Функция ATAN2 — Служба поддержки Office

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции ATAN2 в Microsoft Excel.

Описание

Возвращает арктангенс для заданных координат x и y. Арктангенс — это угол между осью x и линией, проведенной из начала координат (0, 0) в точку с координатами (x, y). Угол определяется в радианах в диапазоне от -пи до пи, исключая -пи.

Синтаксис

ATAN2(x;y)

Аргументы функции ATAN2 описаны ниже.

Замечания

• Положительный результат соответствует отсчету угла против часовой стрелки от оси x; отрицательный результат соответствует отсчету угла по часовой стрелке.

• ATAN2(x;y) равняется ATAN(y/x), за исключением того, что в ATAN2 аргумент x может принимать значение 0.

• Если x_num и y_num 0, ATAN2 возвращает #DIV/0! значение ошибки #ЗНАЧ!.

• Чтобы выразить арктангенс в градусах, умножьте результат на 180/ПИ( ) или используйте функцию ГРАДУСЫ.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Функция «Целая часть числа» ее свойства и график

Функция «Целая часть числа» ее свойства и график

Функция «Целая часть числа», ее свойства и график

Функция целая часть числа имеет вид y = [x].

1. Функция имеет смысл для всех значений переменной x, что следует из определения целой части числа и свойств числовых множеств (непрерывности множества действительных чисел, дискретности множества целых чисел и бесконечности обоих множеств). Следовательно, ее областью определения является все множество действительных чисел

D([x]) = R.

2. Функция ни четная, ни нечетная.
Область определения функции симметрична относительно начала координат, но если [x] = a, то [-x] = -(a+1), т.е. не выполняется ни условие четности ( f (-x) = f (x) ), ни условие нечетности ( f (-x) = — f (x) ).

3. Функция y = [x] не периодическая.

4. Множество значений функции y = [x], это множество целых чисел (по определению целой части числа)

E ([x]) = Z .

5. Функция неограничена, так как множество значений функции — все целые числа, множество целых чисел неограничено.

6. Функция разрывна. Все целые значения x — точки разрыва первого рода с конечным скачком равным 1. В каждой точке разрыва имеется непрерывность справа.

7. Функция принимает значение 0 для всех x, принадлежащих интервалу [0;1), что следует из определения целой части числа. Следовательно, нулями функции будут все значения этого интервала.

8. Учитывая свойства целой части числа функция y = [x] принимает отрицательные значения при x меньших нуля, и положительные значения при x больших 1.

9. Функция y = [x] кусочно — постоянная и неубывающая.

10. Точек экстремума функция не имеет, так как не меняет характер монотонности.

11. Так как функция y = [x] постоянна на каждом интервале [n ; n+1), она не принимает наибольшего и наименьшего значений на области определения.

12. График функции.

Координатные плоскости и графики, функции.

Прямоугольная система координат это пара перпендикулярных координатных линий, называемых осями координат, которые размещены так, что они пересекаются в их начале.

Обозначение координатных осей буквами х и у является общепринятым, однако буквы могут
быть любые. Если используются буквы х и у, то плоскость называется xy-плоскость. В различных приложениях могут применяться отличные от букв x и y буквы, и как показано с нижерасположенных рисунках, есть uv-плоскости и ts-плоскости.

Упорядоченная пара

Под упорядоченной парой действительных чисел мы имеем в виду два действительных чисел в определённом порядке. Каждая точка P в координатной плоскости может быть связана с уникальной упорядоченной парой действительных чисел путём проведения двух прямых через точку P: одну перпендикулярно оси Х, а другую — перпендикулярно оси у.

Например, если мы возьмём (a,b)=(4,3), тогда на координатной полоскости

Построить точку Р(a,b) означает определить точку с координатами (a,b) на координатной плоскости. Например, различные точки построены на рисунке внизу.

В прямоугольной системе координат оси координат делят плоскость на четыре области, называемые квадрантами. Они нумеруются против часовой стрелки римскими цифрами, как показано на рисунке

Определение графика

Графиком уравнения с двумя переменными х и у, называется множество точек на ху-плоскости, координаты которых являются членами множества решений этого уравнения

Пример: нарисовать график y = x²

Это приближении к графику y = x²

Пример: нарисовать график y = 1/x

Из-за того, что 1/x не определено, когда x=0, мы можем построить только точки, для которых x ≠0

Пример: Найдите все пересечения с осями
(a) 3x + 2y = 6
(b) x = y²-2y
(c) y = 1/x

Решение:

Пусть y = 0, тогда 3x = 6   or   x = 2

является искомой точкой пересечения оси x.

Установив, что х=0, найдем что точкой пересечения оси у является точка у=3.

Таким эе образом вы можете решить уравнение (b), а решения для (c) приведено ниже

y = 1/x

x-пересечение

Пусть y = 0

1/x = 0 => x не может быть определено, то есть нет пересечения с осью у

Пусть x = 0

y = 1/0 => y также не определено, => нет пересечения с осью y

На рисунке внизу точки (x,y), (-x,y),(x,-y) и (-x,-y) обозначают углы прямоугольника.

• график симметричен относительно оси х, если для каждой точки (x,y) графика, точка (x,-y) есть также точкой на графике.

• график симметричен относительно оси y, если для каждой точки графика (x,y) точка (-x,y) также принадлежит графику.

• график симметричен относительно центра координат, если для каждой точки (x,y) графика, точка (-x,-y) также принадлежит этому графику.

Определение:

График функциина координатной плоскости определяется как график уравнения y = f(x)

Пример 1

Постройте график f(x) = x + 2

y = x + 2

Пример 2. Постройте график f(x) = |x|

y = |x|

График совпадает с линией y = x         для x> 0 и с линией y = -x

для x < 0 .

graph of f(x) = -x

Соединяя эти два графика, мы получаем

график f(x) = |x|

Пример 3. Постройте график

t(x) = (x²— 4)/(x — 2) =

= ((x — 2)(x + 2)/(x — 2)) =

= (x + 2)       x ≠ 2

Следовательно, эта функция может быть записана в виде

y = x + 2            x ≠ 2

График h(x)= x² — 4 Or                     x — 2

график y = x + 2 x ≠ 2

Пример 4. Постройте график

Графики функций с перемещением

— Предположим, что график функции f(x) известен

— Тогда мы можем найти графики

y = f(x) + c

y = f(x) — c

y = f(x + c)

y = f(x — c)

y = f(x) + c          — график функции f(x), перемещённый

ВВЕРХ на c значений

y = f(x) — c          — график функции f(x), перемещённый

ВНИЗ на c значений

y = f(x + c)          — график функции f(x), перемещённый

ВЛЕВО на c значений

y = f(x — c)          — график функции f(x), перемещённый

Вправо на c значений

Пример 5. Постройте

график y = f(x) = |x — 3| + 2

Переместим график y = |x| на 3 значения ВПРАВО, чтобы получить график

y = |x-3|

Переместим график y = |x — 3| на 2 значения ВВЕРХ, чтобы получить график y = |x — 3| + 2

Пример 8

Постройте график

y = x² — 4x + 5

Преобразуем заданное уравнение следующим образом, прибавив к обеим частям 4:

y + 4 = (x² — 4x + 5) + 4 y = (x² — 4x + 4) + 5 — 4

y = (x — 2)² + 1

Здесь мы видим, что этот график может быть получен перемещением графика y = x² вправо на 2 значения, потому что x — 2, и вверх на 1 значение, потому что +1.

y = x² — 4x + 5

Отражения

(-x, y) есть отражением (x, y) относительно оси y

(x, -y) есть отражением (x, y) относительно оси x

Графики y = f(x) и y = f(-x) являются отражением друг друга относительно оси y

Графики y = f(x) и y = -f(x) являются отражением друг друга относительно оси x

График может быть получен отражением и перемещением:

— Нарисуйте график

— Найдём его отражение относительно оси y, и получим график

— Переместим этот график вправо на 2 значения и получим график

Вот искомый график

Если f(x) умножена на положительною постояную c, то

график f(x) сжимается по вертикали, если 0 < c < 1

график f(x) растягивается по вертикали, если c > 1

Кривая не является графиком y = f(x) для любой функции f

Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике — Элементы математического анализа

Ограниченные и неограниченные функции

      Обозначим буквой   X   некоторое множество чисел, входящих в область определения   D ( f )    функции   y = f (x).

      Определение 1. Функцию   y = f (x)   называют ограниченной сверху на множестве   X ,   если существует такое число   a ,   что для любого   x   из множества   X   выполнено неравенство

      Определение 2. Функцию   y = f (x)   называют ограниченной снизу на множестве   X ,   если существует такое число   b ,   что для любого   x   из множества   X   выполнено неравенство

      Определение 3. Функцию   y = f (x)   называют ограниченной на множестве   X ,   если существуют такие числа   a    и   b ,   что для любого   x   из множества   X   выполнено неравенство

      Определение 4. Функцию   y = f (x)   называют неограниченной сверху на множестве   X ,  если для любого числа   a   существует такой   x   из множества   X ,   для которого выполнено неравенство

      Определение 5. Функцию   y = f (x)   называют неограниченной снизу на множестве   X ,  если для любого числа   b   существует такой   x   из множества   X ,   для которого выполнено неравенство

      Определение 6. Функцию  y = f (x)   называют неограниченной на множестве   X ,  если эта функция или неограничена сверху, или неограничена снизу, или неограничена и сверху, и снизу.

      Проиллюстрируем эти определения следующими примерами.

      Пример 1. Функция   y = x²   (рис. 1) является ограниченной снизу и неограниченной сверху на множестве

Рис.1

      Пример 2. Функция   y = – x²   (рис. 2) является ограниченной сверху и неограниченной снизу на множестве

Рис.2

      Пример 3. Функция   y = x   (рис. 3) неограничена сверху и неограничена снизу на множестве

Рис.3

      Пример 4. Функция   y = arctg x   (рис. 4) ограничена на множестве

Рис.4

Монотонные и строго монотонные функции

      Определение 7. Функцию   y = f (x)   называют возрастающей на множестве   X ,  если для любых чисел и ,   удовлетворяющих неравенству   x₁ < x₂ ,   выполнено неравенство

      Замечание 1. Возрастающие функции также называют неубывающими функциями.

      Определение 8. Функцию  y = f (x)   называют убывающей на множестве   X ,  если для любых чисел и ,   удовлетворяющих неравенству   x₁ < x₂ ,   выполнено неравенство

      Замечание 2. Убывающие функции также называют невозрастающими функциями.

      Определение 9. Функцию   y = f (x)   называют строго возрастающей на множестве   X ,  если для любых чисел и ,   удовлетворяющих неравенству   x₁ < x₂ ,   выполнено неравенство

f (x₁) < f (x₂)

      Определение 10. Функцию   y = f (x)   называют строго убывающей на множестве   X ,  если для любых чисел и ,   удовлетворяющих неравенству   x₁ < x₂ ,   выполнено неравенство

f (x₁) > f (x₂)

      Определение 11. Возрастающие и убывающие функции называют монотонными,  строго возрастающие и строго убывающие функции называют строго монотонными.

      Пример 5. Функция   y  = x²   (рис. 1) является строго убывающей функцией на множестве и строго возрастающей на множестве

      Пример 6. Функция   y = – x²   (рис. 2) является строго возрастающей функцией на множестве и строго убывающей на множестве

      Пример 7. Функция   y = x   (рис. 3) является строго возрастающей функцией на множестве

      Пример 8. Функция   y = arctg x   (рис. 4) является строго возрастающей на множестве

Четные и нечетные функции

      Определение 12. Функцию   y = f (x) ,   определенную на множестве   X ,  называют четной функцией, если для любого числа   x   из множества   X   число   – x   также принадлежит множеству   X   и выполняется равенство

f (– x) = f (x)

      Определение 13. Функцию   y = f (x) ,   определенную на множестве   X ,   называют нечетной функцией, если для любого числа   x   из множества   X   число   – x   также принадлежит множеству   X   и выполняется равенство

f (– x) = – f (x)

      Пример 9. Функции   y = x²   и   y = – x²   являются четными функциями (рис. 1 и рис. 2), а функции   y = x   и   y = arctg x   являются нечетными функциями (рис. 3 и рис. 4).

      Пример 10. Примерами функций, которые не являются ни четными, ни нечетными функциями, являются показательные и логарифмические функции.

      Утверждение. Любую функцию   y = f (x) ,   определенную на симметричном относительно точки   x = 0   множестве   X ,  можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.

      Доказательство. Рассмотрим две функции:

сумма которых равна   f (x) ,   и заметим, что функция   g₁ (x)   является четной функцией, а функция   g₂ (x)   является нечетной функцией. Действительно,

что и завершает доказательство утверждения.

      Замечание 3. Раскладывая функцию   y = e ^x   в сумму четной и нечетной функций, получаем:

      Функцию   g₁ (x)   называют гиперболическим косинусом и обозначают   ch x :

      Функцию   g₂ (x)   называют гиперболическим синусом и обозначают   sh x :

      Таким образом, справедливо равенство

e ^x= sh x + ch x

Периодические и непериодические функции. Период функции

      Определение 14. Число называют периодом функции   y = f (x) ,   если для любого числа   числа   x + T   и   x – T   также принадлежат области определения   D ( f )   и справедливы равенства

f ( x + T ) = f (x) ,    
f ( x – T ) = f (x)

      Определение 15. Если функция имеет период, то ее называют периодической. Если же у функции периода нет, то ее называют непериодической.

      Замечание 4. Если число   T   является периодом некоторой функции, то и число   kT ,   где   k   – любое целое число, отличное от нуля, также является периодом этой функции.

      Пример 11. Функции   y = sin x   и   y = cos x   являются периодическими функциями с периодом   2π , функции   y = tg x   и   y = ctg x   являются периодическими функциями с периодом   π .

      Подробнее об этом можно прочитать в разделе «Свойства тригонометрических функций» → «Периодичность тригонометрических функций. Полупериодичность синуса и косинуса» нашего справочника.

      Пример 12. Показательные, логарифмические и степенные функции являются непериодическими функциями.

График функции. Свойства графиков четных, нечетных, периодических функций

      Рассмотрим плоскость с заданной прямоугольной системой координат   Oxy .

      Определение 16.  Графиком функции   y = f (x)   называют множество всех точек, координаты которых имеют вид  (x; f (x)) , где  .

      Замечание 5. График четной функции симметричен относительно оси ординат   Oy   (см., например, рис. 1 и рис. 2), график нечетной функции симметричен относительно начала координат (см., например, рис. 3 и рис. 4).

      Замечание 6. График периодической функции не изменяется при сдвиге вдоль оси абсцисс   Ox   на период вправо или влево (см., например, раздел «Графики тригонометрических функций» нашего справочника). Поэтому для того, чтобы построить график периодической функции с периодом   T,   достаточно построить график этой функции на любом отрезке оси абсцисс   Ox   длины   T,   а затем сдвигать его влево и вправо на расстояния   nT ,   где   n   – любое натуральное число.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Мир Python: функционалим по-маленьку — Продвинутый Python

Продвинутый Python

Введение

Существует несколько парадигм в программировании, например, ООП, функциональная, императивная, логическая, да много их. Мы будем говорить про функциональное программирование.

Предпосылками для полноценного функционального программирования в Python являются: функции высших порядков, развитые средства обработки списков, рекурсия, возможность организации ленивых вычислений.

Сегодня познакомимся с простыми элементами, а сложные конструкции будут в других уроках.

Теория в теории

Как и в разговоре об ООП, так и о функциональном программировании, мы стараемся избегать определений. Все-таки четкое определение дать тяжело, поэтому здесь четкого определения не будет. Однако! Хотелки для функционального языка выделим:

• Функции высшего порядка
• Чистые функции
• Неизменяемые данные

Это не полный список, но даже этого хватает чтобы сделать «красиво». Если читателю хочется больше, то вот расширенный список:

• Функции высшего порядка
• Чистые функции
• Неизменяемые данные
• Замыкания
• Ленивость
• Хвостовая рекурсия
• Алгебраические типы данных
• Pattern matching

Постепенно рассмотрим все эти моменты и как использовать в Python.

А сегодня кратко, что есть что в первом списке.

Чистые функции

Чистые функции не производят никаких наблюдаемых побочных эффектов, только возвращают результат. Не меняют глобальных переменных, ничего никуда не посылают и не печатают, не трогают объектов, и так далее. Принимают данные, что-то вычисляют, учитывая только аргументы, и возвращают новые данные.

Плюсы:

• Легче читать и понимать код
• Легче тестировать (не надо создавать «условий»)
• Надежнее, потому что не зависят от «погоды» и состояния окружения, только от аргументов
• Можно запускать параллельно, можно кешировать результат

Неизменяемые данные

Неизменяемые (иммутабельные) структуры данных — это коллекции, которые нельзя изменить. Примерно как числа. Число просто есть, его нельзя поменять. Также и неизменяемый массив — он такой, каким его создали, и всегда таким будет. Если нужно добавить элемент — придется создать новый массив.

Преимущества неизменяемых структур:

• Безопасно разделять ссылку между потоками
• Легко тестировать
• Легко отследить жизненный цикл (соответствует data flow)

theory-source

Функции высшего порядка

Функцию, принимающую другую функцию в качестве аргумента и/или возвращающую другую функцию, называют функцией высшего порядка:

def f(x):
    return x + 3

def g(function, x):
    return function(x) * function(x)

print(g(f, 7))

Рассмотрели теорию, начнем переходить к практике, от простого к сложному.

Списковые включения или генератор списка

Рассмотрим одну конструкцию языка, которая поможет сократить количество строк кода. Не редко уровень программиста на Python можно определить с помощью этой конструкции.

Пример кода:

for x in xrange(5, 10):
    if x % 2 == 0:
        x =* 2
    else:
        x += 1

Цикл с условием, подобные встречаются не редко. А теперь попробуем эти 5 строк превратить в одну:

>>> [x * 2 if x % 2 == 0 else x + 1 for x in xrange(5, 10)]
[6, 12, 8, 16, 10]

Недурно, 5 строк или 1. Причем выразительность повысилась и такой код проще понимать — один комментарий можно на всякий случай добавить.

В общем виде эта конструкция такова:

[stmt for var in iterable if predicate] 

Стоит понимать, что если код совсем не читаем, то лучше отказаться от такой конструкции.

Анонимные функции или lambda

Продолжаем сокращать количества кода.

Функция:

def calc(x, y):
    return x**2 + y**2

Функция короткая, а как минимум 2 строки потратили. Можно ли сократить такие маленькие функции? А может не оформлять в виде функций? Ведь, не всегда хочется плодить лишние функции в модуле. А если функция занимает одну строчку, то и подавно. Поэтому в языках программирования встречаются анонимные функции, которые не имеют названия.

Анонимные функции в Python реализуются с помощью лямбда-исчисления и выглядят как лямбда-выражения:

>>> lambda x, y: x**2 + y**2
<function <lambda> at 0x7fb6e34ce5f0>

Для программиста это такие же функции и с ними можно также работать.

Чтобы обращаться к анонимным функциям несколько раз, присваиваем переменной и пользуемся на здоровье.

Пример:

>>> (lambda x, y: x**2 + y**2)(1, 4)
17
>>>
>>> func = lambda x, y: x**2 + y**2
>>> func(1, 4)
17

Лямбда-функции могут выступать в качестве аргумента. Даже для других лямбд:

multiplier = lambda n: lambda k: n*k

Использование lambda

Функции без названия научились создавать, а где использовать сейчас узнаем. Стандартная библиотека предоставляет несколько функций, которые могут принимать в качестве аргумента функцию — map(), filter(), reduce(), apply().

map()

Функция map() обрабатывает одну или несколько последовательностей с помощью заданной функции.

>>> list1 = [7, 2, 3, 10, 12]
>>> list2 = [-1, 1, -5, 4, 6]
>>> list(map(lambda x, y: x*y, list1, list2))
[-7, 2, -15, 40, 72]

Мы уже познакомились с генератором списков, давайте им воспользуемся, если длина список одинаковая:

>>> [x*y for x, y in zip(list1, list2)]
[-7, 2, -15, 40, 72]

Итак, заметно, что использование списковых включений короче, но лямбды более гибкие. Пойдем дальше.

filter()

Функция filter() позволяет фильтровать значения последовательности. В результирующем списке только те значения, для которых значение функции для элемента истинно:

>>> numbers = [10, 4, 2, -1, 6]
>>> list(filter(lambda x: x < 5, numbers))     # В результат попадают только те элементы x, для которых x < 5 истинно
[4, 2, -1]

То же самое с помощью списковых выражений:

>>> numbers = [10, 4, 2, -1, 6]
>>> [x for x in numbers if x < 5]
[4, 2, -1]

reduce()

Для организации цепочечных вычислений в списке можно использовать функцию reduce(). Например, произведение элементов списка может быть вычислено так (Python 2):

>>> numbers = [2, 3, 4, 5, 6]
>>> reduce(lambda res, x: res*x, numbers, 1)
720

Вычисления происходят в следующем порядке:

((((1*2)*3)*4)*5)*6

Цепочка вызовов связывается с помощью промежуточного результата (res). Если список пустой, просто используется третий параметр (в случае произведения нуля множителей это 1):

>>> reduce(lambda res, x: res*x, [], 1)
1

Разумеется, промежуточный результат необязательно число. Это может быть любой другой тип данных, в том числе и список. Следующий пример показывает реверс списка:

>>> reduce(lambda res, x: [x]+res, [1, 2, 3, 4], [])
[4, 3, 2, 1]

Для наиболее распространенных операций в Python есть встроенные функции:

>>> numbers = [1, 2, 3, 4, 5]
>>> sum(numbers)
15
>>> list(reversed(numbers))
[5, 4, 3, 2, 1]

В Python 3 встроенной функции reduce() нет, но её можно найти в модуле functools.

apply()

Функция для применения другой функции к позиционным и именованным аргументам, заданным списком и словарем соответственно (Python 2):

>>> def f(x, y, z, a=None, b=None):
...     print x, y, z, a, b
...
>>> apply(f, [1, 2, 3], {'a': 4, 'b': 5})
1 2 3 4 5

В Python 3 вместо функции apply() следует использовать специальный синтаксис:

>>> def f(x, y, z, a=None, b=None):
...     print(x, y, z, a, b)
...
>>> f(*[1, 2, 3], **{'a': 4, 'b': 5})
1 2 3 4 5

На этой встроенной функции закончим обзор стандартной библиотеки и перейдем к последнему на сегодня функциональному подходу.

Замыкания

Функции, определяемые внутри других функций, представляют собой замыкания. Зачем это нужно? Рассмотрим пример, который объяснит:

Код (вымышленный):

def processing(element, type_filter, all_data_size):
    filters = Filter(all_data_size, type_filter).get_all()
    for filt in filters:
        element = filt.filter(element)

def main():

    data = DataStorage().get_all_data()

    for x in data:
        processing(x, 'all', len(data))

Что можно в коде заметить: в этом коде переменные, которые живут по сути постоянно (т.е. одинаковые), но при этом мы загружаем или инициализируем по несколько раз. В итоге приходит понимание, что инициализация переменной занимает львиную долю времени в этом процессе, бывает что даже загрузка переменных в scope уменьшает производительность. Чтобы уменьшить накладные расходы необходимо использовать замыкания.

В замыкании однажды инициализируются переменные, которые затем без накладных расходов можно использовать.

Научимся оформлять замыкания:

def multiplier(n):
    "multiplier(n) возвращает функцию, умножающую на n" 
    def mul(k): 
        return n*k 
     return mul 
     # того же эффекта можно добиться выражением 
     # multiplier = lambda n: lambda k: n*k 

mul2 = multiplier(2) # mul2 - функция, умножающая на 2, например, 
mul2(5) == 10

Заключение

В уроке мы рассмотрели базовые понятия ФП, а также составили список механизмов, которые будут рассмотрены в следующих уроках. Поговорили о способах уменьшения количества кода, таких как cписковые включения (генератор списка), lamda функции и их использовании и на последок было несколько слов про замыкания и для чего они нужны.

Остались вопросы? Задайте их в разделе «Обсуждение»

Вам ответят команда поддержки Хекслета или другие студенты.

Ошибки, сложный материал, вопросы >

Нашли опечатку или неточность?

Выделите текст, нажмите
ctrl + enter
и отправьте его нам. В течение нескольких дней мы исправим ошибку или улучшим формулировку.

Что-то не получается или материал кажется сложным?

Загляните в раздел «Обсуждение»:

• задайте вопрос. Вы быстрее справитесь с трудностями и прокачаете навык постановки правильных вопросов, что пригодится и в учёбе, и в работе программистом;
• расскажите о своих впечатлениях. Если курс слишком сложный, подробный отзыв поможет нам сделать его лучше;
• изучите вопросы других учеников и ответы на них. Это база знаний, которой можно и нужно пользоваться.

Об обучении на Хекслете

перевод на русский, синонимы, антонимы, произношение, примеры предложений, транскрипция, значение, словосочетания

Квадратичная функция, парабола, график, свойства: нули, вершина, ось симметрии, промежутки возрастания, убывания. Тесты

Тестирование онлайн

• Квадратичная функция

Определение. График

Квадратичной (квадратной) функцией называется функция вида

где a, b, с — числа.

Графиком квадратичной функции является парабола.

Парабола имеет вершину, ось, проведенная через вершину и параллельная оси Оу, делит параболу на две симметричные части. Вершиной параболы называется точка

Если коэффициент а>0, то ветви параболы направлены вверх, если a, то ветви параболы направлены вниз.

Свойства квадратичной функции y=x

²

1) Областью определения функции является множество всех действительных чисел, т.е.

2) Множеством значений функции является промежуток

3) Значение функции y=0 является наименьшим, а наибольшего значения функция не имеет.

4) Функция является четной, график симметричен относительно оси Оу.

5) Функция непериодическая.

6)Парабола имеет с осями координат единственную общую точку (0;0) — начало координат.

7) Значение аргумента x=0 является нулем функции.

8) На промежутке функция убывающая, а на промежутке — возрастающая.

9) Функция принимает положительные значения на множестве , т.е. все точки параболы, кроме начала координат.

Преобразование параболы

Функция y=x² — частный случай квадратичной функции.

Квадратичную функцию всегда можно привести у виду , а затем построить параболу с помощью ее геометрических преобразований.

Для построения параболы необходимо:

1) Найти координаты вершины

2) Построить ось симметрии, проанализировать куда направлены ветви параболы

3) Найти точки пересечения параболы с осью Ox (нули), если они есть, решив уравнение

4) Найти точку пересечения с осью Оу, решив уравнение

алгебра колледжа — симметрия

В общих чертах, двумерный график считается симметричным относительно определенной линии, если часть графика на одной стороне линии является зеркальным отображением той части графика, которая находится на другая сторона линии. Например, график ниже считается симметричным относительно оси y (линия x = 0), потому что четверть круга слева от оси y является зеркальным отображением четверти круга справа от оси y. ось. Фактически, если бы вы могли сложить эту страницу по оси Y, две четверти круга идеально совпали бы.

Нас интересуют четыре типа симметрии:

(1) симметрия относительно оси y
(2) симметрия относительно оси x
(3) симметрия относительно начала координат
(4) симметрия относительно линии y = x

Почему кого-то волнует симметрия?

Одна из причин заключается в том, что знание того, что график симметричен относительно линии, сокращает объем работы, которую необходимо выполнить, чтобы описать кривую.Если вы пытаетесь описать, где на графике есть пик, впадина или разрыв, вам нужно будет исследовать только одну половину графика — другая половина графика (ее зеркальное отображение) будет просто дубликатом. Это может быть особенно полезно, если вы работаете в трехмерном пространстве, как это делается в многомерном исчислении.

Есть несколько уровней понимания симметрии, которые мы собираемся развивать в этом классе:

(1) общее понимание концепции, чтобы вы могли взглянуть на двумерный график и составить мнение относительно его возможной симметрии (относительно оси y, оси x, начала координат или y = x)

(2) пространственная перспектива, чтобы вы могли нарисовать эскиз графика, который был бы симметричен данному графику

(3) способность проверить уравнение графика на симметрию, прежде чем вы когда-либо увидите график.Последний особенно полезен, когда мы переходим к трехмерным графам, и симметрию сложнее определить, глядя на фигуру.

Это чтение предназначено, чтобы помочь вам развить интуитивное понимание симметрии в основу тестов на симметрию, которые мы используем для уравнений.

Графическое представление симметрии

Взгляните на этот график из пяти точек.Черная точка представляет исходную точку, а цветные точки демонстрируют четыре типа симметрии.

Черная и красная точки симметричны относительно оси y.
Черная и синяя точки симметричны относительно оси x.
Черная и зеленая точки симметричны относительно начала координат
Черная и розовая точки симметричны относительно y = x

Симметрия относительно оси Y

Посмотрите еще раз на черную и красную точки.Обратите внимание, что x-координаты являются аддитивно обратными друг другу. То есть, если b — координата x одной точки, то — b — координата x другой точки. Таким же образом мы проверяем уравнение кривой, чтобы убедиться, что кривая симметрична относительно оси y.

Проверка симметрии относительно оси Y: замените x на (-x). Упростите уравнение. Если полученное уравнение эквивалентно исходному уравнению, тогда график симметричен относительно оси y.

Пример: Используйте тест на симметрию относительно оси y, чтобы определить, симметричен ли график y — 5x ² = 4 относительно оси y.

исходное уравнение: y — 5x ² = 4

тест: y — 5 (-x) ² = 4

упростить: y — 5x ² = 4

Заключение: Поскольку результирующее уравнение эквивалентно исходному уравнению, график симметричен относительно оси Y

Симметрия относительно оси x

Проверка симметрии относительно оси x аналогична предыдущей проверке.Посмотрите снова на черные и синие точки. Обратите внимание, что теперь y-координаты аддитивно инвертируют друг друга. То есть, если c — координата y одной точки, то — c — координата y другой точки. Таким же образом мы проверяем уравнение кривой, чтобы убедиться, что кривая симметрична относительно оси x.

Проверка симметрии относительно оси x: замените y на (-y). Упростите уравнение. Если полученное уравнение эквивалентно исходному уравнению, тогда график симметричен относительно оси x.

Пример: Используйте тест на симметрию относительно оси x, чтобы определить, является ли график y — 5x ² = 4 симметричным относительно оси x.

исходное уравнение: y — 5x ² = 4

тест: (-y) — 5x ² = 4

упростить: — y — 5x ² = 4

Заключение: Поскольку результирующее уравнение НЕ эквивалентно исходному уравнению, график НЕ является симметричным относительно оси x

Вот набросок кривой.Тот факт, что кривая симметрична z относительно оси y и НЕ симметрична относительно оси y, довольно очевиден.

Симметрия относительно начала координат

Тест на симметрию относительно начала координат также имеет сходство с предыдущими тестами. Посмотрите на черные и зеленые точки. Обе координаты x и y являются аддитивно обратными. То есть (b, c) и (-b, -c) симметричны относительно начала координат.Вы можете думать о симметрии относительно начала координат как о отражении относительно оси y, а также оси x. Тест на симметрию относительно начала координат объединяет элементы из первых двух тестов.

Проверка симметрии относительно начала координат: замените y на (-y) И x на (-x). Упростите уравнение. Если полученное уравнение эквивалентно исходному уравнению, то график симметричен относительно начала координат.

Пример: Используйте тест на симметрию относительно начала координат, чтобы определить, симметричен ли график xy — 5x ² = 4 относительно начала координат.

исходное уравнение: xy — 5x ² = 4

тест: (-x) (- y) — 5 (-x) ² = 4

Упростить: xy — 5x ² = 4

Заключение: Поскольку результирующее уравнение эквивалентно исходному уравнению, график симметричен относительно начала координат.

Вот набросок кривой. Мы должны сначала решить для y (в терминах x), чтобы использовать графический калькулятор.

На этот раз симметрию не так легко увидеть на эскизе.

Симметрия относительно прямой y = x

Для последней симметрии вернемся к черной и розовой точкам. В этом случае координаты x и y поменялись местами . То есть (b, c) и (c, b) симметричны относительно прямой y = x. Большая часть нашей более поздней работы с этим типом симметрии будет связана с функциями.В этом случае нас будет интересовать создание уравнения, график которого симметричен (относительно y = x) с заданным графиком. Мы делаем это, меняя местами

x и y.

Пример: Создайте уравнение графика, которое будет симметричным

(около y = x) с графиком y = x ³ ,

для x> или = 0.

исходное уравнение: y = x ³

новое уравнение: x = y ³

решить для y: y = x ^1/3 , x> or = 0

Вот два графика.Обратите внимание, что они являются зеркальным отображением линии y = x.

Вы увидите гораздо больше этой симметрии, когда мы перейдем к обсуждению функций и их обратных.

© 1999 Джо Стейг

Узнайте об отражении по линии Y = X

В этом видео вы узнаете, как сделать отражение по линии y = x .

Линия y = x при построении графика на графическом калькуляторе будет выглядеть как прямая линия, пересекающая начало координат с наклоном 1 .

При отображении координатных точек прообраза над линией для определения координатных точек изображения могут использоваться следующие обозначения:
r _{y = x} = (y, x)

Например, :

Для треугольника ABC с координатными точками A (3,3), B (2,1) и C (6,2) примените отражение по линии y = x.

Следуя обозначениям, мы поменяем местами значение x и значение y.
A (3,3), B (2,1) и C (6,2) превратятся в
A ‘(3,3), B’ (1,2) и C ‘(2,6)

Расшифровка стенограммы видео-урока

В этом уроке мы рассмотрим отражение над линией.

Прежде всего, что такое линия?

Это строка, в которой для каждого значения мы получаем одно и то же значение.

будет выглядеть примерно так. Диагональная прямая.

Когда,. Когда , . И когда , . И так далее.

Если у нас есть точка зрения, например, мы собираемся ее обдумать. Нам нужно двигаться перпендикулярно ему.

Одна сторона должна быть перпендикулярна другой стороне.

Наше изображение сейчас.

Все, что мы сделали, это поменяли местами значения и.

Например, если исходное изображение.

Нам нужно провести перпендикулярную линию, чтобы измерить расстояние. Затем сделайте такое же расстояние до другой стороны.

Отраженная точка.

Когда мы отражаемся над линией, мы просто меняем значения и.

Давайте посмотрим на пример, где мы отразим треугольник ABC над линией, используя координаты.

Мы знаем, что по правилу координаты будут переключаться на. Мы просто поменяем их местами.

Давайте сейчас это изобразим. И нарисуйте треугольник.

Теперь у нас есть отражение треугольника над линией, изображение которой формируется.

Симметрия в уравнениях

Уравнения могут иметь симметрию:

График x ²
Симметрия относительно оси Y

График 1 / x
Диагональная симметрия

Другими словами, есть зеркальное отображение .

Преимущества

Преимущества нахождения симметрии в уравнении:

• мы лучше понимаем уравнение
• проще построить
• может быть проще решить.Когда мы находим решение с одной стороны, мы можем сказать «также, в силу симметрии, (зеркальное значение)»

Как проверить симметрию

Мы часто видим симметрию визуально, но чтобы убедиться в этом, мы должны проверить простой факт:

Не меняется ли уравнение при использовании симметричных значений?

Как мы это делаем, зависит от типа симметрии:

Для симметрии оси Y

Для симметрии относительно оси Y проверьте, является ли уравнение таким же, когда мы заменяем x на −x :

Для симметрии оси X

Используйте ту же идею, что и для оси Y, но попробуйте заменить y на −y .

Пример: симметрично ли y = x

³ относительно оси x?

Попробуйте заменить y на −y :

−y = x ³

Теперь попробуйте получить исходное уравнение:

Попробуйте умножить обе части на −1:

y = −x ³

Это другое.

Итак, y = x ³ не симметрично относительно оси y

Диагональная симметрия

Попробуйте поменять местами на и x (т.е.е. замените y на x и x на y) .

Пример: имеет ли y = 1 / x диагональную симметрию?

Начать с:

у = 1 / х

Попробуйте поменять местами y на x :

х = 1 / у

Теперь переставьте это: умножьте обе стороны на y :

xy = 1

Затем разделите обе стороны на x :

у = 1 / х

И у нас есть исходное уравнение.Они одинаковые.

Итак, y = 1 / x имеет диагональную симметрию

Симметрия происхождения

Симметрия происхождения — это когда у каждой части есть соответствующая часть:

• такое же расстояние от центральной точки
• , но в противоположном направлении .

Проверьте, совпадает ли уравнение, когда мы заменим x на −x и y на −y .

Пример: имеет ли y = 1 / x симметрию происхождения?

Начать с:

у = 1 / х

Заменить x на −x и y на −y:

(-у) = 1 / (- х)

Умножаем обе части на −1:

у = 1 / х

И у нас есть исходное уравнение.

Итак, y = 1 / x имеет симметрию происхождения

Потрясающе! y = 1 / x имеет симметрию происхождения, а также диагональную симметрию!

Нахождение обратной функции: примеры