Сложность:
лёгкое

1

Сложность:
лёгкое

1

Сложность:
лёгкое

2

Сложность:
лёгкое

2

Сложность:
лёгкое

2

Сложность:
лёгкое

2

Сложность:
лёгкое

1

Сложность:
лёгкое

2

Сложность:
лёгкое

3

Сложность:
лёгкое

2

Сложность:
лёгкое

2

Сложность:
лёгкое

2

Сложность:
лёгкое

3

Сложность:
лёгкое

1

Сложность:
среднее

3

Сложность:
среднее

5

Сложность:
среднее

3

Сложность:
среднее

2

Сложность:
среднее

2

Сложность:
среднее

3

Сложность:
среднее

2

Сложность:
среднее

3

Сложность:
среднее

2

Сложность:
среднее

1

Сложность:
среднее

1

2.

С⁸ : С⁶

7.

(С⁴)³ • С

3.

(С⁴)³

8.

С⁴ • С⁵ • С⁰

4.

С⁵ • С³ : С⁶

9.

С¹⁶ : С⁸

5.

С¹⁴ • С⁸

10.

(С³)⁵

Название урока и класс:

Степени, свойства степеней, 7 класс

Цели:

обобщить и систематизировать знания и умения по теме.

Планируемые результаты:

учащиеся обобщат знания о степени с натуральным показателем, закрепят и усовершенствуют навыки простейших преобразований выражений, содержащих степени с натуральным показателем.

Этап урока

Время (мин. )

Деятельность учителя

Ссылки на карточки Учи.ру

Организационный момент

2

Приветствует детей, проверяет их готовность к уроку. Настраивает на активную работу.

Откройте тетради, запишите число и «Классная работа».

Актуализация знаний

7

Посмотрите на доску. Вычислите. Кто выполнит – поднимает руку.

, ,

Вывод: любое число в первой степени равно самому числу.

https://uchi.ru/teachers/groups/6467561/subjects/1/course_programs/7/cards/34386

А теперь вспомним свойства степеней.

Учащиеся записывают в тетрадях свойства (взаимопроверка).

На доске записать свойства.

Проверочная работа.

https://uchi. ru/b2t/teacher/check/2701180

Работа по теме урока

15

Откройте учебник на странице 107 и прочитайте задание № 448.

Давайте проверим (1 ученик на доске записывает решение).

Какие свойства степеней вы использовали для решения этого задания?

Откройте учебник на странице 107 и прочитайте задание № 450 (работа в парах).

Выполним задания по карточкам.

https://uchi.ru/teachers/groups/6418216/subjects/1/course_programs/7/lessons/10003

Физкультминутка

3

Проверочная работа

15

Замечательно. Теперь давайте возьмём в руки планшеты и каждый самостоятельно выполнит задания.

https://uchi.ru/b2t/teacher/check/2701180

Подведение итогов урока

2

Что было не понятно?

Интересно ли вам было работать сегодня на уроке?

Какое задание было самым сложным для вас?

Домашнее задание

1

Стр. 107, №№445,449.

45

Шаг 1: Выберите наиболее подходящую недвижимость.

Свойства 1 и 2 не применяются, поскольку показатель степени не равен ни 0, ни 1. Поскольку оба члена являются естественными показателями, свойство 3 является наиболее подходящим.

Свойство 3 — Один к одному

Шаг 2: Примените свойство.

Уравнение уже записано в виде b ^x = b ^y

e ^x = e ¹²

Шаг 3: Найдите x.

Свойство 3 утверждает, что e ^x = e ^y тогда и только тогда, когда x = y, поэтому x -12.

х = 12

Шаг 1: Выберите наиболее подходящую недвижимость.

Свойства 1 и 2 не применяются, поскольку показатель степени не равен ни 0, ни 1. Поскольку 41 нельзя точно записать как показатель степени с основанием e, наиболее подходящим свойством является свойство Inverse, свойство 4

Свойство 4 — Обратное

Шаг 2: примените свойство

Чтобы применить свойство 4, возьмите ln обеих частей уравнения.

ln e ^x = ln 41

Шаг 3: Найдите x.

Свойство 4 утверждает, что ln e ^x = x, поэтому левая часть становится x.

х = ln 41

Мы не будем ничего делать с последним свойством в этом разделе; это здесь только для полноты картины. Мы подробно рассмотрим это свойство в нескольких разделах.

Первые два свойства, перечисленные здесь, могут поначалу немного сбивать с толку, поскольку с одной стороны у нас есть произведение или частное внутри логарифма, а с другой стороны — сумма или разность двух логарифмов.Нам просто нужно быть осторожными с этими свойствами и обязательно использовать их правильно.

Также обратите внимание, что нет никаких правил, как разбить логарифм суммы или разности двух членов. Чтобы прояснить это, отметим следующее:

\ [\ begin {align *} {\ log _b} \ left ({x + y} \ right) & \ ne {\ log _b} x + {\ log _b} y \\ {\ log _b} \ left ( {x — y} \ right) & \ ne {\ log _b} x — {\ log _b} y \ end {align *} \]

Будьте осторожны с ними и не пытайтесь использовать их, поскольку они просто не соответствуют действительности.5}} \ right) \) Показать решение

Обратите внимание, что на данном этапе мы не можем использовать свойство 7 для приведения 3 и 5 вниз перед логарифмом. Чтобы использовать свойство 7, весь член логарифма должен быть возведен в степень. В этом случае два показателя степени относятся только к отдельным членам логарифма, поэтому свойство 7 здесь использовать нельзя.

Однако у нас есть произведение внутри логарифма, поэтому мы можем использовать свойство 5 для этого логарифма. 5}} \ right) \]

Теперь, когда мы это сделали, мы можем использовать свойство 7 для каждого из этих отдельных логарифмов, чтобы получить окончательный упрощенный ответ.{\ frac {1} {2}}} \]

В этой форме мы видим, что у всего члена есть один показатель степени, поэтому мы позаботимся об этом в первую очередь.

\ [\ ln \ sqrt {xy} = \ frac {1} {2} \ ln \ left ({xy} \ right) \]

Теперь займемся продуктом.

\ [\ ln \ sqrt {xy} = \ frac {1} {2} \ left ({\ ln x + \ ln y} \ right) \]

Обратите внимание на круглые скобки в этом ответе. \ (\ Frac {1} {2} \) умножает исходный логарифм, поэтому ему также потребуется умножить весь «упрощенный» логарифм.2}} \ справа) \]

Теперь мы подошли к сути этой проблемы. Второй логарифм настолько упрощен, насколько это возможно. Помните, что мы не можем разбить журнал суммы или разницы, и поэтому он не может быть разбит дальше. Кроме того, мы можем иметь дело с показателями только в том случае, если весь член возведен в степень. Тот факт, что обе части этого члена возведены в квадрат, не имеет значения. Это должен быть квадрат целого члена, как в первом логарифме.

Итак, мы можем еще больше упростить первый логарифм, но второй логарифм упростить уже нельзя.2}} \ справа) \]

Теперь нам нужно проработать несколько других примеров. Следующий набор примеров, вероятно, более важен, чем предыдущий. Мы будем выполнять такую ​​логарифмическую работу в нескольких разделах.

Пример 5 Запишите каждое из следующих значений в виде одного логарифма с коэффициентом 1.

1. \ (7 {\ log _ {12}} x + 2 {\ log _ {12}} y \)
2. \ (3 \ логарифм х — 6 \ логарифм у \)
3. \ (5 \ ln \ left ({x + y} \ right) — 2 \ ln y — 8 \ ln x \)

Показать все решения Скрыть все решения

Показать обсуждение

Инструкция, требующая коэффициента 1, означает, что когда мы переходим к окончательному логарифму, перед логарифмом не должно быть числа.

Также обратите внимание, что в этих примерах будут использоваться свойства 5–7, только мы будем использовать их в обратном порядке. У нас будут выражения, которые выглядят как правая часть свойства, и мы будем использовать свойство для его записи, чтобы оно выглядело как левая часть свойства.

a \ (7 {\ log _ {12}} x + 2 {\ log _ {12}} y \) Показать решение

Первый шаг — избавиться от коэффициентов при логарифмах. Это будет использовать свойство 7 в обратном порядке.6}}}} \ справа) \]

c \ (5 \ ln \ left ({x + y} \ right) — 2 \ ln y — 8 \ ln x \) Показать решение

В этом случае у нас есть три термина, и ни одно из свойств не содержит трех терминов. Это не проблема. Давайте сначала позаботимся о коэффициентах, и в то же время мы вычленим знак минус из последних двух членов. Причина этого станет очевидной на следующем шаге.

\ [5 \ ln \ left ({x + y} \ right) — 2 \ ln y — 8 \ ln x = \ ln {\ left ({x + y} \ right) ^ 5} — \ left ({\ ln {y ^ 2} + \ ln {x ^ 8}} \ right) \]

Теперь обратите внимание, что количество в скобках представляет собой сумму двух логарифмов и поэтому может быть объединено в один логарифм с произведением следующим образом:

\ [5 \ ln \ left ({x + y} \ right) — 2 \ ln y — 8 \ ln x = \ ln {\ left ({x + y} \ right) ^ 5} — \ ln \ left ( {{y ^ 2} {x ^ 8}} \ right) \]

Теперь у нас осталось два логарифма, и они представляют собой разность логарифмов, и поэтому мы можем записать это как единственный логарифм с частным.8}}}} \ справа) \]

Последняя тема, которую нам нужно обсудить в этом разделе, — это изменение формулы основания .

Большинство современных калькуляторов могут вычислять десятичные и натуральные логарифмы. Однако на этом все, так что же нам делать, если нам нужно вычислить еще один логарифм, что не может быть выполнено легко, как это было в первом наборе примеров, которые мы рассмотрели?

Для этого у нас есть изменение базовой формулы.Вот изменение базовой формулы.

\ [{\ log _a} x = \ frac {{{{\ log} _b} x}} {{{{\ log} _b} a}} \]

, где мы можем выбрать \ (b \) как угодно. Чтобы использовать это, чтобы помочь нам вычислить логарифмы, это обычно обычный или натуральный логарифм. Вот изменение базовой формулы с использованием как десятичного, так и натурального логарифма.

\ [{\ log _a} x = \ frac {{\ log x}} {{\ log a}} \ hspace {0,25 дюйма} {\ log _a} x = \ frac {{\ ln x}} {{\ ln a}} \]

Давайте посмотрим, как это работает, на примере.?} = 7 \]

, и это не то, на что кто-то может ответить сразу. Если бы 7 была 5, или 25, или 125, и т. Д. . мы могли бы это сделать, но это не так. Следовательно, мы должны использовать замену базовой формулы.

Теперь мы можем использовать любой из них, и мы получим тот же ответ. Итак, давайте воспользуемся обоими и проверим это. Начнем с десятичного логарифма изменения основания.

\ [{\ log _5} 7 = \ frac {{\ log 7}} {{\ log 5}} = \ frac {{0.845098040014}} {{0.698970004336}} = 1.20

Теперь давайте попробуем натуральный логарифм изменения основной формулы.

\ [{\ log _5} 7 = \ frac {{\ ln 7}} {{\ ln 5}} = \ frac {{1.945906}} {{1.609437}} = 1.20

Итак, мы получили один и тот же ответ, несмотря на то, что дроби содержали разные ответы.

Логарифм

: Полное руководство (теория и приложения)

Для подавляющего большинства людей на Земле есть тема, найденная в старых добрых учебниках математики, о которой многие из нас до сих пор даже боятся размышлять, поскольку она, кажется, бесполезна. наш мозг скорее конкретным образом .Название? Логарифм — или Логарифм на английском, чтобы быть уверенным!

Каким бы ужасным оно ни было, логарифм, кажется, имеет отчетливую характеристику — метафорически оставляя дурной привкус во рту. Фактически, даже для тех, кто сумел обойти его еще в старшей школе, логарифм по-прежнему остается в значительной степени уклончивой концепцией . Синдром «Я могу манипулировать выражениями, ничего не понимая» широко распространен, когда дело касается логарифма.

Действительно, здесь, в Северной Америке, в учебной программе начальной школы есть склонность переоценивать механику за счет базовой теории , оставляя нам огромную задачу по заполнению логарифмического пробела в знаниях, который включает — среди прочего — теорию, лежащую в основе свойств логарифма , и его предполагаемое вычислительное использование для обработки чисел с порядком величины , отклоняющимся в сторону крайностей.

Имея это в виду, если вы думаете, что, возможно, наконец пришло время приручить этого монстра , , который мы называем логарифмом, то мы с удовольствием поздравим вас с этим очень благородным поступком. И если вы просто хотите исследовать кроличью нору, то , вдвойне , тоже будет оценено, потому что независимо от вашей мотивации, приручение / размышление уже включено! 🙂

Терминология

Учитывая действительное число $ x $, одна из задач элементарной алгебры состоит в том, чтобы выразить $ x $ как степень другого числа $ b $ (известного как основание ). .{\ frac {1} {2}} $).

По этим причинам в контексте определения мощности обычно требуется, чтобы базовый $ b $ был положительным числом , что не равно 1 доллару. Хотя при этом предположении любая степень $ b $ должна быть обязательно должна быть положительной , также будет обнаруживаться — при этой установке — что любое положительное число может быть выражено как степень $ b $ в уникальном . способ.6 $. Одно это показывает, что $ 6 $ является логарифмом $ 64 $ по отношению к основанию $ 2 $.

Что касается обозначений, логарифм $ x $ в с основанием $ b $ обозначается $ \ log_b x $, при этом $ x $ также называется аргументом логарифма. Если рассматривать как функцию, $ \ log_b x $ определяется для всех положительных чисел — до тех пор, пока базовый $ b $ равен действительным (т.е. $ \ displaystyle b> 0, b \ ne 1 $).

Для начала отметим, что независимо от значения базового $ b $, у нас всегда есть это:

• $ \ displaystyle \ log_b 1 = 0 $ (поскольку $ 0 $ — это число, необходимое $ b $ чтобы получить $ 1 $)
• $ \ displaystyle \ log_b b = 1 $ (поскольку $ 1 $ — это число, $ b $ необходимо поднять, чтобы получить $ b $)
• $ \ displaystyle \ log_b \ frac {1 } {b} = -1 $ (поскольку $ -1 $ — это число, которое необходимо поднять $ b $, чтобы получить $ \ displaystyle \ frac {1} {b} $)

Потому что эти результаты почти мгновенные и достаточно примечательно, что мы просто будем называть их тривиальными логарифмическими тождествами .x $, логарифмическая функция с основанием $ 10 $, также известная как десятичный логарифм , обычно обозначается как $ \ log_ {10} x $, $ \ log x $ или просто $ \ lg x $ для краткости. Десятичный логарифм представляет для нас большой интерес, в первую очередь из-за распространенности десятичной системы счисления в различных культурах по всему миру.

Осторожно

Обратите внимание, что в старых научных текстах и ​​некоторых учебниках по высшей математике $ \ log x $ может также относиться к натуральному логарифму основания $ e $, и обычно так и есть.

При вычислении десятичного логарифма числа десятичное представление логарифма обычно делится на две части: целочисленный компонент (также известный как характеристика ) и дробный компонент (также известный как мантисса ). Характеристика, по сути, сообщает нам количество цифр в исходном числе, а мантисса намекает на степень, в которой это число близко к его следующей степени 10 $. Это факты, которые делают десятичный логарифм особенно удобным инструментом для определения порядка исключительно большого числа (или малого ) числа .x $, функция двоичного логарифма $ \ log_2 x $ широко используется в области информатики , в первую очередь из-за того, что компьютеры хранят информацию в битах (т.е. цифрах, которые занимают $ 0 $ или $ 1 $). как возможные значения).

Как и в случае с основанием $ 10 $, двоичный логарифм может использоваться для вычисления количества цифр положительного целого числа в двоичном представлении . Кроме того, двоичный логарифм также используется для вычисления глубины двоичного дерева или даже числа операций , требуемых некоторыми компьютерными алгоритмами (это относится к теме, известной как алгоритмическая временная сложность ).

Помимо мира компьютеров, двоичный логарифм также используется в теории музыки для концептуализации высоты музыкальных нот, основываясь на фундаментальном наблюдении, что повышение ноты на октаву увеличивает частоту ноты по вдвое . В результате часто удобно представить музыкальный интервал как двоичный логарифм отношения частот .

Натуральный логарифм (основание $ e $)

В некоторых учебниках, посвященных более строгой разработке трансцендентных функций , основание — логарифмическая функция $ \ displaystyle e $ — иначе известная как натуральный логарифм , $ \ log_e x $ или просто $ \ ln x $ — иногда определяется как область между обратной функцией $ \ frac {1} {x} $ и осью x от $ 1 $ до $ x $ (отсюда термин натуральный ).x $, что приводит к следующему определению натурального логарифма по стандарту :

Учитывая положительное число $ x $, $ \ ln x $ обозначает число $ e $, которое необходимо поднять, чтобы оно стало $ x $.

В отличие от числа $ 10 $, которое является предпочтительным из-за преобладания десятичной системы счисления , число $ \ displaystyle e $ является одной из специальных констант, которая неожиданно часто появляется в различных математических дискурсах — независимо от . выбранная система счисления.В результате математики склонны рассматривать базовые $ e $ как более естественных , чем базовые 10 $ — даже несмотря на то, что некоторые прикладные ученые и инженеры в разных случаях могут отличаться …

На самом деле, чтобы проиллюстрировать масштабы этих интеллектуальных предубеждений в научном сообществе есть интересный отчет из Википедии об историческом развитии обозначений логарифмов:

Поскольку логарифмы с основанием 10 были наиболее полезны для вычислений, инженеры обычно просто писали «log (x)», когда они имели в виду журнал ₁₀ (х).С другой стороны, математики написали «log (x)», имея в виду log _e (x) как натуральный логарифм. Сегодня встречаются оба обозначения.

Поскольку портативные электронные калькуляторы разрабатываются инженерами, а не математиками, стало обычным использовать их обозначения инженеров. Таким образом, запись, согласно которой пишут «ln (x)», когда подразумевается натуральный логарифм, возможно, получила дальнейшую популяризацию благодаря самому изобретению, сделавшему использование «десятичных логарифмов» гораздо менее распространенным — в электронных калькуляторах.

Логарифм произвольной базы

Графики логарифмических функций базы $ 2 $, $ \ displaystyle e $ и $ 10 $. Обратите внимание, что двоичный логарифм достигает $ 1 $ при $ x = 2 $, натуральный логарифм при $ x = e $ и десятичный логарифм только при $ x = 10 $.

В дополнение к трем наиболее популярным логарифмическим функциям, представленным ранее, можно также определить логарифм с помощью других действительных оснований . На практике логарифм обычно используется с намерением сжать больших чисел (т.е., больше 1 $) на меньшие числа, так что больше основание, меньше логарифм.

Однако это только часть истории, поскольку все логарифмические функции, с которыми мы столкнулись до сих пор, имеют основания, превышающие число $ 1 $ (т. Е. большое основание ). Фактически, в случаях, когда основание строго между 0 $ и 1 $ (т.е. малое основание ), график логарифмической функции будет перевернут вверх ногами .Действительно, в отличие от стандартной логарифмической функции, которая увеличивает с $ — \ infty $ до $ \ infty $, логарифмическая функция с малым основанием фактически уменьшает с $ + \ infty $ до $ — \ infty $ в качестве аргумента. увеличивается.

К счастью, на практике нам редко приходится прибегать к такой логарифмической функции. Как мы увидим позже с изменением основного правила , каждая пара логарифмических функций все, кроме , кратного , так что с точки зрения приложений и уравнение / неравенство, решающее , три стандартных логарифма равны.обычно более чем достаточно, чтобы все пошло.

Логарифмическая шкала и ее приложения

Поскольку логарифм позволяет отображать экспоненциальную шкалу в линейную шкалу , он стал жизненно важной концепцией, когда дело доходит до передачи информации о числовой переменной, значения которой либо растут, экспоненциально, либо уменьшаются экспоненциально. Почему? Потому что, если мы просто возьмем логарифм этой переменной, мы фактически превратим эту переменную в то, что люди называют логарифмической шкалой .

Несмотря на то, что логарифмическая шкала, по всей видимости, является в высшей степени теоретической, — при правильном принятии — можно использовать, чтобы помочь нам лучше объяснить / понять удивительное количество явлений, обнаруженных в природе . от таких вещей, как громкость звука , магнитуды землетрясения до кислотности раствора и высоты звука :

• В фортепиано с равным темпом , Каждая клавиша пианино может быть представлена ​​как двоичный , , логарифм , его относительной звуковой частоты , так что каждый раз, когда мы нажимаем более высокую клавишу на пианино, мы фактически увеличиваем звуковую частоту на фиксированный коэффициент ( $ \ displaystyle \ sqrt [12] {2} $, если быть точным).
• В химии кислотность раствора измеряется в pH , который определяется как отрицательный логарифм концентрации ионов водорода . По сути, это означает, что при увеличении pH на 1 доллар концентрация ионов водорода уменьшается в десять раз , что в свою очередь приводит к значительно менее кислому раствору.
• В сейсмологии , сила землетрясения может быть определена количественно с использованием шкалы Рихтера , которая по существу является логарифмом амплитуды сейсмических волн (относительно пороговой амплитуды ), так что каждый При увеличении числа по шкале Рихтера на $ 1 сила землетрясения увеличивается в раз в десять раз .
• В акустике громкость звука обычно количественно определяется с использованием децибел (дБ), что составляет десятую часть от бел (B), последнее из которых является логарифмом звуковой мощности (относительно порога слышимости ). На практике это означает, что каждое увеличение на 10 дБ (эквивалент, 1B) увеличивает звуковую мощность источника на в десять раз .

Поскольку громкость звука количественно измеряется в логарифмической шкале, увеличение на 30 дБ (экв., 3B) — скажем, с 40 дБ до 70 дБ — увеличивает звуковую мощность в 1000 раз ..

Хотя не все логарифмические шкалы имеют одинаковую основу, тот факт, что можно использовать такое понятие, как логарифм, — первоначально чисто — вычислительное устройство — в объединяющую абстрактную структуру , объединяющую различные, казалось бы, несвязанные явления, встречающиеся в природе, иллюстрирует силу человеческого разума и, в более широком смысле, тонкую грань между математическим изобретением и открытием .

Свойства, связанные с аргументами

Одна из причин, почему логарифм был таким мощным вычислительным инструментом в старые времена — до изобретения компьютеров или калькуляторов — заключается в том, что всегда можно использовать определенные свойства логарифма для сведения сложного аргумента к его отдельным составляющим — и делать это независимо от рассматриваемого основания. Ниже мы изложим пять таких свойств, которые относятся к произведению , обратному значению , частному , степени и корню логарифма соответственно.{\ log y} = xy \ end {align *}

Этот факт — то, что логарифм продукта может быть уменьшен до суммы логарифмов его составляющих — дает начало свойству, широко известному как правило продукта .

Правило 1 — Правило произведения для логарифма

Для любых двух положительных чисел $ x $, $ y $ имеем:

\ begin {align *} \ log (xy) = \ log x + \ log y \ end {align *}

, где предполагается, что все логарифмы находятся под одним и тем же действительным основанием $ b $.

В частности, когда база равна 10 долларам, Правило продукта можно перевести в следующее утверждение:

Величина продукта равна сумме , его индивидуальных величин.

Например, чтобы измерить приблизительный размер чисел типа $ 365435 \ cdot 43223 $, мы могли бы взять общий логарифм , а затем применить правило продукта , в результате чего получится:

\ begin {align *} \ log (365435 \ cdot 43223) & = \ log 365435 + \ log 43223 \\ & \ приблизительно 5.{10}) $.

Осторожно

Применяйте Правило продукта только при соблюдении предварительных условий. Например, мы не можем разбить $ 9 $ на $ -1 $ и $ -9 $ и заявить, что $ \ ln 9 = \ ln (-1) + \ ln (-9) $.

И поскольку равенство по умолчанию двунаправленное , вместо , разбивающего продукт с помощью правила продукта слева направо , мы также можем использовать его справа налево , тем самым поворачивая вместо этого сумма логарифмов в произведении.2) = \ log x + \ log x = 2 \ log x \ end {align *}

, который служит хорошим напоминанием о том, что любой основанный на логарифме алгебраический метод — будь то решение логарифмического уравнения , решение , логарифмическое неравенство решение или логарифмического дифференцирования — должно выполняться с учетом этого потенциального ограничения.

Правило взаимности

Мы знаем, что каждое положительное число имеет обратное мультипликативное число (т. Е. обратное значение ), поэтому, возможно, существует также ярлык для нахождения логарифма обратного числа? И здесь снова ответ: да .Чтобы понять, почему, предположим, что нам дано положительное число $ x $, тогда согласно правилу продукта у нас есть это:

\ begin {align *} \ log \ left (x \ \ cdot \ frac {1} {x} \ right) & = \ log x + \ log \ left (\ frac {1} {x} \ right) \ end {align *}

С другой стороны, у нас также есть это:

\ begin {align *} \ log \ left (x \ cdot \ frac {1} {x} \ right) & = \ log 1 = 0 \ end {align *}

Соединяя два уравнения вместе, мы получаем:

\ begin {align *} \ log x + \ log \ left (\ frac {1} {x} \ right) & = 0 \ end {align *}

Или, что эквивалентно,

\ begin {align *} \ log \ left (\ frac {1} {x} \ right) & = — \ log x \ end {align *}

Сюрприз! Мы только что обнаружили правило взаимности , которое гласит, что для нахождения логарифма обратного числа нам просто нужно отменить логарифм исходного числа.

Правило 2 — Взаимное правило для логарифма

Для любого положительного числа $ x $ мы имеем:

\ begin {align *} \ log \ left (\ frac {1} {x} \ right) = — \ log x \ end {align *}

, где предполагается, что все логарифмы находятся под одним и тем же действительным основанием $ b $.

Таким образом, вместо вычисления двоичного логарифма для $ \ displaystyle \ frac {1} {512} $ с нуля, мы могли бы повернуть голову вокруг и выполнить:

\ begin {align *} \ log_2 \ left (\ frac {1} {512} \ right) = — \ log_2 512 = -9 \ end {align *}

Quotient Rule

Теперь, когда оба правила Product Rule и Reciprocal Rule в порядке, давайте посмотрим что произойдет, если мы применим их к частному из положительных чисел $ x $ и $ y $:

\ begin {align *} \ log \ left (\ frac {x} {y} \ right) & = \ log \ left (x \ cdot \ frac {1} {y} \ right) \\ & = \ log x + \ log \ left (\ frac {1} {y} \ right) \\ & = \ log x — \ log y \ end {align *}

Bingo! Мы только что показали, что логарифм частного — это в точности разность между исходными логарифмами — свойство, широко известное как правило частного .

Правило 3 — Правило частного для логарифма

Для любых двух положительных чисел $ x $ и $ y $ мы имеем:

\ begin {align *} \ log \ left (\ frac {x} {y } \ right) = \ log x- \ log y \ end {align *}

, где предполагается, что все логарифмы находятся под одним и тем же действительным основанием $ b $.

Например, вместо вычисления натурального логарифма для $ \ displaystyle \ frac {2} {e} $ с нуля, мы могли бы применить правило Quotient Rule и получить следующее:

\ begin {align *} \ ln \ left (\ frac {2} {e} \ right) = \ ln 2- \ ln e = \ ln 2-1 \ end {align *}

Как и в случае с правилом мощности , вместо , нарушая частное , мы также можем использовать правило частичного справа налево , тем самым превращая разность в частное вместо .Например:

\ begin {align *} \ log 45- \ log 9 = \ log \ left (\ frac {45} {9} \ right) = \ log 5 \ end {align *}

В базе $ 10. $, Правило частного также может быть преобразовано в следующее понимание:

Величина частного равна разнице индивидуальных величин.

, который объясняет, почему в естествознании величина часто выражается в логарифмической шкале , путем логарифма отношения между указанной величиной и опорной точкой .n \ right] \\ & = n \ log \ left (\ frac {1} {x} \ right) \\ & = -n \ log x \ end {align *}

В любом случае, мы только что показали что когда число возводится в степень целого числа , результирующий логарифм равен , пересчитанному на точно на эту степень. Это интересное открытие привело бы к логарифмическому свойству ключа , известному как правило мощности .

Правило 4 — Правило степени для логарифма

Для любого положительного числа $ x $ и целого числа $ n $ мы имеем:

\ begin {align *} \ log (x ^ n) = n \ log x \ end {align *}

, где предполагается, что все логарифмы находятся под одним и тем же действительным основанием $ b $. n \ right] = \ log x \ end {align *}

Соединяя два равенства вместе, мы получаем:

\ begin {align *} n \ log (\ sqrt [n] {x}) = \ log x \ end {align *}

Или, что эквивалентно,

\ begin {align *} \ log (\ sqrt [n] {x}) = \ frac {\ log x} {n} \ end {align *}

Замечательно! Это показывает, что для вычисления логарифма корня $ n $ ^{все, что нам нужно сделать, это разделить логарифм исходного числа на $ n $ — понимание, которое приводит к другому свойству логарифма, известному как Корневое правило :}

Правило 5 — Корневое правило для логарифма

Для любого положительного числа $ x $ и положительного целого числа $ n $ мы имеем:

\ begin {align *} \ log (\ sqrt [n ] {x}) = \ frac {\ log x} {n} \ end {align *}

, где предполагается, что все логарифмы находятся под одной и той же действительной базой $ b $.

Как и правило мощности , корневое правило полезно не только из-за его способности извлекать из корня логарифма (как в $ \ displaystyle \ log (\ sqrt [12] {6}) = \ frac {\ log 6} {12} $), но из-за его способности создать корень из ничего (как в $ \ displaystyle \ frac {\ ln 2} {5} = \ ln (\ sqrt [ 5] {2}) $).

В базовых 10 $ правило корня можно интерпретировать следующим образом:

Когда число является корневым, результирующая величина масштабируется точно на градус рассматриваемого корня .{\ pi}) \ right] \\ & = 3 \ log 5 + \ frac {\ log 15} {4} — 66 \ log 10 — \ pi \ log e \ end {align *}

Свойства, связанные с базами

ОК. Итак, это были некоторые свойства, включающие аргумент логарифма , но что, если мы хотим настроить вместо этого базу ? Что ж, мы вас об этом тоже позаботились! Ниже мы представляем четыре свойств логарифма с основанием для вашего собственного удовольствия. Это правило цепочки , правило смены базы , правило замены базы и взаимозаменяемость базового аргумента .

Правило цепочки

Предположим на мгновение, что вы освоили все пять свойств логарифма , используемых для сведения аргумента к его простейшим составляющим , но по той или иной причине находите основание довольно раздражающим. Чтобы ты делал?

В нашем случае мы могли бы найти альтернативную формулу для вычисления того же логарифма — не прибегая непосредственно к этой базе .

На самом деле, давайте начнем с , немного ужесточив , вопрос: с учетом положительного числа $ x $, есть ли способ вычислить $ \ log x $ (при базе $ b $) с использованием новой базы $ $? Или даже лучше: что такое выражение , включающее $ a $, такое, что когда $ b $ повышается до него, становится $ x $?

Здесь, чтобы найти одно такое выражение, было бы естественно начать с $ \ displaystyle \ log_a x $ и посмотреть, куда это нас приведет.{\ log a \ cdot \ log_a x} = x \ end {align *}

Бинго! Показатель в среднем члене — это именно то, что мы искали — выражение, которое нужно поднять $ b $, чтобы оно стало $ x $! Таким образом, мы можем заключить, что:

\ begin {align *} \ log x = \ log a \ cdot \ log_a x \ end {align *}

На английском языке это выглядит следующим образом:

Логарифм числа, может оценивается как логарифм нового основания , умноженный на логарифм исходного числа под этим новым основанием.

На самом деле, это свойство настолько впечатляет, что мы решили окрестить его правилом цепочки (не путать с обычным правилом цепочки в исчислении).

Правило 6 — Правило цепочки для логарифма

Для любого положительного числа $ x $ и действительного основания $ a $ мы имеем:

\ begin {align *} \ log x = \ log a \ cdot \ log_a x \ end {align *}

, где предполагается, что все логарифмы, основание которых не определено явно, относятся к одному и тому же действительному основанию $ b $.

Здесь определенно требуется пример, иллюстрирующий его использование: предположим, что нам дана задача определить величину числа $ 1024 $ (т.е. найти $ \ log_ {10} 1024 $), но представьте, что было бы проще, если бы база была в $ 2 $ вместо этого, тогда мы можем применить правило цепочки с $ 2 $ в качестве новой базы , в результате чего получится:

\ begin {align *} \ log_ { 10} 1024 = \ log_ {10} 2 \ cdot \ log_2 1024 = \ log_ {10} 2 \ cdot 10 \ приблизительно 3.01 \ end {align *}

, поэтому величина 1024 $ составляет приблизительно 3 $.{3.01} $), что соответствует 4-значному номеру .

На самом деле, вот еще кое-что: на самом деле не имеет значения, какую новую базу мы выберем! База могла быть $ 3 $, $ e $ или даже $ \ pi $, и результат был бы точно таким же!

\ begin {align *} \ log_ {10} 1024 & = \ log_ {10} 3 \ cdot \ log_3 1024 \\ & = \ log_ {10} e \ cdot \ log_e 1024 \\ & = \ log_ {10 } \ pi \ cdot \ log _ {\ pi} 1024 \ end {align *}

Правило смены базы

Если вы все еще слоняетесь, то помните, что правило цепочки гласит, что:

\ begin {align *} \ log x = \ log a \ cdot \ log_a x \ end {align *}

Здесь, если мы просто решим для $ \ log_a x $, мы получим:

\ begin {align *} \ log_a x = \ frac {\ log x} {\ log a} \ end {align *}

Боже мой! Еще одна альтернативная формула для логарифма! Только вот на этот раз это (in) знаменитый на самом деле.Название? Правило об изменении базы данных !

Правило 7 — Правило смены основания для логарифма

Для любого положительного числа $ x $ и действительного основания $ a $ мы имеем следующее:

\ begin {align *} \ log_a x = \ frac {\ log x} {\ log a} \ end {align *}

, где предполагается, что логарифмы, основание которых не определено явно, находятся под тем же действительным основанием $ b $

На первый взгляд, это может показаться простой переформулировкой правила цепочки .Однако при дальнейшем рассмотрении можно увидеть, что на самом деле это не так: правило цепочки преобразует логарифм в произведение логарифмов с различными основаниями , в то время как правило изменения базы превращает логарифм в частное логарифмов с тем же основанием . Кроме того, правило цепочки незначительно облегчает вычисление логарифма при новом основании, в то время как правило смены базы фактически полностью исключает зависимость от старого основания.

На практике правило изменения базы в основном используется для вычисления «нестандартного» логарифма путем преобразования его в частное от «стандартных логарифмов» (например, $ \ log_ {15} 26 = \ frac {\ ln 26} {\ ln 15} = \ frac {\ log_2 26} {\ log_2 15} $). Однако его также можно использовать в обратном порядке, таким образом объединяет частное логарифмов в один логарифм (например, $ \ frac {\ ln 8} {\ ln 2} = \ log_2 8 = 3 $).

Фактически, как правило цепочки , так и правило смены базы обеспечивают объединяющую основу для логарифмов всех действительных оснований, показывая, что каждая логарифмическая функция является кратным кратным отдельно друг от друга.С появлением компьютеров и калькуляторов Правило смены базы также открывает практику вычисления логарифма произвольного основания, стандартизируя его до основания $ e $, или — если научный калькулятор используется — для базы 10 $.

Правило замены базы

А теперь давайте займемся чем-нибудь интересным. Помните, что правило об изменении базы гласит:

\ begin {align *} \ log_a x = \ frac {\ log x} {\ log a} \ end {align *}

при том понимании, что «безосновные» логарифмы фактически предполагаются ниже примерно действительных базовых $ b $.Из любопытства, если мы просто позволим этой базе быть $ a $, мы получим следующее:

\ begin {align *} \ log_a x = \ frac {\ log_a x} {\ log_a a} = \ log_a x \ end {align *}

, что не очень интересно, поскольку мы в основном идем по кругу. Однако в очень частном случае, когда $ x \ ne 1 $, мы можем позволить $ x $ быть базой вместо этого, тем самым получая следующую идентичность:

\ begin {align *} \ log_a x = \ frac {\ log_x x} {\ log_x a} = \ frac {1} {\ log_x a} \ end {align *}

Впечатляет! Это почти как играть в LEGO® ! И поскольку никто еще не дал ему названия, давайте просто возьмемся за дело и окрестим его правилом замены базового кода .

Правило 8 — Правило замены оснований для логарифма

Для любых двух действительных оснований $ x $ и $ a $ мы имеем:

\ begin {align *} \ log_a x = \ frac {1} { \ log_x a} \ end {align *}

На английском языке правило замены базы переводится в следующее понимание:

Альтернативный способ вычислить логарифм числа по основанию — найти логарифм с основанием под этим числом, а затем возьмите обратную величину.

Ужасный каламбур, который мы знаем, но если вы действительно ненавидите , работающий с определенной базой, правило замены базы предоставляет быстрый и грязный способ избавиться от него. Например:

\ begin {align *} \ log_ {512} 2 = \ frac {1} {\ log_2 512} = \ frac {1} {9} \ end {align *}

, что показывает, что ментальный LEGO может быть таким же увлекательным, как игра с несколькими десятками деталей из цветного пластика . 🙂

Взаимозаменяемость базовых аргументов

Как правило, мы не хотим возиться с базами и аргументами , меняя их местами.{\ ln 3}) \ end {align *}

Весело, правда? Отличное место, чтобы задернуть занавеску и на свойствах логарифма! 🙂

Как вы могли слышать неоднократно, логарифм — по крайней мере для большинства практических целей — определяется только на положительных действительных числах. Почему? Потому что число может иметь логарифм, только если оно выражается как степень , которая, в свою очередь, должна быть положительной — в силу определения действительных экспоненциальных функций .

Однако, как и следовало ожидать, это не устраивает определенную группу из борцов за математическую свободу , для которых следующий вопрос может быть более актуальным:

Можно ли что-нибудь сделать для расширения области логарифмических функций на другие числа?

Ответ? Да, но не без какой-то привязки. {yi} $ обозначает комплексное число единицы с углом $ y $.{\ pi i} = -e $. Фактически, можно также видеть, что по построению , любая экспонента обязательно является числом с ненулевой длиной (т.е. экспонента всегда ненулевой ).

Переопределение логарифмической функции (от основания $ e $)

Таким образом, естественная экспоненциальная функция отображает всю комплексную плоскость в ненулевых комплексных чисел, но, возможно, что более тонко, так это то, что любое ненулевое Комплексное число также может быть выражено как степень $ e $.{\ theta i} \\ & = \ text {комплексное число с длиной и углом} z \\ & = z \ end {align *}

Другими словами, мы только что нашли логарифм $ z $ — $ \ displaystyle \ ln | z | + \ theta i $, то есть! Однако обратите внимание на использование « a » вместо « the », поскольку, как упоминалось немного ранее, все будет не гладко…

Во-первых, поскольку комплексное число может иметь несколько эквивалентов Углы , определяющие естественную экспоненциальную функцию на всей комплексной плоскости , могут открыть целую банку с червями — То есть целую банку бесконечно большого числа комплексных чисел , экспоненты которых все, но одинаковы.{- \ pi i} = \ dots = -1 \ end {align *}

, что показывает, что логарифм $ -1 $ — или любого другого числа, если на то пошло — неправильно определен с этой текущей настройкой.

Естественно, один из способов исправить эту многозначность логарифма — это ограничить область экспоненциальной функции главной ветвью . То есть набор комплексных чисел, у которых мнимая часть лежит в интервале $ \ displaystyle (- \ pi, \ pi] $. С ограничением области таким образом мы сможем доказать, что экспоненты различных чисел сами различны, что делает естественную экспоненту обратимой функцией — отображение главной ветви на набор ненулевых комплексных чисел.

Основная ветвь — Ограниченная область естественной экспоненциальной функции. Обратите внимание, что линия $ y = — \ pi $ — это , а не , включенные в график.

При этой настройке обратная экспоненциальная функция — натуральная логарифмическая функция — отображает набор ненулевых комплексных чисел в главную ветвь. {(\ ln a) z} \ end {align *}

Оф. Конечно, чтобы это определение имело смысл, базовый $ \ displaystyle a $ должен быть ненулевым .Кроме того, база также не должна быть $ \ displaystyle 1 $, иначе вместо нее мы получим постоянную функцию . По сути, это просто означает, что концепция действительной базы также должна быть обновлена ​​- с положительного действительного числа , которое не $ \ displaystyle 1 $, до ненулевого комплексного числа , которое не является $ \ displaystyle 1 $. И это большое достижение, если вдуматься: набор действительных оснований только что перешел с правой стороны линии действительного числа почти на всю комплексную плоскость !

Свойства логарифма — обновление

Так что вроде все хорошо. Или нет? Под поверхностью свойства логарифма фактически разваливаются:

• Правило продукта не работает: $ \ displaystyle \ ln (-1 \ cdot -1) = \ ln 1 = 0 $, но $ \ displaystyle \ ln (-1) + \ ln (-1) = 2 \ pi i $. 2 \ right] = \ ln 1 = 0 $, но $ \ displaystyle 2 \ ln (-1) = 2 \ pi i $ .
• Корневое правило не работает: Фундаментальная теорема алгебры подразумевает, что число теперь может иметь до $ n $ $ n $ ^{-х комплексных корней} , поэтому концепция уникальных $ n $ ^{-го корня} больше не применимо.

С другой стороны, логарифмическая функция из с произвольной базой теперь может быть определена — в терминах $ \ displaystyle \ ln z $ — для всех ненулевых комплексных чисел , используя экземпляр то, что ранее было известно как правило смены базы :

\ begin {align *} \ log_a x \, \ stackrel {def} {=} \, \ frac {\ ln x} {\ ln a} \ qquad (x \ ne 0, a \ text {является действительной базой}) \ end {align *}

В свете этого неудивительно, что полноценное Правило об изменении базы действительно выполняется для комплексные логарифмы в целом:

\ begin {align *} \ log_a x & = \ frac {\ ln x} {\ ln a} \\ & = \ frac {\ frac {\ ln x} {\ ln b}} {\ frac {\ ln a} {\ ln b}} \\ & = \ frac {\ log_b x} {\ log_b a} \ qquad (x \ ne 0, a \ text {и} b \ text {оба действительные базы}) \ end {align *}

В частности, в случае, когда $ x $ также является действительной базой , мы получаем, что:

\ begin {align *} \ log_a x = \ frac {\ log_x x} {\ log_x a} = \ frac {1} {\ log_x a} \ end {align *}

Какое имя снова? Правило замены базы , конечно!

Вдобавок, если мы просто начнем с правила смены базы и решим для $ \ displaystyle \ log_b x $, мы получим, что правило цепочки также останется здесь:

\ begin { align *} \ log_b x = \ log_b a \ cdot \ log_a x \ qquad (x \ ne 0, a \ text {и} b \ text {являются действительными базами}) \ end {align *}

Фактически, оказывается, что даже взаимозаменяемость базового аргумента также сохраняется, но только из-за специального экземпляра « Power Rule », который мы встроили в наше определение общей экспоненциальной функции:

\ begin {align *} x ^ {\ log_b y} & = e ^ {\ ln x \ cdot \ log_b y} \\ & = e ^ {\ frac {\ ln x \ cdot \ ln y} {\ ln b} } \\ & = e ^ {\ ln y \ cdot \ log_b x} \\ & = y ^ {\ log_b x} \ qquad (x, y \ ne 0, b \ text {действительное основание}) \ end {align *}

Таким образом, даже если все свойства логарифма, включающие аргументов , теряются в процессе, те, которые включают оснований , все m Я сумел выйти из этого невредимым. z $ в ветвь , мы можем определить логарифм для всех ненулевых комплексных чисел — и сделать это, используя любую действительную базу под солнцем.

Однако пять свойств логарифма, включающие аргументов (например, правило продукта , взаимное правило , правило частичного , правило мощности , корневое правило ) будут потеряны в процессе.

Удивительно, но все четыре свойства логарифма, включающие оснований (то есть Правило смены базы , Правило цепочки , Правило замены оснований , Взаимозаменяемость основных аргументов ), все будут сохранены. .

Из-за существенной потери свойств логарифма, большинство свойств экспоненты также будут разваливаться.

Итак, оглядываясь назад, стоит ли прилагать усилия, чтобы преодолеть препятствие, связанное с расширением области логарифмических функций? Черт возьми, думаю, мы позволим тебе решить этот вопрос! 🙂

Уф! Кто бы мог подумать, что чистое погружение в какую-то основную теорию может завести нас так далеко! Первоначально инструмент для вычисления больших чисел (например.g., превращая произведения или частные в суммы или разности) и для , решающего экспоненциальные уравнения (через свойства логарифма ), логарифм, очевидно, прошел долгий путь, чтобы найти себя в различных областях как прикладных наук , так и чистая математика .

Для ученых-прикладников логарифм, как правило, напоминает такие темы, как вычисление по порядку величины (десятичное или двоичное), логарифмическая шкала (например.g., частота в музыкальных нотах , шкала Рихтера , pH , громкость звука ), алгоритмические сложности и логнормальное распределение . Для других, кто живет в башне из слоновой кости (кто это?), Логарифм часто ассоциируется с идеализированными объектами , такими как гармонический ряд , обратная функция и даже простые числа ,

Фактически, когда мы обдумывали идею включения комплексного числа в логарифм, мы обнаружили, что смогли не только расширить определение логарифма до отрицательного действительного числа , но и для любого другого комплексного числа , отличного от нуля, . .Хотя расширение не всегда заканчивается так, как мы хотели, это фактически открывает путь к введению комплексного логарифма в другие , казалось бы, не связанные между собой предметы , такие как, например, интегрирование по частичным дробям в исчислении .

И до того, как чей-то мозг взорвется , вот интерактивная таблица для того, что мы уже нашли:

Base

Exponent

Power

( Порядок) Величина

Возведение в степень

Аргумент (логарифма)

Определение барифм. \ log_b x} = x \ quad (x> 0) $

Обратная связь между экспоненциальной и логарифмической функцией : $ \ displaystyle \ log_b (b ^ x) = x $

Тривиальные логарифмические тождества : $ \ Displaystyle \ log_b 1 = 0 $, $ \ displaystyle \ log_b b = 1 $, $ \ displaystyle \ log_b \ frac {1} {b} = -1 $

Общий логарифм (основание 10)

9013 (База 2)

$ \ displaystyle \ log x $

Количество цифр (десятичное представление)

Характеристика

Логическая мантисса

$ \ displaystyle \ log_2 x $

Количество бит (двоичное представление)

Двоичное дерево

Количество требуемых операций ( Алгоритм)

Октава (музыка)

Частота (музыкальные ноты)

Натуральный логарифм (база e)

$ \ displaystyle \ ln86 x $

Взаимная функция

Естественная экспоненциальная функция

Серия гармоник

$ \ displaystyle \ log x $ (неоднозначность обозначений)

Логарифм (произвольное основание)

902 Допустимое основание

База

Малая база

График (логарифмические функции)

Терминология

Линейный масштаб по сравнению сЛогарифмическая шкала

Экспоненциальный рост / уменьшение

Приложения

Частота музыкальных нот (теория музыки) : Относительные частоты нот преобразованы в двоичный логарифм . Увеличение полутона увеличивает частоту ноты на $ \ displaystyle \ sqrt [12] {2} $.

pH (химия) : Концентрация ионов водорода, преобразованная в отрицательный (десятичный) логарифм . Увеличение pH на $ 1 $ снижает кислотность раствора на в десять раз .

Шкала Рихтера (сейсмология) : относительная амплитуда сейсмических волн, преобразованная в десятичный логарифм . Одна единица увеличения по шкале Рихтера увеличивает силу землетрясения на в десять раз в раз.

Децибел (акустика) : Относительная звуковая мощность, преобразованная в десятичный логарифм (с единицей измерения в бел), где один бел увеличения увеличивает относительную звуковую мощность на в десять раз .

Предполагая, что все логарифмы ниже определены в соответствии с действительным основанием $ b $ , тогда сохраняются следующие свойства:

Правило продукта : $ \ displaystyle \ log (xy) = \ log x + \ log y \ quad (x, y> 0) $

Взаимное правило : $ \ displaystyle \ log \ left (\ frac {1} {x} \ right) = — \ log x \ quad ( x> 0) $

Правило частного : $ \ displaystyle \ log \ left (\ frac {x} {y} \ right) = \ log x — \ log y \ quad (x, y> 0) $

Правило мощности : $ \ displaystyle \ log (x ^ n) = n \ log x \ quad (x> 0, n \ in \ mathbb {Z}) $

Основное правило : $ \ Displaystyle \ log (\ sqrt [n] {x}) = \ frac {\ log x} {n} \ quad (x> 0, n \ in \ mathbb {N}) $

Обобщенный Правило мощности : $ \ displaystyle \ log (x ^ p) = p \ log x \ quad (x> 0, p \ in \ mathbb {R}) $

Даны два действительных базисы $ a, b $ и что все логарифмы без явного основания определены в базе $ b $, тогда сохраняются следующие свойства:

Правило цепочки : $ \ displaystyle \ log x = \ log a \ cdot \ log_a x \ quad (x> 0) $

Правило изменения базы : $ \ displaystyle \ log_a x = \ frac {\ log x} {\ log a} \ quad ( x> 0) $

Правило замены базы : $ \ displaystyle \ log_a x = \ frac {1} {\ log_x a} \ quad (x \ text {также является допустимой базой}) $

Взаимозаменяемость базовых аргументов : $ \ displaystyle x ^ {\ log y} = y ^ {\ log x} \ quad (x, y> 0) $

Естественная экспоненциальная функция : $ \ Displaystyle e ^ {x + yi} \, \ stackrel {def} {=} \, e ^ x \ cdot e ^ {yi} \ quad (\ text {для всех} x, y \ in \ mathbb { R}) $

Натуральная логарифмическая функция : для любого ненулевого комплексного числа $ \ displaystyle z $, $ \ ln z \, \ stackrel {def} {=} \, \ ln | z | + (\ arg {z}) i $, где $ \ displaystyle | z | $ обозначает длину $ \ displaystyle z $, а $ \ displaystyle \ arg {z} $ — главный угол $ \ displaystyle z $ в интервале $ \ displaystyle (- \ pi, \ pi] $.{(\ ln a) z} \ quad (a \ text {является допустимым основанием}) $

Логарифмическая функция (произвольное основание) : $ \ displaystyle \ log_a x \, \ stackrel {def} {= } \, \ frac {\ ln x} {\ ln a} \ qquad (x \ ne 0, a \ text {является допустимым основанием}) $

Свойства логарифма : все правила, включающие аргументы, не подходят отдельно (например, Правило продукта , Взаимное правило , Правило частичного , Правило силы и Основное правило ).{z_2}} $) остаются. Все другие свойства, которые полагаются на связанные с аргументом свойства логарифма, терпят неудачу (например, Common-Exponent Properties , Power Property ).

Хорошо. Вот краткое изложение увлекательной темы, известной как логарифм, так что независимо от того, предпочитаете ли вы ее реальную или сложную, или вы предпочитаете алгебраическую или прикладную, по крайней мере, теперь нет больше оправданий, чтобы избегать их!

College Algebra Учебник 44: Логарифмический Свойства Цели обучения По завершении этого руководства вы сможете: Знать и использовать свойства логарифмов в разные ситуации. Введение В этом уроке я помогу вам расширить знание логарифмов. Наверное, самое важное, что вам нужно помнить, чтобы помочь вам с это Раздел состоит в том, что ЛОГА — ЕЩЕ ОДИН СПОСОБ ЗАПИСИ ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИЯ . Если вы сохраните этот маленький лакомый кусочек Информация в авангарде вашего мозга, это поможет вам ОГРОМНО через эта секция.Хорошо, поехали. Учебник Как упоминалось выше — и я не могу этого достаточно подчеркнуть — бревна есть другой способ записать экспоненты . Если ты понимаешь это концепция это действительно делает вещи более приятными, когда вы работаете с журналы. Свойство 1 Правило продукта м > 0 и n > 0 По сути, мы говорим, что еще один способ писать журнал продукта должен взять журнал первой базы и добавить его в бревно второй базы. Хммм, почему бы мне просто не взять продукт их журналы ?????? Подождите, я помню, как мой учитель сказал выше, что журналы — другое способ записи экспонент — КОГДА Я МНОЖИЛ БАЗЫ, КАК БАЗЫ , I ДОБАВЛЕНЫ МОИ ОБЪЯВЛЕНИЯ — ПОЭТОМУ Я ДОБАВЛЯЮ ДОБАВИТЬ МОИ ЛОГИ — ЭВРИКА !!!! Обратите внимание, что даже несмотря на то, что m и n не являются основаниями самого журнала, каждое из них может быть записано как основание b в экспоненту из-за определения логарифмов. Вот краткая иллюстрация того, как это свойство работ: Свойство 2 Правило частного м > 0 и n > 0 По сути, мы говорим, что еще один способ писать журнал частного — это взять журнал числителя и вычесть журнал знаменателя. Итак, здесь мы должны помнить, что когда мы были разделяя как основания, мы вычли наши показатели — поэтому мы делаем то же самое с нашими журналы. Вот краткая иллюстрация того, как это свойство работ: Свойство 3 Правило питания м > 0 По сути, мы говорим, что всякий раз, когда у тебя второй экспонента внутри журнала — помните, что сам журнал является экспонентой — тогда вы можете вытащить его вперед и умножить на бревно. Вау, это выглядит немного иначе, но снова приходит от факта что журналы — это еще один способ записи показателей. Помните, когда у нас была база, увеличенная до 2 степеней что мы бы умножьте эти 2 показателя вместе. Это то, что мы делаем здесь. Опять же, хотя м не является базой то log, его можно записать как b в экспонента (на основе определения журнала), а сам журнал является экспонентой, поэтому мы имеют двойной показатель степени — поэтому мы умножаем наши показатели вместе. Вот краткая иллюстрация того, как это свойство работ: Свойство 4 Изменение базовой формулы м > 0 и b > 0 По сути, мы говорим здесь, когда вы нужно изменить основание вашего журнала, вы можете переписать его как базу журнала a (независимо от новая база) оригинала внутри над бревенчатой ​​базой a (независимо от новый база есть) исходной базы. Ваш калькулятор ограничен поиском только по основанию 10 и основание и логарифма. Это поставило бы нас в тупик, если бы нам нужно было найти то значение бревна с любой другой базой. Итак, мы можем использовать это смена базы формула, чтобы изменить его на основание 10 или e , поэтому мы смог найти значение. Аккуратно, а? Вот краткая иллюстрация того, как это свойство работ: Пример 1 : максимально расширить.По возможности оценивайте без калькулятора. Обратите внимание на отсутствие записи базы. Значит ли это здесь нет база? Не в списке. Какая была бы база в этой проблеме? если ты сказал 10, что ты верный. Это известно как общий журнал. Если вам нужен обзор общего журнала (база журнала 10), не стесняйтесь идти в Урок 43: Логарифмический Функции. Пример 2 : Максимально расширьте. По возможности оценивайте без калькулятора. Обратите внимание на то, как написано ln, а не base. Какая была бы база в этой проблеме? если ты сказал e вы правы.Это называется натуральным бревном. Если вам нужна рецензия на натуральный журнал (база данных и ), смело переходите к Tutorial 43: Логарифмические функции. Пример 3 : максимально расширить. По возможности оценивайте без калькулятора. На чем основана эта проблема? На этот раз база равна 5.Убедитесь, что вы держите та же база во всей проблеме. Пример 4 : максимально расширить. По возможности оценивайте без калькулятора. На чем основана эта проблема? На этот раз база равна 2.Убедитесь, что вы держите та же база во всей проблеме. Пример 5 : Свести в одно логарифмическое выражение. Оценивайте без калькулятора где возможный. На этот раз мы идем в обратном направлении. примеры 1-4. Однако вы можете использовать те же свойства, что и мы. Ты можешь используйте эти свойства в любом направлении. На чем основана эта проблема? На этот раз база — e . Убеждаться что вы сохраняете ту же основу на протяжении всей проблемы. Пример 6 : Свести в одно логарифмическое выражение.Оценивайте без калькулятора где возможный. И снова мы идем в обратном направлении. примеры 1-4. На чем основана эта проблема? На этот раз база 3. Убедитесь, что вы сохранили та же база во всей проблеме. Пример 7 : Свести в одно логарифмическое выражение.Оценивайте без калькулятора где возможный. И снова мы идем в обратном направлении. примеры 1-4. На чем основана эта проблема? На этот раз база — e . Убеждаться что вы сохраняете ту же основу на протяжении всей проблемы. Пример 8 : перепишите, используя натуральный логарифм, и вычислите с помощью калькулятора.Круглый к 4 знака после запятой. Обратите внимание, что калькулятор может оценивать только те журналы, которые основание 10 или база и . Поскольку эта проблема находится в база 4 нам нужно изменить базу на базу e (или базу 10). Поскольку в инструкции написано base e , Давайте сделаем это. Это должно быть между 1 и 2, потому что 7.2 = 16. Опять же, журналы — это еще один способ записать экспоненты и что это то, что мы здесь ищем. Практические задачи Это практические задачи, которые помогут вам перейти на следующий уровень. Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы эти типы проблем. Math работает как и все в противном случае, если вы хотите добиться успеха в этом, вам нужно практиковать это. Даже лучшие спортсмены и музыканты получали помощь и много практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы хорошо освоить свой вид спорта или инструмент. На самом деле не бывает слишком много практики. Чтобы получить максимальную отдачу от них, вы должны решить проблему на свой, а затем проверьте свой ответ, щелкнув ссылку для ответа / обсуждения для этой проблемы .По ссылке вы найдете ответ а также любые шаги, которые позволили найти этот ответ. Практические задачи 1a — 1c: Разверните каждую логарифмическую выражение столько, сколько возможный. По возможности оценивайте без калькулятора. Практические задачи 2a — 2b: сжать каждое логарифмическое выражение в один логарифмический выражение.По возможности оценивайте без калькулятора. Практическая задача 3a: Перепишите логарифмическое выражение. с использованием натуральных логарифмов и оцените с помощью калькулятора. Округлить до 4 знаков после запятой. Нужна дополнительная помощь по этим темам? Последний раз редактировал Ким Сьюард 23 марта 2011 г. Авторские права на все содержимое (C) 2002 — 2011, WTAMU и Kim Seward. Все права защищены.

Степени натуральных чисел | Суперпроф

У каждого числа есть сила. Неважно, имеете ли вы дело с натуральными числами или любым другим типом чисел, оно всегда будет иметь силу. Степень — это сокращенная форма записи умножения на , образованного несколькими равными множителями .

Здесь вы можете спросить, почему у каждого числа есть сила? Чтобы понять это, давайте выберем число.Например, представьте себе число

. Можем ли мы написать так «»? Да конечно! Поскольку сила — это, по сути, умножение, поскольку мы имеем дело с этим, это означает, что она умножается один раз. Степень может быть как в отрицательной, так и в дробной или десятичной форме, но одно можно сказать наверняка: каждое число имеет силу. Число без силы — это единица. Неважно, десять миллионов это или сто миллиардов, если их силы равны нулю, они станут единым целым. Когда вы имеете дело со степенями в математике, вы столкнетесь с двумя вещами: основание и показатель степени .

База

База мощности — это число, на которое умножает само на себя. В приведенном выше примере база равна

, потому что, если вы заметили, она умножается сама на себя, и поэтому мы называем ее базой.

Лучшие доступные репетиторы по математике

Первый урок бесплатно

Показатель степени

Показатель степени показывает, сколько раз умножает основание на само основание. В приведенном выше примере показатель степени равен

, потому что он был умножен раз, и поэтому мы называем его показателем.

Свойства степеней натуральных чисел

Свойство № 1: Нулевая степень

Любое число, степень которого равна нулю, всегда приводит к единице. Ни знак, ни абсолютное значение не имеют значения, как только степень уменьшится до нуля, ответ всегда будет

.

a ⁰ = 1

Свойство № 2: стандартная степень любого числа

Каждое число имеет силу. Если вы видите число, в котором не упоминается мощность, это означает, что у него мощность

.Следовательно, каждое число имеет степень.

Свойство № 3: Произведение степеней с одинаковым основанием

Если есть знак умножения и числа одинаковые с разными степенями, то вы можете сложить обе степени. Другими словами, это другая степень с с тем же основанием , а показатель степени равен сумме показателей степени .

Свойство № 4: Разделение полномочий с одинаковым основанием

Если есть знак деления и числа одинаковые с разными степенями, то вы можете вычесть обе степени.Другими словами, это другая степень с тем же основанием, а показатель степени — это разность показателей степени.

Свойство № 5: Степень степени

Это другая степень с тем же основанием, а показатель степени является произведением экспоненты.

Свойство № 6: Умножение степеней с одинаковым показателем

Если основания разные, но мощность обоих оснований одинакова со знаком умножения, вы можете записать их в группу, а затем применить операция умножения.Другими словами, это другая степень с тем же показателем, основание которой является произведением оснований.

Свойство № 7: Разделение полномочий с одинаковым показателем

Если основания разные, но мощность обоих оснований одинакова со знаком деления, то вы можете записать их в группу, а затем применить разделение операции. Это другая степень с той же степенью , , основание которой является частным оснований .

Полиномиальное разложение числа

Натуральное число может быть разложено с использованием степени с основанием 10 .

Число

можно разложить следующим образом:

Рабочие листы с отрицательными показателями, дробными показателями, показателями.

Правила экспоненты | Законы экспонентов

Правила экспоненты, законы экспоненты и примеры.

Что такое показатель степени

Основание a в степени n равно умножению числа a, n раз:

a ⁿ =
— × — × … × a

п раз

a — основание, n — показатель степени.

Примеры

3 ¹ = 3

3 ² = 3 × 3 = 9

3 ³ = 3 × 3 × 3 = 27

3 ⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81

3 ⁵ = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243

Правила и свойства экспонентов

Название правила	Правило	Пример
Правила продукта	a n ⋅ a m = a n + m	2 3 ⋅ 2 4 = 2 3 + 4 = 128
	a n ⋅ b n = ( a ⋅ b ) n	3 2 ⋅ 4 2 = (3⋅4) 2 = 144
Правила отношения	a n / a m = a n — m	2 5 /2 3 = 2 5-3 = 4
	a n / b n = ( a / b ) n	4 3 /2 3 = (4/2) 3 = 8
Энергетические правила	( b n ) m = b нм	(2 3 ) 2 = 2 3⋅2 = 64
	b n m = b ( n m )	2 3 2 = 2 (3 2 ) = 512
	м √ ( b n ) = б п / м	2 √ (2 6 ) = 2 6/2 = 8
	b 1/ n = n √ b	8 1/3 = 3 √8 = 2
Отрицательные показатели	b -n = 1/ b n	2 -3 = 1/2 3 = 0.125
Нулевые правила	b 0 = 1	5 0 = 1
	0 n = 0, для n > 0	0 5 = 0
Единые правила	b 1 = b	5 1 = 5
	1 n = 1	1 5 = 1
Минус одно правило		(-1) 5 = -1
Производное правило	( x n ) ‘ = n ⋅ x n -1	( x 3 ) ‘ = 3⋅ x 3-1
Интегральное правило	∫ x n dx = x n +1 / ( n +1) + C	∫ x 2 dx = x 2 + 1 / (2 + 1) + C

Показатели продукта правила

Правило продукта с такой же базой

a ⁿ ⋅ a ^m = a ^{n + m}

Пример:

2 ³ ⋅ 2 ⁴ = 2 ^{3 + 4} = 2 ⁷ = 2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2 = 128

Правило произведения с таким же показателем

a ⁿ ⋅ b ⁿ = ( a ⋅ b ) ⁿ

Пример:

3 ² ⋅ 4 ² = (3⋅4) ² =
12 ² = 12⋅12 = 144

См .: Показатели умножения

Правила частного экспонента

Правило частных с таким же основанием

a ⁿ / a ^м = a ^{n — м}

Пример:

2 ⁵ /2 ³ = 2 ^5-3 = 2 ² = 2⋅2 = 4

Правило частных с тем же показателем

a ⁿ / b ⁿ = ( a / b ) ⁿ

Пример:

4 ³ /2 ³ = (4/2) ³ =
2 ³ = 2⋅2⋅2 = 8

См .: Показатели деления

Правила степени экспоненты

Правило силы I

( a ⁿ ) ^м = a ^нм

Пример:

(2 ³ ) ² = 2 ^3⋅2 = 2 ⁶ = 2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2 = 64

Правило власти II

_a ^{n m} _{= a} ( n ^m )

Пример:

₂ 3 ² _{= 2} (3 ² )
_{= 2} (3⋅3) _{= 2} 9 _{= 2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2 = 512}

Силовая линейка с радикалами

^м √ ( a ⁿ ) = a ^{n / м}

Пример:

² √ (2 ⁶ ) = 2 ^6/2 = 2 ³ = 2⋅2⋅2 = 8

Правило отрицательных показателей

b ^-n = 1/ b ⁿ

Пример:

2 ^-3 = 1/2 ³ = 1 / (2⋅2⋅2) = 1/8 = 0.

Добавить комментарий Отменить ответ

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Комментарий *

Имя *

Email *

Сайт