Уравнение модуль: Уравнения с модулями. Модули

Содержание

Урок 4: Уравнения с модулем

План урока:

Модуль числа

Решение уравнений с модулем

Уравнения с параметрами

 

Модуль числа

Напомним, что такое модуль числа. Так называют значение числа, взятое без учета его знака. То есть модуль чисел 9 и (– 9) одинаков и равен 9. Для обозначения модуля применяют специальные прямоугольные скобки:

|9| = |– 9| = 9

|674| = |– 674| = 674

|2,536| = |– 2,536| = 2,536

Грубо говоря, операция нахождения модуля сводится к отбрасыванию у числа знака «минус», если он у него есть. Вообще, если число х неотрицательно, то его модуль |х| = х. Если же число отрицательно, то его модуль имеет противоположное значение: |х| = х. Математически это можно записать так:

Именно такое определение обычно и применяется в математике.

Модуль играет важную роль в математике. Дело в том, с его помощью удобно записывать расстояние между двумя точками на координатной прямой. Пусть на ней отмечены точки a и b. Расстояние между ними равно |a – b|, причем неважно, какое из этих чисел больше, а какое меньше:

Также модуль возникает при извлечении квадратного корня из четной степени числа:

В частности, если n = 1, получим формулу:

Для того чтобы получить график функции у = |x|, сначала надо построить график функции без учета знака модуля:

Далее следует выполнить преобразование. Те точки графика, которые располагаются выше оси Ох, остаются на своем месте. В данном случае это та часть графика, которая находится в I четверти. Те же точки, которые располагаются ниже оси Ох, должны быть симметрично (относительно этой самой оси Ох) отображены. В результате они окажутся выше оси Ох:

В результате получилась «галочка».

Пример. Постройте график ф-ции у = |х2 – 4х + 3|

Решение. Для построения графика функции, содержащей модуль, сначала надо построить график для «подмодульного» выражения. Поэтому построим график у = х2 – 4х + 3. Это квадратичная ф-ция, ее график – это парабола:

Часть графика, в промежутке от 1 до 3, находится ниже оси Ох. Чтобы построить ф-цию у = |х2 – 4х + 3|, надо перевернуть эту часть графика:

Решение уравнений с модулем

Изучим простейший случай уравнения, содержащего модуль, когда вся его слева записано выр-ние в модульных скобках, а справа находится число. То есть уравнение имеет вид

|у(х)| = b

где b – какое-то число, а у(х) – произвольная ф-ция.

Если b< 0, то ур-ние корней не имеет, ведь модуль не может быть отрицательным.

 

Пример. Найдите корни ур-ния

|125x10 + 97x4– 12,56х3 + 52х2 + 1001х – 1234| = – 15

Решение: Справа стоит отрицательное число. Однако модуль не может быть меньше нуля. Это значит, что у ур-ния отсутствуют корни.

Ответ: корни отсутствуют.

Если b = 0, то мы получим какое-то произвольное ур-ние у(х) = 0, у которого могут быть корни. Проще говоря, модульные скобки в таком случае можно просто убрать.

 

Пример. Решите ур-ние

|13х – 52| = 0

Решение.

Ясно, что подмодульное выр-ние равно нулю:

13х – 52 = 0

13х = 52

х = 4

Ответ: 4.

Наиболее интересен случай, когда b> 0, то есть в правой части стоит положительное число. Ясно, что тогда под модулем находится либо само это число b, либо противоположное ему число – b:

|b| = b

|– b| = b

То есть мы получаем два различных ур-ния: у(х) = bи у(х) = – b.

 

Пример. Решите ур-ние

|х| = 10

Решение. В правой части – положительное число, поэтому либо х = – 10, либо х = 10.

Ответ: 10; (– 10).

 

Пример. Решите ур-ние

|10х + 5| = 7

Решение. Исходное ур-ние разбивается на два других ур-ния:

10х + 5 = 7 или 10х + 5 = – 7

10х = 2 или 10х = – 12

х = 0,2 или х = – 1,2

Ответ: 0,2; (– 1,2).

 

Пример. Найдите корни ур-ния

|x2– 2х – 4| = 4

Решение. Снова заменим исходное равенство на два других:

x2– 2х – 4 = 4 или x2– 2х – 4 = – 4

Имеем два квадратных ур-ния. Решим каждое из них:

x2– 2х – 4 = 4

x2– 2х – 8 = 0

D = b2– 4ас = (– 2)2 – 4•1•(– 8) = 4 + 32 = 36

х1 = (2 – 6)/2 = – 2

х2 = (2 + 6)/2 = 4

Нашли корни (– 2) и 4. Решаем второе ур-ние:

x2– 2х – 4 = – 4

x2– 2х = 0

х(х – 2) = 0

х = 0 или х – 2 = 0

х = 0 или х = 2

Получили ещё два корня: 0 и 2.

Ответ: – 2, 4, 0, 2

Встречаются случаи, когда в уравнении, содержащем знак модуля, под ним находятся обе части равенства:

|у(х)| = |g(x)|

Здесь возможны два варианта. Либо подмодульные выр-ния равны друг другу (у(х) = g(x)), либо у них противоположные значения (у(х) = – g(x)). То есть снова надо решить два ур-ния.

 

Пример. Решите ур-ние

|x2 + 2x– 1| = |х + 1|

Решение. Выр-ния справа и слева (без знака модуля) либо равны, либо противоположны. Можно составить два ур-ния:

x2 + 2x– 1 = х + 1 или x2 + 2x– 1 = – (х + 1)

х2 + х – 2 = 0 или х2 + 3х = 0

Решим 1-ое ур-ние:

х2 + х – 2 = 0

D = b2– 4ас = 12 – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9

х1 = (1 – 3)/2 = – 1

х2 = (1 + 3)/2 = 2

Теперь переходим ко 2-омуур-нию:

х2 + 3х = 0

х(х + 3) = 0

х = 0 или х + 3 = 0

х = 0 или х = – 3

Всего удалось найти 4 корня: (– 1), (– 2), 2 и 0.

Ответ:(– 1), (– 2), 2, 0.

Возможен случай, когда в левой части равенства находится модуль выр-ния, а в правой – обычное выражение, без модуля. Такое ур-ние имеет вид |у(х)| = g(x). Здесь также возможны два варианта: у(х) = g(x) или у(х) = – g(x). Однако следует учитывать ещё один факт. Модуль не может быть отрицательным, а потому должно выполняться нер-во g(x)⩾ 0. Но это неравенство не надо решать. Достаточно просто подставить в него все полученные корни и проверить, справедливо ли нер-во.

Пример. Найдите решение уравнения, содержащего модуль:

2 + 3,5х – 20| = 4,5х

Решение. Рассмотрим два отдельных равенства:

х2 + 3,5х – 20 = 4,5х илих2 + 3,5х – 20 = – 4,5х

х2 – х – 20 = 0 или х2 + 8х – 20 = 0

Решим каждое из полученных квадратных ур-ний.

х2 – х – 20 = 0

D = b2– 4ас = 12 – 4•1•(– 20) = 1 + 80 = 81

х1 = (1 – 9)/2 = – 4

х2 = (1 + 9)/2 = 5

х2 + 8х – 20 = 0

D = b2– 4ас = 82 – 4•1•(– 20) = 64 + 80 = 144

х3 = (– 8 – 12)/2 = – 10

х4 = (– 8 + 12)/2 = 2

Итак, получили 4 корня: (– 4), 5, (– 10) и 2. Однако правая часть исходного ур-ния, 4,5x, не может быть отрицательной, ведь модуль числа – это всегда неотрицательная величина:

4,5х ≥ 0

Для х = – 4 и х = – 10 это условие не выполняется, поэтому эти корни должны быть исключены.

Ответ: 2 и 5

Мы рассмотрели три случая, когда ур-ние имеет вид:

  1. у(х) = b (b– это некоторая константа)
  2. |у(х)| = |g(x)|
  3. |у(х)| = g(x)

Однако порою ур-ние не удается свести ни к одному из этих видов. Тогда для решения уравнений и неравенств, содержащих модуль, следует рассматривать их на отдельных интервалах, где подмодульные выр-ния не изменяют свой знак.

 

Пример. Найдите корни ур-ния

|x + 1| + |x– 4| = 6

Решение. Выр-ния х + 1 и х – 4 меняют знак при переходе через точки (– 1) и 4:

Если отметить обе точки на прямой, то они образуют на ней 3 интервала:

Исследуем ур-ние на каждом из полученных промежутков.

Так как при х <– 1 оба подмодульные выр-ния отрицательны, то можно записать, что

|x + 1| = – (х + 1) = – х – 1

|x– 4| = – (х – 4) = – х + 4

Тогда ур-ние примет вид

|x + 1| + |x– 4| = 6

– х – 1 – х + 4 = 6

–2х = 3

х = – 1,5

Это значение удовлетворяет условию х <– 1, поэтому корень верный.

Далее изучим случай, когда х∊[– 1; 4). Здесь отрицательно только выражение x– 4, поэтому модули заменяются так:

|x + 1| = х + 1

|x– 4| = – (х – 4) = – х + 4

Ур-ние примет вид:

|x + 1| + |x– 4| = 6

x + 1 – x+ 4 = 6

5 = 6

Получили неверное тождество. Получается, что на промежутке [– 1; 4) корней нет.

При х ≥4 выр-ния х – 4 и х + 1 положительны, поэтому

|x + 1| = х + 1

|x– 4| = х – 4

Исходное ур-ние будет выглядеть так

|x + 1| + |x– 4| = 6

х + 1 + х – 4 = 6

2х = 9

х = 4,5

Найденный корень удовлетворяет условию х ≥4, поэтому он также должен быть включен в ответ.

 

Уравнения с параметрами

Изучим ур-ния:

5х = 10

5х = 15

5х = 20

Для решения каждого из них надо число справа поделить на 5 (множитель перед х). В итоге получаем значения х, равные 2, 3 и 4.

Теперь обозначим число в правой части буквой, например, как v. Тогда все эти ур-ния будут выглядеть одинаково:

5х = v

Решением таких ур-ний будет дробь v/5.

Надо понимать разный смысл, который мы вкладываем при этом в буквы х и v. Через х мы обозначили переменную, то есть ту величину, значение которой необходимо найти. Под буквой подразумевалась заранее известная величина, то есть константа, которая известна заранее в каждом конкретном ур-нии. Такую величину называют параметром, а ур-ние 5х = v называют уравнением с параметром.

Изучая уравнение с параметром, мы рассматриваем не одно конкретное ур-ние, а сразу целую группу, или семейство ур-ний. Например, все ур-ния первой степени можно описать в виде

ах + b= 0

где х – это переменная величина, а числа а, b– это параметры. Для описания квадратного ур-ния в общем виде необходимы уже три параметра (а, b и с):

ах2 + bx + c = 0

Параметры встречаются не только при описании ур-ний, но и, например, при рассмотрении функций. Так, линейная функция задается формулой у = kx + b. Здесь числа k и b являются параметрами. Так как ур-ние у = kx + b задает на плоскости прямую линию, то величины k и b порою называют параметрами уравнения прямой.

Если при решении обычного ур-ния мы определяем значение его корней в виде конкретных чисел, то при решении ур-ний с параметром находят формулу, позволяющую при заданном значении параметра вычислить значение корня.

 

Пример. Решите ур-ние

х2 – 2ах = 0

и найдите его корни при значении параметра а, равном 3.

Решение. Вынесем множитель х за скобки:

х2 – 2ах = 0

х(х – 2а) = 0

х = 0 или х – 2а = 0

х = 0 или х = 2а

Получили, что при любом значении параметра а ур-ние имеет два корня. Один из них равен нулю при любом значении а, а второй вычисляется по формуле х = 2а:

при а = 3х = 2•3 = 6

Ответ: есть два корня – 0 и 2а. При а = 2 корни равны 0 и 6.

 

Пример. Решите ур-ние

р2х – 3рх = р2 – 9

Решение. Слева вынесем за скобки множитель рх, а выр-ние справа преобразуем, используя формулу разности квадратов:

рх(р – 3) = (р – 3)(р + 3)

Возникает желание поделить обе части рав-ва на р(р – 3), чтобы выразить х. Однако сразу так делать нельзя, ведь если величина р(р – 3) равна нулю, то получится деление на ноль.

Поэтому сначала изучим случаи, когда один из множителей слева равен нулю. Если р = 0, то мы получим рав-во

0•х•(0 – 3) = (0 – 3) (3 – 0)

0 = – 9

Это неверное тождество, а потому при р = 0 ур-ние корней не имеет.

Если р – 3 = 0, то есть р = 3, получится следующее

3•х•0 = 0•(3 + 3)

0 = 0

Это равенство верно при любом х. Значит, при р = 3 корнем ур-ния является любое число.

Если же р≠ 0 и р ≠ 3, то произведение р(р – 3) также не равно нулю, а потому обе части равенства можно поделить на р(р – 3). Тогда получим

В этом случае ур-ние имеет единственный корень.

Ответ: при р = 0 корней нет; при р = 3 корнем является любое число; при других рх = (р + 3)/р.

Часто в задаче требуется не выразить корень ур-ния через параметр, а лишь оценить количество корней ур-ния или диапазон их значений.

 

Пример. Сколько корней имеет ур-ние

2 – 6х + 5| = b

при различных значениях параметра b.

Решение. Будем решать ур-ние графическим методом. Для этого сначала построим график у = |х2 – 6х + 5|. В модульных скобках находится обычная квадратичная функция, чьи ветви смотрят вверх. Найдем нули функции:

х2 – 6х + 5 = 0

D = b2– 4ас = (– 6)2 – 4•1•5 = 36 + 20 = 16

х1 = (6 – 4)/2 = 1

х2 = (6 + 4)/2 = 5

Итак, нули ф-ции – это точки 1 и 5. Найдем координату х0 вершины параболы по формуле:

х0 = –b/2a = 6/2 = 3

Подставив х0 в квадратичную ф-цию найдем координату у0 вершины параболы:

32 – 6•3 + 5 = 9 – 18 + 5 = – 4

Теперь построим квадратичную ф-цию:

Для построения графика, содержащего модуль функции, надо отобразить точки с отрицательными ординатами (они находятся ниже оси Ох) симметрично относительно оси Ох:

Мы построили график левой части ур-ния. График правой части представляет собой горизонтальную прямую у = b. Можно выделить 5 различных случаев взаимного расположения этих графиков:

При b< 0 прямая пролегает ниже графика. Общих точек у графиков нет, а потому ур-ние корней не имеет.

При b = 0 прямая у = 0 касается графика в 2 точках: (1; 0) и (5; 0). Получаем 2 корня.

Если 0 <b< 4, то прямая пересекает график в 4 точках.

При b = 4 прямая у = 4 касается перевернутой вершины параболы, а также пересекает ветви ещё в 2 точках. Итого 3 корня.

Наконец, при b>4 есть горизонтальная прямая пересекает график лишь в 2 точках, то есть получаем 2 корня.

Ответ: нет корней при b< 0; 2 корня при b = 0 и b> 4; 3 корня при b = 4; 4 корня при 0 <b< 4.

Пример. При каком а ур-ние

х4 – (а + 2)х2 + 3а – 3 = 0

имеет ровно 4 корня?

Решение. Это ур-ние является биквадратным, то есть для его решения нужно произвести замену у = х2:

у2 – (а + 2)у + 3а – 3 = 0 (1)

Для того, чтобы исходное ур-ние имело 4 корня, необходимо, чтобы у квадратного уравнения с параметром(1) было два положительных корня: у1 и у2. Тогда, проводя обратную замену х2 = у1 и х2 = у2, мы получим два разных квадратных ур-ния, корни которых будут равны

Если же хоть один из двух корней, например, у1, окажется равным нулю, то величины

Совпадут (они обе будут равны нулю), и останется лишь 3 корня. Если же у1 будет отрицательным числом, то ур-ние

х2 = у1

вовсе не будет иметь решений, и тогда останется не более 2 корней.

Итак, решим ур-ние (1):

у2 – (а + 2)у + 3а – 3 = 0

D = b2– 4ас = (– (а + 2))2 – 4•1•(3а – 3) = (а + 2)2 – 12 а + 12 =

= а2 + 4а + 4 – 12а + 12 = а2 – 8а + 16 = а2 – 2•4•а + 42 = (а – 4)2

Чтобы у ур-ния (1) было два различных корня, дискриминант должен быть положительным. Величина (а – 4)2 положительна при всех значениях а, кроме а = 4, которое обращает дискриминант в ноль. Значит, а ≠ 4.

Извлечем корень из дискриминанта:

Корни ур-ния (1) можно вычислить по формулам:

И у1, и у2 должны быть положительными величинами, однако у1 меньше, чем у2 (ведь для его вычисления дискриминант брали со знаком «минус», а не «плюс»). Поэтому достаточно записать нер-во:

Получили неравенство, содержащее модуль. Для избавления от модульных скобок в нер-ве рассмотрим 2 случая. Если а – 4>0, то есть а > 4, выполняется равенство

|а – 4| = а – 4

Тогда имеем

а + 2 – (а – 4) > 0

6> 0

Это нер-во выполняется при любом допустимом значении а, поэтому при а >4 исходное ур-ние имеет 4 корня.

Если а < 4, то справедливо соотношение

|а – 4| = – (а – 4)

Тогда получится следующее:

а + 2 – |а – 4|> 0

а + 2 – (– (а – 4)) > 0

а + 2 + а – 4 > 0

2а > 2

а > 1

Итак, при условии, что а< 4, должно выполняться нер-во а > 1. Это значит, что а∊(1; 4). С учетом первого случая, при котором было получено решение

а > 4

можно записать окончательный ответ: а∊(1; 4)∪(4; + ∞).

Ответ: а∊(1; 4)∪(4; + ∞).

 

Пример. При каких параметрах а у ур-ния

х2 – 2(а + 1)х + а2 + 2а – 3 = 0

существует два корня, которые принадлежат интервалу (– 5; 5)?

Решение. Данное ур-ние является квадратным. Найдем его дискриминант:

D = b2– 4ас = (– 2(а + 1))2 – 4•1•( а2 + 2а – 3) = 4(а2 + 2а + 1) – 4(а2 + 2а – 3) =

= 4(а2 + 2а + 1 – а2– 2а + 3) = 4•4 = 16

Получаем, что при любом а дискриминант положителен, а потому уур-ния 2 корня. Вычислить их можно по формулам

Для того, чтобы оба решения уравнения с параметром принадлежали интервалу (– 5; 5), нужно, чтобы меньший из них (это х1) был больше – 5, больший (это х2) – меньше – 5:

Значит, должны выполняться два нер-ва

х1>– 5и х2<5

а – 1 >– 5 и а + 3 < 5

а >– 4 и а < 2

Эти два нер-ва выполняются, если а∊(– 4; 2)

Ответ: (– 4; 2)

 

Простейшие уравнения с модулем.

Тест

Определение. Геометрический смысл

 

Модуль (или абсолютная величина)   числа   (обозначается как )— неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа  

А именно:

Мы будем называть данное правило правилом раскрытия модуля.

Например, так как , попадаем в первую строку (ситуацию).

так как попадаем во вторую ситуацию.

С геометрической точки зрения,  – есть расстояние между числом   и началом координат.

Решением уравнения, например,  являются числа и , потому что расстояние от точки координатной прямой до нуля равно , и расстояние от точки   до нуля также равно 6.

|| с геометрической точки зрения означает расстояние между точками и .

 

Полезные примеры

 

1) Раскрыть модуль:

Так как больше, чем , то , а значит согласно правилу раскрытия модуля.

2) Раскрыть модуль:

Так как больше нуля при всех значениях , то согласно правилу раскрытия модуля.

3) Раскрыть модуль:

Так как , то , а значит, согласно правилу раскрытия модуля.

Решение уравнений

 

1) Решить уравнение .

Модуль – всегда неотрицательная величина, поэтому уравнение решений не имеет.

Ответ: { }

2) Решить уравнение: .

Модуль раскрывается таким образом в случае, когда  .

Ответ:

3) Решить уравнение:

Согласно геометрическому смыслу модуля левая и правая части равенства представляют из себя одно и то же.

Ответ:

4)  Решить уравнение:

Раскрываем модуль согласно правилу раскрытия модуля:

а)

Имеем: ,     

Откуда .

Поскольку мы находимся в ситуации , то подходит только корень .

б)

Имеем: ,    

Откуда или .

Поскольку мы находимся в ситуации , то ни один корень из найденных в пункте (б) нам не подходит.

Ответ: .

Коротко можно было бы решение оформить так:

5) Решить уравнение:

Раскрываем модуль согласно правилу раскрытия модуля:

a) Первый случай:

Что равносильно .

б) Второй случай:

Что равносильно

Ответ:

6) Решить уравнение:

Можно было бы действовать согласно правилу раскрытия модуля, но проще будет в данном случае рассуждать так:

Внутри модуля может «скрываться» как так и .

Поэтому или

или

Из первого уравнения или , а второе уравнение корней не имеет.

Ответ:

 

7) Решить уравнение:

Раскрываем модуль согласно правилу раскрытия модуля:

а) Первый случай:

Рассмотрим отдельно первую строку системы:

Рассмотрим уравнение из системы:

или

Разложим на множители левую часть уравнения способом группировки, предварительно разбив среднее слагаемое на два:

Откуда (трехчлен в скобках корней не имеет).

Данный корень удовлетворяет первой строке системы, он пойдет  в ответ.

б) Второй случай:

Решение неравенства системы:

Корень удовлетворяет решению неравенства системы.

Собираем решения.

Ответ:

 

Также, смотрите «Модуль. Простейшие неравенства с модулем» здесь.

Вы можете пройти тест  по теме «Модуль. Раскрытие модуля. Простешие уравнения с модулем»

Как решать простые уравнения с модулем. Что такое модуль числа в математике. Основные понятия и свойства

Инструкция

Если модуль представлен в виде непрерывной функции, то значение ее аргумента может быть как положительным, так и отрицательным: |х| = х, х ≥ 0; |х| = — х, х

Модуль нулю, а модуль любого положительного числа – ему . Если аргумент отрицательный, то после раскрытия скобок его знак меняется с минуса на плюс. На основании этого вытекает вывод, что модули противоположных равны: |-х| = |х| = х.

Модуль комплексного числа находится по формуле: |a| = √b ² + c ², а |a + b| ≤ |a| + |b|. Если в аргументе присутствует в виде множителя положительное число, то его можно вынести за знак скобки, например: |4*b| = 4*|b|.

Если аргумент представлен в виде сложного числа, то для удобства вычислений допускается порядка членов выражения, заключенного в прямоугольные скобки: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, поскольку (2-3) меньше нуля.

Возведенный в степень аргумент одновременно находится под знаком корня того же порядка – он решается при помощи : √a² = |a| = ±a.

Если перед вами задача, в которой не указано условие раскрытия скобок модуля, то избавляться от них не нужно – это и будет конечный результат. А если требуется их раскрыть, то необходимо указать знак ±. Например, нужно найти значение выражения √(2 * (4-b)) ². Его решение выглядит следующим образом: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Поскольку знак выражения 4-b неизвестен, то его нужно оставить в скобках. Если добавить дополнительное условие, например, |4-b| >

Модуль нуля равен нулю, а модуль любого положительного числа – ему самому. Если аргумент отрицательный, то после раскрытия скобок его знак меняется с минуса на плюс. На основании этого вытекает вывод, что модули противоположных чисел равны: |-х| = |х| = х.

Модуль комплексного числа находится по формуле: |a| = √b ² + c ², а |a + b| ≤ |a| + |b|. Если в аргументе присутствует в виде множителя целое положительное число, то его можно вынести за знак скобки, например: |4*b| = 4*|b|.

Отрицательным модуль быть не может, поэтому любое отрицательное число преобразуется в положительное: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2,5.

Если аргумент представлен в виде сложного числа, то для удобства вычислений допускается изменение порядка членов выражения, заключенного в прямоугольные скобки: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, поскольку (2-3) меньше нуля.

Если перед вами задача, в которой не указано условие раскрытия скобок модуля, то избавляться от них не нужно – это и будет конечный результат. А если требуется их раскрыть, то необходимо указать знак ±. Например, нужно найти значение выражения √(2 * (4-b)) ². Его решение выглядит следующим образом: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Поскольку знак выражения 4-b неизвестен, то его нужно оставить в скобках. Если добавить дополнительное условие, например, |4-b| > 0, то в итоге получится 2 * |4-b| = 2 *(4 — b). В качестве неизвестного элемента также может быть задано конкретное число, которое следует принимать во внимание, т.к. оно будет влиять на знак выражения.

Одна из самых сложных тем для учащихся – это решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля. Давайте разберемся для начала с чем же это связано? Почему, например, квадратные уравнения большинство детей щелкает как орешки, а с таким далеко не самым сложным понятием как модуль имеет столько проблем?

На мой взгляд, все эти сложности связаны с отсутствием четко сформулированных правил для решения уравнений с модулем. Так, решая квадратное уравнение, ученик точно знает, что ему нужно сначала применять формулу дискриминанта, а затем формулы корней квадратного уравнения. А что делать, если в уравнении встретился модуль? Постараемся четко описать необходимый план действий на случай, когда уравнение содержит неизвестную под знаком модуля. К каждому случаю приведем несколько примеров.

Но для начала вспомним определение модуля
. Итак, модулем числа a
называется само это число, если a
неотрицательно и -a
, если число a
меньше нуля. Записать это можно так:

|a| = a, если a ≥ 0 и |a| = -a, если a

Говоря о геометрическом смысле модуля, следует помнить, что каждому действительному числу соответствует определенная точка на числовой оси – ее координата. Так вот, модулем или абсолютной величиной числа называется расстояние от этой точки до начала отсчета числовой оси. Расстояние всегда задается положительным числом. Таким образом, модуль любого отрицательного числа есть число положительное. Кстати, даже на этом этапе многие ученики начинают путаться. В модуле может стоять какое угодно число, а вот результат применения модуля всегда число положительное.

Теперь перейдем непосредственно к решению уравнений.

1.
Рассмотрим уравнение вида |x| = с, где с – действительное число. Это уравнение можно решить с помощью определения модуля.

Все действительные числа разобьем на три группы: те, что больше нуля, те, что меньше нуля, и третья группа – это число 0. Запишем решение в виде схемы:

{±c, если с > 0

Если |x| = c, то x = {0, если с = 0

{нет корней, если с

1) |x| = 5, т.к. 5 > 0, то x = ±5;

2) |x| = -5, т.к. -5

3) |x| = 0, то x = 0.

2. Уравнение вида |f(x)| = b, где b > 0. Для решения данного уравнения необходимо избавиться от модуля. Делаем это так: f(x) = b или f(x) = -b. Теперь необходимо решить отдельно каждое из полученных уравнений. Если в исходном уравнении b

1) |x + 2| = 4, т.к. 4 > 0, то

x + 2 = 4 или x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, т.к. 11 > 0, то

x 2 – 5 = 11 или x 2 – 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 нет корней

3) |x 2 – 5x| = -8 , т. к. -8

3.
Уравнение вида |f(x)| = g(x). По смыслу модуля такое уравнение будет иметь решения, если его правая часть больше или равна нулю, т.е. g(x) ≥ 0. Тогда будем иметь:

f(x) = g(x)
или f(x) = -g(x)
.

1) |2x – 1| = 5x – 10. Данное уравнение будет иметь корни, если 5x – 10 ≥ 0. Именно с этого и начинают решение таких уравнений.

1. О.Д.З. 5x – 10 ≥ 0

2. Решение:

2x – 1 = 5x – 10 или 2x – 1 = -(5x – 10)

3. Объединяем О.Д.З. и решение, получаем:

Корень x = 11/7 не подходит по О.Д.З., он меньше 2, а x = 3 этому условию удовлетворяет.

Ответ: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2 .

1. О.Д.З. 1 – x 2 ≥ 0. Решим методом интервалов данное неравенство:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Решение:

x – 1 = 1 – x 2 или x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 или x = 1 x = 0 или x = 1

3. Объединяем решение и О.Д.З.:

Подходят только корни x = 1 и x = 0.

Ответ: x = 0, x = 1.

4. Уравнение вида |f(x)| = |g(x)|. Такое уравнение равносильно двум следующим уравнениям f(x) = g(x) или f(x) = -g(x).

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Данное уравнение равносильно двум следующим:

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 или x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 или x = 4 x = 2 или x = 1

Ответ: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Уравнения, решаемые методом подстановки (замены переменной). Данный метод решения проще всего объяснить на конкретном примере. Так, пусть дано квадратное уравнение с модулем:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. По свойству модуля x 2 = |x| 2 , поэтому уравнение можно переписать так:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Сделаем замену |x| = t ≥ 0, тогда будем иметь:

t 2 – 6t + 5 = 0. Решая данное уравнение, получаем, что t = 1 или t = 5. Вернемся к замене:

|x| = 1 или |x| = 5

x = ±1 x = ± 5

Ответ: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Рассмотрим еще один пример:

x 2 + |x| – 2 = 0. По свойству модуля x 2 = |x| 2 , поэтому

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Сделаем замену |x| = t ≥ 0, тогда:

t 2 + t – 2 = 0. Решая данное уравнение, получаем, t = -2 или t = 1. Вернемся к замене:

|x| = -2 или |x| = 1

Нет корней x = ± 1

Ответ: x = -1, x = 1.

6.
Еще один вид уравнений – уравнения со «сложным» модулем. К таким уравнениям относятся уравнения, в которых есть «модули в модуле». Уравнения данного вида можно решать, применяя свойства модуля.

1) |3 – |x|| = 4. Будем действовать так же, как и в уравнениях второго типа. Т.к. 4 > 0, то получим два уравнения:

3 – |x| = 4 или 3 – |x| = -4.

Теперь выразим в каждом уравнении модуль х, тогда |x| = -1 или |x| = 7.

Решаем каждое из полученных уравнений. В первом уравнении нет корней, т.к. -1

Ответ x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Решаем это уравнение аналогичным образом:

3 + |x + 1| = 5 или 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 или x + 1 = -2. Нет корней.

Ответ: x = -3, x = 1.

Существует еще и универсальный метод решения уравнений с модулем. Это метод интервалов. Но мы его рассмотрим в дальнейшем.

сайт,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Термин (module) в буквальном переводе с латинского означает «мера». Это понятие было введено в математику английским учёным Р. Котесом. А немецкий математик К. Вейерштрасс ввёл в обращение знак модуля — символ, которым это понятие обозначается при написании.

Вконтакте

Впервые данное понятие изучается в математике по программе 6 класса средней школы. Согласно одному из определений, модуль — это абсолютное значение действительного числа. Другими словами, чтобы узнать модуль действительного числа, необходимо отбросить его знак.

Графически абсолютное значение а
обозначается как |a|
.

Основная отличительная черта этого понятия заключается в том, что он всегда является неотрицательной величиной.

Числа, которые отличаются друг от друга только знаком, называются противоположными. Если значение положительное, то противоположное ему будет отрицательным, а ноль является противоположным самому себе.

Геометрическое значение

Если рассматривать понятие модуля с позиций геометрии, то он будет обозначать расстояние, которое измеряется в единичных отрезках от начала координат до заданной точки. Это определение полностью раскрывает геометрический смысл изучаемого термина.

Графически это можно выразить следующим образом: |a| = OA.

Свойства абсолютной величины

Ниже будут рассмотрены все математические свойства этого понятия и способы записи в виде буквенных выражений:

Особенности решения уравнений с модулем

Если говорить о решении математических уравнений и неравенств, в которых содержится module, то необходимо помнить, что для их решения потребуется открыть этот знак.

К примеру, если знак абсолютной величины содержит в себе некоторое математическое выражение, то перед тем как раскрыть модуль, необходимо учитывать действующие математические определения.

|А + 5| = А + 5
, если, А больше или равняется нулю.

5-А
, если, А значение меньше нуля.

В некоторых случаях знак может раскрываться однозначно при любых значениях переменной.

Рассмотрим ещё одни пример. Построим координатную прямую, на которой отметим все числовые значения абсолютной величиной которых будет 5.

Для начала необходимо начертить координатную прямую, обозначить на ней начало координат и задать размер единичного отрезка. Кроме того, прямая должна иметь направление. Теперь на этой прямой необходимо нанести разметки, которые будут равны величине единичного отрезка.

Таким образом, мы можем увидеть, что на этой координатной прямой будут две интересующие нас точки со значениями 5 и -5.

А вычисляется в соответствии с такими правилами:

Для краткости записи применяют |а|
. Так, |10| = 10; — 1 / 3 = | 1 / 3 |; | -100| =100 и т. д.

Всякой величине х
соответствует достаточно точная величина |х
|. И значит тождество
у
= |х
| устанавливает у
как некоторую функцию аргумента
х
.

График
этой функции
представлен ниже.

Для x
> 0 |x
| = x
, а для x
x
|= —x
; в связи с этим линия у = |x
| при x
> 0 совмещена с прямой у =х
(биссектриса первого координатного угла), а при х
у = -х
(биссектриса второго координатного угла).

Отдельные уравнения
включают в себя неизвестные под знаком модуля
.

Произвольные примеры таких уравнений — |х
— 1| = 2, |6 — 2х
| =3х
+ 1 и т. д.

Решение уравнений
содержащих неизвестную под знаком модуля базируется на том, что если абсолютная величина неизвестного числа х равняется положительному числу а, то само это число х равняется или а, или -а.

Например
:, если |х
| = 10, то или х
=10, или х
= -10.

Рассмотрим решение отдельных уравнений
.

Проанализируем решение уравнения |х
— 1| = 2.

Раскроем модуль
тогда разность х
— 1 может равняться или + 2, или — 2. Если х — 1 = 2, то х
= 3; если же х
— 1 = — 2, то х
= — 1. Делаем подставновку и получаем, что оба эти значения удовлетворяют уравнению.

Ответ.
Указанное уравнение имеет два корня: x
1 = 3, x
2 = — 1.

Проанализируем решение уравнения
| 6 — 2х
| = 3х
+ 1.

После раскрытия модуля
получаем: или 6 — 2х
= 3х
+ 1, или 6 — 2х
= — (3х
+ 1).

В первом случае х
= 1, а во втором х
= — 7.

Проверка.
При х
= 1 |6 — 2х
| = |4| = 4, 3x
+ 1 = 4; от суда следует, х
= 1 — корен ь
данного уравнения
.

При x
= — 7 |6 — 2x
| = |20| = 20, 3x
+ 1= — 20; так как 20 ≠ -20, то х
= — 7 не является корнем данного уравнения.

Ответ. У
уравнения единственный корень: х
= 1.

Уравнения такого типа можно решать и графически
.

Так решим, например
, графически уравнение |х-
1| = 2.

Первоначально выполним построение графика функции
у
= |x
— 1|. Первым начертим график функции у
=х-
1:

Ту часть этого графика
, которая расположена выше оси х
менять не будем. Для нее х
— 1 > 0 и потому |х
-1|=х
-1.

Часть графика, которая расположена под осью х
, изобразим симметрично
относительно этой оси. Поскольку для этой части х
— 1 х —
1|= — (х —
1). Образовавшаяся в результате линия
(сплошная линия) и будет графиком функции
у = |х
—1|.

Эта линия пересечется с прямой
у
= 2 в двух точках: M 1 с абсциссой -1 и М 2 с абсциссой 3. И, соответственно, у уравнения |х
— 1| =2 будет два корня: х
1 = — 1, х
2 = 3.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

Абсолютная величина (модуль) действительного числа

      Определение. Абсолютной величиной (модулем) действительного числа   a   называют неотрицательное число   | a | ,   которое определяется по формуле:

      Так, например,

| 5 | = 5,     | – 2 | = 2,    
| 0 | = 0.

Свойства модуля

      Если   x   и   y   – действительные числа, то справедливы равенства:

      Кроме того, справедливо соотношение:

      В то же время справедливы неравенства:

График функции   y = | x |

      График функции   y = | x |    имеет следующий вид:

Простейшее уравнение с модулем

      Рассмотрим простейшее уравнение с модулем, имеющее вид:

| f (x) | = g(x) .

      Поскольку

то данное уравнение эквивалентно совокупности двух систем:

      Для решения исходного уравнения остается лишь решить две этих системы и объединить полученные ответы.

      Замечание. Решение неравенств с модулями осуществляется аналогично.

      Желающим более глубоко освоить тему «Модули», мы рекомендуем изучить наши учебные пособия: «Уравнения и неравенства с модулями» и «Фигуры на координатной плоскости, заданные неравенствами».

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Уравнения с модулем — презентация онлайн

Цель: повторить , обобщить и
систематизировать знания учащихся о
модуле и его свойствах, умения решать
различные уравнения , содержащие
модуль.

2. Определение модуля

а, если а 0,
а
а, если а 0.
ab a b
x
x
, y 0.
y
y
x x
2
2
x2 x
x y x
2
y
log a x 2 2 log a x

3. Геометрический смысл модуля

Геометрически x есть расстояние
от точки х числовой оси до начала
отсчёта – точки О.
x
x
0
x 0
x
x a
есть расстояние между
точками х и а числовой оси.
x
x
0
x a
x
0
a
x
a x 0
1.Простейшее уравнение,
содержащее модуль, где b>0:
f ( x) b,
f ( x) b
f ( x) b.
2.Уравнение более общего вида,
содержащее модуль:
g ( x) 0,
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x),
f ( x) g ( x).

5. Простейшие уравнения вида ,b>0.

Простейшие уравнения вида f ( x) b ,b>0.
1.
По определению модуля
2 x 3 5,
2 x 8,
x 4,
2x 3 5
2 x 3 5 2 x 2 x 1.
Ответ : 1;4

6. Уравнения более общего вида

f ( x) g ( x)
Условие
g ( x) 0
2 x 0,
x 2,
x 2,
x 2,
3. x 4 3(2 x) x 4 3(2 x), x 4 6 3x, 4 x 2, x 0,5, x 0,5.
x 4 3(2 x) x 4 6 3x 2 x 10 x 5
Ответ : 0,5.

7. Уравнения вида

f ( x) g ( x) .
уравнение
f ( x) g ( x) 0, f ( x) g ( x),
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( f ( x) g ( x))( f ( x) g ( x)) 0
f ( x) g ( x) 0. f ( x) g ( x).
2
2
4
x ,
6 x 5 7 3 x ,
9 x 12,
3
12. 6 x 5 7 3 x
6 x 5 (7 3 x) 3 x 2
x 2 .
3
2 1
Ответ : ,1 .
3 3

8. Уравнения, приводимые к уравнениям, содержащим модуль.

Иррациональное уравнение
2 x 5 3x 10,
8. 4 x 20 x 25 3x 10 (2 x 5) 3x 10
3x 10 0
2
2
x 3,
2 x 5 3x 10, 5 x 15,
x 5,
2 x 5 3x 10, x 5,
x 5.
1
3x 10 0
3x 10
x
3
3
Ответ : 5.

9. Уравнения, приводимые к уравнениям, содержащим модуль.

f ( x) b f ( x) b
2
log a f ( x) b 2 log a f ( x) b
2

10. Уравнения, приводимые к уравнениям, содержащим модуль

Логарифмическое уравнение
x 27,
9. log 3 x 6 2 log 3 x 6 log 3 x 3 x 27
x 27.
Ответ : 27;27.
2

11. Иррациональные уравнения, содержащие модуль.

В силу того, что
однозначно
.
x 2,5 модуль x 4
раскрывается
2
2
5
9
x
x
4
4
x
2
0
x
2
5
,
2
5
9
x
x
4
5
2
x
2
5
9
x
x
4
2
x
5
2
x
5
0
;
x
0
,
2
2 2
2
9
x
x
4
4
x
2
0
x
,
9
x
3
6
x
4
x
2
0
x
0
,
5
x
1
6
x
0
,
1
x
0
.
x
3
,
x
2
,
5
;
x
2
,
5
;
5
x
2
,
5
;
x
2
,
5
;

12. Замена модуля.

x 2 1 t,
x2 1 t,
2
( x 2 1) 2 7 x 2 1 18 0 x 2 1 7 x 2 1 18 0 t 0,
t 0,
t 2 7t 18 0 t 9,
t 2
2
2
x 10,
x
1
9
,
x
10,
2
2
x 1 9 2
2
x 10
x 1 9 x 8
x 10.
Îòâåò : 10 ; 10.
Уравнения, содержащие несколько модулей
и те, которые не сводятся к виду │f(x) │= g(x) решаются
с помощью метода интервалов:
1.Найдём значения x, при которых значение выражений,
стоящих под знаком модуля, равны нулю.
2.Найденные значения x разбивают ОДЗ на промежутки.
3.Запишем на каждом из промежутков уравнение без
знаков модуля. Получим совокупность систем.

14. Уравнения, содержащие несколько модулей. ( Решаемые с помощью метода интервалов)

10. x 1 x 2 x 3
1.Найдём значения х, при которых значения
выражений, стоящих под знаком модуля, равны 0:
х -1 = 0 при х = 1.
х – 2=0 при х = 2.
2. Эти значения разбивают ОДЗ на промежутки:
( ;1), 1;2 , (2; ).
3.Запишем на каждом из промежутков данное
уравнение без знаков модуля.
Получим совокупность систем.

15. Уравнение, содержащее несколько модулей.

Метод интервалов
x 1,
x 1,
x 1,
(
x
1
)
(
x
2
)
x
3
,
x
1
x
2
x
3
,
3x 0,
1 x 2,
1 x 2,
1 x 2, x 0,
x 1 x 2 x 3
( x 1) ( x 2) x 3,
x 1 x 2 x 3,
x 2,
x 6.
x
2
,
x
2
,
x 2,
( x 1) ( x 2) x 3
x 1 x 2 x 3
x 6
Îòâåò : 0;6.

16. Домашнее задание: Решите уравнения

1. 2 x 3 5
2. 1
x 3
5
4
3. x 4 3( 2 x )
4. 8 5 x 2
5. 36 5 x x 3 6 x
6.( x 2 1) 7 x 2 1 18 0
7. x 2 x 3 5
8. 4 x 2 20 x 25 3 x 10
9.9 log 3 x 2 6
10. x 1 x 2 x 3
11. log 22 ( x ) 3 log 2 x 2 5 0
12. 6 x 5 7 3 x
13. 8 x 1 4 x `13
14. 25 9 x x 4 5 2 x

Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля

Е.П. Нелин, В.А. Лазарев

 АЛГЕБРА

и начала математического

анализа

10 класс

Учебник для

общеобразовательных

учреждений. Базовый и

профильный уровень

§ 5. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля

(Оформление и автор интерактивных технологий Морозова Е. )

Объяснение и обоснование

     Решать любое уравнение или неравенство, содержащее знак модуля, можно одним из трех основных способов: по определению модуля, исходя из геометрического смысла модуля или по общей схеме. Некоторые уравнения или неравенства с модулем могут быть также решены с использованием специальных соотношений.

        В зависимости от выбранного способа решения получаем разные записи решения.

Пример            Решите уравнение | 2x – 4 | = 6.

I способ (по определению модуля)

II способ (использование геометрического смысла модуля)

     Замечание. При решении уравнения с использованием геометрического смысла модуля знак модуля раскрывается неявно, то есть определение модуля в явном виде не применяется.

     Общая схема решения уравнений и неравенств, содержащих знак модуля — это фактически немного измененный метод интервалов. Поясним содержание этой схемы на примере уравнения с двумя модулями вида

|f (x)| + |g (x)| = a  (a > 0).

     Чтобы решить это уравнение, необходимо раскрыть знаки модулей, а для этого необходимо знать, где функции f (x) и g (x) будут положительными, а где — отрицательными. То есть фактически мы должны решить неравенства

f (x) ≥ или ≤0,                              (1)

g (x) ≥ или ≤0.                             (2)

     Каждое из этих неравенств мы умеем решать методом интервалов. Перестроим прием решения неравенств методом интервалов таким образом, чтобы он давал возможность одновременно решать каждое из последних неравенств. Как известно, решение неравенства (1) методом интервалов начинается с нахождения его ОДЗ (то есть области определения функции f (x)), а решение неравенства (2) — с нахождения его ОДЗ (то есть области определения функции g (x)). Чтобы начать одновременно решать оба неравенства, необходимо найти общую область определения для функций f (x) и g (x), то есть найти ОДЗ данного уравнения (это и есть первый из ориентиров необходимой схемы).

     Чтобы продолжить решение неравенств f (x) ≥или≤0 и g (x) ≥или≤ 0 методом интервалов, необходимо найти нули функций f (x) и g (x), то есть найти нули всех подмодульных функций (это и есть второй ориентир).

     Если далее применить схему метода интервалов одновременно для двух неравенств, необходимо на ОДЗ отметить нули подмодульных функций и разбить ОДЗ на промежутки (это третий ориентир).

     В каждом из полученных промежутков знаки функций f (x) и g (x) не могут измениться. Тогда мы можем найти знаки подмодульных функций на каждом промежутке (в любой точке этого промежутка), раскрыть знаки модулей и найти решение данного уравнения в каждом из этих промежутков (это и есть четвертый ориентир общей схемы).  

     Обоснование возможности применения приведенной схемы к решению неравенств с модулями проводится аналогично.

 

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Вопросы для контроля

  1. Объясните, какими способами можно решать уравнения и неравенства, содержащие знак модуля. Проиллюстрируйте эти способы на примерах.
  2. Обоснуйте специальные соотношения. Проиллюстрируйте их применение к решению уравнений и неравенств, содержащих знак модуля.
  3. Обоснуйте обобщения использования геометрического смысла модуля. Проиллюстрируйте их применение к решению уравнений и неравенств, содержащих знак модуля.

Упражнения

Решите уравнения и неравенства, содержащие знак модуля (1–15).

Постройте график функции

ТЕСТ

Уравнения и неравенства

 

 

 

«Кастинг чисел» или раскрытие модуля на занятиях с репетитором по математике

Модули — трудная тема для учеников. Приступая к работе с ней репетитор по математике должен понимать, что основные сложности учащиеся испытывают не при вычислении модуля, а при проведения алгебраических преобразований с ним. Причины всех трудностей — недостаточное внимание к данной теме со стороны школьных программ и невозможность в большинстве случаяв работать с «этими палочками» напрямую, за одну операцию, без разветвления применяемых алгоритмов. Знак модуля — это всего лишь оболочка, условное обозначения этого разветвления.

Практика показывает, что большинство приходящих к репетитору учеников имеют крайне низкий уровень владения приемами раскрытия модуля, если под его знаком стоит переменная. В этом случае, репетитор по математике оказывается главным участником сражений за понимание, поскольку в школе толком ничего не объясняется, а самостоятельно разобраться в дебрях разветвлений дети часто не в состоянии.

Далеко не в каждом случае репетитор по математике способен научить ученика работать с модулем. Для этого необходмы не только способности репетитора давать точные комментарии к используемым алгоритмам, но и способности ребенка самостоятельно создавать, контролировать и обрабатывать несколько числовых потоков одновременно. Причем этот контроль имеет многоэтапный и даже виртуальный характер, без участия в нем самих чисел. Сложная задача для ученика.

Составление алгоритмов работы с модулем можно сравнить с запуском автоматизированной линии по выпуску рыбных консервов определенного вида без участия на всех этапах производства самого человека. Фантастика, но попробуем себе это предствить. Надо расставить определенные виды сетей и для каждой из них, в независимости от того, что в нее попадает, запланировать какой то способ дальнейшей сортировки и переработки пойманного. Тоже сложная задача. Учитывая тот факт, что не каждый ученик сможет правильно проанализировать влияние специфики уравнения (конечного продукта) для поиска таких алгоритмов, — задача вдвойне усложняется.

Спасаться учебниками не получается. Во всех книжках, которые попадались мне на глаза, объяснения велись сразу через записи систем, равносильных исходному уравнению.

Нельзя объяснять ребенку методы решений уравнений с модулем через равносильные системы.

Проблема заключается в том, что их появление — есть продукт мыслительной деятельности знающего человека и предназначены они для ПРОВЕРКИ РЕШЕНИЯ знающим человеком, но никак не для того, чтобы учить с их помощью ПОНИМАТЬ происходящеее. Ими демонстрируется только «вершина айсберга», большая часть которого, связанная с «демонстрацией передвижения чисел», скрыта. Ее нельзя как-либо полностью показать что то записывая, как нельзя, например заменить всю информацию на видео несколькими фотографиями. Донести до ученика суть можно только на словах. Это и должен сделать репетитор по математике.

В этой статье я хочу поделиться с вами собственной методикой объяснения основного способа снятия модуля : разбора случаев по подмодульному выражению. Для Начала посмотрим как решается базовое (линейное) уравнение с модулем в любом более-менее серьезном пособии по подготовке к экзамену в 11 классе.

Решить уравнение:
| x — 3 | = 2x+1

От учебника к учебнику пояснения будут в целом близки по духу, но несколько отличаться друг от друга комментариями. Вот некоторые из них:
1) Уравнение равносильно совокупности систем

Далее, как правило, в том же виде (параллельно) демонстрируется решение каждой системы и записывается ответ. И все!!!!! Среднему и даже сильному ученику, порой, трудно в этом разобраться. Слабый ученик не поймет ровным счетом ничего. А у более толкового возникнет масса вопросов: почему именно так решается исходное уравнение? Почему надо включать в записи еще какие-то неравенства? Все ли уравнения с модулем можно решить этим способом?А если модулей несколько?. Некоторые учителя, не усложняя себе жизнь поиском подходящих разъяснений, пользуются этой схемой и считают, что она сама обо всем рассказывает и тратить лишнее время — только запутывать ученика. Но практика показывает, что большинство детей не способны на самостоятельный анализ участия в решении даже таких простых неравенств

2) Вторая разновидность демонстрации решения: рассмотрим случаи (уже не понятно, что значит «рассмотрим», зачем и что такое вообще «случаи» :
1) х — 3 ≥ 0
Тогда уравнение приводится к виду х-3=2х+1. Находим его корень х= −4. Он не удовлетворяет неравенству х — 3 ≥ 0
2) х — 3 < 0 Тогда решим уравнение —х+3= 2х+1. Его корень 2/3 очевидно удовлетворяет условию х — 3 < 0.
В итоге получаем ответ х=2/3.

Конечно, при таком подходе появляются попытки внести ясность, но все равно возникают вполне естественные вопросы :
1) как связаны два решаемых уравнения с первоначальным?
2) Почему надо делать еще какую то проверку?

Ни тот ни другой метод «разъяснений» не отражает главного — специфики объекта и особенности выполнения действий с ним. Все что показывают книжки — это всего лишь краткое оформление промежуточных и необходимых для получения ответа выкладок.

Предлагаю вам свой уникальный текст, разъясняющий ученику смысл фраз «рассмотрим случаи», «уравнение приводится к виду …» , «равносильно совокупности систем…».

Лучше всего подавать идею решения в виде следующего рассказа (более или менее подробного в зависимости от типа ученика).

Итак, надо решить уравнение |x — 3| = 2x+1, то есть найти все числа, которые при подстановке вместо буквы х превращают это уравнение в верное числовое равенство. (ученик, конечно, должен понимать, что такое корень уравнения и как его проверить). Мы не знаем этих чисел, но в любом случае они находятся где-то на числовой прямой.

Будем искать их также, как какие-нибудь нужные вещи в двухкомнатной квартире. Зайдем сначала в одную комнату и поищем в ней, затем в другую, а затем, соберем все, что найдено, в общий мешок для демонстрации результата поиска. Тоже самое сделаем с уравнением. Разрежем числовую ось на две части (аналоги комнат) разделительной точкой х=3 (почему бедется именно она — станет понятно позже).

Сначала поищем корни уравнения среди чисел, больших (или равных) чем 3. Если бы их все можно было бы проверить перебором, мы бы так и сделали. Сложность в том, что чисел бесконечное количество. Если мы начнем этот бесконечный процесс (представим себе такое) или захотим протестировать какое-нибудь конкретное число из этой комнаты на предмет попадания в ответ, то подставляя числа в исходное уравнение, внутри модуля, каждый раз будем получать неотрицательное число (это любой 11-ти классник поймет). В этом случае на знак модуля не окажет никакого влияния на вычисление результата всех действий в девой части, т.к. что модуль неотрицательного числа равен самому числу под его знаком. А раз так, то в выражении |x-3| будет получаться тот же самый результат, что и в выражении х—3. Поэтому нам НЕ ВАЖНО В КАКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ПРОВЕРКИ ВСТАВЛЯТЬ ЧИСЛА ИЗ ВЫБРАННОЙ КОМНАТЫ. Можно в |x—3| = 2x+1, а можно в x — 3 = 2x+1 (так как в их левых частях получаются равные результаты). Если одно равенство окажется верным, то и другое тоже.

Поэтому, для вылавливания чисел из промежутка х>3 я могу заменить проверку |x — 3| = 2x+1 на проверку равенства x — 3 = 2x+1. Если оно окажется верным — тестируемое число попадет в ответ. Чисел, которые обеспечивают выполнение этого условия не так много, более того оно одно и его можно найти просто решив линейное уравнение. Но оно может не находится в рассматриваемой части оси (в 1-ой комнате), поэтому этот корень еще требуется проверить на принадлежность к промежутку от 3 до +∞.

Именно поэтому тестируемое число должно отвечать двум требованиям х>3 и x — 3 = 2x+1, а значит должно быть решением следующей системы:

Ее ответ покажет, какие числа первой комнаты являются корнями исходного уравнения.
Аналогично можно объяснить как найти корни во второй комнате, то есть на промежутке (- ∞;3). Если тестировать любое число из этого промежутка, и вставлять его в исходное уравнение (представим себе этот бесконечный процесс), то под модулем будет каждый раз получаться отрицательное число, а в этом случае в выражении |x — 3| будет получаться тот же самый результат, что и в выражении —(х — 3), (этот факт лучше объяснить отдельно до темы уравнения с модулем). Поэтому для принятия решения о включении тестируемого числа в ответ не важно где его проверять: подставляя в |x — 3| = 2x+1 или в уравнение —(x — 3) = 2x+1 (раз в левых частях получается один и тот же результат). И опять, вместо того, чтобы проверять пербором все числа расположенные левее x=3, я могу просто решить это уравнение —(x — 3) = 2x+1. В его ответ «заползут» все числа обеспечивающее его верность. Среди них надо взять только те, которые левее 3, то есть проверить условие х<3). Итак, для попадания числа из второй комнаты в ответ нужно, чтобы оно отвечало двум требованиям
x<3 и —(x — 3) = 2x+1
То есть являлось бы решением системы:

Решив обе полученные системы и собрав вместе все найденные числа мы получим ответ уравнения |x — 3| = 2x+1.

Репетитор по математике должен тщательно следить не только за порядком слов, которые он использует, но и за темпом изложения. Нельзя спешить и слишком много говорить.

Через урок, после объяснения метода построения графика с модулем репетитору полезно вернуться к разобранному уравнению и решить его же графически.

Аналогично объясняется метод решения неравенств с модулем. Фраза «проверка равенства» заменяется на фразу «проверку верности неравенства».

Если репетитор по математике смог разъяснить ученику, что линия, заданная на плоскости уравнением есть не что иное как его ответ в графической форме и отбирать для ответа уже нужно точки плоскости (вместо точек оси), то те же самые рассуждения годятся и для построения графика функции с модулем. Повторяя почти тот же самый текст с заменой слова «число» на «пару чисел» или на «точку плоскости» репетитор по математике сможет убить двух зайцев: и новое изучить и старое закрепить. Привожу этот текст в слегка сокращенном виде:

построить график функции у=|х-1|+2х

Разделим плоскость на две части, так чтобы в первую часть попали точки у которых х≥1, а у другой х<1. Репетитору по математике лучше нарисовать эти две «комнаты».Найдем кто из точек правой части плоскости удовлетворяет равенству. Если представить себе, что каждая точка будет вставляться в равенство у=|х-1|+2х для проверки, то в его правой части получится тот же самый результат, как и в выражении х-1+2х, а поэтому нам не важно куда вставлять точку для определения ее пригодности. Можно в у=|х-1|+2х, а можно в у=х-1+2х.Найдем все точки, которые удовлетворяют равенству у=х-1+2х (это график функции линейной функции у=х-1+2х) и возьмем из него только те точки, у которых х≥1. Найденное множество будет удовлетворять сразу двум условием у=х-1+2х и х≥1,а значит являться решением их системы. Так ее и запишем:

Она указывает на построенную часть финального графика. Аналогично дается пояснение для построения левой части, а затем объединяем построенные линии и получаем:

Как видите, репетитор по математике может предложить практически тот самый текст ученику, что и при решениии уравнений с одной перменной. Закрепление материала будет лишь вопросом времени при самостоятельной работе. Особое чутье репетитора здесь проявляется в способности понять когда можно с учеником переходить к последовательному чередованию объектов (уравнений, неравенств, графиков).

Модное на сегодняшний день слово «кастинг» как нельзя лучше подходит для описания работы алгоритмов решения уравнений с мордулями. Большинство подростком с ним знакомы и понимают его сымсл. Для Красиво зазвучит: «кастинг чисел» «кастинг точек плоскости».

Уяснив метод разбора случаев на простых линейных подмодульных выражениях, ученик может быть отправлен репетитором по математике в гости к нелинейным. В такой последовательности легче понять, что делать, если под модулем, например, стоит дробь или косинус. Стоит обратить внимание на то, что в первой строке систем вписывается неравенство, указывающее своим ответом на рассматриваемое множество. Именно этот ответ и есть первая комната. Записывая неравенство мы выделяем эту комнату. Поскольку ответ неравенств часто состоит их кусочков оси, то комната просто будет рваной, но принцип отбора (кастинга) ее чисел остается прежним. Все равно надо решать систему, просто вместо готового для изображения ответа х≥3 придется включать в первую строку системы неравенство «подмодульное выражение больше(меньше) либо равно нуля», решать его, а затем пересекать полученный ответ с ответом второй строчки системы.

Итак, с одним модулем разобрались. Что репетитор по математике предложит еще? Если по его ощущениям у ученика еще остался потенциал — можно перейти к уравнениям с двумя линейными модулям, например |x-3|+|2x+1|-4=0. Важно, чтобы на этом этапе ученик понимал как выбирается разделительная точка для каждого модуля. Можно назвать ее переломной.

Удобнее всего ось разделить двумя точками «обнуляющими» подмодульные выражения на 3 области и для отбора чисел из каждого множества заменить проверку исходного неравенства на проверку неравенства без модулей. Тремя системами получаем ответ.

Опытный репетитор по математике всегда знает, что наиболее вероятной ошибкой является потеря контроля за раскрытием модуля если он «обложен» со всех сторон действиями. Для уменьшения ошибок важно предложить какое-то единое опорное правило. Я всегда говорю так. В случае, когда под модулем получается «минус» модуль надо поменять на скобку, а перед скобкой поменять знак. Это очень удобно для запоминания, так как в голове ученика в этот момент сидит директива «что-то поменять». Легко запомнить, что если хочется «что-то поменять», то надо поменять все что только можно (слева от подмодульного выражения).

В заключение отмечу, что репетитор по математике может показать сильному ученику и другие способы раскрытия модуля. После изучения темы «возведение неравенств и уравнений в квадрат» легко объясняется, почему возведение в квадрат неравенства, обе части которого заключены под знак модуля не приводит ни к потере корней, ни к приобретению лишних корней. Репетитору желательно донести до сознания ученика тот факт,, что после возведения никаких проверок или дополнительных условий подмешивать к объекту не нужно, модули можно поменять на скобки, перенести все слагаемые в левую часть и разложить ее на множители. И ничего не надо возводить в степень… Сильному ученику можно показать расширенный метод интервалов для дробей с модулями, в котором, их раскрытие ведется по числителю и знаменателю независимо.

После раскрытия находят распределение знаков через графики (или через пробные точки в каждом промежутке) и уже по ним «читают» итоговые знаки всей дроби.

Стоит упомянуть, что репетитор по математике всегда выбирает глубину изложения темы в зависимости от ученика и разбирает с ним способы решения только до определенного уровня. К заданиям несколько более высокого уровня сложности обычно относят те, в которых или присутствует большое количество модулей, параметр, или модуль стоит поверх тригонометрической функции, или модули появляются при удалении квадратного корня вместе с полным квадратом какого-нибудь выражения, расположенным под его знаком.

К нестандартным я бы отнес функциональные приемы :

  • использование области значений функции у=│f (х)|
  • расширенный метод интервалов, применяемый к функциям с модулями.

Часто задаваемые вопросы учеников репетитору по теме «раскрытие модуля»

Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике.

Метки:
Методики для репетиторов,
Примеры объяснений,
Раскрытие модуля,
Решение уравнений

Теория модуля

в [уравнении] | SpringerLink

Глава

Первый онлайн:

Часть
Развитие математики
серия книг (DEVM, том 54)

Abstract

Эта глава представляет собой введение в теорию модулей в категории \ ({\ mathtt {Sup}} \) полных решеток и сохраняющих соединение отображений — это модули на унитальных квантах. * \) — алгебры. Поскольку \ ({\ mathtt {Sup}} \) является \ (* \) — автономным, существуют конструкции в связи с модулями на унитальных квантах, которые невозможны в традиционной теории модулей в категории абелевых групп. В качестве важного примера в этой главе объясняются детали эквивалентности между правыми \ ({\ mathfrak {Q}} \) — модулями и полными с соединением \ ({\ mathfrak {Q}} \) -значными решетками, где \ ({ \ mathfrak {Q}} \) — квант с единицей. Наконец, дается набросок автоматов в \ ({\ mathtt {Sup}} \), показывающий, что каждый автомат в \ ({\ mathtt {Sup}}} \) порождает правый модуль на свободном унитальном кванте, порожденном соответствующий входной алфавит.

Это предварительный просмотр содержимого подписки,

войдите в

, чтобы проверить доступ.

Информация об авторских правах

© Springer International Publishing AG, часть Springer Nature 2018

Авторы и аффилированные лица

  • Лю Вэй, 2011 г.«УРАВНЕНИЕ : модуль Stata для вывода уравнения регрессии »,
    Статистические программные компоненты
    S457250, Департамент экономики Бостонского колледжа, от 23 ноября 2020 г.
  • Ручка: RePEc: boc: bocode: s457250

    Примечание. Этот модуль следует установить из Stata, набрав «ssc install формула». Модуль доступен на условиях GPL v3 (https://www.gnu.org/licenses/gpl-3.0.txt). Пользователи Windows не должны пытаться загрузить эти файлы с помощью веб-браузера.

    Скачать полный текст от издателя

    Исправления

    Все материалы на этом сайте предоставлены соответствующими издателями и авторами. Вы можете помочь исправить ошибки и упущения. При запросе исправления укажите дескриптор этого элемента: RePEc: boc: bocode: s457250 . См. Общую информацию о том, как исправить материал в RePEc.

    По техническим вопросам, касающимся этого элемента, или для исправления его авторов, названия, аннотации, библиографической информации или информации для загрузки, обращайтесь: (Christopher F Baum).Общие контактные данные провайдера: https://edirc.repec.org/data/debocus.html .

    Если вы создали этот элемент и еще не зарегистрированы в RePEc, мы рекомендуем вам сделать это здесь. Это позволяет связать ваш профиль с этим элементом. Это также позволяет вам принимать потенциальные ссылки на этот элемент, в отношении которого мы не уверены.

    У нас нет ссылок на этот продукт. Вы можете помочь добавить их, используя эту форму .

    Если вам известно об отсутствующих элементах, цитирующих этот элемент, вы можете помочь нам создать эти ссылки, добавив соответствующие ссылки таким же образом, как указано выше, для каждого ссылочного элемента.Если вы являетесь зарегистрированным автором этого элемента, вы также можете проверить вкладку «Цитаты» в своем профиле RePEc Author Service, поскольку там могут быть некоторые цитаты, ожидающие подтверждения.

    Обратите внимание, что исправления могут занять пару недель, чтобы отфильтровать
    различные сервисы RePEc.

    mastercover-kyono (2) .dvi

    % PDF-1.6
    %
    7 0 объект
    >
    эндобдж
    4 0 obj
    > поток
    27.05.2010 11:18:45 AMAcrobat Distiller 8.1.0 (Windows) dvips (k) 5.86d Copyright 1999 Radical Eye Software 2010-05-27T11: 21: 29-07: 002010-05-27T11: 19: 36-07: 002010-05-27T11: 21: 29-07: 00application / pdf

  • Каору
  • mastercover-kyono (2) .dvi
  • uuid: dcc712d4-369d-42f3-904d-21ee00764355uuid: 0a2b4973-05c0-4294-bc91-3aa086fe75655 / 27/2010 11:18:45 AM

    конечный поток
    эндобдж
    2655 0 объект
    > / Кодировка >>>>>
    эндобдж
    3 0 obj
    >
    эндобдж
    289 0 объект
    >
    эндобдж
    290 0 объект
    >
    эндобдж
    2652 0 объект
    >
    эндобдж
    2653 0 объект
    >
    эндобдж
    2654 0 объект
    >
    эндобдж
    2634 0 объект
    >
    эндобдж
    2635 0 объект
    >
    эндобдж
    2636 0 объект
    >
    эндобдж
    2637 0 объект
    >
    эндобдж
    2638 0 объект
    >
    эндобдж
    2639 0 объект
    >
    эндобдж
    2640 0 объект
    >
    эндобдж
    2641 0 объект
    >
    эндобдж
    2642 0 объект
    >
    эндобдж
    2643 0 объект
    >
    эндобдж
    2644 0 объект
    >
    эндобдж
    2645 0 объект
    >
    эндобдж
    2646 0 объект
    >
    эндобдж
    2647 0 объект
    >
    эндобдж
    2648 0 объект
    >
    эндобдж
    2649 0 объект
    >
    эндобдж
    2650 0 объект
    >
    эндобдж
    2651 0 объект
    >
    эндобдж
    28 0 объект
    > / MediaBox [0 0 612 792] / Ресурсы> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB / ImageC / ImageI] >> / Type / Page >>
    эндобдж
    76 0 объект
    >
    эндобдж
    53 0 объект
    > поток
    x [nH} #tI.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *