Уравнения с одной переменной

Уравнение — это равенство, которое имеет неизвестное число, обозначенное буквой. Неизвестное число называют переменной.

Например: $4x-9=x,\ \ 2\left(y+8\right)=5y-8,\ \ 3z-18=-\left(z+2\right).$

Уравнения могут иметь разное количество корней. Решить уравнение — означает найти все его корни либо доказать, что их нет.

Если уравнения имеет одни и те же корни, то они называются равносильными. Равносильными считаются и те уравнения, которые не имею решения.

При решении равнений используют такие свойства:

1. Если в любой из частей уравнения раскрыть скобки или свести подобные слагаемые, то получим уравнение, равносильное данному.
2. Если в уравнении перенести слагаемое с одной части в другую, сменив знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.
3. Если обе части уравнения умножить или поделить на одно и то самое число, отменное от нуля, то получим уравнение, равносильное данному. 2-ac}}{a}$, где $k=\frac{b}{2}.$

   Уравнения с параметрами

   Если в уравнении $ax=b\ \ \ \ x-$переменная, а буква $a$ обозначает какое либо число, то говорят, что это уравнение с параметром. Что б решить такое уравнение, необходимо рассмотреть такие случаи:

   1. При $a=0$ получаем уравнение $0x=b$

   Имеем два случая:

   1. При $b=0$ корнем будет любое число
   2. При $b\ne 0$ уравнение корней не имеет
   2. При $a\ne 0$ делим обе части уравнения на $a$ (которое не равняется нулю) и получаем $x=\frac{b}{a}.$

   Уравнение с параметром можно решать так само, как и обычные уравнения, но только до тех пор, пока каждое перевоплощение можно выполнить однозначно. Если же какое-то перевоплощение нельзя выполнить однозначно, то решение надо разбить на несколько случаев.

   Пример 4

   Решить уравнение $5ax+3a=2ax+9a,$ где $x-$переменная.

   Решение. Перенесем члены со сменной $x$ в одну часть, а без $x-$ в другую:

   \[5ax-2ax=9a-3a\]

   Сведем подобные слагаемые

   \[3ax=6a\]

   Для нахождения переменной $x$ мы б хотели поделить обе части уравнения на $3a,\ $но при $a=0$ мы будем делить на $0,$ что невозможно. Значит, начиная с этого момента, надо рассматривать два случая. Можем записать так:

   \[5ax-2ax=9a-3a\]

   \[3ax=6a\]

   Если $a=0,$ то $0\cdot x=0$, значит $x-$ любое число;

   Если $a\ne 0,$ то $x=2.$

   Ответ. При $a=0-$любое число; при $a\ne 0\ \ \ \ x=2.$

   Уравнения с одной переменной

   • Главная
   • Справочник
   • Алгебра
   • Уравнения с одной переменной

   На предыдущих занятиях мы знакомились с выражениями, а также учились их упрощать и вычислять. Теперь переходим к более сложному и интересному, а именно к уравнениям.

   
   

   Уравнение и его корни

   Равенство, содержащие переменную (-ые) называются уравнениями. Решить уравнение, значит найти значение переменной, при котором равенство будет верным. Значение переменной называют корнем уравнения.

   Уравнения могут иметь, как один корень, так и несколько или вообще ни одного.

   При решении уравнений используются следующие свойства:

   • если в уравнении перенести слагаемое из одной части уравнения в другую, поменяв при этом знак на противоположный, то получится уравнение равносильное данному. 2=10-3x \) являются числа -2 и 2.

     Линейное уравнение с одной переменной

     Линейное уравнение с одной переменной — это уравнения вида ax = b, где x — переменная, а a и b — некоторые числа.

     Существует большое количество видов уравнений, но решение многих из них сводится именно к решению линейных уравнений, поэтому знание этой темы обязательно для дальнейшего обучения!

     Пример №2 Решить уравнение: 4(x+7) = 3-x

     Для решения данного уравнения, в первую очередь, нужно избавиться от скобки, а для этого домножим на 4 каждое из слагаемых в скобке, получаем:

     4х + 28 = 3 — х

     Теперь нужно перенести все значения с «х» в одну сторону, а все остальное в другую сторону (не забывая менять знак на противоположный), получаем:

     4х + х = 3 — 28

     Теперь вычитаем значение слева и справа:

     5х = -25

     Чтобы найти неизвестный множитель (х) нужно произведение (25) разделить на известный множитель (5):

     х = -25:5

     х = -5

     Ответ х = -5

     Если сомневаетесь в ответе можно проверить, подставив полученное значение в наше уравнение вместо х:

     4(-5+7) = 3-(-5)

     4*2 = 8

     8 = 8 — уравнение решено верно!

     Решить теперь что-нибудь по-сложнее:

     Пример №3 Найти корни уравнения: \( (y+4)-(y-4)=6y \)

     В первую очередь, также избавимся от скобок:

     \( y+4-y+4=6y \)

     Сразу видим в левой части y и -y, а значит их можно просто вычеркнуть, а полученные числа просто сложить, и записать выражение:

     \( 8 = 6y \)

     Теперь можно перенести значения с «y» в левую сторону, а значения с числами в правую. Но ведь это не обязательно, ведь не важно с какой стороны находятся переменные, главное, чтобы они были без чисел, а значит, ничего переносить не будем. Но для тех кто не понял, то сделаем, как гласит правило и разделим обе части на (-1), как гласит свойство:

     \( 6y=8 \)

     Чтобы найти неизвестный множитель нужно произведение разделить на известный множитель:

     \( y=\frac{8}{6} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \)

     Ответ: y = \( 1\frac{1}{3} \)

     Также можно проверить ответ, но сделайте это самостоятельно.

     Пример №4 \( (0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6) \)

     Теперь я просто решу, без объяснений, а вы посмотрите на ход решения и правильную запись решения уравнений:

     \( (0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6) \)

     \( 0,5x+1,2-3,6+4,5x=4,8-0,3x+10,5x+0,6 \)

     \( 0,5x+4,5x+0,3x-10,5x=4,8+0,6-1,2+3,6 \)

     \( -5,2x=7,8 \)

     \( x=\frac{7,8}{-5,2}=\frac{3}{-2} =-1,5 \)

     Ответ: x = -1,5

     Если что-то не понятно по ходу решения пишите в комментариях

     Решение задач с помощью уравнений

     Зная что такое уравнения и научившись их вычислять — вы также открываете себе доступ к решению множества задач, где для решения используются именно уравнения.

     Не буду вдаваться в теорию, лучше показать все и сразу на примерах

     Пример №5 В корзине было в 2 раза меньше яблок, чем в ящике. После того, как из корзины переложили в ящик 10 яблок, в ящике их стало в 5 раз больше, чем в корзине. Сколько яблок было в корзине, а сколько в ящике?

     В первую очередь нужно определить, что мы примем за «х», в данной задаче можно принять и ящики, и корзины, но я возьму яблоки в корзине.

     Значит, пусть в корзине было x яблок, так как в ящике яблок было в два раза больше, то возьмем это за 2х. После того, как  из корзины яблоки переложили в ящик в корзине яблок стало: х — 10,  а значит, в ящике стало — (2х + 10) яблок.

     Теперь можно составить уравнение:

     5(х-10) — в ящике стало в 5 раз больше яблок, чем в корзине.

     Приравняем первое значение и второе:

     2x+10 = 5(x-10) и решаем:

     2х + 10 = 5х — 50

     2х — 5х = -50 — 10

     -3х = -60

     х = -60/-3 = 20 (яблок) — в корзине

     Теперь, зная сколько яблок было в корзине, найдем сколько яблок было в ящике — так как их было в два раза больше, то просто результат умножим на 2:

     2*20 = 40 (яблок) — в ящике

     Ответ:  в ящике — 40 яблок, а в корзине — 20 яблок.

     Я понимаю, что многие из вас, возможно, не до конца разобрались в решении задач, но уверяю к этой теме мы вернемся и еще не раз на наших уроках, а пока если у вас остались вопросы — задавайте их в комментариях.

     Под конец еще несколько примеров на решения уравнений

     Пример №6 \( 2x — 0,7x = 0 \)

     \( 1,3x = 0 \)

     \( x=0/1,3 \)

     \( x = 0 \)

     Пример №7 \( 3p — 1 -(p+3) = 1 \)

     \( 3p-1-p-3=1 \)

     \( 3p-p=1+1+3 \)

     \( 2p=5 \)

     \( p=5/2 \)

     \( p=2,5 \)

     Пример №8 \( 6y-(y-1) = 4+5y \)

     \( 6y-y+1=4+5y \)

     \( 6y-y-5y=4-1 \)

     \( 0y=3 \) — корней нет, т.к. на ноль делить нельзя!

      

     Всем спасибо за внимание. Если что-то непонятно спрашивайте в комментариях.

      

      

     В вашем браузере отключен Javascript.
     Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

     Источник

     Больше интересного в телеграм @calcsbox

     Как решать линейное уравнение с одной переменной?

     ☰

     Линейное уравнение с одной переменной имеет общий вид
     ax + b = 0.
     Здесь x — это переменная, a и b – коэффициенты. По-другому a называют «коэффициент при неизвестной», b – «свободный член».

     Коэффициенты это какие-то числа, а решить уравнение — это значит найти значение x, при котором выражение ax + b = 0 верно. Например, имеем линейное уравнение 3x – 6 = 0. Решить его – это значит найти, чему должен быть равен x, чтобы 3x – 6 было равно 0. Выполняя преобразования, получим:
     3x = 6
     x = 2

     Таким образом выражение 3x – 6 = 0 верно при x = 2:
     3 * 2 – 6 = 0
     2 – это корень данного уравнения. Когда решают уравнение, то находят его корни.

     Коэффициенты a и b могут быть любыми числами, однако бывают такие их значения, когда корень линейного уравнения с одной переменной не один.

     Если a = 0, то ax + b = 0 превращается в b = 0. Здесь x «уничтожается». Само же выражение b = 0 может быть истинным только в том случае, если знание b – это 0. То есть уравнение 0*x + 3 = 0 неверно, т. к. 3 = 0 – это ложное утверждение. Однако 0*x + 0 = 0 верное выражение. Отсюда делается вывод, если a = 0 и b ≠ 0 линейное уравнение с одной переменной корней не имеет вообще, но если a = 0 и b = 0, то корней у уравнения бесконечное множество.

     Если b = 0, а a ≠ 0, то уравнение примет вид ax = 0. Понятно, что если a ≠ 0, но в результате умножения получается 0, то значит x = 0. То есть корнем этого уравнения является 0.

     Если же ни a, ни b не равны нулю, то уравнение ax + b = 0 преобразовывается к виду
     x = –b / a.
     Значение x в данном случае будет зависеть от значений a и b. При этом оно будет одним единственным. То есть нельзя при одних и тех же коэффициентах получить два или более разных значений x. Например,
     –8.5x – 17 = 0
     x = 17 / –8.5
     x = –2
     Никакое другое число, кроме –2 нельзя получить, деля 17 на –8.5.

     Бывают уравнения, которые с первого взгляда непохожи на общий вид линейного уравнения с одной переменной, однако легко преобразуются к нему. Например,
     –4.8 + 1.3x = 1.5x + 12

     Если перенести все в левую часть, то в правой останется 0:
     –4.8 + 1.3x – 1.5x – 12 = 0

     Далее надо привести подобные члены:
     –0.2x – 16.8 = 0

     Теперь уравнение приведено к стандартному виду и можно его решить:
     x = 16.8 / 0.2
     x = 84

     Уравнение. Линейное уравнение с одной переменной. Решение задач с помощью уравнений 7 класс онлайн-подготовка на

     Уравнение. Линейное уравнение с одной переменной. Решение задач с помощью уравнений

     Равенство, содержащее переменную, называют уравнением.

     Значение переменной, при которой уравнение обращается в верное равенство, называют корнем уравнения.

     Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

     Решим уравнение

     (х-10)(х+5)(х-7) = 0

     Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем к нулю каждый множитель и найдем корни уравнения

     Х-10 = 0               х+5 = 0               х-7 = 0

     Х1 = 10               х2 = -5               х3 = 7

     Это уравнение имеет три корня.

     А вот уравнение

     0*х = 10 корней не имеет, поскольку для того, чтобы найти х нужно 10:0, а на ноль, как вы о делить нельзя.

     Уравнения, имеющие одинаковые корни, называют равносильными уравнениями. Также равносильными считаются уравнения, не имеющие корней.

     Например, уравнения 3*х = 9 и х-3 = 0

     Уравнение вида ах = b, где х – переменная, а а и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

     Выразим неизвестный множитель х.

     х = ab

     Если а≠0 и b≠0, то уравнение имеет единственный корень.

     Если а≠0 и b = 0, то уравнение не имеет корней, ведь на ноль делить нельзя.

     Если а = 0 и b = 0, то уравнение имеет бесконечное множество корней. Действительно, равенство

     0*х = 0 верно при любых значениях х.

     Часто мы используем уравнения для решения задач. При этом, как показывает практика, самое сложное – это правильно составить уравнение.

     Пожалуй, основное, от чего надо отталкиваться при составлении уравнения – это небольшое правило: обозначь за х то, что нужно найти в задаче. Если надо найти несколько величин, то обозначь за х меньшую из них.

     Рассмотрим задачу:

     За 9 часов теплоход проходит тот же путь по течению реки, что и за 11 часов против течения. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч.

     Итак, обозначим за х км/ч собственную скорость теплохода.

     Тогда скорость теплохода, когда он плывет по течению реки, будет (х+2) км/ч, а скорость теплохода, когда он плывет против течения реки – (х-2) км/ч.

     По течению реки теплоход шел 9 часов, значит за 9 часов он пройдет (х+2)*9 км.

     Против течения реки теплоход шел 11 часов. За 11 часов он пройдет (х-2)*11 км.

     В задаче сказано, что эти расстояния одинаковы, давай приравняем выражение для пути по течению к выражению для пути против течения. Получим такое уравнение:

     (х+2)*9 = (х-2)*11

     9х+18 = 11х-22

     11х-9х = 18+22

     2х = 40

     х = 20

     За х мы обозначали собственную скорость теплохода. Значит, собственная скорость теплохода – 20 км/ч. Это и есть ответ на вопрос задачи.

     Внеклассный урок — Уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Уравнения n-й степени.

     Уравнение с одной переменной.

     Уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Уравнения n-й степени

       

     Уравнение – это равенство, содержащее переменную, обозначенную буквой.

     Корень уравнения (или решение уравнения) – это такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство.

      

     Пример: решим уравнение (то есть найдем корень уравнения): 4x – 15 = x + 15

     Итак:
     4х – х = 15 + 15
     3х = 30
     х = 30 : 3
     х = 10

     Результат: уравнение имеет один корень – число 10.

     Уравнение может иметь и два, три, четыре и более корней. Например, уравнение (х-4)(х-5)(х-6) = 0 имеет три корня: 4, 5 и 6.

     Уравнение может вовсе не иметь корней. Например, уравнение х+2=х не имеет корней, т.к. при любом значении х равенство невозможно.

      

     Равносильность уравнений.

     Два уравнения являются равносильными, если они имеют одинаковые корни либо если оба уравнения не имеют корней.

     Пример1:

     Уравнения х + 3 = 5 и 3х – 1 = 5 равносильны, так как в обоих уравнениях х=2.

     Пример 2:

     Уравнения х⁴ + 2 = 1 и х² + 5 = 0 равносильны, так как оба уравнения не имеют корней.

      

     Целое уравнение с одной переменной

     Целое уравнение с одной переменной – это уравнение, левая и правая части которого являются целыми выражениями (о целых выражениях см.раздел «Рациональные выражения»).

     Уравнение с одной переменной может быть записано в виде P(x) = 0, где P(x) – многочлен стандартного вида.

     Например:
     y² + 3y – 6 = 0
     (здесь P(x) представлен в виде многочлена y² + 3y – 6).

     В таком уравнении степень многочлена называют степенью уравнения.

     В нашем примере представлено уравнение второй степени (так как в нем многочлен второй степени).

      

     Уравнение первой степени.

     Уравнение первой степени можно привести к виду:

     ax + b = 0,

     где x – переменная, a и b – некоторые числа, причем a ≠ 0.

     Отсюда легко вывести значение x:

                b
     x = – —
               a

     Это значение x является корнем уравнения.

     Уравнения первой степени имеют один корень.

      

     Уравнение второй степени.

     Уравнение второй степени можно привести к виду:

     ax² + bx + c = 0,

     где x – переменная, a, b, c – некоторые числа, причем a ≠ 0.

     Число корней уравнения второй степени зависит от дискриминанта:

     — если D > 0, то уравнение имеет два корня;

     — если D = 0, то уравнение имеет один корень;

     — если D < 0, то уравнение корней не имеет.

     Уравнение второй степени может иметь не более двух корней.

     (о том, что такое дискриминант и как находить корни уравнения, см.разделы «Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант» и «Другой способ решения квадратного уравнения»).

      

     Уравнение третьей степени.

     Уравнение третьей степени можно привести к виду:

     ax³ + bx² + cx + d = 0,

     где x – переменная, a, b, c, d – некоторые числа, причем a ≠ 0.

     Уравнение третьей степени может иметь не более трех корней.

      

     Уравнение четвертой степени.

     Уравнение четвертой степени можно привести к виду:

     ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e  = 0,

     где x – переменная, a, b, c, d, e – некоторые числа, причем a ≠ 0.

     Уравнение третьей степени может иметь не более четырех корней.

      

     Обобщение:

     1) уравнение пятой, шестой и т.д. степеней можно легко вывести самостоятельно, следуя приведенной выше схеме;

     2) уравнение n-й степени может иметь не более n корней.

      

     Пример 1: Решим уравнение

     x³ – 8x² – x + 8 = 0.

     Мы видим, что это уравнение третьей степени. Значит, у него может быть от нуля до трех корней.
     Найдем их и тем самым решим уравнение.
     Разложим левую часть уравнения на множители:

     x²(x – 8) – (x – 8) = 0.

     Применим правило разложения многочлена способом группировки его членов. Для этого поставим перед вторыми скобками число 1:

     x²(x – 8) – 1(x – 8) = 0.

     Теперь сгруппируем многочлены x² и –1, являющиеся множителями многочлена x–8.
     Получим две группы многочленов: (x² –1) и (x – 8). Следовательно, наше уравнение примет новый вид:

     (x – 8)(x² – 1) = 0.

     Здесь выражение x² – 1 можно представить в виде x² – 1².
     А значит, можем применить формулу сокращенного умножения: x² – 1² = (x – 1)(x + 1).
     Подставим в наше уравнение это выражение и получим:

     (x – 8)(x – 1)(x + 1) = 0.

     Дальше все просто. При x – 8 = 0 всё уравнение тоже равно нулю.
     И так – в случае и с двумя остальными выражениями x – 1 и x + 1. Таким образом:

     x – 8 = 0

     x – 1 = 0

     x + 1 = 0

     Осталось найти корни нашего уравнения:

     x₁ = 0 + 8 = 8

     x₂ = 0 + 1 = 1

     x₃ = 0 – 1 = –1.

     Уравнение решено. Оно имеет три корня: 8, 1 и –1.

      

     Пример 2: Решим уравнение

     (x² – 5x + 4)(x² – 5x +6) = 120.

     Это уравнение сложнее. Но его можно упростить оригинальным образом – методом введения новой переменной.
     В нашем уравнении дважды встречается выражение x² – 5x.
     Мы можем обозначить его переменной y. То есть представим, что x² – 5x = y.

     Тогда наше уравнение обретает более простой вид:

     (y + 4)(y + 6) = 120.

     Раскроем скобки:

     y² + 4y + 6y + 24 = 120

     y² + 10y + 24 = 120

     Приравняем уравнение к нулю:

     y² + 10y + 24 – 120 = 0

     y² + 10y – 96 = 0

     Мы получили обычное квадратное уравнение. Найдем его корни. Нет необходимости производить расчеты: о том, как решать подобные уравнения, подробно написано в разделах «Квадратные уравнения» и «Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант». Здесь же мы сразу выведем результат. Квадратное уравнение y² + 10y – 96 = 0 имеет два корня:

     y₁ = -16

     y₂ = 6

     Буквой y мы заменили выражение x² – 5x. А значит, мы уже можем подставить значения y и найти корни заданного уравнения, тем самым решив задачу:

     1) Сначала применяем значение y₁ = –16:

     x² – 5x = –16

     Чтобы решить это уравнение, превращаем его в квадратное уравнение:

     x² – 5x + 16 = 0

     Решив его, мы обнаружим, что оно не имеет корней.

     2) Теперь применяем значение y₂ = 6:

     x² – 5x = 6

     x² – 5x – 6 = 0

     Решив это квадратное уравнение, мы увидим, что у него два корня:

     x₁ = –1

     x₂ = 6.

     Уравнение решено. Оно имеет два корня: –1 и 6.

      

     Метод введения новой переменной позволяет легко решать уравнения четвертой степени, которые являются квадратными относительно x² (такие уравнения называют биквадратными).

     Решение уравнений. Линейное уравнение с одной переменной

     Равенство, содержащее неизвестную переменную, называется уравнением.

     Всякое значение переменной, при котором выражения принимают равные числовые значения, называется корнем уравнения.

     Решить уравнение – значит найти все его корни или установить, что их нет.

     При решении уравнений используются следующие свойства:

     1. корни уравнения не изменятся, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю;
     2. если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив знак, то получится уравнение, равносильное данному.

     Например:

         \(\begin{aligned} 1)\ &6x-7= 11\\ &6x= 11+7\\ &6x= 18\\ &x= 3 \end{aligned}\)           \(\begin{aligned} 2)\ &22+3x=37\\ &3x=37-22\\ &3x=15\\ &x=5 \end{aligned}\)

     Если в уравнении присутствуют подобные слагаемые, следует перенести все подобные в одну часть уравнения, а числовые слагаемые в другую и привести подобные, затем найти корни.

     Например:
     
              \(5x + 13 = 3x — 3 \\5x — 3x = — 3 — 13 \\2x = — 16 \\x = -8\)

     Линейным уравнение с одной переменной х называют уравнение вида ах + b = 0, где a и b – любые числа (коэффициенты).

     Решить линейное уравнение – значит найти все значения переменной (неизвестной), при каждом из которых уравнение обращается в верное числовое равенство. Каждое такое значение переменной называют корнем уравнения.

     Если а = 0 и b = 0, то есть уравнение имеет вид 0 · х + 0 = 0, то корнем уравнения является любое число (бесконечное множество корней).

     Если а = 0 и b ≠ 0, то есть уравнение имеет вид 0 · х + b = 0, то ни одно число этому уравнению не удовлетворяет, уравнение не имеет корней.

     Алгоритм решения линейного уравнения ax + b = 0 в случае, когда а ≠ 0:

     1. преобразовать уравнение к виду ax = –b;
     2. записать корень уравнения в виде x = (–b) : а.

     Два уравнения называют равносильными, если они имеют одни и те же корни или оба не имеют корней. Равносильность уравнений обозначают символом «⇔».

     Например: равносильны уравнения 4х – 2 = 0 и 2х – 1 = 0, каждый из них имеет корень х = 0,5.

     Уравнения с одной переменной. Корни уравнения. Линейные уравнения. К1

     Данный модуль состоит из 5 заданий. Задания предназначены для проверки усвоения учащимися понятий «корень уравнения», «линейное уравнение», «равносильные уравнения»; умения решать линейные уравнения с одной переменной и уравнения, приводящиеся к линейным, а также определять число корней линейного уравнения в зависимости от его коэффициентов. Все задания данного учебного модуля параметризированы. Это позволяет формировать индивидуальные задания для каждого учащегося.

     Категория пользователей
     Обучаемый, Преподаватель

     Дисциплины
     Математика
     / Уравнения с одной переменной. Корни уравнения. Линейное уравнение

     Уровень образования
     Профессионально-техническая подготовка, повышение квалификации

     Статус
     Завершенный вариант (готовый, окончательный)

     Тип ИР сферы образования
     информационный модуль

     Ключевые слова
     уравнение, корень уравнения, решить уравнение,

     Издатель

     ООО «Кирилл и Мефодий»

     ООО «Кирилл и Мефодий»

     Россия, 127549, Москва, стр.1, ул. Пришвина, 8

     Тел. — +7-495- 787-2610, +7-495- 787-2610
     Сайт —
     http://www.nmg.ru
     

     Правообладатель

     ООО «Кирилл и Мефодий»

     ООО «Кирилл и Мефодий»

     Россия, 127549, Москва, стр.1, ул. Пришвина, 8

     Тел. — +7-495- 787-2610, +7-495- 787-2610
     Сайт —
     http://www. nmg.ru
     

     Внимание! Для воспроизведения модуля необходимо установить на компьютере проигрыватель ресурсов.

     Характеристики информационного ресурса

     Тип используемых данных:
     text/plain, text/html, image/jpeg

     Объем цифрового ИР
     1 225 394 байт

     Проигрыватель

     Категория модифицируемости компьютерного ИР

     Признак платности
     бесплатный

     Наличие ограничений по использованию
     нет ограничений

     Рубрикация

     Ступени образования
     Основное общее образование

     Целевое назначение
     Учебное

     Тип ресурса
     Открытая образовательная модульная мультимедийная система (ОМС)

     Классы общеобразовательной школы
     7

     Уровень образовательного стандарта
     Федеральный

     Характер обучения
     Базовое

     Уравнений с одной переменной в алгебре: математические стратегии ACT

     Уравнения с одной переменной являются одними из наиболее распространенных типов задач в разделе математики ACT. Вы должны знать, как составлять, использовать и управлять такими уравнениями, поскольку они являются основополагающим элементом математики, на котором основаны более сложные выражения (множественные переменные, квадраты и т. Д.).

     Поэтому убедитесь, что вы готовы заняться тонкостями уравнений с одной переменной (независимо от того, как они представлены в ACT), прежде чем приступить к некоторым из более сложных элементов математики ACT.

     Это руководство будет вашим полным обзором уравнений с одной переменной для ACT — что это такое, как вы увидите их в тесте, а также как их составить и решить.

     
     И тайна раскрывается.

     Что такое уравнения с одной переменной?

     Чтобы понять уравнение с одной переменной, давайте разберем его на две составляющие: переменную и уравнение.

     Переменная является символическим заполнителем для числа, которое мы еще не знаем. Очень часто в математических задачах используются переменные $ x $ или $ y $, но переменные могут быть представлены любым символом или буквой.

     $ x + 4 = 14 $

     В данном случае $ x $ — наша переменная. Он представляет собой число, которое в настоящее время неизвестно.

     
     

     Уравнение устанавливает два равных друг другу математических выражения. Это равенство представлено знаком равенства (=), и каждая сторона выражения может быть простой, как одно целое число, или сложной, как выражение с несколькими переменными, показателями степени или чем-либо еще.2}) / 14 — 65 (x — 3) = 2

     долларов США

     Выше приведен пример уравнения. Каждая сторона выражения равна другой.

     Итак, если мы сложим наши определения, мы узнаем, что:

     
     

     Уравнение с одной переменной — это уравнение, в котором используется только одна переменная . (Примечание: переменную можно использовать несколько раз и / или использовать с любой стороны уравнения; важно только то, что переменная остается той же.)

     $ {(x + 4)} / 2 = 12

     $

     $ 6x + 3 — 2x = 19 $

     $ 4y — 2 = y + 7 $

     Это все примеры уравнений с одной переменной. Вы можете увидеть, как некоторые выражения использовали переменную несколько раз или использовали переменную в и обоих выражениях (по обе стороны от знака равенства).

     Независимо от того, сколько раз используется переменная, они все равно считаются проблемами с одной переменной, потому что переменная остается постоянной и других переменных нет.

     Нахождение пропавшей переменной похоже на поиск последнего недостающего фрагмента головоломки.

     Типичные уравнения с одной переменной на ACT

     Уравнения с одной переменной подразделяются на две широкие категории в уравнениях, заданных в ACT, и в задачах со словами. Давайте посмотрим на каждый тип.

     
     

     Данные уравнения

     Данное уравнение даст вам уравнение, которое нужно использовать для решения проблемы.В следующем разделе мы рассмотрим точные процессы, необходимые для решения такого рода проблем, а пока просто поймите, что ваша цель — изолировать переменную.

     (мы рассмотрим, как решить этот вопрос позже в руководстве)

     Как видно из этой задачи, изолированная переменная не может быть вашим окончательным ответом . Иногда вам будет предложено решить для $ x $, иногда вам будет предложено решить для $ x $ с другим термином (как в этом случае, когда они просят вас найти $ 2x $).

     Всегда обращайте пристальное внимание на именно на то, что просит вас найти! Вам нужно сначала изолировать свои $ x $, чтобы решить проблему, но если вы остановитесь на этом, вы получите неправильный окончательный ответ.

     
     

     Проблемы Word

     Словесная проблема описывает сцену, в которой вы должны создать собственное уравнение с одной переменной для ее решения. Опять же, вашим окончательным ответом может быть значение вашей переменной ($ x $ или $ y $ и т. Д.) или ваша переменная перенесена в другой термин ($ 2x $, $ y / 2 $ и т. д.).

     (мы рассмотрим, как решить этот вопрос позже в руководстве)

     
     

     Как управлять уравнением с одной переменной

     Чтобы решить уравнение с одной переменной, мы должны изолировать нашу переменную с одной стороны уравнения. И мы делаем это, сдвигая остальные члены на другую сторону уравнения.

     Чтобы сдвинуть наши термины (числа), мы должны сократить их на их исходную сторону, выполнив функцию, противоположную термину.

     Противоположные пары функций:

     Сложение и вычитание

     Умножение и деление

     
     

     Итак, если у нас есть член на одной стороне со знаком плюс (сложение), мы должны вычесть на ту же сумму с обеих сторон.

     $ x + 2 = 6 $

     $ x + 2 — 2 = 6 — 2 $

     $ x = 4 $

     Если у нас есть член, который умножается, мы должны разделить на ту же сумму с обеих сторон.

     $ 3x = 18 $

     $ {3x} / 3 = 18/3 $

     $ х = 6 $

     И так далее.

     
     

     Что бы вы ни делали с одной стороны уравнения, вы должны делать с другой. Это отменяет одинаковые члены и по существу перемещает ваши члены из одной части уравнения в другую.

     Уравнения с одной переменной предназначены для поддержания баланса.

     Шаги к решению проблемы с одной переменной

     Давайте возьмем типичное выражение переменной и разберем его на шаги, необходимые для его решения.

     $ 3г — 10 + 2г = 15 $. Найдите $ y $.

     
     

     1) Объедините похожие термины

     Если существует более одного термина с одной и той же переменной, мы должны объединить их, чтобы в конечном итоге изолировать эту переменную. Мы можем складывать или вычитать члены одной и той же переменной так же, как и любые другие числа.

     Здесь у нас есть 3y $ и 2y $. Они оба положительные, поэтому мы складываем их вместе.

     Итак, теперь наше уравнение выглядит так:

     
     

     2) Изолировать термин с вашей переменной

     После того, как мы объединили наши переменные, мы должны изолировать член переменной.Если термин — это просто сама переменная (например, $ y $), то мы можем пропустить этот шаг. Но поскольку наш термин her составляет $ 5y $, мы должны сначала выделить весь термин.

     Итак, мы должны добавить 10 к любой части нашего уравнения. Почему? Потому что у нас отрицательная 10, а сложение противоположно вычитанию. И мы должны сделать это с любой стороны, чтобы отменить 10 в первом выражении, чтобы изолировать нашу переменную.

     $ 5лет — 10 + 10 = 15 + 10 $

     $ 5лет = 25 $

     
     

     3) Изолировать вашу переменную

     Теперь, когда мы изолировали наш термин ($ 5y $), мы можем дополнительно изолировать саму переменную.

     Опять же, мы выполняем функцию, противоположную термину. В этом случае у нас есть $ 5y $, в котором используется умножение. Следовательно, чтобы изолировать переменную, мы должны использовать деление (противоположное умножению) путем деления на обе стороны.

     $ 5лет = 25 $

     $ {5y} / 5 = 25/5

     $

     $ у = 5 $

     
     

     4) Еще раз проверьте переменную, вставив ее обратно в

     Теперь, когда мы решили для нашей переменной, давайте проверим, чтобы убедиться, что она верна, вставив ее обратно в исходное уравнение.

     $ у = 5 $

     $ 3y — 10 + 2y = 15 $

     $ 3 (5) — 10 + 2 (5) = 15 $

     15–10 + 10 = 15

     15 долларов = 15

     долларов

     Успех! Мы правильно изолировали переменную и нашли ее значение.

     
     

     5) И, наконец, перепроверьте, чтобы убедиться, что вы отвечаете на правильный вопрос!

     В этом случае мы закончили, потому что наш первоначальный вопрос просил нас найти значение $ y $. Но вы всегда должны перепроверять, чтобы убедиться, что отвечаете на правильный вопрос.Если бы они спросили у нас значение для $ 5y $ или $ y / 3 $, то мы бы получили неправильный ответ, если бы остановились на этом значении $ y = 5 $.

     Всегда перепроверяйте, что ваша переменная верна и что вы отвечаете на вопрос, на который вас просят ответить.

     
     

     Теперь давайте попробуем еще раз с нашей предыдущей проблемой:

     У нас есть $ 7 + 3x = 22 $, и мы должны изолировать нашу переменную, чтобы в конечном итоге найти $ 2x $

     .

     Шаг 1, объедините похожие термины:

     Нет подобных терминов для объединения, поэтому мы можем пропустить шаг 1.

     
     

     Шаг 2, выделите переменный член:

     $ 7 + 3x = 22 $

     $ 7-7 + 3x = 22-7 $

     $ 3x = 15 $

     
     

     Шаг 3, изолировать переменную:

     $ 3x = 15 $

     $ {3x} / 3 = 15/3 $

     $ x = 5 $

     
     

     Шаг 4, проверьте ответ еще раз:

     $ 7 + 3 (5) = 22 $

     $ 7 + 15 = 22 $

     22 доллара = 22

     доллара
     
     

     Успех. Но ждать! Мы еще не закончили.

     
     

     Шаг 5, посмотрите, что задает последний вопрос:

     Мы должны закончить вопрос, найдя $ 2x $

     $ x = 5 $

     $ 2 (5) = 10 $

     Итак, , наш окончательный ответ — G , $ 2x = 10 $

     .

     
     Может показаться, что выполнение уравнения с одной переменной требует большого количества шагов, но чем больше вы практикуетесь, тем проще и инстинктивнее станет этот процесс.
     

     Проверьте свои знания

     
     

     Ответы: C, G, B, G, E

     
     

     Объяснение ответа:

     1) Мисс Льюис начинает с проезда 900 миль со скоростью 50 миль в час, и мы хотим выяснить, насколько быстрее она должна ехать, чтобы преодолеть такое же количество миль за три часа меньше времени. Поскольку она ведет такую ​​же сумму, мы можем установить эти условия равными.

     Мы также работаем только с переменной в милях в час, так что это уравнение с одной переменной.

     Теперь две стороны уравнения имеют дело с милями и милями в час. Первая половина нашего уравнения будет выглядеть так:

     $ (900/50) — 3 $

     Почему? Поскольку мисс Льюис проезжает 900 миль со скоростью 50 миль в час, поэтому нам нужно разделить мили на мили в час, чтобы узнать время ее поездки. И , а затем , мы должны уменьшить это количество на 3, потому что нам сказали, что ее новое время в пути будет на 3 мили меньше этого.

     Это означает, что другая половина нашего уравнения будет выглядеть так:

     900 долл. США / x 9000 долл. США 3

     Почему? Потому что мы знаем, что количество миль, которые она проехала, будет таким же, но нам неизвестно, сколько миль она проехала в час.

     Теперь давайте соединим их и решим для нашей переменной.

     $ (900/50) — 3 = 900 / x

     $

     $ 18 — 3 = 900 / x

     $

     15 долларов = 900 / x

     доллара

     Теперь мы должны выделить наше значение $ x $. Поскольку он действует как знаменатель, мы должны умножить обе части уравнения на $ x $.

     долл. США x * 15 = (900 / x) * x

     долл. США

     $ 15x = 900 $

     Теперь мы можем разделить обе стороны на 15, чтобы выделить наше значение $ x $.

     $ 15x = 900 $

     $ {15x} / 15 = 900/15 $

     $ х = 60 $

     Наконец, давайте снова подставим это значение в исходное уравнение, чтобы перепроверить наш ответ.

     $ (900/50) — 3 = 900 / x

     $

     $ (900/50) — 3 = 900/60 $

     15 долларов = 15

     долларов

     Мы успешно нашли наше значение $ x $, которое представляет собой новый пробег в час, который г-жа.Льюис должен путешествовать.

     Но подождите, мы еще не закончили! В вопросе нам предлагалось выяснить, насколько быстрее она должна проехать, а не новые мили в час, с которыми она должна ехать. Это означает, что мы должны взять разницу между исходными милями в час и новыми милями в час.

     60–50 долларов = 10

     Она должна ехать на 10 миль в час быстрее, чтобы проехать столько же за три часа меньше времени.

     Итак, , наш окончательный ответ — C , 10.

     2) Здесь у нас есть две кабельные компании, и нам сказали, что мы должны решить, когда их ставки станут равными через одинаковое количество месяцев.Это означает, что у нас есть одна переменная (количество месяцев), и у нас есть уравнение, потому что мы устанавливаем каждую сторону равной (поскольку в вопросе указано, что их цены будут равны через неизвестное количество месяцев).

     Uptown Cable имеет фиксированную плату в размере 120 долларов и дополнительную плату в размере 25 долларов в месяц. Фиксированная плата не изменится (это происходит только один раз), но 25 долларов будут зависеть от количества месяцев. Поскольку количество месяцев — наша неизвестная переменная, давайте присвоим ей значение $ x $.

     Итак, наше первое выражение будет выглядеть так:

     120 $ + 25x $

     Now Downtown Cable имеет фиксированную плату в размере 60 долларов (происходит только один раз) и 35 долларов в месяц. Мы пытаемся найти , равное количеству месяцев для пакета Downtown Cable и пакета Uptown Cable, поэтому наша переменная $ x $ останется прежней. Итак, наше второе выражение будет выглядеть так:

     $ 60 + 35x $

     Теперь мы устанавливаем два выражения равными друг другу. (Почему? Потому что нам говорят, что через определенное количество месяцев цены будут равны.)

     120 долларов + 25x = 60 + 35x

     долларов США

     Теперь мы решаем, сдвигая члены с каждой стороны уравнения. Во-первых, давайте объединим наши переменные члены, вычтя 25x с каждой стороны.

     120 + 25x — 25x = 60 + 35x — 25x

     долларов США

     120 долларов = 60 + 10x 9000 долларов 3

     Теперь вычтем по 60 с каждой стороны.

     120–60 долларов = 60–60 + 10x

     долларов США

     60 долларов = 10x

     долларов

     И, наконец, выделим нашу переменную.

     60 долл. США / 10 = {10x} / 10 долл. США

     6 долларов = x

     доллара

     Итак, наш окончательный ответ — G , ровно через 6 месяцев цены на каждый пакет кабеля будут равны.

     
     

     3) Этот вопрос основан на манипулировании дробями. Если этот процесс вам незнаком, обязательно ознакомьтесь с нашим руководством по фракциям и соотношениям ACT. Если этот вам знаком , то давайте продолжим.

     $ {1/3} k + {1/4} k = 1 $

     Мы должны найти общий знаменатель двух дробей, чтобы объединить наши одинаковые термины. В этом случае наименьший общий множитель 3 и 4 равен 12. (Подробнее об этом процессе читайте в нашем руководстве по фракциям и соотношениям ACT.)

     $ {4/12} k + {3/12} k = 1 $

     долл. США {7/12} k = 1

     долл. США

     Теперь у нас есть число (7), деленное на другое число (12). Мы знаем, что деление противоположно умножению, поэтому мы должны умножить каждую сторону на 12.

     12 долларов США * {7/12} k = 1 * 12

     долларов США

     7 тыс. = 12

     И, наконец, мы должны разделить каждую сторону на 7, чтобы изолировать нашу переменную.

     7 тыс. = 12

     {7k} долл. США / 7 = 12/7

     долл. США

     $ k = 12/7

     $

     Итак, , наш окончательный ответ — B , $ 12/7 $

     
     

     4) У нас есть консультант с фиксированной (единовременной) оплатой 30 долларов и дополнительной оплатой 45 долларов в час.Поскольку 45 долларов почасовые, они меняются в зависимости от нашей переменной (количества часов). Мы не знаем, сколько часов она работает, но знаем, что ее окончательный заработок составлял 210 долларов. Итак, давайте представим это в виде уравнения.

     30 $ + 45x = 210 $

     Подобных терминов нет, поэтому мы можем начать изолировать нашу переменную.

     30–30 долларов США + 45x = 210–30 долларов США

     $ 45x = 180 $

     $ {45x} / 45 = 180/45 $

     $ x = 4 $

     Итак, , наш окончательный ответ — G , она проработала 4 часа, чтобы заработать 210 долларов.

     
     

     5) Это проблема с одной переменной, которую можно решить одним из двух способов: вы можете сначала распределить, а затем решить, или вы можете решить без необходимости распространения. Здесь мы пойдем обоими путями.

     Решить с разводкой:

     $ 9 (x — 9) = -11 $

     Сначала распределите ваши 9 по выражению $ (x — 9) $

     $ 9 (x) — 9 (9) = -11 $

     $ 9x — 81 = -11 $

     Теперь, как обычно, изолируйте свой переменный член.

     $ 9x — 81 + 81 = -11 + 81 $

     $ 9x = 70 $

     И, наконец, изолируйте свою переменную.

     $ 9x = 70 $

     $ {9x} / 9 = 70/9 $

     Итак, , наш окончательный ответ — E , 70/9.

     
     

     В качестве альтернативы вы можете решить эту проблему без необходимости распределять число 9 по выражению (x — 9)

     Решить без разводки:

     $ 9 (x — 9) = -11 $

     Разделите каждую сторону на 9

     $ {9 (x — 9)} / 9 = -11 / 9 $

     $ x — 9 = -11 / 9 $

     Теперь мы должны добавить по 9 с каждой стороны.

     $ x — 9 + 9 = -11/9 + 9 $

     $ x = -11/9 + 9

     $

     Чтобы сложить -11 / 9 $ и 9, мы должны дать им общий знаменатель. Опять же, ознакомьтесь с руководством по дробям и отношениям, если этот процесс вам незнаком.

     $ x = -11/9 + 9/1 (9/9)

     $

     $ x = -11/9 + 81/9

     $

     $ x = 70/9 $

     Итак, , наш ответ — E , 70/9.

     
     Уф! Я думаю, это требует десерта.
     

     Итоги

     Отдельные вариации составляют основу многих других проблем ACT.Зная, как манипулировать такими выражениями, вы сможете использовать эти методы для решения гораздо более сложных задач и уравнений.

     Просто не забывайте всегда выполнять одно и то же действие с каждой стороной уравнения и сохранять изоляцию переменной напоследок. Теперь возьмите свои знания об одной переменной и изучите остальные наши руководства по математике. У тебя есть это.

     
     

     Что дальше?

     Вы создали свой математический фундамент, и теперь вам не терпится заняться чем-нибудь еще. Прежде чем приступить к изучению другого руководства по математической теме ACT, убедитесь, что у вас есть хорошее представление обо всех темах, охватываемых математикой ACT.

     Думаете, вам может понадобиться репетитор? Узнайте, как лучше всего найти учителя, который соответствует вашим потребностям, онлайн или лично.

     Сдали практический тест и не знаете, как вы подходите к школе? Убедитесь, что вы хорошо представляете, какой на самом деле ваш идеальный результат.

     И если вы чувствуете, что разбираетесь в самой математике, но боретесь с расчетом времени , то обязательно ознакомьтесь с нашей статьей о том, как перестать не хватать времени на ACT.

     Хотите улучшить свой результат ACT на 4 балла?

     Ознакомьтесь с нашей лучшей в своем классе онлайн-программой подготовки к ACT. Мы гарантируем возврат ваших денег , если вы не улучшите свою оценку ACT на 4 или более балла.

     Наша программа полностью интерактивна, и она адаптирует то, что вы изучаете, к вашим сильным и слабым сторонам. Если вам понравился этот урок математики, вам понравится наша программа. Наряду с более подробными уроками вы получите тысячи практических задач, организованных по индивидуальным навыкам, чтобы вы могли учиться наиболее эффективно.Мы также дадим вам пошаговую программу, которой нужно следовать, чтобы вы никогда не запутались, что изучать дальше.

     Воспользуйтесь нашей 5-дневной бесплатной пробной версией:

     Решение линейных уравнений с одной переменной

     Линейное уравнение — это уравнение прямой, записанное с одной переменной. Единственная степень переменной — 1. Линейные уравнения с одной переменной могут иметь вид [latex] ax + b = 0 [/ latex] и решаются с использованием основных алгебраических операций.

     Мы начинаем с классификации линейных уравнений с одной переменной как одного из трех типов: тождественные, условные или противоречивые. Уравнение идентичности верно для всех значений переменной. Вот пример тождественного уравнения.

     [латекс] 3x = 2x + x [/ латекс]

     Набор решений состоит из всех значений, которые делают уравнение истинным. Для этого уравнения набором решений является все действительные числа, потому что любое действительное число, замененное на [латекс] x [/ латекс], сделает уравнение истинным.

     Условное уравнение верно только для некоторых значений переменной. Например, если нам нужно решить уравнение [латекс] 5x + 2 = 3x — 6 [/ latex], мы имеем следующее:

     [латекс] \ begin {array} {l} 5x + 2 \ hfill & = 3x — 6 \ hfill \\ 2x \ hfill & = — 8 \ hfill \\ x \ hfill & = — 4 \ hfill \ end {array} [/ латекс]

     Набор решений состоит из одного числа: [латекс] \ {- 4 \} [/ латекс]. Это единственное решение, поэтому мы решили условное уравнение.

     Непоследовательное уравнение приводит к ложному утверждению. Например, если мы должны решить [латекс] 5x — 15 = 5 \ left (x — 4 \ right) [/ latex], мы получим следующее:

     [латекс] \ begin {array} {ll} 5x — 15 = 5x — 20 \ hfill & \ hfill \\ 5x — 15 — 5x = 5x — 20 — 5x \ hfill & \ text {Subtract} 5x \ text {from обе стороны}. \ hfill \\ -15 \ ne -20 \ hfill & \ text {Ложный оператор} \ hfill \ end {array} [/ latex]

     Действительно, [латекс] -15 \ ne -20 [/ латекс]. Нет решения, потому что это противоречивое уравнение.

     Решение линейных уравнений с одной переменной включает фундаментальные свойства равенства и основные алгебраические операции.Ниже приводится краткий обзор этих операций.

     Общее примечание: линейное уравнение с одной переменной

     Линейное уравнение с одной переменной можно записать в виде

     [латекс] ax + b = 0 [/ латекс]

     , где a и b — действительные числа, [латекс] a \ ne 0 [/ латекс].

     Как сделать: дано линейное уравнение с одной переменной, используйте алгебру для его решения.

     

     Следующие шаги используются для манипулирования уравнением и выделения неизвестной переменной, так что последняя строка читается как x = _________, если x — неизвестное.Нет установленного порядка, так как используемые шаги зависят от того, что указано:

     1. Мы можем складывать, вычитать, умножать или делить уравнение на число или выражение, если мы делаем то же самое с обеими сторонами знака равенства. Обратите внимание, что мы не можем делить на ноль.
     2. Примените свойство распределения по мере необходимости: [latex] a \ left (b + c \ right) = ab + ac [/ latex].
     3. Выделите переменную на одной стороне уравнения.
     4. Когда переменная умножается на коэффициент на последнем этапе, умножьте обе части уравнения на обратную величину коэффициента.

     Пример 1: Решение уравнения с одной переменной

     Решите следующее уравнение: [латекс] 2x + 7 = 19 [/ латекс].

     Решение

     Это уравнение можно записать в виде [латекс] ax + b = 0 [/ латекс], вычитая [латекс] 19 [/ латекс] с обеих сторон. Однако мы можем перейти к решению уравнения в его исходной форме, выполнив алгебраические операции.

     [латекс] \ begin {array} {ll} 2x + 7 = 19 \ hfill & \ hfill \\ 2x = 12 \ hfill & \ text {Вычтите 7 с обеих сторон}.\ hfill \\ x = 6 \ hfill & \ text {Умножьте обе стороны на} \ frac {1} {2} \ text {или разделите на 2}. \ hfill \ end {array} [/ latex]

     Решение [латекс] x = 6 [/ латекс].

     Попробуй 1

     Решите линейное уравнение с одной переменной: [латекс] 2x + 1 = -9 [/ латекс].

     Решение

     Пример 2: Алгебраическое решение уравнения, когда переменная появляется с обеих сторон

     Решите следующее уравнение: [латекс] 4 \ left (x — 3 \ right) + 12 = 15-5 \ left (x + 6 \ right) [/ latex].

     Решение

     Примените стандартные алгебраические свойства.

     [латекс] \ begin {array} {ll} 4 \ left (x — 3 \ right) + 12 = 15-5 \ left (x + 6 \ right) \ hfill & \ hfill \\ 4x — 12 + 12 = 15 — 5x — 30 \ hfill & \ text {Применить свойство распределения}. \ Hfill \\ 4x = -15 — 5x \ hfill & \ text {Объединить похожие термины}. \ Hfill \\ 9x = -15 \ hfill & \ text {Поместите} x- \ text {термины на одну сторону и упростите}. \ hfill \\ x = — \ frac {15} {9} \ hfill & \ text {Умножьте обе стороны на} \ frac {1} {9 } \ text {, обратное 9}.\ hfill \\ x = — \ frac {5} {3} \ hfill & \ hfill \ end {array} [/ latex]

     Анализ решения

     Эта задача требует, чтобы свойство распределения применялось дважды, а затем свойства алгебры используются для достижения последней строки, [latex] x = — \ frac {5} {3} [/ latex].

     Попробуй 2

     Решите уравнение с одной переменной: [латекс] -2 \ left (3x — 1 \ right) + x = 14-x [/ latex].

     Решение

     уравнений с более чем одной переменной

     Показать общее уведомление

     Показать мобильное уведомление

     Показать все заметки Скрыть все заметки

     Это немного заранее, но я хотел сообщить всем, что мои серверы будут проходить техническое обслуживание 17 и 18 мая с 8:00 AM CST до 14:00 PM CST. Будем надеяться, что единственное неудобство будет заключаться в периодическом «потерянном / разорванном» соединении, которое следует исправить, просто перезагрузив страницу. В остальном обслуживание (скрестив пальцы) должно быть «невидимым» для всех.

     Пол
     6 мая 2021 г.

     Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

     Раздел 2-4: Уравнения с более чем одной переменной

     В этом разделе мы собираемся взглянуть на тему, которая часто не получает должного освещения на уроках алгебры. Вероятно, это потому, что он не используется более чем в паре разделов в классе алгебры. Однако эта тема может и часто широко используется в других классах.

     Здесь мы будем решать уравнения, в которых есть более одной переменной. Процесс, который мы здесь пройдем, очень похож на решение линейных уравнений, что является одной из причин, по которой это вводится именно сейчас. Однако есть одно исключение. Иногда, как мы увидим, порядок выполнения некоторых задач может быть другим.Вот процесс в стандартном порядке.

     1. Умножьте обе стороны на ЖК-дисплей, чтобы удалить любые дроби.
     2. Максимально упростите обе стороны. Это часто означает удаление скобок и тому подобное.
     3. Переместите все члены, содержащие переменную, для которой мы решаем, в одну сторону, а все термины, которые не содержат переменную, в противоположную сторону.
     4. Получите единственный экземпляр переменной, которую мы решаем в уравнении.Для задач, которые мы здесь рассмотрим, это почти всегда достигается простым вычленением переменной из каждого члена.
     5. Разделите на коэффициент переменной. Этот шаг будет иметь смысл, поскольку мы работаем над проблемами. Также обратите внимание, что в этих задачах «коэффициент», вероятно, будет содержать не числа, а другие вещи.

     Обычно проще всего увидеть, с чем мы будем работать и как они работают, на примере.Мы также дадим основной процесс решения этих проблем в первом примере.

     Пример 1 Решите \ (A = P \ left ({1 + rt} \ right) \) для \ (r \).

     Показать решение

     Здесь мы ищем выражение в форме

     \ [r = \ underline {{\ mbox {Уравнение с числами}} A, \, P, \, {\ mbox {and}} t} \]

     Другими словами, единственное место, где мы хотим видеть \ (r \), — это само по себе слева от знака равенства.Нигде в уравнении не должно быть других \ (r \). Приведенный выше процесс должен сделать это за нас.

     Хорошо, давайте займемся этой проблемой. У нас нет дробей, поэтому нам не о чем беспокоиться. Для упрощения умножим \ (P \) на скобки. Это дает

     \ [A = P + Prt \]

     Теперь нам нужно получить все члены с \ (r \) на одной стороне. Это уравнение уже настроено для нас, что приятно.Затем нам нужно переместить все термины, в которых нет символа \ (r \), на другую сторону. Это означает вычитание \ (P \) с обеих сторон.

     \ [A — P = Prt \]

     В качестве последнего шага разделим обе части на коэффициент при \ (r \). Кроме того, как отмечалось в описанном выше процессе, «коэффициент» не является числом. В данном случае это Pt . На этом этапе коэффициент переменной — это просто все, что умножает переменную.

     \ [\ frac {{A — P}} {{Pt}} = r \ hspace {0.5 дюймов} \ Rightarrow \ hspace {0,5 дюйма} r = \ frac {{A — P}} {{Pt}} \]

     Чтобы получить окончательный ответ, мы пошли дальше и перевернули порядок, чтобы получить ответ в более «стандартной» форме.

     Мы будем работать над другими примерами чуть позже. Однако сначала отметим пару вещей. Эти проблемы сначала кажутся довольно сложными, но если задуматься, все, что мы действительно делали, это использовали тот же процесс, который мы использовали для решения линейных уравнений. Основное отличие, конечно же, в том, что в этом процессе больше «беспорядка».Это подводит нас ко второму пункту. Не увлекайтесь беспорядком в этих проблемах. Иногда проблемы могут быть немного беспорядочными, но необходимые шаги — это шаги, которые вы можете сделать! Наконец, ответ не будет простым числом, но опять же, он будет немного запутанным, часто более запутанным, чем исходное уравнение. Что
     это нормально и ожидается.

     Давайте поработаем еще несколько примеров.

     Пример 2 Решите \ (\ displaystyle V = m \ left ({\ frac {1} {b} — \ frac {{5aR}} {m}} \ right) \) для \ (R \).Показать решение

     Этот пример довольно похож на первый пример. Однако все работает немного иначе. Вспомните из первого примера, что мы сделали комментарий, что иногда необходимо изменить порядок шагов в процессе? Что ж, вот что мы собираемся здесь делать.

     Первый шаг в процессе говорит нам очистить дроби. Однако, поскольку дробь заключена в круглые скобки, давайте сначала умножим \ (m \) на скобки.Также обратите внимание, что если мы сначала умножим \ (m \) на одну, мы фактически очистим одну из дробей автоматически. Это облегчит нашу работу, когда мы очистим фракции.

     \ [V = \ frac {m} {b} — 5aR \]

     Теперь очистите дроби, умножив обе части на \ (b \). Мы также переместим все термины, в которых нет символа \ (R \), на другую сторону.

     \ [\ begin {align *} Vb & = m — 5abR \\ Vb — m & = — 5abR \ end {align *} \]

     Будьте осторожны, чтобы не потерять знак минус перед 5! Это очень легко потерять из виду.Последний шаг — разделить обе стороны на коэффициент при \ (R \), в данном случае -5ab .

     \ [R = \ frac {{Vb — m}} {{- 5ab}} = — \ frac {{Vb — m}} {{5ab}} = \ frac {{- \ left ({Vb — m} \ справа)}} {{5ab}} = \ frac {{- Vb + m}} {{5ab}} = \ frac {{m — Vb}} {{5ab}} \]

     Также обратите внимание, что мы немного изменили знак минус в знаменателе, чтобы можно было несколько упростить ответ.

     В предыдущем примере мы решили для \ (R \), но нет причин не решать для одной из других переменных в задачах.Например, рассмотрим следующий пример.

     Пример 3 Решите \ (\ displaystyle V = m \ left ({\ frac {1} {b} — \ frac {{5aR}} {m}} \ right) \) для \ (b \).

     Показать решение

     Первые несколько шагов идентичны предыдущему примеру. Сначала мы умножим \ (m \) в скобках, а затем умножим обе части на \ (b \), чтобы очистить дроби. Мы уже проделали эту работу, поэтому из предыдущего примера у нас есть

     \ [Vb — m = — 5abR \]

     В этом случае у нас есть \ (b \) по обе стороны от знака равенства, и нам нужны все члены с \ (b \) в них на одной стороне уравнения, а все остальные члены — с другой. сторона уравнения.В этом случае мы можем убрать минус, если соберем \ (b \) в левой части, а другие члены — в правой. Это дает

     \ [Vb + 5abR = m \]

     Теперь оба члена в правой части имеют в себе \ (b \), поэтому, если мы вычленим это из обоих членов, которые мы получим,

     \ [b \ left ({V + 5aR} \ right) = m \]

     Наконец, разделим на коэффициент при \ (b \). Вспомните также, что «коэффициент» — это все, что умножает \ (b \).Это дает

     \ [b = \ frac {m} {{V + 5aR}} \]

     Пример 4 Решите \ (\ displaystyle \ frac {1} {a} = \ frac {1} {b} + \ frac {1} {c} \) для \ (c \).

     Показать решение

     Во-первых, умножьте на ЖК-дисплей, который для этой задачи равен \ (abc \).

     \ [\ begin {align *} \ frac {1} {a} \ left ({abc} \ right) & = \ left ({\ frac {1} {b} + \ frac {1} {c}} \ right) \ left ({abc} \ right) \\ bc & = ac + ab \ end {align *} \]

     Затем соберите все \ (c \) с одной стороны (левый, вероятно, будет проще всего), вычлените \ (c \) из членов и разделите на коэффициент.

     \ [\ begin {align *} bc — ac & = ab \\ c \ left ({b — a} \ right) & = ab \\ c & = \ frac {{ab}} {{b — a}} \ конец {выравнивание *} \]

     Пример 5 Решите \ (\ displaystyle y = \ frac {4} {{5x — 9}} \) для \ (x \).

     Показать решение

     Сначала нам нужно очистить знаменатель. Для этого умножим обе части на \ (5x — 9 \). Мы также уберем все скобки в задаче после того, как произведем умножение.

     \ [\ begin {align *} y \ left ({5x — 9} \ right) & = 4 \\ 5xy — 9y & = 4 \ end {align *} \]

     Теперь мы хотим найти \ (x \), это означает, что нам нужно переместить все члены без \ (y \) в другую сторону.Итак, прибавьте 9 \ (y \) к обеим сторонам и разделите на коэффициент при \ (x \).

     \ [\ begin {align *} 5xy & = 9y + 4 \\ x & = \ frac {{9y + 4}} {{5y}} \ end {align *} \]

     Пример 6 Решите \ (\ displaystyle y = \ frac {{4 — 3x}} {{1 + 8x}} \) для \ (x \).

     Показать решение

     Этот пример очень похож на предыдущий. Вот работа для этой проблемы.

     \ [\ begin {align *} y \ left ({1 + 8x} \ right) & = 4 — 3x \\ y + 8xy & = 4 — 3x \\ 8xy + 3x & = 4 — y \\ x \ left ({8y + 3} \ right) & = 4 — y \\ x & = \ frac {{4 — y}} {{8y + 3}} \ end {align *} \]

     Как упоминалось в начале этого раздела, мы не так часто сталкиваемся с подобными проблемами в этом классе.Однако за пределами этого класса (например, класса Calculus) подобная проблема обнаруживается с удивительной регулярностью.

     Как создавать уравнения и неравенства с одной переменной — математический класс [2021]

     Создание уравнений и неравенств с одной переменной

     Как мы только что видели, мы можем создавать уравнения и неравенства с одной переменной, используя информацию, указанную в задаче. Для этого выполните следующие действия:

     1. Определите неизвестное и представьте его с помощью переменной.
     2. Составьте уравнение или неравенство, используя эту переменную.
     3. Решите уравнение или неравенство, чтобы найти ответ на проблему.

     Самый сложный шаг — это, вероятно, шаг 2, на котором мы задаем уравнение или неравенство. Чем больше мы работаем над созданием уравнений и неравенств с одной переменной, тем больше мы знакомы с процессом, поэтому давайте рассмотрим еще пару примеров.

     Другие примеры

     Предположим, что Ларри строит прямоугольное цементное основание на месте статуи в парке.Он знает, что основание должно иметь площадь 15 квадратных футов, а ширина должна быть на 2 фута короче длины. Он не знает, какими должны быть размеры основания. Давайте в этом разберемся!

     Сначала мы понимаем, что ищем длину и ширину основания. Мы также знаем, что ширина на 2 фута короче длины, поэтому, если мы допустим длину x , тогда ширина будет x — 2.

     Теперь нам просто нужно создать уравнение в x , используя информацию в задаче.Площадь прямоугольника определяется умножением длины на ширину. Следовательно, площадь прямоугольного основания будет следующей:

     • Площадь = (длина) (ширина) = x ( x — 2) = x 2 — 2 x

     Нам также дано, что площадь должна быть 15 квадратных футов, поэтому мы устанавливаем это значение равным формуле, которую мы только что нашли, чтобы получить наше уравнение с одной переменной.

     Отлично! Теперь нам просто нужно решить уравнение для x .Это квадратное уравнение, поэтому давайте воспользуемся факторингом для его решения.

     Получаем, что x = 5, поэтому длина основания будет 5 футов. Ширина на два фута короче, поэтому ширина составляет 3 фута, а размеры основания 5 футов на 3 фута.

     Еще один быстрый пример! Предположим, что Чак руководит розыгрышем благотворительности. Его бюджет составляет 100 долларов, а на расходные материалы он уже потратил 40 долларов. Ему нужно купить несколько брелков в качестве призов за дверь, а каждый брелок стоит 5 долларов.Сколько брелков он может купить, не выходя за рамки своего бюджета?

     Хммм… ну, неизвестно, сколько брелков Чак может купить, так что пусть это будет x . Мы знаем, что бюджет составляет 100 долларов, поэтому его общая потраченная сумма должна быть меньше или равна этой. Он уже потратил 40 долларов, а поскольку каждый брелок стоит 5 долларов, общая сумма, которую он потратит на брелки, составит 5 x . Следовательно, общая потраченная сумма будет равна сумме этих двух сумм, или 5 x + 40, поэтому мы имеем следующее неравенство.

     Все, что нам нужно сделать, это решить это неравенство для x , чтобы определить, сколько брелков он может купить.

     Мы получаем x ≤ 12, поэтому Чак может купить до 12 брелков, не выходя за рамки бюджета.

     Резюме урока

     Уравнение с одной переменной — это уравнение, в котором есть ровно одна переменная. Точно так же неравенство с одной переменной — это неравенство, в котором есть ровно одна переменная.Построение уравнений и неравенств с одной переменной — чрезвычайно полезный инструмент в математике. Для этого мы выполняем следующие шаги:

     1. Определите неизвестное и представьте его с помощью переменной.
     2. Составьте уравнение или неравенство, используя эту переменную.
     3. Решите уравнение или неравенство, чтобы найти ответ на проблему.

     Хотя поначалу это может показаться сложным, чем больше мы практикуемся, тем легче станет использовать информацию в данной задаче для создания уравнения или неравенства с одной переменной.Поэтому продолжайте практиковаться, и вы в кратчайшие сроки станете профессионалом!

     Уравнений с более чем одной переменной

     Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает
     или больше ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
     в
     информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
     ан
     Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
     средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

     Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
     в виде
     ChillingEffects.org.

     Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно
     искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
     на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

     Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

     Вы должны включить следующее:

     Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
     Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
     Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
     достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем
     а
     ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
     к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
     Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
     Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
     ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
     информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
     либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

     Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

     Чарльз Кон
     Varsity Tutors LLC
     101 S. Hanley Rd, Suite 300
     St. Louis, MO 63105

     Или заполните форму ниже:

     Linear Equations

     Линейные предложения с одной переменной могут быть уравнениями или неравенствами. Их объединяет то, что переменная имеет показатель степени 1, который понимается и поэтому никогда не записывается (кроме учебных целей).Их также можно представить на графике в виде прямой линии.

     Уравнение — это утверждение, в котором два математических выражения равны. Линейное уравнение с одной переменной — это уравнение с показателем степени 1 для переменной. Они также известны как уравнений первой степени , потому что наивысший показатель переменной равен 1. Все линейные уравнения в конечном итоге могут быть записаны в форме ax + b = c , где a , b и c — действительные числа, а a ≠ 0.Предполагается, что вы знакомы со свойствами сложения и умножения уравнений.

     • Свойство сложения уравнений: Если a , b и c — действительные числа и a = b , то a + c = b + c.

     • Свойство умножения уравнений: Если a , b и c — действительные числа и a = b , то ac = bc .

     Цель решения линейных уравнений состоит в том, чтобы изолировать переменную по обе стороны от уравнения, используя свойство сложения уравнений, а затем использовать свойство умножения уравнений, чтобы изменить коэффициент переменной на 1.

     Пример 1

     Решите относительно x : 6 (2 x — 5) = 4 (8 x + 7).

     Чтобы изолировать x с обеих сторон уравнения, вы можете либо добавить –12 x к обеим сторонам, либо прибавить –32 x к обеим сторонам.

     Умножьте каждую сторону на (или разделите каждую сторону на 20).

     Решение есть. На это указывает размещение раствора внутри фигурных скобок, чтобы сформировать набор. Этот набор называется набором решений уравнения. Вы можете проверить это решение, заменив x на в исходном уравнении. Набор решений есть.

     Пример 2

     Решить относительно x :.

     Это уравнение будет проще решить, предварительно очистив значения дроби.Для этого найдите наименьший общий знаменатель (LCD) для всех знаменателей в уравнении и умножьте обе части уравнения на это значение, используя свойство распределения.

     Не забывайте, что –2 распределяется по и , x и 4. Упростите обе стороны, объединив одинаковые термины.

     Вы можете убедиться в этом сами. Набор решений есть.

     простых уравнений в одной переменной — MathsTips.com

     Когда одно выражение равно другому, равенство этих выражений может выполняться либо для всех значений задействованных неизвестных переменных, либо для некоторых конкретных значений задействованных переменных. В первом случае это называется тождеством. Например, это верно для всех значений и. В последнем случае это называется уравнением. Например, что верно только тогда, когда.

     Определение

     Уравнение — это утверждение, в котором два алгебраических выражения связаны знаком равенства (=).Каждое выражение по обе стороны от знака равенства называется стороной или членом уравнения.

     Например, если выражения и равны по значению, то есть, то это алгебраическое утверждение называется уравнением, где, и являются членами уравнения. Решить уравнение — значит найти значение буквы. Эта буква называется переменной, неизвестной величиной или корнем уравнения. Переменные обычно представлены алфавитами, например,. Уравнение, в котором переменная первого порядка, т.е.е. уравнение, в котором наивысшая степень участвующих переменных равна 1, называется простым или линейным уравнением.

     Решение линейного уравнения:

     Решение линейного уравнения подчиняется следующим правилам:

     1. Если к двум выражениям по обе стороны от знака равенства добавляется одна и та же величина, то есть равные величины, то суммы равны.
     2. Если из двух выражений по обе стороны от знака равенства убрать одинаковую величину, т. Е. Равные величины, то разности равны.
     3. Если два выражения по обе стороны от знака равенства умножить на одно и то же количество, то произведения равны.
     4. Если два выражения по обе стороны от знака равенства разделить на одинаковую величину, то частные равны.

     Следствие 1:

     Из правил 1 и 2 мы можем вывести важный принцип, то есть любой член может быть перенесен с одной стороны знака равенства на другую, просто изменив его знак.

     Например, пусть

     Складывая с обеих сторон, получаем,

     [Правило 1]

     Опять же, вычитая с обеих сторон, получаем

     [Правило 2]

     Таким образом, мы видим, что удаленное с левой стороны выглядит как с правой стороны.Опять же, удаленное с правой стороны выглядит так же, как с левой стороны.

     Следовательно, если получим,

     Это называется транспонированием.

     Следствие 2:

     Знак каждого члена уравнения может быть изменен без нарушения равенства.

     Например, пусть

     [Правило 3]

     Шаги для решения простого уравнения:

     1. При необходимости упростите все скобки, дроби и т. Д.
     2. Перенесите все члены, содержащие переменные, с одной стороны, и все постоянные члены, с другой стороны.
     3. Решите уравнение, полученное на шаге 2, чтобы получить значение его переменной.

     Простые уравнения в различных формах

     Простые уравнения, как правило, бывают трех типов:

     1. Неизвестная величина или переменная с любым коэффициентом равна известной величине (т. Е. Константе). Например, . Общий вид этого типа уравнения таков. Корень этого типа уравнения получается делением известной величины на коэффициент неизвестной величины и.
     2. Сумма неизвестной величины с любым коэффициентом и известной величины равна известной величине. Например, . Общая форма этого типа уравнения: При решении уравнения, необходимо транспонировать в правую часть, и уравнение обозначается как. Корень находится делением алгебраической разности известных величин на коэффициент неизвестной величины и составляет.
     3. В уравнениях этого типа есть известные и неизвестные величины с обеих сторон.Например, . Общая форма этого типа уравнения: Чтобы решить простое уравнение этого типа, неизвестные величины должны быть сгруппированы с одной стороны, а известные величины должны быть сгруппированы с другой стороны. Тогда уравнение обозначается как или, а корень определяется путем деления алгебраической разности известных величин на алгебраическую разность коэффициентов неизвестной величины. Вот рут.

     Примечание: Совершенно очевидно, что все простые уравнения сводятся к Типу 1.

     Пример: Решить

     Решение:

     Пример: Решить

     Решение:

     Пример: Если и; найти значение.

     Решение:

     Дано:

     и

     Пример: Решить

     Левая сторона

     Правая сторона

     Следовательно,

     Снятие с двух сторон имеем,

     Следовательно, путем транспонирования,

     или,

     Таким образом, требуемое значение -4.

     Пример: Решить:

     Поскольку«

     умножив обе части на 12, что является L.C.M знаменателей, мы получим

     или,

     Следовательно, путем транспонирования,

     или,

     или, (разделив обе стороны на -5)

     Таким образом, искомый корень уравнения равен 12.

     Примечание: При решении уравнений, когда обнаружен корень, то есть значение переменной, его можно проверить, поместив это значение переменной в уравнение.Если обнаруживается, что равенство обеих сторон сохраняется, когда мы помещаем это значение переменной в уравнение, то мы можем сделать вывод, что корень правильный.

     Упражнение

     Решите следующие уравнения:

     4. Найдите значение, которое делает два выражения равными друг другу.
     5. Решить для:

     .