Уравнения алгебраические примеры: 3.1.6. Алгебраические уравнения — ошкольное образовательное учреждение № 4 «Алёнушка»

Содержание

3.1.6. Алгебраические уравнения

Глава 3. Решение уравнений и неравенств

3.1.

3.1.6.

Теорема Гаусса. Любое алгебраическое уравнение

(*)

имеет на множестве комплексных чисел хотя бы одно решение.

Эту теорему также называют основной теоремой алгебры. Согласно этой теореме, уравнение (*) имеет хотя бы один корень z = z₀. Разделив многочлен, стоящий в левой части (*) на одночлен (z = z₀), мы получим снова уравнение вида (*), которое согласно той же теореме Гаусса имеет хотя бы одно решение. Продолжая так n раз, получим следствие теоремы Гаусса: любое алгебраическое уравнение n-ной степени имеет ровно n, вообще говоря, комплексных, корней (разумеется, некоторые корни могут совпадать).

Пример 1

Решите уравнение z³ + z – 2 = 0.

Очевидно, z = 1 – корень этого уравнения. Разделив многочлен z³ + z – 2 на одночлен (z – 1), например, по схеме Горнера, получим разложение исходного многочлена на множители:

Корни квадратичной функции находим по формуле корней квадратного уравнения:

Ответ. 1,

Рациональные уравнения являются следующим по сложности типом стандартных уравнений.

Для решения дробно-рациональных уравнений существует алгоритм.

1. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

2. Заменить данное уравнение уравнением с целыми коэффициентами, умножив его на общий знаменатель.

3. Попытаться решить полученное уравнение с целыми коэффициентами.

4. Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

5. Записать ответ.

Пример 2

Решите уравнение

Общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, есть (x – 1)(x + 2). Умножая на него обе части уравнения, получим 3x(x + 2) – 2x(x – 1) = 3x + 2. Последнее уравнение сводится к квадратному уравнению x² + 5x + 6 = 0, корни которого x = –3 и x = –2. Подставляя эти числа в общий знаменатель дробей исходного уравнения, убеждаемся, что при x = –2 он обращается в нуль, при x = –3 знаменатель нулю не равен. Значит, x = –2 не является корнем уравнения.

Ответ. x = –3.

Стандартным методом их решения является возведение уравнения в подходящую степень. Однако, как следует из § 3.1.1, возведение уравнения в произвольную степень не всегда приводит к равносильному уравнению.

Действительно, уравнение

(6)

является лишь следствием уравнения f (x) = g (x), то есть содержит все корни этого уравнения, но может иметь и другие корни. Уравнение (6) среди своих корней содержит ещё и корни уравнения f (x) = –g (x) (если таковые существуют), следствием которого оно также является. Итак, у уравнения (6) «больше» корней, чем у уравнения f (x) = g (x), а это как раз и обозначает, что при возведении в чётную степень могут появиться посторонние корни. В этом случае проверка необходима, как составляющий элемент решения. Она необходима даже в тех случаях, когда лишние корни не появились, но ход решения был таков, что они могли появиться. В последнем случае иногда проще сделать проверку, чем доказать, что она не нужна. Именно поэтому проверка здесь является элементом решения.

К тому же, проверка может быть средством контроля правильности проделанных вычислений. Однако проверить полученные корни подстановкой не всегда легко. Лишние корни, которые могли появиться при возведении уравнения, например, в квадрат, могут быть отсеяны на основе следующего соображения.

Рассмотрим уравнение

(7)

Ясно, что если x = x₀ − решение этого уравнения, то обе части этого равенства при x = x₀ должны быть неотрицательны. Следовательно, потребовав дополнительно, чтобы g(x) ≥ 0, уравнение можно возвести в квадрат. Имеем следующее соотношение равносильности:

(8)

Система (8) действительно является равносильной уравнению (7). В самом деле, из системы (8) следует, что функция f (x) равна полному квадрату функции g (x), то есть для решения является неотрицательной.

Пример 3

Решите уравнение

Перейдём сразу к равносильной системе.

Ответ.

Алгебраические уравнения (двухчленные, трехчленные, многочленные)

Алгебраическим уравнением (неравенством) называют уравнение (неравенство), в левой части которого находится многочлен степени 𝑛 ≥ 0, а в правой — ноль. Многочлен или полином можно рассматривать как сумму одночленов или мономов, каждый из которых представляет собой произведение с числовым коэффициентом нескольких переменных, возведенных в целые неотрицательные степени. Степенью, или порядком, монома называют сумму степеней, входящих в него переменных. Степень многочлена — наибольшая степень входящего в него монома.

Корни двучленного алгебраического уравнения n-го порядка azⁿ + b = 0 находят по формуле z = .

В общем случае для n> 4 не существует формул, выражающих корни алгебраического уравнения через его коэффициенты. Однако справедлив результат, утверждающий наличие корня для любого алгебраического уравнения ненулевой степени.

В простейшем случае при, а=1 имеем хⁿ -1 = 0

Тогда

а) при n= 1 имеем х — 1 = 0 х = 1;

б) при n=2 имеем х² -1 = 0 (х — 1) (х +1) = 0 x₁ =1, х₂ = -1;

в) при n=3 имеем х³ -1 = 0 (х -1) (х² + x + l) = 0x = 1 — единственный действительный корень.

Можно показать, что в общем случае для двучленных уравнений хⁿ — а = 0 справедливы следующие утверждения:

1) при любом положительном, а уравнение хⁿ — а = 0 имеет:

а) при любом нечетном n (n = 2k-1, k∈N) только один действительный корень;

б) при любом четном n (n = 2k, k∈N) только два действительных корня;

2) при, а=0 уравнение хⁿ — а = 0 имеет только один корень х=0;

3) при любом отрицательном, а уравнение, хⁿ-а=0 имеет:

а) при любом нечетном n (n = 2k-1, k∈N) только один действительный корень;

б) при любом четном n (n = 2k, k∈N) не имеет действительных корней.

Пример 1. Решить уравнение.

х^4–625 = 0

Решение:

х^4–625 = 0 ↔ х₁ = = 5, х₂ = — = — 5

Ответ: {-5;5}.

Пример 2. Решить уравнение х^3–27 = 0.

Решение:

х^3–27 = 0 ↔ х³ = 27 ↔ х = = 3.

Ответ: {3}.

Пример 3. Решить уравнение х⁵ -12 = 0.

Решение:

х^5–12 = 0 ↔ х⁵ = 12 ↔ х = .

Ответ: {}.

Пример 4. Решить уравнение х² + 4 = 0.

Решение:

x² + 4 = 0 x² = -4 x є 0.

Ответ: ∅.

Пример 5. Решить уравнение x⁶+ 123 = 0

Решение:

х⁶ + 123 = 0 ↔ х⁶ = -123 ↔ x є 0.

Ответ: ∅.

Пример 6. Решить уравнения: a) x³= 0; б) x¹²= 0.

Решение:

а) х² = 0 ↔ х = 0.

б) х¹² = 0 ↔ х = 0.

Ответ: а) 0; б) 0.

Трехчленные уравнения. Биквадратные уравнения.

Алгебраическое уравнение вида ах²ⁿ + вхⁿ + с = 0 называется трехчленным, если n≥2, n∈N, а≠0, в≠0, с≠0.

При n=2 трехчленное уравнение ах⁴ + вх² + с = 0 называется биквадратным уравнением.

Заменой переменной xⁿ=t трехчленное уравнение ах²ⁿ + вхⁿ + с = 0 преобразуется в квадратное at² + bt + с = 0.

В частности, для биквадратного уравнения замена х² = t приводит его к квадратному уравнению at² + bt + с = 0.

Пример 1. Решить уравнение x⁴-13x²+36=0.

Решение:

Имеем биквадратное уравнение. Положив x²=t, получим квадратное уравнение t²-13t + 36 = 0 t₁ = 4, t₂ = 9.

Задача свелась к решению уравнений

x² = 4 x₁, ₂ =±2;

x² =9 х₃, ₄ =±3.

Ответ: {±2; ±3}.

Пример 2. Решить уравнение х⁴-3x^2–10=0.

Решение:

Положив x² = t, получаем квадратное уравнение t²-3t-10 = 0 t₁ =-2, t₂ =5.

Теперь задача сводится к решению уравнений х² = -2, х² = 5.

Уравнение х² =-2 не имеет действительных корней, уравнение х² = 5 имеет два корня x₁ =-√5, х₂=√5.

Ответ: {±√5}.

Пример 3. Решить уравнение x^6–3x³+2=0.

Решение:

Имеем трехчленное уравнение. Положив x³=t, получаем

x⁶=(x³)²=t²,

Ответ: {1; ³√2}.

Многочлен степени 𝑛 = 1 называют линейным членом. В курсе математики средней школы мы сталкиваемся также с «многочленами бесконечной степени» [3, c. 63].

Полиномом (многочленом) от переменной называют выражение вида

Где а_i — коэффициенты полинома, a_n ≠ 0 — старший коэффициент, a₀ — свободный член, n — степень полинома.

Если a_n = 1, то полином называется приведённым. Для многочленов определены операции сложения, вычитания, умножения. Операция деления определена не для любой пары многочленов, но, как и для целых чисел, возможно деление с остатком.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена P_n(z) на линейный многочлен z-z₀ равен значению многочлена P_n(z) при z-z₀.

Корнем многочлена P_n(z) называется такое число z = z₀, что P_n(z₀) = 0.

Рассмотрим уравнение

a_nzⁿ + a_n_-1zⁿ^-1 + … + a₀ = 0, т. е. алгебраическое уравнение n-ой степени. В некоторых частных случаях корни такого уравнения выражаются через его коэффициенты по определенному правилу.

Корни алгебраического уравнения второй степени az² + bz + c = 0 находятся по формуле z_1,2 = , здесь ± — два значения квадратного корня из комплексного числа.
Теорема Гаусса (основная теорема алгебры многочленов).

Уравнение a_nzⁿ + a_n_-1zⁿ^-1+…+a₁z+a₀=0, где n Є N, a_i Є C, имеет хотя бы один корень (в общем случае комплексный).

Рассмотрим произвольный многочлен P_n(z) ненулевой степени n. Согласно основной теореме алгебры он имеет комплексный корень z₁и_{поэтому делится на (z-z₁), т. е. P_n(z) = P_n_-1(z)* (z-z₁). Если n-1>0, то многочлен P_n_-1(z) имеет корень z₂, тогда P_n_-1(z) = P_n_-2(z)* (z-z₂), т. е. P_n(z) = P_n_-1(z)* (z-z₁)* (z-z₂) и т. д.}

Таким образом, из теоремы Гаусса вытекает наличие у многочлена n-ой степени ровно n корней (считая кратные).

Следствие. Многочлен степени n с комплексными коэффициентами и со старшим коэффициентом a_n разлагается в произведение n сомножителей вида (z-z₀), т. е. a_nzⁿ + a_n_-1zⁿ^-1+…+a₁z + a₀ = a_n (z-z₁)*(z-z₂)*…(z-z_n), и это представление единственно с точностью до перестановки сомножителей.

В этом разложении некоторые множители могут оказаться одинаковыми, тогда P_n(z) = a_n (z-z₁)^{^k¹ * (z-z₂)^{^k²*…*(z-z_n)^ks, причем k₁+ k₂ + … k_s = n (k_i — кратность корня z_i).}}

Из свойств сопряженных комплексных чисел вытекают некоторые результаты о корнях многочленов с действительными коэффициентами.

Теорема. Если комплексное число z₀ является корнем многочлена P_n(z) с действительными коэффициентами, то сопряженное число также является корнем этого многочлена.

Доказательство. Из равенства следует равенство =0.

Следствие. Если комплексное число z₀ = a₀ + b₀i, (b₀ ≠ 0) является корнем многочлена P_n(z) с действительными коэффициентами, то этот многочлен делится нацело на квадратный трехчлен z^2–2az + a² + b², также имеющий действительные коэффициенты.

Доказательство. Пусть P_n(z) имеет комплексный корень z₀ = a + b_i, тогда он имеет и корень . Следовательно, P_n(z) делится нацело на (z-z₀)*(z-) = z-a-b_i)*(z-a+b_i) = z^2–2az + a² + b².

Литература:

Бронштейн И. Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. — Москва: Наука, 2015. — 544 с.
Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. — Москва: Наука, 2014. — 832 с.
Королёва Т. М. Пособие по математике для поступающих в вузы. Часть 1 / Т. М. Королёва, Е. Г. Маркарян, Ю. М. Нейман — Москва: Изд-во МИИГА и К, 2015. — 144 с.
Курош А. Г. Курс высшей алгебры / А. Г. Курош. — Москва: Наука, 2015. — 432 с.
Литвиненко В. Н. Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия / В. Н. Литвиненко, А. Г. Мордкович. — Москва: Просвещение, 2013. — 352 с.
Лунц Г. Л. Функции комплексного переменного / Г. Л. Лунц, Л. Э. Эльсгольц. — Москва: Государственное изд-во физико-математической литературы, 2015. — 300 с.

Основные термины (генерируются автоматически): уравнение, алгебраическое уравнение, корень, многочлен, биквадратное уравнение, квадратное уравнение, комплексное число, корень многочлена, общий случай, трехчленное уравнение.

Более сложные примеры уравнений | Математика

52. Более сложные примеры уравнений.
Пример 1.

5/(x – 1) – 3/(x + 1) = 15/(x² – 1)

Общий знаменатель есть x² – 1, так как x² – 1 = (x + 1)(x – 1). Умножим обе части этого уравнения на x² – 1. Получим:

или, после сокращения,

5(x + 1) – 3(x – 1) = 15

или

5x + 5 – 3x + 3 = 15

или

2x = 7 и x = 3½

Рассмотрим еще уравнение:

5/(x-1) – 3/(x+1) = 4(x² – 1)

Решая, как выше, получим:

5(x + 1) – 3(x – 1) = 4
5x + 5 – 3x – 3 = 4 или 2x = 2 и x = 1.

Посмотрим, оправдываются ли наши равенства, если заменить в каждом из рассмотренных уравнений x найденным числом.

Для первого примера получим:

Видим, что здесь нет места никаким сомнениям: мы нашли такое число для x, что требуемое равенство оправдалось.

Для второго примера получим:

5/(1-1) – 3/2 = 15/(1-1) или 5/0 – 3/2 = 15/0

Здесь возникают сомнения: мы встречаемся здесь с делением на нуль, которое невозможно. Если в будущем нам удастся придать определенный, хотя бы и косвенный, смысл этому делению, то тогда мы можем согласиться с тем, что найденное решение x – 1 удовлетворяет нашему уравнению. До этой же поры мы должны признать, что наше уравнение вовсе не имеет решения, имеющего прямой смысл.

Подобные случаи могут иметь место тогда, когда неизвестное входит как-либо в знаменатели дробей, имеющихся в уравнении, причем некоторые из этих знаменателей, при найденном решении, обращаются в нуль.

Пример 2.

(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)

Можно сразу видеть, что данное уравнение имеет форму пропорции: отношение числа x + 3 к числу x – 1 равно отношению числа 2x + 3 к числу 2x – 2. Пусть кто-либо, в виду такого обстоятельства, решит применить сюда для освобождения уравнения от дробей основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних). Тогда он получит:

(x + 3) (2x – 2) = (2x + 3) (x – 1)

или

2x² + 6x – 2x – 6 = 2x² + 3x – 2x – 3.

Здесь может возбудить опасения, что мы не справимся с этим уравнением, то обстоятельство, что в уравнение входят члены с x². Однако, мы можем от обеих частей уравнения вычесть по 2x² — от этого уравнение не нарушится; тогда члены с x² уничтожатся, и мы получим:

6x – 2x – 6 = 3x – 2x – 3

Перенесем неизвестные члены влево, известные вправо — получим:

3x = 3 или x = 1

Вспоминая данное уравнение

(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)

мы сейчас же подметим, что найденное значение для x (x = 1) обращает в нуль знаменателей каждой дроби; от такого решения мы, пока не рассмотрели вопроса о делении на нуль, должны отказаться.

Если мы подметим еще, что применение свойства пропорции усложнило дело и что можно было бы получить более простое уравнение, умножая обе части данного на общий знаменатель, а именно на 2(x – 1) — ведь 2x – 2 = 2 (x – 1), то получим:

2(x + 3) = 2x – 3 или 2x + 6 = 2x – 3 или 6 = –3,

что невозможно.

Это обстоятельство указывает, что данное уравнение не имеет таких, имеющих прямой смысл решений, которые не обращали бы знаменателей данного уравнения в нуль.
Решим теперь уравнение:

(3x + 5)/(x – 1) = (2x + 18)/(2x – 2)

Умножим обе части уравнения 2(x – 1), т. е. на общий знаменатель, получим:

6x + 10 = 2x + 18

или

4x = 8 и x = 2

Найденное решение не обращает в нуль знаменатель и имеет прямой смысл:

или 11 = 11

Если бы кто-либо, вместо умножения обеих частей на 2(x – 1), воспользовался бы свойством пропорции, то получил бы:

(3x + 5)(2x – 2) = (2x + 18)(x – 1) или
6x² + 4x – 10 = 2x² + 16x – 18.

Здесь уже члены с x² не уничтожались бы. Перенеся все неизвестные члены в левую часть, а известные в правую, получили бы

4x² – 12x = –8

или

x² – 3x = –2

Это уравнение мы теперь решить не сумеем. В дальнейшем мы научимся решать такие уравнения и найдем для него два решения: 1) можно взять x = 2 и 2) можно взять x = 1. Легко проверить оба решения:

1) 2² – 3 · 2 = –2 и 2) 1² – 3 · 1 = –2

Если мы вспомним начальное уравнение

(3x + 5) / (x – 1) = (2x + 18) / (2x – 2),

то увидим, что теперь мы получим оба его решения: 1) x = 2 есть то решение, которое имеет прямой смысл и не обращает знаменателя в нуль, 2) x = 1 есть то решение, которое обращает знаменателя в нуль и не имеет прямого смысла.

Пример 3.

Найдем общего знаменателя дробей, входящих в это уравнение, для чего разложим на множители каждого из знаменателей:

1) x² – 5x + 6 = x² – 3x – 2x + 6 = x(x – 3) – 2(x – 3) = (x – 3)(x – 2),

2) x² – x – 2 = x² – 2x + x – 2 = x (x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1),

3) x² – 2x – 3 = x² – 3x + x – 3 = x (x – 3) + (x – 3) = (x – 3) (x + 1).

Общий знаменатель равен (x – 3)(x – 2)(x + 1).

Умножим обе части данного уравнения (а его мы теперь можем переписать в виде:

на общего знаменателя (x – 3) (x – 2) (x + 1). Тогда, после сокращения каждой дроби получим:

3(x + 1) – 2(x – 3) = 2(x – 2) или
3x + 3 – 2x + 6 = 2x – 4.

Отсюда получим:

–x = –13 и x = 13.

Это решение имеет прямой смысл: оно не обращает в нуль ни одного из знаменателей.

Если бы мы взяли уравнение:

то, поступая совершенно так же, как выше, получили бы

3(x + 1) – 2(x – 3) = x – 2

или

3x + 3 – 2x + 6 = x – 2

или

3x – 2x – x = –3 – 6 – 2,

откуда получили бы

0 = –11,

что невозможно. Это обстоятельство показывает, что нельзя найти для последнего уравнения решения, имеющего прямой смысл.

Методы решения целых алгебраических уравнений с примерами решения

Методы решения целых алгебраических уравнений

Разложение на множители

Часть целых алгебраических уравнений

(или аналогичных неравенств) степени n выше 2-й могут быть решены путём разложения многочлена в левой части уравнения (неравенства) на множители с помощью таких известных приёмов, как группировка и вынесение общего множителя за скобки. Иногда для достижения цели приходится прибавлять и одновременно вычитать одно и то же выражение. Отметим, что порой разложение на множители этим способом требует определённого искусства.

Если разложение на множители удалось выполнить, то решение алгебраического уравнения сводится к решению совокупности нескольких уравнений, но более низкой степени. Неравенство после разложения на множители можно решать методом интервалов.

Пример №176.

Решить уравнение

Решение:

Из 1-го уравнения находим корни

, а второе не имеет решений.

Пример №177.

Найти все положительные корни уравнения

Решение:

Покажем, что второе уравнение в совокупности не имеет положительных решений. Действительно, рассмотрим функцию

Её производная при всех действительных x, так как Следовательно, функция всюду монотонно возрастает, при этом y(0) = 5 . Отсюда следует, что при x > 0 её график не пересекает оси абсцисс.

Ответ:

Подбор корня с последующим понижением степени уравнения

При решении алгебраических уравнений и неравенств степени выше второй можно использовать общий принцип последовательного понижения степени уравнения (неравенства).

Пусть требуется решить уравнение n -й степени

где

целый рациональный алгебраический многочлен n -й степени. Если удалось подобрать (любым способом) какой-либо корень данного уравнения, то для нахождения остальных корней уравнения следует поделить многочлен на разность X — Х0 (или целенаправленной группировкой слагаемых, выделяя разность , разложить этот многочлен на множители). В результате деления образуется некоторый многочлен , степень которого на единицу меньше первоначальной. Таким образом, задача свелась к решению алгебраического уравнения степени n — 1 :

Пример №178.

Решить уравнение

Решение:

Заметим, что x = 2 является корнем данного уравнения. Найдём другие корни этого уравнения:

Решая уравнение

, находим ещё два корня

Эта ссылка возможно вам будет полезна:

Пример №179.

Решить уравнение

Решение:

Легко заметить, проанализировав структуру уравнения, что числа x = 0 и x = -10 являются решениями данного уравнения. С другой стороны, ясно, что это квадратное уравнение, а поэтому может иметь не более двух корней. Так как два корня уравнения уже подобраны, то других корней нет.

В некоторых случаях, для того чтобы не подбирать корень «вслепую», можно воспользоваться следующим методом.

Метод поиска рациональных корней у многочленов с целыми коэффициентами

Для решения такого рода уравнений и неравенств используется метод, в основе которого лежит Теорема 9 из предыдущего пункта. Рассмотрим подробнее суть этого метода. Пусть требуется найти рациональные корни уравнения n -й степени

причём все коэффициенты

алгебраического многочлена являются целыми числами. Поиск рациона-льных корней можно свести к перебору ограниченного количества вариантов. Для этого необходимо, во-первых, найти все целочислен-ные делители свободного члена (их конечное число, однако если этот коэффициент содержит слишком много делителей, то это затрудняет поиск корней в уравнении). Обозначим, например, эти делители через . Во-вторых, следует найти все натуральные делители старшего коэффициента уравнения . Обозначим эти делители через . В-третьих, надо составить всевозможные дроби вида . Наконец, перебирая по очереди все такие дроби, проверить, является ли в действительности каждая из них корнем данного уравнения. Найдя таким образом первый корень , вы или сразу понижаете степень уравнения делением многочлена на разность , (причём в силу следствия из теоремы Безу обязательно разделится нацело на этот линейный двучлен) и получаете некоторый многочлен степени на единицу меньшей, чем первоначальная. Или, перебирая все дроби, находите все рациональные корни и уже затем понижаете степень уравнения сразу на столько порядков, сколько рациональных корней удалось найти, и ищете оставшиеся иррациональные корни. В любом случае задача сводится к решению уравнения более низкой степени.

Пример №180.

При каких натуральных n уравнение

имеет рациональные корни?

Решение:

Воспользуемся приведённым выше методом. Свободный член имеет два целочисленных делителя: ± 1, а старший коэффициент — два натуральных делителя: 1,2. Поэтому рациональные корни следует искать среди чисел

Подставим их поочерёдно в уравнение.

Ответ:

Метод неопределённых коэффициентов

Иногда для решения целых алгебраических уравнений (неравенств) с одной или несколькими неизвестными используют метод неопределённых коэффициентов. Пусть, например, решается уравнение

Суть метода состоит в том, что многочлен

в левой части уравнения представляется в виде произведения линейных и(или) квадратичных сомножителей с неизвестными (неопределёнными) коэффициентами Чтобы найти эти коэффициенты, раскрывают скобки в указанном произведении и приводят образовавшийся при этом многочлен к стандарт-ному виду. Так как два многочлена и одной степени тождественно равны тогда и только тогда,

когда равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной x, то, приравнивая эти коэффициенты, получают систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов. Эту систему решают (или подбирают любое решение). Найденные таким способом коэффи-циенты

становятся определёнными и их значения подставляются в исходное разложение. К недостаткам метода можно отнести то, что получаемая система уравнений для нахождения коэффициентов может оказаться громоздкой и трудной даже в подборе решения.

Рассмотрим применение этого метода на примере решения кубического уравнения. Допустим, требуется решить уравнение

Известно, что многочлен третьей степени всегда можно представить в виде произведения многочленов первой и второй степеней. Таким образом, сразу для всех действительных значений переменной x должно выполняться равенство

где числа а,b,c являются в данном случае искомыми неопределён-ными коэффициентами. Найдём их значения. После этого останется подставить их в правую часть (1) и, приравняв её к нулю, решить уравнение

для нахождения всех корней уравнения.

Чтобы найти коэффициенты а,b,c, раскроем скобки в правой части тождества (1) и приведём образовавшийся при этом многочлен к стандартному виду

Многочлены третьей степени тождественно равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях x . Приравнивая коэффициенты при

, и свободные члены, получаем систему трёх алгебраических уравнений относительно трёх неизвестных а,b,c :

решая которую (можно даже просто подобрать любое решение этой системы) находим коэффициенты.

Пример №181.

Решить уравнение

Решение:

Воспользуемся для решения методом неопределённых коэффициентов. Будем искать разложение многочлена, стоящего в левой части уравнения, в виде

Раскрыв скобки, приведём многочлен в правой части к стандартному виду

Приравнивая коэффициенты слева и справа при

,и свободные члены, получаем в итоге систему трёх уравнений с тремя неизвестными коэффициентами а,b,c:

Найдя подбором решение

подставим найденные коэффициенты в разложение (2). Таким образом, исходное уравнение приобретает вид Оно имеет три корня

Пример №182.

При каких значениях а все корни уравнения являются корнями уравнения

Решение:

Чтобы первое из уравнений имело корни, необходимо, чтобы его дискриминант был неотрицателен, т.е.

Далее, второй многочлен в силу теоремы Безу должен делиться нацело на первый многочлен. Иными словами, должно найтись такое b , что при всех действительных x справедливо тождество

Для нахождения неопределённых коэффициентов (в данном случае в их роли выступают а и b ) воспользуемся известным фактом, что два кубических многочлена, стоящие по разные стороны от знака равенства, тождественно равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной x . Приравнивая эти коэффициенты, получаем систему уравнений

Метод умножения на функцию

Иногда, применяя приём умножения обеих частей уравнения (неравенства) на некоторую функцию, удаётся упростить уравнение (неравенство).

Пример №183.

Решить уравнение

Решение:

Заметим, что x = — 1 (и вообще никакое отрицательное число) не является корнем данного уравнения. Домножим обе части данного уравнения на выражение (х +1). Получаем уравнение-следствие

множество решений которого состоит из всех решений исходного уравнения и числа x = -1. Это число является посторонним корнем, возникшем как раз в результате умножения уравнения на функцию, имеющую действительный нуль. Применяя известную формулу сокращенного умножения, получаем существенно более простое уравнение

Поскольку уравнение не имеет других решений, кроме x = -1, то приходим к ответу.

Ответ: уравнение не имеет решений.

Рассмотрим некоторые виды целых алгебраических уравнений, решаемые в основном при помощи специально подобранных подстановок.

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Предмет математика

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Сложные функции. Примеры решения методом замены

Дата публикации: 10 апреля 2017.{g(x)}$, где $a>0$, $a≠1$ равносильны уравнению $f(x)=g(x)$.

Логарифмические уравнения вида: $log_af(x)=log_ag(x)$, где $a>0$, $a≠1$ равносильны уравнению $f(x)=g(x)$.

Иррациональные уравнения вида: $\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{g(x)}$ равносильны уравнению $f(x)=g(x)$.

На применение данного метода накладывается серьезное ограничение: функция $h(x)$ должна быть строго монотонной, т.е. только возрастать или только убывать (другими словами — одно и тоже значение функция может принимать только один раз). Ребята, вспомните графики показательных, логарифмических и иррациональных функций. Они все строго монотонные.
Если функция h(x) – не монотонная, то данный метод применять нельзя, т.к. возможна потеря корней.

Давайте приведем простой пример. Тригонометрические функции – периодические (на определенных промежутках то возрастают, то убывают).
Уравнение $sin(15x)=sin(6x)$ – имеет бесконечно много корней. Можно представить схематично два графика и заметить, что пересекаться они будут бесконечно много раз.{2}(π+\frac{x}{2})-\frac{1}{2}sin(x)=0$.

Виды уравнений, формулы и примеры

Определение и основные виды уравнений

Например.

Некоторые классы уравнений решаются аналитически (среди алгебраических это линейные, квадратные, кубические уравнения и уравнения четвертой степени), то есть решение записывается в виде формулы. Алгебраические уравнения высших степеней (более, чем четвертая) в общем случае аналитического решения не имеют, хотя некоторые сводятся к уравнениям низших степеней.

В общем случае, если аналитическое решение не существует, применяют численные методы.

Алгебраические уравнения

Алгебраическим уравнением называется уравнение вида

где — многочлен переменных , которые называются переменными или неизвестными.

Например.

Степенью алгебраического уравнения называется степень многочлена .

Линейным уравнением от неизвестных называется уравнение вида

Например. — линейное уравнение с одной переменной.

Квадратным уравнением (уравнением второй степени) называется уравнение

Здесь — переменная, — старший или первый коэффициент, — второй коэффициент, — свободный коэффициент.

Например.

Квадратное уравнение называется приведенным, если старший коэффициент равен единице.

Например.

Уравнением с параметрами называется математическое равенство, внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров.

Например.

Уравнение, содержащее трансцендентные функции, называется трансцендентным.

Например.

Трансцендентная функция — это аналитическая функция, не являющаяся алгебраической. Алгебраической называется элементарная функция, которая в окрестности каждой точки области определения может быть неявно задана с помощью алгебраического уравнения.

Функциональным называется уравнение, которое определяет связь между значением функции (или функций) в одной точке с её значениями в других точках.

Например.

Уравнение, в котором неизвестная функция стоит под знаком производной, называется дифференциальным.

Например.

Интегральным уравнением называется уравнение, в котором неизвестная функция находится под знаком интеграл.

Например.

Алгебра: уроки, тесты, задания.

Информация о разделе

1. Числовые выражения. Алгебраические выражения
2. Математический язык
3. Математические модели реальных ситуаций
4. Линейное уравнение с одной переменной. Алгоритм решения
5. Координатная прямая. Числовые промежутки

1. Координатная плоскость. Координаты точки
2. Линейное уравнение ax + by + c = 0. График линейного уравнения
3. Линейная функция y = kx + m. График линейной функции
4. Линейная функция y = kx, её свойства
5. Взаимное расположение графиков линейных функций

1. Понятие системы линейных уравнений с двумя переменными
2. Решение систем линейных уравнений. Метод подстановки
3. Решение систем линейных уравнений. Метод сложения
4. Система линейных уравнений как математическая модель

1. Понятие степени с натуральным показателем
2. Часто используемые степени
3. Базовые свойства степеней с натуральным показателем
4. Умножение и деление степеней с одинаковыми натуральными показателями
5. Понятие степени с нулевым показателем

1. Понятие одночлена. Приведение одночлена к стандартному виду
2. Сложение и вычитание подобных одночленов
3. Произведение одночленов и возведение одночлена в степень
4. Деление одночленов

1. Понятие многочлена. Приведение многочлена к стандартному виду
2. Как складывать и вычитать многочлены
3. Как умножать многочлен на одночлен
4. Как умножать многочлен на многочлен
5. Применение формул сокращённого умножения
6. Как делить многочлен на одночлен

1. Понятие разложения многочленов на множители
2. Разложение на множители. Вынесение общего множителя за скобки
3. Разложение на множители. Способ группировки
4. Разложение на множители. Использование формул сокращённого умножения
5. Разложение на множители. Сочетание различных приёмов
6. Применение разложения на множители для сокращения алгебраических дробей
7. Понятие тождества

1. Квадратичная функция y = x² и её график
2. Решение уравнений графическим методом
3. Запись функции в виде у = f(x)

1. Понятие алгебраической дроби
2. Применение основного свойства алгебраической дроби
3. Как складывать и вычитать алгебраические дроби с равными знаменателями
4. Как складывать и вычитать алгебраические дроби с разными знаменателями
5. Как умножать, делить и возводить в степень алгебраические дроби
6. Упрощение рациональных выражений
7. Решение рациональных уравнений

1. Квадратичная функция y = kx² и её свойства. Парабола
2. Функция y = k/x и её свойства. Гипербола
3. Как построить график функции у = f(x + l)
4. Как построить график функции у = f(x) + m
5. Как построить график функции y = f(x + l) + m
6. Квадратичная функция y = ax² + bx + c
7. Решение квадратных уравнений с помощью графиков функций

1. Понятие квадратного корня
2. Функция квадратного корня y = √x, её свойства и график
3. Множество рациональных чисел
4. Базовые свойства квадратных корней
5. Преобразование иррациональных выражений

1. Какие бывают квадратные уравнения
2. Способы решения квадратных уравнений
3. Решение рационального уравнения, сводящегося к квадратному
4. Использование рациональных уравнений для решения задач
5. Упрощённая формула для решения квадратного уравнения
6. Применение теоремы Виета
7. Решение иррационального уравнения, сводящегося к квадратному

1. Множества натуральных чисел, целых чисел, рациональных чисел
2. Понятие иррационального числа
3. Множество действительных чисел и её геометрическая модель
4. Модуль действительного числа и его геометрический смысл
5. Приближённые значения по недостатку (по избытку)
6. Понятие степени с отрицательным целым показателем
7. Стандартный вид положительного числа

1. Понятие числовых промежутков
2. Свойства числовых неравенств. Свойства неравенств одинакового смысла
3. Как решать линейное неравенство
4. Методы решения квадратных неравенств
5. Понятие монотонности функции. Исследование функций на монотонность

Международная оценка образовательных достижений учащихся (PISA)

1. Повторим способы решения линейных и квадратных неравенств
2. Решение рациональных неравенств методом интервалов
3. Множества и подмножества. Объединение и пересечение множеств
4. Системы рациональных неравенств

1. Понятие системы рациональных уравнений
2. Методы решения систем рациональных уравнений
3. Использование систем рациональных уравнений для решения задач

1. Определение числовой функции и способы её задания
2. Свойства основных функций
3. Чётные и нечётные функции. Определение чётности и нечётности
4. Степенная функция с натуральным показателем
5. Степенная функция с отрицательным целым показателем
6. Функция кубического корня

1. Понятие числовой последовательности. Способы задания последовательностей
2. Арифметическая прогрессия. Свойства арифметической прогрессии
3. Геометрическая прогрессия. Свойства геометрической прогрессии

1. Злементы комбинаторики. Комбинаторные задачи
2. Элементы статистики. Методы обработки информации
3. Элементы теории вероятности. Нахождение вероятности
4. Относительная частота и статистическая вероятность события

1. Натуральные числа. Повторение
2. Рациональные числа. Повторение
3. Иррациональные числа. Повторение

1. Обратимая и обратная функции
2. Понятие периодической функции (профильный)

1. Числовая окружность на координатной плоскости
2. Нахождение значений синуса и косинуса, тангенса и котангенса
3. Числовой аргумент тригонометрических функций
4. Угловой аргумент тригонометрических функций
5. Свойства функции y = sin x и её график
6. Свойства функции y = cos x и её график
7. Периодичность тригонометрических функций, чётность, нечётность
8. Гармонические колебания (профильный)
9. Свойства функций y = tg x, y = ctg x и их графики
10. Функции y = arcsin a, y = arccos a, y = arctg a, y = arcctg a (профильный)

1. Арккосинус и решение уравнения cos х = a
2. Арксинус и решение уравнения sin x = a
3. Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tg x = a, ctg x = a
4. Методы, используемые для решения тригонометрических уравнений

1. Формулы синуса суммы и разности, косинуса суммы и разности
2. Тангенс суммы и разности
3. Формулы приведения. Общее правило
4. Формулы синуса, косинуса, тангенса двойного угла
5. Формулы понижения степени, или формулы половинного угла (профильный)
6. Формулы сумм тригонометрических функций
7. Формулы произведений тригонометрических функций
8. Метод введения вспомогательного угла (профильный)

1. Числовые последовательности и их свойства
2. Понятие предела числовой последовательности
3. Как найти сумму бесконечной геометрической прогрессии
4. Предел функции в точке. Предел функции на бесконечности
5. Определение производной. Геометрический и физический смысл производной
6. Вычисление производных. Правила дифференцирования
7. Как получить уравнение касательной к графику функции
8. Исследование функций на монотонность и экстремумы
9. Исследование выпуклости и перегиба, построение графиков функции
10. Применение производной для отыскания наибольших и наименьших величин

1. Понятие корня n-й степени из действительного числа
2. Функция корня n-й степени
3. Свойства корня n-й степени. Преобразование иррациональных выражений
4. Способы упрощения выражений, содержащих радикалы
5. Понятие степени с рациональным показателем, свойства степеней
6. Свойства степенных функций и их графики

1. Свойства показательной функции и её график
2. Методы решения показательных уравнений
3. Методы решения показательных неравенств
4. Понятие логарифма. Основное логарифмическое тождество
5. Свойства логарифмической функции и её график
6. Базовые свойства логарифмов
7. Методы решения логарифмических уравнений
8. Методы решения логарифмических неравенств
9. Переход к новому основанию логарифма
10. Системы показательных и логарифмических уравнений
11. Системы логарифмических и показательных неравенств
12. Производная показательной и логарифмической функции

1. Понятие первообразной
2. Неопределённые и определённые интегралы. Методы интегрирования
3. Вычисление площадей с помощью интегралов

1. Правило суммы
2. Правило произведения
3. Перестановки. Перестановки без повторений
4. Размещения. Размещения с повторениями
5. Сочетания и их свойства
6. Треугольник Паскаля. Бином Ньютона

1. Какие бывают случайные события
2. Комбинации событий. Противоположные события
3. Вероятность события
4. Сложение вероятностей
5. Независимые события. Умножение вероятностей
6. Статистическая вероятность

1. Случайные величины
2. Центральные тенденции
3. Меры разброса
4. Закон распределения вероятностей. Закон больших чисел

1. Равносильность уравнений. Теоремы о равносильности уравнений
2. Общие методы решения уравнений
3. Равносильность неравенств. Системы и совокупности неравенств
4. Уравнения и неравенства с двумя переменными
5. Общие методы решения систем уравнений
6. Уравнения и неравенства с параметром

Коллекция интерактивных моделей

Решение алгебраических уравнений: определение и примеры — видео и стенограмма урока

Немного базовой терминологии

Математика с буквами — это просто расширение математики без букв. Алгебра просто упрощает разговор о чем-то с неизвестной ценностью, и вам не нужно делать сумасшедшие утверждения, как мы только что сделали.

Математики согласились называть букву, которая используется для обозначения неизвестной величины, переменной . Чтобы сбить с толку, он называется переменной, даже если представляет собой одно конкретное число, как в случае с нашим примером уравнения.Пять — единственное число, которое делает равенство 3 x + 2 = 17 истинным. Но даже после того, как вы это узнаете, x по-прежнему называется переменной.

3 из 3 x + 2 = 17 называется коэффициентом, а 2 и 17 называются константами; мы можем называть их постоянными членами. Любые термины, умноженные на одну и ту же переменную или комбинацию переменных, подобны терминам. 3 y и 10 y являются одинаковыми терминами, как и 3 xy и 17,23 xy .Сравните их с 3 x и 7 y , которые не похожи на термины и не могут быть объединены.

Теперь, когда мы разобрались с этим, давайте разберемся с алгебраическими уравнениями.

Алгебраическое уравнение: определение

Есть несколько правил, которые мы должны соблюдать:

Алгебраическое уравнение должно содержать переменную.
Переменная должна быть умножена на коэффициент, отличный от нуля.
Должен быть знак равенства.

Является ли наше уравнение 3 x + 2 = 17 алгебраическим уравнением?

Да! Он имеет переменную, умноженную на ненулевой коэффициент (3), и имеет знак равенства, поэтому он соответствует нашим требованиям.

Решение уравнений с одной переменной

Решение алгебраического уравнения просто означает манипулирование уравнением так, чтобы переменная сама по себе находилась на одной стороне уравнения, а все остальное — на другой стороне уравнения. Как только все остальное упростится, уравнение решено.

Самым простым алгебраическим уравнением, которое вы могли бы иметь, было бы что-то вроде x = 5, которое одновременно является алгебраическим уравнением и собственным решением.

Давайте попробуем что-нибудь посложнее: y + 5 = 10.

Как мы можем получить y отдельно? Да ну избавиться от 5 конечно! Только не все так просто. Стороны уравнения во многом похожи на братьев и сестер: если вы сделаете что-то для одного, а не для другого, кто-то начнет кричать: « Это несправедливо! ». Чтобы избежать этой ситуации, что бы мы ни делали с одной стороной уравнения, нам нужно делать и с другим.Что нам нужно сделать с левой стороны, чтобы избавиться от этой надоедливой пятерки?

Вычтем 5 из обеих частей уравнения. Это превращает наше уравнение в следующее:

y + 5-5 = 10-5

Это немного неуклюже, поэтому давайте объединим такие термины:

y + (5-5) = (10-5) )

5-5 = 0 и 10-5 = 5, поэтому наше уравнение принимает следующий вид:

y = 5

Теперь это решено! По мере того, как вы ближе познакомитесь с этими видами операций, вы можете пропустить промежуточные шаги и просто перейти от y + 5 = 10 к y = 5 за один шаг.А пока вам следует выписать каждый шаг. Это хорошая практика, которая также помогает вашим учителям понять, с какими шагами у вас возникают проблемы.

Еще один совет: не думайте, что вы знаете, сколько места вам понадобится для решения уравнения. Это часто приводит к беспорядку, поэтому избегайте этого! Оставьте много бумаги для выработки каждого решения, чтобы у вас никогда не закончилось место. Еще лучше не записывать ничего для следующей задачи, пока не закончите ту, над которой работаете.

Дополнительная практика

Тот же процесс, который мы видели ранее (перемещение за исключением переменной в другую часть уравнения), работает независимо от того, какая операция требуется.

Давайте решим наше исходное уравнение: 3 x + 2 = 17. Как вы думаете, будет легче сначала избавиться от 3 или 2? Хорошая новость в том, что вы можете делать это в любом порядке. Начнем с 3:

(3 x + 2) / 3 = 17/3

Это сокращается до:

x + 2/3 = 17/3

О боже, вероятно, было бы было лучше начать с 2. Ну что ж, давайте продолжим:

x + 2/3 — 2/3 = 17/3 — 2/3

Теперь объедините подобные термины:

x = 15 / 3

И, наконец:

x = 5

Почему бы вам не попробовать ту же задачу, но начать с манипулирования 2 вместо 3.Посмотрим, сможете ли вы придумать такой же ответ! Возможно, вам будет легче, чем то, что мы только что сделали.

Когда мы начинаем говорить о переменных с показателями степени или уравнениях с несколькими переменными, решения могут стать немного сложнее. Однако вы должны быть рады узнать, что все правила и методы, описанные в этом уроке, по-прежнему применимы к этим более сложным задачам. Язык математики строится сам на себе. Разве математика не прекрасна?

Итоги урока

Хорошо, давайте сделаем пару минут для повторения.Как мы узнали на этом уроке, алгебраическое уравнение состоит из переменной, ненулевого коэффициента и констант. И помните, что переменная — это просто буква, которая используется для обозначения неизвестной величины.

Решение этого типа уравнения включает в себя манипулирование им в соответствии с логическими математическими правилами, чтобы вы могли найти нужную переменную, выделив ее с одной стороны уравнения, а все остальное — с другой. Представьте, что каждая сторона равенства — дети: что бы вы ни делали с одной стороной, вы должны сделать и с другой стороной.Как только вы усвоите эти концепции, решение алгебраических уравнений станет легким делом!

Алгебра в повседневной жизни

16 долларов США

Пояснение:

1.Разобраться в проблеме

Группа из 5 мальчиков идет в театр. Стоимость билета и попкорна составляет 55 и 25 долларов соответственно. Сколько стоит на человека?

2. Запишите переменную

Скажем, x = стоимость билета на человека, а y = стоимость попкорна на человека

3. Напишите уравнение

Если 5 билетов стоят 55 долларов, то стоимость одного билета

`5x` = 55

`x` = `55/5`

Если 5 пакетов попкорна стоят 25 долларов, то стоимость каждого пакета составляет

долларов.

`5лет` = 25

`y` = `25/5`

Общая стоимость фильма (билет + попкорн) на человека = `x + y`

4.Решите уравнение

Стоимость билета на человека

`x` =` 55/5`

`x` = 11

долларов США

Стоимость попкорна на человека

`y` = `25/5`

`y` = 5 долларов США

5. Проверьте свой ответ

Стоимость билета на человека + Стоимость попкорна на человека = Общая стоимость

11 + 5 = 16

Если сложить 16 пять раз (так как мальчиков 5), получится

16 + 16 + 16 + 16 + 16 = 80

80 $ — это общая стоимость.

Понимание простых алгебраических формул с примерами — MathsTips.com

Определение:

Любой общий результат, выраженный символами, называется формулой. Другими словами, формула — это наиболее общее выражение любой теоремы о величинах.

Формула:

То есть квадрат любых двух величин равен сумме их квадратов плюс удвоенное их произведение.

Следственный отдел:

Пример: найти квадрат

Пример: Упростить:

Пример: найти квадрат 8012.

Пример: найти значение, когда

Пример: Выразите в виде полного квадрата.

Операция:

1. Найдите квадрат следующего числа:

и)

ii)

2. Выразите каждое из следующих выражений в виде полного квадрата:

и)

ii)

3. Упростить:

и)

ii)

4. Если найти значение

5.Если показать это, и

Формула:

То есть квадрат разницы любых двух величин равен сумме их квадратов минус удвоенное их произведение.

Следствие 1:

Следствие 2: , и,

Пример: найти квадрат

Пример: найти значение, когда

и.

ii.

iii.

Операция:

1.Найдите следующий квадрат:

и)

ii) 993

[Подсказка: запишите 993 как (1000-7)]

2. Выразите каждое из следующих выражений в виде полного квадрата:

и)

ii)

3. Упростить:

и)

[Подсказка: положите и]

ii)

4. Если, покажите, что

5. Если, покажите, что

и)

ii)

Формула:

То есть произведение суммы и разности любых двух величин равно разности их квадратов.

И наоборот. Следовательно, мы всегда можем найти множители выражения, которое имеет вид

Примечание: Когда одно выражение является произведением двух или более выражений, каждое из последних называется множителем первого.

Пример: умножить на

Пример: умножить на

$ латекс

Пример: Упростить:

Пример: разложить на множители

снова,

Следовательно, данное выражение принимает вид

Задание:

1.Умножаем вместе:

i) и

ii) и

[Подсказка: возьмите 200 = (200 + 8) и 192 = (200-8)]

iii) и

iv) и

2. Упростить:

и)

ii)

Разложить на множители:

и)

ii)

iii)

iv)

Еще несколько формул:

Примечание: легко заметить, что приведенная выше формула (3) включает следующие результаты:

и.

ii.

iii.

Например,

Аналогичным образом можно доказать истинность двух других результатов.

Следовательно, мы можем более четко выразить формулу следующим образом:

Формула вероятности

— Скачать формулу вероятности PDF

Формула вероятности: Формулы вероятности полезны для расчета вероятности наступления события. Вероятность — это раздел математики, который занимается численным описанием вероятности того, что событие произойдет.Вероятность события всегда находится между 0 и 1, где 0 указывает на невозможное событие, а 1 указывает на определенное событие.

Предположим, что вероятность наступления события равна x, тогда вероятность того, что событие не произойдет, обозначается (1-x). Мы используем основные формулы вероятности, чтобы определить вероятность того, что событие произойдет.

Формула вероятности: определение вероятности

Неопределенность / определенность возникновения события измеряется вероятностью.Хотя теория вероятности началась с азартных игр, сейчас она широко используется в областях физических наук, торговли, биологических наук, медицины, прогнозирования погоды и т. Д. Вероятность для класса 10 — важная глава для студентов, в которой объясняются все основные концепции.

Чтобы определить вероятность возникновения одного события, во-первых, мы должны знать общее количество возможных исходов. Например, когда мы подбрасываем монету, мы получаем либо голову, либо решку, т.е. возможны только два возможных исхода (H, T).Если мы хотим, чтобы выпала голова, наш благоприятный исход — H. Итак, мы обозначим вероятность выпадения орла при подбрасывании монеты:

= 1/2

Как найти вероятность?

Формула вероятности дает возможность события. Он равен отношению количества благоприятных исходов к общему количеству исходов. Мы предоставили вероятностные формулы с примерами.

Вероятность наступления события P (E) = Количество благоприятных исходов / общее количество исходов

или,

P (A) — вероятность события «A»
n (A) — количество благоприятных исходов
n (S) — общее количество событий в пространстве выборки

Мы используем два термина — «благоприятный исход» и «желаемый исход» в контексте вероятности.Иногда студенты путаются между этими двумя терминами. В некоторых требованиях проигрыш в определенном тесте или возникновение нежелательного результата может быть благоприятным событием для проведения экспериментов.

Основные формулы вероятности

Здесь мы предоставили некоторые математические формулы вероятности, которые будут очень полезны учащимся:

Диапазон вероятности	0 ≤ P (A) ≤ 1
Правило дополнительных событий	P (A ^c) + P (A) = 1
Правило сложения	P (A∪B) = P (A) + P (B) — P (A∩B)
Непересекающиеся события — События A и B не пересекаются, если	P (A∩B) = 0
Условная вероятность	P (A \| B) = P (A∩B) / P (B)
Формула Байеса	P (A \| B) = P (B \| A) ⋅ P (A) / P (B)
Независимые события — События A и B независимы, если и только если	P (A∩B) = P (A) ⋅ P (B)
Кумулятивная функция распределения	F _X ( x ) = P ( X ≤ x )

Помимо этих формул вероятности Класс 10, есть еще несколько важных уравнений вероятности:

Функция массы вероятности

Функция массы вероятности (PMF) (или функция частоты) дискретной случайной величины X присваивает вероятности возможным значениям случайной величины.

Кроме того, если A является подмножеством возможных значений X, то вероятность того, что X принимает значение в A, определяется выражением:

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности (PDF) , обозначенная f, непрерывной случайной величины X удовлетворяет следующему:

Ковариация

Ковариация — это мера совместной изменчивости двух случайных величин.Обозначается следующей формулой:

Здесь,

cov _{x, y} = ковариация между переменными a и y
x _i = значение данных x 5 i = значение данных y
x̄ = среднее значение x
ȳ = среднее значение y
N = значений данных 9155 Количество значений данных
Загрузить — Формулы вероятности PDF
Другие важные статьи по математике:
Решенные примеры формул вероятности, класс 12
Здесь мы привели несколько вероятностно решаемых примеров.
Вопрос 1: Монета брошена 3 раза. Какова вероятность получения хотя бы одной головы?
Решение: Пробел = [HHH, HHT, HTH, THH, TTH, THT, HTT, TTT] Общее количество путей = 2 × 2 × 2 = 8.
Благоприятные случаи = 7 [Требуется хотя бы 1 голова] P (A) = количество благоприятных исходов / общее количество исходов
= 7/8
Вопрос 2: Из колоды в 52 карты берутся две карты. Найдите вероятность того, что оба являются бриллиантами или оба являются королями.
Раствор: Общее количество путей = ⁵² C ₂
Случай I: Оба бриллианта = ¹³ C ₂
Случай II: Оба короля = ⁴ C ₂
P (оба бриллианта или оба являются королями) = (¹³ C ₂ + ⁴ C ₂) / ⁵² C ₂ = 14/221
Вопрос 3: Рассчитайте вероятность выпадения четного числа при броске кубика.
Решение: Пробел (S) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
n (S) = 6
Пусть «E» будет событием получения нечетного числа, E = {2, 4, 6}
n (E) = 3
Итак, вероятность получить нечетное число составляет:
P (E) = (количество благоприятных исходов) / (общее количество исходов)
= n (E) / n (S)
= 3/6
= 1/2
Вопрос 4: Какова вероятность получить сумму 22 или больше, когда брошены четыре кубика?
Решение: Общее количество способов = 6 ⁴
= 1296
(i) Количество способов получения суммы 22 равно 6,6,6,4 = 4! / 3!
= 4 и 6,6,5,5 = 4! / 2! 2!
= 6.
(ii) Количество способов получить сумму 23 равно 6,6,6,5 = 4! / 3! = 4
(iii) Количество способов получить сумму 24 равно 6,6,6,6 = 1.
Fav. Количество корпусов = 4 + 6 + 4 + 1 = 15 способов.
P (получаем сумму 22 или больше) = 15/1296
= 5/432
Вопрос 5. Найдите вероятность того, что в високосном году 52 воскресенья.
Решение: В високосном году может быть 52 воскресенья или 53 воскресенья.
В високосном году 366 дней, из которых 52 полных недели и оставшиеся 2 дня.
Так вот, эти два дня могут быть (сб, вс), (вс, пн), (пн, вт), (вт, ср), (ср, чт), (чт, пт), (пт, сб).
Итак, всего 7 случаев, из которых (Сб, Вс) (Вс, Пн) — два благоприятных.
Итак, P (53 воскресенья) = 2/7
Now, P (52 воскресенья) + P (53 воскресенья) = 1
Итак, P (52 воскресенья) = 1 — P (53 воскресенья) = 1 — (2 / 7) = (5/7)
Также чек:
Практические вопросы по всем формулам вероятностей
Здесь мы предоставили вам некоторые практические вопросы по формулам вероятности для класса 7:
Вопрос 1: Три пакета содержат 3 красных, 7 черных; 8 красных, 2 черных, 4 красных и 6 черных шаров соответственно.Случайно выбирается 1 из мешков, и из него вынимается шар. Если выпавший шар красный, найдите вероятность того, что он будет вытянут из третьего мешка.
Вопрос 2: Пятнадцать человек сидят за круглым столом. Каковы шансы, что два человека не будут сидеть вместе?
Вопрос 3: Из колоды карт наугад вытягиваются три карты. Найдите вероятность того, что каждая карта принадлежит к разной масти.
Вопрос 4: Два кубика бросаются вместе.Какова вероятность того, что число, полученное на одной из игральных костей, будет кратным числу, полученному на другой кости?
Вопрос 5: Случайным образом вытягивается 1 карта из колоды из 52 карт.
(i) Найдите вероятность того, что это карта чести.
(ii) Это лицевая карта.
Вопрос 6: Есть 5 зеленых 7 красных шаров. Два шара выбираются один за другим без замены. Найдите вероятность того, что первое будет зеленым, а второе — красным.
Вопрос 7: Рассмотрим другой пример, когда пачка содержит 4 синих, 2 красных и 3 черных ручки.Если ручка извлекается из пачки наугад, заменяется и процесс повторяется еще 2 раза, какова вероятность вытащить 2 синих ручки и 1 черную ручку?
Вопрос 8: В классе 40% студентов изучают математику и естественные науки. 60% студентов изучают математику. Какова вероятность того, что студент будет изучать естественные науки, если он / она уже изучает математику?
Часто задаваемые вопросы, связанные с формулой вероятности
Здесь мы предоставили некоторые из часто задаваемых вопросов, связанных с формулами статистической вероятности:
Q1: Какова формула вероятности?
A: Вероятность события — это количество благоприятных исходов, деленное на общее количество возможных исходов.Это базовое определение вероятности предполагает, что все исходы имеют одинаковую вероятность.
Q2: Каковы 3 типа вероятности?
A: Существует 3 типа вероятности:
(i) Теоретическая вероятность.
(ii) Экспериментальная вероятность.
(iii) Аксиоматическая вероятность.
Q3: Что означает P (AUB)?
A: P (AUB) — это вероятность суммы всех точек выборки в AU B. Она определяется соотношением P (A) + P (B), которое представляет собой сумму вероятностей точек выборки в A и B .
Q4: Что означает P (A | B)?
A: P (A | B) — условная вероятность. Это вероятность наступления события A при условии, что событие B произойдет.
Q5: Где я могу скачать формулы вероятности для определения способностей?
A: Вы можете загрузить формулы вероятности для PDF-файла aptitude из Embibe. На этой странице мы предоставили все основные формулы вместе с уравнениями вероятности.
Теперь вам предоставлена вся необходимая информация обо всех формулах вероятности 9 класса.Мы надеемся, что вы скачали PDF-файл с формулами вероятности, доступный на этой странице. Практикуйте больше вопросов и овладейте этой концепцией
Студенты могут использовать NCERT Solutions для математики, предоставленные Embibe для подготовки к экзаменам.
Мы надеемся, что эта подробная статья о формулах вероятности статистики вам поможет. Если у вас есть какие-либо вопросы по этой статье, свяжитесь с нами через раздел комментариев ниже, и мы свяжемся с вами как можно скорее.
1288 Просмотры
Перестановка и комбинация: определение, формула, примеры
Перестановка и комбинация: Перестановка и комбинация — это два разных способа представления группы элементов. Оба они разные, и многие студенты путаются между ними. Когда порядок расположения не имеет значения, мы называем это комбинацией. Если порядок имеет значение, значит, у нас есть перестановка. Можно справедливо сказать, что перестановка — это упорядоченная комбинация .Давайте поймем разницу между перестановкой и комбинацией на примере.
Возьмите цифровой замок. Когда мы пытаемся открыть его паролем, скажем 1-2-3, то порядок очень важен. Вы не можете открыть его с помощью 2-1-3 или 3-1-2. Таким образом, это перестановка. Все перестановки 1, 2 и 3:
123, 132, 213, 231, 312, 321
Если бы это был настоящий «кодовый замок», он открывался бы, введя любую из перестановок выше.Фактически, цифровую блокировку по праву следует называть блокировкой перестановки, а не «кодовым замком »!
Мы подробно объяснили все формулы перестановки и комбинирования на этой странице. Также мы предоставили вам решенные примеры и практические вопросы по комбинации перестановок.
Определение перестановки и комбинации
Здесь мы дали математическое определение перестановки и комбинации:
Что такое перестановка?
Перестановка — это расположение в определенном порядке ряда объектов, взятых частично или полностью одновременно.При перестановках важна каждая мелочь. Это означает, что порядок расположения элементов очень важен.
Есть два типа перестановок:
Разрешено повторение: Для приведенного выше примера блокировки номера это может быть «2-2-2».
Повторение запрещено: Например, первые три человека в гонке. Вы не можете быть первым и вторым одновременно.
Что такое комбинация?
Комбинация — это способ выбора элементов из набора таким образом, что порядок выбора не имеет значения.В сочетании имеет значение только выбор элементов. Это означает, что порядок, в котором выбираются элементы, не важен.
Есть два типа комбинаций:
Разрешено повторение : Например, монеты в кармане (2,5,5,10,10)
Повторение запрещено : Например, номера лотереи (2,14,18,25,30, 38)
Формула перестановки и комбинирования
Существует множество формул, которые используются для решения задач перестановки и комбинирования.Мы предоставили полный список формул перестановки и комбинирования здесь:
★ Если повторение запрещено: P — это перестановка или расположение r элементов из набора n элементов без замены. Мы определяем P как:
★ Если повторение разрешено: P — это перестановка или расположение r элементов из набора n элементов, когда повторение разрешено. Мы определяем P как:
Вывод формулы перестановки:
Предположим, что имеется r коробок, в каждой из которых может поместиться одна вещь.Будет столько перестановок, сколько существует способов заполнения r пустых полей на n объектов.
— Количество способов заполнения первого ящика: n
— Количество способов заполнения второго ящика: ( n — 1)
— Количество способов третьего ящика заполняется: ( n — 2)
— Количество способов заполнения четвертого поля: ( n — 3)
— No.путей r ^th ящик может быть заполнен: [ n — ( r -1)]
Число перестановок n различных объектов, взятых за один раз r , где 0 < r ≤ n и объекты не повторяются: n ( n — 1) ( n — 2) ( n — 3). . . ( n — r + 1)
⇒ nP _r = n (n — 1) (n — 2) (n — 3).. . (n — r + 1)
Умножение и деление на ( n — r ) ( n — r — 1). . . 3 × 2 × 1, получаем:
★ Если повторение запрещено: C — это комбинация n различных элементов, принимающих r за раз (порядок не важен). Мы определяем C как:
★ Если повторение разрешено: C — это комбинация n различных вещей, принимающих r за раз (порядок не важен) с повторением.Мы определяем C как:
Получение формулы комбинации:
Предположим, что имеется r коробок, в каждой из которых может поместиться одна вещь.
— Количество способов выбора первого объекта из n отдельных объектов: n
— Количество способов выбора второго объекта из ( n-1) различных объектов: ( n-1)
— количество способов выбрать третий объект из ( n-2) различных объектов: ( n-2)
— No.способов выбора объекта r ^th из [ n- (r-1) ] отдельных объектов: [ n- (r-1) ]
Завершение выбора r элементов из исходного набора n элементов создает упорядоченное подмножество из r элементов.
∴ Количество способов сделать выбор из r элементов исходного набора из n элементов составляет: n ( n — 1) ( n — 2) (п-3).. . ( n — ( r — 1)) или n ( n — 1) ( )… ( n — r + 1) .
Рассмотрим упорядоченное подмножество r элементов и все его перестановки. Общее количество всех перестановок этого подмножества равно r! потому что р предметов в любой комбинации можно переставить в р! способов.
Следовательно, общее количество перестановок n различных вещей, взятых за один раз r , равно (nC _r × r!). Это не что иное, как nP _r.
Скачать — Формула перестановки и комбинирования PDF
Мы можем резюмировать формулу комбинации перестановок в таблице ниже:
Разница между перестановкой и комбинацией
Мы представили различия в перестановках и комбинациях в таблице ниже:
Перестановка Комбинация
Выбор r объектов из набора n объектов, в котором порядок выбора имеет значение. Количество возможных комбинаций r объектов из набора на n объектах, где порядок выбора не имеет значения.
Перестановка используется для списков (порядок имеет значение). Комбинация используется для групп (порядок не имеет значения).
Обозначает расположение предметов. Не обозначает расположение предметов.
Мы можем получить несколько перестановок из одной комбинации. Только одна комбинация может быть получена из одной перестановки.
Они определены как упорядоченные элементы. Они определены как неупорядоченные наборы.
Решенные примеры перестановки и комбинации
Мы предоставили несколько примеров перестановок и комбинаций с подробными решениями. Получите Permutation and Combination Class 11 NCERT Solutions бесплатно на Embibe.
Вопрос 1. Найдите количество перестановок и комбинаций, если n = 15 и r = 3.
Ответ: n = 15, r = 3 (Дано)
Используя формулы для перестановки и комбинации, получаем:
Перестановка, P = n! / (N — r)!
= 15! / (15 — 3)!
= 15! / 12!
= (15 х 14 х 13 х 12!) / 12!
= 15 x 14 x 13
= 2730
Кроме того, комбинация, C = n! / (N — r)! R!
= 15! / (15 — 3)! 3!
= 15! / 12! 3!
= (15 х 14 х 13 х 12!) / 12! 3!
= 15 x 14 x 13/6
= 2730/6
= 455
Вопрос 2: Насколько разными способами можно расположить буквы слова «ОПТИЧЕСКИЙ» так, чтобы гласные всегда сходились вместе?
Ответ: Слово «ОПТИЧЕСКИЙ» состоит из 7 букв.В нем есть гласные «O», «I», «A», и эти 3 гласные всегда должны совпадать. Следовательно, эти три гласные можно сгруппировать и рассматривать как одну букву. То есть PTCL (OIA).
Следовательно, мы можем считать, что общее количество букв равно 5, и все эти буквы разные.
Количество способов расстановки этих букв
= 5!
= 5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 120
Все 3 гласные (OIA) разные.
Количество способов расположить эти гласные между собой
= 3!
= 3 × 2 × 1
= 6
Отсюда необходимое количество путей:
= 120 × 6
= 720
Вопрос 3: Сколько трехбуквенных слов со смыслом или без него можно составить из букв слова «ЛОГАРИФМЫ», если повторение букв запрещено?
Ответ: Слово «ЛОГАРИФМЫ» состоит из 10 различных букв.
Следовательно, количество трехбуквенных слов (со смыслом или без него), образованных с помощью этих букв
= ¹⁰ P ₃
= 10 × 9 × 8
= 720
Вопрос 4: Есть 8 мужчин и 10 женщин, и вам необходимо сформировать комитет из 5 мужчин и 6 женщин. Какими способами можно сформировать комитет?
Ответ: Нам нужно выбрать 5 мужчин из 8 мужчин и 6 женщин из 10 женщин.
Количество способов сделать это
= ⁸ C ₅ × ¹⁰ C ₆
= ⁸ C ₃ × ¹⁰ C ₄ [∵ ⁿ C _r = ⁿ C _(nr)]
= [(8 x 7 x 6) / (3 x 2 x 1)] x [(10 x 9 x 8 x 7) / (4 x 3 x 2 x 1 )]
= 56 × 210
= 11760
Вопрос 5: В сумке находятся 2 белых шара, 3 черных шара и 4 красных шара.Какими способами можно вытащить 3 шара из мешка, если в розыгрыш должен быть включен хотя бы один черный шар?
Ответ: Из 2-х белых, 3-х черных и 4-х красных шаров следует выбрать 3 шара так, чтобы там был хотя бы один черный шар.
Следовательно, у нас есть 3 варианта, как указано ниже.
Выбор 1: Мы можем выбрать 3 черных шара.
Вариант 2: Мы можем выбрать 2 черных шара и 1 не черный шар.
Выбор 3: Мы можем выбрать 1 черный шар и 2 не черных шара.
Количество способов выбрать 3 черных шара
= 3C3
Количество способов выбрать 2 черных шара и 1 не черный шар
= 3C2 × 6C1
Количество способов выбрать 1 черный шар и 2 не черных шара
= 3C1 × 6C2
Общее количество путей
= 3C3 + 3C2 × 6C1 + 3C1 × 6C2
= 3C3 + 3C1 × 6C1 + 3C1 × 6C2 [∵ ⁿ C _r = ⁿ C _(nr)] ] = 1 + (3 × 6) + [3 x (6 × 5) / (2 × 1)]
= 1 + 18 + 45
= 64
Вопрос 6: У менеджера событий есть десять моделей стульев и восемь моделей столов.Какими способами он может сделать пару стола и стула?
Ответ: В менеджере событий есть 10 шаблонов стульев и 8 шаблонов столов.
Кресло можно выбрать 10 способами.
Стол можно выбрать 8 способами.
Следовательно, можно выбрать один стул и один стол 10 × 8 способов
= 80 способов
Вопрос 7: Какими способами трое мальчиков могут сидеть на пяти стульях?
Ответ: Есть 3 мальчика.
Первый мальчик может сесть на любой из пяти стульев (5 способов).
Теперь осталось 4 стула. Второй мальчик может сесть на любой из четырех стульев (4 способа).
Теперь осталось 3 стула. Третий мальчик может сесть на любой из трех стульев (3 способа).
Следовательно, общее количество способов, которыми 3 мальчика могут сесть на 5 стульев
= 5 × 4 × 3
= 60
Вопрос 8: Какими способами можно сформировать команду из 5 человек из 10 человек таким образом, чтобы в каждую команду входило по два конкретных человека?
Ответ: В каждую команду должно входить по два человека.Следовательно, мы должны выбрать оставшихся (5 — 2) = 3 человека из (10 — 2) = 8 человек.
Отсюда необходимое количество ходов
= ⁸ C ₃
= (8 × 7 × 6) / (3 × 2 × 1)
= 8 × 7
= 56
Другие важные статьи по математике:
Перестановочные и комбинированные вопросы
Вот несколько практических вопросов по концепциям перестановки и комбинирования, которые вы можете применить на практике:
Вопрос 1: В сумке 5 желтых, 4 зеленых и 3 черных шара.Все 12 шаров выпадают один за другим и выстраиваются в ряд. Узнайте количество возможных вариантов расположения.
Вопрос 2: Какими способами можно сформировать команду из 5 человек из 10 человек таким образом, чтобы два отдельных человека не входили ни в одну команду?
Вопрос 3: Если на шахматной доске 9 горизонтальных линий и 9 вертикальных линий, сколько прямоугольников можно образовать на доске?
Вопрос 4: Найдите количество треугольников, которые можно сформировать из 14 точек на плоскости, при которых 4 точки лежат на одной прямой?
Вопрос 5: Какова сумма всех четырехзначных чисел, образованных с использованием цифр 2, 3, 4 и 5 без повторения?
Вопрос 6: На вечеринке по случаю дня рождения каждый жмет руку каждому другому.Если в партии было 28 рукопожатий, сколько человек присутствовало в партии?
Вопрос 7: Если ⁿ C ₈ = ⁿ C ₂₇, каково значение n?
Вопрос 8: Найдите количество треугольников, которые можно нарисовать из n заданных точек на окружности?
Вопрос 9: Какими способами можно расположить 10 книг на полке так, чтобы определенная пара книг никогда не была вместе?
Вопрос 10: Сколько чисел от 100 до 1000 может быть образовано цифрами 3, 4, 5, 0, 6, 7 (повторение цифр не допускается)?
Также чек
Часто задаваемые вопросы о концепциях перестановок и комбинаций
Здесь мы предоставили некоторые из часто задаваемых вопросов, связанных с перестановкой и комбинацией:
Q1: Какова формула перестановки и комбинации?
A: Количество перестановок n объектов, взятых r за раз, определяется по следующей формуле: P (n, r) = n! / (N − r) !.Количество комбинаций r объектов из набора n объектов определяется по следующей формуле: C (n, r) = n! / (N − r)! R!
Q2: Что такое формула nPr?
A: nPr = n! / (N — r)!
Q3: Что такое формула nCr?
А: nCr = n! / (п — г)! г!
Q4: Какая польза от перестановки и комбинации в реальной жизни?
A: В нашей повседневной жизни есть много применений перестановок и комбинаций. Некоторые общие области, в которых используется перестановка, — это расположение людей, цифр, чисел, алфавитов, букв и цветов.
Подбор меню, еда, одежда, предметы, команда — примеры сочетаний.
Q5: Где мы используем перестановку и комбинацию?
A: Мы используем перестановку для списка объектов, где порядок выбора имеет значение. С другой стороны, комбинация используется для группы объектов, где порядок выбора не имеет значения.
Q6: Что такое перестановка и комбинация?
A: Перестановка — это порядок расположения объектов или чисел в последовательном порядке.
Комбинация — это способ выбора объектов или чисел из группы объектов таким образом, что порядок объектов не имеет значения.
Q7: Какая связь между перестановкой и комбинацией.
A: Формула для перестановок и комбинаций соотносится следующим образом:
nCr = nPr / r!
Q8: Что обозначают n и r в nPr?
A: nPr — формула перестановки, где n — размер набора. Это общее количество элементов в выборке, а — — размер подмножества.
Q9: Как вы произносите nCr?
A: nCr читается как n select r.
Q10: Как загрузить формулу перестановки и комбинирования класса 11?
A: Embibe предоставляет бесплатные решения для перестановки и комбинирования классов 11. Вы также можете бесплатно скачать PDF-файл с решениями NCERT для перестановок и комбинаций.
Теперь вам предоставлена вся необходимая информация о значениях и формулах перестановок и комбинаций. Мы надеемся, что вы скачали формулу в формате PDF, доступную на этой странице.Практикуйте больше вопросов и овладейте этой концепцией
Вы можете использовать решение NCERT Solutions для математики, предоставленное академическими экспертами Embibe для подготовки к выпускному экзамену или к экзамену совета директоров.
Надеемся, эта подробная статья вам поможет. Если у вас есть какие-либо вопросы, не стесняйтесь спрашивать в разделе комментариев ниже. Мы свяжемся с вами в ближайшее время.
926 Просмотров
Как составить алгебраические уравнения для соответствия задачам со словами
Вы здесь: Главная → Статьи → Как составить уравнение для задач со словами
Студенты часто сталкиваются с проблемами при составлении уравнения для задачи со словом в алгебре.Для этого им необходимо увидеть ВЗАИМОСВЯЗЬ между различными величинами в задаче. В этой статье объясняются некоторые из этих отношений.
Меня спросили,
Мне нужен простой и полезный способ научить писать уравнения.
Пример: У Хелен 2 дюйма стрижки волос каждый раз, когда она идет в парикмахерскую. Если h равняется длине волос до того, как она их подстригла, а c равняется длине волос после того, как она их подстригла, какое уравнение вы использовали бы, чтобы найти
длина волос Хелен после посещения парикмахерской?
a) h = 2 — c c) c = h — 2
b) c = 2 — h d) h = c — 2
Есть ли единый метод обучения студентов написанию алгебраических уравнений? Мне нужна помощь.
Первое, что я делаю, пытаясь понять, как научить чему-то, — это анализировать собственное мышление. Как я думаю при решении этого
проблема? Какие шаги и мелкие детали? Именно эти детали и шаги, которые я могу сделать автоматически, мне нужно объяснить студентам.
помочь им.
Просмотр количеств и их взаимосвязи вместо чисел
В этой задаче, казалось бы, много информации, но на самом деле касается распознавания количеств и простой связи между
им .Это, конечно, та же задача, что и перевод ситуации, объясненной словами, в математическое выражение с использованием символов.
Дети проявляют трудность в этом задании, когда они читают простую словесную задачу, а затем спрашивают: «Пойду ли я в этот раз, или я делю?», Просто угадывая операцию, которую нужно выполнить с разными числами, указанными в задаче.
Студенты должны видеть количество и ВЗАИМООТНОШЕНИЯ между ними. Им нужно выйти из числа 5, 2, 10, 789 или любых других чисел в задаче и увидеть общие задействованные количества и то, как они связаны друг с другом.В очень простых задачах со словами это отношение обычно включает только одну из четырех основных операций. Тогда в алгебре между ними может быть больше величин и больше операций.
Примеры задач сложения слов
Пример. У Дженни 7 шариков, а у Кенни 5. Сколько у них вместе?
Ключевое слово вместе с говорит нам, что ДОБАВЛЕНИЕ, вероятно, является необходимой операцией. Здесь представлены шариков Дженни , шариков Кенни и шариков всего .Отношения между ними —
.
Шарики Дженни + Шарики Кенни = Всего шариков
Из этой общей связи между величинами легко написать уравнение для задачи, которая ее решает:
Отношение: Шарики Дженни + Мраморы Кенни = Всего мрамора
Уравнение: 7 + 5 = _____
Я написал ____ вместо общих шариков, поскольку именно это и требует проблема (неизвестное).
Все это может показаться упрощенным, но важно помочь детям увидеть основную взаимосвязь между величинами. Рассмотрим теперь эту проблему:
Пример: У Дженни и Кенни вместе 37 шариков, а у Кенни 15. Сколько у Дженни?
Многие учителя могут попытаться объяснить это как задачу на вычитание, , но на самом фундаментальном уровне это примерно сложение! Это все еще говорит о двух людях, имеющих определенное количество шариков вместе .Связь между количествами такая же, как указано выше, поэтому нам все равно нужно написать уравнение сложения.
Отношение: Мрамор Дженни + Кенни мрамор = Всего мрамора
Уравнение: _____ + 15 = 37
Тогда мы можем решить уравнение ____ + 15 = 37 следующим образом:
вычитание.Использование такого подхода в начальных классах поможет детям составлять уравнения
в задачах по алгебре позже.
Пример : Дженни, Кенни и Пенни вместе имеют 51 шарик.
У Кенни вдвое больше шариков, чем у Дженни, а у Пенни 12. Сколько у Дженни?
Связь между величинами такая же, поэтому она решается таким же образом: путем написания уравнения сложения. Однако нам нужно чем-то обозначить количество шариков Дженни и Кенни.Шарики Дженни неизвестны, поэтому мы можем обозначить это с помощью переменной n . Тогда у Кенни 2 и шариков.
Отношение: Мрамор Дженни + Кенни мрамор + Мрамор Пенни = Всего мрамора
Уравнение: n + 2 n + 12 = 51
Пример: Джейн находится на 79 странице своей книги.В книге 254 страницы. Сколько страниц ей еще нужно прочитать?
На этот раз слово « по-прежнему » указывает нам на аддитивную связь, при которой отсутствует одно из слагаемых. Сначала вы можете написать пустую строку для того, что неизвестно, а затем заменить это переменной.
страницы уже прочитаны + страниц еще предстоит прочитать = всего страниц
+ =
Это уравнение, конечно, затем решается вычитанием, но будет лучше, если вы рассмотрите его как ситуацию сложения и напишите для него уравнение сложения.
Пример: Количество часов, оставшихся в течение дня, составляло одну треть от количества часов, которые уже прошли. Сколько часов осталось в дне?
(из 5 класса задач со словами для детей)
Можете ли вы понять общий принцип этой проблемы? В нем говорится о часах дня, когда несколько часов уже прошло, а несколько часов осталось. Это, конечно, еще раз указывает на сложение: у нас есть одна часть дня, другая часть и сумма.
Единственное известное нам количество — это общее количество часов в день.Мы не знаем ни прошедших, ни оставшихся часов, поэтому изначально , вы можете использовать две пустые строки в уравнении, которое показывает основную взаимосвязь между количествами:
Осталось
часа уже прошло + часов = всего часов
=
Затем информация в первом предложении дает нам другое соотношение:
«Количество часов, которые остались в дне, составляло одну треть от количества часов, которые уже прошли.»
Мы не знаем ни количество прошедших, ни оставшихся часов. Итак, давайте использовать переменную p для прошедших часов. Затем мы можем написать выражение, включающее p для оставшихся часов, потому что «оставшиеся часы составляют одну треть прошедших часов», или
Осталось
часов = 1/3 p
Тогда запись 1/3 p для «оставшихся часов» в первом уравнении даст нам:
Осталось
часа уже прошло + часов = всего часов
п + 1/3 п. = 24
Это можно решить, используя основную алгебру или угадывая и проверяя.
Задачи на вычитание слов
Одна ситуация, которая указывает на вычитание, — это разница или , сколько / намного больше . Однако наличие слова «больше» может указывать на сложение или вычитание, так что будьте осторожны.
Пример: Тед прочитал сегодня 17 страниц, а Фред — 28. Сколько еще страниц прочитал Фред?
Решение, конечно, 28 — 17 = 11, но недостаточно просто объявить об этом — дети также должны понимать, что разница в является результатом вычитания и сообщает ответ на , сколько еще .
Родство: Pages Fred прочитал – страницы Тед прочитал = разница
Уравнение:
28
–
17
=
__
Пример: У Грега на 17 шариков больше, чем у Джека. У Джека есть
15.Сколько у Грега?
Здесь слово , больше имеет другое значение. Этот
проблема не в разнице. Вопрос спрашивает, сколько
Грег уже — не какая разница, в количествах шариков. Здесь просто говорится, что у Грега на 17 больше, чем у Джека, поэтому здесь слово больше просто указывает на сложение: у Грега столько же, сколько у Джека И еще 17, поэтому у Грега 15 + 17 шариков.
Пример: Масса Великой пирамиды на 557 тонн больше, чем масса Пизанской башни.Stone Henge имеет массу 2695 тонн, что на 95 тонн меньше, чем Пизанская башня. Когда-то была Большая пирамида, масса которой вдвое превышала массу Великой пирамиды. Какова была масса Великой пирамиды?
(из 5 класса задач со словами для детей)
Каждое из первых трех предложений дает информацию, которую можно преобразовать в уравнение. Вопрос не в сколько еще так что не в разнице. Одно то, что больше , другое подразумевает, что вы добавляете.Одно дело, что меньше , другое подразумевает вычитание. И если дважды что-то означает умножение на 2.
Когда я прочитал эту задачу, я сразу понял, что могу писать уравнения из разных предложений в задаче, но я не мог
сразу увидеть ответ. Я подумал, что после написания уравнений увижу какой-нибудь путь вперед; вероятно, одно уравнение решено и дает ответ на другое уравнение.
Первое предложение гласит: «Масса Великой пирамиды на 557 тонн больше массы Пизанской башни».Какие здесь количества и соотношение между ними?
масса Великой пирамиды = масса Пизанской башни + 557т
Второе предложение гласит: «Стоунхендж имеет массу 2695 тонн, что на 95 тонн меньше, чем Пизанская башня».
Здесь вы получите взаимосвязь, аналогичную приведенной выше, и .
фактически объясняет массу Стоунхенджа. Это как две отдельные части
из информации: «Стоунхендж весит на 95т меньше башни.
Стоунхендж весит 2695 т. «Меньше — значит вычесть. Если у вас есть
проблемы с принятием решения, что из чего вычитать, вы можете думать в уме
что тяжелее: Стоунхендж или башня?
либо Масса Стоунхенджа = Масса башни — 95т
или Масса башни = Масса Стоунхенджа — 95т
Теперь, когда масса Стоунхенджа дана, вы можете решить это уравнение и, зная, что вы
может решить первое уравнение, а затем перейти к массе « Великой пирамиды ».
Если учитель сразу переходит к числовым предложениям при решении слов
задачи, то ученики не увидят шаг, который происходит в уме до того, как
что. Количества и отношения между ними должны быть указаны
ясные и записанные, прежде чем возиться с реальными числами. Находка
эти отношения должны быть самой важной частью словесных проблем.
Можно даже опустить фактические вычисления и сосредоточиться только на поиске
количества и отношения.
Проблема длины волос Елены
Проблема. У Хелен стрижка на 2 дюйма каждый раз, когда она идет в парикмахерскую. Если
h равняется длине волос до того, как она их острижет, а c равна длине волос после того, как она их подстрижет, какое уравнение вы использовали бы, чтобы найти
длина волос Хелен после посещения парикмахерской?
а. ч = 2 — с с. c = h -2
b. c = 2 — h d. ч = в -2
Решение. Игнорируя пока буквы c и h ,
какие количества? Какой принцип или связь существует между
их? Какая из перечисленных ниже возможностей верна? Что вы от чего забираете?
1. стрижка – длина волос до стрижки = длина волос после стрижки
2. стрижка – длина волос после стрижки = длина волос до стрижки
3. длина волос до стрижки – стрижка = длина волос после стрижки
4. длина волос после стрижки – стрижка = длина волос до стрижки
ПРОСТО, не правда ли ?? В исходной задаче уравнения имеют вид
с помощью h и c вместо длинных фраз «длина волос до
стрижка »и« длина волос после стрижки ».Ты можешь
замените c , h и 2 в приведенные выше соотношения, а затем сопоставьте уравнения (1) — (4) с уравнениями от (a) до (d).
Помощь студентам в написании алгебраических уравнений
Одна идея, которая пришла в голову, состоит в том, чтобы пройтись по приведенным выше и другим примерам, основываясь на типичных задачах со словами в учебниках по математике, а затем перевернуть все это и попросить учеников выполнить такие упражнения, как
Напишите 3 разные задачи-рассказы, решение которых основано на отношениях.
заработанных денег — деньги, потраченные на это — деньги, потраченные на это = деньги, оставшиеся
Напишите 3 разные задачи-рассказы, решение которых основано на отношениях.
первоначальная цена — процент скидки x первоначальная цена = цена со скидкой
Напишите 3 разные задачи-рассказы, решение которых основано на отношениях
денег, заработанных каждый месяц — расходы / налоги каждый месяц = деньги, которые будут использоваться каждый месяц AND
денег, которые будут использоваться каждый месяц × количество месяцев = деньги, которые будут использоваться в течение периода времени
Напишите 3 разные задачи-рассказы, решение которых основано на отношениях
скорость × время = расстояние AND
расстояние от A до B + расстояние от B до C = расстояние от A до C
Я уверен, что вы можете придумать и другие подобные упражнения.
См. Также:
Почему математические словесные задачи ТАК трудны для детей начальной школы?
Подсказка: это связано с «рецептом», которому следуют многие уроки математики.
Что можно и чего нельзя делать при обучении решению задач по математике
Общие советы о том, как научить решать задачи в математике в начальной, средней и старшей школе.
Как я учу словесным задачам Андре Тоом (PDF)
Эта статья написана русским, иммигрировавшим в США и заметившим, как у студентов COLLEGE LEVEL возникают трудности даже с простейшими текстовыми задачами! Он описывает свои идеи о том, как заполнить пробел, образовавшийся, когда ученики не научились решать словесные задачи в более раннем образовании.
Список веб-сайтов, посвященных проблемам со словами и решению проблем
Используйте эти сайты, чтобы найти хорошие словесные задачи, которые нужно решить. Большинство из них бесплатны!
Комментарии
При решении задач со словами ученики должны сначала решить, какое количество представляет x, а затем записать все остальные количества через x. Я учу студентов устанавливать стрелки в соответствии с языком задачи. Все стрелки указывают на x.
Пример. У Гарри было на 10 игрушек меньше, чем у Марка. У Сью в два раза больше игрушек, чем у Гарри.Установите стрелки: Сью — Гарри — Марк Следовательно, Марк — x, Гарри — x-10, а Сью — 2 (x-10). Студенты находят это очень полезным.
Сэнди Денни
Моя идея состоит в том, что учитель математики мог бы учить и понимать учеников одновременно, и у всех было бы чувство юмора. Поэтому я думаю, что она / она будет знать, слушают студенты или нет, когда после урока поговорит с ним и спросит, что не так. Не обижайте чувства ученика.
лоренс
Уравнения алгебры — отработанные примеры сложных вопросов
Жесткие алгебраические уравнения
Решение уравнений
Уравнение — это почти что-то вроде качелей: вы добавляете что-то влево, теряете равновесие и вынуждены делать то же самое вправо; вы делите и умножаете на что-то еще раз,
то же самое нужно сделать с другой стороной; если вы что-то вычитаете, нет исключения.Следовательно, решение уравнения означает избавление от всего вокруг x методом качелей .
Например, 1
2 (x + 5) = 18
: — 2 => 2 (x + 5): — 2 = 18: — 2
х + 5 = 9
— 5 => х + 5-5 = 9-5
х = 4
Например, 2
5 (х — 2) = 2 (х — 3)
5x — 10 = 2x — 6
+10 => 5x — 10 + 10 = 2x — 6 + 10
5х = 2х + 4
-2x => 5x — 2x = 2x — 2x + 4
3х = 4
: -3 => 3x / 3 = 4/3
х = 1.3
Например, 3
4 (х + 4) + 3 (х -3) = 2 (х -3) + 12
4x + 16 + 3x — 9 = 2x — 6 + 12
7х + 7 = 2х + 6
— 7 => 7x + 7-7 = 2x + 6-7
7x = 2x — 1
-2x => 7x — 2x = 2x — 2x -1
5x = -1
: -5 => 5x / 5 = -1 / 5
х = -0,2
Например, 4
(х + 5) / 4 = (х -3) / 2
Х 4 => 4 Х (х + 5) / 4 = 4 Х (х- 3) / 2
(х + 5) = 2 (х -3)
х + 5 = 2х — 6
— 5 => х +5-5 = 2x — 6-5
х = 2х — 11
-2x => х — 2x = 2x — 2x -11
-x = -11
-1 Х х = 11
E.г.5
3 + 2 (х + 5) = 3 — (2x — 1)
3 + 2x + 10 = 3 -2x + 1
13 + 2x = 4 — 2x
-13 => 2x + 13 — 13 = 4 — 2x — 13
2x = -2x — 9
+ 2x => 2x + 2x = 2x — 2x — 9
4х = -9
: — 4 => 4x / 4 = -9 / 4
х = -2,25
Практика — ключ к овладению математикой; посетите эту страницу, чтобы увидеть больше рабочих листов.
Генератор жестких уравнений
С помощью этой простой программы вы можете произвольно генерировать вопросы, а также ответы — неограниченное количество вопросов.Сначала сгенерируйте вопрос, выработайте решение, а затем сверьтесь с ответом, показанным под вопросом.
.

Перестановка	Комбинация
Выбор r объектов из набора n объектов, в котором порядок выбора имеет значение.	Количество возможных комбинаций r объектов из набора на n объектах, где порядок выбора не имеет значения.
Перестановка используется для списков (порядок имеет значение).	Комбинация используется для групп (порядок не имеет значения).
Обозначает расположение предметов.	Не обозначает расположение предметов.
Мы можем получить несколько перестановок из одной комбинации.	Только одна комбинация может быть получена из одной перестановки.
Они определены как упорядоченные элементы.	Они определены как неупорядоченные наборы.

Отношение:	Шарики Дженни	+	Мраморы Кенни	=	Всего мрамора
Уравнение:	7	+	5	=	_____

Отношение:	Мрамор Дженни	+	Кенни мрамор	=	Всего мрамора
Уравнение:	_____	+	15	=	37

страницы уже прочитаны	+	страниц еще предстоит прочитать	=	всего страниц
	+		=

часа уже прошло	+	часов	=	всего часов
			=

Родство:	Pages Fred прочитал	–	страницы Тед прочитал	=	разница
Уравнение:	28	–	17	=	__

либо	Масса Стоунхенджа	=	Масса башни — 95т
или	Масса башни	=	Масса Стоунхенджа — 95т

1.	стрижка	–	длина волос до стрижки	=	длина волос после стрижки
2.	стрижка	–	длина волос после стрижки	=	длина волос до стрижки
3.	длина волос до стрижки	–	стрижка	=	длина волос после стрижки
4.	длина волос после стрижки	–	стрижка	=	длина волос до стрижки

3.1.6. Алгебраические уравнения

Глава 3. Решение уравнений и неравенств

3.1.

3.1.6.

Алгебраические уравнения (двухчленные, трехчленные, многочленные)

Более сложные примеры уравнений | Математика

Методы решения целых алгебраических уравнений с примерами решения

Сложные функции. Примеры решения методом замены

Виды уравнений, формулы и примеры

Определение и основные виды уравнений

Алгебраические уравнения

Алгебра: уроки, тесты, задания.

Информация о разделе

Числовые выражения. Алгебраические выражения

Математический язык

Математические модели реальных ситуаций

Линейное уравнение с одной переменной. Алгоритм решения

Координатная прямая. Числовые промежутки

Координатная плоскость. Координаты точки

Линейное уравнение ax + by + c = 0. График линейного уравнения

Линейная функция y = kx + m. График линейной функции

Линейная функция y = kx, её свойства

Взаимное расположение графиков линейных функций

Понятие системы линейных уравнений с двумя переменными

Решение систем линейных уравнений. Метод подстановки

Решение систем линейных уравнений. Метод сложения

Система линейных уравнений как математическая модель

Понятие степени с натуральным показателем

Часто используемые степени

Базовые свойства степеней с натуральным показателем

Умножение и деление степеней с одинаковыми натуральными показателями

Понятие степени с нулевым показателем

Понятие одночлена. Приведение одночлена к стандартному виду

Сложение и вычитание подобных одночленов

Произведение одночленов и возведение одночлена в степень

Деление одночленов

Понятие многочлена. Приведение многочлена к стандартному виду

Как складывать и вычитать многочлены

Как умножать многочлен на одночлен

Как умножать многочлен на многочлен

Применение формул сокращённого умножения

Как делить многочлен на одночлен

Понятие разложения многочленов на множители

Разложение на множители. Вынесение общего множителя за скобки

Разложение на множители. Способ группировки

Разложение на множители. Использование формул сокращённого умножения

Разложение на множители. Сочетание различных приёмов

Применение разложения на множители для сокращения алгебраических дробей

Понятие тождества

Квадратичная функция y = x² и её график

Решение уравнений графическим методом

Запись функции в виде у = f(x)

Понятие алгебраической дроби

Применение основного свойства алгебраической дроби

Как складывать и вычитать алгебраические дроби с равными знаменателями

Как складывать и вычитать алгебраические дроби с разными знаменателями

Как умножать, делить и возводить в степень алгебраические дроби

Упрощение рациональных выражений

Решение рациональных уравнений

Квадратичная функция y = kx² и её свойства. Парабола

Функция y = k/x и её свойства. Гипербола

Как построить график функции у = f(x + l)

Как построить график функции у = f(x) + m

Как построить график функции y = f(x + l) + m

Квадратичная функция y = ax² + bx + c

Решение квадратных уравнений с помощью графиков функций

Понятие квадратного корня

Функция квадратного корня y = √x, её свойства и график

Множество рациональных чисел

Базовые свойства квадратных корней

Преобразование иррациональных выражений

Какие бывают квадратные уравнения

Способы решения квадратных уравнений

Решение рационального уравнения, сводящегося к квадратному

Использование рациональных уравнений для решения задач

Упрощённая формула для решения квадратного уравнения

Применение теоремы Виета

Решение иррационального уравнения, сводящегося к квадратному

Множества натуральных чисел, целых чисел, рациональных чисел

Понятие иррационального числа