Точки экстремума и экстремумы функции: Урок 16. экстремумы функции — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

Содержание

Найти экстремумы функции | Онлайн калькулятор

Данный калькулятор предназначен для нахождения экстремумов функции.
Следует различать понятия точек экстремума и экстремумов функции. Точки экстремума – точки максимума и минимума функции, это значения на оси Ox. Точка x0 является точкой максимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности выполняется неравенство f(x0)≥f(x). Точка x0 является точкой минимума функции y=f(x), если из ее окрестности для всех x выполняется неравенство f(x0)≤f(x). Значения функции, которые соответствуют точкам экстремума, называются экстремумами функции, это значения на оси Oy.
Для того чтобы найти экстремумы функции можно использовать любой из трех условий экстремума, если функция удовлетворяет эти условиям.
Первым достаточным условием экстремума являются следующие утверждения: если в точке x0 функция непрерывна, и в ней производная меняет знак с плюса на минус, то точка x0 является точкой максимума, а если в данной точке производная меняет знак с минуса на плюс, то x0 – точка минимума.

Вторым признаком экстремума является следующее утверждение: если производная второго порядка от x0 больше нуля, то x0 – точка минимума; если меньше нуля, то x0 – точка максимума.
Третье достаточное условие экстремума функции заключается в следующем. Пусть функция y=f(x) имеет производные до n-ого порядка в окрестности точки x0 и производные до n+1-ого порядка в самой точке x0; пусть f’(x0)= f’’(x0)= f’’’(x0)=…=f(n)( x0)=0 и f(n+1)( x0)≠0. Тогда, если n – нечетное, то x0 – точка экстремума. Если f(n+1)( x0)>0, то x0 – точка минимума, а, если f(n+1)( x0)0 – точка максимума.
Для того чтобы найти экстремумы функции, введите эту функцию в ячейку. Основные примеры ввода функций для данного калькулятора указаны ниже.

Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.

Экстремумы функции (Лекция №9)

Рассмотрим график непрерывной функции y=f(x), изображенной на рисунке.

Значение функции в точке x1 будет больше значений
функции во всех соседних точках как слева, так и справа от x1. В
этом случае говорят, что функция имеет в точке x1 максимум. В точке x3 функция, очевидно,
также имеет максимум. Если рассмотреть точку x2, то в ней значение функции
меньше всех соседних значений. В этом случае говорят, что функция имеет в точке
x2 минимум.
Аналогично для точки x4.

Функция y=f(x) в точке x0 имеет максимум, если значение функции в этой точке больше, чем ее
значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x0, т.е. если существует такая
окрестность точки x0, что для всех xx0,
принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x)<f(x0).

Функция y=f(x) имеет минимум в точке x0, если существует такая окрестность
точки x0, что
для всех xx0, принадлежащих этой окрестности, имеет
место неравенство f(x)>f(x0.

Точки, в которых функция
достигает максимума и минимума, называются точками экстремума, а значения
функции в этих точках экстремумами функции.

Обратим внимание на то,
что функция, определенная на отрезке, может достигать максимума и минимума
только в точках, заключенных внутри рассматриваемого отрезка.

Отмети, что если функция
имеет в точке максимум, то это не означает, что в этой точке функция имеет
наибольшее значение во всей области определения. На рисунке, рассмотренном выше,
функция в точке x1 имеет максимум, хотя
есть точки, в которых значения функции больше, чем в точке x1. В частности, f(x1) < f(x4)
т. е. минимум функции больше максимума. Из определения максимума следует только,
что это самое большое значение функции в точках, достаточно близкихк точке максимума.

Теорема 1. (Необходимое условие
существования экстремума.)
Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет в точке x= x0
экстремум, то ее производная в этой точке обращается в нуль.

Доказательство. Пусть для определенности в точке x0 функция имеет максимум. Тогда при достаточно
малых приращениях Δx имеем f(x0+ Δx)<f(x0), т.е. Но тогда

Переходя в этих
неравенствах к пределу при Δx→ 0 и учитывая, что производная f ‘(x0)
существует, а следовательно предел, стоящий слева, не
зависит от того как Δx → 0,
получаем: при Δx → 0
– 0 f’(x0)
≥ 0 а при Δx → 0
+ 0 f’(x0)
≤ 0. Так как f ‘(x0)
определяет число, то эти два неравенства совместны только в том случае, когда f ‘(x0) = 0.

Доказанная
теорема утверждает, что точки максимума и минимума могут находиться только
среди тех значений аргумента, при которых производная обращается в нуль.

Мы рассмотрели случай,
когда функция во всех точках некоторого отрезка имеет производную. Как же
обстоит дело в тех случаях, когда производная не существует? Рассмотрим примеры.

Примеры.

  1. y=|x|.

    Функция не имеет
    производной в точке x=0 (в этой точке график функции не имеет определенной касательной),
    но в этой точке функция имеет минимум, так как y(0)=0,
    а при всех x≠ 0y > 0.

  2.  

    Функция не имеет производной
    при x=0, так как обращается в
    бесконечность приx=0. Но в этой точке функция имеет максимум.

  3.  

    Функция не имеет производной при x=0, так как при x→0. В
    этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума. Действительно, f(x)=0 и при x<0f(x)<0, а при x>0f(x)>0.

    Таким образом, из
    приведенных примеров и сформулированной теоремы видно, что функция может иметь
    экстремум лишь в двух случаях: 1) в точках, где производная существует и равна
    нулю; 2) в точке, где производная не существует.


    Однако, если в некоторой точке x0 мы знаем,
    что f ‘(x0)=0, то отсюда нельзя делать вывод, что в
    точке x0 функция
    имеет экстремум.

    Например. .

    Но точка x=0 не является
    точкой экстремума, поскольку слева от этой точки значения функции расположены
    ниже оси Ox, а справа выше.

    Значения аргумента из
    области определения функции, при которых производная функции обращается в нуль
    или не существует, называются критическими
    точками
    .

    Из всего вышесказанного
    следует, что точки экстремума функции находятся среди критических точек, и,
    однако, не всякая критическая точка является точкой экстремума. Поэтому, чтобы
    найти экстремум функции, нужно найти все критические точки функции, а затем
    каждую из этих точек исследовать отдельно на максимум и минимум. Для этого
    служит следующая теорема.

    Теорема 2. (Достаточное
    условие существования экстремума.)
    Пусть функция непрерывна на некотором
    интервале, содержащем критическую точку x0, и дифференцируема
    во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки x0). Если при
    переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на
    минус, то в точке x = x0
    функция имеет максимум. Если же при переходе через x0
    слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой
    точке минимум.

    Таким образом, если

    1. f ‘(x)>0 при x<x0 и f ‘(x)<0 при x> x0, то x0 – точка максимума;
    2. при x<x0
      и f ‘(x)>0 при x> x0, то x0 – точка минимума.

    Доказательство. Предположим сначала, что при переходе
    через x0 производная меняет знак с плюса на минус, т.е.
    при всех x, близких к точке x0f ‘(x)>0 для x< x0, f ‘(x)<0 для x> x0. Применим теорему
    Лагранжа к разности f(x) — f(x0) = f ‘(c)(x- x0), где c лежит между x и
    x0.

    1. Пусть x < x0. Тогда c< x0 и f ‘(c)>0. Поэтомуf ‘(c)(x- x0)<0и, следовательно,

      f(x) — f(x0)<0,т.е. f(x)< f(x0).

    2. Пусть x > x0. Тогда c> x0
      и f ‘(c)<0. Значитf ‘(c)(x- x0)<0. Поэтому f(x) — f(x0)<0,т.е.f(x) < f(x0).

    Таким образом, для всех
    значений x достаточно близких к x0f(x) < f(x0). А это значит, что в точке x0 функция
    имеет максимум.

    Аналогично доказывается
    вторая часть теоремы о минимуме.

    Проиллюстрируем
    смысл этой теоремы на рисунке. Пусть f ‘(x1)=0 и для любых x, достаточно близких к x1, выполняются неравенства

    f ‘(x)<0 при x< x1, f ‘(x)>0 при x> x1.

    Тогда слева от точки x1 функция возрастает, а
    справа убывает, следовательно, при x = x1
    функция переходит от возрастания к убыванию, то есть имеет максимум.

    Аналогично можно рассматривать
    точки x2 и x3.


    Схематически все вышесказанное можно изобразить на картинке:

    Правило исследования
    функции y=f(x) на экстремум

    1. Найти область определения
      функции f(x).
    2. Найти первую
      производную функции f ‘(x).
    3. Определить критические
      точки, для этого:

      1. найти действительные корни уравнения f ‘(x)=0;
      2. найти все значения x при которых производная f ‘(x) не существует.
    4. Определить знак
      производной слева и справа от критической точки. Так как знак производной
      остается постоянным между двумя критическими точками, то достаточно определить
      знак производной в какой-либо одной точке слева и в одной точке справа от
      критической точки.
    5. Вычислить значение
      функции в точках экстремума.

    Примеры. Исследовать функции на
    минимум и максимум.

    1. . Область определения функции D(y)=R.

      Найдем
      производную заданной функции

      Определим
      критические точки . Производная не существует при х2= 0. Следовательно,
      критические точки: 0 и 2/5. Нанесем их на числовую ось и определим знак
      производной на каждом из полученных промежутков.

    2.  

      Критическая точка функции x =3. Точка x= –1 не входит в область определения функции.

    НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ

    Наибольшим значением функции на отрезке называется самое
    большое из всех ее значений на этом отрезке, а наименьшим – самое маленькое из всех ее значений.

    Рассмотрим функцию y=f(x) непрерывную
    на отрезке [a, b].
    Как известно, такая функция достигает своего наибольшего и наименьшего
    значений, либо на границе отрезка, либо внутри него. Если наибольшее или
    наименьшее значение функции достигается во внутренней точке отрезка, то это
    значение является максимумом или минимумом функции, то есть достигается в
    критических точках.

    Таким образом,
    получаем следующее правило нахождения
    наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке[a, b]
    :

    1. Найти все
      критические точки функции в интервале (a, b) и вычислить значения функции в этих точках.
    2. Вычислить
      значения функции на концах отрезка при x = a, x = b.
    3. Из всех полученных
      значений выбрать наибольшее и наименьшее.

    Примеры.

    1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–2; –0,5].

      Найдем
      критические точки функции.

      Вычислим
      значения функции в найденной точке и на концах заданного отрезка.

      Итак,

    2. Найти
      наибольшее и наименьшее значения функцииy=x-2·ln x на [1; e].


    3. Чему равна наименьшая площадь боковой поверхности
      прямого кругового конуса объема 3π?

      По теореме Пифагора

      .

      Следовательно, .

      .

      Найдем
      критические точки функции S: S‘ = 0, т.е.

      Покажем, что при
      найденном значении h функция Sбок
      достигает минимума.

      .

    4. Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиусом R.

      Пусть r – радиус основания цилиндра, h – высота.

      Нам нужно
      максимизировать объем цилиндра .

      Используя
      условие задачи, найдем связь между r и h. По теореме
      Пифагора из треугольника ABC следует,
      что . Отсюда .

      , по смыслу задачи 0≤h≤2R.

      .

      Покажем, что при
      найденном значении h
      функция V принимает наибольшее
      значение.

Как найти экстремум (точки минимума и максимума) функции

Простой алгоритм нахождения экстремумов. Учимся находить с bugaga.net.ru.

  • Находим производную функции
  • Приравниваем эту производную к нулю
  • Находим значения переменной получившегося выражения (значения переменной, при которых производная преобразуется в ноль)
  • Разбиваем этими значениями координатную прямую на промежутки (при этом не нужно забывать о точках разрыва, которые также надо наносить на прямую), все эти точки называются точками «подозрительными» на экстремум
  • Вычисляем, на каких из этих промежутков производная будет положительной, а на каких – отрицательной. Для этого нужно подставить значение из промежутка в производную.

Из точек, подозрительных на экстремум, надо найти именно экстремумы. Для этого смотрим на наши промежутки на координатной прямой. Если при прохождении через какую-то точку знак производной меняется с плюса на минус, то эта точка будет максимумом, а если с минуса на плюс, то минимумом.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции, нужно вычислить значение функции на концах отрезка и в точках экстремума. Затем выбрать наибольшее и наименьшее значение.

https://bugaga.net.ru/ege/math/ekstremum.html bugaga.net.ru

Рассмотрим пример

Находим производную и приравниваем её к нулю:

Полученные значения переменных наносим на
координатную прямую и высчитываем знак производной на каждом из промежутков. Ну
например, для первого возьмём -2,
тогда производная будет равна -0,24,
для второго возьмём 0, тогда
производная будет 2 , а для третьего возьмём 2, тогда производная будет -0,24. Проставляем соответствующие знаки.

Видим, что при прохождении через точку -1 производная меняет знак с минуса на плюс, то есть это будет точка минимума, а при прохождении через 1 – с плюса на минус, соответственно это точка максимума.

Смотрите также:

Еще больше материалов для подготовки к ЕГЭ

Максимумы, минимумы и экстремумы функций

Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.

Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.


Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.


Минимумы и максимумы вместе именуют

экстремумами функции.


Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.

В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная
равна нулю.


Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.


Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. \(y\). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, \(-5\) точка минимума (или точка экстремума), а \(1\) – минимум (или экстремум).

Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?


Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:



У нас дан график производная — значит ищем в каких точках на графике производная равна нулю. Очевидно, это точки \(-13\), \(-11\), \(-9\),\(-7\) и \(3\). Количество точек экстремума функции – \(5\).


Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось \(x\)).


         

Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?


Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:

— Производная положительна там, где функция возрастает.


— Производная отрицательна там, где функция убывает.


С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.



Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди \(-13\), \(-11\), \(-9\),\(-7\) и \(3\).


Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.



Начнем с \(-13\): до \(-13\) производная положительна т.е. функция растет, после — производная отрицательна т.е. функция падает. Если это представить, то становится ясно, что \(-13\) – точка максимума.


\(-11\): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что \(-11\) – это минимум.


\(- 9\): функция возрастает, а потом убывает – максимум.


\(-7\): минимум.


\(3\): максимум.


Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:

— Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус.


— Функция имеет минимум там, где производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс.

Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?


Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:

  1. Найдите производную функции \(f'(x)\). 
  2. Найдите корни уравнения \(f'(x)=0\). 
  3. Нарисуйте ось \(x\) и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью \(f'(x)\), а под осью \(f(x)\).
  4. Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов). 
  5. Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью). 
  6. Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2:

    — если \(f’(x)\) изменила знак с «\(+\)» на «\(-\)», то \(x_1\) – точка максимума;

    — если \(f’(x)\) изменила знак с «\(-\)» на «\(+\)», то \(x_3\) – точка минимума;

    — если \(f’(x)\) не изменила знак, то \(x_2\) – может быть точкой перегиба.


Всё! Точки максимумов и минимумов найдены. 2-4=0\)

               \(x=±2\)


3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:



Теперь очевидно, что точкой максимума является \(-2\).


Ответ. \(-2\).


Смотрите также:
Связь функции и её производной | 7 задача ЕГЭ
Разбор задач на поиск экстремумов, минимумов и максимумов


Скачать статью

Алгебра – 10 класс. Точки экстремумов функций

Дата публикации: .

Что будем изучать:
1. Введение.
2. Точки минимума и максимума.
3. Экстремум функции.
4. Как вычислять экстремумы?
5. Примеры.

Введение в экстремумы функций

Ребята, давайте посмотрим на график некоторой функции:

Заметит, что поведение нашей функции y=f (x) во многом определяется двумя точками x1 и x2. Давайте внимательно посмотрим на график функции в этих точках и около них. До точки x2 функция возрастает, в точке x2 происходит перегиб, и сразу после этой точки функция убывает до точки x1. В точке x1
функция опять перегибается, и после этого — опять возрастает. Точки x1 и x2 пока так и будем называть точками перегиба. Давайте проведем касательные в этих точках:

Касательные в наших точках параллельны оси абсцисс, а значит, угловой коэффициент касательной равен нулю. Это значит, что и производная нашей функции в этих точках равна нулю.

Посмотрим на график вот такой функции:

Касательные в точках x2 и x1 провести невозможно. Значит, производной в этих точках не существует. Теперь посмотрим опять на наши точки на двух графиках. Точка x2 — это точка, в которой функция достигает наибольшего значения в некоторой области (рядом с точкой x2). Точка x1 — это точка, в
которой функция достигает своего наименьшего значения в некоторой области (рядом с точкой x1).

Точки минимума и максимума

Определение: Точку x= x0 называют точкой минимума функции y=f(x), если существует окрестность точки x0, в которой выполняется неравенство: f(x) ≥ f(x0).

Определение: Точку x=x0 называют точкой максимума функции y=f(x), если существует окрестность точки x0, в которой выполняется неравенство: f(x) ≤ f(x0).

Ребята, а что такое окрестность?

Определение: Окрестность точки — множество точек, содержащее нашу точку, и близкие к ней.

Окрестность мы можем задавать сами. Например, для точки x=2, мы можем определить окрестность в виде точек 1 и 3.

Вернемся к нашим графикам, посмотрим на точку x2, она больше всех других точек из некоторой окрестности, тогда по определению — это точка максимума. Теперь посмотрим на точку x1, она меньше всех других точек из некоторой окрестности, тогда по определению — это точка минимума.

Ребята, давайте введем обозначения:

ymin — точка минимума,
ymax — точка максимума.

Важно! Ребята, не путайте точки максимума и минимума с наименьшим и наибольшим значение функции. Наименьшее и наибольшее значения ищутся на всей области определения заданной функции, а точки минимума и максимума в некоторой окрестности.

Экстремумы функции

Для точек минимума и максимума есть общей термин – точки экстремума.

Экстремум (лат. extremum – крайний) – максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума.

Соответственно, если достигается минимум – точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум – точкой максимума.

Как же искать экстремумы функции?

Давайте вернемся к нашим графикам. В наших точках производная либо обращается в нуль (на первом графике), либо не существует (на втором графике).

Тогда можно сделать важное утверждение: Если функция y= f(x) имеет экстремум в точке x=x0, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.

Точки, в которых производная равна нулю называются стационарными.

Точки, в которых производной функции не существует, называются критическими.

Как вычислять экстремумы?

Ребята, давайте опять вернемся к первому графику функции:

Анализируя этот график, мы говорили: до точки x2 функция возрастает, в точке x2 происходит перегиб, и после этой точки функция убывает до точки x1. В точке x1 у функции опять перегибается, и после этого
функция опять возрастает.

На основании таких рассуждений, можно сделать вывод, что функция в точках экстремума меняет характер монотонности, а значит и производная функция меняет знак. Вспомним: если функция убывает, то производная меньше либо равно нулю, а если функция возрастает, то производная больше либо равна нулю.

Обобщим полученные знания утверждением:

Теорема: Достаточное условие экстремума: пусть функция y=f(x) непрерывна на некотором промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку x= x0. Тогда:

  • Если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x x0 выполняется f’(x)>0, то точка x0 – точка минимума функции y= f(x).
  • Если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x 0, а при x> x0 выполняется f’(x)Если у этой точки существует такая окрестность, в которой и слева и справа от точки x0 знаки производной одинаковы, то в точке x0 экстремума нет.

Для решении задач запомните такие правила: Если знаки производных определены то:

Алгоритм исследования непрерывной функции y= f(x) на монотонность и экстремумы:

  • Найти производную y’.
  • Найти стационарные(производная равна нулю) и критические точки (производная не существует).
  • Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.
  • По указанным выше утверждениям сделать вывод о характере точек экстремума.

Примеры нахождения точки экстремумов

1) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 7+ 12*x — x3

Решение: Наша функция непрерывна, тогда воспользуемся нашим алгоритмом:
а) y’= 12 — 3x2,
б) y’= 0, при x= ±2,
в) отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной:

г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов.
Точка x= -2 — точка минимума функции, точка x= 2 — точка максимума функции.
Ответ: x= -2 — точка минимума функции, x= 2 — точка максимума функции.

2) Найти точки экстремума функции и определить их характер.

Решение: Наша функция непрерывна. Воспользуемся нашим алгоритмом:
а)
б) в точке x= 2 производная не существует, т.к. на нуль делить нельзя,

Область определения функции: [2; +∞], в этой точки экстремума нет, т.к. окрестность точки не определена. Найдем значения, в которой производная равна нулю:

в) Отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной:

г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов.
Точка x= 3 — точка минимума функции.
Ответ: x= 3 — точка минимума функции.

3) Найти точки экстремума функции y= x — 2cos(x) и определить их характер, при -π ≤ x ≤ π.

Решение: Наша функция непрерывна, воспользуемся нашим алгоритмом:
а) y’= 1 + 2sin(x),
б) найдем значения в которой производная равна нулю: 1 + 2sin(x)= 0, sin(x)= -1/2,
т.к. -π ≤ x ≤ π, то: x= -π/6, -5π/6,
в) отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной:

г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов.
Точка x= -5π/6 — точка максимума функции.
Точка x= -π/6 — точка минимума функции.
Ответ: x= -5π/6 — точка максимума функции, x= -π/6 — точка минимума функции.

4) Найти точки экстремума функции и определить их характер:

Решение: Наша функция имеет разрыв только в одной точке x= 0. Воспользуемся алгоритмом:
а)
б) найдем значения в которой производная равна нулю: y’= 0 при x= ±2,
в) отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной:

г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов.
Точка x= -2 точка минимума функции.
Точка x= 2 — точка минимума функции.
В точке x= 0 функция не существует.
Ответ: x= ±2 — точки минимума функции.

Задачи для самостоятельного решения

а) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 5x3 — 15x — 5.
б) Найти точки экстремума функции и определить их характер:
в) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 2sin(x) — x при π ≤ x ≤ 3π.
г) Найти точки экстремума функции и определить их характер:

Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике — Элементы математического анализа

Интервалы возрастания и убывания функции

      Для того, чтобы найти интервалы, на которых функция возрастает или убывает, часто используется метод, основанный на анализе знаков производной рассматриваемой функции. Суть этого метода состоит в следующем.

      Если на интервале   (a, b)   функция  y = f (x)   строго возрастает и в каждой точке   x0   интервала имеет производную, то, как показано на рисунке 1, а также на рисунке 2,

Рис.1

Рис.2

угол   α   наклона касательной к графику функции будет острым, откуда вытекает неравенство:

f ‘ (x0) = tg α > 0

      Если же на интервале   (a, b)   функция  y = f (x)   строго убывает и в каждой точке   x0   интервала имеет производную, то, как показано на рисунках 3 и 4,

Рис. 3

Рис.4

угол   α   наклона касательной к графику функции будет тупым, откуда вытекает неравенство:

f ‘ (x0) = tg α < 0

Достаточные условия для возрастания и убывания функции

      В следующем утверждении, доказательство которого выходит за рамки школьного курса математики, сформулированы достаточные условия для возрастания и убывания функции.

      Утверждение 1.

     а). Если в каждой точке   x   интервала   (a, b)   производная   f ‘ (x)   существует и удовлетворяет неравенству

f ‘ (x) > 0 ,

то функция   f (x)   строго возрастает на интервале   (a, b) .

     б). Если в каждой точке   x   интервала   (a, b)   производная   f ‘ (x)   существует и удовлетворяет неравенству

то функция   f (x)   возрастает (не убывает) на интервале   (a, b) .

     в). Если в каждой точке   x   интервала   (a, b)   производная   f ‘ (x)   существует и удовлетворяет неравенству

f ‘ (x) < 0 ,

то функция   f (x)   строго убывает на интервале   (a, b) .

     г). Если в каждой точке   x   интервала   (a, b)   производная   f ‘ (x)   существует и удовлетворяет неравенству

то функция   f (x)   убывает (не возрастает) на интервале   (a, b) .

Экстремумы (максимумы и минимумы) функции

      Определение 1. Точку   x0   называют точкой максимума функции   f (x) ,   если существует интервал   (a, b) ,   такой, что   0b ,    для точек   x   которого выполнено неравенство

.

      Таким образом, если   x0   – точка максимума функции   f (x) ,   то в интервале   (a, b)   значение функции   f (x0)   больше всех остальных значений функции.

      Определение 2. Точку   x0   называют точкой минимума функции   f (x) ,   если существует интервал   (a, b) ,   такой, что   a < x0 < b ,   для точек   x   которого выполнено неравенство

.

      Другими словами, если   x0   – точка минимума функции   f (x) ,   то в интервале   (a, b)   значение функции   f (x0)   меньше всех остальных значений функции.

      Определение 3. Точки максимума и минимума функции называют точками экстремума функции, а значения функции в точках экстремума называют экстремумами функции.

«Подозрительные» на наличие экстремума точки функции.

Теорема Ферма

      Определение 4.Стационарной точкой функции называют такую точку, в которой производная функции равна нулю.

      Определение 5.Критической точкой функции называют такую точку, в которой производная функции равна нулю или не существует.

      Таким образом, если точка   x0   является критической точкой функции, то точка   x0   либо является стационарной точкой функции, либо производная функции в точке   x0   не существует.

      Теорема Ферма. Если точка   x0   является точкой экстремума функции   f (x) ,   то точка   x0   является критической точкой функции   f (x) .

      Доказательство. Если в точке   x0   у функции   y = f (x)   не существует производная, то точка   x0   является критической точкой по определению. Докажем, что если в точке   x0   у функции   y = f (x)   существует производная, то точка   x0   является стационарной, то есть   f ‘ (x0) = 0 .

      Предположим сначала, что точка   x0   является точкой максимума функции   y = f (x)  (рис. 5).

Рис.5

      Поскольку   x0   – точка максимума, то для любой точки   x1  такой, что   x1x0 ,   выполнено неравенство   f (x1) < f (x0) ,   поэтому

.

      Точно так же, для любой точки   x2   такой, что   x2 > x0 ,   выполнено неравенство   f (x2) < f (x0) ,   поэтому

.

      Таким образом, в случае, когда точка   x0   является точкой максимума функции   y = f (x),   выполнено равенство   f ‘ (x0) = 0 .   Касательная к графику функции   y = f (x)   в точке   A= (x0;  f (x0))   параллельна оси   Ox.

      Совершенно аналогично доказывается, что и в случае, когда точка   x0   является точкой минимума функции   y = f (x),   выполнено равенство   f ‘ (x0) = 0 .

      Замечание 1. Из утверждения 2 следует, что точки экстремумов функции (точки максимумов и точки минимумов) нужно искать лишь среди критических точек функции, так как в других (некритических) точках экстремумов быть не может. По этой причине критические точки функции часто называют точками, подозрительными на экстремум.

Достаточные условия для существования экстремума функции

      В следующем утверждении, доказательство которого выходит за рамки школьного курса математики и в нашем справочнике не приводится, сформулированы достаточные условия для экстремума функции.

      Утверждение 3. Рассмотрим функцию   f (x) ,   непрерывную в интервале   (a, b),   содержащем точку   x0 ,   производная которой существует в каждой точке этого интервала, кроме, быть может, самой точки   x0 .

     а). Если для точек выполнено условие:

f ‘ (x) > 0   при   0   и   f ‘ (x) < 0   при   x > x,

то точка   x0   является точкой максимума функции   f (x)   (рис. 6).

Рис.6

     б). Если для точек выполнено условие:

f ‘ (x) < 0   при   x < x0   и   f ‘ (x) > 0   при   x > x,

то точка   x0   является точкой минимума функции   f (x)   (рис. 7).

Рис.7

      Замечание 2. Условия а) и б) утверждения 3 часто формулируют так: «Если при переходе через точку   x0   производная функции меняет знак с   «+»   на   «–» ,   то точка   x0   является точкой максимума функции. Если при переходе через точку   x0   производная функции меняет знак с   «–»   на   «+» ,   то точка   x0   является точкой минимума функции».

Пример исследования поведения функции

      Пример. Найти интервалы возрастания, убывания и экстремумы функции

      Решение. Исследуем сначала на возрастание, убывание и экстремумы функцию

и построим ее график. Для этого представим формулу (2) в виде

y1 = x2 (x + 3)

и заметим, что

      а)   y1 = 0   при   x = 0   и   x = – 3 ,

      б)   y1 > 0   при   x > – 3 ;   y1 < 0   при   x < – 3 .

      Теперь вычислим производную функции (2):

(3)

и разложим на множители правую часть формулы (3):

(4)

      На рисунке 8 при помощи метода интервалов изобразим на числовой оси знаки производной (4)

Рис. 8

      Поскольку решением неравенства

3x (x + 2) > 0

является множество

, (5)

то в соответствии с утверждением 1 функция   y1   возрастает на каждом из интервалов и .

      С другой стороны, поскольку решением неравенства

3x (x + 2)

является интервал

то в соответствии с утверждением 1 функция   y1   убывает на интервале   (– 2, 0) .

      Так как решениями уравнения

3x (x + 2) = 0

являются точки

то эти точки являются стационарными точками функции   y1 .

      Поскольку при переходе через точку   x = – 2   производная функции   y1  меняет знак с   «+»   на   «–»   (рис. 8), то в соответствии с утверждением 3 точка   x = – 2   является точкой максимума функции   y1 ,   при этом

y1 (– 2) = 4 .

      При переходе через точку  x = 0  производная функции   y1   меняет знак с   «–»   на   «+»   (рис. 8), поэтому в соответствии с утверждением 3 точка   x = 0   является точкой минимума функции   y1,   при этом

y1 (0) = 0 .

      Заметим, что при анализе поведения функции по знакам ее производной, удобно использовать следующую диаграмму, на которой стрелками указаны интервалы возрастания и убывания функции (рис. 9).

Рис.9

      Теперь мы можем построить график функции   y1   (рис. 10).

Рис.10

      Перейдем к построению графика функции   y = x3 + 3x2 | .

      В силу определения модуля, справедливо равенство

      Из этого равенства вытекает, что, если мы симметрично отразим относительно оси Ox часть графика функции   y1 = x3 + 3x2   (рис. 10), лежащую в нижней полуплоскости, оставив без изменения часть этого графика, лежащую в верхней полуплоскости, то мы получим график функции   y = x3 + 3x2 |   (рис.11) .

Рис.11

      В точке   x = – 3   производная функции   y = x3 + 3x2 |   не существует. Во всех остальных точках числовой оси производная функции   y = x3 + 3x2 |   существует.

      Точки   x = – 3   и   x = 0  являются точками минимума, причем   ( – 3) = (0) = 0 .

      Точка   x = – 2   является точкой максимума, причем   ( – 2) = 4 .

      Функция   y = x3 + 3x2 |   возрастает на каждом из интервалов   (– 3, – 2)   и .

      Функция   y = x3 + 3x2 |   убывает на каждом из интервалов и   (– 2, 0).

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Урок по алгебры 11 класс «Экстремумы функции»

Конспект урока

Предмет: Алгебра и начала математического анализа

Класс: 11

Тема: Экстремумы функций

Тип урока: Урок рефлексии.

Цели урока

Образовательные:

  1. Опираясь на знания учащихся по производной функции помочь осознать и закрепить определение понятий критических, стационарных точек и точек экстремума; необходимое и достаточное условие существования экстремума функции.

  2. Создать условие для закрепления учащимися умения аналитически и графически определять наличие у функции критических, стационарных точек и точек экстремума.

  3. Подготовить учащихся к сдаче ЕГЭ.

Развивающие:

Способствовать развитию учебно-познавательной деятельности, логического мышления.

Воспитательные:

  1. Сформировать умения наблюдать, подмечать закономерности, обобщать, проводить рассуждения по аналогии.

  2. Развивать мышление, внимание, речь обучающихся.

  3. Сформировать обще трудовые умения в условиях наибольшей ответственности и ограниченности во времени.

  4. Воспитывать умение прислушиваться к другому мнению и отстаивать свою точку зрения.

Методы обучения:

Технология: ТРКМ

Приёмы:

Форма организации работы на уроке:

Оборудование к уроку:

  • Компьютер, мультимедийный проектор.

  • Презентация в Power Point.

  • Карта урока. 

Ход урока:

        1. Организационный момент (2 минуты)

Проверить готовность класса к уроку, наличие текстов, черновиков, учебников.

        1. Вызов (8 минут)

Отметить начальный уровень знаний по теме «Экстремумы функции» на лесенке достижений. Определить цели обучающихся на уроке.

Заполнить 1 и 2 столбик таблицы «ЗХУ»

Знаю

(вызов: актуализация опыта ученика)

Хочу узнать

(вызов: формулирование целей, мотивация ученика)

Узнал + перспективы

(рефлексия)

Производная.

Экстремумы функции.

Монотонность функции.

Уточнить понятия «критические точки», «стационарные точки», «экстремум» и «точки экстремума».

Научиться решать задания ЕГЭ по теме «Экстремумы функции»

 

Игра «Верите ли вы, что…»

Самостоятельная отметка обучающимися своего нового уровня на лесенке достижений.

Составление кластера.

3.Осмысление. (15 мин.)

Задание 2: Вычислить производную функции. (задание выполняется самостоятельно, с дальнейшей самопроверкой, количество правильных заданий отмечают в листе самоконтроля)

Дополнительное задание:

На рисунке изображён график функции y=f (x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8.  В скольких из этих точек производная функции f (x) отрицательна?

На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (− 11 ; 6). Найдите количество точек минимума функции f(x), принадлежащих отрезку [− 6 ; 4].

Разминка. Разгадывание ребусов.

Работа в группах. Решение задач из открытого банка заданий ЕГЭ.

№1. На рисунке изображён график y=f ′(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (−9; 8). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [−3; 3].

№2. На рисунке изображён график функции y=f ′(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (− 3 ; 8). Найдите точку минимума функции f(x).

№3. На рисунке изображён график функции y=f (x), определённой на интервале (− 9; 5). Найдите количество точек, в которых производная функции f (x) равна 0.

№4. На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (− 6 ; 6). Найдите количество решений уравнения f '(x)=0 на отрезке [− 4,5 ; 2,5].

Индивидуальная работа (10 мин.)

№1. Найдите наибольшее значение функции y=x3−6x2+9x+5 на отрезке [0; 3].

№2. Найдите наибольшее значение функции y=x3−x2−8x+4 на отрезке [1; 3].

Самопроверка.

  1. Рефлексия. (5 мин.)

Заполнить 3-й столбик таблицы «ЗХУ».

Домашнее задание:

№ 533, 534 (1 столбик)

Дополнительно:

Сайт ФИПИ; открытый банк заданий; раздел «Начала математического анализа», стр. 6

Лист диагностики

Фамилия, имя _____________________________________________________

  1. Отметить на шкале достижений свой уровень подготовленности на начало занятия.

  2. После каждого этапа занятия занести результат в таблицу и отметить на шкале достижений свой новый уровень.

+

±

2. Составление кластера

+

±

3. Эстафета «Кто быстрее»

+

±

4. Работа в группах (взаимообучение)

1. (своё задание)

+ 

2. (задание товарищей)

+ 

  1. (доп. задание)

+ 

5. Индивидуальная работа (самопроверка)

1. + 

2. + 

Карточка 1

Знаю

(вызов: актуализация опыта ученика)

Хочу узнать

(вызов: формулирование целей, мотивация ученика)

Узнал + перспективы

(рефлексия)

 

Задание 1

«Верите ли вы, что…»

Самостоятельная работа

№1. Найдите наибольшее значение функции y=x3−6x2+9x+5 на отрезке [0; 3].

№2. Найдите наибольшее значение функции y=x3−x2−8x+4 на отрезке [1; 3].

Задание 2 «Кто быстрее»

1.Вычислить производную функции:

Задание 2 «Кто быстрее»

Дополнительное задание:

№1. На рисунке изображён график функции y=f (x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. В скольких из этих точек производная функции f (x) отрицательна?

№2. На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (− 11 ; 6). Найдите количество точек минимума функции f(x), принадлежащих отрезку [− 6 ; 4].

Для кластера (понятия, между которыми надо установить связи):

Точки минимума

Точки максимума

Точки экстремума функции

Стационарные точки

Критические точки

Точки перегиба

Точки, в которых функция имеет производную, равную нулю

Точки, в которых функция не дифференцируема

Мин., Макс., Критические точки

Определение кривой вогнутости вверх: f (x) — «вогнутая вверх»

при x 0 тогда и только тогда, когда f ‘(x) увеличивается при x 0

Определение вогнутой вниз кривой: f (x) — это «вогнутая вниз»

at x 0 тогда и только тогда, когда f ‘(x) убывает при

x 0

Тест второй производной: Если существует f » (x)

при x 0 и положительно, тогда f » (x) вогнутая

вверх на x 0 .Если f » (x 0 ) существует и

отрицательна, то f (x) вогнута вниз при x 0 . Если f

» (x) не существует или равен нулю, тогда тест не пройден.

Локальный (относительный) экстремум

Определение локальных максимумов: Функция f (x) имеет локальный максимум

at x 0 тогда и только тогда, когда существует некоторый интервал I, содержащий

x 0 такое, что f (x 0 )> = f (x) для всех x в I.

Определение локальных минимумов: Функция f (x) имеет локальный минимум

at x 0 тогда и только тогда, когда существует некоторый интервал I, содержащий

x 0 такое, что f (x 0 ) <= f (x) для всех x в I.

Возникновение локальных экстремумов: Все локальные экстремумы возникают в критических

точки, но не все критические точки находятся в локальных экстремумах.

Тест первой производной для локальных экстремумов: Если f (x) увеличивается

(f ‘(x)> 0) для всех x в некотором интервале (a, x 0 ]

и f (x) убывает (f ‘(x) <0) для всех x в некоторой interval [x 0 , b), то f (x) имеет локальный максимум в x 0 .

Если f (x) убывает (f ‘(x) <0) для всех x в некотором интервал (a, x 0 ] и f (x) увеличивается (f ‘(x)

> 0) для всех x в некотором интервале [x 0 , b), то f (x) имеет

локальный минимум в x 0 .

Тест второй производной для локальных экстремумов: Если f ‘(x 0 )

= 0 и f » (x 0 )> 0, то f (x) имеет локальный

минимум при x 0 . Если f ‘(x 0 ) = 0 и

f » (x 0 ) <0, то f (x) имеет локальный максимум при x 0 .

Абсолютный экстремум

Определение абсолютных максимумов: y 0 — «абсолютный

максимум «f (x) на I тогда и только тогда, когда y 0 > = f (x) для всех

х на I.

Определение абсолютных минимумов: y 0 — «абсолютный

минимум «f (x) на I тогда и только тогда, когда y 0 <= f (x) для всех х на I.

Теорема об экстремальном значении: Если f (x) непрерывна в замкнутом

интервале I, то f (x) имеет хотя бы один абсолютный максимум и один абсолютный максимум.

минимум в I.

Возникновение абсолютных максимумов: Если f (x) непрерывна в замкнутом

интервал I, то абсолютный максимум f (x) в I является максимальным значением

функции f (x) на всех локальных максимумах и концах на I.

Возникновение абсолютных минимумов: Если f (x) непрерывна в замкнутом

интервале I, то абсолютный минимум f (x) в I является минимальным значением

функции f (x) на всех локальных минимумах и концах на I.

Альтернативный метод поиска экстремумов: Если f (x) непрерывно

на отрезке I, то абсолютные экстремумы f (x) в I встречаются

в критических точках и / или на концах I.
(Это менее конкретная форма вышеперечисленного.)

Определение возрастающей функции: Функция f (x)

«увеличивается» в точке x 0 тогда и только тогда, когда существует

интервал I, содержащий x 0 , такой, что f (x 0 )> f (x)

для всех x в I слева от x 0 и f (x 0 ) < f (x) для всех x в I справа от x 0 .

Определение убывающей функции: Функция f (x) «убывающая»

в точке x 0 тогда и только тогда, когда существует некоторый интервал I

содержащий x 0 такой, что f (x 0 ) 0 и f (x 0 )> f (x) для

все x в I справа от x 0 .

Тест первой производной: Если f ‘(x 0 )

существует и положительно, то f ‘(x) возрастает при x 0 .Если f ‘(x) существует и отрицательно, то f (x) убывает

при x 0 . Если f ‘(x 0 ) не существует

или равен нулю, тогда тест говорит об ошибке.

Экстремумы (локальные и абсолютные) | Блестящая вики по математике и науке

Точка xxx является абсолютным максимумом или минимумом функции fff в интервале [a, b] [a, \, b] [a, b], если f (x) ≥f (x ′) f (x) \ ge f (x ‘) f (x) ≥f (x ′) для всех x′∈ [a, b] x’ \ in [a, \, b] x′∈ [a, b] или если f (x ) ≤f (x ′) f (x) \ le f (x ‘) f (x) ≤f (x ′) для всех x′∈ [a, b] x’ \ in [a, \, b] x ′ ∈ [a, b].Точка xxx является строгим (или уникальным) абсолютным максимумом или минимумом, если это единственная точка, удовлетворяющая таким ограничениям. Аналогичные определения верны для интервалов [a, ∞) [a, \, \ infty) [a, ∞), (−∞, b] (- \ infty, \, b] (- ∞, b] и (−∞ , ∞) (- \ infty, \, \ infty) (- ∞, ∞). Обычно интервал выбирается в качестве области определения fff.

Абсолютный максимум и абсолютный минимум функции

Абсолютный максимум или минимум может не существовать, если область неограничена в положительном или отрицательном направлении или если функция не является непрерывной.Если функция не является непрерывной (но ограниченной), все равно будет существовать верхняя или нижняя грань, но не обязательно могут существовать абсолютные экстремумы. Если функция непрерывна и ограничена, а интервал замкнут, то должны существовать абсолютный максимум и абсолютный минимум.

Если функция не является непрерывной, она может иметь абсолютные экстремумы в любых точках разрыва. Как правило, абсолютные экстремумы будут полезны только для функций с не более чем конечным числом точек разрыва.Абсолютные экстремумы можно найти, рассматривая эти точки вместе со следующим методом для непрерывных частей функции.

Если функция является непрерывной, то абсолютные экстремумы могут быть определены в соответствии со следующим методом. Для функции fff и интервала [a, b] [a, \, b] [a, b],

  1. Определите все критические точки fff в интервале [a, b] [a, \, b] [a, b].
  2. Определите значение fff в каждой из его критических точек.
  3. Определите значение fff на каждой из конечных точек.

Точка (точки), соответствующие наибольшим значениям fff, являются абсолютным максимумом (максимумами), а точки, соответствующие наименьшим значениям fff, являются абсолютным минимумом (минимумами). Остальные значения могут быть локальными экстремумами.

Определите абсолютные максимумы и минимумы следующей функции в интервале [−32,72]: \ left [- \ tfrac {3} {2}, \ tfrac {7} {2} \ right]: [- 23, 27]:

f (x) = {1− (x + 1) 2 x <02x 0≤x≤13− (x − 2) 2 1 2. 3 & \ x> 2.\ end {case} f (x) = ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧ 1− (x + 1) 22×3− (x − 2) 23− (x − 2) 3 x <0 0≤x≤ 1 1 <х≤2 х> 2.


Функция имеет критические точки при x = −1x = -1x = −1, x = 0x = 0x = 0, x = 1x = 1x = 1 и x = 2x = 2x = 2. Он имеет конечные точки в x = −32x = — \ tfrac {3} {2} x = −23 и x = 72x = \ tfrac {7} {2} x = 27.

Единственные возможности для максимального значения: x = −1x = -1x = −1, x = 1x = 1x = 1 и x = 2x = 2x = 2. Поскольку f (−1) = 1f (-1) = 1f (−1) = 1, f (1) = 2f (1) = 2f (1) = 2 и f (2) = 3f (2) = 3f (2) = 3, абсолютные максимумы расположены в точках (2, 3) \ boxed {(2, \, 3)} (2,3).

Единственные возможности для минимального значения: x = −32x = — \ tfrac {3} {2} x = −23, x = 0x = 0x = 0, x = 1x = 1x = 1 и x = 72x = \ tfrac {7} {2} х = 27. Поскольку f (−32) = 34f \ left (- \ tfrac {3} {2} \ right) = \ tfrac {3} {4} f (−23) = 43, f (0) = 0f (0 ) = 0f (0) = 0, f (1) = 2f (1) = 2f (1) = 2 и f (72) = — 38f \ left (\ tfrac {7} {2} \ right) = — \ tfrac {3} {8} f (27) = — 83, абсолютный минимум находится в точке (72, −38) \ boxed {\ left (\ tfrac {7} {2}, — \ tfrac {3 } {8} \ right)} (27, −83). □ _ \ квадрат □

Исчисление III — относительные минимумы и максимумы

Показать общее уведомление

Показать мобильное уведомление

Показать все заметки Скрыть все заметки

Это немного заранее, но я хотел сообщить всем, что мои серверы будут проходить техническое обслуживание 17 и 18 мая с 8:00 AM CST до 14:00 PM CST.Будем надеяться, что единственное неудобство будет заключаться в периодической потере / разрыве соединения, которую следует исправить, просто перезагрузив страницу. В остальном обслуживание (скрестив пальцы) должно быть «невидимым» для всех.

Пол
6 мая 2021 г.

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, т.е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 3-3: Относительные минимумы и максимумы

В этом разделе мы собираемся распространить одну из наиболее важных идей из исчисления I на функции двух переменных.Мы собираемся начать поиски минимума и максимума функций. Фактически, это также будет темой следующих двух разделов.

В этом разделе мы рассмотрим определение относительных минимумов и относительных максимумов. Напомним также, что мы часто будем использовать слово «экстремумы» для обозначения как минимумов, так и максимумов.

Определение относительных экстремумов для функций двух переменных идентично определению для функций одной переменной, теперь нам просто нужно помнить, что мы работаем с функциями двух переменных.Итак, для полноты картины здесь дано определение относительных минимумов и относительных максимумов для функций двух переменных.

Определение
  1. Функция \ (f \ left ({x, y} \ right) \) имеет относительный минимум в точке \ (\ left ({a, b} \ right) \), если \ (f \ left ({x, y} \ right) \ ge f \ left ({a, b} \ right) \) для всех точек \ (\ left ({x, y} \ right) \) в некоторой области вокруг \ (\ слева ({a, b} \ right) \).
  2. Функция \ (f \ left ({x, y} \ right) \) имеет относительный максимум в точке \ (\ left ({a, b} \ right) \), если \ (f \ left ( {x, y} \ right) \ le f \ left ({a, b} \ right) \) для всех точек \ (\ left ({x, y} \ right) \) в некоторой области вокруг \ (\ left ( {яркий)\).

Обратите внимание, что это определение не говорит, что относительный минимум — это наименьшее значение, которое функция когда-либо примет. Он только говорит, что в некоторой области вокруг точки \ (\ left ({a, b} \ right) \) функция всегда будет больше, чем \ (f \ left ({a, b} \ right) \). Вне этой области функция вполне может быть меньше. Аналогично, относительный максимум говорит только о том, что около \ (\ left ({a, b} \ right) \) функция всегда будет меньше, чем \ (f \ left ({a, b} \ right) \).Опять же, за пределами региона вполне возможно, что функция будет больше.

Далее нам нужно расширить идею критических точек до функций двух переменных. Напомним, что критической точкой функции \ (f \ left (x \ right) \) было число \ (x = c \), так что либо \ (f ‘\ left (c \ right) = 0 \), либо \ (f ‘\ left (c \ right) \) не существует. У нас есть аналогичное определение для критических точек функций двух переменных.

Определение

Точка \ (\ left ({a, b} \ right) \) является критической точкой (или стационарной точкой ) из \ (f \ left ({x, y} \ right) \) при условии верно одно из следующего:

  1. \ (\ nabla f \ left ({a, b} \ right) = \ vec 0 \) (это эквивалентно тому, что \ ({f_x} \ left ({a, b} \ right) = 0 \) и \ ({f_y} \ left ({a, b} \ right) = 0 \)),
  2. \ ({f_x} \ left ({a, b} \ right) \) и / или \ ({f_y} \ left ({a, b} \ right) \) не существует.

Чтобы увидеть эквивалентность в первой части, давайте начнем с \ (\ nabla f = \ vec 0 \) и введем определение каждой части.

\ [\ begin {align *} \ nabla f \ left ({a, b} \ right) & = \ vec 0 \\ \ left \ langle {{f_x} \ left ({a, b} \ right), { f_y} \ left ({a, b} \ right)} \ right \ rangle & = \ left \ langle {0,0} \ right \ rangle \ end {align *} \]

Единственный способ, при котором эти два вектора могут быть равны, — это иметь \ ({f_x} \ left ({a, b} \ right) = 0 \) и \ ({f_y} \ left ({a, b} \ right ) = 0 \).Фактически, мы будем использовать это определение критической точки больше, чем определение градиента, поскольку будет легче найти критические точки, если мы начнем с определения частной производной.

Также обратите внимание, что ОБЕИ частные производные первого порядка должны быть равны нулю в \ (\ left ({a, b} \ right) \). Если только одна из частных производных первого порядка равна нулю в точке, то эта точка НЕ ​​будет критической точкой.

Теперь у нас есть следующий факт, который, по крайней мере частично, связывает критические точки с относительными экстремумами.

Факт

Если точка \ (\ left ({a, b} \ right) \) является относительным экстремумом функции \ (f \ left ({x, y} \ right) \) и производных первого порядка от \ ( f \ left ({x, y} \ right) \) существует в \ (\ left ({a, b} \ right) \), тогда \ (\ left ({a, b} \ right) \) также является критическая точка \ (f \ left ({x, y} \ right) \) и фактически у нас будет \ (\ nabla f \ left ({a, b} \ right) = \ vec 0 \).

Проба

Это действительно простое доказательство, основанное на версии с одной переменной, которую мы видели в версии исчисления I, часто называемой теоремой Ферма.

Начнем с определения \ (g \ left (x \ right) = f \ left ({x, b} \ right) \) и предположим, что \ (f \ left ({x, y} \ right) \) имеет относительные экстремумы в \ (\ left ({a, b} \ right) \). Однако это также означает, что \ (g \ left (x \ right) \) также имеет относительные экстремумы (того же типа, что и \ (f \ left ({x, y} \ right) \)) в \ (x = а \). Тогда по теореме Ферма мы знаем, что \ (g ‘\ left (a \ right) = 0 \). Но мы также знаем, что \ (g ‘\ left (a \ right) = {f_x} \ left ({a, b} \ right) \), и поэтому мы имеем \ ({f_x} \ left ({a, b } \ right) = 0 \).

Если мы теперь определим \ (h \ left (y \ right) = f \ left ({a, y} \ right) \) и проделаем точно такой же процесс, как указано выше, мы увидим, что \ ({f_y} \ left ({a, b} \ right) = 0 \).

Итак, сложение всего этого означает, что \ (\ nabla f \ left ({a, b} \ right) = \ vec 0 \) и поэтому \ (f \ left ({x, y} \ right) \) имеет критическая точка в \ (\ left ({a, b} \ right) \).

Обратите внимание, что это НЕ означает, что все критические точки являются относительными экстремумами.Это только говорит о том, что относительные экстремумы будут критическими точками функции. Чтобы убедиться в этом, давайте рассмотрим функцию

\ [е \ влево ({х, у} \ вправо) = ху \]

Две частные производные первого порядка равны,

\ [{f_x} \ left ({x, y} \ right) = y \ hspace {0,75 дюйма} {f_y} \ left ({x, y} \ right) = x \]

Единственная точка, которая сделает обе эти производные одновременно равными нулю, — это \ (\ left ({0,0} \ right) \), поэтому \ (\ left ({0,0} \ right) \) равно критическая точка для функции.Вот график функции.

Обратите внимание, что оси здесь не в стандартной ориентации, чтобы мы могли более четко видеть, что происходит в начале координат, , то есть в \ (\ left ({0,0} \ right) \). Если мы начнем с начала координат и перейдем в любой из квадрантов, где \ (x \) и \ (y \) имеют один и тот же знак, функция увеличивается. Однако, если мы начнем с начала координат и перейдем в любой из квадрантов, где \ (x \) и \ (y \) имеют противоположный знак, функция уменьшается.Другими словами, независимо от того, какой регион вы берете относительно начала координат, будут точки больше, чем \ (f \ left ({0,0} \ right) = 0 \), и точки меньше, чем \ (f \ left ({0, 0} \ right) = 0 \). Следовательно, нет никакого способа, чтобы \ (\ left ({0,0} \ right) \) могли быть относительными экстремумами.

Критические точки, которые демонстрируют такое поведение, называются седловыми точками .

Хотя мы должны быть осторожны, чтобы не неверно истолковать результаты, этот факт очень полезен, помогая нам идентифицировать относительные экстремумы.Благодаря этому факту мы знаем, что если у нас есть все критические точки функции, то у нас также есть все возможные относительные экстремумы для функции. Этот факт говорит нам, что все относительные экстремумы должны быть критическими точками, поэтому мы знаем, что если функция действительно имеет относительные экстремумы, то они должны быть в совокупности всех критических точек. Однако помните, что вполне возможно, что хотя бы одна из критических точек не будет относительным экстремумом. 2} \]

У нас есть следующие классификации критических точек.

  1. Если \ (D> 0 \) и \ ({f_ {x \, x}} \ left ({a, b} \ right)> 0 \), то существует относительный минимум в \ (\ left ({ яркий)\).
  2. Если \ (D> 0 \) и \ ({f_ {x \, x}} \ left ({a, b} \ right) <0 \), то существует относительный максимум в \ (\ left ({a ,яркий)\).
  3. Если \ (D <0 \), то точка \ (\ left ({a, b} \ right) \) является седловой точкой.
  4. Если \ (D = 0 \), то точка \ (\ left ({a, b} \ right) \) может быть относительным минимумом, относительным максимумом или седловой точкой.Для классификации критической точки потребуются другие методы.

Обратите внимание, что если \ (D> 0 \), то как \ ({f _ {\, x \, x}} \ left ({a, b} \ right) \), так и \ ({f _ {\, y \, y}} \ left ({a, b} \ right) \) будет иметь тот же знак, поэтому в первых двух случаях выше мы могли бы так же легко заменить \ ({f _ {\, x \, x}} \ left ({a, b} \ right) \) с \ ({f _ {\, y \, y}} \ left ({a, b} \ right) \). Также обратите внимание, что мы не увидим в этом классе случаев, когда \ (D = 0 \), поскольку их часто бывает довольно сложно классифицировать.2} \\ & = 36xy — 9 \ end {align *} \]

Чтобы классифицировать критические точки, все, что нам нужно сделать, это подключить критические точки и использовать приведенный выше факт для их классификации.

\ (\ left ({0,0} \ right) \):

\ [D = D \ left ({0,0} \ right) = — 9

Итак, для \ (\ left ({0,0} \ right) \) \ (D \) отрицательно, и поэтому это должно быть седловая точка.

\ (\ left ({1,1} \ right) \):

\ [D = D \ left ({1,1} \ right) = 36 — 9 = 27> 0 \ hspace {0.5in} {f_ {x \, x}} \ left ({1,1} \ right) = 6> 0 \]

Поскольку \ (\ left ({1,1} \ right) \) \ (D \) положительно, а \ ({f_ {x \, x}} \) положительно, и поэтому у нас должен быть относительный минимум.

Для полноты картины приведен график этой функции.

Обратите внимание, что для лучшего визуального восприятия мы использовали несколько нестандартную ориентацию. Мы можем видеть, что существует относительный минимум в \ (\ left ({1,1} \ right) \) и (надеюсь) ясно, что в \ (\ left ({0,0} \ right) \) мы делаем получить седловую точку.2} — 6y & = 0 \ end {align *} \]

Эти уравнения решить немного сложнее, чем первый набор, но как только вы увидите, что делать, они действительно не так уж и плохи.

Во-первых, отметим, что мы можем вынести 6 \ (x \) из первого уравнения, чтобы получить,

\ [6x \ left ({y — 1} \ right) = 0 \]

Итак, мы видим, что первое уравнение будет нулевым, если \ (x = 0 \) или \ (y = 1 \). Будьте осторожны, не отменяйте просто \ (x \) с обеих сторон.2} — 1} \ right) = 0 \ hspace {0,5 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} x = — 1, \, \, x = 1 \]

Итак, если \ (x = 0 \) мы имеем следующие критические точки:

\ [\ left ({0,0} \ right) \ hspace {0,25 дюйма} \ left ({0,2} \ right) \]

и если \ (y = 1 \) критические точки равны,

\ [\ left ({1,1} \ right) \ hspace {0.25in} \ left ({- 1,1} \ right) \]

Теперь все, что нам нужно сделать, это классифицировать критические точки. Для этого нам понадобится общая формула для \ (D \).2} \]

\ (\ left ({0,0} \ right) \):

\ [D = D \ left ({0,0} \ right) = 36> 0 \ hspace {0,5 дюйма} {f_ {x \, x}} \ left ({0,0} \ right) = — 6 0 \ hspace {0,5 дюйма} {f_ {x \, x}} \ left ({0,2} \ right) = 6> 0 \]

\ (\ left ({1,1} \ right) \):

\ [D = D \ left ({1,1} \ right) = — 36

Итак, похоже, у нас есть следующая классификация каждой из этих критических точек.

\ [\ begin {align *} & \ left ({0,0} \ right) & &: \ hspace {0.5 дюймов} {\ mbox {относительный максимум}} \\ & \ left ({0,2} \ right) & &: \ hspace {0,5 дюйма} {\ mbox {относительный минимум}} \\ & \ left ({1, 1} \ right) & &: \ hspace {0.5in} {\ mbox {Saddle Point}} \\ & \ left ({- 1,1} \ right) & &: \ hspace {0.5in} {\ mbox { Седловая точка}} \ end {align *} \]

Вот график поверхности для полноты картины. 2}} \ end {align *} \]

Теперь следующая проблема заключается в том, что в этой формуле есть квадратный корень, и мы знаем, что в конечном итоге мы будем дифференцировать его.2} \]

Теперь нам нужно быть немного осторожнее. Нас просят найти ближайшую точку на плоскости к \ (\ left ({- 2, — 1,5} \ right) \), и это не совсем то же самое, что мы делали в этом разделе. . В этом разделе мы находим и классифицируем критические точки как относительные минимумы или максимумы, и на самом деле мы просим найти наименьшее значение, которое функция примет, или абсолютный минимум. Надеюсь, с физической точки зрения есть смысл, что на плоскости будет ближайшая точка к \ (\ left ({- 2, — 1,5} \ right) \).Эта точка также должна быть относительным минимумом в дополнение к абсолютному минимуму.

Итак, давайте рассмотрим процесс из первого и второго примеров и посмотрим, что мы получим в отношении относительных минимумов. Если мы получим только один относительный минимум, то все будет готово, поскольку эта точка также должна быть абсолютным минимумом функции и, следовательно, точкой на плоскости, ближайшей к \ (\ left ({- 2, — 1, 5} \ right) \). 2} = 84> 0 \]

Итак, в этом случае \ (D \) всегда будет положительным, а также обратите внимание, что \ ({f_ {x \, x}} = 34> 0 \) всегда положительно, и поэтому любые критические точки, которые мы получим, будут гарантированы быть относительными минимумами.

Теперь давайте найдем критическую точку (точки). Это будет означать решение системы.

\ [\ begin {align *} 36 + 34x — 16y & = 0 \\ — 14 — 16x + 10y & = 0 \ end {align *} \]

Для этого мы можем решить первое уравнение для \ (x \).

\ [x = \ frac {1} {{34}} \ left ({16y — 36} \ right) = \ frac {1} {{17}} \ left ({8y — 18} \ right) \]

Теперь подставьте это во второе уравнение и решите относительно \ (y \).

\ [- 14 — \ frac {{16}} {{17}} \ left ({8y — 18} \ right) + 10y = 0 \ hspace {0.5in} \ Rightarrow \ hspace {0.5in} y = — \ гидроразрыв {{25}} {{21}} \]

Обратно, подставив это в уравнение для \ (x \), получим \ (x = — \ frac {{34}} {{21}} \).

Итак, похоже, мы получили одну критическую точку: \ (\ left ({- \ frac {{34}} {{21}}, — \ frac {{25}} {{21}}} \ right) \). Кроме того, поскольку мы знаем, что это будет относительный минимум и это единственная критическая точка, мы знаем, что это также координаты \ (x \) и \ (y \) точки на плоскости, за которой мы следуем.Мы можем найти координату \ (z \), подставив в уравнение плоскости следующее:

\ [z = 1 — 4 \ left ({- \ frac {{34}} {{21}}} \ right) + 2 \ left ({- \ frac {{25}} {{21}}} \ right) ) = \ frac {{107}} {{21}} \]

Итак, точка на плоскости, ближайшая к \ (\ left ({- 2, — 1,5} \ right) \), это \ (\ left ({- \ frac {{34}} {{21}) }, — \ frac {{25}} {{21}}, \ frac {{107}} {{21}}} \ right) \).

Модуль 13 — Экстремальные значения функций


В этом уроке вы узнаете об абсолютных и локальных экстремальных точках и определите экстремальные точки из набора критических точек и конечных точек.


Задачи оптимизации — одно из самых важных приложений дифференциального исчисления, потому что мы часто хотим знать, когда выход функции достигает максимума или минимума. В таких задачах может быть наибольшее или наименьшее выходное значение на всем интересующем входном интервале или в локальной окрестности входного значения. Как абсолютные, так и локальные максимальные и минимальные значения представляют интерес во многих контекстах.


Абсолютные экстремальные значения функции

Когда выходное значение функции является максимумом или минимумом во всем домене функции, значение называется абсолютным максимумом или абсолютным минимумом , как определено ниже.

Пусть f будет функцией с областью определения D и пусть c будет фиксированной константой в D . Тогда выходное значение f ( c ) является

  1. абсолютное максимальное значение из f на D тогда и только тогда, когда f ( x )
    f ( c ) для всех x в D .
  2. абсолютное минимальное значение из f на D тогда и только тогда, когда f ( c )
    f ( x ) для всех x дюймов D .


Абсолютные экстремальные значения — пример

Домен f ( x ) = x 2 — это все действительные числа, а диапазон — все неотрицательные действительные числа. График на рисунке ниже показывает, что функция не имеет абсолютного максимального значения и имеет абсолютный минимум 0, что происходит при x = 0.

[-5, 5, 1] ​​x [-2, 10, 1]


Абсолютные экстремальные значения в ограниченной области

Если домен f ( x ) = x 2 ограничен [-2, 3], соответствующий диапазон будет [0, 9].Как показано ниже, график на интервале [-2, 3] предполагает, что f имеет абсолютный максимум 9 при x = 3 и абсолютный минимум 0 при x = 0.

Два приведенных выше примера показывают, что существование абсолютных максимумов и минимумов зависит от области определения функции.


Теорема об экстремальном значении

Теорема 1 ниже называется теоремой об экстремальном значении.Он описывает условие, которое гарантирует, что функция имеет как абсолютный минимум, так и абсолютный максимум. Теорема важна, потому что она может направлять наши исследования при поиске абсолютных крайних значений функции.

Теорема 1 Если f является непрерывным на закрытом интервале [ a , b ], то f имеет как абсолютное максимальное значение, так и абсолютное минимальное значение на интервале.

Эта теорема говорит, что непрерывная функция, которая определена на закрытом интервале , должна иметь как абсолютное максимальное значение, так и абсолютное минимальное значение. В нем не говорится о том, как найти крайние значения.


Локальные экстремальные значения функции

Одним из наиболее полезных результатов исчисления является то, что абсолютные экстремальные значения функции должны поступать из списка локальных экстремальных значений, и эти значения легко найти с помощью первой производной функции.

Локальные экстремальные значения, как определено ниже, — это точки максимума и минимума (если они есть), когда область ограничена небольшой окрестностью входных значений.

Пусть c — внутренняя точка области определения функции f . Тогда функция f имеет

  1. локальный максимум при c тогда и только тогда, когда f ( x )
    f ( c ) для всех x в некотором открытом интервале, содержащем c .
  2. локальный минимум при c тогда и только тогда, когда f ( c )
    f ( x ) для всех x в некотором открытом интервале, содержащем c .


Конечные точки как локальные экстремумы

Приведенное выше определение локальных экстремумов ограничивает входное значение внутренней точкой области.Определение можно расширить, включив в него конечные точки интервалов.

    Функция f имеет локальный максимум или локальный минимум в конечной точке c своего домена, если соответствующее неравенство выполняется для всех x в некотором полуоткрытом интервале, содержащемся в домене и имеющем c в качестве одной конечной точки. .

Из определений ясно, что для областей, состоящих из одного или нескольких интервалов, любая абсолютная крайняя точка также должна быть локальной крайней точкой.Итак, абсолютные экстремумы можно найти, исследуя все локальные экстремумы.


Кандидаты в местные очки экстремальной ценности

Теорема 2 ниже, которую также называют теоремой Ферма, определяет кандидатов в локальные экстремальные точки.

Теорема 2 Если функция имеет локальное максимальное значение или локальное минимальное значение во внутренней точке c ее области и если f ‘ существует в c , то f’ ​​ ( c ) = 0.


Нахождение экстремальных значений функции

Теорема 2 гласит, что если функция имеет первую производную во внутренней точке, где есть локальный экстремум, то производная должна быть равна нулю в этой точке. Он не говорит, что каждая точка, в которой первая производная равна нулю, должна быть локальным экстремумом. В силу теоремы 2 при нахождении экстремальных значений функции необходимо учитывать лишь несколько моментов.Эти точки состоят из точек внутренней области, где f ‘ ( x ) = 0, точек внутренней области, где f’ ​​ не существует, и конечных точек области, которые не покрываются теоремой.


Критические точки

Критическая точка — это внутренняя точка в области определения функции, в которой f ‘ ( x ) = 0 или f’ ​​ не существует.Таким образом, единственными возможными кандидатами на координату x экстремальной точки являются критические и конечные точки.


Нахождение экстремальных значений с помощью методов исчисления

Найдите локальные и абсолютные экстремальные значения f ( x ) = x 2 на замкнутом интервале [-2, 3] с помощью исчисления. Здесь применима теорема 1, поэтому мы точно знаем, что эта функция должна иметь абсолютные экстремумы в этой области.

Обратите внимание на следующее:

  1. f ‘ ( x ) = 2 x , который равен нулю только при x = 0 и существует при всех значениях f в [-2, 3]. Следовательно, x = 0 — единственная критическая точка для f .
  2. Значения f в конечных точках равны f (-2) = 4 и f (3) = 9.

Сравнивая выходные значения, когда x = -2, x = 0 и x = 3, можно определить абсолютные экстремумы.

  1. f имеет локальный минимум 0 при x = 0, что также является абсолютным минимумом.
  2. f имеет локальный максимум 4 при x = -2 и локальный максимум 9 при x = 3.Абсолютный максимум f равен 9.

Просмотрите график функции в ограниченной области. График подтверждает приведенные выше результаты.

[-2, 3, 1] x [-2, 10, 1]

13.1.1 Найдите крайние значения f ( x ) = x 2 на [-4, 2], используя методы исчисления, а затем подтвердите свои ответы, нарисовав график.Щелкните здесь, чтобы получить ответ.

Методы исчисления дают результаты, которые могут быть подтверждены графиками, а графики могут помочь в обнаружении экстремальных значений, как показано в следующем примере.


Экстремальные значения f ( x ) = x 2/3 на [-2, 4]

Найдите крайние значения f ( x ) = x 2/3 в ограниченной области [-2, 4], просмотрев график, а затем используя методы вычислений.(2/3) дюймов 1 .

  • Отобразите график в окне [-2, 4,1] x [-1, 3,1].
  • Функция имеет абсолютный минимум около x = 0 и два локальных максимума, которые возникают в конечных точках ограниченной области. Абсолютный максимум достигается в правой конечной точке ограниченного домена.

    Теперь определите крайние точки, используя методы исчисления.

    • Используйте правило мощности, чтобы найти f ‘:

    Производная,

    , не равно 0 в любом месте [-2, 4], поэтому из этого условия не возникает критическая точка, но f ‘ не существует при x = 0, что означает, что x = 0 является критическим точка. Следовательно, единственная критическая точка f находится при x = 0.

    Используйте функцию Value экрана Graph, чтобы вычислить значения f в критической точке и на конечных точках ограниченного домена [-2, 4].

    • Из графика f press

      [CALC] и выберите 1: значение.

    • Вычислите f при x = -2, x = 0 и x = 4, введя -2, 0 и 4 соответственно.

    Крайние значения можно резюмировать следующим образом:

    1. f имеет локальный и абсолютный минимум 0 при 0.
    2. Значение f при x = -2 составляет приблизительно 1,587, а значение при x = 4 составляет приблизительно 2,520. Каждое из них является локальным максимальным значением.
    3. Абсолютное максимальное значение f приблизительно равно 2.520 при x = 4.


    Экстремальные значения

    В предыдущих примерах мы имели дело с непрерывными функциями, определенными на отрезках. В таком случае теорема 1 гарантирует, что будет как абсолютный максимум, так и абсолютный минимум. В этом примере область не является закрытым интервалом, и теорема 1 не применяется. Крайние значения

    могут быть найдены с помощью процедуры, аналогичной описанной выше, но необходимо следить за тем, чтобы экстремумы действительно существовали.

    Обратите внимание, что домен f равен (-2, 2), потому что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель должен быть ненулевым.

    • График

      в окне просмотра [-4, 4, 1] x [-2, 4, 1].

    График показывает, что существует абсолютный минимум около 0,5 при x = 0. Также есть локальные максимумы около 2.5, когда x = -2 и x = 2. Однако f не определен при x = -2 и x = 2, поэтому они не могут быть локальными максимумами.

    Методы исчисления требуют, чтобы конечные точки области и критические точки были идентифицированы. Домен f — это (-2, 2), открытый интервал, поэтому конечных точек нет. Критические точки определяются с помощью производной, которая находится с помощью правила цепочки.

    Производная равна 0 при x = 0 и не определена при x = -2 и x = 2.Поскольку -2 и 2 не находятся в области f , единственная критическая точка — x = 0.

    Поскольку x перемещается от 0 в любом направлении, знаменатель f ( x ) становится меньше, а f ( x ) становится больше. Таким образом, f имеет абсолютный минимум 0,5 при x = 0.

    Абсолютного максимума не существует. Это не нарушает теорему об экстремальных значениях, поскольку функция не определена на отрезке.Поскольку абсолютный максимум должен происходить в критической точке или конечной точке, а x = 0 является единственной такой точкой, абсолютного максимума быть не может.

    y = x 3 в окне [-3, 3 1] x [-2, 2, 1]

    в окне [-3, 3, 1] x [-2, 2, 1]

    Обратите внимание, что производная от y = x 3 равна y ‘ = 3 x 2 , а производная от y = x 1/3 равна

    .

    Первая производная от y = x 3 равна нулю, когда x = 0, а первая производная от y = x 1/3 не существует при x = 0. Хотя x = 0 является критической точкой для обеих функций, ни одна из них не имеет там экстремального значения.

    Помимо поиска критических точек с помощью методов исчисления, просмотр графика функции должен помочь определить экстремальные значения.

    В этих двух примерах обратите внимание, что первая производная положительна по обе стороны от x = 0. В уроке 13.2 мы будем использовать тест первой производной, где знак производной по обе стороны от критической точки используется для определения является ли критическая точка локальным максимумом, локальным минимумом или ни одним из них.

    5.2 Критические точки и экстремумы

    Исчисление
    Одной реальной переменной Пхенг Ким Винг
    Глава 5: Применение производной части 1 Раздел 5.2: Критические точки и экстремумы

    5,2
    Критическое
    Очки и экстремумы

    Возврат
    К содержанию
    Перейти к проблемам и решениям

    1. Максимумы, минимумы и экстремумы

    Мы видим в разделе
    1.2.2 Теорема 2.1 о том, что если функция f является
    непрерывно на замкнутом конечном интервале [ a , b ], то f достигает
    как максимум, так и минимум на [ a , b ]. Однако мы еще не обсудили способ найти
    максимум и
    минимум такой функции. Функции, которые не являются непрерывными на замкнутых конечных интервалах
    формы [ a , b ]
    может или не может
    достичь максимума или минимума.

    в разрезе
    5.1 Определения 1.1 мы имеем определения локального максимума и локального
    минимум. Напомним, что максимальное и
    минимум f также называются абсолютный максимум
    и абсолютный минимум соответственно, потому что они максимальные
    и минимум f соответственно на всем домене f ;
    что экстремум является максимумом или минимумом; и это
    максима
    а минимумы вместе называются экстремумами .Абсолют
    extremum
    — это абсолютный максимум или absoute
    минимум, и абсолютных экстремумов — это абсолютный максимум и абсолютный минимум.

    Целью данного раздела является
    исследовать способы найти абсолютный максимум и минимум, если таковые имеются,
    функции
    непрерывна на замкнутом конечном интервале вида [ a ,
    b ], а также некоторых других функций.

    Абсолютный максимум или минимум может
    возникают в одной или нескольких точках.Например, на рис. 1.1 абсолютный максимум
    f встречается в двух точках: x 1 и x 2 ; абсолют
    минимум f встречается только в одной точке: a .

    Перейти
    Проблемы и решения Вернуться к началу страницы

    2.Абсолютные экстремумы функций, непрерывные на [ a , b ]

    Найдем абсолютные экстремумы функции f , непрерывной на отрезке конечного отрезка [ a , b ]. Поскольку
    абсолютный экстремум
    также локальный, абсолютные экстремумы должны быть среди локальных. Теперь
    конечная точка дом ( f ) может или
    не может дать
    локальный экстремум.Может показаться, что каждая конечная точка должна давать локальный экстремум.
    Но это
    не так. Этот факт трудно понять
    видите, и примеры, подтверждающие это, редки, но они есть. Когда конечная точка уступает
    локальный экстремум, этот локальный экстремум, например,
    все локальные экстремумы также могут быть абсолютными; это случай местного
    и абсолютный минимум f ( a ) на рис. 1.1. Таким образом,
    абсолютные экстремумы должны быть между f ( a ), f ( b ), а локальные экстремумы находятся между ними.

    Мы ясно видим, что абсолютное
    максимум f является наибольшим из f ( a ), f ( b ) и
    локальных экстремумов, и что абсолютные
    минимум ф самый маленький из них.

    Перейти
    Проблемы и решения Вернуться к началу страницы

    3. Места, где могут быть локальные экстремумы

    В точках x Где
    f ( x ) = 0

    Обсуждение в этой части применяется
    к функциям в общей ситуации, а не только к непрерывным на замкнутом
    конечные интервалы
    формы [ a , b ].Как видно в разделе
    5.1 Теорема 2.1, если f ( x 1 ) является локальным экстремумом и если f ‘( x 1 ) существует, то f ‘ ( x 1 ) = 0.

    График g ( x ) = x 2 показан на
    Рис. 3.1. У нас г ‘(0) = г ‘ ( x ) | x = 0 = 2 x | x = 0 = 2 (0) = 0,
    и g (0) = 0 является локальным
    минимум.График h ( x ) = x 3 показан в
    Рис. 3.2. У нас есть h ‘(0) = h ‘ ( x ) | x = 0 = 3 x 2 | x = 0 = 3 (0 2 )
    = 0, но h (0) = 0 равно
    ни локальный максимум, ни локальный минимум.

    Следовательно, в точке x , где f ‘( x ) = 0, локальный экстремум может возникнуть, а может и не произойти.Хотя
    локальные экстремумы могут возникать в точках
    x , где f ‘( x ) = 0, они не должны возникать в таких точках.

    Рис. 3.1

    y = g ( x ) = x 2 ;
    г ‘(0) = 0;
    g (0) = 0 — локальный минимум.

    Рис. 3.2

    y = h ( x ) = x 3 ;
    h ‘(0) = 0;
    h (0) = 0 не является локальным максимумом
    ни местный минимум.

    В точках x Где
    f ( x ) Не существует

    Теперь, в точке x 1 , где f ( x 1 ) является локальным экстремумом, должно f
    всегда отличаться?
    Может ли f быть недифференцируемым при x 1 ?

    Давайте
    пример.Рассмотрим г ( x ) = x 2/3 . См. Рис.
    3.3. У нас есть г ‘( x ) = (2/3) x 1/3 = 2 / (3 x 1/3 ). Так г ‘(0)
    не
    существовать.
    А г (0) = 0 — это локальный минимум.
    Следовательно, f может быть недифференцируемым в
    точка x 1 , где f ( x 1 ) является локальным минимумом и
    в общем локальный экстремум.Следовательно, второе и последнее место, куда нужно смотреть
    для локальных экстремумов место кроме
    endpoints — это набор всех точек x , где f недифференцируемо, т. е. где f ‘( x ) не существует.

    Нравится ситуация с очками
    x , где f ‘( x ) = 0, локальный экстремум может или не может произойти в
    точка x , где f
    ‘( x )
    не
    существовать.Примеры проиллюстрированы на рис. 3.3 и 3.4.

    Рис. 3.3

    Рис. 3.4

    Итого:

    Места, где искать
    локальные экстремумы f являются
    конечные точки dom ( f ) и
    точки x дома ( f ), где
    либо f ‘( x ) = 0, либо f ‘ ( x ) не существует.

    Перейти
    Проблемы и решения Вернуться к началу страницы

    Определение 4.1

    Точка x 1 в домене
    функции f и не является конечной точкой
    области называется критической точкой из f
    если либо
    f ‘( x 1 )
    = 0 или f ‘( x 1 ) не
    существовать.

    Примечания 4.1

    и. Мы исключаем конечные точки, потому что в противном случае они
    всегда будут критическими точками из-за того, что f не дифференцируем с
    на конечных точках.

    ii. Если f ‘( x 1 ) не
    существует, то x 1 также называется особой точкой
    из ф .

    iii. Определение применяется к функциям в целом
    ситуация, а не просто функции, непрерывные на замкнутых конечных интервалах вида
    [ a ,
    b ], где a и b — конечные числа.

    Замечание 4.2

    Итак:

    Возможны локальные экстремумы f
    только в конечных точках и критических точках f .Тем не мение,
    не каждая конечная точка или критическая точка
    дает локальный экстремум.

    Перейти
    Проблемы и решения Вернуться к началу страницы

    5. Нахождение абсолютных экстремумов функций, непрерывных на [ a , b ]

    Снова отзыв из раздела
    1.2.2 Теорема 2.1 о том, что если функция непрерывна на замкнутом конечном интервале [ a , b ], то она
    достигает здесь как абсолютного максимума, так и абсолютного минимума.

    Здесь мы суммируем все, что
    обсуждалось выше. Чтобы найти абсолютные экстремумы функции f непрерывной
    на
    замкнутый конечный интервал [ a , b ], мы действуем в три этапа следующим образом:

    и. Найдите все критические точки f в ( a , b ).

    ii. Вычислить f ( a ), f ( b ) и значения f
    во всех критических точках.

    iii. Среди значений, полученных в части II,
    наибольший — абсолютный максимум f и
    минимум
    минимум f .

    Перейти
    Проблемы и решения Вернуться к началу страницы

    6. Абсолютные экстремумы разрывных функций

    Рассмотрим функцию f , которая является разрывной при x
    = a и непрерывно во всех остальных точках
    в [ a , b ],
    т. е. вообще непрерывный
    точки в ( a , b ).См. Рис. С 6.1 по 6.4.

    На рис. 6.2, f
    не
    определен как a , но ограничен рядом с ним. Мы можем сделать
    f ( x ) получить как
    близко к v , как нам нравится, но f ( x ) никогда не будет
    v , потому что a не принадлежит dom ( f ). Таким образом, v не может быть
    абсолютный максимум f (напомним: a
    максимум или минимум,
    абсолютное или локальное, из f равно a значение из f ).У f абсолютный максимум? Нет, потому что у
    нет первой точки
    справа от a : если x 1 — это точка
    справа и близко к a , тогда x 2 =
    a + ( x 1 a ) / 2 = ( a + x 1 ) / 2 справа от a
    и
    ближе, чем x 1 .Абсолютный минимум f равен f ( м ), достигается при x
    = м .

    Рис. 6.1

    Рис.6,2

    Фиг.6,3

    Рис. 6.4

    на рис. 6.3, f
    определяется как a , но значение f ( a ) из f на a меньше
    чем против . Следовательно, как на рис.6.2, f не имеет абсолютного
    максимум. Опять же, абсолютный минимум f равен f ( м ), достигнут
    при x = м
    (обратите внимание, что f ( a )> f ( m )).

    на рис. 6.4, f
    определяется как a и f ( a )> v . Теперь f имеет абсолютный максимум, ничего себе! Это f ( a ), достигнутое
    при x = a .Модель
    абсолютный минимум ф есть ну
    все еще f ( м ), достигнуто
    при x = м .

    Перейти
    Проблемы и решения Вернуться к началу страницы

    7. Абсолютные экстремумы функций на неограниченном
    Интервалы

    Фиг.7,1

    Рис.7,2

    Рис.7,3

    Перейти
    Проблемы и решения Вернуться к началу страницы

    Части 6 и
    7 показывают, что для нахождения абсолютных экстремумов функции f , которая является разрывной и / или имеет неограниченный

    Вернуться в
    Начало страницы

    1. Набросок графика y
    = f ( x ) = x 2 . Найдите абсолютные экстремумы f
    если есть:
    а. [2, 1].
    г. (2, 1).
    г. [1, 3].
    г. (1, 3].

    Решение

    а. f ‘( x ) = 2 x , поэтому f ‘ ( x ) существует везде и f
    ‘( x ) = 0 только при x
    = 0.Поскольку 0 находится в [2, 1], а f ‘( x ) определяется для всех x
    в
    [2, 1] есть только один
    критическая точка: х = 0. Имеем:

    f (2) = 4,
    f (1)
    = 1, и
    f (0)
    = 0.

    Таким образом, абсолютный максимум f
    на [2, 1] 4 достигается при x = 2 и
    его абсолютный минимум равен 0, достигаемому при x
    = 0.

    Это показывает, что на (1, 3], f
    имеет абсолютный максимум 9, достигнутый при x = 3, но он
    не имеет абсолютного минимума.

    Вернуться в
    Начало страницы

    2. Найдите абсолютные экстремумы y = f ( x ) = x 2 если есть на:

    Решение

    Вернуться в
    Начало страницы

    3. Найдите абсолютные экстремумы y = f ( x ) = x 2 если есть на:

    Решение

    Следовательно, на S 2 , f не имеет абсолютного максимума, но имеет абсолютный максимум.
    минимум 4 достигается при x = 2.

    Вернуться в
    Начало страницы

    Решение

    Вернуться в
    Начало страницы

    5. Пусть a < b < c . Предположим, что
    функция f
    непрерывно на [ a ,
    c ]
    и f
    ‘( x )> 0 на
    ( a , b ) и ( b , c ). Доказывать
    что f ( b ) не является
    ни локальным максимумом, ни локальным
    минимум ф .

    Решение

    Аналогичный аргумент приведет к
    тот факт, что ф ( б )
    < f ( x ) для всех x дюймов ( b , c ), и доказательство завершено.

    Вернуться в
    Возврат к началу страницы
    К содержанию

    Экстремумы (минимумы и максимумы) функций

    Что такое экстремумы функций?

    Экстремум (множественное число экстремумов) — это точка функции, в которой она имеет наибольшее (максимальное) или наименьшее (минимальное) значение. Глобальный максимум или минимум — это самое высокое или самое низкое значение всей функции, тогда как локальный максимум или минимум — это самое высокое или самое низкое значение в его окрестности.

    Экстремумы могут быть найдены там, где функция меняется с возрастания на спад или наоборот (см. Монотонность). Подумайте об этом так: если вы поднимаетесь на холм и хотите найти его самую высокую точку, это будет прямо перед тем, как холм снова начнет снижаться. В частности, в этой точке наклон холма равен нулю. Если бы оно не было нулевым, это означало бы, что ваш путь все еще идет вверх. Следовательно, нам нужно найти все точки функции, в которых ее наклон равен нулю. Для этого мы используем первую производную.Чтобы найти точки, в которых наклон равен нулю, нам нужно найти корни производной. Корни производной потенциально могут быть экстремумами, но не обязательно. Снова подумайте о холме. Когда уклон становится нулевым и вы не идете ни вверх, ни вниз, мы были бы на максимуме, только если бы холм начал падать отсюда. Однако что, если холм снова начнет подниматься? В данном случае у нас нет максимума. Поиск корней производной — это только первый шаг. После этого нам нужно решить, есть ли у нас максимум, минимум или ни один.

    Нахождение потенциальных экстремумов

    Рассмотрим следующую функцию и ее первую производную:

    (1)

    Теперь мы находим корни производной, устанавливая ее ноль и решая для:

    (2)

    У нас есть потенциальные экстремумы, но нам все еще нужно определить, являются ли они минимумом или максимумом (или ни тем, ни другим). У нас нет ни того, ни другого, если функция растет (или падает) слева и растет (или падает) справа от потенциального экстремума (то есть, когда нет изменений).У нас есть максимум, когда он сначала растет, а затем падает, и минимум, когда он меняется с падения на рост. Мы используем тот же метод, который использовали для определения монотонности функции. Мы можем либо сравнить знак значения первой производной слева и справа от рассматриваемой точки. Или мы можем использовать вторую производную и проверить ее знак в рассматриваемой точке. Если он положительный, то у нас есть минимум, и максимум, если он отрицательный (и на самом деле ни один, если он равен нулю).Вторая производная и ее значения при и:

    (3)

    Мы видим это, что означает, что у нас есть максимум в, а это означает, что у нас есть минимум в. Следующий график иллюстрирует это. Функция показана красным, и мы можем видеть максимум на 1 и минимум на 4. Первая производная нарисована фиолетовым цветом, и мы видим, что она пересекает ось x в этих точках. Наконец, вторая производная показана оранжевым цветом и имеет отрицательное значение, где мы можем видеть максимум, и положительное значение, где мы видим минимум.

    Нет экстремума

    В качестве примера, где корень первой производной не является экстремумом, рассмотрим следующую функцию и ее производные:

    (4)

    Следующий график показывает нам, что, хотя производная (фиолетовый) имеет корень в, это не экстремум функции (красный). Это можно показать с помощью второй производной (оранжевого цвета), потому что в этой точке она равна нулю.

    секундных производных и выше — экстремальные точки и как их найти

    экстремальные точки и как их найти

    Максимальное значение функции f ( x ) = — x 2 — 1 равно y = -1:

    Максимальное значение функции f ( x ) = cos x равно y = 1:

    Крайние точки , также называемые экстремумами , — это места, где функция принимает крайнее значение — то есть значение, которое особенно мало или особенно велико по сравнению с другими близкими значениями функции.Экстремумы похожи на вершины холмов и низы долин. Пора идти в поход.

    Есть два типа крайних точек: минимумов (долины) и максимумов (холмы).

    Экстремальные точки могут быть локальными или глобальными , но об этом мы поговорим позже.

    Нам нужно определить минимальное и максимальное значения без на интервале бит.

    Минимальное значение функции — это y -значение функции, которое является таким же низким или меньшим, чем другие значения соседней функции.Минимум выглядит как долина:

    Множественное число минимума — минимум .

    Пример задачи

    Минимальное значение функции f ( x ) = x 2 + 1 равно y = 1:

    Пример задачи

    Минимальное значение функции f ( x ) = cos x равно y = -1:

    Функция может иметь несколько минимумов.

    Пример задачи

    Функция, изображенная ниже, имеет два минимума: y = 0 и y = 1.

    Функция может иметь бесконечно много минимумов.

    Пример задачи

    Функция, изображенная ниже, имеет бесконечно много минимумов:

    Функция может вообще не иметь минимумов.

    Пример задачи

    Функция f ( x ) = — x 2 не имеет минимумов, потому что для каждого значения функции рядом есть меньшие значения:

    Будьте осторожны: Там представляет собой разницу между минимумом функции (значение y ) и местом, где встречается этот минимум (значение x ).

    Пример задачи

    Минимальное значение функции f ( x ) = x 2 + 1 равно y = 1, и этот минимум происходит при x = 0:

    Пример задачи

    Функция f ( x ) = cos x имеет только одно минимальное значение, y = -1. Однако это минимальное значение встречается в бесконечном множестве мест, например, при x = π + 2 n π для каждого целого числа n :

    Функция может иметь несколько максимумов.

    Пример задачи

    Функция, изображенная ниже, имеет два максимума: y = 2 и y = 3.

    Функция может иметь бесконечно много максимумов.

    Пример задачи

    Функция, изображенная ниже, имеет бесконечно много максимумов:

    Функция может вообще не иметь максимумов.

    Пример задачи

    Функция f ( x ) = x 2 не имеет максимумов, потому что для каждого значения функции рядом есть большие значения:

    Будьте осторожны: Есть разница между максимумом функции (значение y ) и местом, где происходит этот максимум (значение x ).

    Пример задачи

    Максимальное значение функции f ( x ) = — x 2 — 1 равно y = -1, и этот максимум достигается при x = 0:

    Пример задачи

    Функция f ( x ) = cos x имеет только одно максимальное значение, y = 1. Однако это максимальное значение встречается в бесконечном множестве мест, как это происходит при x . = 2π n для каждого целого числа n :

    • Нахождение и классификация экстремальных точек

      Оставайтесь стильными, Сан-Диего.Если у нас есть функция f , которая определена на всей реальной прямой, любые экстремальные точки должны возникать в критических точках, поскольку это единственные точки, в которых мы можем иметь пик или впадину:

      Любые другие точка не может быть экстремальной, потому что функция вот-вот станет больше или меньше:

      Если у нас есть функция, определенная на закрытом интервале, на конечных точках этого интервала также будут крайние точки:

      Поэтому мы знаем, как найти все интересные точки (то есть точки, которые могут быть экстремальными):

      • Найдите все критические точки.
      • Если вы смотрите на функцию на закрытом интервале, добавьте конечные точки интервала.

      На данный момент у нас есть все места, где могут произойти экстремумы . Однако критическая точка не обязательно должна быть максимальной или минимальной.

      После нахождения всех значений x , в которых могут возникать экстремальные точки, нам все равно нужно протестировать каждое значение x , чтобы увидеть, действительно ли оно является экстремальной точкой, и если да, то какого типа (макс. Или мин.).

      Есть три способа определить, является ли каждая возможная крайняя точка, которую мы нашли, максимумом, минимумом или ни одной из них.Увы, первый способ, хотя и самый простой, обычно не подходит в качестве ответа на экзаменах. Однако это может быть хорошим способом проверить свою работу.

      • Воспользуйтесь графическим калькулятором для построения графика функции вблизи возможной экстремальной точки. Затем воспользуйтесь глазами, чтобы увидеть, что это за точка.
      • Используйте тест первой производной
      • Используйте второй тест производной

      Эта математика пригодится для оптимизации, которая представляет собой искусство классификации крайних точек, но с большим количеством проблем со словами, накладываемых поверх.

    • Тест первой производной

      Пример задачи

      1. Ниже приведен график функции f с минимумом x = x 0 . Определите знак производной f ‘для каждого помеченного значения x .
      2. Ниже приведен график функции f с максимумом при x = x 0 . Определите знак производной f ‘для каждого помеченного значения x .

      Минимум, если он не находится в конечной точке интервала, обычно выглядит так:

      Производная равна нулю (или не определена) в том месте, где встречается минимум:

      Поскольку функция должна уменьшаться вниз до минимума, а затем увеличиваться от минимума, производная отрицательна слева и положительна справа от места, где происходит минимум:

      Мы можем использовать числовую линию, чтобы отслеживать знак f ‘вот так:

      Максимум, если он не находится в конечной точке интервала, обычно выглядит так:

      Производная равна нулю (или не определена) в том месте, где происходит максимум:

      Поскольку функция должна возрастать до максимума, а затем убывать от максимума, производная положительна слева и отрицательна справа от места, где происходит максимум:

      Мы можем использовать числовую линию для отслеживания знака f ‘, например:

      Если у нас нет графика функции, мы можем пойти другим путем: сначала мы создадим числовую линию, и используйте это, чтобы определить, является ли критическая точка f максимумом, минимумом или ни одной из них.Мы находим знак f ‘немного левее критической точки и немного правее критической точки.

      Но если мы сталкиваемся с чем-то вроде этого, критическая точка не является ни минимальной, ни максимальной:

      Этот процесс называется тестом первой производной , потому что мы используем первую производную, чтобы проверить, является ли критическая точка мин. или макс. или ни то.

    • Тест второй производной

      Примеры задач

      • Предположим, что f определен и дважды дифференцируем на всей действительной прямой.Приблизительно минимум функции f , f вогнутый вверх или вогнутый вниз?
      • Предположим, что f определено и дважды дифференцируемо на всей действительной прямой. Около максимума функции f , f вогнутый вверх или вогнутый вниз?

      Минимум f обычно встречается на дне верхней чаши с правой стороны:

      Если чаша с правой стороной вверх означает, что f здесь вогнутая.

      Максимум f обычно встречается в верхней части перевернутой чаши:

      Перевернутая чаша означает, что f здесь вогнутая.

      Второй производный тест говорит:

      • Если f вогнут вверх вокруг критической точки, эта критическая точка является минимумом.
      • Если f вогнута вниз вокруг критической точки, эта критическая точка является максимумом.

      Это верно, потому что если f вогнута вверх вокруг критической точки, f выглядит так:

      Такая критическая точка должна быть минимумом.С другой стороны, если f вогнут вниз вокруг критической точки, то f выглядит так:

      Такая критическая точка должна быть максимумом.

      Будьте осторожны: Если f «равно нулю в критической точке, мы не можем использовать второй тест производной, потому что мы не знаем вогнутость f вокруг критической точки.

      Be Осторожно: Этот тест иногда вызывает путаницу, потому что люди думают, что функция вогнутости должна соответствовать максимуму.Вот почему картинки полезны. Если мы вспомним, как выглядит вогнутая функция , все будет в порядке.

      Есть хороший вопрос, который возникает у большинства людей прямо сейчас: если вам не сказали, что использовать, как узнать, использовать ли тест первой производной или тест второй производной?

      Хорошая новость в том, что часто это не имеет значения. Когда можно использовать как тест первой производной, так и тест второй производной, они дадут одинаковый ответ.

      Еще одна хорошая новость заключается в том, что обычно вы можете выполнить любой из тестов, который проще.Иногда поиск второй производной неинтересен, как, например, с функцией

      Первая производная — это

      , и хотя мы можем найти вторую производную, это некрасиво, и мы не хотим беспокоиться. В этом случае, вероятно, имеет смысл подставить пару чисел и посмотреть, что делает знак первой производной. Иногда второй тест производной не работает вообще (если f «равен 0 в критической точке), и в этом случае нам нужно использовать тест первой производной.

      С другой стороны, иногда можно увидеть, что вторая производная действительно хороша. Возьмем функцию

      f ( x ) = x 2 + 4 x + 1.

      Первая производная —

      f ‘( x ) = 2 x + 4

      , а вторая производная —

      f «( x ) = 2,

      , что всегда положительно. Следовательно, f всегда вогнутый вверх, поэтому любая критическая точка должна быть минимальной.Второй производный тест для этого — кусок пирога. Ммм, торт.

      Плохая новость в том, что, как и в остальной математике, нам действительно нужно практиковаться. Чем больше функций мы рассматриваем, тем лучше мы сможем решить, использовать ли тест первой производной или второй тест производной для классификации крайних точек функции.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *