Расстояние между точками на координатной прямой

Расстояние между двумя точками является длиной отрезка, между этими точками. Как найти расстояние между двумя заданными точками?

Для того чтобы найти длину отрезка на координатной прямой надо из координаты ее конца вычесть координату начала  по модулю. 

Пример . Найдите расстояние между  точками:

1.  \(A(-15)\) и \(B(3)\)
2.  \(C(3,2)\) и \(D(7,8)\)
3.  \(E(5)\) и \(K(-17)\)

Для понимания важно знать какая из точек находится правее, а какая левее. Хотя это не важно, так как  мы берем расстояние по модулю, то есть отрицательным значение не может быть.

Решение:

\(|AB|=b-a\)

1) \(|AB| = 3-(-15)=|18|=18\)

2) \(|CD| = (3;2)-(7;8)=|(-4;-6)|=(4;6)-\) это означает на рисунке выше по оси x расстояние равно четырем единицам и по оси y 6 единицам длины. 

3) \(|EK| = 5-(-17)=|22|=22\)

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Наши преподаватели

Оставить заявку

Репетитор по математике

Санкт-Петербургский политехнический университет им. Петра Великого

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 1-10 классов. .
Нахожу общий язык с учеником. К каждому индивидуальный подход. С удовольствием помогу разобраться с математикой в приятной учебной атмосфере. Занимаюсь подготовкой учеников к ОГЭ, помогаю подтянуть программу средней школы , разобрать домашние задания, подготовиться к контрольным, устранить пробелы по уже изученным темам.

Оставить заявку

Репетитор по математике

Могилевский государственный педагогический институт им. А.А. Кулешова

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-11 классов. Физкультура помогает нам укреплять и развивать своё тело, а математика – развивать и совершенствовать свой мозг. Математика – это фитнес для мозга. Тот, кто знает математику, знает, или может узнать все остальное.
Если вы хотите изучить математику, я с удовольствием вам в этом помогу.

Оставить заявку

Репетитор по математике

Крымский федеральный университет им. Вернадского

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 1-4 классов.
Я люблю математику потому, что в ней всё
подчиняется определенным правилам, которые легко понять и которые одинаковы абсолютно для всех. Математика имеет свои неизменные законы, которые действуют во все времена и во всех странах.
Со мной , Ваш ребенок, не будет получать скучные знания в душных кабинетах, а с удовольствием проведёт досуг познания «царицы наук» в игровой форме, не выходя из зоны комфорта , ведь математика — это весело !
Со мной будет интересно , обещаю ; )

Математика по Skype

• — Индивидуальные занятия
• — В любое удобное для вас время
• — Бесплатное вводное занятие

Похожие статьи

Расстояние между точками на координатной прямой

Расстояние между двумя точками на координатной прямой равно модулю разности их координат.

Формула расстояния между точками на координатной прямой:

AB = |a — b|,

где  A  и  B  — это произвольные точки, расстояние между которыми надо найти, то есть, найти длину отрезка  AB,  a  и  b  — координаты точек.

Выражение  |a — b|  можно заменить выражением  |b — a|,  так как  a — b  и  b — a  являются противоположными числами и их модули равны.

Следовательно, чтобы найти расстояние между точками координатной прямой надо из координаты одной точки вычесть координату другой точки.

Пример 1. Найти расстояние между точками  L(-3)  и  M(5),  отмеченными на координатной прямой.

Решение. Чтобы найти расстояние между точками  L  и  M  надо из координаты точки  L  вычесть координату точки  M  или наоборот, а в качестве ответа взять модуль полученного результата:

|-3 — 5| = |-8| = 8

или

|5 — (-3)| = |5 + 3| = 8.

Ответ. Расстояние между точками  L  и  M  равно 8.

Пример 2. Найдите координаты середины отрезка  AB,  если  A(-5)  и  B(5).

Решение. Обозначим середину отрезка точкой  C.  Так как  C  — середина отрезка  AB,  то  |AC| = |CB|.  Значит, чтобы найти координату точки  C,  надо сначала вычислить длину отрезка  AB  и разделить её на 2, то есть, на две равные части  AC  и  CB:

AB = |-5 — 5| = |-10| = 10;

10 : 2 = 5,   значит   |AC| = |CB| = 5.

Как видно из чертежа, чтобы найти координату середины отрезка, надо половину длины отрезка либо прибавить к точке с наименьшей координатой, либо отнять от точки с наибольшей координатой:

-5 + 5 = 0

или

5 — 5 = 0.

Ответ. Координата середины отрезка  C(0).

Пример 3. Найдите координату точки  C,  которая является серединой отрезка с концами в точках  A(7)  и  B(25).

Решение.

AB = |7 — 25| = |-18| = 18;

AC = CB = 18 : 2 = 9;

7 + 9 = 16

или

25 — 9 = 16.

Ответ. Координата точки  C  — 16.

Расстояние между точками [wiki.eduVdom.com]

Пусть на плоскости хОу даны две точки: А₁ с координатами х₁, у₁ и А₂ с координатами х₂, у₂. Выразим расстояние между точками А₁ и А₂ через координаты этих точек.

Рассмотрим сначала случай, когда х₁ ≠ х₂ и у₁ ≠ у₂. Проведем через точки А₁ и А₂ прямые, параллельные осям координат, и обозначим
точку их пересечения буквой А (рис. 1).

Рис.2 } = \sqrt{ 9 + 16 } = \sqrt{25} = 5 \,\,. $$

Декартова система координат: основные понятия и примеры

Если вы находитесь в некоторой нулевой точке и размышляете над тем, сколько единиц расстояния
нужно пройти строго вперёд, а затем — строго вправо, чтобы оказаться в некоторой другой точке, то вы
уже пользуетесь прямоугольной декартовой системой координат на плоскости. А если точка находится выше
плоскости, на которой вы стоите, и к вашим расчётам добавляется подъём к точке по лестнице строго вверх
также на определённое число единиц расстояния, то вы уже пользуетесь прямоугольной декартовой системой
координат в пространстве.

Упорядоченная система двух или трёх
пересекающихся перпендикулярных друг другу осей с общим началом отсчёта (началом координат) и общей единицей длины называется
прямоугольной декартовой системой координат.

С именем французского математика Рене Декарта
(1596-1662) связывают прежде всего такую систему координат, в которой на всех осях отсчитывается
общая единица длины и оси являются прямыми. Помимо прямоугольной существует общая декартова система координат (аффинная система координат). Она может включать и
не обязательно перпендикулярные оси. Если же оси перпендикулярны, то система координат является
прямоугольной.

Прямоугольная декартова система координат на плоскости имеет
две оси, а прямоугольная декартова система координат в пространстве — три оси.
Каждая точка на плоскости или в пространстве определяется упорядоченным набором координат — чисел в
соответствии единице длины системы координат.

Заметим, что, как следует из определения, существует декартова система координат и
на прямой, то есть в одном измерении. Введение декартовых координат на прямой представляет собой один
из способов, с помощью которого любой точке прямой ставится в соответствие вполне определённое вещественное
число, то есть координата.

Метод координат, возникший в работах Рене Декарта, ознаменовал собой революционную
перестройку всей математики. Появилась возможность истолковывать алгебраические уравнения (или неравенства)
в виде геометрических образов (графиков) и, наоборот, искать решение геометрических задач с помощью
аналитических формул, систем уравнений. Так, неравенство z < 3
геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости
xOy и находящейся выше этой плоскости на 3 единицы.

С помощью декартовой системы координат принадлежность точки заданной кривой
соответствует тому, что числа x и y удовлетворяют некоторому уравнению. Так, координаты
точки окружности с центром в заданной точке (a; b)
удовлетворяют уравнению (x — a)² + (y — b)² = R².

Две перпендикулярные оси на плоскости с общим началом и одинаковой масштабной единицей
образуют декартову прямоугольную систему координат на плоскости. Одна из этих
осей называется осью Ox, или осью абсцисс,
другую — осью Oy, или осью ординат.
Эти оси называются также координатными осями. Обозначим через Mx и
My соответственно проекции произвольной
точки М на оси Ox и
Oy. Как получить проекции? Проведём через точку М
прямую, перпендикулярную оси Ox. Эта прямая пересекает ось
Ox в точке Mx.
Проведём через точку М
прямую, перпендикулярную оси Oy. Эта прямая пересекает ось
Oy в точке My.
Это показано на рисунке ниже.

Декартовыми прямоугольными координатами x и
y точки М будем называть
соответственно величины направленных отрезков OMx
и OMy. Величины этих направленных
отрезков рассчитываются соответственно как x = x0 — 0 и
y = y0 — 0. Декартовы координаты x и
y точки М называются соответственно
её абсциссой и ординатой. Тот факт, что точка
М имеет координаты x и
y, обозначается так: M(x, y).

Координатные оси разбивают плоскость на четыре квадранта, нумерация которых показана
на рисунке ниже. На нём же указана расстановка знаков координат точек в зависимости от их расположения
в том или ином квадранте.

Помимо декартовых прямоугольных координат на плоскости часто рассматривается также
полярная система координат. О способе перехода от одной системы координат к другой — в уроке
полярная система координат.

Декартовы координаты в пространстве вводятся в полной аналогии с декартовыми
координатами на плоскости.

Три взаимно перпендикулярные оси в пространстве (координатные оси) с общим началом
O и одинаковой масштабной единицей образуют декартову
прямоугольную систему координат в пространстве.

Одну из указанных осей называют осью Ox, или осью абсцисс,
другую — осью Oy, или осью ординат,
третью — осью Oz, или осью аппликат.
Пусть Mx, My
Mz — проекции произвольной точки
М пространства на оси Ox,
Oy и Oz соответственно.

Проведём через точку М
плоскость, перпендикулярную оси Ox. Эта плоскость пересекает ось
Ox в точке Mx.
Проведём через точку М
плоскость, перпендикулярную оси Oy. Эта плоскость пересекает ось
Oy в точке My.
Проведём через точку М
плоскость, перпендикулярную оси Oz. Эта плоскость пересекает ось
Oz в точке Mz.

Декартовыми прямоугольными координатами x,
y и z точки М
будем называть соответственно величины направленных отрезков OMx,
OMy и OMz.
Величины этих направленных отрезков рассчитываются соответственно как
x = x0 — 0,
y = y0 — 0 и
z = z0 — 0.

Декартовы координаты x,
y и z точки М называются соответственно
её абсциссой, ординатой и аппликатой.

Попарно взятые координатные оси располагаются в координатных плоскостях
xOy, yOz и zOx.

Пример 1. В декартовой системе координат на плоскости даны точки

A(2; -3);

B(3; -1);

C(-5; 1).

Найти координаты проекций этих точек на ось абсцисс.

Решение. Как следует из теоретической части этого урока, проекция точки на ось абсцисс
расположена на самой оси абсцисс, то есть оси Ox, а следовательно
имеет абсциссу, равную абсциссе самой точки, и ординату (координату на оси Oy, которую
ось абсцисс пересекает в точке 0), равную нулю. Итак получаем следующие координаты данных точек на ось абсцисс:

Ax(2; 0);

Bx(3; 0);

Cx(-5; 0).

Пример 2. В декартовой системе координат на плоскости даны точки

A(-3; 2);

B(-5; 1);

C(3; -2).

Найти координаты проекций этих точек на ось ординат.

Решение. Как следует из теоретической части этого урока, проекция точки на ось ординат
расположена на самой оси ординат, то есть оси Oy, а следовательно
имеет ординату, равную ординате самой точки, и абсциссу (координату на оси Ox,
которую ось ординат пересекает в точке 0),
равную нулю. Итак получаем следующие координаты данных точек на ось ординат:

Ay(0; 2);

By(0; 1);

Cy(0; -2).

Пример 3. В декартовой системе координат на плоскости даны точки

A(2; 3);

B(-3; 2);

C(-1; -1).

Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси Ox.

Решение. Поворачиваем на 180 градусов вокруг оси Ox
направленный отрезок, идущий от оси Ox до данной точки. На рисунке,
где обозначены квадранты плоскости, видим, что точка, симметричная данной относительно оси Ox, будет иметь
такую же абсциссу, что и данная точка, и ординату, равную по абсолютной величине ординате данной точки,
и противоположную ей по знаку. Итак получаем следующие координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси Ox:

A’(2; -3);

B’(-3; -2);

C’(-1; 1).

Пример 4. Определить, в каких квадрантах (четвертях, рисунок с
квадрантами — в конце параграфа «Прямоугольная декартова система координат на плоскости») может быть
расположена точка M(x; y), если

1) xy > 0;

2) xy < 0;

3) x − y = 0;

4) x + y = 0;

5) x + y > 0;

6) x + y < 0;

7) x − y > 0;

8) x − y < 0.

Правильное решение и ответ.

Пример 5. В декартовой системе координат на плоскости даны точки

A(-2; 5);

B(3; -5);

C(a; b).

Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси Oy.

Правильное решение и ответ.

Пример 6. В декартовой системе координат на плоскости даны точки

A(-1; 2);

B(3; -1);

C(-2; -2).

Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси Oy.

Решение. Поворачиваем на 180 градусов вокруг оси Oy
направленный отрезок, идущий от оси Oy до данной точки. На рисунке,
где обозначены квадранты плоскости, видим, что точка, симметричная данной относительно оси Oy, будет иметь
такую же ординату, что и данная точка, и абсциссу, равную по абсолютной величине абсциссе данной точки,
и противоположную ей по знаку. Итак получаем следующие координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси Oy:

A’(1; 2);

B’(-3; -1);

C’(2; -2).

Пример 7. В декартовой системе координат на плоскости даны точки

A(3; 3);

B(2; -4);

C(-2; 1).

Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно начала координат.

Решение. Поворачиваем на 180 градусов вокруг начала координат направленный отрезок, идущий от
начала координат к данной точке. На рисунке, где обозначены квадранты плоскости, видим, что точка,
симметричная данной относительно начала координат, будет иметь абсциссу и ординату, равные по
абсолютной величине абсциссе и ординате данной точки, но противоположные им по знаку. Итак получаем
следующие координаты точек, симметричных этим точкам относительно начала координат:

A’(-3; -3);

B’(-2; 4);

C(2; -1).

Пример 8. В декартовой системе координат в пространстве даны точки

A(4; 3; 5);

B(-3; 2; 1);

C(2; -3; 0).

Найти координаты проекций этих точек:

1) на плоскость Oxy;

2) на плоскость Oxz;

3) на плоскость Oyz;

4) на ось абсцисс;

5) на ось ординат;

6) на ось апликат.

Решение.

1) Проекция точки на плоскость Oxy расположена
на самой этой плоскости, а следовательно
имеет абсциссу и ординату, равные абсциссе и ординате данной точки, и апликату, равную нулю. Итак
получаем следующие координаты проекций данных точек на Oxy:

Axy(4; 3; 0);

Bxy(-3; 2; 0);

Cxy(2; -3; 0).

2) Проекция точки на плоскость Oxz расположена
на самой этой плоскости, а следовательно
имеет абсциссу и апликату, равные абсциссе и апликате данной точки, и ординату, равную нулю. Итак
получаем следующие координаты проекций данных точек на Oxz:

Axz(4; 0; 5);

Bxz(-3; 0; 1);

Cxz(2; 0; 0).

3) Проекция точки на плоскость Oyz расположена
на самой этой плоскости, а следовательно
имеет ординату и апликату, равные ординате и апликате данной точки, и абсциссу, равную нулю. Итак
получаем следующие координаты проекций данных точек на Oyz:

Ayz(0; 3; 5);

Byz(0; 2; 1);

Cyz(0; -3; 0).

4) Как следует из теоретической части этого урока, проекция точки на ось абсцисс
расположена на самой оси абсцисс, то есть оси Ox, а следовательно
имеет абсциссу, равную абсциссе самой точки, а ордината и апликата проекции равны нулю (поскольку
оси ординат и апликат пересекают ось абсцисс в точке 0). Получаем
следующие координаты проекций данных точек на ось абсцисс:

Ax(4; 0; 0);

Bx(-3; 0; 0);

Cx(2; 0; 0).

5) Проекция точки на ось ординат
расположена на самой оси ординат, то есть оси Oy, а следовательно
имеет ординату, равную ординате самой точки, а абсцисса и апликата проекции равны нулю (поскольку
оси абсцисс и апликат пересекают ось ординат в точке 0). Получаем
следующие координаты проекций данных точек на ось ординат:

Ay(0; 3; 0);

By(0; 2; 0);

Cy(0; -3; 0).

6) Проекция точки на ось апликат
расположена на самой оси апликат, то есть оси Oz, а следовательно
имеет апликату, равную апликате самой точки, а абсцисса и ордината проекции равны нулю (поскольку
оси абсцисс и ординат пересекают ось апликат в точке 0). Получаем
следующие координаты проекций данных точек на ось апликат:

Az(0; 0; 5);

Bz(0; 0; 1);

Cz(0; 0; 0).

Пример 9. В декартовой системе координат в пространстве даны точки

A(2; 3; 1);

B(5; -3; 2);

C(-3; 2; -1).

Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно:

1) плоскости Oxy;

2) плоскости Oxz;

3) плоскости Oyz;

4) оси абсцисс;

5) оси ординат;

6) оси апликат;

7) начала координат.

Решение.

1) «Продвигаем» точку по другую сторону оси Oxy
на то же расстояние. По рисунку, отображающему координатное пространство, видим, что точка, симметричная
данной относительно оси Oxy, будет иметь абсциссу и ординату,
равные абсциссе и ординате данной точки, и апликату, равную по величине апликате данной точки, но
противоположную ей по знаку. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно
плоскости Oxy:

A’(2; 3; -1);

B’(5; -3; -2);

C’(-3; 2; 1).

2) «Продвигаем» точку по другую сторону оси Oxz
на то же расстояние. По рисунку, отображающему координатное пространство, видим, что точка, симметричная
данной относительно оси Oxz, будет иметь абсциссу и апликату,
равные абсциссе и апликате данной точки, и ординату, равную по величине ординате данной точки, но
противоположную ей по знаку. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно
плоскости Oxz:

A’(2; -3; 1);

B’(5; 3; 2);

C’(-3; -2; -1).

3) «Продвигаем» точку по другую сторону оси Oyz
на то же расстояние. По рисунку, отображающему координатное пространство, видим, что точка, симметричная
данной относительно оси Oyz, будет иметь ординату и апликату,
равные ординате и апликате данной точки, и абсциссу, равную по величине абсциссе данной точки, но
противоположную ей по знаку. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно
плоскости Oyz:

A’(-2; 3; 1);

B’(-5; -3; 2);

C’(3; 2; -1).

По аналогии с симметричными точками на плоскости и точками пространства, симметричными
данным относительно плоскостей, замечаем, что в случае симметрии относительно некоторой оси декартовой
системы координат в пространстве, координата на оси, относительно которой задана симметрия, сохранит
свой знак, а координаты на двух других осях будут теми же по абсолютной величине, что и координаты
данной точки, но противоположными по знаку.

4) Свой знак сохранит абсцисса, а ордината и апликата поменяют знаки. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно
оси абсцисс:

A’(2; -3; -1);

B’(5; 3; -2);

C’(-3; -2; 1).

5) Свой знак сохранит ордината, а абсцисса и апликата поменяют знаки. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно
оси ординат:

A’(-2; 3; -1);

B’(-5; -3; -2);

C’(3; 2; 1).

6) Свой знак сохранит апликата, а абсцисса и ордината поменяют знаки. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно
оси апликат:

A’(-2; -3; 1);

B’(-5; 3; 2);

C’(3; -2; -1).

7) По аналогии с симметрии в случае с точками на плоскости, в случае симметрии относительно
начала координат все координаты точки, симметричной данной, будут равными по абсолютной величине
координатам данной точки, но противоположными им по знаку. Итак, получаем следующие координаты точек,
симметричных данным относительно начала координат:

A’(-2; -3; -1);

B’(-5; 3; -2);

C’(3; -2; 1).

Поделиться с друзьями

Весь блок «Аналитическая геометрия»

• Векторы
• Плоскость
• Прямая на плоскости

Расстояние между двумя точками: определение, формулы и примеры

Мы в Cuemath считаем, что математика — это жизненный навык. Наши эксперты по математике сосредотачиваются на том, «почему» стоит за «что». Студенты могут изучить огромное количество интерактивных листов, наглядных пособий, симуляторов, практических тестов и многого другого, чтобы глубже понять концепцию.

Забронируйте БЕСПЛАТНОЕ пробное занятие сегодня! и поучаствуйте в онлайн-классе Cuemath LIVE вместе со своим ребенком. 2} \]

Это называется формулой расстояния .

Давайте теперь узнаем, как вывести эту формулу.

Формула доказательства расстояния

Предположим, что:

\ [A = (x_1, y_1) \\ [0,2 см] B = (x_2, y_2) \]

Далее предположим, что \ (\ overline {AB} = d \)

Теперь мы нанесем данные точки на координатную плоскость и соединим их линией.

Далее мы построим прямоугольный треугольник с гипотенузой \ (\ overline {AB} \).2} \]

Помогите своему ребенку набрать больше баллов с помощью запатентованного БЕСПЛАТНОГО диагностического теста Cuemath. Получите доступ к подробным отчетам, индивидуальным планам обучения и БЕСПЛАТНОЙ консультации. Попытайтесь пройти тест сейчас.

Решенные примеры

Найдите расстояние между двумя точками \ ((2, -6 \)) и \ ((7, 3 \))

Решение:

Предположим, что данные точки равны:

\ [\ begin {align} (x_1, y_1) & = (2, -6) \\ [0.2} \\ [0,3 см] d & = \ sqrt {25 + 81} \\ [0,3 см] d & = \ sqrt {106} \ end {align} \]

Покажите, что точки \ ((2, -1), (0, 1) \) и \ ((2, 3 \)) являются вершинами прямоугольного треугольника.

Решение:

Предположим, что данные точки равны:

\ [\ begin {align} A & = (2, -1) \\ [0,2 см] B & = (0,1) \\ [0.2 \\ [0,3 см] 8 + 8 & = 16 \\ [0,3 см] 16 & = 16 \ конец {выровнено} \]

Таким образом, \ (A, B \) и \ (C \) удовлетворяют теореме Пифагора.

Итак, \ (\ треугольник ABC \) прямоугольный треугольник.

Мы можем доказать то же самое, отметив все координаты на графике:

Таким образом,

Найдите точку на оси Y, которая равноудалена от точек \ ((- 1, 2 \)) и \ ((2, 3) \)

Решение:

Мы знаем, что координата x любой точки на оси y равна \ (0 \)

Следовательно, мы считаем точку, равноудаленную от данных точек, равной \ ((0, k \)).2-6k \\ 2k & = 8 \\ k & = 4 \ end {align} \]

Следовательно, требуемая точка \ ((0, k) = (0, 4) \)

Калькулятор расстояния между двумя точками

Вот «Калькулятор расстояния между двумя точками».

Здесь вы можете ввести координаты двух точек, и он покажет вам расстояние между ними с пошаговым объяснением.

CLUEless по математике? Узнайте, как учителя CUEMATH объяснят вашему ребенку Расстояние между двумя точками , используя интерактивные симуляции и рабочие листы, чтобы им больше никогда не приходилось запоминать что-либо по математике!

Изучите интерактивные и персонализированные онлайн-классы Cuemath, которые сделают вашего ребенка экспертом по математике. Забронируйте БЕСПЛАТНОЕ пробное занятие сегодня!

Практические вопросы

Сложные вопросы

1. Вершины прямоугольника — это \ ((- 4, -3), (4, -3), (4, 3), \) и \ ((- 4, 3) \).Какая у него площадь?
2. Вершины прямоугольного треугольника — это \ ((- 3, 6), (1, 6) \) и \ ((1, -1) \). Какая у него площадь?

Образцы материалов олимпиады по математике

IMO (Международная олимпиада по математике) — это конкурсный экзамен по математике, который ежегодно проводится для школьников. Он побуждает детей развивать свои навыки решения математических задач с точки зрения соревнований.

Вы можете БЕСПЛАТНО скачать образцы работ по оценкам ниже:

Чтобы узнать больше об олимпиаде по математике щелкните здесь

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

1.Каково определение расстояния между двумя точками?

Расстояние между любыми двумя точками — это длина отрезка линии, соединяющего точки.

Например, если \ (A \) и \ (B \) — две точки, и если \ (\ overline {AB} = 10 \) см, это означает, что расстояние между \ (A \) и \ (B \ ) составляет \ (10 ​​\) см.

2. Какова формула расстояния между двумя точками?

Расстояние \ (d \) между двумя точками с координатами \ ((x_1, y_1) \) и \ ((x_2, y_2 \)) составляет:

Это называется формулой расстояния .

Видео с вопросом: определение расстояния между точкой и осью с учетом координат точки

Стенограмма видео

Какое расстояние между
точка 19, пять, пять и ось?

Любая точка, лежащая на оси 𝑥
будет иметь координаты 𝑥, ноль, ноль. И 𝑦-, и 𝑧-координаты
должен быть равен нулю.Нам даны координаты
пункт 19, пять, пять. Точка на оси, которая
Ближайшие к этому будут иметь координаты 19, ноль, ноль. Кратчайшее расстояние будет до
точка, в которой 𝑥-координата совпадает. Мы знаем, что можем рассчитать
расстояние между двумя точками в трех измерениях с использованием пифагорейской адаптации
теорема. Если у нас есть две точки с
координаты 𝑥 one, 𝑦 one, 𝑧 one и 𝑥 two, 𝑦 two, 𝑧 two, расстояние между
они равны квадратному корню из два минус 𝑥 один квадрат плюс 𝑦 два минус 𝑦
один квадрат плюс два минус один квадрат.

Подставляя в наши две координаты
дает нам квадратный корень из 19 минус 19 в квадрате плюс ноль минус пять в квадрате плюс
ноль минус пять в квадрате. 19 минус 19 равно нулю. Ноль минус пять равно
отрицательная пятерка. Итак, у нас остается квадратный корень
отрицательных пяти в квадрате плюс отрицательных пяти в квадрате. Умножение отрицательного числа на
отрицательное число дает нам положительный ответ. Таким образом, квадрат отрицательных пяти равен
равно 25.Это означает, что наш ответ
упрощается до квадратного корня из 50.

Стоит отметить, что мы
мог бы вычесть координаты в другом порядке как пять минус ноль в квадрате
также равно 25. Поскольку возведение числа в квадрат всегда дает
положительный ответ, не имеет значения, в каком порядке мы вычитаем наши координаты. Мы действительно можем упростить наш ответ
используя наши законы радикалов или сурдов. Квадратный корень из 50 равен
квадратный корень из 25, умноженный на квадратный корень из двух.Поскольку квадратный корень из 25 равен
пять, у нас остается пять, умноженные на квадратный корень из двух или пяти корней
два. Квадратный корень из 50 равен
пять корень два. Таким образом, мы можем сделать вывод, что
расстояние между точками 19, пять, пять и осью составляет пять корней длины два
единицы измерения.

Мы можем заметить ярлык
здесь. Чтобы найти расстояние между любыми
точку и ось, мы просто находим сумму квадратов двух других
координаты, а затем извлечение квадратного корня из ответа.Поскольку мы хотим рассчитать
расстояние до оси возводим в квадрат-и 𝑧-координаты, находим их сумму и
затем квадратный корень наш ответ. Если бы нам нужно было рассчитать
расстояние между точкой и осью, мы возведем в квадрат-и
-координаты, найдите их сумму, а затем извлеките квадратный корень из полученного ответа. Мы использовали бы тот же метод для
найти расстояние между точкой и осью, на этот раз используя 𝑥- и
𝑦-координаты.

Расстояние между 2 точками

Краткое объяснение

Когда мы знаем горизонтальных и вертикальных расстояний между двумя точками, мы можем вычислить расстояние по прямой следующим образом:

расстояние = √ a ² + b ²

Представьте, что вы знаете расположение двух точек (A и B), как здесь.

Какое расстояние между ними?

Мы можем провести линии вниз от A и вдоль от B, чтобы получился прямоугольный треугольник.

И с небольшой помощью Пифагора мы знаем, что:

a ² + b ² = c ²

Теперь отметьте координаты точек A и B.

x _A означает координату x точки A
y _A означает координату y точки A

Горизонтальное расстояние a составляет (x _A — x _B )

Вертикальное расстояние b равно (y _A — y _B )

Теперь мы можем найти c (расстояние между точками):

Начать с: c ² = a ² + b ²

Введите вычисления для a и b: c ² = (x _A — x _B ) ² + (y _A — y _B ) ²

Квадратный корень из обеих сторон:

Сделанный!

Примеры

Пример 1

Пример 2

Неважно, в каком порядке расположены точки, потому что возведение в квадрат удаляет любые негативы:

Пример 3

А вот еще пример с некоторыми отрицательными координатами… все еще работает:

(при желании √136 может быть дополнительно упрощено до 2√34)

Попробуйте сами

Перетащите точки:

Три или более размеров

Отлично работает в 3 (и более!) Измерениях.

Возвести в квадрат разность для каждой оси, затем просуммировать их и извлечь квадратный корень:

Расстояние = √ [(x _A — x _B ) ² + (y _A — y _B ) ² + (z _A — z _B ) ² ]

Пример: расстояние между двумя точками (8,2,6) и (3,5,7) составляет:

Как рассчитать расстояние между двумя координатами

Обновлено 15 декабря 2020 г.

Нукрейша Лэнгдон

Знание того, как рассчитать расстояние между двумя координатами, имеет множество практических применений в науке и строительстве. Чтобы найти расстояние между двумя точками на двумерной сетке, вам необходимо знать координаты x и y каждой точки. Чтобы найти расстояние между двумя точками в трехмерном пространстве, вам также необходимо знать z-координаты этих точек.

Формула расстояния используется для выполнения этой работы и проста: возьмите разницу между значениями X и разницу между значениями Y, сложите их квадраты и извлеките квадратный корень из суммы, чтобы найти прямую -линейное расстояние, то есть расстояние между двумя точками на картах Google над землей, а не на извилистой дороге или водном пути.

Расстояние в двух измерениях

Вычислите положительную разницу между координатами x и назовите это число X. 2

, чтобы найти квадрат расстояния между двумя точками.2 = 41

Таким образом, квадрат расстояния между координатами равен 41.

Извлеките квадратный корень из D ² , чтобы найти D, фактическое расстояние между двумя точками. Например, если D ² = 41, то D = 6,403, и поэтому расстояние между (-3, 7) и (1, 2) равно 6,403.

Расстояние в трех измерениях

Вычислите положительную разницу между координатами z и назовите это число Z. Координаты z — это третьи числа в каждом наборе координат.2 = 141

Таким образом, квадрат расстояния между координатами равен 141.

Извлеките квадратный корень из D ² , чтобы найти D, фактическое расстояние между двумя точками. Например, если D ² = 141, то D = 11,874, и поэтому расстояние между (-3, 7, 10) и (1, 2, 0) равно 11,87.

Урок по формуле расстояния — Бесплатная справка по математике

Введение

Мы используем так называемую формулу расстояния , чтобы получить расстояние между любыми двумя точками в пространстве. 2} $$

Разрушение

На первый взгляд, эта формула выглядит как беспорядок! Но просто подумайте о компонентах \ (x_ {2} -x_ {1} \) и \ (y_ {2} -y_ {1} \) как о длине в каждом направлении.Используя эти два значения, мы математически строим воображаемый треугольник с двумя катетами, длину которых мы можем вычислить. Позвольте мне показать вам, что я имею в виду визуально:

Мы просто измеряем расстояние по каждой оси, а затем используем теорему Пифагора для вычисления длины гипотенузы, которая представляет собой воображаемую линию непосредственно между двумя нашими точками. Не имеет значения, какая точка равна \ ((x_ {1}, y_ {1}) \), а какая — \ ((x_ {2}, y_ {2}) \). Ключевой идеей, которую следует вынести из этого графика, является то, что вас интересует только изменение на по x и изменение на по y.2} $$

Как мы пришли к этой формуле? Это просто теорема Пифагора, которая позволяет нам найти гипотенузу прямоугольного треугольника. В нашем случае гипотенуза — это расстояние между двумя точками!

Давайте теперь посмотрим на простой пример:

Пример:

Найдите расстояние между двумя точками (5,5) и (1,2), используя формулу расстояния.

Решение:

Вместо того, чтобы слепо подставлять числа в формулы, нарисуйте график, чтобы знать, что происходит.2} $$
$$ \ text {расстояние} = \ sqrt {16 + 9} $$
$$ \ text {расстояние} = \ sqrt {25} $$
$$ \ text {distance} = 5 $$

Как только мы узнали, что \ (x_ {2} -x_ {1} \) равно 4 и \ (y_ {2} -y_ {1} \) равно 3, мы просто вставили эти числа в формулу расстояния , чтобы решить .

Вам может быть интересно, что произойдет, если перевернуть точки? Помните, что мы имеем дело с расстояниями, которые по своей сути положительны. Расстояние одинаково в любом направлении, от точки 1 до точки 2 или наоборот. Итак, просто используйте положительное расстояние между двумя точками.Если вы посмотрите на формулу, вы заметите, что \ (x_ {2} -x_ {1} \) и \ (y_ {2} -y_ {1} \) возведены в квадрат, что в любом случае автоматически делает их положительными. 2} $$
$$ \ text {distance} = \ sqrt {25 + 121} $$
$$ \ text {расстояние} = \ sqrt {146} $$
$$ \ text {distance} = 12.08 $$

Формула расстояния не сложна — вам просто нужно попрактиковаться с графиком, чтобы понять, что происходит. Вы просто строите треугольник и находите длину гипотенузы. Формула расстояния — это просто теорема Пифагора!

Расширение до трех измерений

А как насчет трехмерного пространства? Как найти расстояние между точками (1,5,0) и (2,0, 8)? Конечно, построить график и измерить расстояние намного сложнее! Формула трехмерного расстояния на самом деле очень проста.2} $$

Если вы зашли так далеко, надеюсь, вы лучше понимаете формулу расстояния. Если это не так, вот еще один урок по формуле расстояния, доступный в Интернете.

Калькулятор формулы расстояния

— [100% бесплатно]

Есть несколько ситуаций, когда вам нужно найти расстояние. В таких случаях вы можете либо выполнить вычисления вручную, либо использовать этот калькулятор формулы расстояния. Используя это расстояние между двумя точками калькулятора, вы можете найти расстояние между двумя точками в декартовой системе координат.Этот онлайн-инструмент использует общую формулу. Он вычисляет расстояние после того, как вы ввели координаты.

Как пользоваться калькулятором формулы расстояния?

Этот калькулятор найдет расстояние между двумя точками — это простой инструмент, который чрезвычайно удобен в использовании. Все, что вам нужно сделать, это ввести необходимую информацию, и она выполнит вычисления за вас. Вот шаги, которые необходимо выполнить при использовании этого калькулятора:

• Сначала введите значения для первой точки, X ₁ и Y ₁ .
• Затем введите значения для второй точки: X ₂ и Y ₂ .
• После ввода всех необходимых значений калькулятор формулы расстояния автоматически сгенерирует для вас значение расстояния.

Как рассчитать расстояние между двумя точками?

Помимо использования этого математического онлайн-калькулятора расстояния для определения расстояния, вы также можете выполнить расчет вручную, используя формулу расстояния.Чтобы научиться рассчитывать расстояние, давайте рассмотрим пример. Предположим, что наши координаты для (X ₁ , Y ₁ ) равны (3,5), а координаты для (X ₂ , Y ₂ ) равны (9,15), и вы хотите решить на расстояние. Для этого нам нужно использовать формулу расстояния, которая связана с теоремой Пифагора, и эта формула:

d = √ (x₂ — x₁) ² + (y₂ — y₁) ²

Формула относится к формуле теоремы Пифагора:

a² + b² = c²

где:

a относится к одному участку прямоугольного треугольника

к одному катету прямоугольного треугольника

c относится к гипотенузе

В нашем примере (x₁, y₁) и (x₂, y₂) — координаты конечных точек гипотенузы.Это означает, что (x₂ — x₁) ² в нашем уравнении расстояния соответствует a² теоремы Пифагора, а (y₂ — y₁) ² соответствует b². Мы доказываем, что формула расстояния относится к теореме Пифагора, поскольку:

c = √a² + b²

При вычислении расстояния между точками в нашем примере выполните следующие действия:

• Замените значения в формуле расстояния.
• Начните с вычитания значений в обеих скобках.
• Возьмите оба значения в квадрат.
• Сложите значения.
• Извлеките последний квадратный корень.

Используя эти шаги в нашем примере, вот шаги:

d = √ (9-3) ² + (15-5) ²

d = √ (6) ² + (10 ) ²

d = √36 + 100

d = √136

d = 11,66

Помните, что когда вы извлекаете квадратный корень из определенного значения, вы можете получить значение это либо отрицательно, либо положительно.Но поскольку вы решаете дистанционно, вам нужно только заботиться о положительном результате. После того, как вы выполнили вычисления вручную, вы можете использовать калькулятор расстояния между двумя точками, чтобы проверить, правильно ли вы выполнили расчет.

Какова формула расстояния?

Формула расстояния — очень важное уравнение, которое вы используете, чтобы найти значение расстояния между двумя точками. Вы можете вывести эту формулу из теоремы Пифагора, как мы проиллюстрировали в предыдущем вопросе.Из-за этого некоторые люди утверждают, что эта формула — не что иное, как «замаскированная версия» теоремы Пифагора.

Другими словами, это производная от указанной теоремы. Если вам нужно найти расстояние, воспользуйтесь калькулятором формулы расстояния. Но если вы хотите выполнить расчет вручную, используйте формулу для расстояния:

d = √ (x₂ — x₁) ² + (y₂ — y₁) ²

где:

(X ₁ , X ₂ ) относятся к координатам одной точки

(Y ₁ , Y ₂ ) относятся к координатам другой точки

Что означает формула расстояния ?

Используйте формулу расстояния, чтобы найти или вычислить расстояние между одной точкой и другой.Эти точки могут существовать в любом измерении. Например, вы можете рассчитать расстояние между двумя точками на

• линии, которая представляет собой 1D
• , плоскость, которая представляет собой 2D
• в пространстве, которое является 3D

Давайте воспользуемся другим примером, чтобы проиллюстрировать значение расстояния формула. В этом примере, давайте использовать расстояние в линии или 1D. Рассмотрим числовую прямую только с одним измерением. Это самое простое вычисление для выполнения, потому что расстояние между любой из двух точек на оси x является абсолютным значением разности координат точек.Точно так же расстояние между любой из двух точек на оси Y является абсолютным значением разности координат точек.

В некоторых случаях вы получаете четыре набора координат, чтобы вы могли прокомментировать природу формы, которая образуется при соединении этих точек. Для этого нужно найти расстояние между ними. Но перед этим постарайтесь вспомнить характеристики различных четырехугольников:

• это параллелограмм, если у него равные противоположные стороны;
• это прямоугольник, если у него равные диагонали и равные противоположные стороны;
• это ромб, если у него все равные стороны;
• это квадрат, если у него равные диагонали и равные стороны.

С помощью этой информации вы можете вычислить расстояние по мере необходимости.

Вы можете использовать формулу расстояния, которая является вариантом теоремы Пифагора, обычно используемой в геометрии при построении треугольника. Например, у вас есть две точки с координатами (1,5) и (-2,1), и вам нужно найти расстояние между ними. Нарисуйте линии, образующие треугольник с прямым углом, используя эти координаты как точки углов треугольника.

В этой ситуации легко найти длину вертикальной стороны и длину горизонтальной стороны треугольника. Все, что вам нужно сделать, это вычесть значения x и y. Затем используйте формулу расстояния (или теорему Пифагора), чтобы вычислить длину оставшейся стороны или гипотенузы.

Это значение равно расстоянию между двумя точками. Как видите, это очень важная формула, которую можно использовать для ручных расчетов. Затем вы можете проверить свой ответ с помощью калькулятора формулы расстояния.

Расстояние между любыми двумя точками — примеры решенных задач | Координатная геометрия

Расстояние между любыми двумя точками

Акила и Шанмугам — друзья, живущие в одном доме.
улица в Сатьямангаламе. Дом Шанмугама находится на пересечении одной
улица с другой улицей, на которой находится библиотека. Они оба учатся в
та же школа, и это недалеко от дома Шанмугама. Попробуй нарисовать картинку
своих домов, библиотеки и школы самостоятельно, прежде чем смотреть на карту
ниже.

Считайте школу источником. (Мы можем сделать это
! В этом весь смысл того языка координат, который мы используем.)

Теперь зафиксируем масштаб как 1 единица = 50 метров. Здесь
На некоторые вопросы вам предстоит ответить, изучив данный рисунок (Рис. 5.19).

1.
Как далеко Акила
дом из дома Шанмугама?

2.
Как далеко
библиотека из дома Шанмугама?

3.
Как далеко школа
из дома Шанмугама и Акилы?

4.
Как далеко находится библиотека
из дома Акилы?

5.
Как далеко до Шанмугама?
дом из дома Акилы?

Вопрос 5 не требуется после ответа на вопрос
1. Очевидно, что расстояние от точки A
до B равно расстоянию от
точка B до A , и мы обычно называем ее расстоянием между точками A и B .Но как математики мы должны записывать свойства как
и когда мы их видим, лучше это тоже отметить: расстояние ( A, B ) = расстояние ( B, A ). Это верно для всех точек A и B на плоскости, поэтому
Конечно, вопрос 5 такой же, как и вопрос 1.

А как насчет других вопросов? Они не
одно и тоже. Поскольку мы знаем, что эти два дома находятся на одной улице,
север — юг, расстояние y говорит
нам ответ на вопрос 1.Точно так же мы знаем, что библиотека и
Дом Шанмугама находится на той же улице, что идет с востока на запад, мы можем взять расстояние x , чтобы ответить на вопрос 2.

Вопросы 3 и 4 зависят от того, какие маршруты
имеется в наличии. Если мы предположим, что единственные доступные улицы параллельны осям x и y в точках, отмеченных 1, 2, 3 и т. Д., То мы ответим на эти
вопросы, добавив расстояния x и y . Но рассмотрим большой
поле к востоку от дома Акилы.

Если она может ходить по полю, конечно, она
предпочел бы это. Теперь есть много способов перейти из одного места в другое, поэтому
когда мы говорим о расстоянии между ними, это неточно. Нам нужен какой-то способ
чтобы исправить то, что мы имеем в виду. Когда есть много маршрутов между A и B , мы будем использовать
расстояние ( A, B ) для обозначения расстояния
на кратчайшем маршруте A — B.

Если мы подумаем о расстоянии ( A, B ) как о «расстоянии по прямой» между A и B , возникает
элегантный способ понимания любых точек A, и B, на плоскости.Это важная причина для использования системы координат вообще! Перед
это еще 2 вопроса из нашего примера.

1. Исходя из школы, определите
координаты двух домов, школы и библиотеки.

2. Используйте координаты, чтобы задать
расстояние между одним из них и другим.

«Расстояние по прямой» обычно называется «как
по прямой ». Это означает, что мы не беспокоимся о каких-либо препятствиях и
маршруты на земле, но как бы мы могли добраться от A до B , если бы мы могли летать.Однако ни одна птица никогда не летает по прямой.

На это можно дать систематический ответ: при любом
две точки A = (x, y) и B = (x ’, y’) на плоскости, найдите расстояние (A, B). это
легко вывести формулу из четырех чисел x, y, x ’и y’. Это
что мы собирались делать сейчас

1. Расстояние между двумя точками на осях координат

Точки на оси x : если две точки лежат на оси x , то расстояние между ними
их равно разнице между x —
координаты.

Рассмотрим две точки A ( x ₁ , 0) и B ( x ₂ , 0)
на оси x .

Расстояние B от A составляет

AB = OB — OA = x ₂ — x ₂ если x ₂
> x ₂ или

= x ₂ — x ₂ если x ₂
> х ₂

AB = | x ₂ -x ₁ |

(Считывается как модуль или абсолютное значение x ₂ -x ₁ )

Точки на оси x : если две точки лежат на оси y , тогда
расстояние между ними равно разнице между координатами y .

Рассмотрим две точки P (0, y ₁ ) и Q (0, y ₂ )

Расстояние Q
от P это

PQ = OQ — OP.

= y ₂ -90 515 y ₂ если y ₂
> y ₂ или

= y ₂ — y ₂ если y ₂ > y ₂

PQ = | y ₂ — y ₁ |

(Считывается как модуль или абсолютное значение y ₂ -y ₁ )

2.Расстояние между двумя точками, лежащими на линии, параллельной
Оси координат

Рассмотрим точки A (x ₁ , y ₁ )
и B (x ₂ , y ₂ ). Поскольку координаты y равны
точки лежат на линии, параллельной оси x. Из A и B возьмите AP и BQ.
перпендикулярно оси x соответственно. Обратите внимание на приведенный рисунок (рис. 5.22), он
Очевидно, что расстояние AB такое же, как расстояние PQ

Расстояние AB = Расстояние между PQ = | x ₂ -x ₁ |

[Разница между координатами x]

Аналогично рассмотрим линию, соединяющую две точки

A (x ₁ , y ₁ ) и B (x ₁ , y ₁ ),
параллельно оси y.

Тогда расстояние между этими двумя точками равно

.

| y ₂
— y ₁ |

[Разница между координатами y]

3. Расстояние между двумя точками на плоскости.

Пусть P ( x ₁ , y ₁ ) и Q ( x ₂ , y ₂ ) будут двумя точками в декартовой плоскости (или x — плоскость ), на расстоянии ‘ d ‘ друг от друга, так что d = PQ .

Шаг 1

По определению координат,

OM = x ₁

МП = y ₁

ВКЛ = x ₂

NQ = у ₂

Сейчас PR = MN

(Противоположные стороны прямоугольника МНРП)

= ON — OM (Измерение расстояния от O)

= x ₂ — x ₁ …….. (1)

И RQ = NQ — NR

= NQ — MP (Противоположные стороны прямоугольника MNRP)

= y ₂ — y ₁ ……… .. (2)

Шаг 2

Треугольник PQR расположен под прямым углом к ​​R. (PR┴ NQ)

PQ ² = PR ² + RQ ²
(По теореме Пифагора)

d ² = (x ₂ — x ₁ ) ²
+ (y ₂ — y ₁ ) ²

d = √ {(x ₂ — x ₁ ) ² + (y ₂ —
y ₁ ) ² } (извлечение положительного квадратного корня)

По определению координат,

4.Свойства расстояний

Мы уже видели, что расстояние ( A, B ) = расстояние ( B, A ) для любых точек A, B
на самолете. Какие еще свойства вы заметили? Если вы пропустили
их, вот некоторые:

расстояние ( A, B )
= 0 именно тогда, когда A и B обозначают одну и ту же точку: A = B .

расстояние ( A, B )
> 0 для любых двух различных точек A
и B .

Теперь рассмотрим три точки A, B и C . Если мы
учитывая их координаты, и мы обнаруживаем, что их координаты x совпадают, тогда мы знаем, что они коллинеарны,
и лежат на линии, параллельной оси y .
Аналогично, если их координаты y
одинаковы, тогда мы знаем, что они коллинеарны и лежат на прямой, параллельной
к оси x . Но это не
только условия.Точки (0,0), (1,1) и (2,2) также коллинеарны. Ты можешь
подумайте, какая связь должна существовать между этими координатами для
указывает на коллинеарность?

Здесь нам на помощь приходит формула расстояния. Мы
знайте, что когда A, B и C являются вершинами треугольника, мы
получить,

расстояние ( A, B ) + расстояние ( B, C )
> distance ( A, C ) (после соответствующего переименования вершин).

Когда три точки на плоскости не образуют
треугольник? Конечно, когда они коллинеарны. Фактически, мы можем показать, что когда,

расстояние ( A, B ) + расстояние ( B, C ) =
расстояние ( A, C ), точки A, B и C должны быть коллинеарны.

Аналогично, когда А,
B и C — вершины
прямоугольный треугольник, + ABC = 90c, мы знаем, что:

расстояние ( AB ) ² + расстояние ( BC ) ²
= расстояние ( AC ) ²

с соответствующим именованием вершин.Мы также можем
покажите, что верно обратное: если здесь равенство выполняется для A, B и C , они должны быть вершинами прямоугольного треугольника.

Следующие примеры иллюстрируют, как эти
свойства расстояний полезны для ответа на вопросы о конкретных
геометрические фигуры.

Пример 5.8

Найдите расстояние между точками
(–4, 3), (2, –3).

Раствор

Расстояние между точками (-4, 3), (2, -3) равно

Пример 5.9

Покажите, что следующие точки A (3,1), B (6,4) и C (8,6) лежат на
прямая линия.

Раствор

Пример 5.10

Покажите, что точки A (7,10), B (-2,5), C (3, -4) являются
вершины прямоугольного треугольника.

Раствор

Пример 5.11

Покажите, что точки

A (–4, –3), B (3,1), C (3,6), D (–4,2) взятые в таком порядке
вершины параллелограмма .

Раствор

Пусть A (–4, –3), B (3, 1), C (3, 6), D (–4, 2) —
четыре вершины любого четырехугольника ABCD.

Используя формулу расстояния,

AB = CD = √65 и BC = AD = 5

Здесь противоположные стороны равны. Следовательно, ABCD — это
параллелограмм.

Пример 5.12

Докажите, что точки A (3, 5), B (6, 2), C (3, -1) и D (0, 2), взятые по порядку, являются вершинами
квадрата.

Раствор

Пусть A (3,5), B (6,2), C (3, -1) и D (0,2) —
вершины любого четырехугольника ABCD.

Из приведенных выше результатов мы видим, что AB = BC = CD = DA = 3√2

(т.д.) Все четыре стороны равны.

Далее, A (3, 5), C (3, –1)

Из вышесказанного видно, что AB = CD = 6

Следовательно, ABCD — квадрат.

Пример 5.13

Если расстояние между точками
(5, –2), (1, a), составляет 5 единиц, найдите значения a .

Раствор

Пример 5.14

Рассчитайте расстояние между
точки A (7, 3) и B , которые лежат на оси x , абсцисса которой равна 11.

Раствор

Так как B находится на оси x, координата y точки B равна
0.

Итак, координаты точки B равны (11, 0)

По формуле расстояния расстояние между
точки A (7, 3), B (11, 0) равно

Пример 5.15

Найдите значение « a » такое, что PQ = QR , где P, Q, и R — это точки с координатами
(6, –1), (1, 3) и ( a , 8)
соответственно.

Раствор

41 = (a –1) ² + 25 [Квадрат обеих сторон]

(а – 1) ²
+ 25 = 41

(а – 1) ²
= 41–25

(а – 1) ²
= 16

(а – 1) = ± 4
[извлечение квадратного корня с обеих сторон]

а = 1 ± 4

a = 1 + 4 или
а = 1–4

a = 5, –3

Пример 5.16

Пусть A (2, 2), B (8, –4) равно двум
заданные точки на плоскости. Если точка P
лежит на оси X (в положительном
сторона), и делит AB в соотношении 1:
2, затем найдите координаты P .

Раствор

Даны точки A (2, 2) и B (8, –4), и пусть P =
(x, 0) [P лежит на оси x]

По формуле расстояния

Поскольку точка P лежит на оси x (положительная сторона), ее
Координата x не может быть –4.

Следовательно, координаты точки P равны (4, 0)

Пример 5.17

Покажите, что (4, 3) — центр
окружность, проходящая через точки (9, 3), (7, –1), (–1,3).

Найдите радиус.

Раствор

Пусть P (4, 3), A (9, 3), B (7, –1) и C (–1, 3)

Если P — центр круга, который проходит
через точки A, B и C, тогда точка P равноудалена от точек A, B и C (т.д.) PA
= PB = PC

По формуле расстояния,

PA = PB = PC

Следовательно, P — центр окружности,
через A, B и C

Радиус = PA = 5.