Урок 6. смежные и вертикальные углы. аксиомы и теоремы — Геометрия — 7 класс

Геометрия

7 класс

Урок № 6

Смежные и вертикальные углы. Аксиомы и теоремы

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Понятие смежных и вертикальных углов
• Свойства смежных и вертикальных углов
• Отличие аксиомы от теоремы

Тезаурус

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными.

Свойства смежных углов:

• Сумма смежных углов равна 180⁰.
• Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны.
• Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны.

Аксиома– положение, принимаемое без доказательств.

Основная литература:

1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7 – 9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

1. Погорелов А. В. Геометрия: 7 – 9 класс. // Погорелов А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 224 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Давайте построим развёрнутый угол АОС и проведём в нём луч ОВ. В результате у нас получилось два угла ∠АОВ – острый угол и ∠ВОС– тупой угол. Стороны АО и ОС – продолжают друг друга, ВО– общая сторона. Углы АОВ и ВОС – это смежные углы. На основании этого сформулируем определение смежных углов.

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными.

Обратите, внимание, что смежные углы АОВ и ВОС лежат на развёрнутом угле АОС. Отсюда можно сделать вывод: сумма смежных углов равна 180^о.

Свойство смежных углов: сумма смежных углов равна 180^о.

Давайте докажем это свойство.

Доказательство. Пусть углы ∠АОВ и ∠ВОС – смежные, луч ОВ – проходит между сторонами развёрнутого угла ∠АОС. Поэтому, сумма углов ∠АОВ и ∠ВОС равна ∠АОС, а этот угол развёрнутый, он равен 180^о. Свойство доказано.

Укажем ещё одно свойство смежных углов.

• Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны.

Сейчас давайте вспомним определение прямого угла: угол, равный 90⁰, называется прямым углом. Опираясь на свойство суммы смежных углов, можно сделать вывод: угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Теперь построим две пересекающиеся прямые, АС и BD. Посмотрите, при пересечении прямых у нас получилось четыре угла: ∠АОВ, ∠АОD, ∠CОD, ∠BОC. Из них попарно являются смежными углы: ∠АОВ и ∠АОD, ∠АОD и ∠CОD, ∠CОD и ∠BОC, ∠АОВ и ∠BОC.

Углы, которые не являются смежными:

∠АОВ и ∠CОD; ∠АОD и ∠BОC. Пары этих углов называются вертикальными углами.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны. Убедимся в справедливости этого свойства, докажем его.

Доказательство. Посмотрим на чертёж: пары углов 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 1– смежные углы. Угол 2 одновременно является смежным с углом 1 и с углом 3. По свойству смежных углов

∠1+ ∠2= 180⁰ и ∠3+ ∠2= 180⁰. Получаем, что ∠1+ ∠2= ∠3+ ∠2, значит, ∠1= ∠3. Углы ∠1 и ∠3 – вертикальные. Мы доказали справедливость этого свойства.

Свойства смежных и вертикальных углов, которые мы сегодня рассмотрели– в геометрии называются теоремами. Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путём рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. А само утверждение, которое доказывается, называется теоремой.

На предыдущих уроках вы познакомились с понятием аксиомы.

В чём же различие между аксиомой и теоремой? Ответ на этот вопрос таков: аксиома – положение, принимаемое без доказательств.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Используя чертёж, найдите угол ∠ВОК.

Ответ: ∠ВОК=____⁰

Решение. Воспользуемся свойством смежных углов: сумма смежных углов равна 180⁰. По условию задачи ∠АОК= 11⁰, то ∠ВОК+ ∠АОК= 180⁰

∠ВОК+ 11⁰= 180⁰

∠ВОК= 180⁰– 11⁰= 169⁰.

Ответ: ∠ВОК= 169⁰

№2. Тип задания: единичный / множественный выбор.

Используя чертёж, найдите угол ∠AOD.

Варианты ответов:

1. 112⁰
2. 64⁰
3. 116⁰
4. 68⁰

Решение. На чертеже указано, что углы ∠СОЕ= ∠DOE. Значит, ∠COD= ∠СОЕ+ ∠DOE= 32⁰+ 32⁰= 64⁰. ∠AOD смежный с углом ∠COD, по свойству смежных углов: ∠AOD= 180⁰–∠COD= 180⁰– 64⁰=116⁰.

Ответ: 116⁰

№3. Тип задания: выделение цветом.

Используя чертёж, найдите градусную меру угла ∠BMD, если ∠AMD= 125⁰, ∠BMC= 115⁰.

∠BМD=____⁰.

Выделите верный ответ из списка:

60⁰; 30⁰; 75⁰; 90⁰

Решение. По чертежу можно увидеть, что ∠BМD является частью ∠AMD и ∠BMC. Рассмотрим ∠DMC и ∠AMD. Эти углы – смежные, т.е. их сумма равна 180⁰. Значит, зная градусную меру ∠AMD, мы сможем найти градусную меру ∠DMC= 180⁰–∠AMD= 180⁰-–125⁰= 55⁰. Теперь рассмотрим ∠BMC= ∠BMD+ ∠DMC. Мы знаем градусные меры ∠BMC и ∠DMC, значит, мы сможем найти градусную меру ∠BMD.

∠BMD= ∠BMC–∠DMC= 115⁰– 55⁰= 60⁰.

Верный ответ: 60⁰

Какие углы называются вертикальными? Каким свойством они обладают? — Студопедия

Вертикальные углы — два угла, у которых стороны одного являются продолжениями сторон другого. Вертикальные углы равны. (Вертикальными называются углы, образованные пересекающимися прямыми и не являющиеся прилегающими друг к другу, то есть общей стороны у них нет, но вертикальные углы имеют вершину в одной точке. Вертикальные углы равны между собой).

22. Какие прямые называются перпендикулярными?Две пересекающиеся прямые называютсяперпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла. Или Перпендикулярные прямыеэто прямые пересекающиеся под углом 90 градусов. Или Две прямые, образующие при пересечении прямые углы, называют перпендикулярными.

23. Объясните, какой отрезок называется перпендикуляром, проведенным из данной точки к данной прямой. Что такое основание перпендикуляра? Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной к данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра.Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной к данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Конец отрезка, лежащий на данной прямой, называется основанием перпендикуляра.

24. Что такое теорема и доказательство теоремы? В математике утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждений, называется теоремой, а само рассуждение – доказательством теоремы.

Теоре́ма — утверждение, для которого в рассматриваемой теории существует доказательство (иначе говоря, вывод) . В отличие от теорем, аксиомаминазываются утверждения, которые, в рамках конкретной теории, принимаются истинными без всяких доказательств или обоснований. Доказательство— это утверждение, объясняющее теорему. Теорема —такая гипотеза, которую требуется доказать;Гипотеза всегда требует доказательства. Доказательство —доводы, подтверждающие действенность, правильность теоремы.

Докажите теорему о существовании перпендикуляра к прямой. (Рис.56 в учебнике)

Теорема. Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой.

Доказательство.Пусть A – точка, не лежащая на данной прямой a (рис. 56, а). Докажем, что из точки A можно провести перпендикуляр к прямой a. Мысленно перегнем плоскость по прямой a (рис. 56, б) так, чтобы полуплоскость с границей a, содержащая точку A, наложилась на другую полуплоскость. При этом точка Aналожится на некоторую точку. Обозначим ее буквой B. Разогнем плоскость и проведем через точки A и Bпрямую.

Пусть H – точка пересечения прямых AB и a (рис. 56, в). При повторном перегибании плоскости по прямой aточка H останется на месте. Поэтому луч HA наложится на луч HB, и, следовательно, угол 1 совместится с углом 2. Таким образом, ∠1 = ∠2. Так как углы 1 и 2 – смежные, то их сумма равна 180°, поэтому каждый из них – прямой. Следовательно, отрезок AH – перпендикуляр к прямой a. Теорема доказана.

Докажите теорему о единственности перпендикуляра к прямой. (Рис.57 в учебнике)

Теорема. Из точки, не лежащей на прямой, нельзя провести два перпендикуляра к этой прямой.

Доказательство.Пусть A – точка, не лежащая на данной прямой a (см. рис. 56, а). Докажем, что из точки Aнельзя провести два перпендикуляра к прямой a. Предположим, что из точки A можно провести два перпендикуляра AH и AK к прямой a (рис. 57). Мысленно перегнем плоскость по прямой a так, чтобы полуплоскость с границей a, содержащая точку A, наложилась на другую полуплоскость. При перегибании точки H и K остаются на месте, точка A накладывается на некоторую точку. Обозначим ее буквой B. При этом отрезки AH и AK накладываются на отрезки BH и BK.

Углы AHB и AKB – развернутые, так как каждый из них равен сумме двух прямых углов. Поэтому точки A, Hи B лежат на одной прямой и также точки A, K и B лежат на одной прямой.

Таким образом, мы получили, что через точки A и B проходят две прямые AH и AK. Но этого не может быть. Следовательно, наше предположение неверно, а значит, из точки A нельзя провести два перпендикуляра к прямой a. Теорема доказана.

http://mthm.ru/geometry7/perpendicular

Смежные и вертикальные углы | Геометрия

Смежные углы

Смежные углы — это пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие стороны лежат на одной прямой. Следовательно, два смежных угла составляют развёрнутый угол. Общая сторона двух смежных углов называется наклонной к прямой, на которой лежат другие стороны (только в том случае, когда смежные углы не равны).

∠ABD  и  ∠DBC  — это смежные углы,  AC  — прямая, луч  BD  — общая сторона углов и наклонная к прямой  AC,  ∠ABC  — развёрнутый угол,  B  — основание наклонной.

Чтобы построить угол, смежный с данным углом, нужно одну из сторон угла продлить за вершину:

Сумма смежных углов

Любые два смежных угла составляют в сумме развёрнутый угол. Развёрнутый угол равен двум прямым углам, поэтому можно сказать, что сумма двух смежных углов равна двум прямым углам.

∠ABD + ∠DBC = 2d,

где  d  — это обозначение прямого угла  (d = 90°).

Вертикальные углы

Вертикальные углы — это пара углов, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон другого угла. Пересечение двух прямых линий образует две пары вертикальных углов:

∠AOB  и  ∠COD,  а также  ∠AOD  и  ∠BOC  — вертикальные углы.

Равенство вертикальных углов

Вертикальные углы равны между собой. Рассмотрим вертикальные углы  1  и  3:

Сумма  ∠1  и  ∠2  равна развёрнутому углу  (180°).  Сумма  ∠2  и  ∠3  тоже равна развёрнутому углу  (180°).  Значит:

∠1 + ∠2 = ∠2 + ∠3

Следовательно,  ∠1 = ∠3.  Равенство вертикальных углов доказано.

Урок «Смежные и вертикальные углы»

СМЕЖНЫЕ И
ВЕРТИКАЛЬНЫЕ
УГЛЫ
Лиманская Инна Викторовна
учитель математики
специалист высшей категории
учитель-методист
МОУ «Амвросиевская школа №6»
Амвросиевского района ДНР

Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать.
Галилей

«ДА НЕ ВОЙДЁТ СЮДА НИ ОДИН ИЗ ТЕХ,
КТО НЕ ОВЛАДЕЛ ГЕОМЕТРИЕЙ!»

Повторение
Какие углы называются смежными?
Ответ:
Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны являются дополнительными полупрямыми.
∠ АОВ и ∠СОВ — смежные
ОВ — общая сторона
АО и ОС дополнительные
полупрямые.
А
В
С
О

Повторение
Какими свойствами обладают смежные углы?
Ответ:

Сумма смежных углов равна 180° .
Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны.
Если угол не развернутый, то его градусная мера меньше 180°.
Угол, смежный с прямым, есть прямой угол.

Найдите пары смежных углов. Объясните, почему эти углы смежные.
А
В
С
М
О
а)
б)
К
Р
Н
Е
О
в)
Т
А
Р
С
г)
А
С
К
М
В
д)
е)
В
С
D
А
F
D
O
A
B

Какие углы называются вертикальными?
Какие углы называются вертикальными?
Ответ:
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.
∠ 1 и ∠ 3- вертикальные
∠ 2 и ∠ 4- вертикальные

1
2
3
4
а
b
Повторение

Каким свойством обладают вертикальные углы?
Каким свойством обладают вертикальные углы?
Ответ:
Вертикальные углы равны.
∠ 1 = ∠ 3
∠ 2 = ∠4
1
2
3
4
Повторение

Найдите пары вертикальных углов. Объясните, почему эти углы являются вертикальными.
а)
А
B
C
D
O
б)
К
Р
Н
Е
О
в)
Т
А
Р
О
B
C
D
г)
С
А
д)
В
D
О
Е
С
А
О
B
D

ТЕСТ ПО ТЕМЕ
«ВЕРТИКАЛЬНЫЕ И
СМЕЖНЫЕ УГЛЫ»

1. Сумма смежных углов равна…
A. 3600
B. 900
C. 1800

2. Как называется угол меньше 1800, но больше 900?
острый
тупой
прямой
A
B
C

3. Чему равен угол, если смежный с ним равен 470?
1330
470
430
C
B
A

4. Какой угол образуют часовая и минутная стрелки часов, когда они показывают 6 часов?
тупой
развернутый
прямой
C
B
A

5. Найдите <AOC.
А
В
С
D
О
1030
1030
770
30
C
B
A

6. Найдите <DOB.
А
В
С
D
О
540
360
1260
540
B
A
C

7. Найдите смежные углы, если один из них в два раза больше другого.
600 и 1200
900 и 1800
1400 и 700
C
B
A

8. Дан угол 720. Чему равен вертикальный ему угол?
720
1080
180
C
B
A

9. Какой угол образуют часовая и минутная стрелки часов, когда они показывают три часа?
острый
тупой
прямой
C
B
A

Ответы
1. C
2. B
3. A
4. B
5. B
6. B
7. B
8. C
9. C

Умение решать задачи – практическое искусство, подобное катанию на лыжах, или игре на фортепиано: научиться этому можно лишь подражая избранным образцам и постоянно тренируясь.
Джордж Пойа

А
О
В
С
Найти:
№ 1

О
А
D
С
В
Найти:
№ 2

А
В
D
С
Найти:
№ 3

№ 4
А
В
С
О
Найти:

А
В
С
О
№ 5
Найти:

А
В
С
О
№ 6
Найти:

А
С
D
В
О
Найти:
№ 7

А
С
D
В
О
Найти:
№ 8

С
А
В
D
О
Найти:
№ 9

С
А
В
D
Найти:
О
№ 10

А
В
С
D
М
О
Найти:
№ 11

Найти:
А
В
С
D
О
Задача 12

С
D
К
М
А
В
О
Найти:
Задача 13

С
D
К
М
А
В
Найти:
О
Задача 14

О
Равны ли
и
?
А
В
С
D
E
Задача 15

А
В
С
D
О
Найти:
Задача 16

А
В
С
D
О
Найти:
Задача 17

А
В
С
Сравните
и
Задача 18

А
В
С
Докажите, что
Задача 19

А
В
С
Докажите, что
Задача 20

О
А
В
С
D
Найдите:
К
Р
Задача 21

Самостоятельная работа
А
С
В
D
2. Начертите угол РОК. Постройте смежный с ним: а)  КОN; б)  РOR.
3. Запишите пары смежных углов, имеющиеся на рисунке:
Е
А
D
C
В
F
4. Запишите пары вертикальных углов, имеющиеся на рисунке:
D
В
А
М
С
N
1. На рисунке изображены прямые АС и ВD, пересекающиеся в точке О. Дополните записи:
ВОС и  . . . — вертикальные,
ВОС и  . . . — смежные,
O
СОD и  . . . — вертикальные,
СОD и  . . . — смежные.

Повторили понятия смежных и вертикальных углов, их свойства
Научились решать задачи

Стали выше еще на одну ступеньку в изучении геометрии
ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ

Рефлексия
«ДЕРЕВО УСПЕХА»
Я молодец!
Мне все понятно
Я старался, но получилось не все
Мне есть над чем поработать

Домашнее задание
§ 6 пункт 11, №65(а), № 67 стр. 25.
*Составить две задачи по готовым чертежам и их решить.

определение и свойства видов в геометрии, теорема

Смежные и вертикальные углы – определение

Определение

Смежные углы – это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие стороны являются дополняющими лучами.

 Определение

Вертикальные углы – это два угла, стороны одного из которых являются дополняющими лучами сторон другого.

Теорема о смежных и вертикальных углах

Теорема

Теорема о СУ гласит, что их сумма равна 180°.

Доказательство данного положения легко узнать на практике при помощи построения. Так как у СУ есть общая сторона, это значит, что они расположены на развернутом угле. А поскольку такая геометрическая фигура равна 180°, то и сумма СУ будет приравниваться к этому же значению.

Следствием из данной теории будет то, что если смежные углы равны, то они прямые. ПУ = 90°. Это есть половина от величины развернутого угла, на котором и находятся два СУ.

Еще одно следствие. Если два угла равны, то смежные с ними тоже имеют одно значение.

Теорема о вертикальных углах гласит, что ВУ равны. Доказательство: Рассмотрим ВУ AOB и COD. ∠BOD смежный для каждого из ∠AOB и ∠COD. По теореме 1 ∠АОВ+∠BOD=180°, ∠COD+∠BOD=180°. Из этого ∠АОВ=∠COD.

Следствие 1. Угол, смежный с прямым, есть прямой угол. Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD. Они образуют четыре угла. Если один из них прямой, то остальные также прямые (1 и 2, 1 и 4 — смежные, 1 и 3 — вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность АС и BD обозначается так: AC ⊥ BD.

Смежные углы

Перечислим не отмеченные ранее свойства СУ:

• угол, смежный с прямым, является прямым; смежный с острым – тупым; смежный с тупым – острым;
• чем больше угол, тем меньше СУ, и наоборот;
• биссектрисы СУ образуют прямой угол.

Приведем пример решения задачи со СУ.

Задача

∠1 и ∠2 – смежные, ∠1 : ∠2 = 3 : 7.

Найти ∠1 и ∠2.

Решение

Пусть х – коэффициент пропорциональности.\circ.\)

7 класс. Геометрия. Смежные и вертикальные углы. — Смежные и вертикальные углы.

Комментарии преподавателя

Нач­нем наш урок с по­ня­тия «смеж­ные углы». На ри­сун­ке 1 изоб­ра­жен раз­вер­ну­тый угол ∠АОС и луч ОВ, ко­то­рый делит дан­ный угол на 2 угла.

Рис. 1. Угол ∠АОС

Рас­смот­рим углы ∠АОВ и ∠ВОС. Вполне оче­вид­но, что они имеют общую сто­ро­ну ВО, а сто­ро­ны АО и ОС яв­ля­ют­ся про­ти­во­ле­жа­щи­ми. Лучи ОА и ОС до­пол­ня­ют друг друга, а зна­чит, они лежат на одной пря­мой. Углы ∠АОВ и ∠ВОС яв­ля­ют­ся смеж­ны­ми.

Опре­де­ле­ние: Если два угла имеют общую сто­ро­ну, а две дру­гие сто­ро­ны яв­ля­ют­ся до­пол­ня­ю­щи­ми лу­ча­ми, то дан­ные углы на­зы­ва­ют­ся смеж­ны­ми.

Тео­ре­ма 1: Сумма смеж­ных углов – 180о.

Рис. 2. Чер­теж к тео­ре­ме 1

∠МОL + ∠LON = 180o. Дан­ное утвер­жде­ние яв­ля­ет­ся вер­ным, так как луч OL делит раз­вер­ну­тый угол ∠MON на два смеж­ных угла. То есть мы не знаем гра­дус­ных мер ни од­но­го из смеж­ных углов, а знаем лишь их сумму – 180о.

Рас­смот­рим пе­ре­се­че­ние двух пря­мых. На ри­сун­ке изоб­ра­же­но пе­ре­се­че­ние двух пря­мых  в точке О.

Рис. 3. Вер­ти­каль­ные углы ∠ВОА и ∠СОD

Опре­де­ле­ние: Если сто­ро­ны од­но­го угла яв­ля­ют­ся про­дол­же­ни­ем вто­ро­го угла, то такие углы на­зы­ва­ют­ся вер­ти­каль­ны­ми. Имен­но по­это­му на ри­сун­ке изоб­ра­же­но две пары вер­ти­каль­ных углов: ∠АОВ и ∠СОD, а также ∠AOD и ∠ВОС.

Тео­ре­ма 2: Вер­ти­каль­ные углы равны.

Ис­поль­зу­ем ри­су­нок 3. Рас­смот­рим раз­вер­ну­тый угол ∠АОС. ∠АОВ = ∠АОС – ∠ВОС = 180о – β. Рас­смот­рим раз­вер­ну­тый угол ∠ВОD. ∠CОD = ∠BОD – ∠BОС = 180о – β.

Из этих со­об­ра­же­ний мы де­ла­ем вывод, что ∠АОВ = ∠СОD = α. Ана­ло­гич­но, ∠AOD = ∠ВОС = β.

След­ствие 1: Угол между бис­сек­три­са­ми смеж­ных углов равен 90о.

Рис. 4. Чер­теж к след­ствию 1

По­сколь­ку ОL – бис­сек­три­са угла ∠ВОА, то угол ∠LOB =  , ана­ло­гич­но ∠ВОК =  . ∠LOK = ∠LOB + ∠BOK =  +    =  . Сумма углов α + β равна 180о, по­сколь­ку дан­ные углы – смеж­ные.

След­ствие 2: Угол между бис­сек­три­са­ми вер­ти­каль­ных углов равен 180о.

Рис. 5. Чер­теж к след­ствию 2

Оче­вид­но, что ∠KOL = ∠KOB + ∠BOC + ∠COL =  o. Сумма углов α + β равна 180о, так как дан­ные углы – смеж­ные.

Рас­смот­рим неко­то­рые за­да­чи:

При­мер 1:

Най­ди­те угол, смеж­ный с ∠АOС, если ∠АOС = 111о.

Ре­ше­ние:

Вы­пол­ним чер­теж к за­да­че:

Рис. 6. Чер­теж к при­ме­ру 1

Ре­ше­ние

По­сколь­ку ∠АОС = β и ∠СOD = α смеж­ные углы, то α + β = 180о. То есть 111о + β = 180о.

Зна­чит, β = 69о.

Этот тип задач экс­плу­а­ти­ру­ет тео­ре­му о сумме смеж­ных углов.

При­мер 2:

Один из смеж­ных углов пря­мой, каким (ост­рым, тупым или пря­мым) яв­ля­ет­ся дру­гой угол?

Ре­ше­ние:

Если один из углов пря­мой, а сумма двух углов 180о, то и дру­гой угол тоже пря­мой. Эта за­да­ча про­ве­ря­ет зна­ния о сумме смеж­ных углов.

При­мер 3:

Верно ли, что если смеж­ные углы равны, то они пря­мые?

Ре­ше­ние:

Со­ста­вим урав­не­ние: α + β = 180о, но по­сколь­ку α = β, то β + β = 180о, зна­чит, β = 90о.

Ответ: Да, утвер­жде­ние верно.

При­мер 4:

Даны два рав­ных угла. Верно ли, что и смеж­ные им углы тоже будут равны?

Ре­ше­ние:

Рис. 7. Чер­теж к при­ме­ру 4

Если два угла равны α, то со­от­вет­ству­ю­щие им смеж­ные углы будут 180о – α. То есть они будут равны между собой.

Ответ: Утвер­жде­ние верно.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/nachalnye-geometricheskie-svedeniya/smezhnye-i-vertikalnye-ugly

http://www.youtube.com/watch?v=ZUuItx4QsXY

http://school-assistant.ru/?predmet=geometr&theme=vertikalnie_i_smeznie_ugli

http://istudy.su/wp-content/uploads/2013/01/2_%D0%A1%D0%BC%D0%B5%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D0%B5-%D0%B8-%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5-%D1%83%D0%B3%D0%BB%D1%8B-731×1024.jpg

https://www.euroki.net/books/gdzs/1204/585711.png

http://www.uchportal.ru/_ld/339/33950____.rar

Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые [wiki.eduVdom.com]

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами. На рисунке 20 углы АОВ и ВОС смежные.

Сумма смежных углов равна 180°

Рис.1

Теорема 1. Сумма смежных углов равна 180°.

Доказательство. Луч ОВ (см. рис.1) проходит между сторонами развернутого угла. Поэтому ∠ АОВ + ∠ ВОС = 180° .

Из теоремы 1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.

Вертикальные углы равны

Рис.2

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого. Углы АОВ и COD, BOD и АОС, образованные при пересечении двух прямых, являются вертикальными (рис. 2).

Теорема 2. Вертикальные углы равны.

Доказательство. Рассмотрим вертикальные углы АОВ и COD (см. рис. 2). Угол BOD является смежным для каждого из углов АОВ и COD. По теореме 1
∠ АОВ + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Отсюда заключаем, что ∠ АОВ = ∠ COD.

Следствие 1. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Рис.3

Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD (рис.3). Они образуют четыре угла. Если один из них прямой (угол 1 на рис.3), то остальные углы также прямые (углы 1 и 2, 1 и 4 — смежные, углы 1 и 3 — вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность прямых АС и BD обозначается так: AC ⊥ BD.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину.

АН — перпендикуляр к прямой

Рис.4

Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на ней (рис.4). Соединим точку А отрезком с точкой Н прямой а. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра.

Чертежный угольник

Рис.5

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Из всякой точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Для проведения на чертеже перпендикуляра из точки к прямой используют чертежный угольник (рис.5).

Замечание. Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы. Например, условие теоремы 2 — углы вертикальные; заключение — эти углы равны.

Всякую теорему можно подробно выразить словами так, что ее условие будет начинаться словом «если», а заключение — словом «то». Например, теорему 2 можно подробно высказать так: «Если два угла вертикальные, то они равны».

Пример 1. Один из смежных углов равен 44°. Чему равен другой?

Решение. Обозначим градусную меру другого угла через x, тогда согласно теореме 1.

44° + х = 180°.

Решая полученное уравнение, находим, что х = 136°. Следовательно, другой угол равен 136°.

Пример 2. Пусть на рисунке 21 угол COD равен 45°. Чему равны углы АОВ и АОС?

Решение. Углы COD и АОВ вертикальные, следовательно, по теореме 1.2 они равны, т. е. ∠ АОВ = 45°. Угол АОС смежный с углом COD, значит, по теореме 1.

∠ АОС = 180° — ∠ COD = 180° — 45° = 135°.

Пример 3. Найти смежные углы, если один из них в 3 раза больше другого.

Решение. Обозначим градусную меру меньшего угла через х. Тогда градусная мера большего угла будет Зх. Так как сумма смежных углов равна 180° (теорема 1), то х + Зх = 180°, откуда х = 45°.

Значит, смежные углы равны 45° и 135°.

Пример 4. Сумма двух вертикальных углов равна 100°. Найти величину каждого из четырех углов.

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 2. Вертикальные углы COD к АОВ равны (теорема 2), значит, равны и их градусные меры. Поэтому ∠ COD = ∠ АОВ = 50° (их сумма по условию 100°). Угол BOD (также и угол
АОС) смежный с углом COD, и, значит, по теореме 1

∠ BOD = ∠ АОС = 180° — 50° = 130°.

вертикальных углов | Определение, теорема и примеры (видео)

В этом уроке используются два слова, которые часто неправильно понимают: вертикальный и дополнительный . Слово «вертикальный» обычно означает «вверх и вниз», но с вертикальными углами оно означает «относящийся к вершине» или углу. Дополнительный в математике означает «прибавление к 90 °», но это также прилагательное, обычно используемое для обозначения «объединение таким образом, чтобы что-то усилить», например, два человека с дополнительными навыками — например, один готовит, а другой печет.

Держите в уме математическое значение этих двух слов, и вы четко определите вертикальные углы и дополнительные углы.

Содержание

1. Определение вертикальных углов
2. Теорема о вертикальных углах

Определение вертикальных углов

Когда две прямые пересекаются в геометрии, они образуют четыре угла. Углы прицела — углы, противоположные друг другу.Любые две пересекающиеся линии образуют две пары вертикальных углов, например:

При беглом взгляде на рисунок возникает несколько назойливых вопросов:

1. Вертикальные углы совпадают?
2. Смежны ли вертикальные углы?
3. Вертикальные углы являются дополнительными?
4. Вертикальные углы дополняют друг друга?

Давайте займемся этим по очереди. Возьмите два прямых предмета, например, бамбуковые шпажки или карандаши. Перебросьте их так, чтобы они пересеклись и образовали две пары углов.Теперь посмотрите на углы, которые они образуют.

Если вы изучите любую пару противоположных углов у предметов, которые вы выбросили, вы увидите, что они имеют общую точку в своих вершинах, своих углах. Это делает их вертикальными углами. Вы также заметите, что, большие или маленькие, они кажутся зеркальными отражениями друг друга. Они есть; они имеют одинаковый угол, отраженный поперек вершины.

Теорема о вертикальных углах

Вертикальные углы Теорема утверждает, что вертикальные углы, углы, которые противоположны друг другу и образованы двумя пересекающимися прямыми линиями, совпадают.Вертикальные углы всегда совпадают, поэтому, когда кто-то задает следующий вопрос, вы уже знаете ответ.

Соответствуют ли вертикальные углы?

Да, согласно теореме о вертикальном угле, независимо от того, как вы бросаете шпажки или карандаши, чтобы они пересекались, или как пересекаются две пересекающиеся линии, вертикальные углы всегда будут конгруэнтны или равны друг другу. Это закреплено в математике в теореме о вертикальных углах.

Смежны ли вертикальные углы?

Вертикальные углы по определению не могут быть рядом с (рядом друг с другом).Другая пара вертикальных углов прерывается, поскольку противоположных углов являются вертикальными. Смежные углы берут один угол из одной пары вертикальных углов и другой угол из другой пары вертикальных углов.

Являются ли вертикальные углы дополнительными?

Дополнительные углы добавляют к 180 °, и только одна конфигурация пересекающихся линий дает дополнительные, вертикальные углы; когда пересекающиеся линии перпендикулярны.

Это становится очевидным, когда вы понимаете противоположные, совпадающие вертикальные углы, называя их обязательным решением этого простого алгебраического уравнения:

2a = 180 °

а = 90 °

У вас есть шанс 1 к 90 случайным образом получить дополнительные вертикальные углы в результате случайного выброса двух отрезков прямой так, чтобы они пересекались.

В то время как вертикальные углы не всегда являются дополнительными, смежные углы всегда являются дополнительными . Возьмите любые два смежных угла из четырех углов, образованных двумя пересекающимися линиями. Эти два смежных угла всегда будут составлять 180 °. Мы можем убедиться в этом, если начнем с верхнего левого угла и обойдем цифру по часовой стрелке:

• EMI является дополнением к IMU и EMP
• IMU является дополнением к PMU и EMI
• ∠UMP является дополнением к IMU и EMP
• EMP является дополнением к EMI и ∠UMP

Вертикальные углы дополняют друг друга?

Если вертикальные углы не всегда являются дополнительными, составляют ли они по крайней мере дополнительных углов , то есть в сумме с 90 °?

Опять же, мы можем использовать алгебру для подтверждения того, что очевидно на рисунках для вертикальных углов a:

2a = 90 °

а = 45 °

Только когда вертикальные углы a составляют 45 °, они могут быть дополнительными. Острые вертикальные углы могут дополнять друг друга; у вас есть шанс 1 из 45 на это.

Пример дополнительных углов

Дополнительные углы добавить к 90 °. Дополнительные углы не обязательно соединять с общей вершиной, точкой или линией. Они могут быть смежными или вертикальными на пересекающихся линиях. Они могут быть в двух разных многоугольниках, если сумма их углов равна точно 90 °. Дополнительные углы — это острые углы.

В большинстве случаев вы можете найти только один дополнительный угол, если вы знаете меру его дополнительного угла.Если вам говорят, что треугольник имеет ∠T, дополнительный к P в неправильном пятиугольнике, вы ничего не можете знать о двух углах, кроме того, что оба они острые.

Если, однако, мы скажем, что inP в пятиугольнике составляет 57 °, тогда мы сразу узнаем отсутствующее ∠T, угол составляет 33 °:

90 ° — 57 ° = 33 °

Что такое вертикальные углы?

Пара вертикальных углов образуется при пересечении двух прямых. Вертикальные углы противоположны друг другу и имеют общую вершину.Давайте рассмотрим, что еще мы узнали о вертикальных углах:

1. Могут ли вертикальные углы совпадать?
2. Могут ли вертикальные углы быть дополнительными?
3. Когда вертикальные углы будут дополнять друг друга?

Для № 1, мы надеемся, вы сказали, что вертикальные углы всегда совпадают!

Для № 2, вы сказали, что вертикальные углы являются дополнительными, только когда линии перпендикулярны?

Для № 3 вы писали, что вертикальные углы будут дополнять друг друга, только если каждый из них составляет 45 °?

Можно так много узнать об углах и соотношениях углов.

Следующий урок:

Теорема о средней точке

Вертикальные углы и дополнительные углы: определение и примеры — стенограмма видео и урока

Использование вертикальных углов

Чтобы использовать свойство идентификации вертикальных углов, вам просто нужно знать измерение угла, противоположного углу, для которого нет измерения. Итак, если ваш недостающий угол — это нижний угол, все, что вам нужно знать, это измерение верхнего угла. Если верхний угол равен 60, то и нижний угол тоже.

Если вам дано измерение левого угла вместо верхнего угла, вам нужно будет применить второе свойство вертикальных углов. Например, если вам дано, что левый угол составляет 80, и вы хотите найти измерение верхнего угла, вам нужно будет найти, при каком угловом измерении сумма двух углов составит 180. Итак, вы вычитаете 80 из 180, чтобы определить, что ваш верхний угол составляет 100 градусов.

Дополнительные уголки

Наш следующий специальный тип углов называется дополнительных углов .Это два угла, которые в сумме составляют 90 градусов. Эти углы могут располагаться где угодно. Им не обязательно находиться рядом друг с другом. Один может быть расположен в одном треугольнике, а другой — в другой форме. Однако, если в сумме они составляют 90 градусов, они считаются дополнительными углами. Итак, если один угол составляет 40 градусов, тогда другой дополнительный угол будет составлять 50 градусов, потому что 40 + 50 = 90.

Использование дополнительных углов

Чтобы использовать дополнительные углы, вам нужно знать, какой другой угол является дополнительным углом к ваш недостающий угол.Итак, если вам сказали, что углы B и D являются дополнительными углами, то вы сможете найти недостающий угол, если вам дадут только одно из измерений.

Например, если угол B равен 70, тогда угол D будет равен 20, так как 90 — 70 = 20. Аналогично, если угол D равен 55, тогда угол B будет равен 90 — 55, что равно 35.

Резюме урока

Теперь давайте рассмотрим то, что мы узнали.Мы узнали о двух особых типах углов. Вертикальные углы — это углы, которые противоположны друг другу, когда две прямые пересекаются друг с другом. Две пары противоположных углов равны друг другу. Две пары соседних углов являются дополнительными, то есть в сумме они составляют 180 градусов. Таким образом, если один из углов составляет 70, тогда противоположный угол также будет иметь размер 70, в то время как соседние углы будут иметь размер 180-70, что равно 110.

Дополнительные углы — это два угла, которые в сумме составляют 90 градусов. .Эти два угла могут располагаться где угодно. Им не обязательно находиться рядом друг с другом. Если вы знаете, что два угла дополняют друг друга, тогда вы сможете найти измерение одного угла, если вам дадут другой. Например, если углы A и B дополняют друг друга, а угол A составляет 20, тогда угол B будет иметь размер 90-20, что составляет 70.

Результаты обучения

У вас будет возможность делать после просмотра этого видеоурока:

• Определите вертикальные углы и дополнительные углы
• Используйте свойства этих углов, чтобы найти меру недостающих углов

Строительные блоки — Углы и пересекающиеся линии

Смежные средства
«рядом с.»Но мы используем это слово очень специфично, когда говорим о соседних
углы. Изучите эти две фигуры. Учитывается только пара справа
чтобы быть смежными, уголки c и d . Смежные углы должны иметь общий
общая сторона и общая вершина, и они не должны перекрывать друг друга.

Вертикальные углы
представляют собой пары углов, образованные двумя пересекающимися прямыми. Вертикальные углы
не смежных углов — они противоположны друг другу.На этой диаграмме
углы a и c — это вертикальные углы, а углы b и
d — вертикальные углы. Вертикальные углы совпадают.

Эти две строки
параллельны и разрезаются на поперечную, что является всего лишь названием, данным
линия, пересекающая две или более линий в разных точках. Восемь углов
появляются в четырех соответствующих парах, имеющих одинаковую меру, поэтому, следовательно,
конгруэнтны.

Эти четыре соответствующих
пары:

углы
a и e
уголки c и g
углы b и f
уголки d и h

Углы, которые
лежат во внутренней области или в области между двумя линиями, которые разрезаются
поперечные, называются внутренними углами.Уголки c, d, e и f
внутренние углы. Углы a, b, g, и h лежат снаружи
площади, и их называют «внешними углами».

ср
назовем углы на противоположных сторонах поперечных перемежающихся углов. Углы
c и f и d и e — это альтернативные внутренние углы.
Углы a и h , и b и g , являются альтернативными внешними
углы.Обратите внимание, что эти альтернативные пары также совпадают.

При поперечном
отрезает две непараллельные линии, как показано здесь, все равно образует восемь
углы — четыре соответствующие пары. Однако соответствующие пары
не совпадают, как это происходит с параллельными линиями.

назад
наверх

Прилегающие и вертикальные углы | Вертикально противоположные углы

Мы не можем представить нашу жизнь без изучения форм, и мы изучаем различные формы, углы и треугольники в геометрии.Геометрия — важный раздел математики. Здесь мы собираемся обсудить углы, которые также являются одной из важных частей математики. Угол образован двумя лучами, соединяющимися в точке, имеющей один общий конец. Существует несколько типов углов, таких как острый угол, тупой угол, прямой угол и т. Д. Кроме того, эти типы углов делятся на пару углов, таких как дополнительные углы, дополнительные углы, линейная пара углов, противоположные углы, смежные углы и т. Д. С помощью материалов, представленных ниже, мы поможем вам узнать о смежных углах.

Смежные углы

Углы, которые имеют общее плечо и вершину, называются смежными углами. Более того, углы, которые образуются бок о бок, также называются смежными углами. Основная часть этих углов в том, что они никогда не перекрывают друг друга.

(изображения будут загружены в ближайшее время)

На рисунках выше мы показали, какие типы углов называются смежными углами. На рис. 2 angle c и angled примыкают друг к другу, потому что у них есть общая вершина и одно общее плечо, образующее два разных угла.На рис. 1 угол x и угол y не являются смежными углами, потому что у них нет общего плеча и общей вершины, чтобы образовать два разных угла.

Тем не менее, если вы где-то запутались, у нас есть лучший пример с двумя кусочками пиццы. Когда два кусочка пиццы помещаются в коробку рядом друг с другом, углы обоих ломтиков находятся в центре коробки. Во всей пицце очень много других пар смежных углов. У каждого кусочка пиццы есть два возможных разных смежных угла, прикрепленных друг к другу.

Далее, соседние углы можно разделить на две части.

1. Дополнительные углы

2. Дополнительные углы

Два угла считаются дополнительными, если сумма обоих углов составляет 90 ° градусов. Когда два дополнительных угла примыкают друг к другу, угол становится прямым.

Точно так же, когда две линии пересекаются и образуют четыре противоположных угла, эти углы называются противоположными углами. Следовательно, дополнительные углы также называются противоположными углами.

Два угла считаются дополнительными, если сумма обоих углов составляет 180 ° градусов. Когда два дополнительных угла примыкают друг к другу, они называются дополнительными углами.

Соответствующие углы:

В соответствующих углах две линии пересекаются другой линией, и совпадающие углы называются соответствующими углами. Давайте обсудим с помощью фигуры.

(изображение будет загружено в ближайшее время)

На приведенном выше рисунке AB и CD параллельны друг другу, с которыми пересекаются RS.Пересекающаяся линия образует углы, которые являются углами ROB и OPD. Теперь Angle ROB и angle OPD — это соответствующие углы. Помните, что соответствующие углы также всегда равны друг другу.

Ниже приведены некоторые основные формы, с помощью которых мы попытались помочь вам лучше понять примыкающие углы.

Треугольник:

(изображения будут загружены в ближайшее время)

На приведенном выше рисунке треугольника есть много примеров дополнительных углов и дополнительных углов, и мы можем уточнить это так, что угол ABP и соседний угол PBO могут быть вместе, чтобы получить угол 90 градусов, чтобы сформировать дополнительный угол.Кроме того, угол AOB и прилегающий к нему угол AOC могут быть объединены для образования угла 180 градусов, который называется дополнительными углами. Угол APB и угол BPO также являются примерами смежных (дополнительных) углов в указанном выше треугольнике.

Квадрат:

(изображение будет загружено в ближайшее время)

На приведенном выше рисунке квадрата есть много примеров дополнительных углов и дополнительных углов, и мы можем сформулировать его так, как угол GBO и прилегающий к нему угол FBO могут быть объединенными, чтобы сформировать угол 90 градусов, чтобы сформировать дополнительный угол.Точно так же угол GOA и прилегающий к нему угол EOA также могут быть объединены для образования дополнительного угла, имеющего угол 90 градусов. В то время как угол BFO и прилегающий к нему угол CFO могут быть объединены для образования Дополнительного угла (образующего угол 180 градусов). Точно так же угол CHO и прилегающий к нему угол DHO могут быть объединены, чтобы сформировать угол 180 градусов, чтобы сформировать дополнительный угол на приведенном выше рисунке квадрата.

Как найти отсутствующий прилегающий угол?

Выше мы обсуждали прилегающий угол на примерах.Теперь мы обсудим, как вычислить значение смежного угла через другой заданный угол с помощью числовых значений. Давайте обсудим:

Например — Найдите значения x на рисунке ниже.

(изображение будет скоро загружено)

Решение — На рисунке выше угол AOB = 90 ° (прямой угол)

Тогда угол AOB + 40 ° = 90 °

Угол AOB = 90 ° — 40 ° = 50 °

Таким образом, мы вычислили значение недостающего соседнего угла. Но это пример дополнительных смежных углов.

Возьмем один пример дополнительных углов.

Например — Найдите значение y на данном рисунке:

(изображения будут загружены в ближайшее время)

На приведенном выше рисунке угол POQ = 180 ° (прямой угол)

Тогда угол ROP = 100 ° (данный )

Угол ROQ = y

Угол y = угол POQ — угол POR

= 180 ° — 100 °

= 80 °

Следовательно, вычисляется значение y.

Вертикально противоположные углы

Когда две прямые пересекаются друг с другом в одной точке и углы, противоположные друг другу, образуются с помощью этих двух пересекающихся линий, тогда углы называются вертикально противоположными углами.Эти углы всегда равны друг другу.

Вы поймете это более ясно с помощью рисунка, приведенного ниже:

(изображения будут загружены в ближайшее время)

На рисунке выше линии PQ и RS пересекаются друг с другом и образуют четыре разных угла, таких как угол b, м, н и а. В этом случае угол m & n и угол b & a вертикально противоположны друг другу.

Теперь вы можете подумать, насколько вертикально противоположные углы равны друг другу.Обсудим, насколько вертикальные углы противоположны друг другу.

Давайте возьмем для примера приведенный выше рисунок. В этом случае

m + b = 180 ° (линейная пара углов)

b + n = 180 ° (линейная пара углов)

Теперь из приведенного выше уравнения ясно, что m = n. Таким образом, доказано, что вертикально противоположные углы равны.

Как найти недостающий вертикальный угол?

Если упоминаются два угла из четырех, и вам нужно вычислить оставшиеся два угла, взгляните на приведенный ниже пример.

Например — Найдите значения x и y на рисунке ниже.

(изображения будут загружены в ближайшее время)

Решение — На рисунке выше 75 ° + x = 180 ° (линейная пара углов)

Тогда x = 180 ° — 75 ° = 105 °

Аналогично 105 ° + y = 180 ° (линейная пара углов)

Тогда y = 180 ° — 105 ° = 75 °

Отсюда вычисляются недостающие значения.

Теоретическое описание прилегающих углов и вертикальных углов:

1.Смежные углы — Смежные углы — это два угла, которые имеют общее плечо и общую вершину.

Вертикальные углы — две линии пересекаются друг с другом и образуют углы. Противоположные углы называются вертикально противоположными углами.

2. Смежные углы — есть два типа смежных углов.

Вертикальные углы — Вертикальный угол не имеет типов.

% PDF-1.4
%
470 0 объект
>
эндобдж

xref
470 349
0000000016 00000 н.
0000008680 00000 н.
0000008765 00000 н.
0000009003 00000 н.
0000010824 00000 п.
0000010871 00000 п.
0000010918 00000 п.
0000010965 00000 п.
0000011012 00000 п.
0000011058 00000 п.
0000011106 00000 п.
0000011153 00000 п.
0000011200 00000 н.
0000011247 00000 п.
0000011293 00000 п.
0000011340 00000 п.
0000011387 00000 п.
0000011434 00000 п.
0000011487 00000 п.
0000011533 00000 п.
0000011611 00000 п.
0000011687 00000 п.
0000011764 00000 п.
0000012066 00000 п.
0000012402 00000 п.
0000012728 00000 п.
0000013118 00000 п.
0000013508 00000 п.
0000013898 00000 п.
0000014323 00000 п.
0000014371 00000 п.
0000014419 00000 п.
0000014465 00000 п.
0000014511 00000 п.
0000014558 00000 п.
0000014605 00000 п.
0000014652 00000 п.
0000014698 00000 п.
0000040827 00000 п.
0000041139 00000 п.
0000041436 00000 п.
0000042089 00000 п.
0000042664 00000 п.
0000042982 00000 п.
0000043154 00000 п.
0000043799 00000 п.
0000044050 00000 п.
0000044574 00000 п.
0000044674 00000 п.
0000045109 00000 п.
0000045447 00000 п.
0000045522 00000 п.
0000045580 00000 п.
0000045640 00000 п.
0000067487 00000 п.
0000093425 00000 п.
0000094208 00000 п.
0000094314 00000 п.
0000094925 00000 п.
0000095035 00000 п.
0000095072 00000 п.
0000120845 00000 н.
0000146881 00000 н.
0000147402 00000 н.
0000173493 00000 н.
0000174114 00000 н.
0000174320 00000 н.
0000174490 00000 н.
0000174786 00000 н.
0000174845 00000 н.
0000175219 00000 н.
0000175874 00000 н.
0000177057 00000 н.
0000177404 00000 н.
0000177779 00000 н.
0000177830 00000 н.
0000178095 00000 н.
0000204175 00000 н.
0000204954 00000 н.
0000205126 00000 н.
0000205388 00000 н.
0000205649 00000 н.
0000230277 00000 н.
0000232969 00000 н.
0000233021 00000 н.
0000238969 00000 н.
0000244824 00000 н.
0000245007 00000 н.
0000245059 00000 н.
0000246014 00000 н.
0000247970 00000 п.
0000258236 00000 н.
0000259673 00000 н.
0000263520 00000 н.
0000269426 00000 н.
0000272159 00000 н.
0000276111 00000 н.
0000278576 00000 н.
0000281416 00000 н.
0000282144 00000 н.
0000282916 00000 н.
0000282987 00000 н.
0000283073 00000 н.
0000283177 00000 н.
0000283316 00000 н.
0000283393 00000 н.
0000283464 00000 н.
0000283577 00000 н.
0000283666 00000 н.
0000283755 00000 н.
0000283915 00000 н.
0000284517 00000 н.
0000284691 00000 н.
0000284801 00000 н.
0000284999 00000 н.
0000285243 00000 н.
0000285359 00000 н.
0000285436 00000 н.
0000287402 00000 н.
0000287684 00000 н.
0000287801 00000 н.
0000289013 00000 н.
0000289265 00000 н.
0000289625 00000 н.
00002

00000 п.
00002

00000 н.
00002 00000 н.
0000335400 00000 н.
0000335439 00000 н.
0000376835 00000 н.
0000376874 00000 н.
0000418716 00000 н.
0000418755 00000 н.
0000418825 00000 н.
0000418914 00000 н.
0000419063 00000 н.
0000419136 00000 п.
0000419209 00000 н.
0000419318 00000 п.
0000419467 00000 н.
0000419540 00000 н.
0000419613 00000 н.
0000419722 00000 н.
0000419872 00000 н.
0000419945 00000 н.
0000420018 00000 н.
0000420127 00000 н.
0000420275 00000 н.
0000420348 00000 н.
0000420421 00000 н.
0000420530 00000 н.
0000420680 00000 н.
0000420753 00000 н.
0000420826 00000 н.
0000420935 00000 н.
0000421085 00000 н.
0000421158 00000 н.
0000421231 00000 н.
0000421340 00000 н.
0000421488 00000 н.
0000421561 00000 н.
0000421634 00000 н.
0000421743 00000 н.
0000421893 00000 н.
0000421966 00000 н.
0000422039 00000 н.
0000422148 00000 п.
0000422298 00000 н.
0000422370 00000 н.
0000422443 00000 н.
0000422552 00000 н.
0000422701 00000 п.
0000422774 00000 н.
0000422847 00000 н.
0000422956 00000 н.
0000423105 00000 п.
0000423178 00000 п.
0000423249 00000 н.
0000423358 00000 п.
0000423507 00000 н.
0000423580 00000 н.
0000423653 00000 п.
0000423762 00000 н.
0000423912 00000 п.
0000423985 00000 н.
0000424057 00000 н.
0000424166 00000 н.
0000424316 00000 н.
0000424389 00000 п.
0000424461 00000 п.
0000424570 00000 н.
0000424719 00000 н.
0000424792 00000 н.
0000424865 00000 н.
0000424974 00000 п.
0000425124 00000 н.
0000425197 00000 н.
0000425270 00000 н.
0000425379 00000 н.
0000425527 00000 н.
0000425599 00000 н.
0000425672 00000 н.
0000425781 00000 н.
0000425931 00000 н.
0000426004 00000 п.
0000426077 00000 н.
0000426186 00000 п.
0000426334 00000 н.
0000426407 00000 н.
0000426480 00000 н.
0000426589 00000 н.
0000426739 00000 н.
0000426812 00000 н.
0000426885 00000 н.
0000426994 00000 н.
0000427144 00000 н.
0000427217 00000 н.
0000427290 00000 н.
0000427399 00000 н.
0000427548 00000 н.
0000427621 00000 н.
0000427694 00000 н.
0000427803 00000 н.
0000427951 00000 п.
0000428024 00000 н.
0000428097 00000 н.
0000428206 00000 н.
0000428356 00000 н.
0000428429 00000 н.
0000428502 00000 н.
0000428611 00000 п.
0000428760 00000 н.
0000428833 00000 н.
0000428906 00000 н.
0000429015 00000 н.
0000429165 00000 н.
0000429238 00000 п.
0000429311 00000 п.
0000429420 00000 н.
0000429569 00000 н.
0000429642 00000 н.
0000429715 00000 н.
0000429824 00000 н.
0000429973 00000 н.
0000430046 00000 н.
0000430119 00000 п.
0000430228 00000 п.
0000430378 00000 п.
0000430451 00000 п.
0000430524 00000 н.
0000430633 00000 п.
0000430782 00000 н.
0000430855 00000 н.
0000430928 00000 н.
0000431037 00000 п.
0000431187 00000 н.
0000431260 00000 н.
0000431333 00000 н.
0000431442 00000 н.
0000431592 00000 н.
0000431665 00000 н.
0000431738 00000 н.
0000431847 00000 н.
0000431997 00000 н.
0000432070 00000 н.
0000432143 00000 н.
0000432252 00000 н.
0000432402 00000 н.
0000432474 00000 н.
0000432546 00000 н.
0000432655 00000 н.
0000432805 00000 н.
0000432877 00000 н.
0000432948 00000 н.
0000433057 00000 н.
0000433206 00000 н.
0000433268 00000 н.
0000433339 00000 н.
0000433448 00000 н.
0000433598 00000 н.
0000433669 00000 н.
0000433740 00000 н.
0000433811 00000 п.
0000433940 00000 н.
0000434094 00000 н.
0000434581 00000 п.
0000434730 00000 н.
0000435354 00000 п.
0000435504 00000 н.
0000435575 00000 н.
0000435645 00000 н.
0000435754 00000 п.
0000435908 00000 н.
0000435970 00000 п.
0000436079 00000 п.
0000436230 00000 н.
0000436303 00000 п.
0000436376 00000 н.
0000436485 00000 н.
0000436635 00000 н.
0000437087 00000 н.
0000437193 00000 п.
0000437266 00000 н.
0000437339 00000 н.
0000437448 00000 н.
0000437597 00000 п.
0000437670 00000 н.
0000437743 00000 н.
0000437852 00000 п.
0000438002 00000 н.
0000438073 00000 н.
0000438146 00000 п.
0000438255 00000 н.
0000438404 00000 п.
0000438477 00000 н.
0000438550 00000 н.
0000438659 00000 н.
0000438809 00000 п.
0000441502 00000 н.
0000441714 00000 н.
0000441917 00000 н.
0000442215 00000 н.
0000442477 00000 н.
0000442732 00000 н.
0000443105 00000 н.
0000444877 00000 н.
0000449820 00000 н.
0000449987 00000 н.
0000450730 00000 н.
0000450975 00000 н.
0000454801 00000 п.
0000455049 00000 н.
0000455306 00000 н.
0000456702 00000 н.
0000456884 00000 н.
0000457267 00000 н.
0000457438 00000 п.
0000458023 00000 н.
0000459387 00000 н.
0000459869 00000 н.
0000461440 00000 н.
0000462919 00000 н.
0000463128 00000 н.
0000465278 00000 н.
0000465623 00000 п.
0000465835 00000 п.
0000466091 00000 н.
0000466346 00000 н.
0000007276 00000 н.
трейлер
] / Назад 3187644 >>
startxref
0
%% EOF

818 0 объект
> поток
h ޴ UPSG =! грамм
Q (Z ~ b% H-TQ, FqE- ~ R
`qPBX * # * T ڢ uXtzwwmr6
WA

Специальные углы

Теорема 7: Вертикальные углы равны по меру.

Дополнительные углы — это любые два угла, сумма которых равна 90 °. На рисунке 3, поскольку ∠ ABC является прямым углом, м ∠1 + м ∠2 = 90 °, поэтому ∠1 и ∠2 дополняют друг друга.

Рисунок 3 Смежные дополнительные углы.

Дополнительные углы не обязательно должны быть смежными. На рисунке 4, поскольку м ∠3 + м ∠4 = 90 °, ∠3 и ∠4 дополняют друг друга.

Рисунок 4 Несмежные дополнительные углы

Пример 1: Если 5 и ∠6 дополняют друг друга и м ∠5 = 15 °, найдите м ∠6.

Поскольку 5 и ∠6 дополняют друг друга,

Теорема 8: Если два угла дополняют один и тот же угол или равные углы, то они равны друг другу.

См. Рисунки 5 и 6. На рисунке 5 A и ∠ B дополняют друг друга. Кроме того, C и B дополняют друг друга. Теорема 8 говорит вам, что м ∠ A = м ∠ C .На рисунке 6, A и B дополняют друг друга. Кроме того, ∠ C и ∠ D дополняют друг друга, а м ∠ B = м ∠ D. Теорема 8 теперь говорит вам, что м ∠ A = м ∠ С .

Рисунок 5 Два угла, дополнительных к одному и тому же углу

Рисунок 6 Два угла, дополнительных к равным углам

Дополнительные уголки

Дополнительные углы — это два угла, сумма которых равна 180 °.На рисунке ∠ ABC — прямой угол. Следовательно, м ∠6 + м ∠7 = 180 °, поэтому 6 и ∠7 являются дополнительными.

Рисунок 7 Смежные дополнительные углы.

Теорема 9: Если два смежных угла имеют необычные стороны, лежащие на одной прямой, то они являются дополнительными углами.

Дополнительные углы не обязательно должны быть смежными (Рисунок 8).

Рисунок 8 Несмежные дополнительные углы.

Поскольку м ∠8 + м ∠9 = 180 °, ∠8 и ∠9 являются дополнительными.

Теорема 10: Если два угла дополняют один и тот же угол или равные углы, то они равны друг другу.

Евклидова геометрия

— Объясните, почему вертикальные углы должны совпадать

Евклидова геометрия — Объясните, почему вертикальные углы должны совпадать — Mathematics Stack Exchange

Сеть обмена стеков

Сеть Stack Exchange состоит из 176 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетить Stack Exchange

2. 0

3. +0

6. Авторизоваться
   Зарегистрироваться

Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил
8 лет, 2 месяца назад

Просмотрено
15к раз

$ \ begingroup $

Я знаю, почему вертикальные углы совпадают, но не знаю, почему они должны совпадать

Создан 24 янв.

Максимилиано

98533 золотых знака1515 серебряных знаков2828 бронзовых знаков

$ \ endgroup $

$ \ begingroup $

Две пересекающиеся прямые образуют две пары совпадающих вертикальных углов.Если вертикальные углы двух пересекающихся линий не совпадают с , то две пересекающиеся «линии» должны фактически не совпадать с линиями … так что «вертикальные углы» фактически не будут вертикальные углы «по определению.

Возможно, вам будет интересно посмотреть доказательство этого на видео Академии Хана:

Создан 24 янв.

$ \ endgroup $

$ \ begingroup $

Напомним, что если $ \ angle BAC $ и $ \ angle BAD $ — дополнительные углы, и если $ \ angle B’A’C ‘$ и $ \ angle B’A’D’ $ — дополнительные углы, и если $ \ angle BAC \ cong \ angle B’A’C ‘$, тогда также $ \ angle BAD \ cong \ angle B’A’D’ $.(Это предложение 9.2 на странице 92 книги Робина Хартшорна «Геометрия : Евклид и дальше ».) Доказательство можно найти здесь.

Теперь вертикальные углы определяются противоположными лучами на тех же двух линиях. Предположим, что $ \ alpha $ и $ \ alpha ‘$ — вертикальные углы, поэтому каждый из них является дополнительным к углу $ \ beta $. Поскольку $ \ beta $ конгруэнтно самому себе, вышеприведенное предложение показывает, что $ \ alpha \ cong \ alpha ‘$.

Создан 24 янв.

BW.BW.

10.8k22 золотых знака2828 серебряных знаков4444 бронзовых знака

$ \ endgroup $

$ \ begingroup $

Когда две прямые линии пересекаются в одной точке, получается четыре угла. Несмежные углы называются вертикальными или противоположными. Кроме того, каждая пара смежных углов образует прямую линию, а два угла являются дополнительными.Поскольку любой из пары вертикальных углов является дополнительным к любому из соседних углов, вертикальные углы равны в
значение или размер.

Создан 24 янв.

$ \ endgroup $

Mathematics Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScript

Ваша конфиденциальность

Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь с тем, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie.