Системы уравнений. Способы решения систем уравнений

Система уравнений — это группа уравнений, в которых одни и те же неизвестные обозначают одни те же числа. Чтобы показать, что уравнения рассматриваются как система, слева от них ставится фигурная скобка:

Решить систему уравнений — это значит, найти общие решения для всех уравнений системы или убедиться, что решения нет.

Чтобы решить систему уравнений, нужно исключить одно неизвестное, то есть из двух уравнений с двумя неизвестными составить одно уравнение с одним неизвестным. Исключить одно из неизвестных можно тремя способами: подстановкой, сравнением, сложением или вычитанием.

Способ подстановки

Чтобы решить систему уравнений способом подстановки, нужно в одном из уравнений выразить одно неизвестное через другое и результат подставить в другое уравнение, которое после этого будет содержать только одно неизвестное. Затем находим значение этого неизвестного и подставляем его в первое уравнение, после этого находим значение второго неизвестного.

Рассмотрим решение системы уравнений:

Сначала найдём, чему равен  x  в первом уравнении. Для этого перенесём все члены уравнения, не содержащие неизвестное  x,  в правую часть:

x — 4y = 2;

x = 2 + 4y.

Так как  x,  на основании определения системы уравнений, имеет такое же значение и во втором уравнении, то подставляем его значение во второе уравнение и получаем уравнение с одним неизвестным:

Решаем полученное уравнение, чтобы найти, чему равен  y.  Как решать уравнения с одним неизвестным, вы можете посмотреть в соответствующей теме.

Мы определили что  y = 1.  Теперь, для нахождения численного значения  x,  подставим значение  y  в преобразованное первое уравнение, где мы ранее нашли, какому выражению равен  x:

x = 2 + 4y = 2 + 4 · 1 = 2 + 4 = 6.

Ответ:  x = 6,  y = 1.

Способ сравнения

Способ сравнения — это частный случай подстановки. Чтобы решить систему уравнений способом сравнения, нужно в обоих уравнениях найти, какому выражению будет равно одно и то же неизвестное и приравнять полученные выражения друг к другу. Получившееся в результате уравнение позволяет узнать значение одного неизвестного. С помощью этого значения затем вычисляется значение второго неизвестного.

Например, для решение системы:

найдём в обоих уравнениях, чему равен  y  (можно сделать и наоборот — найти, чему равен  x):

Составляем из полученных выражений уравнение:

Решаем уравнение, чтобы узнать значение  x:

Теперь подставляем значение  x  в первое или второе уравнение системы и находим значение  y:

Ответ:  x = 6,  y = 1.

Способ сложения или вычитания

Чтобы решить систему уравнений способом сложения, нужно составить из двух уравнений одно, сложив левые и правые части, при этом одно из неизвестных должно быть исключено из полученного уравнения. Неизвестное можно исключить, уравняв при нём коэффициенты в обоих уравнениях.

Рассмотрим систему:

Уравняем коэффициенты при неизвестном y, умножив все члены второго уравнения на -2:

(3x — 2y) · -2 = 16 · -2

-6x + 4y = -32

Получим:

Теперь сложим по частям оба уравнения, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:

Находим значение  x  (x = 6).   Теперь, подставив значение  x  в любое уравнение системы, найдём  y = 1.

Если уравнять коэффициенты у  x,  то, для исключения этого неизвестного, нужно было бы вычесть одно уравнение из другого.

Уравняем коэффициенты при неизвестном  x,  умножив все члены первого уравнения на  3:

(x — 4y) · 3 = 2 · 3

3x — 12y = 6

Получим:

Теперь вычтем по частям второе уравнение из первого, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:

Находим значение  y  (y = 1).  Теперь, подставив значение  y  в любое уравнение системы, найдём  x = 6:

Ответ:  x = 6,  y = 1.

Для решения системы уравнений, рассмотренной выше, был использован способ сложения, который основан на следующем свойстве:

Любое уравнение системы можно заменить на уравнение, получаемое путём сложения (или вычитания) уравнений, входящих в систему. При этом получается система уравнений, имеющая те же решения, что и исходная.

Решение СЛАУ методами подстановки и сложения

Уравнение называется линейным, если оно содержит переменные только в первой степени и не содержит произведений переменных.

Например, уравнение

—

линейное, а уравнения

и

не являются линейными.

В общем виде система m линейных уравнений с n переменными записывается так:

. (1)

Числа
 

называются коэффициентами при переменных, а
 —
свободными членами.

Совокупность чисел

называется решением системы (1) линейных уравнений, если при подстановке их вместо переменных во все уравнения они обращаются в верные равенства.

Изучение систем линейных уравнений начинается в средней школе. В школьном курсе рассматриваются в основном системы двух линейных уравнений
с двумя переменными и два метода их решения — метод подстановки и метод сложения. Эти методы являются основой изучаемого в курсе
высшей математике метода Гаусса. (Принципиально иной метод — метод Крамера —
основан на использовании определителей).

Чтобы последовательно двигаться от простому к ещё более простому (сложному), повторим два школьных метода.

Решение. При решении системы линейный уравнений методом подстановки сначала из какого-нибудь уравнения выражают
одну переменную через другую (другие, если неизвестных больше двух). Полученное выражение подставляют в другие уравнения, в результате чего приходят к уравнению
с одной переменной. Затем находят соответствующее значение второй (и третьей, если она есть) переменной.

Начнём со вполне школьного примера системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений методом подстановки:

Выразим из первого уравнения
данной системы y через x (можно и наоборот) и получим:

Подставив во второе уравнение данной системы вместо y выражение , получим систему

Данная и полученная системы равносильны. В последней системе второе уравнение содержит только одну переменную.
Решим это уравнение:

Соответствующее значение y найдём, подставив вместо x число -5 в выражение
, откуда

Пара (-5; 2) является решением системы линейных уравнений.

Методом подстановки можно решать и системы трёх линейных уравнений с тремя переменными.

Пример 2. Решить систему линейных уравнений методом подстановки:

Из третьего уравнения системы выразим :

.

Подставим это выражение во второе уравнение данной системы:

.

Произведём преобразования и выразим из этого уравнения :

Полученные выражения для и подставим в первое уравнение системы и получим

.

Вместо можно вновь подставить его выражение, тогда получим
уравнение с одним неизвестным:

откуда

.

Теперь из ранее полученных выражений для остальных переменных найдём и эти переменные:

Итак, решение данной системы линейных уравнений:

.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом подстановки:

Из первого уравнения системы выразим :

.

Подставим это выражение во второе уравнение данной системы, после чего выполним преобразования и получим:

Из третьего уравнения выразим :

Полученное выражение для подставим в преобразованное второе уравнение системы и получим уравнение с одним неизвестным:

.

Произведём преобразования и найдём :

Теперь из ранее полученных выражений для остальных переменных найдём и эти переменные:

Итак, решение данной системы линейных уравнений:

.

При решении систем линейных уравнений методом сложения уравнения системы почленно складывают, причём
одно или оба (несколько) уравнений могут быть умножены на различные числа. В результате приходят к эквивалентной
(равносильной) системе линейных уравнений, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

Пример 4. Решить систему линейных уравнений методом сложения:

Решение. В уравнениях данной системы в этом примере системы коэффициенты при y — противоположные числа.
Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной:

, или , .

Заменим одно из уравнений исходной системы, например, первое, уравнением . Получим систему

Решим полученную систему. Подставив значение
в уравнение , получим уравнение с одной переменной y:

Пара (2; 1) является решением полученной системы линейных уравнений. Она является также решением
исходной системы, так как эти две системы линейных уравнений равносильны.

Пример 5. Решить систему линейных уравнений методом сложения

Почленное сложение уравнений системы не приводит к исключению одной из переменных. Но если умножить все члены первого уравнения на -3,
а второго уравнения на 2, то коэффициенты при x в полученных уравнениях будут противоположными числами:

Почленное сложение уравнений полученной в результате преобразований системы приводит к уравнению с одной переменной:
. Из этого уравнения находим, что . Получили

Решением полученной системы, а следовательно и исходной системы линейных уравнений является пара чисел (-3; 0).

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом сложения:

Решение. Для упрощения решения произведём замену переменных:

, .

Приходим к системе линейных уравнений:

или

Умножим второе уравнение полученной системы на -2 и сложим с первым уравнением, получим
,
. Тогда .

Следовательно, имеем систему уравнений

или

Умножим второе уравнение полученной системы на 3 и сложим с первым уравнением. Получим

.

Решив задачи из примеров на решение систем линейных уравнений методом подстановки и методом сложения, мы научились производить элементарные преобразования,
необходимые для решениях систем линейных уравнений в курсе высшей математики.

Продолжение темы «Системы уравнений и неравенств»

Начало темы «Линейная алгебра»

Поделиться с друзьями

Методы решения систем уравнений — урок.

Алгебра, 11 класс.

При постановке задачи — найти такие пары значений \((x;y)\), которые одновременно удовлетворяют уравнению \(p(x;y)=0\) и уравнению \(q(x;y)=0\), то говорят, что данные уравнения образуют систему уравнений:

p(x;y)=0,q(x;y)=0.

Пару значений \((x;y)\), которая одновременно является решением и первого, и второго уравнений системы, называют решением системы уравнений.

Решить систему уравнений — означает найти все её решения или показать, что решений нет.

Встречаются системы из трёх уравнений с тремя переменными:

p(x;y;z)=0,q(x;y;z)=0,r(x;y;z)=0.

Две системы уравнений называют равносильными, если они имеют одинаковые решения или обе системы не имеют решений.

Чтобы решить систему уравнений, можно использовать способы:

1. подстановки,

2. алгебраического сложения,

3. введения новых переменных,

4. графический.

Пример:

реши систему уравнений:

3x=y+1;7y−2x+2=7⋅7y−4x+6. y=3x−1;73x−1−2x+2=7⋅73x−1−4x+6.y=3x−1;7x+1=7⋅7−x−1+6.

В ходе решения подставили вместо \(y\) выражение \(3x-1\), полученное из первого уравнения.

Введём во втором уравнении новую переменную

t=7x+1;7−x−1=7−x+1=t−1=1t.

Решая второе уравнение с переменной \(t\), получим:

t=7t+6;t2−6t−7=0,t≠0;t1=−1,t2=7.

Возвращаясь к введённому обозначению \(t\), решаем полученные уравнения и находим \(x\):

7x+1=t↙↘7x+1=−1;7x+1=7=71;x∈∅.x+1=1;x=0.

Найдём \(y\), подставляя вместо \(x=0\).

Получим, что \(y=-1\).

Решение системы — пара чисел \((0;-1)\).

В ходе решения были использованы два метода: подстановки и введения новой переменной. 

Пример:

реши систему уравнений:

3x+2y=1x−y=−3|⋅2+3x+2y=12x−2y=−63x+2x+2y−2y=1+(−6);5x=−5;x=−1. x=−1;x−y=−3.x=−1;y=2.

Для определения решения системы использовались методы алгебраического сложения и  подстановки.

Решение системы уравнений

Описание переменных: 

Обозначим искомое количество ручек, карандашей и ластиков через переменные a, b и cсоответственно.

Цены предметов: pa, pb, pc.

Количество предметов: qty.

Сумма покупки: sum.

Алгоритм решения задачи: 

Составим систему уравнений.
Уравнение суммы покупки: 10*a + 5*b + 2*c = 100
Уравнение количества предметов: a + b + c = 30

Заменим числа соответствующими переменными:
Уравнение суммы покупки: pa*a + pb*b + pc*c = sum
Уравнение количества предметов: a + b + c = qty

Чтобы перебрать все возможные варианты сочетания переменных a, b и с, надо использовать три цикла, вложенные друг в друга.
Если при каких-либо значениях a, b и c оба уравнения будут истинны, значит эти значения являются решением для системы уравнений.
Система уравнений может иметь несколько решений или не иметь ни одного.

Программа на языке Паскаль:

var
    a, b, c: byte;
    pa, pb, pc: byte;
    qty, sum: byte;
 
begin
    qty := 30;
    sum := 100;
    pa := 10;
    pb := 5;
    pc := 2;
    for a:=0 to (sum div pa) do
        for b:=0 to (sum div pb) do
            for c:=0 to (sum div pc) do
                if (pa*a + pb*b + pc*c = sum) and
                    (a + b + c = qty) then
                        writeln (a:3,b:3,c:3);
 
readln;
end.

Примечания: 

При заданных данных программа выдаст два варианта решения системы уравнений:

Программа может выглядеть немного по-другому. При заданных значениях a и bопределить c можно по формуле qty - a - b. В таком случае код будет выглядеть так:

var
    a, b, c: byte;
    pa, pb, pc: byte;
    qty, sum: byte;
 
begin
    qty := 30;
    sum := 100;
    pa := 10;
    pb := 5;
    pc := 2;
    for a:=0 to (sum div pa) do
        for b:=0 to (sum div pb) do begin
            c:= qty - a - b;
            if (pa*a + pb*b + pc*c = sum) and
                (a + b + c = qty) then
                writeln (a:3,b:3,c:3);
    end;
 
readln;
end. 

определение, виды, примеры решения, что это такое

Статья знакомит с таким понятием, как определение системы уравнений и ее решением. Будут рассмотрены часто встречающиеся случаи решений систем. Приведенные примеры помогут подробно пояснить решение.

Определение системы уравнений

Чтобы перейти к определению системы уравнений, необходимо обратить внимание на два момента: вид записи и ее смысл. Чтобы понять это, нужно подробно остановиться на каждом из видов, тогда сможем прийти к определению систем уравнений.

Например, возьмем два уравнения 2·x+y=−3 и x=5, после чего объединим фигурной скобкой такого плана:

2·x+y=-3,x=5.

Уравнения, объединенные фигурной скобкой, считаются записями систем уравнений. Они задают множества решений уравнений данной системы. Каждое решение должно являться решением всех заданных уравнений.

Другими словами это означает, что любые решения первого уравнения будут решениями всех уравнений, объединенных системой.

Определение 1

Системы уравнений – это некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой, имеющих множество решений уравнений, которые одновременно являются решениями для всей системы.

Основные виды систем уравнений

Видов уравнений достаточно много, как систем уравнений. Для того, чтобы было удобно решать и изучать их, подразделяют на группы по определенным характеристикам. Это поможет в рассмотрении систем уравнений отдельных видов.

Для начала уравнения классифицируются по количеству уравнений. Если уравнение одно, то оно является обычным уравнением, если их более, тогда имеем дело с системой, состоящей из двух или более уравнений.

Другая классификация затрагивает число переменных. Когда количество переменных 1, говорят, что имеем дело с системой уравнений с одной неизвестной, когда 2 – с двумя переменными. Рассмотрим пример

x+y=5,2·x-3·y=1

Очевидно, что система уравнений включает в себя две переменные х и у.

При записи таких уравнений считается число всех переменных, имеющихся в записи. Их наличие в каждом уравнении необязательно. Хотя бы одно уравнение должно иметь одну переменную. Рассмотрим пример системы уравнений

2x=11,x-3·z2=0,27·x+y-z=-3

Данная система имеет 3 переменные х, у, z. Первое уравнение имеет явный х и неявные у и z. Неявные переменные – это переменные, имеющие 0 в коэффициенте. Второе уравнение имеет х и z, а у неявная переменная. Иначе это можно записать таким образом

2x+0·y+0·z=11

А другое уравнение x+0·y−3·z=0.

Третья классификация уравнений – это вид. В школе проходят простые уравнения и системы уравнений, начиная с систем двух линейных уравнений с двумя переменными. Имеется в виду, что система включает в себя 2 линейных уравнения. Для примера рассмотрим

2·x-y=1,x+2·y=-1и -3·x+y=0.5,x+223·y=0

Это основные простейшие линейные уравнения. Далее можно столкнуться с системами, содержащими 3 и более неизвестных.

В 9 классе решают уравнения с двумя переменными и нелинейные. В целых уравнениях повышается степень для увеличения сложности. Такие системы называют системами нелинейных уравнений с определенным количеством уравнений и неизвестных. Рассмотрим примеры таких систем

x2-4·x·y=1,x-y=2 и x=y3x·y=-5

Обе системы с двумя переменными и обе являются нелинейными.

При решении можно встретить дробно-рациональные уравнения. Например

x+y=3,1x+1y=25

Могут называть просто системой уравнений без уточнения, каких именно. Редко уточняют сам вид системы.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Старшие классы переходят к изучению иррациональных, тригонометрических и показательных уравнений. Например,

x+y-x·y=5,2·x·y=3, x+y=5·π2,sin x+cos 2y=-1,y-log3x=1,xy=312.

Высшие учебные заведения изучают и исследуют решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Левая часть таких уравнений содержит многочлены с первой степенью, а правая – некоторые числа. Отличие от школьных в том, что количество переменных и количество уравнений может быть произвольным, чаще всего несовпадающим.

Решение систем уравнений

Определение 2

Решение системы уравнений с двумя переменными – это пара переменных, которая при подстановке обращает каждое уравнение в верное числовое неравенство, то есть является решением для каждого уравнения данной системы.

К примеру, пара значений х=5 и у=2 являются решением системы уравнений x+y=7,x-y=3. Потому как при подстановке уравнения обращаются в верные числовые неравенства 5+2=7 и 5−2=3. Если подставить пару х=3 и у=0, тогда система не будет решена, так как подстановка не даст верное уравнение, а именно, мы получим 3+0=7.

Сформулируем определение для систем, содержащих одну и более переменных.

Определение 3

Решение системы уравнений с одной переменной – это значение переменной, которая является корнем уравнений системы, значит, все уравнения будут обращены в верные числовые равенства.

Рассмотрим на примере системы уравнений с одной переменной t

t2=4,5·(t+2)=0

Число -2 – решение уравнения, так как  (−2)·2=4, и 5·(−2+2)=0 являются верными числовыми равенствами. При t=1 система не решена, так как при подстановке получим два неверных равенства 12=4 и 5·(1+2)=0.

Определение 4

Решение системы с тремя и более переменными называют тройку, четверку и далее значений соответственно, которые обращают все уравнения системы в верные равенства.

Если имеем значения переменных х=1, у=2, z=0, то подставив их в систему уравнений 2·x=2,5·y=10,x+y+z=3, получим 2·1=2, 5·2=10 и 1+2+0=3. Значит, эти числовые неравенства верные. А значения (1, 0, 5) не будут решением, так как, подставив значения, второе из них будет неверное, как и третье: 5·0=10, 1+0+5=3.

Системы уравнений могут не иметь решений вовсе или иметь бесконечное множество. В этом можно убедиться при углубленном изучении данной тематики. Можно прийти к выводу, что системы уравнений – это пересечение множеств решений всех ее уравнений. Раскроем несколько определений:

Определение 5

Несовместной называют систему уравнений, когда она не имеет решений, в противном случае ее называют совместной.

Определение 6

Неопределенной называют систему, когда она имеет бесконечное множество решений, а определенной при конечном числе решений либо при их отсутствии.

Такие термины редко применяются в школе, так как рассчитаны для программ высших учебных заведений. Знакомство с равносильными системами углубит имеющиеся знания по решению систем уравнений.

Решение систем уравнений с буквенными коэффициентами

66. Примеры решения систем с буквенными коэффициентами. Особенные системы. Рассмотрим 2 примера решения систем уравнений с 3 неизвестными с буквенными коэффициентами.

1. x – 3y = a, y – 3z = b, z – 3x = c

Определим из 1-го уравнения x через y и из 2-го z через y и подставим в 3-е уравнение:

x = a + 3y; z = (y – b) / 3
(y – b) / 3 – 3 (a + 3y) = c

Отсюда

y – b – 9a – 27y = 3c

или

26y = –9a – b – 3c

и

y = –(9a + b + 3c) / 26

Тогда

x = a – (27a + 3b + 3c) / 26 = – (a + 3b + 9c) / 26

2. x + ay – a²z = a³
x + by – b²z = b³
x + cy – c²z = c³

Сначала из 1-го уравнения вычтем по частям 2-ое, — получим одно уравнение с y и z:

ay – by – a²z + b²z = a³ – b³

или

(a – b) y – (a² – b²) z = a³ – b³.

Мы можем теперь обе части этого уравнения разделить на a – b [в самом деле, мы знаем, что a² – b² = (a + b) (a – b) и a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²) ]. Получим:

y – (a + b) z = a² + ab + b².

Затем вычтем по частям из 1-го третье уравнение, – получим другое уравнение с теми же неизвестными y и z:

ay – cy – a²z + c²z = a³ – c³.

Его упростим подобно предыдущему:

(a – c) y – (a² – c²) z = a³ – c³

или

y – (a + c) z = a² + ac + c²

Теперь сложим по частям оба полученных уравнения, умножив предварительно обе части одного из них (напр. 2-ое) на (–1):

y – (a + b) z = a² + ab + b²
–y + (a + c) z = –a² – ac – c²
–———————————
(c – b) z = ab – ac + b² – c²

или

–(b – c) z = a(b – c) + (b² – c²).

Разделим обе части этого уравнения на (b – c):

–z = a + b + c

и

z = –(a + b + c)

Далее из уравнения y – (a + b) z = a² + ab + b² получим:

y = –(a + b) (a + b + c) + a² + ab + b²

или

y = –ab – ac – bc = –(ab + ac + bc).

И из уравнения y – (a + b) z = a² + ab + b² получим:

y = –(a + b) (a + b + c) + a² + ab + b²

или

y = – ab – ac – bc = –(ab + ac + bc).

И из уравнения x + ay – a²z = a³ получим теперь:

x = –ay + a²z + a³ = a²b + a²c + abc – a³ – a²b – a²c + a³

или

x = abc.

Рассмотрим теперь систему, подобную тем, какие были рассмотрены для двух неизвестных:

3/x + 2/y + 5/z = 1
6/x + 6/y – 5/z = 1 1/3
3/x + 4/y – 15/z = 0

Здесь не следует освобождать уравнения от дробей; наметим такой план: 1) из 1-го и 2-го при помощи уравнения числителей удалим z, 2) из 1-го и 3-го также исключим z и 3) решим два полученных уравнения с неизвестными x и y.

Решение систем уравнений: способ сложения + примеры

Системой линейных уравнений с двумя неизвестными — это два или несколько линейных уравнений, для которых необходимо найти все их общие решения. Мы будем рассматривать системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Общий вид системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными представлен на рисунке ниже:

{ a1*x + b1*y = c1,
{ a2*x + b2*y = c2

Здесь х и у неизвестные переменные, a1,a2,b1,b2,с1,с2 – некоторые вещественные числа. Решением системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными называют пару чисел (x,y) такую, что если подставить эти числа в уравнения системы, то каждое из уравнений системы обращается в верное равенство. Существует несколько способов решения системы линейных уравнений. Рассмотрим один из способов решения системы линейных уравнений, а именно способ сложения. 

Алгоритм решения способом сложения

Алгоритм решения системы линейных уравнений с двумя неизвестными способом сложения.

1. Если требуется, путем равносильных преобразований уравнять коэффициенты при одной из неизвестных переменных в обоих уравнениях.

2. Складывая или вычитая полученные уравнения получить линейное уравнение с одним неизвестным

3. Решить полученное уравнение с одним неизвестным и найти одну из переменных.

4. Подставить полученное выражение в любое из двух уравнений системы и решить это уравнение, получив, таким образом, вторую переменную.

5. Сделать проверку решения.

Пример решения способом сложения

Для большей наглядности решим способом сложения следующую систему линейных уравнений с двумя неизвестными:

{3*x + 2*y = 10;
{5*x + 3*y = 12;

Так как, одинаковых коэффициентов нет ни у одной из переменных, уравняем коэффициенты у переменной у. Для этого умножим первое уравнение на три, а второе уравнение на два.

{3*x+2*y=10 |*3
{5*x + 3*y = 12 |*2

Получим следующую систему уравнений:

{9*x+6*y = 30;
{10*x+6*y=24;

Теперь из второго уравнения вычитаем первое. Приводим подобные слагаемые и решаем полученное линейное уравнение.

10*x+6*y – (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

Полученное значение подставляем в первое уравнение из нашей исходной системы и решаем получившееся уравнение.

{3*(-6) + 2*y =10;
{2*y=28; y =14;

Получилась пара чисел x=6 и y=14. Проводим проверку. Делаем подстановку.

{3*x + 2*y = 10;
{5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Как видите, получились два верных равенства, следовательно, мы нашли верное решение.

Ответ: (6, 14)

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Решение систем уравнений: способ подстановки + примеры
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspРешение задач с помощью систем уравнений: общая схема решения

Как найти решение системы уравнений

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает
или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
в
информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
ан
Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
в виде
ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно
искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется
а
ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Решения

Обзор систем | Колледж алгебры

Результаты обучения

• Определите три типа решений, возможных из системы двух линейных уравнений.
• Используйте график, чтобы найти решение (я) системы двух линейных уравнений.

Чтобы исследовать такие ситуации, как ситуация с производителем скейтборда, нам необходимо признать, что мы имеем дело с более чем одной переменной и, вероятно, более чем с одним уравнением. Система линейных уравнений состоит из двух или более линейных уравнений, составленных из двух или более переменных, так что все уравнения в системе рассматриваются одновременно. Чтобы найти единственное решение системы линейных уравнений, мы должны найти числовое значение для каждой переменной в системе, которое будет удовлетворять всем уравнениям в системе одновременно.Некоторые линейные системы могут не иметь решения, а другие могут иметь бесконечное количество решений. Чтобы линейная система имела единственное решение, должно быть по крайней мере столько же уравнений, сколько переменных. Даже в этом случае это не гарантирует уникального решения.

В этом разделе мы рассмотрим системы линейных уравнений с двумя переменными, которые состоят из двух уравнений, содержащих две разные переменные. Например, рассмотрим следующую систему линейных уравнений с двумя переменными.

[латекс] \ begin {align} 2x + y & = 15 \\ [1 мм] 3x-y & = 5 \ end {align} [/ latex]

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными — это любая упорядоченная пара, которая удовлетворяет каждому уравнению независимо. В этом примере упорядоченная пара [латекс] (4,7) [/ латекс] является решением системы линейных уравнений. Мы можем проверить решение, подставив значения в каждое уравнение, чтобы увидеть, удовлетворяет ли упорядоченная пара обоим уравнениям. Вскоре мы исследуем способы нахождения такого решения, если оно существует.

[латекс] \ begin {align} 2 \ left (4 \ right) + \ left (7 \ right) & = 15 && \ text {True} \\ [1 мм] 3 \ left (4 \ right) — \ left (7 \ right) & = 5 && \ text {True} \ end {align} [/ latex]

Помимо учета количества уравнений и переменных, мы можем классифицировать системы линейных уравнений по количеству решений. Согласованная система уравнений имеет по крайней мере одно решение. Согласованной системой считается независимая система , если она имеет единственное решение, такое как пример, который мы только что исследовали.Две линии имеют разные уклоны и пересекаются в одной точке на плоскости. Согласованной системой считается зависимая система , если уравнения имеют одинаковый наклон и одинаковые точки пересечения y . Другими словами, линии совпадают, поэтому уравнения представляют одну и ту же линию. Каждая точка на линии представляет пару координат, удовлетворяющую системе. Таким образом, существует бесконечное количество решений.

Другой тип системы линейных уравнений — это несовместимая система , в которой уравнения представляют собой две параллельные линии.Линии имеют одинаковый наклон и разные точки пересечения y- . Для обеих линий нет общих точек; следовательно, у системы нет решения.

Общее примечание: типы линейных систем

Существует три типа систем линейных уравнений с двумя переменными и три типа решений.

• Независимая система имеет ровно одну пару решений [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex]. Точка пересечения двух линий — единственное решение.
• Несогласованная система не имеет решения. Обратите внимание, что две линии параллельны и никогда не пересекутся.
• Зависимая система имеет бесконечно много решений. Линии совпадают. Это одна и та же линия, поэтому каждая пара координат на линии является решением обоих уравнений.

Ниже приводится сравнение графических представлений каждого типа системы.

Как сделать: для данной системы линейных уравнений и упорядоченной пары определите, является ли упорядоченная пара решением.

1. Подставьте упорядоченную пару в каждое уравнение системы.
2. Определите, являются ли истинные утверждения результатом подстановки в обоих уравнениях; в таком случае заказанная пара является решением.

Пример: определение того, является ли упорядоченная пара решением системы уравнений

Определите, является ли упорядоченная пара [латекс] \ left (5,1 \ right) [/ latex] решением данной системы уравнений.

[латекс] \ begin {align} x + 3y & = 8 \\ 2x-9 & = y \ end {align} [/ latex]

Показать решение

Подставьте упорядоченную пару [латекс] \ left (5,1 \ right) [/ latex] в оба уравнения.

[латекс] \ begin {align} \ left (5 \ right) +3 \ left (1 \ right) & = 8 \\ [1mm] 8 & = 8 && \ text {True} \\ [3mm] 2 \ left (5 \ right) -9 & = \ left (1 \ right) \\ [1 мм] 1 & = 1 && \ text {True} \ end {align} [/ latex]

Упорядоченная пара [латекс] \ left (5,1 \ right) [/ latex] удовлетворяет обоим уравнениям, поэтому это решение системы.

Анализ решения

Мы можем ясно увидеть решение, построив график каждого уравнения. Поскольку решение представляет собой упорядоченную пару, удовлетворяющую обоим уравнениям, это точка на обеих прямых и, следовательно, точка пересечения двух прямых.

Попробуйте

Определите, является ли упорядоченная пара [латекс] \ left (8,5 \ right) [/ latex] решением следующей системы.

[латекс] \ begin {собрано} 5x — 4y = 20 \\ 2x + 1 = 3y \ end {собрано} [/ latex]

Показать решение

Не выход.

Решение систем уравнений с помощью построения графиков

Существует несколько методов решения систем линейных уравнений. Для системы линейных уравнений с двумя переменными мы можем определить как тип системы, так и решение, построив систему уравнений на одном и том же наборе осей.

Пример: решение системы уравнений с двумя переменными с помощью построения графика

Решите следующую систему уравнений, построив график. Определите тип системы.

[латекс] \ begin {align} 2x + y & = — 8 \\ x-y & = — 1 \ end {align} [/ latex]

Показать решение

Решите первое уравнение для [латекс] y [/ латекс].

[латекс] \ begin {align} 2x + y & = — 8 \\ y & = — 2x-8 \ end {align} [/ latex]

Решите второе уравнение для [латекс] y [/ латекс].

[латекс] \ begin {align} x-y & = — 1 \\ y & = x + 1 \ end {align} [/ latex]

Изобразите оба уравнения на одном и том же наборе осей, используйте обозначение функций, чтобы вам было легче проверить свое решение позже. Например, [латекс] f (x) = — 2x-8 [/ latex] и [latex] g (x) = x + 1 [/ latex]

Кажется, что линии пересекаются в точке [латекс] \ влево (-3, -2 \ вправо) [/ латекс]. Вы можете убедиться, что это решение системы, подставив упорядоченную пару в оба уравнения.

Введите [латекс] f (-3) [/ латекс] и [латекс] g (-3) [/ латекс] в следующих двух строках. Обе функции имеют значение [latex] -2 [/ latex], когда [latex] x = -3 [/ latex], поэтому точка [latex] (- 3, -2) [/ latex] является решением системы .

Эта система независима.

Попробуйте

Решите следующую систему уравнений, построив график.

[латекс] \ begin {собрано} 2x — 5y = -25 \\ -4x + 5y = 35 \ end {собрано} [/ latex]

Показать решение

Решением системы является упорядоченная пара [латекс] \ left (-5,3 \ right) [/ latex].

Вопросы и ответы

Можно ли использовать графики, если система непоследовательна или зависима?

Да, в обоих случаях мы все еще можем построить график системы для определения типа системы и решения. Если две линии параллельны, система не имеет решения и непоследовательна. Если две линии идентичны, система имеет бесконечное количество решений и является зависимой системой.

Попробуйте это

Постройте три различных системы с помощью онлайн-графического инструмента. Отнесите каждое решение к категории непротиворечивых или непоследовательных. Если система непротиворечива, определите, является ли она зависимой или независимой. Возможно, вам будет проще построить график каждой системы по отдельности, а затем очистить свои записи, прежде чем строить следующую.
1)
[латекс] 5x-3y = -19 [/ латекс]
[латекс] x = 2y-1 [/ латекс]

2)
[латекс] 4x + y = 11 [/ латекс]
[латекс] -2y = -25 + 8x [/ латекс]

3)
[латекс] y = -3x + 6 [/ latex]
[латекс] — \ frac {1} {3} y + 2 = x [/ latex]

Показать Показать решение

1. Одно решение — последовательное, независимое
2. Нет решений, непоследовательные, ни зависимые, ни независимые
3. Множество решений — последовательные, зависимые

Внесите свой вклад!

У вас была идея улучшить этот контент? Нам очень понравится ваш вклад.

Улучшить эту страницуПодробнее

Решение системы уравнений — методы и примеры

Как решить систему уравнений?

К настоящему времени у вас есть представление о том, как решать линейные уравнения, содержащие одну переменную. Что, если бы вам представили множественных линейных уравнений, содержащих более одной переменной ? Набор линейных уравнений с двумя или более переменными известен как система уравнений .

Существует несколько методов решения систем линейных уравнений.

Из этой статьи вы узнаете, как решать линейные уравнения, используя обычно используемые методы , а именно замену и исключение.

Метод замены

Замена — это метод решения линейных уравнений, в котором переменная в одном уравнении выделяется, а затем используется в другом уравнении для определения оставшейся переменной.

Общие шаги для замены:

• Сделайте предмет формулы для переменной в одном из данных уравнений.
• Подставьте значение этой переменной во второе уравнение. ’
• Решите уравнение, чтобы получить значение одной из переменных.
• Подставьте полученное значение в любое из уравнений, чтобы также получить значение другой переменной.

Давайте решим пару примеров, используя метод подстановки.

Пример 1

Решите следующие системы уравнений.

b = a + 2

a + b = 4.

Решение

Подставьте значение b во второе уравнение.

a + (a + 2) = 4

Теперь решите для

a + a + 2 = 4

2a + 2 = 4

2a = 4-2

a = 2/2 = 1

Подставьте полученное значение a в первое уравнение.

b = a + 2

b = 1 + 2

b = 3

Следовательно, решение двойного уравнения: a = 1 и b = 3.

Пример 2

Решите следующие уравнения, используя замену.
7x — 3y = 31 ——— (i)

9x — 5y = 41 ——— (ii)

Решение

Из уравнения (i)

7x — 3y = 31

Сделайте y равным предмет формулы в уравнении:

7x — 3y = 31

Вычтем 7x из обеих частей уравнения 7x — 3y = 31, чтобы получить;

— 3y = 31 — 7x

3y = 7x — 31

3y / 3 = (7x — 31) / 3

Следовательно, y = (7x — 31) / 3

Теперь подставим уравнение y = ( 7x — 31) / 3 во второе уравнение: 9x — 5y = 41

9x — 5 × (7x — 31) / 3 = 41

Решение уравнения дает;

27x — 35x + 155 = 41 × 3

–8x + 155 — 155 = 123 — 155

–8x = –32

8x / 8 = 32/8

x = 4

Подставляя значение x в уравнении y = (7x — 31) / 3, получаем;

y = (7 × 4 — 31) / 3

y = (28 — 31) / 3

y = –3/3

y = –1

Следовательно, решение этих систем уравнений x = 4 и y = –1

Пример 3

Решите следующие наборы уравнений:

2x + 3y = 9 и x — y = 3

Решение

Сделайте x темой формула во втором уравнении.

х = 3 + у.

Теперь подставьте это значение x в первое уравнение: 2x + 3y = 9.

⇒ 2 (3 + y) + 3y = 9

⇒ 6 + 2y + 3y = 9

y = ⅗ = 0,6

Подставляем полученное значение y во второе уравнение — y = 3.

⇒ x = 3 + 0,6

x = 3,6

Следовательно, решение x = 3,6 и y = 0,6

Метод исключения

При решении систем уравнений методом исключения выполняются следующие шаги:

• Приравняйте коэффициенты данных уравнений путем умножения на константу.
• Вычтите из новых уравнений общие коэффициенты с одинаковыми знаками и сложите, если общие коэффициенты имеют противоположные знаки,
• Решите уравнение, полученное в результате сложения или вычитания
• Подставьте полученное значение в любое из уравнений, чтобы получить значение другого Переменная.

Пример 4

4a + 5b = 12,

3a — 5b = 9

Решение

Поскольку коэффициенты b в двух уравнениях одинаковы, мы складываем члены по вертикали.

4a + 3a) + (5b — 5b) = 12 + 9

7a = 21

a = 21/7

a = 3

подставляем полученное значение a = 3 в уравнение первое уравнение

4 (3) + 5b = 12,

12 + 5b = 12

5b = 12-12

5b = 0

b = 0/5 = 0

Следовательно, решение a = 3 и b = 0.

Пример 5

Решите, используя метод исключения.

2x + 3y = 9 ———– (i)

x — y = 3 ———– (ii)

Решение

Умножьте два уравнения на 2 и выполните вычитание.

2x + 3y = 9

(-)

2x — 2y = 6

-5y = -3

y = ⅗ = 0,6

Теперь подставим полученное значение y во второе уравнение: x — y = 3

x — 0,6 = 3

x = 3,6

Следовательно, решение: x = 3,6 и y = 0,6

Практические вопросы

1. Решите данную систему уравнений:

2y + 3x = 38

y — 2x = 12

2. Решите x — y = 12 и 2x + y = 22

3. Решить x / 2 + 2/3 y = -1 и x — 1 / 3y = 3

4. Решить 2a — 3 / b = 12 и 5a — 7 / b = 1

5. Решить систему уравнений x + 2y = 7 и 2x + 3y = 11

6. Решите систему уравнений 5x — 3y = 1 и 2x + y = -4

7. Решите 2x — 3y = 1 и 3x — 4y = 1

8 Решите систему уравнений 3x — 5y = -23 и 5x + 3y = 7

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Системы линейных уравнений, примеры решений, рисунки и практические задачи.Система просто ..

Что такое система уравнений?

Отвечать

Система уравнений просто означает «более одного уравнения». Система линейных уравнений — это не более 1 строки, см. Рисунок:

Хорошо, а что такое

, решение системы уравнений?

Отвечать

Решение — это место, где уравнения «встречаются» или пересекаются. Красная точка — это решение системы.

Сколько решений могут иметь системы линейных уравнений?

Отвечать

Может быть нулевое решение, одно решение или бесконечное количество решений — каждый случай подробно описан ниже.
Примечание. Хотя системы линейных уравнений могут иметь 3 или более уравнений, мы собираемся обратиться к наиболее распространенному случаю — стержню с ровно 2 линиями.

Вариант I: 1 Решение

Это наиболее распространенная ситуация, когда линии пересекаются ровно в одной точке.

Дело 2: Нет решений

Это происходит только тогда, когда линии параллельны. Как видите, параллельные линии никогда не встретятся.

Пример стержня, у которого нет решения:

• Строка 1: $$ y = 5x + 13 $$
• Строка 2: $$ y = 5x + 12 $$

Вариант III: Бесконечные решения

Это самый редкий случай, и он возникает только тогда, когда у вас есть та же строка
Рассмотрим, например, две строки ниже (y = 2x + 1 и 2y = 4x + 2). Эти два уравнения — одна и та же линия.

Пример системы с бесконечным числом решений:

• Строка 1: y = 2x + 1
• Строка 2: 2y = 4x + 2

Как мы можем найти решения систем уравнений?

Найти решение систем линейных уравнений можно любым из следующих способов:

Линейные системы с двумя переменными

Показать уведомление для мобильных устройств

Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от устройства (для их просмотра должна быть возможность прокручивать), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 7-1: Линейные системы с двумя переменными

Линейная система двух уравнений с двумя переменными — это любая система, которую можно записать в форме.

\ [\ begin {align *} ax + by & = p \\ cx + dy & = q \ end {align *} \]

, где любая из констант может быть равна нулю, за исключением того, что каждое уравнение должно содержать хотя бы одну переменную.

Также система называется линейной, если переменные указаны только в первой степени, присутствуют только в числителе и нет произведений переменных ни в одном из уравнений.

Вот пример системы с числами.

\ [\ begin {align *} 3x — y & = 7 \\ 2x + 3y & = 1 \ end {align *} \]

Прежде чем мы обсудим, как решать системы, мы должны сначала поговорить о том, что такое решение системы уравнений. Решение системы уравнений — это значение \ (x \) и значение \ (y \), которые при подстановке в уравнения удовлетворяют обоим уравнениям одновременно.

В приведенном выше примере \ (x = 2 \) и \ (y = — 1 \) является решением системы. Проверить это достаточно легко.

\ [\ begin {align *} 3 \ left (2 \ right) — \ left ({- 1} \ right) & = 7 \\ 2 \ left (2 \ right) + 3 \ left ({- 1} \ вправо) & = 1 \ end {выровнять *} \]

Итак, конечно, эта пара чисел является решением системы.Не беспокойтесь о том, как мы получили эти ценности. Это будет самая первая система, которую мы решим, когда перейдем к примерам.

Обратите внимание, что важно, чтобы пара чисел удовлетворяла обоим уравнениям. Например, \ (x = 1 \) и \ (y = — 4 \) удовлетворяют первому уравнению, но не второму, и поэтому не являются решением системы. Аналогично, \ (x = — 1 \) и \ (y = 1 \) будут удовлетворять второму уравнению, но не первому, и поэтому не могут быть решением системы.

Итак, что же представляет собой решение системы двух уравнений? Хорошо, если вы думаете об этом, оба уравнения в системе являются линиями.Итак, давайте построим их график и посмотрим, что мы получим.

Как видите, решение системы — это координаты точки пересечения двух линий. Итак, при решении линейных систем с двумя переменными мы действительно спрашиваем, где пересекаются две линии.

В этом разделе мы рассмотрим два метода решения систем.

Первый метод называется методом подстановки . В этом методе мы решим одно из уравнений для одной из переменных и подставим его в другое уравнение.Это даст одно уравнение с одной переменной, которую мы можем решить. Как только это решено, мы подставляем это значение обратно в одно из уравнений, чтобы найти значение оставшейся переменной.

На словах этот метод не всегда очень понятен. Давайте рассмотрим пару примеров, чтобы увидеть, как работает этот метод.

Пример 1 Решите каждую из следующих систем.

1. \ (\ begin {align *} 3x — y & = 7 \\ 2x + 3y & = 1 \ end {align *} \)
2. \ (\ begin {align *} 5x + 4y & = 1 \\ 3x — 6y & = 2 \ end {align *} \)

Показать все решения Скрыть все решения

a \ (\ begin {align *} 3x — y & = 7 \\ 2x + 3y & = 1 \ end {align *} \) Показать решение

Итак, это была первая система, которую мы рассмотрели выше.Мы уже знаем решение, но это даст нам возможность проверить значения, которые мы записали для решения.

Теперь метод говорит, что нам нужно решить одно из уравнений для одной из переменных. Какое уравнение мы выберем и какую переменную выбрать, зависит от вас, но обычно лучше выбрать уравнение и переменную, с которыми будет легко иметь дело. Это означает, что мы должны стараться избегать дробей, если это вообще возможно.

В этом случае, похоже, будет действительно легко решить первое уравнение для \ (y \), так что давайте сделаем это.

\ [3x — 7 = y \]

Теперь подставьте это во второе уравнение.

\ [2x + 3 \ влево ({3x — 7} \ вправо) = 1 \]

Это уравнение в \ (x \), которое мы можем решить, так что давайте сделаем это.

\ [\ begin {align *} 2x + 9x — 21 & = 1 \\ 11x & = 22 \\ x & = 2 \ end {align *} \]

Итак, есть часть решения \ (x \).

Наконец, НЕ забудьте вернуться и найти часть решения \ (y \).Это одна из наиболее распространенных ошибок, которые студенты делают при решении систем. Для этого мы можем либо вставить значение \ (x \) в одно из исходных уравнений и решить для \ (y \), либо мы можем просто вставить его в нашу замену, которую мы нашли на первом шаге. Так будет проще, так что давайте.

\ [y = 3x — 7 = 3 \ left (2 \ right) — 7 = — 1 \]

Итак, решение — \ (x = 2 \) и \ (y = — 1 \), как мы отметили выше.

b \ (\ begin {align *} 5x + 4y & = 1 \\ 3x — 6y & = 2 \ end {align *} \) Показать решение

С этой системой мы не сможем полностью избежать дробей.Однако похоже, что если мы решим второе уравнение для \ (x \), мы сможем их минимизировать. Вот эта работа.

\ [\ begin {align *} 3x & = 6y + 2 \\ x & = 2y + \ frac {2} {3} \ end {align *} \]

Теперь подставьте это в первое уравнение и решите полученное уравнение относительно \ (y \).

\ [\ begin {align *} 5 \ left ({2y + \ frac {2} {3}} \ right) + 4y & = 1 \\ 10y + \ frac {{10}} {3} + 4y & = 1 \\ 14y & = 1 — \ frac {{10}} {3} = — \ frac {7} {3} \\ y & = — \ left ({\ frac {7} {3}} \ right) \ left ({\ frac {1} {{14}}} \ right) \\ y & = — \ frac {1} {6} \ end {align *} \]

Наконец, подставьте это в исходную замену, чтобы найти \ (x \).

\ [x = 2 \ left ({- \ frac {1} {6}} \ right) + \ frac {2} {3} = — \ frac {1} {3} + \ frac {2} {3} = \ frac {1} {3} \]

Итак, решение этой системы — \ (x = \ frac {1} {3} \) и \ (y = — \ frac {1} {6} \).

Как и в случае с отдельными уравнениями, мы всегда можем вернуться и проверить это решение, подключив его к обоим уравнениям и убедившись, что оно удовлетворяет обоим уравнениям. Также обратите внимание, что нам действительно нужно включить оба уравнения.Вполне возможно, что ошибка может привести к тому, что пара чисел будет удовлетворять одному из уравнений, но не другому.

Теперь перейдем к следующему методу решения систем уравнений. Как мы видели в последней части предыдущего примера, метод подстановки часто заставляет нас иметь дело с дробями, что увеличивает вероятность ошибок. У второго метода этой проблемы не будет. Что ж, это не совсем так. Если будут отображаться дроби, они будут отображаться только на последнем этапе, и они будут отображаться только в том случае, если решение содержит дроби.

Этот второй метод называется методом исключения . В этом методе мы умножаем одно или оба уравнения на соответствующие числа (, т.е. умножаем каждый член в уравнении на число), чтобы одна из переменных имела одинаковый коэффициент с противоположными знаками. Следующим шагом будет сложение двух уравнений. Поскольку одна из переменных имела одинаковый коэффициент с противоположными знаками, она будет удалена, когда мы сложим два уравнения.Результатом будет одно уравнение, которое мы можем решить для одной из переменных. Как только это будет сделано, замените этот ответ на одно из исходных уравнений.

Как и в случае с первым методом, гораздо легче увидеть, что здесь происходит, с помощью пары примеров.

Пример 2 Постановка задачи.

1. \ (\ begin {align *} 5x + 4y & = 1 \\ 3x — 6y & = 2 \ end {align *} \)
2. \ (\ begin {align *} 2x + 4y & = — 10 \\ 6x + 3y & = 6 \ end {align *} \)

Показать все решения Скрыть все решения

a \ (\ begin {align *} 5x + 4y & = 1 \\ 3x — 6y & = 2 \ end {align *} \) Показать решение

Это система из предыдущего набора примеров, которая заставила нас работать с дробями.Работа с ним здесь покажет различия между двумя методами, а также покажет, что любой метод может использоваться для получения решения для системы.

Итак, нам нужно умножить одно или оба уравнения на константы, чтобы одна из переменных имела одинаковый коэффициент с противоположными знаками. Итак, поскольку члены \ (y \) уже имеют противоположные знаки, давайте работать с этими терминами. Похоже, что если мы умножим первое уравнение на 3, а второе уравнение на 2, члены \ (y \) будут иметь коэффициенты 12 и -12, что нам и нужно для этого метода.

Вот работа для этого шага.

\ [\ begin {align *}
5x + 4y & = 1 & \ underrightarrow {\ times \, \, 3} \ hspace {0.5in} & 15x + 12y = 3 \\
3x-6y & = 2 & \ underrightarrow {\ times \, \, 2} \ hspace {0,5 дюйма} & \ underline {\, \, 6x-12y = 4} \\
& & & 21x \ hspace {0,5 дюйма} = 7 \\
\ конец {выравнивание *} \]

Итак, как и было обещано в описании метода, у нас есть уравнение, которое можно решить относительно \ (x \).Это дает \ (x = \ frac {1} {3} \), что мы и нашли в предыдущем примере. Обратите внимание, однако, что единственная дробь, с которой нам пришлось иметь дело до этого момента, — это сам ответ, который отличается от метода подстановки.

Теперь снова не забудьте найти \ (y \). В этом случае работы будет немного больше, чем метод подстановки. Чтобы найти \ (y \), нам нужно подставить значение \ (x \) в любое из исходных уравнений и решить относительно \ (y \).Поскольку \ (x \) является дробью, заметим, что в этом случае, если мы подставим это значение во второе уравнение, мы потеряем дроби, по крайней мере, временно. Обратите внимание, что часто этого не происходит, и нам придется иметь дело с дробями, хотим мы этого или нет.

\ [\ begin {align *} 3 \ left ({\ frac {1} {3}} \ right) — 6y & = 2 \\ 1 — 6y & = 2 \\ — 6y & = 1 \\ y & = — \ frac {1} {6} \ end {align *} \]

Опять же, это то же значение, которое мы нашли в предыдущем примере.

b \ (\ begin {align *} 2x + 4y & = — 10 \\ 6x + 3y & = 6 \ end {align *} \) Показать решение

В этой части все переменные положительны, поэтому нам придется принудительно установить противоположный знак, умножив где-нибудь на отрицательное число. Также заметим, что в этом случае, если мы просто умножим первое уравнение на -3, то коэффициенты при \ (x \) будут -6 и 6.

Иногда нам нужно только умножить одно из уравнений, а другое можно оставить в покое.Вот эта работа по этой части.

\ [\ begin {align *}
2x + 4y & = -10 & \ underrightarrow {\ times \, \, — 3} \ hspace {0,5 дюйма} & -6x-12y = 30 \\
6x + 3y & = 6 & \ underrightarrow {\ text {same}} \ hspace {0,5 дюйма} & \ underline {\ hspace {0,35 дюйма} 6x + 3y = 6} \\
& & & \ hspace {0,5 дюйма} -9y = 36 \\
& & & \ hspace {0,85 дюйма} y = -4 \\
\ конец {выравнивание *} \]

Наконец, подставьте это в любое из уравнений и решите относительно \ (x \).На этот раз мы воспользуемся первым уравнением.

\ [\ begin {align *} 2x + 4 \ left ({- 4} \ right) & = — 10 \\ 2x — 16 & = — 10 \\ 2x & = 6 \\ x & = 3 \ end {align *} \]

Итак, решение этой системы — \ (x = 3 \) и \ (y = — 4 \).

Существует третий метод, который мы рассмотрим для решения систем из двух уравнений, но он немного сложнее и, вероятно, более полезен для систем, по крайней мере, с тремя уравнениями, поэтому мы рассмотрим его в следующем разделе.

Перед тем, как покинуть этот раздел, мы должны рассмотреть несколько частных случаев решения систем.

Пример 3 Решите следующие системы уравнений.

\ [\ begin {align *} x — y & = 6 \\ — 2x + 2y & = 1 \ end {align *} \]

Показать решение

Здесь мы можем использовать любой метод, но похоже, что замена будет немного проще. Мы решим первое уравнение относительно \ (x \) и подставим его во второе уравнение.

\ [\ begin {align *} x & = 6 + y \\ & \\ — 2 \ left ({6 + y} \ right) + 2y & = 1 \\ — 12 — 2y + 2y & = 1 \\ — 12 & = 1 \, \, \, ?? \ end {align *} \]

Итак, это явно неправда, и, похоже, нигде в нашей работе нет ошибки. Так в чем проблема? Чтобы увидеть, давайте изобразим эти две линии и посмотрим, что мы получим.

Похоже, что эти две линии параллельны (можете ли вы проверить это с помощью наклона?), И мы знаем, что две параллельные линии с разными пересечениями \ (y \) (что важно) никогда не пересекутся.

Как мы видели в начале обсуждения этого раздела, решения представляют собой точку пересечения двух линий. Если две линии не пересекаются, у нас не будет решения.

Итак, когда мы получаем такой бессмысленный ответ в результате нашей работы, у нас есть две параллельные линии, и не существует решения этой системы уравнений.

Система в предыдущем примере называется несовместимая .Также обратите внимание, что если бы мы использовали исключение в этой системе, мы бы получили аналогичный бессмысленный ответ.

Пример 4 Решите следующую систему уравнений.

\ [\ begin {align *} 2x + 5y & = — 1 \\ — 10x — 25y & = 5 \ end {align *} \]

Показать решение

В этом примере кажется, что устранение было бы самым простым методом.

\ [\ begin {align *}
2x + 5y & = -1 & \ underrightarrow {\ times \, \, 5} \ hspace {0.5in} & \, \, \, \, 10x + 25y = -5 \\
-10x-25y & = 5 & \ underrightarrow {\ text {same}} \ hspace {0,5 дюйма} & \ underline {-10x-25y = 5} \\
& & & \ hspace {0.9in} 0 = 0 \\
\ конец {выравнивание *} \]

На первый взгляд может показаться, что это та же проблема, что и в предыдущем примере. Однако в этом случае мы пришли к равенству, которое просто не соответствовало действительности. В этом случае мы имеем 0 = 0, и это истинное равенство, и в этом смысле в этом нет ничего плохого.

Однако это явно не тот ответ, который мы ожидали здесь, и поэтому нам нужно определить, что именно происходит.

Мы предоставим вам возможность проверить это, но если вы найдете наклон и \ (y \) — точки пересечения для этих двух линий, вы обнаружите, что обе линии имеют точно такой же наклон, и обе линии имеют одинаковые \ ( y \) — перехват. Итак, что это значит для нас? Хорошо, если две линии имеют одинаковый наклон и одинаковые \ (y \) — точки пересечения, тогда графики этих двух линий являются одним и тем же графиком.Другими словами, графики этих двух линий — это один и тот же график. В этих случаях любой набор точек, удовлетворяющий одному из уравнений, также будет удовлетворять другому уравнению.

Также напомним, что график уравнения — это не что иное, как набор всех точек, удовлетворяющих уравнению. Другими словами, существует бесконечный набор точек, которые удовлетворяют этой системе уравнений.

В этих случаях мы действительно хотим записать что-нибудь для решения.Итак, что мы сделаем, так это решим одно из уравнений для одной из переменных (неважно, что вы выберете). Решим первую относительно \ (y \).

\ [\ begin {align *} 2x + 5y & = — 1 \\ 5y & = — 2x — 1 \\ y & = — \ frac {2} {5} x — \ frac {1} {5} \ end {выровнять*}\]

Затем для любого \ (x \) мы можем найти \ (y \), и эти два числа образуют решение системы уравнений. Обычно мы обозначаем это, записывая решение следующим образом:

\ [\ begin {array} {* {20} {c}} \ begin {align} x & = t \\ y & = — \ frac {2} {5} t — \ frac {1} {5} \ конец {выровненный} & {\ hspace {0.25in} {\ mbox {где}} \, t {\ mbox {- любое действительное число}}} \ end {array} \]

Чтобы показать, что они дают решения, давайте рассмотрим несколько значений \ (t \).? — 1 & \ hspace {0.? 5 \\ — 1 & = — 1 & \ hspace {0,25 дюйма} 5 & = 5 \ end {align *} \]

Итак, \ (x = 0 \) и \ (y = — \ frac {1} {5} \) является решением системы. Давай быстро сделаем еще один.

\ (t = — 3 \)

\ [x = — 3 \ hspace {0,25 дюйма} y = — \ frac {2} {5} \ left ({- 3} \ right) — \ frac {1} {5} = \ frac {6} {5 } — \ frac {1} {5} = 1 \]

И снова нам нужно вставить его в оба уравнения системы, чтобы показать, что это решение.? 5 \\ — 1 & = — 1 & \ hspace {0,25 дюйма} 5 & = 5 \ end {align *} \]

Конечно, \ (x = — 3 \) и \ (y = 1 \) — это решение.

Итак, поскольку существует бесконечное количество возможных \ (t \) ‘, должно быть бесконечное количество решений для этой системы, и они даются как,

\ [\ begin {array} {* {20} {c}} \ begin {align} x & = t \\ y & = — \ frac {2} {5} t — \ frac {1} {5} \ конец {выровненный} & {\ hspace {0.25in} {\ mbox {где}} \, t {\ mbox {- любое действительное число}}} \ end {array} \]

Системы, подобные тем, что в предыдущих примерах, называются зависимыми .

Теперь мы увидели все три возможности решения системы уравнений. Система уравнений не будет иметь решения, ровно одно решение или бесконечно много решений.

Системы линейных уравнений: определения

Решение линейных уравнений высшего порядка с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»

ГРАФИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ

Часто мы хотим найти одну упорядоченную пару, которая является решением двух различных линейных
уравнения.Один из способов получить такую ​​упорядоченную пару — построить график двух уравнений
на одном наборе осей и определение координат точки, где они
пересекаются.

Пример 1

Изобразите уравнения

х + у = 5

х — у = 1

на том же наборе осей и определите упорядоченную пару, которая является решением для каждого
уравнение.

Решение

Используя метод построения графика с перехватом, мы обнаруживаем, что две упорядоченные пары, которые
решения x + y = 5 равны

(0, 5) и (5, 0)

И две упорядоченные пары, которые являются решениями

x — y = 1

(0, -1) и (1,0)

Показаны графики уравнений.

Точка пересечения — (3, 2). Таким образом,
(3, 2) должны удовлетворять каждому уравнению.

Фактически,
3 + 2 = 5 и 3 — 2 = 1

В целом графические решения являются приблизительными. Разработаем методики
для точных решений в следующих разделах.

Считается, что линейные уравнения, рассматриваемые вместе таким образом, образуют систему
уравнения. Как и в приведенном выше примере, решение системы линейных уравнений
может быть одной упорядоченной парой. Компоненты этой упорядоченной пары удовлетворяют каждому из
два уравнения.

Некоторые системы не имеют решений, в то время как другие имеют бесконечное количество решений.
ции. Если графики уравнений в системе не пересекаются, то есть если линии
параллельны (см. рис. 8.1a) — уравнения называются несовместимыми , и там
не является упорядоченной парой, которая удовлетворяла бы обоим уравнениям. Если графики уравнений имеют вид
той же линии (см. рис. 8.1b), уравнения называются зависимыми , и каждое
упорядоченная пара, удовлетворяющая одному уравнению, будет удовлетворять обоим уравнениям.Заметь
когда система несовместима, наклон линий такой же, но
y-перехваты разные. Когда система зависима, наклоны и пересечения по оси Y
одинаковы.

В нашей работе нас в первую очередь будут интересовать системы, имеющие один-единственный
решение, которые считаются непротиворечивыми и независимыми. График такой
система показана в решении Примера 1.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ДОПОЛНЕНИЕМ I

Мы умеем решать системы уравнений алгебраически.Более того, решения, которые мы
получить алгебраическими методами точны.

Система в следующем примере — это система, которую мы рассматривали в разделе 8.1.
на странице 335.

Пример 1

Решить

х + у = 5 (1)

х — у = 1 (2)

Решение
Мы можем получить уравнение с одной переменной, сложив уравнения (1) и (2)

Решение полученного уравнения относительно x дает

2x = 6, х = 3

Теперь мы можем заменить x на 3 либо в уравнении (1), либо в уравнении (2), чтобы получить
соответствующее значение y.В этом случае мы выбрали уравнение (1) и получили

(3) + у = 5

г = 2

Таким образом, решение x = 3, y = 2; или (3, 2).

Обратите внимание, что мы просто применяем свойство сложения равенства, чтобы мы могли
получить уравнение, содержащее единственную переменную. Уравнение с одной переменной,
вместе с любым из исходных уравнений, то образует эквивалентную систему
решение которого легко получить.

В приведенном выше примере мы смогли получить уравнение с одной переменной с помощью
сложение уравнений (1) и (2), поскольку члены + y и -y являются отрицательными значениями каждого
Другие.Иногда необходимо умножить каждый член одного из уравнений
на -1, чтобы члены одной переменной имели противоположные знаки.

Пример 2

Решить

2a + b = 4 (3)

а + Ь = 3 (4)

Решение

Мы начинаем с умножения каждого члена уравнения (4) на -1, чтобы получить

2a + b = 4 (3)

-a — b = — 3 (4 ‘)

, где + b и -b отрицательны друг другу.

Символ ‘, называемый «простым», указывает на эквивалентное уравнение; то есть
уравнение, которое имеет те же решения, что и исходное уравнение.Таким образом, уравнение (4 ‘)
эквивалентно уравнению (4). Теперь складывая уравнения (3) и (4 ‘), получаем

Подставляя 1 вместо a в уравнении (3) или уравнении (4) [скажем, в уравнении (4)], мы получаем

1 + b = 3

б = 2

и наше решение a = 1, b = 2 или (1, 2). Когда переменные a и b,
упорядоченная пара представлена ​​в виде (a, b).

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ДОПОЛНЕНИЕМ II

Как мы видели в разделе 8.2, решение системы уравнений сложением зависит от
одна из переменных в обоих уравнениях с коэффициентами, отрицательными
друг с другом.Если это не так, мы можем найти эквивалентные уравнения, которые действительно имеют
переменные с такими коэффициентами.

Пример 1

Решите систему

-5x + 3y = -11

-7x — 2y = -3

Решение

Если мы умножим каждый член уравнения (1) на 2 и каждый член уравнения
(2) на 3, получаем эквивалентную систему

(2) (-5x) + (2) (3y) = (2) (- ll)

(3) (-7x) — (3) (2y) = (3) (- 3)

или

-10x + 6y = -22 (1 ‘)

-21x — 6y = -9 (2 ‘)

Теперь, сложив уравнения (1 ‘) и (2’), мы получим

-31x = -31

х = 1

Подстановка 1 вместо x в уравнении (1) дает

-5 (1) + 3у = -11

3y = -6

у = -2

Решение: x = 1, y = -2 или (1, -2).

Обратите внимание, что в уравнениях (1) и (2) члены, включающие переменные, находятся в
левый член, а постоянный член находится в правом члене. Мы будем ссылаться
таким договоренностям, как стандартный бланк для систем. Удобно расположить
системы в стандартной форме, прежде чем приступить к их решению. Например, если мы
хочу решить систему

3у = 5х — 11

-7x = 2г — 3

мы сначала напишем систему в стандартной форме, добавив -5x к каждому члену
уравнения (3) и добавлением -2y к каждому члену уравнения (4).Таким образом, получаем

-5x + 3y = -11

-lx — 2y = -3

, и теперь мы можем продолжить, как показано выше.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЗАМЕНЫ

В разделах 8.2 и 8.3 мы решали системы уравнений первой степени с двумя вариациями.
способностей методом сложения. Другой метод, называемый методом подстановки,
также могут быть использованы для решения таких систем.

Пример 1

Решите систему

-2x + y = 1 (1)

х + 2у = 17 (2)

Решение

Решая уравнение (1) относительно y через x, получаем

y = 2x + 1 (1 ‘)

Теперь мы можем заменить y 2x + 1 в уравнении (2), чтобы получить

х + 2 (2x + 1) = 17

х + 4х + 2 = 17

5x = 15

x = 3 (продолжение)

Подставляя 3 вместо x в уравнении (1 ‘), мы получаем

у = 2 (3) + 1 = 7

Таким образом, решение системы: x = 3, y = 7; или (3, 7).

В приведенном выше примере было легко выразить y явно через x, используя
Уравнение (1). Но мы также могли бы использовать уравнение (2) для явной записи x в терминах
из

х = -2у + 17 (2 ‘)

Теперь подставляя — 2y + 17 вместо x в уравнении (1), мы получаем

Подставляя 7 вместо y в уравнение (2 ‘), мы получаем

х = -2 (7) + 17 = 3

Решение системы снова (3, 7).

Обратите внимание, что метод подстановки полезен, если мы можем легко выразить одну переменную
с точки зрения другой переменной.

ПРИЛОЖЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ДВЕ ПЕРЕМЕННЫЕ

Если две переменные связаны одним уравнением первой степени, существует бесконечно
много упорядоченных пар, которые являются решениями уравнения. Но если две переменные
связанных двумя независимыми уравнениями первой степени, может быть только одна упорядоченная
пара, которая является решением обоих уравнений. Следовательно, для решения задач с помощью двух
переменных, мы должны представить две независимые зависимости с помощью двух уравнений .
Часто мы можем легче решать проблемы с помощью системы уравнений, чем с помощью
используя одно уравнение с одной переменной.Мы будем следовать указанным шести шагам
на стр. 115, с небольшими изменениями, как показано в следующем примере.

Пример 1

Сумма двух чисел равна 26. Чем больше число, тем больше 2 больше, чем в три раза.
меньшее количество. Найдите числа.

Решение

Шаги 1-2
Мы представляем то, что хотим найти, в виде двух словесных фраз. Тогда мы
представляют словосочетания в терминах двух переменных.
Меньшее число: x
Большое число: y

Шаг 3 Эскиз не применим.

Шаг 4 Теперь мы должны написать два уравнения, представляющих сформулированные условия.

Сумма двух чисел равна 26.

Шаг 5 Чтобы найти числа, решаем систему

х + у = 26 (1)

у = 2 + 3х (2)

Поскольку уравнение (2) показывает y явно через x, мы решим систему следующим образом:
метод подстановки. Подставляя 2 + 3x вместо y в уравнение (1), мы получаем

х + (2 + 3х) = 26

4x = 24

х = 6

Подставляя 6 вместо x в уравнении (2), мы получаем

у = 2 + 3 (6) = 20

Шаг 6 Меньшее число — 6, большее — 20.