Системы показательных уравнений примеры решения: Тема 9. «Системы показательных уравнений и неравенств». — ошкольное образовательное учреждение № 4 «Алёнушка»

Вещество	Использовать	Период полураспада
галлий-67	ядерная медицина	80 часов
кобальт-60	производство	5,3 года
технеций-99m	ядерная медицина	6 часов
америций-241	строительство	432 года
углерод-14	археологическая датировка	5715 лет
уран-235	атомная энергия	703 800 000 лет

Содержание

11.3.6. Решение систем показательных уравнений.

Автор Татьяна Андрющенко На чтение 2 мин. Просмотров 754 Опубликовано 5 июля 2012

Что является обязательным при решении системы показательных уравнений? Конечно, преобразование данной системы в систему простейших уравнений.

Примеры.

Решить системы уравнений:

Выразим у через х из (2) -го уравнения системы и подставим это значение в (1) -ое уравнение системы.

Решаем (2) -ое уравнение полученной системы:

2^х+2^x⁺²=10, применяем формулу: a^x⁺^y=a^x∙a^y.

2^x+2^x∙2²=10, вынесем общий множитель 2^х за скобки:

2^х(1+2²)=10 или 2^х∙5=10, отсюда 2^х=2.

2^х=2¹, отсюда х=1. Возвращаемся к системе уравнений.

Ответ: (1; 2).

Решение.

Представляем левую и правую части (1) -го уравнения в виде степеней с основанием 2, а правую часть (2) -го уравнения как нулевую степень числа 5.

Если равны две степени с одинаковыми основаниями, то равны и показатели этих степеней — приравниваем показатели степеней с основаниями 2 и показатели степеней с основаниями 5.

Получившуюся систему линейных уравнений с двумя переменными решаем методом сложения.

Находим х=2 и это значение подставляем вместо х во второе уравнение системы.

Находим у.

Ответ: (2; 1,5).

Решение.

Если в предыдущих двух примерах мы переходили к более простой системе приравнивая показатели двух степеней с одинаковыми основаниями, то в 3-ем примере эта операция невыполнима. Такие системы удобно решать вводом новых переменных. Мы введем переменные u и v, а затем выразим переменную u через v и получим уравнение относительно переменной v.

Решаем (2) -ое уравнение системы.

v (v+63)=64;

v²+63v-64=0. Подберем корни по теореме Виета, зная, что: v₁+v₂=-63; v₁∙v₂=-64.

Получаем: v₁=-64, v₂=1. Возвращаемся к системе, находим u.

Так как значения показательной функции всегда положительны, то уравнения 4^x=-1 и 4^y=-64 решений не имеют.

Представляем 64 и 1 в виде степеней с основанием 4.

Приравниваем показатели степеней и находим х и у.

Ответ: (3; 0).

Ответ: (2; 1).

Методы решения системы показательных уравнений и неравенств. Решение показательных уравнений и неравенств. Что такое показательная функция

Что является обязательным
при решении системы показательных уравнений
? Конечно, преобразование
данной системы в систему простейших уравнений.

Примеры.

Решить системы уравнений:

Выразим у
через х
из (2) -го уравнения системы и подставим это значение в (1) -ое уравнение системы.

Решаем (2) -ое уравнение полученной системы:

2 х +2 x +2 =10, применяем формулу: a x
+
y
=a x
∙
a y
.

2 x +2 x ∙2 2 =10, вынесем общий множитель 2 х за скобки:

2 х (1+2 2)=10 или 2 х ∙5=10, отсюда 2 х =2.

2 х =2 1 , отсюда х=1
. Возвращаемся к системе уравнений.

Ответ: (1; 2).

Решение.

Представляем левую и правую части (1) -го уравнения в виде степеней с основанием 2
, а правую часть (2) -го уравнения как нулевую степень числа 5
.

Если равны две степени с одинаковыми основаниями, то равны и показатели этих степеней — приравниваем показатели степеней с основаниями 2
и показатели степеней с основаниями 5
.

Получившуюся систему линейных уравнений с двумя переменными решаем методом сложения.

Находим х=2
и это значение подставляем вместо х
во второе уравнение системы.

Находим у
.

Ответ: (2; 1,5).

Решение.

Если в предыдущих двух примерах мы переходили к более простой системе приравнивая показатели двух степеней с одинаковыми основаниями, то в 3-ем примере эта операция невыполнима. Такие системы удобно решать вводом новых переменных. Мы введем переменные u
и v,
а затем выразим переменную u
через v
и получим уравнение относительно переменной v
.

Решаем (2) -ое уравнение системы.

v 2 +63v-64=0. Подберем корни по теореме Виета, зная, что: v 1 +v 2 =-63; v 1 ∙v 2 =-64.

Получаем: v 1 =-64, v 2 =1. Возвращаемся к системе, находим u.

Так как значения показательной функции всегда положительны, то уравнения 4 x =-1

и 4 y =-64

решений не имеют.

Способы решения систем уравнений

Для начала кратко вспомним, какие вообще существуют способы решения систем уравнений.

Существуют четыре основных способа
решения систем уравнений:

Способ подстановки: берется любое из данных уравнений и выражается $y$ через $x$, затем $y$ подставляется в уравнение системы, откуда и находится переменная $x.$ После этого мы легко можем вычислить переменную $y.$

Способ сложения: в данном способе необходимо умножать одно или оба уравнения на такие числа, чтобы при сложении вместе обоих одна из переменных «исчезла».

Графический способ: оба уравнения системы изображается на координатной плоскости и находится точка их пересечения. {n}}$. До тех пор, пока у вас слева или справа есть какие-то левые множители, дополнительные константы и т.д., никакую рационализацию и «зачёркивание» оснований выполнять нельзя
! Бесчисленное множество задач было выполнено неправильно из-за непонимания этого простого факта. Я сам постоянно наблюдаю эту проблему у моих учеников, когда мы только-только приступаем к разбору показательных и логарифмических неравенств.

Но вернёмся к нашей задаче. Попробуем в этот раз обойтись без рационализации. Вспоминаем: основание степени больше единицы, поэтому тройки можно просто зачеркнуть — знак неравенства при этом не поменяется. Получим:

\[\begin{align} & -\frac{8x}{3} \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac{8x}{3} \lt 4; \\ & \frac{4x}{3} \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end{align}\]

Вот и всё. Окончательный ответ: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Выделение устойчивого выражения и замена переменной

В заключение предлагаю решить ещё четыре показательных неравенства, которые уже являются довольно сложными для неподготовленных учеников. {5}}=3125. \\\end{align}\]

Конечно, все эти числа при желании можно восстановить в уме, просто последовательно умножая их друг на друга. Однако, когда вам предстоит решить несколько показательных неравенств, причём каждое следующее сложнее предыдущего, то последнее, о чём хочется думать — это степени каких-то там чисел. И в этом смысле данные задачи являются более сложными, нежели «классические» неравенства, которые решаются методом интервалов.

Надеюсь, этот урок помог вам в освоении данной темы. Если что-то непонятно — спрашивайте в комментариях. И увидимся в следующих уроках.:)

На данном уроке мы рассмотрим различные показательные неравенства и научимся их решать, основываясь на методике решения простейших показательных неравенств

1. Определение и свойства показательной функции

Напомним определение и основные свойства показательной функции. Именно на свойствах базируется решение всех показательных уравнений и неравенств.

Показательная функция
— это функция вида , где основание степени и Здесь х — независимая переменная, аргумент; у — зависимая переменная, функция.

Рис. 1. График показательной функции

На графике показаны возрастающая и убывающая экспоненты, иллюстрирующие показательную функцию при основании большем единицы и меньшем единицы, но большим нуля соответственно.

Обе кривые проходят через точку (0;1)

Свойства показательной функции
:

Область определения: ;

Область значений: ;

Функция монотонна, при возрастает, при убывает.

Монотонная функция принимает каждое свое значение при единственном значении аргумента.

При , когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция возрастает от нуля не включительно до плюс бесконечности, т. е. при данных значениях аргумента мы имеем монотонно возрастающую функцию (). При наоборот, когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция убывает от бесконечности до нуля не включительно, т. е. при данных значениях аргумента мы имеем монотонно убывающую функцию ().

2. Простейшие показательные неравенства, методика решения, пример

На основании вышесказанного приведем методику решения простейших показательных неравенств:

Методика решения неравенств:

Уравнять основания степеней;

Сравнить показатели, сохранив или изменив на противоположный знак неравенства.

Решение сложных показательных неравенств заключается, как правило, в их сведении к простейшим показательным неравенствам.

Основание степени больше единицы, значит, знак неравенства сохраняется:

Преобразуем правую часть согласно свойствам степени:

Основание степени меньше единицы, знак неравенства необходимо поменять на противоположный:

Для решения квадратного неравенства решим соответствующее квадратное уравнение:

По теореме Виета находим корни:

Ветви параболы направлены вверх.

Таким образом, имеем решение неравенства:

Несложно догадаться, что правую часть можно представить как степень с нулевым показателем:

Основание степени больше единицы, знак неравенства не меняется, получаем:

Напомним методику решения таких неравенств.

Рассматриваем дробно-рациональную функцию:

Находим область определения:

Находим корни функции:

Функция имеет единственный корень,

Выделяем интервалы знакопостоянства и определяем знаки функции на каждом интервале:

Рис. 2. Интервалы знакопостоянства

Таким образом, получили ответ.

Ответ:

3. Решение типовых показательных неравенств

Рассмотрим неравенства с одинаковыми показателями, но различными основаниями.

Одно из свойств показательной функции — она при любых значениях аргумента принимает строго положительные значения, значит, на показательную функцию можно разделить. Выполним деление заданного неравенства на правую его часть:

Основание степени больше единицы, знак неравенства сохраняется.

Проиллюстрируем решение:

На рисунке 6.3 изображены графики функций и . Очевидно, что когда аргумент больше нуля, график функции расположен выше, эта функция больше. Когда же значения аргумента отрицательны, функция проходит ниже, она меньше. При значении аргумента функции равны, значит, данная точка также является решением заданного неравенства.

Рис. 3. Иллюстрация к примеру 4

Преобразуем заданное неравенство согласно свойствам степени:

Приведем подобные члены:

Разделим обе части на :

Теперь продолжаем решать аналогично примеру 4, разделим обе части на :

Основание степени больше единицы, знак неравенства сохраняется:

4. Графическое решение показательных неравенств

Пример 6 — решить неравенство графически:

Рассмотрим функции, стоящие в левой и правой части и построим график каждой из них.

Функция — экспонента, возрастает на всей своей области определения, т. е. при всех действительных значениях аргумента.

Функция — линейная, убывает на всей своей области определения, т. е. при всех действительных значениях аргумента.

Если данные функции пересекаются, то есть система имеет решение, то такое решение единственное и его легко можно угадать. Для этого перебираем целые числа ()

Несложно заметить, что корнем данной системы является :

Таким образом, графики функций пересекаются в точке с аргументом, равным единице.

Теперь нужно получить ответ. Смысл заданного неравенства в том, что экспонента должна быть больше или равна линейной функции, то есть быть выше или совпадать с ней. Очевиден ответ: (рисунок 6.4)

Рис. 4. Иллюстрация к примеру 6

Итак, мы рассмотрели решение различных типовых показательных неравенств. Далее перейдем к рассмотрению более сложных показательных неравенств.

Список литературы

Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. — М.: Мнемозина. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. — М.: Дрофа. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. — М.: Просвещение.

Math. md . Mathematics-repetition. com . Diffur. kemsu. ru .

Домашнее задание

1. Алгебра и начала анализа, 10-11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, № 472, 473;

2. Решить неравенство:

3. Решить неравенство.

Урок и презентация на тему: «Показательные уравнения и показательные неравенства»

Дополнительные материалы

Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 11 класса

Интерактивное пособие для 9–11 классов «Тригонометрия»
Интерактивное пособие для 10–11 классов «Логарифмы»

Определение показательных уравнений

Ребята, мы изучили показательные функций, узнали их свойства и построили графики, разобрали примеры уравнений, в которых встречались показательные функции. 2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Воспользуемся интервальным методом решения:

Ответ: $(-∞;-5]U}

Системы показательных уравнений и неравенств примеры решения. Системы показательных уравнений и неравенств. Задание на дом

Способы решения систем уравнений

Для начала кратко вспомним, какие вообще существуют способы решения систем уравнений.

Существуют четыре основных способа
решения систем уравнений:

Графический способ: оба уравнения системы изображается на координатной плоскости и находится точка их пересечения.

Способ введения новых переменных: в этом способе мы делаем замену каких-либо выражений для упрощения системы, а потом применяем один из выше указанных способов. {\varphi (x)} $, где $a >0,a\ne 1$ равносильна совокупности двух систем

«Системы показательных уравнений и неравенств»

Системы показательных

уравнений и неравенств

Блиц-опрос

1. Какая функция называется показательной?

2. Какова область определения функции y= 0,4 x ?

3. Какова область определения показательной функции?

4. Какова область значения функции y= 0,4 x ?

5. При каком условии показательная функция является возрастающей?

6. При каком условии показательная функция является убывающей?

7. Возрастает или убывает показательная функция y= 4 x ?

8. Имеет ли решение уравнение 0,4 x =10 ?

9. Имеет ли решение уравнение 0,4 x =-0,4 ?

Математический диктант

Если ответ правильный то «+»; если неверный то «-».

Математический диктант

Напишите метод решения показательного уравнения:

Приведение к одному основанию;
Вынесение общего множителя за скобки;
Замена переменного (приведение к квадратному).

Ответы

1. + 6. В

2. — 7. А

3. — 8. С

4. — 9. В

5. + 10. В

Критерии

Оценка «5» ставится: нет ошибок и исправлений

Оценка «4» ставится: 1-2 ошибки

Оценка «3» ставится: 3-4 ошибки

Оценка «2» ставится: 5 и более ошибок.

Тема урока:

«Системы показательных уравнений и неравенств»

Цель урока:

Обобщить и закрепить знания о способах решения показательных уравнений и неравенств, содержащихся в системах уравнений и неравенств на основе свойств показательной функции.

Способы решения систем уравнений:

Способ подстановки.
Способ сложения.
Графический способ.
Способ введения новых переменных.

Способ подстановки:

берется любое из данных уравнений и выражается y через x;
затем y подставляется в уравнение системы, откуда и находится переменная x;
после этого легко вычисляется переменная y.

Способ сложения:

необходимо умножать одно или оба уравнения на такие числа, чтобы при сложении вместе обоих одна из переменных «исчезла».

Графический способ:

оба уравнения системы изображается на координатной плоскости и находится точка их пересечения.

Ответ: (1,2)

Способ введения новых переменных:

мы делаем замену каких-либо выражений для упрощения системы, а потом применяем один из выше указанных способов.

Системы уравнений, состоящие из показательных уравнений, называются системой показательных уравнений . Cистемы неравенств, состоящие из показательных неравенств, называются системой показательных неравенств.

Пример 1:

Решить систему уравнений:

Решение :

Пример 2:

Решить систему уравнений:

Решение :

Ответ: (0,1).

Пример 3:

Решить систему неравенств:

Решение :

Ответ: (3;+  ).

Приобретать знания – храбрость

Приумножать их – мудрость

А умело применять – великое искусство

Задачи для решения на уроке:

№ 240(4), №242(2), №244 (1).
(Алимов Ш.А. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы)

Рефлексия:

сегодня я узнал(а)…
было трудно…
я понял(а), что…
я научил(а)ся…
я смог(ла)…
было интересно узнать, что…
меня удивило…
мне захотелось…

Домашнее задание:

(1) §6, п.1,2, §1,2, §10, (2), §4, №40(2,4), §7, №66(5,7)

Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. – Москва, 2012.

Богомолов Н. (2x)=28.
Решение: Схема решения подобных показательных примеров следующая:
Выносим множитель в наименьшей степени за скобки

Дальнейшие действия станут ясными в ходе самих вычислений. Как правило, показательные уравнения упрощается до простого типа с которым практически все знают что делать. В нашем случае

Далее если имеем равные основания (2 = 2) то и показатели должны быть равны 2x = 2; x = 1.
Вот и вся мудрость! Однако на ней можно построить такие показательные уравнения что голова начнет болеть не только у студента, но и у преподавателя которому придется объяснять на доске сложный пример. Поэтому не расслабляйтесь и внимательно посмотрите решения следующих примеров.

Пример 2. Найти произведение решений уравнения
Решение: Такая задача под силу не каждому. Здесь нужно хорошо знать и тригонометрию и показательные уравнения. Преобразуем сначала правую сторону

После этого видим, как решить показательное уравнение

Записано в таком виде, поскольку не все еще научились видеть показатели.
Приравняем их и получим квадратное уравнение

Далее зависит от ваших знаний. Можно решать квадратное уравнение через дискриминант и искать произведение решений уравнения, а можно воспользоваться теоремой Виета что мы и сделаем. Согласно теореме произведение корней равно свободном члену, т.е. (-1).
Вот и все вычисления для данного примера.

Пример 3. Вычислить х+у, если

Решение: Имеем систему показательных уравнений с двумя неизвестными. Легкость вычислений заключается в том, что из второго уравнения мы можем найти первую неизвестную и подставить в 1 уравнения. Превратим 2 уравнения к стандартному виду (одинаковому основанию)

Первая неизвестная равна x=-3. Подставим ее в первое уравнение

Упростим вторую скобку

Чтобы число в определенном степени было равное единице необходимо, по свойству показателей, чтобы степень был равен нулю. Решение получим учитывая зависимость

Согласно условия задачи находим сумму корней -3+1=-2.

Пример 4. Найти сумму решений уравнения

Решение: В основе показательного уравнения имеем тригонометрические функции. Не трудно догадаться, что в подобных примерах они должны принимать одинаковые по модулю значения. Косинус 60 градусе равный синусу 30 i = 1/2.
Иными словами основы равны, осталось приравнять показатели и решить квадратное уравнение.

Опять есть два варианта:

Искать корни через дискриминант и суммировать их.
Применить теорему Виета.

Согласно теореме сумма корней, взятая с обратным знаком соответствует значению при переменной, т.е.
x1+x2=-(-3,5)=3,5.
Рассмотрим более сложные варианты заданий.

Пример 5. Найти большее решение уравнения

Решение: Перепишем правую сторону показательного уравнения

Здесь мы поднесли к (-1) степени основу, соответственно в показателе поменяли знак на противоположный. Приравнивая показатели получим квадратное уравнение

Дискриминант посчитаем в уме (49-40=9). Корень из дискриминанта равен 3.
Больший из корней уравнения принимает значение х=(-7+3)/2=-2.

Пример 6. Найти отрицательное решение уравнения
Решение: В первую очередь нужно свести обе стороны показательного уравнения к одной основе. Выполняем преобразования

Окончательное уравнение преобразуется к следующему

Приравниваем показатели

Находим дискриминант квадратного уравнения (16+4*4*3=64) и искомый отрицательный корень
x=(4-8)/(2*4)=-0,5.

Пример 7. Найти натуральный корень уравнения

Решение: Сведем показательное уравнение к одному основанию

Уравнение упростится к стандартному

Вычисляем дискриминант

и корни уравнения
x1=(2+6)/2=4;
x2=(2-6)/2=-2 – не является натуральным числом.
Итак, единственная правильный ответ x=4.

Пример 8. Сколько решений имеет уравнение
?
Решение: Переносим отрицательное слагаемое за знак равенства и сводим показательное уравнения к общей основе

Таким образом показательные уравнение свели к дробному. Прежде всего выписываем ограничения на ОДЗ — исключаем нули знаменателя

Переходим к перекрестному умножения

далее раскрываем скобки и группируем подобные слагаемые

Получили, что уравнение имеет только одно решение x=17/6.

На сайте можете найти много доступных решений которые помогут подготовится к экзаменам, возможно некоторым заменят репетитора. Ищите нужные Вам алгоритмы вычислений, полезные для Вас материалы сайта рекомендуйте одноклассникам и знакомым.

Похожие материалы:

Примеры решения систем показательных уравнений

Системы показательных уравнений

Примеры с решениями

Пример №206.

Решить систему уравнений

Решение:

Полагая

заменим исходную систему алгебраической системой

которая равносильна системе

имеющей решение

Следовательно, откуда находим

Ответ.

Пример №207.

Решить систему уравнений

Решение:

Полагая в (1)

получаем уравнение , имеющее корни

Так как показательная функция принимает только положительные значения, то уравнение (1) равносильно уравнению

откуда находим

Исключая

из системы (2), (3), получаем уравнение имеющее корни Соответствующие значения определяются формулой (3).

Ответ.

Пример №208.

Решить систему уравнений

Решение:

Разложим правые части уравнений системы (4) на множители:

Поэтому исходную систему можно записать в виде

Перемножив, а затем разделив почленно уравнения этой системы, получаем систему

которая равносильна системе

имеющей единственное решение

Ответ.

Пример №209.

Решить систему уравнений

Решение:

Положим

Тогда система примет вид

Система (5) равносильна совокупности двух систем:

Система (6) не имеет решений. Система (7) является однородной. Разделив почленно ее уравнения и полагая

получаем

откуда

Значение следует отбросить, так как Если т. е. то из первого уравнения системы (7) находим Итак, т. е. откуда

Ответ.

Пример №210.

Решить систему уравнений

Решение:

Возведя обе части уравнения (9) в степень

и учитывая, что преобразуем это уравнение к виду

Система (8), (10) приводит к уравнению

являющемуся следствием системы (8), (9). Это уравнение равносильно уравнению

откуда

Из (11) и (9) получаем уравнение

равносильное совокупности уравнений

Решив системы (11), (12) и (11), (13), находим

и Обе эти пары чисел, как показывает проверка, образуют решение системы (8), (9).

Ответ.

Пример №211.

Решить систему уравнений

Решение:

Запишем систему в следующем виде:

Перемножив почленно уравнения системы (15), получаем

или

Уравнение (16), являющееся следствием системы (14), равносильно уравнению

откуда Подставим в систему (15). y=3 \\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=0 \\ y=1 \\ \end{cases} \).

Ответ: $(0;1)$.

экспоненциальных одновременных уравнений | Суперпроф

Что такое одновременные уравнения

Вы уже знакомы с экспоненциальными уравнениями. Экспоненциальные уравнения используются для моделирования экспоненциального роста и экспоненциального убывания. Экспоненциальные функции — это функции, обратные функциям журнала. В этой статье мы увидим, что такое одновременные экспоненциальные уравнения. Мы также научимся одновременным экспоненциальным уравнениям на некоторых примерах. Итак, давайте сначала посмотрим, что такое одновременные уравнения:

«Одновременные уравнения имеют две или более неизвестных переменных с общим значением в каждом уравнении».

Одновременные экспоненциальные уравнения также известны как система экспоненциальных уравнений. Слово одновременный означает, что эти уравнения решаются вместе. Значения неизвестных переменных в одном уравнении также удовлетворяют значениям неизвестных во втором уравнении. Это означает, что переменные в одном уравнении не имеют единственного решения.

Прежде чем переходить к одновременным экспоненциальным уравнениям, от вас ожидается, что вы уже знаете, как решать систему линейных уравнений.Мы знаем, что в экспоненциальных уравнениях независимой переменной является показатель степени, то есть

. В одновременных экспоненциальных уравнениях неизвестные переменные задаются в показателе степени или степени уравнений.

Доступны лучшие репетиторы по математике

Первый урок бесплатно

Стратегии решения системы экспоненциальных уравнений

Существуют определенные стратегии для решения системы экспоненциальных уравнений. Эти стратегии описаны ниже:

Использование комбинации методов, таких как решение системы линейных уравнений и законов экспонент
Решение системы при решении типичной системы линейных уравнений методом исключения, замены или сравнения

Один следует использовать стратегию в соответствии с требованиями уравнений.Помните, что вы можете решить систему экспоненциальных уравнений, только если основы двух или более экспоненциальных уравнений совпадают. Если основания одинаковы, экспоненциальная система уравнений решается просто установкой показателей в левой и правой частях уравнений равными друг другу.

Однако может возникнуть ситуация, когда вас попросят решить систему экспоненциальных уравнений с разными основаниями. В этом сценарии вы должны увидеть, можете ли вы установить одинаковые основы для обоих уравнений, применяя правила экспоненты.

Дополнительная информация Обучение математике здесь.

Примеры

Давайте решим систему экспоненциальных уравнений в следующих примерах, чтобы прояснить этот вопрос.

Пример 1

Решите систему экспоненциальных уравнений

Решение

Вы можете записать второе уравнение в виде куба из 3 с обеих сторон, потому что 27 равно

Умножение константы на члены внутри скобок даст нам следующее выражение:

Следовательно, система экспоненциальных уравнений будет записана как:

Так как уравнения имеют одинаковые основания слева и справа сторону уравнений, поэтому мы можем решить показатели этой системы, составив из них систему линейных уравнений, например:

Мы можем решить эту систему методом подстановки.У нас уже есть

в первом уравнении, поэтому мы заменим это значение во втором уравнении следующим образом:

Решите выражение в скобках в левой части уравнения:

Вычтем

из обеих частей уравнения:

Вычтите 6 из обеих частей уравнения, чтобы получить следующее выражение:

Разделите обе части на 3, чтобы получить значение

Следовательно, мы получили значение из

.Теперь вычисление значения стало проще, потому что мы можем напрямую подставить в первое уравнение, чтобы получить значение:

Следовательно, решение вышеупомянутой системы экспоненциальных уравнений составляет

и. Этот набор решений можно записать как.

Проверка

Этот шаг не является обязательным, однако вы можете использовать этот шаг, чтобы убедиться, что ваш ответ верен. Подставим

и в следующую систему экспоненциальных уравнений:

Следовательно, это показывает, что наше решение правильное.

Пример 2

Решите следующие одновременные экспоненциальные уравнения.

Решение

Мы можем переписать второе уравнение, используя правило произведения экспонент, которое гласит, что произведение двух экспонент с одинаковым основанием может быть записано как единое основание со сложенными вместе экспонентами и наоборот.

Предположим,

и. Выражение будет записано так:

Мы можем решить указанную выше систему линейных уравнений методом исключения.Умножьте первое уравнение на 2, чтобы получить следующее выражение:

Мы отменим

из приведенной выше системы, и получится следующее выражение:

Умножьте обе стороны на

, чтобы получить.

Поместите это значение n в первое уравнение

, чтобы получить следующее значение для:

Вычтите 9 с обеих сторон, чтобы получить

Теперь мы знаем значения

и. Вначале мы сделали следующие предположения об этих двух значениях:

. Поскольку,

в степени возведенного в степень, равно, т.е.е. , так . Аналогично, возведенный в степень 2 равен, т. Е. Так,.

Следовательно, множество решений системы экспоненциальных уравнений равно

Проверка

Мы можем проверить наше решение, поместив значения

и переменных в систему экспоненциальных уравнений следующим образом:

Таким образом, подтверждается правильность нашего решения.

Пример 3

Решите следующую систему экспоненциальных уравнений:

Решение

Мы можем переписать первое и второе уравнения следующим образом:

Запишите показатели указанной выше системы экспоненциальных уравнений как систему линейных уравнений вида:

Мы можем решить эту систему либо путем подстановки, либо путем исключения переменных.Лучше использовать метод исключения, потому что оба уравнения имеют

, которое может быть устранено плавно:

Полученное уравнение после исключения будет:

Умножьте обе части приведенного выше уравнения на -2, чтобы переменная стала положительной:

Теперь подставьте это значение

во второе линейное уравнение, чтобы получить значение.

Добавьте 2 к обеим сторонам уравнения, чтобы получить:

Разделите обе стороны на 2, чтобы получить значение

Следовательно, значение

удовлетворяет системе экспоненциальных уравнений.Или, другими словами, мы можем сказать, что это множество решений исходной системы экспоненциальных уравнений.

Проверка

Давайте проверим наш набор решений, подставив значения

и систему экспоненциальных уравнений следующим образом:

Следовательно, проверяется, что

является набором решений системы экспоненциальных уравнения.

Пример 4

Решите следующую систему экспоненциальных уравнений:

Решение

Мы можем записать первое и второе уравнения следующим образом:

Запишите показатели указанной выше системы экспоненциальных уравнений как система линейных уравнений, подобная этой:

Мы можем решить указанную выше систему линейных уравнений либо путем подстановки, либо путем исключения.Решим систему методом подстановки. Подставьте

в, чтобы получить следующее значение:

Решите алгебраическое выражение, умножив 3 на член в круглых скобках:

Вычтите

из обеих сторон уравнения:

Добавьте 18 к обеим сторонам уравнение для получения окончательного значения

Разделите обе стороны на

, чтобы получить

Теперь подставьте это значение

в первое уравнение

Следовательно, значение

и значение.Другими словами, мы можем сказать, что множество решений системы экспоненциального уравнения есть.

Проверка

Теперь мы проверим наше решение, подставив значения

и исходную систему экспоненциального уравнения:

Следовательно, наш набор решений верен для данной системы экспоненциальных уравнений.

Пример 5

Решите следующую систему экспоненциальных уравнений.

Решение

Мы можем переписать второе уравнение, используя правило произведения экспонент, которое гласит, что произведение двух экспонент с одинаковыми основаниями может быть записано как единое основание со сложенными вместе экспонентами и наоборот.

Предположим,

и. Следовательно, результирующая система экспоненциальных уравнений будет:

Примените правило отрицательной экспоненты, чтобы еще больше упростить приведенную выше систему экспоненциальных уравнений. Согласно правилу отрицательной экспоненты отрицательная экспонента в числителе становится положительной в знаменателе и наоборот.

Умножьте второе уравнение

на 2, чтобы получить следующее выражение:

Первое уравнение

можно записать в виде.Подставьте это значение в уравнение:

Вычтите 7 из обеих частей уравнения, чтобы получить:

Разделите обе части уравнения на 3, чтобы получить значение

Замените это значение

в первом линейном уравнении, чтобы получить значение:

Добавьте 25 к обеим сторонам уравнения:

Теперь у нас есть значения

и. Помните, что в начале задачи мы сделали следующие предположения относительно этих двух значений:

. Ввод значений

и одного за другим в уравнения даст нам значения и:

Мы знаем, что

, так .

Мы знаем, что

в степени 2 равно, поэтому значение. Следовательно, множество решений указанной выше системы экспоненциального уравнения равно.

Проверка

Давайте проверим наше решение, подставив значения переменных в исходную систему экспоненциальных уравнений.

Таким образом, доказано, что наш набор решений верен для указанной выше системы экспоненциальных уравнений. Помните, что вам не нужно выполнять этап проверки.Этот шаг используется только тогда, когда вы хотите быть уверены, что ваш набор решений верен для данной системы экспоненциальных уравнений.

РЕШЕНИЕ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Чтобы решить экспоненциальное уравнение, возьмите логарифм с обеих сторон и
решить для переменной.

Пример 1: Решите относительно x в уравнении.

Решение:

: Шаг 1: Возьмите натуральное бревно с обеих сторон:
: Шаг 2: Упростите левую часть приведенного выше уравнения, используя логарифмическое правило 3:
: Шаг 3: Упростите левую часть приведенного выше уравнения: Поскольку Ln ( e ) = 1, уравнение имеет вид
Ln (80) — точный ответ и x = 4.38202663467 — приблизительный ответ, потому что мы округлили значение Ln (80).

Чек: Отметьте свой ответ в исходном уравнении.

Пример 2: Решите относительно x в уравнении

Решение:

: Шаг 1: Выделите экспоненциальный член, прежде чем брать общий логарифм обеих сторон. Следовательно, прибавьте 8 к обеим сторонам:
: Шаг 2: Возьмите общий журнал обеих сторон:
: Шаг 3: Упростите левую часть приведенного выше уравнения, используя логарифмическое правило 3:
: Шаг 4: Упростите левую часть приведенного выше уравнения: Поскольку Log (10) = 1, приведенное выше уравнение можно записать
: Шаг 5: Вычтем 5 из обеих частей приведенного выше уравнения:
это точный ответ.x = -3,1674

29 — приблизительный ответ ..

Чек: Отметьте свой ответ в исходном уравнении. Делает

Да, это так.

Пример 3: Решите относительно x в уравнении

Решение:

: Шаг 1: Когда вы построите график левой части уравнения, вы заметите, что график пересекает ось x в двух местах. Это означает, что уравнение имеет два реальных решения.
: Шаг 2: Перепишем уравнение в квадратичной форме:
: Шаг 3: Разложите на множители левую часть уравнения:
теперь можно написать
: Шаг 4: Решите относительно x. Примечание: произведение двух членов может быть равно нулю только в том случае, если одно или оба из двух членов равны нулю.
: Шаг 5: Установите первый множитель равным нулю и решите относительно x: Если
, то и и
x = Ln (2) — это точный или приблизительный ответ.
: Шаг 6: Установите второй множитель равным нулю и решите относительно x: Если
, тогда и и x = Ln (3) — это точный или приблизительный ответ. Точные ответы: Ln (3) и Ln (2) и
приблизительные ответы: 0,69314718056 и 1,09861228867.

Проверить: Эти два числа должны быть одинаковыми числами, где график пересекает ось абсцисс.

Примечание: Почему мы выбрали Ln в Примере 3? Потому что мы знаем, что Ln ( e ) = 1.

Если вы хотите просмотреть другой пример, щелкните
Пример.

Решите следующие задачи. Если вы хотите просмотреть ответ и
решение, нажмите на ответ.

Задача 1: Решите относительно x в уравнении.

Ответ

Задача 2: Решите относительно x в уравнении.

Ответ

Задача 3: Решите относительно x в уравнении.

Ответ

Задача 4: Решите относительно x в уравнении.

Ответ

Задача 5: Решите относительно x в уравнении.

Ответ

Задача 6: Решите относительно x в уравнении.

Ответ

[Назад меню к экспоненциальным функциям]
[Перейти к решению логарифмических уравнений]

[Алгебра]
[Тригонометрия]
[Сложный
Переменные] S.Домашняя страница O.S MATHematics

Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем

S.O.S. Математика CyberBoard.

Автор: Нэнси
Маркус

Авторские права 1999-2021 MathMedics, LLC. Все права защищены.

Свяжитесь с нами

Math Medics, LLC. — П.О. Box 12395 — El Paso TX 79913 — США

пользователей онлайн за последний час
экспоненциальных уравнений | Колледж алгебры
Результаты обучения
Решите экспоненциальное уравнение с общим основанием.
Перепишите экспоненциальное уравнение так, чтобы все члены имели общую основу, а затем решите. {x + 1} = — 2 [/ latex].{x} = — 100 [/ латекс].
Показать решение
Уравнение не имеет решения.
Использование логарифмов для решения экспоненциальных уравнений
Иногда члены экспоненциального уравнения нельзя переписать с общим основанием. В этих случаях мы решаем, логарифмируя каждую сторону. Напомним, что поскольку [latex] \ mathrm {log} \ left (a \ right) = \ mathrm {log} \ left (b \ right) [/ latex] равно a = b , , мы можем применять логарифмы с одинаковым основанием к обеим сторонам экспоненциального уравнения.
Практическое руководство: дано экспоненциальное уравнение Если общая база не может быть найдена, решите неизвестное
Примените логарифм к обеим частям уравнения.
Если один из членов уравнения имеет основание 10, используйте десятичный логарифм.
Если ни один из членов уравнения не имеет основания 10, используйте натуральный логарифм.
Используйте правила логарифмов, чтобы найти неизвестное. {x} [/ latex].{x} \ hfill & \ text {Взять ln с обеих сторон}. \ hfill \\ \ text {} \ left (x + 2 \ right) \ mathrm {ln} 5 = x \ mathrm {ln} 4 \ hfill & \ text {Используйте правило мощности для журналов}. \ hfill \\ \ text {} x \ mathrm {ln} 5 + 2 \ mathrm {ln} 5 = x \ mathrm {ln} 4 \ hfill & \ text {Используйте распространяемое свойство}. \ hfill \\ \ text {} x \ mathrm {ln} 5-x \ mathrm {ln} 4 = -2 \ mathrm {ln} 5 \ hfill & \ text {Получить термины, содержащие} x \ text { с одной стороны, термины без} x \ text {с другой}. \ hfill \\ x \ left (\ mathrm {ln} 5- \ mathrm {ln} 4 \ right) = — 2 \ mathrm {ln} 5 \ hfill & \ text {С левой стороны вычтите множитель} x.{x} [/ латекс]?
Да. Решение: x = 0.
Уравнения, содержащие [латекс] е [/ латекс]
Один из распространенных типов экспоненциальных уравнений — это уравнения с основанием e . Эта константа снова и снова встречается в природе, математике, науке, технике и финансах. Когда у нас есть уравнение с основанием e с обеих сторон, мы можем использовать натуральный логарифм для его решения. {x} [/ latex] и [latex] y = \ mathrm {ln} \ left (x \ right) [/ latex] являются обратными функциями.{2т} [/ латекс].
Показать решение
[латекс] t = \ mathrm {ln} \ left (\ frac {1} {\ sqrt {2}} \ right) = — \ frac {1} {2} \ mathrm {ln} \ left (2 \ right ) [/ латекс]
Посторонние решения
Иногда методы, используемые для решения уравнения, вводят постороннее решение , которое является решением, которое является алгебраически правильным, но не удовлетворяет условиям исходного уравнения. Одна такая ситуация возникает при решении, когда логарифмируют обе части уравнения. В таких случаях помните, что аргумент логарифма должен быть положительным.{x} = 8 \ hfill & \ text {Отклонить уравнение, в котором степень равна отрицательному числу}. \ hfill \\ x = \ mathrm {ln} 8 \ hfill & \ text {Решите уравнение, в котором степень равна положительное число}. \ hfill \ end {array} [/ latex]
Анализ решения
Когда мы планируем использовать факторинг для решения проблемы, мы всегда получаем ноль на одной стороне уравнения, потому что ноль имеет уникальное свойство: когда продукт равен нулю, один или оба фактора должны быть равны нулю. {x} = — 7 [/ latex], потому что положительное число никогда не равно отрицательному.{x} +2 [/ латекс].
Показать решение
[латекс] x = \ mathrm {ln} 2 [/ латекс]
Вопросы и ответы
У каждого логарифмического уравнения есть решение?
Нет. Имейте в виду, что мы можем применить логарифм только к положительным числам. Всегда проверяйте наличие посторонних решений.
Внесите свой вклад!
У вас была идея улучшить этот контент? Нам очень понравится ваш вклад.
Улучшить эту страницуПодробнее
Решение экспоненциальных уравнений с использованием логарифмов
На нашем предыдущем уроке вы узнали, как решать экспоненциальные уравнения без логарифмов.На этот раз мы хотим решить экспоненциальные уравнения , требующие использования логарифмов . Почему? Причина в том, что мы не можем манипулировать экспоненциальным уравнением, чтобы иметь одинаковую или общую основу для обеих сторон уравнения. Если вы столкнулись с проблемой такого типа, выполните следующие действия:
Шаги для решения экспоненциальных уравнений с использованием логарифмов
1) Держите экспоненциальное выражение отдельно от одной стороны уравнения.
2) Найдите логарифмы обеих частей уравнения.{2x}} = 21.
Преимущество этого уравнения в том, что экспоненциальное выражение уже выделено в левой части. Теперь мы можем логарифмировать обе части уравнения. Не имеет значения, какое основание логарифма использовать. Окончательный ответ должен быть таким же. Наилучший выбор для базы логарифмической операции — 5, поскольку она является базой самого экспоненциального выражения. Однако мы также будем использовать в вычислениях общую основу 10 и естественную основу \ color {red} e (обозначенную \ color {blue} ln), чтобы показать, что в конечном итоге все они имеют одинаковые ответы. .{x — 5}}} \ right) = 12.
Как видите, экспоненциальное выражение слева не само по себе. Мы должны исключить число 2, которое умножает экспоненциальное выражение. Для этого разделите обе части на 2. В результате мы получим только экспоненциальное выражение слева и 6 справа после упрощения.
Пора взять бревно с обеих сторон. Поскольку экспоненциальное выражение имеет основание 3, это удобное основание для работы с журналом. Кроме того, мы также решим эту проблему, используя естественное основание e, чтобы сравнить, согласуются ли наши окончательные результаты.{x — 2}}}}}}} \ right) — 7 = 13.
Сначала это похоже на беспорядок. Однако, если вы знаете, с чего начать, решение этой проблемы становится простым. В первую очередь нам следует упростить выражение внутри скобок. Используйте правило деления экспоненты, скопировав общее основание числа е и вычтя верхнюю на нижнюю степень.
Теперь выделите экспоненциальное выражение, сложив обе части на 7, а затем разделив все уравнение на 2.
Возьмите логарифм обеих сторон.х} + 3 = 53.
Обратите внимание, что экспоненциальное выражение возводится в x. Упростите это, применив Силу к Правилу Силы. Сделайте это, скопировав основание 10 и умножив его показатель на внешний показатель. После этого он должен выглядеть так.
Теперь мы можем выделить экспоненциальное выражение, вычтя обе части на 3, а затем умножив обе части на 2.
Возьмите логарифм обеих сторон с основанием 10. Если вы просто видите журнал \ color {red} без какой-либо конкретной основы, предполагается, что его основание равно 10.x снова.
Наконец, установите каждый коэффициент равным нулю и решите относительно x, как обычно, используя логарифмы.
Вам также может быть интересно:
Решение экспоненциальных уравнений без логарифмов
6.6 Экспоненциальные и логарифмические уравнения — College Algebra
Цели обучения
В этом разделе вы:
Используйте аналогичные основания для решения экспоненциальных уравнений.
Используйте логарифмы для решения экспоненциальных уравнений.
Используйте определение логарифма для решения логарифмических уравнений.
Используйте однозначное свойство логарифмов для решения логарифмических уравнений.
Решать прикладные задачи с экспоненциальными и логарифмическими уравнениями.
Рисунок 1 Дикие кролики в Австралии. Популяция кроликов в Австралии росла так быстро, что это событие стало известно как «кроличья чума». (кредит: Ричард Тейлор, Flickr)
В 1859 году австралийский землевладелец Томас Остин выпустил 24 кролика в дикую природу для охоты.Поскольку в Австралии было мало хищников и достаточно еды, популяция кроликов резко выросла. Менее чем за десять лет популяция кроликов исчислялась миллионами.
Неконтролируемый рост популяции, как у диких кроликов в Австралии, можно смоделировать с помощью экспоненциальных функций. Уравнения, полученные на основе этих экспоненциальных функций, могут быть решены для анализа и прогнозирования экспоненциального роста. В этом разделе мы изучим методы решения экспоненциальных функций.
Использование подобных оснований для решения экспоненциальных уравнений
Первый метод включает две функции с одинаковыми основаниями.Напомним, что однозначное свойство экспоненциальных функций говорит нам, что для любых действительных чисел b, b, S, S и T, T, где b> 0, b ≠ 1, b> 0, b ≠ 1, bS = bTbS = bT тогда и только тогда, когда S = TS = T.
Другими словами, когда экспоненциальное уравнение имеет одинаковое основание с каждой стороны, показатели степени должны быть равны. Это также применимо, когда показатели являются алгебраическими выражениями. Следовательно, мы можем решить множество экспоненциальных уравнений, используя правила экспонент, чтобы переписать каждую сторону как степень с тем же основанием. Затем мы используем тот факт, что экспоненциальные функции взаимно однозначны, чтобы установить показатели равными друг другу и найти неизвестное.
Например, рассмотрим уравнение 34x − 7 = 32×3,34x − 7 = 32×3. Чтобы найти x, x, мы используем свойство деления экспонент, чтобы переписать правую часть так, чтобы обе стороны имели общее основание, 3.3. Затем мы применяем однозначное свойство показателей, устанавливая показатели равными друг другу и решая для xx:
34x − 7 = 32x334x − 7 = 32×31 Записываем 3 как 31,34x − 7 = 32x − 1. .4x − 7 = 2x − 1 Примените однозначное свойство экспонент. 2x = 6 Вычтите 2x и прибавьте 7 к обеим сторонам.x = 3 Разделить на 3,34x − 7 = 32x334x − 7 = 32×31 Записать 3 как 31,34x − 7 = 32x − 1 Использовать свойство деления экспонент. 4x − 7 = 2x − 1 Применить свойство однозначности показателей. 2x = 6 Вычесть 2x и прибавьте 7 к обеим сторонам. X = 3D разделить на 3.
Использование однозначного свойства экспоненциальных функций для решения экспоненциальных уравнений
Для любых алгебраических выражений Sand T, Sand T и любого положительного действительного числа b ≠ 1, b ≠ 1,
bS = bT, если и только если S = TbS = bTif, и только если S = T
Как это сделать
Для экспоненциального уравнения вида bS = bT, bS = bT, где SS и TT — алгебраические выражения с неизвестным, решите относительно неизвестного.
Используйте правила экспонент для упрощения, если необходимо, чтобы результирующее уравнение имело вид bS = bT.bS = bT.
Используйте свойство «один к одному», чтобы установить равные степени.
Решите полученное уравнение S = T, S = T относительно неизвестного.
Пример 1
Решение экспоненциального уравнения с общей базой
Решите 2x − 1 = 22x − 4.2x − 1 = 22x − 4.
Решение
2x − 1 = 22x − 4 Общая база равна 2.x − 1 = 2x − 4 По свойству взаимно однозначности показатели степени должны быть равны.x = 3 Найти x. 2x − 1 = 22x − 4 Общая база равна 2.x − 1 = 2x − 4 По свойству взаимно однозначности экспоненты должны быть равны. X = 3 Найти x.
Попробуй # 1
Решите 52x = 53x + 2,52x = 53x + 2.
Переписываем уравнения так, чтобы у всех сил была одна и та же база
Иногда общая основа для экспоненциального уравнения не указывается явно. В этих случаях мы просто переписываем члены уравнения как степени с общей базой и решаем, используя свойство «один к одному».
Например, рассмотрим уравнение 256 = 4x − 5.256 = 4х − 5. Мы можем переписать обе части этого уравнения в степени 2,2. Затем мы применяем правила экспонент, наряду со свойством однозначности, чтобы найти x: x:
256 = 4x − 528 = (22) x − 5 Перепишите каждую сторону как степень с основанием 2.28 = 22x − 10. взаимно однозначное свойство экспонент. 8 = 2x − 10. Примените однозначное свойство показателей. 18 = 2x Добавьте 10 к обеим сторонам. x = 9 Разделите на 2.256 = 4x − 528 = (22) x − 5 Перепишите каждую сторона как степень с основанием 2.28 = 22x − 10 Используйте свойство однозначности показателей. 8 = 2x − 10 Примените свойство однозначности экспонент.18 = 2x Добавьте 10 к обеим сторонам. X = 9 Разделите на 2.
How To
Для данного экспоненциального уравнения с разными основаниями используйте свойство взаимно однозначности для его решения.
Записываем каждую сторону уравнения как степень с общим основанием.
Используйте правила экспонент для упрощения, если необходимо, чтобы результирующее уравнение имело вид bS = bT.bS = bT.
Используйте свойство «один к одному», чтобы установить равные степени.
Решите полученное уравнение S = T, S = T относительно неизвестного.
Пример 2
Решение уравнений путем их переписывания для получения общей базы
Решите 8x + 2 = 16x + 1.8x + 2 = 16x + 1.
Решение
8x + 2 = 16x + 1 (23) x + 2 = (24) x + 1 Запишите 8 и 16 как степени 2,23x + 6 = 24x + 4 Чтобы получить степень степени, умножьте показатели степени. 3x + 6 = 4x + 4 Используйте единицу- к единице, чтобы установить равные показатели. x = 2 Решить для x. 8x + 2 = 16x + 1 (23) x + 2 = (24) x + 1 Записать 8 и 16 как степени 2,23x + 6 = 24x + 4 Чтобы взять степень степень, умножьте показатели. 3x + 6 = 4x + 4 Используйте свойство «один-к-одному», чтобы установить равные показатели.x = 2 Найти x.
Попробуй # 2
Решите 52x = 253x + 2,52x = 253x + 2.
Пример 3
Решение уравнений путем переписывания корней с дробными показателями для получения общей базы
Решите 25x = 2.25x = 2.
Решение
25x = 212 Запишите квадратный корень из 2 как степень 2. x = 12 Используйте свойство взаимно-однозначного отношения. X = 110 Решите для x 25x = 212 Запишите квадратный корень из 2 как степень 2. x = 12 Используйте соотношение один-к-одному. one property.x = 110 Решить forx.
Q&A
Все ли экспоненциальные уравнения имеют решение? Если нет, как мы можем узнать, есть ли решение в процессе решения проблемы?
№Напомним, что диапазон экспоненциальной функции всегда положителен. Решая уравнение, мы можем получить неопределенное выражение.
Пример 4
Решение уравнения с положительной и отрицательной степенями
Решите 3x + 1 = −2,3x + 1 = −2.
Решение
Это уравнение не имеет решения. Не существует реального значения xx, которое сделало бы уравнение истинным, потому что любая степень положительного числа положительна.
Анализ
Рисунок 2 показывает, что два графика не пересекаются, поэтому левая сторона никогда не равна правой стороне.Таким образом, уравнение не имеет решения.
Рисунок 2
Попробуй # 4
Решите 2x = −100,2x = −100.
Решение экспоненциальных уравнений с использованием логарифмов
Иногда члены экспоненциального уравнения нельзя переписать с общим основанием. В этих случаях мы решаем, логарифмируя каждую сторону. Напомним, поскольку log (a) = log (b) log (a) = log (b) эквивалентно a = b, a = b, мы можем применять логарифмы с одинаковым основанием к обеим сторонам экспоненциального уравнения.
Как это сделать
Дано экспоненциальное уравнение, в котором нельзя найти общую основу, найти неизвестное.
Возьмите логарифм обеих частей уравнения.
Если один из членов уравнения имеет основание 10, используйте десятичный логарифм.
Если ни один из членов уравнения не имеет основания 10, используйте натуральный логарифм.
Используйте правила логарифмов, чтобы найти неизвестное.
Пример 5
Решение уравнения, содержащего степени разных оснований
Решите 5x + 2 = 4x.5х + 2 = 4х.
Решение
5x + 2 = 4xНет простого способа получить у степеней одинаковое основание. Ln5x + 2 = ln4x Возьмите ln с обеих сторон. (X + 2) ln5 = xln4 Используйте законы логарифмов. Xln5 + 2ln5 = xln4 Используйте закон распределения. xln5 − xln4 = −2ln5 Получите члены, содержащие x с одной стороны, члены без x с другой. x (ln5 − ln4) = — 2ln5 С левой стороны, вычлените x.xln (54) = ln (125) Используйте законы журналов. x = ln (125) ln (54) Разделить на коэффициент x. 5x + 2 = 4x Нет простого способа получить степени, имеющие одинаковую базу.ln5x + 2 = ln4x Возьмите ln с обеих сторон. (x + 2) ln5 = xln4 Используйте законы логов. xln5 + 2ln5 = xln4 Используйте закон распределения. xln5 − xln4 = −2ln5 Получите члены, содержащие x с одной стороны, члены без x с другой. x (ln −ln4) = — 2ln5 В левой части вычтите множитель x.xln (54) = ln (125) Воспользуйтесь законами логарифмов. X = ln (125) ln (54) Разделите на коэффициент при x.
Q&A
Есть ли способ решить 2x = 3x? 2x = 3x?
Да. Решение — 0,0.
Уравнения, содержащие
e
Один из распространенных типов экспоненциальных уравнений — уравнения с основанием e.е. Эта константа снова и снова встречается в природе, в математике, науке, технике и финансах. Когда у нас есть уравнение с основанием ee с обеих сторон, мы можем использовать натуральный логарифм для его решения.
Как это сделать
Дано уравнение вида y = Aekt, y = Aekt, решите относительно t.t.
Разделим обе части уравнения на А.А.
Примените натуральный логарифм к обеим частям уравнения.
Разделите обе части уравнения на k.k.
Пример 6
Решите уравнение вида
y = Ae ^kt
Решите 100 = 20e2t. 100 = 20e2t.
Решение
100 = 20e2t5 = e2t Разделить на коэффициент мощности. Ln5 = 2t Возьмите ln с обеих сторон. Используйте тот факт, что ln (x) и ex являются обратными функциями. T = ln52 Разделите на коэффициент t.100 = 20e2t5 = e2t Разделите на коэффициент мощности. Ln5 = 2t Возьмите ln с обеих сторон. Используйте тот факт, что ln (x) и ex являются обратными функциями.t = ln52 Разделить на коэффициент при t.
Анализ
Используя законы журналов, мы также можем записать этот ответ в форме t = ln5.t = ln5. Если нам нужно десятичное приближение ответа, мы используем калькулятор.
Попробуй # 6
Решите 3e0.5t = 11.3e0.5t = 11.
Q&A
Имеет ли решение каждое уравнение вида y = Aekty = Aekt ?
Нет. Существует решение, когда k ≠ 0, k ≠ 0, и когда yy и AA либо оба 0, либо ни один из них не равны 0 и имеют одинаковый знак.Примером уравнения этой формы, не имеющего решения, является 2 = −3et.2 = −3et.
Пример 7
Решение уравнения, которое можно упростить до формы
y = Ae ^kt
Решите 4e2x + 5 = 12,4e2x + 5 = 12.
Решение
4e2x + 5 = 124e2x = 7 Объедините подобные члены. E2x = 74 Разделите на коэффициент мощности. 2x = ln (74) Возьмите ln с обеих сторон. X = 12ln (74) Решите относительно x. 4e2x + 5 = 124e2x = 7 Объедините как terms.e2x = 74 Разделить на коэффициент мощности.2x = ln (74) Возьмем ln с обеих сторон. X = 12ln (74) Решим относительно x.
Попробуй # 7
Решите 3 + e2t = 7e2t.3 + e2t = 7e2t.
Посторонние решения
Иногда методы, используемые для решения уравнения, вводят постороннее решение, которое является решением, правильным с алгебраической точки зрения, но не удовлетворяющим условиям исходного уравнения. Одна такая ситуация возникает при решении, когда логарифмируется обе части уравнения. В таких случаях помните, что аргумент логарифма должен быть положительным.Если число, которое мы вычисляем в логарифмической функции, отрицательное, вывода нет.
Пример 8
Решение экспоненциальных функций в квадратичной форме
Решите e2x − ex = 56.e2x − ex = 56.
Решение
e2x − ex = 56e2x − ex − 56 = 0 Получим одну часть уравнения, равную нулю. (ex + 7) (ex − 8) = 0 Фактор методом FOIL. ex + 7 = 0 или ex − 8 = 0 Если продукт ноль, то один множитель должен быть равен нулю. ex = −7или ex = 8 Выделите экспоненты. ex = 8 Отклоните уравнение, в котором степень равна отрицательному числу.x = ln8 Решите уравнение, в котором степень равна положительному числу. e2x − ex = 56e2x − ex − 56 = 0 Получите одну часть уравнения, равную нулю. (ex + 7) (ex − 8) = 0 Разложите по методу FOIL. .ex + 7 = 0или ex − 8 = 0 Если произведение равно нулю, то один множитель должен быть равен нулю. ex = −7or ex = 8 Выделить экспоненты. ex = 8 Отклонить уравнение, в котором степень равна отрицательному числу. x = ln8 Решить уравнение, в котором степень равна положительному числу.
Анализ
Когда мы планируем использовать факторинг для решения проблемы, мы всегда получаем ноль на одной стороне уравнения, потому что ноль имеет уникальное свойство: когда продукт равен нулю, один или оба фактора должны быть равны нулю.Мы отклоняем уравнение ex = −7ex = −7, потому что положительное число никогда не равно отрицательному. Решение ln (−7) ln (−7) не является действительным числом, и в действительной системе счисления это решение отклоняется как постороннее решение.
Q&A
У каждого логарифмического уравнения есть решение?
Нет. Имейте в виду, что мы можем применить логарифм только к положительным числам. Всегда проверяйте наличие посторонних решений.
Использование определения логарифма для решения логарифмических уравнений
Мы уже видели, что каждое логарифмическое уравнение logb (x) = ylogb (x) = y эквивалентно экспоненциальному уравнению by = x.по = x. Мы можем использовать этот факт вместе с правилами логарифмов для решения логарифмических уравнений, в которых аргумент является алгебраическим выражением.
Например, рассмотрим уравнение log2 (2) + log2 (3x − 5) = 3. журнал2 (2) + журнал2 (3х − 5) = 3. Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать правила логарифмов, чтобы переписать левую часть в компактной форме, а затем применить определение журналов для решения для x: x:
log2 (2) + log2 (3x − 5) = 3log2 (2 ( 3x − 5)) = 3 Примените правило произведения logarithms. Log2 (6x − 10) = 3Distribute 23 = 6x − 10 Примените определение логарифма.8 = 6x − 10 Вычислить 23,18 = 6x Прибавить 10 к обеим сторонам. X = 3 Разделить на 6. log2 (2) + log2 (3x − 5) = 3log2 (2 (3x − 5)) = 3 Применить правило произведения logarithms.log2 ( 6x − 10) = 3Dраспределение. 23 = 6x − 10. Примените определение логарифма. 8 = 6x − 10. Вычислите 23,18 = 6x. Добавьте 10 к обеим сторонам. X = 3D. Разделите на 6..
Использование определения логарифма для решения логарифмических уравнений.

Для любого алгебраического выражения SS и действительных чисел bb и c, c, где b> 0, b ≠ 1, b> 0, b ≠ 1,
logb (S) = cif и только если bc = Slogb (S) = cif и только если bc = S
Пример 9
Использование алгебры для решения логарифмического уравнения
Решите 2lnx + 3 = 7.2lnx + 3 = 7.
Решение
2lnx + 3 = 72lnx = 4Subtract 3.lnx = 2Divide на 2.x = e2Перепишите в экспоненциальной форме.
Пример 10
Использование алгебры до и после использования определения натурального логарифма
Решите 2ln (6x) = 7.2ln (6x) = 7.
Решение
2ln (6x) = 7ln (6x) = 72 Разделить на 2,6x = e (72) Использовать определение ln.x = 16e (72) Разделить на 6,2ln (6x) = 7ln (6x) = 72 Разделить на 2.6x = e (72) Используйте определение ln.x = 16e (72) Разделите на 6.
Попробуй # 10
Решите 2ln (x + 1) = 10,2ln (x + 1) = 10.
Пример 11
Использование графика для понимания решения логарифмического уравнения
Решите lnx = 3.lnx = 3.
Решение
lnx = 3x = e3 Используйте определение натурального логарифма. lnx = 3x = e3 Используйте определение натурального логарифма.
На рис. 3 представлен график уравнения. На графике координата x точки пересечения двух графиков близка к 20.Другими словами e3≈20.e3≈20. Калькулятор дает лучшее приближение: e3≈20.0855.e3≈20.0855.
Рисунок 3 Графики y = lnxy = lnx и y = 3y = 3 пересекаются в точке (e3,3), (e3,3), что приблизительно равно (20.0855, 3).
Попробуй # 11
Используйте графический калькулятор, чтобы оценить приближенное решение логарифмического уравнения 2x = 10002x = 1000 с точностью до 2 десятичных знаков.
Использование однозначного свойства логарифмов для решения логарифмических уравнений
Как и в случае с экспоненциальными уравнениями, мы можем использовать свойство однозначности для решения логарифмических уравнений.Однозначное свойство логарифмических функций говорит нам, что для любых действительных чисел x> 0, x> 0, S> 0, S> 0, T> 0T> 0 и любого положительного действительного числа b, b, где b ≠ 1, b ≠ 1,
logbS = logbTif и только если S = T. logbS = logbTif и только если S = T.
Например,
Если log2 (x − 1) = log2 (8), то x − 1 = 8. Если log2 (x − 1) = log2 (8), то x − 1 = 8.
Итак, если x − 1 = 8, x − 1 = 8, то мы можем решить относительно x, x и получить x = 9.x = 9. Для проверки можно подставить x = 9x = 9 в исходное уравнение: log2 (9−1) = log2 (8) = 3. log2 (9−1) = log2 (8) = 3.Другими словами, когда логарифмическое уравнение имеет одинаковое основание с каждой стороны, аргументы должны быть равны. Это также применимо, когда аргументы являются алгебраическими выражениями. Следовательно, когда дано уравнение с журналами с одинаковым основанием на каждой стороне, мы можем использовать правила логарифмов, чтобы переписать каждую сторону как единый логарифм. Затем мы используем тот факт, что логарифмические функции взаимно однозначны, чтобы установить аргументы, равные друг другу, и найти неизвестное.
Например, рассмотрим уравнение log (3x − 2) −log (2) = log (x + 4).журнал (3x − 2) −log (2) = журнал (x + 4). Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать правила логарифмов, чтобы переписать левую часть как единый логарифм, а затем применить свойство «один к одному», чтобы найти x: x:
log (3x − 2) −log (2) = log (x + 4) log (3x − 22) = log (x + 4) Применить правило частного логарифмов. 3x − 22 = x + 4 Применить свойство один к одному логарифма. 3x − 2 = 2x + 8 Умножим обе части уравнения на 2.x = 10 Вычтем 2x и прибавим 2.log (3x − 2) −log (2) = log (x + 4) log (3x − 22) = log (x + 4) Примените правило частного логарифмов. 3x − 22 = x + 4 Примените свойство один к одному логарифма.3x − 2 = 2x + 8 Умножьте обе части уравнения на 2.x = 10, вычтите 2x и прибавьте 2.
Чтобы проверить результат, подставьте x = 10x = 10 в log (3x − 2) −log (2) = log (x +4) .log (3x − 2) −log (2) = журнал (x + 4).
log (3 (10) −2) −log (2) = log ((10) +4) log (28) −log (2) = log (14) log (282) = log (14) Решение проверяет. log (3 (10) −2) −log (2) = log ((10) +4) log (28) −log (2) = log (14) log (282) = log (14) Решение проверяет.
Использование однозначного свойства логарифмов для решения логарифмических уравнений
Для любых алгебраических выражений SS и TT и любого положительного действительного числа b, b, где b ≠ 1, b ≠ 1,
logbS = logbTif и только если S = TlogbS = logbTif и только если S = T
Обратите внимание: при решении уравнения, включающего логарифмы, всегда проверяйте, верен ли ответ или нет ли это постороннее решение.
Как это сделать
Дано уравнение, содержащее логарифмы, решите его, используя свойство «один к одному».
Используйте правила логарифмов для объединения одинаковых членов, если необходимо, так, чтобы результирующее уравнение имело вид logbS = logbT.logbS = logbT.
Используйте свойство «один к одному», чтобы установить равные аргументы.
Решите полученное уравнение S = T, S = T относительно неизвестного.
Пример 12
Решение уравнения с использованием однозначного свойства логарифмов
Решите ln (x2) = ln (2x + 3).ln (x2) = ln (2x + 3).
Решение
ln (x2) = ln (2x + 3) x2 = 2x + 3 Используйте однозначное свойство логарифма. x2−2x − 3 = 0 Получите ноль с одной стороны перед факторизацией. (x − 3) (x + 1 ) = 0 Фактор с использованием FOIL. X − 3 = 0или x + 1 = 0 Если продукт равен нулю, один из множителей должен быть равен нулю. X = 3orx = −1 Вычислить x.ln (x2) = ln (2x + 3) x2 = 2x + 3 Используйте однозначное свойство логарифма. X2−2x − 3 = 0 Получите ноль с одной стороны перед факторизацией. (X − 3) (x + 1) = 0 Фактор с использованием FOIL. X − 3 = 0 или x + 1 = 0 Если продукт равен нулю, один из факторов должен быть равен нулю.x = 3 или x = −1 Решить относительно x.
Анализ
Есть два решения: 33 или -1. Решение -1-1 отрицательное, но оно проверяется при подстановке в исходное уравнение, потому что аргумент функций логарифма все еще положительный.
Попробуй # 12
Решите ln (x2) = ln1.ln (x2) = ln1.
Решение прикладных задач с использованием экспоненциальных и логарифмических уравнений
В предыдущих разделах мы изучили свойства и правила как для экспоненциальных, так и для логарифмических функций.Мы видели, что любую экспоненциальную функцию можно записать в виде логарифмической функции и наоборот. Мы использовали показатели для решения логарифмических уравнений и логарифмы для решения экспоненциальных уравнений. Теперь мы готовы объединить наши навыки для решения уравнений, которые моделируют реальные ситуации, независимо от того, находится ли неизвестное в экспоненте или в логарифме.
Одно из таких приложений — в науке, для расчета времени, необходимого для распада половины нестабильного материала в образце радиоактивного вещества, называемого его периодом полураспада.В таблице 1 перечислены периоды полураспада некоторых наиболее распространенных радиоактивных веществ.
Вещество Использовать Период полураспада
галлий-67 ядерная медицина 80 часов
кобальт-60 производство 5,3 года
технеций-99m ядерная медицина 6 часов
америций-241 строительство 432 года
углерод-14 археологическая датировка 5715 лет
уран-235 атомная энергия 703 800 000 лет
Таблица 1
Мы можем видеть, насколько сильно различаются периоды полураспада этих веществ.Зная период полураспада вещества, мы можем рассчитать количество, оставшееся по прошествии определенного времени. Мы можем использовать формулу радиоактивного распада:
A (t) = A0eln (0,5) TtA (t) = A0eln (0,5) tTA (t) = A0 (eln (0,5)) tTA (t) = A0 (12) tTA (t) = A0eln (0,5) TtA ( t) = A0eln (0,5) tTA (t) = A0 (eln (0,5)) tTA (t) = A0 (12) tT
, где
A0A0 — первоначальная сумма
TT — период полураспада вещества
tt — период времени, в течение которого исследуется вещество
A (t) A (t) — количество вещества, присутствующего после времени tt
Пример 13
Использование формулы радиоактивного распада для определения количества вещества
Сколько времени нужно, чтобы десять процентов 1000-граммовой пробы урана-235 распались?
Решение
y = 1000eln (0.5) 703 800 000 тонн 900 = 1000eln (0,5) 703 800 000 тонн После 10% распада остается 900 граммов 0,9 = eln (0,5) 703 800 000 тонн Разделить на 1000 ln (0,9) = ln (eln (0,5) 703 800 000 тонн) Взять с обеих сторон .ln (0,9) = ln (0,5) 703,800,000 тлн (eM) = Mt = 703,800,000 × ln (0,9) ln (0,5) лет Расчетный срок t≈106,979,777 лет = 1000eln (0,5) 703,800,000 т900 = 1000eln (0,5) 703,800,000 т После 10 % распадается, остается 900 грамм. 0,9 = eln (0,5) 703 800 000 т Разделить на 1000 l n (0,9) = ln (eln (0,5) 703 800 000 тонн) Взять ln с обеих сторон. ln (0,9) = ln (0,5) 703 800 000 t ln (eM) = Mt = 703 800 000 × ln (0.9) ln (0,5) лет Решенная форта t≈106 979 777 лет
Анализ
Десять процентов от 1000 граммов составляют 100 граммов. Если 100 граммов распадаются, количество оставшегося урана-235 составляет 900 граммов.
Попробуй # 13
Сколько времени пройдет, прежде чем двадцать процентов нашей 1000-граммовой пробы урана-235 распадутся?
6.6 Упражнения по разделам
Устные
1.
Как можно решить экспоненциальное уравнение?
2.
Когда возникает постороннее решение? Как распознать постороннее решение?
3.
Когда можно использовать однозначное свойство логарифмов для решения уравнения? Когда его нельзя использовать?
Алгебраические
В следующих упражнениях используйте аналогичные основания для решения экспоненциального уравнения.
4.
4−3v − 2 = 4 − v4−3v − 2 = 4 − v
6.
32x + 1⋅3x = 24332x + 1⋅3x = 243
7.
2−3n⋅14 = 2n + 22−3n⋅14 = 2n + 2
8.
625⋅53x + 3 = 125625⋅53x + 3 = 125
9.
363b362b = 2162 − b363b362b = 2162 − b
10.
(164) 3n⋅8 = 26 (164) 3n⋅8 = 26
Для следующих упражнений используйте логарифмы.
13.
эр + 10-10 = -42 эр + 10-10 = -42
15.
−8⋅10p + 7−7 = −24−8⋅10p + 7−7 = −24
16.
7e3n − 5 + 5 = −897e3n − 5 + 5 = −89
18.
−5e9x − 8−8 = −62−5e9x − 8−8 = −62
19.
−6e9x + 8 + 2 = −74−6e9x + 8 + 2 = −74
21.
e2x − ex − 132 = 0e2x − ex − 132 = 0
22.
7e8x + 8−5 = −957e8x + 8−5 = −95
24.
4e3x + 3−7 = 534e3x + 3−7 = 53
25.
8e − 5x − 2−4 = −908e − 5x − 2−4 = −90
27.
e2x − ex − 6 = 0e2x − ex − 6 = 0
28.
3e3−3x + 6 = −313e3−3x + 6 = −31
В следующих упражнениях используйте определение логарифма, чтобы переписать уравнение в виде экспоненциального уравнения.
29.
журнал (1100) = — 2log (1100) = — 2
30.
log324 (18) = 12 log324 (18) = 12
В следующих упражнениях используйте определение логарифма для решения уравнения.
34.
2log (8n + 4) + 6 = 102log (8n + 4) + 6 = 10
35.
10−4ln (9−8x) = 610−4ln (9−8x) = 6
В следующих упражнениях используйте однозначное свойство логарифмов для решения.
36.
ln (10−3x) = ln (−4x) ln (10−3x) = ln (−4x)
37.
log13 (5n − 2) = log13 (8−5n) log13 (5n − 2) = log13 (8−5n)
38.
журнал (x + 3) −log (x) = журнал (74) журнал (x + 3) −log (x) = журнал (74)
39.
ln (−3x) = ln (x2−6x) ln (−3x) = ln (x2−6x)
40.
log4 (6 − m) = log43mlog4 (6 − m) = log43m
41.
ln (x − 2) −ln (x) = ln (54) ln (x − 2) −ln (x) = ln (54)
42.
log9 (2n2−14n) = log9 (−45 + n2) log9 (2n2−14n) = log9 (−45 + n2)
43.
ln (x2−10) + ln (9) = ln (10) ln (x2−10) + ln (9) = ln (10)
Для следующих упражнений решите каждое уравнение относительно x.Икс.
44.
журнал (x + 12) = журнал (x) + журнал (12) журнал (x + 12) = журнал (x) + журнал (12)
45.
ln (x) + ln (x − 3) = ln (7x) ln (x) + ln (x − 3) = ln (7x).
47.
ln (7) + ln (2−4×2) = ln (14) ln (7) + ln (2−4×2) = ln (14)
48.
log8 (x + 6) −log8 (x) = log8 (58) log8 (x + 6) −log8 (x) = log8 (58)
49.
ln (3) −ln (3−3x) = ln (4) ln (3) −ln (3−3x) = ln (4)
50.
log3 (3x) −log3 (6) = log3 (77) log3 (3x) −log3 (6) = log3 (77)
Графический
Для следующих упражнений решите уравнение относительно x, x, если есть решение . Затем нанесите на график обе части уравнения и отметьте точку пересечения (если она существует), чтобы проверить решение.
51.
log9 (x) −5 = −4 log9 (x) −5 = −4
55.
журнал (4) + журнал (−5x) = 2log (4) + журнал (−5x) = 2
56.
−7 + log3 (4 − x) = — 6−7 + log3 (4 − x) = — 6
57.
ln (4x − 10) −6 = −5ln (4x − 10) −6 = −5
58.
журнал (4−2x) = журнал (−4x) журнал (4−2x) = журнал (−4x)
59.
log11 (−2×2−7x) = log11 (x − 2) log11 (−2×2−7x) = log11 (x − 2)
60.
ln (2x + 9) = ln (−5x) ln (2x + 9) = ln (−5x)
61.
log9 (3 − x) = log9 (4x − 8) log9 (3 − x) = log9 (4x − 8)
62.
журнал (x2 + 13) = журнал (7x + 3) журнал (x2 + 13) = журнал (7x + 3)
63.
3log2 (10) −log (x − 9) = log (44) 3log2 (10) −log (x − 9) = log (44)
64.
ln (x) −ln (x + 3) = ln (6) ln (x) −ln (x + 3) = ln (6)
Для следующих упражнений найдите указанное значение и изобразите ситуацию, показывающую точку решения.
65.
Счет с начальным депозитом в размере 6500 долларов США 6500 долларов приносит 7,25% годовых, 7,25% годовых, непрерывно начисляемых.Сколько будет стоить аккаунт через 20 лет?
66.
Формула для измерения интенсивности звука в децибелах DD определяется уравнением D = 10log (II0), D = 10log (II0), где II — интенсивность звука в ваттах на квадратный метр, а I0 = 10−12I0 = 10. −12 — это самый низкий уровень звука, который может слышать средний человек. Сколько децибел излучает реактивный самолет с интенсивностью звука 8,3⋅1028,3⋅102 Вт на квадратный метр?
67.
Население небольшого городка моделируется уравнением P = 1650e0.5tP = 1650e0,5t, где tt измеряется в годах. Примерно через сколько лет население города достигнет 20 000–20 000?
Technology
Для следующих упражнений решите каждое уравнение, переписав экспоненциальное выражение с использованием указанного логарифма. Затем с помощью калькулятора округлите переменную до трех знаков после запятой.
68.
1000 (1.03) t = 50001000 (1.03) t = 5000 с использованием общего журнала.
69.
e5x = 17e5x = 17 с использованием натурального логарифма
70.
3 (1,04) 3t = 83 (1,04) 3t = 8 с использованием общего журнала
71.
34x − 5 = 3834x − 5 = 38 с использованием общего журнала
72.
50e − 0,12t = 1050e − 0,12t = 10 с использованием натурального логарифма
Для следующих упражнений используйте калькулятор, чтобы решить уравнение. Если не указано иное, округлите все ответы до ближайшей десятитысячной.
73.
7e3x − 5 + 7,9 = 477e3x − 5 + 7,9 = 47
74.
ln (3) + ln (4,4x + 6,8) = 2ln (3) + ln (4,4x + 6,8) = 2
75.
журнал (−0,7x − 9) = 1 + 5log (5) журнал (−0.7x − 9) = 1 + 5log (5)
76.
Атмосферное давление PP в фунтах на квадратный дюйм представляется формулой P = 14,7e − 0,21x, P = 14,7e − 0,21x, где xx — количество миль над уровнем моря. Насколько высока с точностью до фута вершина горы с атмосферным давлением 8,3698,369 фунтов на квадратный дюйм? ( Подсказка : в миле 5280 футов)
77.
Магнитуда землетрясения M представлена уравнением M = 23log (EE0) M = 23log (EE0), где EE — количество энергии, выделенной землетрясением в джоулях, а E0 = 104.4E0 = 104,4 — установленная минимальная мера, вызванная землетрясением. Какой была бы сила землетрясения с точностью до сотых долей, выделяя 1,4⋅10131,4⋅1013 джоулей энергии?
Добавочные номера
78.
Используйте определение логарифма вместе с однозначным свойством логарифмов, чтобы доказать, что blogbx = x.blogbx = x.
79.
Вспомните формулу непрерывного начисления процентов: y = Aekt.y = Aekt. Используйте определение логарифма вместе со свойствами логарифмов, чтобы решить формулу для времени tt так, чтобы tt было равно единственному логарифму.
80.
Вспомните формулу сложных процентов A = a (1 + rk) kt.A = a (1 + rk) kt. Используйте определение логарифма вместе со свойствами логарифмов, чтобы решить формулу для времени t.t.
81.
Закон охлаждения Ньютона гласит, что температура TT объекта в любой момент времени t может быть описана уравнением T = Ts + (T0 − Ts) e − kt, T = Ts + (T0 − Ts) e − kt, где TsTs — температура окружающей среды, T0T0 — начальная температура объекта, kk — скорость охлаждения.{kt} [/ latex] за т
Распознавать, когда могут быть посторонние решения или нет решений для экспоненциальных уравнений
Иногда члены экспоненциального уравнения нельзя переписать с общим основанием. В этих случаях мы решаем, логарифмируя каждую сторону. Напомним, поскольку [latex] \ mathrm {log} \ left (a \ right) = \ mathrm {log} \ left (b \ right) [/ latex] можно переписать как a = b , мы можем применить логарифмы с одинаковым основанием в обеих частях экспоненциального уравнения.{x} \ hfill & \ text {Взять ln с обеих сторон}. \ hfill \\ \ text {} \ left (x + 2 \ right) \ mathrm {ln} 5 = x \ mathrm {ln} 4 \ hfill & \ text {Используйте законы журналов}. \ hfill \\ \ text {} x \ mathrm {ln} 5 + 2 \ mathrm {ln} 5 = x \ mathrm {ln} 4 \ hfill & \ text {Используйте свойство распределения }. \ hfill \\ \ text {} x \ mathrm {ln} 5-x \ mathrm {ln} 4 = -2 \ mathrm {ln} 5 \ hfill & \ text {Получить термины, содержащие} x \ text {на одном сторона и термины без} x \ text {на другой}. \ hfill \\ x \ left (\ mathrm {ln} 5- \ mathrm {ln} 4 \ right) = — 2 \ mathrm {ln} 5 \ hfill & \ text {С левой стороны вычтите за скобки} x.\ hfill \\ \ text {} x \ mathrm {ln} \ left (\ frac {5} {4} \ right) = \ mathrm {ln} \ left (\ frac {1} {25} \ right) \ hfill & \ text {Используйте законы журналов}. \ hfill \\ \ text {} x = \ frac {\ mathrm {ln} \ left (\ frac {1} {25} \ right)} {\ mathrm {ln} \ left (\ frac {5} {4} \ right)} \ hfill & \ text {Разделить на коэффициент} x. \ hfill \ end {array} [/ latex]
В общем, мы можем решить экспоненциальные уравнения, члены которых не имеют одинаковых оснований, следующим образом:
Примените логарифм к обеим частям уравнения. {x} [/ latex]?
Используйте текстовое поле ниже, чтобы сформулировать ответ или пример, прежде чем искать решение.{x} \ text {являются обратными функциями} \ text {.} \ hfill \\ t \ hfill & = \ frac {\ mathrm {ln} 5} {2} \ hfill & \ text {Разделить на коэффициент} t \ text {.} \ hfill \ end {array} [/ latex]
Посторонние решения
Иногда методы, используемые для решения уравнения, вводят постороннее решение , которое является решением, которое является алгебраически правильным, но не удовлетворяет условиям исходного уравнения. Одна такая ситуация возникает, когда логарифм берется с обеих сторон уравнения.{x} = 8 \ hfill & \ text {Отклонить уравнение, в котором степень равна отрицательному числу}. \ hfill \\ x = \ mathrm {ln} 8 \ hfill & \ text {Решите уравнение, взяв натуральный логарифм с обеих сторон}. \ hfill \ end {array} [/ latex]
Анализ решения
Экспоненциальные и логарифмические уравнения
Экспоненциальные и логарифмические уравнения
Показательное уравнение — это уравнение, в котором переменная представлена в виде показателя степени.Логарифмическое уравнение — это уравнение, которое включает логарифм выражения, содержащего переменную. Чтобы решить экспоненциальные уравнения, сначала посмотрите, можете ли вы записать обе части уравнения в виде степеней одного и того же числа. Если вы не можете этого сделать, возьмите десятичный логарифм обеих частей уравнения и затем примените свойство 7.
Пример 1
Решите следующие уравнения.
3 ^x = 5
6 ^{x — 3} = 2
2 ^{3 x — 1} = 3 ^{2 x — 2}
Деление обеих сторон лагом 3,
Используя калькулятор для приближения,
Разделив обе стороны на полено 6,
Используя калькулятор для приближения,
Используя распределительное свойство,
3 x журнал 2 — журнал 2 = 2 x журнал 3-2 журнал 3
Сбор всех членов, включающих переменную на одной стороне уравнения,
3 x журнал 2 — 2 x журнал 3 = журнал 2 — 2 журнал 3
Разложение x ,
x (3 журнала 2 — 2 журнала 3) = журнал 2 — 2 журнала 3
Деление обеих сторон на 3 журнала 2 — 2 журнала 3,
Используя калькулятор для приближения,
x ≈ 12.770
Чтобы решить уравнение, включающее логарифмы, используйте свойства логарифмов, чтобы записать уравнение в форме log _b M = N , а затем измените его на экспоненциальную форму, M = b ^N .
Пример 2
Решите следующие уравнения.
журнал ₄ (3 x -2) = 2
журнал ₃ x + журнал ₃ ( x — 6) = 3
журнал ₂ (5 + 2 x ) — журнал ₂ (4- x ) = 3
журнал ₅ (7 x — 9) = журнал ₅ ( x ² — x — 29)
журнал ₄ (3 x -2) = 2
Перейти к экспоненциальной форме.
Проверьте ответ.
Это верное заявление. Следовательно, решение x = 6.
Перейти к экспоненциальной форме.
Проверьте ответы.
Поскольку логарифм отрицательного числа не определен, единственное решение — x = 9.
журнал ₂ (5 + 2 x ) — журнал ₂ (4- x ) = 3
Перейти к экспоненциальной форме.
Используя свойство перекрестных произведений,
Проверьте ответ.
Это верное заявление. Следовательно, решение x = 2,7.
Проверьте ответы.
Если x = 10,
Это верное заявление.
Если x = –2,
Кажется, это правда, но журнал ₅ (–23) не определен.Следовательно, единственное решение — x = 10.
Пример 3
Найти журнал ₃ 8.
Примечание: журнал 8 = журнал ₁₀ 8 и журнал 3 = журнал ₁₀ 3.
Используя калькулятор для приближения,
.