Уравнение с одной переменной что такое: Уравнения с одной переменной [wiki.eduVdom.com]

Содержание

Уравнения с одной переменной [wiki.eduVdom.com]

Уравнение с одной переменной — это равенство, содержащее переменную.

Корень уравнения — это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Решить уравнение означает найти все его корни или доказать, что корней нет.

Равносильные уравнения — уравнения с одними и теми же корнями.

Следующие преобразования: перенос слагаемого из одной части в другую с изменением знака этого слагаемого; умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же не равное нулю число приводят уравнение к равносильному ему уравнению.

Линейное уравнение с одной переменной — это уравнение вида a*x = b, где х — переменная, а и b — некоторые числа.

  1. Если а = 0 и b = 0, то это уравнение имеет бесконечно много решений;

  2. Если а ≠ 0, то это уравнение имеет один корень: $x = \frac{b}{a}$

  3. Если а = 0 и b ≠ 0, то это уравнение не имеет корней.

—-
Пример 1. Решите уравнение $\frac{2x-1}{3} — \frac{x+1}{2} = 2$

Решение:

  • $\frac{2x-1}{3} — \frac{x+1}{2} = 2$

  • $\frac{(2x-1)*2}{3*2} — \frac{(x+1)*3}{2*3} = 2$

  • $\frac{(4x-2) — (3x+3)}{6} = 2$

  • $\frac{4x-2 — 3x-3}{6} = 2$

  • $\frac{x — 5}{6} = 2$

  • $x — 5 = 2*6$

  • $x — 5 = 12$

  • $x = 12 + 5$

  • $x = 17$

Ответ: 17.


Пример 2. Решите уравнение $5x + \frac{2x+3}{4} = \frac{3x-1}{2} + 4x$

Решение:

  • $5x + \frac{2x+3}{4} = \frac{3x-1}{2} + 4x$

  • $\frac{20x+2x+3}{4} = \frac{3x-1+8x}{2}$

  • $\frac{22x+3}{4} = \frac{11x-1}{2}$

  • $22x+3 = 22x-2$

  • $22x-22x = -2-3$

  • $0 = -5$, но такого быть не может, значит данное уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней.

subjects/mathematics/уравнения_с_одной_переменной.txt · Последние изменения: 2013/02/02 17:42 —

Уравнения с одной переменной

Уравнение — это равенство, которое имеет неизвестное число, обозначенное буквой. Неизвестное число называют переменной.

Например: $4x-9=x,\ \ 2\left(y+8\right)=5y-8,\ \ 3z-18=-\left(z+2\right).$

Уравнения могут иметь разное количество корней. Решить уравнение — означает найти все его корни либо доказать, что их нет.

Если уравнения имеет одни и те же корни, то они называются равносильными. Равносильными считаются и те уравнения, которые не имею решения.

При решении равнений используют такие свойства:

  1. Если в любой из частей уравнения раскрыть скобки или свести подобные слагаемые, то получим уравнение, равносильное данному.
  2. Если в уравнении перенести слагаемое с одной части в другую, сменив знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному. 2-ac}}{a}$, где $k=\frac{b}{2}.$

    Уравнения с параметрами

    Если в уравнении $ax=b\ \ \ \ x-$переменная, а буква $a$ обозначает какое либо число, то говорят, что это уравнение с параметром. Что б решить такое уравнение, необходимо рассмотреть такие случаи:

    1. При $a=0$ получаем уравнение $0x=b$
    2. Имеем два случая:

      1. При $b=0$ корнем будет любое число
      2. При $b\ne 0$ уравнение корней не имеет
    3. При $a\ne 0$ делим обе части уравнения на $a$ (которое не равняется нулю) и получаем $x=\frac{b}{a}.$

    Уравнение с параметром можно решать так само, как и обычные уравнения, но только до тех пор, пока каждое перевоплощение можно выполнить однозначно. Если же какое-то перевоплощение нельзя выполнить однозначно, то решение надо разбить на несколько случаев.

    Пример 4

    Решить уравнение $5ax+3a=2ax+9a,$ где $x-$переменная.

    Решение. Перенесем члены со сменной $x$ в одну часть, а без $x-$ в другую:

    \[5ax-2ax=9a-3a\]

    Сведем подобные слагаемые

    \[3ax=6a\]

    Для нахождения переменной $x$ мы б хотели поделить обе части уравнения на $3a,\ $но при $a=0$ мы будем делить на $0,$ что невозможно. Значит, начиная с этого момента, надо рассматривать два случая. Можем записать так:

    \[5ax-2ax=9a-3a\]

    \[3ax=6a\]

    Если $a=0,$ то $0\cdot x=0$, значит $x-$ любое число;

    Если $a\ne 0,$ то $x=2.$

    Ответ. При $a=0-$любое число; при $a\ne 0\ \ \ \ x=2.$

    Уравнения с одной переменной

    • Главная
    • Справочник
    • Алгебра
    • Уравнения с одной переменной

    На предыдущих занятиях мы знакомились с выражениями, а также учились их упрощать и вычислять. Теперь переходим к более сложному и интересному, а именно к уравнениям.


    Уравнение и его корни

    Равенство, содержащие переменную (-ые) называются уравнениями. Решить уравнение, значит найти значение переменной, при котором равенство будет верным. Значение переменной называют корнем уравнения.

    Уравнения могут иметь, как один корень, так и несколько или вообще ни одного.

    При решении уравнений используются следующие свойства:

    • если в уравнении перенести слагаемое из одной части уравнения в другую, поменяв при этом знак на противоположный, то получится уравнение равносильное данному. 2=10-3x \) являются числа -2 и 2.

      Линейное уравнение с одной переменной

      Линейное уравнение с одной переменной — это уравнения вида ax = b, где x — переменная, а a и b — некоторые числа.

      Существует большое количество видов уравнений, но решение многих из них сводится именно к решению линейных уравнений, поэтому знание этой темы обязательно для дальнейшего обучения!

      Пример №2 Решить уравнение: 4(x+7) = 3-x

      Для решения данного уравнения, в первую очередь, нужно избавиться от скобки, а для этого домножим на 4 каждое из слагаемых в скобке, получаем:

      4х + 28 = 3 — х

      Теперь нужно перенести все значения с «х» в одну сторону, а все остальное в другую сторону (не забывая менять знак на противоположный), получаем:

      4х + х = 3 — 28

      Теперь вычитаем значение слева и справа:

      5х = -25

      Чтобы найти неизвестный множитель (х) нужно произведение (25) разделить на известный множитель (5):

      х = -25:5

      х = -5

      Ответ х = -5

      Если сомневаетесь в ответе можно проверить, подставив полученное значение в наше уравнение вместо х:

      4(-5+7) = 3-(-5)

      4*2 = 8

      8 = 8 — уравнение решено верно!

      Решить теперь что-нибудь по-сложнее:

      Пример №3 Найти корни уравнения: \( (y+4)-(y-4)=6y \)

      В первую очередь, также избавимся от скобок:

      \( y+4-y+4=6y \)

      Сразу видим в левой части y и -y, а значит их можно просто вычеркнуть, а полученные числа просто сложить, и записать выражение:

      \( 8 = 6y \)

      Теперь можно перенести значения с «y» в левую сторону, а значения с числами в правую. Но ведь это не обязательно, ведь не важно с какой стороны находятся переменные, главное, чтобы они были без чисел, а значит, ничего переносить не будем. Но для тех кто не понял, то сделаем, как гласит правило и разделим обе части на (-1), как гласит свойство:

      \( 6y=8 \)

      Чтобы найти неизвестный множитель нужно произведение разделить на известный множитель:

      \( y=\frac{8}{6} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \)

      Ответ: y = \( 1\frac{1}{3} \)

      Также можно проверить ответ, но сделайте это самостоятельно.

      Пример №4 \( (0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6) \)

      Теперь я просто решу, без объяснений, а вы посмотрите на ход решения и правильную запись решения уравнений:

      \( (0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6) \)

      \( 0,5x+1,2-3,6+4,5x=4,8-0,3x+10,5x+0,6 \)

      \( 0,5x+4,5x+0,3x-10,5x=4,8+0,6-1,2+3,6 \)

      \( -5,2x=7,8 \)

      \( x=\frac{7,8}{-5,2}=\frac{3}{-2} =-1,5 \)

      Ответ: x = -1,5

      Если что-то не понятно по ходу решения пишите в комментариях

      Решение задач с помощью уравнений

      Зная что такое уравнения и научившись их вычислять — вы также открываете себе доступ к решению множества задач, где для решения используются именно уравнения.

      Не буду вдаваться в теорию, лучше показать все и сразу на примерах

      Пример №5 В корзине было в 2 раза меньше яблок, чем в ящике. После того, как из корзины переложили в ящик 10 яблок, в ящике их стало в 5 раз больше, чем в корзине. Сколько яблок было в корзине, а сколько в ящике?

      В первую очередь нужно определить, что мы примем за «х», в данной задаче можно принять и ящики, и корзины, но я возьму яблоки в корзине.

      Значит, пусть в корзине было x яблок, так как в ящике яблок было в два раза больше, то возьмем это за 2х. После того, как  из корзины яблоки переложили в ящик в корзине яблок стало: х — 10,  а значит, в ящике стало — (2х + 10) яблок.

      Теперь можно составить уравнение:

      5(х-10) — в ящике стало в 5 раз больше яблок, чем в корзине.

      Приравняем первое значение и второе:

      2x+10 = 5(x-10) и решаем:

      2х + 10 = 5х — 50

      2х — 5х = -50 — 10

      -3х = -60

      х = -60/-3 = 20 (яблок) — в корзине

      Теперь, зная сколько яблок было в корзине, найдем сколько яблок было в ящике — так как их было в два раза больше, то просто результат умножим на 2:

      2*20 = 40 (яблок) — в ящике

      Ответ:  в ящике — 40 яблок, а в корзине — 20 яблок.

      Я понимаю, что многие из вас, возможно, не до конца разобрались в решении задач, но уверяю к этой теме мы вернемся и еще не раз на наших уроках, а пока если у вас остались вопросы — задавайте их в комментариях.

      Под конец еще несколько примеров на решения уравнений

      Пример №6 \( 2x — 0,7x = 0 \)

      \( 1,3x = 0 \)

      \( x=0/1,3 \)

      \( x = 0 \)

      Пример №7 \( 3p — 1 -(p+3) = 1 \)

      \( 3p-1-p-3=1 \)

      \( 3p-p=1+1+3 \)

      \( 2p=5 \)

      \( p=5/2 \)

      \( p=2,5 \)

      Пример №8 \( 6y-(y-1) = 4+5y \)

      \( 6y-y+1=4+5y \)

      \( 6y-y-5y=4-1 \)

      \( 0y=3 \) — корней нет, т.к. на ноль делить нельзя!

       

      Всем спасибо за внимание. Если что-то непонятно спрашивайте в комментариях.

       

       

      В вашем браузере отключен Javascript.
      Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!