Сколькими способами можно расставить на полке 7 книг: Сколькими способами можно расставить 7 книг

Содержание

Сколькими способами можно расставить 7 книг

Что ты хочешь узнать?

Ответ

Проверено экспертом

1) Это перестановки из 7 элементов:
Р₇=7!=7·6·5·4·3·2·1=5040 способов.

2) Размещения из пяти по 4:
А⁴₅=5!/(5-4)!=5·4·3·2=120 способов.

3) Сочетания из 25 по 3:
С³₂₅=25!/((25-3)!·3!)=23·24·25/6=2300 способов.

1.Сколько слов можно образовать из букв слова фрагмент, если слова должны состоять:

(а) из восьми букв, (б) из семи букв, (в) из трех букв?

В слове фрагмент 8 букв алфавита.

(а) Всевозможные перестановки 8 букв по восьми местам: А = =P8.

(б) Размещения 8 букв по 7 местам: А .

(в) Размещения 8 букв по 3 местам: А .

Ответ: P8, А , А .

2.Сколькими способами можно расставить на полке 7 книг, если (а) две определенные книги должны всегда стоять рядом, (б) эти две книги не должны стоять рядом?

(а) Книги, которые должны стоять рядом, считаем за одну книгу. Тогда нужно расставить 6 книг по шести местам. Применяя формулу перестановок, получаем: P6 = 6!. Мы учли перестановки шести книг, не учитывая порядок внутри тех книг, которые мы посчитали за одну. А так как две книги по двум местам можно разместить только двумя способами (P2), то получаем окончательно следующее произведение: P2P6 =2 6! = 1440.

(б) Способов переставить 7 книг существует P7= 7!. Из них ‑ 2 6! способов поставить определенные книги вместе. Следовательно, способов поставить книги так, чтобы 2 заданные книги не стояли вместе существует: 7! ‑ 2 6!.

Ответ: 1440; . 7! ‑ 2 6!

| следующая лекция ==>
Сочетания (неупорядоченные выборки) | На использование формул для сочетаний

Дата добавления: 2017-06-02 ; просмотров: 860 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Методические рекомендации по теме «Теория вероятностей»

Трудность изучения теории вероятностей связана со спецификой этой математической дисциплины. Решение задач по теории вероятностей требует определенного навыка, так как они формулируются не в математических терминах, а в бытовых. Таким образом, приходится каждый раз выбирать соответствующую вероятностную модель, которую следует применить для решения поставленной задачи.

Прежде чем приступать к решению задачи данного раздела, как и при решении задач других разделов, нужно повторить формулировки теорем, правила и формулы, относящиеся к данной теме.

Проиллюстрируем все сказанное на ряде примеров.

Задача 1. Сколькими способами можно расставить на полке 8 различных книг?

Очевидно, что существует столько способов расставить 8 книг, сколько существует перестановок из 8 элементов, то есть количество способов равно

8! = 1×2×3×4×5 6×7×8= 40320.

Задача 2. Сколькими способами можно расставить на полке 5 различных книг так, чтобы 2 данные книги стояли рядом?

«Склеим» эти две книги. Тогда у нас получится 4 книги и их можно переставить 4! способами. Но склеить две книги можно двумя способами, поэтому существует

2 ×4! = 2×1×2 ×3×4 = 48

способов расстановки книг.

Задача 3. Сколькими способами можно занумеровать числа 1,2,3,4,5,6,7,8 так, чтобы все нечетные числа имели четные номера?

Среди данных чисел нечетных – 4. Их можно нумеровать только четными номерами (2,4,6,8). А это можно сделать столькими способами, сколько можно составить перестановок из 4 элементов, то есть – 4! способами. Аналогично остальные 4 числа мы должны нумеровать числами 1,3,5,7. Здесь тоже будет 4! вариантов. А чтобы получить общее количество вариантов надо взять произведение 4!×4! = 24×24 = 576.

Задача 4. Сколько существует способов расставить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не били друг друга?

Очевидно, ладьи должны стоять по одной в каждой «строке» и по одной в каждом «столбце», то есть эта задача такая же, как предыдущая. Следовательно, их можно расставить 8! способами: 8! = 1 ×2 ×3 ×4 ×5 ×6 ×7 ×8 = 40320.

Задача 5. Вычислить вероятность выпадения четного количества очков при однократном бросании игральной кости.

Всего элементарных исходов 6 (1;2;3;4;5;6), благоприятствующих исходов 3 (2;4;6). Следовательно

.

Задача 6. Сколько различных вариантов существует для того, чтобы рассадить 5 человек на одной скамейке?

Задача 7. Сколько семизначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр 1,2.3,4,5.6.7 при условии, что в числе цифры не повторяются?

Для того чтобы число делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы цифра 5 стояла на последнем месте. Остальные шесть цифр могут стоять на оставшихся местах в любом порядке. Следовательно, искомое число семизначных чисел, кратных пяти, равно числу перестановок из шести элементов: 6!=720.

Задача 8. Сколько различных вариантов существует для того, чтобы 5 человек, вошедших в лифт на первом этаже семнадцатиэтажного дома, вышли по одному на разных этажах, начиная со второго этажа?

.

Задача 9. Сколько различных перестановок можно образовать из букв слова «задача»?

Для решения задачи необходимо каким-то образом расположить буквы « з », « д » и « ч », а остальные места заполняются буквами « а ». Количество способов расположения трех различных букв на шесть мест равно числу размещений

.

Задача 10.Сколькими способами можно выбрать три шарика из корзины, в которой 20 шаров?

.

Задача 11. Сколько существует шестизначных чисел, все цифры которых нечетны?

Нечетных цифр пять: 1, 3, 5, 7 и 9. Используя формулу , получаем .

Задача 12. Сколькими способами можно составить букет из 7 цветов, если в наличии есть цветы пяти сортов?

Поскольку порядок расположения цветов в букете не играет роли, то число букетов равно числу сочетаний с повторениями из пяти элементов по 7 в каждом. Используя формулу , получаем .

Задача 13. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 2, 2, 4, 7, 7?

.

Здесь n = 5, n1 = 2, n2 = 1, n3 =2.Число различных пятизначных чисел, содержащих цифры 2, 4 и 7, равно

.

Задача 14. Сколько различных «слов» можно составить, переставляя буквы в слове «мама»?

Число различных слов равно числу перестановок с повторениями из n= 4 элементов, среди которых k=2 различных. Один элемент («м») входит n1=2 раза, другой элемент (буква «а») − n2 = 2 раза (n1 + n2 = n = 4). Следовательно, различных слов будет

.

Это слова: «ммаа», «мама», «маам», «амма», «амам», «аамм».

Задача 15. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 3, 3, 5, 7, 7?

Здесь n = 5, k=3, n1=2, n2 = 1, n3=2 (n1 + n2 + n3= n). Следовательно, число различных пятизначных чисел:

Задача 16. В первенстве по футболу участвуют 15 команд. Разыгрываются золотые, серебряные и бронзовые медали. Сколькими способами они могут быть распределены?

Эта задача связана с размещениями, так как сначала мы выбираем трех призеров, а потом среди них распределяем 1, 2 и 3-е места. Таким образом, всего вариантов

Задача 17. У англичан принято давать детям несколько имен. Сколькими способами можно назвать ребёнка, если общее число имен равно 300 и дают ему не более трех имен?

Назвать ребенка с помощью трех имен, выбрав три различных имени в определенном порядке, можно способами; назвать ребёнка, используя два имени, можно способами и, наконец, для одного имени будет 300 вариантов. Таким образом, всего будет

300 + 300×299 + 300×299×298 =

Задача 18. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр <1,2,3,4,5>, если: a) ни одна цифра не повторяется; b) цифры могут повторяться?

a) Если все цифры числа различные, тогда всевозможных трехзначных чисел, состоящих из пяти цифр, столько, сколько размещений из 5-ти по 3, то есть

b) Если цифры в числе могут повторяться, тогда различных трехзначных чисел, состоящих из цифр множества <1, 2, 3, 4, 5>, столько, сколько размещений из 5-ти по 3 с повторениями, то есть

Задача 19. Сколько пятизначных чисел можно составить, используя цифры 0, 1, 2?

Если пятизначные числа состоят из цифр 0, 1, 2, то первую цифру слева можно выбрать двумя способами (1 или 2, так как если возьмем первой цифру 0, получим не пятизначное число). Каждую из оставшихся четырех цифр можно выбрать тремя способами. Следовательно, таких чисел будет

2·3·3·3·3=162 (или ).

Задача 2. Сколькими способами можно составить команду из 4 человек для соревнований по бегу, если имеется 7 бегунов.

Задача связана с подсчетом количества различных подмножеств из четырех элементов, которые можно выбрать из 7 элементов, следовательно, это количество равно

Если бы команда выбиралась для эстафетного бега, то число способов выбора было бы равно так как играл бы роль порядок выбора спортсменов.

Сколькими способами можно расставить 7 бегунов на 7 дорожках? — КиберПедия

I. КОМБИНАТОРИКА

Часто приходится иметь дело с задачами выбора элементов из некоторой совокупности и расположения этих элементов в определенном порядке. Поскольку в таких задачах речь идет о тех или иных комбинациях объектов, их называют комбинаторными задачами. Роль таких задач важна не только в математике, но и физике, химии, биологии, технике и экономике. Комбинаторные задачи приходится рассматривать при определении наиболее выгодных коммуникаций внутри города, при организации автоматической телефонной связи, при выявлении связей внутри сложных молекул, генетического кода, математической статистики и т. д.

Трудно переоценить значимость той роли, которую играет обучение методам решения комбинаторных задач в общеобразовательной школе. Освоение методов решения таких задач способствует развитию умственных способностей и математического кругозора ученика. Комбинаторные задачи несут широкие возможности для способов решения таких задач, которые могут служить как формы общих методов решения задач.

 

Правило суммы

 

Для ознакомления первого правила комбинаторики-правила суммы мы предлагаем разбор следующей задачи:

Задача 1. На столе лежат 3 черных и 5 красных карандашей. Сколькими способами можно выбрать карандаш любого цвета?

Решение: Выбрать карандаш любого цвета можно 5+3=8 способами.

Правило суммы в комбинаторике:

Если элемент а можно выбрать m способами, а элемент в-n способами, причем любой выбор элемента а отличен от любого выбора элементов в, то выбор «а или в» можно сделать m+n способами.

Задача 2. В классе 10 учащихся занимаются спортом, остальные 6 учащихся посещают танцевальный кружок. 1)Сколько пар учащихся можно выбрать так, чтобы один из пары был спортсменом, другой танцором? 2)Сколько возможностей выбора одного ученика?

Решение: 1)Возможность выбора спортсменов 10, а на каждого из 10 спортсменов выборов танцора 6. Значит, возможность выбора пар танцора и спортсмена 10·6=60.

2) Возможность выбора одного ученика 10+6=16.

 

Правило произведения

 

Рассмотрим решение задачи, через которое сформулируем новое правило – правило произведения, неоднократно используемое при изучении последующего материала.

Задача 1. Из города А в город В ведут 3 дороги. А из города В в город С ведут 4 дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?

Решение: Можно рассуждать таким образом: для каждой из трех путей из А в В имеется четыре способа выбора дороги из В в С. Всего различных путей из А в С равно произведению 3·4, т.е. 12.

Правило произведения:

Пусть нужно выбрать к элементов. Если первый элемент можно выбрать n1 способами, второй – n2 способами и т. д., то число способов к элементов, равно произведению n1· n2·… nк.

Задача 2. В школьной столовой имеются 2 первых, 5 вторых и 4 третьих блюд. Сколькими способами ученик может выбрать обед, состоящий из первых, вторых и третьих блюд?

Решение: Первое блюдо можно выбрать 2 способами. Для каждого выбора первого блюда существует 5 вторых блюд. Первые два блюда можно выбрать 2·5=10 способами. И, наконец, для каждой 10 этих выборов имеются четыре возможности выбора третьего блюда, т. е. Существует 2·5·4 способов составления обеда из трех блюд. Итак, обед может быть составлен 40 способами.

 

 

Перестановки

 

Простейшими комбинациями, которые можно составить из элементов конечного множества, являются перестановки.

Рассмотрим на примере перестановку без повторений.

Задача: На полке лежат 3 книги. В каком порядке можно расставить эти книги?

Решение: Обозначим их буквами а, в, с. Эти книги можно расставить на полке по – разному:

авс, асв, вас, вса, сав, сва.

Каждое из этих расположений называют перестановкой из трех элементов. При решении этой задачи можно воспользоваться правилом умножения. Выбор первого места на полке три. Для каждого выбора первого места есть две возможности выбора второго места. Из трех книг один выбран для первого места. Остаются 2 остальные книги. Наконец, для каждого выбора первых, вторых мест только один выбор третьего места.

Опредление: Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке.

Число перестановок из n элементов обозначается символом Рn.

Пусть мы имеем n элементов. На первое место можно поставить любой из них всего п выборов. На второе место любой из оставшихся, т. е. n-1 выбор. На третьем месте любой из оставшихся после первых двух выборов, т. е. n-2 выбора и т. д. В результате получим: Рn = n·(n-1)·(n-2)…2·1.

Если произведение обозначим 1·2·3…(n-1)·n = n!, то число всевозможных перестановок из к элементов вычисляется по формуле:

Рп = n!

 

Задачи:

Размещения

 

Задача: Даны четыре различных шара: белый, зеленый, красный и синий. Их нужно поместить в 3 пустые ячейки. Сколько всего будет способов размещения шаров?


Решение: Сначала выпишем все варианты, которые начинаются с белого шара, затем – с зеленого и т. д.

бзк, бкз, бзс, бсз, бкс, бск.

збк, зкб, зсб, збс, зкс, зск.

кбз, кзб, ксб, кбс, кзс, ксз.

сбз, сзб, скб, сбк, скз, сзк.

Всего способов 24. В первую ячейку можно выбрать четырьмя способами. Во вторую – тремя, в третью – двумя. Всего способов 4·3·2=24. Каждую упорядоченную тройку, которую можно составить из четырех элементов, называют размещением из четырех элементов по три.

 

Определение: Размещением из n элементов по к (к≤n) называется любое множество, состоящее из любых к элементов, взятых в определенном порядке из данных n элементов.

Каждое множество при размещении отличается порядком элементов или их составом.

к

Число размещений из n элементов по к обозначают Аn.

Первый элемент можно выбрать n способами, второй n-1 и последний к-й элемент n-(к-1) способами.

к

Аn = n(n-1)(n-2)… (n-(k-1))

 

Задачи:

1. Учащиеся одного класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных предметов.

Решение: Расписание на один день отличаются либо порядком следования предметов, либо самими предметами. Значит, здесь речь идет о размещении

из 8 элементов по 4.

А8= 8·7·6·5=1680 Ответ: 1680 способов.

 

2. Сколькими способами тренер может распределить 10 спортсменов, на эстафете 4·100 на первом, во втором, третьем и четвертом этапах?

Решение: А10 = 10·9·8·7·=5040 Ответ: 50400 способов.

 

3. Сколько существует пятизначных телефонных номеров, в каждом из которых все цифры различны и первая цифра различна отнуля? 5

Решение:Число размещений из десяти элементов по пять – А10. Число размещений

начинающихся с цифры ноль – А9. Число телефонных номеров равно:

5 4

А10 – А9 =10·9·8·7·6 – 9·8·7·6 = 27216 Ответ: 27216 номеров.

Сочетания

 

Задача: На столе лежат 5 разноцветных карандашей. Сколько способов для выбора 3 из них?

Решение: Обозначим карандаши буквами а, в, с, d, е. Можно составить такие сочетания: авс, авd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bed, cde.

Всего: 10 способов.

 

Определение: Сочетанием из n элементов по к называется любое множество, составленное из к элементов, выбранных из данных n элементов.

к

Число сочетаний из n элементов по к обозначается Сn.

В сочетаниях не имеет значения порядок элементов, сочетания отличаются составом элементов.

Допустим, имеется множество, содержащее n элементов, и из его элементов составлены

всевозможные сочетания по к элементов. Число таких сочетаний равно Сn. В каждом сочетании можно выполнить Рк перестановок. В результате мы получим все размещения,

к

которые можно составить из n элементов по к. Их число равно Аn.

К к к к

Значит, Аn = Cn·Pк. Отсюда Сn = Аn

кРк

Сn = n(n-1)(n-2)…(n-(k-1))

1·2·3·…·k

Умножим числитель и знаменатель, на (n-к)!

 

к

Сn= (n-1)(n-2)…(n-(k-1)(n-k)! = n

1·2·3·…·k·(n-k)! k!(n-k)!

Задачи:

ЗАДАЧИ

 

1. Сколькими способами можно расставить в ряд на одной полке 7 книг?

2. Сколькими способами можно выбрать трех человек на 3 различные должности из восьми кандидатов?

3. Из 11 футболистов нужно делегировать 3 человека. Сколькими способами это можно сделать?

4. Сколькими способами может разместиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет?

5. На станции 7 запасных путей. Сколькими способами можно расставить на них 4 поезда?

6. Сколькими способами можно изготовить трехцветный флаг с горизонтальными полосами, если имеется материал 7 различных цветов?

7. На соревнованиях по легкой атлетике приехала команда из 12 спортсменов. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете 4 по 100 м на первом, втором, третьем и четвертом этапах?

8. Сколькими способами могут быть распределены первая, вторая и третья премии между 15 участниками конкурса?

9. Сколькими способами 6 учеников, сдающих зачет, могут занять места в кабинете, в котором стоят 20 одноместных столов?

10. Сколько четырехзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр: а) 1, 3, 5, 7, 9; б) 0, 2, 4, 6, 8.

11. Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различные и первая цифра отличная от нуля?

12. В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

13. Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуются прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

14. Из лаборатории в которой работают заведующий и 10 сотрудников, надо отправить 5 человек в командировку. Сколькими способами это можно сделать, если: а) заведующий лабораторией должен ехать в командировку; б) заведующий лабораторией должен остаться?

15. В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории требуется выделить 4 мальчиков и трех девочек. Сколькими способами это можно сделать?

16. В библиотеке читателю предложили на выбор из новых поступлений 10 книг и 4 журнала. Сколькими способами он может выбрать из них 3 книги и 2 журнала?

17. Для ремонта школы прибыла бригада, состоящая из 12 человек. Трех из них надо отправить на четвертый этаж, а четырех — на пятый этаж. Сколькими способами это можно сделать?

18. В отделе работают 5 ведущих и 8 старших научных сотрудников. В командировку надо послать двух ведущих и трех старших научных сотрудников. Сколькими способами может быть сделан выбор сотрудников, которых надо послать в командировку?

19. Встретились 11 футболистов и 6 хоккеистов, и каждый стал по одному разу играть с каждым в шашки.

а) сколько встреч было между футболистами?

б) сколько встреч было между хоккеистами?

в) сколько встреч было между футболистами и хоккеистами?

г) сколько встреч было всего?

20. Встретились несколько человек и стали здороваться друг с другом. Известно, что

рукопожатий было от 60 до 70. Сколько человек встретились, если известно, что:

а) каждый здоровался с каждым;

б) только один человек не здоровался ни с кем;

в) только двое не поздоровались между собой.

21. В классе 15 девочек и 13 мальчиков. Нужно выбрать двух дежурных по классу.

Сколькими способами это можно сделать: а) при условии, что пару обязательно

должны составить мальчик и девочка? б) без указанного условия?

22. В оперном театре 10 певцов и 8 певиц, а в опере по замыслу композитора 5 мужских и

3 женских партии. Сколько существует различных певческих составов для спектакля,

если известно, что:

а) все певицы и певцы прекрасно ладят между собой;

б) певцы А и Б ни за что не будут петь вместе;

в) 6 певцов накануне сорвал голос на футболе, и одной певице придется петь мужскую

партию.

23. В шахматном кружке занимаются 16 человек. Сколькими способами тренер может

выбрать из них для предстоящего турнира:

а) команду из 4 человек;

б) команду из четырех человек, указав при этом, кто из членов команды будет играть

на первой, второй, третьей и четвертой досках?

24. Сколькими способами из класса, где учатся 24 учащихся, можно выбрать:

а) двух дежурных;

б) старосту и помощника старосты.

 

25. Из 20 вопросов к экзамену Вова 12 вопросов выучил, 5 совсем не смотрел, а в

остальных что– то знает, а что- то нет. На экзамене в билете будет три вопроса.

а) сколько существует вариантов билетов?

б) сколько из них тех, в которых Вова знает все вопросы?

в) сколько из них тех в которых есть вопросы всех трех типов?

 

 

Литература

 

1. Вишенкин Н. Я., Ивашев – Мусатов О. С., Шварцбурд С. И.

Алгебра и математический анализ для 11 класса. – М.: Просвещение, 1993.

2. Гусев В. А., Орлов А. И., Розенталь А. П.

Внеклассная работа по математике в 6 – 8 классах. – М.: Просвещение, 1997.

3. Дмитриев И. Г., Попов М. В., Федоров М. П.

Решение олимпиадных задач по математике. – Якутск: ДНСПО МО РС(Я), 2000.

4. Когаловский С.Р.

Роль комбинаторных задач в обучении математики. // Математика в школе. – 2004. — №4.

5. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г.

Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей. – М.: Просвещение, 2003.

6. Семеновых А.

Комбинаторика. // Математика. – 2004, №15, № 16.

 

 

I. КОМБИНАТОРИКА

Часто приходится иметь дело с задачами выбора элементов из некоторой совокупности и расположения этих элементов в определенном порядке. Поскольку в таких задачах речь идет о тех или иных комбинациях объектов, их называют комбинаторными задачами. Роль таких задач важна не только в математике, но и физике, химии, биологии, технике и экономике. Комбинаторные задачи приходится рассматривать при определении наиболее выгодных коммуникаций внутри города, при организации автоматической телефонной связи, при выявлении связей внутри сложных молекул, генетического кода, математической статистики и т. д.

Трудно переоценить значимость той роли, которую играет обучение методам решения комбинаторных задач в общеобразовательной школе. Освоение методов решения таких задач способствует развитию умственных способностей и математического кругозора ученика. Комбинаторные задачи несут широкие возможности для способов решения таких задач, которые могут служить как формы общих методов решения задач.

 

Правило суммы

 

Для ознакомления первого правила комбинаторики-правила суммы мы предлагаем разбор следующей задачи:

Задача 1. На столе лежат 3 черных и 5 красных карандашей. Сколькими способами можно выбрать карандаш любого цвета?

Решение: Выбрать карандаш любого цвета можно 5+3=8 способами.

Правило суммы в комбинаторике:

Если элемент а можно выбрать m способами, а элемент в-n способами, причем любой выбор элемента а отличен от любого выбора элементов в, то выбор «а или в» можно сделать m+n способами.

Задача 2. В классе 10 учащихся занимаются спортом, остальные 6 учащихся посещают танцевальный кружок. 1)Сколько пар учащихся можно выбрать так, чтобы один из пары был спортсменом, другой танцором? 2)Сколько возможностей выбора одного ученика?

Решение: 1)Возможность выбора спортсменов 10, а на каждого из 10 спортсменов выборов танцора 6. Значит, возможность выбора пар танцора и спортсмена 10·6=60.

2) Возможность выбора одного ученика 10+6=16.

 

Правило произведения

 

Рассмотрим решение задачи, через которое сформулируем новое правило – правило произведения, неоднократно используемое при изучении последующего материала.

Задача 1. Из города А в город В ведут 3 дороги. А из города В в город С ведут 4 дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?

Решение: Можно рассуждать таким образом: для каждой из трех путей из А в В имеется четыре способа выбора дороги из В в С. Всего различных путей из А в С равно произведению 3·4, т.е. 12.

Правило произведения:

Пусть нужно выбрать к элементов. Если первый элемент можно выбрать n1 способами, второй – n2 способами и т. д., то число способов к элементов, равно произведению n1· n2·… nк.

Задача 2. В школьной столовой имеются 2 первых, 5 вторых и 4 третьих блюд. Сколькими способами ученик может выбрать обед, состоящий из первых, вторых и третьих блюд?

Решение: Первое блюдо можно выбрать 2 способами. Для каждого выбора первого блюда существует 5 вторых блюд. Первые два блюда можно выбрать 2·5=10 способами. И, наконец, для каждой 10 этих выборов имеются четыре возможности выбора третьего блюда, т. е. Существует 2·5·4 способов составления обеда из трех блюд. Итак, обед может быть составлен 40 способами.

 

 

Перестановки

 

Простейшими комбинациями, которые можно составить из элементов конечного множества, являются перестановки.

Рассмотрим на примере перестановку без повторений.

Задача: На полке лежат 3 книги. В каком порядке можно расставить эти книги?

Решение: Обозначим их буквами а, в, с. Эти книги можно расставить на полке по – разному:

авс, асв, вас, вса, сав, сва.

Каждое из этих расположений называют перестановкой из трех элементов. При решении этой задачи можно воспользоваться правилом умножения. Выбор первого места на полке три. Для каждого выбора первого места есть две возможности выбора второго места. Из трех книг один выбран для первого места. Остаются 2 остальные книги. Наконец, для каждого выбора первых, вторых мест только один выбор третьего места.

Опредление: Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке.

Число перестановок из n элементов обозначается символом Рn.

Пусть мы имеем n элементов. На первое место можно поставить любой из них всего п выборов. На второе место любой из оставшихся, т. е. n-1 выбор. На третьем месте любой из оставшихся после первых двух выборов, т. е. n-2 выбора и т. д. В результате получим: Рn = n·(n-1)·(n-2)…2·1.

Если произведение обозначим 1·2·3…(n-1)·n = n!, то число всевозможных перестановок из к элементов вычисляется по формуле:

Рп = n!

 

Задачи:

Сколькими способами можно расставить 7 бегунов на 7 дорожках?

Решение: Р7 =1·2·3·4·5·6·7=5040 Ответ: 5040 способов.

 

На полке стоят 10 книг сколько способов взять 2 книги

Задание 1. Сколькими способами можно выбрать две книги по разным темам, если на полке находится 12 книг по математике, 14 книг по физике, 16 книг по информатике?

Решение. Если выбирать книгу по математике и книгу по физике, то существует 12 вариантов выбора книги по математике и 14 вариантов выбора книги по физике, поэтому существуетвозможностей. Если выбирать книгу по математике и книгу по информатике, то существует 12 вариантов выбора книги по математике и 16 вариантов выбора книги по информатике, поэтому существуетвозможностей. Если выбирать книгу по физике и книгу по информатике, то существует 14 вариантов выбора книги по физике и 16 вариантов выбора книги по информатике, поэтому существуетвозможностей. Следовательно, всего существуетспособа выбора двух книг по разным темам.

Задание 2. Сколькими способами 7 книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?

Решение. В данном случае комбинация состоит изразличных элементов, отличающихся только порядком их расположения. Значит, имеем дело с перестановкой.. Существует 5040 способов осуществить расстановку книг.

Задание 3.Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр каждый, так чтобы все цифры были различны?

Решение. Это пример задачи на размещение без повторений. Размещаются здесь десять цифр по 6. Значит, ответ на выше поставленную задачу будет:.

Задание 4. В группе КН–10-1 обучается 24 студента. Сколькими способами можно составить график дежурства по общежитию, если группа дежурных состоит из трех студентов?

Решение. Число способов равно числу размещений из 24 элементов по 3, т.е. равно. По формуле находим:

Задание 5. Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (все три кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр?

Решение.Так как кнопки нажимаются одновременно (порядок не важен), то выбор этих кнопок – сочетание. Отсюда находим:

Задание 6. Позывные радиостанции должны начинаться с буквы W. 1) Скольким радиостанциям можно присвоить различные позывные, если позывные состоят из трех букв, причем эти буквы могут повторяться? 2) Если позывные состоят из четырех букв, которые не повторяются?

Решение. В современном латинском алфавите 26 букв. На первом месте всегда должна стоять одна буква, следовательно, существует только один способ занять первое место.

1) На оставшиеся два места может претендовать любая из 26-ти букв, т.к. буквы в позывных могут повторяться. Используя принцип умножения, получаем произведение: .

2) На второе место можно поставить любую из 25 букв, т.к. в позывных буквы не должны повторяться. На третье место – 24 буквы, на четвертое место – 23 буквы. Используя принцип умножения, получаем произведение: .

Задание 7. В автомашине 7 мест. Сколькими способами семь человек могут усесться в эту машину, если занять место водителя могут только трое из них?

Решение. Действие, которое должно быть выполнено особым способом, необходимо выполнять первым. Итак, на место водителя можно посадить только одного из трех человек (умеющего водить машину), т.е. существуют 3 способа занять первое место. Второе место может занять любой из 6 человек, оставшихся после того, как место водителя будет занято. И т.д. Используя принцип умножения, получаем произведение:.

Задание 8. Алфавит некоторого языка содержит 30 букв. Сколько существует шестибуквенных слов (цепочка букв от пробела до пробела), составленных из букв этого алфавита, если:

Решение. Существует шесть мест, на которые нужно разместить 30 букв.

1. Буквы не должны повторяться. Используя принцип умножения, получаем произведение: . Такое произведение достаточно сложно использовать в дальнейшем, и информация задачи представлена в ней в скрытой форме. Нетрудно заметить, что это не что иное, как формула размещений.

2. Буквы повторяются. Используя принцип умножения, получаем: – формула для размещений с повторениями.

Ответ: 1) ; 2).

Задание 9.Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляются всевозможные числа, каждое из которых содержит не менее трех цифр. Сколько таких чисел можно составить, если повторения цифр в числах запрещены?

Решение. Так как цифр в числе не менее трех, необходимо посчитать, сколько существует трехзначных, четырехзначных и пятизначных чисел, составленных из этих пяти цифр. Трехзначных чисел –, четырехзначных –, пятизначных –. Используем принцип сложения:.

Задание 10. Сколько существует различных автомобильных номеров, которые состоят из пяти цифр, а) если первая из них не равна нулю; б) если номер состоит из одной буквы латинского алфавита, за которой следуют четыре цифры, отличные от нуля?

Решение. а) Всего существует 10 цифр. На первом месте не может быть цифры 0, поэтому способов поставить цифру на первое место существует 9. На втором месте может стоять любая из 10-ти цифр (цифры могут повторяться), т.е. способов поставить цифру на второе место существует 10, и т.д. Используя принцип умножения, получаем:.

б) На первом месте может стоять любая из 26 букв. На остальных местах – любые из девяти цифр, причем они могут повторяться. Используя принцип умножения, получаем: .

Ответ: ,.

Задание 11. Сколькими способами можно расставить на полке семь книг, если (а) две определенные книги должны всегда стоять рядом, (б) эти две книги не должны стоять рядом?

Решение. (а) Книги, которые должны стоять рядом, считаем за одну книгу. Тогда нужно расставить 6 книг по шести местам. Применяя формулу перестановок, получаем:. Мы учли перестановки шести книг, не учитывая порядок внутри тех книг, которые мы посчитали за одну. А так как две книги по двум местам можно разместить только двумя способами (), то получаем окончательно следующее произведение:.

(б) Способов переставить 7 книг существует . Из них ‑способов поставить определенные книги вместе. Следовательно, способов поставить книги так, чтобы 2 заданные книги не стояли вместе существует:

Ответ: (а) 1440; (б)

Задание 12. Сколькими способами из восьми человек можно избрать комиссию, состоящую из пяти членов?

Решение. Для решения этой задачи необходимо использовать формулу для сочетания элементов, т.к. здесь не имеет значения порядок элементов в выборке. Запишем формулу для сочетаний и произведем вычисления:

Задание 13. Сколькими способами можно отобрать несколько фруктов из семи яблок, четырех лимонов и девяти апельсинов? (Мы считаем, что фрукты одного вида неразличимы.)

Решение. Т.к. фрукты одного вида неразличимы, то существует один способ взять одно яблоко, один способ взять 2 яблока, один способ взять три яблока и т.д., т.е. всего семь способов выбрать несколько яблок (несколько – это не менее одного). Необходимо также прибавить один способ не взять ни одного яблока. Следовательно, существует 8 способов взять яблоки. Аналогично существует 5 способов выбрать лимоны и 10 способов выбрать апельсины. Следуя принципу умножения, получим все способы отбора фруктов:. Но среди этих способов существует один способ, когда не выбирается ни один фрукт. Следовательно, решением данной задачи будет следующее выражение:.

Задание 14. Сколько четырехбуквенных слов можно образовать из букв словасапфир?2) Сколько среди них таких, которые не содержат буквыр? 3) Сколько таких, которые начинаются с буквыси оканчиваются буквойр?

Решение. 1. Из шести букв составляются четырехбуквенные слова, причем порядок букв важен для образования новых слов. Поэтому используется формула для размещений:.

2. Необходимо исключить букву риз рассмотрения. Количество слов, не содержащих эту букву:А.

3. На первое место поставить букву сможно только одним способом. На последнее место поставить буквурможно тоже только одним способом. Остаются 4 буквы, которые необходимо разместить по двум местам:А.

Задание 15. Сколько различных перестановок можно образовать изо всех букв словаперестановка?Сколько из них начинается с буквып и оканчивается буквойа?

Решение. В словеперестановка12 букв, из них повторяются 2 буквыеи две буквыа. Число перестановок из 12 элементов вычисляется с помощью формулы. Но среди этих перестановок будут повторяющиеся, в которых буквыеилиаменяются местами. Чтобы не считать такие перестановки, используется формула для перестановок с повторениями:

Чтобы посчитать количество перестановок, начинающихся на букву пи оканчивающихся на буквуа, необходимо исключить эти элементы и места, на которых они стоят из рассмотрения. Остается 10 букв и десять мест, причем остается только одна повторяющаяся буквае. Применяем формулу для перестановок с повторениями:

Ответ: ;

Задание 16. Сколько членов было в клубе, если известно, что при нумерации членских билетов использованы все трехзначные номера, не содержащие ни одной восьмерки?

Решение. Имеем дело с 3-перестановками с повторениями из 9 элементов (0,1,2,3,4,5,6,7,9). Число трехзначных номеров, не содержащих восьмерки, равно.

Задание 17. Группа студентов проходила практику в Германии и Франции. Половина студентов проходила практику во Франции. В обеих странах учились 12 студентов, 39 студентов в Германии. Сколько студентов в группе, если все прошли практику?

Решение. Задача на использование формулы включений-исключений. Т.к. в нашем случае имеется 2 свойства, формула будет выглядеть так:

Интерпретация: – общее количество студентов;– количество студентов, проходящих практику во Франции;– количество студентов, проходящих практику в Германии;– количество студентов, проходящих практику в обеих странах;– количество студентов, не прошедших практику.

Составим уравнение: . Решив его, получаем общее количество студентов, равное 54.

Среди векторов укажите пары коллинеарных
Тесты по дифференциальным уравнениям с ответами

▶▷▶ сколькими способами можно расставить 8 книг на полке чтобы 2 из них

▶▷▶ сколькими способами можно расставить 8 книг на полке чтобы 2 из них

Интерфейс Русский/Английский
Тип лицензия Free
Кол-во просмотров 257
Кол-во загрузок 132 раз
Обновление: 23-01-2019

сколькими способами можно расставить 8 книг на полке чтобы 2 из них — Yahoo Search Results Yahoo Web Search Sign in Mail Go to Mail» data-nosubject=»[No Subject]» data-timestamp=’short’ Help Account Info Yahoo Home Settings Home News Mail Finance Tumblr Weather Sports Messenger Settings Want more to discover? Make Yahoo Your Home Page See breaking news more every time you open your browser Add it now No Thanks Yahoo Search query Web Images Video News Local Answers Shopping Recipes Sports Finance Dictionary More Anytime Past day Past week Past month Anytime Get beautiful photos on every new browser window Download Сколькими Способами Можно Расставить На Полке 10 Книг novoblgazweeblycom/blog/skoljkimi-sposobami-mozhno Cached Сколькими способами можно из 20 книг отобрать 12 и расставить их в ряд на Расставьте 4 книги на полке так, чтобы бордовый и синий тома не стояли рядом Ответ: 2 ,4757335· 10 32 Сколькими Способами Можно Расставить На Полке 10 Книг parkuristrapweeblycom/blog/skoljkimi-sposobami-mozhno Cached Сколькими способами можно расставить 9 различных книг на полке , чтобы определенные 4 книги Нужно выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся книг Следовательно, искомое число номеров равно 10 6 – 1 = 999999 Сколькими Способами Можно Расставить 8 Книг На Полке Чтобы 2 Из Них — Image Results More Сколькими Способами Можно Расставить 8 Книг На Полке Чтобы 2 Из Них images Сколькими Способами Можно Расставить На Полке 10 Книг anayanadarweeblycom/blog/skoljkimi-sposobami-mozhno Cached Сколькими способами можно расставить на полке 12 книг , из которых 5 Сколькими способами можно расставить 30 книг на двух полках, если на каждой из них помещается только по 15 томов Сколькими Способами Можно Расставить На Полке 10 Книг watchesdedal101weeblycom/blog/skoljkimi-sposobami Cached Сколькими способами можно расставить на полке 7 книг , если Ответ: 2 ,4757335 Сколькими способами можно расставить 30 книг на двух полках, если на каждой из них помещается только по 15 томов 7 ПЕРЕСТАНОВКИ — maticaorgua maticaorgua/metodichki-i-knigi-po-matematike/ Пример 51 Сколькими способами можно расставить девять различных книг на полке , чтобы определенные четыре книги стояли рядом? Решение Будем считать выделенные книги за одну книгу Сколькими Способами Можно Расставить На Полке 10 Книг — game-baby game-babyweeblycom/blog/skolkimi-sposobami-mozhno Cached Сколькими способами можно расставить 9 различных книг на полке , чтобы определенные 4 книги Нужно выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся книг Сколькими способами можно расставить на полке 5 разных книг znanijacom/task/673742 Cached Сколькими способами можно расставить на полке 5 разных книг ? 20 кг конфет из них собрали и Пример 3 Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1 studfilesnet/preview/1724347/page: 2 Cached Имеются 9 различных книг , четыре из которых учебники Сколькими способами можно расставить книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом? Решение: сначала будем рассматривать Помогите решить, пожалуйста) 1 Сколькими способами можно znanijacom/task/22052127 Cached 1 Сколькими способами можно расставить 7 книг на книжной полке ? 2 Сколькими способами из 9 учебных предметов можно составить расписание учебного дня из 6 различных уроков? 3 Сколькими способами можно переставить 4 различных книги на wwwbolshoyvoprosru/questions/802011-skolkimi-sposobami Cached Для 10 мальчиков ответ такой 10*9* 8 *7*6*5*4*3* 2 *1 = (сосчитайте сами) Здесь мы видим определенную закономерность Если мы имеем n элементов (мальчиков), то сколько перестановок можно из них сделать? Promotional Results For You Free Download | Mozilla Firefox ® Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster, smarter, easier way to browse the web and all of Yahoo 1 2 3 4 5 Next 3,100 results Settings Help Suggestions Privacy (Updated) Terms (Updated) Advertise About ads About this page Powered by Bing™

  • эти две книги за одну Итого 6! расположений Читать ещё Сколькими способами можно расставить на полке 7 книг если: 1) две определённые книги должны всегда стоять рядом? Раз рядом
  • то попробуйте воспользоваться умным поиском на сайте и найти ответы на похожие вопросы Скрыть 8 7 ПЕРЕСТАНОВКИ | Решение задач по математике maticaorgua › metodichki-i-knigi-po…kombinatorika… Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Сколькими способами можно расставить девять различных книг на полке
  • если а) две определѐнные книги должны всегда стоять рядом

чтобы определенные четыре книги стояли рядом? Пример 53 Сколькими способами можно посадить за круглый стол n мужчин и n женщин так

18 от Askania1946p5mnw6_zn (39 баллов) Скрыть НОУ ИНТУИТ | Лекция | Комбинаторные задачи intuitru › studies/professional_skill…1443…240…6206 Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Задача 1 На книжной полке стоят 12 книг Сколькими способами можно выбрать 5 из них так

  • если на каждой из них помещается только по 15 томов 7 ПЕРЕСТАНОВКИ — maticaorgua maticaorgua/metodichki-i-knigi-po-matematike/ Пример 51 Сколькими способами можно расставить девять различных книг на полке
  • четыре из которых учебники Сколькими способами можно расставить книги на полке так
  • если на каждой из них помещается только по 15 томов 7 ПЕРЕСТАНОВКИ — maticaorgua maticaorgua/metodichki-i-knigi-po-matematike/ Пример 51 Сколькими способами можно расставить девять различных книг на полке

Яндекс Яндекс Найти Поиск Поиск Картинки Видео Карты Маркет Новости ТВ онлайн Знатоки Коллекции Музыка Переводчик Диск Почта Все Ещё Дополнительная информация о запросе Показаны результаты для Нижнего Новгорода Москва 1 сколькими способами 8 различных книг можно znanijacom › task/23095174 Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Подробнее о сайте Нажми, чтобы увидеть ответ на свой вопрос: сколькими способами 8 различных книг можно расставить на одной полке так чтобы Две книги должны быть рядом «склеим их » и теперь будем расставлять на полке 7 книг , меняя их Читать ещё Нажми, 👆 чтобы увидеть ответ на свой вопрос ✍️: сколькими способами 8 различных книг можно расставить на одной полке так чтобы две определенные книги стояли ряд… Две книги должны быть рядом «склеим их » и теперь будем расставлять на полке 7 книг , меняя их местами Число способов , которыми можно поставить 7 книг равно Всего 5040 способов Но мы «склеить» книжки можем тоже двумя способами и для каждого способа одинаковое количество вариантов составить книги Значит всего 5040* 2 =10 080 Ответ 10 080 способов Неограниченный доступ Подключи Знания Плюс для доступа ко всем ответам Скрыть 2 Методические рекомендации по теме «Теория» pandiaru › text/78/452/58157php Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Задача 1 Сколькими способами можно расставить на полке 8 различных книг ? Решение Очевидно, что существует столько способов расставить 8 книг , сколько существует перестановок из 8 элементов, то есть количество способов равно 8! = 1× 2 ×3×4×5 6×7×8= 40320 Ответ 40320 Задача 2 Сколькими Читать ещё Задача 1 Сколькими способами можно расставить на полке 8 различных книг ? Решение Очевидно, что существует столько способов расставить 8 книг , сколько существует перестановок из 8 элементов, то есть количество способов равно 8! = 1× 2 ×3×4×5 6×7×8= 40320 Ответ 40320 Задача 2 Сколькими способами можно расставить на полке 5 различных книг так, чтобы 2 данные книги стояли рядом? Решение «Склеим» эти две книги Тогда у нас получится 4 книги и их можно переставить 4! способами Но склеить две книги можно двумя способами , поэтому существует 2 ×4! = 2 ×1× 2 ×3×4 = 48 способов расстанов Скрыть 3 Ответы@MailRu: Сколькими способами можно расставить на полке 7 книг если: 1) две otvetmailru › question/52189188 Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Подробнее о сайте Сколькими способами можно расставить на полке 7 книг если: 1) две определённые книги должны всегда стоять рядом? Раз рядом, то можно считать, эти две книги за одну Итого 6! расположений Читать ещё Сколькими способами можно расставить на полке 7 книг если: 1) две определённые книги должны всегда стоять рядом? Раз рядом, то можно считать, эти две книги за одну Итого 6! расположений Но в каждом случае установки эту двойную книгу можно собрать двумя способами Итого 2 *6!= 1440 2 ) Эти две книги не должны стоять рядом? ? Всего есть 7! способов расставить 7 книг Из них надо вычесть те случаи когда 2 заданных книги рядом Наверное можно выдумать какую-нибудь формулу, но по-моему гораздо проще пересчитать эти случаи «на пальцах» первая книга может стоять на семи местах в ряду a11 Скрыть 4 Сколькими способами можно расставить на полке solobyru › 333645/сколькими-способами-расставить… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Тогда количество способов расстановки условных семи книг на полке будет равно числу перестановок из 7 элементов: P7 = 1* 2 *3*4*5*6*7 = 5040 Но в каждой такой перестановке книги одного автора можно менять местами, потому общее число способов расстановки книг на полке будет в 2 раза больше, те Читать ещё Тогда количество способов расстановки условных семи книг на полке будет равно числу перестановок из 7 элементов: P7 = 1* 2 *3*4*5*6*7 = 5040 Но в каждой такой перестановке книги одного автора можно менять местами, потому общее число способов расстановки книг на полке будет в 2 раза больше, те 5040 * 2 = 10080 Ответ: 10080 способов ответил 20 Март, 17 от luche Похожие вопросы 1 ответ Сколькими способами можно расставить на полке 10 книг , из которых 4 книги одного автора, а остальные — разных авторов, так, чтобы книги одного автора стояли рядом? спросил 08 Авг, 17 от belchonok в категории Скрыть 5 Разложить книги по полкам | Форум maths24net › indexphp?topic=22480 Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Сколькими способами восемь различных книг можно расставить на одной полке так, чтобы две определенные книги не оказались… 26 мая 2016 Байт То есть считать две книги за одну? Интересно Но результат, разумеется, тот же 16 декабря 2017 6 Сколькими способами можно расставить 8 книг на полке чтобы 2 из них — смотрите картинки ЯндексКартинки › сколькими способами можно расставить 8 книг на Пожаловаться Информация о сайте 17 января 16 января 17 января Ещё картинки 7 Сколькими способами можно расставить на полке iotvetcom › matematika/3300264html Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте 💡 Найдите правильный ответ на вопрос « Сколькими способами можно расставить на полке 8 различных книг » по предмету Математика, а если вы сомневаетесь в правильности ответов или ответ отсутствует, то попробуйте воспользоваться умным поиском на сайте и найти ответы на похожие Читать ещё 💡 Найдите правильный ответ на вопрос « Сколькими способами можно расставить на полке 8 различных книг » по предмету Математика, а если вы сомневаетесь в правильности ответов или ответ отсутствует, то попробуйте воспользоваться умным поиском на сайте и найти ответы на похожие вопросы Скрыть 8 7 ПЕРЕСТАНОВКИ | Решение задач по математике maticaorgua › metodichki-i-knigi-po…kombinatorika… Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Сколькими способами можно расставить девять различных книг на полке , чтобы определенные четыре книги стояли рядом? Пример 53 Сколькими способами можно посадить за круглый стол n мужчин и n женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом? Решение Читать ещё Сколькими способами можно расставить девять различных книг на полке , чтобы определенные четыре книги стояли рядом? Решение Будем считать выделенные книги за одну книгу Тогда уже для шести книг существует P6=6!=720 перестановок Однако четыре определенные книги можно переставить между собой P4=4!=24 способами По принципу умножения имеем P6P4 = 720×24 = 17280 Пример 5 2 Пример 53 Сколькими способами можно посадить за круглый стол n мужчин и n женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом? Решение Естественно предположить, что как мужчины, так и женщины различимы Предположим также, что места за столом также различимы Пронумеруем их Скрыть 9 Сколькими способами можно расставить на полке yznaycom › matematika/skolkimi-sposobami…26568745 Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Можно две книги поставить по краям, а остальные в середине Читать ещё Можно две книги поставить по краям, а остальные в середине Другие ответы Показать Предметы Недавние вопросы Математика Литература Скрыть 10 Методы решения комбинаторных задач blogtutoronlineru › metody…kombinatornyh-zadach Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Сколькими способами можно расставить на полке 12 книг , из которых 5 книг – это сборники стихотворений, так, чтобы сборники стояли рядом? Решение Сначала примем 5 сборников условно за одну книгу , потому что они должны стоять рядом Так как в соединении существенным есть порядок, и все элементы Читать ещё Сколькими способами можно расставить на полке 12 книг , из которых 5 книг – это сборники стихотворений, так, чтобы сборники стояли рядом? Решение Сначала примем 5 сборников условно за одну книгу , потому что они должны стоять рядом Так как в соединении существенным есть порядок, и все элементы используются, значит это перестановки из 8 элементов (7 книг + условная 1 книга ) Их количество Р 8 Далее будем переставлять между собой только сборники стихотворений Это можно сделать Р5 способами Поскольку нам нужно расставить и сборники, и другие книги , то воспользуемся правилом произведения Следов Скрыть На использование формул для перестановок и размещений helpiksorg › 9-22376html Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте 2 Сколькими способами можно расставить на полке 7 книг , если (а) две определенные книги должны всегда стоять (б) Способов переставить 7 книг существует P7= 7! Из них ‑ 2 6! способов поставить определенные книги вместе Следовательно, способов поставить книги так, чтобы 2 заданные Читать ещё 2 Сколькими способами можно расставить на полке 7 книг , если (а) две определенные книги должны всегда стоять рядом, (б) эти две книги не должны стоять рядом? Решение задачи: (а) Книги , которые должны стоять рядом, считаем за одну книгу Тогда нужно расставить 6 книг по шести местам Применяя формулу перестановок, получаем: P6 = 6! Мы учли перестановки шести книг , не учитывая порядок внутри тех книг , которые мы посчитали за одну (б) Способов переставить 7 книг существует P7= 7! Из них ‑ 2 6! способов поставить определенные книги вместе Следовательно, способов поставить книги так, чтобы 2 заданные книги не стояли вместе существует: 7! ‑ 2 6! Ответ: 1440; 7! ‑ 2 6! Скрыть Образец решения варианта StudFilesnet › preview/1763087/page:3/ Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Подробнее о сайте 1 Сколькими способами можно расставить на полке 5 различных книг ? Решение Искомое число способов равно числу Имеется 6 пар перчаток различных размеров Сколькими способами можно выбрать из них одну на левую руку и одну на правую руку так, чтобы они были разных размеров? Читать ещё 1 Сколькими способами можно расставить на полке 5 различных книг ? Решение Искомое число способов равно числу перестановок из 5 элементов ( книг ), т е = 5! = 1· 2 ·3·4·5 = 120 2 Сколько «слов» по две буквы можно составить из букв a, b, c, d, e, таким образом, чтобы буквы в «словах» не повторялись? Решение Имеется 6 пар перчаток различных размеров Сколькими способами можно выбрать из них одну на левую руку и одну на правую руку так, чтобы они были разных размеров? Имеются 48 задач по теории вероятностей Сколькими способами их можно распределить между 13 студентами для самостоятельного решения по 4 задачи каждому? Скрыть Сколькими способами можно расставить 8 книг на i-otvetru › 32018011/сколькими…расставить-полке… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Похожие задачи Сколькими способами можно расположить 6 книг на полке , чтобы 3 справочника из них стояли 1 способ 3 книги 3 книги 2 книги 2 способ 3 книги 2 книги 3 книги 3 способ 2 книги 3 книги 3 книги 4 способ 3 книги 1 книга 4 книги 5 способ 3 книги 4 книги 1 книга 6 способ 1 книга 3 книги 4 Читать ещё Похожие задачи Сколькими способами можно расположить 6 книг на полке , чтобы 3 справочника из них стояли Сколькими способами можно расставить на полке 5 книг чтобы 2 определённые книги стояли 1 способ 3 книги 3 книги 2 книги 2 способ 3 книги 2 книги 3 книги 3 способ 2 книги 3 книги 3 книги 4 способ 3 книги 1 книга 4 книги 5 способ 3 книги 4 книги 1 книга 6 способ 1 книга 3 книги 4 книги 7 способ 1 книга 4 книги 3 книги 8 способ 3 книги 2 книги 2 книги 1 книга 9 способ 3 книги 2 книги 1 книга 2 книги 10 способ 3 книги 1 книга 2 книги 2 книги 11 способ 3 книги 1 книга 1 книга 1 книга 1 книга 1 книга 12 способ 3 книги 5 книг Итого 12 способов ответил 31 Май, 18 от Askania1946p5mnw6_zn (39 баллов) Скрыть НОУ ИНТУИТ | Лекция | Комбинаторные задачи intuitru › studies/professional_skill…1443…240…6206 Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Задача 1 На книжной полке стоят 12 книг Сколькими способами можно выбрать 5 из них так, чтобы никакие две из них не стояли рядом Зашифруем выбор 0 и 1: каждой оставленной книге поставим в соответствие 0, каждой выбранной — 1 Таким образом, имеем 5 единиц и 7 нулей и задача сводится к предыдущей Читать ещё Задача 1 На книжной полке стоят 12 книг Сколькими способами можно выбрать 5 из них так, чтобы никакие две из них не стояли рядом Зашифруем выбор 0 и 1: каждой оставленной книге поставим в соответствие 0, каждой выбранной — 1 Таким образом, имеем 5 единиц и 7 нулей и задача сводится к предыдущей В общем виде: Если стоит книг , а выбирается книг , не стоящих рядом, то это можно сделать Задача 2 За круглым столом короля Артура сидят 12 рыцарей Из них каждый враждует с соседом Надо выбрать 5 рыцарей (например в экспедицию ,чтобы освободить заколдованную принцессу), причем так, чтобы среди них Скрыть Дискретная математика и теория кодирования abcvvsuru › book/10207875/index-p-18shtml Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Задача 2 2 4 Сколькими способами можно расставить на полке Тогда у нас 6 объектов: 5 книг и один пакет Число способов расположить эти 6 объектов равно ,6!= Читать ещё Задача 2 2 4 Сколькими способами можно расставить на полке семь книг , если а) две определѐнные книги должны всегда стоять рядом, б) эти две книги не должны стоять рядом? Решение а) Мысленно положим эти две книги (которые должны стоять рядом) в один пакет Тогда у нас 6 объектов: 5 книг и один пакет Число способов расположить эти 6 объектов равно ,6!= 6 P но каждому из этих способов соответствует 2 != 2 Скрыть Формулы комбинаторики mathematichkaru › Формулы комбинаторики Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Сколькими способами можно расставить 15 томов на книжной полке , если выбирать их из имеющихся в наличии Сколькими способами можно расставить 30 внешне неразличимых книг на двух полках , если на каждой из них помещается только по 15 томов? Если мы снова отвечаем на этот вопрос с Читать ещё Сколькими способами можно расставить 15 томов на книжной полке , если выбирать их из имеющихся в наличии внешне неразличимых 30-ти книг ? Решение Мы решаем эту задачу в контексте работы дизайнера интерьеров, поэтому порядок следования на полке 15-ти выбранных внешне одинаковых книг не имеет значения Сколькими способами можно расставить 30 внешне неразличимых книг на двух полках , если на каждой из них помещается только по 15 томов? Если мы снова отвечаем на этот вопрос с точки зрения дизайнера интерьеров, то порядок следования книг на каждой из полок несущественен Но заказчику может быть важно или неважно, как книги распределены между полками Скрыть Вместе с « сколькими способами можно расставить 8 книг на полке чтобы 2 из них » ищут: сколькими способами 2 n разных элементов можно разбить на пары сколькими способами четверо детей могут занять очередь на аттракцион сколькими способами можно выбрать трех дежурных из 20 человек сколькими способами можно обить 6 стульев если имеется 6 вида ткани сколькими способами можно разделить 12 учебников между 4 студентами сколькими способами можно раскрасить флаг из 5 полос так чтобы сколькими способами можно купить две игры из четырёх шашки шахматы сколькими способами собрание состоящее из 18 человек может выбрать сколькими способами можно рассадить 5 человек за столом сколькими способами можно изготовить трехцветный флаг из 7 различных 1 2 3 4 5 дальше Bing Google Mailru Нашёлся 121 млн результатов Дать объявление Регистрация Войти Войдите через соцcеть Попробовать ещё раз Москва Настройки Клавиатура Помощь Обратная связь Для бизнеса Директ Метрика Касса Телефония Для души Музыка Погода ТВ онлайн Коллекции Яндекс О компании Вакансии Блог Контакты Мобильный поиск © 1997–2019 ООО «Яндекс» Лицензия на поиск Статистика Поиск защищён технологией Protect Алиса в ЯндексБраузере Помогает искать в интернете и поддерживает беседы 0+ Установить Будьте в Плюсе

832, 26.03.2020 «Решение задач на подсчет числа перестановок, размещений, сочетаний».

Основные понятия комбинаторики: перестановки, сочетания и размещения.

Основная часть

Определение:Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова «combinare», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять». Комбинаторные задачи возникли и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т.д. 

Термин «комбинаторика» был введён знаменитым Готфридом Вильгельмом Лейбницем, — всемирно известным немецким учёным.

Комбинаторные задачи делятся на:задачи на перестановки, задачи на размещение, задачи на сочетание

Определение:Факториал – это произведение всех натуральных чисел от 1 до n.

Обозначение: n! = 1 · 2 · 3 · … · n.Читается: «эн факториал».

Пример: 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24.

Кроме того: 0! = 1.

Задачи на перестановки

Сколькими способами можно расставить 3 различные книги на книжной полке?

Это задача на перестановки.

Решение: Выбираем одну из 3-х книг и ставим на первое место. Это можно сделать 3-мя способами.

Вторую книгу мы можем выбрать из 2-х оставшихся двумя способами, получаем 3·2 способов.

Третью книгу мы можем выбрать 1 способом.

Получится 3·2·1=6 способов.

Ответ: 6.

Определение:Перестановками из n элементов называются комбинации из n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них элементов.

Формула

Типичная смысловая нагрузка: «Сколькими способами можно переставить n объектов?»

Пример 1. Сколькими способами можно расставить 8 участников финального забега на восьми беговых дорожках?

Решение: P8= 8!=1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 ∙ 8 = 40320.

Ответ: 40320.

Задача 1. Сколькими способами можно составить расписание на один день, если в этот день предусмотрено 6 уроков по 6 разным предметам?

Задача 2. Сколькими различными способами можно разместить на скамейке 10 человек?
Задача 3. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове Гора?

Задача 4*. Сколько различных шестизначных чисел, кратных 5, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что цифры в числе не повторяются?

Задачи на размещения

Имеется 5 книг и одна полка, такая что на ней вмещается лишь 3 книги.

Сколькими способами можно расставить на полке 3 книги?

Это задача на размещение.

Решение: Выбираем одну из 5-ти книг и ставим на первое место на полке. Это можно сделать 5-ю способами.

Вторую книгу мы можем выбрать 4-мя способами и поставить рядом с одной из 5-ти возможных первых.

Таких пар может быть 5·4.

Третью книгу мы можем выбрать 3-мя способами.

Получится 5·4·3 разнообразных троек. Значит всего способов разместить 3 книги из 5-ти 5·4·3 = 60.

Ответ: 60.

Определение: Размещением из n элементов по k (k≤n) называется любое множество, состоящее из k элементов, взятых в определённом порядке из данных n элементов.

Формула:

Типичная смысловая нагрузка: «Сколькими способами можно выбрать k объектов и в каждой выборке переставить их местами?»

Пример 1. Учащиеся второго класса изучают 9 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нём было 4 различных предмета?

Решение:

Ответ: 3024.

Задача 1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 2, 4, 6, 7, 9?

Задача 2. В соревнованиях высшей лиги по футболу участвуют 18 команд. Борьба идет за золотые, серебряные и бронзовые медали. Сколькими способами могут быть распределены медали между командами?

Задача 3. Сколькими способами можно опустить 5 писем в 11 почтовых ящиков, если в каждый ящик опускают не более одного письма?

Задача 4. Боря, Дима и Володя сели играть в карты. Сколькими способами им можно сдать по одной карте? (колода содержит 36 карт)

Задача 5. В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 4 человека, при условии, что все они должны ехать в различных вагонах?

Решение:

Задачи на сочетания

Сколькими способами можно расставить 3 тома на книжной полке, если выбирать их из имеющихся в наличии внешне неразличимых 5 книг?

Это задача на сочетания.

Решение: Книги внешне неразличимы. Но они различаются, и существенно! Эти книги разные по содержанию. Возникает ситуация, когда важен состав элементов выборки, но несущественен порядок их расположения.

123 124 125 134 135 145

234 235 245

345

Ответ: 10.

Определение: Сочетанием из n элементов по k (kn) называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов (не имеет значения, в каком порядке указаны элементы).

Формула:

Типичная смысловая нагрузка: «Сколькими способами можно выбрать k объектов из n

Пример 1. В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

Решение:

Ответ: 21.

Задача 1. На тренировках занимаются 12 баскетболистов. Сколько может быть организовано тренером разных стартовых пятерок?

Задача 2. В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали?

Задача 3. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 3 карты?

Задача 4*. Для участия в команде тренер отбирает 5 мальчиков из 10. Сколькими способами он может сформировать команду, если 2 определенных мальчика должны войти в команду?

Задача 5*. В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?

Задача 6*. Сколько различных дробей можно составить из чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17 так, чтобы в каждую дробь входили 2 различных числа? Сколько среди них будет правильных дробей?

Задачи для самостоятельного решения.

 

1. Сколькими способами можно выбрать комитет, включающий 6 мужчин и 8 женщин, из группы, состоящей из 12 мужчин и 20 женщин?

2. В скачках участвуют десять лошадей. Сколько существует вариантов призовой тройки лошадей?

Пять пар идут в кино. Сколькими способами они могут занять места, если
а) они могут сидеть в любом порядке? б) все пять пар сидят подряд?

3. Пароль на компьютере состоит из шести символов. Первые два из них строчные буквы латинского алфавита (всего 26 букв), а оставшиеся четыре могут быть как цифрами, так и строчными буквами. Сколько можно придумать различных паролей?

4. Комитет из 20 членов избирает председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?

5. Предстоит выбрать команду четырех игроков в гольф из пяти профессиональных игроков и пяти любителей. Сколько разных команд может состоять из трех профессионалов и одного любителя?

6. Сколько четырехзначных чисел, не превосходящих 6 000, можно составить, используя только нечетные цифры?

7. Имеются семь различимых шаров, и требуется положить три шара в первую коробку, два шара — во вторую и два шара — в третью коробку. Сколькими способами можно это сделать?

8. Предположим, что 12 книг, включающих 4 одинаковых учебника по математике, 6 одинаковых учебников по информатике, 2 одинаковых учебника по химии, следует расставить на полке. Сколькими способами это можно сделать?

9. Пусть задано множество А = {a, b, с, d, е, f, g, h}. Сколько существует а) трехэлементных подмножеств множества А? б) пятиэлементных подмножеств множества А, содержащих b? в) пятиэлементных подмножеств множества А, не содержащих b?

10. Сколько существует способов разделить 10 человек на две команды по 5 человек для игры в баскетбол?

11. Сколькими способами можно расставить в ряд для фотографирования пять мальчиков и шесть девочек, если ни две девочки, ни два мальчика не должны стоять рядом?

12. В зоомагазине продаются 5 черепах, 7 ящериц и 12 мышей. Сколько существует способов выбрать себе 2 черепахи, 3 ящерицы и 5 мышей?

 

ТЕМА №3. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ.

 

Дадим определение последовательности. Если каждому натуральному числу поставлен в соответствие какой-то элемент из некоторого множества A,то говорят, что задана последовательность элементов множества A: Это могут быть последовательности чисел или элементов какого-то другого множества. Например, последовательность биномиальных коэффициентов при фиксированном значении числа n — пример конечной последовательности целых положительных чисел. Если мы знаем, как определяется элемент последовательности при каждом значении , то такое задание последовательности называется явным. Например, значение биномиальных коэффициентов вычисляется по формуле: .


Последовательность может быть описана неявно, рекурсивно – с помощью рекуррентного соотношения.

Последовательность называется рекуррентной порядка k ( ) , если существует формула , с помощью которой каждый последующий элемент последовательности вычисляется через предыдущие элементы . Данная формула называется рекуррентным соотношением порядка k . Заметим, что первые k элементов последовательности должны быть заданы.

Например, последовательность чисел Фибоначчи 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,…задается рекуррентным соотношением 2 порядка, данную числовую последовательность мы обозначили как :

(1)

Последовательность Фибоначчи является частным случаем линейных однородных рекуррентныхсоотношений с постоянными коэффициентами порядка k. В общем случае они имеют вид:

 

, , (2)

где — постоянные коэффициенты,

k начальных условий, (начальные значения последовательности ). (2a)

Существует общий метод решения (т.е. отыскания как функции n) данных рекуррентных соотношений. Мы рассмотрим методику решения линейных однородных рекуррентныхсоотношений с постоянными коэффициентами порядка k на примере задачи Фибоначчи (1).

Решение рекуррентного соотношения будем искать в виде:

.

Подставив это решение в рекуррентное соотношение (1), получим:

.

Разделив обе части этого соотношения на ,имеем:

Или:

.

Это уравнение называется характеристическим для данного рекуррентного соотношения. Решив квадратное уравнение, получим:

.

Общее решение нашего рекуррентного соотношения имеет вид:



 

, (3)

подставив в (3) корни характеристического уравнения, имеем:

 

Решение рекуррентного соотношения kго порядка называется общим, если оно зависит от k произвольных постоянных и путем подбора этихпостоянных можно получить любое частное решение данного соотношения. Используем начальные условия для нахождения коэффициентов :

.

Решая систему, находим:

.

,

Подставив полученные коэффициенты в (3), получим решение рекуррентного соотношения (1)для последовательности чисел Фибоначчи.

,

 

формулу Бине для вычислений чисел Фибоначчи. Это выражение при всех натуральных значениях n принимает целые значения.

Рассмотрев ситуацию, когда характеристическое уравнение имело два различных действительных корня, перейдем к случаю кратных корней. В этом случае общее решение для рекуррентного соотношения 2-го порядка будет иметь вид:

. (4)

Рассмотрим пример, решим рекуррентное соотношение:

Характеристическое уравнение имеет вид:

.

Решая его, получаем кратный корень .

Общее решение имеет вид:

.

Коэффициенты найдем, исходя из начальных условий:

Отсюда получаем , .

Решение имеет вид:

.

Рассмотренные примеры позволяют изложить общий прием решения линейных однородных рекуррентныхсоотношений порядка k с постоянными коэффициентами. Рассмотрим рекуррентноесоотношение (2).

Будем предполагать, что характеристическое уравнение имеет простые корни. Решение соотношения ищем в виде: .

Подставляя это выражение в (2) и разделив обе части на , получим полином k – степени:

.

Это уравнение имеет k корней: . Тогда общее решение соотношения имеет вид:

.

Неизвестные коэффициенты находим, используя начальные условия (2a), которые позволяют составить систему линейных алгебраических уравнений относительно этих коэффициентов.

Последовательность биномиальных коэффициентов (числа сочетаний) можно также задать рекуррентным соотношением.

Приведем рекуррентное соотношение для числа сочетаний:

. (5)

Докажем его следующими рассуждениями. Составим (n,k)-сочетания из элементов некоторого множества Aи разобьем их на два непересекающихся класса. Для этого зафиксируем некоторый элемент . В первый класс войдут сочетания, содержащие элемент , а во второй — сочетания, не содержащие этого элемента.

Рассмотрим первый класс. Т.к. один элемент, , мы уже выбрали, то нам останется выбрать (k-1) элемент из (n-1) элемента.Число этих сочетаний равно . Поэтому в первый класс входит комбинации.

Сочетания второго класса являются k-сочетаниями, составленными из (n-1) элемента . Поэтому их число равно . Поскольку любое
k-сочетание из элементов , принадлежит одному и только одному из этих классов, а общее число этих сочетаний равно , то приходим к равенству:

Полученное рекуррентное соотношение широко используется для вычисления числа сочетаний. На его основе составляется треугольник Паскаля

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1

 

В этом треугольнике строкам соответствуют значения n = 0, n = 1, n = 2 и так далее, а диагоналям – значения k = 0, k = 1, k = 2 и так далее (сверху вниз и слева направо). Каждое число внутри треугольника Паскаля равно сумме двух чисел, расположенных над ним.

Так, чтобы вычислить значение с помощью треугольника Паскаля, необходимо по горизонтали выбрать 7-ю строку и 5-ю диагональ (нумерация начинается с 0). На пересечении имеем число 15, что и является значением искомого сочетания.

Легко видеть, что каждый элемент строки треугольника Паскаля вычисляется из элементов предыдущей строки, согласно найденному рекуррентному соотношению: .

Легко заметить, что (n+1)-ый ряд состоит из коэффициентов разложения . Например, при n = 5 имеем следующие коэффициенты в разложении: 1,5,10,10, 5,1.

При разложении степени коэффициенты при произведениях , , рассчитываются по формуле:

(число перестановок с повторениями)

и носят название полиномиальных или мультиномиальных коэффициентов.

Например, вычислим коэффициент при произведении в разложении

.

Он равен: .

 

Элементы комбинаторики. Размещения — презентация онлайн

1. Элементы комбинаторики

Размещения

2. Задача 1. Сколькими способами 9 человек могут встать в очередь в театральную кассу?

Решение:
P9 = 9! = 9·8·7·6·5·4·3·2·1 = 362 880.
Ответ: 362 880.

3. Задача 2. Сколько шестизначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр: а) 1, 2, 5, 6, 7, 8; б) 0, 2, 5, 6, 7, 8?

Решение:
а) P6 = 6! = 720;
Ответ: а) 720;
б) 1 способ (метод исключения лишних
вариантов):
P6 – P5 = 6! – 5! = 720 -120 = 600;
2 способ (правило произведения): 5·5·4·3·2·1 =
600.
Ответ: б) 600.

4. Задача 3. Решите уравнение: а) n! = 7·(n-1)!; б) (k – 10)! = 77·(k – 11)!

Решение:
n! = 7·(n-1)!
n·(n-1)! = 7·(n-1)!
n=7
Ответ: 7.
Решение:
(k – 10)! = 77·(k – 11)!
(k – 10)·(k – 11)! =
= 77·(k – 11)!
K – 10 = 77
K = 87
Ответ: 87.

5. Задача 4. Сколькими способами можно расставить на полке 7 книг, из которых 3 книги – это книги одного автора, так, чтобы книги

одного автора стояли рядом?
Решение:
Из 7 элементов 3 элемента можно «склеить» P3
= 3! = 6 различными способами.
Число различных перестановок из 5 элементов
(4 элемента + «склейка») равно P5 = 5! = 120.
Общее число способов расставить 7 книг, из
которых 3 должны стоять рядом, равно
6·120 = 720.
Ответ: 720.

6. Задача. Пусть имеется 4 шара (красный, синий, зеленый и желтый) и 4 пустых ячейки. Сколько существует способов размещения шаров

в ячейках?
Решение:
Число размещений 4 шаров в 4 ячейках равно
числу перестановок из 4 элементов
P4 = 4! = 24.
Ответ: 24.

7. Пусть имеется 4 шара (красный, синий, зеленый и желтый) и 3 пустых ячейки. Сколько существует способов размещения шаров в

ячейках?
Каждую упорядоченную тройку, которую
можно составить из четырех элементов,
называют размещением из четырех
элементов по три.

8. Определение.

Размещением из n элементов по k (k ≤ n) называется
любое множество, состоящее из любых k элементов,
взятых в определенном порядке из данных n
элементов.
Размещения отличаются друг от друга как составом,
так и порядком расположения элементов в
комбинации.
Число размещений из n элементов по k
обозначают
k
An

9. Дерево возможных вариантов или граф-дерево.

Число размещений
из 4 шаров по 3
к
с
з
с
ж
к
з
з
ж
к
с
ж
ж
к
с
з
з ж с ж с з з ж к ж к з с ж к ж к с с з к з к с

10. Таблица размещений из четырех элементов по три.

кcз
ксж
кзс
кзж
кжс
кжз
скз
скж
сзк
сзж
сжк
сжз
зкс
зкж
зск
зсж
зжк
зжс
жкс
жкз
жск
жсз
жзк
жзс

11. Правило произведения.

Первый шар можно выбрать четырьмя
способами, так как им может быть любой из
четырех шаров.
Для каждого выбранного первого шара можно
тремя способами выбрать из трех оставшихся
второй шар.
Для каждых первых двух шаров можно двумя
способами выбрать из двух оставшихся третий
шар.
A3 4 3 2 24
4

12. Вывод формулы для вычисления числа размещений из n элементов по k, где k ≤ n.

Первый элемент можно выбрать n способами.
Для каждого выбора первого элемента можно n-1 способами
выбрать второй элемент (из n-1 оставшихся).
Для каждого выбора первых двух элементов можно n-2 способами
выбрать третий элемент (из n-2 оставшихся) и так далее.
Наконец, для каждого выбора первых k-1 элементов можно
n-(k-1) способами выбрать k-й элемент (из n-(k-1) оставшихся).
Ank n(n 1)(n 2)
(n (k 1)).
Число размещений из n элементов по k равно
произведению k последовательных натуральных
чисел, из которых наибольшим является n.

13. Определение.

Произведение k натуральных чисел,
начинающееся с n, в котором каждый
следующий множитель уменьшается на
единицу, называется убывающим
k-факториалом от n и обозначается
(n)k.

14. Учащиеся второго класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4

различных предмета?
Решение:
Любое расписание на один день, составленное из 4 различных
предметов, отличается от другого либо предметами, либо
порядком следования предметов. Значит, речь идет о
размещениях из 8 элементов по 4.
A 8 7 6 5 1680
4
8

15. Задача № 1.

На странице альбома 6 свободных мест для
фотографий. Сколькими способами можно вложить в
свободные места:
а) 2 фотографии;
Ответ: 30.
б) 4 фотографии;
Ответ: 360.
в) 6 фотографий?
Ответ: 720.

16. Размещения из n элементов по n отличаются друг от друга только порядком элементов, т.е. представляют собой перестановки из n

элементов.
A 1 2
n
n
(n 2)( n 1) n n ! Pn .

17. Задача № 2.

Сколькими способами может
разместиться семья из трех человек в
четырехместном купе, если других
пассажиров в купе нет?
Ответ: 24.

18. Задача № 3.

Из 30 участников собрания надо
выбрать председателя и секретаря.
Сколькими способами можно это
сделать?
Ответ: 870.

19. Задача № 4.

Сколькими способами могут занять
первое, второе и третье места 8
участниц финального забега на
дистанции 100 м?
Ответ: 336.

20. Задача № 5.

На станции 7 запасных путей.
Сколькими способами можно
расставить на них 4 поезда?
Ответ: 840.

21. Задача № 6.

Сколькими способами 6 учеников,
сдающих экзамен, могут занять
места в аудитории, в которой стоит
20 одноместных столов?
Ответ: 27 907 200.

22. Задача № 7.

На плоскости отметили 5 точек.
Их надо обозначить латинскими
буквами. Сколькими способами это
можно сделать ( в латинском
алфавите 26 букв)?
Ответ: 7 893 600.

23. Задача № 8.

Сколько четырехзначных чисел, в
которых нет одинаковых цифр,
можно составить из цифр
1, 3, 5, 7, 9.
Ответ: 120.

24. Домашнее задание.

Задача №1. Сколькими способами организаторы
конкурса могут определить, кто из 15 его
участников будет выступать первым, вторым и
третьим?
Задача №2. Сколькими способами можно
изготовить трехцветный флаг с горизонтальными
полосами, если имеется материал 7 различных
цветов?
Составить и решить задачу на размещения из 25
элементов по 4.

Сколько способов можно расположить книги на полке

Сколько способов разместить книги на полке

Посмотрите другие видеоролики о том, сколько способов можно расположить книги на полке. полка. * 2 сколько способов можно расположить книги на полке = 80640 отложите одну из двух конкретных книг в сторону. Затем есть 8 книг, чтобы определить, сколько способов можно расположить книги на полке в любом порядке, и сколько способов можно расположить книги на полке.Существует множество способов размещения книг на полке. 8 вариантов для первой книги, 7 для следующей, 6 для следующей и т. Д. = 8 xx 7 xx 6 xx. Хх 1 = 40320 способов расставить 8 книг. Затем вы можете разместить зарезервированную книгу, сколькими способами можно расположить книги на полке по обе стороны от сопутствующей книги. Итак, для каждого из возможных 40320 способов. Количество способов, которыми 15 книг могут быть размещены на полке, равно количеству перестановок 15 вещей, взятых по 15 за раз.

Это 15 факториал, или 15! , и составляет 1 307, 674, 368, 000. 1) сколькими способами могут быть 2 мужчины, сколькими способами можно расположить книги на полке, сколько способами можно расположить книги на полке и 3 женщины могут сидеть, сколько способов могут книги можно расположить на полке, сколькими способами можно расположить книги на полке в линию, если мужчины должны сидеть, сколькими способами можно расположить книги на полке концами? 2) сколькими способами можно расположить 3 синие книги и 4 красные книги на полке, если на каждом из концов должна быть красная книга, предполагая, что каждая книга выглядит по-разному, сколькими способами можно расположить книги на полке, кроме цвета? Покажите пошаговые решения.Сколько способов может составлять 2 доллара разных книг по истории, 5 долларов — сколько способов разложить книги на полке, разные книги по математике и 4 доллара — разные романы — сколькими способами можно расположить книги на полке, расположенной на полке если книги каждого типа должны быть вместе? = 34560 $ существует 34560 $ способов размещения книг. Сколько способов можно 3 по математике, сколько способов можно расположить книги на полке, 2 книги по естествознанию и книгу на английском языке, если? ) нет ограничения b. ) первая книга — это научная книга, а последняя — математика?

Сколько способов можно расположить 4 книги на полке, если можно, сколько способов расположения книг на полке можно выбрать из 12, сколько способов можно расположить книги на полке книги? Эта проблема решена! А) сколькими способами можно расположить книги на полке? = б) если сколькими способами можно расположить книги на полке, книги одного цвета должны быть сгруппированы вместе, сколько вариантов расположения возможно? = c) сколькими различимыми способами могут быть книги, сколькими способами можно расположить книги на полке, если книги одного цвета имеют отступы, но их не нужно группировать вместе? Три книги по математике, пять книг на английском языке, четыре книги по естествознанию и словарь должны быть размещены на полке для учащихся так, чтобы книги по каждому предмету оставались вместе.а) сколькими способами можно расположить книги? (б) в скольких из них словарь будет рядом с книгами по математике? Пошаговое объяснение: сколькими способами можно расположить книги на полке? Всего у нас есть 5 книг, которые необходимо разместить на полке.

Мы знаем, что «n разных вещей можно расположить в n! Так как здесь количество книг — это количество способов, которыми книги можно расположить на полке 5. Таким образом, мы можем сделать вывод, что 5 неуверенных книг можно расположить в 5! Пусть мы найдем значение 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = сколько способов можно расположить книги на полке 120.Сколько способов можно расположить книги на полке, сколько способов можно расположить книги на полке, сколько способов можно расположить книги по кругу, сколько способов можно расположить книги на полке = (n — 1)! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 1 2 0 сколько способов можно разложить книги на полке, следовательно, правильный ответ — 1 2 0. Сколько книг поместится на сколько способов можно разместить книги на полке? полка 35, сколькими способами можно расположить книги на полке по длине? Учитель математики использует четыре книги по алгебре, две книги по геометрии и три книги по предварительному исчислению для справки.Каким образом учитель может расположить книги на полке, если книги, сколькими способами можно расположить книги на полке с одинаковыми предметами, хранящимися вместе?

Вопрос: из коллекции из 10 книг выбраны 6 и разложены на полке. Какими способами, сколькими способами можно расположить книги на полке, можно выбрать и расставить 6 книг? Вопрос 1163208: есть 3 учебника по математике и 3 учебника по истории, которые должны быть расположены в зависимости от того, сколькими способами можно расположить книги на полке.Сколько разных способов можно расположить книги на полке, если должны быть две книги по истории, сколько способов можно расположить книги на полке вместе и две книги по математике также нужно хранить вместе? За двумя учебниками по математике должны следовать сразу два учебника по истории, и наоборот. Книги могут быть вместе в 2 п 2 = 2!

Рассмотрим эти две книги, которые хранятся вместе, как одну составную книгу и с остальными (n — 2) книгами из (n — сколько способов можно расположить книги на полке 1) книг, которые должны быть расположены на полке. полка, то количество способов = n — 1 pn — 1 сколько способов можно расположить книги на полке = (n — 1)! Насколько разными способами можно расположить 3 художественные книги и 3 научно-популярные книги в ряд по 6 книг на полке, сколькими способами можно расположить книги на полке так, чтобы художественные книги не были разделены, а документальная литература книги не разделяются? = 362880 способов предположить, что все книги отличаются друг от друга.Есть: 9 способов поставить первую книгу. 8 способов поставить вторую книгу после того, как положили первую. 7 способов поставить третью книгу после того, как положили вторую. 1 способ поставить девятую книгу после того, как поставил восьмую. Умножьте все разное количество способов на то, сколько способов можно расположить книги на полке, и получите девять факториалов. Келли нужно разложить на полке разные книги: 3 синих, 4 зеленых и 2 красных. Ответьте на части от a до e ниже.

(а) сколькими способами могут быть книги, сколькими способами можно расположить книги на полке, расположенной на полке? Пути (введите целое число.) (б) если книги одного цвета должны быть сгруппированы вместе, сколько их расположений возможно? На полке 2 книги по геологии, 2 книги по социологии и 5 по экономике — сколько способов можно расположить книги на полке, сколько способов можно расположить книги на полке таким образом, чтобы книги любого подлежат быть вместе. Найдите, сколькими способами можно разложить книги на полке, разными способами это можно сделать? Остальные 42 коробки на полке имеют расширение. Какими способами могут быть шесть разных книг, сколькими способами можно расположить книги на полке, расположенной на полке, если одна из книг является словарем и должна стоять на конце? Одна полка в книжном магазине от корки до корки содержит копии нескольких книг из списка бестселлеров.n {c_ r} {/ eq} здесь {eq} n = 10 {/ eq} — общее количество книг. Общее количество способов расставить 10 книг на полке = 10 р 10 $ = 10! ~ ~ \ cdots $ (a) теперь мы узнаем общее количество способов, которыми 10 книг можно расположить на полке так, чтобы определенная пара книг всегда была вместе. Всего у нас 10 книг. А) сколькими способами можно расположить десять книг на полке? (б) сколькими способами можно расположить десять книг на полке, если книги одной и той же тематики — это книги, сколькими способами можно расположить книги на полке вместе? (а) это та же проблема расположения книг, которую мы обсуждали ранее, с 10 книгами, которые нужно расположить всего.

Общее количество аранжировок составляет p (10, 10. Задано • 19.09.15, сколькими способами можно расположить 3 книги по математике, 5 книг по химии и 7 книг по физике, сколько способов можно расположить книги на полке? полка, если книги по каждому предмету должны храниться вместе. Сначала мы берем книги по определенному предмету как одну единицу. Таким образом, есть 4 единицы, которые можно расположить по 4! Теперь в каждом из расположений книги по математике могут быть расположены в 3! Пути, книги по истории в 4! Способы, книги по химии в 3! Книги по химии в 2!

Чтобы задать неограниченные математические сомнения, скачайте сомнительный орех с — gl / 9wzjcw Сколько способов можно расположить на полке 7 разных книг «Во многих отношениях три отдельные книги всегда вместе?» В Wing есть разные книги, которые можно расположить на полке: 4 сколькими способами можно расположить книги на полке: синий, 3 зеленых и 2 красных.Какими способами можно расположить книги на полке, сколькими способами можно расположить книги на полке? Если нужно сгруппировать книги одного цвета, сколько их расположений возможно? = 8 x 7 x 6 x сколько способов разместить книги на полке 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40, 320 способов разместить 8 книг на полке. Нас просят найти количество способов, которыми можно разместить 8 книг на полке. Первый мог быть устроен 8 способами. Поскольку одно место заполнено, сколько способов можно расположить книги на полке, чтобы вторую книгу можно было расположить 7 способами.

Точно так же 3-ю книгу можно расположить 6 способами, так как первые два места уже заняты. Этот процесс, как можно разложить книги на полке, будет продолжаться. Итак, сколькими способами можно расположить книги на полке. 8 книг можно расположить на полке. Б) сколькими способами можно расположить десять книг на полке, если размещены книги по одной и той же тематике, сколько способов можно расположить книги на полке вместе? 3) учащийся, планирующий свою учебную программу относительно того, сколько способов можно расположить книги на полке в следующем году, должен выбрать один из трех бизнес-курсов, один из трех, сколько способов размещения книг на полке, курсы математики, два из двенадцати факультативов.Существует 5 способов размещения книг на полке, поэтому 5 мест — это количество необходимых способов размещения книг на полке. Первую книгу можно поместить в любое из 5 мест. Это займет 1 место, сколько способов можно расположить книги на полке, в результате чего останется 4 незанятых места. Пять разных книг по математике, 4 разных книги по электронике и 2 разных книги по коммуникациям должны быть помещены на полку вместе с книгами по одному и тому же предмету. Найдите количество способов, которыми можно расположить книги на полке, на которой книги можно разместить.Ответ на задачу: сколько способов разместить книги на полке? 34560 способов размещения книг на полке.

Итак, чтобы расположить 5 разных книг, сколько способов можно расположить книги на полке на полке, у нас есть способы 5p5. Таким образом, мы можем расположить на полке 5 разных книг 120 различными способами. Назовем книги 1, 2, 3, 4 и 5. Положите книгу 1 на полку, это можно сделать только одним способом. Есть пять разных книг по информатике, три разных книги по математике и две разные книги по искусству.Какими способами можно расположить эти книги на полке, если никакие две из трех книг по математике не находятся вместе? Я получаю 3507840 долларов за то, сколько способов можно расположить книги на полке, делая 10! 9 книг можно расположить в 9! 4 книги как 1 можно расположить в 4! Всего способов = 9! (b) 2 отдельные книги должны занимать первую и последнюю позицию.

2 книги можно складывать в 2! Остальные 10 книг можно разложить на 10! Всего способов = 10! Из шести книг по истории и восьми книг по экономике, сколькими способами человек может выбрать две книги по истории и три книги по экономике и расположить их на полке? Учебник по математике, сколько способов можно расположить книги на полке, может быть с любого конца, оставшиеся 6 можно переставить в 6! Сколько способов можно расположить книги на полке с помощью конкретной формулы перестановок, когда некоторые объекты идентичны.(разделите на завивку каждой группы одинаковых объектов), итак 7! В библиотеке колледжа, сколькими способами можно расположить книги на полке, выставка публикаций факультетов, две книги по математике, три книги по общественным наукам и четыре книги по биологии будут выставлены на полке.

(предположим, что ни одна из книг не похожа.) Сколько способов можно расположить книги на полке (а) Какими способами можно расположить девять книг на полке? (б) сколькими способами можно расположить книги на полке? Какими способами можно расположить девять книг на полке, если книги по одной и той же теме размещены вместе? В следующей таблице показано количество книг и количество способов их размещения на полке: способы размещения книг.Сколько способов расставить 5 книг на полке важно? На полке можно выстроить 5 книг в (5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 120 различных последовательностях. На полке пять книг.

(предположим, что все книги разные. (B) сколько способов можно расположить девять книг на полке, если книги.

Kidd electronics t4 user manual
Управление данными с помощью python pandas book
Best of Hardy Boys classic collection book
Blue team field manual version 2
Samsung ativ book 2 tipo memoria
Siri не слышит меня или не отвечает mac book pro
Cerca eletrica gcp 10000 cr flex manual
Microsoft Surface Book 2 adobe
Скачать руководство da meriva 2005 joy 1 8
Aqua Lung i300 инструкция по эксплуатации
Подробнее

College Algebra
Урок 56: P ermutation


Цели обучения


По завершении этого руководства вы сможете:

  1. Используйте перестановки для решения задачи подсчета
    с участием порядка.

Введение


В этом уроке мы рассмотрим
перестановки. Перестановки
являются ответвлением фундаментального принципа подсчета. Если вам нужен
рассмотрение
по основному принципу подсчета см. Учебное пособие
55: Фундаментальный принцип подсчета.
Перестановки
конкретно
подсчитайте количество способов, которыми можно расположить или упорядочить задачу.Я думаю ты
готовы отправиться в чудесный мир перестановок, получайте удовольствие!

Учебник


Факториал — восклицательный знак:!

Итак, если бы я хотел написать 7 факториалов, это было бы написано
как 7 !.

В общем н! = п (п — 1) (п —
2) (п — 3) … (1)

Большинство (если не все) из вас будут иметь факториальный ключ
на вашем калькуляторе.
Выглядит это так:!

Если у вас есть графический калькулятор, он будет скрыт
под МАТЕМАТИЕЙ
экран меню, а затем выберите свой экран вероятности — там вы должны
найти !

В некоторых калькуляторах его нет, поэтому я покажу вам, как
чтобы упростить
проблемы, если у вас нет этого ключа на вашем калькуляторе.

0! Имеет особый
определение прилагается
с этим. 0! = 1

Пример
1
: Найдите 7!

Если у вас есть! клавишу на вашем калькуляторе вы просто нажимаете
7, а затем
! и в некоторых случаях вам, возможно, придется также нажать клавишу ввода или =.

Если у вас нет этого ключа, вам нужно будет ввести
определение в
следующим образом:

7! = (7) (6) (5) (4) (3) (2) (1) = 5040

В любом случае 7! = 5040.

Нам нужно было знать о факториале, потому что он используется
формула для
перестановка, это наша следующая тема.

Перестановка

АН ПРИКАЗ договоренностей
р объектов,
без повторения, выбрано из n различных
объектов называется перестановкой n объектов
принято р за р, и обозначается как

Другими словами, когда нужно подсчитать количество
способы, которыми вы можете
расположите элементы там, где важен ПОРЯДОК, тогда вы можете использовать перестановку, чтобы
считать.

Например, вы можете узнать, сколько способов выбрать
1-й, 2-й,
и обладатель 3-го места из 10 участников. Поскольку вы устраиваете
их по порядку, вы можете использовать для этого перестановку. Или если ты
хотели знать, сколькими способами ваш комитет может выбрать
президент
вице-президент, секретарь и казначей, вы могли бы использовать
перестановки.

Пример
2
: Сколько способов можно расположить 8 компакт-дисков на
полка?

Поскольку мы собираем эти компакт-диски, это означает заказ
это важно.
Таким образом, мы можем использовать перестановки, чтобы помочь нам здесь.

Сначала нам нужно найти n и r :

n — количество
CD мы должны выбрать
из.Как вы думаете, n это
в
Эта проблема?

Если вы сказали, что n — это
8
Вы правы !!!
В этой задаче 8 компакт-дисков.

r — это количество
Компакт-диски, которые мы используем в
время.Как вы думаете, r ?

Если вы сказали, что r — это
8
, погладь себя
сзади!! Раскладываем все 8 компакт-дисков на полке.

Подставляя это в формулу перестановки, получаем:

* n = 8, r = 8

* 0! = 1

* Развернуть 8!

Если у вас есть факториальный ключ, вы можете ввести его как 8!
деленное на
0! а затем нажмите ввод или =.

Если у вас нет факториального ключа, вы можете его упростить
как показано выше
а затем введите его. Возможно, лучше сначала упростить его,
так как
в некоторых случаях числа могут стать довольно большими, и это будет
громоздкий
умножить все эти числа одно на одно.

Вау, это означает, что существует 40320 различных способов
устроить те 8
Компакт-диски, это много.

Пример
3
: Если в софтбольной лиге 10 команд, сколько
разные
возможно окончание рейтинга сезона? (Предположим, что нет галстуков).

Поскольку мы ранжируем эти команды, это означает, что порядок
важный.
Таким образом, мы можем использовать перестановки, чтобы помочь нам здесь.

Сначала нам нужно найти n и r :

n — количество
команды, которые мы должны выбрать
из. Как вы думаете, n это
в
Эта проблема?

Если вы сказали, что n — это
10
Вы правы !!!
В этой задаче участвуют 10 команд.

r — это количество
команды, которые мы оцениваем
вовремя. Как вы думаете, r ?

Если вы сказали, что r — это
10
, погладь себя
сзади!! Мы оцениваем все 10 команд.

Подставляя это в формулу перестановки, получаем:

* n = 10, r = 10

* 0! = 1

* Развернуть 10!

Если у вас есть факториальный ключ, вы можете ввести его как
10! деленное на
0! а затем нажмите ввод или =.

Если у вас нет факториального ключа, вы можете его упростить
как показано выше
а затем введите его. Возможно, лучше сначала упростить его,
так как
в некоторых случаях числа могут стать довольно большими, и это будет
громоздкий
умножить все эти числа одно на одно.

Вау, это означает, что существует 3 628 800 различных способов
ранжируйте те
10 команд, это много.

Пример
4
: Каким образом женское общество из 20 членов может
Выбрать
президент, вице-президент и казначейство, предполагая, что одно и то же лицо
не может занимать более одного офиса.

Поскольку мы выбираем офисы, это способ
ранговые члены, которые
значит порядок важен.Таким образом, мы можем использовать перестановки, чтобы помочь нам
вне
здесь.

Сначала нам нужно найти n и r :

n — количество
членов мы должны выбрать
из. Как вы думаете, n это
в
Эта проблема?

Если вы сказали, что n — это
20
Вы правы !!!
В этой задаче 20 участников.

r — это количество
членов мы выбираем
для офисов единовременно. Как вы думаете, r ?

Если вы сказали, что r — это
3
, погладь себя
сзади!! Есть 3 офиса.

Подставляя это в формулу перестановки, получаем:

* n = 20, r = 3

* Развернуть 20! пока не дойдет до
17! ( который
! в ден)

* Отменить 17!

Если у вас есть факториальный ключ, вы можете ввести его как
20! деленное на
17! а затем нажмите ввод или =.

Если у вас нет факториального ключа, вы можете его упростить
как показано выше
а затем введите его. Возможно, лучше сначала упростить его,
так как
в некоторых случаях числа могут стать довольно большими, и это будет
громоздкий
умножить все эти числа одно на одно.

Вау, это означает, что существует 6840 различных способов
выберите три
офицеры, это много.

Пример
5
: Сколько различных аранжировок можно сделать, используя
два
букв слова ТЕХАС, если ни одна буква не должна использоваться более чем
однажды?

Поскольку мы располагаем буквы, это означает, что порядок
важный.
Таким образом, мы можем использовать перестановки, чтобы помочь нам здесь.

Сначала нам нужно найти n и r :

n — количество
буквы мы должны выбрать
из. Как вы думаете, n это
в
Эта проблема?

Если вы сказали, что n — это
5
Вы правы !!!
В TEXAS 5 букв.

r — это количество
буквы, которые мы используем
вовремя. Как вы думаете, r ?

Если вы сказали, что r — это
2
, погладь себя
сзади!! Мы используем 2 буквы за раз.

Подставляя это в формулу перестановки, получаем:

* n = 5, r = 2

* Развернуть 5! пока не дойдет до 3!
( какой
! в ден)

* Отменить 3!

Если у вас есть факториальный ключ, вы можете ввести его как 5!
деленное на
3! а затем нажмите ввод или =.

Если у вас нет факториального ключа, вы можете его упростить
как показано выше
а затем введите его. Возможно, лучше сначала упростить его,
так как
в некоторых случаях числа могут стать довольно большими, и это будет
громоздкий
умножить все эти числа одно на одно.

Это означает, что существует 20 различных двухбуквенных
договоренности.

Практические задачи


Это практические задачи, которые помогут вам перейти на следующий уровень.
Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы эти
типы проблем. Math работает как и все
в противном случае, если вы хотите добиться успеха в этом, вам нужно практиковать это.
Даже лучшие спортсмены и музыканты получали помощь и много
практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы стать лучше в своем виде спорта или инструменте.

На самом деле не бывает слишком много практики.

Чтобы получить максимальную отдачу от них, вам следует решить проблему на
свой, а затем проверьте свой ответ, щелкнув ссылку для ответа / обсуждения
для этой проблемы
. По ссылке вы найдете ответ
а также любые шаги, которые позволили найти этот ответ.

Практические задачи 1a — 1c: Решите, используя перестановки.

1а. Компания выдает анкету, в которой каждый
сотрудник должен ранжировать
5 пунктов, которыми он или она больше всего доволен. Предметы
заработная плата, рабочая среда, время отпуска, гарантия занятости, руководители,
здоровье
страхование, перерыв и пенсионный план.

Место в рейтинге указывается цифрами 1, 2, 3, 4.
и 5, где
1 указывает на предмет, вызывающий наибольшее удовлетворение, а 5 — на
наименее.
Какими способами сотрудник может ответить на этот вопросник?
(ответ / обсуждение
к 1а)

1б. Замок клавиатуры имеет 10 разных цифр, а
последовательность из 5 разных
цифры должны быть выбраны, чтобы замок открылся. Сколько клавиатуры
комбинации
возможны?
(ответ / обсуждение
к 1b)

Нужна дополнительная помощь по этим темам?




Последний раз редактировал Ким Сьюард 20 мая 2011 г.
Авторские права на все содержание (C) 2002 — 2011, WTAMU и Kim Seward. Все права защищены.

Сколько способов можно разложить на полке 7 книг о Гарри Поттере?

Ответ:

Существует 5040 способов расставить 7 книг о Гарри Поттере на полке.

Пошаговое объяснение:

Перестановка

Способы размещения объектов называются перестановкой .Это изменение порядка элементов упорядоченного списка. Он также называется порядковым номером или порядком, потому что в перестановке порядок имеет значение.

Нахождение количества способов в размещении 7 книг о Гарри Поттере на полке является примером перестановки .

Чтобы найти перестановку расположения 7 книг о Гарри Поттере, мы должны каждый раз уменьшать количество доступных вариантов на . Помните, что если вы делаете выбор из n объектов, при первом выборе у вас есть n вариантов.При втором выборе у вас есть n-1 вариантов, n-2 для вашего третьего выбора и так далее.

Давайте проиллюстрируем это, чтобы помочь нам визуализировать проблему. Давайте использовать ◆ для обозначения книги о Гарри Поттере.

Число перестановок — 7.

n = ◆◆◆◆◆◆◆

n — 1 = ◆◆◆◆ ◆◆

n — 2 = ◆◆◆◆ ◆

n — 3 = ◆ ◆ ◆ ◆

n — 4 = ◆◆ ◆

n — 5 = ◆ ◆

n — 6 = ◆

На иллюстрации показано, что , когда вы выбираете книгу, для следующего выбора количество книг будет уменьшенный.

А как же математически написать эту иллюстрацию? Мы представляем перестановку с помощью факториальной функции .

Символ для функции факториала :! , то есть нам нужно на умножить серию убывающих натуральных чисел .

Мы представляем количество перестановок в 7 книгах о Гарри Поттере как 7 !, читается как 7 факториал.

Решение:

7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040

Существует 5040 способов расположения 7 книг о Гарри Поттере o n t h e s h e l f .

Примеры перестановок можно найти по ссылкам.

brainly.ph/question/1123310

brainly.ph/question/2025191

brainly.ph/question/1451742

Два типа перестановки

Существует два типа перестановки: с повторением и без повторения .

Перестановки с повторением

Их проще всего вычислить. Здесь n — количество вещей на выбор, и мы выбираем r из них, повторение разрешено, и порядок имеет значение.

Формула: .

Например:

Из 7 книг о Гарри Поттере мы выберем 3 из них.

n равно 7 (количество элементов на выбор)

r равно 3 (количество элементов, которые мы выбрали)

Решение :

nʳ = 7³ = 7 × 7 × 7 = 343

Перестановка выбора 3 книг о Гарри Поттере равна 343.

Перестановки без повторения

Это , каждый раз уменьшая количество доступных вариантов.

Перестановка расположения 7 книг о Гарри Поттере является примером этого типа.

Другой пример для этого типа:

Сколько способов вы можете расположить буквы в этом слове? G U I T A R

У гитары шесть букв, так что у нас их шесть! (6 факториалов).

6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720

Мы можем расположить буквы в слове GUITAR 720 способами.

Вызов!

Что насчет этого слова?

К О Л Е Р

Сколько способов вы можете расположить буквы в этом слове?

В слове шесть букв, но две одинаковые буквы (O, O).

Чтобы расположить 6 букв, у нас есть 6 !.

Чтобы расположить 2 буквы О, у нас есть 2!

Чтобы найти перестановку, мы должны разделить эту двойную «О».

6! 6 × 5 × 4 × 3 × 2!

2! 2!

= 6 × 5 × 4 × 3 = 360

Мы можем расположить буквы в слове COOLER 360 способами.

#LetsStudy

#MAtoread #Permutationstoread ПРИМЕР … — Я, я и я

#MAtoread #Permutationstoread

ПРИМЕР 1
Сколько разных способов разместить 6 разных книг на полке?

Решение:
Поскольку на полке нужно разложить шесть книг, задача состоит из шести этапов. Вы должны решить, какой будет первая книга, вторая, третья и так далее.
Есть 6 вариантов для первой книги, 5 вариантов для второй книги, 4 варианта для третьей книги и так далее.
Шесть книг можно расположить 720 различными способами.

ПРИМЕР 2
У Alexa есть 3 разных учебника по математике и 4 разных учебника по географии. Определите количество способов размещения всех 7 книг на полке, если
нет ограничений
книги по математике находятся слева, а книги по географии справа
книги по одному предмету должны храниться вместе

Решение :
У этой проблемы два этапа. Вы должны сначала расположить учебники по математике, а затем расположить книги по географии справа.
Количество способов расставить учебники по математике — 3 !.
Количество способов расстановки учебников по географии — 4 !.
Использование фундаментального принципа счета,
Существует 144 способа расположить учебники по математике, а за ними — учебники по географии.

Эта задача такая же, как и предыдущая, за исключением того, что либо книги по математике, либо книги по географии могут быть слева.
Следовательно, вы должны умножить ответ на вопрос b. на 2 !.
Существует 288 способов расположить семь книг так, чтобы предметы оставались вместе.

ПРИМЕР 3
Отцу, маме, 2 мальчикам и 3 девочкам предлагается выстроиться в очередь, чтобы сфотографироваться. Определите количество способов, которыми они могут выстроиться, если
нет ограничений
родители стоят вместе
родители не стоят вместе
все женщины стоят вместе

Решение:
Если родители стоят вместе, их можно рассматривать как единое целое , уменьшая значение n с 7 до 6.
Если n = 6, то есть 6! договоренности.
Однако в каждом из этих случаев родители могут поменяться местами и по-прежнему стоять бок о бок.
Есть 1440 способов, которыми семья может выстроиться в очередь, чтобы сфотографироваться, если родители встают вместе.
Подойдите к этому вопросу косвенно.

Вспомните ответ на вопрос а. что было возможно 5040 аранжировок без каких-либо ограничений.
Из ответа на вопрос b., Было 1440 договоренностей, если родители стояли вместе.
Таким образом, если родители не стоят вместе, количество договоренностей равно

. Этот вопрос аналогичен вопросу b. Рассматривайте женщин как единое целое.Помимо женщин, есть еще 3 человека. Следовательно, n = 4. Когда n = 4, их 4! возможные договоренности. Но, даже если 4 женщины стоят вместе, их можно расположить между собой в 4! способами.
Есть 576 различных способов, которыми семья может выстроиться в очередь, если женщины будут вместе.

ПРИМЕР 4
Сколько возможных буквенных комбинаций можно сформировать, используя все буквы ПАР, если согласные и гласные должны чередоваться?

Решение:
Есть четыре согласных: C, P, L и S.Есть три гласных: O, U и E. Если согласные c и гласные v должны чередоваться, каждое расположение имеет форму cvcvcvc.

Сначала расположите согласные.
4 v 3 v 2 v 1
Затем расположите гласные.
4 3 3 2 2 1 1
Можно сформировать 144 возможных расположения букв.

ПРИМЕР 5
Сколько разных способов разместить 4 книги по математике и 5 других книг на полке, если книги по математике хранятся вместе?
Если учебники по математике хранятся вместе, относитесь к ним как к одной книге.

Решение:
Нужно разложить группу книг по математике и еще пять книг. Эти шесть элементов можно скомпоновать по 6! способами.
Затем разложите четыре учебника по математике между собой. Их можно расположить в 4! способами.
Используя фундаментальный принцип подсчета, общее количество возможных комбинаций составляет
6! х 4! = 720 x 24 = 17280

ПРИМЕР 6
У Аарона есть 3 учебника по математике, 4 учебника по естествознанию и 5 учебников по истории. Сколько разных способов разместить эти книги на полке, если книги одной и той же тематики нужно хранить вместе?

Решение:
Предположим, что три книги по математике были первыми, четыре книги по естествознанию — вторыми, а пять книг по истории — последними.Было бы 3! 4! 5! возможны договоренности.
А вот три предмета можно расположить в 3! способами. Таким образом, количество возможных аранжировок составляет 3! 4! 5! × 3! = 103 680.

ПРИМЕР 7:
Если комитет состоит из восьми членов.
а. Какими способами можно расположить членов комитета в ряд?
г. Сколько способов может выбрать комитет президента, вице-президента и секретаря.

Решение:
а. Есть 40 320 способов расставить членов комиссии.
г. Клуб может выбрать президента, вице-президента и казначея 336 способами.

ПРИМЕР 8

Определите количество различимых расположений для каждого из следующих слов.
SASKATOON
MISSISSIPPI

Решение:
В слове SASKATOON есть две S, две As и две Os. Всего букв девять.

9! / (2! 2! 2!) = 45 360

В слове MISSISSIPPI четыре Is, четыре S и две P. Всего букв 11.

11! / (4! 4! 2!) = 34 650

ПРИМЕР 9
Марион должна пройти пять кварталов на восток и три на север.Сколько маршрутов она может выбрать?

Решение:
Марион должна пройти пять кварталов на восток и три квартала на север. Количество путей такое же, как количество способов расположения пяти Es и 3 Ns.

Всего восемь букв.

8! / (5! 3!) = 56

Марион может выбрать 56 различных маршрутов.

5.3. Перестановки — математика для специалистов в области общественного и профессионального здравоохранения

В предыдущем примере нас попросили найти последовательности слов, образованные с помощью букв { A , B , C }, если ни одна буква не должна повторяться.Древовидная диаграмма дала нам следующие шесть расположений:

ABC , ACB , BAC , BCA , CAB и CBA

Подобные расположения, в которых важен порядок и ни один элемент не повторяется, называются перестановками.

Перестановки : Перестановка набора элементов — это упорядоченное расположение, в котором каждый элемент используется один раз.

Сколько трехбуквенных последовательностей слов можно составить с помощью букв { A , B , C , D }?

Решение

Есть четыре варианта для первой буквы нашего слова, три варианта для второй буквы и два варианта для третьей.

Применяя аксиому умножения, получаем 4 · 3 · 2 = 24 различных расположения.

Сколько перестановок букв в слове СТАТЬЯ имеют согласные в первой и последней позиции?

Решение

В слове СТАТЬЯ 4 согласных. Поскольку первая буква должна быть согласной, у нас есть четыре варианта выбора для первой позиции, и как только мы используем согласную, для последней позиции остается только три согласных.Показываем так:

Поскольку ограничений больше нет, мы можем сделать выбор для остальных позиций. Пока у нас израсходованы 2 буквы, следовательно, осталось пять. Итак, для следующей позиции есть пять вариантов, для позиции после этой есть четыре варианта и так далее. Получаем:

Таким образом, общее количество перестановок равно 4 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 · 3 = 1440.

Дано пять букв { A , B , C , D , E }.Найдите следующее:

а. Количество последовательностей слов из четырех букв.

г. Количество трехбуквенных последовательностей слов.

г. Количество последовательностей двухбуквенных слов.

Решение

Задача легко решается с помощью аксиомы умножения, и ответы следующие:

а. Количество последовательностей четырехбуквенных слов составляет 5 · 4 · 3 · 2 = 120.

г. Количество трехбуквенных последовательностей слов 5 · 4 · 3 = 60.

г. Количество последовательностей двухбуквенных слов 5 · 4 = 20.

Мы часто сталкиваемся с ситуациями, когда у нас есть набор из n объектов и мы выбираем r объектов для формирования перестановок. Мы называем это перестановками n объектов, взятых r за один раз , и записываем это как n Pr .

Следовательно, на этот пример также можно ответить, как указано ниже:

а. Количество последовательностей четырехбуквенных слов составляет 5 P 4 = 120.

г. Количество трехбуквенных последовательностей слов — 5 P 3 = 60.

г. Количество двухбуквенных последовательностей слов — 5 P 2 = 20.

Прежде чем мы дадим формулу для n P r , мы хотели бы ввести символ, который мы будем часто использовать в этой, а также в следующей главе.

Факториал : n ! = n ( n — 1) ( n — 2) ( n — 3) ··· 3 · 2 · 1.

Где n — натуральное число.

0! = 1

Теперь определим n P r .

Число перестановок n взятых объектов r за один раз :

n P r = n ( n — 1) ( n — 2) ( n — 3) ··· ( n r +1) или

n P r =

Где n и r — натуральные числа.

Читатель должен ознакомиться с обеими формулами и чувствовать себя комфортно при применении любой из них.

Вычислите следующее, используя обе формулы.

а. 6П3

г. 7П2

Решение

Мы определим n и r в каждом случае и решим, используя предоставленные формулы.

а. 6 P 3 = 6 · 5 · 4 = 120, попеременно 6 P 3 = = = = 120
б.7 P 2 = 7 · 6 = 42, или 7 P 2 = = = 42

Далее мы рассмотрим еще несколько проблем с перестановкой, чтобы лучше понять эти концепции.

Сколько разных способов можно сесть по прямой линии из 4 человек, если двое из них настаивают на том, чтобы сесть рядом друг с другом?

Решение

Предположим, у нас есть четыре человека A , B , C и D . Далее предположим, что A и B хотят сесть вместе.Для аргументации мы связываем A и B вместе и рассматриваем их как одного человека. Четыре человека — CD . Поскольку с ним обращаются как с одним человеком, у нас есть следующие возможные варианты:

Обратите внимание, что существует еще шесть таких перестановок, потому что A и B также могут быть связаны в порядке BA . А их таких:

Итак, всего существует 12 различных перестановок.

Давайте теперь решим задачу, используя аксиому умножения.

После того, как мы свяжем двух людей вместе и будем относиться к ним как к одному человеку, мы можем сказать, что у нас всего три человека. Аксиома умножения говорит нам, что трех человек можно усадить в трех! способами. Так как двух людей можно связать вместе 2! способов, их 3! 2! = 12 различных аранжировок.

У вас есть 4 книги по математике и 5 книг по истории, которые вы можете поставить на полку с 5 ячейками. Какими способами можно разложить книги, если первые три слота заполнены учебниками по математике, а следующие два слота — учебниками по истории?

Решение

Сначала мы решаем задачу, используя аксиому умножения.

Поскольку учебники по математике занимают первые три слота, есть 4 варианта для первого слота, 3 для второго и 2 для третьего. Четвертый слот требует учебника истории и имеет пять вариантов. После того, как этот выбор сделан, остается 4 книги по истории и, следовательно, 4 варианта для последнего слота. Варианты выбора показаны ниже:

Следовательно, количество перестановок равно 4 · 3 · 2 · 5 · 4 = 480. С другой стороны, мы можем видеть, что 4 · 3 · 2 действительно то же самое, что 4 P 3, а 5 · 4 — 5 P 2.Таким образом, ответ можно записать как (4 P 3) (5 P 2) = 480.

Очевидно, в этом есть смысл. На каждую перестановку трех книг по математике, помещенных в первые три слота, приходится 5 P 2 перестановок книг по истории, которые могут быть помещены в последние два слота. Следовательно, применима аксиома умножения, и у нас есть ответ (4 P 3) (5 P 2). Подведем итоги.

  1. Перестановки : Перестановка набора элементов — это упорядоченное расположение, в котором каждый элемент используется один раз.
  2. Факториал : n ! = n ( n — 1) ( n — 2) ( n — 3) ··· 3 · 2 · 1. Где n — натуральное число. 0! = 1
  3. Перестановки n взятых объектов r за один раз : n P r = n ( n — 1) ( n — 2) ( n — 3) · ·· ( n r + 1), или n P r =.Где n и r — натуральные числа.

В этом разделе мы рассмотрим следующие две проблемы.

  1. Сколько разных способов можно посадить пять человек в круг?
  2. Какими способами можно расположить буквы слова MISSISSIPPI?

Первая задача относится к категории круговых перестановок , а вторая — к категории перестановок с подобными элементами .

Круговые перестановки

Предположим, у нас есть три человека с именами A , B и C . Мы уже определили, что их можно расположить по прямой в 3 раза! или 6 способов. Наша следующая задача — увидеть, как эти люди могут сесть в круг. Рисуем схему:

Бывает, что есть только два способа усадить трех человек в круг. Такая перестановка называется круговой перестановкой.В таких случаях, независимо от того, где сидит первый человек, перестановка не затрагивается. Каждый человек может переставить столько мест, сколько пожелает, и перестановка не изменится. Представьте себе людей на карусели; вращение перестановки не порождает новую перестановку. Таким образом, в круговой перестановке первый человек считается заполнителем, и где он сидит, не имеет значения.

Круговые перестановки : Количество перестановок n элементов в круге равно ( n — 1)!

Сколько разных способов можно усадить пять человек за круглый стол?

Решение

Мы уже определили, что первый человек — это просто заполнитель.Следовательно, есть только один выбор для первого места. Нас:

Итак, ответ 24.

Какими способами можно рассадить четыре пары за круглый стол, если мужчины и женщины хотят сесть попеременно?

Решение

Еще раз подчеркнем, что первый человек может сидеть где угодно, не влияя на перестановку. Таким образом, есть только один выбор для первого места. Предположим, что мужчина сел первым. Стул рядом с ним должен принадлежать женщине, и есть 4 варианта.Следующий стул принадлежит мужчине, поэтому есть три варианта и так далее. Мы перечисляем варианты ниже.

Итак, ответ 144.

Теперь займемся второй проблемой.

Перестановки с похожими элементами

Определим количество различимых перестановок букв ELEMENT.

Предположим, мы сделали все буквы разными, пометив буквы следующим образом.

E 1 LE 2 ME 3 NT

Так как все буквы теперь разные, их 7! разные перестановки.

Давайте теперь посмотрим на одну такую ​​перестановку, скажем:

LE 1 ME 2 NE 3 T

Предположим, что мы формируем новые перестановки из этого расположения, перемещая только буквы E. Ясно, что их 3! или 6 таких договоренностей. Перечислим их ниже:

LE 1 ME 2 NE 3 T
LE 1 ME 3 NE 2 T
LE 2 ME 1 NE 3 T
LE 3 ME NE 1 T
LE 3 ME 2 NE 1 T
LE 3 ME 1 NE 2 T

Поскольку буквы Е не отличаются, существует только одно расположение LEMENET, а не шесть.Это верно для любой перестановки.

Предположим, что существует n различных перестановок букв ELEMENT. Тогда есть n · 3! перестановки букв E 1 LE 2 ME 3 NT. Но мы знаем, что их семь! перестановки букв E 1 LE 2 ME 3 NT. Следовательно: n · 3! = 7!

Или n =.

Это дает нам метод, который мы ищем.

Перестановки с похожими элементами :

Количество перестановок n элементов, взятых за один раз n , с r 1 элементов одного вида, r 2 элементов другого типа и т. Д., Составляет

Найдите количество различных перестановок букв слова MISSISSIPPI.

Решение

Слово MISSISSIPPI состоит из 11 букв. Если бы все буквы были разными, их было бы 11! разные перестановки. Но у MISSISSIPPI есть 4 одинаковых S, 4 I и 2 P.

Итак, ответ

Что равняется 34 650.

Если монета подбрасывается шесть раз, сколько существует различных исходов, состоящих из 4 решек и 2 решек?

Решение

Опять же, у нас есть перестановки с похожими элементами.Ищем перестановки для букв HHHHTT.

Ответ .

Какими различными способами можно расположить в ряд 4 никеля, 3 десятицентовика и 2 четвертинки?

Решение

Если предположить, что все монеты одинаковы, все монеты одинаковы и все четверти одинаковы, мы получим перестановки с похожими элементами. Следовательно, ответ:

Биржевой брокер хочет назначить 20 новых клиентов поровну 4 своим продавцам.Сколько разных способов это можно сделать?

Решение

Это означает, что каждый продавец получает 5 клиентов. Проблему можно рассматривать как проблему упорядоченных разделов. В таком случае по формуле получаем:

Суммируем:

  1. Круговые перестановки : Количество перестановок n элементов в круге равно ( n — 1)!
  2. Перестановки с подобными элементами : количество перестановок n элементов, взятых n за один раз, с r 1 элементов одного типа, r 2 элементов другого типа и т. на, так что n = r 1 + r 2 + ··· + r k is

Также называется заказанных перегородок .

1. Группа из 15 человек, являющихся членами волонтерского клуба, желает выбрать председателя и секретаря. Сколько разных способов это можно сделать?

2. Сколько перестановок букв слова БЕЗОПАСНОСТЬ оканчиваются на согласную?

3. Сколько разных способов можно сесть в ряд по пять человек, если двое из них настаивают на том, чтобы сесть рядом друг с другом?

4. Сколько способов можно положить на полку 3 книги по английскому, 3 по истории и 2 по математике, если книги по английскому расположены слева, книги по истории — в середине, а книги по математике — справа?

5. Найдите количество различных перестановок букв в слове MASSACHUSETTS.

6. Если команда сыграет 10 игр, сколько возможных исходов из 6 побед и 4 поражений?

7. Вы и еще шесть одноклассников решили сделать групповое селфи:

а. Сколько возможных вариантов расположения?

г. Сколько разных аранжировок возможно, если вы настаиваете на том, чтобы быть в центре фотографии?

г. Сколько разных вариантов расположения возможно, если один из ваших друзей настаивает на том, чтобы быть справа от фотографии, а двое других настаивают на том, чтобы стоять рядом друг с другом?

Посмотрите, сколько комбинаций чисел вы можете составить

Быстро! Мне нужна помощь с:
Выберите элемент справки по математике … Исчисление, Производные вычисления, Интеграционное вычисление, Частное правило, Монеты, Подсчет комбинаций, Поиск всех комплексных чисел, Сложение комплексных чисел, Вычисление с комплексными числами, Умножение комплексных чисел, Степени комплексных чисел, Преобразование вычитания, Преобразование площади, Преобразование скорости, Преобразование длины , VolumeData Analysis, Find the AverageData Analysis, Find the Standard DeviationData Analysis, HistogramsDecimals, Convert to a дробь, Электричество, Стоимость разложения, IntegerFactors, Greatest CommonFactors, Least CommonFractions, AddingFractions, ComparingFractions, ConvertingFractions, Convert to a decimalFractions, DécimalFractions, Convert to a decimalFractions ВычитаниеФракции, Что это такое: Геометрия, КоробкиГеометрия, КругиГеометрия, ЦилиндрыГеометрия, Прямоугольники hing, EllipsesGraphing, HyperbolasGraphing, InequalitiesGraphing, Polar PlotGraphing, (x, y) pointInequalities, GraphingInequalities, SolvingInterest, CompoundInterest, SimpleLines, Equation from point and slopeLines, The Equation from slopeLines Theotation, The Equation from slopeLines Theotation и Y-intation , Поиск шансов, Математика, Практика многочленов, Математика, Практика основМетрическая система, Преобразование чисел, Сложение чисел, Вычисление с числами, Вычисление с переменными числами, Деление чисел, Умножение чисел, Сравнение числовых линий, Числовые строки, Разместите значения чисел, Произношение чисел, Округление чисел, Вычитание числа слагаемых, Вычитание чисел Квадратные многочлены, Деление многочленов, Факторизация разности квадратов многочленов, Факторинг триномов многочленов, Факторинг с GCF Полиномы, Умножение многочленов, Возведение в степеньПрактика, Математические задачиПропорции, Квадратные уравнения ormulaQuadratic Equations, Solve by FactoringRadicals, Other RootsRadicals, Square RootsRatios, Что они представляют собой Устранение, Экономия на продажной цене, РасчетНаучная нотация, ПреобразованиеНаучной нотации, ДелениеНаучная нотация, УмножениеФормы, ПрямоугольникиУпрощение, Упрощение, Упрощение продуктов, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение продуктов , Правые треугольники, Ветер, Рисунок

Yahoo Answers закрылся | Справка Yahoo

Yahoo Answers прекратил работу с 4 мая 2021 года.Yahoo Answers когда-то был ключевой частью продуктов и услуг Yahoo, но с годами его популярность снизилась по мере изменения потребностей наших участников. Мы решили переместить наши ресурсы с Yahoo Answers, чтобы сосредоточиться на продуктах, которые лучше обслуживают наших участников и выполняют обещание Yahoo по предоставлению высококачественного надежного контента.

С 4 мая 2021 года вы больше не можете получить доступ к сайту, но вы все равно можете запросить загрузку ваших данных Yahoo Answers до 30 июня 2021 года. Чтобы помочь вам с этим переходом, мы составили список вопросов, которые могут возникают во время этого процесса.

Повлияет ли это на мою учетную запись Yahoo или другие службы Yahoo?

Нет, эти изменения относятся к Yahoo Answers. Они не повлияют на вашу учетную запись Yahoo или другие службы Yahoo.

Куда мне обратиться, если у меня возникнут вопросы в будущем?

Yahoo Search можно использовать для поиска ответов и информации в Интернете. Наша страница Yahoo COVID предоставляет информацию и ресурсы о пандемии коронавируса.

Могу ли я загрузить свой контент Yahoo Answers?

Какой контент мне доступен?

При загрузке данных Yahoo Answers будет возвращен весь пользовательский контент, включая ваши вопросы, ответы и изображения. Вы не сможете загружать контент, вопросы или ответы других пользователей.

Нужно ли мне скачивать мой контент?

Нет, загрузка содержимого не обязательна. Однако, если вы решите загрузить свой контент, вы должны сделать это до 30 июня 2021 года.

Когда я получу контент Yahoo Answers?

Наша команда работает как можно быстрее, чтобы сделать данные доступными, но загрузка вашего контента может занять до 30 дней.

Я загрузил свой контент Yahoo Answers, как мне его просмотреть?

Ваш контент будет отформатирован в JSON (нотация объектов JavaScript), и его может быть сложно просмотреть с первого взгляда.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.