Линейное уравнение с двумя переменными

Вопросы
занятия:

· 
повторить что такое линейное уравнение с одной
переменной и сколько решений может иметь такое уравнение;

· 
ввести понятия «линейное уравнение с двумя переменными», «решение уравнения с
двумя переменными», «равносильные уравнения».

Материал
урока

Ранее
мы с вами рассматривали линейное уравнение с одной переменной.

Вспомним,
что:

Сегодня
на уроке мы познакомимся с линейным уравнением, но уже с двумя неизвестными.

Давайте
рассмотрим ситуацию

Полученное
равенство содержит две переменные. А поэтому такие равенства называют уравнениями
с двумя переменными (или с двумя неизвестными).

Посмотрите
на примеры уравнений с двумя переменными

Сформулируем
определение:

Определение.

Линейным
уравнением с двумя переменными называется уравнение
вида:

Вернёмся
к задаче

То
есть пара значений переменных (x = 60, y = 110)
является решением этого уравнения. Отметим, что эти корни были найдены методом
подбора, причём это не единственная пара чисел, удовлетворяющих нашему
уравнению.

Определение.

Решением
уравнения с двумя переменными называется пара
значений переменных, которая обращает это уравнение в верное равенство.

Вспомним,
что при изучении уравнений с одной переменной, мы говорили о равносильных
уравнениях, то есть уравнениях, которые имеют одни и те же корни.

Аналогично
можем сказать, что уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения,
называются равносильными.

Причем
уравнения с двумя переменными, не имеющие решений, также являются равносильными.

Равносильные
уравнения обладают следующими свойствами:

Свойство
1.

Если
в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то
получится уравнения, равносильное данному;

Свойство
2.

Если
обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же отличное от нуля
число, то получится уравнение, равносильное данному.

Снова
вернёмся к нашему уравнению

Но
здесь важно знать, значение какой из переменных стоит на первом месте, а какой
– на втором. Так в нашем случае сначала записано значение переменной x, а затем переменной y.

При
этом пара чисел (150; — 25) являясь решением уравнения, не удовлетворяет
условию задачи, так как скорость автомобиля не может быть отрицательной.

И
давайте рассмотрим ещё одну задачу.

Пример.

Решение
уравнений в целых числах, то есть когда надо найти только целые значения
переменных, подробно рассматривал древнегреческий математик Диофант.

Поэтому
уравнения с несколькими переменными, которые надо решить в целых числах,
называют диофантовыми уравнениями. То есть уравнение, составленное в
предыдущей задаче, является диофантовым, так как для него мы отыскивали только
натуральные решения.

И
давайте рассмотрим примеры.

Пример.

И
ещё пример.

Пример.

Итоги
урока

Итак,
на этом уроке мы рассмотрели линейное уравнение с двумя переменными и один из
способов решения таких уравнений.

Презентация:»Решение линейных уравнений» | Презентация к уроку по алгебре (7 класс) по теме:

Слайд 1

Презентацию подготовила учитель ГОУ СОШ № 1961 города Москвы Чистякова Людмила Константиновна

Слайд 2

Решение линейных уравнений с одной переменной

Слайд 3

Определение Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение вида a х + b = с, где а, в, с – числа, х – переменная. Например: 3х + 8 = 0, 1 4 – 2х =9; – 4х = 10.

Слайд 4

Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что корней нет. Корнем уравнения с одной переменной называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.

Слайд 5

При решении уравнений с одной переменной используются следующие свойства: Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному; Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, то получится уравнение, равносильное данному .

Слайд 6

Алгоритм решения уравнения Раскрыть скобки . Перенести слагаемые, содержащие переменную, в одну часть уравнения, а числа без переменной – в другую часть . Упростить, привести подобные слагаемые . Найти корень уравнения . Сделать проверку.

Слайд 7

Раскрытие скобок Если перед скобками стоит знак « + », то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки. Пример. (25 –3х) + (–2х + 6) = 25 – 3х – 2х + 6 = = 31 – 5х.

Слайд 8

Раскрытие скобок Если перед скобками стоит знак « — », то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки. ( 6х – 3) – ( 14 – 2х) = 6х – 3 –14 + 2х = = 8х – 17; 12 + ( х – 3) – (– 3х + 1) = 12 + х – 3 +3х – – 1 = 8 + 4х.

Слайд 9

Распределительное свойство умножения а(в + с) =ав +ас а(в – с) = ав – ас Примеры: 6 ( 3 – 2х) = 18 – 12х; – 5 ( а + 3) = – 5а –15.

Слайд 10

Примеры решения уравнений 4(х + 5) = 12; 4х + 20 = 12; 4х =12 – 20; 4х = — 8; х = — 8 : 4; х = — 2.

Слайд 11

Пример 2 5х = 2х + 6; 5х – 2х = 6; 3х =6; х = 6 : 3; х = 2.

Слайд 12

Пример 3 3 (х + 6) + 4 = 8 – ( 5х + 2) 3х + 18 + 4 = 8 – 5х – 2 3х + 5х = — 18 – 4 + 8 — 2 8х = — 16 х = — 16 : 8 х = — 2

Слайд 13

Задания для самостоятельного решения Решить уравнение 1). 2х + 5 = 2 (- х + 1) + 11 2). 6у – 3(у – 1) = 4 + 5у 3). 4 ( х – 1) – 3 = — (х + 7) + 8 4). – 2(5 у – 9) + 2 = 15 + 7(- х + 2) 5). 12 + 4(х – 3) – 2х = (5 – 3х) + 9

Слайд 14

Ответы 1) 2 2) — 0,5 3) 1,6 4) — 3 5) 2,8

Слайд 15

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ

Урок 51. обобщение и систематизация знаний по теме «линейные уравнения» — Алгебра — 7 класс

Алгебра

7 класс

Урок № 51

Обобщение и систематизация знаний по теме: «Линейные уравнения»

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Связь понятий: «линейное уравнение», система линейных уравнений», «линейная функция», «решение линейного уравнения», «решение системы линейных уравнений».

Способы решения систем линейных уравнений.

Тезаурус:

Уравнение вида ax = b, (где x – переменная, a, b – некоторые числа), называется линейным уравнением с одной переменной.

Система вида

(где x, y – переменные, a_i, b_i, c_i – некоторые числа) называется системой линейных уравнений с двумя переменными.

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Уравнение вида (где x – переменная, a, b – некоторые числа) называется линейным уравнением с одной переменной.

a и b – коэффициенты линейного уравнения.

К уравнению такого вида можно привести уравнение, которое включает в себя переменную в первой степени.

Пример:

Для того, чтобы привести уравнение к виду ax = b, нужно его преобразовать.

Пример.

Рассмотрим уравнение.

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

В зависимости от значения коэффициентов, линейное уравнение может иметь либо один корень, либо ни одного корня, либо бесконечно много корней.

Если уравнение включает в себя две переменные в первой степени, получаем линейное уравнение с двумя переменными:

Можно из данного равенства выразить переменную y.

Получим уравнение линейной функции:

Её графиком является прямая. Таким образом, графиком линейного уравнения с двумя переменными является прямая, угловой коэффициент которой равен:

На прямой лежит бесконечно много точек, поэтому линейное уравнение с двумя переменными имеет бесконечно много решений. Все пары точек, координаты которых удовлетворяют уравнению:

Или координаты точек, лежащих на прямой, соответствующей уравнению.

Рассмотрим два линейных уравнения с двумя переменными и составим из них систему.

Геометрической интерпретацией решения системы двух уравнений с двумя переменными является точка пересечения прямых (если она есть).

Две прямые:

1) могут пересекаться (иметь одну общую точку), если их угловые коэффициенты не равны. В этом случае система имеет единственное решение.

Две прямые пересекаются, если:

– система имеет единственное решение;

2) могут быть параллельными (не иметь ни одной общей точки), если их угловые коэффициенты равны, а свободные коэффициенты не равны. В этом случае система не имеет решений.

Две прямые параллельны, если:

– система не имеет решений.

3) могут совпадать (иметь бесконечно много общих точек), если их угловые коэффициенты и свободные коэффициенты равны. В этом случае система имеет бесконечно много решений.

Две прямые совпадают, если:

Система имеет бесконечно много решений.

Для системы линейных уравнений могут быть использованы разные способы решения: алгебраический, в рамках которого рассматривается способ подстановки и способ алгебраического сложения. Или графический метод.

Рассмотрим пример.

Заметим, что и первое, и второе уравнения включают в себя выражение (5x – 2y)

Во втором уравнении оно выражено. Его и подставим в первое уравнение:

Теперь первое уравнение зависит только от одной переменной x.

Подставим найденное значение во второе уравнение и найдём значение y:

Ответ:

Текст для углублённого изучения.

Одним из простейших уравнений с параметром является линейное уравнение.

Рассмотрим уравнение с параметром:

a(a — 2)x = a² — 4

Решение:

Рассмотрим коэффициент при переменной x.

Если: a(a – 2) ≠ 0, то есть уравнение имеет единственное решение.

Рассмотрим те значения параметра a, при которых a(a – 2) = 0

Пусть a = 0, тогда получим уравнение: 0 · x = –4. Это уравнение решений не имеет.

Пусть a = 2, тогда получим уравнение: 0 · x = 0. Это уравнение имеет бесконечно много решений.

Запишем ответ:

При a = 0 уравнение решений не имеет.

При a = 2 уравнение имеет бесконечно много решений.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

Задача 1.

Рассортируйте уравнения по количеству их корней:

3x – 2(x + 5) = 6x – 12(2 – x)

15(1 – x) + 3 = 7 – 4x – 11(x – 1)

-5(2x + 4) = 5 – 10x

Решение.

Рассмотрим первое уравнение. Раскроем скобки:

3x – 2(x + 5) = 6x – 12(2 – x)

3х – 2х – 10 = 6х – 24 + 12х

Коэффициент при переменной не обратится в 0. Поэтому уравнение имеет единственное решение.

Рассмотрим второе уравнение. Раскроем скобки:

15(1 – x) + 3 = 7 – 4x – 11(x – 1)

15 – 15х + 3 = 7 – 4х – 11х + 11

18 – 15х = 18 – 15х

После преобразований получим уравнение 0x = 0, которое имеет бесконечно много корней.

Рассмотрим третье уравнение. Раскроем скобки:

-5(2x + 4) = 5 – 10x

-10х – 20 = 5 – 10х

Получим уравнение 0х = 25, которое не имеет решений.

Задача 2.

Выберите значения параметра, при каждом из которых уравнение не имеет решений:

Решение.

Количество решений линейного уравнения зависит от коэффициента при переменной. Рассмотрим его.

Приравняем его к нулю: a(a² – 9) = 0

Найдем значения параметра:

a = 0

a = 3

a = –3

При каждом из этих значений параметра уравнение имеет вид:

0 · x = k, где k ≠ 0

Поэтому при каждом из этих значений параметра уравнение решений не имеет.

Линейное уравнение с одной переменной

Слайд №2
	Цели: 19.04.2012 Дать понятие об уравнении и его корнях. Дать понятие о линейном уравнении и его решении. Текстовые задачи и их решение с помощью уравнений. 2 www.konspekturoka.ru
Слайд №3
	19.04.2012 www.konspekturoka.ru 3 Одной из самых простых и важных математических моделей реальных ситуаций есть линейные уравнения с одной переменной. 3х = 12 5у — 10 = 0 2а +7 = 0 Решить линейное уравнение с одной переменной – это значит найти те значения переменной, при каждом из которых уравнение обращается в верное числовое равенство.
Слайд №4
	х + 2 = 5 х = 3 Уравнение. Корень уравнения. 19.04.2012 4 www.konspekturoka.ru Корень уравнения — значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.
Слайд №5
	Найдём корень уравнения: х + 37 = 85 х 37 85 = _ х = 48 Мы решили уравнение! 19.04. 2012 5 www.konspekturoka.ru Решили уравнение – нашли те значения переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.
Слайд №6
	Не решая уравнений, проверь, какое из чисел является корнем уравнения. 42; 0; 14; 12 87 + (32 – х) = 105 19.04.2012 6 www.konspekturoka.ru
Слайд №7
	42; 0; 14; 12 87 + (32 – 14) = 105 87 + (32 – 42) = 77 87 + (32 – х) = 105 87 + (32 – 0) = 119 87 + (32 – 12) = 107 х = 14 19.04.2012 7 www.konspekturoka.ru
Слайд №8
	Решим уравнение: (35 + у) – 15 = 31 y = 11 19.04.2012 8 www.konspekturoka.ru 35 + у = 31 + 15 35 + у = 46 y = 46 -35 Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет
Слайд №9
	19. 04.2012 www.konspekturoka.ru 9 Каждое уравнение имеет одни и те же корни х? = 2 х? = 3 Уравнения, которые имеют одни и те же корни, называют равносильными.
Слайд №10
	19.04.2012 www.konspekturoka.ru 10 При решении уравнений используют свойства: Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится равносильное уравнение. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на число (не равное нулю), то получится равносильное уравнение.
Слайд №11
	Решите уравнение и выполните проверку: у — 35 + 12 = 32; у – 23 = 32; у = 32 + 23; у = 55; (55 — 35) + 12 = 32; 30 + 12 = 32; 32 = 32. (у — 35) + 12 = 32; Решение. Ответ: 55. 19.04.2012 11 www.konspekturoka.ru Решение уравнений состоит в постепенной замене более простыми равносильными уравнениями
Слайд №12
	Решите уравнение и выполните проверку: 24 — 21 + х = 10; х + 3 = 10; х = 10 — 3; х = 7 (24 + 7) — 21 = 31 — 21 = 10; Ответ: 7. б) (24 + х) — 21 = 10; Решение. 19.04.2012 12 www.konspekturoka.ru Решение уравнений состоит в постепенной замене более простыми равносильными уравнениями
Слайд №13
	19.04.2012 www.konspekturoka.ru 13 Решите уравнение и выполните проверку: 45 + 18 — у = 58; 63 — у = 58; у = 63 — 58; у = 5 (45 — 5) + 18 = 40 + 18 = 58. Ответ: 5. Решение. в) (45 — у) + 18 = 58; Решение уравнений состоит в постепенной замене более простыми равносильными уравнениями
Слайд №14
	19.04.2012 www.konspekturoka.ru 14 Уравнение вида: aх + b = 0 называется линейным уравнением с одной переменной (где х – переменная, а и b некоторые числа). Внимание! х – переменная входит в уравнение обязательно в первой степени.
Слайд №15
	19.04.2012 www. konspekturoka.ru 15 Решите уравнение : 2(3х — 1) = 4(х + 3) Решение уравнений состоит в постепенной замене более простыми равносильными уравнениями. aх + b = 0 Приведем к стандартному виду: 2(3х — 1) = 4(х + 3) 6х – 2 = 4х + 12 6х – 4х = 2 + 12 2х = 14 х = 14 : 2 х = 7 — уравнение имеет 1 корень
Слайд №16
	19.04.2012 www.konspekturoka.ru 16 уравнение имеет бесконечно много корней Решите уравнение : 2(3х — 1) = 4(х + 3) – 14 + 2х Приведем к стандартному виду: aх + b = 0 2(3х — 1) = 4(х + 3) – 14 + 2х 6х – 2 = 4х + 12 – 14 + 2х 6х – 4x — 2х = 2 + 12 – 14 0 · x = 0 При подстановке любого значения х получаем верное числовое равенство: 0 = 0 x – любое число (а = 0, b = 0)
Слайд №17
	19.04.2012 www.konspekturoka.ru 17 Уравнение корней не имеет Решите уравнение : 2(3х — 1) = 4(х + 3) + 2х Приведем к стандартному виду: aх + b = 0 2(3х — 1) = 4(х + 3) + 2х 6х – 2 = 4х + 12 + 2х 6х – 4x — 2х -2 — 12 = 0 0 · x — 14 = 0 При подстановке любого значения х получаем неверное числовое равенство: -14 = 0 (а = 0, b = -14)
Слайд №18
	19. 04.2012 www.konspekturoka.ru 18 Вспомним! При решении задачи четко выполнены три этапа: Получение математической модели. Обозначают неизвестную в задаче величину буквой, используя эту букву, записывают другие величины, составляют уравнение по условию задачи. 2) Работа с математической моделью. Решают полученное уравнение, находят требуемые по условию задачи величины. 3) Ответ на вопрос задачи. Найденное решение используют для ответа на вопрос задачи применительно к реальной ситуации. Математическая модель позволяет анализировать и решать задачи.
Слайд №19
	19.04.2012 www.konspekturoka.ru 19 Задача: Три бригады рабочих изготавливают игрушки к Новому году. Первая бригада сделала шары. Вторая бригада изготавливает сосульки и сделала их на 12 штук больше, чем шаров. Третья бригада изготавливает снежинки и сделала их на 5 штук меньше, чем изготовлено шаров и сосулек вместе. Всего было сделано 379 игрушек. Сколько в отдельности изготовлено шаров, сосулек и снежинок? Шары – Сосульки – Снежинки — ? ? на 12 шт. больше, чем ? ? — на 5 шт. меньше, чем Получение математической модели. Обозначим шары – сосульки – снежинки — х (шт.) х + 12 (шт.) х + х + 12 = 2х + 12 (шт.) 2х + 12 – 5 = 2х + 7 (шт.) Так как по условию всего было сделано 379 игрушек, то составим уравнение: х + (х + 12) + (2х + 7) = 379 линейное уравнением с одной переменной
Слайд №20
	19.04.2012 www.konspekturoka.ru 20 2) Работа с математической моделью. х + ( х + 12) + (2х + 7) = 379 х + х + 12 + 2х + 7 = 379 Решение уравнений состоит в постепенной замене более простыми равносильными уравнениями. Приведем к стандартному виду: aх + b = 0 4х + 19 = 379 4х = 379 — 19 4х = 360 х = 360 : 4 х = 90 90 шт. — шаров х + 12 = 90 + 12 = 102 (шт.) — сосульки 2х + 7 = 2 · 90 + 7 = 187 (шт.) — снежинок 3) Ответ на вопрос задачи: 90 шт. – шаров, 102 (шт.) – сосульки, 187 (шт.) — снежинок
Слайд №21
	19.04.2012 21 www.konspekturoka.ru Ответить на вопросы: Что называется уравнением? Что называется корнем уравнения? Сколько корней может иметь уравнение? 3. Какие уравнения называются равносильными? Сформулируйте основные свойства уравнений. Стандартный вид линейного уравнения. Какое уравнение называется линейным?

Уроки

Тип ПОЛабораторная работа PASCOActivInspire (Promethean)SMART NotebookПрезентация PowerPointAнимационный Flash-роликУрок для ActivTableElite Panaboard (Panaboard)HitachiМастер-классMimioStudio™RM Easiteach Next Generation (TriumphBoard, Panaboard, Legamaster)Interwrite WorkSpace (Interwrite)IP board (IPBoard /Julong)Интересный материал

ПредметМузыкаФранцузский языкАстрономияИнформатикаГеографияОкружающий мирБиологияНемецкий языкОбщественные наукиМатематикаТатарский языкОРКСЭкономикаИностранный языкМХКВоспитательная работа (классный час)Русский языкОБЖГеометрияАнглийский языкТехнологияПриродоведениеОбществознаниеВнеурочное занятиеЕстественные наукиФизикаХимияЛитератураИсторияПравоИЗОЧерчениеДругое

Уровень образованияДошкольное образованиеНачальная школаСредняя школаСтаршая школаВысшая школаСредне-специальное образованиеСреднее образованиеПрофессиональное образованиеСпециальное образованиеДистанционное обучениеВнеурочные занятияДополнительное образование

Вид урокаМетодические рекомендацииРазработка урокаИграФрагмент урокаВнеурочные занятияДидактический материалШаблонСценарий

Классдошкольное1 класс2 класс3 класс4 класс5 класс6 класс7 класс8 класс9 класс10 класс11 классне зависит от класса

Рекомендованные

Сбросить фильтр

Линейное уравнение с одной переменной — урок 2 — АЛГЕБРА — Уроки для 7 классов — конспекты уроков — План урока — Конспект урока — Планы уроков

Урок № 6

Тема. Линейное уравнение с одной переменной

Цель: повторить, углубить и расширить знания учащихся о видах уравнений с одним неизвестным, сводящиеся к линейным уравнениям с одной Переменной (уравнение с модулем и уравнения, содержащие дроби), и способы равносильных преобразований таких уравнений.

Тип урока: углубление знаний, усвоения умений.

Ход урока

I. Организационный момент

II. Проверка домашнего задания

@ Поскольку целью выполнения домашнего задания было формирование устойчивых навыков решения линейных уравнений ах = b с одной переменной при различных значениях а и b, то № 1 и 2 следует тщательно проверить и еще раз прокомментировать способ решения уравнений.

№ 1. Решите уравнение:

№ 2. Найдите корни уравнений:

III. Актуализация опорных знаний

@ Во время математического диктанта повторяем теоретический материал и способы действий, рассмотренные на предыдущем уроке.

Математический диктант

1. Придумайте и запишите любое линейное уравнение с одним неизвестным х [у].

2. Как называется уравнение-2х = 17 [17х = -2]?

3. При каких условиях уравнение ах = 5 [ау = 3] имеет единственный корень (не имеет корней)? Запишите этот корень.

4. Решите уравнение 0,2 х = -1 [-0,3х = 1].

5. Решите уравнение 2х + 1 = 3х — x [х + 3 = 5 + х — 2].

6. Решите уравнение 5 — х = 2x + 2 [2 — 2х = -2х + 3].

По завершении работы ответы проверяются, корректируются и повторяются определение линейного уравнения с одной переменной и схема решения линейных уравнений.

IV. Систематизация, углубление и расширение знаний

1. Работа с опережающим заданием

Рассмотрите уравнение: | х | = 3; | х | =0; | х | = -3.

По известному алгоритму выполните сравнение (приложение 2).

Выводы: 1) Все приведенные уравнения можно записать в виде одного уравнения | х | = а, где а — любое число.

2) Способ решения и число корней этого уравнения зависит от знака числа а, а именно:

2. Расширение знаний

Как было уже сказано на предыдущем уроке, решение многих уравнений, имеющих одну переменную, сводится к решению линейных уравнений с одной переменной. Среди таких уравнений можно выделить:

а) уравнения с модулем;

б) уравнения, содержащие дроби.

Далее разбираем решения уравнений названных видов.

Выводы. Разобрав примеры а) и б) мы убедились в том, что некоторые уравнения с модулем, так же как и некоторые уравнения с дробями (не все!!!), путем выполнения равносильных преобразований и использования свойств чисел могут быть сведешь к линейных уравнений с одной переменной.

V. Усвоение умений

Выполнение письменных упражнений

1. Решите уравнения, содержащие переменную под знаком модуля:
1) |х| = 3;

2. 2) |х| + 1 = 7;

3. 3) |x| — 2 = -3;

4. 4) |х — 3| = 2;

5. 5) |х — 4| = 0;
6) |х + 3| = -4;

6. 7) 3|x| — 1 = 0;

7. 8) |3х + 2| — 4 = 0;

8. 9) |2(x — 3)(х + 4)| = 2.

9. Решите уравнение:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

10. * Логическое упражнение.

Найдите пропущенный рисунок:

VI. Итоги урока. Рефлексия

Игровой момент «Найдите ошибку»

Ученик 7 класса Петрик Тяпляпкін сказал, что очень хорошо научился решать уравнения, сводящиеся к линейным, и показал, как он решает уравнения. Вот его решения.

Согласны ли вы с такими решениями? Как бы вы оценили успехи Петрика?

VII. Домашнее задание

№ 1. Решите уравнение:

1) |2х — 3| = 5;

2) |2х — 1| + 7 = 8;

3) |5х — 4(2х + 3) | = 6;

4)* (опережающее домашнее задание) 2(|x| — 3) — 4(2|х| + 9) = -48;

5) ;

6) .

№ 2. При каком значении а уравнение ах = 42:

1) имеет корень -7;

2) корней не имеет;

3) имеет бесконечное множество корней?

Линейное уравнение с одной переменной, урок по алгебре в 7 классе, примеры решения

Дата публикации: 09 апреля 2017.

Определение линейного уравнения с одной переменной

Ребята, в 5 классе вы проходили тему: Решение уравнений на сложение и вычитание. Мы говорили о линейных уравнениях. Уравнениях, в которых только одна переменная.
Например: 4x = 18;   2z — 5 = 0.

Решить уравнение – значит найти те значения переменных, при котором уравнение превращается в верное равенство. Каждое такое решение называется корнем уравнения.

Например, уравнение 3x = 12 имеет корень, равный 4. При х = 4 выражение является верным равенством. Действительно, 3 * 4 = 12.
И больше никакое значение х не удовлетворяет данному равенству.

Общий вид линейного уравнения с одной переменной х можно представить: ах + b = 0, где где а и b – любые числа, которые называются коэффициентами линейного уравнения.

Рассмотрим виды линейных уравнений.

1. a = 0 и b = 0.
Корнем уравнения может быть любое число. В этом случае говорят, что уравнение не имеет корней.

2. a ≠ 0 и b ≠ 0.
Уравнение превращается в уравнение вида ax = -b (коэффициент b перенесли на право со сменой знака).
Значит, х = (-b) : a или x = -(b : a).

Алгоритм решения линейного уравнения вида ax + b = 0, где a ≠ 0

1) Переписать уравнение так, чтобы оно приняло вид ax = -b.
2) Найти корень уравнения x = (-b) : a или x = -(b : a).

Если линейное уравнение имеет более сложном виде, например, 4х + 3 = 18 — х.

Тогда необходимо упростить уравнение через приведение подобных слагаемых.
(4x + 3) — (18 — х) = 0
4x + 3 — 18 + х = 0
5x — 15 = 0
5x = 15
x = 3.

Обобщим полученные знания в общий алгоритм.

Алгоритм решения линейного уравнения вида ax + b = сx + d, где a ≠ c

1) Перенесем все члены уравнения налево и не забудем поменять знак при переносе.
2) Раскроим скобки после переноса и приведем подобные слагаемые. В результате получим уравнение вида ax + b = 0, где a ≠ 0.
3) Найдем корень уравнения вида x = (-b) : a или x = -(b : a).

Примеры решения линейных уравнений с одной переменной

1. Решите уравнение: 7x + 21 = 0.
7х = -21
х = $\frac{(-21)}{7} = — 3$.

2. Решите уравнение: 2x -1 = 5(х + 4).
2x — 1 — 5(х + 4) = 0
2x — 1 — 5х — 20 = 0
-3х — 21 = 0
-3х = 21
x = $\frac{21}{(-3)}= -7$.

Алгебра для детей — математические игры и видео

Бесплатные видео до алгебры для средней школы

Это коллекция бесплатных видеороликов по математике для начального уровня алгебры (средняя школа), демонстрирующих различные
упражнения по каждой теме. Они соответствуют учебной программе 7-го класса по математике Мамонт, но
также будет работать независимо от того, какой учебный план вы изучаете (другими словами, видео не зависят от того, что у вас есть учебный план по математике мамонта).

Перейти к:

Эти видео подходят для учащихся, учителей и родителей.Вы можете их использовать …

• Чтобы изучить эти темы самостоятельно (например, если вы студент или взрослый, нуждающийся в переподготовке)
• В качестве планов уроков для преподавания этих тем. Часто одно видео снизу можно превратить в несколько уроков с учениками.

Пожалуйста, выберите тему предварительной алгебры из списка ниже, чтобы просмотреть видеоурок по этой теме.

Язык алгебры

Приведенные ниже темы составляют основу принципов, используемых в алгебре (и предалгебре).

Порядок операций

Что такое выражения и уравнения?

Работа с выражениями и уравнениями

Коммутативно-ассоциативные свойства

(Распределительное свойство — простая версия, для 6 класса)

Дистрибутивное свойство — обычная версия, для 7 класса или предалгебра

Модели выращивания

Я не делал видеоуроков по моделям выращивания, но вы можете использовать это видео на Youtube для начинающих.

Два других, которые я перечисляю ниже, дают очень механический подход к этим типам проблем с шаблонами, когда вам не нужно думать
так много — но описанный метод работает всегда, поэтому он может быть полезен, особенно если ожидается, что такая проблема возникнет в стандартизированном тесте:

Тем не менее, моя цель в постановке задач растущего рисунка в 7-м классе математического мамонта состоит НЕ в том, чтобы научить учеников механическому способу, а просто дать им некоторое представление о различных способах ВИДЕНИЯ образца, а затем попытаться выразить его с помощью символов.Так что нет необходимости изучать механический путь.

Работа с выражениями

Упрощение и запись выражений 1: длина и периметр

Упрощение и запись выражений 2: область

Факторинг линейных выражений: обратное использование распределительного свойства

Целые числа

Введение в целые числа — 6-7 классы

Сложение целых чисел — 7-9 классы

Вычитание целых чисел — 7-9 классы

Умножение целых чисел — 7-9 классы

Деление целых чисел — 7-9 классы

Уроки по целым числам: решаемые примеры — 7-9 классы

Простейшие уравнения

Решение уравнений — урок для начинающих — примеры с весами

Уравнения сложения и вычитания

Уравнения умножения и деления

Рациональные числа

Что такое рациональные числа?

Сложение и вычитание отрицательных дробей и десятичных знаков

Умножение десятичных и отрицательных дробей

Разделить рациональные числа

Множество операций с рациональными числами и сложными дробями

Проблема со словом удельной скорости

Перевод дробей в десятичные

Простые уравнения с десятичными знаками

Простые уравнения с дробями

Простые уравнения с процентами

Линейные уравнения

Двухшаговые уравнения

Переменная с обеих сторон

Уравнения в круглых скобках

Уравнения с дробями

Как использовать формулу для расстояния, скорости (скорости) и времени для решения задач

Написание уравнений для текстовых задач

Неравенства

Графические уравнения

Знакомство с уклоном

Соотношения и пропорции

Как найти единицу измерения, в том числе с дробями

Задачи с основными пропорциями

Как рассчитать расстояния на карте или в реальности с помощью масштаба карты

Поэтажный план

Остальные видео про пропорции и пропорции здесь.

процентов

Базовые процентные проблемы со словами

Простые проценты

Процент изменения

Разница в процентах (относительная разница)

Процент увеличения / уменьшения: напишите уравнение, чтобы найти исходную цену

Геометрия

Эти уроки относятся к 7 классу «Математика мамонт» / курсу предварительной алгебры. Другие курсы предварительной алгебры могут охватывать другие темы геометрии.

Неизвестные проблемы с углом

Углы в треугольнике

Построение геометрических фигур с заданными условиями

Рисование треугольников с заданными условиями

Пи и длина окружности

Как вычислить площадь круга плюс простое доказательство формулы

Теорема Пифагора

Квадратные корни

Уравнения, требующие извлечения квадратного корня

Теорема Пифагора

Приложения теоремы Пифагора 1: площадь равнобедренного треугольника

Приложения теоремы Пифагора 2: диагональ квадрата

Приложения теоремы Пифагора 3: объем треугольной призмы

Приложения теоремы Пифагора 4: периметр трапеции

Вероятность и статистика

Введение в вероятность

Вероятность сложных событий: перечислить результаты, нарисовать древовидную диаграмму

Практические задачи на вероятность сложных событий:

Сравнение двух популяций

См. Также: Бесплатные вероятностные симуляторы для 7 класса

Вернуться ко всем индексам видео

Ресурсы по математике для седьмого класса | Общественное вещание Грузии

КАРТА ПРОГРАММЫ

Коммутативные и ассоциативные свойства сложения

Источник: PBS Learning Media

Тип ресурса: видео

Сгенерируйте эквивалентные выражения, используя два аддитивных свойства.В этом видео основное внимание уделяется использованию ассоциативных и коммутативных свойств сложения для объединения похожих терминов, упрощения выражений и создания эквивалентных выражений.

Навык: применять свойства операций как стратегии для сложения, вычитания, разложения и расширения линейных выражений с рациональными коэффициентами.

Грузия Стандарт: 7.EE.1

Линейные уравнения с одной переменной

Источник: PBS Learning Media

Тип ресурса: Интерактивный урок

Визуализируйте решения уравнений с одной переменной, выполняя балансирующее действие.В этом интерактивном упражнении основное внимание уделяется линейным уравнениям и математическим рассуждениям, чтобы показать, как уравнения с одной переменной должны оставаться сбалансированными для правильного решения, а затем вы можете моделировать свои собственные проблемы и решать их.

Навыки: использовать переменные для представления величин в реальном мире или математических задачах, а также создавать простые уравнения и неравенства для решения проблем, рассуждая о величинах.

Решите задачи со словами, приводящие к уравнениям вида px + q = r и p (x + q) = r, где p, q и r — конкретные рациональные числа.Бегло решать уравнения этих форм.

Стандарты Джорджии: 7.EE.4, 7.EE.4a

Решение линейных неравенств с отрицательными числами

Источник: PBS Learning Media

Тип ресурса: видео

Решите неравенство с отрицательными числами и переменной. В этом видео рассказывается об использовании обратных операций для поиска переменной и важности изменения неравенства при умножении или делении на отрицательное число.

Навык: решать проблемы со словами, приводящие к неравенствам в форме px + q> r или px + q

Грузия Стандарт: 7.EE.4b

Масштабирование

Источник: PBS Learning Media

Тип ресурса: интерактивный

Наблюдайте, что происходит с изображением при изменении масштаба.Это интерактивное упражнение направлено на визуальное сравнение мультипликативных и аддитивных отношений.

Навык: решение задач, связанных с масштабными чертежами геометрических фигур, включая вычисление фактических длин и площадей из масштабного чертежа и воспроизведение масштабного чертежа в другом масштабе.

Грузия Стандарт: 7.G.1

Построение треугольников

Источник: PBS Learning Media

Тип ресурса: интерактивный

Попытка построить множество различных треугольников, используя виртуальные соединительные полоски.В этом интерактивном упражнении основное внимание уделяется появлению треугольников и управлению ими.

Навык: исследовать различные геометрические фигуры в заданных условиях. Сосредоточьтесь на создании треугольников из трех размеров углов и / или сторон, замечая, когда условия определяют уникальный треугольник, более одного треугольника или отсутствие треугольника.

Грузия Стандарт: 7.G.2

Сечения куба

Источник: PBS Learning Media

Тип ресурса: интерактивный

Разрежьте куб виртуальным мечом и наблюдайте за полученными поперечными сечениями.Это интерактивное упражнение направлено на обнаружение отношений между двухмерными и трехмерными формами.

Навык: Описывать двумерные фигуры (поперечные сечения), полученные в результате разрезания трехмерных фигур, например, в плоских сечениях прямоугольных призм, прямоугольных пирамид, конусов, цилиндров и сфер.

Грузия Стандарт: 7.G.3

Трехколесный велосипед с квадратным колесом: радиус и окружность

Источник: PBS Learning Media

Тип ресурса: Интерактивный урок

Раскройте секрет работы трехколесного велосипеда в Национальном математическом музее.В этом интерактивном упражнении основное внимание уделяется работе с радиусом различных кругов для определения окружности и площади, а также предлагается вам найти расстояние, которое квадратное колесо проходит по трассе.

Навык: учитывая формулы для площади и окружности круга, используйте их для решения задач; дают неформальный вывод отношения между окружностью и площадью круга.

Грузия Стандарт: 7.G.4

Поиск неизвестных углов

Источник: PBS Learning Media

Тип ресурса: видео

Узнайте, как решать проблемы, связанные с поиском неизвестных дополнительных, дополнительных, вертикальных и смежных углов, в этом видеоролике Math Shorts от Utah Education Network и Planet Nutshell, Inc.

Навык: Используйте факты о дополнительных, дополнительных, вертикальных и смежных углах в многоэтапной задаче, чтобы написать и решить простые уравнения для неизвестного угла на фигуре.

Грузия Стандарт: 7.G.5

Thinkport: умножение положительного целого числа на отрицательное целое число

Источник: PBS Learning Media

Тип ресурса: интерактивный

Исследуйте целочисленное умножение, рассматривая траекторию полета воздушного шара, когда он взлетает и падает в этом интерактиве из MPT.В сопутствующем занятии в классе учащиеся играют в игру, в которой они находят произведение двух целых чисел и перемещают кнопку на соответствующее расстояние и направление вдоль числовой линии. Затем они используют интерактив. Чтобы получить максимальную отдачу от урока, учащиеся должны чувствовать себя комфортно, используя числовую линию для сложения положительных и отрицательных целых чисел, и они должны быть знакомы с понятием, что числовые противоположности в сумме равны 0. Для более длительного самостоятельного обучения учащихся с использованием этого носителя, см. «Умножение положительного целого числа на отрицательное» на Thinkport от Общественного телевидения Мэриленда.

Навык: понимать, что умножение расширяется от дробей до рациональных чисел, требуя, чтобы операции продолжали удовлетворять свойствам операций, в частности свойству распределения, что приводит к таким продуктам, как (-1) (- 1) = 1 и правилам для умножение чисел со знаком. Интерпретируйте произведения рациональных чисел, описывая контексты реального мира.

Грузия Стандарт: 7.NS.2a

Умножение и деление на минус

Источник: PBS Learning Media

Тип ресурса: Интерактивный урок

Углубите свое понимание умножения и деления рациональных чисел.В этом интерактивном упражнении основное внимание уделяется правилам нахождения произведений и частных положительных чисел, отрицательных чисел и дробей, а затем нахождению решений на числовой прямой.

Навык: понимать, что целые числа можно делить при условии, что делитель не равен нулю, и каждое частное целых чисел (с ненулевым делителем) является рациональным числом. Если p и q целые числа, то — (p / q) = (- p) / q = p / (- q).

Грузия Стандарт: 7.NS.2b

Преобразование рациональных чисел

Источник: PBS Learning Media

Тип ресурса: видео

Из этого видео вы узнаете, как использовать деление и разряд для преобразования дробей в десятичные.В сопутствующем занятии учащиеся смотрят видео, чтобы помочь им научиться преобразовывать дробь в десятичную с помощью деления. Затем они обращают внимание на размещение рациональных чисел на числовой прямой. Практика расстановки этих чисел укрепляет у учащихся чувство числа. Это также дает им возможность практиковаться в преобразовании различных представлений одного рационального числа.

Навык: преобразовывать рациональное число в десятичное с помощью длинного деления; знайте, что десятичная форма рационального числа оканчивается нулями или в конечном итоге повторяется.

Грузия Стандарт: 7.NS.2d

Добавка обратная

Источник: PBS Learning Media

Тип ресурса: видео

В этом анимационном видеоролике Math Shorts от Utah Education Network объясняется термин «аддитивный обратный» и приводится несколько примеров, демонстрирующих эту концепцию. В сопроводительном задании в классе учащиеся создают уравнения и решают задачи, которые включают добавление групп отрицательных и положительных целых чисел, сумма которых равна нулю.Чтобы получить максимальную отдачу от этого упражнения, учащиеся должны уметь наносить положительные и отрицательные целые числа на числовую линию.

Навык: показать, что сумма числа и его противоположности равна 0 (аддитивные обратные величины). Опишите ситуации, в которых противоположные количества объединяются, чтобы получить 0.

Грузия Стандарт: 7.NS1a

Логические скачки: добавление рациональных чисел в числовую строку

Источник: PBS Learning Media

Тип ресурса: интерактивный

В этом интерактиве используйте логику для решения загадок, связанных с соревнованиями по прыжкам валлаби.Сложите два последовательных прыжка и разместите их на числовой прямой, найдя для этого эквивалентные дроби и общие знаменатели. Прыжки назад представляют собой отрицательные числа, а переходы вперед представляют собой положительные числа. Числа рандомизированы, поэтому можно ответить на загадки и поставить валлаби на числовую линию несколько раз. Сопутствующее занятие в классе включает в себя обзор концепции дробной / десятичной дроби и раздаточный лист для ответов для поддержки онлайн-работы.

Навык: понимать p + q как число, расположенное на расстоянии от p, в положительном или отрицательном направлении, в зависимости от того, является ли q положительным или отрицательным.Интерпретируйте суммы рациональных чисел, описывая контексты реального мира.

Грузия Стандарт: 7.NS1b

Вычитание отрицательных чисел: самоучка алгебры

Источник: PBS Learning Media

Тип ресурса: интерактивный

Оказывается, вычитание минусов — это то же самое, что прибавление плюсов! Узнайте, почему, с помощью этого интерактивного видео из серии «Самостоятельная школа алгебры».

Навык: понимать вычитание рациональных чисел как добавление обратного аддитивного числа, p — q = p + (- q). Покажите, что расстояние между двумя рациональными числами на числовой прямой является абсолютной величиной их разницы, и примените этот принцип в контексте реального мира.

Грузия Стандарт: 7.NS1c

Умножение дробей на целые числа: рецепты

Источник: PBS Learning Media

Тип ресурса: Интерактивный урок

В этом смешанном уроке, поддерживающем навыки грамотности, учащиеся смотрят видеоролики и выполняют интерактивные задания, чтобы узнать о дробях и узнать, как выполнять определенные операции с дробями.Учащиеся развивают свои навыки грамотности по мере изучения математики с упором на умножение дробей на целые числа. Во время этого процесса они читают информационный текст, изучают и практикуют словарный запас, а также исследуют контент с помощью видео и интерактивных заданий.

Навык: вычислять удельные скорости, связанные с отношениями долей, включая отношения длин, площадей и других величин, измеренных в одинаковых или разных единицах.

Грузия Стандарт: 7.RP.1

Дерево человека: Передаточные числа

Источник: PBS Learning Media

Тип ресурса: видео

Посмотрите, как Национальный музей математики создает интересную серию изображений с использованием соотношений.В этом видео основное внимание уделяется пропорциональным отношениям, наблюдаемым во фракталах, и предлагается критически мыслить, используя соотношения и масштабные коэффициенты.

Навык: распознавать и представлять пропорциональные отношения между количествами.

Грузия Стандарт: 7.RP.2

Время разделения: скорость в реальном мире

Источник: PBS Learning Media

Тип ресурса: Интерактивный урок

Дэн должен бегать зимой по другой трассе, как он может рассчитать свое промежуточное время на меньшей трассе? В этом интерактивном упражнении основное внимание уделяется использованию того, что вы знаете о соотношениях, для расчета правильного промежуточного времени для разных треков, а затем вам предлагается использовать соотношения для решения схожих задач.

Навык: Определить, находятся ли две величины в пропорциональной зависимости, например, путем проверки эквивалентных соотношений в таблице или построения графика на координатной плоскости и наблюдения за тем, является ли график прямой линией, проходящей через начало координат.

Грузия Стандарт: 7.RP.2a

Площадь и объем в производстве ткани Капа

Источник: PBS Learning Media

Тип ресурса: видео

Гавайский художник-капа объясняет, как она использует площадь и размеры как часть своего художественного процесса, в этом видео из Центра азиатско-американских СМИ.В ходе сопутствующего занятия в классе учащиеся смотрят видео и узнают, как художник находит область ткани, которую она может создать с помощью одной чашки волокна коры дерева. Затем учащиеся выясняют, сколько чашек волокна коры дерева им понадобится для ткани капа, чтобы покрыть различные поверхности в классе. Чтобы извлечь максимальную пользу из этого урока, учащиеся должны иметь опыт использования константы пропорциональности для нахождения пропорциональных соотношений.

Навык: определять константу пропорциональности (единицу измерения) в таблицах, графиках, уравнениях, диаграммах и словесных описаниях пропорциональных отношений.

Грузия Стандарт: 7.RP.2b

Комбинация нижних процентов: пропорциональные отношения с многоступенчатым соотношением и процентными проблемами

Источник: PBS Learning Media

Тип ресурса: видео

Узнайте, как рассчитать продажную цену при объединении двух «процентных» скидок в этом видео от KQED. В сопутствующем занятии учащиеся разрабатывают и обмениваются различными стратегиями, включая моделирование с сеткой 10 x 10 для определения общей скидки и цены продажи при объединении двух скидок на процент.Они сравнивают свои стратегии с подходом, продемонстрированным на видео. Чтобы получить максимальную отдачу от занятия, учащимся должно быть удобно рассчитывать скидку в виде процента от суммы в долларах (например, 20% на предмет по цене 50 долларов) и они должны быть знакомы с концепцией соотношения.

Навык: использовать пропорциональные отношения для решения многошаговых задач с соотношением шагов и процентов. Примеры: простые проценты, налог, наценки и уценки, чаевые и комиссии, а также сборы.

Грузия Стандарт: 7.RP.3

Выборка населения: рыба

Источник: PBS Learning Media

Тип ресурса: Интерактивный урок

На этом комбинированном уроке, поддерживающем навыки грамотности, учащиеся просматривают видеоролики и выполняют интерактивные задания, чтобы узнать, как племя оджибве в Миннесоте измеряют численность различных рыб в своем озере, как они интерпретируют собранные данные и как они делают прогнозы относительно будущих популяций. на основании своих выводов.Учащиеся развивают свои навыки грамотности по мере изучения математики с упором на выборку населения. Во время этого процесса они читают информационный текст, изучают и практикуют словарный запас, а также исследуют контент с помощью видео и интерактивных заданий.

Навык: использовать данные из случайной выборки, чтобы делать выводы о популяции с неизвестной интересующей характеристикой. Создание нескольких выборок (или смоделированных выборок) одинакового размера, чтобы измерить вариации оценок или прогнозов

Грузия Стандарт: 7.СП.2

Использование выборки и статистики для удаления мусора в Perfectamundo

Источник: PBS Learning Media

Тип ресурса: Интерактивный урок

Узнайте, как CyberSquad использует выборку и анализ данных, чтобы помочь решить проблему с мусором в городе, в этом интерактиве от WNET. В ходе сопутствующего занятия в классе учащиеся смотрят серию видеоклипов, в которых CyberSquad помогает избавиться от горы мусора путем его уменьшения, повторного использования и переработки.Учащиеся используют выборку, умножение и дроби, чтобы определить количество мусора для каждого метода удаления, а затем выполнить задание по выборке и анализу данных по своему собственному замыслу.

Навык: использовать данные из случайной выборки, чтобы делать выводы о популяции с неизвестной интересующей характеристикой. Создание нескольких выборок (или смоделированных выборок) одинакового размера, чтобы измерить вариации оценок или прогнозов

Грузия Стандарт: 7.СП.2

Бросок случайной монеты

Источник: PBS Learning Media

Тип ресурса: интерактивный

Подбросьте виртуальную монету, чтобы познакомить с концепцией вероятности или изучить ее. Это интерактивное упражнение направлено на определение вероятностей, связанных с повторным подбрасыванием монеты, и построение древовидных диаграмм, чтобы вывести математику из класса в реальный мир.

Навык: разработать вероятностную модель и использовать ее для определения вероятностей событий.Сравните экспериментальные и теоретические вероятности событий. Если вероятности не близки, объясните возможные источники расхождения.

Грузия Стандарт: 7.SP.7

Вероятность с костями

Источник: PBS Learning Media

Тип ресурса: видео

Исследуйте базовую вероятность, визуализируя все возможные результаты в пространстве выборки. В этом видео основное внимание уделяется нанесению на карту области выборки для броска двух игральных костей и последующему вычислению вероятности выпадения восьмерки с использованием нанесенной на карту области выборки.

Навык: разработать единую вероятностную модель, назначив равную вероятность всем исходам, и использовать модель для определения вероятностей событий

Грузия Стандарт: 7.SP.7a

Пространство вероятностей

Источник: PBS Learning Media

Тип ресурса: видео

Представляем вклад Кардано в концепцию теоретической вероятности. Это видео дает визуальное представление о пространстве выборки для случайных событий и объясняет, как рассчитать вероятность.

Навыки: разработать вероятностную модель (которая может быть неоднородной), наблюдая за частотами в данных, сгенерированных в результате случайного процесса.

Представьте образцы пространств для составных событий, используя такие методы, как организованные списки, таблицы и древовидные диаграммы. Для события, описываемого повседневным языком (например, «катящиеся двойные шестерки»), определите результаты в пространстве выборки, которые составляют событие

Стандарты Грузии: 7.SP.7b, 7.SP.8b

Вероятность и древовидные диаграммы

Источник: PBS Learning Media

Тип ресурса: интерактивный

Используйте древовидную диаграмму, чтобы найти вероятность того, что в этом интерактиве из MPT будут все девочки из тройни.В сопутствующем задании в классе учащиеся выясняют вероятность различных исходов сложных событий с набором игральных костей, например вероятность выпадения дублей и вероятность выпадения хотя бы одной «2». Они разделяют стратегии решения, включая методы представления пробелов для этих составных событий. Чтобы получить максимальную отдачу от урока, учащиеся должны иметь опыт разработки и использования единых вероятностных моделей.

Навык: находить вероятности сложных событий с помощью организованных списков, таблиц, древовидных диаграмм и моделирования.

Грузия Стандарт: 7.SP.8

Подбрасывание меню: выбор и наборы данных

Источник: PBS Learning Media

Тип ресурса: видео

Выясните, как вы можете использовать математику, не осознавая этого, когда вы выбираете еду в ресторане. Это видео посвящено статистике, когда ресторан предлагает комбинации в своем меню.

Навык: понимать, что, как и в случае с простыми событиями, вероятность составного события — это доля исходов в пространстве выборки, для которых возникает составное событие.

Грузия Стандарт: 7.SP.8a

Ваши шансы на победу в Powerball: вероятности сложных событий с использованием визуальных элементов

Источник: PBS Learning Media

Тип ресурса: видео

Из этого видео вы узнаете, каковы шансы на выигрыш в лотерее Powerball, и узнайте, что немногие люди осознают об их шансах на победу: они ничтожны. В ходе сопутствующего занятия в классе учащиеся создают простые модели лотереи, чтобы помочь им понять вероятность сложных событий.Хотя вероятность успеха в этих экспериментах выше, чем у Powerball, студенты быстро поймут, что шансы на победу в любой лотерее редко в их пользу.

Навык: объяснять способы настройки моделирования и использования моделирования для генерации частот для сложных событий.

Грузия Стандарт: 7.SP.8c

Решение линейных неравенств с одной переменной

Линейные неравенства

Линейное неравенство Линейные выражения, связанные с символами ≤, <, ≥ и>.является математическим утверждением, которое связывает линейное выражение как меньшее или большее, чем другое. Ниже приведены некоторые примеры линейных неравенств, все из которых решаются в этом разделе:

Решение линейного неравенства Действительное число, которое дает истинное утверждение, когда его значение подставляется вместо переменной.- это действительное число, которое при замене переменной дает истинное утверждение. Линейные неравенства либо имеют бесконечно много решений, либо не имеют решения. Если существует бесконечно много решений, изобразите набор решений на числовой прямой и / или выразите решение, используя обозначение интервалов.

Пример 1

Являются ли x = −4 и x = 6 решениями 5x + 7 <22?

Решение:

Замените значения на x , упростите и проверьте, получаем ли мы истинное утверждение.

Ответ: x = −4 — решение, а x = 6 — нет.

Все методы решения линейных уравнений, кроме одного, применимы к решению линейных неравенств. Вы можете прибавить или вычесть любое действительное число к обеим сторонам неравенства, и вы можете умножить или разделить обе стороны на любое положительное действительное число , чтобы создать эквивалентные неравенства. Например:

10> −510−7> −5−7 Вычтем 7 с обеих сторон 3> −12 ✓ Верно

10> −5105> −55 Разделите обе части на 5.2> −1 ✓ИСТИННО

Вычитание 7 с каждой стороны и деление каждой стороны на положительные 5 дает истинное неравенство.

Пример 2

Решите и изобразите набор решений: 5x + 7 <22.

Решение:

5x + 7 <225x + 7−7 <22−75x <155x5 <155x <3

Полезно потратить минуту и ​​выбрать несколько значений из набора решений, подставить их в исходное неравенство, а затем проверить результаты.Как указано, вы должны ожидать, что x = 0 решит исходное неравенство, а x = 5 — нет.

Проверка таким образом дает нам хороший признак того, что мы правильно решили неравенство.

Мы можем выразить это решение двумя способами: используя обозначение множества и обозначение интервала.

{x | x <3} Установить обозначение (−∞, 3) Интервальное обозначение

В этом тексте мы выберем ответы, используя интервальную нотацию.

Ответ: (−∞, 3)

При работе с линейными неравенствами применяется другое правило при умножении или делении на отрицательное число. Чтобы проиллюстрировать проблему, рассмотрим истинное утверждение 10> −5 и разделим обе части на −5.

10> −510−5> −5−5 Разделим обе части на −5. − 2> 1 ✗ ​​False

Деление на −5 дает ложное утверждение. Чтобы утверждение оставалось верным, неравенство должно быть отменено.

10> −510−5 <−5−5 Обратить неравенство −2 <1 ✓ИСТИННО

Та же проблема возникает при умножении на отрицательное число. Это приводит к следующему новому правилу: при умножении или делении на отрицательное число отменяет неравенство .Об этом легко забыть, поэтому внимательно следите за отрицательными коэффициентами. В общем, для заданных алгебраических выражений A и B , где c — положительное ненулевое действительное число, мы имеем следующие свойства неравенств Свойства, используемые для получения эквивалентных неравенств и используемые как средство их решения:

Мы используем эти свойства для получения эквивалентных неравенств, которые используют один и тот же набор решений., один с тем же набором решений, где переменная изолирована. Процесс аналогичен решению линейных уравнений.

Пример 3

Найдите и изобразите набор решений: −2 (x + 8) + 6≥20.

Решение:

−2 (x + 8) + 6≥20 Распределить. −2x − 16 + 6≥20 Объединить похожие члены. −2x − 10≥20 Решить относительно x. − 2x≥30 Разделить обе части на −2. − 2x− 2≤30−2 Обратить неравенство.х≤ − 15

Ответ: Обозначение интервалов (−∞, −15]

Пример 4

Решите и изобразите набор решений: −2 (4x − 5) <9−2 (x − 2).

Решение:

−2 (4x − 5) <9−2 (x − 2) −8x + 10 <9−2x + 4−8x + 10 <13−2x − 6x <3−6x−6> 3−6 Обратить неравенство .x> −12

Ответ: Обозначение интервалов (−12, ∞)

Пример 5

Решите и изобразите набор решений: 12x − 2≥12 (74x − 9) +1.

Решение:

12x − 2≥12 (74x − 9) +1 12x − 2≥78x − 92 + 1 12x − 78x≥ − 72 + 2−38x≥ − 32 (−83) (- 38x) ≤ (−83) (- 32) Обратить неравенство. х≤4

Ответ: Обозначение интервала: (−∞, 4]

Попробуй! Решите и изобразите набор решений: 10−5 (2x + 3) ≤25.

Ответ: [−3, ∞);

Сложные неравенства

Ниже приведены некоторые примеры сложных линейных неравенств:

Эти сложные неравенства Два или более неравенства в одном утверждении, соединенные словом «и» или словом «или».”На самом деле представляют собой два неравенства в одном утверждении, к которым присоединяются слова и или слово или . Например,
−13 <3x − 7 <17 является составным неравенством, потому что его можно разложить следующим образом: −13 <3x − 7 и 3x − 7 <17

Мы можем решить каждое неравенство индивидуально; пересечение двух множеств решений решает исходное составное неравенство. Хотя этот метод работает, есть еще один метод, который обычно требует меньшего количества шагов. Примените свойства этого раздела ко всем трем частям составного неравенства с целью изолировать переменную в середине оператора, чтобы определить границы набора решений.

Пример 6

Решите и изобразите набор решений: −13 <3x − 7 <17.

Решение:

−13 <3x − 7 <17−13 +7 <3x − 7 +7 <17 + 7−6 <3x <24−63 <3x3 <243−2

Ответ: Обозначение интервала: (−2,8)

Пример 7

Решите и изобразите набор решений: 56≤13 (12x + 4) <2.

Решение:

56≤13 (12x + 4) <256≤16x + 43 <26⋅ (56) ≤6⋅ (16x + 43) <6⋅ (2) 5≤x + 8 <125−8≤x + 8−8 <12-8-3≤x <4

Ответ: Обозначение интервалов [−3,4)

Важно отметить, что при умножении или делении всех трех частей составного неравенства на отрицательное число необходимо обратить все неравенства в утверждении.Например:
−10 <−2x <20−10−2> −2x − 2> 20−25> x> −10
Вышеупомянутый ответ может быть записан в эквивалентной форме, где меньшие числа лежат слева, а большие числа — справа, поскольку они появляются на числовой строке.
-10 <х <5 Используя обозначение интервалов, напишите: (-10, 5).

Попробуй! Решите и изобразите набор решений: −3≤ − 3 (2x − 3) <15.

Ответ: (−1,2];

Для составных неравенств со словом « или » вы обрабатываете оба неравенства по отдельности, а затем рассматриваете объединение множеств решений.Ценности в этом союзе решают любое неравенство.

Пример 8

Решите и изобразите набор решений: 4x + 5≤ − 15 или 6x − 11> 7.

Решение:

Решите каждое неравенство и сформируйте объединение, объединив наборы решений.

Ответ: Обозначение интервалов (−∞, −5] ∪ (3, ∞)

Попробуй! Решите и изобразите набор решений: 5 (x − 3) <- 20 или 2 (5−3x) <1.

Ответ: (−∞, −1) ∪ (32, ∞);

Приложения линейных неравенств

Некоторые ключевые слова и фразы, указывающие на неравенство, кратко изложены ниже:

Как и все приложения, внимательно прочтите проблему несколько раз и поищите ключевые слова и фразы.Определите неизвестные и назначьте переменные. Далее переведем формулировку в математическое неравенство. Наконец, используйте изученные свойства, чтобы решить неравенство и выразить решение графически или в интервальной нотации.

Пример 9

Семь меньше трехкратной суммы числа, а 5 не больше 11. Найдите все числа, удовлетворяющие этому условию.

Решение:

Сначала выберите переменную для неизвестного числа и определите ключевые слова и фразы.

Пусть n представляет неизвестное, обозначенное « число ».

Решите относительно n .

3 (n + 5) −7≤113n + 15−7≤113n + 8≤113n≤3n≤1

Ответ: Любое число, меньшее или равное 1, удовлетворяет утверждению.

Пример 10

Чтобы получить оценку «B» по курсу математики, средний балл теста должен составлять от 80% до 90%.Если ученик набрал 92%, 96%, 79% и 83% на первых четырех тестах, какой балл он должен набрать на пятом тесте, чтобы получить четверку?

Решение:

Установите составное неравенство, при котором среднее значение теста составляет от 80% до 90%. В этом случае укажите нижнюю границу, 80.

Пусть x представляет результат пятого теста.

80≤тестовое среднее <9080≤92 + 96 + 79 + 83 + x5 <905⋅80≤5⋅350 + x5 <5⋅

≤350 + x <45050≤x <100

Ответ: Она должна набрать не менее 50% и менее 100%.

В предыдущем примере верхняя граница 100% не входила в набор решений. Что бы произошло, если бы она заработала 100% на пятом тесте?

в среднем = 92 + 96 + 79 + 83 + 1005 = 4505 = 90

Как мы видим, ее средний показатель составит 90%, что принесет ей A.

Основные выводы

• Неравенства обычно имеют бесконечно много решений. Решения представлены графически в виде числовой линии или с использованием интервального обозначения, либо и того, и другого.
• Все правила решения линейных неравенств, кроме одного, такие же, как и при решении линейных уравнений. Если вы разделите или умножите неравенство на отрицательное число, измените неравенство на противоположное, чтобы получить эквивалентное неравенство.
• Составные неравенства, содержащие слово «или», требуют от нас решения каждого неравенства и формирования объединения каждого набора решений. Это значения, которые решают хотя бы одно из указанных неравенств.
• Составные неравенства, содержащие слово «и», требуют пересечения множеств решений для каждого неравенства.Это значения, которые решают оба или все данные неравенства.
• Общие рекомендации по решению задач со словами применимы к приложениям, включающим неравенства. Обратите внимание на новый список ключевых слов и фраз, обозначающих математическую схему, включающую неравенства.

Тематические упражнения

Часть A: Линейные неравенства

Определите, является ли данное значение решением.

2. −3x + 1> −10; х = 1

6. −6y + 1≤3; у = -1

7. 12a + 3≤ − 2; а = −13

8. 25a − 2≤ − 22; а = -45

9. −10 <2x − 5 <−5; х = −12

10. 3x + 8 <−2 или 4x − 2> 5; х = 2

Изобразите все решения на числовой прямой и укажите соответствующие интервалы.

30. 25 + 16 (2х − 3) ≥115

32. 3 (2x − 1) −10> 4 (3x − 2) −5x

35. −2 (5t − 3) −4> 5 (−2t + 3)

36. −7 (3t − 4)> 2 (3−10t) −t

37. 12 (х + 5) −13 (2x + 3)> 76x + 32

38. −13 (2x − 3) +14 (x − 6) ≥112x − 34

40. 1−4 (3x + 7) <- 3 (x + 9) −9x

41. 6−3 (2a − 1) ≤4 (3 − a) +1

42. 12−5 (2a + 6) ≥2 (5−4a) −a

Часть B: Сложные неравенства

Изобразите все решения на числовой прямой и укажите соответствующие интервалы.

51. −13≤16a + 13≤12

52. -16 <13а + 56 <32

53. 5x + 2 <−3 или 7x − 6> 15

54. 4x + 15≤ − 1 или 3x − 8≥ − 11

55. 8x − 3≤1 или 6x − 7≥8

56. 6x + 1 <−3 или 9x − 20> −5

57. 8x − 7 <1 или 4x + 11> 3

58. 10x − 21 <9 или 7x + 9≥30

59. 7 + 2y <5 или 20−3y> 5

60. 5 − y <5 или 7−8y≤23

61. 15 + 2x <−15 или 10−3x> 40

62. 10−13x≤5 или 5−12x≤15

63. 9−2x≤15 и 5x − 3≤7

64. 5−4x> 1 и 15 + 2x≥5

65. 7y − 18 <17 и 2y − 15 <25

66. 13лет + 20≥7 и 8 + 15лет> 8

67. 5−4x≤9 и 3x + 13≤1

68. 17−5x≥7 и 4x − 7> 1

69. 9лет + 20≤2 и 7лет + 15≥1

70. 21−6y≤3 и −7 + 2y≤ − 1

77. −40 <2 (x + 5) - (5 − x) ≤ − 10

78. −60≤5 (x − 4) −2 (x + 5) ≤15

79. -12 <130 (х-10) <13

80. −15≤115 (х − 7) ≤13

81. −1≤a + 2 (а − 2) 5≤0

82. 0 <5 + 2 (а - 1) 6 <2

Часть C: Приложения

Найдите все числа, удовлетворяющие заданному условию.

83. Три меньше, чем дважды сумма числа, и 6 не больше 13.

84. Пять меньше трехкратной суммы числа и 4 не более 10.

85. Пятикратная сумма числа, и 3 равно не менее 5.

86. Трехкратная разница между числом и 2 составляет не менее 12.

87. Сумма троекратного числа и 8 составляет от 2 до 20.

88. Восемь меньше двойного числа от -20 до -8.

89. Четыре, вычтенные из троекратного некоторого числа, составляет от −4 до 14.

90. Девять, вычтенная из 5, умноженного на некоторое число, составляет от 1 до 11.

Задайте алгебраическое неравенство и решите.

91. При членстве в гольф-клубе стоимостью 120 долларов в месяц каждый раунд игры в гольф стоит всего 35 долларов. Сколько раундов в гольф может сыграть участник, если он желает сохранить свои расходы не более 270 долларов в месяц?

92. Аренда грузовика стоит 95 долларов в день плюс 0,65 доллара за милю. Сколько миль можно проехать за однодневную аренду, чтобы стоимость аренды не превысила 120 долларов?

93. Марк заработал 6, 7 и 10 баллов из 10 в первых трех тестах.Что он должен набрать в четвертой викторине, чтобы набрать не менее 8 баллов?

94. Джо набрал 78, 82, 88 и 70 баллов на первых четырех экзаменах по алгебре. Что он должен набрать на пятом экзамене, чтобы в среднем не менее 80?

95. Гимнастка набрала 13 очков.2, 13,0, 14,3, 13,8 и 14,6 на первых пяти соревнованиях. Что он должен набрать в шестом соревновании, чтобы получить в среднем не менее 14,0?

96. Танцор получил 7,5 и 8,2 балла от первых двух судей. Какая должна быть ее оценка от третьего судьи, как если бы она была 8,4 или выше?

97. Если дважды угол составляет от 180 до 270 градусов, то каковы границы исходного угла?

98. Периметр квадрата должен составлять от 120 до 460 дюймов.Найдите длины всех возможных сторон, удовлетворяющих этому условию.

99. Компьютер отключается, если температура превышает 45 ° C. Приведите эквивалентное утверждение в градусах Фаренгейта. Подсказка: C = 59 (F − 32).

100. Определенный антифриз эффективен в диапазоне температур от –35 ° C до 120 ° C.Найдите эквивалентный диапазон в градусах Фаренгейта.

Часть D: Обсуждение

101. Часто студенты обращают неравенство, решая 5x + 2 <−18? Как вы думаете, почему это частая ошибка? Объясните начинающему изучающему алгебру, почему мы этого не делаем.

102. Выполните поиск в Интернете по запросу «решение линейных неравенств.”Поделитесь ссылкой на веб-сайт или видеоуроком, который, по вашему мнению, будет вам полезен.

103. Напишите 5 ключевых выводов для всей главы. Что вы нашли в обзоре и что нового? Поделитесь своими мыслями на доске обсуждений.

ответы

11. (-3, ∞);

13. (1, ∞);

15. [0, ∞);

17. (-∞, 3];

19. [−2, ∞);

21. (-∞, -5);

23. [-8, ∞);

25. [5, ∞);

27. (-∞, 7);

29. (-1, ∞);

31. (3, ∞);

33. (-∞, -32];

35. Ø;

37. (-∞, 0);

39. ℝ;

41. [−2, ∞);

43. (-1,4);

45. [0,4];

47. (-5,5];

49. (-4,3];

51. [-4,1];

53. (−∞, −1) ∪ (3, ∞);

55. (-∞, 12] ∪ [52, ∞);

57. ℝ;

59. (-∞, 5);

61. (-∞, -10);

63. [−3,2];

65. (-∞, 5);

67. Ø;

69. -2;

71. (-12,32);

73. [-1,3);

75. (-8, -4);

77. (-15, -5];

79. (-5,20);

81. [-13, 43];

91. Участники могут сыграть 4 раунда или меньше.

93. Марк должен набрать не менее 9 баллов в четвертой викторине.

95. Он должен набрать 15,1 балла в шестом соревновании.

97. Угол между 90 и 135 градусами.

99. Компьютер выключится, когда температура превысит 113 ° F.

Решение уравнений с переменными с обеих сторон

Результаты обучения

• Определите постоянные и переменные члены в уравнении
• Решите линейные уравнения, выделив константы и переменные
• Решите линейные уравнения с переменными с обеих сторон, что требует нескольких шагов

Уравнения, которые мы решили в последнем разделе, были хорошо упрощены, так что мы могли использовать свойство деления для выделения переменной и решения уравнения.Иногда после упрощения у вас может быть переменная и постоянный член по одну сторону от знака равенства.

Наша стратегия будет заключаться в том, чтобы выбрать одну сторону уравнения как переменную, а другую сторону уравнения как постоянную. Это поможет нам с организацией. Затем мы будем использовать свойства равенства вычитания и сложения, шаг за шагом, чтобы изолировать переменные члены на одной стороне уравнения.

Прочтите, чтобы узнать, как решить такое уравнение.

Примеры

Решить: [латекс] 4x + 6 = -14 [/ латекс].

Решение:

В этом уравнении переменная находится только в левой части. Левую часть имеет смысл называть стороной переменных. Следовательно, правая сторона будет постоянной стороной.

Решите: [латекс] 2y — 7 = 15 [/ латекс].

Показать решение

Решение:
Обратите внимание, что переменная находится только в левой части уравнения, поэтому это будет сторона переменной, а правая сторона будет стороной константы. Так как левая сторона — переменная сторона, [латекс] 7 [/ латекс] неуместен.Он вычитается из [latex] 2y [/ latex], поэтому, чтобы «отменить» вычитание, добавьте [latex] 7 [/ latex] к обеим сторонам.

Теперь вы можете попробовать аналогичную проблему.

Решение уравнений с переменными с обеих сторон

Возможно, вы заметили, что во всех уравнениях, которые мы решили до сих пор, у нас были переменные только на одной стороне уравнения. Это происходит не все время, поэтому теперь мы увидим, как решать уравнения, в которых обе стороны уравнения содержат переменные члены. Мы начнем так же, как и выше, — выберем сторону переменной и сторону константы, а затем воспользуемся свойствами равенства вычитания и сложения, чтобы собрать все переменные с одной стороны и все константы с другой стороны.Помните, что то, что вы делаете с левой частью уравнения, вы должны делать и с правой.

В следующем примере переменная [latex] x [/ latex] находится с обеих сторон, но константы появляются только с правой стороны, поэтому мы сделаем правую сторону «постоянной» стороной. Тогда левая сторона будет «переменной» стороной.

Примеры

Решить: [латекс] 5x = 4x + 7 [/ латекс].

Показать решение

Решение:

Решить: [латекс] 7x = -x + 24 [/ латекс].

Показать решение

Решение:
Единственная константа, [latex] 24 [/ latex], находится справа, поэтому пусть левая сторона будет переменной стороной.

Вы заметили тонкую разницу между двумя уравнениями? В первом правая сторона выглядела так: [латекс] 2x + 7 [/ latex], а во втором правая сторона выглядела так: [latex] -x + 24 [/ latex], хотя они выглядят разные, мы по-прежнему использовали одни и те же методы для решения обоих.

Теперь вы можете попробовать решить уравнение с переменными с обеих сторон, где полезно переместить член переменной в левую сторону.

В наших последних примерах мы переместили переменный член в левую часть уравнения. В следующем примере вы увидите, что полезно переместить член переменной в правую часть уравнения. Не существует «правильной» стороны для перемещения переменного члена, но этот выбор может помочь вам избежать работы с отрицательными знаками.

пример

Решить: [латекс] 5y — 8 = 7y [/ latex].

Показать решение

Решение:
Единственная константа [latex] -8 [/ latex] находится в левой части уравнения, а переменная [latex] y [/ latex] — с обеих сторон. Оставим константу слева и соберем переменные справа.

Теперь вы можете попробовать решить уравнение, в котором полезно переместить член переменной в правую сторону.

Решение уравнений с переменными и константами с обеих сторон

Следующий пример будет первым, в котором переменные и будут постоянными по обе стороны уравнения.Как и раньше, мы соберем члены переменных в одну сторону, а константы — в другую. Вы увидите, что с увеличением числа переменных и постоянных членов растет и количество шагов, необходимых для решения уравнения.

Примеры

Решить: [латекс] 7x + 5 = 6x + 2 [/ latex].

Показать решение

Решение:
Начните с выбора, какая сторона будет переменной стороной, а какая — постоянной. Переменные термины: [латекс] 7x [/ латекс] и [латекс] 6x [/ латекс].Поскольку [latex] 7 [/ latex] больше, чем [latex] 6 [/ latex], сделайте левую сторону переменной стороной, и поэтому правая сторона будет постоянной стороной.

[латекс] 16 = 16 \ четырехугольник \ галочка [/ латекс]

Решить: [латекс] 6n — 2 = -3n + 7 [/ латекс].

Показать решение

У нас [latex] 6n [/ latex] слева и [latex] -3n [/ latex] справа. Так как [latex] 6> -3 [/ latex], сделайте левую сторону «переменной» стороной.

В следующем видео мы показываем пример того, как решить многоступенчатое уравнение, перемещая члены переменных в одну сторону, а константы — в другую. Вы увидите, что не имеет значения, какую сторону вы выберете в качестве стороны переменной; в любом случае вы можете получить правильный ответ.

В следующем примере мы перемещаем члены переменной в правую сторону, чтобы сохранить положительный коэффициент для переменной.

ПРИМЕР

Решить: [латекс] 2a — 7 = 5a + 8 [/ latex].

Показать решение

Решение:

Это уравнение имеет [латекс] 2a [/ латекс] слева и [латекс] 5a [/ латекс] справа. Поскольку [latex] 5> 2 [/ latex], сделайте правую сторону переменной стороной, а левую сторону постоянной стороной.

Пусть [латекс] a = -5 [/ latex]. [Latex] 2 (\ color {red} {- 5}) — 7 \ stackrel {\ text {?}} {=} 5 (\ color {red} {-5}) + 8 [/ латекс]

В следующем видео показан еще один пример решения многоступенчатого уравнения путем перемещения переменных членов в одну сторону и постоянных в другую сторону.

Попробуйте эти задачи, чтобы увидеть, насколько хорошо вы понимаете, как решать линейные уравнения с переменными и константами по обе стороны от знака равенства.

Мы только что показали множество примеров различных видов линейных уравнений, с которыми вы можете столкнуться. Есть несколько полезных привычек, которые помогут вам решать всевозможные линейные уравнения. Мы кратко опишем предпринятые шаги, чтобы вы могли легко к ним обратиться.

Решите уравнение с переменными и константами с обеих сторон

1. Выберите одну сторону как переменную, тогда другая будет постоянной стороной.
2. Соберите переменные члены в сторону переменных, используя свойство равенства сложения или вычитания.
3. Соберите константы с другой стороны, используя свойство равенства сложения или вычитания.
4. Сделайте коэффициент переменной [латекс] 1 [/ latex], используя свойство равенства умножения или деления.
5. Проверьте решение, подставив его в исходное уравнение.

mathispower4u

Решение приложений с использованием систем уравнений

Пример: напишите систему линейных уравнений на основе заданной информации (09x-40)
Напишите линейные уравнения для моделирования и сравнения планов сотовых телефонов с использованием данных
Приложения, использующие системы уравнений
Приложение, использующие систему линейных уравнений (L12.4)
Пример: решение задачи приложения с помощью системы линейных уравнений (09x-43)
Дополнительные приложения, включающие системы уравнений
Пример: приложение системы уравнений — числовая задача с использованием подстановки
Пример: приложение системы уравнений — числовая задача с использованием Исключение
Ex: Применение системы уравнений — сравнение тарифных планов
Ex: Применение системы уравнений — входные билеты
Ex: Применение системы уравнений — проблема с монетами
Ex: Применение системы уравнений — проблема плоскости и ветра
Ex: Система уравнений Приложение — Комиссия и заработная плата
Ex: Применение системы уравнений — Инвестиционные счета
Ex: Применение системы уравнений (периметр загона)
Ex: Применение системы уравнений — проблема смешения
Ex: Применение системы линейных функций — медианные цены на жилье
Ex : Приложение System of Equations — Спрос и предложение
Ex: Приложение System of Equations — Количество кур и свиней
Ex: Приложение System of Equations — Расстояние пробега двух бегунов
Ex: Приложение System of Equations — Количество шариков
Ex: Приложение System of Equations — Количество тако и буррито
Ex: Приложение System of Equations — Смесь орехов
Ex: Приложение «Система уравнений» — когда два счета имеют одинаковый баланс
Пример: пересечение линии и круга — Приложения

Решение систем линейных неравенств

Системы линейных неравенств
Определите, является ли упорядоченная пара решением системы линейных уравнений
Определите, является ли упорядоченная пара решением системы линейных неравенств
Построение графика системы линейных уравнений
Определите количество решений системы линейных неравенств Система линейных уравнений из графика
Ex 1: Изобразите систему линейных неравенств
Ex 2: Изобразите систему линейных неравенств
Ex 3: Изобразите возможную область системы линейных неравенств
Определите решение системы неравенств (Соединение)
Постройте график решения системы неравенств.(Квадратичный / линейный)
График решения системы неравенств. (Квадратичный / Линейный) Неограниченный
Постройте график решения системы неравенств. (Квадратичное / линейное) Нет решения
Приложение «Система уравнений»: точка безубыточности
Выберите систему неравенств на графике решения
Решите систему уравнений (нелинейную) y = x-2, xy = 3
Решите Нелинейная система уравнений (линейных и квадратичных)

Решение систем трех уравнений с тремя неизвестными

Система уравнений с тремя переменными: часть 1, часть 2
Пример: Решите систему трех уравнений с тремя неизвестными с помощью обратной подстановки
Пример 1: Система трех уравнений с тремя неизвестными с использованием исключения
Пример 2: Система трех уравнений с Три неизвестных с использованием исключения
Пример 3: Система трех уравнений с тремя неизвестными с использованием исключения (дроби)
Пример 4: Система трех уравнений с тремя неизвестными с использованием исключения (без решения)
Пример 5: Система трех уравнений с тремя неизвестными с использованием исключения (Бесконечные решения)
Система трех уравнений с тремя неизвестными приложениями — проблема процента
Система трех уравнений с тремя неизвестными приложениями — проблема концентрации
Система трех уравнений с тремя неизвестными приложениями — продажа билетов

Решение систем нелинейных уравнений

Пример 1: Решение системы нелинейных уравнений (замена)
Пример 2: Решение системы нелинейных уравнений (замена)
Пример 3: Решение системы нелинейных уравнений (исключение)

Показатели и многочлены

Экспоненты и упрощающие выражения с показателями
Экспоненциальная запись
Пример: запись повторного умножения с использованием показателей
Свойства показателей
Нулевой показатель: почему ^ 0 = 1?
Свойства экспонент (L3.2
Упростите основные экспоненциальные выражения
Вычисляйте и упрощайте выражения, используя правило нулевой экспоненты
Пример: Упростите моном в степени (09x-45)
Пример: Упростите произведение двух одночленов (09x-46)
Пример: Упростите Дробь, возведенная в степень (09x-47)
Пример: Упростите частное с помощью правил экспонент (09x-48)
Свойства деления экспонент (L4.1)
Пример: Расширение и оценка экспоненциальной записи
Упростите выражения, используя правило произведения Экспоненты (базовый)
Упростите выражения, используя правило частичного экспоненты (базовый)
Упростите выражения, используя правило степени экспонент (базовый)
Упростите выражения, используя правила частного и нулевого показателя
Упростите выражения, используя правила частного и отрицательного выражения
Выражения, использующие правила экспоненты (произведение, частное, нулевая экспонента)
Упростите выражения, используя правила экспоненты (степень произведения)
Упростите выражения, используя Правила экспоненты (степень частного)
Пример: упростить экспоненциальные выражения, используя свойство произведения экспонентов
Пример: Упростить экспоненциальные выражения, используя свойство степени экспонент
Пример: Упростить дроби, возведенные в степень (только положительные экспоненты) Версия 1
Пример: Упростить дроби, возведенные в степень (только положительные экспоненты) Версия 2
Пример: Упростить экспоненциальные выражения, используя свойство мощности — Произвести в степенях
Пример: Упростить экспоненциальные выражения, используя частное свойство экспонент
Упростить и оценить составные экспоненциальные выражения
Упростить выражения составных Pos Exp Only)
Пример: Упростить экспоненциальные выражения с помощью дробных экспонент (свойство произведения экспонент)
Пример: Упростить экспоненциальные выражения — правило произведения и степени
Пример 1: Свойства экспоненты (продукт, свойства мощности)
Пример 2: Свойства экспоненты (продукт , Power Properties)
Пример 3: Показательные свойства (нулевая экспонента)
Пример: Упростить экспоненциальные выражения — Правило частных
Пример 1: Упростить экспоненциальные выражения — только положительные показатели
Пример 2: Упростить экспоненциальные выражения — только положительные показатели
Пример 3: Упростить экспоненциальные выражения — только положительные показатели
Повышение дробей с переменными до степеней (( ax ^ n) / b) ^ m
Возведение дробей с переменными до степеней с упрощением первых
Вычисление произведений в степенях (a ^ 2 * a ^ 3) ^ 2 и (a ^ 2 * b ^ 2) ^ 2
Отрицательное Показатели (L4.(-1)
Упростить произведение выражений с отрицательными показателями (2 метода)
Упростить частное выражений с отрицательными показателями (2 метода)
Упростить частное выражений с отрицательными показателями (Расширенные -2 методы)
Пример: Упростить Дробь, возведенная в отрицательную степень (09x-49)
Пример: упростить выражение с отрицательной степенью (09x-50)
Пример: вычислить выражение с отрицательной степенью (09x-51)
Пример: Отрицательные показатели — дроби со степенями Возведенные в степень
Пример: Отрицательные экспоненты — основы
Упростить основные выражения с отрицательными показателями
Пример: Отрицательные показатели — Доли с степенями, возведенными в степень
Пример 1: Упростить выражения с помощью отрицательных показателей
Пример 2: Упростить выражения с отрицательными показателями
: Упростить выражения с отрицательными показателями
Пример 1: Упростить экспоненциальные выражения с отрицательными показателями — Базовый
Пример 2: Упростить экспоненциальные выражения с отрицательными показателями — Базовый
Отрицательный Экспоненты
Научная нотация
Применение научной записи — коэффициент 1 (количество раз вокруг Земли)
Применение научной записи — коэффициент 2 (время для компьютерных операций)
Пример 1: Упростить экспоненциальное выражение с отрицательными показателями
Пример 2: Упростить экспоненциальное выражение с помощью отрицательных показателей
Пример 3: Упростить экспоненциальное выражение с помощью отрицательных показателей
Пример 4: Упростить выражения с отрицательными показателями
Пример 5: Упростить выражения с помощью отрицательных показателей
Пример 6: Упростить выражения с помощью отрицательных показателей
и отрицательные экспоненты
Умножение членов на коэффициенты и переменные на отрицательные экспоненты
Упростите рациональное выражение в отрицательной степени ((4x ^ b) / (x ^ c * y ^ d)) ^ (- a)
Пример 1: Упростить Выражения, использующие свойства экспоненты (Quotient / Power Properties)
Пример 2: Упростить выражения, используя свойства экспоненты (Negative / Quo tient / Power Properties)
Пример 3: Упростить выражения, используя свойства экспоненты (Negative / Quotient / Power Properties)
Ex 4: Упростить выражения, используя свойства Exponent (Negative / Quotient / Power Properties)
Ex 1: Оценить выражения с отрицательными показателями (отрицательные / Quotient / Power Properties)
Пример 2: Оценить выражения с отрицательными показателями (Negative / Quotient / Power Properties)
Пример 1: Обзор показателей
Пример 2: Обзор показателей

Введение в многочлены

Введение в полиномы
Полиномы и терминология полиномов (L3.1)
Пример: полиномиальная терминология: имя, коэффициент, константа, степень
Определите термины и коэффициенты переменного выражения
Определите, является ли выражение многочленом
Пример: Словарь алгебраических выражений
Пример: Определите коэффициенты различных терминов
: Введение в полиномы в одной переменной
Пример: Введение в полиномы в двух переменных
Пример: объединение одинаковых терминов
Пример: объединение одинаковых терминов
Определение похожих терминов и объединение подобных
Упрощение выражений путем объединения одинаковых терминов (без отрицательных значений)
Оценка алгебраических выражений
Вычисление Полиномиальные выражения и функции
Вычисление полинома от одной переменной
Вычисление различных алгебраических выражений
Ex 1: Вычисление основных алгебраических выражений
Ex 2: Вычисление основных алгебраических выражений
Ex 3: Вычисление алгебраических выражений (расширенное выражение)
a Отрицательное значение
Пример: оценить выражение в форме 3x ^ 2y
Пример: вычислить выражение в форме -7x ^ 2-4y ^ 2-8xy + 7
Пример: вычислить выражение в форме 6x ^ 2y ^ 2 + 3xy + 4y + 5x-8
Вычислить квадратное уравнение — Приложение «Смерть»
Вычислите полиномиальное уравнение — Приложение для вируса гриппа
Ex: Приложение «Квадратное уравнение» — Оцените и разложите на множители

Сложение и вычитание многочленов

Сложение и вычитание многочленов (L3.2)
Сложение и вычитание полиномов
Пример: сложение полиномов
Пример: вычитание полиномов
Пример: сложение и вычитание полиномов
Пример: Упростить полиномиальные выражения — сложение / вычитание / умножение
Пример: Полиномиальное вычитание Применение функции длины
Функция из функций доходов и затрат
Пример: Приложение полиномиального сложения — периметр

Умножающие многочлены

Умножение полиномов
Умножение биномов с использованием модели площади и повторного распределения
Умножение биномов с использованием аббревиатуры FOIL
Умножение биномов с помощью таблицы
Умножение биномов с высшими степенями
Умножение многочленов (L3.4)
Пример: найти произведение двух биномов (09x-52)
Пример: найти квадрат бинома (09x-53)
Пример: умножение полиномов
Специальные произведения полиномов
Пример: умножение одночленов
Умножение одночленов
Умножение Три монома
Пример: умножение с использованием свойства распределения
Пример: свойство распределения
Пример: распределение и упрощение выражений в дробной форме
Пример: умножение биномов
Пример: умножение двух биномов выражений
Пример: возведение биномов в квадрат
Пример: возведение в квадрат выражения биномов
Пример: возведение выражений в квадрат Две переменные
Пример: умножение биномиальных конъюгатов — специальные биномиальные произведения
Пример: умножение биномиальных конъюгатов
Умножение биномиальных конъюгатов на константы дробей
Пример: умножение биномиальных конъюгатов на дроби
Умножение биномиальных конъюгатов на дробные числа ) (dx + e / c)
Умножение биномов и трехчленов
Умножение Затем объединение трехчлена и бинома с использованием коммутативного свойства
Умножение двух триномов
Пример: умножение полиномов с участием биномов и трехчленов
Пример 1: умножение полиномов (смешанный обзор)
Пример 2: умножение полиномов (смешанное выражение с использованием выражения в квадрате)
из двух биномов
Ex: найти площадь прямоугольника с помощью полинома
Ex: выразить площадь как выражение путем разложения площади
Ex: определить площадь заштрихованной области с помощью полинома
Площадь между прямоугольниками: разница произведения Биномы
Ex: Найдите полиномиальное выражение для U-образной области
Ex: Найдите полиномиальное выражение для площади прямоугольников — Pool Application
Приложения из геометрии с использованием полиномов (L3.5)

Делящие многочлены

Деление многочлена на одночлен
Деление многочлена на одночлен (L4.3)
Пример: разделение многочлена на одночлен (09x-54)
Пример: деление многочлена на одночлен (базовый)
Пример: деление многочлена на Моном
Деление многочленов — длинное деление
Деление многочлена степени 3 на многочлен степени 1 (длинное деление)
Полиномиальное деление степени 3: деление степени 3 на ax + b с остатком
Пример 1: разделение трехчлена на бином с использованием длинного деления
Пример 2: разделить трехчлен на бином с помощью длинного деления
Пример 3: разделить многочлен на бином с помощью длинного деления
Пример 4: разделить многочлен на бином с помощью длинного деления
Пример 5: разделить многочлен на бином с помощью длинного числа Раздел
Деление полиномов — Синтетическое деление
Пример 6: Разделение полинома на бином второй степени с использованием длинного деления
Полиномиальное синтетическое деление: степень 4 Деление на x + k с остатком
Полиномиальное деление в длину: Степень 4, разделенная на степень 2
Полиномиальное деление в длину: Степень 4, разделенная на степень 1 (пропущенный член)
Пример 1: разделить трехчлен на бином с помощью синтетического деления
Пример 2: разделить многочлен на бином с помощью синтетического деления
Пример 3 : Разделить многочлен на бином с помощью синтетического деления
Пример 4: разделить многочлен на бином с помощью синтетического деления
Синтетическое деление: степень 4, разделенная на степень 1 (отсутствующий член, отрицательный k)
Синтетическое разделение: степень 4, разделенная на степень 1 (Отсутствует срок, поз. 2
Факторинг: метод группирования
Ex: разложите на множители многочлен с помощью метода группирования
Ex 1: Введение в факторный метод группирования
Ex 2: Введение в факторную методику группирования
Пример 3: Введение в факторную методику группирования
Ex: Фактор по группировке — 4 члена с двумя переменными
Ex: Фактор по группировке — 4 члена с общим множителем
Фактор по группировке с GCF
Ex 1: Фактор по G Группирование — Требуется изменение порядка
Пример 2: Фактор по группировке — Требуется изменение порядка
Пример 1: Факторизация квадратичного выражения с использованием группировки
Пример 2: Фактор квадратичного выражения с использованием группировки
Пример 3: Фактор квадратичного выражения с использованием группировки
Ex 1: Разложите квадратичное выражение на множители с помощью группировки, когда a = 1
Пример 2: Разложите квадратичное выражение на множители с помощью группировки, когда a = 1
Пример: Разложите на множители трехчлена на две переменные с помощью группировки

Разложение трехчленов на множители с ведущим коэффициентом 1

Факторинг трехчлена с ведущим коэффициентом, равным 1 — Основы
Факторинг: основные трехчлены с a = 1
Пример: Факторизация трехчленов, когда A равно 1
Пример: Факторинг многочленов с общими множителями
Использование таблицы TI84 для разложения трехчленов на множители с = 1

Разложение трехчленов на множители с ведущим коэффициентом не 1

Разложение на множители трехчленов с общими множителями (форма a (x + b) (x + c))
Факторирование биномов и трехчленов на множители с общими множителями
Факторинг: трехчлены с использованием метода проб и ошибок и группирования
Ex: множители трехчленов, когда A НЕ равно по 1 — Метод проб и ошибок
Пример: факторные триномы, когда A НЕ равно 1 — метод группировки
Факторинг: триномы с использованием восходящего принципа
Доказательство: метод разложения снизу вверх
Пример: факторные триномы, когда A НЕ равно 1 — Метод снизу вверх
Сравните 3 метода разложения на множители ax ^ 2 + bx + c (a not 1, no GCF)
Разложите на множители трехчлен с A, отличный от 1, используя метод проб и ошибок: 20x ^ 2-13x-72
Факторинговые триномы с общими множителями (Не 1 с использованием метода проб и ошибок)
Разложите на множитель трехчлена с A, а не с 1, используя метод проб и ошибок: 5n ^ 2 + 14n + 8, 7x ^ 2-28x + 40
Разложите на множитель трехчлена с A, отличным от 1, с помощью метода проб и ошибок: 7a ^ 2 + 18a-40, 3x ^ 2-23x-36
Разложите на множители трехчлена A, отличного от 1, используя метод проб и ошибок: 6x ^ 2 + 7x-20, 8x ^ 2-42x + 27
Разложите множители на Trinomi al с A не 1 Использование метода проб и ошибок: 12x ^ 2 + 11x-36
Фактор трехчлена с GCF ведущего коэффициента: 4x ^ 2 + 20x-24, 8x ^ 2-32x-96
Фактор Trinomial с GCF Ведущий коэффициент: 5x ^ 3-85x ^ 2 + 360x, 6x ^ 4 + 78x ^ 3 + 216x ^ 2

Факторизация квадратов

Факторинг: разность квадратов
Пример: множитель разницы квадратов
Пример: множитель разницы квадратов с общим множителем
Пример: множитель разности квадратов в форме a ^ 2 — x ^ 2
Разложите множитель на разность квадратов с общим множителем

Разложение на множители трехчленов совершенного квадрата

Разложение на множители: трехчлены совершенного квадрата
Разложить на множители трехчлены совершенного квадрата с использованием формулы
Пример: разложить на множители совершенные квадратные триномы
Разложить на множители трехчлены с общими множителями (триномы полного квадрата)

Факторинг суммы или разности кубов

Факторинг: сумма и разность кубов
Выведите формулы: разложение на множители суммы или разности кубов (длинное деление)
Урок: разложение на множители суммы или разности кубов
Пр. 1: множитель суммы или разности кубов
Пр. 2: множитель a Сумма или разность кубов
Пр. 3: Разложите на множители сумму или разность кубов
Разложите множители на сумму и разность кубов с общим множителем

Прочие факторинги

Факторизуйте базовое квадратичное выражение с помощью графического представления
Фактор квадратичных выражений с помощью графического представления (Diff of Squares, Perfect Square)
Факторизуйте квадратичное выражение с помощью Not 1 с помощью графического представления (1)
Факторизуйте квадратичное выражение с Not 1 с помощью графического представления (2)

Разложите квадратичное выражение на множители с общим множителем, построив график
Разложите множители на квадратичное выражение с ведущим коэффициентом меньше нуля, построив график

Делают ли все выражения множителями?
Факторные выражения с отрицательными показателями
Факторные выражения с дробными показателями
Факторные выражения с использованием замены
Фактор с использованием подстановки — квадратичная форма с целыми степенями Фактор
с использованием замены — квадратичная форма с квадратным корнем / рациональное выражение
Фактор с использованием подстановки — квадратичная форма с рациональным выражением и выражения

Решение полиномиальных уравнений / Увеличение и уменьшение полиномов

Графическое решение полиномиальных уравнений
Определение момента увеличения и уменьшения полиномиальной функции
Определение нулей или корней полиномиальной функции на TI83 / 84

Квадратичные функции и уравнения
Решение квадратных уравнений с помощью факторинга

Определите, являются ли упорядоченные пары решениями квадратного уравнения
Свойство нулевого произведения
Решение квадратичных уравнений путем факторинга
Пример: решите уравнение в форме факторинга
Разложите множители и решите квадратное уравнение — только GCF
Факторизуйте и решите квадратное уравнение с Дроби — только GCF
Ex: множить и решать квадратное уравнение — только наибольший общий множитель
Ex 1: множить и решать квадратное уравнение — GCF
Ex 2: множить и решать квадратное уравнение — GCF
Ex 1: множить и решать квадратичное Уравнение — множитель по группам
Пример 2: множители и решение квадратного уравнения — множители по группировке
Пример: множители по множителям за счет группировки
Ex: множители и квадратные уравнения, когда A равно 1
Разложите на множители трехчлен с помощью метода быстрого доступа — Форма x ^ 2 + bx + c
Пример 1: Фактор и решение квадратного уравнения — Трехчлен a = 1
Пример 2: Фактор и решение квадратного уравнения — Трехчлен a = 1
Пример: Фактор и Решить квадратное уравнение — трехчлен a = -1
Пример: разложить на множители и решить квадратное уравнение — разность квадратов
Пример 1: разложить на множители и решить квадратное уравнение, используя разность квадратов
Пример 2: Разложить на множители и решить квадратное уравнение, используя разность квадратов
Пример: Разложите на множители и решите квадратное уравнение — Трехчлены совершенного квадрата
Пример: Разложите на множители и решите квадратное уравнение — Триномы полного квадрата
Пример: Разложите на множители и решите квадратное уравнение — Наибольший общий множитель
Разложите на множители трехчлен с общим множителем, используя сокращенный метод — Форма x ^ 2 + bx + c
Разложите на множители трехчлен в форме ax ^ 2 + bx + c, используя метод группировки
Разложите на множители трехчлен в форме -ax ^ 2 + bx + c, используя метод группирования
Пример 1: Фактор и Решите квадратное уравнение — а не 1
Пример 2: Разложите на множители и решите квадратное уравнение — а не 1
Пример 1: Решите квадратные уравнения путем полного факторинга
Пример 2: Решите квадратные уравнения путем полного факторинга
Решите Q uadratic Equations with Fractioning by Factoring (a not 1)
Ex: Разложите на множители и решите полиномиальное уравнение
Решите основное кубическое уравнение, разложив на множители x ^ 3-bx = 0
Дано f (x) = — x ^ 2 + 4x, Решите f (x) = 0, разложив на множители
Учитывая f (x) = — x ^ 2-2x + 13, решите f (x) = 2, разложив на множители
Учитывая f (x) = — x ^ 2, решите f (x) = 4 (без реальных рациональных решений)
Учитывая f (x) = x ^ 2 + 4x + 7, решите f (x) = 1 (без реальных рациональных решений)
Фактор путем группировки: решите кубические уравнения

Коэффициент

по графику

Факторизация базового квадратичного выражения с помощью графического представления
Фактор квадратичных выражений с помощью графического представления (разность квадратов, идеальный квадрат)
Факторизация квадратичного выражения с множителем Not 1 с помощью графического представления (1)
Фактор квадратичного выражения с множителем Not 1 с помощью графического представления (2)
Разложите квадратичное выражение на множители с общим множителем, построив график
Разложите на множители квадратичное выражение с ведущим коэффициентом меньше нуля, построив график

Графическое решение квадратных уравнений

Пример 1: Решите квадратное уравнение графически на калькуляторе
Пример 2: Решите квадратное уравнение графически на калькуляторе
Пример 1: Графическое решение квадратного уравнения с помощью пересечения с осью x
Пример 2: Решение квадратного уравнения с помощью метода пересечения

Решение квадратных уравнений с использованием свойства квадратного корня
Решение квадратных уравнений с использованием квадратного корня
Пример 1: Решение квадратных уравнений с использованием квадратного корня
Пример 2: Решение квадратных уравнений с использованием квадратного корня
Пример 3: Решение квадратного уравнения с использованием квадратного корня
Пример 4: Решение квадратных уравнений с использованием квадратного корня
Пример: решение основных квадратных уравнений с использованием квадратного корня
Пример: решение квадратного уравнения с использованием квадратного корня
Решение квадратного уравнения с использованием квадратного корня x ^ 2 + 8x = 2 (32 + 4x)

Решение квадратного уравнения до квадрата

Формирование трехчлена совершенного квадрата
Пример: составление трехчлена совершенного квадрата (четное b)
Пример: формирование трехчлена совершенного квадрата (нечетное b)
Пример: формирование трехчлена совершенного квадрата Дробное б)
Квадратичные выражения: запись общей формы в стандартной форме
Пример: запишите ax ^ 2 + bx + c в форме a (xh) ^ 2 + k (a = 1)
Пример: запишите ax ^ 2 + bx + c в форме a (xh) ^ 2 + k ( a> 0)
Пример: запишите ax ^ 2 + bx + c в форме a (xh) ^ 2 + k (a <0)
Пример: запишите ax ^ 2 + bx + c в форме a (xh) ^ 2 + k (a и b без общего множителя)
Пример: Создание квадратичного квадратичного трехчлена с точным квадратом
Пример: Создание выражения с квадратичным квадратичным трехчленом
Завершение квадрата
Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат (b — нечетный )
Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат (a не 1, b нечетно)
Пример 1: Завершение квадрата — действительные рациональные решения
Пример 2: Завершение квадрата — действительные иррациональные решения
Пример 3: Завершение квадрата — комплекс Решение s
Пример 4: Завершение квадрата — ведущий коэффициент не 1
Пример 5: Завершение квадрата — ведущий коэффициент не 1 (комплексный)

Решение квадратного уравнения с использованием квадратной формулы

Упростить радикальные выражения (квадратная формула)
Пример: упростить радикальное выражение (практика квадратичных формул)
Упростить выражение квадратного корня в форме квадратичной формулы (действительное, рациональное)
Упростить выражение квадратного корня в форме квадратичной формулы (действительное, иррациональное) )
Использование квадратичной формулы
Пример: Дискриминант
Доказательство квадратичной формулы
Решите квадратное уравнение, используя квадратичную формулу (базовая)
Пример: квадратная формула — два вещественных рациональных решения
Пример: квадратная формула — одно реальное рациональное повторяющееся решение
Ex1: квадратичная формула — два действительных иррациональных решения
Ex2: квадратная формула — два действительных иррациональных решения
Ex: квадратная формула — комплексные решения
Ex: решите квадратное уравнение, используя квадратичную формулу с комплексными решениями (десятичное прибл.)
Пример: решение квадратного уравнения с использованием квадратичной формулы с комплексными решениями (точное значение)
Пример: решение квадратного уравнения с использованием квадратной формулы — разность квадратов
Пример: решение квадратного уравнения с использованием квадратной формулы — 2 действительных иррациональных решения
Пример: Решите квадратное уравнение, не равное нулю, используя квадратичную формулу

Графические квадратичные функции

Построение графиков по точкам — квадратичное (L6.3)
Графическое отображение квадратичных функций в стандартной форме
Графическое отображение квадратичных функций в общем виде
Определение ключевых компонентов и уравнений из квадратичного графика
Определение ключевых компонентов и уравнения из квадратичной таблицы
График, заполнение таблицы и определение пересечений с помощью Desmos
График и заполнение таблицы для функции с помощью бесплатного онлайн-вычисления (MathAS)
Построение квадратичной функции с использованием таблицы значений и вершины
Ex: поиск пересечений Квадратичная функция — требуется квадратичная формула
Пример: построение квадратичной функции в общей форме (онлайн-инструмент построения графиков)
Пример: построение квадратичной функции в стандартной форме (интерактивный инструмент построения графиков)
Графическое отображение квадратичных функций с использованием симметричных точек
Определение ключевых компонентов и графика Квадратичная функция y = -x ^ 2-6x-5
Определение ключевых компонентов и построение квадратичной функции y = x ^ 2-6x
Ex1: Построение квадратичного развлечения Схема в общей форме
Пример 2: Построение квадратичной функции в общей форме
Пример 3: Построение квадратичной функции в общей форме
Пример 4: Построение графика квадратичной функции в общей форме путем поиска ключевых компонентов
Построение квадратичной функции в общей форме: Вершина , Axis, Intercepts
Ex 1: построение квадратичной функции в стандартной форме
Ex 2: построение квадратичной функции в стандартной форме
Ex1: запись квадратичной функции стандартной формы в график
Ex2: запись квадратичной функции в стандартной форме в график (а не 1)
Пример: Обзор квадратичной функции
НОВИНКА: Обзор квадратичной функции
Пример 1: Ключевые характеристики графика квадратичной функции (открывается вверх)
Пример 2: Ключевые характеристики графика квадратичной функции (открывается вниз )
Преобразование квадратичной функции
Квадратичная функция: преобразование общей формы в форму вершины с использованием уравнения вершины (a = 1)
Квадратичная функция: преобразование общей формы в форму вершины с использованием уравнения вершины (a = -1)
Квадратичная функция: преобразование общей формы в форму вершины с использованием уравнения вершины (a = -2)
Квадратичная функция: преобразование общей формы в форму вершины с использованием уравнения вершины (a = 3)

Определение уравнений квадратичных функций

Пример: Найдите уравнение квадратичной функции из графика
Найдите уравнение квадратичной функции из графика (a <0)
Найдите уравнение квадратичной функции из графика (a> 0)
Пример: Найдите уравнение Квадратичная функция по точкам пересечения графика
Пример: Найдите квадратичную функцию по вершине и старшему коэффициенту.
Пример: найти форму вершины квадратичной функции по вершине и точке
Пример: написать заданную квадратичную функцию в форме вершины (не 1, без дробей)
Пример: написать заданную квадратичную функцию в форме вершины (не 1, с дробями)
Пример 2: напишите заданную квадратичную функцию в форме вершины (а не 1, с дробями)
Пример 1: Найдите квадратичную функцию с целыми нулями
Пример 2: Найдите квадратичную функцию с дробными действительными нулями
Ex 3: Найдите квадратичную функцию с мнимыми нулями
Пример 4: Найдите квадратичную функцию с комплексными нулями
Пример 5: Найдите квадратичную функцию с комплексными нулями (альтернативный метод)
Пример 1: Найдите квадратичную функцию, используя сумму и произведение нулей ( Целые и дробные нули)
Пример 2: Найдите квадратичную функцию, используя сумму и произведение нулей (комплекс)
Пример: Найдите уравнение квадратичной функции в вершине, общее и вычисленное по графику
Введение в формулу Виета: квадратные уравнения (Сумма и произведение корней)
Формула Виета для квадратики: найти (r1 + 1) (r2 + 1)
Формула Виета для квадратики: найти 2 / r1 + 2 / r2
Формула Виеты для квадратики: найти сумму квадратов корней
Введение в формулу Виета: кубические уравнения (сумма и произведение корней)

Приложения квадратных уравнений

Применение факторинга — определение длины трех сторон прямоугольного треугольника (теорема Пифагора)
Приложение факторинга — определение времени, когда снаряд ударяется о землю
Пример: поиск последовательных чисел с заданным продуктом (приложение квадратного уравнения)
Пример: квадратичный Применение функции — прибыль (GCF)
Пример: приложение квадратичной функции — прибыль (факторинг трехчлена)
Пример: определение длины диагонали прямоугольника по площади
Квадратичное приложение: поиск последовательных шансов с заданным продуктом (фактор a = 1)
Квадратичное приложение: Найдите последовательные числа с заданным продуктом (фактор а = 1)
Квадратичное приложение: найдите целые числа с учетом разности квадратов (множитель а не 1)
Квадратичное приложение: найдите высоту равнобедренного треугольника (квадрат Корни)
Квадратичное приложение: Найдите основание и высоту прямоугольного треугольника (Пифагора / Квадратная форма)
Квадратичное приложение: Найдите два числа с учетом разности и суммы квадратов (Фактор)
Квадратичное приложение: Найдите H восемь и основание треугольника с учетом площади (множитель)
Квадратичное приложение: определение длины тени с использованием пифагорова Thm (квадратные корни)
Пример: определение периметра равностороннего треугольника с учетом площади без тригонометрии
Пример: применение квадратичной функции — Артериальное давление
Пример: приложение квадратичной функции с использованием формул — Запуск ракеты
Пример: приложение квадратичной функции с использованием графического калькулятора — Запуск ракеты
Пример: определение размера картона, необходимого для изготовления коробки с заданным объемом
Пример: приложение квадратичной функции — Максимальная температура с использованием TI84
Ex: приложение с квадратичной функцией — Горизонтальное расстояние и вертикальная высота
Пример: приложение с квадратичной функцией — Высота в заданное время и время, когда объект падает на землю
Пример: приложение с квадратичной функцией — Время для заданной высоты с TI84
Пример: приложение с квадратичной функцией — время и высота по вертикали
Пример: приложение с квадратичной моделью — цена билета в млн. лет ximize Revenue
Пример 1: приложение квадратного уравнения — определение размеров прямоугольной заданной площади (разложение)
Пример 2: приложение квадратного уравнения — определение размеров заданной площади прямоугольника (разложение)
Пример: приложение квадратного уравнения — определение того, когда Объект ударяется о землю (разложение на множители)
Пример: приложение квадратного уравнения — поиск числа по сумме числа и его квадрата
Пример: приложение квадратичной функции — максимальная площадь
Приложение квадратичного уравнения: поиск входов для заданного значения функции (квадратичная формула )
Пример: приложение квадратного уравнения: определение ширины кадра (факторинг)
Пример: приложение квадратного уравнения: определение цены товара на основе спроса и заданного дохода (квадратичная формула)
Пример: приложение квадратичной функции: максимальное увеличение площади прямоугольника для Заданная стоимость ограждения (вершина)
Пример: приложение с квадратичной функцией: максимальное увеличение площади прямоугольника для заданного периметра (вершина)
Пример: приложение с квадратичной функцией: максимальное увеличение площади прямоугольника с 3-сторонним ограждением (вершина)
Пример: квадра Приложение tic Function: максимизируйте урожайность (вершина)
Приложение Vertex: найдите время с учетом максимальной высоты (формула)
Пример: квадратичная регрессия на TI84 — расстояние остановки
Пример: квадратичное приложение, решенное с использованием TI84 (Angry Birds )
Пример: приложение квадратичной регрессии, решенное с использованием TI84 (прибыль)
Пример: приложение квадратичной регрессии, решенное с помощью TI84 (мяч для гольфа на Уране)
Приложение квадратичной формулы — время, когда объект ударится о землю
Приложение квадратной формулы — определение ширины границы
Приложение Пифагора по теории и квадратичной формуле: размеры прямоугольника по диагонали и площади
Приложение с квадратичной формулой: определение длины и ширины прямоугольника по площади
Квадратичное приложение: определение размеров прямоугольника по периметру и диагонали Квадратичная функция
Приложение: Найдите прибыль по доходу и затратам (вершина)
Квадратичная функция Приложение: Найдите прибыль от цены-спроса и затрат (вершина)
Квадратичная функция Приложение: Найдите прибыль по цене и спросу (Vertex)

Решение квадратичных неравенств

Применение квадратичного неравенства: решение графического
Решение квадратичного неравенства
Решение квадратичного неравенства только по графику
Пример 1: решение квадратичного неравенства
Пример 2: решение квадратного неравенства
Пример 1: построение графика квадратичного неравенства
2 : Построить график квадратичного неравенства на координатной плоскости
Решить квадратичное неравенство: фактографически (меньше нуля)
Решить квадратичное неравенство: фактографически (больше или равно нулю)
Решить квадратичное неравенство — нет решения
Решить квадратное неравенство Все действительные числа
Приложение для вычисления квадратичного неравенства: решите на графическом калькуляторе

Построение квадратичного неравенства с двумя переменными y> a (xh) + k
Построение квадратичного неравенства с двумя переменными y <= ax ^ 2 + bx + c
Применение квадратичного неравенства: фактографический
Решите систему квадратичных неравенств с двумя переменными (Форма a (xh) + k)
Решите систему квадратичных неравенств с двумя переменными (форма ax ^ 2 + bx + c)

Решение уравнений в квадратичной форме

Решение уравнений в квадратичной форме путем факторинга
Пример 1: Решение уравнений в квадратичной форме — рациональные показатели
Пример 2: Решение уравнений в квадратичной форме — высшие степени
Пример 3: Решение уравнений в квадратичной форме — квадратный корень
Пример 4: Решение уравнений в квадратичной форме — отрицательные показатели
Решите уравнение в квадратичной форме с помощью замены (x ^ 4)
Решите уравнение в квадратичной форме с помощью замены (x ^ (2/3))
Решите уравнение в квадратичной форме с помощью замены (y- 5) ^ 2
Решите уравнение в квадратичной форме с помощью замены (p + 2) ^ 2
Решите уравнение в квадратичной форме с помощью замены (3y + 5) ^ 2
Решите уравнение в квадратичной форме с помощью замены (x ^ 2- 23) ^ 2
Решите уравнение в квадратичной форме с помощью замены ax ^ (2/3)

Решение одновременных уравнений: метод подстановки и метод сложения | Справочник по алгебре

Что такое одновременные уравнения и системы уравнений?

Термины систем уравнений и систем уравнений относятся к условиям, в которых две или более неизвестных переменных связаны друг с другом посредством равного числа уравнений.

Пример:

Для этой системы уравнений существует только одна комбинация значений для x и y, которая удовлетворяет обоим.

Любое уравнение, рассматриваемое по отдельности, имеет бесконечное количество допустимых (x, y) решений, но вместе существует только одно. На графике это условие становится очевидным:

Каждая линия на самом деле представляет собой континуум точек, представляющих возможные пары решений x и y для каждого уравнения.

Каждое уравнение в отдельности имеет бесконечное количество упорядоченных парных (x, y) решений. Есть только одна точка, где две линейные функции x + y = 24 и 2x — y = -6 пересекаются (где одно из многих их независимых решений работает для обоих уравнений), и это где x равно значению 6, а y равно 18.

Однако обычно построение графиков не является очень эффективным способом определения набора одновременных решений для двух или более уравнений. Это особенно непрактично для систем из трех и более переменных.

В системе с тремя переменными, например, решение будет найдено по точкам пересечения трех плоскостей в трехмерном координатном пространстве — сценарий непростой для визуализации.

Решение одновременных уравнений методом подстановки

Существует несколько алгебраических методов решения одновременных уравнений.

Возможно, проще всего понять метод замены на .

Возьмем, к примеру, нашу задачу с двумя переменными:

В методе подстановки мы манипулируем одним из уравнений таким образом, что одна переменная определяется в терминах другой:

Затем мы берем это новое определение одной переменной и заменяем его на ту же переменную в другом уравнении.

В этом случае мы берем определение y, равное 24 — x, и подставляем его вместо члена y, найденного в другом уравнении:

Теперь, когда у нас есть уравнение только с одной переменной (x), мы можем решить его, используя «нормальные» алгебраические методы:

Теперь, когда x известен, мы можем подставить это значение в любое из исходных уравнений и получить значение для y.

Или, чтобы сэкономить некоторую работу, мы можем вставить это значение (6) в уравнение, которое мы только что сгенерировали, чтобы определить y через x, поскольку оно уже находится в форме для решения для y:

Применение метода подстановки к системам из трех или более переменных включает аналогичный шаблон, только с дополнительным объемом работы.

Это обычно верно для любого метода решения: количество шагов, необходимых для получения решения, быстро увеличивается с каждой дополнительной переменной в системе.

Чтобы решить для трех неизвестных переменных, нам нужно как минимум три уравнения. Рассмотрим этот пример:

Поскольку первое уравнение имеет простейшие коэффициенты (1, -1 и 1 для x, y и z соответственно), кажется логичным использовать его для определения одной переменной в терминах двух других.

Решите относительно x через y и z:

Теперь мы можем заменить это определение x, где x появляется в двух других уравнениях:

Приведение этих двух уравнений к их простейшей форме:

До сих пор наши усилия привели к сокращению системы с трех переменных в трех уравнениях до двух переменных в двух уравнениях.

Теперь мы можем снова применить технику подстановки к двум уравнениям 4y — z = 4 и -3y + 4z = 36, чтобы решить для y или z.Во-первых, я манипулирую первым уравнением, чтобы определить z через y:

.

Затем мы заменим это определение z на y, где мы видим z в другом уравнении:

Теперь, когда y — известное значение, мы можем подставить его в уравнение, определяющее z через y, и получить число для z:

Теперь, когда значения y и z известны, мы можем вставить их в уравнение, в котором мы определили x через y и z, чтобы получить значение x:

В заключение, мы нашли для x, y и z значения 2, 4 и 12 соответственно, которые удовлетворяют всем трем уравнениям.

Решение одновременных уравнений с использованием метода сложения

Хотя метод замены может быть самым простым для понимания на концептуальном уровне, нам доступны и другие методы решения.

Одним из таких методов является так называемый метод сложения , при котором уравнения складываются друг с другом с целью исключения переменных членов.

Давайте возьмем нашу систему с двумя переменными, использованную для демонстрации метода подстановки:

Одно из наиболее часто используемых правил алгебры состоит в том, что вы можете выполнять любую арифметическую операцию с уравнением, если вы делаете это одинаково для обеих сторон .

Что касается сложения, это означает, что мы можем добавить любую величину, какую захотим, к обеим сторонам уравнения — при условии, что это то же самое количество — без изменения истинности уравнения.

У нас есть возможность сложить соответствующие части уравнений вместе, чтобы сформировать новое уравнение.

Поскольку каждое уравнение является выражением равенства (одна и та же величина по обе стороны от знака =), добавление левой части одного уравнения к левой части другого уравнения действительно до тех пор, пока мы добавляем два правые части уравнений вместе.

В нашем примере набора уравнений, например, мы можем добавить x + y к 2x — y, а также сложить 24 и -6 вместе, чтобы сформировать новое уравнение.

Какая польза от этого для нас? Изучите, что произойдет, когда мы сделаем это с нашим примером набора уравнений:

Поскольку верхнее уравнение содержало положительный член y, а нижнее уравнение содержало отрицательный член y, эти два члена компенсировали друг друга в процессе сложения, не оставляя члена y в сумме.

У нас осталось новое уравнение, но с единственной неизвестной переменной x! Это позволяет нам легко найти значение x:

.

Если у нас есть известное значение x, конечно, определение значения y — это простой вопрос подстановки (замены x числом 6) в одно из исходных уравнений.

В этом примере метод сложения уравнений хорошо сработал для создания уравнения с единственной неизвестной переменной.

Как насчет примера, когда все не так просто? Рассмотрим следующий набор уравнений:

Мы могли бы сложить эти два уравнения вместе — это вполне допустимая алгебраическая операция — но это не принесет нам пользы для получения значений для x и y:

Полученное уравнение по-прежнему содержит две неизвестные переменные, как и исходные уравнения, и поэтому мы не продвинемся дальше в поиске решения.

Однако что, если бы мы могли манипулировать одним из уравнений так, чтобы получить отрицательный член, который при добавлении аннулировал бы соответствующий член в другом уравнении?

Тогда система сведется к одному уравнению с единственной неизвестной переменной, как в последнем (случайном) примере.

Если бы мы могли только превратить член y в нижнем уравнении в член — 2y, так что, когда два уравнения складываются вместе, оба члена y в уравнениях сократятся, оставив нам только член x, это принесет нам ближе к решению.

К счастью, сделать это несложно. Если мы умножим каждый член нижнего уравнения на -2, получится результат, который мы ищем:

Теперь мы можем добавить это новое уравнение к исходному, верхнему уравнению:

Решая относительно x, получаем значение 3:

Подставляя это новое найденное значение для x в одно из исходных уравнений, значение y легко определяется:

Использование этого метода решения в системе с тремя переменными немного сложнее.

Как и в случае подстановки, вы должны использовать этот метод, чтобы уменьшить систему из трех уравнений с тремя переменными до двух уравнений с двумя переменными, а затем применить его снова, чтобы получить одно уравнение с одной неизвестной переменной.

Для демонстрации я воспользуюсь системой уравнений с тремя переменными из раздела о заменах:

Поскольку верхнее уравнение имеет значения коэффициента, равные 1 для каждой переменной, это уравнение будет простым для обработки и использования в качестве инструмента отмены.

Например, если мы хотим отменить 3-кратный член из среднего уравнения, все, что нам нужно сделать, это взять верхнее уравнение, умножить каждый из его членов на -3, а затем добавить его в среднее уравнение следующим образом:

Мы можем избавить нижнее уравнение от его члена -5x таким же образом: возьмите исходное верхнее уравнение, умножьте каждый из его членов на 5, затем добавьте это модифицированное уравнение к нижнему уравнению, оставив новое уравнение только с y и z термины:

На данный момент у нас есть два уравнения с теми же двумя неизвестными переменными, y и z:

При осмотре должно быть очевидно, что член -z верхнего уравнения может быть использован для отмены члена 4z в нижнем уравнении, если только мы умножим каждый член верхнего уравнения на 4 и сложим два уравнения вместе:

Взяв новое уравнение 13y = 52 и решив относительно y (разделив обе части на 13), мы получим значение 4 для y.