X в 2 x 0: Решите уравнение x^2-x=0 (х в квадрате минус х равно 0)

alexxlab

Содержание

Урок 6. решение уравнений графическим способом — Алгебра — 8 класс

Тема: Решение уравнений графическим способом

Содержание модуля (краткое изложение модуля):

Решим графическим способом уравнение:

x2 = −3x

Решить уравнение – значит найти такие значения x, при которых выполняется равенство x2 = −3x
Построим в одной системе координат два графика:
график функции y = x2 и график функции y = −3x.
Для каждого графика составим таблицы значений
y = x2 – на рисунке синий график

x0123−1−2−3
y0149149

y = −3x – на рисунке красный график

x0123−1−2−3
y0−3−6−9369

Заметим, что графики пересекаются в двух точках: точке с координатами (0 ; 0) и в точке с координатами (–3 ; 9). Это значит, что при x = 0 и при x = –3 функции y = x2 и y = −3x имеют одинаковые значения.
Таким образом получаем, что при x = 0 и при x = –3 выполняется равенство x2 = −3x.
Значит значения x = 0 и x = –3 являются корнями уравнения x2 = −3x.
Корни, найденные графическим способом – приближённые. Чтобы доказать точность значений корней, надо каждый из них подставить в решаемое уравнение и проверить: выполняется ли полученное равенство.
Подставим в уравнение x2 = −3x значение x = 0.

02 = −3•0

0 = 0 – верное равенство, значит x = 0 – точный корень уравнения x2 = −3x.
Подставим в уравнение x2 = −3x значение x = –3.

(−3)2 = −3•(−3)

9 = 9 – верное равенство, значит x = −3 – точный корень уравнения x2 = −3x.
Подведём итог.
Чтобы решить уравнение f1(x) = f2(x) графическим способом, необходимо:
1) Построить в одной системе координат графики функций y = f1(x) и y = f2(x). Абсциссы точек пересечения – это приближённые корни уравнения f1(x) = f2(x).
2) Необходимо подставить каждый приближённый корень в уравнение f1(x) = f2(x). Те корни, при которых получается верное равенство будут являться точными корнями уравнения f1(x) = f2(x).

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.

§1 Тригонометрические уравнения — ЗФТШ, МФТИ

Чтобы решить тригонометрическое уравнение надо путём тригонометрических преобразований свести его к простейшему тригонометрическому уравнению. n arcsin a+pi n, n in Z`.

Отметим, что последнюю формулу иногда удобнее расписать отдельно для чётных `(n=2k, k in Z)` и нечётных  `(n=2k+1, k in Z)n`.  А именно 

$$ x=\left[\begin{array}{l}\mathrm{arc}\mathrm{sin}a+2\pi k,\\ \pi -\mathrm{arc}\mathrm{sin}a+2\pi k, k\in Z.\end{array}\right.$$

2. `cosx=a`. Если `|a|>1`, решений нет. Если `|a|<=1`, то          

 `x=+- arccosa+2pin, n in Z`.          

3. `»tg»x=a`. При любом `a` `x=»arctg»a+pin, n in Z`.

4. `»ctg»x=a`. При любом `a` `x=»arcctg»a+pin, n in Z`. 

Отметим несколько частных случаев простейших тригонометрических уравнений, в которых ответ можно записать более просто, чем по общим формулам.

а)  `sinx=1`. Тогда `x=pi/2+2pin,n in Z`.

б)  `sinx=-1`. Тогда `x=-pi/2+2pin, n in Z`.

в)  `cosx=0`. Тогда `x=pi/2+pin, n in Z`.

г)  `cosx=-1`. Тогда `x=pi+2pin, n in Z`.

Рассмотрим несколько типовых способов решения тригонометрических уравнений.

I. 2 4x-1)-2cos4x=0`, `2cos4x(cos4x-1)=0 iff` $$ \iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{cos}4x=1.\\ \mathrm{cos}4x=0.\end{array}\right.$$

Если  `cos4x=1`, то `4x=2pin,x=(pin)/2,ninZ`.

1. Изображаем точки

`x=(pin)/2,ninZ`,                                                           (3)

на тригонометрическом круге  (рис. 4а). Геометрически их `4` штуки (для `n=0,1,2,3` – далее они повторяются).

2. Изображаем точки

`x=(pim)/3,m inZ`                                                         (4)

которые не удовлетворяют ОДЗ на тригонометрическом круге (4б). Их `6` штук (для `m=0,1,2,3,4,5` – далее они повторяются).

   

Видно, что совпадения точек в `(3)` и `(4)` будут при `x=pin,ninZ`. Эти значения надо исключить из решения, т. е. в ответ пойдут точки       

`x=pi/2+pin,ninZ`.

С решениями уравнения

`cos4x=0`, `4x=pi/2+pin,ninZ`,

или `x=pi/8+(pin)/4,ninZ`, можно поступить аналогично, сделав отбор на тригонометрическом круге. Но когда точек–решений на тригонометрическом круге много, и много точек, не входящих в ОДЗ, то удобнее воспользоваться аналитическим способом отбора решений. В данном случае точек — решений на тригонометрическом круге в серии `x=pi/8+(pin)/4,ninZ`, будет `8` штук (различные при `n=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7` –  далее они повторяются), а точек, не входящих в ОДЗ на тригонометрическом круге `6`. Посмотрим, есть ли совпадения, т. е. существуют ли целые `m`  и  `n` такие, что

`pi/8+(pin)/4=(pim)/3 iff 1/8+n/4=m/3 iff`

`iff 3+6n=8m iff 3=2(4m-3n)`.

Последнее равенство невозможно, т. к. слева стоит нечётное число, а справа чётное.

Отметим, что и для решений уравнения `cos4x=1` отбор можно было сделать аналитически. А именно смотрим, существуют ли целые `m`  и  `n` такие, что `(pin)/2=(pim)/3 iff 3n=2m`.  Видим, что  `n` делится на `2`. Тогда `n=2k` и `m=3k,kinZ`. Т.  е. из решения уравнения `cos4x=1` надо исключить `x=(pin)/2`, где `n=2k`, т. е. оставить `x=(pin)/2` с `n=2k+1,kinZ`. 2-t-3=0`.  Его решение `t_1=-1` и `t_2=3/2`.

1) `»tg»x=-1`.  Следовательно, `x=-pi/4+pin,ninZ`.

2)  `»tg»x=2/3`. Тогда `x=»arctg»2/3+pin,ninZ`.

б) Сделаем отбор корней, принадлежащих отрезку `[-(3pi)/2; -pi/2]`.

1) Решаем неравенство `-(3pi)/2<=-pi/4+pin<=-pi/2`. Оно равносильно неравенству `-5/4<=n<=-1/4`. Т. к. `ninZ`, то последнему неравенству удовлетворяет только `n=-1`. Итак, из серии решений `x=-pi/4+pin,ninZ`, только корень `x=-(5pi)/4 in [-(3pi)/2; -pi/2]`.

2) Аналогично решаем неравенство

`-(3pi)/2<=»arctg»2/3+pin<=-pi/2`.                                                              (5)

Т. к. `ninZ`,  то в силу правого неравенства `n<0`. Число `n=-1` подходит, т. к. неравенство (5) в этом случае преобразуется в неравенство `-pi/2<=»arctg»2/3<=pi/2`,  что верно, `n=-2`  не удовлетворяет  (5), т. к. в этом случае получим `pi/2<=»arctg»2/3`, что неверно. Аналогично не подходит `n< -2`. Итак, из серии решений `x=»arctg»2/3+pin,ninZ`, только корень `(«arctg»2/3-pi)in[-(3pi)/2; -pi/2]`.

а)   `x=-pi/4+pin,ninZ`;  `x=»arctg»2/3+pin,ninZ`.

б)   `x=-(5pi)/4` и `x=»arctg»2/3-pi`.

Найти наименьший корень уравнения `»ctg»6x-«tg»5x=1/(cos5x)`,

принадлежащий отрезку `[(8pi)/17; (40pi)/17]`.

Преобразуем данное уравнение

`(cos6x)/(sin6x)-(sin5x)/(cos5x)=1/(cos5x)`, 

`(cos6x*cos5x-sin6x*sin5x)/(sin6x*cos5x)=1/(cos5x)`,

`(cos11x)/(sin6x*cos5x)=1/(cos5x)`.

Последнее уравнение равносильно `cos11x=sin6x` при условии  `sin6x*cos5x!=0`.

Решаем  уравнение  `cos11x-sin6x=0`. Преобразуем его:

`cos11x-cos(6x-pi/2)=0`   или  `-2sin((17x)/2-pi/4)sin((5x)/2+pi/4)=0`.

1) Если `sin((5x)/2+pi/4)=0` то `(5x)/2+pi/4=pin,ninZ`, откуда `5x=-pi/2+2pin,ninZ`.

Эти числа не являются корнями исходного уравнения, т. к. нарушается условие `cos5x!=0`.

2) Если `sin((17x)/2-pi/4)=0`, то `x=(pi(1+4n))/(34),ninZ`. Находим, при каких `ninZ`, эти числа лежат на отрезке  `[(8pi)/17;(40pi)/17]`. Решаем неравенства

`(8pi)/(17)<=(pi(1+4n))/34<=(40pi)/17 iff 15/4<=n<=79/4`. 2x)=0`  или  `sin2x+cos2x=0`.

Это однородное уравнение 1-го порядка. Оно эквивалентно уравнению   `»tg»2x=-1`.

Отсюда `2x=-pi/4+pin,ninZ`, или `x=-pi/8+(pin)/2,ninZ`.

Изобразим решения на тригонометрическом круге (рис. 6). Это `4` точки (`n=0,1,2,3` — далее они повторяются).

Для этих точек надо проверить неравенство `cosx-3sinx>=0`. Ясно, что точка `x_1` удовлетворяет этому неравенству, т. к. `cosx_1>0` и `sinx_1<0`. Для точки `x_3`, диаметрально противоположной точке `x_1`, `sinx` и `cosx` меняют знак, меняет знак и выражение `(cosx-3sinx)`, и, следовательно, для `x_3` неравенство не выполняется. Точка `x_2` не удовлетворяет неравенству, т. к. `sinx_2>0`, `cosx_2>0`, но `sinx_2>cosx_2` в виду того, что `pi/4<x_2<pi/2`, так что выражение `cosx_2-3sinx_2<0`. Точка `x_4` диаметрально противоположна `x_2`. Следовательно, 

`cosx_4-3sinx_4=-(cosx_2-3sinx_2)>0`,

и, значит, это решение. Учитывая, что решения имеют период `2pi`, получаем

`x=-pi/8+2pin,ninZ`;  `x=11/8pi+2pin,ninZ`.

VII. Уравнения с модулем

Решить уравнение `sin3x+|sinx|=sin2x`.

Решение уравнения сводится к объединению решений двух систем.

1) $$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{sin}x\ge 0,\\ \mathrm{sin}3x+\mathrm{sin}x=\mathrm{sin}2x.\end{array}\right.$$

2) sinx0,sin3x-sinx=sin2x.\left\{\begin{array}{l}\sin x

Решаем первую систему. Уравнение  `sin3x+sinx=sin2x` преобразуем:

`2sin2xcosx=sin2x` или `sin2x(2cosx-1)=0`. 

Значит,

$$ \left[\begin{array}{l}\mathrm{sin}2x=0,\\ \mathrm{cos}x=\frac{1}{2}.\end{array}\right.$$

Изображаем решения уравнения `sin2x=0` на тригонометрическом круге: `x=(pin)/2,ninZ`, (рис. 7). В силу неравенства `sinx>=0` не подходит нижняя точка, т. е. в решения системы входят

`x=pin,ninZ`, и `x=pi/2+2pin,ninZ`.   

   

Аналогично, изображаем на тригонометрическом круге (рис. 8)  решения уравнения `cosx=1/2`. Нижняя точка не удовлетворяет неравенству `sinx>=0`. 2x-cosx-1=0`.

Отсюда `cosx=1` или `cosx=-1/2`. На тригонометрическом круге этим уравнениям удовлетворяют соответственно точки (рис. 9 и рис. 10). Неравенству `sinx<0` удовлетворяет только одна из этих трёх точек, находящаяся в нижней полуплоскости, а именно       

`x=pi/3+pi+2pin,ninZ`.

   

В ответе две серии решений

  `x=pi/3+2pin,ninZ`  и  `x=pi/3+pi+2pin,ninZ`,   

соответствующие двум диаметрально противоположным точкам тригонометрического круга, можно задать одной формулой:

`x=pi/3+pin,ninZ` (но это не обязательно).

`x=pin`;  `x=pi/2+2pin`;  `x=pi/3+pin,ninZ`.

Уравнения равные нулю | Алгебра

Что такое «уравнения равные нулю»?

Если в левой части уравнения стоит сумма или разность одночленов или многочленов, а в правой части — нуль, то это может быть обычное линейное уравнение.

Если левая часть уравнения представляет собой произведения двух или нескольких множителей, а правая часть — нуль, то это — уравнение типа «произведение равно нулю».

В общем виде простейшие равные нулю уравнения можно записать как

   

(множителей может быть больше).

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравниваем к нулю каждый множитель:

   

и решаем каждое из полученных уравнений отдельно.

Примеры.

   

Это — уравнение типа «произведение равно нулю».

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Ответ: 0; 1,5; -0,8.

   

   

   

   

   

   

   

Ответ: 3; -2/7.

Если в уравнении, равном 0, левую часть можно разложить на множители, то такое уравнение также можно решить как уравнение типа «произведение равно 0».

Например,

   

Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а четвёртое — со вторым:

   

Из первых скобок вынесем за скобки общий множитель x², из вторых — 4:

   

Общий множитель (x-3) вынесем за скобки:

   

Получили уравнение типа «произведение равно 0». Приравниваем к нулю каждый из множителей:

   

Корень первого уравнения —

   

Второе уравнение не имеет корней (сумма положительных чисел не может равняться нулю).

Ответ: 3.

В алгебре многие уравнения сводятся к уравнениям типа «произведение равно нулю» с помощью разложения на множители.

Множители могут линейными, квадратными, логарифмическими, тригонометрическими и т.д. уравнениями.

Еще один важный частный случай уравнений, равных  нулю, рассмотрим позже.

Как графически решить уравнение?

☰

Иногда уравнения решают графическим способом. Для этого надо преобразовать уравнение так (если оно уже не представлено в преобразованном виде), чтобы слева и справа от знака равенства стояли выражения, для которых легко можно нарисовать графики функций. Например, дано такое уравнение:
x² – 2x – 1 = 0

Если мы еще не изучали решение квадратных уравнений алгебраическим способом, то можем попробовать сделать это либо разложением на множители, либо графически. Чтобы решить подобное уравнение графически, представим его в таком виде:
x² = 2x + 1

Из такого представления уравнения следует, что требуется найти такие значения x, при которых левая часть будет равна правой.

Как известно, графиком функции y = x² является парабола, а y = 2x + 1 — прямая. Координата x точек координатной плоскости, лежащих как на первом графике, так и на втором (то есть точек пересечения графиков) как раз и являются теми значениями x, при которых левая часть уравнения будет равна правой. Другими словами, координаты x точек пересечения графиков являются корнями уравнения.

Графики могут пересекаться в нескольких точках, в одной точке, вообще не пересекаться. Отсюда следует, что уравнение может иметь несколько корней, или один корень, или вообще их не иметь.

Рассмотрим пример попроще:
x² – 2x = 0 или x² = 2x

Нарисуем графики функций y = x² и y = 2x:

Как видно из чертежа, парабола и прямая пересекаются в точках (0; 0) и (2; 4). Координаты x этих точек соответственно равны 0 и 2. Значит, уравнение x² – 2x = 0 имеет два корня — x1 = 0, x2 = 2.

Проверим это, решив уравнение вынесением общего множителя за скобки:
x² – 2x = 0
x(x – 2) = 0

Ноль в правой части может получиться либо при x равном 0, либо 2.

Причина, по которой мы не стали графически решать уравнение x² – 2x – 1 = 0 в том, что в большинстве уравнений корнями являются вещественные (дробные) числа, а точно определить на графике значение x сложно. Поэтому для большинства уравнений графический способ решения не является лучшим. Однако знание этого способа дает более глубокое понимание связи между уравнениями и функциями.

Teosyal RHA Kiss Lidocaine 2 x 0,7 мл Увеличение губ| DPI Cosmetology

Teosyal RHA Kiss Lidocaine Изменение формы губ

Teosyal RHA Kiss Lidocaine является новейшим представителем коллекции Teosyal LipUnique, которая состоит из пяти различных дермальных наполнителей гиалуроновой кислоты, идеально подходящих для увеличения объема губ. Teosyal RHA Kiss в основном используется в качестве наполнителя для губ с гиалуроновой кислотой, предназначенного для увеличения объема губ, а также для улучшения контура губ. Кроме того, наполнитель может быть использован для заполнения морщин на лице, как периоральные линии.

В целом, Teosyal RHA Kiss разработан с тем же составом премиум-класса и реологическими свойствами, что и RHA 2, но с меньшим объемом (0,7 мл), что делает результаты более естественными. Эта формула дает наполнителю уникальные преимущества и делает его идеальным для изменения формы губ и обеспечивает тонкий динамический объем. Другие преимущества Teosyal RHA Kiss — это высокая эластичность и средняя прочность, что делает наполнитель пригодным для придания формы губам с использованием небольшого количества геля. Teosyal RHA Kiss следует вводить в слизистую оболочку для увеличения губ или среднюю дерму для коррекции тонких линий.

Teosyal RHA Kiss идеально подходит для пациентов, которые хотят естественное увеличение губ.

Состав:

  • Сшитая Гиалуроновая Кислота (23 мг/мл)
  • Лидокаин (0,3%)
  • Уровень сшития (3,1%)

Показания к применению:

  • Освежение губ
  • Изменения формы губ
  • Добавление динамического объема губам

Новая формула приспосабливаться к ежедневной практике HCP и реальным потребностям пациентов при поиске естественного освежения губ

Зоны инъекций:

  • Губы
  • Область вокруг рта

Форма выпуска:

2 шприца по 0,7 мл

Производитель:

Teoxane

Свойства коэффициентов квадратного уравнения — Квадратные уравнения

Этот способ
решения помогает не только сэкономить время, но и развить внимание.

Свойство 1

Дано
квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Если          a + b + c = 0 (сумма коэффициентов), то

x1 = 1, x2 = c/a

Свойство 2

Дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0.  Если          a - b + c = 0 (сумма коэффициентов), когда b взято с противоположным знаком или a + c = b, то 

x1 = -1, x2 = -c/a

        Пример:

        341x2 + 290x — 51 = 0

        Решение:

        Здесь, a = 341, b = 290, c = -51.

        Проверим удовлетворяют ли коэффициенты условию                                       

        свойства 2

        341 — 51 = 290. Получим а + с = b. Следовательно, мы         

        можем воспользоваться свойством 2.

x1 = -1 и х2 = 51/341

        Ответ: -1; 51/341.

Свойство 3

Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0. Коэффициент b представлен в виде 2k, т. е. является четным числом, то формулу корней уравнения можно переписать в более простом виде

D = (b/2)2 + a*c

Пример:

        3x2 + 2,2x — 0,16 = 0

        Решение:

        Коэффициент b = 2,2 

        D = 1,12 + 3 * (-0,16) = 1,69

x1,2 = (-1,1 ± 1,3)/3   

x 2 x больше или равно 0

Вы искали x 2 x больше или равно 0? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и x 2 больше или равно 0, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «x 2 x больше или равно 0».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как x 2 x больше или равно 0,x 2 больше или равно 0,решите неравенство x2 x больше или равно 0,х 2 х больше или равно 0. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и x 2 x больше или равно 0. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, решите неравенство x2 x больше или равно 0).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же x 2 x больше или равно 0 Онлайн?

Решить задачу x 2 x больше или равно 0 вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.

{\ infty} tf_X (t) dt = EX \ hspace {20pt} \ textrm {поскольку $ X $ — положительная случайная величина}. $

Задача

Пусть $ X \ sim Uniform (- \ frac {\ pi} {2}, \ pi) $ и $ Y = \ sin (X) $. Найдите $ f_Y (y) $.

  • Решение

    • Здесь $ Y = g (X) $, где $ g $ — дифференцируемая функция. Хотя $ g $ не монотонный, он может
      быть разделенным на конечное число областей, в которых он монотонен.Таким образом, мы можем использовать
      Уравнение 4.6. Отметим, что поскольку $ R_X = [- \ frac {\ pi} {2}, \ pi] $, $ R_Y = [- 1,1] $. Глядя на
      график $ g (x) = \ sin (x) $ над $ [- \ frac {\ pi} {2}, \ pi] $, мы замечаем, что для $ y \ in (0,1) $
      есть два решения для $ y = g (x) $, а для $ y \ in (-1,0) $ есть только одно решение. 2}}.2}} & \ quad -1

Свойства непрерывных функций плотности вероятности — Введение в бизнес-статистику

График непрерывного распределения вероятностей представляет собой кривую. Вероятность представлена ​​площадью под кривой. Мы уже встречались с этой концепцией, когда разрабатывали относительные частоты с гистограммами в главе 2. Относительная площадь для диапазона значений была вероятностью случайного проведения наблюдения в этой группе.Опять же, что касается распределения Пуассона в главе 4, график в примере 4.14 использовал прямоугольники для представления вероятности конкретных значений случайной величины. В этом случае мы были немного случайными, потому что случайные величины распределения Пуассона дискретны, целые числа, а прямоугольник имеет ширину. Обратите внимание, что горизонтальная ось, случайная величина x, намеренно не отметила точки вдоль оси. Вероятность конкретного значения непрерывной случайной величины будет равна нулю, потому что площадь под точкой равна нулю. Вероятность — это площадь.

Кривая называется функцией плотности вероятности (сокращенно pdf ). Мы используем символ f ( x ) для представления кривой. f ( x ) — функция, соответствующая графику; мы используем функцию плотности f ( x ), чтобы построить график распределения вероятностей.

Площадь под кривой задается другой функцией, называемой кумулятивной функцией распределения (сокращенно cdf ).Кумулятивная функция распределения используется для оценки вероятности как площади. Математически кумулятивная функция плотности вероятности является интегралом pdf, а вероятность между двумя значениями непрерывной случайной величины будет интегралом pdf между этими двумя значениями: площадью под кривой между этими значениями. Помните, что область под pdf для всех возможных значений случайной величины — одно, уверенность. Таким образом, вероятность можно рассматривать как относительный процент уверенности между двумя интересующими значениями.

  • Результаты измеряются, а не подсчитываются.
  • Вся площадь под кривой и над осью абсцисс равна единице.
  • Вероятность находится для интервалов значений x , а не для отдельных значений x .
  • P (c — вероятность того, что случайная величина X находится в интервале между значениями c и d . P (c — это площадь под кривой, над осью x , справа от c и слева от d .
  • P (x = c) = 0 Вероятность того, что x примет любое отдельное значение, равна нулю. Область под кривой, над осью x и между x = c и x = c не имеет ширины и, следовательно, площади (площадь = 0). Поскольку вероятность равна площади, вероятность также равна нулю.
  • P (c то же самое, что P (c ≤ x ≤ d) , потому что вероятность равна площади.

Мы найдем область, которая представляет вероятность, используя геометрию, формулы, технологии или таблицы вероятностей. В общем, интегральное исчисление необходимо, чтобы найти площадь под кривой для многих функций плотности вероятности. Когда мы используем формулы для определения площади в этом учебнике, формулы были найдены с использованием техники интегрального исчисления.

Существует множество непрерывных распределений вероятностей. При использовании непрерывного распределения вероятностей для моделирования вероятности используемое распределение выбирается для моделирования и наилучшим образом соответствует конкретной ситуации.

В этой и следующей главах мы изучим равномерное распределение, экспоненциальное распределение и нормальное распределение. Следующие графики иллюстрируют эти распределения.

На графике показано равномерное распределение с областью между x = 3 и x = 6, заштрихованной для представления вероятности того, что значение случайной величины X находится в интервале от трех до шести.

На графике показано экспоненциальное распределение с областью между x = 2 и x = 4, заштрихованной, чтобы представить вероятность того, что значение случайной величины X находится в интервале от двух до четырех.

На графике показано стандартное нормальное распределение с областью между x = 1 и x = 2, заштрихованной для представления вероятности того, что значение случайной величины X находится в интервале от одного до двух.

Для непрерывного распределения вероятностей ВЕРОЯТНОСТЬ = ОБЛАСТЬ.

Рассмотрим функцию f ( x ) = для 0 ≤ x ≤ 20. x = действительное число.График f ( x ) = представляет собой горизонтальную линию. Однако, поскольку 0 ≤ x ≤ 20, f ( x ) ограничивается частью от x = 0 до x = 20 включительно.

f ( x ) = для 0 ≤ x ≤ 20.

График f ( x ) = представляет собой горизонтальный отрезок линии, когда 0 ≤ x ≤ 20.

Область между f ( x ) = где 0 ≤ x ≤ 20 и осью x — это площадь прямоугольника с основанием = 20 и высотой =.

Предположим, мы хотим найти область между f ( x ) = и осью x , где 0 < x <2.

Напоминание

площадь прямоугольника = (основание) (высота).

Площадь соответствует вероятности. Вероятность того, что x находится между нулем и двумя, равна 0,1, что математически можно записать как P (0 < x <2) = P ( x <2) = 0.1.

Предположим, мы хотим найти область между f ( x ) = и осью x , где 4 < x <15.

Площадь соответствует вероятности P (4 < x <15) = 0,55.

Предположим, мы хотим найти P ( x = 15). На графике x-y x = 15 — это вертикальная линия. Вертикальная линия не имеет ширины (или нулевой ширины). Следовательно, P ( x = 15) = (основание) (высота) = (0) = 0

P ( X ≤ x ), который также может быть записан как P ( X < x ) для непрерывных распределений, называется кумулятивной функцией распределения или CDF.Обратите внимание на символ «меньше или равно». Мы также можем использовать CDF для вычисления P ( X > x ). CDF дает «площадь слева», а P ( X > x ) дает «площадь справа». Мы вычисляем P ( X > x ) для непрерывных распределений следующим образом: P ( X > x ) = 1- P ( X < x ).

Обозначьте график f ( x ) и x .Масштабируйте оси x и y с максимальными значениями x и y . f ( x ) =, 0 ≤ x ≤ 20.

Чтобы вычислить вероятность того, что x находится между двумя значениями, посмотрите на следующий график. Закрасьте область между x = 2,3 и x = 12,7. Затем вычислите заштрихованную площадь прямоугольника.

Попробуйте

Рассмотрим функцию f ( x ) = для 0 ≤ x ≤ 8.Нарисуйте график f ( x ) и найдите P (2,5 < x <7,5).

P (2,5 < x <7,5) = 0,625

Обзор главы

Функция плотности вероятности (pdf) используется для описания вероятностей для непрерывных случайных величин. Площадь под кривой плотности между двумя точками соответствует вероятности того, что переменная находится между этими двумя значениями. Другими словами, площадь под кривой плотности между точками a, и b равна P ( a < x < b ). Кумулятивная функция распределения (cdf) дает вероятность в виде площади. Если X является непрерывной случайной величиной, функция плотности вероятности (pdf), f ( x ), используется для построения графика распределения вероятностей. Общая площадь под графиком f ( x ) равна единице. Область под графиком f ( x ) и между значениями a и b дает вероятность P ( a < x < b ).

Кумулятивная функция распределения (cdf) X определяется P ( X ≤ x ). Это функция x , которая дает вероятность того, что случайная величина меньше или равна x .

Обзор формулы

Функция плотности вероятности (pdf) f ( x ):

  • f ( x ) ≥ 0
  • Общая площадь под кривой f ( x ) равна единице.

Кумулятивная функция распределения (cdf): P ( X ≤ x )

Какой тип распределения иллюстрирует график?

Какой тип распределения иллюстрирует график?

Какой тип распределения иллюстрирует график?

Что означает заштрихованная область? П (___ < x <___)

Что означает заштрихованная область? П (___ < x <___)

Для непрерывного распределения вероятностей 0 ≤ x ≤ 15. Что такое P ( x > 15)?

Какова площадь под f ( x ), если функция является непрерывной функцией плотности вероятности?

Для непрерывного распределения вероятностей 0 ≤ x ≤ 10. Что такое P ( x = 7)?

Непрерывная функция вероятности ограничена частью от x = 0 до 7. Что такое P ( x = 10)?

f ( x ) для непрерывной функции вероятности, а функция ограничена до 0 ≤ x ≤ 5.Что такое P ( x <0)?

f ( x ), непрерывная функция вероятности, равна 0 ≤ x ≤ 12. Что такое P (0 < x <12)?

Найдите вероятность того, что x попадет в заштрихованную область.

Найдите вероятность того, что x попадет в заштрихованную область.

Найдите вероятность того, что x попадет в заштрихованную область.

f ( x ), непрерывная функция вероятности, равна, а функция ограничена до 1 ≤ x ≤ 4. Опишите

Вероятность равна площади от x = до x = 4 над осью x и до f ( x ) =.

Домашнее задание

Для каждой проблемы с вероятностью и процентилем нарисуйте картинку.

Рассмотрим следующий эксперимент.Вы один из 100 человек, привлеченных к участию в исследовании по определению процента медсестер в Америке с R.N. (дипломированная медсестра) степень. Вы спрашиваете медсестер, есть ли у них R.N. степень. Медсестры отвечают «да» или «нет». Затем вы рассчитываете процент медсестер с R.N. степень. Вы отдаете этот процент своему руководителю.

  1. Какая часть эксперимента даст дискретные данные?
  2. Какая часть эксперимента даст непрерывные данные?

При округлении возраста до ближайшего года данные остаются непрерывными или они становятся дискретными? Почему?

Возраст — это измерение независимо от используемой точности.

4.1: Функции плотности вероятности (PDF) и кумулятивные функции распределения (CDF) для непрерывных случайных переменных

Напомним, что непрерывные случайные величины имеют несчетное количество возможных значений (подумайте об интервалах действительных чисел). Как и для дискретных случайных величин, мы можем говорить о вероятностях для непрерывных случайных величин, используя функций плотности .

Первые три условия в определении устанавливают свойства, необходимые для того, чтобы функция была действительным PDF-файлом для непрерывной случайной величины.Четвертое условие говорит нам, как использовать PDF-файл для вычисления вероятностей для непрерывных случайных величин, которые задаются интегралами , непрерывным аналогом сумм.

Пример \ (\ PageIndex {1} \)

Пусть случайная величина \ (X \) обозначает время, в течение которого человек ожидает прибытия лифта. Предположим, что самое долгое время ожидания лифта составляет 2 минуты, поэтому возможные значения \ (X \) (в минутах) задаются интервалом \ ([0,2] \). Возможный PDF-файл для \ (X \) равен
$$ f (x) = \ left \ {\ begin {array} {ll}
x, & \ text {for} \ 0 \ leq x \ leq 1 \ \
2-x, & \ text {for} \ 1 0, & \ text {иначе}
\ end {array} \ right. а_а \! f (x) \, dx = 0. \ notag $$
Неформально, если мы понимаем, что вероятность для непрерывной случайной величины задается областями под pdf , тогда, поскольку в строке нет области, там не является вероятностью, присвоенной случайной величине, принимающей единственное значение. Это не означает, что непрерывная случайная величина никогда не будет равна одному значению, только то, что мы не присваиваем никакой вероятности отдельным значениям случайной величины. По этой причине мы говорим только о вероятности того, что непрерывная случайная величина примет значение в ИНТЕРВАЛЕ, а не в точке.{\ prime \ prime} + py ’+ qy} = {0.} \]

Теорема.

Общее решение неоднородного уравнения — это сумма общего решения \ ({y_0} \ left (x \ right) \) связанного однородного уравнения и частного решения \ ({y_1} \ left (x \ right) \) неоднородного уравнения:

\ [{y \ left (x \ right)} = {{y_0} \ left (x \ right) + {y_1} \ left (x \ right).} \]

Ниже мы рассмотрим два метода построения общего решения неоднородного дифференциального уравнения.

Метод вариации констант

Если известно общее решение \ ({y_0} \) связанного однородного уравнения, то общее решение неоднородного уравнения можно найти, используя метод вариации констант.

Пусть общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка равно

\ [{{y_0} \ left (x \ right)} = {{C_1} {Y_1} \ left (x \ right)} + {{C_2} {Y_2} \ left (x \ right).} \]

Вместо констант \ ({C_1} \) и \ ({C_2} \) мы будем рассматривать произвольные функции \ ({C_1} \ left (x \ right) \) и \ ({C_2} \ left (x \ верно).\) Найдем такие функции, что решение

\ [{y = {C_1} \ left (x \ right) {Y_1} \ left (x \ right)} + {{C_2} \ left (x \ right) {Y_2} \ left (x \ right)} \]

удовлетворяет неоднородному уравнению с правой частью \ (f \ left (x \ right). \)

Неизвестные функции \ ({C_1} \ left (x \ right) \) и \ ({C_2} \ left (x \ right) \) могут быть определены из системы двух уравнений:

\ [\ left \ {\ begin {array} {l} {C’_1} \ left (x \ right) {Y_1} \ left (x \ right) + {C’_2} \ left (x \ right) {Y_2} \ left (x \ right) = 0 \\ {C’_1} \ left (x \ right) {Y’_1} \ left (x \ right) + {C’_2} \ left (x \ right ) {Y’_2} \ left (x \ right) = f \ left (x \ right) \ end {array} \ right. 2} x}} {{\ cos x}}} = { \ sin 2x, \; \;}} \ Rightarrow
{{C’_2} \ left (x \ right) \ frac {1} {{\ cos x}} = \ sin 2x, \; \;} \ Rightarrow
{{C’_2} \ left (x \ right) = \ sin 2x \ cos x.2} x} _1} \ right)}}
= {{{A_1} \ cos x + {A_2} \ sin x} — {\ frac {1} {3} \ cdot 2 \ sin x \ cos x}}
= {{{A_1} \ cos x + {A_2} \ sin x} — {\ frac {1} {3} \ sin 2x.}}
\]

Распределений вероятностей для дискретных случайных величин

Распределения вероятностей

С каждым возможным значением x дискретной случайной величины X является вероятность P (x) того, что X примет значение x в одном испытании эксперимента.

Определение

Распределение вероятностей Список всех возможных значений и их вероятностей. дискретной случайной величины X — это список всех возможных значений X вместе с вероятностью того, что X примет это значение в одном испытании эксперимента.

Вероятности в распределении вероятностей случайной величины X должны удовлетворять следующим двум условиям:

  1. Каждая вероятность P (x) должна быть от 0 до 1: 0≤P (x) ≤1.
  2. Сумма всех вероятностей равна 1: ΣP (x) = 1.

Пример 1

Честная монета подбрасывается дважды. Пусть X будет количеством наблюдаемых голов.

  1. Постройте распределение вероятностей X .
  2. Найдите вероятность того, что будет замечена хотя бы одна голова.

Решение:

  1. Возможные значения, которые может принимать X : 0, 1 и 2.Каждое из этих чисел соответствует событию в пространстве выборки S = ​​{hh, ht, th, tt} равновероятных исходов для этого эксперимента: X = 0 до {tt}, X = 1 до {ht, th} и ​​от X = 2 до {hh}. Вероятность каждого из этих событий и, следовательно, соответствующего значения X , может быть найдена простым подсчетом, что дает

    х012П (х) 0,250,500,25

    Эта таблица представляет собой распределение вероятностей X .

  2. «По крайней мере одна голова» — это событие X ≥ 1, которое представляет собой объединение взаимоисключающих событий X = 1 и X = 2.Таким образом,

    P (X≥1) = P (1) + P (2) = 0,50 + 0,25 = 0,75

    Гистограмма, которая графически иллюстрирует распределение вероятностей, представлена ​​на Рисунке 4.1 «Распределение вероятностей для двойного подбрасывания честной монеты».

Рисунок 4.1 Распределение вероятностей для двойного подбрасывания честной монеты

Пример 2

Выбрасывается пара честных кубиков. Пусть X обозначает сумму количества точек на верхних гранях.

  1. Постройте распределение вероятностей X .
  2. Найдите P ( X ≥ 9).
  3. Найдите вероятность того, что X принимает четное значение.

Решение:

Пространство выборки равновероятных исходов —

111213141516212223242526313233343536414243444546515253545556616263646566

  1. Возможные значения для X — числа от 2 до 12. X = 2 — это событие {11}, поэтому P (2) = 1 ∕ 36. X = 3 — это событие {12,21}, поэтому P (3) = 2 ∕ 36. Продолжая так, получаем таблицу

    x2345678
    12P (x) 136236336436536636536436336236136

    Эта таблица представляет собой распределение вероятностей X .

  2. Событие X ≥ 9 является объединением взаимоисключающих событий X = 9, X = 10, X = 11 и X = 12. Таким образом,

    P (X≥9) = P (9) + P (10) + P (11) + P (12) = 436 + 336 + 236 + 136 = 1036 = 0,27-

  3. Прежде чем мы сразу сделаем вывод о том, что вероятность того, что X принимает четное значение, должна быть 0,5, обратите внимание, что X принимает шесть разных четных значений, но только пять разных нечетных значений. Вычисляем

    P (X четно) = P (2) + P (4) + P (6) + P (8) + P (10) + P (12) = 136 + 336 + 536 + 536 + 336 + 136 = 1836 = 0,5

    Гистограмма, которая графически иллюстрирует распределение вероятностей, представлена ​​на рисунке 4.2 «Распределение вероятностей для подбрасывания двух справедливых игральных костей».

Рисунок 4.2. Распределение вероятностей для подбрасывания двух честных игральных костей

Среднее и стандартное отклонение дискретной случайной величины

Определение

Среднее значение Число Σx P (x), измеряющее его среднее значение при повторных испытаниях. (также называемое ожидаемым значением , его среднее значение.) дискретной случайной величины X — это число

μ = E (X) = Σx P (x)

Среднее значение случайной величины можно интерпретировать как среднее значение, принятое случайной величиной в повторных испытаниях эксперимента.

Пример 3

Найдите среднее значение дискретной случайной величины X , распределение вероятностей которой равно

х-2123,5P (х) 0,210.340.240.21

Решение:

Формула в определении дает

μ = Σx P (x) = (- 2) · 0,21 + (1) · 0,34 + (2) · 0,24 + (3,5) · 0,21 = 1,135

Пример 4

Сервисная организация в большом городе каждый месяц проводит розыгрыш. Продана тысяча лотерейных билетов по 1 доллару каждый. У всех равные шансы на победу. Первый приз — 300 долларов, второй приз — 200 долларов, третий приз — 100 долларов. Пусть X обозначает чистую прибыль от покупки одного билета.

  1. Постройте распределение вероятностей X .
  2. Найдите вероятность выигрыша при покупке одного билета.
  3. Найдите математическое ожидание X и интерпретируйте его значение.

Решение:

  1. Если билет выбран в качестве победителя первого приза, чистая прибыль для покупателя составит 300 долларов за минус 1 доллар, уплаченный за билет, следовательно, X = 300 — 1 = 299.Такой билет один, поэтому P (299) = 0,001. Применение того же принципа «доход минус исход» к победителям второго и третьего призов и к 997 проигравшим билетам дает распределение вероятностей:

    х29

    9−1П (х) 0,0010,0010,0010,997

  2. Пусть W обозначает событие, когда выбран билет для выигрыша одного из призов. Используя таблицу

    P (W) = P (299) + P (199) + P (99) = 0.001 + 0,001 + 0,001 = 0,003

  3. Используя формулу в определении ожидаемой стоимости,

    E (X) = 299 · 0,001 + 199 · 0,001 + 99 · 0,001 + (- 1) · 0,997 = -0,4

    Отрицательное значение означает, что в среднем человек теряет деньги. В частности, если кто-то будет покупать билеты несколько раз, то, хотя он и будет время от времени выигрывать, в среднем он теряет 40 центов за каждый купленный билет.

Как показывает следующий упрощенный пример, концепция ожидаемой стоимости также является базовой для страховой отрасли.

Пример 5

Компания по страхованию жизни продаст полис страхования жизни сроком на 200 000 долларов на один год физическому лицу, входящему в определенную группу риска, за премию в размере 195 долларов. Найдите ожидаемую ценность для компании единого полиса, если человек из этой группы риска имеет 99,97% шанс выжить в течение одного года.

Решение:

Пусть X обозначает чистую прибыль компании от продажи одного такого полиса.Возможны две возможности: застрахованное лицо живет целый год или застрахованное лицо умирает до истечения года. Применяя принцип «доход минус исход», в первом случае значение X равно 195 — 0; в последнем случае это 195-200 000 = -199 805. Поскольку вероятность в первом случае составляет 0,9997, а во втором случае 1−0,9997 = 0,0003, распределение вероятностей для X будет:

x195−199,805P (x) 0,99970,0003

Следовательно

E (X) = Σx P (x) = 195 · 0.9997 + (- 199 805) · 0,0003 = 135

Иногда (на самом деле, 3 раза из 10 000) компания теряет большую сумму денег по полису, но обычно она получает 195 долларов, что, согласно нашим расчетам E (X), дает чистую прибыль в размере 135 долларов за проданный полис. в среднем.

Определение

Дисперсия , σ2 , дискретной случайной величины X — это число

σ2 = Σ (x − μ) 2 P (x)

, что по алгебре эквивалентно формуле

σ2 = Σx2 P (x) −μ2

Определение

Стандартное отклонение Число Σ (x − μ) 2P (x) (также вычисленное с использованием [Σx2P (x)] −μ2), измеряющее его изменчивость при повторных испытаниях., σ , дискретной случайной величины X — квадратный корень из ее дисперсии, следовательно, определяется формулами

σ = Σ (x − μ) 2 P (x) = Σx2 P (x) −μ2

Дисперсия и стандартное отклонение дискретной случайной величины X могут быть интерпретированы как меры изменчивости значений, принимаемых случайной величиной в повторных испытаниях эксперимента. Единицы стандартного отклонения соответствуют единицам X .

Пример 6

Дискретная случайная величина X имеет следующее распределение вероятностей:

х − 1014P (х) 0.20.5a0.1

Гистограмма, которая графически иллюстрирует распределение вероятностей, представлена ​​на рисунке 4.3 «Распределение вероятностей дискретной случайной величины».

Рисунок 4.3 Распределение вероятностей дискретной случайной величины

Вычислите каждую из следующих величин.

  1. .
  2. П (0).
  3. P ( X > 0).
  4. P ( X ≥ 0).
  5. P (X≤ − 2).
  6. Среднее значение μ из X .
  7. Дисперсия σ2 X .
  8. Стандартное отклонение σ X .

Решение:

  1. Поскольку все вероятности должны составлять в сумме 1, a = 1− (0.2 + 0,5 + 0,1) = 0,2.
  2. Непосредственно из таблицы, P (0) = 0,5.
  3. Из таблицы P (X> 0) = P (1) + P (4) = 0,2 + 0,1 = 0,3.
  4. Из таблицы P (X≥0) = P (0) + P (1) + P (4) = 0,5 + 0,2 + 0,1 = 0,8.
  5. Поскольку ни одно из чисел, перечисленных в качестве возможных значений для X , не меньше или равно −2, событие X ≤ −2 невозможно, поэтому P ( X ≤ −2) = 0.

  6. Используя формулу из определения μ ,

    μ = Σx P (x) = (- 1) · 0.2 + 0 · 0,5 + 1 · 0,2 + 4 · 0,1 = 0,4

  7. Используя формулу в определении σ2 и значение μ , которое только что было вычислено,

    σ2 = Σ (x − μ) 2 P (x) = (- 1−0,4) 2 · 0,2 + (0−0,4) 2 · 0,5 + (1−0,4) 2 · 0,2 + (4−0,4) 2 · 0,1 = 1,84

  8. Используя результат части (g), σ = 1,84 = 1,3565.

Основные выводы

  • Распределение вероятностей дискретной случайной величины X представляет собой список каждого возможного значения x , взятого для X , вместе с вероятностью P (x) того, что X принимает это значение в одном испытании эксперимента.
  • Среднее значение μ дискретной случайной величины X — это число, которое указывает среднее значение X по результатам многочисленных испытаний эксперимента. Он вычисляется по формуле μ = Σx P (x).
  • Дисперсия σ2 и стандартное отклонение σ дискретной случайной величины X — это числа, которые указывают на изменчивость X в ходе многочисленных испытаний эксперимента. Их можно вычислить по формуле σ2 = [Σx2 P (x)] −μ2, извлекая квадратный корень, чтобы получить σ .

Упражнения

    Базовый

  1. Определите, является ли таблица допустимым распределением вероятностей дискретной случайной величины. Объясните полностью.

    1. х − 2024P (х) 0.30.50.20.1

    2. x0.50,250,25Р (х) -0,40,60,8

    3. x1.12.54.14.65.3P (x) 0.160.140.110.270.22

  2. Определите, является ли таблица допустимым распределением вероятностей дискретной случайной величины.Объясните полностью.

    1. х01234Р (х) -0,250,500,350,100,30

    2. х123П (х) 0,3250,4060,164

    3. x2526272829P (x) 0.130.270.280.180.14

  3. Дискретная случайная величина X имеет следующее распределение вероятностей:

    x7778798081P (x) 0.150.150.200.400.10

    Вычислите каждую из следующих величин.

    1. П (80).
    2. P ( X > 80).
    3. P ( X ≤ 80).
    4. Среднее значение μ из X .
    5. Дисперсия σ2 X .
    6. Стандартное отклонение σ X .

  4. Дискретная случайная величина X имеет следующее распределение вероятностей:

    x1318202427P (x) 0.220.250.200.170.16

    Вычислите каждую из следующих величин.

    1. П (18).
    2. P ( X > 18).
    3. P ( X ≤ 18).
    4. Среднее значение μ из X .
    5. Дисперсия σ2 X .
    6. Стандартное отклонение σ X .

  5. Если каждый кубик в паре «заряжен» так, что один выпадает вдвое реже, чем должен, шесть выпадает наполовину так часто, как должен, и вероятности других граней не изменяются, тогда распределение вероятностей для сумма X числа точек на верхних гранях, когда они свернуты, составляет

    x234567P (x) 114441448144121441614422144
    x8
    12P (x) 241442014416144121449144

    Вычислите каждое из следующих значений.

    1. P (5≤X≤9).
    2. P ( X ≥ 7).
    3. Среднее значение μ из X . (Для честных игральных костей это число 7.)
    4. Стандартное отклонение σ X . (Для честных игральных костей это число составляет около 2,415.)

    Приложения

  1. Борачио работает на заводе по производству автомобильных шин.Число X исправных, но испорченных шин, которое он производит в случайный день, имеет распределение вероятностей

    .
    х2345P (х) 0.480.360.120.04

    1. Найдите вероятность того, что Борачио завтра произведет более трех неисправных шин.
    2. Найдите вероятность того, что завтра Borachio произведет не более двух поврежденных шин.
    3. Вычислите среднее значение и стандартное отклонение X .Интерпретируйте среднее значение в контексте проблемы.

  2. По опыту заводчика хомяков количество X живых щенков в помете от самки младше двенадцати месяцев, которая не рожала помет в течение последних шести недель, имеет распределение вероятностей

    х3456789P (х) 0.040.100.260.310.220.050.02

    1. Найдите вероятность того, что в следующем помете родится от пяти до семи живых щенков.
    2. Найдите вероятность того, что в следующем помете родится не менее шести живых щенков.
    3. Вычислите среднее значение и стандартное отклонение X . Интерпретируйте среднее значение в контексте проблемы.

  3. Число X дней в летние месяцы, когда строительная бригада не может работать из-за погодных условий, имеет распределение вероятностей

    x678910P (х) 0.030.080.150.200.19
    х11121314P (х) 0.160.100.070.02

    1. Найдите вероятность того, что следующим летом будет потеряно не более десяти дней.
    2. Найдите вероятность того, что следующим летом будет потеряно от 8 до 12 дней.
    3. Определите вероятность того, что следующим летом не будет потеряно ни одного дня.
    4. Вычислите среднее значение и стандартное отклонение X .Интерпретируйте среднее значение в контексте проблемы.

  4. Пусть X обозначает количество мальчиков в случайно выбранной семье из трех детей. Предполагая, что мальчики и девочки равновероятны, постройте распределение вероятностей X .

  5. Пусть X обозначает, сколько раз справедливая монета выпадает орлом за три броска.Постройте распределение вероятностей X .

  6. Продано пять тысяч лотерейных билетов по 1 доллару каждый. Один билет выиграет 1000 долларов, два билета — по 500 долларов каждый, а десять билетов — по 100 долларов каждый. Пусть X обозначает чистую прибыль от покупки случайно выбранного билета.

    1. Постройте распределение вероятностей X .
    2. Вычислите ожидаемое значение E (X) X . Интерпретируйте его значение.
    3. Вычислить стандартное отклонение σ из X .

  7. Продано семь тысяч лотерейных билетов по 5 долларов каждый. Один билет выиграет 2000 долларов, два билета — 750 долларов каждый, а пять билетов — 100 долларов каждый.Пусть X обозначает чистую прибыль от покупки случайно выбранного билета.

    1. Постройте распределение вероятностей X .
    2. Вычислите ожидаемое значение E (X) X . Интерпретируйте его значение.
    3. Вычислить стандартное отклонение σ из X .

  8. Страховая компания продаст полис страхования жизни на один год на сумму 90 000 долларов США физическому лицу, входящему в определенную группу риска, за премию в размере 478 долларов США.Найдите ожидаемую ценность для компании единого полиса, если у человека из этой группы риска есть 99,62% шанс прожить один год.

  9. Страховая компания продаст полис страхования жизни сроком на 10 000 долларов на один год физическому лицу, входящему в определенную группу риска, за премию в размере 368 долларов. Найдите ожидаемую ценность для компании единого полиса, если у человека из этой группы риска 97.25% шанс выжить один год.

  10. По оценке страховой компании, вероятность того, что человек из определенной группы риска выживет в течение одного года, составляет 0,9825. Такой человек желает приобрести годовой полис страхования жизни на сумму 150 000 долларов. Пусть C обозначает, сколько страховая компания взимает с такого человека за такой полис.

    1. Постройте распределение вероятностей X .(Две записи в таблице будут содержать C .)
    2. Вычислите ожидаемое значение E (X) X .
    3. Определите значение C , которое должно быть у компании для обеспечения безубыточности по всем таким политикам (то есть, чтобы получить в среднем нулевую чистую прибыль на одну политику по таким политикам).
    4. Определите значение C , которое должно быть у компании, чтобы получить среднюю чистую прибыль в размере 250 долларов на полис по всем таким полисам.

  11. По оценке страховой компании, вероятность того, что человек, входящий в определенную группу риска, выживет в течение одного года, составляет 0,99. Такой человек желает приобрести полис страхования жизни сроком на 75 000 долларов на один год. Пусть C обозначает, сколько страховая компания взимает с такого человека за такой полис.

    1. Постройте распределение вероятностей X .(Две записи в таблице будут содержать C .)
    2. Вычислите ожидаемое значение E (X) X .
    3. Определите значение C , которое должно быть у компании для обеспечения безубыточности по всем таким политикам (то есть, чтобы получить в среднем нулевую чистую прибыль на одну политику по таким политикам).
    4. Определите значение C , которое должно быть у компании, чтобы получить среднюю чистую прибыль в размере 150 долларов США на каждый полис по всем таким полисам.

  12. В колесе рулетки 38 ячеек. Тридцать шесть слотов пронумерованы от 1 до 36; половина из них красные, а половина — черные. Остальные два слота пронумерованы 0 и 00 и окрашены в зеленый цвет. При ставке 1 доллар на красное игрок платит 1 доллар, чтобы сыграть. Если мяч попадает в красную прорезь, он получает обратно поставленный доллар плюс дополнительный доллар. Если мяч не приземляется на красное, он теряет свой доллар.Пусть X обозначает чистую прибыль игрока, сделавшего ставку за одну игру в игре.

    1. Постройте распределение вероятностей X .
    2. Вычислите ожидаемое значение E (X) X и интерпретируйте его значение в контексте проблемы.
    3. Вычислить стандартное отклонение X .

  13. В колесе рулетки 38 ячеек.Тридцать шесть слотов пронумерованы от 1 до 36; оставшиеся два слота пронумерованы 0 и 00. Предположим, что «число» 00 считается нечетным, но число 0 все еще четное. При ставке 1 доллар на четное игрок платит 1 доллар, чтобы сыграть. Если мяч приземляется в слот с четным номером, он получает обратно доллар, который он поставил, плюс дополнительный доллар. Если мяч не приземляется в слот с четным номером, он теряет свой доллар. Пусть X обозначает чистую прибыль игрока, сделавшего ставку за одну игру в игре.

    1. Постройте распределение вероятностей X .
    2. Вычислите ожидаемое значение E (X) X и объясните, почему эта игра не предлагается в казино (где 0 не считается четным).
    3. Вычислить стандартное отклонение X .

  14. Время с точностью до целой минуты, которое требуется городскому автобусу для перехода от одного конца своего маршрута к другому, имеет распределение вероятностей.Как иногда бывает с вероятностями, вычисленными как эмпирические относительные частоты, вероятности в таблице составляют только значение, отличное от 1,00, из-за ошибки округления.

    х424344454647P (х) 0.100.230.340.250.050.02

    1. Найдите среднее время, затрачиваемое автобусом на прохождение данного маршрута.
    2. Найдите стандартное отклонение времени, необходимого автобусу для прохождения данного маршрута.

  15. Тибальт получает по почте предложение принять участие в национальном розыгрыше лотереи.Призы и шансы на выигрыш указаны в предложении: 5 миллионов долларов, один шанс из 65 миллионов; 150 000 долларов, один шанс из 6,5 миллиона; 5000 долларов, один шанс из 650 000; и 1000 долларов, один шанс из 65000. Если отправка его заявки по почте стоит 44 цента, какова для него ожидаемая ценность розыгрыша?

    Дополнительные упражнения

  1. Число X гвоздей в случайно выбранной 1-фунтовой коробке имеет показанное распределение вероятностей.Найдите среднее количество гвоздей на фунт.

    х100101102P (х) 0,010,960,03

  2. Бросаются сразу три справедливых кубика. Пусть X обозначает количество кубиков, которые выпадают с таким же количеством точек на вершине, что и по крайней мере один другой кубик. Распределение вероятностей для X равно

    .
    x0u3P (x) p1536136

    1. Найдите недостающее значение u из X .
    2. Найдите недостающую вероятность p .
    3. Вычислить среднее значение X .
    4. Вычислить стандартное отклонение X .

  3. Бросаются сразу два справедливых кубика. Пусть X обозначает разницу в количестве точек, которые появляются на верхних гранях двух игральных костей.Так, например, если выпадают единицы и пятерка, X = 4, а если выпадают две шестерки, X = 0.

    1. Постройте распределение вероятностей для X .
    2. Вычислить среднее значение μ для X .
    3. Вычислить стандартное отклонение σ из X .

  4. Справедливая монета подбрасывается повторно, пока либо она не выпадет орлом, либо не будет сделано пять подбрасываний, в зависимости от того, что наступит раньше.Пусть X обозначает количество сделанных бросков.

    1. Постройте распределение вероятностей для X .
    2. Вычислить среднее значение μ для X .
    3. Вычислить стандартное отклонение σ из X .

  5. Производитель получает определенный компонент от поставщика партиями по 100 единиц.Две единицы из каждой партии выбираются случайным образом и тестируются. Если один из блоков неисправен, отгрузка отклоняется. Предположим, в отгрузке 5 дефектных единиц.

    1. Постройте распределение вероятностей для количества X дефектных единиц в такой выборке. (Полезна древовидная диаграмма.)
    2. Определите вероятность того, что такая партия будет принята.

  6. Шейлок входит в местный филиал банка в 16:30.м. каждый день выплаты жалованья, в это время всегда дежурят два кассира. Число X клиентов в банке, которые либо находятся у окошка кассира, либо ждут в одной очереди следующего доступного кассира, имеет следующее распределение вероятностей.

    х0123П (х) 0.1350.1920.2840.230
    х456П (х) 0,1030,0510,005

    1. Какое количество клиентов Шейлок чаще всего видит в банке в момент входа?
    2. Какое количество клиентов, ожидающих в очереди, чаще всего видит Шейлок в момент входа?
    3. Каково среднее количество клиентов, которые ждут в очереди, когда входит Шейлок?

  7. Владелец предлагаемого театра под открытым небом должен решить, стоит ли включать в него крышку, которая позволит проводить представления при любых погодных условиях.Исходя из прогнозируемого размера аудитории и погодных условий, распределение вероятности дохода X за ночь, если крышка не установлена, составляет

    .
    WeatherxP (x) Ясно $ 30000,61 Угроза $ 28000,17 Легкий дождь $ 19750,11 Дождь, отменяющий шоу $ 00,11

    Дополнительная стоимость покрытия 410 000 долларов США. Владелец построит его, если эта стоимость может быть возмещена за счет увеличения доходов, которые дает покрытие за первые десять 90-дневных сезонов.

    1. Рассчитайте средний доход за ночь, если крышка не установлена.
    2. Используйте ответ на (a), чтобы вычислить прогнозируемый общий доход за 90-дневный сезон, если покрытие не установлено.
    3. Рассчитайте прогнозируемую общую выручку за сезон при наличии покрытия. Для этого предположим, что если бы покрытие было на месте, доход каждую ночь сезона был бы таким же, как доход в ясную ночь.
    4. Используя ответы на (b) и (c), решите, будут ли дополнительные затраты на установку покрытия возмещены за счет увеличения доходов в течение первых десяти лет. Будет ли установлена ​​крышка у владельца?

ответов

    1. нет: сумма вероятностей превышает 1
    2. нет: отрицательная вероятность
    3. нет: сумма вероятностей меньше 1
    1. 0.4
    2. 0,1
    3. 0,9
    4. 79,15
    5. σ2 = 1,5275
    6. σ = 1,2359
    1. 0,6528
    2. 0.7153
    3. мк = 7,8333
    4. σ2 = 5,4866
    5. σ = 2,3424
    1. 0,79
    2. 0.60
    3. мк = 5.8, σ = 1,2570

  4. x0123P (x) 1/83/83/81/8

    1. х − 199949999P (х) 498750001500025000105000

    2. −0.4
    3. 17,8785

    1. xCC − 150,000P (x) 0.98250.0175

    2. С − 2625
    3. С ≥ 2625
    4. С ≥ 2875

    1. х − 11П (х) 20381838

    2. Е (Х) = — 0.0526 Во многих ставках игрок терпит средний проигрыш около 5,25 цента за ставку.
    3. 0,9986

    1. x012345P (x) 6361036836636436236

    2. 1.9444
    3. 1,4326

    1. х012П (х) 0.9020.0960.002

    2. 0,902
    1. 2523.25
    2. 227 092,5
    3. 270 000
    4. Хозяин установит крышку.

% PDF-1.6
%
179 0 объектов>
эндобдж

xref
179 101
0000000016 00000 н.
0000003852 00000 н.
0000003917 00000 н.
0000004536 00000 н.
0000005414 00000 н.
0000005822 00000 н.
0000006311 00000 н.
0000009158 00000 н.
0000009534 00000 п.
0000009880 00000 н.
0000010210 00000 п.
0000010646 00000 п.
0000011399 00000 п.
0000012546 00000 п.
0000012844 00000 п.
0000013727 00000 п.
0000014375 00000 п.
0000015025 00000 п.
0000015904 00000 п.
0000016513 00000 п.
0000016939 00000 п.
0000017425 00000 п.
0000028477 00000 п.
0000028966 00000 п.
0000035473 00000 п.
0000035919 00000 п.
0000036284 00000 п.
0000036848 00000 н.
0000037289 00000 п.
0000037965 00000 п.
0000047832 00000 п.
0000057779 00000 п.
0000058241 00000 п.
0000058655 00000 п.
0000058972 00000 п.
0000065296 00000 п.
0000065633 00000 п.
0000066055 00000 п.
0000066277 00000 п.
0000074648 00000 п.
0000074725 00000 п.
0000075642 00000 п.
0000076523 00000 п.
0000084824 00000 п.
0000085269 00000 п.
0000085669 00000 п.
0000085998 00000 п.
0000086631 00000 п.
00000

00000 п.
00000 00000 п.
00000

00000 п.
0000092660 00000 п.
0000099740 00000 п.
0000100292 00000 н.
0000100693 00000 п.
0000101116 00000 н.
0000101991 00000 н.
0000102737 00000 н.
0000103658 00000 п.
0000103992 00000 н.
0000104768 00000 н.
0000105124 00000 п.
0000105325 00000 н.
0000105969 00000 н.
0000106345 00000 п.
0000106959 00000 п.
0000107337 00000 н.
0000111882 00000 н.
0000113322 00000 н.
0000121297 00000 н.
0000121624 00000 н.
0000122067 00000 н.
0000122328 00000 н.
0000122895 00000 н.
0000123524 00000 н.
0000124168 00000 н.
0000124817 00000 н.
0000129665 00000 н.
0000130055 00000 н.
0000130243 00000 н.
0000130645 00000 н.
0000130900 00000 н.
0000135250 00000 н.
0000135573 00000 н.
0000135946 00000 н.
0000136737 00000 н.
0000137325 00000 н.
0000137438 00000 н.
0000138320 00000 н.
0000138568 00000 н.
0000138999 00000 н.
0000139360 00000 н.
0000145999 00000 н.
0000146119 00000 н.
0000146921 00000 н.
0000147050 00000 п.
0000147698 00000 н.
0000150964 00000 н.
0000151258 00000 н.
0000151578 00000 н.
0000002316 00000 н.
трейлер
] >>
startxref
0
%% EOF

279 0 obj> поток
x ڴ VkL [eNiwsJ٠lr +
[k
c2h] t]; c`: P7qKe͹˙o & [? Ęh: 4 $> @ QLV «\ $ Y.{d (x-c)} + ky = abd (x − c) + k

Приведенная выше формула немного сложнее, чем предыдущие функции, с которыми вы, вероятно, работали, поэтому давайте определим все переменные. (x-2)

Сделав это преобразование, мы переместили весь график на вправо, на две единицы.x + 2y = 2x + 2, k = 2, и поэтому горизонтальная асимптота равна 2. Нет значения для x, которое мы могли бы использовать, чтобы сделать y = 2.

И это все переменные! Опять же, некоторые из них сложнее других, поэтому потребуется время, чтобы привыкнуть к работе со всеми ними и привыкнуть к их поиску. Чтобы лучше познакомиться с экспоненциальными функциями и ознакомиться с приведенным выше общим уравнением, посетите этот отличный веб-сайт графического калькулятора здесь. Не торопитесь, чтобы поиграть с переменными и лучше почувствовать, как изменение каждой из переменных влияет на характер функции.

А теперь приступим к делу. Учитывая график экспоненциальной функции, как мы можем найти экспоненциальное уравнение?

Как найти экспоненциальные функции

Нахождение уравнения экспоненциальных функций часто представляет собой многоэтапный процесс, и каждая задача различается в зависимости от информации и типа графа, который нам дан. Учитывая график экспоненциальных функций, нам нужно иметь возможность брать некоторую информацию из самого графика, а затем решать то, что мы не можем извлечь непосредственно из графика.Ниже приведен список всех переменных, которые нам, возможно, придется искать, и того, как их обычно находить:

a — решите его по алгебре, иначе дадут

b — решите его по алгебре, иначе дадут

c — пусть x = 0 и представьте, что «c» там нет, значение y будет равно точке пересечения с y; теперь посчитайте, на сколько единиц значение y для точки пересечения y от оси y, и это будет равно «c»

.

d — решите это с помощью алгебры

k — равно значению горизонтальной асимптоты

Конечно, это всего лишь общие шаги, которые необходимо предпринять, чтобы найти уравнение для экспоненциальной функции.xy = abx данного графа.

Нахождение экспоненциальной функции по ее графику

Чтобы решить эту проблему, нам нужно найти переменные «a» и «b». Кроме того, нам придется решить оба этих вопроса алгебраически, поскольку мы не можем определить их из самого графика экспоненциальной функции.

Шаг 1. Решите относительно «a»

Чтобы найти «a», мы должны выбрать точку на графике, где мы можем исключить bx, потому что мы еще не знаем «b», и поэтому мы должны выбрать y-точку пересечения (0,3).{dx} + ky = a2dx + k данного графа.

Нахождение экспоненциальной функции по ее графику

Чтобы решить эту проблему, нам нужно найти переменные «a», «d» и «k». Помните, что мы можем найти «k» на графике, поскольку это горизонтальная асимптота. Однако для «a» и «d» нам придется решать их алгебраически, поскольку мы не можем определить их из самого графика экспоненциальной функции.

Шаг 1. Найдите «k» на графике

Чтобы найти «k», все, что нам нужно сделать, это найти горизонтальную асимптоту, которая явно равна y = 6.(bx) + k

Вот и все экспоненциальные функции! Опять же, эти функции немного сложнее, чем уравнения для линий или парабол, поэтому обязательно выполните много практических задач, чтобы освоить новые переменные и методы.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *