2x 3 0 решение

Вы искали 2x 3 0 решение? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 2x x, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «2x 3 0 решение».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как 2x 3 0 решение,2x x,3 2 x решить,3 x 2 решить,4×2,x 2 3x 0 решить уравнение,x 2 3x решите уравнение,x 2 x 3 0 решение,x 2 x 3 решение,x 2x,x 3x,x3 x,как решить уравнение 2 x 3 x,решение 2x 3 0,решите уравнение 2x 2 x 3 0,решите уравнение 3x 2 x 0,решите уравнение 3x x 2 0,решите уравнение 7x 3 2x 1 x 3,решите уравнение x 2 3x 0,решите уравнение x 2 3x 3 x,решите уравнение x 2 x 3 0,решите уравнение x 3 x 0,решите уравнение x 3 x 2 0,решите уравнение x2 3x 0,решите уравнение x3 3×2 x 3 0,решить x 2 x 3,решить x 2 x 4 1,решить уравнение 2x 3 0,решить уравнение 3x 2 0,решить уравнение x 2 3x 0,решить уравнение x 2 x 3 0. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и 2x 3 0 решение. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, 3 2 x решить).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 2x 3 0 решение Онлайн?

Решить задачу 2x 3 0 решение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.

Как графически решить уравнение?

☰

Иногда уравнения решают графическим способом. Для этого надо преобразовать уравнение так (если оно уже не представлено в преобразованном виде), чтобы слева и справа от знака равенства стояли выражения, для которых легко можно нарисовать графики функций. Например, дано такое уравнение:
x² – 2x – 1 = 0

Если мы еще не изучали решение квадратных уравнений алгебраическим способом, то можем попробовать сделать это либо разложением на множители, либо графически. Чтобы решить подобное уравнение графически, представим его в таком виде:
x² = 2x + 1

Из такого представления уравнения следует, что требуется найти такие значения x, при которых левая часть будет равна правой.

Как известно, графиком функции y = x² является парабола, а y = 2x + 1 — прямая. Координата x точек координатной плоскости, лежащих как на первом графике, так и на втором (то есть точек пересечения графиков) как раз и являются теми значениями x, при которых левая часть уравнения будет равна правой. Другими словами, координаты x точек пересечения графиков являются корнями уравнения.

Графики могут пересекаться в нескольких точках, в одной точке, вообще не пересекаться. Отсюда следует, что уравнение может иметь несколько корней, или один корень, или вообще их не иметь.

Рассмотрим пример попроще:
x² – 2x = 0 или x² = 2x

Нарисуем графики функций y = x² и y = 2x:

Как видно из чертежа, парабола и прямая пересекаются в точках (0; 0) и (2; 4). Координаты x этих точек соответственно равны 0 и 2. Значит, уравнение x² – 2x = 0 имеет два корня — x₁ = 0, x₂ = 2.

Проверим это, решив уравнение вынесением общего множителя за скобки:
x² – 2x = 0
x(x – 2) = 0

Ноль в правой части может получиться либо при x равном 0, либо 2.

Причина, по которой мы не стали графически решать уравнение x² – 2x – 1 = 0 в том, что в большинстве уравнений корнями являются вещественные (дробные) числа, а точно определить на графике значение x сложно. Поэтому для большинства уравнений графический способ решения не является лучшим. Однако знание этого способа дает более глубокое понимание связи между уравнениями и функциями.

Графическое решений квадратных уравнений — презентация онлайн

Алгебра 8 класс

2. Немного истории

Еще в древнем Вавилоне могли
решить некоторые виды
квадратных уравнений.
Диофант Александрийский,
Аль- Хорезми
Решали уравнения
геометрическими и
.
графическими способами
Евклид
Омар Хайям
Квадратное уравнение имеет вид
ax2 + bx + c = 0
Для графического решения квадратного уравнения
представьте его в одном из видов:
ax2 + bx +c = 0
2
ax = -bx – c
2
ax + c = — bx
a(x + b/2a)2 = ( 4ac — b2 )/4a

4. Алгоритм графического решения квадратных уравнений

Ввести функцию f(x), равную левой части и
g(x) , равную правой части
Построить графики функций y=f(x) и y=g(x)
на одной координатной плоскости
Отметить точки пересечения графиков
Найти абсциссы точек пересечения,
сформировать ответ
Способы графического решения
квадратного уравнения
ах² + bх + с = 0
I
Способ
поcтроения
параболы
y=ах²
+bx+c
III
II
(a)
Способ
поcтроения
прямой
у= bx+c и
параболы
у = ах²
(b)
Способ
поcтроения
прямой
у= bx и
параболы
у = ах²+с
(в)
Способ
поcтроения
прямой
у= с и
параболы
у = ах²+ bx
Способ
выделения
полного
квадрата
«Человеку, изучающему алгебру,
часто полезнее решить одну и ту же
задачу различными способами, чем
решать три-четыре различные
задачи. Решая одну задачу
различными способами, можно путем
сравнения выяснить, какой из них
короче и эффективнее. Так
вырабатывается опыт». У. У. Сойер.

7. Графическое решение квадратного уравнения

Иллюстрация на одном примере

8. Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способом

Способ 1
• Построить график функции
y=ax2+bx+c
• Найти точки пересечения графика с
осью абсцисс
Решить уравнение
у х2 2х 3
1 способ
Построим график функции у =
1.
2.
х 2х 3 0
2
у
х2 2х 3
График-парабола, а=1>0,ветви вверх.
Вершина ( х0 ; у0)
в
х0 =- 2а
3
Хο=1
у0 12 2 3 4
о
(1; -4)-вершина
3. Ось параболы
х0 1
-1
1
3
4. Дополнительные точки:
х -1 0 1 2 3
у
0
-3 -4
-3
0
Корнями уравнения являются
абсциссы точек пересечения графика с осью х, т.е. где у=0.
Значит, корни уравнения -1 и 3. Проверка устно. Ответ: -1; 3.
х

10. Алгоритм построения параболы

найти координаты вершины;
провести ось параболы;
отметить на оси абсцисс две точки,
симметричные относительно оси
параболы; найти значения функции в
этих точках;
провести параболу через полученные
точки.

11. Примеры графического решения квадратных уравнений

Решение уравнения
•Пусть f(x)= x2 – 2x -3 и g(x) =0
x2-2x –3=0
у=x2 – 2x -3
а = 1>0, ветви вверх
•Координаты вершины x۪ ۪
ο
=-b/2a; x۪ ۪
ο
=1 .
y ο = 1² — 2 – 3 = -4; y ο = -4; ( 1; -4)
Найти точки абсциссы которых
симметричны относительно х=1
-1
2 -2x -3
•Построить
по
таблице
график
y=x
x 0 2 -1 3
y
-3 -3 0
0
3
Корни уравнения равны абсциссам точек
пересечения параболы с осью ОХ

12. Графический способ решения квадратных уравнений

Парабола и прямая не
Парабола и
прямая
касаются
Квадратное
уравнение
имеет два равных
корня
Парабола и прямая
пересекаются
Квадратное
уравнение
имеет два
различных корня
пересекаются и не
касаются
Квадратное
уравнение не имеет
корней

13. Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способом

Способ 2(а)
• Построить графики функции y=ax2 и
у = bx+ с
• Найти абсциссы точек пересечения
графиков.

14. x2 – 2x – 3 =0 Представим в виде x2 = 2x +3

Пусть f(x)=x2 и g(x)=2x +3
Построим на одной
координатной плоскости
графики функций
y=x2 иy= 2x + 3
Корни уравнения
абсциссы точек
пересечения
параболы с прямой
-1
3
2 способ
Преобразуем уравнение
х2 2х 3 0
к виду
х2 2х 3
у х2 ; у 2х 3
Построим в одной системе координат графики функций
у х2
у 2х 3
-это
парабола
у
-это прямая
у 2х 3
у х2
х
0
1
у
3
5
Корнями уравнения являются
абсциссы точек пересечения: -1 и 3
3
х
-1
3
4 x2 – 4x + 1 =0
Представим в виде
4×2 = 4x -1
1). Построим графики функций:
у = 4 x2 , у = 4x — 1
2). Строим параболу у = 4 x2
а = 4, ветви вверх
хο = — в ; хο= 0; ; уο= 0.
2а
По шаблону строим параболу
у
3
1
0,5
0
-1
3). Строим прямую у = 4x — 1
x
0
1
y
-1 3
Корнем уравнения является
абсцисса точки пересечения: 0,5
1
х

17. Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способом

Способ 2 (b)
• Преобразовать уравнение к виду
ax2+с = bx
• Построить:
параболу y = ax2+с и прямую y = bx
• Найти абсциссы точек пересечения
графиков функции.

18. x2 – 2x – 3 =0 Представим в виде x2 –3 = 2x

y=x2 –3
Пусть f(x)=x2 –3 и g(x)=2x
Построим на одной
координатной плоскости
графики функций
y=x2 –3 и y =2x
-1
Корни уравнения
абсциссы точек
пересечения параболы с
прямой
y =2x
3

19. x2 – 4x + 5 =0 Представим в виде x2 +5 = 4x

y
Пусть f(x)=x2 +5 и g(x)=4x
Построим на одной
координатной плоскости
графики функций
y=x2 +5 и y =4x
y=x2 +5
y =4x
Точек пересечения
параболы с прямой нет
Ответ: корней нет
о
x

20. Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способом

Способ 2(в)
• Построить графики функции
• y=ax2 + bx и
у=с
• Найти абсциссы точек пересечения
графиков.

21. x2 – 2x – 3 =0 Представим в виде x2 – 2x = 3

y
Пусть f(x)= х² — 2х и g(x)=3
Построим на одной
координатной плоскости
графики функций
y= х² — 2х и y=3
-1
y= х² — 2х
y=3
о
Корни уравнения
абсциссы точек
пересечения параболы
с прямой
-1
2
х
3
3

22. Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способом

Способ 3
(выделение полного квадрата)
• Преобразовать уравнение к виду
a(x+l)2 = m
• Построить:
параболу y = a(x+l)2 и прямую y = m
• Найти абсциссы точек пересечения
графиков функций.
Выделение квадрата двучлена.
x2 – 2x = 3
x2 – 2x + 1 = 3 + 1
( x –1)2=4.
( x –1)2 — 4 = 0
( x –1)2 — 2² = 0
( x –1 – 2) ( x –1 + 2 ) = 0
( x –3 ) ( x + 1 ) = 0
x –3 = 0
x+1=0
x =3
x =-1

24. x2 – 2x – 3 =0 Представим в виде (x –1)2=4

y= (x –1)2
Пусть f(x)= (x – 1)2 и g(x)=4
Построим на одной
координатной плоскости
графики функций
y= (x –1)2 и y=4
y=4
-1
Корни уравнения
абсциссы точек
пересечения параболы
с прямой
3

25. Решите графически уравнение

Группа А
Группа В
Бычев Андрей
Баличев Илья
Ерофеева Ксения
Помигуев Павел
Каминская Света
Фролов Саша
Лобов Егор
Лукьяненко Вероника
Осипов Павел
Циорба Влад
х² + 2х – 8= 0
4х² — 8х + 3= 0
Группа С
Григорьева Катя
Соловьев Илья
3х² + 2х – 1= 0
Сколько нам открытий
чудных готовит
просвещения дух?

27. Решить графически уравнение

x 2x 8 0
2

28. Как решить уравнение?

x 2x 8 0
2
Построить график квадратичной функции и
абсциссы точек пересечения параболы с осью x
будут являться корнями уравнения.
Выполнить преобразование уравнения, рассмотреть
функции, построить графики этих функций,
установить точки пересечения графиков функций,
абсциссы которых и будут являться корнями
уравнения.

29. Решить графически уравнение

x 2 x 8
2

30. Построить график функции

y x
2

31. Построить график функции

y 2 x 8

32. Корни уравнения: абсциссы точек пересечения графиков функций

x1 4
x2 2

33. Построить график функции

y x 2x 8
2
Корни уравнения:
точки пересечения
параболы с осью ОХ
x1 4
x2 2

34. Решить графически уравнение

x 8 2 x
2
Корни уравнения:
точки пересечения
параболы и прямой
x1 4
x2 2

35. Решить графически уравнение

( x 1) 9
2
Корни уравнения:
точки пересечения
параболы и прямой
x1 4
x2 2

36. Итог

Познакомились:
• с графическим методом решения
квадратных уравнений;
• с различными способами графического
решения квадратных уравнений.
• закрепили знания по построению
графиков различных функций.

37. Заключительное слово учителя:

«Чем больше и глубже вам
удастся усвоить азы
математики и научиться
пользоваться ее методами, тем
дальше и быстрее вы сумеете
продвинуться в использовании
математических средств в той
области деятельности, которой
займетесь после школы»

ЕГЭ по информатике 2021 — Задание 14 (Чемпионская подготовка)

Мы подошли к 14 заданию из ЕГЭ по информатике 2021. Оно связано с различными системами счисления. Что такое различные системы счисления, мы рассматривали в этой статье. Так же будет полезно посмотреть эту статью.

Переходим к первому тренировочному 14-ому заданию из ЕГЭ по информатике. Раньше это задание было под номером 16.

Задача (ЕГЭ по информатике, 2019, Москва)

Значение выражения 5³⁶ + 5²⁴ — 25 записали в системе счисления с основанием 5. Сколько цифр «4» содержится в этой записи?

Решение:

Сформулируем главное правило, на которое будем опираться при решении подобного типа задач.

Примеры:

5⁴ (в десятичной системе) — это 10000₅ (в пятеричной системе)
7² (в десятичной системе) — это 100₇ (в семеричной системе)
2⁹ (в десятичной системе) — это 1000000000₂ (в двоичной системе)

Перепишем наше выражение, чтобы все числа были в виде степени представлены.

5³⁶ + 5²⁴ — 5²

Посчитаем 5³⁶ + 5²⁴ в пятеричной системе столбиком, используя основное правило.

Здесь всё просто: ноль прибавить ноль, будет ноль. Единица плюс ноль, будет один.

Теперь от получившегося числа нужно отнять 5² (100₅).

Первые два разряда посчитать легко. Ноль минус ноль, будет ноль.

Третий разряд: из нуля отнять единицу мы не можем, поэтому занимаем у более старших разрядов.

В более старших разрядах тоже нули, поэтому идём до единицы, у которой можно занять. Получается 22 четвёрки.

Вот как было бы, если бы считали в нашей родной десятичной системе счисления в аналогичной ситуации.

Здесь мы считаем в десятичной системе, поэтому получаются девятки. В нашей задаче считали в пятеричной системе, поэтому получаются четвёрки.

В ответе напишем 22 четвёрки.

Ответ: 22

Задача (ЕГЭ по информатике, 2020, Москва)

Значение выражения 16⁸ × 4²⁰ — 4⁵ — 64 записали в системе счисления с основанием 4. Сколько цифр «3» содержится в этой записи?

Решение:

Преобразуем наше выражение. Приведём всё к 4-ам.

16⁸ × 4²⁰ — 4⁵ — 64 =
= (4²)⁸ × 4²⁰ — 4⁵ — 4³ =
= 4¹⁶ × 4²⁰ — 4⁵ — 4³ =
= 4³⁶ — 4⁵ — 4³

Здесь не можем применить технику устного счёта, потому что стоят два минуса. Значит, будем решать с помощью столбиков.

Сначала посчитаем 4³⁶ — 4⁵.

Теперь от этого числа нужно отнять 4³ (1000₄)

Получается 32 тройки.

В последнем вычислении нет ничего сложно. В десятичной системе вы бы легко вычислили в аналогичной ситуации.

Ответ: 32

Задача (Тренировочная)

Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные натуральные числа, не превосходящие 17, запись которых в троичной системе счисления оканчивается на две одинаковые цифры.

Решение:

1) Переведём число 17 в троичную систему.

Получилось 122₃.

2) Теперь выпишем все числа, которые не превосходят 122₃ (Т.е. 122₃ тоже подходит!), запись которых в троичной системе счисления оканчивается на две одинаковые цифры. В троичной системе могут применяться цифры 0, 1, 2.

122₃

122₃

111₃

100₃

22₃

11₃

Теперь переведём эти числа в десятичную систему.

122₃ = 2 × 3⁰ + 2 × 3¹ + 1 × 3² = 17₁₀

111₃ = 1 × 3⁰ + 1 × 3¹ + 1 × 3² = 13₁₀

100₃ = 0 × 3⁰ + 0 × 3¹ + 1 × 3² = 9₁₀

22₃ = 2 × 3⁰ + 2 × 3¹ = 8₁₀

11₃ = 1 × 3⁰ + 1 × 3¹ = 4₁₀

Ответ: 4, 8, 9, 13, 17

Ещё один интересный тип задания номер 14, который вполне может быть на реальном ЕГЭ по информатике 2021.

Задача (Уравнение)

Чему равно наименьшее основание позиционной системы счисления x, при котором 225_x = 405_y?
Ответ записать в виде целого числа.

Решение:

Переведём каждое из чисел 225_x и 405_y в десятичную систему счисления и приравняем, т.к. эти числа равны.

5 × x⁰ + 2 × x¹ + 2 × x² = 5 × y⁰ + 0 × y¹ + 4 × y²

Любое число в нулевой степени — это 1. Значит, 5 × x⁰ = 5 × y⁰ = 5. Эти два выражения равны одному и тому же значению, следовательно, их можно убрать и слева, и справа.

2x + 2x² = 4y²

x + x² = 2y²

x(1 + x) = 2y²

Получили уравнение в целых числах. Слева умножение двух последовательных чисел. Нужно начать подбирать целые числа.

При y = 6 :

x (1 + x) = 2 × 6² = 72 ; Произведение двух последовательных чисел 8 * 9 = 72. Значит, x = 8.

Мы начали проверку с числа 6, потому что у нас в уравнении присутствуют цифра 5. Значит, система счисления может быть минимум с основанием 6.

Получается, что наименьшее значение x равно 8.

В подобных задач нужно знать, что числа обязательно найдутся, нужно их просто хорошо поискать.

Ответ: 8

Для качественной проработки 14 задания из ЕГЭ по информатике 2021 разберём ещё некоторые задачи.

Задача (Основание системы)

Запись числа 338 в системе счисления с основанием N содержит 3 цифры и оканчивается на 2. Чему равно максимально возможное основание системы счисления?

Решение:

Чтобы перевести число из нашей родной системы счисления в любую другую систему с основанием N, нужно начать делить это число уголком на N.

Сказано, что число в системе с основанием N оканчивается на 2. Поэтому первый остаток должен быть равен 2!

Число 336 должно делится на N.

Сказано, что число в системе счисления с основанием N должно быть трёхзначное. Оценим примерные границы числа N, чтобы число было трёхзначным.

Оценим примерную верхнюю границу для N. Если, что N = 20, то 338 : 20 = 16 (ост. 18). Видим, что при одном делении мы получаем число 16, т.е. число меньше, чем 20. Значит, если бы мы переводили число 338 в двадцатеричную систему, получили бы двухзначное число.

Значит, N

Найдём число, которое меньше 20, и является делителем числа 336. Начинаем перебирать с наибольших чисел.

Подошло число 16 (16 * 21 = 336!)

Проверим, что это число нам подходит на 100 %.

Видим, что мы выполнили все условия задачи и нашли число N максимально возможное.

Ответ: 16

Продолжаем подготовку к 14 заданию из ЕГЭ по информатике 2021

Задача (На понимание)

Запись числа в девятеричной системе счисления заканчивается цифрой 4. Какой будет последняя цифра в записи этого числа в троичной системе счисления?

Решение:

Подберём такие числа в десятичной системе, которые в остатке при первом делении на 9 дадут 4!

Посмотрим, какой остаток будет при делении этого же числа на 3 при первом делении. Получается 1. Это и будет ответ.

Ответ: 1

Задача (Закрепление материала)

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 23 оканчивается на 2.

Решение:

Нужно перебрать все числа от 3 до 23 и определить, какие из них при делении числа 23 дадут остаток 2.

23 : 3 = 7 (ост. 2) +
23 : 4 = 5 (ост. 3) —
23 : 5 = 4 (ост. 3) —
23 : 6 = 3 (ост. 5) —
23 : 7 = 3 (ост. 2) +
23 : 8 = 2 (ост. 7) —
23 : 9 = 2 (ост. 5) —
23 : 10 = 2 (ост. 3) —
23 : 11 = 2 (ост. 1) —
23 : 12 = 1 (ост. 11) —
23 : 13 = 1 (ост. 10) —
23 : 14 = 1 (ост. 9) —
23 : 15 = 1 (ост. 8) —
23 : 16 = 1 (ост. 7) —
23 : 17 = 1 (ост. 6) —
23 : 18 = 1 (ост. 5) —
23 : 19 = 1 (ост. 4) —
23 : 20 = 1 (ост. 3) —
23 : 21 = 1 (ост. 2) +
23 : 22 = 1 (ост. 1) —
23 : 23 = 1 (ост. 0) —

Подходят числа 3, 7, 21.

Ответ: 3, 7, 21

Задача (Добьём 14 задание из ЕГЭ по информатике 2021)

В некоторой системе счисления записи десятичных чисел 66 и 40 заканчиваются на 1. Определите основание системы счисления.

Решение:

Нужно найти такое число, чтобы числа 66 и 40 при делении на это число давали остаток 1.

Т.е. искомое число должно быть делителем чисел 65 (66-1) и 39 (40-1). У числа 39 не так много делителей: 1, 3, 13, 39

Видим, что число 65 делится на 13 (65 : 13 = 5). Поэтому искомое число равно 13.

Ответ: 13

Задача (Для чемпионов!)

В какой системе счисления выполняется равенство 12 · 13 = 222?

В ответе укажите число – основание системы счисления.

Решение:

Если бы мы находились в десятичной системе, то последней цифрой была бы 6 (2 * 3). Но у нас 2! Т.е. Система счисления меньше или равна 6, т.к. если бы система счисления была больше 6, то у нас была бы 6 последняя цифра.

Шестёрка не «поместилась» в младший разряд, от неё осталось только 2. Остальные 4 единицы ушли в более старший разряд. Если 4 единицы составляют единицу более старшего разряда, то значит, мы находимся в четверичной системе.

Ответ: 4

На этом всё! Вы прошли чемпионскую тренировку по подготовке 14 задания из ЕГЭ по информатике 2021. Успехов на экзамене!

Реферат на тему Численные методы

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение Высшего профессионального образования «Уральский государственный горный университет» Факультет геологии и геофизики Кафедра математики Реферат по дисциплине «Дополнительные главы высшей математики» На тему: «Численные методы решения задачи коши для обыкновенных дифференциальных уравнений» Выполнил: Габзалилов Э. Ф. студент группы: ЭЭТм-16 Проверил: Танана А. В. Екатеринбург 2017 Содержание 1. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений…………………1 1.1. Одношаговые методы……………………………………………………………………….2 2. Решение задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений…………9 2.1. Пример 1.1………………………………………………………………………………….13 2.2. Пример 1.2………………………………………………………………………………….14 2.3. Пример 1.3………………………………………………………………………………….16 2.4. Пример 1.4………………………………………………………………………………….17 2.5. Пример 1.5………………………………………………………………………………….20 3 Переход к произвольным индексам дает формулу метода Эйлера: (1.2) ),(1 kkkk yxhfyy +=+ Погрешность метода Эйлера. На каждом шаге метода Эйлера допускается локальная погрешность по отношению к точному решению, график которого проходит через крайнюю левую точку отрезка. Геометрически локальная погрешность изображается отрезком CD на первом шаге, C’D’ на втором и т.д. Кроме того, на каждом шаге, начиная со второго, накапливается глобальная погрешность представляющая собой разность межу численным решением и точным решением исходной начальной задачи (а не локальной). Глобальная погрешность на втором шаге изображена отрезком C’E’ на рис.1.1. Локальная ошибка на каждом шаге выражается соотношением 2 2 )(» hyhk ξε = , где [ kk xx ,1−∈ ]ξ . Глобальная погрешность метода Эйлера в окрестности h=0 ведет себя как линейная функция, и, следовательно, метод Эйлера имеет первый порядок точности относительно шага h. СhhГЛ =ε Модификации метода Эйлера. Неявный метод Эйлера Если на правой границе интервала использовать точное значение производной от решения (т.е. тангенса угла наклона касательной), то получается неявный метод Эйлера первого порядка точности. 4 (1.3) ),( 111 +++ += kkkk yxhfyy В общем случае нелинейное относительно yk +1 уравнение (1.3) численно решается с помощью одного из методов раздела 2, например, методом Ньютона или его модификациями. Метод Эйлера — Коши В данном методе на каждом интервале расчет проводится в два этапа. На первом (этап прогноза) определяется приближенное решение на правом конце интервала по методу Эйлера, на втором (этап коррекции) уточняется значение решения на правом конце с использованием полусуммы тангенсов углов наклона на концах интервала ),(~ 1 kkkk yxhfyy +=+ 2 )~,(),(( 11 1 ++ + + += kkkkkk yxfyxfh yy (1.4) hxx kk +=+1 Этот метод имеет второй порядок точности. Неявный метод Эйлера – Коши Если на правой границе интервала использовать точное значение производной к решению (т.е. тангенса угла наклона касательной), то получается неявный метод Эйлера-Коши (метод трапеций) второго порядка точности. 2 )),(),(( 11 1 ++ + + += kkkkkk yxfyxfhyy (1.5) hxx kk +=+1 5 Метод Эйлера-Коши с итерационной обработкой Комбинация (1.3), (1.4) и (1.5) дает метод формально второго порядка точности, но более точного в смысле абсолютной величины погрешности приближенного решения, чем исходные методы. ),()0( 1 kkkk yxhfyy +=+ 2 )),(),(( )1( 11)( 1 − ++ + + += i kkkk k i k yxfyxfh yy (1.6) hxx kk +=+1 В формуле (6) правые верхние индексы в круглых скобках обозначают номер итерации, при этом начальное приближение определяется по методу Эйлера. Метод Эйлера-Коши с итерационной обработкой представляет собой реализацию метода простой итерации для решения нелинейного уравнения (5) в неявном методе Эйлера. Выполнять простые итерации до полной сходимости нет смысла, поэтому рекомендуется выполнять 3-4 итерации. )0( 1+ky Первый улучшенный метод Эйлера Данный метод использует расчет приближенного значения производной от решения в точке на середине расчетного интервала. Значение производной в середине получают применением явного метода Эйлера на половинном шаге по х. ),( 22/1 kkkk yxfhyy +=+ (1.7) ),( 2/12/11 +++ += kkkk yxhfyy hxx kk +=+1 2/2/1 hxx kk +=+ 8 Контроль точности на каждом шаге h. Основным способом контроля точности получаемого численного решения при решении задачи Коши является методы основанные на принципе Рунге-Ромберга- Ричардсона. Пусть решение задачи Коши (1) полученоe методом Рунге-Кутты p – го порядка точности с шагом h в точке x+2h . Пусть решение той же задачи в точке x+2h, полученное тем же методом, но с шагом 2h . Тогда выражение hy hy 2 12 2 − − += p hh h yyyy( (1.11) аппроксимирует точное решение в точке x+2h y(x+2h) с p+1-ым порядком. Второе слагаемое в выражении (1.11) оценивает главный член в погрешности решения , то есть hy 12 2 − − = p hh h yyR . Контроль точности может быть организован следующим образом. Выбирается значение шага h и дважды рассчитывается решение в точке x+2h, один раз с шагом h, другой раз с шагом 2h. Рассчитывается величина и сравнивается с заданной точностью hR ε . Если величина меньше hR ε , то можно продолжать вычисления с тем же шагом, в противном случае необходимо вернуться к решению в точке x, уменьшить шаг h и повторить вычисления. Вычислительная стоимость такого контроля точности достаточно велика, особенно для многостадийных методов. Поэтому можно использовать более грубый способ контроля правильности выбора шага h . В случае метода Рунге-Кутты четвертого порядка точности следует на каждом шаге h рассчитывать параметр 9 kk kk k KK KK 21 32 − − =θ (1.12) Если величина порядка нескольких сотых единицы, то расчет продолжается с тем же шагом, если больше одной десятой, то шаг следует уменьшить, если же меньше одной сотой, то шаг можно увеличить. kθ kθ kθ Таким образом с помощью определения величин или можно организовать алгоритм выбора шага h для явного метода Рунге-Кутты. kθ hR 1.1.2. Решение задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассматривается задача Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка разрешенных относительно производной ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ),……,,,( ……………………………………. ),……,,,( ),……,,,( 21 ‘ 212 ‘ 2 211 ‘ 1 nnn n n yyyxfy yyyxfy yyyxfy (1.13) nn yxy yxy yxy 00 0202 0101 )( ………………… )( )( = = = Система (1.13) в более компактном виде записывается в векторной форме 10 00 )( ),(‘ yxy yxFy = = (1.14) Здесь Tnyyyxy ),……,,()( 21= — вектор столбец неизвестных функций, T nfffF ),…….,,( 21= — вектор функция правых частей. К векторному дифференциальному уравнению (1.14) можно применить все методы рассмотренные выше в данном разделе (благодаря линейной структуре всех рассмотренных методов). При этом в формулах (1.2)-(1.14) все величины векторные кроме переменной x и шага h. Рассмотрим задачу Коши для системы двух ОДУ первого порядка, где уравнения записаны в развернутом виде ⎩ ⎨ ⎧ = = ),,(‘ ),,(‘ zyxgz zyxfy (1.15) 00 00 )( )( zxz yxy = = Формулы метода Рунге-Кутты 4-го порядка точности для решения (1.15) следующие: kkk kkk zzz yyy ∆+= ∆+= + + 1 1 )22( 6 1 )22( 6 1 4321 4321 kkkk k kkkk k LLLLz KKKKy +++=∆ +++=∆ (1.16) 13 Полученная система, состоящая из n ОДУ первого порядка с соответствующими начальными условиями решается любым из описанных методов. Пусть необходимо решить задачу Коши для ОДУ второго порядка: )’,,(» yyxfy = 010 00 )(‘ )( yxy yxy = = (1.20) Путем введения замены , сведем (4.18) к системе ‘yz = ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = ),,( ‘ ‘ zyxfz zy 010 00 )( )( yxz yxy = = (1.21) , которую можно решить, например, с использованием метода (1.16). Пример 1.1 Явным методом Эйлера с шагом h=0.1 получить численное решение дифференциального уравнения y’= (y + x)2 с начальными условиями y(0) = 0 на интервале [0, 0.5] . Численное решение сравнить с точным решением y = tan(x) − x . Р е ш е н и е Итак, исходя из начальной точки 00 =x , 00 =y рассчитаем значение в узле . Аналогично получим решение в следующем узле =0.2; . 1y 1 0)00(1.0 2 0001 =+x =0.1 по формулам (1.2) y = y + hf (x , y ) = 0 + 2x 001.0)1.00(1.00),( 2 1112 =++=+= yxhfyy 14 Продолжим вычисления и, введя обозначения ),( 00 yxhfyk =∆ и kkистk yxy −= )(ε , где — точное решение в узловых точках, получаемые результаты занесем в таблицу. )( kист xy Таблица 1.1 k x y ky∆ истy kε 0 0.000000000 0.000000000 0.000000000 0.000000000 0.0000 1 0.100000000 0.000000000 0.001000000 0.000334672 0.3347E-03 2 0.200000000 0.001000000 0.004040100 0.002710036 0.1710E-02 3 0.300000000 0.005040100 0.009304946 0.009336250 0.4296E-02 4 0.400000000 0.014345046 0.017168182 0.022793219 0.8448E-02 5 0.500000000 0.031513228 0.046302490 0.1479E-01 Решением задачи является табличная функция (оставлены 5 значащих цифр в каждом числе) Таблица 1.2 k 0 1 2 3 4 5 kx 0.0000 0 0.1000 0.2000 00 0.30000 00 0.4000 00 0.5000 00 ky 0.0000 0 0.000 0.0010 00 0.00504 01 0.0143 45 0.03151 3 Пример 1.2. Решить задачу из примера 1.1 методом Эйлера-Коши (1.4). Р е ш е н и е 15 00 =y , рассчитаем значение в узле Исходя из начальных значений x0 = 0 , =0.1 по формулам (1.4) 1y 1x . 0)00(1.00),(~ 20001 =++=+= yxhfyy 01.0)1.00()~,( 211 =+=yxf 0005.0)01.00(*1.0*5.00))~,(),((5.0 110001 =++=++= yxfyxfhyy Аналогично получим решение в остальных узлах. Продолжая вычисления и вводя обозначение ))~,(),((5.0 11 +++=∆ kkkkk yxfyxfhy получаемые результаты занесем в таблицу. Таблица 1.3 k kx ky ky~ ky∆ истy kε 0 0.0 0.0000000 00 0.0005000 00 0.0000000 00 0.0000000 00 1 0.1 0.0005000 00 0.00000 0.0025353 27 0.00033467 2 0.1653E-03 2 0.2 0.0030353 27 1.510025E- 003 0.0067784 59 0.00271003 6 0.3253E- 03 3 0.3 0.0098137 86 7.157661E- 003 0.01359456 1 0.00933625 0 0.4775E-03 4 0.4 0.0234083 46 1.941224E- 002 0.02361595 4 0.02279321 9 0.6151E-03 5 0.5 0.0470243 01 4.133581E- 002 0.04630249 0 0.7218E-03 Решением задачи является табличная функция (оставлены 5 значащих цифр в каждом числе) Таблица 1.4 18 000251251.0000251251.00030 3 0 =+=+= Kyy 001005031.0)1.00000251251.00(1.0),( 20300 0 4 =+++=++= KyhxhfK ; Найдем приращение функции на первом интервале 000334588.0)001005031.0000251251.0*200025.0*20( 6 1)22( 6 1 0 4 0 3 0 2 0 10 =+++=+++=∆ KKKKy и значение функции в первом узле ; 000334588.0000334588.00001 =+=∆+= yyy Аналогично получим решение в остальных узлах. Таблица 1.7 k/i kx iky k iK ky∆ kθ истy kε 0/ 1 0.0 0.000000 0 0.000000 000 0.000000 0.00000 00 0/ 2 0.05 0.000000 0 0.0002500 00 0/ 3 0.05 0.0001250 0.0002512 52 0/ 4 0.1 0.0002512 5 0.0010050 31 0.0003345 89 0.0050 06 1/1 0.1 0.0003345 89 0.0010067 03 0.0003346 7 0.8301E- 07 1/ 2 0.15 0.0008379 41 0.0022752 08 1/ 3 0.15 0.0014721 93 0.0022943 83 1/ 4 0.2 0.0026289 72 0.0041058 50 0.0023752 89 0.01511 6 19 2/ 1 0.2 0.0027098 78 0.0041091 29 0.0027100 36 0.1573E- 06 2/ 2 0.25 0.0047644 43 0.0064904 92 2/ 3 0.25 0.0059551 24 0.0065513 03 2/ 4 0.3 0.0092611 81 0.0095642 48 0.0066261 61 0.0255 35 3/ 1 0.3 0.0093360 39 0.0095688 79 0.0093362 50 0.2103E- 06 3/ 2 0.35 0.0141204 79 0.0132583 72 3/ 3 0.35 0.0159652 25 0.0133930 55 3/ 4 0.4 0.0227290 94 0.0178699 89 0.0134569 54 0.0365 04 4/ 1 0.4 0.0227929 93 0.0178753 91 0.0227932 19 0.2259E- 06 4/ 2 0.45 0.0317306 89 0.0232064 46 4/ 3 0.45 0.0343962 16 0.0234639 69 4/ 4 0.5 0.0462569 62 0.0298396 67 0.0235093 15 0.0483 06 5 0.5 0.0463023 08 0.0463024 90 0.1823E- 06 20 Решением задачи является табличная функция (оставлены 5 значащих цифр в каждом числе) Таблица 1.8 k 0 1 2 3 4 5 kx 0.0000 0 0.1000 0.200000 0.300000 0 0.400000 0.500000 ky 0.0000 0 0.0003345 89 0.0027098 78 0.0093360 39 0.0227929 93 0.0463023 08 Пример 1.5. На интервале [0,1] c шагом h=0.2 решить задачу Коши методом Рунге-Кутты 4 порядка. ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =′ = ′=′′+ 3)0( 1)0( 2)1( 2 y y yxyx Численное решение сравнить с аналитическим решением . 13)( 3 ++−= xxxyист Р е ш е н и е Аналогично (1.18-1.21) введением новой переменной z = y′ решение исходной начальной задачи для дифференциального уравнения второго порядка сводится к решению системы двух дифференциальных уравнений первого порядка. ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = = 1 2’ ‘ 2x xzz zy

2-2 * x- (3) = 0

Пошаговое решение:

Шаг 1:

Попытка разложить на множители путем разделения среднего члена

1.1 Факторинг x ² -2x-3

Первый член is, x ² его коэффициент равен 1.
Средний член равен -2x, его коэффициент равен -2.
Последний член, «константа», равен -3

Шаг-1: Умножьте коэффициент первого члена на константу 1 • -3 = -3

Шаг-2: Найдите два множителя -3, сумма которых равен коэффициенту среднего члена, равному -2.

Шаг 3: Перепишите полиномиальное разбиение среднего члена, используя два фактора, найденные в шаг 2 выше, -3 и 1
x ² — 3x + 1x — 3

Шаг 4: сложите первые 2 члена, извлекая аналогичные множители:
x • (x-3)
Сложите последнее 2 члена, извлекая общие множители:
1 • (x-3)
Шаг 5: сложите четыре члена из шага 4:
(x + 1) • (x-3)
Какое будет желаемое разложение на множители

Уравнение в конце шага 1:

 (x + 1) • (x - 3) = 0
 

Шаг 2:

Теория — Истоки продукта:

2.1 Произведение нескольких членов равно нулю.

Если произведение двух или более членов равно нулю, то хотя бы одно из членов должно быть равно нулю.

Теперь мы решим каждый член = 0 отдельно

Другими словами, мы собираемся решить столько уравнений, сколько членов есть в продукте

Любое решение для члена = 0 также решает продукт = 0.

 
 Решение уравнения с одной переменной: 
 
 2.2 Решите: x + 1 = 0 
 
 Вычтите 1 из обеих частей уравнения: 
 x = -1 
 
 
 
 Решение уравнения с одной переменной: 
 
 2.3 Решите: x-3 = 0 
 
 Добавьте 3 к обеим сторонам уравнения: 
 x = 3 
 
 
 
 Дополнение: Решение квадратного уравнения напрямую 
 
 Решение x  2  -2x-3 = 0 напрямую 
 Ранее мы разложили этот многочлен на множители, разделив средний член. давайте теперь решим уравнение, заполнив квадрат и используя квадратичную формулу
 
 Парабола, найдя вершину: 
 3.1 Найдите вершину y = x  2  -2x-3
 Параболы имеют наибольшее значение или самая низкая точка называется Вершиной.Наша парабола открывается и, соответственно, имеет самую низкую точку (также известную как абсолютный минимум). Мы знаем это даже до того, как нанесли «y», потому что коэффициент первого члена, 1, положительный (больше нуля).
 Каждая парабола имеет вертикальную линию симметрии, проходящую через ее вершину. Из-за этой симметрии линия симметрии, например, будет проходить через середину двух x-точек пересечения (корней или решений) параболы. То есть, если парабола действительно имеет два реальных решения.
 Параболы могут моделировать множество реальных жизненных ситуаций, например высоту над землей объекта, брошенного вверх через некоторый промежуток времени. Вершина параболы может предоставить нам информацию, например, максимальную высоту, которую может достичь объект, брошенный вверх. По этой причине мы хотим иметь возможность найти координаты вершины.
 Для любой параболы Ax  2  + Bx + C координата x вершины задается как -B / (2A). В нашем случае координата x равна 1.0000
 Подставляя в формулу параболы 1,0000 для x, мы можем вычислить координату y: 
 y = 1,0 * 1,00 * 1,00 — 2,0 * 1,00 — 3,0 
 или y = -4,000
 Парабола, графическая вершина и пересечения по оси X: 
 Корневой график для: y = x  2  -2x-3 
 Ось симметрии (пунктирная линия) {x} = {1.00} 
 Вершина в точке {x, y} = {1.00, -4.00} 
 x -Переходы ( Корни): 
 Корень 1 при {x, y} = {-1.00, 0.00} 
 Корень 2 при {x, y} = {3.00, 0.00}
 Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат 
 3.2 Решение x  2  -2x-3 = 0, завершив Квадрат.
 Добавьте 3 к обеим сторонам уравнения: 
 x  2  -2x = 3
 Теперь умный бит: возьмите коэффициент при x, равный 2, разделите его на два, получив 1, и возведите его в квадрат, получив 1
 Добавьте 1 к обеим частям уравнения: 
 В правой части мы имеем: 
 3 + 1 или, (3/1) + (1/1) 
 Общий знаменатель двух дробей равен 1 Сложение (3 / 1) + (1/1) дает 4/1 
 Таким образом, прибавляя к обеим сторонам, мы, наконец, получаем: 
 x  2  -2x + 1 = 4
 При сложении 1 левая часть превратилась в идеальный квадрат: 
 x  2  -2x + 1 = 
 (x-1) • (x-1) = 
 (x-1)  2  
 Вещи, которые равны одному и тому же, также равны друг другу.Поскольку 
 x  2  -2x + 1 = 4 и 
 x  2  -2x + 1 = (x-1)  2  
, то согласно закону транзитивности 
 (x-1)  2  = 4
 Мы будем называть это уравнение уравнением. # 3.2.1
 Принцип квадратного корня гласит, что когда две вещи равны, их квадратные корни равны.
 Обратите внимание, что квадратный корень из 
 (x-1)  2  равен 
 (x-1)  2/2  = 
 (x-1)  1  = 
 x-1
 Теперь, применяя Принцип квадратного корня для уравнения.# 3.2.1 получаем: 
 x-1 = √ 4
 Добавьте 1 к обеим сторонам, чтобы получить: 
 x = 1 + √ 4
 Так как квадратный корень имеет два значения, одно положительное, а другое отрицательное 
 x  2  — 2x — 3 = 0 
 имеет два решения: 
 x = 1 + √ 4 
 или 
 x = 1 — √ 4
 Решите квадратное уравнение с помощью квадратичной формулы 
 3.3 Решение x  2  -2x-3 = 0 по квадратичной формуле.
 Согласно квадратичной формуле, x, решение для Ax  2  + Bx + C = 0, где A, B и C — числа, часто называемые коэффициентами, определяется по формуле: 
   
 — B ± √ B  2  -4AC 
 x = ———————— 
 2A
 В нашем случае A = 1 
 B = -2 
 C = -3
 Соответственно B  2  — 4AC = 
 4 — (-12) = 
 16
 Применение формулы квадратного уравнения:
 2 ± √ 16 
 x = ————— 
 2
 Можно ли упростить √ 16?
 Да! Разложение на простые множители 16 равно 
 2 • 2 • 2 • 2 
 Чтобы иметь возможность удалить что-либо из-под корня, должно быть 2 экземпляра этого (потому что мы берем квадрат i.е. второй корень).
 √ 16 = √ 2 • 2 • 2 • 2 = 2 • 2 • √ 1 = 
 ± 4 • √ 1 = 
 ± 4
 Итак, теперь мы смотрим на: 
 x = (2 ± 4) / 2
 Два реальных решения:
 x = (2 + √16) / 2 = 1 + 2 = 3.000
 или:
 x = (2-√16) / 2 = 1-2 = -1,000
 Два были найдены решения: 
 x = 3
 x = -1
 Решите уравнение x2 — 2x 
 Показатели
 Операторы
 Скобки
 Стрелки
 Реляционные
 Наборы
 Advanced
 Греческий
 \ (a ^ {b} \)
 \ (a_ {b} ^ {c} \)
 \ ({a_ {b}} ^ {c} \)
 \ (a_ {b} \)
 \ (\ sqrt {a} \)
 \ (\ sqrt [b] {a} \)
 \ (\ frac {a} {b} \)
 \ (\ cfrac {a} {b } \)
 \ (+ \)
 \ (- \)
 \ (\ times \)
 \ (\ div \)
 \ (\ pm \)
 \ (\ cdot \)
 \ (\ am alg \)
 \ (\ ast \)
 \ (\ barwedge \)
 \ (\ bigcirc \)
 \ (\ bigodot \)
 \ (\ bigoplus \)
 \ (\ bigotimes \ )
 \ (\ bigsqcup \)
 \ (\ bigstar \)
 \ (\ bigtriangledown \)
 \ (\ bigtriangleup \)
 \ (\ blacklozenge \)
 \ (\ blacksquare \)
 \ (\ blacktriangle \)
 \ (\ blacktriangledown \)
 \ (\ bullet \)
 \ (\ cap \)
 \ (\ cup \)
 \ (\ circ \)
 \ (\ circledcirc \)
 \ (\ dagger \)
 \ (\ ddagger \)
 \ (\ diamond \)
 \ (\ dotplus \)
 \ (\ lozenge \)
 \ (\ mp \)
 \ (\ ominus \)
 \ (\ oplus \)
 \ (\ oslash \)
 \ (\ otimes \)
 \ (\ setminus \)
 \ (\ sqcap \ )
 \ (\ sqcup \)
 \ (\ квадрат \)
 \ (\ звезда \)
 \ (\ треугольник \)
 \ (\ треугольник вниз \) 90 005
 \ (\ Triangleleft \)
 \ (\ Cap \)
 \ (\ Cup \)
 \ (\ uplus \)
 \ (\ vee \)
 \ (\ veebar \)
 \ (\ клин \)
 \ (\ wr \)
 \ (\ следовательно \)
 \ (\ left (a \ right) \)
 \ (\ left \ | a \ right \ | \)
 \ (\ left [a \ right] \)
 \ (\ left \ {a \ right \} \)
 \ (\ left \ lceil a \ right \ rceil \)
 \ (\ left \ lfloor a \ right \ rfloor \)
 \ (\ left (a \ right) \)
 \ (\ vert a \ vert \)
 \ (\ leftarrow \)
 \ (\ leftharpoondown \)
 \ (\ leftharpoonup \)
 \ (\ leftrightarrow \)
 \ (\ leftrightharpoons \)
 \ (\ mapsto \)
 \ (\ rightarrow \)
 \ (\ rightharpoondown \)
 \ (\ rightharpoonup \)
 \ (\ rightleftharpoons \)
 \ (\ to \)
 \ (\ Leftarrow \)
 \ (\ Leftrightarrow \)
 \ (\ Rightarrow \ )
 \ (\ overset {a} {\ leftarrow} \)
 \ (\ overset {a} {\ rightarrow} \)
 \ (\ приблизительно \)
 \ (\ asymp \)
 \ (\ cong \)
 \ (\ dashv \)
 \ (\ doteq \)
 \ (= \)
 \ (\ Equiv \)
 \ (\ frown \)
 9000 4 \ (\ geq \)
 \ (\ geqslant \)
 \ (\ gg \)
 \ (\ gt \)
 \ (| \)
 \ (\ leq \)
 \ (\ leqslant \)
 \ (\ ll \)
 \ (\ lt \)
 \ (\ models \)
 \ (\ neq \)
 \ (\ ngeqslant \)
 \ (\ ngtr \)
 \ (\ nleqslant \)
 \ (\ nless \)
 \ (\ not \ Equiv \)
 \ (\ overset {\ underset {\ mathrm {def}} {}} {=} \)
 \ (\ parallel \)
 \ (\ perp \)
 \ (\ prec \)
 \ (\ prevq \)
 \ (\ sim \)
 \ (\ simeq \)
 \ (\ smile \)
 \ (\ succ \)
 \ (\ successq \)
 \ (\ vdash \)
 \ ( \ in \)
 \ (\ ni \)
 \ (\ notin \)
 \ (\ nsubseteq \)
 \ (\ nsupseteq \)
 \ (\ sqsubset \)
 \ (\ sqsubseteq \)
 \ (\ sqsupset \)
 \ (\ sqsupseteq \)
 \ (\ subset \)
 \ (\ substeq \)
 \ (\ substeqq \)
 \ (\ supset \)
 \ (\ supsete q \)
 \ (\ supseteqq \)
 \ (\ emptyset \)
 \ (\ mathbb {N} \)
 \ (\ mathbb {Z} \)
 \ (\ mathbb {Q} \)
 \ (\ mathbb {R} \)
 \ (\ mathbb {C} \)
 \ (\ alpha \)
 \ (\ beta \)
 \ (\ gamma \)
 \ (\ delta \)
 \ (\ epsilon \)
 \ (\ zeta \)
 \ (\ eta \)
 \ (\ theta \)
 \ (\ iota \)
 \ ( \ kappa \)
 \ (\ lambda \)
 \ (\ mu \)
 \ (\ nu \)
 \ (\ xi \)
 \ (\ pi \)
 \ (\ rho \)
 \ (\ sigma \)
 \ (\ tau \)
 \ (\ upsilon \)
 \ (\ phi \)
 \ (\ chi \)
 \ (\ psi \)
 \ (\ omega \)
 \ (\ Gamma \)
 \ (\ Delta \)
 \ (\ Theta \)
 \ (\ Lambda \)
 \ (\ Xi \)
 \ (\ Pi \)
 \ (\ Sigma \)
 \ (\ Upsilon \)
 \ (\ Phi \)
 \ (\ Ps i \)
 \ (\ Omega \)
 \ ((a) \)
 \ ([a] \)
 \ (\ lbrace {a} \ rbrace \)
 \ (\ frac {a + b} {c + d} \)
 \ (\ vec {a} \)
 \ (\ binom {a} {b} \)
 \ ({a \ brack b} \)
 \ ({a \ brace b} \)
 \ (\ sin \)
 \ (\ cos \)
 \ (\ tan \)
 \ (\ cot \)
 \ (\ sec \)
 \ (\ csc \)
 \ (\ sinh \)
 \ (\ cosh \)
 \ (\ tanh \)
 \ (\ coth \)
 \ (\ bigcap {a} \)
 \ (\ bigcap_ {b} ^ {} a \)
 \ (\ bigcup {a} \)
 \ (\ bigcup_ {b} ^ {} a \)
 \ (\ coprod {a} \)
 \ (\ coprod_ {b} ^ {} a \)
 \ (\ prod {a} \)
 \ (\ prod_ {b} ^ {} a \)
 \ (\ sum_ { a = 1} ^ b \)
 \ (\ sum_ {b} ^ {} a \)
 \ (\ sum {a} \)
 \ (\ underset {a \ to b} \ lim \)
 \ (\ int {a} \)
 \ (\ int_ {b} ^ {} a \)
 \ (\ iint {a} \)
 \ (\ iint_ {b} ^ {} a \)
 \ (\ int_ {a} ^ {b} {c} \)
 \ (\ iint_ {a} ^ {b} {c} \)
 \ (\ iiint_ {a} ^ { b} {c} \)
 \ (\ oint {a} \)
 \ (\ oint_ {b} ^ {} a \)
 Решение квадратных уравнений с помощью факторинга 
 Purplemath 
 Этот урок охватывает множество способов решения квадратичных вычислений, таких как извлечение квадратного корня, вычисление квадрата и использование квадратичной формулы.Но начнем с решения по факторингу.
 (Прежде чем перейти к решению квадратных уравнений, вы уже должны знать, как разложить квадратичные выражения на множители. Если нет, сначала просмотрите, как разложить квадратичные уравнения на множители.)
 Вы уже разложили квадратные выражения на множители. Новым здесь является то, что квадратное выражение является частью уравнения, и вам предлагается найти значения переменной, которые делают уравнение истинным. Вот как это работает:
 MathHelp.com 
 Решите (
 x  — 3) ( x  — 4) = 0 путем факторизации.
 Хорошо, эта квадратичная для меня уже учтена.Но как мне использовать эту факторизацию для решения уравнения?
 Для решения квадратичных вычислений путем факторинга мы используем нечто, называемое «Свойство нулевого произведения». Это свойство говорит о том, что кажется довольно очевидным, но только после того, как нам на это указали; а именно:
 Свойство нулевого произведения: если мы умножаем две (или более) вещи вместе и результат равен нулю, то мы знаем, что  по крайней мере одна  из тех вещей, которые мы умножили, также должны быть равны нулю.Другими словами, единственный способ получить ноль при умножении двух (или более) множителей состоит в том, чтобы один из множителей был равен нулю.
 Итак, если мы умножаем два (или более) множителя и получаем нулевой результат, то мы знаем, что по крайней мере один из множителей сам был равен нулю. В частности, мы можем установить каждый из факторов равным нулю и решить полученное уравнение для одного решения исходного уравнения.
 Мы можем сделать полезный вывод о факторах (а именно, что один из этих факторов должен был быть равен нулю, поэтому мы можем установить факторы равными нулю), только если сам продукт равен нулю.Если произведение множителей равно  на все , отличное от нуля, то мы не можем сделать  какое-либо утверждение  о значениях факторов.
 Следовательно, при решении квадратных уравнений путем факторизации мы, , должны всегда иметь уравнение в форме «(квадратное выражение) равно (нулю)», прежде чем предпринимать какие-либо попытки решить квадратное уравнение путем факторизации.
 Возвращение к упражнению:
 Принцип нулевого фактора говорит мне, что хотя бы один из факторов должен быть равен нулю.Поскольку хотя бы один из коэффициентов должен быть равен нулю, я могу установить , каждые  коэффициентов равны нулю:
  x  — 3 = 0 или  x  — 4 = 0
 Это дает мне простые линейные уравнения, которые легко решить:
 И эти два значения — то решение, которое они ищут:
 Обратите внимание, что « x  = 3, 4» означает то же самое, что и « x  = 3 или  x  = 4»; единственная разница — это форматирование.Формат « x  = 3, 4» является более распространенным.
 Решите 
 x   2  + 5  x  + 6 = 0 и проверьте.
 Это уравнение уже имеет форму «(квадратичное) равно (нулю)», но, в отличие от предыдущего примера, оно еще не учтено. Я ДОЛЖЕН сначала разложить на множители квадратичный, потому что только когда я УМНОЖИВАЮ и получаю ноль, я могу что-либо сказать о факторах и решениях.Я не могу сделать никаких выводов об отдельных членах квадратичной без учета разложения (например, 5  x  или 6), потому что я могу добавить много всего, что в сумме равно нулю.
 Итак, первое, что мне нужно сделать, это фактор:
  x   2  + 5  x  + 6 = ( x  + 2) ( x  + 3)
 Теперь я могу переформулировать исходное уравнение в терминах произведения факторов, при этом произведение равно нулю:
 Теперь я могу решить каждый фактор, установив каждый из них равным нулю и решив получившиеся линейные уравнения:
  x  + 2 = 0 или  x  + 3 = 0
  x  = –2 или  x  = — 3
 Эти два значения являются решением исходного квадратного уравнения.Итак, мой ответ:
 Я еще не закончил, потому что в исходном упражнении мне предлагалось «проверить», что означает, что мне нужно вставить свои ответы обратно в исходное уравнение и убедиться, что оно получилось правильным. В этом случае я буду вставлять выражение в левой части исходного уравнения и проверять, что я получаю правую часть; а именно с 0:
 проверка  x  = –3:
 [–3]  2  + 5 [–3] + 6
 9–15 + 6
 9 + 6–15
 15–15
 0
 проверка  x  = –2:
 [–2]  2  + 5 [–2] + 6
 4–10 + 6
 4 + 6 — 10
 10–10
 0
 Когда в упражнении указано, что вы должны решить «и проверить» вышеупомянутое «plug-n-chug», они ищут вас, чтобы показать, что вы включили свой ответ в исходное упражнение и получили что-то, что сработало правильно.Выше, где я показал свои чеки, все, что им нужно. Но делайте свою работу аккуратно!
 Между прочим, вы можете использовать эту технику «проверки», чтобы проверить свои ответы на любое «решающее» упражнение. Так, например, если вы не уверены в своем ответе на вопрос «фактор и решение» в следующем тесте, попробуйте включить свои ответы в исходное уравнение и убедиться, что ваши решения приводят к истинным утверждениям.
 Это уравнение не имеет формы «(квадратичное) равно (нулю)», поэтому я пока не могу его решить.Первое, что мне нужно сделать, это перебрать все термины с одной стороны, а с другой стороны — ноль. Только тогда я могу разложить на множители и решить:
  x   2  — 3 = 2  x 
  x   2 -2  x -3 = 0
 ( x  — 3) ( x  + 1) = 0
  x  — 3 = 0,  x  + 1 = 0
  x  = 3,  x  = –1
 Тогда мое решение:
 Решите (
 x  + 2) ( x  + 3) = 12.
 Студенты часто видят уравнения такого типа и говорят:
  «Круто! Это уже учтено! Я установлю множители равными 12 и решу, чтобы получить x = 10 и x = 9. Это было легко!» 
 Да, это было легко; это тоже было неправильно. Очень-очень неправильно.
 Помимо того факта, что ни (10 + 2) (10 + 3), ни (9 + 2) (9 + 3) не равно 12, мы никогда не должны забывать, что мы должны иметь «(квадратичное) равно (нулю)», прежде чем мы сможем решить по факторингу.
 Возвращение к упражнению:
 Каким бы заманчивым это ни казалось, я не могу приравнять каждый из множителей в левой части уравнения к другой части уравнения и решить. В противном случае я бы получил совершенно неправильную путаницу.
 Вместо этого мне сначала нужно умножить и упростить левую часть, затем вычесть 12 из левой и повторно разложить на множители. Только тогда я смогу решить.
 ( x  + 2) ( x  + 3) = 12
  x   2  + 5  x  + 6 = 12
  x   2  + 5  x  — 6 = 0
 ( x  + 6) ( x  — 1) = 0
  x  + 6 = 0,  x  — 1 = 0
  x  = –6,  x  = 1
 Тогда мое решение:
 Эту двухчленную квадратичную легче разложить на множители, чем предыдущие квадратичные: я сразу вижу, что могу вынести  x  из обоих членов, взяв  x  вперед.Это дает мне:
 Очень распространенная ошибка, которую делают ученики на этом этапе, — это «решить» уравнение для « x  + 5 = 0» путем деления на  x . Но это неверный шаг. Почему? Потому что мы не можем делить на ноль. Как это здесь играет роль?
 При делении на коэффициент  x  делается неявное предположение, что  x  не равно нулю.Для такого предположения нет абсолютно никаких оснований! И такое предположение привело бы к потере половины нашего решения этого уравнения.
 Возвращение к упражнению:
 Мне нужно помнить, что фактор может содержать только переменную без добавления к другим терминам; в частности, « x » — вполне допустимый коэффициент. Мне нужно установить  и  коэффициентов равными нулю, а затем решить два результирующих линейных уравнения:
  x  ( x  + 5) = 0
  x  = 0,  x  + 5 = 0
  x  = 0,  x  = –5
 Тогда мое решение:
 В предыдущем примере было два члена, и его легко разложить на множители.Есть еще один случай двухчленной квадратичной системы, который мы можем разложить на множители. Это только немного сложнее:
 Это уравнение имеет форму «(квадратичное) равно (нулю)», поэтому я могу решить его с помощью факторизации. Но как это учесть? Заметив, что это разница квадратов. Применим формулу разности квадратов, которую выучил:
  x   2  — 4 = 0
 ( x  — 2) ( x  + 2) = 0
  x  — 2 = 0,  x  + 2 = 0
  x  = 2,  x  = –2
 Тогда мое решение:
 Примечание. Приведенное выше решение также можно отформатировать как « x  = ± 2».Это произносится как « x  равно плюс-минус 2».
 В последнем примере, приведенном выше, на следующей странице мы расскажем, как вычислить квадратный корень.
 Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в решении квадратных уравнений путем факторизации. Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку и выберите «Решить с учетом факторинга», чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway. (Или перейдите к следующей странице.)
  (Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления.) 
 URL: https://www.purplemath.com/modules/solvquad.htm
 Как решить ряд вопросов, связанных с комплексными решениями для экзамена CAT | Ханда Ка Фунда 
 Главная »Блог» Как решить ряд вопросов по комплексным решениям для экзамена CAT
  Четверг, 16 мая 2019 г. 
  Тип уравнения: Ax + By = C 
 Несколько правил для поиска интегральных решений этого типа уравнений.
 Во-первых, приведите уравнение к наименьшей приводимой форме.
 После сокращения, если коэффициенты при x и y все еще имеют общий множитель, уравнение не будет иметь решений.
 Если x и y взаимно просты в низшей приводимой форме, найдите любое одно интегральное решение. Остальные решения могут быть получены из этого интегрального решения.
 Для каждого последующего интегрального решения уравнения значения x и y будут изменяться на коэффициент другой переменной.Если уравнение имеет тип Ax — By = C (после получения наименьшей приводимой формы), увеличение x вызовет увеличение y. Если уравнение имеет тип Ax + By = C, увеличение x вызовет уменьшение y.
 Давайте рассмотрим пример.
 2x + 3y = 39.
  (Число интегральных решений) Шаг-1 : Уравнение уже находится в сокращенной форме, и мы видим, что коэффициенты при x и y взаимно просты.
  (Число интегральных решений) Шаг-2 : Для данного уравнения вы должны начать заменять значения (путем совпадения и пробного) для переменной с большим коэффициентом, чтобы найти первое интегральное решение.В данном случае это y. Теперь, если мы возьмем y = 0, мы получим x = 39/2 (не целое число). Опять же, если мы возьмем y = 1, мы получим x = 18. Итак, (18,1) — наше первое решение.
  (Число интегральных решений) Шаг-3 : Если вы понимаете точку 4  th , упомянутую выше, при одном из двух последовательных целых значений y, значение x будет целым числом ИЛИ при одном из 3 последовательных значений x значение y будет целым. Это означает, что если мы прибавим 2n (где n — целое число) к первому значению y, нам придется вычесть 3n из первого значения x, чтобы получить интегральные решения.Это означает, что
 Если y = 1 +2 (1) = 3, x = 18-3 (1) = 15.
 Если y = 1 + 2 (2) = 5, x = 18 — 3 (2) = 12.
 Если y = 1 + 2 (3) = 7, x = 18 — 3 (3) = 9 и так далее.
  (Число интегральных решений) Шаг-4 : Это уравнение будет иметь бесконечное число целочисленных решений, но конечное число неотрицательных целочисленных решений. Посмотрим, как его найти.
 Мы можем продолжать увеличивать значение y в положительном направлении, но x будет одновременно уменьшаться и в какой-то момент станет меньше 0.Поскольку наименьшее неотрицательное целое значение y равно 1, наибольшее допустимое положительное значение x равно 18, и оно уменьшается на 3. Таким образом, x может принимать 7 неотрицательных целочисленных значений: 18, 15, 12, 9, 6, 3 и 0. Следовательно, данное уравнение имеет 7 неотрицательных целых значений.
  Примечание. В уравнении Ax + By = C, если C делится на любое из A или B, то количество неотрицательных целочисленных решений = {C / LCM (A, B)} + 1 
  Тип уравнения: x  1  + x  2  +   ⋯ + x  r  = n 
  Случай-1 : Положительные интегральные решения.
 Разберемся с концепцией на примере:
 X  1  + X  2  + X  3  = 8.
 Онлайн-коучинг для CAT 2021
 Чтобы решить эту проблему, представьте, что есть 8 одинаковых объектов, расположенных рядом друг с другом с промежутками между ними. 8 объектов имеют 7 промежутков между ними. Теперь я могу выбрать 2 пробела из 7 в  7  C  2  способов. Эти выбранные промежутки будут содержать знаки плюса данного уравнения. Теперь количество объектов слева от первого знака плюс, количество объектов между двумя знаками плюс и количество объектов справа от второго знака плюс будут значениями X  1 , X  2  и X  3  соответственно.
 Следовательно, число положительных целочисленных решений уравнения x  1  + x  2  + ⋯ + x  r  = n
 = Количество способов, которыми n идентичных шаров могут быть распределены в r различных коробок, где каждая коробка должна содержать хотя бы один шар
 =  (п-1)  С  (г-1) 
  Случай-2 : Количество неотрицательных интегральных решений
 Мы продолжим наше предыдущее уравнение. Количество неотрицательных интегральных решений будет отличаться от количества положительных интегральных решений, так как значение переменных также может быть равно 0.
 Мы заменим переменные в вопросе так, чтобы этот случай стал похож на предыдущий. В предыдущем случае (X  1 , X  2 , X  3 )> = 1. В этом случае (X  1 , X  2 , X  3 )> = 0. Следовательно, (X  1  +1, X  2  +1, X  3  +1)> = 1. Заменить X  1  + 1 = Y  1 , X  2  + 1 = Y  2  и X  3  + 1 = Y  3  в данном уравнении, так что
 (X  1  +1) + (X  2  +1) + (X  3  +1) = 11
 => Y  1  + Y  2  + Y  3  = 11.
 Теперь этот случай становится аналогичным предыдущему и количество решений составляет  10  C  2. 
 Следовательно, Число неотрицательных интегральных решений уравнения x  1  + x  2  + ⋯ + x  r  = n
 = Количество способов, которыми n идентичных шаров могут быть распределены в r различных коробок, где одна или несколько коробок могут быть пустыми.
 =  (п + г-1)  С  (г-1) 
  
  Кейс-3.-  Ограничения на переменные.
 Рассмотрим следующее уравнение — A + B + C = 13, где 1 = <(A, B, C) <= 6.
 Чтобы решить эту проблему, замените A, B, C на P, Q, R так, чтобы P = 6-A, Q = 6-B и R = 6-C. Тогда (6-P) + (6-Q) + (6-R) = 13, откуда P + Q + R = 5. Поскольку A находится в диапазоне от 1 до 6, P изменяется от 0 до 5. Следовательно, проблема сводится к нахождению неотрицательных решений P + Q + R = 5. Количество неотрицательных решений составляет  7  C  2  = 21.
 Другой способ — использовать следующую концепцию.Если линейное уравнение имеет вид x  1  + x  2  + .. + x  r  = n и 0 <= (x  1 , x  2. … x  r ) <= p, то Задача сводится к нахождению показателя степени x  n  в выражении (1 + x + x  2  + x  3  .. + x  p ) r.
  Тип уравнения: | x | + | y ​​| = n 
 Пусть | x | = p и | y | = q, тогда ненулевые интегральные решения =  n-1  C  2-1  = n-1.Теперь для каждого решения (x  1 , y  1 ) будет существовать 4 значения для x и y: -> (x  1 , y  1 ), (-x  1 , y  1 ), (x1, -y1) и (-x1, -y1). Следовательно, общее количество ненулевых интегральных решений = 4 (n-1).
  Тип уравнения: X  2  — Y  2  = n 
 Когда нас просят вычислить, сколько положительных интегральных решений возможно для уравнения X  2  — Y  2  = N, может быть 4 случая.
  Случай 1 : N — нечетное число, а не полный квадрат
 В этом случае общее количество положительных интегральных решений будет = (Общее количество множителей N) / 2
 Пример: сколько положительных интегральных решений возможно для уравнения X  2  — Y  2  = 135?
 Решение: Общее количество множителей 135 равно 8.
 Итак, общее количество положительных интегральных решений = 8/2 = 4.
  Случай 2 : N — нечетное число и полный квадрат
 В этом случае общее количество положительных целочисленных решений будет = [(Общее количество множителей N) — 1] / 2
 Пример: сколько положительных интегральных решений возможно для уравнения X  2  — Y  2  = 121?
 Решение: Общее количество множителей 121 равно 3.
 Итак, общее количество положительных интегральных решений = (3-1) / 2 = 1
  Случай 3 : N — четное число, а не полный квадрат.
 В этом случае общее количество положительных целочисленных решений будет = [Общее количество множителей (N / 4)] / 2
 Пример: сколько положительных интегральных решений возможно для уравнения X  2  — Y  2  = 160?
 Решение: Общее количество множителей 40 равно 8 (поскольку N = 160 и N / 4 = 40)
 Итак, общее количество положительных целочисленных решений = 8/2 = 4.
  ПРИМЕЧАНИЕ: Если данное число имеет форму 4k + 2, оно не может быть выражено как разность двух квадратов. 
  Случай 4 : N — четное число и полный квадрат
 В этом случае общее количество положительных целочисленных решений будет = {[Общее количество множителей (N / 4)] — 1} / 2
  Пример : Сколько положительных интегральных решений возможно для уравнения X  2  — Y  2  = 256?
  Решение : Общее количество множителей 64 равно 7.
 Итак (7-1) / 2 = 3 положительных интегральных решения
 А теперь давайте посмотрим на несколько примеров.
  Число интегральных примеров 1 : Найдите число положительных целочисленных решений | x | + | y ​​| = 10.
  Номер интегрального решения 1 : Пусть | x | = a и | y | = b. Сначала найдите положительное интегральное решение для a + b = 10.
 Количество ненулевых интегральных решений =  10-1  C  2-1  = 9. Теперь для каждого решения (a  1 , b  1 ) значения (x, y) = (a  1 , b  1 ), (-a  1 , b  1 ), (a  1 , -b  1 ) и (-a  1 , -b  1 ).Таким образом, общее количество ненулевых интегральных решений = 4 × 9 = 36.
  Число интегралов Пример 2 : Найдите число положительных интегралов для a, b, c и d, сумма которых не превышает 15.
  Номер интегрального решения 2 : a + b + c + d <15.
 a + b + c + d = 14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4. (Поскольку нам нужно найти положительные интегральные решения, сумма 4 переменных не может быть меньше 4 )
 Общее количество положительного раствора =  13  C  3  +  12  C  3  +  11  C  3 …  3  C  3 
 = 286 + 220 + 165 + 120 + 84 + 56 + 35 + 20 + 10 + 4 + 1
 = 1001.
  Количество интегральных примеров 3 : Найдите общее количество интегральных решений уравнения IxI + IyI + IzI = 15.
  Число интегральных решений 3 : Сначала пусть a = | x |, b = | y |, c = | z |. Теперь нам нужно найти количество положительных целочисленных решений a + b + c = 15. Количество решений:  14  C  2  = 91. Теперь для каждого значения a, b и c у нас будет по два значения x, y и z. Следовательно, общее количество решений = 91 x 2 x 2 x 2 = 728.
 Пусть теперь одна из переменных равна 0. Например, пусть x = 0 и | y | и | z | быть не меньше 1. Следовательно, нам нужно положительное интегральное решение уравнения b + c = 15, где b = | y | и c = | z |. Количество решений составляет  14  C  1  = 14. Каждое из этих решений даст два значения y и z, и есть 3 способа, которыми мы можем сохранить одну из переменных равной 0. Следовательно, общее количество пути 14 x 2 x 2 x 3 = 168.
 Пусть теперь две переменные равны 0.В этом случае общее количество решений равно 6.
 Следовательно, общее количество интегральных решений = 728 + 168 + 6 = 902.
 Другие сообщения, связанные с количественными способностями — алгебра 
 Квадратные уравнения 
 Основные функции и модификации графиков 
 Алгебра для подготовки к CAT — поиск наименьшего значения в максимальной функции 
 Задачи для возраста с полными решениями, ответами и приемами для решения 
 Введение в функции (алгебра) для экзамена CAT Exam 
 Функции алгебры — Основные понятия и применение для количественных способностей в экзамене CAT
 CAT Вопросы, связанные с количественными способностями — алгебра 
 Все вопросы экзамена CAT Количественные способности — Алгебра 
 Количественные способности — Алгебра — Функции 
 Количественные способности — Алгебра — Функции — Вопрос: Если f (ab) = f (a) f (b) для всех положительных целых чисел a и b, то максимально возможное значение f (1) составляет 
 Количественные способности — Алгебра — Логарифмы 
 Количественные способности — Алгебра — Логарифмы — Вопрос: если x — действительное число, такое что log (основание 3) 5 = log (base 5) (2 + x), тогда что из следующего верно? 
 Количественные способности — Алгебра — Квадратичные уравнения 
 Количественные способности — Алгебра — Квадратичные уравнения — Вопрос: Если x + 1 = x ^ 2 и x> 0, то 2x ^ 4 равно 
 Количественные способности — Алгебра — Минимум максимума 
 Количественные способности — Алгебра — Максимальные минимумы — Вопрос: если a, b, c и d — целые числа, такие что a + b + c + d = 30, то минимально возможное значение (a — b) ^ 2 + (a — c) ^ 2 + (a — d) ^ 2 равно 
 Количественные способности — Алгебра — Неравенства 
 Количественные способности — Алгебра — Неравенства — Вопрос: Количество решений (x, y, z) уравнения x — y — z 
 Количественные способности — Алгебра — Полиномы 
 Количественные способности — Алгебра — Полиномы — Вопрос: Если 9 ^ (2x — 1) — 81 ^ (x-1) = 1944, то x равно 
 Количественные способности — Алгебра — Простые уравнения 
 Количественные способности — Алгебра — Простые уравнения — Вопрос: если a и b — целые числа противоположных знаков, такие что (a + 3) ^ 2: b ^ 2 = 9: 1 и (a — 1) ^ 2: (b — 1) ^ 2 = 4: 1, тогда соотношение a ^ 2: b ^ 2 равно
  Эта статья была предоставлена ​​Правин Бхарадвадж.