3-2x+1 приведёт выражение к (x – 1)(x² +x +1).

Оператор expand раскроет скобки и разложит выражение, например expand (x – 1)(x2+x+1) приведёт выражение к x³ -2x +1.

Оператор partial fractions разложит отношение многочленов в сумму простейших дробей.

minimize минимизирует функцию, а maximize максимизирует

Число «Пи» записывается, как pi

Тригонометрические функции: sin, cos, tan, ctan, arcsin, arccos, arctan, arcctan

Команда series раскладывает функцию в ряд, например: taylor series sinx at x=0 даст нам разложение функции sin(x) в ряд Тейлора в точке x=0

Производные и интегралы

Чтобы найти предел, необходимо в начале функции подставить lim, а после записать саму функцию, в конце указать к чему стремится предел: as-> далее число (бесконечность записывается infinity). 8

Оператор factor раскладывает число на множители

! выводит факториал, например 123!

Оператор gcd выводит наибольший общий делитель, например gcd 164, 88 выводит наибольший общий делитель чисел 164 и 88

Уравнения в целых числах (диофантовы уравнения) / math5school.ru

Немного теории

Уравнения в целых числах – это алгебраические уравнения с двумя или более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями

такого уравнения являются все целочисленные (иногда натуральные или рациональные) наборы значений неизвестных переменных, удовлетворяющих этому

уравнению. Такие уравнения ещё называют диофантовыми, в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который исследовал некоторые типы таких уравнений ещё до нашей эры.

Современной постановкой диофантовых задач мы обязаны французскому математику Ферма.

Именно он поставил перед европейскими математиками вопрос о решении неопределённых уравнений только в целых числах. Наиболее известное уравнение в

целых числах – великая теорема Ферма: уравнение

xⁿ + yⁿ = zⁿ

не имеет ненулевых рациональных решений для всех натуральных n > 2.

Теоретический интерес к уравнениям в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел.

В 1970 году ленинградский математик Юрий Владимирович Матиясевич доказал, что общего способа, позволяющего за конечное число шагов решать в целых

числах произвольные диофантовы уравнения, не существует и быть не может. Поэтому следует для разных типов уравнений выбирать собственные методы

решения.

При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы:

• способ перебора вариантов;

• применение алгоритма Евклида;

• представление чисел в виде непрерывных (цепных) дробей;

• разложения на множители;

• решение уравнений в целых числах как квадратных (или иных) относительно какой-либо переменной;

• метод остатков;

• метод бесконечного спуска.

Задачи с решениями

1. Решить в целых числах уравнение x² – xy – 2y² = 7.

Решение

Запишем уравнение в виде (x – 2y)(x + y) = 7.

Так как х, у – целые числа, то находим решения исходного уравнения, как решения следующих четырёх систем:

1) x – 2y = 7, x + y = 1;

2) x – 2y = 1, x + y = 7;

3) x – 2y = –7, x + y = –1;

4) x – 2y = –1, x + y = –7.

Решив эти системы, получаем решения уравнения: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) и (–5; –2).

Ответ: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2).

2. Решить в целых числах уравнение:

а) 20х + 12у = 2013;

б) 5х + 7у = 19;

в) 201х – 1999у = 12.

Решение

а) Поскольку при любых целых значениях х и у левая часть уравнения делится на два, а правая является нечётным числом, то уравнение не имеет решений в

целых числах.

Ответ: решений нет.

б) Подберём сначала некоторое конкретное решение. В данном случае, это просто, например,

x₀ = 1, y₀ = 2.

Тогда

5x₀ + 7y₀ = 19,

откуда

5(х – x₀) + 7(у – y₀) = 0,

5(х – x₀) = –7(у – y₀).

Поскольку числа 5 и 7 взаимно простые, то

х – x₀ = 7k, у – y₀ = –5k.

Значит, общее решение:

х = 1 + 7k, у = 2 – 5k,

где k – произвольное целое число.

Ответ: (1+7k; 2–5k), где k – целое число.

в) Найти некоторое конкретное решение подбором в данном случае достаточно сложно. Воспользуемся алгоритмом Евклида для чисел 1999 и 201:

НОД(1999, 201) = НОД(201, 190) = НОД(190, 11) = НОД(11, 3) = НОД(3 , 2) = НОД(2, 1) = 1.

Запишем этот процесс в обратном порядке:

1 = 2 – 1 = 2 – (3 – 2) = 2·2 – 3 = 2· (11 – 3·3) – 3 = 2·11 – 7·3 = 2·11 – 7(190 – 11·17) =

= 121·11 – 7·190 = 121(201 – 190) – 7·190 = 121·201 – 128·190 =

= 121·201 – 128(1999 – 9·201) = 1273·201 – 128·1999.

Значит, пара (1273, 128) является решением уравнения 201х – 1999у = 1. Тогда пара чисел

x₀ = 1273·12 = 15276, y₀ = 128·12 = 1536

является решением уравнения 201х – 1999у = 12.

Общее решение этого уравнения запишется в виде

х = 15276 + 1999k, у = 1536 + 201k, где k – целое число,

или, после переобозначения (используем, что 15276 = 1283 + 7·1999, 1536 = 129 + 7·201),

х = 1283 + 1999n, у = 129 + 201n, где n – целое число.

Ответ: (1283+1999n, 129+201n), где n – целое число.

3. Решить в целых числах уравнение:

а) x³ + y³ = 3333333;

б) x³ + y³ = 4(x²y + xy² + 1).

Решение

а) Так как x³ и y³ при делении на 9 могут давать только остатки 0, 1 и 8 (смотрите таблицу в разделе «Делимость целых чисел и остатки»), то x³ + y³

может давать только остатки 0, 1, 2, 7 и 8. Но число 3333333 при делении на 9 даёт остаток 3. Поэтому исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

б) Перепишем исходное уравнение в виде (x + y)³ = 7(x²y + xy²) + 4. Так как кубы целых чисел при делении на 7

дают остатки 0, 1 и 6, но не 4, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

4. Решить

а) в простых числах уравнение х² – 7х – 144 = у² – 25у;

б) в целых числах уравнение x + y = x² – xy + y².

Решение

а) Решим данное уравнение как квадратное относительно переменной у. Получим

у = х + 9 или у = 16 – х.

Поскольку при нечётном х число х + 9 является чётным, то единственной парой простых чисел, которая удовлетворяет первому равенству, является (2; 11).

Так как х, у – простые, то из равенства у = 16 – х имеем

2 х 16, 2 у 16.

С помощью перебора вариантов находим остальные решения: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

Ответ: (2; 11), (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

б) Рассмотрим данное уравнение как квадратное уравнение относительно x:

x² – (y + 1)x + y² – y = 0. 

Дискриминант этого уравнения равен –3y² + 6y + 1. Он положителен лишь для следующих значений у: 0, 1, 2. Для каждого из этих значений из

исходного уравнения получаем квадратное уравнение относительно х, которое легко решается.

Ответ: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2).

5. Существует ли бесконечное число троек целых чисел x, y, z таких, что x² + y² + z² = x³ +

y³ + z³ ?

Решение

Попробуем подбирать такие тройки, где у = –z. Тогда y³ и z³ будут всегда взаимно уничтожаться, и наше уравнение будет иметь

вид

x² + 2y² = x³

или, иначе,

x²(x–1) = 2y².

Чтобы пара целых чисел (x; y) удовлетворяла этому условию, достаточно, чтобы число x–1 было удвоенным квадратом целого числа. Таких чисел бесконечно

много, а именно, это все числа вида 2n²+1. Подставляя в x²(x–1) = 2y² такое число, после несложных преобразований

получаем:

y = xn = n(2n²+1) = 2n³+n.

Все тройки, полученные таким образом, имеют вид (2n²+1; 2n³+n; –2n³– n).

Ответ: существует.

6. Найдите такие целые числа x, y, z, u, что x² + y² + z² + u² = 2xyzu.

Решение

Число x² + y² + z² + u² чётно, поэтому среди чисел x, y, z, u чётное число нечётных чисел.

Если все четыре числа x, y, z, u нечётны, то x² + y² + z² + u² делится на 4, но при этом 2xyzu не делится

на 4 – несоответствие.

Если ровно два из чисел x, y, z, u нечётны, то x² + y² + z² + u² не делится на 4, а 2xyzu делится на 4 –

опять несоответствие.

Поэтому все числа x, y, z, u чётны. Тогда можно записать, что

x = 2x₁, y = 2y₁, z = 2z₁, u = 2u₁,

и исходное уравнение примет вид

x₁² + y₁² + z₁² + u₁² =

8x₁y₁z₁u₁.

Теперь заметим, что (2k + 1)² = 4k(k + 1) + 1 при делении на 8 даёт остаток 1. Поэтому если все числа x₁, y₁,

z₁, u₁ нечётны, то x₁² + y₁² + z₁² +

u₁² не делится на 8. А если ровно два из этих чисел нечётно, то x₁² + y₁² +

z₁² + u₁² не делится даже на 4. Значит,

x₁ = 2x₂, y₁ = 2y₂, z₁ = 2z₂, u₁ =

2u₂,

и мы получаем уравнение

x₂² + y₂² + z₂² + u₂² =

32x₂y₂z₂u₂.

Снова повторив те же самые рассуждения, получим, что x, y, z, u делятся на 2ⁿ при всех натуральных n, что возможно лишь при x = y = z = u = 0.

Ответ: (0; 0; 0; 0).

7. Докажите, что уравнение

(х – у)³ + (y – z)³ + (z – x)³ = 30

не имеет решений в целых числах.

Решение

Воспользуемся следующим тождеством:

(х – у)³ + (y – z)³ + (z – x)³ = 3(х – у)(y – z)(z – x).

Тогда исходное уравнение можно записать в виде

(х – у)(y – z)(z – x) = 10.

Обозначим a = x – y, b = y – z, c = z – x и запишем полученное равенство в виде

abc = 10.

Кроме того очевидно, a + b + c = 0. Легко убедиться, что с точностью до перестановки из равенства abc = 10 следует, что числа |a|, |b|, |c| равны либо 1, 2, 5,

либо 1, 1, 10. Но во всех этих случаях при любом выборе знаков a, b, c сумма a + b + c отлична от нуля. Таким образом, исходное уравнение не имеет решений в

целых числах.

8. Решить в целых числах уравнение 1! + 2! + . . . + х! = у².

Решение

Очевидно, что

если х = 1, то у² = 1,

если х = 3, то у² = 9.

Этим случаям соответствуют следующие пары чисел:

х₁ = 1, у₁ = 1;

х₂ = 1, у₂ = –1;

х₃ = 3, у₃ = 3;

х₄ = 3, у₄ = –3.

Заметим, что при х = 2 имеем 1! + 2! = 3, при х = 4 имеем 1! + 2! + 3! + 4! = 33 и ни 3, ни 33 не являются квадратами целых чисел. Если же х > 5, то, так как

5! + 6! + . . . + х! = 10n,

можем записать, что

1! + 2! + 3! + 4! + 5! + . . . + х! = 33 + 10n.

Так как 33 + 10n – число, оканчивающееся цифрой 3, то оно не является квадратом целого числа.

Ответ: (1; 1), (1; –1), (3; 3), (3; –3).

9. Решите следующую систему уравнений в натуральных числах:

a³ – b³ – c³ = 3abc,  a² = 2(b + c).

Решение

Так как

3abc > 0, то a³ > b³ + c³;

таким образом имеем

b

Складывая эти неравенства, получим, что

b + c

С учётом последнего неравенства, из второго уравнения системы получаем, что

a²

Но второе уравнение системы также показывает, что а – чётное число. Таким образом, а = 2, b = c = 1.

Ответ: (2; 1; 1)

10. Найти все пары целых чисел х и у, удовлетворяющих уравнению х² + х = у⁴ + у³ + у² + у.

Решение

Разложив на множители обе части данного уравнения, получим:

х(х + 1) = у(у + 1)(у² + 1),

или

х(х + 1) = (у² + у)(у² + 1)

Такое равенство возможно, если левая и правая части равны нулю, или представляют собой произведение двух последовательных целых чисел. Поэтому,

приравнивая к нулю те или иные множители, получим 4 пары искомых значений переменных:

х₁ = 0, у₁ = 0;

х₂ = 0, у₂ = –1;

х₃ = –1, у₃ = 0;

х₄ = –1, у₄ = –1.

Произведение (у² + у)(у² + 1) можно рассматривать как произведение двух последовательных целых чисел, отличных от нуля,

только при у = 2. Поэтому х(х + 1) = 30, откуда х₅ = 5, х₆ = –6. Значит, существуют ещё две пары целых чисел, удовлетворяющих

исходному уравнению:

х₅ = 5, у₅ = 2;

х₆ = –6, у₆ = 2.

Ответ: (0; 0), (0; –1), (–1; 0), (–1; –1), (5; 2), (–6; 2.)

Задачи без решений

1. Решить в целых числах уравнение:

а) ху = х + у + 3;

б) х² + у² = х + у + 2.

2. Решить в целых числах уравнение:

а) х³ + 21у² + 5 = 0;

б) 15х² – 7у² = 9.

3. Решить в натуральных числах уравнение:

а) 2^х + 1 = у²;

б) 3·2^х + 1 = у².

4. Доказать, что уравнение х³ + 3у³ + 9z³ = 9xyz в рациональных числах имеет единственное решение

x = y = z = 0.

5. Доказать, что уравнение х² + 5 = у³ в целых числах не имеет решений.

3.Уравнения-следствия и равносильные преобразования уравнений

Объяснение и обоснование

1.  Понятие уравнения и его корней. Уравнение в математике чаще всего по­нимают как аналитическую запись задачи о нахождении значений аргумен­та, при которых значения двух данных функций равны. Поэтому в общем виде уравнения с одной переменной x записывают так: f (x) = g (x).

Часто уравнения определяют короче — как равенство с переменной.

Напомним, что корнем (или решением) уравнения с одной переменной называется значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство. Решить уравнение — значит найти все его корни (и обосновать, что других корней нет) или доказать, что корней нет.

Например, уравнение 2x = —1 имеет единственный корень x = -1, а урав­нение | x | = —1 не имеет корней, поскольку значение | x | не может быть от­рицательным числом.

2.  Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Если задано уравнение f (x) = g (x), то общая область определения для функций f (x) и g (x) назы­вается областью допустимых значений этого уравнения. (Иногда исполь­зуются также термины «область определения уравнения» или «множество допустимых значений уравнения». ) Например, для уравнения х² = х обла­стью допустимых значений являются все действительные числа. Это можно записать, например, так. ОДЗ: R, поскольку функции f (x) = x² и g (x) = x имеют области определения R.

Понятно, что каждый корень данного уравнения принадлежит как об­ласти определения функции f (x), так и области определения функции g (x) (иначе мы не сможем получить верное числовое равенство). Поэтому каж­дый корень уравнения обязательно принадлежит ОДЗ этого уравнения. Это позволяет в некоторых случаях применить анализ ОДЗ уравнения при его решении.

Например, в уравнении л/x — 2 + \/1 — x = x функция g (x) = x определена при всех действительных значениях x, а функция f (x) = л/x — 2 + VT — x ко при условии, что под знаком квадратного корня будут стоять неотрица­тельные выражения. Следовательно, ОДЗ этого уравнения задается систе-

lx — 210,                                                                             lx 12,

мой -!                        из которой получаем систему -!                        не имеющую решений.

[1 — x 10,                                                                          [x < 1,

Таким образом, ОДЗ данного уравнения не содержит ни одного числа, и по­этому это уравнение не имеет корней.

Нахождение ОДЗ данного уравнения может быть полезным для его ре­шения, но не всегда является обязательным элементом решения уравнения.

3.  Методы решения уравнений. Для решения уравнений используют методы точного и приближенного решений. А именно, для точного решения урав­нений в курсе математики 5—6 классов использовались зависимости меж­ду компонентами и результатами действий и свойства числовых равенств;

Калькулятор уравнений, интегралов, производных, пределов и пр.

Онлайн-калькулятор позволяет решать математические выражения любой сложности с выводом подробного результата решения по шагам. Также универсальный калькулятор умеет решать уравнения, неравенства, системы уравнений/неравенств и выражения с логарифмами, вычислять пределы функций, определенные/неопределенные интегралы и производные любого порядка (дифференцирование), производить действия с комплексными числами, калькулятор дробей и пр.

Пояснения к калькулятору

1. Для решения математического выражения необходимо набрать его в поле ввода с помощью предложенной виртуальной клавиатуры и нажать кнопку ↵.
2. Управлять курсором можно кликами в нужное местоположение в поле ввода или с помощью клавиш со стрелками ← и →.
3. ⌫ — удалить в поле ввода символ слева от курсора.
4. C — очистить поле ввода.
5. При использовании скобок ( ) в выражении в целях упрощения может производится автоматическое закрытие, ранее открытых скобок.
6. Для того чтобы ввести смешанное число или дробь необходимо нажать кнопку ½, ввести сначала значение числителя, затем нажать кнопку со стрелкой вправо → и внести значение знаменателя дроби. Для ввода целой части смешанного числа необходимо установить курсор перед дробью с помощью клавиши ← и ввести число.
7. Ввод числа в n-ой степени и квадратного корня прозводится кнопками a^b и √ соответственно. 2}(решить неравенство)

   Решение систем уравнений и неравенств

   Системы уравнений и неравенств также решаются с помощью онлайн калькулятора. Чтобы задать систему необходимо ввести уравнения/неравенства, разделяя их точкой с запятой с помощью кнопки ;.

   Вычисление выражений с логарифмами

   В калькуляторе кнопкой log_e(x) возможно задать натуральный логарифм, т.е логарифм с основанием «e»: log_e(x) — это ln(x). Для того чтобы ввести логарифм с другим основанием нужно преобразовать логарифм по следующей формуле: $$\log_a \left(b\right) = \frac{\log \left(b\right)}{\log \left(a\right)}$$ Например, $$\log_{3} \left(5x-1\right) = \frac{\log \left(5x-1\right)}{\log \left(3\right)}$$

   $$\log _2\left(x\right)=2\log _x\left(2\right)-1$$ преобразуем в $$\frac{\log \left(x\right)}{\log \left(2\right)}=2\cdot \frac{\log \left(2\right)}{\log \left(x\right)}-1$$ (найти x в уравнении)

   Вычисление пределов функций

   Предел функции задается последовательным нажатием групповой кнопки f(x) и функциональной кнопки lim.

   Решение интегралов

   Онлайн калькулятор предоставляет инструменты для интегрирования функций. Вычисления производятся как с неопределенными, так и с определенными интегралами. Ввод интегралов в поле калькулятора осуществляется вызовом групповой кнопки f(x) и далее:
   ∫ f(x) — для неопределенного интеграла;
   ^b_a∫ f(x) — для определенного интеграла.

   В определенном интеграле кроме самой функции необходимо задать нижний и верхний пределы.

   Вычисление производных

   Математический калькулятор может дифференцировать функции (нахождение производной) произвольного порядка в точке «x». Ввод производной в поле калькулятора осуществляется вызовом групповой кнопки f(x) и далее:
   f'(x) — производная первого порядка;
   f»(x) — производная второго порядка;
   f»'(x) — производная третьего порядка.
   fⁿ(x) — производная любого n-о порядка.

   Действия над комплексными числами

   Онлайн калькулятор имеет функционал для работы с комплексными числами (операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и пр. ). Комплексное число обзначается символом «i» и вводится с помощью групповой кнопки xyz и кнопки i

   .

   ---

   Решение уравнений четвертой степени

   Для уравнений четвертой степени применимы все те общие схемы решения уравнений высших степеней, что мы разбирали в предыдущем материале. Однако существует ряд нюансов в решении двучленных, биквадратных и возвратных уравнений, на которых мы хотели бы остановиться подробнее.

   Также в статье мы разберем искусственный метод разложения многочлена на множители, решение в радикалах и метод Феррари, который используется для того, чтобы свести решение уравнения четвертой степени к кубическому уравнению.

   Решение двучленного уравнения четвертой степени

   Это простейший тип уравнений четвертой степени. Запись уравнения имеет вид Ax4+B=0.

   Определение 1

   Для решения этого типа уравнений применяются формулы сокращенного умножения:

   Ax4+B=0x4+BA=0x4+2BAx2+BA-2BAx2=0x2+BA2-2BAx2=0x2-2BA4x+BAx2+2BA4x+BA=0

   Остается лишь найти корни квадратных трехчленов.

   Пример 1

   Решить уравнение четвертой степени 4×4+1=0.

   Решение

   Для начала проведем разложение многочлена 4×4+1 на множители:

   4×4+1=4×4+4×2+1=(2×2+1)2-4×2=2×2-2x+1(2×2+2x+1)

   Теперь найдем корни квадратных трехчленов.

   Первого:

   2×2-2x+1=0D=(-2)2-4·2·1=-4×1=2+D2·2=12+ix2=2-D2·2=12-i

   Второго:

   2×2+2x+1=0D=22-4·2·1=-4×3=-2+D2·2=-12+ix4=-2-D2·2=-12-i

   Мы получили четыре комплексных корня.

   Ответ: x=12±i и x=-12±i.

   Решение возвратного уравнения четвертой степени

   Определение 2

   Возвратные уравнения четвертого порядка имеют вид Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A=0

   х=0 не является корнем этого уравнения: A·04+B·03+C·02+B·0+A=A≠0. Поэтому на x2 можно смело разделить обе части этого уравнения:

   Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A=0Ax2+Bx+C+Bx+Ax2=0Ax2+Ax2+Bx+Bx+C=0Ax2+1×2+Bx+1x+C=0

   Проведем замену переменных x+1x=y⇒x+1×2=y2⇒x2+1×2=y2-2:

   Ax2+1×2+Bx+1x+C=0A(y2-2)+By+C=0Ay2+By+C-2A=0

   Так мы проведи сведение возвратного уравнения четвертой степени к квадратному уравнению.

   Пример 2

   Найти все комплексные корни уравнения 2×4+23+2×3+4+6×2+23+2x+2=0.

   Решение

   Симметрия коэффициентов подсказывает нам, что мы имеем дело с возвратным уравнением четвертой степени. Проведем деление обеих частей на x2:

   2×2+23+2x+4+6+23+2x+2×2=0

   Проведем группировку:

   2×2+2×2+23+2x+23+2x+4+6+=02×2+1×2+23+2x+1x+4+6=0

   Проведем замену переменной x+1x=y⇒x+1×2=y2⇒x2+1×2=y2-2

   2×2+1×2+23+2x+1x+4+6=02y2-2+23+2y+4+6=02y2+23+2y+6=0

   Решим полученное квадратное уравнение:

   D=23+22-4·2·6=12+46+2-86==12-46+2=23-22y1=-23-2+D2·2=-23-2+23-24=-22y2=-23-2-D2·2=-23-2-23+24=-3

   Вернемся к замене: x+1x=-22, x+1x=-3.

   Решим первое уравнение:

   x+1x=-22⇒2×2+2x+2=0D=22-4·2·2=-14×1=-2-D2·2=-24+i·144×2=-2-D2·2=-24-i·144

   Решим второе уравнение:

   x+1x=-3⇒x2+3x+1=0D=32-4·1·1=-1×3=-3+D2=-32+i·12×4=-3-D2=-32-i·12

   Ответ: x=-24±i·144 и x=-32±i·12.

   Решение биквадратного уравнения

   Биквадратные уравнения четвертой степени имеют вид Ax4+Bx2+C=0. Мы можем свести такое уравнение к квадратному Ay2+By+C=0 путем замены y=x2. Это стандартный прием.

   Пример 3

   Решить биквадратное уравнение 2×4+5×2-3=0.

   Решение

   Выполним замену переменной y=x2, что позволит нам свести исходное уравнение к квадратному:

   2y2+5y-3=0D=52-4·2·(-3)=49y1=-5+D2·2=-5+74=12y2=-5-D2·2=-5-74=-3

   Следовательно, x2=12 или x2=-3.

   Первое равенство позволяет нам получить корень x=±12. Второе равенство не имеет действительных корней, зато имеет комплексно сопряженных корней x=±i·3.

   Ответ: x=±12 и x=±i·3.

   Нужна помощь преподавателя?

   Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

   Описать задание

   Пример 4

   Найти все комплексные корни биквадратного уравнения 16×4+145×2+9=0.

   Решение

   Используем метод замены y=x2 для того, чтобы свести исходное биквадратное уравнение к квадратному:

   16y2+145y+9=0D=1452-4·16·9=20449y1=-145+D2·16=-145+14332=-116y2=-145-D2·16=-145-14332=-9

   Поэтому, в силу замены переменной, x2=-116 или x2=-9.

   Ответ: x1, 2=±14·i, x3, 4=±3·i.

   Решение уравнений четвертой степени с рациональными корнями

   Алгоритм нахождения рациональных корней уравнения четвертой степени приведен в материале «Решение уравнений высших степеней».

   Решение уравнений четвертой степени по методу Феррари

   Уравнения четвертой степени вида x4+Ax3+Bx2+Cx+D=0 в общем случае можно решить с применением метода Феррари. Для этого необходимо найти y0. Это любой из корней кубического уравнения y3-By2+AC-4Dy-A2D+4BD-C2=0. После этого необходимо решить два квадратных уравнения x2+A2x+y02+A24-B+y0x2+A2y0-Cx+y024-D=0, у которых подкоренное выражение является полным квадратом.

   Корни, полученные в ходе вычислений, будут корнями исходного уравнения четвертой степени.

   Пример 5

   Найти корни уравнения x4+3×3+3×2-x-6=0.

   Решение

   Имеем А=3, В=3, С=-1, D=-6. Применим метод Феррари для решения данного уравнения.

   Составим и решим кубическое уравнение:
   y3-By2+AC-4Dy-A2D+4BD-C2=0y3-3y2+21y-19=0

   Одним из корней кубического уравнения будет y0=1, так как 13-3·12+21·1-19=0.

   Запишем два квадратных уравнения:
   x2+A2x+y02±A24-B+y0x2+A2y0-Cx+y024-D=0x2+32x+12±14×2+52x+254=0x2+32x+12±12x+522=0

   x2+32x+12+12x+52=0 или x2+32x+12-12x-52=0

   x2+2x+3=0 или x2+x-2=0

   Корнями первого уравнения будут x=-1±i·2, корнями второго х=1 и х=-2.

   Ответ: x1,2=-1±i2, x3=1, x4=-2.

   Социальная реклама — СПб ГКУ «ГЦРПО»

   Вниманию заявителей на предоставление социального ресурса!

   В целях реализации мер по противодействию распространения В Санкт-Петербурге новой коронавирусной инфекции заявки в Комиссию по социальной рекламе и рекламе, представляющей особую общественную значимость, (сканы в формате jpg) принимаютcя только по электронной почте [email protected]

   Уважаемые Заявители!

   Информируем вас, что в соответствии с  Порядком подачи заявок на рассмотрение Комиссии по социальной рекламе и рекламе, представляющей особую общественную значимость (далее-Комиссия), утвержденным распоряжением Комитета по печати и взаимодействию со средствами массовой информации от 11. 09.2019 №42-р, заявки с приложенными к ним согласно установленному перечню документами и материалами подаются в Комиссию

   не менее чем за 45 календарных дней до начала месяца, в котором вами планируется размещение рекламных материалов.

    

   Сроки подачи заявок в Комиссию:

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   на март 2021 года	до 15 января 2021 года
   на апрель 2021 года	до 15 февраля 2021 года
   на май 2021 года	до 17 марта 2021 года
   на июнь 2021 года	до 19 апреля 2021 года
   на июль 2021 года	до 17 мая 2021 года
   на август 2021 года	до 17 июня 2021 года
   на сентябрь 2021 года	до 19 июля 2021 года
   на октябрь 2021 года	до 17 августа 2021 года
   на ноябрь 2021 года	до 17 сентября 2021 года
   на декабрь 2021 года	до 18 октября 2021 года

    

   Комиссия по социальной рекламе и рекламе, представляющей особую общественную значимость (далее – Комиссия).

   Председатель Комиссии – Федорова Любовь Николаевна

   Заместитель председателя Комиссии – Плошкина Наталия Сергеевна

   Секретарь Комиссии — Ершихина Наталья Викторовна

   Контактный телефон:

   +7(812) 246-15-77

   E-mail: [email protected]

   Информация

   Обращаем внимание Заявителей!

   • Печать рекламных материалов и доставку Операторам для размещения осуществляет Заявитель. Технические требования к изготовлению рекламных материалов уточняются у конкретных Операторов, указанных в адресной программе.
   • В случае не предоставления Заявителем в срок за три дня до планируемого размещения рекламных материалов, Комиссия без предварительного уведомления использует выделенный ему ресурс под размещение городских социальных программ.
   • Рекламные материалы, поступившие Операторам от заявителей, с нарушением технических требований к печати, размещению не подлежат. Ответственность за отказ в размещении таких материалов Комиссия не несет.
   • Количество электронных дисплеев не может превышать 11.
   • Печать и подпись руководителя необходимы на каждом листе заявки, прилагаемых документов и материалов

   Характеристики рекламных материалов направляемых в Комиссию для согласования: 

   • Текст звукового обращения должен быть длительностью не более 15 секунд или 25-28 слов;
   • Хронометраж видеоролика должен быть не более 15 секунд, формата avi/wmv, размер не должен превышать 10 Мб.

   НЕ ЗАБУДЬТЕ ВСЕ ДОКУМЕНТЫ В ФОРМАТЕ .JPG НАПРАВИТЬ НАМ НА ЭЛЕКТРОННУЮ ПОЧТУ [email protected]

   заказ решений на аукционе за минимальную цену с максимальным качеством

   Предлагаю идею сайта-аукциона по выполнению домашних заданий. Он будет включать:

   • решение задач по математике (сейчас доступен решебник Филиппова), физике, химии, экономике
   • написание лабораторных, рефератов и курсовых
   • выполнение заданий по литературе, русскому или иностранному языку.

   Основное отличие от большинства сайтов, предлагающих выполнение работ на заказ – сайт рассчитан на две категории пользователей: заказчиков и решающих задания. Причем, по желанию (чтобы заработать, увеличить свой рейтинг, получить решение сложной задачи) пользователи могут играть любую из этих ролей.

   Объединение сервисов в одну систему

   Основой для идеи послужили несколько работающих систем, объединение которых позволит сделать сервис для решения задач на заказ. Эти системы:

   • Форум, где посетители обмениваются идеями и помогают друг другу
   • Система bugtracking, где обнаруженные проблемы проходят путь от публикации до принятия в исполнение и решения
   • Аукцион, где цена за товар или услугу определяется в результате торгов
   • Система рейтингов, где участники могут оценивать ответы друг друга. Причем, чем больше рейтинг пользователя, тем более значимым становится его голос

   Принцип работы

   Для удобства и проведения аналогий с реальной жизнью назовем заказчиков студентами, а решающих задания – репетиторами.

   Итак, студенту необходимо решить несколько задач. Он заходит на сайт, выбирает раздел с соответствующей дисциплиной и создает новую тему (аналогия с форумом). Но при создании темы он также указывает стартовую (максимальную) цену, которую он готов заплатить за решение задач и крайний срок исполнения задания. Можно будет назначить и нулевую цену – если студенту нужно только бесплатное решение.

   Как только тема создана, все пожелавшие подписаться на раздел репетиторы получают уведомление. Причем, условие получения уведомлений можно настроить. Например, уведомлять только о заказах со стартовой ценой более 500 р. и сроком решения не менее недели.

   Заинтересовавшиеся репетиторы делают ставки. Причем студент (автор темы) видит ставки и может посмотреть информацию по каждому репетитору (его решения, рейтинг, дату начала участия в проекте). Когда студент посчитает нужным, он может остановить аукцион и назначить задание одному из репетиторов, сделавшему ставку (не обязательно самую низкую, т. к. можно учитывать и другие факторы – см. выше).

   Деньги блокируются на счете студента, и репетитор начинает решать задание. Он должен представить его к сроку, заданному изначально. Выполненное решение публикуется в свободном доступе и его может оценить как заказчик, так и другие репетиторы. На этих оценках и строится рейтинг. Если к решению нет претензий – деньги окончательно переводятся со счета студента на счет репетитора.

   За счет чего будет развиваться сервис

   Первое – положительная обратная связь. Чем больше условий задач и решений будет опубликовано на сайте, тем чаще его будут находить пользователи через поисковики, будет больше ссылок на готовые решения. Именно поэтому важно размещать решенные задачи в свободном доступе. Знаю это по опыту своего сайта exir.ru (ex irodov.nm.ru) – большая ссылочная база получена исключительно за счет благодарных пользователей.

   Второе – удобный сервис для заказчиков и для желающих заработать на решениях.

   Преимущества для заказчиков

   Студентам и школьникам не нужно перебирать десятки сайтов для сравнения цен, а потом надеяться, что после оплаты они получат качественное решение (и, вообще, все не закончится перечислением денег). Заказчики создают аукцион на понижение цены и могут смотреть на рейтинги желающих решить задачи и ранее выполненные ими решения. Кроме того, деньги окончательно перечисляются исполнителю только после полного решения.

   Преимущества для решающих задания

   Не нужно создавать и продвигать свой сайт, размещать множество объявлений во всех доступных источниках информации. Заказчики сами придут к вам. Не нужно решать все присланные задания с целью поддержания репутации – можно выбирать те, которые будут интересны по уровню сложности, цене и срокам решения.

   Преимущества для владельца сервиса

   Если вы не понимаете, какую выгоду получит делающий вам какое-нибудь предложение – будьте осторожны! 🙂 У меня уже есть большой опыт работы с сайтом, предоставляющим бесплатные решения по физике. И вариант с получением прибыли от размещения рекламы подходит и для нового сервиса. Кроме того, мне нравится помогать людям и довольно тяжело смотреть, как множество вопросов по задачам остаются на форуме без ответа. Предложенный аукцион решений сможет значительно сократить число вопросов без ответов.

   В будущем возможен вариант и с получением некоторого небольшого процента от оплаты заказов. Но процент этот должен быть минимален и на начальном этапе он взиматься точно не будет.

   Что необходимо для создания сервиса

   1. Самым важное сейчас – собрать команду, готовую принять участие в выполнении заданий. Если покупатели заходят в пустой магазин – они надолго забывают в него дорогу.

      Поэтому я собираю предварительные заявки от посетителей, готовых заниматься решениями. Не нужно подписания никаких договоров о намерениях. Просто сообщите, на какие темы вы готовы решать задания, какой у вас опыт подобной работы (e-mail: [email protected]). Когда сервис заработает – я пришлю приглашение на регистрацию.

   2. Выбрать платежную систему.
   3. Сделать подходящий движок для сайта. Нужно решить – создавать его с нуля или изменить какой-нибудь существующий движок (например, форумный) с открытой лицензией.
   4. Привлечь посетителей. Учитывая посещаемость exir.ru и число публикуемых на форуме вопросов, думаю, это не будет большой проблемой.

   2 «.

   Пошаговое решение:

   Шаг 1:

   Попытка разложить на множители путем разделения среднего члена

   1.1 Факторинг x ² -x-3

   Первый член x ² его коэффициент равно 1.
   Средний член, -x, его коэффициент равен -1.
   Последний член, «константа», равен -3

   Шаг-1: Умножьте коэффициент первого члена на константу 1 • -3 = -3

   Шаг-2: Найдите два множителя -3, сумма которых равна коэффициенту среднего члена, равному -1.

   	-3	+	1	=	-2
   	-1	+	3	=	2

   Наблюдение: Два таких фактора не могут быть найдены !!
   Вывод: трехчлен не может быть разложен на множители

   Уравнение в конце шага 1:

    x  2  - x - 3 = 0
    

   Шаг 2:

    Парабола, поиск вершины: 
    2. 1 Найдите вершину y = x  2  -x-3
    Параболы имеют самую высокую или самую низкую точку, называемую вершиной. Наша парабола открывается и, соответственно, имеет самую низкую точку (также известную как абсолютный минимум). Мы знаем это даже до того, как нанесли «y», потому что коэффициент первого члена, 1, положительный (больше нуля).
    Каждая парабола имеет вертикальную линию симметрии, проходящую через ее вершину. Из-за этой симметрии линия симметрии, например, будет проходить через середину двух x-точек пересечения (корней или решений) параболы.То есть, если парабола действительно имеет два реальных решения.
    Параболы могут моделировать множество реальных жизненных ситуаций, например высоту над землей объекта, брошенного вверх через некоторый промежуток времени. Вершина параболы может предоставить нам информацию, например, максимальную высоту, которую может достичь объект, брошенный вверх. По этой причине мы хотим иметь возможность найти координаты вершины.
    Для любой параболы Ax  2  + Bx + C координата x вершины задается как -B / (2A).В нашем случае координата x равна 0,5000
    Подставив в формулу параболы 0,5000 для x, мы можем вычислить координату y: 
    y = 1,0 * 0,50 * 0,50 — 1,0 * 0,50 — 3,0 
    или y = -3,250
    Парабола, Графическое изображение вершины и пересечения X: 
    Корневой график для: y = x  2  -x-3 
    Ось симметрии (пунктирная линия) {x} = {0,50} 
    Вершина в точке {x, y} = {0,50, — 3.25} 
    x -Перехват (корни): 
    Корень 1 при {x, y} = {-1.30, 0.00} 
    Корень 2 при {x, y} = {2.30, 0.00}
    Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат 
    2.2 Решение x  2  -x-3 = 0, заполнив квадрат.
    Добавьте 3 к обеим сторонам уравнения: 
    x  2  -x = 3
    Теперь умный бит: возьмите коэффициент при x, равный 1, разделите его на два, получив 1/2, и возведите его в квадрат. давая 1/4
    Добавьте 1/4 к обеим частям уравнения: 
    В правой части имеем: 
    3 + 1/4 или, (3/1) + (1/4) 
    Общий знаменатель две дроби равны 4. Сложение (12/4) + (1/4) дает 13/4 
    Таким образом, сложив обе стороны, мы, наконец, получаем: 
    x  2  -x + (1/4) = 13/4
    Сложение 1/4 превратила левую часть в полный квадрат: 
    x  2  -x + (1/4) = 
    (x- (1/2)) • (x- (1/2)) = 
    ( x- (1/2))  2  
    Вещи, которые равны одному и тому же, также равны друг другу.Так как 
    x  2  -x + (1/4) = 13/4 и 
    x  2  -x + (1/4) = (x- (1/2))  2  
    то по закону транзитивности, 
    (x- (1/2))  2  = 13/4
    Мы будем называть это уравнение уравнением. # 2.2.1
    Принцип квадратного корня гласит, что когда две вещи равны, их квадратные корни равны.
    Обратите внимание, что квадратный корень из 
    (x- (1/2))  2  равен 
    (x- (1/2))  2/2  = 
    (x- (1/2))  1  = 
    x- (1/2)
    Теперь, применяя принцип квадратного корня к уравнению.# 2.2.1 получаем: 
    x- (1/2) = √ 13/4
    Добавьте 1/2 к обеим сторонам, чтобы получить: 
    x = 1/2 + √ 13/4
    Поскольку квадратный корень имеет два значения, одно положительное, а другое отрицательное 
    x  2  — x — 3 = 0 
    имеет два решения: 
    x = 1/2 + √ 13/4 
    или 
    x = 1/2 — √ 13/4
    Обратите внимание, что √ 13/4 можно записать как 
    √ 13 / √ 4, что равно √ 13/2
    Решите квадратное уравнение с помощью квадратичной формулы 
    2. 3 Решение x  2  -x-3 = 0 по квадратичной формуле.
    Согласно квадратичной формуле, x, решение для Ax  2  + Bx + C = 0, где A, B и C — числа, часто называемые коэффициентами, дается как: 
      
    — B ± √ B  2  -4AC 
    x = ———————— 
    2A
    В нашем случае A = 1 
    B = -1 
    C = -3
    Соответственно B  2  — 4AC = 
    1 — (-12) = 
    13
    Применяя квадратную формулу:
    1 ± √ 13 
    x = ————— 
    2
    √ 13, округленное до 4 десятичных цифр, равно 3.6056 
    Итак, теперь мы смотрим на: 
    x = (1 ± 3.606) / 2
    Два реальных решения:
    x = (1 + √13) / 2 = 2.303
    или:
    x = (1- √13) /2=-1.303
    Было найдено два решения: 
    x = (1-√13) /2=-1.303
    x = (1 + √13) / 2 = 2.303
    Решение уравнений Алгебраически 
    Решая уравнения алгебраически
     Содержание:  Эта страница соответствует  §   2. 4
    (с. 200)  текста.
    Предлагаемые задачи из текста:
    с. 212 # 7, 8, 11, 15, 17, 18, 23, 26, 35, 38, 41, 43, 46, 47, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 71, 72, 75, 76, 81, 87,
    88, 95, 97
    Квадратные уравнения 
    Уравнения с участием радикалов 
    Полиномиальные уравнения высшей степени 
    Уравнения, содержащие дробные выражения или абсолютные значения 
    Квадратные уравнения 
    Квадратное уравнение имеет вид ax  2  + bx + c = 0, где a, b и c — числа, а a —
    не равно 0.
    Факторинг 
    Этот подход к решению уравнений основан на том факте, что если произведение двух величин равно нулю, то
    хотя бы одна из величин должна быть равна нулю. Другими словами, если a * b = 0, то либо a = 0, либо b = 0, либо и то, и другое.
    Для получения дополнительной информации о факторизации многочленов см. Обзорный раздел P.3 (p.26) текста.
     Пример 1. 
    2x  2  — 5x — 12 = 0.
    (2x + 3) (x — 4) = 0.
    2x + 3 = 0 или x — 4 = 0.
    x = -3/2, или x = 4.
    Принцип квадратного корня 
    Если x  2  = k, то x = ± sqrt (k).
     Пример 2. 
    x  2  — 9 = 0.
    x  2  = 9.
    x = 3 или x = -3.
     Пример 3. 
     Пример 4.
    x  2  + 7 = 0.
    х  2  = -7.
    х = ±.
    Обратите внимание, что = =,
    так что решения
    x = ±, два комплексных числа.
    Завершение площади 
    Идея завершения квадрата состоит в том, чтобы переписать уравнение в форме, которая позволяет нам применять квадрат
    корневой принцип.
     Пример 5. 
    x  2  + 6x — 1 = 0.
    x  2  + 6x = 1.
    x  2  + 6x + 9 = 1 + 9.
    9, прибавленная к обеим сторонам, получена из возведения в квадрат половины коэффициента при x, (6/2)  2  = 9. Причина
    выбор этого значения заключается в том, что теперь левая часть уравнения представляет собой квадрат бинома (полином с двумя членами).
    Поэтому эта процедура называется , завершение квадрата .[Заинтересованный читатель может видеть, что это
    истина, учитывая (x + a)  2  = x  2  + 2ax + a  2 . Чтобы получить «а» нужно всего лишь
    разделите коэффициент x на 2. Таким образом, чтобы построить квадрат для x  2  + 2ax, нужно добавить  2 .]
    (x + 3)  2  = 10.
    Теперь мы можем применить принцип квадратного корня и затем решить относительно x.
    x = -3 ± sqrt (10).
     Пример 6. 
    2x  2  + 6x — 5 = 0.
    2x  2  + 6x = 5.
    Метод завершения квадрата, продемонстрированный в предыдущем примере, работает, только если старший коэффициент
    (коэффициент x  2 ) равен 1. В этом примере старший коэффициент равен 2, но мы можем изменить это, разделив
    обе части уравнения на 2.
    x  2  + 3x = 5/2.
    Теперь, когда старший коэффициент равен 1, мы берем коэффициент при x, который теперь равен 3, делим его на 2 и возводим в квадрат,
    (3/2)  2  = 9/4. Это постоянная, которую мы добавляем к обеим сторонам, чтобы завершить квадрат.
    x  2  + 3x + 9/4 = 5/2 + 9/4.
    Левая часть — квадрат (x + 3/2). [Проверьте это!]
    (х + 3/2)  2  = 19/4.
    Теперь мы используем принцип квадратного корня и решаем относительно x.
    x + 3/2 = ± sqrt (19/4) = ± sqrt (19) / 2.
    x = -3/2 ± sqrt (19) / 2 = (-3 ± sqrt (19)) / 2
    До сих пор мы обсуждали три метода решения квадратных уравнений. Что лучше? Это зависит от
    проблема и ваши личные предпочтения. Уравнение в правильной форме для применения принципа квадратного корня
    могут быть перегруппированы и решены путем факторинга, как мы видим в следующем примере.
     Пример 7. 
    x  2  = 16.
    x  2  — 16 = 0.
    (x + 4) (x — 4) = 0.
    x = -4 или x = 4.
    В некоторых случаях уравнение может быть решено путем факторизации, но факторизация не очевидна.
    Метод завершения квадрата всегда будет работать, даже если решения являются комплексными числами, и в этом случае
    мы извлечем квадратный корень из отрицательного числа.Кроме того, шаги, необходимые для завершения квадрата, следующие:
    всегда одинаковы, поэтому их можно применить к общему квадратному уравнению
    топор  2  + bx + c = 0.
    Результатом квадрата этого общего уравнения является формула для решений уравнения
    называется квадратной формулой.
    Квадратичная формула 
    Решения уравнения ax  2  + bx + c = 0 равны
    Мы говорим, что завершение квадрата всегда работает, и мы завершили квадрат в общем случае,
    где у нас есть a, b и c вместо чисел.Итак, чтобы найти решения для любого квадратного уравнения, запишем его
    в стандартной форме, чтобы найти значения a, b и c, затем подставьте эти значения в квадратную формулу.
    Одним из следствий этого является то, что вам никогда не придется заполнять квадрат, чтобы найти решения квадратного уравнения.
    Однако процесс завершения квадрата важен по другим причинам, поэтому вам все равно нужно знать, как
    сделай это!
      Примеры использования квадратичной формулы:  
     Пример 8.
    2x  2  + 6x — 5 = 0.
    В данном случае a = 2, b = 6, c = -5. Подставляя эти значения в квадратичную формулу, получаем
    Обратите внимание, что мы решили это уравнение ранее, заполнив квадрат.
     Примечание : Есть два реальных решения. Что касается графиков, есть два пересечения для графика
    функции f (x) = 2x  2  + 6x — 5.
     Пример 9. 
    4x  2  + 4x + 1 = 0
    В этом примере a = 4, b = 4 и c = 1.
    В этом примере следует обратить внимание на два момента.
    Есть только одно решение. С точки зрения графиков это означает, что существует только один пересечение по оси x.
    Решение упрощено, так что квадратный корень не используется. Это означает, что уравнение могло быть
    решается факторингом. (Все квадратные уравнения  можно решить путем разложения на множители ! Я имею в виду, что это могло быть
    решено  легко  факторингом.)
    4x  2  + 4x + 1 = 0.
    (2x + 1)  2  = 0.
    х = -1/2.
     Пример 10.
    х  2  + х + 1 = 0
    а = 1, б = 1, с = 1
     Примечание:  Реальных решений нет. Что касается графиков, то для графика нет перехватов.
    функции f (x) = x  2  + x + 1. Таким образом, решения сложны, поскольку график y = x  2 
    + x + 1 не имеет пересечений по x.
    Выражение под радикалом в квадратичной формуле, b  2  — 4ac, называется дискриминантом
    уравнение.Последние три примера иллюстрируют три возможности для квадратных уравнений.
    1. Дискриминант> 0. Два реальных решения.
    2. Дискриминант = 0. Одно реальное решение.
    3. Дискриминант <0. Два сложных решения.
     Примечания к проверке решений 
    Ни один из методов, представленных до сих пор в этом разделе, не может вводить посторонние решения.(См. Пример
    3 из раздела Линейные уравнения и моделирование.) Тем не менее, рекомендуется проверить свои решения,
    потому что при решении уравнений очень легко сделать невнимательные ошибки.
    Алгебраический метод, который состоит из обратной подстановки числа в уравнение и проверки того, что
    полученное утверждение верно, хорошо работает, когда решение «простое», но не очень практично, когда
    решение предполагает радикальное.
    Например, в нашем предпоследнем примере 4x  2  + 4x + 1 = 0 мы нашли одно решение x = -1/2.
    Алгебраическая проверка выглядит как
    4 (-1/2)  2  +4 (-1/2) + 1 = 0.
    4 (1/4) — 2 + 1 = 0.
    1-2 + 1 = 0.
    0 = 0. Решение проверяет.
    В предыдущем примере, 2x  2  + 6x — 5 = 0, мы нашли два реальных решения, x = (-3 ± sqrt (19)) / 2.
    Конечно, можно проверить это алгебраически, но это не очень просто. В этом случае либо графический
    проверить или использовать калькулятор для алгебраической проверки быстрее.
    Сначала найдите десятичные приближения для двух предложенных решений.
    (-3 + sqrt (19)) / 2 = 0,679449.
    (-3 — sqrt (19)) / 2 = -3,679449.
    Теперь используйте графическую утилиту для построения графика y = 2x  2  + 6x — 5 и проследите график, чтобы приблизительно определить, где
    х-точки пересечения. Если они близки к указанным выше значениям, вы можете быть уверены, что у вас есть правильные решения.
    Вы также можете вставить приближенное решение в уравнение, чтобы увидеть, дают ли обе части уравнения примерно
    те же значения.Однако вам все равно нужно быть осторожным в заявлении о том, что ваше решение является правильным, поскольку оно
    не точное решение.
    Обратите внимание, что если вы начали с уравнения 2x  2  + 6x — 5 = 0 и перешли непосредственно к графику
    утилиту для ее решения, то вы не получите точных решений, потому что они иррациональны. Однако, найдя
    (алгебраически) два числа, которые, по вашему мнению, являются решениями, если графическая утилита показывает, что перехваты очень
    близко к найденным вами числам, то вы, наверное, правы!
      Упражнение 1:  
    Решите следующие квадратные уравнения.
    (а) 3x  2  -5x — 2 = 0. Ответ
    (б) (x + 1)  2  = 3. Ответ
    (в) x  2  = 3x + 2. Ответ
     Вернуться к содержанию 
    Уравнения с участием радикалов 
    Уравнения с радикалами часто можно упростить, возведя в соответствующую степень и возведя в квадрат, если радикал
    является квадратным корнем, кубическим корнем и т. д. Эта операция может вводить посторонние корни, поэтому все решения
    необходимо проверить.
    Если в уравнении только один радикал, то перед возведением в степень вам следует договориться, чтобы
    радикальный член сам по себе на одной стороне уравнения.
     Пример 11. 
    Теперь, когда мы изолировали радикальный член в правой части, возводим обе части в квадрат и решаем полученное уравнение
    для x.
     Чек: 
    х = 0
    Когда мы подставляем x = 0 в исходное уравнение, мы получаем утверждение 0 = 2, что неверно!
    Итак, x = 0  не является решением .
    х = 3
    Когда мы подставляем x = 3 в исходное уравнение, мы получаем утверждение 3 = 3. Это верно, поэтому x = 3  равно
    раствор .
     Решение : x = 3.
     Примечание:  Решением является x-координата точки пересечения графиков y = x и
    у = sqrt (х + 1) +1.
    Посмотрите, что бы произошло, если бы мы возводили обе части уравнения в квадрат  до , чтобы выделить радикал
    срок.
    Это хуже того, с чего мы начали!
    Если в уравнении более одного радикального члена, то, как правило, мы не можем исключить все радикалы с помощью
    возведение в степень один раз. Однако мы можем на  уменьшить количество радикальных членов на , возведя их в степень.
    Если уравнение включает более одного радикального члена, мы все равно хотим изолировать один радикал с одной стороны и
    возвести в степень. Затем мы повторяем этот процесс.
     Пример 12. 
    Теперь возведите обе части уравнения в квадрат.
    В этом уравнении есть только один радикальный член, поэтому мы добились прогресса! Теперь выделите радикальный член, а затем возведите в квадрат
    снова обе стороны.
     Чек: 
    Подставляя x = 5/4 в исходное уравнение, получаем
    sqrt (9/4) + sqrt (1/4) = 2.
    3/2 + 1/2 = 2.
    Это утверждение верно, поэтому x = 5/4 является решением.
     Примечание по проверке решений: 
    В этом случае выполнить алгебраическую проверку было несложно. Однако графическая проверка имеет то преимущество, что показывает, что
    нет никаких решений, которые мы не нашли бы, по крайней мере, в рамках прямоугольника просмотра. Решение
    — координата x точки пересечения графиков y = 2 и y = sqrt (x + 1) + sqrt (x-1).
      Упражнение 2:  
    Решите уравнение sqrt (x + 2) + 2 = 2x. Ответ
     Вернуться к содержанию 
    Полиномиальные уравнения высшей степени 
    Мы видели, что любое полиномиальное уравнение второй степени (квадратное уравнение) от одной переменной может быть решено с помощью
    Квадратичная формула. Полиномиальные уравнения степени больше двух сложнее.Когда мы встречаемся
    такая проблема, то либо многочлен имеет особую форму, которая позволяет нам разложить его на множители, либо мы должны аппроксимировать
    решения с графической утилитой.
    Нулевая постоянная 
    Один частый частный случай — отсутствие постоянного члена. В этом случае мы можем исключить одну или несколько полномочий
    x, чтобы начать задачу.
     Пример 13. 
    2x  3  + 3x  2  -5x = 0.
    x (2x  2  + 3x -5) = 0.
    Теперь у нас есть произведение x и квадратного многочлена, равного 0, так что у нас есть два более простых уравнения.
    x = 0 или 2x  2  + 3x -5 = 0.
    Первое уравнение решить несложно. x = 0 — единственное решение. Второе уравнение может быть решено факторингом.
     Примечание:  Если бы мы не смогли разложить квадратичный фактор во втором уравнении, мы могли бы прибегнуть к
    к использованию квадратичной формулы.[Убедитесь, что вы получили те же результаты, что и ниже.]
    x = 0 или (2x + 5) (x — 1) = 0.
    Итак, есть три решения: x = 0, x = -5/2, x = 1.
     Примечание:  Решение находится при пересечении графиков f (x) = 2x  3 
    + 3x  2  -5x.
    Коэффициент
    по группировке 
     Пример 14. 
    x  3  -2x  2  -9x +18 = 0.
    Коэффициент при x  2  в 2 раза больше, чем при x  3 , и такое же соотношение существует между
    коэффициенты при третьем и четвертом членах. Группа термины один и два, а также термины третий и четвертый.
    x  2  (x — 2) — 9 (x — 2) = 0.
    Эти группы имеют общий множитель (x — 2), поэтому мы можем разложить левую часть уравнения на множители.
    (x — 2) (x  2  — 9) = 0.
    Всякий раз, когда мы находим продукт, равный нулю, мы получаем два более простых уравнения.
    x — 2 = 0 или x  2  — 9 = 0.
    x = 2 или (x + 3) (x — 3) = 0.
    Итак, есть три решения: x = 2, x = -3, x = 3.
     Примечание:  Эти решения находятся на пересечении графика f (x) = x  3 
    -2x  2  -9x +18.
    Квадратичная форма 
     Пример 15. 
    x  4  — x  2  — 12 = 0.
    Этот многочлен неквадратичный, у него четвертая степень. Однако его можно рассматривать как квадратичный по x  2 .
    (x  2 )  2  — (x  2 ) — 12 = 0.
    Это может помочь вам фактически заменить z на x  2 .
    z  2  — z — 12 = 0 Это квадратное уравнение относительно z.
    (z — 4) (z + 3) = 0.
    z = 4 или z = -3.
    Мы еще не закончили, потому что нам нужно найти значения x, которые делают исходное уравнение истинным.Теперь заменим z на
    x  2  и решите полученные уравнения.
    x  2  = 4.
    х = 2, х = -2.
    х  2  = -3.
    x =  i , или x = —  i. 
    Итак, есть четыре решения, два реальных и два комплексных.
     Примечание:  Эти решения находятся на пересечении графика f (x) = x  4 
    — х  2  — 12.
     График f (x) = x  4  — x  2 -12 и увеличение, показывающее его локальное
    экстремумы. 
      Упражнение 3:  
    Решите уравнение x  4  — 5x  2  + 4 = 0. Ответ
     Вернуться к содержанию 
    Уравнения, содержащие дробные выражения или абсолютные значения 
     Пример 16.
    Наименьший общий знаменатель равен x (x + 2), поэтому мы умножаем обе части на это произведение.
    Это уравнение квадратичное. Квадратичная формула дает решения
    Проверка необходима, потому что мы умножили обе части на переменное выражение. Используя графическую утилиту, мы
    убедитесь, что оба этих решения проверяют. Решением является координата x точки пересечения графиков.
    из y = 1 и y = 2 / x-1 / (x + 2).
     Пример 17. 
    5 | х — 1 | = х + 11.
    Ключ к решению уравнения с абсолютными значениями — помнить, что количество внутри абсолютного значения
    столбцы могут быть положительными или отрицательными. У нас будет два отдельных уравнения, представляющих разные возможности,
    и все решения должны быть проверены.
      Корпус 1 .  Предположим, что x — 1> = 0.Тогда | х — 1 | = x — 1, поэтому мы имеем уравнение
    5 (х — 1) = х + 11.
    5x — 5 = x + 11.
    4x = 16.
    x = 4, и это решение проверяет, потому что 5 * 3 = 4 + 11.
      Случай 2.   Предположим, что x — 1 <0. Тогда x - 1 отрицательно, поэтому | х - 1 | = - (х - 1). Этот
   точка часто сбивает студентов с толку, потому что это выглядит так, как будто мы говорим, что абсолютное значение выражения
   отрицательно, но это не так.Выражение (x - 1) уже отрицательное, поэтому - (x - 1) положительное.
    Теперь наше уравнение принимает вид
   .
   -5 (x — 1) = x + 11.
    -5x + 5 = x + 11.
    -6x = 6.
    x = -1, и это решение проверяет, потому что 5 * 2 = -1 + 11.
    Если вы используете Java Grapher для графической проверки, обратите внимание, что abs () является абсолютным значением, поэтому вы должны построить график
    5 * abs (x — 1) — x — 11 и посмотрите на пересечения по x, или вы можете найти решение как x-координаты
    точки пересечения графиков y = x + 11 и y = 5 * abs (x-1).
      Упражнение 4:  
    (а) Решите уравнение. Ответ
   .
    (b) Решите уравнение | х — 2 | = 2 — x / 3 Ответ
     Вернуться к содержанию 
    Решение квадратных уравнений: выбор метода 
    Purplemath 
    Когда вы решаете квадратные уравнения в своем домашнем задании, вы часто можете получить «подсказку» относительно лучшего метода, основанного на теме и заголовке раздела.Например, если вы работаете над домашним заданием в разделе «Решение с помощью факторинга», то вы знаете, что должны решать с помощью факторинга. Но в обзоре главы и на тесте вы не знаете, из какого раздела вашего учебника была взята та или иная квадратичная диаграмма. Какой метод лучше использовать?
    Вы можете использовать квадратичную формулу для всего, но формула может занять много времени.
    Например:
    MathHelp.com 
    Решить (
    x  + 1) ( x  — 3) = 0.
    Чтобы решить это квадратное уравнение, я мог бы перемножить выражение в левой части, упростить поиск коэффициентов, вставить эти значения коэффициентов в квадратную формулу и перейти к ответу.
    Но зачем мне это? Я имею в виду, ради всего святого, это факторинг, и они уже учли его и установили для меня равным нулю. Хотя квадратичная формула определенно дала бы мне правильный ответ, зачем с ней возиться?
    Вместо этого я сразу решу два фактора, которые они мне дали:
    ( x  + 1) ( x  — 3) = 0
     x  + 1 = 0,  x  — 3 = 0
     x  = –1,  x  = 3
    Это было быстро! И мой ответ:
    Кстати, строгого порядка решений нет.Да, я обычно размещаю свои решения в числовом порядке, поэтому в приведенном выше случае отрицательный ответ предшествовал положительному. Но, если ваш инструктор ничего не сказал (и я был бы удивлен, если бы это было так), приведенный выше ответ был бы таким же правильным, если бы он был написан как « x  = 3, –1».
    Квадратичное выражение в левой части знака «равно» не учитывается.
    (Как я очень быстро это узнал? Для факторизации должны быть целые множители  ac  = (1) (- 4) = –4, что в сумме дает  b  = 1.Я вижу, что их нет.)
    Эта квадратичная величина не была предоставлена ​​мне в «(переменная часть)  2  равно (некоторое число)», поэтому решение путем извлечения квадратных корней невозможно.
    Я мог бы решить это уравнение, заполнив квадрат, но это утомительно и чревато ошибками. Я мог бы попытаться решить, построив график, но лучшее, что я смогу сделать, это получить десятичное приближение из моего «программного обеспечения» (то есть моего графического калькулятора).
    Чтобы получить точный и быстрый ответ, я воспользуюсь квадратичной формулой:
    Поскольку в инструкциях ничего не упоминается о десятичных приближениях, я оставлю свой ответ в форме квадратного корня:
    Решить 
    x   2 -3  x -4 = 0.
    Это уравнение не настроено для меня как готовое к извлечению квадратного корня, и я никогда не воспользуюсь завершением квадрата, если мне не скажут об этом специально. Однако, прежде чем применять квадратичную формулу, я сначала быстро проверю, можно ли факторизовать выражение в левой части этого уравнения.
    Существуют ли целые множители  ac  = (1) (- 4) = –4, которые в сумме дают –3? Да: –4 и +1.Таким образом, эта квадратичная величина факторизуема, и я уже нашел числа, которые можно использовать для ее разложения (поскольку ведущий коэффициент равен 1):
     x   2 -3  x -4 = 0
    ( x  + 1) ( x  — 4) = 0
     x  + 1 = 0,  x  — 4 = 0
     x  = –1,  x  = 4
    И я закончил, просто так быстро.Мой ответ:
    Квадратичное выражение в левой части этого уравнения содержит только два члена, и ни один из них не вычитается, поэтому я не буду использовать простые методы разложения на множители. Но я замечаю, что это разница квадратов, и я знаю, что могу множить разницу квадратов.
     x   2  — 4 = 0
    ( x  + 2) ( x  — 2) = 0
     x  + 2 = 0,  x  — 2 = 0
     x  = –2,  x  = 2
    Тогда мой ответ:
    Примечание: я мог бы переместить 4 в правую часть уравнения, а затем извлечь квадратный корень из любой стороны  x   2  = 4.Этот метод дал бы мне тот же ответ, что и приведенный выше факторинг. Если не указано иное, вы должны использовать тот метод, который вам больше нравится.
    Решить 6 
    x   2  + 11  x  — 35 = 0.
    Ик.
    Квадратичное выражение в левой части этого уравнения  может множить , но похоже, что нахождение этой факторизации, если таковая имеется, будет неприятным объемом работы.Сейчас я чувствую себя немного бездумным и ленивым, поэтому я воспользуюсь квадратичной формулой. Во время работы мне нужно не забывать ставить ± перед корнем и ставить черту дроби под всем числителем, представляющим собой целую часть « b   2  ± (корень квадратный)»:
    Значения решения представляют собой дроби без радикалов, что означает, что квадратичное  могло быть разложено на множители . Но теперь у меня есть ответ, поэтому меня больше не волнует факторизация.
    Это квадратное выражение состоит из двух членов и ничего не вычитает, так что либо это разница квадратов (которую я могу разложить на множители), либо ее можно отформатировать как «(переменная часть)  2  равно (число)», чтобы я мог квадратный корень с обеих сторон. Поскольку 48 не является квадратом, я не могу применить формулу разности квадратов. Вместо этого мне придется извлекать квадратный корень из обеих сторон:
    Итак, мой точный ответ:
    Примечание: если вам специально не сказано предоставить десятичное приближение для решений, которые включают радикалы, вы должны предположить, что они хотят, чтобы вы дали «точную» форму ответа; то есть они хотят видеть эти квадратные корни.
    В этом квадратичном выражении есть два члена, которые легко множить:
     x   2 -7  x  = 0
     x  ( x -7) = 0
     x  = 0,  x  — 7 = 0
     x  = 0,  x  = 7
    Мой ответ:
    Найдите решения квадратичного уравнения, представленного в таблице ниже: 
     x  -значение
    –1
    0
    1
    2
    3
    4
    5
    6
     y  -значение
    16
    9
    4
    1
    0
    1
    4
    9
    Прежде чем я паникую, я думаю об одном методе «решения», который не включает в себя фактическое квадратное уравнение: решение с помощью построения графиков.
    Когда они хотят, чтобы я решил квадратное уравнение   с помощью построения графиков, они на самом деле просят меня найти точки пересечения  x  соответствующей квадратичной функции  . И под словом «найти» они подразумевают «с красивой картинки». Но дело в том, что они хотят, чтобы я отметил связь между ними и предоставил затем значения  x , когда  y  = 0.
    Я могу сделать это по картинке или по Т-образной диаграмме значений.В данном случае вместо графика мне дали таблицу. Есть две точки, у которых одна из координат равна нулю; а именно (0, 9) и (3, 0). Что из этого я хочу? Тот, у которого  y  = 0, это вторая из двух точек. И мое решение — соответствующее значение  x .
    Скорее всего, вы не увидите много, а может быть, и совсем другое упражнение этого последнего вида.
    Кстати, если вам интересно, почему было только одно решение этой квадратичной, это потому, что (предполагаемое и лежащее в основе) уравнение было ( x  — 3)  2  = 0.Итак, одно решение было «повторено».
    При решении квадратных уравнений в целом сначала перенесите все на одну сторону от знака «равно» (что уже было сделано в приведенных выше примерах). Затем сначала проверьте, есть ли очевидное факторинг или очевидное извлечение квадратного корня, которое вы можете сделать. Если нет, то обычно лучше прибегать к квадратичной формуле. Но не используйте квадратичную формулу для всего; хотя он всегда даст вам ответ — в конечном итоге — это не всегда самый быстрый метод.А скорость может иметь большое значение в ходе тестов по времени.
    URL: https://www.purplemath.com/modules/solvquad6.htm
    Как найти решение Набор 
    Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает
    или больше ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
    в
    информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
    ан
    Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
    средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.
    Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
    в виде
    ChillingEffects.org.
    Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно
    искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
    на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.
    Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:
    Вы должны включить следующее:
    Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
    Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
    Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
    достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем
    а
    ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
    к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
    Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
    Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
    ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
    информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
    либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.
    Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:
    Чарльз Кон
    Varsity Tutors LLC 
    101 S. Hanley Rd, Suite 300 
    St. Louis, MO 63105
    Или заполните форму ниже:
    Решение системы линейных уравнений с использованием матриц 
    Мы видели, как написать систему уравнений   с расширенной матрицей  , а затем, как использовать операции со строками и обратную подстановку, чтобы получить форму  с эшелонированием строк .Теперь мы перейдем на шаг дальше от строковой формы, чтобы решить систему линейных уравнений 3 на 3. Общая идея состоит в том, чтобы исключить все переменные, кроме одной, с помощью операций со строками, а затем выполнить обратную замену для поиска других переменных.
    Пример 6: Решение системы линейных уравнений с использованием матриц 
    Решите систему линейных уравнений с помощью матриц.
    [латекс] \ begin {массив} {c} \ begin {array} {l} \ hfill \\ \ hfill \\ x-y + z = 8 \ hfill \ end {array} \\ 2x + 3y-z = -2 \\ 3x — 2y — 9z = 9 \ end {array} [/ latex]
    Решение 
    Сначала мы пишем расширенную матрицу.
    [латекс] \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 1 & \ hfill -1 & \ hfill 1 \\ \ hfill 2 & \ hfill 3 & \ hfill -1 \\ \ hfill 3 & \ hfill -2 & \ hfill -9 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {r} \ hfill 8 \\ \ hfill -2 \\ \ hfill 9 \ end {array} \ right] [/ latex]
    Затем мы выполняем строковые операции, чтобы получить форму «строка-эшелон».
    [латекс] \ begin {array} {rrrrr} \ hfill -2 {R} _ {1} + {R} _ {2} = {R} _ {2} \ to \ left [\ begin {array} { rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 5 & \ hfill & \ hfill -3 & \ hfill \\ \ hfill 3 & \ hfill & \ hfill -2 & \ hfill & \ hfill -9 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 8 \\ \ hfill & \ hfill -18 \\ \ hfill & \ hfill 9 \ end {массив} \ right] & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill -3 {R} _ {1} + {R} _ {3} = {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 5 & \ hfill & \ hfill -3 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -12 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 8 \\ \ hfill & \ hfill -18 \\ \ hfill & \ hfill -15 \ end {array} \ right] \ end {array} [/ latex]
    Самый простой способ получить 1 в строке 2 столбца 1 — это поменять местами [латекс] {R} _ {2} [/ latex] и [latex] {R} _ {3} [/ latex].
    [латекс] \ text {Interchange} {R} _ {2} \ text {и} {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill — 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 8 \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -12 & \ hfill & \ hfill -15 \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 5 & \ hfill & \ hfill -3 & \ hfill & \ hfill -18 \ end {array} \ right] [/ latex]
    Затем
    [латекс] \ begin {array} {l} \\ \ begin {array} {rrrrr} \ hfill -5 {R} _ {2} + {R} _ {3} = {R} _ {3} \ в \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -12 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 57 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 8 \\ \ hfill & \ hfill -15 \\ \ hfill & \ hfill 57 \ end {array} \ right] & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill — \ frac {1} {57} {R} _ {3} = {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -12 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 8 \\ \ hfill & \ hfill -15 \ \ \ hfill & \ hfill 1 \ end {array} \ right] \ end {array} \ end {array} [/ latex]
    Последняя матрица представляет собой эквивалентную систему.
    [латекс] \ begin {массив} {l} \ text {} x-y + z = 8 \ hfill \\ \ text {} y — 12z = -15 \ hfill \\ \ text {} z = 1 \ hfill \ end {array} [/ latex]
    Используя обратную подстановку, мы получаем решение как [latex] \ left (4, -3,1 \ right) [/ latex].
    Пример 7: Решение зависимой системы линейных уравнений с использованием матриц 
    Решите следующую систему линейных уравнений, используя матрицы.
    [латекс] \ begin {array} {r} \ hfill -x — 2y + z = -1 \\ \ hfill 2x + 3y = 2 \\ \ hfill y — 2z = 0 \ end {array} [/ latex]
    Решение 
    Запишите расширенную матрицу.
    [латекс] \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill -1 & \ hfill -2 & \ hfill 1 \\ \ hfill 2 & \ hfill 3 & \ hfill 0 \\ \ hfill 0 & \ hfill 1 & \ hfill -2 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {r} \ hfill -1 \\ \ hfill 2 \\ \ hfill 0 \ end {array} \ right] [/ latex]
    Сначала умножьте строку 1 на [latex] -1 [/ latex], чтобы получить 1 в строке 1, столбце 1. Затем выполните  операции со строками , чтобы получить форму строки-эшелон.
    [латекс] — {R} _ {1} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill 1 \\ \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill 3 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 2 \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -2 & \ hfill & \ hfill 0 \ end {array} \ справа] [/ латекс]
    [латекс] {R} _ {2} \ leftrightarrow {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill -1 \ \ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -2 \\ \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill 3 & \ hfill & \ hfill 0 \ end {array} \ text {} | \ begin {array} { rr} \ hfill & \ hfill 1 \\ \ hfill & \ hfill 0 \\ \ hfill & \ hfill 2 \ end {array} \ right] [/ latex]
    [латекс] -2 {R} _ {1} + {R} _ {3} = {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -2 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill 2 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 1 \\ \ hfill & \ hfill 0 \\ \ hfill & \ hfill 0 \ end {array} \ right] [/ latex]
    [латекс] {R} _ {2} + {R} _ {3} = {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -2 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill \ end { array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 2 \\ \ hfill & \ hfill 1 \\ \ hfill & \ hfill 0 \ end {array} \ right] [/ latex]
    Последняя матрица представляет следующую систему.
    [латекс] \ begin {array} {l} \ text {} x + 2y-z = 1 \ hfill \\ \ text {} y — 2z = 0 \ hfill \\ \ text {} 0 = 0 \ hfill \ конец {array} [/ latex]
    По тождеству [latex] 0 = 0 [/ latex] мы видим, что это зависимая система с бесконечным числом решений. Затем мы находим общее решение. Решив второе уравнение для [latex] y [/ latex] и подставив его в первое уравнение, мы можем решить для [latex] z [/ latex] через [latex] x [/ latex].
    [латекс] \ begin {array} {l} \ text {} x + 2y-z = 1 \ hfill \\ \ text {} y = 2z \ hfill \\ \ hfill \\ x + 2 \ left (2z \ справа) -z = 1 \ hfill \\ \ text {} x + 3z = 1 \ hfill \\ \ text {} z = \ frac {1-x} {3} \ hfill \ end {array} [/ latex]
    Теперь мы подставляем выражение для [latex] z [/ latex] во второе уравнение, чтобы решить для [latex] y [/ latex] через [latex] x [/ latex].
    [латекс] \ begin {массив} {l} \ text {} y — 2z = 0 \ hfill \\ \ text {} z = \ frac {1-x} {3} \ hfill \\ \ hfill \\ y — 2 \ left (\ frac {1-x} {3} \ right) = 0 \ hfill \\ \ text {} y = \ frac {2 — 2x} {3} \ hfill \ end {array} [/ latex ]
    Общее решение — [latex] \ left (x, \ frac {2 — 2x} {3}, \ frac {1-x} {3} \ right) [/ latex].
    Попробуй 5 
    Решите систему, используя матрицы.
    [латекс] \ begin {array} {c} x + 4y-z = 4 \\ 2x + 5y + 8z = 15 \ x + 3y — 3z = 1 \ end {array} [/ latex]
    Вопросы и ответы 
    Можно ли решить любую систему линейных уравнений методом исключения Гаусса? 
     Да, система линейных уравнений любого размера может быть решена методом исключения Гаусса.
    Практическое руководство. Для данной системы уравнений решите с помощью матриц с помощью калькулятора. 
    Сохраните расширенную матрицу как матричную переменную [latex] \ left [A \ right], \ left [B \ right], \ left [C \ right] \ text {,} \ dots [/ latex].
    Используйте функцию  ref ( в калькуляторе, вызывая каждую матричную переменную по мере необходимости.
    Пример 8: Решение систем уравнений с матрицами с помощью калькулятора 
    Решите систему уравнений.
    [латекс] \ begin {array} {r} \ hfill 5x + 3y + 9z = -1 \\ \ hfill -2x + 3y-z = -2 \\ \ hfill -x — 4y + 5z = 1 \ end { array} [/ latex]
    Решение 
    Напишите расширенную матрицу для системы уравнений.
    [латекс] \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 5 & \ hfill 3 & \ hfill 9 \\ \ hfill -2 & \ hfill 3 & \ hfill -1 \\ \ hfill -1 & \ hfill -4 & \ hfill 5 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {r} \ hfill 5 \\ \ hfill -2 \\ \ hfill -1 \ end {array} \ right] [/ latex]
    На странице матриц калькулятора введите расширенную матрицу выше как матричную переменную [latex] \ left [A \ right] [/ latex].
    [латекс] \ left [A \ right] = \ left [\ begin {array} {rrrrrrr} \ hfill 5 & \ hfill & \ hfill 3 & \ hfill & \ hfill 9 & \ hfill & \ hfill -1 \\ \ hfill — 2 & \ hfill & \ hfill 3 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill -2 \\ \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill -4 & \ hfill & \ hfill 5 & \ hfill & \ hfill 1 \ end {массив } \ right] [/ latex]
    Используйте функцию  ref ( в калькуляторе, вызывая матричную переменную [latex] \ left [A \ right] [/ latex].
    [латекс] \ text {ref} \ left (\ left [A \ right] \ right) [/ латекс]
    Оценить.
    [латекс] \ begin {array} {l} \ hfill \\ \ left [\ begin {array} {rrrr} \ hfill 1 & \ hfill \ frac {3} {5} & \ hfill \ frac {9} {5 } & \ hfill \ frac {1} {5} \\ \ hfill 0 & \ hfill 1 & \ hfill \ frac {13} {21} & \ hfill — \ frac {4} {7} \\ \ hfill 0 & \ hfill 0 & \ hfill 1 & \ hfill — \ frac {24} {187} \ end {array} \ right] \ to \ begin {array} {l} x + \ frac {3} {5} y + \ frac {9} {5} z = — \ frac {1} {5} \ hfill \\ \ text {} y + \ frac {13} {21} z = — \ frac {4} {7} \ hfill \\ \ text {} z = — \ frac {24} {187} \ hfill \ end {array} \ hfill \ end {array} [/ latex]
    При использовании обратной подстановки решение: [latex] \ left (\ frac {61} {187}, — \ frac {92} {187}, — \ frac {24} {187} \ right) [/ latex] .
    Пример 9: Применение матриц 2 × 2 к финансам 
    Кэролайн инвестирует в общей сложности 12 000 долларов в две муниципальные облигации, одна из которых выплачивает 10,5% годовых, а другая — 12%. Годовой процент, полученный по двум инвестициям в прошлом году, составил 1335 долларов. Сколько было вложено по каждой ставке?
    Решение 
    У нас есть система двух уравнений с двумя переменными. Пусть [latex] x = [/ latex] сумма, инвестированная под 10,5% годовых, и [latex] y = [/ latex] сумма, инвестированная под 12% годовых.
    [латекс] \ begin {массив} {l} \ text {} x + y = 12 000 \ hfill \\ 0,105x + 0,12y = 1,335 \ hfill \ end {array} [/ latex]
    В качестве матрицы имеем
    [латекс] \ left [\ begin {array} {rr} \ hfill 1 & \ hfill 1 \\ \ hfill 0.105 & \ hfill 0.12 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} { r} \ hfill 12,000 \\ \ hfill 1,335 \ end {array} \ right] [/ latex]
    Умножьте строку 1 на [latex] -0.105 [/ latex] и прибавьте результат к строке 2.
    [латекс] \ left [\ begin {array} {rr} \ hfill 1 & \ hfill 1 \\ \ hfill 0 & \ hfill 0.015 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {r} \ hfill 12,000 \\ \ hfill 75 \ end {array} \ right] [/ latex]
    Затем,
    [латекс] \ begin {array} {l} 0,015y = 75 \ hfill \\ \ text {} y = 5,000 \ hfill \ end {array} [/ latex]
    Итак [латекс] 12 000 — 5 000 = 7 000 [/ латекс].
    Таким образом, 5000 долларов были инвестированы под 12% годовых и 7000 долларов под 10,5%.
    Пример 10: Применение матриц 3 × 3 к финансам 
    Ava инвестирует в общей сложности 10 000 долларов в три счета, один из которых платит 5% годовых, другой — 8%, а третий — 9%.Годовой процент, полученный по трем инвестициям в прошлом году, составил 770 долларов. Сумма, вложенная под 9%, была вдвое больше, чем сумма, вложенная под 5%. Сколько было вложено по каждой ставке?
    Решение 
    У нас есть система трех уравнений с тремя переменными. Пусть [latex] x [/ latex] будет сумма, инвестированная под 5% годовых, пусть [latex] y [/ latex] будет суммой, инвестированной под 8%, и пусть [latex] z [/ latex] будет инвестированной суммой. под 9% годовых. Таким образом,
    [латекс] \ begin {array} {l} \ text {} x + y + z = 10 000 \ hfill \\ 0.05x + 0,08y + 0,09z = 770 \ hfill \\ \ text {} 2x-z = 0 \ hfill \ end {array} [/ latex]
    В качестве матрицы имеем
    [латекс] \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 1 & \ hfill 1 & \ hfill 1 \\ \ hfill 0,05 & \ hfill 0,08 & \ hfill 0,09 \\ \ hfill 2 & \ hfill 0 & \ hfill -1 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {r} \ hfill 10,000 \\ \ hfill 770 \\ \ hfill 0 \ end {array} \ right] [/ latex]
    Теперь мы выполняем исключение Гаусса, чтобы получить форму строки-эшелон.
    [латекс] \ begin {массив} {l} \ begin {array} {l} \ hfill \\ -0.05 {R} _ {1} + {R} _ {2} = {R} _ {2} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0.03 & \ hfill & \ hfill 0.04 & \ hfill \\ \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 10,000 \\ \ hfill & \ hfill 270 \\ \ hfill & \ hfill 0 \ end {array} \ right] \ hfill \ end {array} \ hfill \\ -2 {R} _ {1} + {R} _ {3} = {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0.03 & \ hfill & \ hfill 0.04 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill -2 & \ hfill & \ hfill -3 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 10,000 \\ \ hfill & \ hfill 270 \\ \ hfill & \ hfill -20,000 \ end {array} \ right] \ hfill \\ \ frac {1} {0.03} {R} _ {2} = {R} _ {2} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill \ frac {4} {3} & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill -2 & \ hfill & \ hfill -3 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 10,000 \\ \ hfill & \ hfill 9,000 \\ \ hfill & \ hfill -20,000 \ end {array} \ right] \ hfill \\ 2 {R} _ {2} + {R} _ {3} = {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill \ frac {4} {3} & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill — \ frac {1} {3} & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 10,000 \\ \ hfill & \ hfill 9,000 \\ \ hfill & \ hfill -2,000 \ end {array} \ right] \ hfill \ end {array} [/ latex]
    Третья строка сообщает нам [латекс] — \ frac {1} {3} z = -2,000 [/ latex]; таким образом [латекс] z = 6,000 [/ латекс].
    Вторая строка сообщает нам [латекс] y + \ frac {4} {3} z = 9000 [/ latex]. Подставляя [латекс] z = 6,000 [/ latex], получаем
    [латекс] \ begin {array} {r} \ hfill y + \ frac {4} {3} \ left (6000 \ right) = 9000 \\ \ hfill y + 8000 = 9000 \\ \ hfill y = 1000 \ end {array} [/ latex]
    Первая строка сообщает нам [латекс] x + y + z = 10,000 [/ latex]. Подставляя [латекс] y = 1000 [/ latex] и [latex] z = 6000 [/ latex], получаем
    [латекс] \ begin {array} {l} x + 1 000 + 6 000 = 10 000 \ hfill \\ \ text {} x = 3 000 \ text {} \ hfill \ end {array} [/ latex]
    Ответ: 3000 долларов вложены под 5%, 1000 долларов вложены под 8% и 6000 долларов вложены под 9%.
    Попробуй 6 
    Небольшая обувная компания взяла ссуду в размере 1 500 000 долларов на расширение своих запасов. Часть денег была взята под 7%, часть — под 8%, часть — под 10%. Сумма займа под 10% в четыре раза превышала сумму займа под 7%, а годовая процентная ставка по всем трем займам составляла 130 500 долларов. Используйте матрицы, чтобы найти сумму займа по каждой ставке.
    Решение
    уравнений абсолютных значений 
    уравнений абсолютных значений
   Уравнения абсолютных значений
    Выполните следующие действия, чтобы найти абсолютное значение равенства
    который содержит одно абсолютное значение:
    Выделите абсолютное значение на одной стороне уравнения.
    Число на другой стороне уравнения отрицательное?
    Если вы ответили утвердительно, то уравнение не имеет решения. Если вы ответили
    нет, переходите к шагу 3.
    Напишите два уравнения без абсолютных значений. Первое уравнение
    установит количество внутри столбцов, равное количеству на другом
    сторона знака равенства; второе уравнение установит количество внутри
    столбцы равны противоположному числу на другой стороне.
    Решите два уравнения.
    Выполните следующие действия, чтобы найти равенство абсолютного значения.
    который содержит два абсолютных значения (по одному с каждой стороны уравнения):
    Напишите два уравнения без абсолютных значений. Первое
    уравнение установит количество внутри столбцов с левой стороны равным
    количество внутри полос с правой стороны. Второе уравнение
    установит количество внутри столбцов с левой стороны равным противоположному
    количества внутри полос с правой стороны.
    Решите два уравнения.
    Давайте рассмотрим несколько примеров.
     Пример 1: Решить | 2x — 1 | + 3 = 6 
     Шаг 1:  Изолировать
    абсолютное значение
    | 2x — 1 | + 3 = 6
    | 2x — 1 | = 3
     Шаг 2:  Is
    число на другой стороне уравнения отрицательное?
    Нет, это положительное число, 3, так что продолжайте
    шаг 3
     Шаг 3:  Запись
    два уравнения без столбцов абсолютных значений
    2x — 1 = 3
    2х — 1 = -3
     Шаг 4:  Решить
    оба уравнения
    2x — 1 = 3
    2x = 4
    х = 2
    2х — 1 = -3
    2x = -2
    х = -1
     Пример 2: Решить | 3x — 6 | — 9 = -3 
     Шаг 1:  Изолировать
    абсолютное значение
    | 3х — 6 | — 9 = -3
    | 3x — 6 | = 6
     Шаг 2:  Is
    число на другой стороне уравнения отрицательное?
    Нет, это положительное число, 6, так что продолжайте
    шаг 3
     Шаг 3:  Запись
    два уравнения без столбцов абсолютных значений
    3x — 6 = 6
    3х — 6 = -6
     Шаг 4:  Решить
    оба уравнения
    3х — 6 = 6
    3x = 12
    х = 4
    3х — 6 = -6
    3x = 0
    х = 0
     Пример 3: Решить | 5x + 4 | + 10 = 2 
     Шаг 1:  Изолировать
    абсолютное значение
    | 5x + 4 | + 10 = 2
    | 5x + 4 | = -8
     Шаг 2:  Is
    число на другой стороне уравнения отрицательное?
    Да, это отрицательное число, -8.Нет решения
    к этой проблеме.
     Пример 4: Решить | x — 7 | = | 2x — 2 | 
     Шаг 1:  Запись
    два уравнения без столбцов абсолютных значений
    х — 7 = 2х — 2
    х — 7 = — (2х — 2)
     Шаг 4:  Решить
    оба уравнения
    х — 7 = 2х — 2
    -x — 7 = -2
    -x = 5
    х = -5
    х — 7 = -2x + 2
    3x — 7 = 2
    3x = 9
    х = 3
     Пример 5: Решить | x — 3 | = | x + 2 | 
     Шаг 1:  Запись
    два уравнения без столбцов абсолютных значений
    х — 3 = х + 2
    х — 3 = — (х + 2)
     Шаг 4:  Решить
    оба уравнения
    х — 3 = х + 2
    — 3 = -2
    ложное заявление
    Нет решения из этого уравнения
    х — 3 = -x — 2
    2x — 3 = -2
    2x = 1
    х = 1/2
    Итак, единственное решение этой проблемы — x = 1/2
     Пример 6: Решить | x — 3 | = | 3 — x | 
     Шаг 1:  Запись
    два уравнения без столбцов абсолютных значений
    х — 3 = 3 — х
    х — 3 = — (3 — х)
     Шаг 4:  Решить
    оба уравнения
    х — 3 = 3 — х
    2x — 3 = 3
    2x = 6
    х = 3
    х — 3 = — (3 — х)
    х — 3 = -3 + х
    -3 = -3
    Все действительные числа являются решениями этого уравнения
    Так как 3 входит в набор действительных чисел,
    мы просто скажем, что решение этого уравнения — все действительные числа
    1.Решение квадратных уравнений с помощью факторинга 
    Общая форма квадратного уравнения —
     топор   2  +  bx  +  c  = 0
   , где  x  — переменная, а  a ,  b  и  c  — константы
    Примеры квадратных уравнений 
    (а) 5  x   2 -3  x  — 1 = 0 является
    квадратное уравнение в квадратичной форме где
    `a = 5`,` b = -3`, `c = -1`
    (б) 5 + 3  т  — 4.9  t   2  = 0 — это
    квадратное уравнение в квадратичной форме.
    Здесь `a = -4.9`,` b = 3`, `c = 5`
    [Это уравнение возникло из определения времени, когда снаряд под действием силы тяжести попадает в
    земля.]
    (c)  ( x  + 1)  2  = 4 — квадратичный
    уравнение, но  не  в квадратичной форме.
    Его необходимо расширить и упростить до:
     x   2  + 2  x  — 3 = 0
    Сводка 
    В общем, квадратное уравнение:
    должен содержать термин  x   2 
    НЕ должен содержать термины со степенью выше  x   2  например. x   3 ,  x   4  и т. Д.
    Примеры неквадратичных уравнений 
     bx  — 6 = 0 НЕ является квадратным уравнением, потому что нет члена  x   2 .
     x   3  —  x   2  — 5 = 0 НЕ является квадратным уравнением, потому что существует член  x   3  (не допускается в квадратных уравнениях).
    Решения квадратичного
    Уравнение 
    Решение уравнения состоит из всех чисел (корней), которые  делают уравнение истинным .
    Все квадратные уравнения имеют 2 решения (т. Е. 2 ​​корня). Их может быть:
    настоящие и отличные
    настоящие и равные
    мнимая (комплексная)
    Пример 1 
    Квадратное уравнение  x   2 -7  x  + 10 = 0 имеет корни из
    `x = 2` и` x = 5`. (Ниже мы покажем, как найти эти корни.)
    Это можно увидеть, подставив в уравнение:
    Когда  x  = 2,
     x   2 -7  x  + 10
    = (2)  2 -7 (2)   + 10
    = 4–14 + 10
    = 0
    (аналогично можно отобразить для  x  = 5).В этом примере корни — это  реальных  и  различных .
    Пример 2 
    Квадратное уравнение  x   2 -6  x  + 9 = 0 имеет  двойных корней  из  x  = 3 (оба корня одинаковые)
    Это можно увидеть, подставив  x  = 3 в
    уравнение:
     x   2 -6  x  + 9
    = (3)  2 -6 (3) + 9
    = 9–18 + 9
    = 0
    Пример 3 
    Квадратное уравнение
     x   2  + 9 = 0
    имеет  мнимых корней  из
    `x = sqrt (-9)` или `-sqrt (-9)`
    Узнайте больше о мнимых числах.
    Решение квадратного уравнения с учетом множителей 
    Пока мы будем иметь дело только с квадратными уравнениями, которые можно факторизовать (факторизовать).
    Если вам нужно напоминание о том, как учитывать фактор, вернитесь в раздел:
    Факторинговые трехчлены.
    Используя тот факт, что продукт равен нулю, если какой-либо из его факторов равен нулю, мы выполняем следующие шаги:
    (i) Переместите все термины влево и упростите, оставив ноль на
    правая сторона.
    (ii) Факторизуйте квадратичное выражение
    (iii) Установить каждый коэффициент равным нулю
    (iv) Решите полученные линейные уравнения
    (v) Проверьте решения в исходном уравнении
    Пример 4 
    Решить  x   2 -2  x -15 = 0
    Ответ
     x   2 -2  x -15 = 0
    Факторинг дает:
    ( x -5) ( x  + 3) = 0
    Теперь, если любой из членов ( x -5) или ( x  + 3) равен 0, произведение равно нулю.Итак, делаем вывод:
    ( x -5) = 0, следовательно,
     х  = 5
    или
    ( x  + 3) = 0, следовательно,
     х  = — 3
    Следовательно, корни равны  x  = 5 и  x  = — 3.
    Мы правы?
    Мы проверяем корни в исходном уравнении с помощью
    подмена.
    Когда  x  = 5:
     x   2 -2  x -15
    = (5)  2 -10-15
    = 25–10–15
    = 0
    (Аналогично, когда мы подставляем `x = -3`, мы также получаем` 0`.2 = 16`
    `u = + -4`
     Шаг 5:  Подставьте любое значение (мы будем использовать `+ 4`) в выражения скобок` u`, получив те же корни квадратного уравнения, которые мы нашли выше:
    `x = (1-u) = 1-4 = -3,` или
    `х = (1 + u) = 1 + 4 = 5`
    Подробнее об этом подходе см . 2 + 6x + 1 = 0`
    Ответ
    9  x   2  + 6  x  + 1 = 0
    Факторинг дает:
    (3  x  + 1) (3  x  + 1) = 0
    Итак, делаем вывод:
    (3  x  + 1) = 0,
    следовательно
    `x = -1 / 3`
    Мы говорим, что существует  двойной корень  из x = -1 / 3.2 = 0`
    `u = 0`
     Шаг 5:  Подставьте `u = 0` в выражения скобок` u`, получив тот же (повторяющийся) корень квадратного уравнения, который мы нашли выше:
    `x = -1 / 3-0 = -1 / 3,` или `x = -1 / 3 + 0 = -1 / 3`
    Пример 6 (с дробями) 
    Решить
    `2-1 / x = 3 / (x + 2)`
    Ответ
    `2-1 / x = 3 / (x + 2)`
    Умножьте всю длину на `x (x + 2)`, чтобы удалить знаменатели (нижние части) дробей:
    `2x (x + 2) — (x (x + 2)) / x = (3 (x) (x + 2)) / (x + 2)`
    Отмена дает:
    `2x (x + 2) — (x + 2) = 3x`
    Раскрываем скобки:
    `2x ^ 2 + 4x-x-2 = 3x`
    `2x ^ 2-2 = 0`
    `x ^ 2-1 = 0`
    Факторинг дает:
    `(x + 1) (x-1) = 0`
    Итак, `x = -1` или` x = 1`.
    ПРОВЕРКА: Подстановка `x = -1` как в левую, так и в правую части вопроса дает:
    «» LHS «= 2-1 / x = 2-1 / -1 = 3`
    `« ПРАВЫЙ »= 3 / (x + 2) = 3 / (- 1 + 2) = 3 =« ПРАВЫЙ »`
    Аналогично, для `x = + 1`
    LHS `= 2 — 1 = 1`
    RHS `= 3/3 = 1 =` LHS
    Упражнения 
    Определите, являются ли следующие уравнения квадратными. Если так,
    определить  a ,  b  и
     г. 
    а.2− 12x + 2 = 0`
    Итак, да, это квадратное уравнение с
    `a = 9`,` b = -12`, `c = 2`
    Решить для  x :
    2  x   2 -7  x  + 6 = 3
    Ответ
    2  x   2 -7  x  + 6 = 3
    2  x   2 -7  x  + 3 = 0
    (2  x  — 1) ( x  — 3) = 0
    Так
    `x = 1 / 2` или` x = 3`.