1 x модуль
Вы искали 1 x модуль? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 1 модуль x, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «1 x модуль».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как 1 x модуль,1 модуль x,1 модуль x 2,1 модуль x 3,1 модуль х,2 модуль x,2 модуль х,2 х модуль,2х 3 5 модуль,3 модуль x,3 модуль х,4 x 5 модуль,4 модуль х,5 модуль,5 модуль x,5 модуль х,7 класс уравнения модулями с,f x модуль x,x 2 модуль,x 3 модуль,x 5 модуль,x модуль,x модуль 2,y модуль 1 x 1,выражения с модулем,действия с модулем,действия с модулями,задания с модулем,задачи с модулем,задачи с модулями,икс модуль,как избавиться от модуля,как модуль умножить на модуль,как раскрывается модуль,как раскрывать модули,как раскрывать модуль,как раскрывать модуль в уравнении,как раскрыть модуль в уравнении,как решается модуль,как решать квадратные уравнения с модулем,как решать модули,как решать модуль,как решать модуль в модуле,как решать модуль равен модулю,как решать модульные уравнения,как решать модульные уравнения 7 класс,как решать примеры с модулем,как решать примеры с модулями,как решать с модулем,как решать уравнение с двойным модулем,как решать уравнение с модулем,как решать уравнение с модулем 7 класс,как решать уравнение с модулями,как решать уравнения 6 класс с модулями,как решать уравнения с двойным модулем,как решать уравнения с двумя модулями,как решать уравнения с модулем,как решать уравнения с модулем 10 класс,как решать уравнения с модулем 7 класс,как решать уравнения с модулем 9 класс,как решать уравнения с модулями,как решать уравнения с модулями 10 класс,как решать уравнения с модулями 7 класс,как решаются модули,как решаются уравнения с модулем,как решаются уравнения с модулями,как решить квадратное уравнение с модулем,как решить модуль,как решить модуль в модуле,как решить модульное уравнение,как решить уравнение квадратное с модулем,как решить уравнение с двумя модулями,как решить уравнение с модулем,как решить уравнение с модулем 7 класс,как решить уравнение с модулями,как решить уравнения с модулем,как убрать модуль в уравнении,как умножить модуль на модуль,калькулятор модулей уравнений,калькулятор решение уравнений с модулем,калькулятор уравнений с модулем,калькулятор уравнений с модулями,калькулятор уравнений с модулями онлайн,калькулятор уравнения с модулем,квадратное уравнение с модулем,квадратные уравнения с модулем,квадратные уравнения с модулем как решать,линейные уравнения с модулем,минус модуль х равен минус х решить,модули как раскрывать,модули как решать,модули как решаются,модули примеры,модули решение,модули решение уравнений,модули уравнения,модуль 1 x,модуль 1 х,модуль 1 х больше 2,модуль 2 x,модуль 2 х,модуль 2 х 3,модуль 3 x,модуль 3 равен х,модуль 3 х,модуль 4 х,модуль 5 x 4,модуль 5 х,модуль x,модуль x 1,модуль x 1 3,модуль x 2,модуль x 2 3,модуль x 3,модуль x 4,модуль x 4 3,модуль x 4 x,модуль x 5,модуль x 5 x,модуль x равен,модуль x равен x,модуль в модуле,модуль в модуле как решать,модуль в модуле как решить,модуль в модуле решение,модуль в модуле уравнение,модуль в уравнении как раскрыть,модуль в уравнениях,модуль выражения,модуль икс,модуль икс равен икс,модуль как раскрыть,модуль как решается,модуль как решать,модуль как решить,модуль квадратного уравнения,модуль минус икс,модуль минус икс равен икс,модуль плюс модуль равно модуль,модуль примеры,модуль примеры решения,модуль равен 2,модуль равен x,модуль равен модулю как решать,модуль равен модулю уравнение,модуль раскрыть,модуль решение,модуль решение уравнений,модуль уравнение,модуль уравнения,модуль х,модуль х 1,модуль х 1 х 3,модуль х 1 х 3 1,модуль х 2,модуль х 2 5,модуль х 3,модуль х 3 2,модуль х 4,модуль х 4 х,модуль х 5,модуль х 5 2,модуль х 8 5,модуль х минус х,модуль х модуль у 1,модуль х модуль у 3,модуль х равен 3,модуль числа решение уравнений,модуль числа уравнения,модульное уравнение,модульное уравнение решить онлайн,модульные уравнения,модульные уравнения 10 класс,модульные уравнения 7 класс,модульные уравнения 7 класс как решать,модульные уравнения как решать,модульные уравнения решение,модуля решение,онлайн раскрытие модуля,онлайн решение модулей,онлайн решение модульных уравнений,онлайн решение уравнение с модулем,онлайн решение уравнений с модулем,онлайн решение уравнений с модулем с подробным решением,онлайн решение уравнений с модулями,онлайн решение уравнения с модулем,онлайн решить уравнение с модулем,онлайн решить уравнения с модулем,онлайн уравнения с модулем,правила модуля,правила раскрытия модуля,правило модуля,правило раскрытия модуля,примеры как решать модули,примеры модули,примеры модуль,примеры решения квадратные уравнения с модулем,примеры с модулем,примеры с модулем как решать,примеры с модулями,примеры с модулями 7 класс,примеры с модулями как решать,примеры с модулями примеры решений,простейшие уравнения с модулем,равен модуль 2,раскрытие модулей,раскрытие модуля,раскрытие модуля в уравнении,раскрытие модуля онлайн,раскрыть модуль,раскрыть модуль онлайн,решение задач с модулем,решение квадратных уравнений с модулем,решение линейных уравнений с модулем 7 класс примеры,решение модулей,решение модулей онлайн,решение модули,решение модуль в модуле,решение модульные уравнения,решение модульных уравнений,решение модульных уравнений 7 класс,решение модульных уравнений онлайн,решение модуля,решение онлайн модулей,решение примеров с модулем,решение примеров с модулями,решение с модулем,решение уравнение онлайн с модулем,решение уравнение с модулем,решение уравнение с модулем онлайн,решение уравнений модули,решение уравнений модуль,решение уравнений модуль числа,решение уравнений онлайн с модулем,решение уравнений онлайн с модулями,решение уравнений онлайн с подробным решением с модулем,решение уравнений с двойным модулем,решение уравнений с двумя модулями,решение уравнений с модулем,решение уравнений с модулем 7 класс,решение уравнений с модулем 7 класс примеры,решение уравнений с модулем калькулятор,решение уравнений с модулем онлайн,решение уравнений с модулем онлайн с подробным решением,решение уравнений с модулем с подробным решением,решение уравнений с модулем с подробным решением онлайн,решение уравнений с модулями,решение уравнений с модулями онлайн,решение уравнения онлайн с модулем,решение уравнения с модулем,решение уравнения с модулем онлайн,решение уравнения с модулем онлайн калькулятор,решения уравнений с модулем,решения уравнений с модулями,решите уравнение с модулем,решить модульное уравнение онлайн,решить онлайн уравнение с модулем,решить уравнение модуль х равен минус х,решить уравнение модуль х равен х,решить уравнение онлайн с модулем,решить уравнение с модулем,решить уравнение с модулем онлайн,решить уравнение с модулем онлайн с решением,решить уравнения онлайн с модулем,решить уравнения с модулем онлайн,рівняння з модулем,рівняння з модулями,с двумя модулями уравнение,сложные уравнения с модулем,у 2 модуль х,у 3 модуль х,у модуль х 2,уравнение модуль,уравнение модуль в модуле,уравнение модуль равен модулю,уравнение с двойным модулем как решать,уравнение с двумя модулями,уравнение с модулем,уравнение с модулем 7 класс,уравнение с модулем как решать,уравнение с модулем как решать 7 класс,уравнение с модулем квадратное,уравнение с модулем квадратное уравнение,уравнение с модулем онлайн,уравнение с модулем онлайн решение,уравнение с модулем примеры,уравнение с модулем решение,уравнение с модулем решение онлайн,уравнение с модулями,уравнение с модулями 7 класс,уравнение с модулями как решать,уравнения в модуле,уравнения модули,уравнения модуль,уравнения модуль числа,уравнения онлайн с модулем,уравнения с двойным модулем как решать,уравнения с двумя модулями,уравнения с двумя модулями как решать,уравнения с модулем,уравнения с модулем 10 класс как решать,уравнения с модулем 7 класс,уравнения с модулем 7 класс примеры решения,уравнения с модулем 8 класс примеры решения,уравнения с модулем как решать,уравнения с модулем как решать 7 класс,уравнения с модулем как решить,уравнения с модулем калькулятор,уравнения с модулем калькулятор онлайн,уравнения с модулем онлайн,уравнения с модулем онлайн калькулятор,уравнения с модулем примеры,уравнения с модулем примеры решения,уравнения с модулем простейшие,уравнения с модулем решение,уравнения с модулем решение онлайн,уравнения с модулем решить онлайн,уравнения с модулем с двойным модулем,уравнения с модулем сложные,уравнения с модулями,уравнения с модулями 10 класс,уравнения с модулями 7 класс,уравнения с модулями 7 класс в ответе 0,уравнения с модулями 7 класс объяснение,уравнения с модулями как решать,уравнения с модулями примеры решений,уравнения содержащие модуль,х 1 модуль,х 2 модуль,х 2 модуль 3,х 3 2 модуль,х 5 модуль,х модуль. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и 1 x модуль. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, 1 модуль x 2).
Где можно решить любую задачу по математике, а так же 1 x модуль Онлайн?
Решить задачу 1 x модуль вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.
Задача с параметром и двумя модулями
В этой задаче, если заметить симметрию относительно обеих переменных, то при решении можно обойтись “малой кровью” – решение сводится к определению уравнений прямых первого квадранта, а во все остальные картинку можно отразить симметрично.
Задача. Найти значения параметра , при которых решения неравенства
принадлежат отрезку .
Сразу обратимся к плоскости . Обратим внимание на то, что знак модуля присутствует и в отношении переменной , и переменная также под знаком модуля. Поэтому если в решении есть пара , то и пары , , тоже обязательно будут присутствовать в решении. А это означает, что, если будем рисовать картинку в плоскости , то можно проработать первый квадрант, а в остальных все будет симметрично. Поэтому раскроем модули и с положительными знаками и посмотрим, что будет:
Теперь перепишем так:
И раскроем как разность квадратов:
Линия излома графиков (приравниваем к нулю подмодульное выражение). Выше этой линии модуль раскроется со знаком «минус», а ниже – со знаком «плюс». Тогда имеем выше линии :
И
Ниже линии излома:
И
Строим в первом квадранте:
Рисунок 1. Построение в первом квадранте.
Строим в оставшихся квадрантах – просто отражаем симметрично построенные в первом квадранте прямые и заштриховываем область, в которой неравенство выполняется зеленым. Чтобы удостовериться, что это действительно так, можно выбрать любую точку в области между прямыми (закрашенной) и подставить ее координаты в неравенство, проверив, выполняется ли оно.
Рисунок 2. Отражение рисунка из первого во все остальные квадранты.
Теперь выделим отрезок коричневыми прямыми и выделим цветом те участки, где решения неравенства принадлежат отрезку:
Рисунок 3. Выделение промежутка и определение значения параметра
После этого можно записывать ответ:
При оформлении подобного задания на ЕГЭ могу посоветовать все же вычислить полученные значения параметра, подставляя и в уравнения соответствующих прямых, полученные выше.
Ответ:
Неравенства с модулем. Новый взгляд на решение
Математика является символом мудрости науки,
эталоном совершенства и красоты в науке.
Российский философ, профессор А.В. Волошинов
Наиболее сложно решаемыми задачами школьной математики являются неравенства, содержащие переменные под знаком модуля. Для успешного решения таких неравенств необходимо хорошо знать свойства модуля и иметь навыки их использования.
Основные понятия и свойства
Модуль (абсолютная величина) действительного числа обозначается и определяется следующим образом:
К простым свойствам модуля относятся следующие соотношения:
, , и .
Отметим, что последние два свойства справедливы для любой четной степени.
Кроме того, если , где , то и
Более сложные свойства модуля, которые можно эффективно использовать при решении уравнений и неравенств с модулями, формулируются посредством следующих теорем:
Теорема 1. Для любых аналитических функций и справедливо неравенство .
Теорема 2. Равенство равносильно неравенству .
Теорема 3. Равенство равносильно неравенству .
Наиболее распространенными в школьной математике неравенствами, содержащие неизвестные переменные под знаком модуля, являются неравенства вида и , где некоторая положительная константа.
Теорема 4. Неравенство равносильно двойному неравенству , а решение неравенства сводится к решению совокупности неравенств и .
Данная теорема является частным случаем теорем 6 и 7.
Более сложными неравенствами, содержащие модуль, являются неравенства вида , и .
Методы решения таких неравенств можно сформулировать посредством следующих трех теорем.
Теорема 5. Неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств
и (1)
Доказательство. Так как , то
, или .
Отсюда вытекает справедливость (1).
Теорема 6. Неравенство равносильно системе неравенств
(2)
Доказательство. Так как , то из неравенства следует, что . При таком условии неравенство будет равносильно неравенству и при этом вторая система неравенств (1) окажется несовместной.
Теорема доказана.
Теорема 7. Неравенство равносильно совокупности одного неравенства и двух систем неравенств
, и (3)
Доказательство. Поскольку , то неравенство всегда выполняется, если .
Пусть , тогда неравенство будет равносильно неравенству , из которого вытекает совокупность двух неравенств и .
Теорема доказана.
Рассмотрим типовые примеры решения задач на тему «Неравенства, содержащие переменные под знаком модуля».
Решение неравенств с модулем
Наиболее простым методом решения неравенств с модулем является метод, основанный на раскрытии модулей. Этот метод является универсальным, однако в общем случае его применение может привести к весьма громоздким вычислениям. Поэтому учащиеся должны знать и другие (более эффективные) методы и приемы решения таких неравенств. В частности, необходимо иметь навыки применения теорем, приведенных в настоящей статье.
Пример 1. Решить неравенство
. (4)
Решение. Неравенство (4) будем решать «классическим» методом – методом раскрытия модулей. С этой целью разобьем числовую ось точками и на интервалы и рассмотрим три случая.
1. Если , то , , , и неравенство (4) принимает вид или .
Так как здесь рассматривается случай , то является решением неравенства (4).
2. Если , то из неравенства (4) получаем или . Так как пересечение интервалов и является пустым, то на рассматриваемом интервале решений неравенства (4) нет.
3. Если , то неравенство (4) принимает вид или . Очевидно, что также является решением неравенства (4).
Ответ: , .
Пример 2. Решить неравенство .
Решение. Положим, что . Так как , то заданное неравенство принимает вид или . Поскольку , то и отсюда следует или .
Однако , поэтому или .
Ответ: .
Пример 3. Решить неравенство
. (5)
Решение. Так как , то неравенство (5) равносильно неравенствам или . Отсюда, согласно теореме 4, имеем совокупность неравенств и .
Ответ: , .
Пример 4. Решить неравенство
. (6)
Решение. Обозначим . Тогда из неравенства (6) получаем неравенства , , или .
Отсюда, используя метод интервалов, получаем . Так как , то здесь имеем систему неравенств
(7)
Решением первого неравенства системы (7) является объединение двух интервалов и , а решением второго неравенства – двойное неравенство . Отсюда следует, что решение системы неравенств (7) представляет собой объединение двух интервалов и .
Ответ: ,
Пример 5. Решить неравенство
. (8)
Решение. Преобразуем неравенство (8) следующим образом:
, ,
или .
Применяя метод интервалов, получаем решение неравенства (8).
Ответ: .
Примечание. Если в условии теоремы 5 положить и , то получим .
Пример 6. Решить неравенство
. (9)
Решение. Из неравенства (9) следует . Преобразуем неравенство (9) следующим образом:
, ,
, или
.
Так как , то или .
Ответ: .
Пример 7. Решить неравенство
. (10)
Решение. Так как и , то или .
В этой связи и неравенство (10) принимает вид
или
. (11)
Отсюда следует, что или . Так как , то и из неравенства (11) вытекает или .
Ответ: .
Примечание. Если к левой части неравенства (10) применить теорему 1, то получим . Отсюда и из неравенства (10) следует, что или . Так как , то неравенство (10) принимает вид или .
Пример 8. Решить неравенство
. (12)
Решение. Так как , то и из неравенства (12) следует или . Однако , поэтому или . Отсюда получаем или .
Ответ: .
Пример 9. Решить неравенство
. (13)
Решение. Согласно теореме 7 решением неравенства (13) являются или .
Пусть теперь . В таком случае и неравенство (13) принимает вид или .
Если объединить интервалы и , то получим решение неравенства (13) вида .
Ответ: .
Пример 10. Решить неравенство
. (14)
Решение. Перепишем неравенство (14) в равносильном виде: . Если к левой части данного неравенства применить теорему 1, то получим неравенство .
Отсюда и из теоремы 1 следует, что неравенство (14) выполняется для любых значений .
Ответ: любое число.
Пример 11. Решить неравенство
. (15)
Решение. Применяя теорему 1 к левой части неравенства (15), получаем . Отсюда и из неравенства (15) вытекает уравнение , которое имеет вид .
Согласно теореме 3, уравнение равносильно неравенству . Отсюда получаем .
Ответ: .
Пример 12. Решить неравенство
. (16)
Решение. Из неравенства (16), согласно теореме 4, получаем систему неравенств
или
При решении неравенства воспользуемся теоремой 6 и получим систему неравенств из которой следует .
Рассмотрим неравенство . Согласно теореме 7, получаем совокупность неравенств и . Второе неравенство совокупности справедливо для любого действительного .
Следовательно, решением неравенства (16) являются .
Ответ: .
Пример 13. Решить неравенство
. (17)
Решение. Согласно теореме 1 можно записать
(18)
Принимая во внимание неравенство (17), делаем вывод о том, что оба неравенства (18) обращаются в равенства, т.е. имеет место система уравнений
По теореме 3 данная система уравнений равносильна системе неравенств
или
Ответ: .
Пример 14. Решить неравенство
. (19)
Решение. Так как , то . Умножим обе части неравенства (19) на выражение , которое для любых значений принимает только положительные значения. Тогда получим неравенство, которое равносильно неравенству (19), вида
.
Отсюда получаем или , где . Так как и , то решением неравенства (19) являются и .
Ответ: , .
Для более глубокого изучения методов решения неравенств с модулем можно посоветовать обратиться к учебным пособиям, приведенных в списке рекомендованной литературы.
Рекомендуемая литература
1. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И. Сканави. – М.: Мир и Образование, 2013. – 608 с.
2. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: методы решения и доказательства неравенств. – М.: Ленанд / URSS, 2018. – 264 с.
3. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: нестандартные методы решения задач. – М.: КД «Либроком» / URSS, 2017. – 296 с.
Остались вопросы?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Модуль числа — знак, свойства, действия, как найти, примеры графиков
Модуль числа легко найти, и теория, которая лежит в его основе, важна при решении задач.
Свойства и правила раскрытия, используемые при решении упражнений и на экзаменах, будут полезны школьникам и студентам. Заработай деньги с помощью своих знаний на https://teachs.ru!
…
Вконтакте
Google+
Мой мир
Что такое модуль в математике
Модуль числа описывает расстояние на числовой линии от нуля до точки без учета того, в каком направлении от нуля лежит точка. Математическое обозначение: |x|.
Иными словами, это абсолютная величина числа. Определение доказывает, что значение никогда не бывает отрицательным.
Свойства модуля
Важно помнить о следующих свойствах:
- Правило раскрытия: абсолютная величина любого числа больше или равна нулю:
- Если абсолютные значения содержат выражения противоположных значений, они равны:
- Значение числа не превышает величину его модуля:
- Правило раскрытия при произведении:
- Правило, применимое при делении:
- При возведении в степень:
- Сумма величин:
- Двойной модуль:
Модуль комплексного числа
Абсолютной величиной комплексного числа называют длину направленного отрезка, проведенного от начала комплексной плоскости до точки (a, b).
Этот направленный отрезок также является вектором, представляющим комплексное число a + bi, поэтому абсолютная величина комплексного числа – это то же самое, что и величина (или длина) вектора, представляющего a+ bi.
Как решать уравнения с модулем
Уравнение с модулем – это равенство, которое содержит выражение абсолютного значения. Если для действительного числа оно представляет его расстояние от начала координат на числовой линии, то неравенства с модулем являются типом неравенств, которые состоят из абсолютных значений.
Уравнения типа |x| = a
Уравнение |x| = a имеет два ответа x = a и x = –a, потому что оба варианта находятся на координатной прямой на расстоянии a от 0.
Равенство с абсолютной величиной не имеет решения, если величина отрицательная.
Если |x| < a представляет собой расстояние чисел от начала координат, это значит, что нужно искать все числа, чье расстояние от начала координат меньше a.
Уравнения типа |x| = |y|
Когда есть абсолютные значения по обе стороны уравнений, нужно рассмотреть обе возможности для приемлемых определений – положительные и отрицательные выражения.
Например, для равенства |x − a| = |x + b| есть два варианта: (x − a) = − (x + b) или (x − a) = (x + b).
Далее простая арифметика − нужно решить два равенства относительно x.
Уравнения типа |x| = y
Уравнения такого вида содержат абсолютную величину выражения с переменной слева от нуля, а справа – еще одну неизвестную. Переменная y может быть как больше, так и меньше нуля.
Для получения ответа в таком равенстве нужно решить систему из нескольких уравнений, в которой нужно убедиться, что y – неотрицательная величина:
Решение неравенств с модулем
Чтобы лучше понять, как раскрыть модуль в разных типах равенств и неравенств, нужно проанализировать примеры.
Уравнения вида |x| = a
Пример 1 (алгебра 6 класс). Решить: |x| + 2 = 4.
Решение.
Такие уравнения решаются так же, как и равенства без абсолютных значений. Это означает, что, перемещая неизвестные влево, а константы – вправо, выражение не меняется.
После перемещения константы вправо получено: |x| = 2.
Поскольку неизвестные связаны с абсолютным значением, это равенство имеет два ответа: 2 и −2.
Ответ: 2 и −2.
Пример 2 (алгебра 7 класс). Решить неравенство |x + 2| ≥ 1.
Решение.
Первое, что нужно сделать, это найти точки, где абсолютное значение изменится. Для этого выражение приравнивается к 0. Получено: x = –2.
Это означает, что –2 – поворотная точка.
Далее определяется знак на интервалах: на промежутке величина будет отрицательной, а на интервале будет положительной.
Разделим интервал на 2 части:
- для x + 2 ≥ 0
Общим ответом для этих двух неравенств является интервал [−1; + ∞).
- для х + 2 < 0
Общим ответом для этих двух неравенств является интервал (−∞; –3].
Окончательное решение – объединение ответов отдельных частей:
x ∈ (–∞; –3] ∪ [–1; + ∞).
Ответ: x ∈ (–∞; –3] ∪ [–1; + ∞).
Уравнения вида |x| = |y|
Пример 1 (алгебра 8 класс). Решить уравнение с двумя модулями: 2 * |x – 1| + 3 = 9 – |x – 1|.
Решение:
Ответ: x1 = 3; x2 = − 1.
Пример 2 (алгебра 8 класс). Решить неравенство:
Решение:
Уравнения вида |x| = y
Пример 1 (алгебра 10 класс). Найти x:
Решение:
Очень важно провести проверку правой части, иначе можно написать в ответ ошибочные корни. Из системы видно, что не лежит в промежутке .
Ответ: x = 0.
Модуль суммы
Модуль разности
Абсолютная величина разности двух чисел x и y равна расстоянию между точками с координатами X и Y на координатной прямой.
Пример 1.
Пример 2.
Модуль отрицательного числа
Для нахождения абсолютного значения числа, которое меньше нуля, нужно узнать, как далеко оно расположено от нуля. Поскольку расстояние всегда является положительным (невозможно пройти «отрицательные» шаги, это просто шаги в другом направлении), результат всегда положительный. То есть,
Проще говоря, абсолютная величина отрицательного числа имеет противоположное значение.
Модуль нуля
Известно свойство:
Вот почему нельзя сказать, что абсолютная величина – положительное число: ноль не является ни отрицательным, ни положительным.
Модуль в квадрате
Модуль в квадрате всегда равен выражению в квадрате:
Примеры графиков с модулем
Часто в тестах и на экзаменах встречаются задания, которые возможно решить, лишь проанализировав графики. Рассмотрим такие задания.
Пример 1.
Дана функция f(x) = |x|. Необходимо построить график от – 3 до 3 с шагом 1.
Решение:
Объяснение: из рисунка видно, что график симметричен относительно оси Y.
Пример 2. Необходимо нарисовать и сравнить графики функций f(x) = |x–2| и g(x) = |x|–2.
Решение:
Объяснение: константа внутри абсолютной величины перемещает весь график вправо, если ее значение отрицательное, и влево, если положительное. Но постоянная снаружи будет передвигать график вверх, если значение положительное, и вниз, если оно отрицательное (как –2 в функции g (x)).
Координата вершины x (точка, в которой соединяются две линии, вершина графа) – это число, на которое график сдвигается влево или вправо. А координата y – это значение, на которое график сдвигается вверх или вниз.
Строить такие графики можно с помощью онлайн приложений для построения. С их помощью можно наглядно посмотреть, как константы влияют на функции.
Метод интервалов в задачах с модулем
Метод интервалов – один из лучших способов найти ответ в задачах с модулем, особенно если в выражении их несколько.
Для использования метода нужно совершить следующие действия:
- Приравнять каждое выражение к нулю.
- Найти значения переменных.
- Нанести на числовую прямую точки, полученные в пункте 2.
- Определить на промежутках знак выражений (отрицательное или положительное значение) и нарисовать символ – или + соответственно. Проще всего определить знак с помощью метода подстановки (подставив любое значение из промежутка).
- Решить неравенства с полученными знаками.
Пример 1. Решить методом интервалов.
Решение:
Результатом будет сумма всех подходящих интервалов.
Модуль в модуле
Среди примеров часто встречаются уравнения, где нужно найти корни равенств такого вида: ||ax – b| – c| = kx + m.
Лучше всего понять принцип на примере.
Пример 1. Решить
Решение:
Первым делом нужно раскрыть внутренний модуль. Для этого рассматривается два варианта:
В первом случае выражение положительное, а во втором отрицательное. Исходя из этого, получаем:
Нужно упростить два уравнения:
Далее каждое из равенств разделяется еще на два:
Получено четыре результата:
Заключение
Самое важное, что нужно знать: модуль не может быть отрицательным.
Поэтому, если представлено выражение, похожее на |2 – 4x| = –7 стоит помнить, что равенство неверно даже без поисков ответов.
В качестве итогов, напомним все свойства, которые помогут в решении задач:
- когда положительное число находится внутри модуля, достаточно просто избавиться от него;
- если есть выражение, нужно его упростить, прежде чем найти абсолютное значение;
- если равенство содержит две переменные, нужно решать его с помощью системы уравнений и за основу брать методы решения выражений с абсолютными величинами.
Решать равенства и неравенства можно разными способами, но лучше всего использовать графический способ или метод интервалов.
Итак, нам сегодня понадобится определение 1). А в каких темах мы уже встречались 2). Значит, у нас уже есть опыт работы 3).Каков геометрический смысл модуля 4). Вспомним, как мы решали простейшие 5). Как вы | Ответы учащихся : 1). С определением модуля мы познакомились « Арифметический квадратный корень», 2). Абсолютной величиной ( или модулем) │а│= а, если а ≥ 0, │а│= — а. если а 3). Геометрически │а│ есть расстояние 4). При а При а = 0 мы решали уравнение f(x) При а > 0 мы использовали определение 5). Наверное, | Рассмотрим неравенство вида │f(x)│ 1). Если а Верно. Запишем это в теоретических 2). Каким будет следующий случай ? При рассмотрении этой ситуации нам Итак, при а > 0 неравенству │f(x)│ Каким другим способом можно описать ( -а; а)? 3). Попробуем обобщить эти выводы : Неравенство │f(x)│ 0 равносильно двойному — а f(x) > — a, f(x) 4). Приведем пример решения такого Решить неравенство │5 – 3х │ Данное неравенство равносильно 5 – 3х Выполняя равносильные преобразования, — 3х > — 8 – 5, — 3х > — 13, х , — 3х — 1. Решением системы, а значит, и исходного Ответ : ( -1; 4). 5). Рассмотрим неравенство вида : │f(x) │ а). Как вы думаете, будет ли отличаться б). Но какие – то отличия будут? в). Используя опыт решения предыдущего г). Как вы думаете, удобно ли при решении д). Значит, при решении такого неравенства Совершенно верно. Давайте запишем этот ввод в общем виде Неравенство вида │f(x) f(x) 6). Приведем пример решения такого Решить неравенство : │х — 1│ Данное неравенство равносильно х – 1 х – 1 > — ( 2х – 4). Выполняя равносильные х – 2х х + 2х > 4 + 1. 3х > 5. х > 1. Ответ : х > | Ответы учащихся : 1). В этом случае неравенство не имеет Учащиеся записывают следующие 2). Рассматриваем исходное неравенство Учащиеся делают в теоретической Промежуток ( -а; а) – это множество — а 3). Учащиеся делают записи в теоретических 4). Пример : Решить неравенство │5 – 3х │ Данное неравенство равносильно 5 – 3х Выполняя равносильные преобразования, — 3х > — 8 – 5, — 3х > — 13, х , — 3х — 1. Решением системы, а значит, и исходного Ответ : ( -1; 4). 5). Ответы учащихся : а). Скорей всего, нет. б). Да, так как теперь в правой части в). Неравенство │f(x) г). Нет, это неудобно, так как при д). … равносильной ему системе Учащиеся делают соответствующие 6). Пример : Решить неравенство : │х — 1│ Данное неравенство равносильно х – 1 х – 1 > — ( 2х – 4). Выполняя равносильные х – 2х х + 2х > 4 + 1. 3х > 5. х > 1. Ответ : х > 3. | Сборник задач по алгебре 8 – 9 класс, Решить неравенства : № 6. 203 (а) │х — 3│ На что обращаем внимание при решении № 6. 202 ( в, г). в). │2х — 1│ Имеет ли решения это неравенство ? Как будем решать это неравенство ? Есть ли необходимость переходить к г). │3 – 2х│ Имеет ли решения это неравенство ? Как будем решать неравенство ? Что будем делать дальше ? Сделаем этот переход. Какие трудности возникли при решении № 6.211 ( б, г). б). │ х — 3│ К какому типу изученных сегодня Как будем решать это неравенство ? Выполним это. Есть ли у вас вопросы по ходу решения г). │2х + 5│ Решите это неравенство самостоятельно. Давайте проверим, правильно ли каждый У кого были | Учащиеся записывают в рабочих тетрадях, Решить неравенства : ( Учащиеся по № 6. 203 (а) │х — 3│ Решение : Данное неравенство не имеет Ответ : решений нет. № 6. 202 ( в, г). в). │2х — 1│ Решение : Это неравенство имеет решения, Перейдем к равносильному двойному Можно этого не делать, а найти решения, — 3 + 1 — 2 — 1 Значит, решением исходного неравенства Ответ : ( -1; 2). г). │3 – 2х│ Решение : Да, имеет, так как а = 7, а > Сначала перейдем к равносильному От этого неравенства удобнее перейти 3 – 2х > — 7, — 2х > — 7 – 3, — 2х > — 10, х 3 – 2х -2 Решением этой системы, а значит, и Ответ : ( -2; 5). № 6.211 ( б, г). б). │ х — 3│ ко второму типу неравенств, у которых С помощью перехода от него к равносильной Решение : х – 3 > 3х – 6, х – 3х > — 6 + 3, — 2х > — 3, х – 3 х х Ответ : х г). │2х + 5│ Ученик работает на закрытой доске, Решение : 2х + 5 > — х – 4, 2х + х > — 4 – 5, 3х > — 9, 2х + 5 х > — 3, х Ответ : ( — 3; -1). Учащиеся проверяют собственные Учащиеся | Итак, подведем итог сегодняшнего 1). С какими неравенствами мы познакомились 2). Сколько видов таких неравенств мы 3). Всегда ли такие неравенства имеют 4). Как в таком | Ответы учащихся : 1). Мы познакомились с линейными 2). Два вида : │f(x)│ 3). Такие неравенства имеют решения, 4). Мы переходим к равносильному двойному В случае решений неравенств второго |
Урок 42. линейные уравнения и неравенства с двумя переменными — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №42. Линейные уравнения и неравенства с двумя переменными
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- Решение уравнений, неравенств, систем уравнений и систем неравенств с двумя переменными;
- Изображение в координатной плоскости множества решений уравнений, неравенств, систем уравнений, систем неравенств;
- Нахождение площади получившейся фигуры.
Глоссарий по теме
Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными, где a, b и c — некоторые числа (a ≠ 0 , b ≠0), а, х и у — переменные.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Дополнительная литература:
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. Учебник: Алгебра 9 кл с углубленным изучением математики Мнемозина, 2014.
Открытые электронные ресурсы:
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.
Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Историческая справка
Уравнения, а также системы уравнений имеют давнюю историю. Нам известно, что уже в Древнем Вавилоне и Индии повседневные задачи, связанные с земляными работами или планированием военных расходов, а также астрономическими наблюдениями решались с помощью уравнений и их систем.
В то время еще не существовало привычного нам формального языка математики. Вавилоняне, также, как и индусы не использовали в своих трактатах привычные нам «икс» и «игрек». Не обозначали степень надстрочными индексами. И т.д. Их уравнения записаны в виде текстовых задач. Также, как и решения, не похожи на современные, а скорее напоминают цепочку логических рассуждений.
Вместе с тем, если перевести в привычный нам вид те уравнения, которые умели решать в Древнем Вавилоне, то мы увидим: . И в древнем индийском манускрипте «Ариабхаттиам», датируемом 499 годом нашей эры, также встречаются задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений. Индийские мудрецы (слово ученый тоже еще не существовало) уже не ограничивались решением конкретных житейских задач, но и работали над решением квадратного уравнения в общем виде.
Привычный нам вид уравнения обретают только в конце шестнадцатого века, благодаря трудам Франсу Виета (1540 – 1603 гг.). Именно он, помимо прочих своих научных достижений обладает и неофициальным титулом «создатель алгебры». Поскольку разработал и активно внедрял символический язык алгебры – те самые, привычные нам «иксы и игреки».
Актуализация знаний
1.Найдите уравнения, которые являются линейными.
4х + 5у = 10; ; у = 7х +4
Ответ: 4х + 5у = 10; у = 7х +4
Сегодня на уроке мы вспомним что такое линейные уравнения и неравенства с двумя переменными; системы линейный уравнений и неравенств, а также научимся изображать множество на плоскости, задаваемое линейным уравнением и неравенством.
- Линейные уравнения с двумя переменными.
Уравнение вида ах + by +с =0, где а,b,с – некоторые числа, называется линейным уравнением с двумя переменными х и у.
Решением уравнения ах + by +с =0, где а,b,с – некоторые числа, называется пара значений обращающая уравнение в верное числовое равенство.
Если одновременно а и b, то уравнение ах + by +с =0 является уравнением некоторой прямой. Для построения прямой достаточно найти две точки этой прямой.
Пример
Построить график уравнения 2х+у =1
у = -2х + 1
Если х=0, то у=1;
Если х=2, то у=-3.
На координатной плоскости отметим точки с координатами (0;1) и (2;-3). Через две точки на плоскости проведем прямую. Полученная прямая является геометрической моделью уравнения 2х+у =1.
- Линейные неравенства с двумя переменными.
Линейным неравенством с двумя переменными называется неравенство вида ах + bу + с < 0 или ах + bу + с > 0, где х и у – переменные, а, b, c – некоторые числа.
Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая его в верное равенство.
Является ли пара (2;1) решением неравенства 5х + 2у > 4 . Является, тк при подстановке в него вместо х числа 2, а вместо у числа 1 получается верное равенство 10 + 2 > 4.
Если каждое решение неравенства с двумя переменными изобразить точкой в координатной плоскости, то получится график этого неравенства. Он является некоторой фигурой.
Пример
Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству 3х – 2у +6 > 0.
- Уравнение 3х – 2у +6 = 0 является уравнением прямой, проходящей через точки(- 2; 0) и (0; 3).
- Пусть точка М1(х1,у1) лежит в заштрихованной полуплоскости (ниже прямой 3х – 2у +6 = 0, аМ2(х1,у2)лежит на прямой 3х – 2у +6 = 0. Тогда 2у2 – 3х1 – 6 = 0, а 2у1 – 3х1 – 6 < 0, т.к. у1< у2
Изобразим множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству 3х – 2у +6 > 0 штриховкой (рис. 1)
Рисунок 1 – решение неравенства 3х – 2у +6 > 0
Если в линейном неравенстве с двумя переменными знак неравенства заменить знаком равенства, то получится линейное уравнение ах + by +с =0, графиком которого является прямая при условии, что и . Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Одна из них является графиком неравенства ах + bу + с < 0, а другая – графиком неравенства ах + bу + с > 0
Чтобы решить неравенство ах + bу + c < 0 или aх + bу + c > 0, достаточно взять какую-нибудь точку М1(х1; у1), не лежащую на прямой aх + bу + c = 0, и определить знак числа aх1 + bу1 + c.
Пример
Изобразите в координатной плоскости множества решений неравенства 2х + 3у < 6
Начертим график уравнения 2х + 3у = 6.
Пара (0;0) является решением неравенства 2х + 3у < 6, и принадлежит нижней полуплоскости, значит графиком неравенства 2х + 3у < 6 является нижняя полуплоскость (рис. 2).
Рисунок 2 – решение неравенства 2х + 3у < 6
- Система линейных уравнений с двумя переменными.
Система вида , где а,b,с,d,e,f – некоторые числа, называется линейной системой с двумя переменными х и у.
Пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы уравнений с двумя переменными в верное равенство называют решением системы.
Решить систему – значит найти множество ее решений.
Пример
Решите систему:
Каждое решение уравнения с двумя переменными представляет координаты некоторой его точки его графика. Каждое решение системы есть координаты общих точек графиков уравнений системы. Построим графики этих уравнений и найдем координаты точки пересечения (рис.3).
Рисунок 3 – решение системы
Система имеет единственное решение: x = 4 , y = 4 .
- Система линейных неравенств с двумя переменными.
Системой линейных неравенств с двумя переменными называется такая система неравенств, которая в своем составе имеет два и более линейных неравенств с двумя переменными.
Рассмотрим систему линейных неравенств с двумя переменными на примере:
- Построим прямые х – у = 2 и х + 3у = 6
- Пара (4;1) является решением как первого, так и второго неравенства, те является общим решением неравенств системы. Такую пару чисел называют решением системы неравенств с двумя переменными. Множество общих решений неравенств есть множество решений системы (пересечение множеств решений неравенств, составляющих систему).
Множество решение системы изображается двойной штриховкой. (плоской угол) (рис. 4).
Рисунок 4 – решение системы
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Пример 1
Изобразите в координатной плоскости множества решений неравенства 3х – 2у + 6 0.
- Начертим график уравнения 3х – 2у + 6 = 0
- Отметим в какой-нибудь полуплоскости, например, точку (1;2).
Пара (1;2) не является решением неравенства и принадлежит нижней полуплоскости, значит графиком неравенства является верхняя полуплоскость вместе с прямой 3х – 2у + 6 = 0. 9 (рис. 5)
Рисунок 5 – решение неравенства
Пример 2
Изобразим на координатной плоскости множество решений системы
Построим прямые х + у = 3 и 4х – 5у = 20.
Множество решений первого неравенства показано горизонтальной штриховкой, а множество решений второго неравенства – вертикальной штриховкой. Двойная штриховка – множество решений системы. Система задает плоский угол (рис. 6)
Рисунок 6 – решение системы
Если к системе добавить еще одно неравенство
, то получится система трех неравенств с двумя переменными
Этой системой задается треугольник (рис. 7)
Рисунок 7 – решение системы
Точка О принадлежит , левая часть неравенства положительна, и поэтому множество его решений – объединение множеств .
Предварительное вычисление алгебры
— Уравнение с двойным абсолютным значением
Предварительное вычисление алгебры — Уравнение с двойным абсолютным значением — Mathematics Stack Exchange
Сеть обмена стеков
Сеть Stack Exchange состоит из 176 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.
Посетить Stack Exchange
0
+0
- Авторизоваться
Зарегистрироваться
Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.
Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу
Кто угодно может задать вопрос
Кто угодно может ответить
Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх
Спросил
Просмотрено
2k раз
$ \ begingroup $
У меня проблема с решением следующего уравнения.
$$ 2x — | 5- | x-2 || = 1 $$
Как обрабатывать абсолютное значение в абсолютном значении?
Я несколько раз пытался решить эту проблему, но не нашел решения.
Андрей
2,78322 золотых знака1717 серебряных знаков2626 бронзовых знаков
Создан 05 окт.
$ \ endgroup $
$ \ begingroup $
Нет «легкого выхода».Найдите первое абсолютное значение $$ | x-2 | = \ begin {ases} -x + 2, & x <2 \\\ phantom {-} x-2, & x \ ge 2 \ end {ases} $$ принять ящиков
- Случай 1: $ x <2 $. Тогда $$ 2x- | 5- | x-2 || = 2x- | 5 - (- x + 2) | = 2x- | x + 3 | $$ А теперь возьмите поддиапазонов (но не забывайте, что вы находятся в $ x <2 $) в зависимости от второго абсолютного значения $$ | x + 3 | = \ begin {cases} -x-3, & \ hspace {26.5pt} x <-3 \\ \ phantom {-} x + 3, & -3 \ le x <2 \\ \ end {ases} $$ Итак, $$ 2x- | x + 3 | = \ begin {cases} 2x - (- x-3) = 3x + 3, & \ hspace {26.5pt} x <-3 \\ 2x- (x + 3) = x-3, & -3 \ le x <2 \ end {cases} $$ А теперь обрабатываем каждый подслучай отдельно: $$ 3x + 3 = 1 \ iff x = - \ frac23 \ not <-3 $$, поэтому здесь нет решения. Второй подслучай: $$ x-3 = 1 \ iff x = 4 \ notin-3 \ le x <2 $$, так что здесь тоже ничего.
- Случай 2: $ x \ ge 2 $. Тогда $$ 2x- | 5- | x-2 || = 2x- | 5- (x-2) | = 2x- | 7-x | $$ А теперь возьмем поддиапазонов (но не забывайте, что вы в $ x \ ge 2 $) в зависимости от второго модуля
$$ | 7-x | = \ begin {cases} \ phantom {-} 7-x, & 2 \ le x <7 \\ - 7 + x, & 7 \ le x \ end {ases} $$ Итак, $$ 2x- | 7-x | = \ begin {cases} 2x- (7-x) = 3x-7, & 2 \ le x <7 \\ 2x - (- 7 + x) = x + 7, & 7 \ le x \ end {cases} $$ А теперь рассмотрим каждый подслучай отдельно: $$ 3x-7 = 1 \ iff x = \ frac83 \ приблизительно2.67 \ in [2,7) $$ итак, лото! первое решение здесь. Второй подслучай: $$ x + 7 = 1 \ iff x = -6 \ not \ ge 7 $$, так что здесь ничего.
Единственное решение — $ x_0 = \ frac83 = 2 \ frac23 $.
Дилан
15.6k33 золотых знака1414 серебряных знаков3131 бронзовый знак
Создан 05 окт.
Джимми Р.Джимми Р.
34.6k44 золотых знака2626 серебряных знаков6161 бронзовый знак
$ \ endgroup $
4
$ \ begingroup $
$$ 2x — | 5- | x-2 || = 1 $$
$$ | 5- | x-2 || = 2x-1 $$
Следовательно, $ x \ ge \ frac12 $
$ 5- | x-2 | = 2x-1 $ или 5- | x-2 | = 1-2x
долларов
$ | x-2 | = 6-2x $ или $ | x-2 | = 4 + 2x $
Создан 05 окт.
Роман83Римский83
17.5k33 золотых знака2323 серебряных знака6262 бронзовых знака
$ \ endgroup $
Mathematics Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScript
Ваша конфиденциальность
Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь с тем, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в отношении файлов cookie.
Принимать все файлы cookie
Настроить параметры
Абсолютное значение в алгебре
Абсолютное значение означает…
… насколько число от нуля:
«6» — это 6 от нуля,
и «−6» — , а также 6 от нуля.
Таким образом, абсолютное значение 6 равно 6 ,
, а абсолютное значение −6 также равно 6
.
Обозначение абсолютного значения
Чтобы показать, что нам нужно абсолютное значение, мы помещаем «|» отмечает обе стороны (называемые «стержнями»), как в этих примерах:
| Символ «|» находится чуть выше клавиши ввода на большинстве клавиатур. |
Более формальный
Формально:
Что говорит о том, что абсолютное значение x равно:
- x, когда x больше нуля
- 0, когда x равно 0
- −x, когда x меньше нуля (это «переворачивает» число обратно в положительное)
Итак, когда число положительное или нулевое, мы оставляем его в покое, когда оно отрицательное, мы меняем его на положительное с помощью −x.
Пример: что такое | −17 | ?
Ну, это меньше нуля, поэтому нам нужно вычислить «−x»:
— (−17) = + 17
(Потому что два минуса составляют плюс)
Полезные свойства
Вот некоторые свойства абсолютных значений, которые могут быть полезны:
- | а | ≥ 0 всегда!
В этом есть смысл… | а | никогда не может быть меньше нуля.
- | а | = √ ( 2 )
Возведение a в квадрат делает его положительным или нулевым (для a как действительного числа). Тогда извлечение квадратного корня «отменит» возведение в квадрат, но оставит его положительным или нулевым.
- | а × б | = | а | × | b |
Значит, это то же самое:
- абсолютное значение (a, умноженное на b), и
- (абсолютное значение a) раз (абсолютное значение b)
Что также может быть полезно при решении
- | u | = a то же самое, что и u = ± a, и наоборот
Что часто является ключом к решению большинства вопросов абсолютной ценности.
Пример: Решить | x + 2 | = 5
Использование «| u | = a то же самое, что и u = ± a «:
это: | x + 2 | = 5
то же самое, что и это: x + 2 = ± 5
Имеет два решения:
| х + 2 = -5 | х + 2 = +5 |
| x = −7 | х = 3 |
Графически
Давайте изобразим этот пример:
| x + 2 | = 5
Легче построить график, когда у нас есть уравнение «= 0», поэтому вычтем 5 с обеих сторон:
| x + 2 | — 5 = 0
Итак, теперь мы можем построить график y = | x + 2 | −5 и найти, где оно равно нулю.
Вот график y = | x + 2 | −5, но ради забавы давайте создадим график , сдвинув его примерно на :
.
| Начать с y = | x | | затем сдвиньте его влево, чтобы сделать это y = | x + 2 | | затем сдвиньте его вниз, чтобы сделать это y = | x + 2 | −5 |
И два решения (в кружке): −7 и +3.
Абсолютное неравенство значений
Смешивание абсолютных ценностей и неравенств требует некоторой осторожности!
Есть 4 неравенства:
| < | ≤ | > | ≥ | |
|---|---|---|---|---|
| менее | меньше чем или равно | больше | больше чем или равно |
меньше, меньше или равно
С «<» и «≤» мы получаем один интервал с центром на нуле:
Пример: Решить | x |
<3
Это означает, что расстояние от x до нуля должно быть меньше 3:
.
Все, что находится между (но не включая) -3 и 3
Его можно переписать как:
−3 <х <3
В качестве интервала можно записать:
(-3, 3)
То же самое работает для «Меньше или равно»:
Пример: Решить | x | ≤ 3
Все между , включая -3 и 3
Его можно переписать как:
−3 ≤ х ≤ 3
В качестве интервала можно записать:
[−3, 3]
Как насчет более крупного примера?
Пример: Решить | 3x-6 | ≤ 12
Записать как:
−12 ≤ 3x − 6 ≤ 12
Добавить 6:
−6 ≤ 3x ≤ 18
Наконец, умножьте на (1/3).Поскольку мы умножаем на положительное число, неравенства не изменятся:
-2 ≤ х ≤ 6
Готово!
В качестве интервала можно записать:
[-2, 6]
Больше, больше или равно
Это другое … мы получаем два отдельных интервала :
Пример: Решить | x | > 3
Это выглядит так:
до -3 или начиная с 3
Его можно переписать как
x <−3 или x> 3
В качестве интервала можно записать:
(−∞, −3) U (3, + ∞)
Осторожно! Не пишите как
−3> х> 3
«x» не может быть меньше -3 и больше 3 одновременно
Это действительно:
x <−3 или x> 3
«x» меньше −3 или больше 3
То же самое работает для «Больше или равно»:
Пример: Решить | x | ≥ 3
Можно переписать как
x ≤ −3 или x ≥ 3
В качестве интервала можно записать:
(−∞, −3] U [3, + ∞)
Как решать уравнения абсолютных величин
Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает
или больше ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
в
информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
ан
Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.
Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
в виде
ChillingEffects.org.
Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно
искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.
Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:
Вы должны включить следующее:
Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем
а
ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.
Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:
Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105
Или заполните форму ниже:
Уравнения модуля упругости
: примеры — DoubleRoot.in
И снова здравствуйте.
В этом уроке мы обсудим несколько примеров уравнений, связанных с модулем.Этот урок является продолжением предыдущего, поэтому сначала обязательно прочтите его.
Приступим.
Пример 1 Решить относительно x: | x — 2 | + | х + 4 | = 8
Решение Как мы обсуждали в предыдущем уроке, чтобы решить такие уравнения, мы разделим числовую прямую на несколько областей. В каждой такой области выражения внутри модуля «стены» сохраняют свой знак.
В результате мы сможем удалить модуль, освободив переменные и сделав уравнение легко решаемым.
Первое выражение | x — 2 | можно разрешить, согласно определению, как
\ (| x-2 | = \ begin {cases}
x — 2 & \ text {if} x \ ge 2 \\
2 — x & \ text {if} x <2
\ end {cases} \)
И второе выражение может быть разрешено аналогично,
\ (| x + 4 | = \ begin {case}
x + 4 & \ text {if} x \ ge -4 \\
— x — 4 & \ text {if} x <-4
\ end {case} \)
Перетащите ползунок в апплете ниже, чтобы увидеть, как эти два выражения меняют свои знаки.
Подобно уравнению из предыдущего урока, это уравнение также постоянно меняет свою форму в зависимости от области, в которой находится x.
Итак, мы еще раз разделим числовую прямую на отдельные области, в которых уравнение «сохраняет» свою форму, и попытаемся решить уравнение в каждой области.
Случай 1 : x ≥ 2
Когда x ≥ 2, | x — 2 | превращается в x — 2 и остается таким. Кроме того, x ≥ 2 означает x> –4, и, следовательно, | x + 4 | превращается в x + 4 (и остается таким).
Уравнение принимает вид
(х — 2) + (х + 4) = 8
, что дает x = 3.
Попробуйте подставить это значение в исходное уравнение для проверки. На этом мы закончили с областью x ≥ 2. Перейдем к следующей.
Случай 2 : –4 ≤ x <2
Во-первых, давайте подумаем, почему мы решили ограничить x этим регионом.
Если x <2, то | x - 2 | становится 2 - x (и остается 2 - x), но | x + 4 | может равняться x + 4 или - x - 4, в зависимости от того, x ≥ –4 или x <–4.
Итак, если мы ограничим x областью –4 ≤ x <2, | x + 4 | также сохранит свою форму, т.е. x + 4.
Исходное уравнение превратится в
(2 — х) + (х + 4) = 8
, что упрощается до 6 = 8.
Это означает, что когда x находится между –4 и 2, LHS всегда будет 6, что никогда не может равняться RHS. Попробуйте подставить некоторые значения x, чтобы убедиться в этом.
Это означает, что не существует решения этого уравнения, когда –4 ≤ x <2.Остался последний случай.
Случай 3 : x <–4
Здесь | x — 2 | = 2 — x (поскольку x <–4 также означает x <2) и | x + 4 | превратится в –x - 4 (и останется таким).
Теперь наше уравнение становится
2 — х — 4 — х = 8
Это дает x = –5 . Еще раз подставьте это в исходное уравнение для проверки. И, поскольку мы рассмотрели всю числовую строку, больше нет решений.
В остальных примерах будет использоваться тот же метод.Но все равно пройдитесь через них, так как в каждом вы столкнетесь с интересными ситуациями.
Пример 2 Решить относительно u: | u + 5 | — | u + 1 | = 2
Решение Давайте начнем с рассмотрения дел. На этот раз мы будем двигаться немного быстрее.
Случай 1: u ≥ –1
В этом случае | u + 1 | = u + 1 и | u + 5 | = u + 5. Уравнение принимает вид
(u + 5) — (u + 1) = 2
, что дает 4 = 2.
Это означает, что в этом регионе не будет никакого решения, так как LHS всегда будет оставаться равным 4.Выберите любые случайные значения u ≥ –1, чтобы убедиться в этом.
Случай 2: –5 ≤ u <1
В этом случае | u + 1 | = — u — 1 и | u + 5 | = u + 5. Уравнение принимает вид
(u + 5) — (- u — 1) = 2
, что дает u = –2.
Случай 3: u <–5
В этом случае | u + 1 | = — u — 1 и | u + 5 | = — u — 5. Уравнение принимает вид
(–u — 5) — (- u — 1) = 2
, что дает –4 = 2. Еще одна странная ситуация.Нет решения!
Причина, по которой мы не получаем решения в случаях 1 и 3, имеет геометрический смысл. Напомним, что | u + 5 | и | u + 1 | — соответственно расстояния между u и –5 и u и –1.
А, | u + 5 | — | u + 1 | разница этих двух расстояний. Если P представляет u на числовой прямой, а A и B соответственно представляют –5 и –1, тогда уравнение просто спрашивает нас
«Найдите точку P на числовой прямой такой, что PA — PB = 2»
Итак, что происходит, когда P перемещается вправо от –1 или влево от –5? Взгляните на апплет ниже.Можно перетащить точку P.
Когда P перемещается вправо от –1, тогда PA — PB равно , всегда равно AB (что равно 4). Вот почему мы получаем 4 на LHS в Case 1.
Аналогично, когда P лежит слева от –5, тогда PB — PA равно , всегда равно AB, или 4. Это означает, что PA — PB = –4. Пойдите, проверьте левую часть корпуса 3 для сопоставления.
В обоих случаях PA — PB не может равняться 2. Следовательно, решения нет.
А что насчет между A и B?
Если P находится прямо посередине между A и B, то PA — PB равно 0.И, если мы переместим P в сторону B, значение PA — PB увеличится до 4. Где-то между 0 и 4 PA — PB также будет равно 2, правой части уравнения.
Следовательно, мы получим решение (то есть между A и B). Давайте не будем интересоваться , что такое это решение, а тем фактом, что решение существует.
Дайте всему этому погрузиться. 😑
Пример 3 Решить относительно y: | y — 5 | + | у — 1 | = 4
Решение Давайте сразу перейдем к рассмотрению трех случаев.
Случай 1: y ≥ 5
Уравнение принимает вид
(у — 5) + (у — 1) = 4
, что дает y = 5.
Случай 2: 1 ≤ y <5
Уравнение принимает вид
(- y + 5) + (y — 1) = 4
, что дает 4 = 4.
Хм. Что это могло значить? Сделайте паузу и подумайте, прежде чем продолжить.
4 = 4 означает, что когда 1 ≤ y <5, LHS всегда равно 4 и, следовательно, всегда равно RHS.Другими словами, каждые значений y, таких что 1 ≤ y <5, является решением исходного уравнения.
Давайте попробуем несколько.
Если y = 1,3, то LHS = | 1,3 — 5 | + | 1,3 — 1 | = | –3,7 | + | –0,3 | = 3,7 + 0,3 = 4 =
правых.
y = 4.2, тогда LHS = | 4.2 — 5 | + | 4,2 — 1 | = | –0,8 | + | 3,2 | = 0,8 + 3,2 = 4 = правый
y = 2, тогда LHS = | 2 — 5 | + | 2 — 1 | = | –3 | + | 1 | = 3 + 1 = 4 =
прав.
Отлично!
Случай 3: y <1
Уравнение принимает вид
(- y + 5) + (1 — y) = 4
, что дает y = 1.Внимательно посмотрите на это решение.
Все в порядке? Ну нет.
Уравнение (- y + 5) + (1 — y) = 4 было , только допустимо, когда мы ограничили y в области y <1. Но то решение, которое мы получили, это y = 1, что не лежит в этот регион.
Значит, это решение недействительно. И мы это отклоним.
Но если вы подставите y = 1 в исходное уравнение, вы обнаружите, что LHS = RHS для этого значения y.
Что происходит?
Что ж, вернемся к случаю 2.Мы обнаружили, что любое значение y такое, что 1 ≤ y <5, является решением исходного уравнения. Это решение включает y = 1. Так что не о чем беспокоиться.
Но помните — любое решение, которое находится на за пределами выбранной нами области, должно быть отклонено.
Давайте также посмотрим, что происходит геометрически в случае 2.
Как и в предыдущем примере, если P представляет y на числовой прямой, а A и B соответственно представляют 1 и 5, тогда уравнение спрашивает нас
«Найдите точку P на числовой прямой такой, что PA + PB = 4»
Итак, что происходит, когда P находится между A и B? Взгляните на апплет ниже.Можно перетащить точку P.
Когда P лежит между A и B, тогда PA + PB равно , всегда равно AB (что равно 4). Вот почему мы получаем 4 на LHS в Case 2.
Что делать, если P лежит правее 5 (т. Е. Y> 5)?
PA + PB начинает увеличиваться с 4 и продолжает расти по мере продвижения вправо. Следовательно, PA + PB больше никогда не будет равняться 4 в этой области. То же самое происходит, когда P лежит слева от 1.
Следовательно, мы не получим никакого решения для y> 5 и y <1.
Комбинируя решения Случая 1 и Случая 2, мы получим окончательное решение как 1 ≤ y ≤ 5 .
Позвольте этому тоже погрузиться. 😑😑
Пример 4 Решить относительно z: | z — 3 | + | z — 7 | = 2
Решение Я знаю, что вы думаете: «Но я же все это знаю!», Но в этом примере тоже есть что-то новое.
Случай 1: z ≥ 7
Уравнение принимает вид
(г — 3) + (г — 7) = 2
, что дает z = 6.Отклоненный!
Почему? Потому что мы ограничили z областью z ≥ 7, и будут действительны только те решения, которые лежат в этой области.
Давайте проверим это, подключив z = 6 к LHS. Получим
LHS = | 6 — 3 | + | 6 — 7 | = | 3 | + | –1 | = 3 + 1 = 4 ≠ правая
Сказал я!
Случай 2: 3 ≤ z <7
Уравнение принимает вид
(z — 3) + (7 — z) = 2
, что дает 4 = 2.
Ба! Мы уже видели этот абсурд.Давайте двигаться дальше.
Случай 3: z <3
Уравнение принимает вид
(3 — z) + (7 — z) = 2
, что дает z = 4. Снова отклонено! Вы понимаете почему.
Если мы рассмотрим все случаи, это уравнение вообще не имеет решения.
Что происходит геометрически? Взгляните на похожий апплет. Можно перетащить точку P.
Когда P лежит между A и B, PA + PB равно AB или 4. Когда мы перемещаем P за пределы AB, PA + PB становится больше 4.И он продолжает увеличиваться, если мы перемещаемся дальше влево от A или вправо от B.
В любом случае PA + PB или | z — 3 | + | z — 7 | никогда не будет равняться 2 (RHS), и, следовательно, уравнение не будет иметь решения. Дело закрыто.
На этом все об уравнениях. Почему бы вам не попробовать самостоятельно решить следующее уравнение?
| x — 1 | + | х — 2 | + | x — 3 | = 9
Это будет немного сложно визуализировать на числовой прямой. Попробуйте решить это, создавая кейсы.
Далее мы рассмотрим неравенства, метод решения которых будет очень похож на уравнения.Позже мы еще раз рассмотрим все с помощью графиков.
Увидимся на следующем уроке.
Как решить неравенства с модулем упругости
Как решить неравенства с модулем:
В этом разделе мы узнаем, как решить неравенство с модулем.
Решение неравенств с помощью модуля — Концепция
Если данный вопрос имеет любую из следующих форм, мы должны следовать указанным методам, чтобы решить для x.
Вопросы в форме | Первый шаг, который необходимо сделать | Решение |
| х — а | | -r | (-r + а, г + а) |
| х — а | ≤ r | -r ≤ x — a ≤ r | [а- р, а + р] |
| х — а | > Р | x — a <-r и x — a> r | (∞, a-r) U (a + r, ∞) |
| х — а | ≥ г | x — a ≤ -r и x — a ≥ r | (∞, a-r] U [a + r, ∞) |
Решение неравенств с помощью модуля — Примеры
Пример 1:
Решите неравенство абсолютных значений, приведенное ниже
| x — 9 | <2
и выразите решение в интервальной записи.
Решение:
-2 Добавьте 9 по всему уравнению -2 + 9 7 Следовательно, Множество решений указанного выше абсолютного неравенства равно (7, 11). Пример 2: Решите неравенство абсолютных значений, приведенное ниже | 2 / (x — 4) | > 1, x ≠ 4 и выразим решение в интервальной записи. Решение: Из данного неравенства получаем, что 2> (x — 4) -2 Добавьте 4 по всему неравенству -2 + 4 2 Мы не можем выразить решение как (2, 6).Потому что в середине 2 и 6 у нас есть значение 4. Итак, мы должны разделить его на два интервала. (2, 4) U (4, 6) Пример 3: Решите неравенство абсолютных значений, приведенное ниже | 3 — (3x / 4) | ≤ 1/4 и выразим решение в интервальной записи. Решение: (-1/4) ≤ 3 — (3x / 4) ≤ (1/4) (-1/4) ≤ (12 — 3x) / 4 ≤ (1/4) Умножьте на 4 во всем уравнении -1 ≤ (12 — 3x) ≤ 1 Вычтите 12 во всем уравнении -1 — 12 ≤ 12 — 3x — 12 ≤ 1-12 -13 ≤ — 3x ≤ -11 Делится на (-3) по всему уравнению -13 / (- 3) ≤ — 3x ≤ -11 13/3 ≤ x ≤ 11/3 11/3 ≤ x ≤ 13 / 3 Следовательно, набор решений вышеуказанного абсолютного неравенства равен [11/3, 13/3]. Пример 4: Решите неравенство абсолютных значений, приведенное ниже | 6x + 10 | ≥ 3 и выразим решение в интервальной записи. Решение: 6x + 10 ≤ -3 и 6x + 10 ≥ 3 6x + 10 ≤ -3 Вычесть 10 с обеих сторон 6x + 10 — 10 ≤ -3 — 10 6x ≤ -13 Разделить на 6 с обеих сторон x ≤ -13/6 6x + 10 ≥ 3 Вычесть 10 с обеих сторон 6x + 10-10 ≥ 3-10 6x ≥ -7 Разделить на 6 с обеих сторон x ≥ -7/6 Следовательно, множество решений вышеуказанного абсолютного неравенства равно (-∞, -13/6] U [-7/6, ∞). Пройдя все, что было сказано выше, мы надеемся, что студенты поняли, как решать неравенства по модулю. Кроме того, что описано в этом разделе, если вам нужны другие математические данные, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь. Если у вас есть какие-либо отзывы о наших математических материалах, напишите нам: Мы всегда ценим ваши отзывы. Вы также можете посетить следующие веб-страницы, посвященные различным вопросам математики. ЗАДАЧИ СО СЛОВАМИ Задачи со словами HCF и LCM Задачи со словами на простых уравнениях Задачи со словами на линейных уравнениях Задачи со словами на квадратных уравнениях Алгебраные задачи со словами Проблемы со словами в поездах Проблемы со словами по площади и периметру Проблемы со словами по прямой и обратной вариации Проблемы со словами по цене за единицу Проблемы со словами по цене за единицу Word задачи по сравнению ставок Преобразование обычных единиц в текстовые задачи Преобразование метрических единиц в текстовые задачи Word задачи по простому проценту Word по сложным процентам Word по типам ngles Проблемы с дополнительными и дополнительными углами в словах Проблемы со словами с двойными фактами Проблемы со словами в тригонометрии Проблемы со словами в процентах Проблемы со словами о прибылях и убытках Разметка и разметка Задачи Задачи с десятичными словами Задачи со словами о дробях Задачи со словами о смешанных дробях Одношаговые задачи о словах с уравнениями Проблемы с линейными неравенствами Слово пропорции и пропорции Задачи со словами Проблемы со временем и рабочими словами Задачи со словами на множествах и диаграммах Венна Задачи со словами на возрастах Проблемы со словами по теореме Пифагора Процент числового слова pr проблемы Проблемы со словами при постоянной скорости Проблемы со словами при средней скорости Проблемы со словами на сумме углов треугольника 180 градусов ДРУГИЕ ТЕМЫ Сокращения прибылей и убытков Сокращения в процентах Сокращения в таблице времен Сокращения времени, скорости и расстояния Сокращения соотношения и пропорции Домен и диапазон рациональных функций Домен и диапазон рациональных функций функции с отверстиями Графики рациональных функций Графики рациональных функций с отверстиями Преобразование повторяющихся десятичных дробей в дроби Десятичное представление рациональных чисел Нахождение квадратного корня с помощью long di зрение L.Метод CM для решения временных и рабочих задач Преобразование задач со словами в алгебраические выражения Остаток при делении 2 в степени 256 на 17 Остаток при делении 17 в степени 23 на 16 Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 6 Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 7 Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 8 Сумма всех трехзначных чисел, образованных с использованием 1, 3 , 4 Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных ненулевыми цифрами Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных с использованием 0, 1, 2, 3 Сумма всех трех четырехзначных чисел числа, образованные с использованием 1, 2, 5, 6 Вы столкнулись с «особенностью» решения.Я рекомендую вам написать об этом отчет об ошибке и указать пример 02336440. Это становится действительно очевидным, когда вы делаете что-то вроде «Особенность» в том, что теперь, когда интервал является решением, MATLAB возвращает репрезентативное решение. Детально проработал, какое репрезентативное решение будет выбрано; см. ниже. Официальный ответ Mathworks заключается в том, что вы должны использовать returnconditions: >> syms z; sol = resolve (abs (1 + z) <= 1, z, 'returnconditions', true) sol = структура с полями: z: [1 × 1 симв] параметры: [1 × 2 симв] условия: [1 × 1 симм] >> сол.z ans = x * exp (y * 1i) — 1 >> параметры решения ans = [x, y] >> условия решения ans = y < 2 * pi & 0 <= x & x <= 1 & 0 <= y Другой способ записать это условие: x в [0, 1], y в [0, 2 * pi), z — x * exp (y * 1i) — 1 Если вы протестируете это решение, вы увидите, что большинство сгенерированных z являются сложными. Это потому, что вы не ограничивали себя реальными ценностями. >> syms z real; sol = resolve (abs (1 + z) <= 1, z, 'returnconditions', true) sol = структура с полями: z: [1 × 1 симв] параметры: [1 × 1 сим] условия: [1 × 1 симв] >> sol.z, параметры решения, условия решения ans = x ans = x ans = x <= 0 & -2 <= x Символьный движок вычисляет значения отлично и понятно; беспорядок возникает, когда интерфейс между MATLAB и символьным движком переводит результаты в другой формат. Как я сообщал в случае: Экспериментально кажется, что правило разбивает решения на непересекающиеся интервалы. Для каждого из непересекающихся интервалов, выражаемых через простую пару границ , если обе границы интервала одинаковы, то , если эта граница бесконечна испускает пустую, а не бесконечную границу иначе испускает эту границу end elseif границы равны -inf и + inf emit 0 elseif одна из границ бесконечна испускает другую границу плюс 1 * sign () бесконечности elseif 0 находится в интервале emit 0 else if pi находится в интервале emit pi else испускает среднее значение границ end возвращает объединение всех выданных значений Если есть интервалы, которые не пересекаются, выходы аналогичны приведенным выше, но вместо простого среднего двух границ вычисляются min () и max () границ, которые охватывают интервал (открытый или закрытый) d и усреднены. 2.5 — Алгебраическое и графическое решение неравенств При решении линейного неравенства относитесь к нему так же, как если бы вы решали уравнение с несколькими Иногда два неравенства объединяются в одно.Однако нужно быть осторожным: Если x> 3 и x <6, тогда вы можете написать 3 Чтобы решить двойное неравенство, просто примените операции ко всем трем частям: Если 3 Это доставит вам неприятности.Им не обязательно, но они будут. Люди просто не понимают Я могу сказать вам, что основная причина, по которой люди этого не понимают, заключается в том, что Было ли исходное неравенство> или <не влияет на решение проблемы, когда вы
делать это правильно.Я мог бы показать пример того и другого, но техника похожа. Рассмотрим абсолютное неравенство | (x — 3) / 4 | ≤ 5 Начните с разделения абсолютного (x-3) / 4 ≤ 5, если (x-3) / 4 ≥ 0 Сначала функциональная часть (х-3) / 4 ≤ 5 х-3 ≤ 20 х ≤ 23 Сейчас ограничение (х-3) / 4 ≥ 0 х-3 ≥ 0 х ≥ 3 Обязательно обратите особое внимание на ограничения в отношении абсолютного 3 ≤ х ≤ 23 — (x-3) / 4 ≤ 5, если (x-3) / 4 <0 Сначала функция. Начнем с умножения на -1, чтобы избавиться от отрицательного — (х-3) / 4 ≤ 5 (х-3) / 4 ≥ -5 х-3 ≥ -20 х ≥ -17 Теперь об ограничении. (х-3) / 4 <0 х-3 <0 х <3 Аналогично, во втором случае обе части должны быть удовлетворены в -17 ≤ х <3 Оба неравенства в одном конкретном случае должны выполняться одновременно. Итак, сложите два ответа из случая 1 и случая 2 вместе -17 ≤ x <3 или 3 ≤ x ≤ 23 Эти два интервала можно объединить вместе, чтобы получить окончательный ответ. -17 ≤ х ≤ 23 В интервальной записи это будет [-17, 23] У меня нет проблем с использованием геометрического подхода к решению абсолютных неравенств. Нет Однако этот метод требует, чтобы вы знали некоторые свойства абсолютных значений. Эти Давайте рассмотрим то же неравенство, которое мы решили ранее: | (x — 3) / 4 | ≤ 5 Умножив обе части на 4, получим | x-3 | ≤ 20. Это говорит о том, что расстояние от 3 на числовой прямой меньше или равно Вау! Вы скажете, что это было легко. Ага. Задача посложнее: | (3-5x) / 2 | ≥ 3 Умножим обе стороны на 2, чтобы получить | 3-5x | ≥ 6. Вот где вступают в игру эти свойства абсолютных значений. Абсолютное значение Теперь разделите обе стороны на 5, чтобы получить | x- 3/5 | ≥ 6/5. Это говорит о том, что расстояние от 3/5 не менее 6/5. Итак, начнем с 3/5 и вперед Полиномы непрерывны. Это означает, что вы можете рисовать их, не беря в руки карандаш. Тогда ключ к нахождению набора решений для полиномиального неравенства состоит в том, чтобы найти нули Рациональные неравенства похожи на многочлены, но есть дополнительный соблазн и дополнительный Искушение: Не поддавайтесь искушению, ибо уступить есть грех. Я знаю, ты не любишь дроби. Вы пытаетесь избавиться от них при каждом удобном случае.Но, Вот проблема. Если умножить на константу, довольно очевидно, положительное оно или Непрерывность Полиномиальные функции всюду непрерывны. Однако рациональные функции — нет.Они есть Если вы двигаетесь и не можете взять карандаш и переходите с отрицательного на Теперь у нас есть два места, где могут встречаться критические числа. Один находится в нуле функции, Фактически, преобразовывая все это в уравнение и решая, чтобы найти критический Тем не менее, изучите это таким образом, потому что, когда мы дойдем до главы 3, будет фундаментальный Другой способ решить неравенства — построить график левой части неравенства как y 1 и Решение неравенства абсолютного значения — MATLAB Answers
Алгебраическое и графическое решение неравенств
Линейные неравенства
исключения.
смысл (направление) неравенства.
вы берете взаимность обеих сторон.
a d, то нельзя точно сказать, что a + c b + d
вы переписываете всю проблему, просто переходите на другую сторону, убедитесь, что вы
изменить смысл
неравенство, так что оно по-прежнему указывает на то же количество.
неравенство
с обеих сторон неравенства
неравенство с положительной константой Двойное неравенство
это означало бы, что 3> 6, и это было бы ложным утверждением, и набор был бы пуст. Абсолютное неравенство значений
абсолютные значения.
они не понимают ограничений. Это было бы правдой, но просто скажу
ты, который тебе не поможет. В
книга будет кратким сокращением, и люди будут спрашивать «почему там
очень много
правил? «. Нет! Есть одно определение абсолютного значения, и если вы
знать это и применять ограничения, как и предполагалось, тогда проблемы
тренироваться каждый раз
без необходимости в дополнительных правилах.Дополнительные правила из книги:
используется для ускорения решения проблем, как если бы мы опускали абсолютное значение
при взятии площади
корень с обеих сторон и просто вставьте вместо этого плюс / минус. Это звучит как
дополнительное правило, но это просто приложение абсолютной ценности, которое мы пытаемся
обойтись, потому что нам не нравится
их (и мы задаемся вопросом, почему у нас с ними проблемы). Абсолютные значения — правильный путь
значение до двух его случаев.
Помните, что абсолютное значение
можно найти, отбросив знаки абсолютного значения, когда аргумент неотрицателен
(случай 1) и взяв противоположное тому, что было в абсолютных значениях, когда
аргумент отрицательный (случай 2).
если (x-3) / 4 ≥ 0 Кейс 1
значение неотрицательное и отрицательное.Неравенства, возникающие одновременно
время как функция, так и ее ограничение должны быть удовлетворены. Вот почему
две части решения первой
дело
может быть
комбинированный
так
что x составляет от 3 до 23 включительно. Это должно
удовлетворяют как x≥3, так и x≤23. Дело 2
знак, но тогда придется изменить смысл (направление) неравенства.
в то же время. Также обратите внимание, что когда я умножил обе части неравенства
на -4 я изменил
смысл неравенства, чтобы оно было уже не ≤, а теперь ≥. Вы могли бы упростить это другими способами, но обычно мне это проще
чтобы сразу избавиться от негатива. Собираем обратно
время. Однако неравенства, которые возникают между двумя сторонами, могут быть объединены.
с «или». Так же, как если бы (x-2) (x + 4) = 0, вы бы сказали, что ответ x = 2 или
x = -4, вы бы не стали настаивать на том, чтобы одновременно было 2 и -4. Тоже самое
принцип держится
с двумя частями абсолютного значения. Я сказал вам, что все сходится.
Я знаю, ты устанешь от моих слов, но это намного проще
к
поймите, если вы видите общую картину. Абсолютные значения кратчайший путь
между противоположной правой стороной и правой стороной.
две части, с разделением на или. Он будет больше правой стороны или меньше
чем противоположность правой стороны.
Решение этого приводит к x <-1 или x> 5.
что просто ложно и будет пустым набором. Геометрические абсолютные значения
геометрический подход, когда вы помещаете его в калькулятор, но геометрический подход, когда
вы используете геометрическое определение абсолютной величины.Геометрическое определение абсолютного значения:
расстояние от 0 на числовой прямой. Если его немного изменить, то | x-a | это расстояние
от x = a на числовой строке.
в любом случае полезно знать (не все ли?), так что было бы хорошо, если бы вы их выучили.
20. Итак, начните с 3 и пройдите 20 влево (-17) и 20 вправо (23). Ты
нужно
в
расстояние
быть меньше (или равно) 20 единицам. Этот
будет включать значения от -17 до 23. Так как равно включено, вы
включить
конечные точки, чтобы получить ответ (обозначение интервала) [-17,23].
противоположность числа — это то же самое, что и абсолютное значение числа. Это означает, что мы можем
сказать | 3-5x | = | 5x-3 | и | 5x-3 | ≥ 6.
6/5 влево (-3/5) и 6/5 вправо (9/5). Поскольку вам нужно расстояние
быть более чем на 6/5 единиц от 3/5, вы
нужны значения слева от -3/5 и справа от 9/5.Поэтому ответ
x≤-3/5 или
х≥9 / 5. В обозначении интервалов вам нужно будет использовать объединение двух интервалов.
(-∞, -3 / 5] U
[9/5, + ∞). Полиномиальные неравенства
(В исчислении есть более строгое определение, но сейчас это определение будет работать для нас). Если
вы собираетесь измениться с меньше нуля на больше нуля и вы не можете подобрать
карандашом, то в какой-то момент вы должны пересечь ось абсцисс.Это означает, что единственное место
неравенство может измениться в точке пересечения с x, нуле, корне, решении.
неравенство (представьте, что это уравнение), поместив их в числовую прямую и выбрав контрольную точку
в каждом регионе.
вы хотите.Факторинг является предпочтительным, но вы можете использовать квадратичную формулу, если
вы можете уменьшить его до квадратичного множителя. Эти значения называются «критическими».
числа «(не путать
с похожими, но немного отличающимися «критическими значениями» из расчетов).
порядок от самого маленького до самого большого. Не важно указывать любое другое значение в числовой строке.
Некоторых учили, что в числовой строке всегда ставится ноль.Это не обязательно
здесь.
точки. Подключите эту контрольную точку либо к факторизованному неравенству, либо к исходному неравенству.
Если контрольная точка дает вам истинное утверждение, то любая точка в этом интервале будет работать, и вы
хотите включить этот интервал в ответ. Если контрольная точка дает ложное утверждение, тогда
все точки в этом интервале не будут работать, и вы не хотите включать этот интервал.
неравенство не включает равно. Рациональное неравенство
место, где могут появиться критические числа.
фракции — ваши друзья, и я очень надеюсь, что вы так не относитесь ко всем своим друзьям.
отрицательный, чтобы вы знали, нужно ли менять неравенство. Однако при рациональном
выражений, в знаменателе будет переменная. Переменные могут принимать разные
значения — вот почему они называются переменными (а вы думали, что математика не имеет смысла). Иногда
выражение положительное, но для других значений x выражение отрицательное.Итак, если умножить
по наименьшему общему знаменателю, вы не знаете, умножаете ли вы
число или отрицательное число , если вы не следите за ограничениями! Итак, у вас есть выбор
— фракции, которые вы ненавидите, или ограничения, которые вы ненавидите? В этом случае дроби будут меньшими из
два зла (на ваш взгляд — ни одно из них на самом деле не является злом)
непрерывно везде, кроме неопределенных, и это происходит, когда знаменатель равен нулю.
положительный, то это должно произойти в нуле функции, как и в случае полинома. Но если
функция не определена, то вам нужно взять карандаш. Пока карандаш поднят, есть
ничего, что говорило бы, что вы не можете переехать в совершенно другое место, возможно, на другой стороне
ось X, когда вы положите его обратно.
в другом месте функция не определена.
сторона нулевая.
не можете перемножить и избавиться от дробей, потому что не знаете
если что ты
умножение на отрицательное или положительное (если вы не хотите связываться с ограничениями
— а вы
не в этом случае)
делает числитель или знаменатель равным нулю.
не определено из-за деления на ноль.
Это будут критические точки, которые нельзя включить в
окончательный ответ, даже если равно
включен, потому что это приведет к делению на ноль.
(игнорировать сложные решения, включающие и ) в функцию в любом случае
что вы хотите.Чтобы найти нули, вам нужно беспокоиться только о том,
числитель.
неравенство не включает равно. Убедитесь, что вы не указали конечную точку,
приведет к делению на ноль, если он будет включен.
числа не так уж и плохи для маршрута. Книга и большинство учителей математики
предполагаю, что ты собираешься сохранить
неравенство в проблеме до конца. Если ты хочешь
вставьте значения обратно в исходную задачу, вы можете переключиться на равное
подписать, избавиться от дробей и найти
критические числа. Вам все равно придется следить за ограничениями, но теперь
ограничения относятся к
сформировать x ≠ 2 вместо x <2, и с этим гораздо проще иметь дело.
концепция, которая значительно ускорит поиск решений этих проблем, и требует (своего рода)
что вы смотрите на положительные и отрицательные стороны. Графические утилиты
справа как y 2 , а затем найдите точку пересечения.