравнение как решить».

Заинтересованы в личном обучении со мной – пишите в сообщения! Я с удовольствием проведу первое занятие бесплатно.

До встречи,
Ваш Михаил

Урок алгебры в VIII классе по теме «Способы решения иррациональных уравнений»

Урок алгебры в VIII
классе по теме « Способы
решения иррациональных уравнений»

Учебник: автор
А. Г. Мордкович «Алгебра» углубленное
изучение

Учитель:
Наталья Юрьевна Балагурова

Оборудование: проектор,
слайды по теме урока, доска на три
человека, карточки — раздаточный материал.

Цели урока:

обучающая —
обобщить и систематизировать знания
учащихся по применению различных
способов решения иррациональных
уравнений с одним корнем или с двумя;

развивающая
— развить нестандартное мышление через
умение находить рациональные пути
решения, научить переключаться с одного
способа на другой;

воспитательная
— воспитать культуру соблюдения всех
этапов аргументации при решении
уравнений, терпение, упорство в достижении
цели.

Ход урока

1. Введение
в урок, организационный этап
(1 минута).

Здравствуйте ребята! Разрешите
представиться — меня зовут Наталья
Юрьевна.

Я буду проводить у вас урок
алгебры по теме «Иррациональные
уравнения». Сегодня повторим все способы
решения иррациональных уравнений,
обсудим их достоинства и недостатки,
научимся выбирать рациональный ход
решения.

Цель урока состоит в том,
чтобы обобщить и систематизировать
методы решения иррациональных уравнений;
познакомить вас с новым типом иррациональных
уравнений, состоящих из двух радикалов;
на этом уроке мы попытаемся научиться
определять оптимальный способ решения
того или иного иррационального уравнения.

Эпиграфом урока станут
слова великого ученого:

«Мне приходится делить время
между политикой и уравнениями. Однако
уравнения, по-моему, гораздо важнее.
Политика существует для данного момента,
а уравнения будут существовать вечно».

Чьи это слова вы узнаете в конце
урока.

2. Устный
счет (2 минуты).

1) Имеет ли уравнение
корни

Ответ:
Нет. Почему? (Так как правая и левая части
принимают значения разных знаков).

2) Решите уравнение

Ответ:

3) Решите уравнение

Ответ:
Нет решений. Поясните.

4) Решите уравнение

Ответ:
Нет решений. Поясните. (Так как сумма
двух неотрицательных выражений не может
принимать отрицательное значение).

5) Решите уравнение

Ответ:
х=3. Поясните ход решения. (Так как сумма
двух неотрицательных выражений равна
нулю, если только оба слагаемых
одновременно равны нулю).

Итак, как вы уже заметили,
уравнение может иметь единственный
корень или несколько корней, а может
совсем не иметь решений. Вы так же поняли,
что, иногда, только по виду уравнения
можно сразу определить количество его
корней. В большинстве же случаев, которые
вы изучали уже ранее, только доведя
решение задачи до конца, можно однозначно
ответить на этот вопрос.

Напомню, что решениями или
корнями уравнения называют те значения
переменной, при подстановке которых в
него, обе части уравнения одновременно
принимают одно и тоже значение. Обратите
внимание, что к решениям уравнения
используется устоявшийся термин
«корень». И сегодня мы будем рассматривать
иррациональные уравнения, содержащие
только квадратные корни.

3. Сравнительный
анализ аналитических способов решений
иррационального уравнения имеющего
стандартный вид (5 минут).

Учитель: Давайте
перейдем к обзору многочисленных
способов решения иррациональных
уравнений. Для начала вспомним, какие
именно уравнения называются иррациональными?

Ученик: Уравнения,
содержащие переменную под знаком корня.

Учитель: Верно,
иногда еще говорят, что это уравнения,
содержащие знак радикала, и это тоже
будет правильно, так как знак самого
корня

произошел от латинской буквы r.
Дело в том, что первыми «нерациональными»
числами считались числа, содержащие
корень, «который не извлекался». Например,

Поэтому и уравнения, содержащие под
корнем переменную, стали называть
иррациональными. Однако в конце урока
я напомню вам еще об одном «важном» для
математиков иррациональном числе,
которое вы прекрасно знаете. Однако,
«иррациональным» оно стало считаться
намного позже чисел, указанных выше, то
есть содержащих радикал.

Итак, давайте вспомним, в чем
заключается использование различных
способов отбора корней при возведении
в квадрат стандартного
иррационального уравнения, выделим их
достоинства и недостатки.

1) если проверять корни
«подстановкой»
их в исходное уравнение, то в случае
равенства левой и правой части мы
убеждаемся, что в решении мы не допускали
арифметических ошибок. Помните, как
именно для этого производилась проверка
при решении уравнений в младших классах?

Недостаток способа решения
«подстановкой» проявляется в случае,
если корни «неудобные» с точки зрения
арифметики.

2) если найденные корни
дробные, многозначные или иррациональные,
то, как вы уже знаете, можно проверить
только неотрицательный знак правой
части стандартного иррационального
уравнения. В этом и заключается достоинство
метода «равносильного
перехода».

3) напомню теперь третий
способ. Если при возведении в квадрат
получаются трудоемкие упрощения и
вычисления, тогда обратите внимание на
решение системы условий, при которых
одновременно и подкоренное выражение
и правая часть, являются неотрицательными.
Посмотрите, пожалуйста, на следующий
слайд:

Решить
уравнение
.

Ответ:
решений нет.

Учитель:
Кто прокомментирует решение
на слайде?

Ученик:
Так как корень уравнения при подстановке
в уравнение превращает его в верное
числовое равенство, то, прежде всего,
этот корень должен удовлетворять
выписанной системе условий. Достаточно
заметить, что эта система решений не
имеет, а это значит, что и само уравнение
не имеет корней.

Учитель:
Давайте такой метод назовем «метод
пристального взгляда», так как если
вовремя обратить на такую систему
внимание, это значительно сэкономит
время при решении такого уравнения.

4. Сравнительный анализ
различных способов решения уравнений,
содержащих один корень (15 минут).

Учитель: Ребята,
а какие способы решения уравнений, вы
еще знаете?

Ученик: Введение
новой переменной, графический способ.

Учитель: Хорошо.
Давайте решим одно уравнение различными
способами в тетрадях и на доске. Открыли
тетради, записали число, тему и задание.

Решить уравнение
.
Каждый ряд решает это уравнение своим
способом: 1 ряд – возведением в квадрат,
2 ряд – введением новой переменной, 3
ряд – графическим способом. По одному
ученику из каждого ряда выполнят эту
же работу у доски. Кто к доске?

(Три ученика одновременно
вызываются к доске)

(После пяти-семи минут работы,
происходит анализ решений со всем
классом)

1-й способ решения «Возведение
в квадрат».

Решить уравнение
.

Решение:

Отсюда,

Ответ: 4.

Учитель: Вопрос
ряду 2 и 3. Скажите, а почему важно было
сначала уединить корень перед возведением
в квадрат?

Ученик: Если
уединить корень мы
сразу от него избавляемся, для чего и
возводим его в квадрат.

Учитель: Правильно.
Давайте посмотрим, как можно свести
уравнение с корнем к квадратному
уравнению методом « введения новой
переменной».

2-й способ решения. «Введение
новой переменной».

Решить уравнение
.

Решение: Пусть
,
где
,
тогда
.

Решим систему:

.

Отсюда;
.

Ответ: 4.

Учитель: Вопрос
ряду 1 и 3. А если не выписывали бы условие
на новую переменную, как тогда нужно
оформлять решение?

Ученик: Тогда бы
при возвращении к x
нужно было бы записать,
что уравнение

не имеет решений.

Учитель: Правильно.
Посмотрим теперь другое решение этого
же уравнения.

3-й
способ решения. «Графический».

Решить уравнение.

Решение:

Рис.1.

Проверка:
подставим

в систему
—
система верна.

Из
рисунка 1 видно, что найденная точка их
пересечения

единственная, то есть

единственный корень исходного уравнения.

Учитель:
Вопрос 1 и 2 ряду. Скажите, а почему «из
чертежа очевидно», что будет только
одна точка пересечения?

Ученик:
Обе эти функции монотонно возрастают,
причем прямая быстрее увеличивает свои
значения, чем функция
.
Это значит, что график последней функции
никогда не догонит

после того, как они пересеклись при
.

Учитель:
Тем более, при

прямая лежит ниже графика
.

Все молодцы! Мы рассмотрели
различные способы решения уравнений с
одним корнем. Как видите графический
способ нагляднее, но трудный в угадывании
корней, а так же в обосновании их
количества. В этом он и проигрывает
любому аналитическому способу.

Давайте теперь проанализируем
приведенные на слайде три решения одного
иррационального уравнения и выберем
самое красивое из них.

Слайд 1. Решить уравнение

Решение. «Возведение
в квадрат». Перейдем к
системе:

Так как первое уравнение имеет
D =
— 3

Ответ: нет решений.

Слайд 2. Решить
уравнение

Решение: «Пристальным
взглядом» можно заметить,
что корень уравнения должен удовлетворять
системе условий:

Так как система не имеет решений
ни при одном значении x,
то корней нет.

Ответ: нет решений.

Слайд 3.
Решить уравнение

Решение: «Графический
способ» применим к
системе:

Так как при

функция

монотонно возрастает, а

монотонно убывает. С учетом, что при

график прямой лежит ниже нуля, то графики
рассматриваемых функций не пересекутся.

Ответ: нет решений.

Учитель: Каким
же способом рациональнее было решать
данное уравнение?

Класс: Вторым
способом.

5. Применение изученных
способов к решению уравнений с двумя
радикалами (7 минут).

Учитель:
Давайте теперь попробуем решить уравнение
с двумя квадратными корнями различными
способами. Все работают в тетрадях, я у
доски.

Решить уравнение.

Решение
1: Перед тем, как возвести
обе части уравнения в квадрат часто
целесообразно сначала уединить корень,
как это уже мы делали ранее.

Методом равносильных переходов
решить полученное уравнение достаточно
тяжело, а значит не рационально. Возведем
в квадрат левую и правую часть уравнения
и затем проверим корень подстановкой.

Проверка. Подставим
в уравнение;
—
верное равенство, то есть 2 является
решением исходного уравнения.

Ответ: 2

Графически представить
части уравнения, даже переносом радикалов
в разные стороны достаточно сложно,
хотя и можно построить с помощью переносов
осей графики частей уравнения. Но из
этого все равно следует, что корень
придется угадывать и проверять, а его
единственность обосновывать монотонностью
функций. В этом случае есть способ
попроще, по сути он аналогичен
графическому.

Решение 2: Так
как каждое из слагаемых левой части
уравнения

монотонно возрастает при увеличении
переменной, то и их сумма монотонно
возрастает, а значит, любое свое значение
правая часть уравнения принимает только
при одном значении
.
Подбором можно проверить, что при

левая часть уравнения равна пяти,
следовательно, других таких значений
x
не существует.

Ответ: 2.

Учитель: Какой из
способов решения наиболее оптимален?

Класс: Второй
способ.

Учитель: Еще раз
отметим, что метод возведения в квадрат
значительно упрощается во многих
случаях, если уединить корень. Но этот
аналитический способ универсальный,
так как графический способ «монотонности
левой части»» не всегда применим. Тем
более если корень попросту не угадывается.
А доказать, что его не существует вообще
не возможно. Кто может объяснить, почему
последний способ не применим к уравнению
,
в котором надо найти все целые корни?

Ученик: Так как
один корень левой части является
монотонно возрастающей функцией, а
второй — убывающей, то их сумма может
быть не монотонной при любых х.
А значит и значение равное 1 может
принимать два раза.

Учитель: Остается
только уединять один из корней, возводить
в квадрат и выполнить проверку. Но это
я предлагаю вам сделать дома. Скажите
лучше, а нельзя ли здесь «пристально
посмотреть» на данное уравнение. Ведь
если бы вернуться к предыдущему
«графическому» способу, в случае, если
бы мы не заметили, что правая часть не
монотонная, то подбор корня мы бы
осуществляли, ориентируясь на область
определения функции, то есть правой
части уравнения. Кто теперь решит эту
задачу?

Ученик: Найдем
область определения левой части, решив
систему
.
Так как по условию задачи надо найти
только целые корни уравнения, то остается
проверить все три целых числа, найденной
области определения, числа: 2, 3, 4.
Подстановкой не трудно проверить, что
только

является корнем исходного уравнения.

Учитель: Молодец!
Думаю, что, решив это задание дома
возведением в квадрат, вы еще больше
убедитесь в красоте только что разобранного
решения.

6. Самостоятельная
работа (7минут).

Давайте посмотрим, как быстро
вы теперь решите уравнения. Выписывайте
ответы себе в тетрадку, а листочки с
работой сдаете мне.

Учитель: Проверяем.

У кого три правильных ответа?
Это оценка 5. Вы получаете право сегодня
называться УМНИКОМ!!!!!

Два ответа? 4.

Один ответ? Хоть и тройка, но тоже
не плохо.

7. Задание
на дом. Итог урока (3
минуты).

— Дома вы решите приведенные
ниже уравнения различными способами.
На следующий урок ответите, каким именно
способом рациональнее всего было решать
каждое уравнение.

Много можно говорить об уравнениях.
В этой области математики существуют
вопросы, на которые ученые еще не дали
ответа. Возможно, вам предстоит найти
ответы на эти вопросы.

Вернемся к словам нашего
неизвестного автора:

Сегодня, 14 марта у этого
ученого был день рождения. И именно он
говорил, что если бы на решение задачи
ему остался один час, то 59 минут он
потратил бы на постановку задачи, так
как при правильном подходе к ее решению,
ответ можно найти и за одну оставшуюся
минуту. Автор этих строк — знаменитый
физик Альберт Эйнштейн.

А еще 14 марта — Всемирный
день числа
.
Именно это число, равное отношению длины
окружности к ее диаметру вы прекрасно
знаете из геометрии. Как раз оно так же
является иррациональным, хотя и не
содержит в своей записи корень.

Иррациональные уравнения и иррациональные неравенства

Иррациональные уравнения и иррациональные неравенства

Сложность решения иррациональных уравнений

Пример :

    _________
  \ / х + 8 = х + 2
 

Общий метод решения уравнения заключается в последовательной замене уравнения эквивалентным
уравнение.

Мы склонны возводить обе части уравнения в квадрат, но следующая эквивалентность неверна.

      _________
    \ / х + 8 = х + 2 х + 8 = (х + 2)  2 

  Действительно, -4 - решение

    х + 8 = (х + 2)  2 

   но это не решение
      _________
    \ / х + 8 = х + 2

   Очевидно, что следующее выражение верно. _________
    \ / х + 8 = х + 2 => х + 8 = (х + 2)  2  

Все решения уравнения в левой части являются решениями уравнения в правой части
но не наоборот.
У уравнения справа может быть больше решений.

Тем не менее, мы будем решать иррациональные уравнения, возводя обе части в квадрат.
Но мы должны знать, что
возводя в квадрат, новое уравнение может иметь больше решений, чем исходное.
В конце удаляются «ложные решения».

Есть разные способы найти эти «ложные решения».Один из способов — заранее выстроить подходящее неравенство, чтобы найти «ложные решения».
Мы здесь не следуем этому методу.
Самый простой способ — проверить каждое решение данного уравнения. Если данное уравнение
не выполняется для этого решения, оно помечается как «ложное решение».

Воспользуемся этой процедурой для уравнения

      _________
    \ / х + 8 = х + 2

=> х + 8 = (х + 2)  2  ...

 х = 1 из х = -4
 

Мы проверяем эти два значения для данного уравнения. Мы видим, что -4 — ложное решение и его необходимо удалить. Единственное решение — 1.

Некоторые примеры

•          _______
     1 + \ / х  2 -9 = х
        _______
   \ / х  2  -9 = х - 1
  
  => х  2 -9 = (х - 1)  2  

  После разработки и упрощения находим x = 5.
  Мы проверяем это значение и видим, что оно не является ложным.
  Исходное уравнение имеет решение x = 5.

•     _______ _______
    \ / 2х + 8 + \ / х + 5 = 7
  
        _______ _______
   \ / 2х + 8 = 7 - \ / х + 5
                      _______
  => 2x + 8 = (7 - \ / x + 5)  2 
  
   После разработки и упрощения
                     _______
      х - 46 = -14 \ / х + 5
  
   Снова возводя в квадрат, получаем
  
  => х  2  - 288 х + 1136 = 0
  
    с решениями 4 и 248.4 - единственное решение исходного уравнения.
   

•     _______ _______ _______
    \ / х + 3 + \ / х + 8 = \ / х + 24
  
   Мы квадратируем каждую сторону, а затем упрощаем
           ______________
  => 2 \ / (х + 3) (х + 8) = 13 - х
  
    Снова возводя в квадрат, получаем
  
  => 3x  2  + 70x - 73 = 0
  
    x = 1 - единственное решение исходного уравнения!
  
   

•      ______________ ______________
      / _______ / _______
    \ / х + \ / х + 11 + \ / х - \ / х + 11 = 4
  
    Мы квадратируем каждую сторону, а затем упрощаем
  
              _____________
  => х + \ / х  2  - х - 11 = 8
  
    Мы переносим x на правую сторону, а затем снова возводим в квадрат. Мы находим x = 5 как решение, и это решение не является ложным.
   

•   3 _______
    \ / 2x - 5 = 3
  
    По наличию кубического корня можно записать
  
    3 _______
    \ / 2x - 5 = 3 2 x - 5 = 27 x = 16
   

•      ________ _______
     \ / cos (2x) - \ / cos (x) = 0
  
        ________ _______
   \ / cos (2x) = \ / cos (x)
  
  => cos (2x) = cos (x)
  
      2x = x + 2 k pi или 2x = - x + 2 k pi
  
       x = 2 k pi или x = 2 k pi / 3
  
       x = 2 k pi или x = 2 pi / 3 + 2 k pi или x = 4 pi / 3 + 2 k pi
  
      x = 2 pi / 3 + 2 k pi и x = 4 pi / 3 + 2 k pi являются ложными решениями
  
  Единственные решения: x = 2 k pi
   

Упражнения

        _______
  3 + \ / 3x + 1 = x (Решение: 8)

    _______ _______
  \ / x + 27 - \ / x - 5 = 2 (Решение: 54)

    _______ _______
  \ / 7x + 2 - \ / 3x + 1 = 1 (Решение: 1)

     __________
    / ______ _______
  \ / 2 \ / x + 1 = \ / 3x - 5 (Решение: 3)
 

Дополнительные примеры в сети

Четырехшаговый метод

шаг 1

Вынесите все члены неравенства в левую часть. Это создает иррациональную функцию f (x)
в левой части неравенства. Найдите область определения функции f (x).

шаг 2

Найдите нули иррациональной функции f (x).

шаг 3

Нарисуйте ось действительных чисел.
Исключить область, которая не принадлежит области f (x)
Отметить нули f (x) на оси.
Определите знак f (x) во всех промежуточных интервалах. Это можно сделать
с помощью изображения простого x-значения.

шаг 4

По результату шага 3 вы можете прочитать набор решений неравенства.

Примеры

• х + 8> х + 2
  
  Шаг 1:
      _________
    \ / х + 8 - х - 2> 0
  
    Область определения функции f (x) в левой части [-8, + infty)
  
  Шаг 2:
  
    Решите уравнение
      _________
    \ / х + 8 - х - 2 = 0
  
    Решение - 1.
  
  Шаг 3: Определите знак f (x)
  
       х | -8 1
      --- | -----------------------------
     f (x) | //////////// + + + + 0 - - -
  
  Шаг 4:
  
     Множество решений неравенства [-8,1)
   

•     _______ _______
    \ / 2x + 8
   

•   3 _______
    \ / 2x - 5 р
  
    Единственный нуль функции f (x) равен 16. 
  
    Знак расследования:
  
       х | 16
      --- | ------------------
     f (x) | - - - - 0 + + +
  
    Множество решений неравенства (-infty, 16)
   

Темы и проблемы

Домашняя страница MATH-изобилие — урок

Указатель MATH-учебника

Условия копирования

Все предложения, замечания и отчеты об ошибках отправляйте по адресу jcinfo @ telenet.быть
Тема письма должна содержать фламандское слово wiskunde.
потому что другие письма фильтруются в корзину

Решение радикальных уравнений

Как решать уравнения с квадратными корнями, кубическими корнями и т. Д.

Радикальные уравнения

Решение радикальных уравнений

Мы можем избавиться от квадратного корня возведением в квадрат. (Или кубические корни кубиками и т. Д.)

Но предупреждение: иногда это может создавать «решения», которые на самом деле не работают, когда мы помещаем их в исходное уравнение. Итак, нам нужно проверить!

Выполните следующие действия:

• Выделите квадратный корень с одной стороны уравнения
• возвести в квадрат обе части уравнения

Тогда продолжайте наше решение!

Пример: решить √ (2x + 9) — 5 = 0

вычлените квадратный корень: √ (2x + 9) = 5

квадрат с обеих сторон: 2x + 9 = 25

Теперь решать должно быть проще!

Переместите 9 вправо: 2x = 25 — 9 = 16

Разделить на 2: x = 16/2 = 8

Ответ: x = 8

Проверка: √ (2 · 8 + 9) — 5 = √ (25) — 5 = 5 — 5 = 0

Тот работал отлично.

Более одного квадратного корня

Что делать, если есть два или более квадратных корня? Легкий! Просто повторите процесс для каждого.

Это займет больше времени (намного больше шагов) … но ничего особенного.

Пример: решить √ (2x − 5) — √ (x − 1) = 1

выделите один из квадратных корней: √ (2x − 5) = 1 + √ (x − 1)

квадрат с обеих сторон: 2x − 5 = (1 + √ (x − 1)) ²

Мы удалили один квадратный корень.

развернуть правую часть: 2x − 5 = 1 + 2√ (x − 1) + (x − 1)

упростить: 2x − 5 = 2√ (x − 1) + x

вычтем x из обеих частей: x − 5 = 2√ (x − 1)

Теперь снова вычислим квадратный корень:

выделите квадратный корень: √ (x − 1) = (x − 5) / 2

квадрат с обеих сторон: x − 1 = ((x − 5) / 2) ²

Мы успешно удалили оба квадратных корня.

Давайте продолжим решение.

Разверните правую часть: x − 1 = (x ² — 10x + 25) / 4

Это квадратное уравнение! Так что давайте представим это в стандартной форме.

Умножьте на 4, чтобы удалить деление: 4x − 4 = x ² — 10x + 25

Переместить все налево: 4x — 4 — x ² + 10x — 25 = 0

Объедините похожие термины: −x ² + 14x — 29 = 0

Поменять местами все знаки: x ² — 14x + 29 = 0

Использование квадратичной формулы (a = 1, b = −14, c = 29) дает решения:

2. 53 и 11,47 (с точностью до 2 знаков после запятой)

Проверим решения:

2,53: √ (2 × 2,53−5) — √ (2,53−1) ≈ −1 Ой! Должно быть плюс 1.

11,47: √ (2 × 11,47−5) — √ (11,47−1) ≈ 1 Да, это работает.

Есть реально только одно решение :

Ответ: 11,47 (с точностью до 2 знаков после запятой)

Видите? Этот метод может иногда давать решения, которые на самом деле не работают!

Корень, который казался работоспособным, но был неправильным, когда мы его проверили, называется «Посторонний корень»

Итак: Проверка важна.2 \) оба равны 36, поэтому 6 и -6 являются квадратными корнями из 36.)

Символ квадратного корня (\ (\ sqrt {\ phantom {3}} \)) может использоваться для выражения положительного квадратного корня из числа. Например, квадратный корень из 36 равен 6, но его также можно записать как \ (\ sqrt {36} \), потому что \ (\ sqrt {36} \ boldcdot \ sqrt {36} = 36 \).

application / pdf

Библиотека Adobe PDF 20.6.74D: 20200428155805Специальный репак

конечный поток
эндобдж
3 0 obj
>
эндобдж
4 0 obj
>
эндобдж
5 0 obj
>
эндобдж
7 0 объект
>
эндобдж
8 0 объект
>
эндобдж
9 0 объект
>
эндобдж
10 0 obj
>
эндобдж
11 0 объект
>
эндобдж
12 0 объект
>
эндобдж
13 0 объект
>
эндобдж
14 0 объект
>
эндобдж
15 0 объект
>
эндобдж
16 0 объект
>
эндобдж
17 0 объект
>
эндобдж
18 0 объект
>
эндобдж
19 0 объект
>
/ XObject>
/ Шрифт>
>>
/ MediaBox [0 0 594.95996 840.95996]
/ Аннотации [457 0 R 458 0 R 459 0 R 460 0 R 461 0 R 462 0 R 463 0 R 464 0 R 465 0 R 466 0 R
467 0 R 468 0 R 469 0 R 470 0 R 471 0 R 472 0 R 473 0 R 474 0 R 475 0 R 476 0 R
477 0 R]
/ Содержание 478 0 руб.
/ StructParents 0
/ Родитель 9 0 R
>>
эндобдж
20 0 объект
>
/ ExtGState>
/ Шрифт>
/ XObject>
>>
/ Повернуть 0
/ StructParents 0
/ Вкладки / S
/ Тип / Страница
>>
эндобдж
21 0 объект
>
/ ExtGState>
/ Шрифт>
/ XObject>
>>
/ Повернуть 0
/ StructParents 1
/ Вкладки / S
/ Тип / Страница
>>
эндобдж
22 0 объект
>
/ ExtGState>
/ Шрифт>
/ XObject>
>>
/ Повернуть 0
/ StructParents 2
/ Вкладки / S
/ Тип / Страница
>>
эндобдж
23 0 объект
>
/ Шрифт>
/ XObject>
>>
/ Повернуть 0
/ StructParents 3
/ Вкладки / S
/ Тип / Страница
>>
эндобдж
24 0 объект
>
/ ExtGState>
/ Шрифт>
/ XObject>
>>
/ Повернуть 0
/ StructParents 4
/ Вкладки / S
/ Тип / Страница
>>
эндобдж
25 0 объект
>
/ ExtGState>
/ Шрифт>
/ XObject>
>>
/ Повернуть 0
/ StructParents 5
/ Вкладки / S
/ Тип / Страница
>>
эндобдж
26 0 объект
>
/ Шрифт>
/ XObject>
>>
/ Повернуть 0
/ StructParents 6
/ Вкладки / S
/ Тип / Страница
>>
эндобдж
27 0 объект
>
/ Шрифт>
/ XObject>
>>
/ Повернуть 0
/ StructParents 7
/ Вкладки / S
/ Тип / Страница
>>
эндобдж
28 0 объект
>
/ ExtGState>
/ Шрифт>
/ XObject>
>>
/ Повернуть 0
/ StructParents 8
/ Вкладки / S
/ Тип / Страница
>>
эндобдж
29 0 объект
>
/ ExtGState>
/ Шрифт>
/ XObject>
>>
/ Повернуть 0
/ StructParents 9
/ Вкладки / S
/ Тип / Страница
>>
эндобдж
30 0 объект
>
/ Шрифт>
/ XObject>
>>
/ Повернуть 0
/ StructParents 10
/ Вкладки / S
/ Тип / Страница
>>
эндобдж
31 0 объект
>
>>
/ Повернуть 0
/ StructParents 11
/ Вкладки / S
/ Тип / Страница
>>
эндобдж
32 0 объект
>
/ Шрифт>
/ XObject>
>>
/ Повернуть 0
/ StructParents 12
/ Вкладки / S
/ Тип / Страница
>>
эндобдж
33 0 объект
>
/ Шрифт>
/ XObject>
>>
/ Повернуть 0
/ StructParents 13
/ Вкладки / S
/ Тип / Страница
>>
эндобдж
34 0 объект
>
/ Шрифт>
/ XObject>
>>
/ Повернуть 0
/ StructParents 14
/ Вкладки / S
/ Тип / Страница
>>
эндобдж
35 0 объект
>
/ Шрифт>
/ XObject>
>>
/ Повернуть 0
/ StructParents 15
/ Вкладки / S
/ Тип / Страница
/ Аннотации [567 0 R]
>>
эндобдж
36 0 объект
>
эндобдж
37 0 объект
>
эндобдж
38 0 объект
>
эндобдж
39 0 объект
>
эндобдж
40 0 объект
>
эндобдж
41 0 объект
>
эндобдж
42 0 объект
>
эндобдж
43 0 объект

/ К 0
/ П 12 0 Р
/ Стр.20 0 Р
/ S / Рисунок
>>
эндобдж
44 0 объект
>
эндобдж
45 0 объект
>
эндобдж
46 0 объект
>
эндобдж
47 0 объект
>
эндобдж
48 0 объект
>
эндобдж
49 0 объект
>
эндобдж
50 0 объект
>
эндобдж
51 0 объект
>
эндобдж
52 0 объект
>
эндобдж
53 0 объект
>
эндобдж
54 0 объект
>
эндобдж
55 0 объект
>
эндобдж
56 0 объект
>
эндобдж
57 0 объект
>
эндобдж
58 0 объект
>
эндобдж
59 0 объект
>
эндобдж
60 0 объект
>
эндобдж
61 0 объект
>
эндобдж
62 0 объект
>
эндобдж
63 0 объект
>
эндобдж
64 0 объект
>
эндобдж
65 0 объект
>
эндобдж
66 0 объект
>
эндобдж
67 0 объект
>
эндобдж
68 0 объект
>
эндобдж
69 0 объект
>
эндобдж
70 0 объект
>
эндобдж
71 0 объект
>
эндобдж
72 0 объект
>
эндобдж
73 0 объект
>
эндобдж
74 0 объект
>
эндобдж
75 0 объект
>
эндобдж
76 0 объект
>
эндобдж
77 0 объект
>
эндобдж
78 0 объект
>
эндобдж
79 0 объект
>
эндобдж
80 0 объект
>
эндобдж
81 0 объект
>
эндобдж
82 0 объект
>
эндобдж
83 0 объект
>
эндобдж
84 0 объект
>
эндобдж
85 0 объект
>
эндобдж
86 0 объект
>
эндобдж
87 0 объект
>
эндобдж
88 0 объект
>
эндобдж
89 0 объект
>
эндобдж
90 0 объект
>
эндобдж
91 0 объект
>
эндобдж
92 0 объект
>
эндобдж
93 0 объект
>
эндобдж
94 0 объект
>
эндобдж
95 0 объект
>
эндобдж
96 0 объект
>
эндобдж
97 0 объект
>
эндобдж
98 0 объект
>
эндобдж
99 0 объект
>
эндобдж
100 0 объект
>
эндобдж
101 0 объект
>
эндобдж
102 0 объект
>
эндобдж
103 0 объект
>
эндобдж
104 0 объект
>
эндобдж
105 0 объект
>
эндобдж
106 0 объект
>
эндобдж
107 0 объект
>
эндобдж
108 0 объект
>
эндобдж
109 0 объект
>
эндобдж
110 0 объект
>
эндобдж
111 0 объект
>
эндобдж
112 0 объект
>
эндобдж
113 0 объект
>
эндобдж
114 0 объект
>
эндобдж
115 0 объект
>
эндобдж
116 0 объект
>
эндобдж
117 0 объект
>
эндобдж
118 0 объект
>
эндобдж
119 0 объект
>
эндобдж
120 0 объект
>
эндобдж
121 0 объект
>
эндобдж
122 0 объект
>
эндобдж
123 0 объект
>
эндобдж
124 0 объект
>
эндобдж
125 0 объект
>
эндобдж
126 0 объект
>
эндобдж
127 0 объект
>
эндобдж
128 0 объект
>
эндобдж
129 0 объект
>
эндобдж
130 0 объект
>
эндобдж
131 0 объект
>
эндобдж
132 0 объект
>
эндобдж
133 0 объект
>
эндобдж
134 0 объект
>
эндобдж
135 0 объект
>
эндобдж
136 0 объект
>
эндобдж
137 0 объект
>
эндобдж
138 0 объект
>
эндобдж
139 0 объект
>
эндобдж
140 0 объект
>
эндобдж
141 0 объект
>
эндобдж
142 0 объект
>
эндобдж
143 0 объект
>
эндобдж
144 0 объект
>
эндобдж
145 0 объект
>
эндобдж
146 0 объект
>
эндобдж
147 0 объект
>
эндобдж
148 0 объект
>
эндобдж
149 0 объект
>
эндобдж
150 0 объект
>
эндобдж
151 0 объект
>
эндобдж
152 0 объект
>
эндобдж
153 0 объект
>
эндобдж
154 0 объект
>
эндобдж
155 0 объект
>
эндобдж
156 0 объект
>
эндобдж
157 0 объект
>
эндобдж
158 0 объект
>
эндобдж
159 0 объект
>
эндобдж
160 0 объект
>
эндобдж
161 0 объект
>
эндобдж
162 0 объект
>
эндобдж
163 0 объект
>
эндобдж
164 0 объект
>
эндобдж
165 0 объект
>
эндобдж
166 0 объект
>
эндобдж
167 0 объект
>
эндобдж
168 0 объект
>
эндобдж
169 0 объект
>
эндобдж
170 0 объект
>
эндобдж
171 0 объект
>
эндобдж
172 0 объект
>
эндобдж
173 0 объект
>
эндобдж
174 0 объект
>
эндобдж
175 0 объект
>
эндобдж
176 0 объект
>
эндобдж
177 0 объект
>
эндобдж
178 0 объект
>
эндобдж
179 0 объект
>
эндобдж
180 0 объект
>
эндобдж
181 0 объект
>
эндобдж
182 0 объект
>
эндобдж
183 0 объект
>
эндобдж
184 0 объект
>
эндобдж
185 0 объект
>
эндобдж
186 0 объект
>
эндобдж
187 0 объект
>
эндобдж
188 0 объект
>
эндобдж
189 0 объект
>
эндобдж
190 0 объект
>
эндобдж
191 0 объект
>
эндобдж
192 0 объект
>
эндобдж
193 0 объект
>
эндобдж
194 0 объект
>
эндобдж
195 0 объект
>
эндобдж
196 0 объект
>
эндобдж
197 0 объект
>
эндобдж
198 0 объект
>
эндобдж
199 0 объект
>
эндобдж
200 0 объект
>
эндобдж
201 0 объект
>
эндобдж
202 0 объект
>
эндобдж
203 0 объект
>
эндобдж
204 0 объект
>
эндобдж
205 0 объект
>
эндобдж
206 0 объект
>
эндобдж
207 0 объект
>
эндобдж
208 0 объект
>
эндобдж
209 0 объект
>
эндобдж
210 0 объект
>
эндобдж
211 0 объект
>
эндобдж
212 0 объект
>
эндобдж
213 0 объект
>
эндобдж
214 0 объект
>
эндобдж
215 0 объект
>
эндобдж
216 0 объект
>
эндобдж
217 0 объект
>
эндобдж
218 0 объект
>
эндобдж
219 0 объект
>
эндобдж
220 0 объект
>
эндобдж
221 0 объект
>
эндобдж
222 0 объект
>
эндобдж
223 0 объект
>
эндобдж
224 0 объект
>
эндобдж
225 0 объект
>
эндобдж
226 0 объект
>
эндобдж
227 0 объект
>
эндобдж
228 0 объект
>
эндобдж
229 0 объект
>
эндобдж
230 0 объект
>
эндобдж
231 0 объект
>
эндобдж
232 0 объект
>
эндобдж
233 0 объект
>
эндобдж
234 0 объект
>
эндобдж
235 0 объект
>
эндобдж
236 0 объект
>
эндобдж
237 0 объект
>
эндобдж
238 0 объект
>
эндобдж
239 0 объект
>
эндобдж
240 0 объект
>
эндобдж
241 0 объект
>
эндобдж
242 0 объект
>
эндобдж
243 0 объект
>
эндобдж
244 0 объект
>
эндобдж
245 0 объект
>
эндобдж
246 0 объект
>
эндобдж
247 0 объект
>
эндобдж
248 0 объект
>
эндобдж
249 0 объект
>
эндобдж
250 0 объект
>
эндобдж
251 0 объект
>
эндобдж
252 0 объект
>
эндобдж
253 0 объект
>
эндобдж
254 0 объект
>
эндобдж
255 0 объект
>
эндобдж
256 0 объект
>
эндобдж
257 0 объект
>
эндобдж
258 0 объект
>
эндобдж
259 0 объект
>
эндобдж
260 0 объект
>
эндобдж
261 0 объект
>
эндобдж
262 0 объект
>
эндобдж
263 0 объект
>
эндобдж
264 0 объект
>
эндобдж
265 0 объект
>
эндобдж
266 0 объект
>
эндобдж
267 0 объект
>
эндобдж
268 0 объект
>
эндобдж
269 ​​0 объект
>
эндобдж
270 0 объект
>
эндобдж
271 0 объект
>
эндобдж
272 0 объект
>
эндобдж
273 0 объект
>
эндобдж
274 0 объект
>
эндобдж
275 0 объект
>
эндобдж
276 0 объект
>
эндобдж
277 0 объект
>
эндобдж
278 0 объект
>
эндобдж
279 0 объект
>
эндобдж
280 0 объект
>
эндобдж
281 0 объект
>
эндобдж
282 0 объект
>
эндобдж
283 0 объект
>
эндобдж
284 0 объект
>
эндобдж
285 0 объект
>
эндобдж
286 0 объект
>
эндобдж
287 0 объект
>
эндобдж
288 0 объект
>
эндобдж
289 0 объект
>
эндобдж
290 0 объект
>
эндобдж
291 0 объект
>
эндобдж
292 0 объект
>
эндобдж
293 0 объект
>
эндобдж
294 0 объект
>
эндобдж
295 0 объект
>
эндобдж
296 0 объект
>
эндобдж
297 0 объект
>
эндобдж
298 0 объект
>
эндобдж
299 0 объект
>
эндобдж
300 0 объект
>
эндобдж
301 0 объект

/ К 104
/ П 12 0 Р
/ Стр. 35 0 R
/ S / Рисунок
>>
эндобдж
302 0 объект
>
эндобдж
303 0 объект
>
эндобдж
304 0 объект
>
эндобдж
305 0 объект
>
эндобдж
306 0 объект
>
эндобдж
307 0 объект
>
эндобдж
308 0 объект
>
эндобдж
309 0 объект
>
эндобдж
310 0 объект
>
эндобдж
311 0 объект
>
эндобдж
312 0 объект
>
эндобдж
313 0 объект
>
эндобдж
314 0 объект
>
эндобдж
315 0 объект
>
эндобдж
316 0 объект
>
эндобдж
317 0 объект
>
эндобдж
318 0 объект
>
эндобдж
319 0 объект
>
эндобдж
320 0 объект
>
эндобдж
321 0 объект
>
эндобдж
322 0 объект
>
эндобдж
323 0 объект
>
эндобдж
324 0 объект
>
эндобдж
325 0 объект
>
эндобдж
326 0 объект
>
эндобдж
327 0 объект
>
эндобдж
328 0 объект
>
эндобдж
329 0 объект
>
эндобдж
330 0 объект
>
эндобдж
331 0 объект
>
эндобдж
332 0 объект
>
эндобдж
333 0 объект
>
эндобдж
334 0 объект
>
эндобдж
335 0 объект
>
эндобдж
336 0 объект
>
эндобдж
337 0 объект
>
эндобдж
338 0 объект
>
эндобдж
339 0 объект
>
эндобдж
340 0 объект
>
эндобдж
341 0 объект
>
эндобдж
342 0 объект
>
эндобдж
343 0 объект
>
эндобдж
344 0 объект
>
эндобдж
345 0 объект
>
эндобдж
346 0 объект
>
эндобдж
347 0 объект
>
эндобдж
348 0 объект
>
эндобдж
349 0 объект
>
эндобдж
350 0 объект
>
эндобдж
351 0 объект
>
эндобдж
352 0 объект
>
эндобдж
353 0 объект
>
эндобдж
354 0 объект
>
эндобдж
355 0 объект
>
эндобдж
356 0 объект
>
эндобдж
357 0 объект
>
эндобдж
358 0 объект
>
эндобдж
359 0 объект
>
эндобдж
360 0 объект
>
эндобдж
361 0 объект
>
эндобдж
362 0 объект
>
эндобдж
363 0 объект
>
эндобдж
364 0 объект
>
эндобдж
365 0 объект
>
эндобдж
366 0 объект
>
эндобдж
367 0 объект
>
эндобдж
368 0 объект
>
эндобдж
369 0 объект
>
эндобдж
370 0 объект
>
эндобдж
371 0 объект
>
эндобдж
372 0 объект
>
эндобдж
373 0 объект
>
эндобдж
374 0 объект
>
эндобдж
375 0 объект
>
эндобдж
376 0 объект
>
эндобдж
377 0 объект
>
эндобдж
378 0 объект
>
эндобдж
379 0 объект
>
эндобдж
380 0 объект
>
эндобдж
381 0 объект
>
эндобдж
382 0 объект
>
эндобдж
383 0 объект
>
эндобдж
384 0 объект
>
эндобдж
385 0 объект
>
эндобдж
386 0 объект
>
эндобдж
387 0 объект
>
эндобдж
388 0 объект
>
эндобдж
389 0 объект
>
эндобдж
390 0 объект
>
эндобдж
391 0 объект
>
эндобдж
392 0 объект
>
эндобдж
393 0 объект
>
эндобдж
394 0 объект
>
эндобдж
395 0 объект
>
эндобдж
396 0 объект
>
эндобдж
397 0 объект
>
эндобдж
398 0 объект
>
эндобдж
399 0 объект
>
эндобдж
400 0 объект
>
эндобдж
401 0 объект
>
эндобдж
402 0 объект
>
эндобдж
403 0 объект
>
эндобдж
404 0 объект
>
эндобдж
405 0 объект
>
эндобдж
406 0 объект
>
эндобдж
407 0 объект
>
эндобдж
408 0 объект
>
эндобдж
409 0 объект
>
эндобдж
410 0 объект
>
эндобдж
411 0 объект
>
эндобдж
412 0 объект
>
эндобдж
413 0 объект
>
эндобдж
414 0 объект
>
эндобдж
415 0 объект
>
эндобдж
416 0 объект
>
эндобдж
417 0 объект
>
эндобдж
418 0 объект
>
эндобдж
419 0 объект
>
эндобдж
420 0 объект
>
эндобдж
421 0 объект
>
эндобдж
422 0 объект
>
эндобдж
423 0 объект
>
эндобдж
424 0 объект
>
эндобдж
425 0 объект
>
эндобдж
426 0 объект
>
эндобдж
427 0 объект
>
эндобдж
428 0 объект
>
эндобдж
429 0 объект
>
эндобдж
430 0 объект
>
эндобдж
431 0 объект
>
эндобдж
432 0 объект
>
эндобдж
433 0 объект
>
эндобдж
434 0 объект
>
эндобдж
435 0 объект
>
эндобдж
436 0 объект
>
эндобдж
437 0 объект
>
эндобдж
438 0 объект
>
эндобдж
439 0 объект
>
эндобдж
440 0 объект
>
эндобдж
441 0 объект
>
эндобдж
442 0 объект
>
эндобдж
443 0 объект
>
эндобдж
444 0 объект
>
эндобдж
445 0 объект
>
эндобдж
446 0 объект
>
эндобдж
447 0 объект
>
эндобдж
448 0 объект
>
поток
xyp} h, если & i22S4dIҤMIv1M6N2iCMdhJƷ | `cc | bԧ $> uCƦHZmp: ˫ ߻ Z ~ Ϯ} ww? ~ _R ​​

.