2. Признаки равенства треугольников — Проект по геометрии «Треугольники. Признаки равенства треугольников»

Первый признак равенства треугольников.

Если две стороны
и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу
между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники
ABC и A₁B₁C₁, у которых АВ = A₁B₁,
АС = A₁C₁ ∠ А
= ∠ А₁ (см. рис.2). Докажем, что Δ ABC =
Δ A₁B₁C₁.

Так как ∠ А = ∠ А₁, то
треугольник ABC можно наложить на треугольник А₁В₁С₁ так,
что вершина А совместится с вершиной А₁, а стороны АВ и АС наложатся
соответственно на лучи А₁В₁ и A₁C₁.
Поскольку АВ = A₁B₁, АС = А₁С₁, то
сторона АВ совместится со стороной А₁В₁ а сторона АС
— со стороной А₁C₁; в частности, совместятся точки В и В₁,
С и C₁. Следовательно, совместятся стороны ВС и В₁С₁.
Итак, треугольники ABC и А₁В₁С₁ полностью
совместятся, значит, они равны.

Второй признак равенства
треугольников.

 Если сторона и два прилежащих к
ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к
ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. 

 Доказательство:

Рассмотрим треугольники ABCABC и A1B1C1A1B1C1, у которых AB=A1B1,∠A=∠A1,∠B=∠B1AB=A1B1,∠A=∠A1,∠B=∠B1.

Докажем, что △ABC=△A1B1C1△ABC=△A1B1C1.

Наложим треугольник ABCABC на треугольник A1B1C1A1B1C1 так, чтобы
вершина AA совместилась с
вершиной AA, сторона ABAB – с равной ей
стороной A1B1A1B1, а вершины CC и C1C1 оказались по одну
сторону от прямой A1B1A1B1.

Так как ∠A=∠A1∠A=∠A1 и ∠B=∠B1∠B=∠B1, то по сторона ACAC наложится на луч A1C1A1C1, а сторона BCBC – на луч B1C1B1C1.

Поэтому вершина CC – общая точка
сторон ACAC и BCBC – окажется как лежащей
на луче A1C1A1C1, так и на луче B1C1B1C1 и, следовательно,
совместиться с общей точкой этих лучей – вершиной C1C1.

Значит, совместятся стороны ACAC и A1C1A1C1, BCBC и B1C1B1C1.

Итак треугольники ABCABC и A1B1C1A1B1C1 полностью
совместятся.

Следовательно, они равны.

Третий признак равенства треугольников

Если три
стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого
треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых AB = A1B1, BC = B1C1, CA = C1A1 , и докажем, что эти треугольники равны.Приложим треугольник ABC к треугольнику A1B1C1 так, чтобы вершина A и A1, B и B1совместились, а вершины C и C1 оказались по разные стороны от прямой A1B1 (рис. 85, а). Проведем отрезок CC1. Если он пересекает отрезок A1B1, то получим два равнобедренных треугольника: A1C1C и B1C1C (рис. 85, б). Значит, ∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4, и, следовательно, ∠C = ∠C1. Итак, AC = A1C1, BC = B1C1 и ∠С = ∠С1, поэтому треугольники ABC и A1B1C1 равны по первому признаку равенства треугольников.

Треугольник: вершины, стороны, углы. Высота, биссектриса и медиана

Треугольник — это замкнутая ломаная линия, состоящая из трёх звеньев:

Вершины ломаной называются вершинами треугольника, а её звенья — сторонами треугольника. Углы, образованные двумя сторона треугольника, называются углами треугольника:

В треугольнике  ABC  вершины  A,  B  и  C  — это вершины треугольника, звенья  AB,  BC  и  CA  — стороны треугольника. Три угла —  ∠ABC,  ∠BCA  и  ∠CAB  — углы треугольника. Часто углы треугольника обозначаются только одной буквой:  ∠A,  ∠B,  ∠C.

Треугольник обычно обозначается тремя буквами, стоящими при его вершинах. Например, треугольник  ABC,  или  BCA,  или  CBA.  Вместо слова треугольник часто используется знак  .  Так, запись  ABC  будет читаться:  треугольник  ABC.

У каждого треугольника 3 вершины, 3 стороны и 3 угла.

Высота

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на его основание. Высота треугольника может быть опущена и на продолжение основания.

Отрезок  BN  — это высота  ABC. Отрезок  EL  высота  DEF, опущенная на продолжение стороны  DF.

Длина высоты — это длина отрезка от вершины угла до пересечения с основанием.

Каждый треугольник имеет три высоты.

Биссектриса

Биссектриса угла треугольника — прямая, делящая угол треугольника пополам. Длина отрезка этой прямой от вершины угла до точки пересечения с противоположной стороной называется длиной биссектрисы.

Отрезок  BN  — это биссектриса  ABC.

Каждый треугольник имеет три биссектрисы.

Медиана

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Длина этого отрезка называется длиной медианы.

Отрезок  BN  — это медиана  ABC.

Каждый треугольник имеет три медианы.

Первый признак подобия треугольников / Подобные треугольники / Справочник по геометрии 7-9 класс

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по геометрии 7-9 класс
4. Подобные треугольники
5. Первый признак подобия треугольников

Теорема

Для доказательства данной теоремы нам необходимо доказать, что углы данных треугольников соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника

Доказательство

Дано: АВС и А₁В₁С₁, А = А₁, В = В₁

Доказать: АВСА₁В₁С₁

Доказательство:

По теореме о сумме углов треугольника А +В +С = 180⁰ и А₁+В₁+С₁= 180⁰, другими словами, С = 180⁰ — А —В  и С₁= 180⁰ — А₁—В₁, и, значит,  С = С₁. Таким образом,углы треугольника АВС соответственно равны углам треугольника А₁В₁С₁.

Докажем, что стороны треугольника АВС пропорциональны сходственным сторонам треугольника А₁В₁С₁. Так как А = А₁ и С = С₁, то,

Так как А = А₁ и В = В₁, то

Итак, стороны треугольника АВС пропорциональны сходственным сторонам треугольника А₁В₁С₁. Теорема доказана.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Пропорциональные отрезки

Определение подобных треугольников

Отношение площадей подобных треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Средняя линия треугольника

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Практические приложения подобия треугольников

О подобии произвольных фигур

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60

Подобные треугольники

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 553,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 9,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 613,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 622,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 14,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 852,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 856,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 868,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 872,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1278,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

© budu5. com, 2021

Пользовательское соглашение

Copyright

Справочник олимпиадника. Планиметрия. Треугольники

Справочник олимпиадника.  Треугольники

к содержанию справочника

1. Если сумма стороны треугольника и высоты, опущенной на эту сторону, есть величина постоянная для данного треугольника, то есть  , то такой треугольник равносторонний.

2. Если треугольник остроугольный, и ортоцентр делит каждую из высот в одном и том же отношении, то треугольник равносторонний, то есть из равенства AH:HA₁=BH:HB₁=СH:HC₁  (для остроугольного треугольника) следует, что .

3. Два равносторонних треугольника ABC и CDE расположены по одну сторону от прямой АЕ и имеют единственную общую точку С. Пусть M, N и К — середины отрезков BD, АС и СЕ соответственно. Тогда треугольник MNK — равносторонний.

4. Через вершину С равностороннего треугольника ABC проведена произвольная прямая, К и М — проекции точек А и В на эту прямую, Р — середина АВ. Тогда треугольник КМР — равносторонний.

5. Треугольник Наполеона. Центры правильных треугольников, построенных внешним (внутренним) образом на сторонах произволь­ного треугольника, образуют правильный треугольник.

6. Три прямые, проходящие через точку О, образуют друг с другом углы в 60°. Тогда проекции произвольной точки, отличной от О, на эти прямые являются вершинами правильного треугольника.

7. Сумма расстояний от произвольной точки правильного треугольника до его сторон есть величина постоянная, равная высоте тругольника.

 8. Из всех треугольников с заданным периметром наибольшую площадь имеет правильный треугольник.

 9. Из всех треугольников с заданной площадью наименьший периметр имеет правильный треугольник.

10. Обобщённая теорема Пифагора. Пусть CD — высота прямоугольного треугольника ABC, проведенная из вершины прямого угла. Тогда треугольники ABC, CBD и ACD подобны. Если ,  и  — со­ответствующие линейные элементы этих треугольников, то  

11. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла С проведена высота CD. Если r – радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, r₁ – радиус окружности, вписанной в треугольник ACD, r₂ – радиус окружности, вписанной в треугольник CBD, то r₁+r₂+r=CD

12. В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит пополам угол между медианой и высотой, проведённых из той же вершины.

13. Квадрат величины, обратной высоте, опущенной на гипотенузу, в прямоугольном треугольнике, равен сумме квадратов величин, обратных катетам.

14. Если m_aи m_b– медианы, проведённые к катетам прямоугольного треугольника, m_c – медиана, проведённая к гипотенузе, тогда справедливо равенство m_a²+m_b²=5m_c². Следствие. Квадрат радиуса окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен одной шестой суммы квадратов всех его медиан.

15. Если окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу  на отрезки длиной m и n, то площадь данного треугольника находится по формуле S=mn.

16. На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника ABC с катетами ВС=а и АС=b во внешнюю сторону построен квадрат АВКМ. Тогда расстояние от точки С до центра квадрата равно .

17. На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника ABC во внешнюю сторону построен квадрат с центром в точке О ,тогда СО есть биссектриса прямого угла.

18. Сумма расстояний от произвольной точки основания равнобедренного треугольника до боковых сторон постоянная, равная высоте треугольника , проведённой к боковой стороне.

19. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне, меньше большей из двух других сторон.

20. Расстояние между любыми двумя точками, взятыми на сторонах треугольника, не больше наибольшей из его сторон.

21. Сумма расстояний от любой точки внутри треугольника до трёх его вершин больше полупериметра, но меньше периметра треугольника.

22. Пусть  и  — углы треугольника, причём, . Тогда 60˚, ≥60°, 0°<<90°.

23. а) если треугольники ABC и A₁B₁C₁ таковы, что АВ = A₁B₁, AС = A₁C₁ и BAC > B₁A₁C₁, то ВС > B₁C₁.

   б) если треугольники ABC и A₁B₁C₁ таковы, что АВ=A₁B₁, АС=A₁C₁ и ВС>B₁C₁, то угол BAC > угла B₁A₁C₁.

24. Пусть AA₁ — медиана треугольника ABC. Угол А острый тогда и только тогда, когда AA₁ > .

25. Медиана треугольника ABC, проведённая из вершины А, меньше полусуммы сторон АВ и АС, но больше их полуразности.

26. Сумма трёх медиан треугольника меньше периметра, но больше трёх четвертей периметра треугольника.

27. Медианы  и  перпендикулярны тогда и только тогда, когда a²+b²=5c².

28. Медианы   и  перпендикулярны тогда и только тогда, когда .

29. Если медианы  и  перпендикулярны, то .

30. Если медианы  и  перпендикулярны, то .

31. Если , ,  — медианы треугольника, проведённые к сторонам  a, b, c соответственно, то выполняются следующие соотношения: , , .

    Следствие. .

32.     ,  , .

     Следствие (уточнение оценки в следствии к 31.). Сумма медиан треугольника находится в пределах между тремя четвертями периметра и периметром треугольника,

        то есть    .

33. Сумма медиан треугольника не меньше, чем удевятеренный радиус окружности, вписанный в треугольник, то есть .

34. Удвоенная сумма медиан треугольника не превосходит удевятеренный радиус окружности, описанной около треугольника, то есть  .

35. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BD и СЕ. Если BF и CG — перпендикуляры, опущенные из вершин В и С на прямую ED, то EF=DG.

36. Точка Торричелли. На сторонах треугольника ABC построены вне треугольника равносторонние треугольники ВСА₁, CAB₁, АВС₁, и проведены отрезки AA₁, BB₁и СС₁. Тогда

    а) эти отрезки равны;

    б) эти отрезки пересекаются в одной точке;

  в) если эта точка находится внутри треугольника ABC, то сумма её расстояний до трёх вершин треугольника равна каждому из отрезков АА₁, ВВ_1,СC₁.

  г) если эта точка находится внутри треугольника АВС,то из этой точки каждая сторона треугольника АВС видна под углом 120⁰.

    д) для остроугольного треугольника точка Торричели является точкой, для которой сумма расстояний до вершин треугольника минимальна.

37. Прямая Эйлера. В любом треугольнике точка Н пересечения высот (ортоцентр), центр О описанной окружности и точка М пересечения медиан (центр тяжести) лежат на одной прямой, причём точка М расположена между точками О и Н, и МН=2МО.

38. Теорема Менелая. Дан треугольник ABC. Некоторая прямая пе­ресекает его стороны АВ, ВС и продолжение стороны АС в точках C, A,B  соответственно. Тогда 

39. Теорема Чевы. Пусть точки A₁, B₁ и С₁ принадлежат соответственно сторонам ВС, АС и АВ треугольника ABC. Отрезки AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда 

40. Если площадь треугольника ABC равна S, то площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника ABC, равна .

41. Через некоторую точку, взятую внутри треугольника, проведе­ны три прямые, параллельные сторонам. Эти прямые разбивают треугольник на шесть частей, три из которых — треугольники с площадями S₁, S₂, S₃. Тогда площадь данного треугольника равна 

42. Пусть Н- точка пересечения высот треугольника  ABC, тогда

      а) радиусы окружностей,описанных около треугольников ABC, АНВ, ВНС и АНС, равны между собой.

    б) расстояние между серединами отрезков ВС и АН равно радиусу описанной окружности треугольника ABC.

    в) расстояние от ортоцентра до вершины треугольника вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до стороны, противоположной этой вершине.

 г) точка, симметричная ортоцентру относительно стороны треугольника, лежит на описанной окружности треугольника.

   д) А – точка пересечения высот треугольника ВСН, В — точка пересечения высот треугольника АСН, С- точка пересечения высот треугольника АВН .

43. Если каждое из оснований высот треугольника проецируется на его стороны, тогда длина отрезка, соединяющего проекции, не зависит от выбора высоты.

44. Если из вершины С остроугольного треугольника ABC опущена высота СН, а из точки Н опущены перпендикуляры НМ и HN на стороны ВС и АС соответственно, тогда треугольники MNC и ABC подобны.

45. Если точки К и Р симметричны основанию Н высоты ВН треугольника ABC относительно его сторон АВ и ВС, тогда точки пересечения отрезка КР со сторонами АВ и ВС (или их продолжениями) — основания высот треугольника ABC .

46. Расстояние между основаниями высот, опущенных на две стороны треугольника, равно произведению третьей стороны на модуль косинуса угла, противолежащего этой стороне, то есть ,  , .

Замечание. Треугольник CA₁B₁ подобен треугольнику САВ с коэффициентом подобия, равным ; треугольник АВ₁С₁ подобен треугольнику АВС с коэффициентом подобия, равным . Аналогично остальные

47. Свойства ортотреугольника (то есть треугольника с вершинами в основаниях высот данного треугольника).

      а) высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортотреугольника.

      б) если точки A₁, B₁и С₁на сторонах соответственно ВС, АС и АВ остроугольного треугольника     ABC таковы, что

BA₁C₁ = CA₁B₁, CB₁A₁ = AB₁C₁ и AC₁B₁ = BB₁A₁,

то А₁В₁С₁ — ортотреугольник треугольника ABC.

     в) точки касания вписанного в данный треугольник круга соеди­нены отрезками и в полученном треугольнике проведены высоты. Тогда прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника.

     г) Задача Фаньяно. Треугольник наименьшего возможного периметра с вершинами на сторонах данного остроугольного треугольника- это ортотреугольник данного треугольника.

48. Если AD — биссектриса треугольника ABC, то

       а)  

       б) AD² = АВ • АС — BD • CD.

49. Теорема Штейнера — Лемуса. Если две биссектрисы треугольника равны, то он равнобедренный.

50. Продолжения биссектрис остроугольного треугольника ABC пересекают описанную окружность этого треугольника в точках A_1, B_1, C₁. Тогда высоты треугольника A₁B₁C₁ лежат на прямых AA_1,BB₁, СС₁.

51. Продолжения высот остроугольного треугольника ABC пересекают описанную окружность этого треугольника в точках A₁, B₁,C₁. Тогда биссектрисы треугольника A₁B₁C₁ лежат на прямых AA₁, BB₁, CC₁.

52. Теорема Гаусса. Если продолжения сторон АВ, АС и ВС треугольника ABC пересекают прямую l в точках С, В и А, то середины отрезков АА, ВВ и СС лежат на одной прямой.

53. На двух сторонах треугольника вне его построены квадраты. Тогда отрезок, соединяющий концы сторон квадратов, выходящих из одной вершины треугольника, в два раза больше медианы треугольника, выходящей из той же вершины.

54. Через точку М на высоте AD произвольного треугольника ABC проводятся прямые ВМ и СМ, которые пересекают стороны АС и АВ в точках Р и Q соответственно. Тогда AD — биссектриса угла PDQ.

55. Если окружность, вписанная в треугольник ABC, касается стороны ВС в точке М, то окружности, вписанные в треугольники АВМ и АСМ, касаются отрезка AM в одной точке.

56. Окружность девяти точек. В любом треугольнике девять точек — середины сторон, основания высот и середины отрезков от вершин до ортоцентра — лежат на одной окружности.

Центр окружности Эйлера точка Е — середина отрезка ОН, где О- центр описанной окружности, Н — ортоцентр треугольника.

 Диаметр окружности Эйлера равен радиусу  описанной окружности.

57. Окружность касается стороны ВС треугольника ABC в точке М, а продолжения сторон АВ и АС — в точках N и Р соответственно. Вписанная окружность этого треугольника касается стороны ВС в точке К, а стороны АВ — в точке L. Тогда

      а) отрезок AN равен полупериметру треугольника ABC;

      б) отрезок AL равен разности полупериметра и стороны ВС;

      в) ВК = СМ;

      г) NL = ВС.

58. На сторонах ВС, СА, и АВ треугольника ABC взяты соответственно точки A,B и g, причём АС= AB, ВА= ВС и СА = CB. Тогда a, b и С — точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника.

59. Пусть р — полупериметр, a S — площадь треугольника.

      а) Если r — радиус вневписанной окружности треугольника, касающейся стороны, равной а, то  .

      б) Если r — радиус вписанной окружности треугольника, a  — радиусы вневписанных окружностей, то и .

60. Если прямая, проходящая через точку А и центр О вписанной окружности треугольника ABC, вторично пересекает описанную окружность этого треугольника в точке М, то треугольники ВОМ и СОМ равнобедренные.

61. Теорема Мансиона.  Отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника, делится описанной окружностью пополам.

62. Формула Эйлера. Если O₁,O₂ — центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC, а r и R — радиусы этих окружностей то O₁O₂ = .

63. Около равностороннего треугольника ABC описана окружность, и на дуге ВС взята произвольная точка М. Тогда AM = ВМ + СМ.

64. Основание каждой высоты треугольника проектируется на боковые стороны треугольника,тогда шесть полученных точек лежат на одной окружности.

65. Вписанная окружность касается сторон АВ и АС треугольника ABC в точках М и N. Пусть Р — точка пересечения прямой MN и биссектрисы угла В (или её продолжения),тогда угол BPC = 90°.

66.Окружность с центром О на стороне ВС равностороннего треугольника ABC касается сторон АВ и АС в точках Р и. Q соответственно. Касательная к окружности пересекает эти стороны в точках М и N, а отрезки ОМ и ON пересекают отрезок PQ в точках Е и F. Тогда EF = MN/2.

67. В любом треугольнике радиус описанной окружности не меньше удвоенного радиуса вписанной окружности, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний.

68. Пусть О — центр описанной окружности треугольника ABC, Н — точка пересечения высот. Тогда угол HAB равен углу OAC.

69. Если ВМ и CN — высоты треугольника ABC, a O — центр описанной окружности треугольника, то ОA перпендикулярно MN.

70. а) Точка Жергонна. В треугольник вписана окружность. Точки касания со сторонами треугольника соединены с противоположными вершинами. Тогда три полученных отрезка пересекаются в одной точке.

    б) Точка Нагеля. В любом треугольнике отрезки, соединяющие вершины с точками касания вневписанных окружностей с противоположными сторонами, пересекаются в одной точке.

71. В любом треугольнике ABC середина стороны ВС лежит на отрезке, соединяющем точку пересечения высот с точкой окружности, описанной около этого треугольника, диаметрально противоположной вершине А, и делит этот отрезок пополам.

72. Площадь треугольника не больше полупроизведения любых двух его сторон,     то есть .

73. Площадь треугольника не больше одной четверти суммы квадратов любых двух его сторон, то есть .

74. Площадь треугольника не больше одной шестой суммы всех попарных произведений его сторон, то есть .

75. Площадь треугольника не больше половины квадрата среднего арифметического любых двух его сторон, то есть .

76. Площадь треугольника не больше половины неполного квадрата разности любых двух его сторон, то есть .

77. Площадь треугольника меньше одной шестой суммы квадратов всех его сторон, то есть 

78. (Уточнение оценки из 77)   .

79. Площадь треугольника не больше квадрата его полупериметра, деленного на   , то есть .

80. Площадь треугольника больше, чем удвоенное произведение радиуса вписанной окружности на среднее геометрическое радиусов вписанной и описанной окружностей, то есть  

81. Площадь треугольника не меньше квадрата радиуса вписанной окружности, умноженного на , то есть .

Определение натуральной величины треугольника

Определение натуральной величины треугольника

Цель видеоурока Автокад/НГ: Обучение Автокад 2D на практике и закрепление пройденного материала раздела «Теоретические и практические видеоуроки Автокад». Закрепление знаний по решению задач на построение натуральной величины отрезка, треугольника, сечения и т.д. используя для этого любой способ преобразования чертежа.

Задание: Определить натуральную величину треугольника ABC.

Дано: Таблица значения координат.

Для определения натуральной величины треугольника ABC воспользуемся способом преобразования проекций – вращение плоскости вокруг оси.

Решение задачи по определению натуральной величины треугольника

• Построить горизонталь плоскости треугольника ABC.
• Приведем треугольник ABC в положение проецирующей плоскости, а в нашем случае во фронтально-проецирующую плоскость способом преобразования проекций – вращение плоскости вокруг оси.
• Преобразуем фронтально-проецирующую плоскость в плоскость уровня.
• С помощью линий связи строим проекцию треугольника ABC, которая будет являться натуральной величиной треугольника.

Видео «Определение натуральной величины треугольника»

Сериал Пожарная станция 19 1 сезон: фото, видео, описание серий

Американский сериал, спин-офф популярной мелодрамы о врачах «Анатомия страсти», на канале ABC.

В сериале «Пожарная станция 19 2 сезон» (Station 19) снимаются Джайна Ли Ортис (Jaina Lee Ortiz) в роли Энди Геррера; Джейсон Джордж (Jason George) в роли Бена Уоррена; Грэй Дэймон (Grey Damon) в роли Джека Гибсона; Барретт Досс (Barrett Doss) в роли Вика Хьюса; Альберто Фрецца (Alberto Frezza) в роли Райана Теннера; Джей Хэйден (Jay Hayden) в роли Трэвиса Монтгомери; Окиерите Онаодован (Okieriete Onaodowan) в роли Дина Миллера; Даниэль Савре (Danielle Savre) в роли Майи Бишоп; Мигель Сандовал (Miguel Sandoval) в роли Прюитта Геррера.

В сериале также появляется звезда «Анатомии страсти» Эллен Помпео (Ellen Pompeo) в роли Мередит Грэй.

Шоураннером нового сериала стала сценарист и продюсер «Анатомии страсти» Стэйси МакКи (Stacy McKee). Продюсер сериала – Шонда Раймс (Shonda Rhimes).

Дата премьеры – 22 марта 2018, при этом 1 марта будет показан эпизод «Анатомии страсти», в котором появятся персонажи спин-оффа.

Сюжет сериала Пожарная станция 19 1 сезон / Station 19

В центре внимания сериала – пожарная часть в Сиэттле и работающие там мужчины и женщины, которые каждый день смотрят в лицо опасности. Они постоянно проводят время вместе, подставляя плечо и прикрывая спины, поэтому неудивительно, что в коллективе складываются совершенно особые отношения.

Энди Геррера (Джайна Ли Ортис) хотя молодая, уверена в себе как в пожарной. Она пошла по стопам своего отца, капитана Прюитта Геррера (Мигель Сандовал). У нее есть давний друг, с которым у нее был роман в школе, — полицейский Райан Таннер (Альберто Фрецца). На станции появляется новичок – бывший анестезиолог Бен Уоррен (Джейсон Джордж). Один из опытных пожарных – лейтенант Джек Гибсон (Грэй Дэймон). Он полон страсти, энергии и совершенно бесстрашен. Своим наставником он считает капитана Прюитта. Еще один молодой новичок — тихоня Вик Хьюс (Барретт Досс), а душа компании – Трэвис Монтгомери (Джей Хэйден). Большой харизмой обладает и Дин Миллер (Окиерите Онаодован). Еще одна женщина, работающая на станции, — Майя Бишоп (Даниэль Савре), раньше занималась спортом и завоевала золотую олимпийскую медаль.

Пути пожарных пересекаются и с коллегами – врачами, в частности с главой хирургического отделения Мередит Грэй (Эллен Помпео).

Когда в первом эпизоде капитану Прюитту становится плохо на пожаре, Энди должна доказать себе и другим, что готова занять его место. Однако любовный треугольник между ней, главной «звездой» станции Джеком и другом детства Райаном может сильно осложнить ситуацию.

Интересные факты о сериале Пожарная станция 19 1 сезон / Station 19

В январе 2018 стало известно, что Эллен Помпео продлила свой контракт на съемку в «Анатомии страсти» вплоть до конца 16 сезона и стала продюсером сериала и сопродюсером спин-оффа. Она также режиссирует отдельные эпизоды.

Президент ABC Studios Патрик Моран: «Мы говорили с Шондой об элементах «Анатомии страсти», которые так резонируют с аудиторией: эмоциональные истории, глубокие человеческие отношения, стрессовая среда и сильные женщины, — все эти элементы будут и в спин-оффе».

13 эпизод 14 сезона сериала «Анатомия страсти», в котором появляются пожарные из спин-оффа, перенесли с осени 2017 на март 2018. В этом эпизоде зрителям представляют Энди Геррера и рассказывают о выборе Бена, решившего поменять работу.

Джейсон Джордж играл доктора Бена Уоррена с шестого сезона, в 14 сезоне он покидает основное шоу ради спин-оффа.

Съемки сериала начались 18 октября 2017.

Хотя по сюжету действие происходит в Сиэттле, съемки проходили в Лос-Анджелесе.

Это второй спин-офф популярной «Академии страсти» после «Частной практики», продержавшейся 6 сезонов.

Съемочная группа сериала Пожарная станция 19 1 сезон / Station 19

• Продюсеры: Стэйси МакКи, Шонда Раймс, Бетси Бирз, Пэрис Барклэй.
• Сценаристы: Стэйси МакКи.
• Актеры: Джайна Ли Ортис; Джейсон Джордж; Грэй Дэймон, Барретт Досс, Альберто Фрецца, Джей Хэйден, Окиерите Онаодован, Даниэль Савр; Эллен Помпео (Ellen Pompeo), Мигель Сандовал.

Выстрел вхолостую: Байден пытается ужесточить оружейные законы | Статьи

В Соединенных Штатах продолжается волна массовых убийств с применением огнестрельного оружия. Джо Байден, недавно отработавший на президентском посту 100 дней, требует от законодателей принять ряд законопроектов, ограничивающих доступ американцев к стволам. Впрочем, само общество, несмотря на практически ежедневные трагедии, не демонстрирует готовность распрощаться с домашними арсеналами. Подробности — в материале «Известий».

«Наш флаг в Белом доме всё еще приспущен в знак траура по восьми жертвам массового расстрела в Джорджии, а также еще десяти жертвам массового расстрела в Колорадо. За неделю, которая прошла между двумя этими случаями, были застрелены еще 250 американцев. 250 человек были застрелены». Это — лишь одна из затрагивающих за живое фраз, произнесенных президентом США Джо Байденом в ходе выступления перед членами конгресса, с которым тот выступил в конце апреля. Заметное место в речи главы государства было уделено проблеме права и контроля за продажей и хранением оружия — одной из ключевых тем американской внутренней политики на протяжении многих десятилетий.

Убийственная статистика

Примеры, приведенные президентом, очевидно, должны были убедить законодателей в необходимости как можно скорее поддержать ряд инициированных Белым домом законопроектов, призванных ужесточить правила продажи оружия населению. Подобных трагедий в американской истории последних лет было огромное множество, при этом несколько из них произошли уже при новом президенте, который совсем недавно отметил рубеж в 100 дней на высшей государственной должности. По данным неправительственной организации Gun Violence Archive, с начала года по середину апреля были зафиксировано около 150 случаев массовых расстрелов. Вот далеко не полный список таких инцидентов.

• 15 апреля — стрельба на предприятии курьерской службы FedEx в Индианаполисе, восемь погибших и несколько раненых; в тот же день минимум шесть человек пострадали при стрельбе в жилом комплексе во Флориде
• 10 апреля — один убитый и трое раненых в Мемфисе; в тот же день — один погибший, трое пострадавших пи стрельбе в Миссури; четверо раненых при стрельбе в Коннектикуте
• 9 апреля — один человек погиб и еще пятеро получили ранения в ходе перестрелки в городе Форт-Уорт в Техасе; днем ранее в том же штате один погибший и минимум пятеро пострадавших при стрельбе на мебельной фабрике
• 7 апреля — бывший профессиональный игрок в американский футбол застрелил шесть человек и покончил с собой в Южной Каролине; в тот же день в Милуоки мужчина застрелил двух человек и ранил еще двоих на автозаправке
• 31 марта — четыре человека, в том числе ребенок, застрелены в офисном комплексе в Калифорнии
• 28 марта — мужчина в Мэриленде застрелил своих родителей и ранил еще троих в магазине (двое скончались), после чего совершил суицид
• 23 марта — десять человек, в том числе офицер полиции, застрелены в супермаркете в Боулдере (штат Колорадо)
• 16 марта — восемь человек, в том числе шесть женщин азиатского происхождения, стали жертвами стрелка в Джорджии

Сотрудники спецслужб у здания курьерской службы FedEx в Индианаполисе, где произошла стрельба. 15 апреля 2021 года

Фото: REUTERS

Статистика ужасающая, но объяснимая, если учесть хотя бы данные о том количестве стволов, которые находятся на руках у американцев. По оценкам ежегодного исследования швейцарской компании Small Arms Survey, всего в мире по состоянию на 2018 год гражданские лица владели примерно 857 млн единиц огнестрельного оружия, из них 393 млн зарегистрированы в США. С тех пор страна пережила взрывной спрос на оружие — благодаря тому что в 2020 году уверенность американцев в завтрашнем дне сильно подорвали пандемия коронавируса, акции гражданского неповиновения и сомнения в результатах президентских выборов — так что сейчас цифра, скорее всего, составляет более 400 млн. «Даже если прямо с завтрашнего дня каким-то волшебным образом можно было остановить все продажи и производство оружия, то что президент предлагает сделать с этими 400 млн единиц?» — недоумевает Reno Gazette Journal.

Мнения разделились

Впрочем, таких радикальных предложений в речи Байдена всё равно не содержалось. Президент лишь призвал сенаторов-республиканцев выступить единым фронтом с демократами и проголосовать за два принятых ранее палатой представителей конгресса США законопроекта. Первый из них касается ужесточения проверок покупателей оружия, второй — устранения «чарльстонской лазейки»: по действующим сейчас правилам, если ФБР не завершает проверку покупателя за три дня, продавец имеет право завершить сделку; в Белом доме предлагают увеличить этот срок.

Кроме того, президент выступил за запрет на продажу населению штурмового оружия и магазинов с увеличенным числом патронов. Такие же меры действовали в США в течение 10 лет — с 1994 по 2004 год (эксперты, впрочем, не уверены, что они дали какой-либо ощутимый положительный эффект; Байден, впрочем, в своей речи утверждал обратное).
Насколько готово общество к ужесточению «оружейных правил» — вопрос открытый, даже несмотря на пугающую регулярность массовых расстрелов в США.

Посетитель в одном из оружейных магазинов в США

Фото: REUTERS

По данным апрельского опроса, проведенного совместно газетой Washington Post и телекомпанией ABC News, сейчас лишь 50% американцев выступает за принятие законов, применение которых помогло бы снизить уровень насилия с применением огнестрельного оружия — в 2018 году этот показатель составлял 57%. При этом 43% респондентов считают необходимым, чтобы правительство защищало права населения на хранение оружия (три года назад такой точки зрения придерживалось 34% опрошенных).

«Демократы получат политические барыши»

Определенные изменения в правила продажи оружия Байден внес, издав несколько исполнительных указов. Впрочем, практически все они были довольно незначительными, касались крайне специфических нюансов и каким-то серьезным образом повлиять на ситуацию не могли.

При этом успешное прохождение двух «оружейных» законопроектов через сенат абсолютно не гарантировано. «Оба проекта застряли в сенате, и шансы на то, что они получат 60 голосов, необходимых для обхода организованной республиканцами обструкции, невелики, — отмечает Vox. — Кроме того, у демократов, имеющих 51 голос в верхней палате, также нет единства в вопросе о том, какая именно оружейная реформа необходима».

Очередь в оружейный магазин в Калвер-Сити, Калифорния

Фото: REUTERS/Patrick T. Fallon

Крайне пессимистично к голосованию по оружейным законопроектам относится и влиятельная The Wall Street Journal. Как отмечала газета в редакционной статье, лидер демократического большинства в верхней палате конгресса Чак Шумер «наверняка знает, что у законопроектов нет шансов получить 60 голосов в сенате». «Однако проведение голосования удовлетворит прогрессивных политиков, а в случае новой волны насилия с применением оружия демократы получат политические барыши, — указывало издание. — Однако не стоит думать, что ужесточение контроля даст какой-то результат, помимо еще большего роста числа продаж оружия».

Не факт, что на стороне Белого дома в оружейном вопросе будет действовать и Верховный суд США. На днях стало известно, что ВС — впервые более чем за 10 лет — рассмотрит переданное из суда низшей инстанции дело, связанное с правами на оружие. Свое мнение инстанции предстоит сформировать в вопросе о том, насколько широко простираются полномочия отдельных штатов в регулировании вопроса о ношении оружия за пределами дома. Шансы на то, что права местных властей в этом вопросе урежут, невелики: в октябре прошлого года новым членом ВС стала консерватор Эми Кони Барретт, ее кандидатуру президент Дональд Трамп предложил на место, освободившееся после смерти легендарной судьи либеральных взглядов Рут Гинзбург. Теперь у судей консервативной ориентации в ВС шесть мест, у носителей более либеральной идеологии — лишь три.

Плюсы и минусы пандемии

Несмотря на то что пандемия и ставшая одним из ее последствий неуверенность в социально-экономической стабильности привели к рекордному росту спроса на оружие в США, введенные из-за коронавируса ограничения сыграли и положительную роль: громких массовых убийств в общественных местах стало меньше, ведь невозможно было устроить бойню в школе, если школа не работала. Сейчас, по мере снятия рестрикций, ситуация может измениться в негативную сторону. Как предупреждал преподаватель политологии из Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе Джеффри Саймон в интервью NBC News, возвращение американцев к обычной жизни приведет к появлению «легких целей» — скоплению людей в публичных местах с низким уровнем безопасности.

Прохожий в городе Карсон, Калифорния

Фото: REUTERS

Впрочем, даже если сторонники ужесточения контроля смогут справиться с политическим сопротивлением консерваторов и влиятельным оружейным лобби, не факт, что сами американцы будут готовы пойти на серьезные ограничения. Трудно представить себе, что страна, которая создавалась как нация исключительно с оружием в руках, будь то во времена освоения Дикого запада или гражданской войны, сможет легко отказаться от права на хранение и ношение оружие, гарантированного Второй поправкой к конституции.

В этом плане необходимы тектонические культурные сдвиги, считает профессор истории из Луизианского технологического университета Эндрю Маккевитт. Для того чтобы данные Байденом обещания по ужесточению контроля за оружием стали реальностью, нужны «более широкие обязательства по демилитаризации гражданского общества при уважении основополагающих прав на владение оружием и самооборону», отметил эксперт в колонке для The Washington Post. По оценке Маккевитта, «общество, которое запасается орудиями войны, это общество, которое готовится к конфликтам, а не стремится к демократии».

похожих треугольников

Иллюстративная математика

Задача

У Алисии два треугольника $ ABC $ и $ PQR $, соответствующие стороны которых пропорциональны, как показано ниже:

Алисия говорит:

Интересно, похожи ли они, потому что у меня нет информации об углах?

Каков ответ на вопрос Алисии? Объяснять.

Â

IM Комментарий

Цель этой задачи — исследовать подобие треугольников с точки зрения пропорциональности сторон, показывая, что этого достаточно, чтобы сделать вывод, что два треугольника подобны. Есть два естественных подхода:

• Используйте растяжение, а затем примените критерий SSS для конгруэнтности треугольника
• Используйте растяжение, а затем серию жестких движений (по сути, показывая, что критерий SSS выполняется для этих конкретных треугольников).

Здесь представлен только первый из них. По поводу второго метода обратитесь к http://www.illustrativemat Mathematics.org/illustrations/110. Хотя растяжение не нужно применять в первую очередь, это естественно, потому что нам не дается никакой информации об углах, и поэтому максимум, что мы можем сделать с тем, что дано, — это выровнять две вершины треугольников. Если учащиеся еще не знакомы с критерием конгруэнтности SSSÂ для треугольников, они должны продемонстрировать соответствие между $ \ треугольником A ^ \ prime B ^ \ prime C ^ \ prime $ и $ \ треугольником PQR $, как указано в решении. \ prime $ имеет те же длины сторон, что и $ \ треугольник PQR $ (как мы видим, удвоив длины сторон треугольника ABC $), они конгруэнтны по SSS. .о, а = 1,5, Ь = 2

{/ eq}

а. Покажите, что есть два треугольника {eq} ABC

{/ eq} и {eq} A’B’C ‘

{/ eq}, удовлетворяющие этим условиям

г. Покажите, что площади треугольников в части (a) пропорциональны синусам углов {eq} C

{/ eq} и {eq} C ‘

{/ eq}, то есть:

{eq} \ frac {\ text {площадь} \ треугольник ABC} {\ text {площадь} \ треугольник A’B’C ‘} = \ frac {\ sin C} {\ sin C’}

{/ eq}

Закон синуса

Закон синусов задается тождествами {eq} \ displaystyle \ frac {a} {\ sin A} = \ frac {b} {\ sin B} = \ frac {c} {\ sin C},

{/ eq}

где {eq} \ displaystyle a, b, c,

{/ eq} — длина треугольника, а {eq} \ displaystyle A, B, C

{/ eq} — углы, противоположные сторонам {eq} \ displaystyle a, b, c,

{/ eq} соответственно.о,

{/ eq}, чтобы найти сторону {eq} \ displaystyle …

См. Полный ответ ниже.

Треугольников ABC и DEF похожи. Найдите периметр треугольника ABC.

Упростите каждое выражение в упражнении 1730, представив свой ответ в форме положительной экспоненты. x2y2x1y

Конечная математика

21. Из следующего списка наборов укажите, какие пары наборов не пересекаются.

Математические приложения для управления, жизни и социальных наук

Используйте непрерывность, чтобы оценить предел.35. limx2x20x2

Исчисление с одной переменной

Шмидт (1994) провел серию экспериментов, изучающих влияние юмора на память. В одном исследовании участвовали …

Статистика для поведенческих наук (список курсов MindTap)

Нахождение неопределенного интеграла, включающего синус и косинус. В упражнениях 3-14 найдите неопределенный интеграл. sin32 …

Исчисление: ранние трансцендентные функции

Опишите набор точек (x, y) таких, что x2 + y2 = 9.

Прикладное исчисление

Критическое мышление Рассмотрим набор данных, содержащий как минимум три значения данных. Предположим, что максимальное значение увеличивается b …

Общие сведения о статистике

В упражнениях 121–128 выполните указанные операции и упростите каждое выражение. 121. (x2 + y2) x xy (2y)

Прикладное исчисление для управленческих, жизненных и социальных наук: краткий подход

Нахождение уравнения конического сечения Найдите уравнение для конического сечения с заданными свойствами.59. Эллип …

Предварительное вычисление: математика для расчетов (автономная книга)

Предположим, что количество водителей, путешествующих между определенным пунктом отправления и пунктом назначения в течение определенного времени …

Вероятность и статистика для инженерных и Sciences

Для задач 96–104 напишите числовое выражение для представления проблемы. Затем упростите числовое выражение …

Промежуточная алгебра

Что означают следующие утверждения? (a) f имеет локальный максимум в точке (a, b).(b) f имеет абсолютный максимум при (a …

Многопараметрическое исчисление

Определите и нарисуйте график каждой поверхности. 31. x2 = y2 + 4z2

Исчисление: ранние трансцендентальные идеи

Политический сборщик средств Политик собирает средства продавая билеты на ужин за 500 долларов. Политик платит 15 долларов …

Расчет: прикладной подход (список курсов MindTap)

В следующей таблице представлены годовые человеко-часы, потерянные из-за пробок на дорогах для группы citi…

Основы статистики

Мы видели, что гармонический ряд — это расходящийся ряд, члены которого приближаются к нулю. Покажите, что n = 1ln (1 + 1n) является …

Исчисление (список курсов MindTap)

Эффект прожектора относится к переоценке степени, в которой другие замечают вашу внешность или поведение, например …

Основы статистики для поведенческих наук (список курсов MindTap)

Решите каждое уравнение в упражнениях 107120 для x, округляя ответ до четыре значащих цифры, если необходимо….

Конечная математика и прикладное исчисление (Список курсов MindTap)

Найдите объем, общий для двух сфер, каждая с радиусом r, если центр каждой сферы лежит на поверхности …

Исчисление одной переменной: Early Transcendentals, Volume I

Изобразите каждое уравнение для значений x от 0 до 360, кратных 10: y = 4cos3x

Элементарная техническая математика

Покажите, что каждое из следующих утверждений является идентичностью, преобразовав левую часть каждого один в ри…

Тригонометрия (список курсов MindTap)

Существует два способа выражения наценки в процентах: на основе __________ и на основе _________ _____. (8-2)

Современная математика для бизнеса и потребителей

Верно или нет

Отметьте следующие утверждения как истинные или ложные.
1. Каждая конечная группа порядка изомична …

Элементы современной алгебры

Если f (x) = 0g (x) 11 + t3dt, где g (x) = 0cosx [1 + sin (t2)] dt , найти f (/ 2).

Исчисление одной переменной: ранние трансцендентальные

Дано: ABCDBADCDA Докажите: AED равнобедренный ПОДСКАЗКА: Докажите CADBDA с помощью CPCTC.

Элементарная геометрия для студентов колледжа, 7e

В упражнениях 3556 решите систему линейных уравнений, используя метод исключения Гаусса-Жордана. x + y + z = 0 2xy + …

Конечная математика для управленческих, жизненных и социальных наук

Определение области и диапазона функции В упражнениях 13-22 найдите область и диапазон функции. h (x) = …

Исчисление: ранние трансцендентные функции (список курсов MindTap)

Для правильного десятиугольника с 10 сторонами найдите размер каждого центрального угла.b внутренний угол. c внешний угол.

Элементарная геометрия для студентов колледжа

Преобразование прямоугольной формы в полярную В упражнениях 25-34 преобразуйте прямоугольное уравнение в полярную форму и набросайте i …

Исчисление одной переменной

Перепишите следующие числа стандартной формы в научная нотация. 80,000

Математика для машинной техники

Написание функции с векторным значением В упражнениях 1316 изобразите отрезок прямой от P до Q с помощью векторной функции fu…

Многопараметрическое исчисление

Гипотеза Используйте графическую утилиту для построения графиков f и g в одном и том же окне просмотра и определения того, какое из них увеличивается …

Исчисление

Определите неэквивалентный групповой план и выявите примеры этого исследовательского плана, когда он появляется в исследовании …

Методы исследования поведенческих наук (список курсов MindTap)

Объясните, как наличие взаимодействия может повлиять на интерпретацию основных эффектов.

Методы исследования поведенческих наук (Список курсов MindTap)

Вектор, представленный где A (4, 8) и B (6, 6), равен:

Учебное пособие по многомерному исчислению Стюарта, 8-е

Toyota Camry — один из самых продаваемых автомобилей в Северной Америке. Стоимость бывшего в употреблении Camry зависит от …

STATISTICS F / BUSINESS + ECONOMICS-TEXT

Использование теста соотношения или корневого теста В упражнениях 63-68 используйте тест соотношения или корневой тест, чтобы определить…

Исчисление (Список курсов MindTap)

Пусть N = набор натуральных чисел. W = набор целых чисел Z = набор целых чисел Q = набор рациональных …

College Algebra (Список курсов MindTap)

Цена закрытия акций Apple с поправкой на дробление и дивиденды для первой торговли день декабря 2007 года …

Статистика для бизнеса и экономики, пересмотренная (Список курсов MindTap)

Предположим, что сборщики средств в университете звонят недавним выпускникам, чтобы запросить пожертвования на программу поддержки кампуса…

Введение в статистику и анализ данных

Какой график для y = 1,5x лучше всего? (График y = 2x показан штриховой кривой для сравнения.) дифференциал …

Первый курс по дифференциальным уравнениям с приложениями для моделирования (список курсов MindTap)

В упражнении 12-14 перепишите каждое из выражений, если возможно, используя свойства логарифмов.log (x + 2)

Математика: Практическая одиссея

Напишите первые четыре члена последовательностей, определяемых формулами 1-6. ci = (1) i3i для любого целого i0.

Дискретная математика с приложениями

Ниже приводится частичный компьютерный результат регрессионного анализа. а. Вычислите недостающие записи в этом выводе. b ….

Основы статистики для бизнеса и экономики

12. Бюро посетителей Гавайев собирает данные о посетителях Гавайев.Среди 16 заданных вопросов были следующие …

Современная бизнес-статистика в Microsoft Office Excel (с печатной картой доступа XLSTAT Education Edition) (Список курсов MindTap)

Поиск окон и построение графиков: в упражнениях с S-11 по S-30 , найдите подходящую настройку окна и создайте …

Функции и изменения: подход к моделированию алгебры колледжа (список курсов MindTap)

Для следующих упражнений для каждого линейного уравнения: a. задайте наклон m и y — точку пересечения b, если таковая имеется, и b.g …

Calculus Volume 1

Чтобы попасть на определенную платную дорогу, водитель должен взять карточку с указанием краски на въезде на милю. На карточке также есть …

Calculus Volume 2

Используйте следующую информацию, чтобы ответить на следующие упражнения: Производитель производит 25-фунтовые гири …

Вводная статистика

Решение системы линейных уравнений в упражнениях 19-22, решите систему линейных уравнений и проверьте любое решение …

College Algebra

Конгруэнтные треугольники | математикатестподготовка.com

назад к Геометрия

Треугольники одинакового размера и формы называются конгруэнтными треугольниками.

Соответствующие детали

Части двух треугольников с одинаковым размером называются соответствующими частями. Соответствующие части равных треугольников равны.

свойства равных треугольников

Если два треугольника равны, то их соответствующие части равны и соответствующие им углы равны.

Докажите, что треугольники конгруэнтны — (SSS) постулат

Если каждая сторона треугольника конгруэнтна соответствующей стороне другого треугольника, то два треугольника конгруэнтны.

На рисунке выше в треугольнике ABC и треугольнике RST, если AB = RS, BC = ST и AC = RT, то треугольник ARC конгруэнтен треугольнику RST.

Примечание: 1. вершина A, соответствующая вершине R, вершина B, соответствующая вершине B, и вершина C, соответствующая вершине T.2. AB соответствует RS, BC соответствует ST, а CA соответствует TR.

Постулат доказательства конгруэнтности треугольников (SAS)

Если две стороны и угол между ними в треугольнике совпадают с соответствующими частями в другом треугольнике, то два треугольника совпадают.

На рисунке выше в треугольнике ABC и треугольнике RST, если AB = RS, угол A = угол R и AC = RT, то треугольник ABC конгруэнтен треугольнику RST.

Примечание: 1.две стороны угла A — это AB и AC. Две стороны угла R — это RS и RT. 2. AB в треугольнике ABC соответствует RS в треугольнике RST. Угол A в треугольнике ABC соответствует углу R в треугольнике RST. AC в треугольнике ABC соответствует RT в треугольнике RST.
3. когда эти три пары соответствующих частей в двух треугольниках конгруэнтны, тогда эти два треугольника конгруэнтны.

Постулат доказательства конгруэнтности треугольников (ASA)

Если два угла и сторона между ними в треугольнике совпадают с соответствующими частями в другом треугольнике, то два треугольника совпадают.

На рисунке выше в треугольнике ABC и треугольнике RST угол A = угол R, AB = RS и угол B = угол S, тогда треугольник ABC конгруэнтен треугольнику RST.

Примечание: 1. Угол A в треугольнике ABC соответствует углу R в треугольнике RST. AB в треугольнике ABC соответствует RS в треугольнике RST. угол B в треугольнике ABC, соответствующий углу S в треугольнике RST.
2. AB — это сторона между углом A и углом B в треугольнике ABC. RS — это сторона между углом R и углом S в треугольнике RST.

Докажите теорему о конгруэнтности треугольников (AAS)

Если два угла и сторона, не находящаяся между ними в треугольнике, совпадают с соответствующими частями в другом треугольнике, то эти два треугольника совпадают.

На рисунке выше в треугольнике ABC и треугольнике RST, если угол A = угол R, угол B = угол S и BC = ST, то треугольник ABC конгруэнтен треугольнику RST.

Примечание: 1. Угол A в треугольнике ABC соответствует углу R в треугольнике RST.Угол B в треугольнике ABC соответствует углу S в треугольнике RST. BC в треугольнике ABC соответствует ST в треугольнике RST.
2. BC — сторона не между углом A и углом B. ST — сторона не между углом E и углом S.

Докажите теорему о конгруэнтности треугольников (HL)

Если гипотенуза и катет в прямоугольном треугольнике конгруэнтны соответствующим частям в другом прямоугольном треугольнике, то два треугольника конгруэнтны.

На рисунке выше в прямоугольном треугольнике ABC и прямоугольном треугольнике RST, если BC = ST и BA = SR, то прямоугольный треугольник ABC является конгруэнтным прямоугольным треугольником RST.

Примечание: 1. BC — гипотенуза прямоугольного треугольника ABC. ST — гипотенуза прямоугольного треугольника RST. 2. BA — катет в прямоугольном треугольнике ABC. ST — катет в прямоугольном треугольнике RST.
3. BA в прямоугольном треугольнике ABC соответствует SR в прямоугольном треугольнике RST. BC в прямоугольном треугольнике ABC соответствует ST в прямоугольном треугольнике RST.

Пример 1

Дано: в треугольнике ABC, AB = AC. AD — биссектриса угла BAC. Доказательство: BD = CD

Проба

, поскольку AD является биссектрисой угла BAC (данного),

, поэтому угол 1 = угол 2 (свойство биссектрисы угла)

В треугольнике BAD и треугольнике CAD,

, поскольку AB = AC (дано), угол 1 = угол 2, AD в треугольнике BAD = AD в треугольнике CAD,

, поэтому треугольник BAD конгруэнтен треугольнику CAD (Постулат SAS)

, поэтому BD = CD (в двух равных треугольниках равные углы противоположны конгруэнтным сторонам.)

Примечание: 1. AB и AC — пара соответствующих сторон. угол 1 и угол 2 представляют собой пару соответствующих углов. AD является общей стороной как в треугольнике BAD, так и в треугольнике CAD.
2. Угол 1 напротив BD и угол 2 напротив CD. Когда треугольник BAD и треугольник CAD равны, а угол 1 = угол 2, BD = CD (равные углы противоположны конгруэнтным сторонам).
3. В равных треугольниках соответствующие углы равны и соответствующие стороны равны.

Пример 2

Дано: AB перпендикулярно BE, а AC перпендикулярно CE. Если AB = AC, докажите BE = CE.

Решение

Поскольку AB перпендикулярно BE (дано), треугольник ABE является прямоугольным, а угол B = 90 ^o

Поскольку AC перпендикулярен CE (дано), треугольник ACE является прямоугольным и имеет угол C = 90 ^o

В прямоугольном треугольнике ABE и прямоугольном треугольнике ACE,

, поскольку AB = AC (дано), AE в прямоугольном треугольнике ABE = AE в прямоугольном треугольнике ACE (общая сторона)

, поэтому прямоугольный треугольник ABE конгруэнтен прямоугольному треугольнику ACE (теорема LH)

, поэтому BE = CE (В двух равных треугольниках соответствующие стороны равны.)

Примечание: 1. AB и AC — пара соответствующих сторон. AE в прямоугольном треугольнике ABE и AE в прямоугольном треугольнике ACE — пара соответствующих сторон. Угол B и угол C — это пара соответствующих углов.
2. В конгруэнтных треугольниках ABE и ACE, BE и CE — пара соответствующих сторон. 3. соответствующие части двух равных треугольников равны.

Пример 3

На рисунке ниже, если угол ABC = угол ACB, а AD = AE.Докажите, что BE = CD.

Проба

Поскольку угол ABC = угол ACB (данный), поэтому AB = AC (В треугольнике равные углы противоположны конгруэнтным сторонам).

В треугольнике ABE и треугольнике ACD,

, поскольку AB в треугольнике ABE = AC в треугольнике ACD,

угол A в треугольнике ABE = угол A в треугольнике ACD (общий угол),

AE в треугольнике ABE = AD в треугольнике ACD (дано),

, поэтому треугольник ABE конгруэнтен треугольнику ACD (постулат SAS)

, поэтому BE в треугольнике ABE = CD в треугольнике ACD (В двух равных треугольниках конгруэнтные углы противоположны конгруэнтным сторонам.)

Примечание: 1. В треугольнике ABC угол ABC противоположен AC, а угол ACB противоположен AB. Поскольку угол ABC = угол ACB, значит, AC = AB. 2. AB в треугольнике ABE и AC в треугольнике ACD — пара соответствующих
стороны. Угол A в треугольнике ABE и угол A в треугольнике ACD — это пара соответствующих углов. AE в треугольнике ABE и AD в треугольнике ACD — пара соответствующих сторон.
3. соответствующие части двух равных треугольников равны.

Пропорциональность в похожих треугольниках: межкультурное сравнение

Ниже приводится последовательность упражнений для учащихся.

(a) Для подобных прямоугольных треугольников ABC и DEF ниже пусть b ₁ будет длиной AB , b ₂ длиной DE , h ₁ у CB и h ₂ у FE (рисунок 6).

Рисунок 6: Подобные прямоугольные треугольники.

По определению подобных треугольников, A \ (\ cong \) ∠ D , ∠ B \ (\ cong \) ∠ E , ∠ C \ (\ cong \) ∠ F . Что касается части (а), примите во внимание, что оба ∠ B и ∠ E являются прямыми углами. Докажите, что

следующим образом. Поместите точку D на точку C так, чтобы точки A , C и F были коллинеарны (рисунок 7).

Рисунок 7: Расположение треугольников.

Дублируйте треугольник ABC , чтобы сформировать треугольник AJC , и дублируйте треугольник DEF , чтобы сформировать треугольник DLF , изображенный ниже (Рисунок 8).

Рисунок 8: Дублированные треугольники.

Почему ∠ JAB и ∠ EFL имеют прямые углы? Объясните, почему линии AJ и FL , если их удлинить, будут пересекаться под прямым углом.Также объясните, почему линии AB и FE , если их удлинить, будут пересекаться под прямым углом. Пусть K и M будут этими двумя точками пересечения соответственно. Нарисуйте получившийся прямоугольник AKFM и примените принцип включения-исключения, чтобы найти алгебраическое выражение для площади подпрямоугольников KLCJ и DEMB в терминах b ₁ , b ₂ , часов ₁ , часов ₂ .Что можно сделать из полученного уравнения?

(b) В треугольнике ABC и треугольнике DEF (рисунок 6) пусть d ₁ будет длиной AC , а d ₂ будет длиной DF . Используйте теорему gou-gu (пифагора) и результат части (a), чтобы алгебраически доказать, что

(c) Разработайте версию принципа включения-исключения, которая применяется к произвольному параллелограмму ABCD (рисунок 9).

Рисунок 9: Параллелограмм ABCD .

Начните с построения диагонали DB и выбора точки H вдоль диагонали.

(d) Пусть треугольник ABC и треугольник DEF будут произвольными подобными треугольниками (не обязательно прямоугольными) с ∠ A \ (\ cong \) ∠ D , ∠ B \ (\ cong \) ∠ E , ∠ C \ (\ cong \) ∠ F (Рисунок 10).

Рисунок 10: Произвольные похожие треугольники.

Пусть b ₁ будет длиной AB , b ₂ длиной DE , s ₁ длиной CB и s ₂ длина FE . Докажите, что

, используя любую из описанных ниже стратегий.

1. Примените принцип включения-исключения для произвольного параллелограмма.Что произойдет, если треугольник ABC и треугольник DEF являются острыми треугольниками? тупые треугольники?

2. Постройте перпендикулярные высоты в треугольниках и примените части (a) и (b). Что произойдет, если треугольник ABC и треугольник DEF являются острыми треугольниками? тупые треугольники?

(e) Докажите теорему гоу-гу (Пифагора) как еще одно применение принципа включения-исключения по стопам древних китайцев.Для прямоугольного треугольника ABC с прямым углом ∠ B пусть a будет длиной AB , b длиной CB и c длиной AC. W e хочу доказать, что

Сначала рассмотрим случай равнобедренного прямоугольного треугольника, где a = b . Дублируя треугольник ABC четыре раза, постройте квадрат ACDE (рисунок 11).

Рисунок 11: Квадрат ACDE с a = b .

Объясните, почему площадь этого квадрата c ² . Используя площадь треугольника ABC , объясните, почему квадрат ACDE также имеет площадь

.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с b > a . Снова постройте квадрат ACDE со стороной c (рисунок 12).

Рисунок 12: Квадрат ACDE с b > a.

Объясните, почему у внутреннего квадрата длина стороны b — a .Исключив этот внутренний квадрат из внешнего квадрата, найдите выражение для

, используя два метода, один алгебраический, а другой геометрический, исходя из площади четырех оставшихся треугольников. Какие результаты после приравнивания этих двух выражений?

Дополнительный балл A: проверьте метод chong cha , продемонстрировав, что на рисунке 3 у нас

, где h — длина AS , d длина SN , a ₁ длина SB и ₂ длина ND .Подсказка: проведите линию CK параллельно AB и рассмотрите две пары похожих треугольников: треугольники PRA и ASB и треугольники PAC и CKD .

Дополнительный кредит B: Прочтите и изучите Предложение I.43 из первой книги Евклида Элементов . Сравните использование строгости Евклидом в доказательстве I.43 с более интуитивным применением принципа «вход-выход» для прямоугольника на рисунке 5. Подумайте, почему Евклид не использовал I.43, чтобы доказать VI.4. Что могло помешать древним грекам разработать алгебру действительных чисел, которая позволила бы переносить результаты, подобные I.43, в ситуации, подобные VI.4? Какие препятствия создают несоизмеримые величины при построении действительной системы счисления?

Видео с вопросом: Как понять, похожи ли треугольники или конгруэнтны после расширения

Стенограмма видеозаписи

Треугольник 𝐴𝐵𝐶 был расширен от центра 𝑃 с масштабным коэффициентом три до треугольника 𝐴 простого 𝐵 простого 𝐶 простого.Подобны ли треугольники 𝐴𝐵𝐶 и 𝐴 простые 𝐵 простые 𝐶 простые числа? Конгруэнтны ли треугольники 𝐴𝐵𝐶 и простые простые 𝐶 простые?

В этом вопросе нам говорят, что есть треугольник 𝐴𝐵𝐶. Мы не знаем, как это выглядит, но нам сказали, что есть центр 𝑃 и что 𝐴𝐵𝐶 расширен в три раза вокруг этого центра. Итак, давайте посмотрим, сможем ли мы смоделировать этот треугольник. Возьмем квадратную бумагу и нарисуем любой треугольник 𝐴𝐵𝐶. В этом треугольнике основание составляет две единицы, а высота — три единицы.Мы можем нарисовать точку 𝑃 где угодно, поскольку нам не говорят, где она находится. Итак, давайте нарисуем его здесь, в левой части треугольника.

Когда мы выполняем растяжение, мы берем каждую вершину по очереди и смотрим на нее относительно центра. Точка 𝐴 находится в двух единицах от центра. Таким образом, изображение 𝐴 prime будет в три раза больше расстояния от центра, что означает, что оно будет на шесть единиц вправо. 𝐵 Prime находится на две единицы вправо и на три единицы ниже от центра. Следовательно, простое изображение будет на расстоянии в три раза больше от центра.Таким же образом мы можем найти образ, который будет простым.

Давайте посмотрим на стороны этого нового треугольника 𝐴 простое число 𝐵 простое число 𝐶 простое число. Даже не рисуя этот новый треугольник, мы должны помнить, что при увеличении масштабного коэффициента в три, каждая из новых длин будет в три раза больше исходной длины. Когда у нас есть расширение, все соответствующие пары углов будут одного размера.

Давайте подумаем над первым вопросом, который спрашивает, похожи ли эти два треугольника.Неформально можно сказать, что подобное означает одинаковую форму. Лучшее математическое определение состоит в том, что одинаковые формы будут иметь соответствующие углы, а соответствующие стороны пропорциональны. Итак, если мы посмотрим на наши два треугольника, мы уже увидим, что соответствующие углы равны. Но пропорциональны ли стороны? Ну, да, потому что мы знаем, что треугольник 𝐴 простое 𝐵 простое 𝐶 простое число будет иметь стороны в три раза длиннее, чем у треугольника.

Затем мы можем ответить на первую часть этого вопроса: да, эти два треугольника будут похожи.

Во второй части этого вопроса нас спрашивают, совпадают ли эти треугольники. Неформально можно сказать, что конгруэнтные треугольники будут одной формы и одного размера. Наше математическое определение конгруэнтности состоит в том, что соответствующие пары углов равны и соответствующие стороны равны. Мы знаем, что у нас есть соответствующие углы, равные в наших двух треугольниках. Но равны ли стороны? Ну, нет, это не так, потому что мы уже показали, что треугольник 𝐴 простое 𝐵 простое 𝐶 простое число имеет стороны в три раза длиннее, чем у треугольника.

Следовательно, ответ на вторую часть этого вопроса отрицательный, поскольку эти два треугольника не совпадают.

.