3

6

Risolvere per ?

cos(x)=1/2

7

Risolvere per x

sin(x)=-1/2

8

Преобразовать из градусов в радианы

225

9

Risolvere per ?

cos(x)=( квадратный корень 2)/2

10

Risolvere per x

cos(x)=( квадратный корень 3)/2

11

Risolvere per x

sin(x)=( квадратный корень 3)/2

12

График

g(x)=3/4* корень пятой степени x

13

Найти центр и радиус

x^2+y^2=9

14

Преобразовать из градусов в радианы

120 град. 4x= \frac{3+4cos2x+cos4x}{8}$$

Формулы сложения аргументов

$$sin(\alpha + \beta) = sin \alpha cos \beta + cos \alpha sin \beta$$

---

$$cos(\alpha + \beta) = cos \alpha cos \beta — sin \alpha sin \beta$$

---

$$tg(\alpha + \beta)= \frac{tg \alpha + tg \beta}{1 — tg \alpha tg \beta}$$

---

$$ctg(\alpha + \beta)= \frac{ctg \alpha ctg \beta -1}{ctg \alpha + ctg \beta}$$

---

$$sin(\alpha — \beta) = sin \alpha cos \beta — cos \alpha sin \beta$$

---

$$cos(\alpha — \beta) = cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta$$

---

$$tg(\alpha — \beta)= \frac{tg \alpha — tg \beta}{1 + tg \alpha tg \beta}$$

---

$$ctg(\alpha — \beta)= \frac{ctg \alpha ctg \beta +1}{ctg \alpha — ctg \beta}$$

Формулы суммы тригонометрических функций

$$sin\alpha + sin\beta = 2sin \frac{\alpha + \beta }{2} \cdot cos \frac{\alpha — \beta }{2}$$

---

$$cos\alpha + cos\beta = 2cos \frac{\alpha + \beta }{2} \cdot cos \frac{\alpha — \beta }{2}$$

---

$$tg\alpha + tg\beta = \frac{sin(\alpha + \beta) }{cos \alpha cos \beta}$$

---

$$ctg\alpha + ctg\beta = \frac{sin(\alpha + \beta) }{cos \alpha cos \beta}$$

---

$$(sin\alpha + cos\alpha)^2= 1+sin2\alpha$$

Формулы разности тригонометрических функций

$$sin\alpha — sin\beta = 2sin \frac{\alpha — \beta }{2} \cdot cos \frac{\alpha + \beta }{2}$$

---

$$cos\alpha — cos\beta = -2sin \frac{\alpha + \beta }{2} \cdot sin \frac{\alpha — \beta }{2}$$

---

$$tg\alpha — tg\beta = \frac{sin(\alpha — \beta) }{cos \alpha cos \beta}$$

---

$$ctg\alpha — ctg\beta = — \frac{sin(\alpha — \beta) }{sin \alpha sin \beta}$$

---

$$(sin\alpha + cos\alpha)^2= 1-sin2\alpha$$

Формулы произведения тригонометрических функций

$$sin\alpha \cdot sin\beta = \frac{cos(\alpha — \beta)-cos(\alpha + \beta)}{2}$$

---

$$sin\alpha \cdot cos\beta = \frac{sin(\alpha — \beta)+sin(\alpha + \beta)}{2}$$

---

$$cos\alpha \cdot cos\beta = \frac{cos(\alpha — \beta)+cos(\alpha + \beta)}{2}$$

---

\begin{align}
tg\alpha \cdot tg\beta & = \frac{cos(\alpha — \beta)-cos(\alpha + \beta)}{cos(\alpha — \beta)+cos(\alpha + \beta)}\\
&= \frac{tg\alpha + tg\beta}{ctg\alpha + ctg\beta}
\end{align}

---

\begin{align}
ctg\alpha \cdot ctg\beta & = \frac{cos(\alpha — \beta)+cos(\alpha + \beta)}{cos(\alpha — \beta)-cos(\alpha + \beta)}\\
&= \frac{ctg\alpha + ctg\beta}{tg\alpha + tg\beta}
\end{align}

---

$$tg\alpha \cdot ctg\beta = \frac{sin(\alpha — \beta)+sin(\alpha + \beta)}{sin(\alpha + \beta)-sin(\alpha — \beta)}$$

Задание №1174.

2+t-1=0, корни которого t_1=-1 и t_2=\frac12. Возвращаясь к переменной x, получим \cos x = \frac12 или \cos x=-1, откуда x=\frac \pi 3+2\pi m, m \in \mathbb Z, x=-\frac \pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z, x=\pi +2\pi k, k \in \mathbb Z.

б) Решим неравенства

1) -\frac{3\pi }2 \leqslant \frac{\pi }3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 ,

2) -\frac{3\pi }2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi {2,}

3) -\frac{3\pi }2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2 , m, n, k \in \mathbb Z. 

Решение:

1) -\frac{3\pi }2 \leqslant \frac{\pi }3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 , -\frac32 \leqslant  \frac13+2m \leqslant  -\frac12 -\frac{11}6 \leqslant  2m \leqslant  -\frac56 , -\frac{11}{12} \leqslant m \leqslant -\frac5{12}.

Нет целых чисел, принадлежащих промежутку \left [-\frac{11}{12};-\frac5{12}\right].

2) -\frac {3\pi} 2 \leqslant -\frac{\pi }3+2\pi n \leqslant -\frac{\pi }{2}, -\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12 , -\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1{6}, -\frac7{12} \leqslant n \leqslant -\frac1{12}.

Нет целых чисел, принадлежащих промежутку \left[ -\frac7{12} ; -\frac1{12} \right].

3) -\frac{3\pi }2 \leqslant \pi +2\pi k\leqslant -\frac{\pi }2, -\frac32 \leqslant 1+2k\leqslant -\frac12, -\frac52 \leqslant 2k \leqslant -\frac32, -\frac54 \leqslant k \leqslant -\frac34.

Этому неравенству удовлетворяет k=-1, тогда x=-\pi.

Таблица интегралов

1.	∫ sin (x) dx = -cos (x) + C
2.	∫ cos (x) dx = sin (x) + C
3.	∫ sin2 (x) dx = x2 — 14 sin (2x) + C
4.	∫ cos2 (x) dx = x2 + 14 sin (2x) + C
5.	∫ sinn (x) dx = -1n sinn — 1 (x) cos (x) + n — 1n ∫ sinn — 2 (x) dx
6.	∫ cosn (x) dx = 1n cosn — 1 (x) sin (x) + n — 1n ∫ cosn — 2 (x) dx
7.	∫ dxsin (x) = ln|tg(x2)| + C
8.	∫ dxcos (x) = ln|ctg(x2)| + C
9.	∫ dxsin2 (x) = -ctg (x) + C
10.	∫ dxcos2 (x) = tg (x) + C
11.	∫ sin (x) cos (x) dx = -14cos (2x) + C
12.	∫ sin2 (x) cos (x) dx = 13sin3 (x) + C
13.	∫ sin (x) cos2 (x) dx = -13cos3 (x) + C
14.	∫ sin2 (x) cos2 (x) dx = -18x — 132sin (4x) + C
15.	∫ tg (x) dx = -ln |cos (x)| + C
16.	∫ ctg (x) dx = ln |sin (x)| + C
17.	∫ sin (x)cos2 (x)dx = 1cos (x) + C
18.	∫ cos (x)sin2 (x)dx = -1sin (x) + C
19.	∫ sin2 (x)cos2 (x)dx = tg (x) — x + C
20.	∫ cos2 (x)sin2 (x)dx = -ctg (x) — x + C
21.	∫ sin2 (x)cos (x)dx = ln|ctg(x2)| — sin (x) + C
22.	∫ cos2 (x)sin (x)dx = ln|tg(x2)| + cos (x) + C
23.	∫ dxsin (x) cos (x) = ln|tg(x)| + C
24.	∫ dxsin2 (x) cos (x) = -1sin (x) + ln|ctg(x2)| + C
25.	∫ dxsin (x) cos2 (x) = 1cos (x) + ln|tg(x2)| + C
26.	∫ dxsin2 (x) cos2 (x) = tg(x) — ctg(x) + C
27.	∫ dxsinn (x) = -1n — 1cos (x)sinn — 1 (x) + n — 2n — 1 ∫ dxsinn — 2 (x)
28.	∫ tgn (x) dx = tgn — 1 (x)n — 1 —  ∫ tgn — 2 (x) dx
29.	∫ ctgn (x) dx = -ctgn — 1 (x)n — 1 —  ∫ ctgn — 2 (x) dx
30.	∫ sin (x) cosn (x) dx = -cosn + 1 (x)n + 1 + C
31.	∫ cos (x) sinn (x) dx = sinn + 1 (x)n + 1 + C

Внеклассный урок — Формулы двойного аргумента

Формулы двойного аргумента (двойного угла)

Выражения sin 2x, cos 2x, tg 2x можно выразить через sin x, cos x, tg x. Эти преобразующие формулы называются формулами двойного аргумента (или двойного угла).

Логику преобразования можно понять на примере выражения sin 2x.

Представим это выражение в виде sin (x + x).

Тогда мы легко можем применить формулу синуса суммы аргументов:

sin (x + x) = sin x cos x + cos x sin x = 2 sin x cos x.

Мы получили первую из формул двойного аргумента. А вот все формулы:

sin 2x = 2 sin x cos x cos 2x = cos2x – sin2x cos 2x = 1 – 2 sin2x                                                                                       2 tg x                                                                        tg 2x = ————                                                                                     1 – tg2x

 

В первых строках мы показали, как была получена первая формула из таблицы. Вычислим остальные три.

2) cos 2x = cos²x – sin²x.

Здесь так же представляем 2х в виде х + х и применяем формулу косинуса сложения аргументов:

cos 2x = cos (x + x) = cos x cos x – sin x sin x = cos²x – sin²x.

 

3) cos 2x = 1 – 2 sin²x.

Здесь мы просто продолжим преобразовывать предыдущую формулу.
Используем для этого основное тригонометрическое тождество cos²x + sin²x = 1.
Из этого тождества следует, что cos²x = 1 – sin²x. Итак, выпишем предыдущую формулу, вставим значение cos²x, сведем подобные члены и получим результат:

cos 2x = cos²x – sin²x = 1 – sin²x – sin²x = 1 – 2sin²x.

                    2 tg x
4) tg 2x = ————
                   1 – tg²x

Способов, как прийти к такому тождеству, два.

Первый способ. Здесь нам поможет формула тангенса сложения аргументов. Для этого представим tg 2x в виде tg (x + х). Итак:

                                   tg х + tg х             2 tg х
tg 2x = tg (x + х) = —————— = —————
                                  1 – tg х tg х          1 – tg²х

Второй способ. Он сложнее. Сначала применяем формулы синуса и косинуса сложения аргументов:

                                     sin (x + х)           sin x cos х + cos x sin х
tg 2x =  tg (x + х) = —————— = ———————————
                                     cos (x + х)           cos x cos х – sin x sin х

Теперь, чтобы упростить выражение, делим все его части на cos x cos х, сокращаем подобные члены и приходим к решению:

   sin x cos х         cos x sin х               2 sin х
 ————— + —————          —————
  cos x cos х        cos x cos х               2 cos х                  2 tg x
———————————— = ——————— = —————
cos x cos x         sin x sin х                      sin²x               1 – tg²x
————— – —————           1 – ————     
 cos x cos x       cos x cos х                     cos²x

 

ПРИМЕЧАНИЕ:

При решении конкретных задач важно помнить, что задача имеет смысл лишь в том случае, если в процессе решения знаменатели нигде не оказываются равны нулю.

Теперь для наглядности решим несколько примеров по теме.

Пример 1. Упростить выражение:

 sin 2α
———
  sin α

Решение:

 sin 2α          2 sin α cos α
———  =  ——————  =  2 cos α
  sin α                sin α

 

Пример 2. Пусть tg α = 3/4  и 180º < α < 270º.

Найти sin 2α.

Решение.

В первую очередь, отмечаем, что угол находится в третьей четверти. Значит, синус будет со знаком минус.

                                                                                                                       1
1) Значение синуса мы могли бы найти через формулу 1 + ctg² α =  ———.
                                                                                                                     sin² α

Значит, нам надо сначала вычислить значение котангенса. Мы знаем, что tg α · ctg α = 1. Следовательно:

               1            1            4
ctg α = ——  =  ——  =  ——
             tg α         3/4          3

2) Теперь находим значение синуса:

                        1                        1                      1                 1            9
sin² α  =  —————  =  —————  =  ————  =  ——  =  ——
                 1 + ctg² α           1 + (4/3)²          1 + 16/9         25/9        25

 

                  3
sin α = – ——
                  5

3) Мы знаем, что sin 2α = 2 sin α cos α. Значит, находим еще косинус (по формуле cos² α + sin² α = 1). При этом опять не забываем, что угол – в третьей четверти и косинус должен быть со знаком минус. Итак:

                                            9            16
cos² α = 1 – sin² α  =  1 – ——  =  ——
                                           25           25

                  4
cos α = – ——
                  5

4) Осталось применить формулу двойного угла:

                          3               4          2 · 3 · 4        24
sin 2α = 2 · (– ——) · (– ——) = ———— = ——  =  0,96.
                          5               5             5 · 5          25

Пример решен.

 

Пример 3: Вычислить

         π             π
cos² — – sin² —
         8             8

Решение.

Это выражение соответствует правой части формулы косинуса двойного
аргумента (cos 2x = cos²x – sin²x). Значит, просто приравняем его к левой части. Для этого замечаем, что

         π
х  =  —
         8

Остается ввести в формулу это значение х и решить уравнение:

            π                π                     π                 2π                 π          √2
cos² —— – sin² —— = cos 2 ∙ —— = cos ——  =  cos ——  =  —— .
           8                8                     8                   8                  4           2

Пример решен.

Тригонометрические формулы

© Школяр. {- 1} \ left (\ tan x- \ cot x \ справа) + C}

……………………………………………………………………………………………….

2 (x) = (1 + cos2x) / 2 | CosmoLearning Mathematics

1: Что такое единичный круг? 2: Единичный круг и угол (Часть 1 из 2) 3: Единичный круг и угол (Часть 2 из 2) 4: Единичный круг и угол (30 и 60 градусов) 5: Единичный круг и знаки x и y 6: функция тригонометрии: объяснение синуса 7: функция тригонометрии: объяснение косинуса 8: функция тригонометрии: объяснение тангета 9: функция тригонометрии: объяснение котангета 10: функция тригонометрии: объяснение секант 11: тригонометрия Функция: объяснение косеканса 12: Что такое отрицательные углы? 13: Как преобразовать углы больше 360? 14: Что такое четные и нечетные функции? 15: Основные триггерные идентификации16: Использование единичной окружности для оценки триггерных функций 17: Использование единичной окружности для оценки Триггерные функции 18: Использование единичного круга для оценки триггерных функций 19: Формула сокращения (1 из 4) Сложение / вычитание 2 pi20: Формула сокращения (2 из 4) Сложение / вычитание pi21: Формула сокращения (3 из 4) Добавить pi / 222: Формула сокращения (4 из 4) Вычтем pi / 223: график y = sin (theta) (1 из 2) 24 : График y = sin (theta) (2 из 2) и единичный круг 25: график y = cos (theta) 26: график y = tan (theta) 27: период графиков синуса и косинуса 28: общее уравнение для синуса и Косинус 29: Общее уравнение для синуса и косинуса: Амплитуда 30: Общее уравнение для синуса и косинуса: Период 31: Общее уравнение для синуса и косинуса: Сдвиг влево / вправо 32: Общее уравнение для синуса и косинуса: Сдвиг вверх / вниз 33: Графическая сумма функций тригонометрии (1 из 2) 34: Графическая сумма функций тригонометрии (2 из 2) 35: График отрицательной функции триггера 36: Графическое изображение произведения тригонометрической функции (без калькуляторов!) 37: Графическое изображение произведения триггера Функция (без калькуляторов!) 38: Построение графика произведения триггерной функции (без калькуляторов!) 39: Построение графика функции y = — (1/2) sinx40: Построение графика функции y = 2 + 2cosx41: определение амплитуды, периода, и график y = -3sin3x42: найти амплитуду, период и график y = 4cos [(1/2) x] 43: найти амплитуду, период и график y = cos [x- (pi / 2)] 44: Найдите амплитуду Pe riod и График y = 3sin [(2x / 3) — (pi / 6)] 45: Найдите амплитуду, период и график y = 2cos [3x + (pi / 4)] — 146: Найдите амплитуду, период, Фазовый угол и напишите уравнение 47: Найдите амплитуду, период, фазовый угол и запишите уравнение 48: Найдите амплитуду, период, фазовый угол и запишите уравнение49: График y = tan4x50: График y = csc2x51: Функция обратной синусоиды52: Функция обратного косинуса53 : Функция обратной касательной 54: функция обратной тригонометрии: не запутайтесь! 55: угол в радианах 56: длина дуги (окружность) 57: площадь сектора (окружность) 58: основы тригонометрии 59: основы тригонометрии: пример 60: основы тригонометрии : Упражнение 161: Основы тригонометрии: Упражнение 262: Основы тригонометрии: Упражнение 363: Основы тригонометрии: Упражнение 464: Функции обратного триггера: Найти угол 65: Функции обратного триггера: Упр. 166: Обратные триггерные функции: Пример. 267: Обратные триггерные функции: Сводка 68: Найти все неизвестные (Adj =? Opp =?) 69: Найти все неизвестные (Adj =? Hyp =?) 70: Найти все неизвестные (Adj =? Angle =?) 71: Вызов Задача № 172: Задача № 273: Задача № 374: Задача № 475: Высота флага =? 76: Расстояние до ближайшей звезды =? 77: Высота здания =? 78: Расстояние между Венерой и Солнцем =? 79: Окружность планеты =? 80: Угол геосинхронного спутника =? 81: Определение закона синуса 82: Доказанный закон синуса 83: Пример SSA (сторона-сторона-угол) 84: Пример AAS (угол-угол-сторона ) 85: Осторожно: НЕТ случаев решения с законом синуса 86: множественные решения с законом синуса 87: определение высоты спутника 88: определение высоты горы 89: что такое закон косинусов? 90: поиск трех углов с тремя сторонами91: Доказанный закон косинусов92: Найдите расстояние и пеленг самолета93: Найдите расстояние между кораблями94: Формула Герона: Введение95: Доказанная формула Герона96: Каковы основные тригонометрические тождества? 97: Cofunction Trigonometric Identities98: Упростить тригонометрическое выражение: 199: Упростить тригонометрическое выражение: 2100: Проверить идентичность: 1101: Подтвердить идентичность: 2102: Проверить идентичность: 3103: Подтвердить идентичность: 4104: Формулы сложения и вычитания 105: Доказательство сложения Формула (косинус) 106: доказательство формулы вычитания (косинус) 107: доказательство идентичности кофункции 108: доказательство формулы сложения (синус) 109: доказательство формулы вычитания (синус) 110: доказательство формулы сложения (касательная) 111: доказательство Формула вычитания (касательная) 112: Найдите sin75 ,. 3 (тета) = загар (тета), тета =? 148: решить грех (2 тета) + соз (тета) = 0, тета =? 149: решить грех (тета) + грех (3 тета) = 0, тета =? 150 : Решить 2cos (3theta) = 1, theta =? 151: Решить sin (2theta) = 3cos (2theta), theta =? 152: Решить 2sin (x) tan (x) -tan (x) = 1-2sin (x ), x =?

Как построить график 1 cos 2x: шаги и учебное пособие — математический класс [2021]

Постановка задачи

Лео всегда был волшебником с двигателями. Когда ему было 9 лет, он починил двигатель-поедатель сорняков, который его отец был слишком расстроен, чтобы продолжать работать.Он тусуется у местного механика на улице от своего дома и даже начал подрабатывать на побочном бизнесе, ремонтируя газонокосилки, кусторезы и другие небольшие двигатели.

Обычно Лео не был большим поклонником математических уроков, которые ему приходилось посещать в старшей школе, но когда его учитель упомянул, что функция косинуса полезна при проектировании и ремонте двигателей, он определенно оживился. Как эта математика, которая выглядела одновременно скучной и сложной, могла помочь ему лучше разбираться в двигателях? Итак, Лео сделал то, чего он почти никогда не делал в классе математики — поднял руку и задал вопрос.

‘Mr. Гранд, ты сказал что-то о двигателях, над которыми я люблю работать, но потом я смотрю вверх, и у тебя на доске нарисованы забавные завитки. Как эта закорючка что-то говорит о двигателе?

Г-н Гранд объясняет, что функции синуса и косинуса могут представлять повторяющееся движение цилиндров в двигателе внутреннего сгорания или вращение двигателя с электрическим приводом. Амплитуда , или высота графика, указывает, насколько двигатель перемещается за каждый цикл, а период , или расстояние между пиками на графике, описывает, как быстро вращаются детали.Он рисует на доске «волнистую линию», чтобы объяснить, о чем он говорит:

(1)	Основное тригонометрическое тождество	sin2(α) + cos2(α) = 1
(2)	Основное тождество через тангенс и косинус	1 + tg2(α) = 1/cos2(α)
(3)	Основное тождество через котангенс и синус	1 + ctg2(α) = 1/sin2(α)
(4)	Соотношение между тангенсом и котангенсом	tg(α)ctg(α) = 1
(5)	Синус двойного угла	sin(2α) = 2sin(α)cos(α)
(6)	Косинус двойного угла	cos(2α) = cos2(α) – sin2(α) = 2cos2(α) – 1 = 1 – 2sin2(α)
(7)	Тангенс двойного угла	tg(2α) =   2tg(α) 1 – tg2(α)
(8)	Котангенс двойного угла	ctg(2α) = ctg2(α) – 1   2ctg(α)
(9)	Синус тройного угла	sin(3α) = 3sin(α)cos2(α) – sin3(α)
(10)	Косинус тройного угла	cos(3α) = cos3(α) – 3cos(α)sin2(α)
(11)	Косинус суммы/разности	cos(α±β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β)
(12)	Синус суммы/разности	sin(α±β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β)
(13)	Тангенс суммы/разности	tg(α±β) = (tg(α) ± tg(β))/(1 ∓ tg(α)tg(β))
(14)	Котангенс суммы/разности	ctg(α±β) = (-1 ± ctg(α)ctg(β))/(ctg(&alpha) ± ctg(β))
(15)	Произведение синусов	sin(α)sin(β) = ½(cos(α–β) – cos(α+β))
(16)	Произведение косинусов	cos(α)cos(β) = ½(cos(α+β) + cos(α–β))
(17)	Произведение синуса на косинус	sin(α)cos(β) = ½(sin(α+β) + sin(α–β))
(18)	Сумма/разность синусов	sin(α) ± sin(β) = 2sin(½(α±β))cos(½(α∓β))
(19)	Сумма косинусов	cos(α) + cos(β) = 2cos(½(α+β))cos(½(α–β))
(20)	Разность косинусов	cos(α) – cos(β) = –2sin(½(α+β))sin(½(α–β))
(21)	Сумма/разность тангенсов	tg(α) ± tg(β) = sin(α±β)/cos(α)cos(β)
(22)	Формула понижения степени синуса	sin2(α) = ½(1 – cos(2α))
(23)	Формула понижения степени косинуса	cos2(α) = ½(1 + cos(2α))
(24)	Сумма/разность синуса и косинуса	sin(α) ± cos(α) = &sqrt;2sin(α±π/4)
(25)	Сумма/разность синуса и косинуса с коэффициентами	Asin(α) ± Bcos(α) = Корень(A²+B²)(sin(α ± arccos(A/Корень(A²+B²)))
(26)	Основное соотношение арксинуса и арккосинуса	arcsin(x) + arccos(x) = π/2
(27)	Основное соотношение арктангенса и арккотангенса	arctg(x) + arcctg(x) = π/2

Амплитуда и период косинуса

Для функций синуса и косинуса вам необходимо знать несколько вещей, чтобы иметь возможность построить график любой конкретной функции:

1. Максимальные и минимальные значения y
2. Значение y при x = 0
3. Значение x при y = 0
4. Расстояние между повторениями цикла

Эти концепции были сформулированы иначе, чем обычно думал о них Лео, но он осознавал полезность знания этих вещей, когда работал над двигателями. Он внимательно наблюдал, как мистер Гранд заполняет диаграмму, связанную с построением графика функции:

y = 1 cos (2 x ).

Лео подумал, что x — это расстояние, на которое один поршень в его двигателе находится от нейтрального положения, и x — это количество градусов, на которые поворачивается коленчатый вал.

Вычислить lim x → 0 (1-cos2x) / x²

В этой предельной задаче алгебраическая функция в форме квадрата и тригонометрическая функция в форме косинуса определены в переменной $ x $, и эти две функции образуют следующее рациональное выражение.2 $ является неопределенным, что означает, что метод прямой подстановки не смог оценить предел функции. Следовательно, мы должны подумать о другом математическом подходе вместо прямой замены.

Упростите выражение Rational

В числителе рационального выражения есть два члена, но есть только один член в знаменателе, который указывает на то, что выражение в числителе можно упростить и нет необходимости сосредотачиваться на выражении в знаменателе. 2 $

$ = \, \, \, $ 2 \ раз 1 $

$ = \, \, \, $ 2 $

Сводка тригонометрических отождествлений

За последние несколько страниц вы видели довольно много тригонометрических отождествлений. Для справки удобно иметь их краткое изложение. Эти тождества в основном относятся к одному углу, обозначенному θ , но есть некоторые, которые включают два угла, и для них два угла обозначены α и β .
Более важные идентичности. Вам не нужно знать все личности с головы до ног. Но вы должны это сделать.
	Определение отношений для тангенса, котангенса, секанса и косеканса в терминах синуса и косинуса.
	Формула Пифагора для синусов и косинусов. Это, наверное, самая важная триггерная идентичность.
	Идентификаторы, выражающие триггерные функции в терминах их дополнений. В этом нет ничего особенного. Каждая из шести триггерных функций равна своей совместной функции, оцениваемой под дополнительным углом.
	Периодичность триггерных функций. Синус, косинус, секанс и косеканс имеют период 2 π , а тангенс и котангенс имеют период π .
	Тождества для отрицательных углов. Синус, тангенс, котангенс и косеканс являются нечетными функциями, а косинус и секанс — четными функциями.
	Тождества Птолемея, формулы суммы и разности для синуса и косинуса.
	Формулы двойного угла для синуса и косинуса. Обратите внимание, что существует три формы формулы двойного угла для косинуса. Вам нужно знать только одно, но уметь вывести два других из формулы Пифагора.
Менее важные идентичности. Вы должны знать, что эти личности есть, но они не так важны, как упомянутые выше. Все они могут быть получены из вышеперечисленных, но иногда для этого требуется немного поработать.
	Формула Пифагора для касательных и секущих. Есть еще один для котангенсов и косекансов, но поскольку котангенсы и косекансы нужны редко, в нем нет необходимости.
	Идентификаторы, выражающие триггерные функции в терминах их дополнений.
	Формулы суммы, разности и двойного угла для тангенса.
	Формулы половинных углов. Для синуса и косинуса берут положительный или отрицательный квадратный корень в зависимости от квадранта угла θ /2. Например, если θ /2 — острый угол, тогда будет использоваться положительный корень.
Действительно неясные личности. Они здесь как раз для извращенности. Нет, не совсем. У них есть несколько приложений, но обычно это узкие приложения, и о них также можно забыть, пока они не понадобятся.
	Идентификаторы продукта-суммы. Эта группа идентичностей позволяет вам преобразовать сумму или разность синусов или косинусов в произведение синусов и косинусов.
	Идентификационные данные продукта. Кроме того: как ни странно, эти идентификаторы продукта использовались до того, как были изобретены логарифмы для выполнения умножения. Вот как можно использовать второй. Если вы хотите умножить x на y, используйте таблицу, чтобы найти угол α , косинус которого равен x , и угол β , косинус которого равен y . Найдите косинусы суммы α + β . а разность α — β . Усредните эти два косинуса.Вы получаете товар xy ! Три просмотра таблиц и вычисление суммы, разницы и среднего, а не одно умножение. Тихо Браге (1546–1601), среди прочих, использовал этот алгоритм, известный как простафаэрез .
	Формулы тройного угла. Вы можете легко восстановить их по формулам сложения и двойного угла.
	Еще формулы полууглов. Они описывают основные триггерные функции в терминах тангенса половины угла. Они используются в исчислении для особого вида подстановки в интегралах, иногда называемой подстановкой Вейерштрасса t .

1.2: Функции косинуса и синуса

Функции косинуса и синуса

Мы начали наше изучение тригонометрии с изучения единичной окружности, того, как обернуть числовую линию вокруг единичной окружности и как построить дуги на единичной окружности.Теперь мы можем использовать эти идеи для определения двух основных круговых или тригонометрических функций. Эти круговые функции позволят нам моделировать периодические явления, такие как приливы, количество солнечного света в течение нескольких дней в году, орбиты планет и многие другие.

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): Круговые функции

Может показаться, что единичный круг — довольно простой объект и малоинтересный, но математики почти всегда могут найти что-то интересное даже в таких простых объектах. Например, мы определяем две основные круговые функции, косинус и синус в терминах единичной окружности следующим образом. На рисунке \ (\ PageIndex {1} \) показана дуга длины \ (t \) на единичной окружности. Эта дуга начинается в точке \ ((1, 0) \) и заканчивается в ее конечной точке \ (P (t) \). Затем мы определяем косинус и синус дуги \ (t \) как координаты \ (x \) и \ (y \) точки \ (P \), так что \ (P (t) = (\ cos (t), sin (t)) \) (косинус обозначается как \ (\ cos \), а синус — как \ (\ sin \)).Значения косинуса и синуса определяются дугой \ (t \), а косинус и синус — это функции дуги \ (t \). Поскольку дуга лежит на единичной окружности, мы называем косинус и синус круговыми функциями . Важной частью тригонометрии является изучение косинуса и синуса, а также периодических явлений, которые эти функции могут моделировать. Это одна из причин, по которой круговые функции также называются тригонометрическими функциями .

Примечание

Согласно данным веб-сайта «Самые ранние известные применения некоторых слов математики» на jeff560.tripod.com/mathword.html, слово синус происходит от санскрита через арабский и латинский языки. Хотя отчеты о фактическом происхождении различаются, похоже, что санскритское произведение «jya» (аккорд) было переведено на арабский язык как «jiba», но затем было переведено на латинский как «jaib» (залив), которое стало «синусом» (залив или кривая). Затем это слово было переведено на английский язык, чтобы стать нашим «синусом». Слово косинус началось с Платона из Тиволи, который использовал выражение «chorda резидуи». Хотя латинское слово chorda было лучшим переводом санскритско-арабского слова синус, чем слово синус, это слово уже использовалось.Таким образом, «остаточная хорда» превратилась в «косинус».

Примечание

В математике мы всегда создаем формальные определения для обычно используемых объектов. Определения критически важны, потому что с согласованными определениями у всех будет общее понимание того, что означают эти термины. Без такого общего понимания возникла бы большая путаница, поскольку разные люди имеют разные значения разных терминов. Столь тщательные и точные определения необходимы для разработки математических свойств этих объектов.2 = 1 \) (с положительным направлением против часовой стрелки) с начальной точкой \ ((1, 0) \) и конечной точкой \ ((x, y) \), затем косинус из \ (t \), обозначается \ (\ cos (t) \), и синус t, обозначаемый \ (\ sin (t) \), определяется как \ [\ cos (t) = x \] и \ [\ sin ( t) = y. \]

Рисунок 1.6 иллюстрирует эти определения для дуги, конечная точка которой находится в первом квадранте.

В настоящее время невозможно определить точные значения функций косинуса и синуса для конкретных значений \ (t \).Однако это можно сделать, если конечная точка дуги длины \ (t \) лежит на оси \ (x \) или на оси \ (y \). Например, поскольку окружность единичной окружности равна \ (2 \ pi \), дуга длины \ (t = \ pi \) будет иметь конечную точку на полпути по окружности от точки \ ((1, 0) \). То есть конечная точка находится в \ ((1, 0) \). Следовательно, \ [\ cos (\ pi) = -1 \] и \ [\ sin (\ pi) = 0. \]

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Определите точные значения каждого из следующего:

1. \ (\ cos (\ dfrac {\ pi} {2}) \) и \ (\ sin (\ dfrac {\ pi} {2}) \).
2. \ (\ cos (\ dfrac {3 \ pi} {2}) \) и \ (\ sin (\ dfrac {3 \ pi} {2}) \).
3. \ (\ cos (0) \) и \ (sin (0) \).
4. \ (\ cos (- \ dfrac {\ pi} {2}) \) и \ (\ sin (- \ dfrac {\ pi} {2}) \).
5. \ (\ cos (2 \ pi) \) и \ (\ sin (2 \ pi) \).
6. \ (cos (- \ pi) \) и \ (\ sin (- \ pi) \).

Важное примечание: поскольку косинус и синус являются функциями дуги, длина которой является действительным числом t, вход t определяет выход косинуса и sin. В результате необходимо указать входное значение при работе с косинусом и синусом.Другими словами, мы ВСЕГДА пишем \ (\ cos (t) \), где \ (t \) — ввод действительного числа, и НИКОГДА не просто \ (\ cos \). Повторюсь, косинус и синус являются функциями, поэтому мы ДОЛЖНЫ указать вход для этих функций.

Ответ

1. \ [\ cos (\ dfrac {\ pi} {2}) = 0 \] \ [\ sin (\ dfrac {\ pi} {2}) = 1 \]
2. \ [\ cos (\ dfrac {3 \ pi} {2}) = 0 \] \ [\ sin (\ dfrac {3 \ pi} {2}) = -1 \]
3. \ [\ cos (0) = 1 \] \ [\ sin (0) = 1 \]
4. \ [\ cos (- \ dfrac {\ pi} {2}) = 0 \] \ [\ sin (- \ dfrac {\ pi} {2}) = -1 \]
5. \ [\ cos (2 \ pi) = 0 \] \ [\ sin (2 \ pi) = 1 \]
6. \ [\ cos (- \ pi) = -1 \] \ [\ sin (- \ pi) = 0 \]

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

В этом упражнении мы будем использовать апплет Geogebra, который называется Конечными точками дуг на единичной окружности.Веб-адрес этого апплета —

.

http://gvsu.edu/s/JY

Для этого апплета мы контролируем значение ввода \ (t \) с помощью ползунка для \ (t \). Значения \ (t \) варьируются от \ (- 20 \) до \ (20 \) с шагом \ (0,5 \). Для заданного значения \ (t \) рисуется дуга длиной \ (t \), и отображаются координаты конечной точки этой дуги. Используйте этот апплет, чтобы найти приблизительные значения для каждого из следующих параметров:

1. \ (\ cos (1) \) и \ (\ sin (1) \)
2. \ (\ cos (2) \) и \ (\ sin (2) \)
3. \ (\ cos (-4) \) и \ (\ sin (-4) \)
4. \ (\ cos (5.5) \) и \ (\ sin (5.5) \)
5. \ (\ cos (15) \) и \ (\ sin (15) \)
6. \ (\ cos (-15) \) и \ (\ sin (-15) \)

Ответ

1. \ [\ cos (1) \ приблизительно 0,5403, \ sin (1) \ приблизительно 0,8415 \]
2. \ [\ cos (2) \ приблизительно -0,4161, \ sin (2) \ приблизительно 0,9093 \]
3. \ [\ cos (-4) \ приблизительно -0,6536, \ sin (-4) \ приблизительно 0,7568 \]
4. \ [\ cos (5.5) \ приблизительно 0,7807, \ sin (5.5) \ приблизительно -0,7055 \]
5. \ [\ cos (15) \ приблизительно -0.7597, \ sin (15) \ приблизительно 0,6503 \]
6. \ [\ cos (-15) \ приблизительно -0,7597, \ sin (-15) \ приблизительно 0,6503 \]

Некоторые свойства функций косинуса и синуса

Функции косинуса и синуса называются круговыми функциями , потому что их значения определяются координатами точек на единичной окружности. Для каждого действительного числа \ (t \) существует соответствующая дуга, начинающаяся в точке \ ((1, 0) \) (направленной) длины \ (t \), лежащей на единичной окружности.Координаты конечной точки этой дуги определяют значения \ (\ cos (t \) и \ (\ sin (t \).

В предыдущих курсах математики мы узнали, что область определения функции — это набор всех входных данных, которые дают определенный выход. Мы также узнали, что диапазон функции — это набор всех возможных выходов функции.

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

1. Какова область определения функции косинуса? Почему?
2. Какова область синусоидальной функции? Почему?
3. Какую самую большую координату \ (x \) может иметь точка на единичной окружности? Какую наименьшую координату \ (x \) может иметь точка на единичной окружности? Что это говорит нам о диапазоне функции косинуса? Почему?
4. Какую самую большую координату \ (y \) может иметь точка на единичной окружности? Какую наименьшую координату \ (y \) может иметь точка на единичной окружности? Что это говорит нам о диапазоне синусоидальной функции? Почему?

Ответ

1. Поскольку мы можем обернуть любое число на единичный круг, мы всегда можем найти конечную точку дуги, которая соответствует любому числу.Таким образом, определен косинус любого действительного числа, а область определения функции косинуса — это набор всех действительных чисел.
2. По той же причине, что и для функции косинуса, область определения функции синуса — это набор всех действительных чисел.
3. На единичной окружности наибольшая координата x, которую может иметь точка, равна 1, а наименьшая координата x, которую может иметь точка, равна 1. Поскольку выходом функции косинуса является x-координата точки на единичной окружности, диапазон функции косинуса — отрезок \ ([- 1, 1] \).Это означает \ (- 1 \ leq \ cos (t) \ leq 1 \) для любого действительного числа \ (t \).
4. На единичной окружности наибольшая координата y, которую может иметь точка, равна 1, а наименьшая координата y, которую может иметь точка, равна 1. Поскольку выход синусоидальной функции является координатой y точки на единичной окружности, диапазон функции синуса — отрезок \ ([- 1, 1] \). Это означает \ (- 1 \ leq \ sin (t) \ leq 1 \) для любого действительного числа \ (t \).

Хотя мы, возможно, не сможем вычислить точные значения для многих входных данных для функций косинуса и синуса, мы можем использовать наши знания о системе координат и ее квадрантах, чтобы определить, являются ли определенные значения косинуса и синуса положительными или отрицательными.Идея состоит в том, что знаки координат точки \ (P (x, y) \), нанесенной на координатный план, определяются квадрантом, в котором находится точка (если только она не лежит на одной из осей). Рисунок \ (\ PageIndex {2} \) суммирует эти результаты для знаков значений функций косинуса и синуса. Левый столбец в таблице предназначен для местоположения конечной точки дуги, определяемой действительным числом \ (t \).

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): знаки функций косинуса и синуса

Квадрант	\ (\ cos (t) \)	\ (\ sin (t) \)
QI	положительный	положительный
QII	отрицательный	положительный
QIII	отрицательный	отрицательный
QIV	положительный	отрицательный

Теперь нам нужно определить, в каком квадранте находится конечная точка дуги, определяемой действительным числом t.Мы можем сделать это, еще раз используя тот факт, что длина окружности единичной окружности равна \ (2 \ pi \), и когда мы перемещаемся по единичной окружности из точки .1; 0 / в положительном направлении (против часовой стрелки) мы будем пересекать одну из координатных осей каждые четверть оборота. Например, если \ (0 0 \) и \ (\ sin (t)> 0 \).

Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)

1. Если \ (\ dfrac {\ pi} {2}
2. Если \ (\ pi
3. Если \ (\ dfrac {3 \ pi} {2}
4. Если \ (\ dfrac {5 \ pi} {2}
5. Для каких значений \ (t \) (между \ (0 \) и \ (2 \ pi \)) положительно \ (\ cos (t) \)? Почему?
6. Для каких значений \ (t \) (между \ (0 \) и \ (2 \ pi \)) положительно \ (\ sin (t) \)? Почему?
7. Для каких значений \ (t \) (между \ (0 \) и \ (2 \ pi \)) \ (\ cos (t) \) отрицательно? Почему?
8. Для каких значений \ (t \) (между \ (0 \) и \ (2 \ pi \)) \ (\ sin (t) \) отрицательно? Почему?

Ответ

1. Если \ (\ dfrac {\ pi} {2} 0 \).
2. Если \ (\ pi
3. Если \ (\ dfrac {3 \ pi} {2} 0 \) и \ (\ sin (t) <0 \).
4. Если \ (\ dfrac {5 \ pi} {2} 0 \) и \ (\ sin (t)> 0 \).
5. Обратите внимание, что \ (\ cos (t) = 0 \) в \ (t = \ dfrac {\ pi} {2} \) и \ (t = \ dfrac {3 \ pi} {2} \). Поскольку \ (\ cos (t) \) является координатой x конечной точки дуги \ (t \), предыдущий ответ показывает, что \ (\ cos (t) \) положительно, когда \ (t \) находится в одном из интервалов \ ([0, \ dfrac {\ pi} {2}) \) или \ ((\ dfrac {3 \ pi} {2}, 2 \ pi] \).
6. Обратите внимание, что \ (\ sin (t) = 0 \) при \ (t = 0 \) и \ (t = \ pi \). Поскольку \ (\ sin (t) \) является координатой x конечной точки дуги \ (t \), предыдущий ответ показывает, что \ (\ sin (t) \) положительно, когда \ (t \) находится в одном из интервалов \ ((0, \ pi) \).
7. Обратите внимание, что \ (\ cos (t) = 0 \) в \ (t = \ dfrac {\ pi} {2} \) и \ (t = \ dfrac {3 \ pi} {2} \). Поскольку \ (\ cos (t) \) является координатой x конечной точки дуги \ (t \), предыдущий ответ показывает, что \ (\ cos (t) \) положительно, когда \ (t \) находится в интервале \ ((\ dfrac {\ pi} {2}, \ dfrac {3 \ pi} {2}) \).
8. Обратите внимание, что \ (\ sin (t) = 0 \) при \ (t = \ pi \) и \ (t = 2 \ pi \). Поскольку \ (\ sin (t) \) является координатой x конечной точки дуги \ (t \), предыдущий ответ показывает, что \ (\ sin (t) \) положительно, когда \ (t \) находится в одном из интервалов \ ([0, \ dfrac {\ pi} {2}) \) или \ ((\ pi, 2 \ pi) \).

Упражнение \ (\ PageIndex {5} \)

Используйте результаты, представленные на рисунке \ (\ PageIndex {2} \), чтобы определить, являются ли следующие величины положительными, отрицательными или нулевыми. (Не используйте калькулятор.)

1. \ (\ cos (\ dfrac {\ pi} {5}) \)
2. \ (\ sin (\ dfrac {\ pi} {5}) \)
3. \ (\ cos (\ dfrac {5 \ pi} {8}) \)
4. \ (\ sin (\ dfrac {5 \ pi} {8}) \)
5. \ (\ cos (\ dfrac {-9 \ pi} {16}) \)
6. \ (\ sin (\ dfrac {-9 \ pi} {16}) \)
7. \ (\ cos (\ dfrac {-25 \ pi} {12}) \)
8. \ (\ sin (\ dfrac {-25 \ pi} {12}) \)

Ответ

1. Поскольку \ (0 <\ dfrac {\ pi} {5} <\ dfrac {\ pi} {2} \), конечная точка дуги \ (\ dfrac {\ pi} {5} \) находится в первый квадрант.Следовательно, \ (\ cos (\ dfrac {\ pi} {5}) \) положительно.
2. Используя информацию о \ (t \) в (1), \ (\ sin (\ dfrac {\ pi} {5}) \) положительно.
3. Мы можем записать \ (\ dfrac {\ pi} {2} \) как \ (\ dfrac {4 \ pi} {8} \) и \ (\ pi \) как \ (\ dfrac {8 \ pi} { 8} \), поэтому \ (\ dfrac {\ pi} {2} \ <\ dfrac {5 \ pi} {8} <\ pi \). Это поместит конечную точку дуги \ (\ dfrac {5 \ pi} {8} \) во второй квадрант. Следовательно, \ (\ cos (\ dfrac {5 \ pi} {8}) \) отрицательно.
4. Используя информацию о \ (t \) в (3), \ (\ sin (\ dfrac {5 \ pi} {8}) \) отрицательно.
5. Мы можем записать \ (- \ dfrac {\ pi} {2} \) как \ (\ dfrac {-8 \ pi} {16} \) и \ (- \ pi \) как \ (\ dfrac {-16 \ pi} {16} \), поэтому \ (- \ pi <\ dfrac {-9 \ pi} {16} <- \ dfrac {\ pi} {2} \). Это помещает конечную точку дуги \ (\ dfrac {-9 \ pi} {16} \) в третий квадрант. Следовательно, (\ cos (\ dfrac {-9 \ pi} {16}) \) отрицательно.
6. Используя информацию о \ (t \) в (5), (\ sin (\ dfrac {-9 \ pi} {16}) \) отрицательно. 2 = (a + b) (a — b) \]

   \ [a + b = b + a \]

   \ [x (y + z) = xy + xz \]

   , где подразумевается, что все переменные представляют собой действительные числа.2) \).

   Идентичность Пифагора позволяет нам определить значение \ (\ cos (t) \) или \ (\ sin (t) \), если мы знаем значение другого и квадрант, в котором конечная точка дуги \ (t \) ложь. Это проиллюстрировано в следующем примере.

   Пример \ (\ PageIndex {1} \)

   Предположим, что \ (\ cos (t) = \ dfrac {2} {5} \) и конечная точка дуги \ ((t) \) лежит в четвертом квадранте. 5 Используйте эту информацию, чтобы определить значение \ (\ грех (т) \).

   Решение

   Основным инструментом, который мы будем использовать, является пифагорейская идентичность, но имейте в виду, что конечной точкой дуги \ (t \) является точка \ ((\ cos (t), \ sin (t)) \).2 (t) = \ dfrac {21} {25} \]

   Это означает, что \ (\ sin (t) = \ pm \ sqrt {\ dfrac {21} {25}} \), и поскольку конечная точка дуги \ ((t) \) находится в четвертом квадранте, мы знайте, что \ (\ sin (t) <0 \). Следовательно, \ (\ sin (t) = - \ sqrt {\ dfrac {21} {25}} \). Поскольку \ (\ sqrt {25} = 5 \), мы можем написать

   \ [\ sin (t) = — \ sqrt {\ dfrac {21} {25}} = — \ dfrac {\ sqrt {21}} {5}. \]

   Упражнение \ (\ PageIndex {7} \)

   1. Если \ (\ cos (t) = \ dfrac {1} {2} \) и конечная точка дуги \ (t \) находится в четвертом квадранте, определите значение \ (\ sin (t) \).{2} (t) = \ dfrac {3} {4} \]

      \ [\ sin (t) = \ pm \ dfrac {\ sqrt {3}} {4} \]

      Обратите внимание, что мы не можем определить знак \ (\ sin (t) \), используя только пифагорейскую идентичность. Нам нужна дополнительная информация о дуге \ (t \). В этом случае нам дано, что конечная точка дуги \ (t \) находится в четвертом квадранте, и, следовательно, \ (\ sin (t) <0 \). Следовательно,

      \ [\ sin (t) = — \ sqrt {\ dfrac {3} {4}} = — \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} \]

      2. Поскольку \ (\ sin (t) = — \ dfrac {2} {3} \), мы можем использовать тождество Пифагора, чтобы получить

      \ [\ cos ^ {2} (t) + (- \ dfrac {2} {3}) ^ {2} = 1]

      \ [\ cos ^ {2} (t) + \ dfrac {4} {9} = 1 \]

      \ [\ cos ^ {2} (t) = \ dfrac {5} {9} \]

      \ [\ sin (t) = \ pm \ dfrac {\ sqrt {5}} {9} \]

      Еще раз, нам нужна информация о дуге \ (t \), чтобы определить знак \ (\ cos (t) \). 2 = 1 \) (с положительным направлением против часовой стрелки) с начальной точкой \ ((1, 0) \) и конечная точка \ ((x, y) \), тогда \ (\ cos (t) = x \) и \ (\ sin (t) = y \).

   • Знаки \ (\ cos (t) \) и \ (\ sin (t) \) определяются квадрантом, в котором лежит конечная точка дуги \ (t \).

   Квадрант	\ (\ cos (t) \)	\ (\ sin (t) \)
   QI	положительный	положительный
   QII	отрицательный	положительный
   QIII	отрицательный	отрицательный
   QIV	положительный	отрицательный

   • Одно из наиболее важных тождеств в тригонометрии, называемое тождеством Пифагора, выводится из уравнения для единичной окружности и гласит:

   Для каждого действительного числа \ (t \), \ [\ cos ^ 2 (t) + \ sin ^ 2 (t) = 1.\ nonumber \]

   Параметрическое уравнение циклоиды

   циклоидное параметрическое уравнение y (t) = 1 − cos (t). 2. 7. rq r O P C Q q T X | OX | = | OT | — | XT | rq rq r sinq r cosq r | PX | = | CT | — | CQ | = | OT | — | PQ | x (q) = rq — r sinq y (q) = r — r cosq Если радиус r = 1, то параметрические уравнения принимают следующий вид: x (q) = q-sinq, y (q) = 1-cosq Real- Мировой пример: шестеренчатая история циклоиды * * Циклоиду сначала изучал Николай Кузанский, а затем Мерсенн. Связанные формулы Как это часто бывает, свернутая циклоида определяется параметрическими уравнениями вида ˆ x (t) = at bsint y (t) = a bcost; 0 b, в то время как вытянутая циклоида определяется теми же параметрическими уравнениями (4) с a b, в результате получается короткая циклоида, изображенная фиолетовым цветом.Поскольку x2 (t) + y2 (t) = R2 sin2 (t) + R2 cos2 (t) = R2, мы знаем, что точка t = π / 4 всегда находится на окружности радиуса R с центром в начале координат. ∞ {\ displaystyle \ infty} Если циклоида имеет острие в начале координат, а горбы ориентированы вверх, ее параметрическое уравнение имеет следующий вид: (1) (2) Горбы завершаются со значениями, соответствующими последовательным кратным, и имеют высоту и длину. 2} = 1 a2x2 Циклоида, проходящая через начало координат, образованная окружностью радиуса r, состоит из точек (x, y), имеет параметрическое уравнение как действительный параметр, соответствующий углу, через который катится окружность повернулся, измеряется в радианах.Введите уравнения в редакторе Y =. Итак, приходим к выводу, что dy = dx = cos (10t) = (1 sin (10t)), которое, оцененное в 0, равно 1. Мы покажем, что время для падения из точки A в B на кривой, заданной параметрическими уравнениями x = a (θ — sin θ) и y = a (θ — cos θ) не зависит от начальной точки A. patreon. Этот круг имеет радиус 1, и, следовательно, мы должны получить площадь π. Кривая [R (i-sin (i)), R * cos (i) + R, i, 0, t] переместите ползунок t (или R, чтобы увидеть) Дэниел. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. Как это бывает, свернутая циклоида определяется параметрическими уравнениями вида ˆ x (t) = at bsint y (t) = a bcost; 0 b, а вытянутая циклоида определяется теми же параметрическими уравнениями (4) с a 0.Параметрическая кривая называется циклоидой. 5 _2. L = ∫ 2π 3 0 √81sin2 (3t) + 81cos2 (3t) dt = ∫ 2π 3 0 9 dt = 6π L = ∫ 0 2 π 3 81 sin 2 (3 t) + 81 cos 2 (3 t) dt = ∫ 0 2 π 3 9 dt = 6 π. Центр перемещается по оси x на постоянной высоте, равной радиусу колеса. Площадь поверхности объема вращения, вращающегося вокруг оси x, определяется выражением S = 2π∫b ay (t) √ (x ′ (t)) 2 + (y ′ (t)) 2dt. Математическая конструкция, заданная парой параметрических уравнений. Прокатка — это сочетание поступательного и вращательного движения.{-1} \ left (1- {\ frac {y} {r}} \ right) — {\ sqrt {y (2r-y)}}. Построение плоской кривой, представленной параметрическими уравнениями, включает построение точек в прямоугольной системе координат и соединение их гладкой кривой. Немного подумав, выясняется, что $ \ Delta x = — \ sin t $ и $ \ Delta y = — \ cos t $. Циклоида. Представьте себе круг, расположенный в начале координат, так что точка P в нижней части круга в настоящее время находится в точке 0,0. прямая линия. б) Найдите область под одной из его арок. Кривая, очерченная точкой P на окружности круга, катится по прямой линии, называется циклоидой.{3}}, \, \, 0 \ le t \ le 3. Уравнение свернутой циклоиды: Пусть будет расстояние точки от центра окружности, тогда параметрическое уравнение свернутой циклоиды выглядит следующим образом: x = r θ — h sin ⁡ θ. 2. Все мы знаем, что функция — это правило, которое назначает одно и только одно выходное значение (y) для любого допустимого входного значения. Получите подробный ответ: Нахождение прямоугольного уравнения. Найдите прямоугольное уравнение части циклоиды, заданной параметрическим параметром. уравнения, как показано на рисунке. 8 1 Использование узлов анимации с узлом выражения с уравнением, начинающимся с x (n + 1) = На панели ввода напишите параметрическое уравнение циклоиды.Итак, это наклон, который имеет смысл. в / 549367. Для части (а) кривая имеет противоположную ориентацию. Параметрическое уравнение циклоиды. Одним из вариантов циклоиды является эпициклоида, в которой колесо катится по фиксированной окружности. Определите длину циклоиды с R = 8 дюймов для 0 ≤ t ≤ 2 π и физического движения точки B. Таким образом, мы можем построить параметрические уравнения для такой кривой, просто изучив окружность. На рисунке прямая OB = дуга AB. Мы используем репараметризацию аффинной длины дуги для нормализации замкнутых кривых относительно аффинных преобразований, которые могут быть выражены следующим образом: вдоль прямой называется циклоидой.\,} Параметрические уравнения Не все кривые являются функциями. a) Нарисуйте циклоиду от t = 0 до t = 67. 5a, где k — расстояние PQ от центра катящегося круга до полюса. Пример 7. Параметрические уравнения для расчета положения точек на кривой циклоиде: x = aφ — b sin φ y = a — b cos φ. 4 — Циклоида Куртата — Параметрические уравнения. Как найти длину параметрической кривой? Это приведет к идее линейного интеграла. Google Classroom Facebook Twitter. циклоидное параметрическое уравнение

   Перестраиваемая спин-долинная связь в слоистых полярных дираковских металлах

   2. 1.

      Манчон А., Ку, Х. К., Нитта Дж., Фролов С. М. и Дуайн Р. А. Новые перспективы спин-орбитального взаимодействия Рашбы. Nat. Матер. 14 , 871 (2015).

      CAS
      Статья

      Google Scholar

   3. 2.

      Кога, Т., Нитта, Дж., Аказаки, Т., Такаянаги, Х. Рашба, спин-орбитальное взаимодействие, исследованное с помощью анализа слабой антилокализации в квантовых ямах InAlAs / InGaAs / InAlAs как функция квантовой ямы асимметрия. Phys. Rev. Lett. 89 , 046801 (2002).

      Артикул
      CAS

      Google Scholar

   4. 3.

      ЛаШелл, С., Макдугалл, Б. А. и Дженсен, Э. Спиновое расщепление полосы поверхностных состояний Au (111), наблюдаемое с помощью фотоэлектронной спектроскопии с угловым разрешением. Phys. Rev. Lett. 77 , 3419 (1996).

      CAS
      Статья

      Google Scholar

   5. 4.

      Hoesch, M. et al. Спиновая структура поверхностного состояния Шокли на Au (111). Phys. Ред. B 69 , 241401 (R) (2004).

      Артикул
      CAS

      Google Scholar

   6. 5.

      Ishizaka, K. et al. Гигантское спиновое расщепление типа Рашбы в объемном BiTeI. Nat. Матер. 10 , 521 (2011).

      CAS
      Статья

      Google Scholar

   7. 6.

      Либманн, М.и другие. Гигантское спиновое расщепление типа Рашбы в сегнетоэлектрике GeTe (111). Adv. Матер. 28 , 560 (2016).

      CAS
      Статья

      Google Scholar

   8. 7.

      Ideue, T. et al. Эффект объемного выпрямления в полярном полупроводнике. Nat. Phys. 13 , 578 (2017).

      CAS
      Статья

      Google Scholar

   9. 8.

      Lee, J. S. et al.Оптический отклик релятивистских электронов в полярном полупроводнике BiTeI. Phys. Rev. Lett. 107 , 117401 (2011).

      CAS
      Статья

      Google Scholar

   10. 9.

       Уилсон, Дж. А. и Йоффе, А. Д. Обсуждение дихалькогенидов переходных металлов и интерпретация наблюдаемых оптических, электрических и структурных свойств. Adv. Phys. 18 , 193 (1969).

       CAS
       Статья

       Google Scholar

   11. 10.

       Xu, X., Yao, W., Xiao, D. & Heinz, T. F. Спин и псевдоспины в слоистых дихалькогенидах переходных металлов. Nat. Phys. 10 , 343 (2014).

       CAS
       Статья

       Google Scholar

   12. 11.

       Lin, J. et al. Определение взаимодействия увеличило восприимчивость долины в MoS ₂ . Nano Lett. 19 , 1736–1742 (2019).

       CAS
       Статья

       Google Scholar

   13. 12.

       Лю, Г. Б., Шань, В. Ю., Яо, Ю., Яо, В. и Сяо, Д. Трехзонная модель сильной связи для монослоев дихалькогенидов переходных металлов VIB группы. Phys. Ред. B 88 , 085433 (2013).

       Артикул
       CAS

       Google Scholar

   14. 13.

       Xiao, D., Liu, G.-B., Feng, W., Xu, X. & Yao, W. Физика спина и долины в монослоях MoS ₂ и других дихалькогенидов группы VI . Phys. Ред.Lett. 108 , 196802 (2012).

       Артикул
       CAS

       Google Scholar

   15. 14.

       Wu, S. et al. Электрическая настройка магнитного момента впадины посредством контроля симметрии в двухслойном MoS ₂ . Nat. Phys. 9 , 149 (2013).

       CAS
       Статья

       Google Scholar

   16. 15.

       Цзэн, Х., Дай, Дж., Яо, В., Сяо, Д. и Цуй, X.Поляризация долины в монослоях MoS ₂ при оптической накачке. Nat. Нанотех. 7 , 490 (2012).

       CAS
       Статья

       Google Scholar

   17. 16.

       Cao, T. et al. Долиноселективный круговой дихроизм однослойного дисульфида молибдена. Nat. Commun. 3 , 887 (2012).

       Артикул
       CAS

       Google Scholar

   18. 17.

       Wakatsuki, R. et al. Невзаимный перенос заряда в нецентросимметричных сверхпроводниках. Sci. Adv. 3 , e1602390 (2017).

       Артикул
       CAS

       Google Scholar

   19. 18.

       Suzuki, R. et al. Долина-зависимая спиновая поляризация в объемном MoS ₂ с нарушенной инверсионной симметрией. Nat. Нанотех. 9 , 611 (2014).

       CAS
       Статья

       Google Scholar

   20. 19.

       Sakai, H. et al. Объемный квантовый эффект Холла фермионов Дирака, связанных спиновой долиной, в полярном антиферромагнетике BaMnSb ₂ . Phys. Ред. B 101 , 081104 (R) (2020).

       Артикул

       Google Scholar

   21. 20.

       Liu, J. Y. et al. Поверхностный хиральный металл в объемном полуцелом квантовом изоляторе Холла. Препринт на https: // arXiv: 1907.063181 (2020).

   22. 21.

       Park, J. et al. Анизотропные фермионы Дирака в двуквадратной сети SrMnBi ₂ . Phys. Rev. Lett. 107 , 126402 (2011).

       Артикул
       CAS

       Google Scholar

   23. 22.

       May, A. F. et al. Влияние магнетизма Eu на электронные свойства материала-кандидата Дирака EuMnBi ₂ . Phys. Ред. B 90 , 075109 (2014).

       CAS
       Статья

       Google Scholar

   24. 23.

       Wang, J. K. et al.Слоистый пниктид переходного металла SrMnBi ₂ с металлическим блокирующим слоем. Phys. Ред. B 84 , 064428 (2011).

       Артикул
       CAS

       Google Scholar

   25. 24.

       Masuda, H. et al. Квантовый эффект Холла в объемном антиферромагнетике EuMnBi ₂ с магнитоограниченными двумерными фермионами Дирака. Sci. Adv. 2 , e1501117 (2016).

       Артикул

       Google Scholar

   26. 25.

       Кондо, М., Сакаи, Х., Комада, М., Муракава, Х. и Ханасаки, Н. Угловая зависимость межслойного магнитосопротивления для антиферромагнитного полуметалла Дирака A MnBi ₂ ( A = Sr, Eu) . JPS Conf. Proc. 30 , 011016 (2020).

       Google Scholar

   27. 26.

       Liu, J. et al. Почти безмассовые фермионы Дирака, размещенные в квадратной сети Sb в BaMnSb ₂ . Sci. Отчетность 6 , 30525 (2015).

       Артикул
       CAS

       Google Scholar

   28. 27.

       Хуанг, С., Ким, Дж., Шелтон, В. А., Пламмер, Э. У. и Джин, Р. Нетривиальная фаза Берри в магнитном полуметалле BaMnSb ₂ . Proc. Natl Acad. Sci. США 114 , 6256 (2017).

       CAS
       Статья

       Google Scholar

   29. 28.

       Guo, Y. F. et al. Связь магнитного порядка с планарными электронами Bi в анизотропных дираковских металлах A MnBi ₂ ( A = Sr, Ca). Phys. Ред. B 90 , 075120 (2014).

       CAS
       Статья

       Google Scholar

   30. 29.

       Masuda, H. et al. Индуцированная полем переориентация спина в антиферромагнитном дираковском материале EuMnBi ₂ , обнаруженная методами нейтронной и резонансной дифракции рентгеновских лучей. Phys. Ред. B 101 , 174411 (2020).

       CAS
       Статья

       Google Scholar

   31. 30.

       Zhu, F. et al. Магнитные структуры, спин-флоп переход и взаимодействие магнетизма Eu и Mn в дираковском полуметалле EuMnBi ₂ . Phys. Rev. Research 2 , 043100 (2020).

   32. 31.

       Li, L. et al. Электронно-дырочная асимметрия, фермионы Дирака и квантовое магнитосопротивление в BaMnBi ₂ . Phys. Ред. B 93 , 115141 (2016).

       Артикул
       CAS

       Google Scholar

   33. 32.

       Юань, Х. и др. Спиновое расщепление зеемановского типа, управляемое электрическим полем. Nat. Phys. 9 , 563 (2013).

       CAS
       Статья

       Google Scholar

   34. 33.

       Ли, Г., Фархан, М. А., Ким, Дж. С. и Шим, Дж. Х. Анизотропная электронная структура Дирака A, MnBi, ₂ ( A, = Sr, Ca). Phys. Ред. B 87 , 245104 (2013).

       Артикул
       CAS

       Google Scholar

   35. 34.

       Feng, Y. et al. Сильная анизотропия конусов Дирака в SrMnBi ₂ и CaMnBi ₂ , обнаруженная с помощью фотоэмиссионной спектроскопии с угловым разрешением. Sci. Отчетность 4 , 5385 (2014).

       CAS
       Статья

       Google Scholar

   36. 35.

       Борисенко С. и др. Состояние Вейля типа II с нарушением симметрии относительно обращения времени в YbMnBi ₂ . Nat. Comm. 10 , 3424 (2019).

       Артикул
       CAS

       Google Scholar

   37. 36.

       Лукьянчук И. А., Копелевич Ю. Дирак и нормальные фермионы в графите и графене: последствия квантового эффекта Холла. Phys. Rev. Lett. 97 , 256801 (2006).

       Артикул
       CAS

       Google Scholar

   38. 37.

       Шенберг, Д. Магнитные колебания в металлах (Cambridge University Press, 1984)

   39. 38.

       Андо Ю. Материалы топологических изоляторов. J. Phys.Soc. Jpn. 82 , 102001 (2013).

       Артикул
       CAS

       Google Scholar

   40. 39.

       Yu, J. & Liu, C. Пьезоэлектричество и топологические квантовые фазовые переходы в двумерных спин-орбитальных связанных кристаллах с симметрией обращения времени. Nat. Commun. 11 , 2290 (2020).

       CAS
       Статья

       Google Scholar

   41. 40.

       Шелдрик, Г.М. Краткая история SHELX . Acta Crystallogr. А 64 , 112 (2008).

       CAS
       Статья

       Google Scholar

   42. 41.

       Шелдрик, Г. М. Уточнение кристаллической структуры с помощью SHELXL . Acta Crystallogr. С 71 , 3 (2015).

       Артикул
       CAS

       Google Scholar

   43. 42.

       Флэк, Х. Д. Об оценке полярности энантиоморфов. Acta Crystallogr. А 39 , 876 (1983).

       Артикул

       Google Scholar

   44. 43.

       Парсонс, С., Флэк, Х. Д. и Вагнер, Т. Использование коэффициентов интенсивности и различий в абсолютном уточнении структуры. Acta Crystallogr. В 69 , 249 (2013).

       CAS
       Статья

       Google Scholar

   45. 44.

       Becher, C. et al. Деформационная связь электрической поляризации и структурных дефектов в пленках SrMnO ₃ . Nat. Нанотех. 10 , 661–666 (2015).

       CAS
       Статья

       Google Scholar

   46. 45.

       Мацубара М., Шмель А., Маннхарт Дж., Шлом Д. Г. и Фибиг М. Большой нелинейный магнитооптический эффект в центросимметричном ферромагнитном полупроводнике EuO. Phys. Ред. B 81 , 214447 (2010).

       Артикул
       CAS

       Google Scholar

   47. 46.

       Пердью, Дж. П., Берк, К. и Эрнцерхоф, М. Обобщенное приближение градиента стало проще. Phys. Rev. Lett. 77 , 3865 (1996).

       CAS
       Статья

       Google Scholar

   48. 47.

       Кресс, Г. и Жубер, Д. От сверхмягких псевдопотенциалов к методу расширенных волн проектора. Phys. Ред. B 59 , 1758 (1999).

       CAS
       Статья

       Google Scholar

   49. 48.

       Кресс, Г. и Хафнер, Дж. Ab initio Молекулярная динамика жидких металлов. Phys. Ред. B 47 , 558 (R) (1993).

       Артикул

       Google Scholar

   50. 49.

       Крессе, Г. и Хафнер, Дж. Аб initio молекулярно-динамическое моделирование перехода жидкий металл-аморфный полупроводник в германии. Phys. Ред. B 49 , 14251 (1994).

       CAS
       Статья

       Google Scholar

   51. 50.

       Крессе, Г. и Фуртмюллер, Дж. Эффективность неэмпирических расчетов полной энергии металлов и полупроводников с использованием базисного набора плоских волн. Comput. Матер. Sci. 6 , 15 (1996).

       CAS
       Статья

       Google Scholar

   52. 51.

       Крессе, Г. и Фуртмюллер, Дж. Эффективные итерационные схемы для ab initio расчетов полной энергии с использованием базисного набора плоских волн. Phys. Ред. B 54 , 11169 (1996).

       CAS
       Статья

       Google Scholar

   53. 52.

       Марзари, Н. и Вандербильт, Д. Максимально локализованные обобщенные функции Ванье для составных энергетических зон. Phys. Ред. B 56 , 12847 (1997).

       CAS
       Статья

       Google Scholar

   54. 53.

       Соуза, И., Марзари, Н. и Вандербильт, Д. Максимально локализованные функции Ванье для запутанных энергетических зон. Phys. Ред. B 65 , 035109 (2001).

       Артикул
       CAS

       Google Scholar

   55. 54.

       Mostofi, A.A. et al. wannier90: инструмент для получения максимально локализованных функций Ванье. Comput. Phys. Commun. 178 , 685 (2008).