Построение графиков функций по заданным параметрам»

Цели урока:

• научить строить графики элементарных
  математических функций с помощью табличного
  процессора Excel;
• показать возможности использования программы
  Excel для решения задач по математике;
• закрепить навыки работы с Мастером диаграмм.

Задачи урока:

• образовательная – знакомство учащихся с
  основными приемами построения графиков функций
  в программе Excel;
• развивающие – формирование у учащихся
  логического и алгоритмического мышления;
  развитие познавательного интереса к предмету;
  развитие умения оперировать ранее полученными
  знаниями; развитие умения планировать свою
  деятельность;
• воспитательные – воспитание умения
  самостоятельно мыслить, ответственности за
  выполняемую работу, аккуратности при выполнении
  работы.

Тип урока:

• комбинированный

Учебники:

Информатика. Базовый курс 2-е издание/Под ред.
С.В. Симоновича. — СПб.: Питер, 2004.-640с.:ил.

Технические и программные средства:

• Персональные компьютеры;
• Приложение Windows – электронные таблицы Excel.
• Проектор

Раздаточный материал:

• Карточки с индивидуальными заданиями на
  построение графиков функций.

План урока.

1. Организационный момент – 3 мин.
2. Проверка домашнего задания –10 мин.
3. Объяснение нового материала –20 мин.
4. Применение полученных знаний –20 мин.
5. Самостоятельная работа. – 20 мин
6. Подведение итогов урока. Домашнее задание – 7
   мин.

Ход урока

Организационный момент

Проверка готовности учащихся к уроку, отметка
отсутствующих, объявление темы и цели урока

Проверка домашнего задания. (фронтальный
опрос)

Вопросы для проверки

1. Что представляет собой рабочая область
   программы Excel?
2. Как определяется адрес ячейки?
3. Как изменить ширину столбца, высоту строки?
4. Как ввести формулу в Excel?
5. Что такое маркер заполнения и для чего он нужен?
6. Что такое относительная адресация ячеек?
7. Что такое абсолютная адресация ячеек? Как она
   задается?
8. Что такое колонтитулы? Как они задаются?
9. Как задать поля печатного документа? Как
   изменить ориентацию бумаги?
10. Что такое функциональная зависимость у = f(х)?
    Какая переменная является зависимой, а какая
    независимой?
11. Как ввести функцию в Excel?
12. Что такое график функции у = f(х)?
13. Как построить диаграмму в Excel?

Объяснение нового материала.

При объяснении нового материала может быть
использован файл Excel с шаблонами задач (Приложение 1), который
выводится на экран с помощью проектора

Сегодня мы рассмотрим применение табличного
процессора Excel для графиков функций. На
предыдущих практических вы уже строили
диаграммы к различным задачам, используя Мастер
диаграмм. Графики функций, так же как и диаграммы
строятся с помощью Мастера диаграмм программы
Excel.

Рассмотрим построение графиков функций на
примере функции у = sin x.

Вид данного графика хорошо известен вам по
урокам математики, попробуем построить его
средствами Excel.

Программа будет строить график по точкам: точки
с известными значениями будут плавно
соединяться линией. Эти точки нужно указать
программе, поэтому, сначала создается таблица
значений функции у = f(х).

Чтобы создать таблицу, нужно определить

• отрезок оси ОХ, на котором будет строиться
  график.
• шаг переменной х, т.е. через какой промежуток
  будут вычисляться значения функции.

Задача 1.Построить график функции у = sin
x на отрезке [– 2; 2] с шагом h = 0,5.

1. Заполним таблицу значений функции. В ячейку С4
введем первое значение отрезка: – 2

2. В ячейку D4 введем формулу, которая будет
добавлять к лево-стоящей ячейки шаг: = В4 + $A$4

3. Маркером заполнения ячейки D4 заполним влево
ячейки строки 4, до тех пор, пока получим значение
другого конца отрезка: 2.

4. Выделим ячейку С5, вызовем Мастер функций, в
категории математические выберем функцию SIN, в
качестве аргумента функции выберем ячейку С4.

5. Маркером заполнения распространим эту формулу
в ячейках строки 5 до конца таблицы.

Таким образом, мы получили таблицу аргументов
(х) и значений (у) функции у = sin x на отрезке [-2;2] с
шагом h = 0,5 :

6. Следующий шаг. Выделим таблицу и вызовем
Мастер диаграмм. На первом шаге выберем во
вкладке Нестандартные Гладкие графики.

7. На втором шаге во вкладке Ряд выполним:

В поле Ряд необходимо выделить ряд х и нажать на
кнопку “Удалить” (график изменений х нам не
нужен. График функции – это график изменения
значений у)

В поле Подписи оси Х нажать на кнопку.
Выделить в таблице ячейки со значениями х и
нажмите на кнопку . Подписи по горизонтальной оси
станут такими, как у нас в таблице.

8. На третьем шаге заполним вкладку Заголовки.

9. Пример полученного графика.

На самом деле пока это мало похоже на график
функции в нашем привычном понимании.

Для форматирования графика:

• Вызовем контекстное меню оси ОУ. Затем, выберем
  пункт Формат оси…. Во вкладке Шкала установим:
  цена основного деления: 1. Во вкладке Шрифт
  установим размер шрифта 8пт.
• Вызовем контекстное меню оси ОХ. Выберем пункт
  Формат оси….

Во вкладке Шкала установим: пересечение с осью
ОУ установите номер категории 5 (чтобы ось ОУ
пересекала ось ОХ в категории с подписью 0, а это
пятая по счету категория).

Во вкладке шрифт установите размер шрифта 8пт.
Нажмите на кнопку ОК.

Остальные изменения выполняются аналогично.

Для закрепления рассмотрим еще одну задачу на
построение графика функций. Эту задачу
попробуйте решить самостоятельно, сверяясь с
экраном проектора.

Применение полученных знаний.

Пригласить к проектору студента и
сформулировать следующую задачу.

Задача 2. Построить график функции у = х³
на отрезке [– 3; 3] с шагом h = 0,5.

1. Создать следующую таблицу: Создать таблица
значений функции у = f(х).3

6. Маркером заполнения скопировать формулу в
ячейки строки 5 до конца таблицы.

Таким образом, должна получиться таблица
аргументов (х) и значений (у) функции у = х³ на
отрезке [–3;3] с шагом h = 0,5:

7. Выделить таблицу и вызвать мастер диаграмм.
На первом шаге выбрать во второй вкладке Гладкие
графики.

8. На втором шаге во вкладке Ряд выполнить:

• В поле Ряд выделить ряд х и нажать на кнопку
  “Удалить” (график изменений х нам не нужен.
  График функции – это график изменения значений
  у)
• В поле Подписи оси Х нажать на кнопку .
  Выделить в таблице ячейки со значениями х и
  нажать на кнопку . Подписи по горизонтальной оси
  станут такими, как у нас в таблице.

9. На третьем шаге заполнить вкладку Заголовки.

10. Пример полученного графика:

11. Оформить график.

12. Установить параметры страницы и размеры
диаграмм таким образом, что бы все поместилось на
одном листе альбомной ориентации.

13. Создать колонтитулы для данного листа (Вид
Колонтитулы…):

14. Верхний колонтитул слева: график функции у = x³

Сохранить документ своей папке под именем
График.

Самостоятельная работа.

Работа по карточкам с индивидуальными
заданиями. (Приложение 2)

Пример карточки, с задачей в общем виде,
выводится на экран с помощью проектора.

1. Построить график функции y=f(x) на отрезке [a;b] с
шагом h=c

2. Установить параметры страницы и размеры
графика таким образом, что бы все поместилось на
одном листе альбомной ориентации.

3. Создать колонтитулы для данного листа (Вид
Колонтитулы…):

• Верхний колонтитул слева: график функции y=f(x)
• Нижний колонтитул в центре: ваши Ф.И.О. и дата

4. Сохранить в своей папке под именем “Зачетный
график”

5. Вывести документ на печать.

После выполнения задания правильность каждого
варианта проверяется с помощью проектора.

Подведение итогов.

Домашнее задание.

Оценки за урок.

Как построить график функции в Microsoft Excel?

Знаю что в Excel можно построить разные диаграммы, а можно ли в нем строить графики функций?

В Microsoft Excel можно строить даже графики математических функций, конечно это не так просто как построить те же  графики в специализированной программе MathCAD.

Рассмотрим процесс построения графика функции в Microsoft Excel 2003. Процесс построения графика в Microsoft Excel 2007 будет немного отличаться.

Excel — электронные таблицы, позволяющие производить вычисления. Результаты вычислений можно применить в качестве исходных данных для графика (диаграммы) Excel.

1. Открываем чистый лист книги. Делаем два столбца, в одном из которых будет записан аргумент, а в другом — функция.

2. Заносим в столбец с аргументом x (столбец B) значения x так, чтобы вас устраивал выбранный отрезок, на котором вы будете рассматривать график функции.). То же самое можно реализовать с помощью функции «=B3*B3*B3».

Однако забивать формулу в каждой строке очень неудобно. Создатели Microsoft Excel всё это предусмотрели. Для того, чтобы наша формула появилась в каждой ячейке необходимо «растянуть» её. Растягивание ячеек с формулами и числами — фирменная фишка экзеля (очень полезная).

Щёлкните на ячейке с формулой. В правом нижнем углу ячейки есть маленький квадратик (он отмечен красным цветом на рисунке ниже). Вам нужно навести курсор мышки на него (при этом курсор мышки поменяется), нажать праву кнопку и «растянуть» формулу вниз на столько ячеек, сколько вам нужно.

3. Перейдём непосредственно к построению графика.

 Меню «Вставка» → «Диаграмма»:

4. Выбираем любую из точечных диаграмм. Нажимаем «Далее». Следует заметить, что нам необходима именно точечная диаграмма, т.к. другие виды диаграмм не позволяют нам задать и функцию, и аргумент в явном виде (в виде ссылки на группу ячеек).

5. В появившемся окне нажимаем вкладку «Ряд». Добавляем ряд нажатием кнопки «Добавить».

В появившемся окне надо задать откуда будут взяты числа (а точнее результаты вычислений) для графика. Чтобы выбрать ячейки, нужно щёлкнуть поочередно по кнопкам, обведённым красным овалом на рисунке ниже.

После этого нужно выделить те ячейки, откуда будут взяты значения для x и y.

6. Вот что получилось. Последний шаг — нажимаем «готово» :

Вот таким достаточно простым способом можно строить графики в Microsoft Excel. Стоит заметить, что при любом изменении набора аргументов функции или самой функции график мгновенно перестроится заново

По материалам: how-tos.ru

заказ решений на аукционе за минимальную цену с максимальным качеством

Предлагаю идею сайта-аукциона по выполнению домашних заданий. Он будет включать:

• решение задач по математике (сейчас доступен решебник Филиппова), физике, химии, экономике
• написание лабораторных, рефератов и курсовых
• выполнение заданий по литературе, русскому или иностранному языку.

Основное отличие от большинства сайтов, предлагающих выполнение работ на заказ – сайт рассчитан на две категории пользователей: заказчиков и решающих задания. Причем, по желанию (чтобы заработать, увеличить свой рейтинг, получить решение сложной задачи) пользователи могут играть любую из этих ролей.

Объединение сервисов в одну систему

Основой для идеи послужили несколько работающих систем, объединение которых позволит сделать сервис для решения задач на заказ. Эти системы:

• Форум, где посетители обмениваются идеями и помогают друг другу
• Система bugtracking, где обнаруженные проблемы проходят путь от публикации до принятия в исполнение и решения
• Аукцион, где цена за товар или услугу определяется в результате торгов
• Система рейтингов, где участники могут оценивать ответы друг друга. Причем, чем больше рейтинг пользователя, тем более значимым становится его голос

Принцип работы

Для удобства и проведения аналогий с реальной жизнью назовем заказчиков студентами, а решающих задания – репетиторами.

Итак, студенту необходимо решить несколько задач. Он заходит на сайт, выбирает раздел с соответствующей дисциплиной и создает новую тему (аналогия с форумом). Но при создании темы он также указывает стартовую (максимальную) цену, которую он готов заплатить за решение задач и крайний срок исполнения задания. Можно будет назначить и нулевую цену – если студенту нужно только бесплатное решение.

Как только тема создана, все пожелавшие подписаться на раздел репетиторы получают уведомление. Причем, условие получения уведомлений можно настроить. Например, уведомлять только о заказах со стартовой ценой более 500 р. и сроком решения не менее недели.

Заинтересовавшиеся репетиторы делают ставки. Причем студент (автор темы) видит ставки и может посмотреть информацию по каждому репетитору (его решения, рейтинг, дату начала участия в проекте). Когда студент посчитает нужным, он может остановить аукцион и назначить задание одному из репетиторов, сделавшему ставку (не обязательно самую низкую, т.к. можно учитывать и другие факторы – см. выше).

Деньги блокируются на счете студента, и репетитор начинает решать задание. Он должен представить его к сроку, заданному изначально. Выполненное решение публикуется в свободном доступе и его может оценить как заказчик, так и другие репетиторы. На этих оценках и строится рейтинг. Если к решению нет претензий – деньги окончательно переводятся со счета студента на счет репетитора.

За счет чего будет развиваться сервис

Первое – положительная обратная связь. Чем больше условий задач и решений будет опубликовано на сайте, тем чаще его будут находить пользователи через поисковики, будет больше ссылок на готовые решения. Именно поэтому важно размещать решенные задачи в свободном доступе. Знаю это по опыту своего сайта exir.ru (ex irodov.nm.ru) – большая ссылочная база получена исключительно за счет благодарных пользователей.

Второе – удобный сервис для заказчиков и для желающих заработать на решениях.

Преимущества для заказчиков

Студентам и школьникам не нужно перебирать десятки сайтов для сравнения цен, а потом надеяться, что после оплаты они получат качественное решение (и, вообще, все не закончится перечислением денег). Заказчики создают аукцион на понижение цены и могут смотреть на рейтинги желающих решить задачи и ранее выполненные ими решения. Кроме того, деньги окончательно перечисляются исполнителю только после полного решения.

Преимущества для решающих задания

Не нужно создавать и продвигать свой сайт, размещать множество объявлений во всех доступных источниках информации. Заказчики сами придут к вам. Не нужно решать все присланные задания с целью поддержания репутации – можно выбирать те, которые будут интересны по уровню сложности, цене и срокам решения.

Преимущества для владельца сервиса

Если вы не понимаете, какую выгоду получит делающий вам какое-нибудь предложение – будьте осторожны! 🙂 У меня уже есть большой опыт работы с сайтом, предоставляющим бесплатные решения по физике. И вариант с получением прибыли от размещения рекламы подходит и для нового сервиса. Кроме того, мне нравится помогать людям и довольно тяжело смотреть, как множество вопросов по задачам остаются на форуме без ответа. Предложенный аукцион решений сможет значительно сократить число вопросов без ответов.

В будущем возможен вариант и с получением некоторого небольшого процента от оплаты заказов. Но процент этот должен быть минимален и на начальном этапе он взиматься точно не будет.

Что необходимо для создания сервиса

1. Самым важное сейчас – собрать команду, готовую принять участие в выполнении заданий. Если покупатели заходят в пустой магазин – они надолго забывают в него дорогу.

   Поэтому я собираю предварительные заявки от посетителей, готовых заниматься решениями. Не нужно подписания никаких договоров о намерениях. Просто сообщите, на какие темы вы готовы решать задания, какой у вас опыт подобной работы (e-mail: [email protected]). Когда сервис заработает – я пришлю приглашение на регистрацию.

2. Выбрать платежную систему.
3. Сделать подходящий движок для сайта. Нужно решить – создавать его с нуля или изменить какой-нибудь существующий движок (например, форумный) с открытой лицензией.
4. Привлечь посетителей. Учитывая посещаемость exir.ru и число публикуемых на форуме вопросов, думаю, это не будет большой проблемой.

3 — 1) (х-2)

Последнее обновление: 14 сентября 2018 г., автор: Teachoo

Выписка

Вопрос 16
Найдите уравнение (а) касательной (й) к кривой y = (x3 1) (x 2) в точках, где кривая пересекает ось x. Нам нужно найти уравнение касательной к кривой, в которой y пересекает ось x

Во-первых, давайте найдем точки, в которых y пересекает ось x
Поскольку y = 0 в точках на оси x

Положив y = 0 в уравнение y
0 = (x3 1) (x 2)
(х3 1) (х 2) = 0

х3 1 = 0
х3 = 1
х3 = 13
х = 1
х 2 = 0
х = 2

Итак, x = 1, 2
Таким образом, точки — это (1, 0) и (2, 0)

Теперь, чтобы найти уравнение касательной, находим наклон

Мы знаем это
Наклон касательной = /
= ((^ 3 1) (2)) ^
= (^ 3 (2) 1 (2)) ^
= (^ 4 2 ^ 3 +2) ^
= 4 ^ 3 2 3 ^ 2 1
= 4 ^ 3 6 ^ 2 1
Для точки (1, 0)
Наклон касательной
= 4 ^ 3 6 ^ 2 1
Положив x = 1
= 4 (1) ^ 3 6 (1) ^ 2 1
= 4 6 1
= 3

Уравнение касательной, проходящей через (1, 0) с наклоном 3, имеет вид
_1 = (1)
0 = 3 (1)
= +

Для точки (2, 0)
Наклон касательной
= 4 ^ 3 6 ^ 2 1
Положив x = 2
= 4 (2) ^ 3 6 (2) ^ 2 1
= 4 8 6 4 1
= 32 24 1 = 7

Уравнение касательной, проходящей через (2, 0) с наклоном 7, имеет вид
_1 = (1)
0 = 7 (2)
знак равно

Вопрос 16 Теория
Мы выполняем следующие шаги
Шаг 1: Расчет f (x)
Шаг 2: Полагаем f (x) = 0
Шаг 3: построение графиков и интервал нахождения
Шаг 4. Определение интервала f (x)> 0 или f (x) <0 Найдите интервалы, в которых функция f (x) = 3 log (1 + x) + 4 log (2 + x) 4 / (2 +) строго возрастает или строго убывает.2) = 0 (+ 4) = 0 Итак, x = 0, x = 4 Шаг 3: График рисования Прежде чем рисовать график, сначала находим область определения функции Для f (x) = 3 log (1 + x) + 4 log (2 + x) 4 / (2 +) Сейчас, log (1 + x) возможно, если 1 + x> 0, т.е. x> 1
log (2 + x) возможно, если 2 + x> 0, т.е. x> 2
4 / (2 +) возможно, если x + 2 0, т.е. x 2

Итак, будет домен, удовлетворяющий всем трем условиям
Домен x> 1, т.е. (1,)

Поскольку домен равен (1,)
x = 4 невозможно
x = 0 — единственное решение

Теперь строим график
Строим график от 1 до бесконечности
и точка графика 0

Point = 0 делит линию на 2 непересекающихся интервала
я.е. (1, 0] и [0,)

Показать больше

Как отразить график через ось x, ось y или начало координат?

Это письмо недавно пришло от читателя Стюарта:

Можете ли вы объяснить принципы построения графика, в котором y = — f ( x ) является отражением графика y = f ( x ) по оси x и оси график y = f (- x ) отражение графика y = f ( x ) по оси y- ?

Спасибо

Мой ответ

Привет Стюарт

Давайте посмотрим, что это означает на примере.

Пусть f ( x ) = 3 x + 2

Если вы не уверены, как это выглядит, вы можете построить график с помощью этого средства построения графиков.

Вы увидите, что это прямая линия, наклон 3 (положительный, т. Е. Идет в гору, когда мы идем слева направо) и y — пересечение 2.

А теперь рассмотрим — f ( x ).

Это дает нам

— f ( x ) = −3 x — 2

Наша новая линия имеет отрицательный наклон (он уменьшается при сканировании слева направо) и проходит через −2 на оси y .

Когда вы строите график двух уровней на одной и той же оси, это выглядит так:

Обратите внимание, что если вы отразите синий график ( y = 3 x + 2) по оси x , вы получите зеленый график ( y = −3 x — 2) (как показано красными стрелками).

Что мы сделали, так это взяли каждое значение y и перевернули их вверх дном (это эффект минус спереди).

Теперь для

f (- x )

Аналогично сделаем f (- x ).

Поскольку f ( x ) = 3 x + 2, то

f ( −x ) = −3 x + 2 (замените каждое « x » на « −x »).

Теперь, построив график на тех же осях, мы имеем:

Обратите внимание, что эффект «минуса» в f ( −x ) заключается в отражении синей исходной линии ( y = 3 x + 2) по оси y , и мы получаем зеленая линия ( y = −3 x + 2).Зеленая линия также проходит через 2 на оси y .

Дополнительный пример

Вот пример использования кубического графа.

Синий график: f ( x ) = x ³ — 3 x ² + x — 2

Отражение по оси x (зеленый): — f ( x ) = — x ³ + 3 x ² — x + 2

Теперь отразим в оси ординат.

Синий график: f ( x ) = x ³ — 3 x ² + x — 2

Отражение по оси Y (зеленый): f ( −x ) = −x ³ — 3 x ² — x — 2

Четные и нечетные функции

Мы действительно должны упомянуть четных и нечетных функций , прежде чем покинуть эту тему.

Для каждого из приведенных выше примеров отражения по оси x или y давали график, который представлял собой различных .Но иногда отражение такое же, как и на исходном графике. Мы говорим, что отражение «отображается на» оригинале.

Четные функции

Функция четности имеет свойство f ( −x ) = f ( x ). То есть, если мы отразим четную функцию по оси y , она будет выглядеть точно так же, как оригинал.

Пример четной функции: f ( x ) = x ⁴ -29 x ² + 100

Вышеупомянутая четная функция эквивалентна:

f ( x ) = ( x + 5) ( x + 2) ( x -2) ( x — 5)

Обратите внимание: если мы отразим график по оси y , мы получим тот же график (или мы могли бы сказать, что он «отображается на себя»).

Нечетные функции

Функция с нечетным числом имеет свойство f ( −x ) = −f ( x ).

На этот раз, если мы отразим нашу функцию в как по оси x , так и по оси y , и если она выглядит точно так же, как оригинал, то мы получим нечетную функцию.

Этот вид симметрии называется симметрией начала . Нечетная функция либо проходит через начало координат (0, 0), либо отражается через начало координат.

Пример нечетной функции: f ( x ) = x ³ — 9 x

Вышеупомянутая нечетная функция эквивалентна:

f ( x ) = x ( x + 3) ( x — 3)

Обратите внимание: если мы отразим график по оси x , а затем по оси y , мы получим тот же график.

Другие примеры четных и нечетных функций

На этой странице есть еще несколько примеров: Четные и нечетные функции

Знание о четных и нечетных функциях очень полезно при изучении рядов Фурье.

Я надеюсь, что все имеет смысл, Стюарт.

Все еще нужна помощь?

Найдите репетитора

См. 8 комментариев ниже.

График представляет собой перевод одной из базовых функций y x2.y-x3 y Vx, y …

Графические уравнения с программой «Пошаговое решение математических задач»

Язык математики особенно эффективен для представления отношений
между двумя или более переменными. В качестве примера рассмотрим пройденное расстояние
через определенный промежуток времени автомобилем, движущимся с постоянной скоростью 40 миль в час.
Мы можем представить эту взаимосвязь как

1. 1. Словесное предложение:
   Пройденное расстояние в милях равно сороккратному количеству пройденных часов.
2. 2. Уравнение:
   d = 40r.
3. 3. Таблица значений.
4. 4. График, показывающий зависимость между временем и расстоянием.

Мы уже использовали словесные предложения и уравнения для описания таких отношений;
В этой главе мы будем иметь дело с табличным и графическим представлениями.

7.1 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ОТ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

ЗАКАЗАННЫЕ ПАРЫ

Уравнение d = 40f объединяет расстояние d для каждого момента времени t. Например,

, если t = 1, то d = 40
, если t = 2, то d = 80
, если t = 3, то d = 120

и так далее.

Пара чисел 1 и 40, рассматриваемая вместе, называется решением
уравнение d = 40r, потому что, когда мы подставляем 1 вместо t и 40 вместо d в уравнении,
мы получаем верное утверждение. Если мы согласны ссылаться на парные номера в указанном
порядок, в котором первое число относится ко времени, а второе число относится к
расстояния, мы можем сократить приведенные выше решения как (1, 40), (2, 80), (3, 120) и
скоро. Мы называем такие пары чисел упорядоченными парами и ссылаемся на первую и
вторые числа в парах как компоненты.В соответствии с этим соглашением решения
Уравнение d — 40t — это упорядоченные пары (t, d), компоненты которых удовлетворяют уравнению.
Некоторые упорядоченные пары для t, равного 0, 1, 2, 3, 4 и 5, равны

(0,0), (1,40), (2,80), (3,120), (4,160) и (5,200)

Такие пары иногда отображаются в одной из следующих табличных форм.

В любом конкретном уравнении, включающем две переменные, когда мы присваиваем значение одной
переменных определяется значение другой переменной и, следовательно,
зависит от первого.Удобно говорить о переменной, связанной с
первый компонент упорядоченной пары как независимая переменная и переменная
связанный со вторым компонентом упорядоченной пары в качестве зависимой переменной. Если в уравнении используются переменные x и y, подразумевается, что заменить —
элементы для x являются первыми компонентами и, следовательно, x — независимая переменная и
замены y являются вторыми компонентами и, следовательно, y является зависимой переменной.
Например, мы можем получить пары для уравнения

, подставив конкретное значение одной переменной в уравнение (1) и решив для
другая переменная.

Пример 1

Найдите недостающий компонент, чтобы заказанная пара стала решением для

2x + y = 4

а. (0 ,?)

г. (1 ,?)

г. (2 ,?)

Решение

, если x = 0, то 2 (0) + y = 4
y = 4

, если x = 1, то 2 (1) + y = 4
y = 2

если x = 2, то 2 (2) + y = 4
y = 0

Три пары теперь могут отображаться как три упорядоченные пары

(0,4), (1,2) и (2,0)

или в табличной форме

ЯВНО ВЫРАЖАЮЩИЙ ПЕРЕМЕННУЮ

Мы можем добавить -2x к обоим членам 2x + y = 4, чтобы получить

-2x + 2x + y = -2x + 4
y = -2x + 4

В уравнении (2), где y есть само по себе, мы говорим, что y явно выражается через
из х.Часто бывает проще получить решения, если сначала выразить уравнения в такой форме
потому что зависимая переменная явно выражается через независимые
Переменная.

Например, в уравнении (2) выше,

, если x = 0, то y = -2 (0) + 4 = 4
, если x = 1, то y = -2 (1) + 4 = 2
, если x = 2, то y = -2 (2) + 4 = 0

Мы получаем те же пары, что и с помощью уравнения (1)

(0,4), (1,2) и (2,0)

Мы получили уравнение (2) добавлением одинаковой величины -2x к каждому члену
уравнения (1), получая таким образом y само по себе.В общем, мы можем написать эквивалент
уравнения с двумя переменными, используя свойства, которые мы ввели в главе 3,
где мы решали уравнения первой степени с одной переменной.

Уравнения эквивалентны, если:

1. Одно и то же количество прибавляется к равным количествам или вычитается из них.
2. Равные количества умножаются или делятся на одинаковое ненулевое количество.

Пример 2

Решите 2y — 3x = 4 явно для y через x и получите решения для x = 0,
х = 1 и х = 2.

Решение
Во-первых, прибавив 3x к каждому члену, мы получим

2y — 3x + 3x = 4 + 3x
2y = 4 + 3x (продолжение)

Теперь, разделив каждый член на 2, получим

В этой форме мы получаем значения y для заданных значений x следующим образом:

В этом случае три решения: (0, 2), (1, 7/2) и (2, 5).

ОБОЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИЙ

Иногда мы используем специальные обозначения для наименования второго компонента упорядоченного
пара, которая связана с указанным первым компонентом.Символ f (x), который часто
используется для обозначения алгебраического выражения в переменной x, также может использоваться для обозначения
значение выражения для конкретных значений x. Например, если

f (x) = -2x + 4

, где f (x) играет ту же роль, что и y в уравнении (2) на странице 285, тогда f (1)
представляет значение выражения -2x + 4, когда x заменяется на 1

f (l) = -2 (1) + 4 = 2

Аналогично

f (0) = -2 (0) + 4 = 4

и

f (2) = -2 (2) + 4 = 0

Символ f (x) обычно называют обозначением функции.

Пример 3

Если f (x) = -3x + 2, найти f (-2) и f (2).

Решение

Замените x на -2, чтобы получить
f (-2) = -3 (-2) + 2 = 8

Замените x на 2, чтобы получить
f (2) = -3 (2) + 2 = -4

7.2 ГРАФИК ЗАКАЗАННЫХ ПАР

В разделе 1.1 мы видели, что каждое число соответствует точке в строке. Simi-
Как правило, каждая упорядоченная пара чисел (x, y) соответствует точке на плоскости. К
граф упорядоченной пары чисел, мы начинаем с построения пары перпендикулярных
числовые линии, называемые осями.Горизонтальная ось называется осью x, вертикальная ось
называется осью Y, а точка их пересечения называется началом координат. Эти топоры
разделите плоскость на четыре квадранта, как показано на рисунке 7.1.

Теперь мы можем присвоить упорядоченную пару чисел точке на плоскости, указав
на перпендикулярное расстояние точки от каждой из осей. Если первый
составляющая положительная, точка лежит правее вертикальной оси; если отрицательный, это
лежит слева.Если второй компонент положительный, точка находится выше
Горизонтальная ось; если отрицательный, он находится внизу.

Пример 1

График (3, 2), (-3, 2), (-3, -2) и (3, -2) в прямоугольной системе координат.

Решение
График (3, 2) находится на 3 единицы правее
ось y и на 2 единицы выше оси x;
график (-3,2) лежит на 3 единицы слева от
ось y и на 2 единицы выше оси x;
график (-3, -2) лежит на 3 единицы слева от
ось y и на 2 единицы ниже оси x;
график (3, -2) лежит на 3 единицы правее
ось y и на 2 единицы ниже оси x.

Расстояние y, на котором точка расположена от оси x, называется ординатой.
точки, а расстояние x, на котором точка расположена от оси y, называется
абсцисса точки. Абсцисса и ордината вместе называются прямоугольником.
Гулярные или декартовы координаты точки (см. рисунок 7.2).

7.3 ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ

В разделе 7.1 мы увидели, что решение уравнения с двумя переменными является упорядоченным
пара.В разделе 7.2 мы видели, что компонентами упорядоченной пары являются
координаты точки на плоскости. Таким образом, чтобы построить график уравнения с двумя переменными, мы
Изобразите набор упорядоченных пар, которые являются решениями уравнения. Например, мы
может найти некоторые решения уравнения первой степени

у = х + 2

, положив x равным 0, -3, -2 и 3. Затем

для x = 0, y = 0 + 2 = 2
для x = 0, y = -3 + 2 = -1
для x = -2, y = -2 + 2-0
для x = 3, y = 3 + 2 = 5

и получаем решения

(0,2), (-3, -1), (-2,0) и (3,5)

, который может отображаться в табличной форме, как показано ниже.

Если мы изобразим точки, определенные этими
упорядоченные пары и проведите прямую через
их, мы получаем график всех решений
y = x + 2, как показано на рисунке 7.3. Это,
каждое решение y = x + 2 лежит на прямой,
и каждая точка на линии — это решение
у = х + 2.

Графики уравнений первой степени в двух
переменные всегда прямые; следовательно,
такие уравнения также называются линейными
уравнения.

В приведенном выше примере значения, которые мы использовали для
x были выбраны случайным образом; мы могли бы использовать
любые значения x, чтобы найти решения уравнения.Графики любых других упорядоченных пар, которые являются решениями уравнения, также будут
быть на линии, показанной на рисунке 7.3. Фактически каждое линейное уравнение с двумя переменными
имеет бесконечное количество решений, график которых лежит на прямой. Однако мы только
нужно найти два решения, потому что для определения
прямая линия. Третий балл можно получить как проверку.

Чтобы изобразить уравнение первой степени:

1. Постройте набор прямоугольных осей, показывающих масштаб и переменную, представляющую
   отправляется каждой осью.
2. Найдите две упорядоченные пары, которые являются решениями уравнения для построения графика
   присвоение любого удобного значения одной переменной и определение соответствующего
   соответствующее значение другой переменной.
3. Изобразите эти упорядоченные пары.
4. Проведите прямую линию через точки.
5. Проверьте, построив график третьей упорядоченной пары, которая является решением уравнения и
   убедитесь, что он лежит на линии.

Пример 1

Изобразите уравнение y = 2x — 6.

Решение
Сначала мы выбираем любые два значения x, чтобы найти соответствующие значения y.
Мы будем использовать 1 и 4 для x.
Если x = 1, y = 2 (1) — 6 = -4
, если x = 4, y = 2 (4) — 6 = 2
Таким образом, два решения уравнения:
(1, -4) и (4, 2).
Затем мы построим график этих упорядоченных пар и проведем прямую линию через точки, как показано
на рисунке. Мы используем стрелки, чтобы показать, что
линия тянется бесконечно далеко в обоих направлениях.
Любая третья упорядоченная пара, удовлетворяющая
уравнение можно использовать в качестве проверки:
, если x = 5, y = 2 (5) -6 = 4
Затем отметим, что график (5, 4) также лежит на линии
. Чтобы найти решения уравнения, как мы уже отмечали, часто проще всего сначала решить
явно для y через x.

Пример 2

График x + 2y = 4.

Решение
Сначала решаем y через x, чтобы получить

Теперь мы выбираем любые два значения x, чтобы найти соответствующие значения y. Мы будем использовать
2 и 0 для x.

Таким образом, двумя решениями уравнения являются (2, 1) и (0, 2).

Затем мы графически отображаем эти упорядоченные пары и
проведите через точки прямую, как
показано на рисунке.

Любая третья упорядоченная пара, удовлетворяющая
уравнение можно использовать как проверку:

Затем отметим, что график (-2, 3) также
лежит на линии.

ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Уравнение y = 2 можно записать как

0x + y = 2

и может рассматриваться как линейное уравнение в двух
переменные, у которых коэффициент при x равен 0. Некоторые
решения 0x + y = 2 равны

(1,2), (-1,2) и (4,2)

Фактически, любая упорядоченная пара вида (x, 2) является
решение (1). Графическое изображение решений
дает горизонтальную линию, как показано на рисунке
7.4.

Аналогично, уравнение, такое как x = -3, может
можно записать как

х + 0у = -3

и может рассматриваться как линейное уравнение в двух
переменные, у которых коэффициент при y равен 0.

Некоторые решения x + 0y = -3 являются
(-3, 5), (-3, 1) и (-3, -2). Фактически любой
упорядоченная пара вида (-3, y) является решением
из (2). Графическое изображение решений дает вертикальную
линия, как показано на рисунке 7.5.

Пример 3

График

а. у = 3
б. х = 2

Решение
а. Мы можем записать y = 3 как Ox + y = 3.
Некоторые решения: (1, 3), (2,3) и (5, 3).

б. Мы можем записать x = 2 как x + Oy = 2.
Некоторые решения: (2, 4), (2, 1) и (2, -2).

7.4 МЕТОД ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ГРАФИКА

В Разделе 7.3 мы присвоили значения x в уравнениях с двумя переменными, чтобы найти
соответствующие значения y. Решения уравнения с двумя переменными, которые
как правило, легче всего найти те, в которых первый или второй компонент
0. Например, если мы заменим 0 на x в уравнении

3x + 4y = 12

у нас

3 (0) + 4y = 12
y = 3

Таким образом, решением уравнения (1) является (0, 3).Мы также можем найти упорядоченные пары, которые
решения уравнений с двумя переменными путем присвоения значений y и определения
соответствующие значения x. В частности, если мы подставим 0 вместо y в уравнение (1), мы
получить

3x + 4 (0) = 12
x = 4

и второе решение уравнения (4, 0). Теперь мы можем использовать упорядоченные пары
(0, 3) и (4, 0) для построения графика уравнения (1). График представлен на рисунке 7.6. Уведомление
что линия пересекает ось x в точке 4 и ось y в точке 3. По этой причине число
4 называется пересечением по оси x графа, а число 3 — точкой пересечения по оси y.

Такой способ построения графика линейного уравнения называется пересечением.
метод построения графиков. Обратите внимание, что когда мы используем этот метод построения графиков линейного
уравнение, нет никакого преимущества в том, чтобы сначала явно выразить y через x.

Пример 1

График 2x — y = 6 методом пересечения.

Решение
Мы находим точку пересечения с x, подставляя 0 вместо y в уравнение, чтобы получить

2x — (0) = 6
2x = 6
x = 3

Теперь мы находим точку пересечения по оси Y, подставляя
для x в уравнении, чтобы получить

2 (0) — y = 6
-y = 6
y = -6

Упорядоченные пары (3, 0) и (0, -6) являются решениями 2x — y = 6.Графическое изображение этих
точки и соединив их прямой линией, получим график 2x — y = 6.
Если график пересекает оси в или около начала координат, метод перехвата не работает.
удовлетворительно. Затем мы должны построить график упорядоченной пары, которая является решением уравнения
и чей график не является началом координат или не слишком близок к началу координат.

Пример 2

График y = 3x.

Решение
Мы можем заменить 0 на x и найти
y = 3 (0) = 0
Аналогично, заменив 0 на y, мы получим
0 = 3.x, x = 0
Таким образом, 0 является одновременно точкой пересечения по оси x и точкой пересечения по оси y.

Так как одной точки недостаточно для графического = 3x, мы прибегаем к методам, описанным в
Раздел 7.3. Выбирая любое другое значение для x, скажем 2, мы получаем

у = 3 (2) = 6

Таким образом, (0, 0) и (2, 6) являются решениями
уравнение. График y = 3x показан на
верно.

7,5 НАКЛОН ЛИНИИ

ФОРМУЛА НАКЛОНА

В этом разделе мы изучим важное свойство линии.Мы назначим
число к линии, которую мы называем уклоном, что даст нам меру «крутизны»
или «направление» линии.

Часто бывает удобно использовать специальные обозначения для различения прямоугольников.
Гулярные координаты двух разных точек. Мы можем обозначить одну пару координат
на (x ₁ , y ₁ (читается «x sub one, y sub one»), связанный с точкой P ₁ , и второй
пара координат по (x ₂ , y ₂ ), связанная со второй точкой P ₂ , как показано на рисунке
7.7. Обратите внимание на рис. 7.7, что при переходе от P ₁ к P ₂ вертикальное изменение (или
расстояние по вертикали) между двумя точками составляет y ₂ — y ₁ , а изменение по горизонтали (или
расстояние по горизонтали) составляет x ₂ — x ₁ .

Отношение вертикального изменения к горизонтальному называется крутизной
линия, содержащая точки P ₁ и P ₂ . Это соотношение обычно обозначают m. Таким образом,

Пример 1

Найдите наклон прямой, содержащей два
точки с координатами (-4, 2) и (3, 5) как
показано на рисунке справа.

Решение
Обозначим (3, 5) как (x ₂ , y ₂ ) и (-4, 2)
как (x ₁ , y ₁ ). Подставляя в уравнение (1)
дает

Обратите внимание, что мы получим тот же результат, если подставим -4 и 2 вместо x ₂ и y ₂ и 3 и
5 для x ₁ и y ₁

Линии с различным уклоном показаны на Рисунке 7.8 ниже. Наклоны линий, которые
вверх вправо положительны (рисунок 7.8а) и наклоны спускающихся вниз
справа отрицательны (рис. 7.8b). Обратите внимание (рис. 7.8c), что, поскольку все
точки на горизонтальной линии имеют одинаковое значение y, y ₂ — y ₁ равно нулю для любых двух
точек, а наклон линии просто

Также обратите внимание (рисунок 7.8c), что, поскольку все точки на вертикали имеют одинаковое значение x,
x ₂ — x ₁ равняется нулю для любых двух точек. Однако

не определено, поэтому вертикальная линия не имеет наклона.

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ЛИНИИ

Рассмотрим линии, показанные на рисунке 7.9. Линия l ₁ имеет наклон m ₁ = 3, а линия l ₂ имеет
уклон м ₂ = 3. В данном случае

Эти линии никогда не пересекаются и называются параллельными линиями. Теперь рассмотрим строки
показано на рисунке 7.10. Линия l ₁ имеет наклон m ₁ = 1/2, а линия l ₂ имеет наклон m ₂ = -2.
В данном случае

Эти линии пересекаются, образуя прямой угол, и называются перпендикулярными линиями.

Как правило, если две линии имеют уклон и м2:

а. Линии параллельны, если они имеют одинаковый наклон, т. Е.
если m ₁ = m ₂ .
г. Линии перпендикулярны, если произведение их уклонов
равно -1, то есть если m ₁ * m ₂ = -1.

7.6 УРАВНЕНИЯ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ

ОПОРНО-СКЛОННАЯ ФОРМА

В разделе 7.5 мы нашли наклон прямой по формуле

Допустим, мы знаем, что линия проходит через точку (2, 3) и имеет наклон 2.Если обозначить любую другую точку на прямой как P (x, y) (см. Рис. 7.1а), наклоном
формула

Таким образом, уравнение (1) — это уравнение прямой, проходящей через точку (2, 3), и
имеет уклон 2.

В общем, допустим, мы знаем, что линия проходит через точку P ₁ (x ₁ , y ₁ и имеет
уклон м. Если мы обозначим любую другую точку на прямой как P (x, y) (см. Рис. 7.11 b), то через
формула наклона

Уравнение (2) называется формой точечного уклона для линейного уравнения.В уравнении (2),
m, x ₁ и y ₁ известны, а x и y — переменные, которые представляют координаты
любая точка на линии. Таким образом, всякий раз, когда мы знаем наклон линии и точки на
линии, мы можем найти уравнение линии, используя уравнение (2).

Пример 1

Прямая имеет наклон -2 и проходит через точку (2, 4). Найдите уравнение прямой.

Решение
Замените -2 вместо m и (2, 4) вместо (x ₁ , y ₁ ) в уравнении (2)

Таким образом, прямая с наклоном -2, проходящая через точку (2, 4), имеет уравнение
у = -2х + 8.Мы могли бы также записать уравнение в эквивалентной форме y + 2x = 8,
2x + y = 8 или 2x + y — 8 = 0.

ФОРМА НАКЛОНА

Теперь рассмотрим уравнение прямой с наклоном m и точкой пересечения оси y b, как показано на
Рисунок 7.12. Подставляя 0 вместо x ₁ и b вместо y ₁ в форме точечного наклона линейного
уравнение, имеем

y — b = m (x — 0)
y — b = mx

или

y = mx + b

Уравнение (3) называется формой пересечения наклона
для линейного уравнения.Наклон и пересечение по оси Y
можно получить непосредственно из уравнения в
эта форма.

Пример 2 Если линия имеет уравнение

, то наклон линии должен быть -2, а точка пересечения оси Y — 8. Аналогично,
график

г = -3x + 4

имеет наклон -3 и точку пересечения по оси Y 4; и график

имеет наклон 1/4 и точку пересечения по оси Y -2.

Если уравнение не записано в форме x = mx + b и мы хотим знать наклон
и / или точку пересечения с y, мы переписываем уравнение, решая относительно y через x.

Пример 3

Найдите наклон и точку пересечения оси Y 2x — 3y = 6.

Решение
Сначала мы решаем y в терминах x, добавляя -2x к каждому члену.

2x — 3y — 2x = 6 — 2x
— 3y = 6 — 2x

Теперь, разделив каждого члена на -3, мы получим

Сравнивая это уравнение с формой y = mx + b, отметим, что наклон m (величина
коэффициент при x) равен 2/3, а точка пересечения оси y равна -2.

7.7 ПРЯМОЕ ИЗМЕНЕНИЕ

Частный случай уравнения первой степени с двумя переменными дается

y = kx (k — постоянная)

Такая связь называется прямой вариацией.Мы говорим, что переменная y изменяется
прямо как x.

Пример 1

Мы знаем, что давление P в жидкости прямо пропорционально глубине d ниже
поверхность жидкости. Мы можем обозначить это соотношение в символах как

P =

кД

В прямом варианте, если мы знаем набор условий для двух переменных, и если
мы также знаем другое значение для одной из переменных, мы можем найти значение
вторая переменная для этого нового набора условий.

В приведенном выше примере мы можем решить для константы k, чтобы получить

Поскольку отношение P / d постоянно для каждого набора условий, мы можем использовать соотношение
для решения задач, связанных с прямым изменением.

Пример 2

Если давление P напрямую зависит от глубины d и P = 40, когда d = 10, найдите P, когда
d = 15.

Решение
Поскольку отношение P / d постоянно, мы можем подставить значения для P и d и получить
пропорция

Таким образом, P = 60 при d = 15.

7,8 НЕРАВЕНСТВА В ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

В разделах 7.3 и 7.4 мы построили уравнения с двумя переменными. В этом разделе мы
построит график неравенств по двум переменным. Например, рассмотрим неравенство

у ≤ -x + 6

Решения — это упорядоченные пары чисел, которые «удовлетворяют» неравенству.Это,
(a, b) является решением неравенства, если неравенство является истинным утверждением после того, как мы
заменим a на x и b на y.

Пример 1

Определите, является ли данная упорядоченная пара решением y = -x + 6.

а. (1, 1)
б. (2, 5)

Решение
Упорядоченная пара (1, 1) является решением, потому что, когда 1 заменяется на x, а 1
подставив вместо y, получим

(1) = — (1) + 6, или 1 = 5

, что является правдой. С другой стороны, (2, 5) не является решением, потому что когда
2 заменяется на x и 5 заменяется на y, мы получаем

(5) = — (2) + 6, или 5 = 4

, что является ложным заявлением.

Чтобы построить график неравенства y = -x + 6, сначала построим график уравнения y = -x + 6
показано на рисунке 7.13. Обратите внимание, что (3, 3), (3, 2), (3, 1), (3, 0) и т. Д., Связанные
с точками, находящимися на линии или под ней, являются решениями неравенства
y = -x + 6, тогда как (3,4), (3, 5) и (3,6), связанные с точками над
линии не являются решениями неравенства. Фактически, все упорядоченные пары, связанные с
точки на линии или ниже являются решениями y = — x + 6. Таким образом, каждая точка на или
под линией находится на графике.Мы представляем это, закрашивая область под
линия (см. рисунок 7.14).

В общем, чтобы построить график неравенства первой степени с двумя переменными в виде
Ax + By = C или Ax + By = C, сначала строим график уравнения Ax + By = C и
затем определите, какая полуплоскость (область выше или ниже линии) содержит
решения. Затем закрашиваем эту полуплоскость. Мы всегда можем определить, какая половина
плоскость заштриховать, выбрав точку (не на линии уравнения Ax + By = C)
и тестирование, чтобы увидеть, является ли упорядоченная пара, связанная с точкой, решением
учитывая неравенство.Если да, то закрашиваем полуплоскость, содержащую контрольную точку; иначе,
заштриховываем вторую полуплоскость. Часто (0, 0) — удобная контрольная точка.

Пример 2

График 2x + 3y = 6

Решение
Сначала построим линию 2x + 3y = 6 (см. График a). Используя начало координат как контрольную точку,
мы определяем, является ли (0, 0) решением 2x + 3y ≥ 6. Поскольку утверждение

2 (0) + 3 (0) = 6

ложно, (0, 0) не является решением и мы закрашиваем полуплоскость, которая не содержит
начало координат (см. график b).

Когда линия Ax + By = C проходит через начало координат, (0, 0) не является допустимым тестом
точка, так как она находится на линии.

Пример 3

График y = 2x.

Решение
Начнем с построения линии y = 2x (см. График a). Поскольку линия проходит через
начало координат, мы должны выбрать другую точку не на линии в качестве нашей тестовой точки. Мы будем
используйте (0, 1). Поскольку выписка

(1) = 2 (0)

верно, (0, 1) — решение, и мы закрашиваем полуплоскость, содержащую (0, 1) (см.
график б).

Если символ неравенства — ‘, точки на графике Ax + By = C
не являются решениями неравенства. Затем мы используем пунктирную линию для графика
Ax + By = C.

РЕЗЮМЕ ГЛАВЫ

1. Решение уравнения с двумя переменными — это упорядоченная пара чисел. в
   упорядоченная пара (x, y), x называется первым компонентом, а y называется вторым
   составная часть. Для уравнения с двумя переменными переменная, связанная с первой
   компонент решения называется независимой переменной, а переменная
   связанный со вторым компонентом, называется зависимой переменной.Обозначение функции f (x) используется для обозначения алгебраического выражения в x. Когда х в
   символ f (x) заменяется определенным значением, символ представляет значение
   выражения для этого значения x.

2. Пересечение двух перпендикулярных осей в системе координат называется
   происхождение системы, и каждая из четырех областей, на которые делится плоскость
   называется квадрантом. Компоненты упорядоченной пары (x, y), связанной с
   точки на плоскости называются координатами точки; x называется абсциссой
   точки, а y называется ординатой точки.

3. График уравнения первой степени с двумя переменными представляет собой прямую линию. То есть каждый
   упорядоченная пара, которая является решением уравнения, имеет график, лежащий на линии, и
   каждая точка в строке связана с упорядоченной парой, которая является решением
   уравнение.

   Графики любых двух решений уравнения с двумя переменными могут быть использованы для
   получить график уравнения. Однако два решения уравнения в двух
   переменные, которые обычно легче всего найти, — это те, в которых либо первая, либо
   второй компонент равен 0.Координата x точки, в которой линия пересекает ось x.
   называется пересечением по оси x линии, а координата y точки, в которой линия
   пересекает ось ординат и называется пересечением линии. Использование точек пересечения для построения графика
   уравнение называется методом построения графика с пересечением.

4. Наклон линии, содержащей точки P ₁ (x ₁ , y ₁ ) и P ₂ (x ₂ , y ₂ ), определяется как

   Две прямые параллельны, если они имеют одинаковый наклон (m ₁ = m ₂ ).

   Две прямые перпендикулярны, если произведение их уклонов равно — l (m ₁ * m ₂ = -1).

5. Форма точки-наклона прямой с уклоном m, проходящей через точку (x ₁ , y ₁ )
   это

   y — y ₁ — m (x — x ₁ )

   Угол пересечения линии с наклоном m и точкой пересечения оси y b равен

   y = mx + b

6. Взаимосвязь, определяемая уравнением вида

   y = kx (k постоянная)

   называется прямой вариацией.

7. Решением неравенства с двумя переменными является упорядоченная пара чисел, которая,
   при подстановке в неравенство делает неравенство истинным утверждением. В
   График линейного неравенства от двух переменных представляет собой полуплоскость.
   Символы, представленные в этой главе, появляются на внутренней стороне передней обложки.

Создание эскизов графиков | Дифференциальное исчисление

Мы находим \ (y \) — точку пересечения, полагая \ (x = 0 \):

\ begin {align *}
f (x) & = -x ^ {3} + 4x ^ {2} + 11x — 30 \\
f (0) & = — (0) ^ {3} + 4 (0) ^ {2} +11 (0) — 30 \\
& = -30
\ end {выровнять *}

Перехватчик \ (y \) — это: \ ((0; -30) \)

Мы находим \ (x \) — точки пересечения, полагая \ (f (x) = 0 \).{3} \\ [/ latex] или [latex] f \ left (x \ right) = \ frac {1} {x} \\ [/ latex] были отражены над обеими осями , результатом будет исходный график.

Рис. 12. (a) Функция кубического инструментария (b) Горизонтальное отражение функции кубического инструментария (c) Горизонтальные и вертикальные отражения воспроизводят исходную кубическую функцию.

Мы говорим, что эти графы симметричны относительно начала координат. Функция с графиком, симметричным относительно начала координат, называется нечетной функцией .{x} \\ [/ latex] не является ни четным, ни нечетным. Кроме того, единственная функция, которая является как четной, так и нечетной, — это постоянная функция [latex] f \ left (x \ right) = 0 \\ [/ latex].

Общее примечание: четные и нечетные функции

Функция называется четной функцией, если для каждого входа [latex] x \\ [/ latex]

[латекс] f \ left (x \ right) = f \ left (-x \ right) \\ [/ latex]

График четной функции симметричен относительно оси [latex] y \ text {-} \\ [/ latex].