Вычислить s фигуры ограниченной линиями онлайн: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Содержание

вычисление площади фигуры ограниченной линиями

Вы искали вычисление площади фигуры ограниченной линиями? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и вычисление площади фигуры ограниченной линиями онлайн, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «вычисление площади фигуры ограниченной линиями».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как вычисление площади фигуры ограниченной линиями,вычисление площади фигуры ограниченной линиями онлайн,вычислите площадь фигуры,вычислите площадь фигуры ограниченной,вычислите площадь фигуры ограниченной линиями,вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y,вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y 0 x 1 y x,вычислите площадь фигуры ограниченной линиями онлайн,вычислите площадь фигуры ограниченной линиями онлайн решение,вычислите площадь фигуры ограниченной линиями у 1 x y 2 x 2,вычислить онлайн площадь ограниченную линиями,вычислить площади фигур ограниченных линиями,вычислить площадь ограниченную линиями,вычислить площадь ограниченную линиями онлайн,вычислить площадь плоской фигуры ограниченной заданными кривыми онлайн,вычислить площадь плоской фигуры ограниченной линиями,вычислить площадь плоской фигуры ограниченной линиями онлайн с решением,вычислить площадь фигур ограниченных линиями онлайн,вычислить площадь фигуры,вычислить площадь фигуры ограниченной,вычислить площадь фигуры ограниченной графиками функций,вычислить площадь фигуры ограниченной графиками функций онлайн,вычислить площадь фигуры ограниченной графиками функций онлайн решение,вычислить площадь фигуры ограниченной линиями,вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y,вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y x 2 1 y x 1,вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y x 2 y 2 x,вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y x 2 y x,вычислить площадь фигуры ограниченной линиями онлайн,вычислить площадь фигуры ограниченной линиями онлайн калькулятор,вычислить площадь фигуры ограниченной линиями онлайн калькулятор с графиком,вычислить площадь фигуры ограниченной линиями онлайн калькулятор с решением,вычислить площадь фигуры ограниченной линиями онлайн подробное решение,вычислить площадь фигуры ограниченной линиями онлайн с решением калькулятор,вычислить площадь фигуры ограниченной линиями примеры решения,вычислить площадь фигуры ограниченной указанными линиями сделать чертеж,вычислить площадь фигуры онлайн,заштрихуй фигуры ограниченные двумя линиями,заштрихуй фигуры ограниченные линиями,как найти площадь фигуры ограниченной графиками функций,как найти площадь фигуры ограниченной линиями,калькулятор вычислить площадь фигуры ограниченной линиями онлайн с решением,калькулятор онлайн площадь фигуры,найдите площадь плоской фигуры ограниченной линиями,найдите площадь фигуры ограниченной линиями,найдите площадь фигуры ограниченной линиями y 5 x 2 y 1,найдите площадь фигуры ограниченной линиями y x 2 1 y 1 x,найдите площадь фигуры ограниченной линиями онлайн,найдите площадь фигуры ограниченной линиями онлайн калькулятор,найдите площадь фигуры ограниченной указанными линиями,найти площадь криволинейной трапеции ограниченной линиями онлайн,найти площадь криволинейной трапеции онлайн,найти площадь области ограниченной линиями онлайн,найти площадь ограниченной фигуры,найти площадь ограниченную линиями,найти площадь ограниченную линиями онлайн калькулятор,найти площадь плоской фигуры ограниченной линиями,найти площадь плоской фигуры ограниченной линиями онлайн,найти площадь фигуры,найти площадь фигуры ограниченной,найти площадь фигуры ограниченной графиками функций,найти площадь фигуры ограниченной кривыми,найти площадь фигуры ограниченной линиями,найти площадь фигуры ограниченной линиями онлайн,найти площадь фигуры ограниченной линиями онлайн калькулятор,найти площадь фигуры ограниченной линиями онлайн калькулятор подробно,найти площадь фигуры ограниченной линиями онлайн решение,найти площадь фигуры ограниченной линиями онлайн с подробным решением,найти площадь фигуры ограниченной линиями примеры решения,найти площадь фигуры ограниченной линиями с помощью определенного интеграла сделать иллюстрацию,найти площадь фигуры ограниченной указанными линиями,найти площадь фигуры онлайн,нахождение площади фигуры ограниченной линиями,нахождение площади фигуры ограниченной линиями онлайн,онлайн вычисление площади фигуры ограниченной линиями,онлайн вычислить площадь фигуры ограниченной графиками функций онлайн,онлайн калькулятор площадь фигуры ограниченной линиями,онлайн нахождение площади фигуры ограниченной линиями,онлайн площадь фигуры,площадь криволинейной трапеции онлайн,площадь ограниченная линиями,площадь плоской фигуры ограниченной линиями онлайн,площадь под графиком,площадь фигуры ограниченной графиками функций,площадь фигуры ограниченной линиями,площадь фигуры ограниченной линиями онлайн,площадь фигуры ограниченной линиями онлайн калькулятор,площадь фигуры онлайн,построить фигуру ограниченную линиями онлайн,сделайте чертеж и вычислите площадь фигуры ограниченной данными линиями,фигуры ограниченные двумя линиями,фигуры ограниченные линиями. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и вычисление площади фигуры ограниченной линиями. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, вычислите площадь фигуры).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же вычисление площади фигуры ограниченной линиями Онлайн?

Решить задачу вычисление площади фигуры ограниченной линиями вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.

1.8. Как вычислить площадь фигуры с помощью определённого интеграла?




Задачка это школьная, но, несмотря на то, почти 100% встретится в вашем курсе высшей математики. Поэтому со всей серьёзностью отнесёмся ко ВСЕМ примерам, и первое, что нужно сделать – это ознакомиться с Приложением Графики функций, чтобы освежить в памяти технику построения элементарных графиков. …Есть? Отлично! Типовая формулировка задания звучит так:

Пример 10

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

И первый важнейший этап решения состоит как раз в построении чертежа. При этом я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потомпараболы, гиперболы, графики других функций.

В нашей задаче: прямая  определяет ось , прямые  параллельны оси  и парабола  симметрична относительно оси , для неё находим несколько опорных точек:

Искомую фигуру желательно штриховать:

Второй этап состоит в том, чтобы правильно составить и правильно вычислить определённый интеграл. На отрезке   график функции  расположен над осью , поэтому искомая площадь:

Ответ:


После того, как задание выполнено, полезно взглянуть на чертёж

и прикинуть, реалистичный ли получился ответ.


И мы «на глазок» подсчитываем количество заштрихованных клеточек – ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получилось, скажем, 20 квадратных единиц, то, очевидно, где-то допущена ошибка – в построенную фигуру 20 клеток явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.

Пример 11

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  и осью

Быстренько разминаемся (обязательно!) и рассматриваем «зеркальную» ситуацию – когда криволинейная трапеция расположена под осью :

Пример 12

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ,  и координатными осями.

Решение: найдём несколько опорных точек для построения экспоненты:


и выполним чертёж, получая фигуру площадью около двух клеток:


Если криволинейная трапеция расположена не выше оси , то её площадь можно найти по формуле: .

В данном случае:

Ответ:  – ну что же, очень и очень похоже на правду.

На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости, а поэтому от простейших школьных задачек мы переходим к более содержательным примерам:

Пример 13

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями , .

Решение: сначала нужно выполнить чертеж, при этом нас особо интересуют точки пересечения параболы  и прямой , поскольку здесь будут находиться пределы интегрирования.  Найти их можно двумя способами. Первый способ – аналитический. Составим и решим уравнение:


таким образом:

Достоинство аналитического способа состоит в его точности, а недостаток – в длительности (и в этом примере нам ещё повезло). Поэтому во многих задачах бывает выгоднее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой».

С прямой  всё понятно, а вот для построения параболы удобно найти её вершину, для этого возьмём производную и приравняем её к нулю:
 – именно в этой точке и будет находиться вершина. И, в силу симметрии параболы, остальные опорные точки найдём по принципу «влево-вправо»:

Выполним чертеж:

А теперь рабочая формула: если на отрезке  некоторая непрерывная функция  больше либо равна непрерывной функции , то площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций и отрезками прямых , можно найти по формуле:

Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, а, грубо говоря, важно, какой из двух графиков ВЫШЕ.

В нашем примере очевидно, что на отрезке  парабола располагается выше прямой, а поэтому из  нужно вычесть

Завершение решения может выглядеть так:

На отрезке : , по соответствующей формуле:

Ответ:

Следует отметить, что простые формулы, рассмотренные в начале параграфа – это частные случаи формулы . Поскольку ось  задаётся уравнением , то одна из функций будет нулевой, и в зависимости от того, выше или ниже лежит криволинейная трапеция, мы получим формулу  либо

А сейчас пара типовых задач для самостоятельного решения

Пример 14

Найти площадь фигур, ограниченных линиями:

а) , .

б) , ,

Решение с чертежами и краткими комментариями в конце книги

В ходе решения рассматриваемой задачи иногда случается забавный казус. Чертеж выполнен правильно, интеграл решён правильно, но по невнимательности… найдена площадь не той фигуры, именно так несколько раз ошибался ваш покорный слуга. Вот реальный случай из жизни:

Пример 15

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение: выполним бесхитростный чертёж,


хитрость которого состоит в том, что искомая площадь заштрихована зелёным цветом (внимательно смотрИте на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике по невнимательности нередко возникает «глюк», что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована серым цветом! Особое коварство состоит в том, что прямую  можно недочертить до оси , и тогда мы вовсе не увидим нужную фигуру.

Этот пример ещё и полезен тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определённых интегралов. Действительно:

1) на отрезке  над осью  расположен график прямой ;

2) на отрезке  над осью  расположен график гиперболы .

Совершенно понятно, что площади можно (и нужно) сложить:

Ответ:

И познавательный пример для самостоятельного решения:

Пример 16

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , ,  и координатными осями.

Итак, систематизируем важные моменты этой задачи:

На первом шаге ВНИМАТЕЛЬНО изучаем условие – КАКИЕ функции нам даны? Ошибки бывают даже здесь, в частности, арккотангенс  зачастую принимают за арктангенс. Это, кстати, относится и к другим заданием, где встречается арккотангенс.

Далее следует ПРАВИЛЬНО выполнить чертёж. Сначала лучше построить прямые (если они есть), затем графики других функций (если они есть J). Последние во многих случаях выгоднее строить поточечно – найти несколько опорных точек и аккуратно соединить их линией.

Но здесь могут подстерегать следующие трудности. Во-первых, из чертежа не всегда понятны пределы интегрирования – так бывает, когда они дробные. На mathprofi.ru в соответствующей статье я рассмотрел пример с параболой  и прямой , где из чертежа не понятна одна из точек их пересечения. В таких случаях следует использовать аналитический метод, составляем уравнение:


и находим его корни:
 – нижний предел интегрирования,  – верхний предел.

Во-вторых, не всегда понятен «внешний вид» линии, и функция  (Пример 16) – яркий тому пример. Я и сам «с ходу» не представляю, как выглядит график этой функции. Здесь можно воспользоваться специализированными программами или онлайн сервисами (а-ля «построить график онлайн»), а в экстремальной ситуации найти побольше опорных точек (штук 10-15), чтобы поточнее провести «неизвестную» кривую.

Ну и, конечно, я призываю вас повышать свои знания и навыки в графиках, в частности, приведу прямую ссылку на особо полезную статью:
http://mathprofi.ru/kak_postroit_grafik_funkcii_s_pomoshyu_preobrazovanii.html

После того, как чертёж построен, анализируем полученную фигуру – ещё раз окидываем взглядом предложенные функции и перепроверяем, ТА ЛИ это фигура. Затем анализируем её форму и расположение, бывает, что площадь достаточно сложнА и тогда её следует разделить на две, а то и на три части.

Составляем определённый интеграл или несколько интегралов по формуле , все основные вариации мы разобрали выше.

Решаем определённый интеграл (ы). При этом он может оказаться достаточно сложным, и тогда применяем поэтапный алгоритм: 1) находим первообразную и проверяем её дифференцированием, 2) используем формулу Ньютона-Лейбница.

Результат полезно проверить с помощью программного обеспечения / онлайн сервисов или просто «прикинуть» по чертежу по клеточкам. Но и то, и другое не всегда осуществимо, поэтому крайне внимательно относимся к каждому этапу решения!

1.9. Объём тела вращения

1.7. Геометрический смысл определённого интеграла

| Оглавление |




Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.


Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!


С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Вычисление площадей плоских фигур. 11 класс

1. МКОУ Андреевская СОШ

2. Тема урока: «Вычисление площадей плоских фигур».

Цели урока:
Закрепить и углубить знания по теме;
Совершенствовать навыки построения
графиков элементарных функций;
Воспитывать у учащихся уверенность в
своих знаниях, быстроту реакции,
мобильность мышления.

3. Приложение 1 (к I этапу урока) Типовая карточка для тренинга по закреплению понятия криволинейной трапеции

№1
y
0
1
x
y
0
y
0
2
x
y
3
x
0
4
x

4. продолжение

№2
y
0
1
x
y
0
y
0
2
x
y
3
x
0
4
x

5. продолжение

№3
y
0
y
x
1
0
x
2
y
y
x
0
3
0
x
4

6. продолжение

№4
y
0
1
y
x
y
0
x
2
y
0
x
3
0
x
4
Приложение 2 (ко II этапу урока)
Чертежи
для тренинга по закреплению
формулы вычисления площади
криволинейной трапеции
(ф.Ньютона- Лейбница)

8. I вариант

y
а)
б)
y
1
2
0
0
x
2
в)
y
г)
2
x
y
3
Y=2-x2
2 0
2
x
0
1 2
3
x

9. II вариант

y
а)
б)
Y=
0
в)
1
2
x
3
y
Y=
x
2
x
y
0
г)
4
x
y
Y=x2
1
2
0
Y=cos x
2
x
0
1
3
x

10. Приложение 3 (к III этапу урока) “Провокационные” задачи

Задача 1. 1
3
x
Равен ли dx площади фигуры,
1
ограниченной линиями x=-1, x=1, y=0, y=x3 ?
Поясните.
Задача 2.
Вычислить площадь фигуры,
ограниченной
линиями: x= , x 2 , у=0, у= cos x, через
2
интеграл
cos xdx.

11. Приложение 4 (к IV этапу урока)

y
D
A
B
0
C
I вариант
Выразить площадь заштрихованной фигуры через сумму
или разность площадей криволинейных трапеций.
x
Ответы: 1.SODB-SODA
2. SOAC-SCAB
3. SODAC+SCAB-SODA
4. SODAC+SACB

12. продолжение

II вариант
y
C
F
A
B
D 0
E
Выразить площадь
заштрихованной фигуры
через сумму или разность
x площадей криволинейных
трапеций.
Ответы: 1. SACE-SABOCE
2. SCBF+SOFC
3. SACE-SABO-SOCE
4. SDBCE-SDBOCF

13. продолжение

y
C
B
A
0
D
E
x
III вариант
Выразить площадь
заштрихованной фигуры
через сумму или разность
площадей криволинейных
трапеций.
Ответы: 1. SBOC-SOCD
2. SOBD
3. SABDE-SABODE
4. SABDE-SOBD

14. продолжение

IV вариант
y
F
A
K
B
0
E
D
C
x
Выразить площадь
заштрихованной фигуры
через сумму или разность
площадей криволинейных
трапеций.
Ответы: 1. SOFC-SOFmBC
2. SEAnBD- SEAmBD
3. SOKAnBD-SOKAmBD
4. SEAC-SEAmBC

15. Приложение 5 (к V этапу урока)

1 вариант
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями y=9×2, y= 0.
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями y=2x-x2, y= x.
3. Найти площадь фигуры, ограниченной
линиями y=x2, x+y=6, y=0.

16. продолжение

2 вариант
1. Найти площадь фигуры, ограниченной
графиками функций y=4-x2, y=x+2,y= 0.
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями y x, x=1, x=4, y=0.
3. Найти площадь фигуры, ограниченной
линиями y=x2, x+y=6.

17. продолжение

3 вариант
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями y=sin x, x=0, x , y= 0.
2. Найти площадь фигуры, ограниченной
линиями у=9-x2, 2y-5x=0, y=0, при x>0.
3. Вычислить площадь фигуры,
1
ограниченной линиями y 2 , y=x2, x=2.
x

18. продолжение

4 вариант
1. Вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями y=x2+1,x=-2, х=2,
y= 0.
2. Найти площадь фигуры, ограниченной
1
графиками функций y= x, y 2 , y=0,
x
x=3.
3. Вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями y=x2, y=2-x2.

Площадь криволинейной трапеции – онлайн-тренажер для подготовки к ЕНТ, итоговой аттестации и ВОУД

Рассмотрим непрерывную функцию \(y = f ( x )\), заданную на отрезке \([ a; b ]\) и сохраняющую на этом отрезке свой знак. Фигура, ограниченная графиком этой функции, отрезком \([ a;b ]\) и прямыми \(x = a \ и \ x = b\), называется криволинейной трапецией.

Для вычисления площадей криволинейных трапеций используется следующая теорема:

Если \(f(x)\) – непрерывная, неотрицательная функция на отрезке \([a;b] \ и \ F(x)\) – ее первообразная на этом отрезке, то площадь соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке \([a; b]\), т. e. \(S=F(b)-F(a)\).

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной положительной на промежутке \([ a ; b ]\) функции \(f (x)\) осью \(Ox\) и прямыми \(x=a \ и\ x= b\):

\(S = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = F\left( b \right) — F\left( a \right)\).3 } = {\frac{{27}}{2} — \frac{{27}}{3} = \frac{9}{2}.}\)

Как найти площадь фигуры ограниченной кривыми линиями

В одном из предыдущих постов, посвященных применению интегрального исчисления, уже обсуждался вопрос Как найти площадь плоской фигуры в Wolfram|Alpha.

И было сказано, что запрос area between, который 
в Wolfram|Alpha служит для вычисления площадей плоских фигур при помощи интегралов, срабатывает корректно лишь в некоторых относительно простых случаях. А для решения более сложных задач можно обратится к «ручному» способу — пошаговой процедуре вычисления площади плоской фигуры при помощи интеграла. То есть, на первом шаге определяем пределы интегрирования, а затем, используя найденные пределы, вычисляем определенный интеграл — площадь фигуры. Как это сделать практически, описано в упомянутом выше посте.

Однако, для решения большинства прикладных задач, особенно для не математиков, этот «ручной» способ не очень-то удобен. Поэтому Wolfram|Alpha предлагает и другие способы как найти площадь фигуры ограниченной двумя кривыми.2-1) dx, x=0.450764..1, то увидите, что способ area between … domain … более удобный, и выводит более наглядный результат.

Наконец, если нужно вычислить площадь, ограниченную замкнутой кривой, например, площадь внутри эллипса, используйте для этого запрос area inside:

Таким образом, для вычисления площадей плоских фигур, ограниченных кривыми линиями, Wolfram|Alpha использует такие запросы: area between, area between … domain … и area inside.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

.16

. 4

.0,25

.3

.

.4

.18

.5

.4

.

.4

.

. 4

.

.12

.

. 5

. 2

.

.

Вычислить ранг матрицы

. 1

.2

. 3

. 1

. 2

. 3

.1

.2

. 3

. 1

. 2

. 3

. 1

. 2

.3

.1

.2

.3

.1

. 2

. 3

Вычислить определитель

.−7

.11

.3

.5

.0

.−10

. −3

. 4

. 15

.10

.−15

. −2

.−10

. −3

.0

.0

.−15

.−4

. 6

.−10

.20

. −15

. 20

. −8

. 15

.−10

.–15

.–24

.30

.6

.–20

График функции будет выпуклым

вверх на интервале , если для всех значений из этого интервала выполняется условие:

вниз на интервале , если для всех значений из этого интервала выполняется условие:

Дана прямая

x−5y+2=0. Какие из точек M(3; 1), N(1; 5), P(1; 3), Q(8; 2) лежат на этой прямой? M, Q

2x+y−3=0. Какие из точек M(1; 1), N(1; −1), P(2; −1),Q(1; 2) лежат на этой прямой? M, P

Дана система уравнений

. Вычислить .23

. Вычислить .−15

. Вычислить .33

. Вычислить . –29

. Вычислить . 18

. Вычислить .–27

. Найти .–19

. Найти .4

. Найти .–22

. Найти x1. 3

. Найти x2.−2

. Найти .6

. Найти .4

. Найти . 1

. Найти . −5

. Найти .4

. Найти .−1

. Найти .−3

. Найти .9

. Найти .6

Дана функция

. Вычислить . 5

. Вычислить .6

. Вычислить .−5

. Вычислить .10

. Вычислить .2

. Вычислить . 1

. Вычислить .−2

. Вычислить . 6

. Вычислить .−3

. Вычислить .4

. Вычислить . −3

. Вычислить .3

. Вычислить .

. Вычислить .2

. Вычислить .

. Вычислить . –2

. Вычислить . 1,5

. Вычислить . –3

. Вычислить . –1

. Вычислить . 1

. Вычислить . –0,2

. Вычислить . 1

. Вычислить .

. Вычислить . −3

. Вычислить . −2

. Вычислить .

. Вычислить . 4

. Найти , если . 2

. Найти , если . −2

. Найти , если . −1; 1

. Вычислить .−8

. Вычислить .−6

. Вычислить . 15

. Вычислить . −36

. Вычислить .

. Вычислить . −1

. Вычислить .

. Вычислить .–0,5

. Вычислить .2е

. Вычислить .−2е

. Вычислить .

. Вычислить . –3е

. Вычислить .0,4

. Вычислить .–1,5

. Вычислить .

. Вычислить . –0,4

. Вычислить .

. Вычислить . −2

. Вычислить .3

. Вычислить .−4

. Найти , если .−2; 2

. Найти , если .0; 2

. Найти .

. Найти .

. Вычислить в точке (1; 1).−1

. Вычислить в точке (1;−2).9

. Вычислить в точке (−1; 1).−1

. Вычислить в точке (−1; 2).3

. Вычислить в точке (1; −2). 6

. Вычислить в точке (2; 1).4

. Найти в точке (1; 1).3

. Найти в точке (2; 1).6

. Найти в точке (−1; −2). 6

. Найти в точке (1; −1). 2

. Найти в точке (1; −2). –1

. Найти в точке (1; −1). 6

. Найти в точке (−1; 2). –5

. Вычислить в точке (1; −1). −4

. Вычислить в точке (3; 1). −6

. Вычислить в точке (2; 1).

. Вычислить в точке (5; 1).

. Вычислить в точке (1; −1).−2

. Вычислить в точке (6; 1).

. Вычислить в точке (0; 0).3

. Вычислить в точке (0; 0).−2

. Вычислить в точке (1; 1).

. Вычислить в точке (3; 1).−5

. Найти .

. Найти .

. Найти .

. Найти в точке (1; 2).18

. Найти в точке (2; −1) .6

. Найти в точке (−1;2) .−1

. Найти в точке (1; −2).12

. Найти в точке (2; 1) .−4

. Найти в точке (6; 4).3

. Найти в точке .−4

. Найти в точке (π; 0) .9

. Найти в точке (1; 0). 3

. Найти .

. Найти .

. Найти .

. Найти .

. Найти .

. Найти .

. Найти .

. Найти .

. Найти .

Даны векторы

(−1; 2) и (2; −3) . Найти вектор .(3; −4)

(4; 5) и (2; 3). Найти вектор .(−2; −4)

, . Найти вектор .(−6; −3)

(3; −2) и (1; 1). Найти вектор .(5; −5)

(−1; 1) и (−3; 2). Найти вектор .(−5; 4)

(2; 2; −1) и (0; 4; 1). Найти вектор .(6;2; −4)

(−1; 1; 1) и (0; 2; 1). Найти вектор . (−1;5;3)

(4; −1; 2) и (2; 1; −1). Найти вектор . (−2;−4;5)

(3; 4; 1) и (−1; −2; −1). Найти вектор .(3; 2; −1)

(3; 0; 2) и (1; −2; −1). Найти вектор .(−1; 8; 6)

=(8; −4) и = (−4; 1). Найти длину вектора .5

=(8; −4) и = (−4; 1). Найти длину вектора .13

Две плоскости и

параллельны, если выполняется условие:

перпендикулярны, если выполняется условие:

Достаточным условием

минимума дифференцируемой функции в критической точке является: изменение знака производной с минуса на плюс в точке

максимума дифференцируемой функции в критической точке является: изменение знака производной с плюса на минус в точке

Если скалярное произведение векторов и равно

0, то угол между этими векторами: 900

2, то угол между этими векторами: острый

−5, то угол между этими векторами тупой

Если угол между векторами и равен

900, то скалярное произведение этих векторов равно: 0

00, то скалярное произведение этих векторов равно:

1800, то скалярное произведение этих векторов равно:

Имеет ли функция экстремум в критической точке, если в этой точке

, , ?минимум

, , ?максимум

, , ?нет экстремума

, , ? экстремум может быть, а может и не быть

, , ? минимум

, , ?максимум

, , ?нет экстремума

, , ? экстремум может быть, а может и не быть

Вычисление площади фигуры, ограниченной линиями

Общие сведения


Вычислить площадь фигуры на плоскости считается довольно простой операцией. Для ее выполнения необходимо знать только формулу. Существенно усложняет задачу фигура, ограниченная прямыми.


Одной из них считается криволинейная трапеция. Ее площадь можно определить только при нахождении значений определенного интеграла.


Операция интегрирования считается довольно сложной, поскольку необходимо знать основные правила. Перед нахождением площади криволинейной трапеции специалисты рекомендуют внимательно изучить и освоить правила интегрирования основных функций.


Разбирается неопределенный интеграл, а затем осуществляется переход к более сложным операциям.

Информация об интегралах


С понятием интеграла связано много направлений научных отраслей. Обозначается он символом «∫». С помощью интеграла открываются большие возможности по быстрому и эффективному нахождению значений следующих величин: площади криволинейной трапеции, объема тела вращения, поверхности, пути при неравномерном движении, массы неоднородного физического тела и так далее.


Упрощенный вариант представления и определения интеграла — сумма бесконечно малых слагаемых. Интеграл бывает нескольких типов: одинарный, двойной, тройной, криволинейный и так далее. Для любого элемента он может быть двух типов:

  1. Неопределенный.
  2. Определенный.


Операция нахождения первого типа значительно проще второго. Это объясняется тем, что во втором случае следует не только найти первообразную, но и выполнить правильную подстановку значений.


Неопределенным интегралом функции вида f(х) называется такая первообразная функция F(х), производная которой равна подинтегральному выражению. Записывается это таким образом: ∫(f(x)) = F(х) + С.


Последняя величина является константой, поскольку при выполнении операции нахождения производной константа равна 0.


Для нахождения первообразной используется специальная таблица интегралов:


Рисунок 1. Таблица интегралов и их первообразные.


В таблице приведены простые функции. Для нахождения площади фигуры, которая ограничена линиями, достаточно значений первообразных на рисунке 1. Вычисление определенного интеграла заключается в получении первообразной и подстановке начального и конечного значений. Следует отметить, что константа при этом не берется. Существует способ, чтобы найти определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница позволяет быстро и эффективно вычислить площадь фигуры. Для этого нужно подставить значения ее границ (a и b) в первообразные: F(x)|(a;b) = F(b) — F(a).

Криволинейные фигуры


Криволинейная фигура (трапеция) — класс плоских фигур, которые ограничены графиком неотрицательной и непрерывной функции, а также осью ОУ и прямыми (х = а, х = b). Она изображена на рисунке 2. Для нахождения ее площади следует использовать определенный интеграл.


Рисунок 2. Фигуры с криволинейными сторонами.


Интегрирование разбивает фигуру на прямоугольные части. Длина каждой из них равна ординате y = f(х) через промежутки, которые очень малы, по оси декартовой системы координат (есть еще и полярная) ОХ на отрезке [a;b]. Ширина является бесконечно малым значением. При интегрировании находятся площади прямоугольников и складываются. Для того чтобы не путаться в графиках, геометрическую фигуру следует заштриховать.


Криволинейная трапеция — геометрическая фигура с неровными сторонами, которые образовались в результате пересечения графика непрерывной функции с осями абсцисс и ординат.


Применение обыкновенных методов нахождения площади этой фигуры невозможно, поскольку она обладает одной или несколькими неровными сторонами (кривыми линиями).

Способы вычисления и рекомендации


Для расчетов площади криволинейной трапеции используется несколько методов. Их условно можно разделить на следующие: автоматизированные и ручные. Первый из них выполняется при помощи специализированного программного обеспечения (ПО). Примером является онлайн-калькулятор, который не только находит площадь заданной фигуры, но и изображает ее в декартовой системе координат.


Существует и другое ПО, которое является более «мощным». К нему можно отнести наиболее популярные среды: Maple и Matlab. Однако существует множество программ, написанных на языке программирования Python. Программы нужны также при освоении темы интегрирования. Если необходимо рассчитать множество интегралов и площадей криволинейных фигур, то без них не обойтись.


Новичку для автоматизированных вычислений рекомендуется применять различные онлайн-калькуляторы. Однако следует выделить неплохую программу, которая обладает довольно неплохими функциональными возможностями.


Она называется Integral calculator и представляет собой очень удобное приложение для Android-устройств. Кроме того, можно скачать подобное ПО для Linux, Mac и Windows.


Программа — это калькулятор, который используется для нахождения интегралов и производных, а также его можно применять для решения уравнений интегрального и дифференциального типов. Integral calculator обладает такими функциональными возможностями:

  1. Вычисление производных.
  2. Нахождения первообразных для определенных и неопределенных интегралов.
  3. Решение систем уравнений.
  4. Выполнения операций над матрицами и определителями.
  5. Построение графиков заданных функций в 2D и 3D.
  6. Расчет точек перегиба.
  7. Вычисление рядов Фурье.
  8. Решение дифференциальных уравнений линейного типа первого и второго порядков.


Однако специалисты не рекомендуют использовать приложения такого типа, поскольку нужно уметь решать подобные задачи самостоятельно. Любые математические операции развивают мышление, а злоупотребление ПО приводит к значительной деградации. Решать какие-либо задачи рекомендуется также людям, которые не имеют отношения к математической сфере.

Основной алгоритм


При нахождении площади криволинейной трапеции рекомендуется следовать определенному алгоритму. Он поможет избежать ошибок, поскольку задача разбивается на несколько простых подзадач, решение которых довольно просто контролировать. Алгоритм имеет следующий вид:

  1. Нужно прочитать и понять условие задачи.
  2. Начертить декартовую систему координат.
  3. Построить график заданной функции.
  4. Изобразить линии, ограничивающие фигуру.
  5. После определения границ нужно аккуратно заштриховать фигуру.
  6. Вычислить неопределенный интеграл функции, которая дана в условии.
  7. Посчитать площадь, подставив значения ограничивающих прямых в первообразную.
  8. Проверить решение задачи при помощи программы.


Первый пункт — внимательное чтение условия задачи. Этап считается очень важным, поскольку формирует дальнейший алгоритм. Необходимо выписать все известные данные, а затем подумать над дальнейшим решением задачи. Следует обратить особое внимание на график функции, который при возможности нужно упростить. Далее следует выписать линии, которые будут ограничивать фигуру.


Следующий пункт считается наиболее простым, поскольку нужно начертить обыкновенную систему координат. В условии должен быть указан ее тип. Если обозначена полярная система, то следует ее начертить. Во всех остальных случаях изображается декартовая система координат.


Третий пункт алгоритма — правильное построение графика функции. В этом случае нет необходимости составлять таблицу зависимости значения функции от аргумента. График должен быть схематичным. Например, если это парабола, то нужно ее изобразить. В этом случае необходимо ознакомиться с основными базовыми функциями и их графиками.


Следующим шагом является правильное изображение прямых. Если ее уравнение имеет следующий вид «x = 5» или что-то подобное, то она будет проходить параллельно оси ОУ. Например, при y = 10 прямая проходит параллельно оси ОХ. В других случаях нужно составить таблицу зависимостей значений уравнения прямой от переменной. Следует брать всего два значения аргумента, поскольку их достаточно для проведения прямой.


После всех операций образуется фигура, которая ограничена линиями. Ее необходимо заштриховать. После этого вычисляется неопределенный интеграл заданной функции. Необходимо воспользоваться табличными значениями первообразных на рисунке 2. Однако здесь есть небольшой нюанс: константу записывать нет необходимости. Она «уничтожается» при подстановке в формулу Ньютона-Лейбница.


В полученное значение следует подставить значения границ. Кроме того, необходимо обратить особое внимание на знак формулы. При отрицательном значении границы формула принимает следующий вид: F(x)|(-a;b) = F(b) — F(-a) = F(b) + F(a).2) / 2) + (-1)] = 3 — 0,75 = 2,25 (кв. ед.).


Для определения значения площади криволинейной фигуры (трапеции) необходимо использовать определенные интегралы. При решении нужно внимательно следить за знаками и первообразными из таблицы на рисунке 1.

Калькуляторы и решатели геометрии

Простые в использовании онлайн-калькуляторы и решатели геометрии для различных вопросов геометрии, таких как вычисление площади, объема, расстояния, точек пересечения. Их можно использовать для проверки ответов на домашние задания, практики или изучения различных ценностей для глубокого понимания.

Калькуляторы треугольников

Калькулятор и решатель прямоугольных треугольников. Пять простых в использовании калькуляторов для решения задач прямоугольного треугольника в зависимости от того, какая информация о треугольнике вам предоставлена.
Калькулятор и решатель равнобедренного треугольника. Приведены пять простых в использовании калькуляторов для решения задач равнобедренного треугольника в зависимости от сторон и углов.

Решите треугольник по его вершинам. Калькулятор для расчета всех трех углов и трех сторон треугольника.

Найдите третью сторону треугольника, учитывая его площадь и две стороны.

Периметр и площадь треугольника с учетом его вершин. Онлайн-калькулятор для расчета площади и периметра треугольника по координатам его вершин.
Формула Герона для площади треугольника. Вычислите площадь треугольника по формуле цапли, когда известны три стороны треугольника.

Площадь треугольника по формуле синуса. Онлайн-калькулятор геометрии для вычисления площади треугольника по формуле синуса, когда известны две стороны и угол между ними (случай SAS).

Калькуляторы прямоугольников и квадратов

Калькулятор и решатель квадратов.

Площадь, периметр и диагональ прямоугольника — Калькулятор. Вычислите площадь, периметр и диагональ прямоугольника с учетом его размеров (длины и ширины).
Длина и ширина прямоугольника — Калькулятор. Вычислите размеры (длину и ширину) прямоугольника с учетом площади A и периметра P прямоугольника.

Калькулятор диагонали площади прямоугольника. Онлайн-калькулятор для расчета длины и ширины (размеров) прямоугольника с учетом его площади и диагонали.

Калькулятор диагонали периметра прямоугольника. Онлайн-калькулятор для расчета длины и ширины (размеров) прямоугольника с учетом его периметра и диагонали.

Площадь и периметр квадрата — Калькулятор геометрии.Онлайн-калькулятор для расчета площади и периметра квадрата с учетом длины его стороны.
Калькулятор площади эллипса и периметра. Онлайн-калькулятор для расчета площади и периметра эллипса по его полуосям.

Калькуляторы площади и объема трехмерных фигур

Объем и площадь поверхности тора.

Площадь и объем правильной многоугольной створки.

Объем и площадь сферической крышки.

Калькулятор объема эллипсоида. Онлайн-калькулятор для вычисления объема эллипсоида по его полуосям.
Rectangular Pyramid Calculator and Maker Онлайн-калькулятор для расчета площади поверхности, объема и многих других параметров пирамиды с учетом размеров ее прямоугольного основания и высоты. Это также поможет вам создать сеть, из которой вы строите пирамиду.

Калькулятор конуса для расчета площади поверхности и объема правого конуса с учетом любых двух его размеров: радиуса, высоты и высоты наклона.

Создание конуса из сектора Калькулятор вычисляет центральный угол и радиус сектора, используемого для создания конуса.
Площадь и объем правого цилиндра — Калькулятор геометрии. Вычислите площадь поверхности и объем правого цилиндра с учетом его радиуса и высоты.

Площадь поверхности и объем ствола — вычислитель геометрии. Рассчитайте площадь поверхности, объем и другие параметры Frustum с учетом его радиуса R в основании, радиуса r наверху и высоты h.

Объем и площадь твердого прямоугольника. Вычислите объем и площадь твердого прямоугольника с учетом его длины, ширины и высоты.
Объем и площадь поверхности сферы. вычислить объем и площадь поверхности сферы с учетом ее радиуса.

Покрытие Земли с помощью спутникового калькулятора.

Калькуляторы аналитической геометрии

Калькулятор угла между двумя линиями.

Расстояние между двумя точками в полярных координатах — Калькулятор. Калькулятор для расчета расстояния между двумя точками в полярных координатах. Полярный угол может быть в градусах или радианах.

Расстояние и средняя точка в 3D-геометрии — Калькулятор.Онлайн-калькулятор для расчета расстояния между двумя точками и их средней точкой, когда эти точки заданы их декартовыми координатами в трехмерном пространстве.

Калькулятор площади треугольника, определяемой линиями. Онлайн-калькулятор для вычисления площади треугольника, образованного тремя линиями.

Калькулятор коллинеарных точек. Онлайн-калькулятор, чтобы узнать, лежат ли три заданные точки на одной прямой или нет.

Калькулятор одновременных линий. Онлайн-калькулятор, чтобы узнать, являются ли три заданные линии одновременными, то есть все они проходят через одну и ту же точку.

Калькуляторы четырехугольника

Калькулятор и решатель ромба
Калькулятор площади параллелограмма. Калькулятор для вычисления площади параллелограмма.

Калькулятор площади трапеции. Калькулятор для расчета площади трапеции с учетом оснований и высоты.

Калькулятор и решатель трапеций. Простой в использовании онлайн-калькулятор для решения трапециевидных задач. Площадь, углы и диагонали трапеции рассчитываются с учетом ее четырех сторон.

Площадь и периметр круга — Калькулятор геометрии.Онлайн-калькулятор для расчета площади и периметра круга с учетом его радиуса.

Длина дуги и площадь сектора — Калькулятор геометрии. Вычислите длину дуги S и площадь A сектора с учетом его радиуса и центрального угла t.

Площадь кругового кольца. Вычислите площадь кругового кольца, когда известны внешний и внутренний радиусы.

Радиус вписанной окружности — Калькулятор геометрии. Вычислите радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами a, b и c.

Радиус описанной окружности — Калькулятор геометрии.Вычислите радиус описанной окружности треугольника со сторонами a, b и c.

Калькулятор многоугольников

Калькулятор правильных многоугольников. Онлайн-калькуляторы для расчета стороны, радиуса вписанной окружности, радиуса вписанной окружности и площади многоугольников.

Калькулятор площади неправильного многоугольника. Онлайн-калькулятор для вычисления площади неправильного многоугольника, вершины которого задаются их декартовыми координатами.

Калькулятор теорем Пифагора

Калькулятор теорем Пифагора.Используйте теорему Пифагора, чтобы найти сторону и гипотенузу прямоугольного треугольника.

Калькуляторы законов синуса и косинуса

Калькулятор и решатель закона косинуса. Калькулятор, который решает задачи треугольника с тремя сторонами (случай SSS) или двумя сторонами и 1 прилегающим углом (случай SAS).

Калькулятор и решатель синусоидального закона. Калькулятор, который решает задачи треугольника с двумя углами и одной стороной (случаи ASA и AAS) или двумя сторонами и одним противоположным углом (случай SSA). Случай SSA включает одно, два или ни одного решения.

Учебники и проблемы по геометрии

Учебники и проблемы по геометрии сообщить об этом объявлении

изогнутых форм | SkillsYouNeed

Окружности, эллипсы, параболы и гиперболы

Наша страница «Многоугольники» охватывает формы, состоящие из прямых линий, также известные как «плоские формы».На этой странице подробно рассказывается о фигурах с кривыми, особенно о двухмерных.

Двумерные изогнутые формы включают окружности, эллипсы, параболы и гиперболы, а также дуги, сектора и сегменты. Трехмерные изогнутые формы, включая сферы, цилиндры и конусы, описаны на нашей странице, посвященной трехмерным формам.

Двумерные изогнутые формы

Круги

Вероятно, наиболее распространенной двумерной изогнутой формой является круг.

Для работы с кругами (и другими изогнутыми формами) в геометрии важно понимать ключевые свойства круга:

  • Прямая линия, проходящая через центр круга, — это диаметр .

  • Половина диаметра составляет радиус .

  • Линия по краю круга — это окружность .

Любая точка на окружности круга находится на том же расстоянии от центра круга, что и любая другая точка на окружности.

Представляем π (pi)


π или пи — греческая буква. В математике он используется для обозначения определенной константы, которая также является иррациональным или бесконечным числом (подробнее см. Нашу страницу о специальных числах).

π имеет значение 3,142 (хотя, поскольку оно бесконечно, это приближение к его точному значению).

Значение

π важно, потому что оно используется для вычисления длины окружности и площади круга.

Длина окружности равна π x диаметра или 2 × π × радиус (сокращенно 2πr).

Площадь круга равна π × радиус 2 . Эта формула обычно сокращается до πr 2

Для получения дополнительной информации о площади см. Нашу страницу Расчет площади .

Отрасли и сегменты

Секторы и сегменты — это «срезы» круга.

Секторы имеют форму ломтика пиццы с изогнутым краем и каждой прямой стороной той же длины, что и радиус круга, или пиццы, из которой он был вырезан.Круговые диаграммы состоят из ряда секторов, размер которых зависит от размера отображаемых данных.

Сектор может быть любого размера, однако сектор, который представляет собой полукруг (180 °), называется полукругом , а сектор четверти круга (90 °) называется квадрантом .

Сегмент — изогнутая часть сектора, часть, которая остается, если вы удалите треугольник из сектора. Сегменты состоят из двух строк. Дуга (отрезок окружности — см. Ниже) и хорда — прямая линия, соединяющая два конца дуги.

Сектор — это часть круга, поэтому его площадь составляет часть площади всего круга. Чтобы вычислить площадь сектора, вам нужно знать его центральный угол, θ и радиус.

Затем можно рассчитать площадь сектора по следующей формуле:

πr 2 × (θ ÷ 360)

Дуги

Участок окружности круга называется дугой .

Чтобы рассчитать длину дуги между точками A и B, вам необходимо знать угол в центре между точками A и B.θ (тета) — это символ, используемый для представления этого угла, образованного A и B. В нашем примере мы используем градусы для θ, но также можно использовать радианы.

Вам также необходимо знать радиус (r) дуги.

Поскольку во всем круге 360 °, длина дуги равна центральному углу (θ), деленному на 360, а затем умноженному на длину окружности всего круга (2πr).

2πr × (θ ÷ 360)

Пример:

r = 10 см, θ = 88 °, π = 3.14

Длина дуги = 2 x 3,14 x 10 x (88 ÷ 360) = 62,8 x 0,24 = 15,07 см .

градусов или радианов?


Наиболее часто используемой единицей измерения углов являются градусы, но вы также можете встретить вычисления, в которых угол измеряется в радианах. Это стандартная единица СИ для измерения углов. Для получения дополнительной информации о радианах см. Нашу страницу Introduction to Angles . Для получения дополнительной информации о системе измерения SI см. Нашу страницу на Системы измерения .

2π радиан равно 360 °, поэтому формула для длины дуги, когда θ выражается в радианах, имеет вид просто rθ.


Эллипсы

Эллипс — это кривая на плоскости (или плоской поверхности), окружающая две точки фокусировки. Прямая линия, проведенная от одной точки фокусировки к любой точке кривой, а затем к другой точке фокусировки, имеет одинаковую длину для каждой точки кривой.

Эллипсы очень важны в астрономии и физике, так как каждая планета имеет эллиптическую орбиту с Солнцем в качестве одной из фокусных точек.

Круг — это особая форма эллипса, где две фокусные точки находятся в одном месте (в центре круга). Эллипсы также можно описать как «овальные», но слово «овал» гораздо менее точно используется в математике и означает просто «овальной формы».

Свойства эллипса:

Эллипс имеет две главные оси и симметричен относительно них.

Большая ось называется большой осью ; более короткая ось — это малая ось .

Четыре точки, где оси пересекают окружность, называются вершиной (особая вершина). Две точки, где малая ось пересекает окружность, называются совпадающими вершинами .

Две фокальные точки (или фокусы, иногда называемые локусами или локусами) находятся на большой оси и на равном расстоянии от центра.

Расстояние от одной точки фокуса до любой точки окружности и обратно до другой точки фокуса (синяя пунктирная линия на нашей диаграмме) такое же, как расстояние между вершинами на большой оси.

Степень удлинения эллипса определяется его эксцентриситетом . Формула для расчета эксцентриситета:

Эксцентриситет = расстояние от центра до фокуса
расстояние от центра до вершины на большой оси

Эксцентриситет круга равен нулю, потому что точки фокусировки находятся в одном и том же месте (центре) (мы также говорим, что они совпадают с ).Таким образом, расстояние от центра до фокальной точки равно нулю. Эксцентриситет увеличивается по мере того, как эллипс становится длиннее, но всегда меньше 1. Когда расстояние от центра до фокальной точки такое же, как расстояние от центра до вершины, тогда эллипс стал прямой линией и его эксцентриситет равно 1.

Площадь эллипса рассчитывается как π (½ x малая ось) (½ x большая ось).


Параболы, гиперболы и взаимосвязь между кривыми формами

Параболы и гиперболы — это скорее формы изогнутых форм, но их сложнее определить, чем круги и эллипсы.Они тесно связаны друг с другом, а также с кругами и эллипсами, потому что все они представляют собой конические сечения , , то есть формы, которые образованы путем разрезания конуса плоской плоскостью.

Характеристики конических сечений изучались на протяжении тысячелетий и представляли интерес для древнегреческих математиков, таких как Евклид и Архимед. На диаграмме ниже показан двойной конус, скорее похожий на песочный таймер.

  • Если плоскость разрезает конус под углом, параллельным основанию конуса (т.е.е. перпендикулярно его вертикальной оси), то образуется окружность (вверху слева).

  • Если плоскость разрезает конус параллельно стороне конуса , то образуется парабола (в центре).

  • Если плоскость разрезает конус под углом между этими двумя, так что он поддерживает контакт со сторонами конуса во всех местах, то образуется эллипс (внизу слева).

  • Если плоскость пересекает оба конуса под более вертикальным углом, то сечение представляет собой гиперболу .

Параболы и гиперболы — это симметричные кривые с единственной осью симметрии и вершиной (самая низкая точка U-образной кривой).

Все параболы имеют одинаковую характерную форму, независимо от их размера. По мере того, как вы уменьшаете масштаб все дальше и дальше от вершины к бесконечности, парабола меняет форму с чаши на форму шпильки, а ее руки становятся все ближе и ближе к параллельному.

В отличие от парабол, гиперболы могут иметь различную форму , потому что угол среза может широко варьироваться.И параболы, и гиперболы бесконечны, но руки гиперболы никогда не становятся параллельными.

Реальные применения конических секций


Конические секции могут применяться во многих реальных условиях.

  • Они используются в линзах для телескопов и отражателях в фарах или прожекторах для создания луча света.
  • Сложная математика, связанная с этими формами, жизненно важна для расчета орбит спутников.
  • В технике тросы на мосту Золотые Ворота имеют форму идеальной параболы, а крылья самолетов имеют форму эллипсов.
  • В спорте дуга, по которой идет мяч для футбола, бейсбола или крикета, также является параболой, поэтому понимание конических сечений жизненно важно для анализа результатов игрока, что становится все более важным с деньгами, вложенными в профессиональный спорт.
  • Органическая форма этих форм также позволяет использовать их в искусстве и архитектуре.Примеры включают Cybertecture Egg в Мумбаи, Gateway Arch в Миссури и работы многочисленных скульптурных художников, такие как Torqued Ellipses Ричарда Серры в музее Гуггенхайма.

Необходимые навыки?

Круги являются частью базовой геометрии, и вам действительно нужно знать, как вычислять их основные свойства.

Однако маловероятно, что вам нужно будет делать больше, чем знать о существовании других форм, если вы не хотите серьезно заняться инженерией, физикой или астрономией.

Тем не менее, вы можете обнаружить, что вам нравится знать, что вогнутые кривые градирни электростанции или свет от направленной вниз галогенной лампы имеют форму гиперболы.


Дополнительные материалы по навыкам, которые вам нужны


Понимание геометрии
Часть необходимых навыков Руководство по счету

Эта электронная книга охватывает основы геометрии и рассматривает свойства форм, линий и твердых тел.Эти концепции выстроены в книге с отработанными примерами и возможностями, позволяющими вам практиковать свои новые навыки.

Если вы хотите освежить в памяти основы или помочь детям в учебе, эта книга для вас.


Обнаружение столкновений 3D — Разработка игр

Эта статья представляет собой введение в различные методы ограничивающего объема, используемые для реализации обнаружения столкновений в 3D-средах. В следующих статьях будут рассмотрены реализации в конкретных 3D-библиотеках.

Как и в случае с двухмерным обнаружением столкновений, выровненные по оси ограничивающие прямоугольники (AABB) являются самым быстрым алгоритмом для определения, перекрываются ли два игровых объекта или нет. Это состоит из упаковки игровых объектов в не повернутый (таким образом, выровненный по оси) блок и проверки положения этих блоков в трехмерном координатном пространстве, чтобы увидеть, не перекрываются ли они.

Ограничение выравнивания по оси существует из-за соображений производительности. Область перекрытия между двумя неповорачиваемыми блоками можно проверить только с помощью логических сравнений, тогда как повернутые блоки требуют дополнительных тригонометрических операций, которые вычисляются медленнее.Если у вас есть объекты, которые будут вращаться, вы можете либо изменить размеры ограничивающей рамки, чтобы она по-прежнему обертывала объект, либо выбрать другой тип ограничивающей геометрии, например сферы (которые инвариантны к вращению). Анимированный GIF ниже показывает графический пример AABB, размер которого адаптируется к вращающемуся объекту. Коробка постоянно меняет размеры, чтобы плотно прилегать к сущности, содержащейся внутри.

Точка против AABB

Проверить, находится ли точка внутри AABB, довольно просто — нам просто нужно проверить, попадают ли координаты точки внутрь AABB; рассматривая каждую ось отдельно.Если предположить, что P x , P y и P z — координаты точки, а B minX B maxX , B minY B maxY и B minZ B maxZ — это диапазоны каждой оси AABB, мы можем вычислить, произошло ли столкновение между ними, используя следующую формулу:

f (P, B) = (Px> = BminX∧Px <= BmaxX) ∧ (Py> = BminY∧Py <= BmaxY) ∧ (Pz> = BminZ∧Pz <= BmaxZ) f (P, B) = (P_x> = B_ {minX} \ клин P_x <= B_ {maxX}) \ клин (P_y> = B_ {minY} \ клин P_y <= B_ {maxY}) \ клин (P_z> = B_ {minZ} \ клин P_z <= B_ {maxZ})

Или в JavaScript:

  function isPointInsideAABB (point, box) {
  возврат (точка.x> = box.minX && point.x <= box.maxX) &&
         (point.y> = box.minY && point.y <= box.maxY) &&
         (point.z> = box.minZ && point.z <= box.maxZ);
}  

AABB против AABB

Проверка того, пересекает ли AABB другой AABB, аналогична точечной проверке. Нам просто нужно провести один тест для каждой оси, используя границы прямоугольников. На диаграмме ниже показан тест, который мы выполняем по оси X - в основном, перекрываются ли диапазоны A minX - A maxX и B minX - B maxX ?

Математически это будет выглядеть так:

f (A, B) = (AminX <= BmaxX∧AmaxX> = BminX) ∧ (AminY <= BmaxY∧AmaxY> = BminY) ∧ (AminZ <= BmaxZ∧AmaxZ> = BminZ) f (A, B) =

А в JavaScript мы бы использовали это:

  функция перекрестка (a, b) {
  возврат (а.minX <= b.maxX && a.maxX> = b.minX) &&
         (a.minY <= b.maxY && a.maxY> = b.minY) &&
         (a.minZ <= b.maxZ && a.maxZ> = b.minZ);
}
  

Использование ограничивающих сфер для обнаружения столкновений немного сложнее, чем AABB, но все же довольно быстро тестируется. Основное преимущество сфер заключается в том, что они инвариантны к вращению, поэтому, если обернутый объект вращается, ограничивающая сфера все равно останется прежней. 2 + (A_z - B_z)}, наша формула для точки vs.2}

Или в JavaScript:

  функция isPointInsideSphere (точка, сфера) {
  
  var distance = Math.sqrt ((точка.x - сфера.x) * (точка.x - сфера.x) +
                           (point.y - сфера.y) * (point.y - сфера.y) +
                           (point.z - сфера.z) * (point.z - сфера.z));
  расстояние возврата <сфера.радиус;
}
  

В приведенном выше коде используется квадратный корень, вычисление которого может быть дорогостоящим. Простая оптимизация, чтобы избежать этого, состоит в сравнении квадрата расстояния с квадратом радиуса, поэтому оптимизированное уравнение вместо этого будет включать distanceSqr <сфера.2} <= A_ {радиус} + B_ {радиус}

Или в JavaScript:

  функция перекрестка (сфера, другое) {
  
  var distance = Math.sqrt ((сфера.x - другой.x) * (сфера.x - другой.x) +
                           (сфера.у - прочее.у) * (сфера.у - прочее.у) +
                           (сфера.z - другой.z) * (сфера.z - другой.z));
  расстояние возврата <(радиус сферы + другой радиус);
}  

Сфера против AABB

Проверить, сталкиваются ли сфера и AABB, немного сложнее, но все же просто и быстро.Логичным подходом было бы проверить каждую вершину AABB, выполняя тест точка против сферы для каждой из них. Однако это излишество - тестирование всех вершин не требуется, так как мы можем уйти, просто вычислив расстояние между ближайшей точкой AABB (не обязательно вершиной) и центром сферы, чтобы посмотреть, меньше ли оно или равно радиус сферы. Мы можем получить это значение, зажимая центр сферы до пределов AABB.

В JavaScript мы бы сделали этот тест так:

  функция пересечения (сфера, прямоугольник) {
  
  var x = Math.max (box.minX, Math.min (сфера.x, box.maxX));
  var y = Math.max (box.minY, Math.min (сфера.y, box.maxY));
  var z = Math.max (box.minZ, Math.min (сфера.z, box.maxZ));

  
  var distance = Math.sqrt ((x - сфера.x) * (x - сфера.x) +
                           (y - сфера.y) * (y - сфера.y) +
                           (z - сфера.z) * (z - сфера.z));

  расстояние возврата <сфера.радиус;
}
  

Механизмы 3D-физики предоставляют алгоритмы обнаружения столкновений, большинство из которых также основаны на ограничивающих объемах.Физический движок работает по принципу физического тела , обычно прикрепленного к его визуальному представлению. Это тело обладает такими свойствами, как скорость, положение, вращение, крутящий момент и т. Д., А также имеет физическую форму . Эта форма учитывается при расчетах обнаружения столкновений.

Мы подготовили живую демонстрацию обнаружения столкновений (с исходным кодом), которую вы можете посмотреть, чтобы увидеть такие методы в действии - здесь используется пушка движка 3D-физики с открытым исходным кодом.js.

Статьи по теме MDN:

Внешние ресурсы:

12.1 - Логистическая регрессия | СТАТ 462

Логистическая регрессия моделирует взаимосвязь между переменными-предикторами и категориальной переменной отклика. Например, мы могли бы использовать логистическую регрессию для моделирования взаимосвязи между различными измерениями изготовленного образца (такими как размеры и химический состав), чтобы предсказать, возникнет ли трещина более 10 мил (бинарная переменная: да или нет).Логистическая регрессия помогает нам оценить вероятность попадания на определенный уровень категориального ответа с учетом набора предикторов. Мы можем выбрать один из трех типов логистической регрессии, в зависимости от характера категориальной переменной ответа:

Двоичная логистическая регрессия :

Используется, когда ответ является двоичным (т. Е. Имеет два возможных результата). В приведенном выше примере взлома используется бинарная логистическая регрессия. Другие примеры бинарных ответов могут включать прохождение или провал теста, ответ «да» или «нет» в опросе, а также высокое или низкое кровяное давление.

Номинальная логистическая регрессия :

Используется, когда есть три или более категорий без естественного упорядочивания по уровням. Примеры номинальных ответов могут включать в себя отделы компании (например, маркетинг, продажи, HR), тип используемой поисковой системы (например, Google, Yahoo !, MSN) и цвет (черный, красный, синий, оранжевый).

Порядковая логистическая регрессия :

Используется, когда существует три или более категорий с естественным упорядочением уровней, но ранжирование уровней не обязательно означает, что интервалы между ними равны.Примерами порядковых ответов могут быть то, как студенты оценивают эффективность курса колледжа (например, хорошо, средне, плохо), уровни вкуса горячих крыльев и состояние здоровья (например, хорошо, стабильно, серьезно, критически).

Конкретные проблемы с моделированием категориальной переменной отклика включают ненормальные условия ошибки, непостоянную дисперсию ошибки и ограничения на функцию отклика (т. Е. Отклик ограничен между 0 и 1). Здесь мы исследуем способы решения этих проблем в настройке двоичной логистической регрессии.Номинальная и порядковая логистическая регрессия в этом курсе не рассматривается.

Модель множественной бинарной логистической регрессии имеет следующий вид:

\ [\ begin {align} \ label {logmod}
\ pi (\ textbf {X}) & = \ frac {\ exp (\ beta_ {0} + \ beta_ {1} X_ {1} + \ ldots + \ beta_ {k} X_ {k})} {1+ \ exp (\ beta_ {0} + \ beta_ {1} X_ {1} + \ ldots + \ beta_ {k} X_ {k})} \ notag \\
&
= \ frac {\ exp (\ textbf {X} \ beta)} {1+ \ exp (\ textbf {X} \ beta)} \\
&
= \ frac {1} {1+ \ exp ( - \ textbf {X} \ beta)},
\ end {align} \]

, где здесь \ (\ pi \) обозначает вероятность, а , а не , иррациональное число 3.14 ....

  • \ (\ pi \) - это вероятность того, что наблюдение находится в указанной категории двоичной переменной Y , обычно называемая «вероятностью успеха».
  • Обратите внимание, что модель описывает вероятность события как функцию переменных X . Например, он может дать оценку вероятности того, что у пожилого человека есть болезнь сердца.
  • В логистической модели оценки $ \ pi $ из уравнений, подобных приведенному выше, всегда будут между 0 и 1.Причины:
    • Числитель \ (\ exp (\ beta_ {0} + \ beta_ {1} X_ {1} + \ ldots + \ beta_ {k} X_ {k}) \) должен быть положительным, потому что это степень положительное значение ( e ).
    • Знаменатель модели (1 + числитель), поэтому ответ всегда будет меньше 1.
  • С одной переменной X теоретическая модель для \ (\ pi \) имеет удлиненную S-образную форму (или сигмоидальную) с асимптотами в 0 и 1, хотя в выборочных оценках мы можем не видеть эту S-образную форму. если диапазон переменной X ограничен.{n} [y_ {i} \ textbf {X} _ {i} \ beta- \ log (1+ \ exp (\ textbf {X} _ {i} \ beta))].
    \ end {align *} \]

    Максимизация правдоподобия (или логарифма правдоподобия) не имеет решения в замкнутой форме, поэтому для нахождения оценки коэффициентов регрессии, $ \ hat {\ beta} $, используется такой метод, как метод наименьших квадратов с повторным взвешиванием.

    Для иллюстрации рассмотрим опубликованные данные о n = 27 больных лейкемией. Данные (leukemia_remission.txt) содержат переменную ответа о том, произошла ли ремиссия лейкемии (REMISS), которая представлена ​​1.

    Переменными-предикторами являются клеточность среза костного сгустка (CELL), дифференциальный процент бластов в мазке (SMEAR), процент абсолютного инфильтрата лейкозных клеток костного мозга (INFIL), процентный индекс маркировки клеток лейкемии костного мозга (LI), абсолютное число бластов в периферической крови (BLAST) и максимальной температуры перед началом лечения (TEMP).

    Следующий результат показывает расчетное уравнение логистической регрессии и соответствующие тесты значимости

    Коэффициенты
    Term Coef SE Coef 95% CI Z-Value P-Value VIF
    Constant 64.3 75,0 (-82,7, 211,2) 0,86 0,391
    ЯЧЕЙКА 30,8 52,1 (-71,4, 133,0) 0,59 0,554 62,46
    SMEAR 24,7 61,5 (-95,9, 145,3) 0,40 0,688 434,42
    INFIL -25,0 65,3 (-152,9, 103,0) -0,38 0,702 471,10
    LI 4,36 2,66 (-0,85, 9,57) 1,64 0,101 4,43
    BLAST -0,01 2,27 (-4,45, 4,43) -0,01 0,996 4,18
    TEMP -100,2 77,8 (-252,6, 52,2) -1,29 0,198 3,01

    Тест Вальда

    Тест Вальда - это тест значимости для индивидуальных коэффициентов регрессии в логистической регрессии (напомним, что мы используем t -тесты в линейной регрессии).Для оценок максимального правдоподобия отношение

    \ [\ begin {уравнение *}
    Z = \ frac {\ hat {\ beta} _ {i}} {\ textrm {se} (\ hat {\ beta} _ {i})}
    \ end {уравнение *} \]

    можно использовать для тестирования $ H_ {0}: \ beta_ {i} = 0 $. Стандартная нормальная кривая используется для определения $ p $ -значения теста. Кроме того, доверительные интервалы могут быть построены как

    \ [\ begin {уравнение *}
    \ hat {\ beta} _ {i} \ pm z_ {1- \ alpha / 2} \ textrm {s.e.} (\ Hat {\ beta} _ {i}).
    \ end {формула *} \]

    Оценки коэффициентов регрессии, $ \ hat {\ beta} $, приведены в таблице «Коэффициенты» в столбце «Коэф.«В этой таблице также приведены значения коэффициента p , основанные на тестах Вальда. Индекс лейкозных клеток костного мозга (LI) имеет наименьшее значение p и поэтому кажется наиболее близким к значимому предиктору наступления ремиссии. После глядя на различные подмножества данных, мы обнаруживаем, что хорошей моделью является модель, которая включает только индекс маркировки в качестве предиктора:

    Коэффициенты
    Term Coef SE Coef 95% CI Z-Value P-Value VIF
    Constant -3,78 1.38 (-6,48, -1,08) -2,74 0,006
    LI 2,90 1,19 (0,57, 5,22) 2,44 0,015 1,00

    Уравнение регрессии
    P (1) = exp (Y ') / (1 + exp (Y'))
    Y '= -3,78 + 2,90 LI

    Поскольку у нас есть только один предиктор в этой модели, мы можем создать двоичный график аппроксимированной линии для визуализации сигмоидальной формы подобранной кривой логистической регрессии:

    Шансы, лог-коэффициенты и соотношение коэффициентов

    Существуют алгебраически эквивалентные способы написания модели логистической регрессии:

    Первый -

    \ [\ begin {уравнение} \ label {logmod1}
    \ frac {\ pi} {1- \ pi} = \ exp (\ beta_ {0} + \ beta_ {1} X_ {1} + \ ldots + \ beta_ {k} X_ {k}),
    \ end {equal} \]

    , которое представляет собой уравнение, описывающее шансы попасть в текущую интересующую категорию.По определению, коэффициент для события составляет π / (1 - π ), так что P - это вероятность события. Например, если вы находитесь на ипподроме, и вероятность того, что определенная лошадь выиграет скачку, составляет 80%, то его шансы равны 0,80 / (1 - 0,80) = 4 или 4: 1.

    Второй -

    \ [\ begin {уравнение} \ label {logmod2}
    \ log \ biggl (\ frac {\ pi} {1- \ pi} \ biggr) = \ beta_ {0} + \ beta_ {1} X_ {1} + \ ldots + \ beta_ {k} X_ {k},
    \ end {уравнение} \]

    , в котором говорится, что (натуральный) логарифм шансов является линейной функцией переменных X (и часто называется логарифмом шансов ).Это также называется логит-преобразованием вероятности успеха \ (\ pi \).

    Отношение шансов (которое мы запишем как $ \ theta $) между шансами для двух наборов предикторов (скажем, $ \ textbf {X} _ {(1)} $ и $ \ textbf {X} _ {( 2)} $) равно

    \ [\ begin {уравнение *}
    \ theta = \ frac {(\ pi / (1- \ pi)) | _ {\ textbf {X} = \ textbf {X} _ {(1)}}} { (\ pi / (1- \ pi)) | _ {\ textbf {X} = \ textbf {X} _ {(2)}}}.
    \ end {формула *} \]

    Для бинарной логистической регрессии шансы на успех:

    \ [\ begin {уравнение *}
    \ frac {\ pi} {1- \ pi} = \ exp (\ textbf {X} \ beta).
    \ end {формула *} \]

    Подставив это в формулу для $ \ theta $ выше и установив $ \ textbf {X} _ {(1)} $ равным $ \ textbf {X} _ {(2)} $, за исключением одной позиции (т. Е. только один предиктор отличается на одну единицу), мы можем определить взаимосвязь между этим предиктором и ответом. Отношение шансов может быть любым неотрицательным числом. Отношение шансов, равное 1, служит базой для сравнения и указывает на отсутствие связи между ответом и предсказателем. Если отношение шансов больше 1, то шансы на успех выше для более высоких уровней непрерывного предсказателя (или для указанного уровня фактора).В частности, шансы увеличиваются мультипликативно на $ \ exp (\ beta_ {j}) $ для каждой единицы увеличения $ \ textbf {X} _ {j} $. Если отношение шансов меньше 1, то шансы на успех меньше для более высоких уровней непрерывного предсказателя (или для указанного уровня фактора). Значения дальше от 1 представляют более сильную степень ассоциации.

    Например, когда есть только один предсказатель, \ (X \), шансы на успех равны:

    \ [\ begin {уравнение *}
    \ frac {\ pi} {1- \ pi} = \ exp (\ beta_0 + \ beta_1X).
    \ end {формула *} \]

    Если мы увеличим \ (X \) на одну единицу, то отношение шансов составит

    .

    \ [\ begin {уравнение *}
    \ theta = \ frac {\ exp (\ beta_0 + \ beta_1 (X + 1))} {\ exp (\ beta_0 + \ beta_1X)} = \ exp (\ beta_1).
    \ end {формула *} \]

    Для иллюстрации соответствующий вывод из примера лейкемии:

    Отношение шансов для непрерывных предсказателей
    Отношение шансов 95% ДИ
    LI 18,1245 (1,7703, 185,5617)

    Оценка параметра регрессии для LI составляет 2 доллара.{\ textrm {th}} $ процентиль стандартного нормального распределения. Интерпретация отношения шансов состоит в том, что для каждого увеличения LI на 1 единицу оценочные шансы ремиссии лейкемии умножаются на 18,1245. Однако, поскольку LI, по-видимому, находится между 0 и 2, имеет смысл сказать, что на каждые 0,1 единицы увеличения L1 оценочные шансы ремиссии умножаются на $ \ exp (2,89726 \ times 0,1) = 1,336 $. Тогда

    • При LI = 0,9 расчетная вероятность ремиссии лейкемии составляет $ \ exp \ {- 3.77714 + 2,89726 * 0,9 \} = 0,310 $.
    • При LI = 0,8 предполагаемая вероятность ремиссии лейкемии составляет $ \ exp \ {- 3,77714 + 2,89726 * 0,8 \} = 0,232 $.
    • Результирующее отношение шансов составляет $ \ frac {0,310} {0,232} = 1,336 $, что представляет собой отношение шансов ремиссии при LI = 0,9 по сравнению с шансами при L1 = 0,8.

    Обратите внимание, что 1,336 \ умножить на 0,232 = 0,310 $, что демонстрирует мультипликативный эффект от $ \ exp (0,1 \ hat {\ beta_ {1}}) $ на шансы.

    Тест отношения правдоподобия (или отклонения)

    Тест отношения правдоподобия используется для проверки нулевой гипотезы о том, что любое подмножество $ \ beta $ равно 0.2 $ = отклонение (уменьшенное) - отклонение (полное).

    Эта процедура тестирования аналогична общей процедуре линейного F-теста для множественной линейной регрессии. Однако обратите внимание, что при тестировании одного коэффициента тест Вальда и тест отношения правдоподобия будет , а не , как правило, даст идентичные результаты.

    Для иллюстрации соответствующий вывод программного обеспечения из примера лейкемии:

    Таблица отклонений
    Источник DF Adj Dev Adj Среднее значение хи-квадрат P
    Регрессия 1 8.299 8,299 8,30 0,004
    LI 1 8,299 8,299 8,30 0,004
    Ошибка 25 26,073 1,043
    Всего 26 34,372

    Поскольку для этого примера существует только один предиктор, эта таблица просто предоставляет информацию о тесте отношения правдоподобия для LI ( p - значение 0,004), который аналогичен, но не идентичен предыдущему результату теста Вальда ( p -значение 0,015). Таблица отклонений включает следующее:

    • Нулевая (сокращенная) модель в этом случае не имеет предикторов, поэтому подобранные вероятности - это просто выборочная доля успехов, \ (9/27 = 0.{2} $ -распределение с \ (2-1 = 1 \) степенями свободы.

    При использовании теста отношения правдоподобия (или отклонения) для более чем одного коэффициента регрессии мы можем сначала подогнать «полную» модель, чтобы найти отклонение (полное), которое отображается в строке «Ошибка» в итоговой полной модели. Отклонение. Таблица. Затем подгоните «сокращенную» модель (соответствующую модели, которая получается, если нулевая гипотеза верна), чтобы найти отклонение (уменьшенное), которое показано в строке «Ошибка» в итоговой таблице отклонений уменьшенной модели.Например, соответствующие таблицы отклонений для примера вспышки заболевания на страницах 581-582 из Модели прикладной линейной регрессии (4-е изд.) Катнера и др .:

    Полная модель:

    Исходный DF Adj Dev Adj Среднее значение хи-квадрат P
    Регрессия 9 28,322 3,14686 28,32 0,001
    Ошибка 88 93,996 1,06813
    Итого 97 122,318

    Уменьшенная модель:

    Исходный DF Adj Dev Adj Среднее значение P-хи-квадрат
    Регрессия 4 21. 2 \).Например, соответствующая таблица отклонений для примера вспышки заболевания:

    Источник DF Seq Dev Seq Среднее значение хи-квадрат P
    Регрессия 9 28,322 3,1469 28,32 0,001
    Возраст 1 7,405 7,4050 7,40 0,007
    Средний 1 1,804 1,8040 1,80 0,179
    Нижний 1 1,606 1,6064 1,61 0,205
    Сектор 1 10,448 0,001 905 10,45 * Средний 1 4.2 = 4,570 + 1,015 + 1,120 + 0,000 + 0,353 = 7,058 \), то же самое, что и в первом расчете.

    Тесты соответствия

    Общие характеристики подобранной модели можно измерить с помощью нескольких различных тестов на соответствие. Два теста, требующие репликации данных (несколько наблюдений с одинаковыми значениями для всех предикторов), - это критерий согласия по хи-квадрат Пирсона и критерий согласия отклонения (аналогичный множественной линейной регрессии. F-тест непригодности).Оба этих теста имеют статистику, которая приблизительно распределена по хи-квадрат с c - k - 1 степенями свободы, где c - это количество различных комбинаций переменных-предикторов. Когда тест отклонен, имеется статистически значимое несоответствие. В противном случае нет никаких доказательств отсутствия посадки.

    В отличие от этого, тест согласия Хосмера-Лемешоу полезен для нереплицированных наборов данных или для наборов данных, которые содержат всего несколько реплицированных наблюдений.Для этого теста наблюдения группируются на основе их предполагаемых вероятностей. Полученная в результате статистика теста приблизительно распределена по хи-квадрат с c - 2 степенями свободы, где c - количество групп (обычно выбирается от 5 до 10, в зависимости от размера выборки).

    Для иллюстрации соответствующий вывод программного обеспечения из примера лейкемии:

    Тесты согласия
    Тест DF Хи-квадрат P-Value
    Отклонение 25 26.07 0,404
    Пирсон 25 23,93 0,523
    Хосмер-Лемешоу 7 6,87 0,442

    Поскольку для этого примера нет реплицированных данных, тесты отклонения и согласия Пирсона недействительны, поэтому первые две строки этой таблицы следует игнорировать. {2} = \ frac {\ ell (\ hat {\ beta_ {0}}) - \ ell (\ hat {\ beta})} {\ ell (\ hat {\ beta_ {0}})} = 1- \ frac {\ ell (\ hat {\ beta})} {\ ell (\ hat {\ beta_ {0}})}.{2} = 1- \ frac {26.073} {34.372} = 0,2414.
    \ end {формула *} \]

    Необработанный остаток

    Необработанный остаток - это разница между фактическим ответом и оцененной вероятностью модели. Формула необработанного остатка:

    \ [\ begin {уравнение *}
    r_ {i} = y_ {i} - \ hat {\ pi} _ {i}.
    \ end {формула *} \]

    Остаток по Пирсону

    Остаток Пирсона корректирует неравномерную дисперсию необработанных остатков путем деления на стандартное отклонение.Формула для остатков Пирсона:

    \ [\ begin {уравнение *}
    p_ {i} = \ frac {r_ {i}} {\ sqrt {\ hat {\ pi} _ {i} (1- \ hat {\ pi} _ {i} )}}.
    \ end {формула *} \]

    Отклонение остатков

    Остатки отклонения также популярны, потому что сумма квадратов этих остатков является статистикой отклонения. Формула невязки отклонения:

    \ [\ begin {уравнение *}
    d_ {i} = \ pm \ sqrt {2 \ biggl [y_ {i} \ log \ biggl (\ frac {y_ {i}} {\ hat {\ pi} _ { i}} \ biggr) + (1-год_ {i}) \ log \ biggl (\ frac {1-год_ {i}} {1- \ hat {\ pi} _ {i}} \ biggr) \ biggr] }.
    \ end {формула *} \]

    Вот графики остатков Пирсона и остатков отклонения для примера лейкемии. На этих графиках нет тревожных закономерностей, указывающих на серьезную проблему с моделью.

    Значения шляпы

    Матрица шляпы служит той же цели, что и в случае линейной регрессии - для измерения влияния каждого наблюдения на общее соответствие модели - но интерпретация не так ясна из-за ее более сложной формы.{\ textrm {T}} \ textbf {W} \ textbf {X}) \ textbf {x} _ {i},
    \ end {формула *} \]

    , где W - диагональная матрица размером $ n \ times n $ со значениями $ \ hat {\ pi} _ {i} (1- \ hat {\ pi} _ {i}) $ для $ i = 1 , \ ldots, n $ по диагонали. {\ textrm {th}} $.{2}}.
    \ end {формула *} \]

    Для иллюстрации соответствующий вывод программного обеспечения из примера лейкемии:

    Подборки и диагностика для необычных наблюдений
    Наблюдаемые
    Наблюдения Вероятность Fit SE Подгонка 95% ДИ Остаток Станд. Остаток Дель Остаток HI
    8 0,000 0,849 0,139 (0,403, 0,979) -1,945 -2,11 -2,19 0,149840
    Obs Cook's D DFITS
    8 0,58 - 1.08011 R
    R Большой остаток

    Невязки в этих выходных данных являются остатками отклонения, поэтому наблюдение 8 имеет невязку отклонения \ (- 1.945 \), стьюдентизированная невязка отклонения \ (- 2,19 \), плечо (h) \ (0,149840 \) и расстояние Кука (C) 0,58.

    Расчет области между кривыми

    СЕРЫЕ линии: 95% доверительный интервал подобранной кривой ROC. ЧЕРНЫЕ символы ± ЗЕЛЕНАЯ линия: точки, составляющие эмпирическую кривую ROC (не относится к формату 5). Экспорт графика ROC в Word или Excel: из-за ограничений веб-технологий не существует одношагового метода экспорта графика ROC в Microsoft Word или Excel.

    У нас есть калькулятор для этого. Если вы когда-нибудь хотели рассчитать площадь круга, у нас есть для этого калькулятор. Если вы хотите подсчитать, сколько баллов по ипотечным кредитам обойдется вам из собственного кармана, у нас есть для этого калькулятор.

    21 ноября 2018 г. · Предельные затраты представляют собой увеличение или уменьшение общих затрат, которые понесет ваш бизнес при производстве еще одной единицы продукта. Вы рассчитываете его, разделив изменение общих затрат на изменение выпуска.При нанесении на график предельные затраты обычно образуют J-образную кривую.

    • Кривая плотности: доля или вероятность - это площадь под кривой. Доля значений данных, лежащих между двумя значениями, - это площадь под кривой плотности между этими значениями. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Представлено колоколообразной кривой, сгруппированной вокруг среднего значения. ex Heights of men1. Оцените среднее значение и стандартное отклонение. Среднее значение: 68,2 дюйма

    Использование исчисления для расчета любой площади включает интегрирование.Помните, что интеграл разницы между двумя кривыми дает вам площадь между этими кривыми, то есть где f (x) лежит выше g (x), это площадь, заключенная между f (x) и g (x) между точками x = а и х = b. Теперь треугольник состоит из трех линий, соединяющих три вершины.

    P (c

    Площадь ниже части нормальной кривой (1 из 4) Если тест нормально распределен со средним значением 60 и стандартным отклонением 10, какая доля баллов выше 85? Эта проблема очень похожа на определение процентильного ранга человека, набравшего 85 баллов.

    В Yahoo Finance вы получаете бесплатные котировки акций, свежие новости, ресурсы по управлению портфелем, данные международного рынка, социальное взаимодействие и ставки по ипотечным кредитам, которые помочь вам управлять своей финансовой жизнью.

    Занятия в классе Desmos... Загрузка ... ...

    Калькулятор центроида кривой

    • E36 icv шланг
    • Калькулятор находит координаты центра тяжести треугольника для введенных координат трех вершин. Точка, через которую проходят все три медианы треугольника, называется центроидом треугольника. Каждая медиана, соединяющая вершину с серединой противоположной стороны.
    • Этот калькулятор кривой обучения обеспечивает быстрый и простой метод расчета общей стоимости или времени, которое потребуется для определенного повторяющегося процесса в производственной среде с определенной скоростью обучения, временем, в которое будет произведена первая единица, и количество единиц.
    • Многослойная модель с явным расчетом поглощения света и фотосинтеза для освещенных солнцем и затемненных листьев на глубине кроны дает представление о несоответствии масштабов между листом и кроной. Мы оцениваем модель с кривыми светового отклика на отдельных башнях FLUXNET и с эмпирически увеличенным годовым GPP. Смещения в многослойном ...
    • В следующих упражнениях используйте калькулятор, чтобы нарисовать область, ограниченную кривой. Найдите площадь и центр тяжести для данных форм.По возможности используйте симметрию, чтобы определить местонахождение центра масс.
    • Итак, расстояние до центроида два равно, квадрат корня, две скобки слева, A3, минус, и теперь на этот раз это I4, потому что мы вычисляем расстояние до второго центроида. Итак, это I4, F4 ...
    • 18 сент.2019 г. · Раздел 6-2: Площадь между кривыми. В этом разделе мы собираемся найти область между двумя кривыми. На самом деле есть два случая, которые мы собираемся рассмотреть. В первом случае мы хотим определить область между \ (y = f \ left (x \ right) \) и \ (y = g \ left (x \ right) \) на интервале \ (\ left [{a ,яркий]\).{th} $ term и сумма первых $ n $ членов арифметической прогрессии. Также с помощью этого калькулятора можно решать гораздо более сложные задачи. Например, калькулятор может найти общую разницу ($ d $), если $ a_5 = 19 ...
    • См. Полный список на ostermiller.org
    • 16 октября 2010 г. · Центроид находится в точке (x ¯, 0, 0 ) где x ¯ = ∫ abxf (x) f ′ 2 (x) + 1 dx ∫ abf (x) f ′ 3 (x) + 1 dx Что касается последней проблемы, вы говорите о кривой или поверхности, созданной вращением кривая вокруг оси абсцисс.Если вы имеете в виду саму кривую, вы не пользуетесь этими формулами.
    • Пример центроида Найдите центроид области, ограниченной y = sinx; у = cosx; x = 0 и x = ˇ 4. Решение. Мы применяем формулы, согласно которым координаты центроида (= центр масс, предполагающий постоянную плотность) области с вершиной y = f (x), внизу y = g (x), левой стороной x = a и правой стороной x = b are x = Rb ax [f (x) 1g (x)] dx Rb a [f ...
    • 31 декабря 2019 г. Расчет центроида сложных форм с использованием метода геометрического разложения.Геометрическая декомпозиция - один из методов, используемых для получения центроида сложной формы. Это широко используемый метод, потому что вычисления просты и требуют ...
    • Онлайн-калькулятор площади между кривыми. Расчет площади плоских кривых - одно из основных приложений определенного интеграла. Чтобы получить площадь плоской кривой, изображенную на рисунке, необходимо вычислить определенный интеграл вида: Функции и, как правило, известные из проблемной ситуации, абсциссы ...
    • Используйте этот калькулятор для расчета и визуализации того, что мы можем видеть от цели определенного размера и на любом расстоянии с любой высоты наблюдателя, с учетом рефракции. Вы можете сравнить результаты между плоской Землей и земным шаром. Вычисляется гораздо больше значений, и вы можете настроить и ...
    • 5. Найдите центр тяжести области, ограниченной кривыми y = et / 2; у = 1; и x = 2 в 3. Заштрихуйте область и пометьте центроид после вычисления. Используйте свой калькулятор, чтобы вычислить интегралы.Округлить до 4 знаков после запятой.
    • Как удалить воздух из тормозов мустанга и пресса

    Использование двух проекторов для одного изображения Получите бесплатный виджет Centroid - x для своего веб-сайта, блога, WordPress, Blogger или iGoogle. Найдите больше виджетов математики в Wolfram | Alpha. Вычисляет значение x центроида области между двумя кривыми в границах a, b.

    Я пытаюсь создать программу на C #, которая находит центроид лица, и у меня есть несколько вопросов о различных инструментах вычисления центроидов в NX 7.5.5. Почему мои измерения центроида отличаются при использовании команды "Измерение тела" и при использовании команды "Кривые" для площади?

    Oppo ofp file extract

    • Площадь секторной формулы. Формула для определения площади сектора: (угол / 360) x π x радиус 2. На рисунке ниже показано измерение: Как вы можете легко видеть, оно очень похоже на площадь круга, но изменено с учетом этого факта. что сектор - это просто часть круга.
    • Итак, расстояние до центроида два равно, квадрат корня, две скобки слева, A3, минус, и теперь на этот раз это I4, потому что мы вычисляем расстояние до второго центроида.Итак, это I4, F4 ...
    • У нас есть самый сложный и полный онлайн-калькулятор для построения графиков типа TI 84. Включает в себя все функции и опции, которые могут вам понадобиться. Легко использовать и 100% бесплатно! У нас также есть несколько других калькуляторов. Для начала выберите подходящий калькулятор из списка ниже.

    Гистограмма C3 показывает значение

    Устранение многоступенчатых неравенств

    Пули для самообороны из твердой медиSaddleback church class 301 pdf

    Предположим, что кривая C в плоскости вращается вокруг оси, которая не пересекает C, образуя поверхность вращения .Тогда площадь созданной поверхности равна sd, где s - длина C, а d - круговое расстояние, пройденное центроидом C.

    Моя секретная невеста vikiMixture и формула быстрого доступа аллигатора

    Статус CKD не является частью алгоритм риска, но используется для расчета пользы от определенных методов лечения. Как и во всех калькуляторах риска, расчетные значения риска в лучшем случае составляют +/- 5%. Больше информации.

    Армирование бетонным волокномCs 4261 gatech reddit

    Теоремы Паппа о центроидах являются результатом геометрии относительно площади поверхности и объема вращающихся тел.Эти величины могут быть вычислены с использованием расстояния, пройденного центроидами кривой и поворачиваемой области. Чтобы вычислить объем твердого тела, образованного вращением области ... 18 сентября 2019 г. · Раздел 6-2: Область между кривыми. В этом разделе мы собираемся найти область между двумя кривыми. На самом деле есть два случая, которые мы собираемся рассмотреть. В первом случае мы хотим определить область между \ (y = f \ left (x \ right) \) и \ (y = g \ left (x \ right) \) на интервале \ (\ left [{a ,яркий]\).

    Ящик для инструментов Agco Руководство по прогрессу в виде гипиксельного блока skyblock 2020

    Калькулятор уклона, формула, работа с шагами и практические задачи были бы очень полезны ученикам начальной школы (образование K-12), чтобы узнать о концепции линии в геометрии, как найти общее уравнение линии и как найти связь между двумя линиями.

    Вы вышли из своей учетной записи Google, войдите еще раз, чтобы продолжить Таблицу с итоговым значением null

    16 октября 2010 г. · Центроид находится в точке (x ¯, 0, 0), где x ¯ = ∫ abxf (x) f ′ 2 ( x) + 1 dx ∫ abf (x) f ′ 3 (x) + 1 dx Что касается последней проблемы, вы говорите о кривой или поверхности, созданной вращением кривой вокруг оси x.2

  • Этот калькулятор определяет площадь под стандартной нормальной кривой с учетом значений z-Score. Область представляет значения вероятности и процентиля. Калькулятор позволяет просматривать площадь без использования таблиц или диаграмм. Кроме того, он предоставляет график кривой с заштрихованной и закрашенной областью.

Логика ускоряет импорт аудио

Процессы пищеварительной системы_ отчет химической и физической лаборатории

Уравнение исследования MDRD. мл / мин. Для лиц младше 18 лет используйте детский калькулятор СКФ.Это ХБП? Любое из следующих условий должно присутствовать в течение ≥3 месяцев, чтобы быть CKD: СКФ менее 60 ≥3 месяцев. ACR ≥30 мг / г или другие маркеры поражения почек.

Найдите площадь одного лепестка. Калькулятор

8 лепестков - в Jade Garden есть один расширенный прогрессивный джекпот, 2 прогрессивных джекпота на одну зону и 2 фиксированных джекпота. Выиграйте джекпот, приземлившись на клиньях во время игры с колесом! Большой джекпот: прогрессивный джекпот большого размера - каждый вносит свой вклад в банк при каждом вращении

О нас.Откройте для себя лучший способ найти дома, кондоминиумы, апартаменты и многоквартирные дома для продажи и аренды в Сингапуре с 99.co, Самый быстрорастущий портал недвижимости Сингапура

a) Найдите длину одного лепестка трехлепестковой розы, начертанной с помощью r = 4cos 3θ б) Найдите область, ограниченную всеми тремя лепестками. 8.7 Примечания 8 февраля 2017 г. 7. a) Найдите длину дуги одной полной петли r = 5 + 4cosθ, и b) Найдите площадь, ограниченную лимаконом r = 5 + 4cosθ

Два ограничения в конструкции лепестка инструмента, углы, которые определяют все это, должны быть положительными, и износ никогда не должен превышать желаемый износ.Первое ограничение эквивалентно положительному времени задержки небольшого твердотельного инструмента. Ввиду вышеизложенного мы представляем конструкцию лепестковых инструментов, которые используются для создания конических поверхностей из ближайших к ним сфер и корректируют ...

22 октября 2019 г. · Более того, сохранение измерений в одной единице позволяет нам добавить: легко вычитать, умножать и делить дроби. Это устраняет проблему преобразования, которая невозможна, если измерения находятся между двумя разными единицами.Чтобы упростить вычисление дробей, воспользуйтесь калькулятором в верхней части этой страницы.

Бесплатный калькулятор площади и периметра прямоугольника - шаг за шагом рассчитайте площадь и периметр прямоугольника. Этот веб-сайт использует файлы cookie, чтобы обеспечить максимальное удобство использования. Используя этот сайт, вы соглашаетесь с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie.

Расчеты на розу. Роза - это кривая, которая в полярных координатах образована уравнением r = a * cos (n * φ).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.