Ромб и его свойства — доказательство

1. Главная
2. Геометрия
3. Свойства выпуклых многоугольников. Параллелограмм, прямоугольник, квадрат, ромб, трапеция
4. Ромб и его свойства — доказательство

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Поэтому ему принадлежат пять свойств параллелограмма, а в дополнение у него ещё три свойства. И все они о диагоналях. Первые пять свойств ромба как параллелограмма: а) диагональ ромба делит его на два равных треугольника, б) противоположные стороны ромба равны, в) противоположные углы ромба равны, г) сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

Шестое-седьмое свойства: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят углы ромба пополам. Чтобы это доказать — рассмотрим треугольник ABC. Этот треугольник равнобедренный, потому что у него стороны AB и BC равны. А отрезок BO в треугольнике ABC — является медианой (т.к. по пятому свойству параллелограмма отрезки AO и CO равны). А известно, что медиана при вершине равнобедренного треугольника является также высотой и биссектрисой. То есть диагонали ромба взаимно перпендикулярны, и делят углы ромба пополам (в треугольнике ABC — угол B разделён лучом BO на равные углы ABD и CBD, но можно рассмотреть и другие равнобедренные треугольники, например, треугольник BAD, и  доказать равенство углов BAC и DAC).

Восьмое свойство ромба: диагонали ромба являются его осями симметрии. Доказательство: рассмотрим ось AC и посмотрим, как расположены точки относительно этой диагонали. Точка A самой себе симметрична, точка C самой себе симметрична. А точка B — симметрична точке D, потому что эти точки лежат на одном перпендикуляре и равноудалены от прямой AC. Выходит, что диагональ AC является осью симметрии всего ромба. Точно так же мы можем доказать, что диагональ BD является осью симметрии всего ромба. \circ\);

\(\sim\) диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Теорема: свойство ромба

Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам.

Доказательство

Рассмотрим ромб \(ABCD\).

По определению ромба \(AB = AD\), поэтому треугольник \(BAD\) равнобедренный. Так как ромб – параллелограмм, то его диагонали точкой \(O\) пересечения делятся пополам. Следовательно, \(AO\) – медиана равнобедренного треугольника \(BAD\), а значит, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому \(AC\perp BD\) и \(\angle BAC =
\angle DAC\).

Теорема: признаки ромба

1. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то это – ромб.

2. Если в параллелограмме диагонали делят его углы пополам, то это – ромб.

3. Если в выпуклом четырехугольнике все стороны равны, то он – ромб.

Доказательство

1) Рассмотрим параллелограмм \(ABCD\). Пусть \(AC\perp BD\).

Т.к. в параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, то в треугольнике \(ABD\) отрезок \(AO\) – медиана. Т.к. к тому же \(AO\) – высота (следует из условия), то \(\triangle ABD\) – равнобедренный, т.е. \(AB=AD\). Т.к. у параллелограмма противоположные стороны равны, то отсюда следует, что все его стороны будут равны.

2) Пусть \(AC\) – биссектриса угла \(\angle A\).

Т.к. в параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, то в треугольнике \(ABD\) отрезок \(AO\) – медиана. Т.к. к тому же \(AO\) – биссектриса (следует из условия), то \(\triangle ABD\) – равнобедренный, т.е. \(AB=AD\). Т.к. у параллелограмма противоположные стороны равны, то отсюда следует, что все его стороны будут равны.

3) Пусть \(ABCD\) – произвольный четырехугольник и \(AB=BC=CD=AD\).

Т.к. противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то он – параллелограмм. Т.к. у него все стороны равны, то по определению это ромб. {\circ}.

3. Точка пересечения диагоналей делит их пополам.

AC=2\cdot AO=2\cdot CO

BD=2\cdot BO=2\cdot DO

4. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

\angle 1 = \angle 2; \; \angle 5 = \angle 6;

\angle 3 = \angle 4; \; \angle 7 = \angle 8.

Доказательство

По причине того, что диагонали разделены точкой пересечения пополам, и все стороны ромба равны друг другу, то вся фигура делится диагоналями на 4 равных треугольника:

\triangle BOC, \; \triangle BOA, \; \triangle AOD, \; \triangle COD.

Это значит, что BD, AC — биссектрисы.

5. Диагонали образуют из ромба 4 прямоугольных треугольника.

6. Любой ромб может содержать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей.

7. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату одной из сторон ромба умноженному на четыре

AC^2 + BD^2 = 4\cdot AB^2

Признаки ромба

1. Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом.

\begin{cases} AC \perp BD \\ ABCD \end{cases} — параллелограмм, \Rightarrow ABCD — ромб.

Доказательство

ABCD является параллелограммом \Rightarrow AO = CO; BO = OD. Также указано, что AC \perp BD \Rightarrow \triangle AOB = \triangle BOC = \triangle COD = \triangle AOD — по 2-м катетам.

Получается, что AB = BC = CD = AD.

Доказано!

2. Когда в параллелограмме хотя бы одна из диагоналей разделяет оба угла (через которые она проходит) пополам, то этой фигурой будет ромб.

Доказательство

\angle A = \angle C, поскольку ABCD — параллелограмм. AC — биссектриса \angle A и \angle C.

Следовательно, \triangle ABC = \triangle ADC и оби фигуры — равнобедренные треугольники.

Это означает, что AB = BC = CD = DA, и ABCD — ромб.

На заметку: не каждая фигура (четырехугольник) с перпендикулярными диагоналями будет ромбом.

К примеру:

Это уже не ромб, не смотря на перпендикулярность диагоналей.

Для отличия стоит запомнить, что сначала четырехугольник должен быть параллелограммом и иметь признаки параллелограмма 1 и 2

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия

Ромб

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. {\circ} \).

3. Точка пересечения диагоналей делит их пополам

\( AC=2\cdot AO=2\cdot CO \)

\( BD=2\cdot BO=2\cdot DO \)

4. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов

\( \angle 1 = \angle 2; \; \angle 5 = \angle 6 \);

\( \angle 3 = \angle 4; \; \angle 7 = \angle 8 \).

По причине того, что диагонали разделены точкой пересечения пополам, и все стороны ромба равны друг другу, то вся фигура делится диагоналями на 4 равных треугольника:

\( \triangle BOC, \; \triangle BOA, \; \triangle AOD, \; \triangle COD \).

Это значит, что \( BD \), \( AC \) — биссектрисы.

5. Диагонали образуют из ромба 4 прямоугольных треугольника

6. Любой ромб может содержать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей

7.

2 \)

Признаки ромба

1. Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом

\( \begin{cases} AC \perp BD \\ ABCD \end{cases} \) — параллелограмм, \( \Rightarrow ABCD \) — ромб.

\( \Rightarrow AO = CO \); \( BO = OD \). Также указано, что \( AC \perp BD \Rightarrow \triangle AOB = \triangle BOC = \triangle COD = \triangle AOD \) — по 2-м катетам.

Получается, что \( AB = BC = CD = AD \).

2. Когда в параллелограмме хотя бы одна из диагоналей разделяет оба угла (через которые она проходит) пополам, то этой фигурой будет ромб

\( \angle A = \angle C \), поскольку \( \angle A \) и \( \angle C \).

Следовательно, \( \triangle ABC = \triangle ADC \) и оби фигуры — равнобедренные треугольники.

Это означает, что \( AB = BC = CD = DA \), и \( ABCD \) — ромб.

На заметку: не каждая фигура (четырехугольник) с перпендикулярными диагоналями будет ромбом.

К примеру:

Это уже не ромб, не смотря на перпендикулярность диагоналей.

Для отличия стоит запомнить, что сначала четырехугольник должен быть параллелограммом и иметь признаки параллелограмма 1 и 2

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!Больше интересного в телеграм @calcsbox

Прямоугольник, ромб и квадрат – онлайн-тренажер для подготовки к ЕНТ, итоговой аттестации и ВОУД

Прямоугольник – параллелограмм, у которого все углы прямые.

Диагональю прямоугольника называется любой отрезок, соединяющий две вершины противоположных углов прямоугольника. Периметром прямоугольника называется сумма длин всех сторон прямоугольника.

Свойства прямоугольника

1. Противоположные стороны прямоугольника равны.
2. Каждый угол прямоугольника равен 90°.
3. Значит, противоположные углы равны и сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
4. Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.
5. Диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника.
6. Накрест лежащие углы при диагонали равны.
7. Диагонали прямоугольника равны.
8. Точка пересечения диагоналей называется центром прямоугольника и также является центром описанной окружности.
9. Около любого прямоугольника можно описать окружность, при этом диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности.

Признаки прямоугольника

1. Если три угла четырехугольника прямые, то этот четырехугольник является прямоугольником.
2. Если один угол параллелограмма прямой, то этот параллелограмм является прямоугольником.
3. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата

Все свойства параллелограмма, ромба, прямоугольника верны и для квадрата.

1. Все четыре стороны квадрата имеют одинаковую длину, то есть они равны.
2. Противоположные стороны квадрата параллельны.
3. Сумма углов квадрата равна 360°.
4. Диагонали квадрата имеют одинаковые длины.
5. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом, и разделяют друг друга пополам.
6. Точка пересечения диагоналей называется центром квадрата и также является центром вписанной и описанной окружностей.
7. Точка пересечения диагоналей называется центром квадрата и также является центром вписанной и описанной окружностей.
8. Обе диагонали разделяют квадрат на четыре равные треугольника, причем эти треугольники одновременно и равнобедренные, и прямоугольные.

Признаки квадрата

1. Если две смежные стороны прямоугольника равны, то этот прямоугольник является квадратом.
2. Если диагонали прямоугольника перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом.

Формулы определения длины диагонали квадрата:

\(d=a\sqrt{2}; \ d=\sqrt{2S}; \ d=2R; \ d=2r\sqrt{2}\).

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны. Если у ромба все углы прямые, тогда он называется квадратом.

Свойства ромба

1. Поскольку ромб – это параллелограмм, то все свойства параллелограмма верны для ромба.
2. Противолежащие стороны равны.
3. Противоположные углы равны.
4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
5. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
6. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4:
7. Диагонали перпендикулярны.
8. Диагонали являются биссектрисами его углов.
9. Центром вписанной в ромб окружности будет точка пересечения его диагоналей. 2}\).

   Теория и практика по четырехугольникам

   Свойства четырехугольников.

   Основные формулы и свойства трапеции.

   Основные формулы и свойства параллелограмма.

   Основные формулы и свойства ромба.

   Основные формулы и свойства прямоугольника.

   Основные формулы и свойства квадрата.

   Примеры и решения задач.

   ---

   Разберем по сторонам каждый четырехугольник. А начнем с самой негармоничной фигуры — четырехугольника:

   Выпуклым называется четырехугольник, если он расположен в одной полуплоскости относительно прямой, которая содержит любую из его сторон. 

   В ЕГЭ встречается только выпуклый, поэтому его брата оставим без внимания.

   Если четырехугольник произвольный:

   Если в четырехугольник можно вписать окружность, то помимо выше описанных свойств добавляются эти:

   Если вокруг четырехугольника можно описать окружность, то добавляются такие свойства:

   Две теоремы Птолемея можно встретить в №16 ЕГЭ, планиметрии повышенного уровня сложности.

   Если поставить условие, что две противоположные стороны должны быть параллельны, то четырехугольник становится трапецией.

   Всем привычна такая трапеция, но та, что справа, также существует!

   В равнобедренной трапеции:

   Прямоугольная трапеция: 

   В трапецию можно вписать окружность, когда? Когда сумма противоположных сторон одинакова!
   Да точно также, как и в четырехугольник, все свойства четырехугольника работают и в трапеции! 

   — И площадь через диагонали? 

   — Конечно!

   А описать окружность вокруг трапеции? Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая!

   Свойства остаются те же.

   Следующий на очереди параллелограмм:

   Если сказать, что в трапеции две попарно противоположные стороны параллельны, то трапеция станет параллелограммом.

   Если сказать, что в трапеции две противоположные стороны параллельны и равны, то трапеция станет параллелограммом.

   Еще добавляются 2 формулы площади:

   Свойства параллелограмма:

   1. Если у четырёхугольника противолежащие стороны попарно равны, то это параллелограмм.  
   2. Если у четырёхугольника две противолежащие стороны равны и параллельны, то это параллелограмм. 
   3. Четырёхугольник, диагонали которого в точке пересечения делятся пополам, – параллелограмм. 
   4. Если у четырёхугольника противолежащие углы попарно равны, то это параллелограмм.

   Дальше, чтобы из параллелограмма получить следующую фигуру, есть два пути:

   1) Если у параллелограмма один угол 90°, то это прямоугольник.

   2) Если у параллелограмма две прилежащие стороны равны, то это ромб.

   Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны:

   Свойства ромба:

   1. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
   2. Диагонали ромба являются также биссектрисами его углов (делят углы ромба пополам).
   3. Диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.
   4. В ромб можно всегда вписать окружность.

   Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые:  

   Свойства прямоугольника:

   1. Диагонали прямоугольника равны.
   2. Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность.

   Правильный четырехугольник — квадрат. Папа был прямоугольником, а мама ромбом. Квадрат объединяет свойства и формулы этих фигур и добавляет свои:

   Свойства квадрата:

   1. Все углы квадрата прямые, все стороны квадрата равны.
   2. Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.
   3. Диагонали квадрата делят его углы пополам.
   4. В квадрат можно всегда вписать окружность.
   5. Вокруг квадрата можно всегда описать окружность.

   Задача №1 Докажите, что ABCD параллелограмм, если известно, что ∠CAD = ∠CAB и DO = OB.

   Что нужно, чтобы сказать, что четырехугольник является параллелограммом?

   1. Две противоположные стороны параллельны и равны.
   2. Две попарно противоположные стороны параллельны.

   Скажем, что DC II AB, т.к. ∠CAD = ∠CAB — накрест лежащие углы. Если не знаешь, что такое накрест лежащие углы — читай!

   Но раз DC II AB, то и ∠CDB = ∠DBA (как накрест лежащие), а ∠AOB и ∠DOC — рыжие что ли? Нет, они вертикальные, значит, тоже равны: ∠AOB = ∠DOC.

   Тогда ΔAOB = ΔDOC (по стороне и двум прилежащим углам) => DC = AB. 

   Получается, что DC = AB и DC II AB, свойство №1 доказано.

   Задача №2 Найдите периметр параллелограмма.

   Вспомним, что в прямоугольном треугольнике находится против угла в 30°. Да-да, катет в два раза меньший гипотенузы. Следовательно AB = AH + HB = 1+4 = 5.

   Тогда периметр:

   Ответ: 14.

   Задача №3 Найдите площадь параллелограмма.

   В ΔDHB ∠DBH = 180 – 90° – 45° = 45°=> ΔDHB — равнобедренный => DH = HB = 24

   Ответ: 384

   Задача №4 Найдите площадь ABCD.

   ABCD — прямоугольник. Чтобы найти его площадь, нужно знать две стороны, но мы знаем только площадь треугольника.

   Площадь AKCD общая у ABCD и ADM, а вот отличаются они площадью ΔABK и ΔKCM, но мы только что доказали, что они равны, значит, площади ABCD и ADM тоже равны!

   Ответ: 33

   Задача №5 Найдите площадь трапеции, параллельные стороны которой равны 15 и 44, а непараллельные 17 и 25.

   Площадь трапеции можно найти так:

   Не хватает высоты, попробуем разбить трапецию на треугольники и прямоугольник:

   Запишем теорему Пифагора для двух треугольников:

   Решим уравнение:

   Зная, как разделится основание найдем высоту:

   Ответ: 240

   Задачи для закрепления с подсказками.

   Если нашел опечатку, или что-то непонятно − напиши.

   Первая и вторая часть по треугольникам.

   Статья по окружностям.

   Квадрат, прямоугольник, ромб, трапеция, параллелограмм

   Четырехугольник означает «четыре стороны»
   ( четырехугольник, означает четыре, боковой, означает сторону).

   Четырехугольник имеет четырех сторон, , 2-мерный (плоская форма), закрытый (линии соединяются) и имеет прямых сторон.

   Попробуйте сами

   (См. Также в интерактивных четырехугольниках)

   Недвижимость

   В четырехугольнике:

   • четыре стороны (края)
   • четыре вершины (углы)
   • внутренние углы, которые добавляют к 360 градусов :

   Попробуйте нарисовать четырехугольник и измерить углы. Они должны добавить к 360 °

   Виды четырехугольника

   Есть специальные виды четырехугольника:

   Некоторые типы также включены в определение других типов! Например, квадрат , ромб и прямоугольник также являются параллелограммами . Подробности смотрите ниже.

   Давайте рассмотрим каждый вид по очереди:

   Прямоугольник

   
   маленькие квадратики в каждом углу означают «прямой угол»

   Прямоугольник — это четырехсторонняя форма, каждый угол которой является прямым (90 °).

   Также противоположных сторон параллельны и равной длины.

   Площадь

   
   маленькие квадратики в каждом углу означают «прямой угол»

   У квадрата равные стороны (отмечены буквой «s»), и каждый угол представляет собой прямой угол (90 °)

   Также противоположные стороны параллельны.

   Квадрат также соответствует определению прямоугольника (все углы равны 90 °) и ромба (все стороны равной длины).

   Ромб

   Ромб — это четырехгранная форма, все стороны которой имеют одинаковую длину (обозначены буквой «s»).

   Также противоположные стороны параллельны и противоположных углов равны.

   Еще один интересный момент — диагонали (пунктирные линии) пересекаются посередине под прямым углом. Другими словами, они «рассекают» друг друга пополам под прямым углом.

   Ромб иногда называют ромбом или ромбом .

   Параллелограмм

   У параллелограмма противоположные стороны параллельны и равны по длине. Также противоположные углы
   равны (углы «А» такие же, а углы «В»
   одинаковы).

   ПРИМЕЧАНИЕ. Квадраты, прямоугольники и ромбы — это все
   Параллелограммы!

   Пример:

   Параллелограмм с:

   • все стороны равны и
   • угол «А»
     и «B» как прямые углы

   — это квадрат !

   Трапеция (UK: Trapezium)

   Трапеция		Равнобедренная трапеция

   Трапеция (в Великобритании называется трапецией) имеет пару параллельных противоположных сторон.

   И трапеция (в Великобритании она называется трапецией) — четырехугольник без параллельных сторон:

   	Трапеция	Трапеция
   В США:	Пара параллельных сторон	НЕТ параллельных сторон
   В Великобритании:	НЕТ параллельных сторон	Пара параллельных сторон
   (определения для США и Великобритании поменяны местами!)

   Равнобедренная трапеция , как показано выше, имеет левую и правую стороны равной длины, которые соединяются с основанием под равными углами.

   Воздушный змей

   Эй, похоже на воздушного змея (обычно).

   Имеет две пары сторон:

   Каждая пара состоит из двух соединяющихся сторон равной длины.

   Также:

   • углы, где встречаются две пары
     равны.
   • диагонали, показанные выше пунктирными линиями, пересекаются в
     под прямым углом.
   • одна из диагоналей делит пополам (делит пополам) другую.

   … вот и все специальные четырехугольники.

   Неправильные четырехугольники

   Единственный правильный четырехугольник (все стороны равны и все углы равны) — это квадрат. Итак, все остальные четырехугольники неправильные .

   Схема «Семейное древо»

   Определения четырехугольника: , включая .

   Пример: квадрат также является прямоугольником.

   Итак, мы включаем квадрат в определение прямоугольника.

   (Мы, , не говорим : «Наличие всех углов 90 ° делает его прямоугольником, кроме случаев, когда все стороны равны, тогда это квадрат». )

   Это может показаться странным, поскольку в повседневной жизни мы думаем о квадрате как о , а не о как о прямоугольнике … но в математике это .

   Используя приведенную ниже таблицу, мы можем ответить на такие вопросы, как:

   • Квадрат — это тип прямоугольника? (Да)
   • Прямоугольник — это разновидность воздушного змея? (Нет)

   Сложные четырехугольники

   О да! когда две стороны пересекаются, мы называем это «сложным» или «самопересекающимся» четырехугольником, например:

   У них все еще есть 4 стороны, но две стороны пересекаются.

   Многоугольник

   Четырехугольник — это многоугольник. Фактически, это четырехсторонний многоугольник, точно так же, как треугольник — это трехсторонний многоугольник, пятиугольник — пятисторонний многоугольник и так далее.

   Играйте с ними

   Теперь, когда вы знаете различные типы, вы можете поиграть с интерактивными четырехугольниками.

   Другие названия

   Четырехугольник иногда можно назвать:

   • a Quadrangle (« четыре угла »), поэтому звучит как «треугольник»
   • a Tetragon (« четыре многоугольника »), поэтому это звучит как «пятиугольник», «шестиугольник» и т. Д.

   Что такое ромб? (Определение, Форма, Свойства) // Tutors.com

   Содержание

   1. Ромб Определение
   2. Как построить ромб
   3. Как выглядит ромб?
   4. Различные названия для ромба
   5. Квадрат — это ромб?
   6. Форма ромба
   7. Свойства ромба
   8. Уголки ромбические
   9. Диагонали ромба

   Ромб Определение

   Ромб — четырехугольник (плоская фигура, замкнутая форма, четыре стороны) с четырьмя сторонами равной длины и противоположными сторонами, параллельными друг другу.Все ромбы — параллелограммы, но не все параллелограммы — ромбы. Все квадраты — ромбы, но не все ромбы квадраты. Противоположные внутренние углы ромбов совпадают. Диагонали ромба всегда пересекают друг друга под прямым углом.

   Как построить ромб

   Вы можете построить ромб прямо сейчас на любой плоской поверхности, если у вас есть четыре одинаковых линейных объекта. Зубочистки, карандаши, измерители — подойдут любые четыре одинаковых прямых отрезка.

   Положите четыре прямых предмета на плоскую поверхность так, чтобы их восемь концов соприкасались только в четырех местах. Вы не можете потерпеть неудачу в этом! Положите два предмета параллельно друг другу, но на небольшом расстоянии друг от друга. Если вы используете два других объекта для соединения конечных точек, у вас есть ромб!

   Как выглядит ромб?

   Противоположные стороны вашего четырехугольника будут параллельны, а противоположные углы будут одинаковыми (совпадающими). Ваш четырехугольник по определению должен быть ромбом!

   Это означает, что каждый ромб равен:

   • Фигурка плоская (двухмерная)
   • Закрытая форма (имеет внутреннюю и внешнюю)
   • Четырехугольник (четырехсторонняя плоская фигура с прямыми сторонами)

   Различные названия для ромба

   У ромба может быть три дополнительных имени:

   1. Ромб
   2. Пастилки
   3. Бриллиант

   Ромб — это частный случай параллелограмма, потому что он удовлетворяет требованиям параллелограмма: четырехугольник с двумя парами параллельных сторон. У него есть четыре стороны равной длины, но это все же разновидность параллелограмма.

   Каждый увиденный вами ромб также будет параллелограммом, но не каждый встречный параллелограмм будет ромбом.

   Квадрат — это ромб?

   Если у вас есть ромб с четырьмя равными внутренними углами, у вас есть квадрат . Квадрат — это особый случай ромба, потому что у него четыре стороны равной длины, и он выходит за пределы и имеет четыре прямых угла.

   Каждый квадрат, который вы видите, будет ромбом, но не каждый ромб, который вы встретите, будет квадратом.

   Форма ромба

   В большинстве случаев ромб, который вы видите, будет нарисован так, чтобы у него было основание — две противоположные стороны будут горизонтальными, а нижняя сторона будет служить основанием фигуры.

   Однако будьте осторожны, потому что ромб может появиться в любой ориентации. Когда он «стоит» и выглядит симметричным (его диагонали горизонтальны и вертикальны), его обычно называют ромбом.

   Если вам сложно вспомнить его название, представьте квадрат, в который наехал автобус, поэтому он перевернулся (, наезд на на автобус , … ромб).

   Свойства ромба

   Одной из двух характеристик, которые делают ромб уникальным, является то, что его четыре стороны равны по длине или совпадают. Другой отличительной чертой является то, что противоположные стороны параллельны.

   Если у вас есть четырехугольник только с одной парой параллельных сторон, у вас определенно нет ромба (потому что две его стороны не могут быть одинаковой длины).У вас трапеция .

   Если у вас есть четырехугольник с двумя парами параллельных сторон, у вас не обязательно есть ромб; у вас может быть параллелограмм или ромб, если все четыре стороны имеют одинаковую длину.

   Уголки ромбические

   Помимо этих четырех сторон ромб имеет четыре внутренних угла. Также можно построить две диагонали внутри ромба, соединив противоположные вершины (углы).

   Независимо от того, как вы расположите эти четыре линейных объекта на своей плоской поверхности, у вас всегда будет две пары равных противоположных углов.Начните с двух ваших предметов и на этот раз сконцентрируйтесь на том, чтобы сделать из них острый (менее 90 °) угол. Используйте два других объекта, чтобы соединить два исходных объекта, вверх и вправо, чтобы получилась четырехсторонняя (четырехугольная) плоская фигура — ромб.

   Посмотрите на нижний левый угол и верхний правый угол. Они одинаковые. Они совпадают. Посмотрите на нижний правый угол и верхний левый угол: они совпадают. Противоположные внутренние углы ромба совпадают.

   Четыре внутренних угла ромба всегда составляют 360 °.

   Диагонали ромба

   Замечательное и редкое свойство ромба в том, что его диагонали всегда перпендикулярны друг другу. Вы можете убедиться в этом сами, если сложите четыре прямых объекта, чтобы получился ромб, а затем начертите диагонали. Независимо от того, под какими углами у вас четыре вершины ромба, диагонали ромба всегда расположены под прямым углом друг к другу.

   Эти диагонали тоже разрезают друг друга ровно пополам. Геометристы говорят, что они делят пополам друг друга.Это означает, что две диагонали делят ромб на четыре прямоугольных треугольника.

   Краткое содержание урока

   Ромб — это четырехугольник (плоская фигура, замкнутая форма, четыре стороны) с четырьмя сторонами равной длины и противоположными сторонами, параллельными друг другу. Все ромбы — параллелограммы, но не все параллелограммы — ромбы. Все квадраты — ромбы, но не все ромбы квадраты. Противоположные внутренние углы ромбов совпадают. Диагонали ромба всегда пересекают друг друга под прямым углом.

   Что вы узнали:

   Посмотрев этот урок и прочитав о ромбе, вы узнаете, как эта плоская фигура вписывается во все семейство плоских фигур, какие свойства делают ромб уникальным и как распознать ромб по двум его особым идентифицирующим свойствам.

   Следующий урок:

   Как найти площадь ромба

   Разница между ромбом и параллелограммом (со сравнительной таблицей)

   Последнее обновление: , 9 сентября 2017 г. , автор: Surbhi S

   В геометрии существует много типов четырехугольника i.е. параллелограмм, ромб, квадрат, прямоугольник, трапеция и воздушный змей, которые имеют общие характеристики, из-за которых люди сталкиваются с проблемами при понимании этих фигур. Ромб можно назвать косым квадратом, у которого смежные стороны равны. Напротив, параллелограмм представляет собой наклонный прямоугольник с двумя наборами параллельных противоположных сторон.

   Основное различие между ромбом и параллелограммом заключается в их свойствах, то есть все стороны ромба имеют одинаковую длину, тогда как параллелограмм представляет собой прямолинейную фигуру, противоположные стороны которой параллельны.

   Содержание: ромб против параллелограмма

   1. Сравнительная таблица
   2. Определение
   3. Ключевые отличия
   4. Заключение

   Сравнительная таблица

   Основа для сравнения	Ромб	Параллелограмм
   Значение	Ромб означает плоскую четырехгранную фигуру, все стороны которой совпадают.	Параллелограмм — это четырехгранная плоская фигура, противоположные стороны которой параллельны друг другу.
   Равные стороны	Все четыре стороны имеют одинаковую длину.	Противоположные стороны имеют одинаковую длину.
   Диагонали	Диагонали делят друг друга пополам под прямым углом, образуя разносторонний треугольник.	Диагонали пересекают друг друга пополам, образуя два равных треугольника.
   Площадь	(pq) / 2, где p и q — диагонали	bh, где b = основание и h = высота
   Периметр	4 a, где a = сторона	2 (a + b), где a = сторона, b = основание

   Определение ромба

   Четырехугольник, стороны которого равны, называется ромбом.Он имеет плоскую форму и четыре стороны; при этом обращенные стороны параллельны друг другу (см. рисунок ниже).

   Противоположные углы ромба равны, т.е. одного градуса. Его диагонали пересекаются под углом 90 градусов (прямой угол), следовательно, перпендикулярны друг другу и образуют два равносторонних треугольника. Его смежные стороны являются дополнительными, а это значит, что сумма их меры равна 180 градусам. Он также известен как равносторонний параллелограмм.

   Определение параллелограмма

   Параллелограмм, как следует из его названия, описывается как фигура плоской формы, имеющая четыре стороны, множество противоположных сторон которых параллельны и совпадают (см. Рисунок ниже).

   Размер углов его облицовки равен, а следующие друг за другом углы являются дополнительными, т. Е. Сумма их меры равна 180 градусам. Его диагонали делят друг друга пополам, образуя два равных треугольника.

   Ключевые различия между ромбом и параллелограммом

   Разницу между ромбом и параллелограммом можно ясно увидеть по следующим признакам:

   1. Мы определяем ромб как плоский четырехугольник с четырьмя сторонами, длина всех сторон которого одинакова.Параллелограмм — это четырехгранная плоская фигура, противоположные стороны которой параллельны друг другу.
   2. Все стороны ромба равны по длине, тогда как равны только противоположные стороны параллелограмма.
   3. Диагонали ромба пересекают друг друга под прямым углом, образуя два разносторонних треугольника. В отличие от параллелограмма, диагонали которого делят друг друга пополам, образуя два конгруэнтных треугольника.
   4. Математическая формула для определения площади ромба: (pq) / 2, где p и q — диагонали.И наоборот, площадь параллелограмма можно вычислить, умножив основание и высоту.
   5. Периметр ромба можно рассчитать по следующей формуле — 4 a, где a = сторона ромба. Напротив, периметр параллелограмма можно рассчитать, сложив основание и высоту и умножив полученную сумму на 2.

   Заключение

   Параллелограмм и ромб — четырехугольники, у которых лицевые стороны параллельны, противоположные углы равны, сумма внутренних углов равна 360 градусам.Сам ромб — это особый вид параллелограмма. Следовательно, можно сказать, что каждый ромб — это параллелограмм, но обратное невозможно.

   Когда параллелограмм является ромбом?

   Когда параллелограмм является ромбом?

   Я думаю о параллелограмме, диагонали которого перпендикулярны. Назовите этот параллелограмм.

   Если вы догадались, что это квадрат, значит, вы не очень хорошо прочитали заголовок этого раздела. Это ромб! Хорошая вещь в работе с параллелограммами заключается в том, что диагонали создают множество треугольников, которые просто просят быть доказанными конгруэнтными.На рисунке 16.6 параллелограмм ABCD имеет перпендикулярные диагонали. Соответствующие треугольники пытаются общаться с вами. Слушай внимательно.

   Рисунок 16.6 Параллелограмм ABCD с переменным током? BD.

   • Теорема 16.6 : Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, параллелограмм представляет собой ромб.

   Давайте сразу перейдем к плану игры. Вы знаете этот кондиционер? BD, поэтому m? AMB = 90 и m? CMB = 90. Поскольку диагонали параллелограмма делят друг друга пополам, вы знаете, что AM ~ = MC.Рефлексивное свойство ~ = позволяет писать BM ~ = BM. Согласно Постулату SAS, вы знаете, что? AMB ~ =? CMB. По CPOCTAC вы знаете, что AB ~ = BC. Поскольку AB ~ = BC и AB ~ = BC — смежные стороны, у вас есть параллелограмм с совпадающими смежными сторонами, он же ромб.

   	Заявления	Причины
   1.	Параллелограмм ABCD имеет переменный ток? BD	Дано
   2.	? AMB и? CMB верны	Определение?
   3.	m? AMB = 90 и m? CMB = 90	Определение прямого угла
   4.	? AMB ~ =? CMB	Определение ~ =
   5.	AM ~ = MC	Теорема 15,6
   6.	BM ~ = BM	Отражающее свойство ~ =
   7.	? AMB ~ =? CMB	Постулат SAS
   AB ~ = BC	CPOCTAC
   9.	Параллелограмм ABCD — это ромб	Определение ромба

   Теперь давайте немного пофантазируем. Предположим, у вас есть прямоугольник ABCD. Найдите середины каждой из сторон прямоугольника и последовательно соедините их вместе, чтобы сформировать четырехугольник MNOP, как показано на рис. 16.7. Какой четырехугольник получается?

   Рис. 16.7 Прямоугольник ABCD, середины каждой стороны которого последовательно соединены вместе, образуя четырехугольник MNOP.

   На картинке он похож на параллелограмм. Однако вы должны быть осторожны, потому что внешний вид может быть обманчивым. Также похоже, что диагонали вновь созданного четырехугольника перпендикулярны. Если рисунок точный, у вас может возникнуть соблазн сделать вывод, что четырехугольник — это ромб. Давайте это докажем.

   • Теорема 16.7 : Если середины сторон прямоугольника соединены по порядку, полученный четырехугольник представляет собой ромб.

   Для этого вам нужен серьезный план игры.Поскольку M, N, O и P являются серединами AB, BC, CD и AD, вы знаете, что BN ~ = NC ~ = AP ~ = PD и AM ~ = MB ~ = OD ~ = CO. Потому что вы ‘ Имея дело с прямоугольником, вы знаете, что m? A = 90, m? B = 90, m? C = 90 и m? D = 90. Итак, согласно Постулату SAS,? PAM ~ =? NBM ~ =? PDO ~ =? Унтер-офицер. Применение принципа CPOCTAC MN ~ = MP ~ = PO ~ = NO. Итак, противоположные стороны равны, а четырехугольник MNOP — параллелограмм. Кроме того, смежные стороны совпадают, поэтому параллелограмм MNOP представляет собой ромб.

   	Заявления	Причины
   1.	Прямоугольник ABCD, средние точки каждой стороны которого последовательно соединены вместе, образуя четырехугольник MNOP	Дано
   2.	BC ~ = NC, AP ~ = PD и OD ~ = CO	Определение средней точки
   3.	AB ~ = CD и BC ~ = AD	Теорема 15.4
   4.	BN = 1 / 2 BC, AP = 1 / 2 AD, AM = 1 / 2 AB и CO = 1 / 2 CD	Теорема 9.1
   5.	BN = NC = AP = PD и AM = MB = OD = CO	Замена (шаги 2, 3, 4)
   6.	BN ~ = NC ~ = AP ~ = PD и AM ~ = MB ~ = OD ~ = CO	Определение ~ =
   7.	m? A = 90. m? B = 90, m? C = 90 и m? D = 90	Определение прямоугольника
   8.	? PAM ~ =? NBM ~ =? PDO ~ =? NCO	Постулат SAS
   9.	MN ~ = MP ~ = PO ~ = NO	CPOCTAC
   10.	Четырехугольник MNOP — параллелограмм	Теорема 16.2
   11.	Четырехугольник	MNOP — ромбик.

   Выдержка из Полное руководство для идиотов по геометрии 2004 Дениз Сечей, доктор философии. Все права защищены, включая право на полное или частичное воспроизведение в любой форме. Используется по договоренности с Alpha Books , членом Penguin Group (USA) Inc.

   Чтобы заказать эту книгу напрямую у издателя, посетите веб-сайт Penguin USA или позвоните по телефону 1-800-253-6476. Вы также можете приобрести эту книгу на Amazon.com и Barnes & Noble.

   Искусство решения проблем

   Ромб — геометрическая фигура, лежащая на плоскости. Он определяется как четырехугольник, все стороны которого равны. Это особый тип параллелограмма, и его свойства (помимо свойств параллелограммов) включают:

   Пробки

   Доказательство того, что ромб — параллелограмм

   Все стороны ромба конгруэнтны, поэтому противоположные стороны конгруэнтны, что является одним из свойств параллелограмма.

   Или всегда есть более длинный путь:

   У ромба все 4 стороны совпадают (определение ромба).

   « и.

   Согласно Постулату ССС,.

   Соответствующие части конгруэнтных треугольников конгруэнтны, поэтому и. То же самое можно сделать и с двумя другими углами, поэтому.

   Преобразуйте сравнения в меры, чтобы получить и. Сложение этих двух уравнений дает.

   Суммарные внутренние углы четырехугольника составляют 360 градусов, так, или.

   Подстановка дает. В упрощенном виде.

   Если две линии разрезаны поперечно, а внутренние углы одинаковой стороны в сумме составляют 180 градусов, линии параллельны. Это означает . То же самое можно сделать для двух других сторон, и мы знаем, что противоположные стороны параллельны. Следовательно, ромб — это параллелограмм.

   Доказательство того, что диагонали ромба делят его на 4 равных треугольника

   В ромбе — точка пересечения диагоналей.

   Так как диагонали ромба биссектрисы друг друга, а.

   Также все стороны совпадают.

   Согласно Постулату SSS, 4 треугольника, образованные диагоналями ромба, совпадают.

   Доказательство перпендикулярности диагоналей ромба

   Продолжение вышеуказанного доказательства:

   Соответствующие части конгруэнтных треугольников конгруэнтны, поэтому все 4 угла (те, что посередине) конгруэнтны.

   Это приводит к тому, что все они равны 90 градусам, а диагонали перпендикулярны друг другу.

   Примеры проблем

   Вводный

   полигонов — четырехугольники — в глубину

   Есть много
   разные виды четырехугольников, но все они имеют несколько общих черт:
   все они имеют четыре стороны, компланарны, имеют две диагонали, а сумма
   их четырех внутренних углов равняется 360 градусам. Вот как они похожи,
   но что их отличает?

   Мы знаем многих
   четырехугольники по их особой форме и свойствам, как квадраты.Помнить,
   если вы видите слово четырехугольник, это не обязательно означает фигуру с
   особые свойства, такие как квадрат или прямоугольник! В словесных задачах будьте осторожны
   не предполагать, что у четырехугольника есть параллельные или равные стороны, если только
   что заявлено.

   Специальные четырехугольники

   ср
   можно использовать диаграмму Венна, чтобы помочь нам сгруппировать типы четырехугольников.

   Диаграмма Венна
   использует перекрывающиеся круги, чтобы показать отношения между группами объектов.Все «четырехугольники» можно разделить на три подгруппы: общие
   четырехугольники, параллелограммы и трапеции.

   — это прямоугольник
   всегда ромб? Нет, потому что все четыре стороны прямоугольника не обязательно
   быть равным. Однако наборы прямоугольников и ромбов пересекаются, и
   их пересечение — это набор квадратов — все квадраты представляют собой прямоугольник
   и ромб.

   Можем поставить квадраты
   на пересечении двух кругов.

   Из этой диаграммы,
   вы можете видеть, что квадрат — это четырехугольник, параллелограмм, прямоугольник,
   и ромб!

   — это трапеция
   параллелограмм? Нет, потому что у трапеции только одна пара параллельных сторон.
   Поэтому мы должны показать набор трапеций отдельным кружком на
   Диаграмма Венна.

   А как насчет воздушных змеев?
   Воздушные змеи — это четырехугольники, которые могут быть параллелограммами . Если их две пары
   сторон равны, он становится ромбом, а если их углы равны, он становится ромбом.
   становится квадратом.

   Ссылки по теме:
   Формулы площади
   Формулы периметра

   назад
   наверх

   Четырехугольники: Классификация

   А
   
   четырехугольник
   
   это

   многоугольник

   с четырех сторон.

   Есть много особых типов четырехугольника.

   А

   
   параллелограмм
   

   — четырехугольник, в котором обе пары противоположных сторон равны

   параллельно

   .

   Параллелограмм также обладает следующими свойствами:

   • Противоположные углы равны;
   • Противоположные стороны совпадают;
   • Смежные углы — дополнительные;
   • В

     диагонали

     разделите друг друга пополам.

   А
   

   прямоугольник

   
   представляет собой параллелограмм с четырьмя прямыми углами, поэтому все прямоугольники также являются параллелограммами и четырехугольниками. С другой стороны, не все четырехугольники и параллелограммы являются прямоугольниками.

   Прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма, а также следующими:

   • Диагонали совпадают.

   А

   
   ромб
   

   параллелограмм с четырьмя

   конгруэнтный

   стороны.Множественное число ромба
   
   ромбовидные
   
   . (Я люблю это слово.)

   Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма, а также следующими:

   • Диагонали пересекаются под прямым углом.

   А

   
   квадратный
   

   может быть определен как ромб, который также является прямоугольником — другими словами, параллелограмм с четырьмя равными сторонами и четырьмя прямыми углами.

   А

   
   трапеция
   

   — четырехугольник, у которого ровно одна пара параллельных сторон.(В зависимости от того, в какой стране вы находитесь, это слово может вызывать некоторую путаницу. В Индии и Великобритании говорят
   
   трапеция
   
   ; в Америке трапеция обычно означает четырехугольник без параллельных сторон.)

   An
   
   равнобедренная трапеция
   
   — трапеция, непараллельные стороны которой совпадают.

   А

   
   летающий змей
   

   — четырехугольник, у которого ровно две пары смежных конгруэнтных сторон.(Это определение исключает ромбы. В некоторых учебниках говорится, что воздушный змей имеет как минимум две пары смежных конгруэнтных сторон, поэтому ромб — это частный случай воздушного змея.)

   А
   
   неравносторонний
   
   четырехугольник — это четырехсторонний многоугольник, у которого нет совпадающих сторон. Ниже показаны три примера.

   ---

   Диаграмма Венна четырехугольной классификации
   

   Следующая диаграмма Венна показывает включения и пересечения четырехугольников различных типов.