{6 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left (6 p \right )} + \cos{\left (6 p \right )} = 1$$
значит
$$\cos{\left (6 p \right )} = 1$$
и
$$\sin{\left (6 p \right )} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,…
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = — \sqrt[6]{5}$$
$$z_{2} = \sqrt[6]{5}$$
$$z_{3} = — \frac{\sqrt[6]{5}}{2} — \frac{\sqrt{3} i}{2} \sqrt[6]{5}$$
$$z_{4} = — \frac{\sqrt[6]{5}}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \sqrt[6]{5}$$
$$z_{5} = \frac{\sqrt[6]{5}}{2} — \frac{\sqrt{3} i}{2} \sqrt[6]{5}$$
$$z_{6} = \frac{\sqrt[6]{5}}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \sqrt[6]{5}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = — \sqrt[6]{5}$$
$$x_{2} = \sqrt[6]{5}$$
$$x_{3} = — \frac{\sqrt[6]{5}}{2} — \frac{\sqrt{3} i}{2} \sqrt[6]{5}$$
$$x_{4} = — \frac{\sqrt[6]{5}}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \sqrt[6]{5}$$
$$x_{5} = \frac{\sqrt[6]{5}}{2} — \frac{\sqrt{3} i}{2} \sqrt[6]{5}$$
$$x_{6} = \frac{\sqrt[6]{5}}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \sqrt[6]{5}$$
Содержание
Урок 27. решение уравнений вида: х ∙ 8 = 26 + 70, х : 6 = 18 ∙ 5, 80 : х = 46 – 30 — Математика — 4 класс
Математика, 4 класс
Урок № 27. Решение уравнений вида: х · 8 = 26 + 70, х : 6 = 18 · 5,80 : х = 46 – 30
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
— как решать уравнения вида: x∙ 8 = 26 + 70, x : 6 = 18 ∙ 5, 80 : x = 46 – 30
— какой алгоритм решения данных уравнений?
Глоссарий по теме:
Уравнение – это равенство с неизвестным числом. Неизвестное число обозначают латинской буквой.
Алгоритм — последовательность действия (шагов)
Решить уравнение – это значит найти такое значение неизвестного числа, при котором равенство будет верным.
Основная и дополнительная литература по теме урока:
1. Моро М.И., Бантова М.А. и др. Математика 4 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. Ч.1 — М.; Просвещение, 2017. – с.80
2. Моро М.И., Волкова С.И. Математика. Рабочая тетрадь 4 класс. Часть 1. М.; Просвещение, 2016. – с.34,35
3. Волкова С.И. Математика. Проверочные работы 4 класс. М.; Просвещение, 2017. – с.44-45.
4. Волкова С.И. Математика. Тесты 4 класс. М.; Просвещение, 2017. – с.40-41.
5. Кочергина А.В. Учим математику с увлечением (Методическая библиотека). М.: 5 за знания, 2007. – с.159.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Вспомните, как связаны между собой числа при умножении.
Посмотрите, множитель 20, множитель 3, произведение 60.
Если 60 разделить на 20, получится 3.
Если 60 разделить на 3, получится 20.
Значит, если произведение разделить на один из множителей, то получится другой множитель. Это правило потребуется при решении уравнений, в которых неизвестен один из множителей.
20 ∙ 3 = 60
60 : 20 = 3
60 : 3 = 20
Решим уравнение:
произведение неизвестного числа и числа 7 равно числу 91. В нем неизвестен первый множитель. Как его найти? Для нахождения неизвестного первого множителя надо произведение 91 разделить на известный множитель 7. Делим 91 на 7 — получаем 13. Выполним проверку. Подставим в уравнение вместо икс число 13.
13 умножить на 7 получим 91. Получили верное равенство:
91 равно девяносто одному. Значит, решили правильно.
А теперь догадайтесь, как решить уравнение: произведение неизвестного числа и числа 7 равно сумме чисел восьмидесяти и одиннадцати. Найдем значение выражения в правой части уравнения: 80 плюс 11 равно 91. Тем самым мы получили уравнение, которое уже умеем решать. Посмотрите, как записывается решение этого уравнения и его проверка.
Вспомним, как связаны между собой числа при делении.
Посмотрите: делимое 15, делитель 3, частное равно пяти.
Если делитель 3 умножить на частное 5, получим делимое 15.
Если делимое 15 разделить на частное 5, получим делитель 3.
15 : 3 = 5
3 ∙ 5 = 15
15 : 5 = 3
Знание связей между делимым, делителем и частным потребуется для решения уравнений, в которых неизвестен один из компонентов: делимое или делитель. Посмотрите, как решаются такие уравнения. В первом уравнении неизвестно делимое. Чтобы его найти, нужно делитель 3 умножить на частное 9.
Во втором уравнении неизвестен делитель. Чтобы его найти, нужно делимое 45 разделить на частное 3.
А как решить такое уравнение? Вычислим произведение в правой части: 18 умножить на 5 получим 90. Получается уравнение, в котором неизвестно делимое. Вы уже знаете, как его решать. Выполним проверку решения уравнения. Подставим число 540 вместо икс, вычислим левую часть и правую часть выражения: 90 равно 90. Значит уравнение решили верно.
Задания тренировочного модуля:
1.К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго.
91 : х = 13 | x = 20 |
х : 21=4 | x = 7 |
24 ∙x = 96 | x = 84 |
x∙ 3 = 60 | x = 4 |
Правильный ответ:
91 : х = 13 | x = 7 |
х : 21= 4 | x = 84 |
24 ∙x = 96 | x = 4 |
x∙3 = 60 | x = 20 |
2. Выполните вычисления и выделите верный ответ:
7 ∙x = 140 : 2
Варианты ответов: 10, 400, 2
Правильный вариант:
10
3.Решите уравнение, подчеркните правильный ответ:
(80 : у) ∙ 700 = 2800
Варианты ответов:
2, 4, 20
Правильные варианты:
20
Как решать линейные уравнения — формулы и примеры решения простейших уравнений
Понятие уравнения
Понятие уравнения обычно проходят в самом начале школьного курса алгебры. Его определяют, как равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.
В школьной программе за 7 класс впервые появляется понятие переменных. Их принято обозначать латинскими буквами, которые принимают разные значения. Исходя из этого можно дать более полное определение уравнению.
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. |
Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.
Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.
Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.
Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.
Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.
Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.
Какие бывают виды уравнений
Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.
Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.
| Линейное уравнение выглядит так | ах + b = 0, где a и b — действительные числа. Что поможет в решении:
|
|---|---|
| Квадратное уравнение выглядит так: | ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0. |
Система уравнений — это несколько уравнений, для которых нужно найти значения неизвестных. Она имеет вид ax + by + c = 0 и называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.
Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому выражению и является верным числовым равенством.
Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.
Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:
- кубические
- уравнение четвёртой степени
- иррациональные и рациональные
- системы линейных алгебраических уравнений
Как решать простые уравнения
Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.
1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.
Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5
Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.
Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.
Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.
Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.
Как решаем:
- Перенесем 6x из левой части в правую. Знак меняем на противоположный, то есть минус.
6x −5x = 10
- Приведем подобные и завершим решение.
x = 10
Ответ: x = 10.
2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.
Применим правило при решении примера: 4x=8.
При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.
Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.
Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:
Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:
Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12
Как решаем:
- Сократим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.
−4x = 12 | :(−4)
x = −3
Ответ: x = −3.
Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.
Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.
Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.
| Алгоритм решения простого линейного уравнения |
|---|
|
Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте схему-подсказку — храните ее в телефоне, учебники или на рабочем столе.
А вот и видео «Простейшие линейные уравнения» для тех, кто учиться в 5, 6 и 7 классе.
Примеры линейных уравнений
Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!
Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.
Решаем так:
- Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.
6х = 19 — 1
- Выполнить вычитание.
6х = 18
- Разделить обе части на общий множитель, то есть 6.
х = 2
Ответ: х = 2.
Пример 2. Как решить уравнение: 5(х — 3) + 2 = 3 (х — 4) + 2х — 1.
Решаем так:
- Раскрыть скобки
5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1
- Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены.
5х — 3х — 2х = — 12 — 1 + 15 — 2
- Приведем подобные члены.
0х = 0
Ответ: х — любое число.
Пример 3. Решить: 4х = 1/8.
Решаем так:
- Найти неизвестную переменную.
х = 1/8 : 4
х = 1/12
Ответ: 1/12 или 0,83. О десятичных дробях можно почитать здесь.
Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 — 7х.
Решаем так:
- 4х + 8 = 6 — 7х
- 4х + 7х = 6 — 8
- 11х = −2
- х = −2 : 11
- х = — 0, 18
Ответ: — 0,18.
Пример 5. Решить:
Решаем так:
- 3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
- 9х — 12 = 28х + 24
- 9х — 28х = 24 + 12
- -19х = 36
- х = 36 : (-19)
- х = — 36/19
Ответ: 1 17/19.
Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.
Решаем так:
- Раскрыть скобки
5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1
- Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:
х — х = 4 — 7
- Приведем подобные члены.
0 * х = — 3
Ответ: нет решений.
Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 — 7х..
Решаем так:
- 2х + 6 = 5 — 7х
- 2х + 6х = 5 — 7
- 8х = −2
- х = −2 : 8
- х = — 0,25
Ответ: — 0,25.
Чтобы ребенок еще лучше учился в школе, запишите его на уроки математики в современную онлайн-школу Skysmart. Наши преподаватели понятно объяснят что угодно — от дробей до синусов — и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом. А еще помогут догнать сверстников и справиться со сложной контрольной.
Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем. А еще развивающие игры, квесты и головоломки на любой возраст и уровень.
Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике
В задании №5 варианта ЕГЭ вам встретятся всевозможные уравнения: квадратные и сводящиеся к квадратным, дробно-рациональные, иррациональные, степенные, показательные и логарифмические и даже тригонометрические. Видите, как много нужно знать, чтобы справиться с заданием! И еще ловушки и «подводные камни», которые ждут вас в самом неожиданном месте.
Вот список тем, которые стоит повторить:
Квадратные уравнения
Арифметический квадратный корень
Корни и степени
Показательная функция
Показательные уравнения
Логарифмическая функция
Логарифмические уравнения
Тригонометрический круг
Формулы приведения
Формулы тригонометрии
Простейшие тригонометрические уравнения 1
Уравнения, сводящиеся к квадратным
1. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Кажется, что уравнение очень простое. Но иногда здесь ошибаются даже отличники. А вот шестиклассник бы не ошибся.
С левой частью уравнения все понятно. Дробь умножается на А в правой части — смешанное число Его целая часть равна 19, а дробная часть равна Запишем это число в виде неправильной дроби:
Получим:
или
Выбираем меньший корень.
Ответ: — 6,5.
2. Решите уравнение
Возведем в квадрат левую часть уравнения. Получим:
Ответ: — 6
Дробно-рациональные уравнения
3. Найдите корень уравнения
Перенесем единицу в левую часть уравнения. Представим 1 как и приведем дроби к общему знаменателю:
Это довольно простой тип уравнений. Главное — внимательность.
Иррациональные уравнения
Так называются уравнения, содержащие знак корня — квадратного, кубического или n-ной степени.
4. Решите уравнение:
Выражение под корнем должно быть неотрицательно, а знаменатель дроби не равен нулю.
Значит, .
Возведём обе части уравнения в квадрат:
Решим пропорцию:
Условие при этом выполняется.
Ответ: 87.
5. Решите уравнение Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
А в этом уравнении есть ловушка. Решите его самостоятельно и после этого читайте дальше.
Выражение под корнем должно быть неотрицательно. И сам корень — величина неотрицательная. Значит, и правая часть должна быть больше или равна нуля. Следовательно, уравнение равносильно системе:
Решение таких уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов:
Мы получили, что . Это единственный корень уравнения.
Типичная ошибка в решении этого уравнения такая. Учащиеся честно пишут ОДЗ, помня, что выражение под корнем должно быть неотрицательно:
Возводят обе части уравнения в квадрат. Получают квадратное уравнение: Находят его корни: или Пишут в ответ: -9 (как меньший из корней). В итоге ноль баллов.
Теперь вы знаете, в чем дело. Конечно же, число -9 корнем этого уравнения быть не может.
6. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Запишем решение как цепочку равносильных переходов.
Ответ: 9.
Показательные уравнения
При решении показательных уравнений мы пользуемся свойством монотонности показательной функции.
7. Решите уравнение
Вспомним, что Уравнение приобретает вид: Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает только один раз. Степени равны, их основания, значит, и показатели равны.
откуда
8. Решите уравнение
Представим как
Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает только один раз. Степени равны, их основания, значит, и показатели равны.
Ответ: 7,5.
9. Решите уравнение
Представим в виде степени с основанием 3 и воспользуемся тем, что
Логарифмические уравнения
Решая логарифмические уравнения, мы также пользуемся монотонностью логарифмической функции: каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, значит, равны и сами числа.
И конечно, помним про область допустимых значений логарифма:
Логарифмы определены только для положительных чисел;
Основание логарифма должно быть положительно и не равно единице.
10. Решите уравнение:
Область допустимых значений: . Значит,
Представим 2 в правой части уравнения как — чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.
Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом
Ответ: 21.
11. Решите уравнение:
Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:
Ответ: -4.
12. Решите уравнение:
Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:
Записываем решение как цепочку равносильных переходов.
Ответ: 19.
13. Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
В этом уравнении тоже есть ловушка. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно единице.
Получим систему:
Первое уравнение мы получили просто из определения логарифма.
Квадратное уравнение имеет два корня: и
Очевидно, корень является посторонним, поскольку основание логарифма должно быть положительным. Значит, единственный корень уравнения:
Тригонометрические уравнения (Часть 1 ЕГЭ по математике)
Тригонометрические уравнения? В первой части вариантов ЕГЭ? — Да. Причем это задание не проще, чем задача 13 из второй части варианта Профильного ЕГЭ.
14. Найдите корень уравнения: В ответе запишите наибольший отрицательный корень.
Типичная ошибка — решать это уравнение в уме. Мы не будем так делать! Несмотря на то, что это задание включено в первую части варианта ЕГЭ, оно является полноценным тригонометрическим уравнением, причем с отбором решений.
Сделаем замену Получим:
Получаем решения: Вернемся к переменной x.
Поделим обе части уравнения на и умножим на 4.
Первой серии принадлежат решения
Вторая серия включает решения
Наибольший отрицательный корень — тот из отрицательных, который ближе всех к нулю. Это
Ответ: -2.
15. Решите уравнение В ответе напишите наименьший положительный корень.
Решение:
Сделаем замену Получим: Решения этого уравнения:
Вернемся к переменной х:
Умножим обе части уравнения на 4 и разделим на
Выпишем несколько решений уравнения и выберем наименьший положительный корень:
Наименьший положительный корень
Ответ: 2
Мы разобрали основные типы уравнений, встречающихся в задании №5 Профильного ЕГЭ по математике. Конечно, это не все, и видов уравнений в этой задаче существует намного больше. Успеха вам в подготовке к ЕГЭ!
Мотоблок «Агат» Х-6,5 (двигатель Honda GX200 / 6,5 л.с.)
Рассрочка на 6 месяцев.
Это именно рассрочка.
Процент по Кредиту мы возьмем на себя. Вы можете указать в графе сумма — общую сумму по любым товарам.
Просим вас оформить заказ через корзину на самовывоз, чтобы мы могли Вас в дальнейшем включить в розыгрыш товаров или сделать подарок (при прохождении таких акций).
Мотоблок «Агат» Х-6,5 (двигатель Honda GX200 / 6,5 л.с.)
ТЕХНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
|
Мощность двигателя
|
6.5 л.с.
|
|
Производитель двигателя
|
Honda GX200
|
|
Объем двигателя
|
196 см3
|
|
Тип двигателя
|
4-х тактный
|
|
Пуск
|
ручной
|
|
Объем топливного бака
|
3,6 л
|
|
Объем масла
|
0.6 л
|
|
Охлаждение
|
воздушное
|
|
Ширина обработки
|
90 см
|
|
Ширина вспашки с удлинителями полуосей
|
80 см (6 фрез)
|
|
Количество фрез
|
4 (возможно увеличение до 6 или уменьшение до 2)
|
|
Диаметр фрез-культиваторов
|
31 см
|
|
Частота вращения фрез
|
20-130 об/мин
|
|
Глубина обработки
|
25 см
|
|
Количество скоростей
|
2-вперед, 1-назад
|
|
Сцепление
|
ременное
|
|
Редуктор
|
шестеренчатый
|
|
Объем масла редуктора
|
1.1 л
|
|
Дорожный просвет
|
115 мм
|
|
Колеса
|
40 см (пневматические)
|
|
Рукоятка
|
регулируемая, 2 положения
|
|
Максимальный расход топлива
|
395 г/кВт час
|
|
Скорость перемещения
|
7.6 км/ч
|
|
Габаритные размеры
|
1510 х 620 х 1335 мм
|
|
Габариты упаковки
|
850 х 550 х 900 мм
|
|
Вес
|
84.7 кг
|
|
Родина Торговой марки
|
Россия
|
|
Производитель
|
АО ГМЗ «АГАТ» Ярославская область, Гаврилов-Ям, пр. Машиностроителей 1
|
|
Официальный дилер ОАО ГМЗ «АГАТ» по направлению мотоблоки «АГАТ» с 2002 года
|
ООО «Агромаркет-Трейд» Краснодарский край,
Краснодар,
г. Усть-Лабинск
|
|
Гарантия
|
12 мес.
|
КОМПЛЕКТАЦИЯ
|
Мотоблок «Агат» Х-6,5 (двигатель Honda GX200 / 6,5 л.с.)
|
1 шт.
|
|
Усиленные фрезы
|
4 шт.
|
|
Дополнительные расширительные крылья
|
2 шт.
|
|
Переходная опора
|
1 шт.
|
|
Расширительные втулки
|
2 шт.
|
|
Сошник
|
1 шт.
|
|
Комплект ключей
|
1 шт.
|
|
Ремень
|
2 шт.
|
|
Паспорт
|
1 шт.
|
ОСОБЕННОСТИ МОТОБЛОКА
«Агат» Х-6,5 (двигатель Honda GX200 / 6,5 л.с.)
- Мотоблок Агат Х6,5 с двигателем «Honda GX-200» предназначен для садовых работ на больших участках и в фермерских хозяйствах.
- Модель оборудована профессиональным японским двигателем Honda GX-200, с чугунной гильзой цилиндра и верхним расположением клапанов. Данная модификация мотора отличается низким уровнем шума и экономичностью, она устойчива к вибрациям и внешним нагрузкам.
- Двигатель свободно запускается в любую погоду.
- Мотоблок комплектуется четырьмя кованными почвофрезами, которые позволяют обрабатывать тяжелые типы почв на глубину до 30 см.
- Также модель оборудовала валом отбора мощности, что позволяет использовать широкий спектр активного прицепного и навесного оборудования, в том числе культиватор, косилку, снегоуборщик, щетка, плуг и многое другое.
- Мощный двигатель и приличный вес почти в 80 килограммов позволяют использовать мотоблок для перевозки грузов, для этого требуется приобрести дополнительно тележку.
- Низкий центр тяжести, смещенный вперед — облегчает работу оператора. Мотоблоки с таким центром тяжести устойчивы к опрокидыванию и не заваливаются во время культивации.
- Переключение передач производится рычагом, расположенным на корпусе редуктора.
- Эргономичная рукоятка может регулироваться под рост оператора.
- Регулируемая по высоте рулевая колонка — благодаря удачной развесовке и сравнительно малому весу управлять мотоблокам достаточно легко.
- Шестеренчатый редуктор с клиноременной передачей.
- При применении почвофрезы можно использовать до шести ее секций, что увеличивает ширину захвата до 80 см.
- В комплекте с завода поставляются 4 фрезы.
- Рукоятка сцепления имеет фиксатор, что избавляет от необходимости подолгу держать ручку нажатой.
- Широкий диапазон скоростей (коробка обеспечивает переключение в диапазоне 2 скоростей вперед и 1 назад, также при перестановке ремня на шкиве можно изменить передаточное число, тем самым изменив скорость движения. Всего возможных вариантов скоростей: до 4 вперед и 2 назад): от самой мощной первой передачи — для тяжелых агротехнических работ, до наивысшей — 12 км/час, используемой при перевозке грузов.
- Минимальные эксплуатационные затраты мотоблока, простое и доступное техническое обслуживание, широкая сеть центров гарантийного и постгарантийного обслуживания по всей России и в странах ближнего зарубежья.
_____________________________________________________________________
Боевого настроения, хорошей работы и приятного отдыха!
Проект гаража 6,1 х 5,9 м — комплектация, цены
Гараж для одной машины 6,1 х 5,9 м — возможны различные варианты комплектации. Стоимость материалов для строительства и внешний вид, схемы, фото.
Обыкновенный гараж 6,2х6 предназначен, как правило, для двух машин. Размер такого гаража позволяет разместить, как легковые автомобили, так и джипы. Пример особого проекта гаража 6,1х5,9 м.
Меньший размер не означает, что в него не поместятся две машины. Просто в данном случае, речь идет о гараже на одну машину и создании просторного места для размещения стеллажей. Из такого гаража получится отличное место для хранения инструментов и приспособлений. Гараж и хозблок в одном помещении.
Некоторые построенные проекты:
Схема
Виды
Цены на комплекты
| Вариант комплектации | Составные части | Цена комплекта | Цена под ключ |
| Базовый вариант |
| 762 000 руб | 1 029 000 руб |
| Расширенный вариант | Базовый вариант +
| 799 000 руб | 1 078 000 руб |
| Базовый утепленный | Базовый вариант +
| 897 000 руб | 1 211 000 руб |
| Утепленный вариант | Расширенный вариант +
| 965 000 руб | 1 303 000 руб |
Фундамент и транспортные расходы рассчитываются отдельно, подробнее о гаражах на странице — Проект гаража
Комплектация гаража
В шведских металлических гаражах существует несколько вариантов комплектации:
- Базовый вариант комплектации. В нем все самое необходимое для размещения авто. Стены, кровля, подшив, ворота. Готовое строение для размещения на даче.
- Расширенный вариант. Тем, кому нужен водосток, окно, дверь, рекомендуем присмотреться к этому варианту. Водосток, действительно нужная опция, как для дома, так и для гаража. Окно поможет проветрить помещение. Через дверь входить удобнее.
- Утепленный вариант (с утеплением по стенам и по потолку). Утепленный вариант можно рекомендовать тем, кто хочет более широких возможностей от гаража. Например, оставить машину зимой, установить стеллажи или оборудование, чтобы была возможность работать в холодное время. К гаражу добавляется утеплитель 100 мм и пленки для паро и гидроизоляции.
Внешний вид гаража
Кровли и фасады
В качестве фасадов мы рекомендуем профнастил С-20 (в базовой отделке), виниловый сайдинг, цокольный сайдинг, металлический сайдинг под дерево, кирпич и камень и другие материалы из нашего ассортимента.
По кровле можем посоветовать металлочерепицу (в базе), битумную кровлю, ондулин.
Все гаражи можно изменить в размерах, добавить окна, двери и другие вещи.
Тренажер по решению линейных уравнений. | Тест по алгебре (7 класс) по теме:
Тренажер по теме «Решение линейных уравнений»
Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель |
Образец: 2х=10 х=10:2 х=5 |
Решите уравнение по образцу:
- 5х=10
- 10х=90
- 13у=78
- 25m=375
- 2х=-12
- -3к=15
- -12у=-36
- 31в=-93
- -4х=1,2
- 6у=-0,36
- -12к=-1,44
- -0,2х=-1,2
- 1.7у=-0,34
- -7,4m=-1,48
- 3х=1
- 7r =-4
- 13у=-10
- -10v=-7
- х=4
- у=6
- к=-.
- х=-1
- а=-1
Корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом знак на противоположный. |
Образец: х+5=10 х=10-5 х=5 | Образец: х-4=10 х=10+4 х=6 |
Решите уравнения:
- Х+6=10.
- У+14=19,
- а+41=60,
- 2х+3=13,
- 3у+14=77,
- 5х+13=73,
- Х-4,5=10,
- 5-у=4,
- 10-х=6,
- х -7,8=1,2,
- 2х-3=16,
- 100-5х=17,
- 0,2х+3=-1,5,
- -1,2у-4,7=-3,5,
- 4х+х=-15,
- 3у-5у=7,
- -4х-3у=-49,
- Х+4=3х,
- -3у+7=2у.
- 5а-1,5=2а.
- -0,2х+7=-1,6х,
- t+5=t-7,
- 2у=7у,
- -3к+8=-3к+9,
- 6,9-9n=-5n-33,1,
Образец: 3х+6=4х-1 3х-4х=-1-6 -х=-7 х=7 |
Решить уравнения:
- 2х+8=6х-2,
- 10у+3=2у-1,
- -4+3к=8к+5.
- 9+4а=8а-9,
- 3в+9=8в+2,
- 6-2с=3с-10,
- 5-2у=8у+9,
- -4х+3=4х-5,
- 4а+4=-6а-5.
- 3у+3=-2-7у.
- -10х+3=-1-8х,
- 9-4х=-4-9х,
- -8а+9=3-4а,
- с+3=с+5,
- t-t+2=t-3,
- x+x+5=x,
- 0,2f+2,3=0,7f-3,2,
- -0,4x-14=0,3x,
- -40·(-7x+5)=-1600,
- (-20t-50)·2=100,
- 2,1·(4-6e)=-42,
- -3·(2-15k)=-6,
- -20·(x-13)=-220,
- (30-7r)·8=352,
- (2,8-0,1h)·3,7=7,4,
- (3x-1,2)·7=10,5,
- x-=.
Образец: 2·(х-7)=3, 2х-14=3, 2х=3+14, 2х=17, х=17:2, х=8,5. |
Решить уравнение.
- 5·(у-9)=-2.
- 3=4·(к+2),
- 5·(с+5)=-7,
- 7·(а-1)=3а.
- 7·(-3+2х)=-6х-1,
- 2·(7+9к)=-6к+2,
- 6·(5-3с)=-8с-7,
- 4·(2-3х)=-7х+10,
- -4·(-к+7)=к+17,
- -5·(0,8t-1,2)=-t+7,2,
- -5·(3а+1)-11=-16,
- -3,2n+4,8=-2·(1,2n+2,4),
- -5·(0,8f-1,4)=-f+7,
- 5·(r-7)=3·(r-4)-27,
- 8-7·(c-2)=2·(2c-3)+3c,
- 4·(x-3)-16=5·(x-5),
- 5·(y-3)+27=4y+3·(2y-5),
- -4·(3-5z)=18z-7,
- 1,2-2·(1,3y+1)=5,6y-27,04,
- 8·(2f-6)=2·(4f+3),
- -3·(2,1m-1)+4,8=-6,7m+9,4,
- 6·(2c-3)+2·(4-3c)=5,
- h+- =2-h+2h,
- 1-1x+3x=1x-2x+2,5,
- 2·(z+1)+3=4-·(z-1).
Образец: =, 9х=5·4 9х=20 х=, х=2, |
Решить уравнения.
- =,
- = ,
- =,
- = ,
- = ,
- = ,
- = ,
- =4,
- =7,
- = ,
- = ,
- = ,
- = ,
- = ,
Решите уравнения:
Решайте неравенства с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»
В этой главе мы разработаем определенные методы, которые помогут решить проблемы, сформулированные на словах. Эти методы включают переписывание задач в виде символов. Например, заявленная проблема
«Найдите число, которое при добавлении к 3 дает 7»
можно записать как:
3+? = 7, 3 + n = 7, 3 + x = 1
и так далее, где символы?, N и x представляют число, которое мы хотим найти.Мы называем такие сокращенные версии поставленных задач уравнениями или символическими предложениями. Такие уравнения, как x + 3 = 7, являются уравнениями первой степени, поскольку переменная имеет показатель степени 1. Члены слева от знака равенства составляют левую часть уравнения; те, что справа, составляют правую часть. Таким образом, в уравнении x + 3 = 7 левый член равен x + 3, а правый член равен 7.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
Уравнения могут быть истинными или ложными, так же как словесные предложения могут быть истинными или ложными.Уравнение:
3 + х = 7
будет ложным, если вместо переменной подставлено любое число, кроме 4. Значение переменной, для которой верно уравнение (4 в этом примере), называется решением уравнения. Мы можем определить, является ли данное число решением данного уравнения, подставив число вместо переменной и определив истинность или ложность результата.
Пример 1 Определите, является ли значение 3 решением уравнения
4x — 2 = 3x + 1
Решение Мы подставляем значение 3 вместо x в уравнение и смотрим, равен ли левый член правому.
4 (3) — 2 = 3 (3) + 1
12 — 2 = 9 + 1
10 = 10
Отв. 3 — это решение.
Уравнения первой степени, которые мы рассматриваем в этой главе, имеют не более одного решения. Решения многих таких уравнений можно определить путем осмотра.
Пример 2 Найдите решение каждого уравнения путем осмотра.
а. х + 5 = 12
б. 4 · х = -20
Решения а. 7 — решение, так как 7 + 5 = 12.
b. -5 — это решение, поскольку 4 (-5) = -20.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СВОЙСТВ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ
В разделе 3.1 мы решили несколько простых уравнений первой степени путем проверки. Однако решения большинства уравнений не сразу видны при осмотре. Следовательно, нам нужны некоторые математические «инструменты» для решения уравнений.
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Эквивалентные уравнения — это уравнения, которые имеют идентичные решения. Таким образом,
3x + 3 = x + 13, 3x = x + 10, 2x = 10 и x = 5
— эквивалентные уравнения, потому что 5 — единственное решение каждого из них.Обратите внимание, что в уравнении 3x + 3 = x + 13 решение 5 не очевидно при осмотре, но в уравнении x = 5 решение 5 очевидно при осмотре. Решая любое уравнение, мы преобразуем данное уравнение, решение которого может быть неочевидным, в эквивалентное уравнение, решение которого легко заметить.
Следующее свойство, иногда называемое свойством сложения-вычитания , является одним из способов создания эквивалентных уравнений.
Если одно и то же количество добавляется или вычитается из обоих элементов
уравнения, полученное уравнение эквивалентно исходному
уравнение.
в символах,
a — b, a + c = b + c и a — c = b — c
— эквивалентные уравнения.
Пример 1 Напишите уравнение, эквивалентное
х + 3 = 7
путем вычитания 3 из каждого члена.
Решение Если вычесть 3 из каждого члена, получится
х + 3 — 3 = 7 — 3
или
х = 4
Обратите внимание, что x + 3 = 7 и x = 4 — эквивалентные уравнения, поскольку решение одинаково для обоих, а именно 4.В следующем примере показано, как мы можем создать эквивалентные уравнения, сначала упростив один или оба члена уравнения.
Пример 2 Напишите уравнение, эквивалентное
4x- 2-3x = 4 + 6
, объединив одинаковые термины, а затем добавив по 2 к каждому члену.
Объединение одинаковых терминов дает
х — 2 = 10
Добавление 2 к каждому члену дает
х-2 + 2 = 10 + 2
х = 12
Чтобы решить уравнение, мы используем свойство сложения-вычитания, чтобы преобразовать данное уравнение в эквивалентное уравнение вида x = a, из которого мы можем найти решение путем проверки.
Пример 3 Решить 2x + 1 = x — 2.
Мы хотим получить эквивалентное уравнение, в котором все члены, содержащие x, находятся в одном члене, а все члены, не содержащие x, — в другом. Если мы сначала прибавим -1 к каждому члену (или вычтем 1 из него), мы получим
.
2x + 1-1 = x — 2-1
2x = х — 3
Если мы теперь прибавим -x к каждому члену (или вычтем x из него), мы получим
2х-х = х — 3 — х
х = -3
, где решение -3 очевидно.
Решением исходного уравнения является число -3; однако ответ часто отображается в виде уравнения x = -3.
Поскольку каждое уравнение, полученное в процессе, эквивалентно исходному уравнению, -3 также является решением 2x + 1 = x — 2. В приведенном выше примере мы можем проверить решение, подставив — 3 вместо x в исходном уравнении.
2 (-3) + 1 = (-3) — 2
-5 = -5
Симметричное свойство равенства также помогает при решении уравнений. В этом объекте указано
Если a = b, то b = a
Это позволяет нам менять местами члены уравнения в любое время, не беспокоясь о каких-либо изменениях знака.Таким образом,
Если 4 = x + 2, то x + 2 = 4
Если x + 3 = 2x — 5, то 2x — 5 = x + 3
Если d = rt, то rt = d
Может быть несколько разных способов применить свойство сложения, указанное выше. Иногда один метод лучше другого, а в некоторых случаях также полезно симметричное свойство равенства.
Пример 4 Решите 2x = 3x — 9. (1)
Решение Если мы сначала добавим -3x к каждому члену, мы получим
2x — 3x = 3x — 9 — 3x
-x = -9
, где переменная имеет отрицательный коэффициент.Хотя при осмотре мы можем видеть, что решение равно 9, поскольку — (9) = -9, мы можем избежать отрицательного коэффициента, добавив -2x и +9 к каждому члену уравнения (1). В этом случае получаем
2x-2x + 9 = 3x- 9-2x + 9
9 = х
, из которого решение 9 очевидно. При желании последнее уравнение можно записать как x = 9 по симметричному свойству равенства.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СВОЙСТВА DIVISION
Рассмотрим уравнение
3x = 12
Решение этого уравнения — 4.Также обратите внимание, что если мы разделим каждый член уравнения на 3, мы получим уравнения
, решение которого также равно 4. В общем, мы имеем следующее свойство, которое иногда называют свойством деления.
Если оба члена уравнения делятся на одно и то же (ненулевое)
количество, полученное уравнение эквивалентно исходному уравнению.
в символах,
— эквивалентные уравнения.
Пример 1 Напишите уравнение, эквивалентное
-4x = 12
, разделив каждый член на -4.
Решение Разделив оба элемента на -4, получим
При решении уравнений мы используем указанное выше свойство для создания эквивалентных уравнений, в которых переменная имеет коэффициент 1.
Пример 2 Решите 3y + 2y = 20.
Сначала мы объединяем одинаковые термины, чтобы получить
5лет = 20
Тогда, разделив каждый член на 5, получим
В следующем примере мы используем свойство сложения-вычитания и свойство деления для решения уравнения.
Пример 3 Решить 4x + 7 = x — 2.
Решение
Сначала мы добавляем -x и -7 к каждому члену, чтобы получить
4x + 7 — x — 7 = x — 2 — x — 1
Далее, объединяя одинаковые термины, получаем
3x = -9
Наконец, мы разделим каждый член на 3, чтобы получить
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С СВОЙСТВОМ УМНОЖЕНИЯ
Рассмотрим уравнение
Решение этого уравнения — 12. Также обратите внимание, что если мы умножим каждый член уравнения на 4, мы получим уравнения
, решение которого также равно 12.В общем, мы имеем следующее свойство, которое иногда называют свойством умножения.
Если оба члена уравнения умножаются на одну и ту же ненулевую величину, полученное уравнение эквивалентно исходному уравнению.
в символах,
a = b и a · c = b · c (c ≠ 0)
— эквивалентные уравнения.
Пример 1 Напишите уравнение, эквивалентное
путем умножения каждого члена на 6.
Решение Умножение каждого члена на 6 дает
При решении уравнений мы используем указанное выше свойство для получения эквивалентных уравнений, не содержащих дробей.
Пример 2 Решить
Решение Во-первых, умножьте каждый член на 5, чтобы получить
Теперь разделите каждого члена на 3,
Пример 3 Решить.
Решение Во-первых, упростите над дробной чертой, чтобы получить
Затем умножьте каждый член на 3, чтобы получить
Наконец, разделив каждого члена на 5, получим
ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Теперь мы знаем все методы, необходимые для решения большинства уравнений первой степени.Не существует определенного порядка, в котором следует применять свойства. Может оказаться подходящим любой один или несколько из следующих шагов, перечисленных на странице 102.
Шаги по решению уравнений первой степени:
- Объедините одинаковые члены в каждом члене уравнения.
- Используя свойство сложения или вычитания, запишите уравнение со всеми членами, содержащими неизвестное в одном члене, и всеми членами, не содержащими неизвестное в другом.
- Объедините одинаковые термины в каждом элементе.
- Используйте свойство умножения для удаления дробей.
- Используйте свойство деления, чтобы получить коэффициент 1 для переменной.
Пример 1 Решите 5x — 7 = 2x — 4x + 14.
Решение Во-первых, мы объединяем одинаковые члены, 2x — 4x, чтобы получить
5x — 7 = -2x + 14
Затем мы добавляем + 2x и +7 к каждому члену и объединяем одинаковые термины, чтобы получить
5x — 7 + 2x + 7 = -2x + 14 + 2x + 1
7x = 21
Наконец, мы разделим каждый член на 7, чтобы получить
В следующем примере мы упрощаем над дробной чертой перед применением свойств, которые мы изучали.
Пример 2 Решить
Решение Сначала мы объединяем одинаковые термины, 4x — 2x, чтобы получить
Затем мы добавляем -3 к каждому члену и упрощаем
Затем мы умножаем каждый член на 3, чтобы получить
Наконец, мы разделим каждый член на 2, чтобы получить
РЕШЕНИЕ ФОРМУЛ
Уравнения, в которых используются переменные для измерения двух или более физических величин, называются формулами. Мы можем найти любую из переменных в формуле, если известны значения других переменных.Мы подставляем известные значения в формулу и решаем неизвестную переменную методами, которые мы использовали в предыдущих разделах.
Пример 1 В формуле d = rt найти t, если d = 24 и r = 3.
Решение Мы можем найти t, заменив 24 на d и 3 на r. То есть
d = rt
(24) = (3) т
8 = т
Часто бывает необходимо решить формулы или уравнения, в которых есть более одной переменной для одной из переменных в терминах других.Мы используем те же методы, которые продемонстрированы в предыдущих разделах.
Пример 2 В формуле d = rt найдите t через r и d.
Решение Мы можем решить для t в терминах r и d, разделив оба члена на r, чтобы получить
из которых по закону симметрии
В приведенном выше примере мы решили для t, применив свойство деления для создания эквивалентного уравнения. Иногда необходимо применить более одного такого свойства.
Пример 3 В уравнении ax + b = c найдите x через a, b и c.
Решение Мы можем решить для x, сначала добавив -b к каждому члену, чтобы получить
, затем разделив каждый член на a, мы получим
Решайте линейные и квадратные уравнения с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»
Решение уравнений — центральная тема алгебры. В этой главе мы изучим некоторые методы решения уравнений с одной переменной.Для этого мы будем использовать навыки, полученные при манипулировании числами и символами алгебры, а также операции с целыми числами, десятичными знаками и дробями, которые вы изучили в арифметике.
УСЛОВНЫЕ И ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ЗАДАЧИ
По завершении этого раздела вы сможете:
- Классифицируйте уравнение как условное или тождественное.
- Решите в уме простые уравнения.
- Определите, эквивалентны ли определенные уравнения.
Уравнение — это указание в символах того, что два числовых выражения равны.
Уравнения можно разделить на два основных типа:
1. Идентификатор верен для всех значений буквальных и арифметических чисел в нем.
Пример 1 5 x 4 = 20 — это идентичность.
Пример 2 2 + 3 = 5 — это идентификатор.
Пример 3 2x + 3x = 5x — это тождество, поскольку любое значение, замененное на x, даст равенство.
2. Условное уравнение верно только для определенных значений буквальных чисел в нем.
Пример 4 x + 3 = 9 верно, только если буквальное число x = 6.
Пример 5 3x — 4 = 11 верно, только если x = 5.
Буквальные числа в уравнении иногда называют переменными .
Поиск значений, которые делают условное уравнение истинным, является одной из основных целей этого текста.
Решение или корень уравнения — это значение переменной или переменных, которые делают уравнение истинным.
Говорят, что решение или корень для удовлетворяет уравнению .
Решение уравнения означает нахождение решения или корня.
Многие уравнения можно решить мысленно. Способность мысленно решать уравнение будет зависеть от умения манипулировать числами в арифметике. Чем лучше вы знаете факты умножения и сложения, тем более искусными вы будете в умении решать уравнения.
Пример 6 Решить относительно x: x + 3 = 7
Решение
Чтобы получить истинное утверждение, нам нужно значение x, которое при добавлении к 3 даст 7.Наши знания арифметики показывают, что 4 — это необходимое значение. Следовательно, решение уравнения x = 4.
| Какое число, добавленное к 3, равно 7? |
Пример 7 Решить относительно x: x — 5 = 3
Решение
Из какого числа вычитаем 5, чтобы получить 3? Опять же наш опыт с арифметикой говорит нам, что 8 — 5 = 3. Следовательно, решение — x = 8.
Пример 8 Решить относительно x: 3x = 15
Решение
Какое число нужно умножить на 3, чтобы получить 15? Наш ответ — x = 5.
Решение
На какое число разделим 2, чтобы получить 7? Наш ответ — 14.
Пример 10 Решить относительно x: 2x — 1 = 5
Решение
Мы бы вычли 1 из 6, чтобы получить 5. Таким образом, 2x = 6. Тогда
х = 3.
Независимо от того, как решается уравнение, решение всегда следует проверять на правильность.
Пример 11 Студент решил уравнение 5x — 3 = 4x + 2 и нашел ответ x = 6.Было это правильно или неправильно?
Решение
Удовлетворяет ли x = 6 уравнению 5x — 3 = 4x + 2? Чтобы проверить, мы подставляем 6 вместо x в уравнение, чтобы увидеть, получим ли мы истинное утверждение.
Это неверное утверждение, поэтому ответ x = 6 неверен.
Другой студент решил то же уравнение и нашел x = 5.
Это верное утверждение, поэтому x = 5 верно.
| Многие студенты думают, что, когда они нашли решение уравнения, задача решена. Не так! Последним шагом всегда должна быть проверка решения. |
Не все уравнения можно решить мысленно. Теперь мы хотим представить идею, которая является шагом к упорядоченному процессу решения уравнений.
| Является ли x = 3 решением x — 1 = 2? Является ли x = 3 решением 2x + I = 7? Что можно сказать об уравнениях x — 1 = 2 и 2x + 1 = 7? |
Два уравнения эквивалентны , если они имеют одно и то же решение или решения
Пример 12 3x = 6 и 2x + 1 = 5 эквивалентны, потому что в обоих случаях x = 2 является решением.
Методы решения уравнений включают процессы преобразования уравнения в эквивалентное уравнение. Если сложное уравнение, такое как 2x — 4 + 3x = 7x + 2 — 4x, можно заменить на простое уравнение x = 3, а уравнение x = 3 эквивалентно исходному уравнению, то мы решили уравнение.
Два вопроса теперь становятся очень важными.
- Эквивалентны ли два уравнения?
- Как мы можем заменить одно уравнение другим уравнением, которое ему эквивалентно?
Ответ на первый вопрос находится с использованием принципа подстановки.
Пример 13 Являются ли 5x + 2 = 6x — 1 и x = 3 эквивалентными уравнениями?
Решение
Ответ на второй вопрос включает методы решения уравнений, которые будут обсуждаться в следующих нескольких разделах.
| Чтобы правильно использовать принцип подстановки, мы должны подставить цифру 3 вместо x везде, где x появляется в уравнении. |
ПРАВИЛО ОТДЕЛЕНИЯ
ЗАДАЧИ
По завершении этого раздела вы сможете:
- Используйте правило деления для решения уравнений.
- Решите несколько основных прикладных задач, решение которых связано с использованием правила деления.
Как упоминалось ранее, мы хотим представить упорядоченную процедуру решения уравнений. Эта процедура включает четыре основных операции, первая из которых представлена в этом разделе.
Если каждый член уравнения равен делению на одно и то же ненулевое число, результирующее уравнение будет на эквивалентно исходному уравнению. ВНИМАНИЕ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Чтобы подготовиться к использованию правила деления для решения уравнений, мы должны обратить внимание на следующий процесс:
(Мы обычно пишем 1x как x с пониманием коэффициента 1.)
Пример 1 Решить относительно x: 3x = 10
Решение
Наша цель — получить x = некоторое число. Правило деления позволяет нам разделить каждый член 3x = 10 на одно и то же число, и наша цель найти значение x будет означать, что мы делим на 3. Это дало бы нам коэффициент 1 для x.
Проверить: 3x = 10 и x = эти эквивалентные уравнения?
Подставляем вместо x в первое уравнение, получая
Уравнения эквивалентны, поэтому решение правильное.
Пример 2 Решить относительно x: 5x = 20
Решение
| Обратите внимание, что правило деления не позволяет нам делить на ноль. Поскольку деление на ноль недопустимо в математике, такие выражения, как бессмысленны. |
Пример 3 Решить относительно x: 8x = 4
Решение
| Ошибки иногда допускаются в очень простых ситуациях.Не обращайте внимания на эту проблему и приходите к x = 2! Обратите внимание, что правило деления позволяет нам разделить каждый член уравнения на любое ненулевое число, и полученное уравнение эквивалентно исходному уравнению. Следовательно, мы можем разделить каждую часть уравнения на 5 и получить, что эквивалентно исходному уравнению. Однако деление на 5 не помогает найти решение. На какое число нужно разделить, чтобы найти решение? |
Пример 4 Решить относительно x: 0.5x = 6
Решение
Пример 6 Формула для определения длины окружности (C) окружности: C = 2πr, где π представляет радиус окружности и составляет приблизительно 3,14. Найдите радиус круга, если измеренная длина окружности равна 40,72 см. Дайте правильный ответ с точностью до двух знаков после запятой.
Решение
Для решения задачи, связанной с формулой, мы сначала используем принцип подстановки.
| Окружность означает «расстояние вокруг».»Это периметр круга. Радиус — это расстояние от центра до круга. |
ПРАВИЛО ВЫЧИСЛЕНИЯ
ЗАДАЧИ
По завершении этого раздела вы сможете использовать правило вычитания для решения уравнений.
В этом разделе будет обсуждаться второй шаг к упорядоченной процедуре решения уравнений. Вы будете использовать свои знания одинаковых терминов из главы 1, а также методы из раздела ПРАВИЛО ПОДРАЗДЕЛЕНИЯ .Обратите внимание, как новые идеи в алгебре основываются на предыдущих знаниях.
Если та же величина равна , вычитая из обеих частей уравнения, полученное уравнение будет на эквивалентно исходному уравнению.
Пример 1 Решить относительно x, если x + 7 = 12.
Решение
Хотя это уравнение легко решить в уме, мы хотим проиллюстрировать правило вычитания. Мы должны думать так:
«Я хочу решить относительно x, поэтому мне нужно, чтобы x был сам по себе на одной стороне уравнения.Но у меня x + 7. Так что, если я вычту 7 из x + 7, у меня останется только x с левой стороны ». (Помните, что величина, вычтенная из самой себя, дает ноль.) Но если мы вычтем 7 из одной стороны от числа. уравнение, правило требует, чтобы мы вычли 7 из другой стороны. Итак, мы действуем следующим образом:
| Обратите внимание, что x + 0 можно записать просто как x, поскольку ноль, добавленный к любому количеству, равен самому количеству. |
Пример 2 Решить относительно x: 5x = 4x + 3
Решение
Здесь наше мышление должно развиваться таким же образом.«Я хочу получить все неизвестные величины с одной стороны уравнения и все арифметические числа с другой, поэтому у меня есть уравнение в форме x = некоторое число. Таким образом, мне нужно вычесть Ax с обеих сторон».
| Наша цель — найти x = некоторое число. Помните, что проверка вашего решения — важный шаг в решении уравнений. |
Пример 3 Решить относительно x: 3x + 6 = 2x + 11
Здесь у нас более сложная задача.Сначала вычтите 6 с обеих сторон.
Теперь мы должны исключить 2x с правой стороны, вычитая 2x с обеих сторон.
Теперь мы рассмотрим решение, которое требует использования как правила вычитания, так и правила деления.
| Обратите внимание, что вместо первого вычитания 6 мы могли бы также сначала вычесть 2x с обеих сторон, получив 3x — 2x + 6 = 2x — 2x + 11 x + 6 = 11. Затем, вычитая 6 с обеих сторон, мы имеем х + 6-6 = 11-6 х = 5. Имейте в виду, что наша цель — x = некоторое число. |
Пример 4 Решить относительно x: 3x + 2 = 17
Решение
Сначала мы используем правило вычитания, чтобы вычесть 2 из обеих сторон, получая
Затем мы используем правило деления, чтобы получить
Пример 5 Решить относительно x: 7x + 1 = 5x + 9
Решение
Сначала воспользуемся правилом вычитания.
Тогда правило деления дает нам
Пример 6 Периметр (P) прямоугольника находится по формуле P = 2l + 2w, где l обозначает длину, а w обозначает ширину.Если периметр прямоугольника 54 см, а длина 15 см, какова ширина?
Решение
| Периметр — это расстояние вокруг. Вы понимаете, почему формула P = 2l + 2w? |
ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ПРАВИЛО
ЗАДАЧИ
По завершении этого раздела вы сможете использовать правило сложения для решения уравнений.
Теперь мы переходим к следующей операции в нашей цели разработки упорядоченной процедуры решения уравнений.Еще раз, мы будем полагаться на предыдущие знания.
Если одна и та же величина равна и добавлено к обеим сторонам уравнения, полученное уравнение будет равно , эквивалентному к исходному уравнению.
Пример 1 Решить относительно x, если x — 7 = 2.
Решение
Как всегда, решая уравнение, мы хотим прийти к форме «x = некоторое число». Мы замечаем, что 7 было вычтено из x, поэтому, чтобы получить только x в левой части уравнения, мы прибавляем 7 к обеим частям.
| Не забывайте всегда проверять свое решение. |
Пример 2 Решить относительно x: 2x — 3 = 6
Решение
Помня о нашей цели получить только x, мы замечаем, что, поскольку 3 было вычтено из 2x, мы добавляем 3 к обеим частям уравнения.
Теперь мы должны использовать правило деления.
| Почему мы добавляем 3 к обеим сторонам? Обратите внимание, что в этом примере простое использование правила сложения не решает проблему. |
Пример 3 Решить относительно x: 3x — 4 = 11
Решение
Сначала воспользуемся правилом сложения.
Затем, используя правило деления, получаем
| Здесь мы снова должны были использовать как правило сложения, так и правило деления для решения уравнения. |
Пример 4 Решить относительно x: 5x = 14 — 2x
Решение
Здесь наша цель получить только x с одной стороны предполагает, что мы удалим 2x справа, поэтому мы добавляем 2x к обеим сторонам уравнения.
Далее мы применим правило деления.
| Здесь мы снова должны были использовать как правило сложения, так и правило деления для решения уравнения. Обратите внимание, что мы проверяем, всегда подставляя решение в исходное уравнение. |
Пример 5 Решить относительно x: 3x — 2 = 8 — 2x
Решение
Здесь наша задача более сложная. Мы должны подумать об удалении числа 2 из левой части уравнения, а также lx из правой части, чтобы получить только x с одной стороны.Сначала мы можем сделать что-то из этого. Если мы выберем сначала прибавить 2x к обеим сторонам, мы получим
Теперь прибавляем 2 к обеим сторонам.
Наконец, правило деления дает
| Можно сначала добавить 2 к обеим сторонам? Попытайся! |
ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ
ЗАДАЧИ
По завершении этого раздела вы сможете:
- Используйте правило умножения для решения уравнений.
- Решите пропорции.
- Решите основные прикладные задачи, используя правило умножения.
Теперь мы подошли к последней из четырех основных операций при разработке нашей процедуры решения уравнений. Мы также введем соотношение и пропорции и воспользуемся правилом умножения для определения пропорций.
Если каждый член уравнения равен , умноженному на на такое же ненулевое число, результирующее уравнение будет эквивалентно исходному уравнению.
В элементарной арифметике одни из самых сложных операций с дробями. Правило умножения позволяет избежать этих операций при решении уравнения, содержащего дроби, путем нахождения эквивалентного уравнения, содержащего только целые числа.
Помните, что когда мы умножаем целое число на дробь, мы используем правило
Теперь мы готовы решить уравнение, содержащее дроби.
| Обратите внимание, что в каждом случае только числитель дроби умножается на целое число. |
Пример 4
Решение
Имейте в виду, что мы хотим получить только x на одной стороне уравнения. Мы также хотели бы получить уравнение в целых числах, которое эквивалентно данному уравнению. Чтобы исключить дробь в уравнении, нам нужно умножить на число, которое делится на знаменатель 3. Таким образом, мы используем правило умножения и умножаем каждый член уравнения на 3.
Теперь у нас есть эквивалентное уравнение, которое содержит только целые числа.Используя правило деления, получаем
| Чтобы исключить дробь, нам нужно умножить ее на число, которое делится на знаменатель. В этом примере нам нужно умножить на число, которое делится на 3. Мы могли бы умножить обе стороны на 6, 9, 12 и так далее, но уравнение проще и легче работать, если мы используем наименьшее несколько. |
Пример 5
Решение
| Посмотрите, получите ли вы такое же решение, умножив каждую часть исходного уравнения на 16. Всегда проверяйте исходное уравнение. |
Пример 6
Решение
Здесь наша задача такая же, но немного сложнее. Нам нужно исключить две фракции. Мы должны умножить каждый член уравнения на число, которое делится как на 3, так и на 5. Лучше всего использовать наименьшее из таких чисел, которое, как вы помните, это наименьшее общее кратное . Поэтому мы умножим на 15.
| В арифметике вы могли называть наименьшее общее кратное «наименьшим общим знаменателем».» |
Пример 7
Решение
Наименьшее общее кратное для 8 и 2 равно 8, поэтому мы умножаем каждый член уравнения на 8.
Теперь воспользуемся правилом вычитания.
Наконец, правило деления дает нам
| Перед умножением замените любые смешанные числа на неправильные дроби. В этом примере измените. Помните, что каждый член нужно умножить на 8. Обратите внимание, что в этом примере мы использовали три правила для поиска решения. |
Решение простых уравнений путем умножения обеих частей на одно и то же число часто встречается при изучении соотношения и пропорции.
Соотношение — это частное двух чисел.
Отношение числа x к числу y можно записать как x: y или. В общем, дробная форма более значима и полезна. Таким образом, мы запишем отношение 3 к 4 как.
Пропорция — это утверждение, что два соотношения равны.
Пример 8
Решение
Нам нужно найти такое значение x, чтобы отношение x к 15 было равно отношению 2 к 5.
Умножая каждую часть уравнения на 15, получаем
| Почему мы умножаем обе части на 15? Проверьте это решение в исходном уравнении. |
Пример 9 Какое число x имеет такое же отношение к 3, как 6 к 9?
Решение
Чтобы найти x, сначала запишем пропорцию:
Затем мы умножаем каждую часть уравнения на 9.
| Скажите себе: «2 равно 5, как x равно 10». Проверить! |
Пример 11 Отношение количества женщин к количеству мужчин в математическом классе составляет 7: 8. Если в классе 24 мужчины, сколько женщин в классе?
Решение
Пример 12 Два сына должны были разделить наследство в соотношении 3: 5. Если сын, получивший большую часть, получил 20 000 долларов, какова была общая сумма наследства?
Решение
Теперь мы добавляем 20 000 долларов США + 12 000 долларов США, чтобы получить общую сумму в 32 000 долларов США.
| Проверить! Опять же, будьте осторожны при настройке пропорций. В соотношении 3/5 доля 5 является большей. Следовательно, поскольку 20 000 долларов — это большая часть, она также должна быть указана в знаменателе. |
Пример 13 Если юридические требования к вместимости комнаты требуют 3 кубических метров воздушного пространства на человека, сколько людей могут законно занимать комнату шириной 6 метров, длиной 8 метров и высотой 3 метра?
Решение
Таким образом, вместимость юридической комнаты составит 48 человек.
| Это означает, что «1 человек составляет 3 кубических метра, а x человек — 144 кубических метра». Проверить решение. |
ОБЪЕДИНЕНИЕ ПРАВИЛ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
ЗАДАЧИ
По завершении этого раздела вы сможете:
- Используйте комбинации различных правил для решения более сложных уравнений.
- Применяйте упорядоченные шаги, описанные в этом разделе, для систематического решения уравнений.
Многие упражнения в предыдущих разделах требовали использования более чем одного правила в процессе решения.Фактически, вполне возможно, что одна задача может включать в себя все правила
.
Не существует обязательного процесса для решения уравнений, включающего более одного правила, но опыт показал, что следующий порядок дает более плавную и безошибочную процедуру.
Первый Удалите дроби, если они есть, умножив каждый член уравнения на наименьшее общее кратное всех знаменателей дробей в уравнении.
Второй Упростите, объединив одинаковые члены с каждой стороны уравнения.
Третий Сложите или вычтите необходимые количества, чтобы получить неизвестное количество с одной стороны и арифметические числа с другой стороны.
Четвертый Разделить на коэффициент неизвестной величины.
Пятый Проверьте свой ответ.
| Помните, коэффициент — это число, умноженное на букву. (То есть в выражении 5x коэффициент равен 5.) |
| Еще раз убедитесь, что каждый термин умножить на 3. |
Решение
Умножение каждого члена на 15 дает
Вы можете оставить свой ответ в виде неправильной дроби вместо смешанного числа. Любая форма верна, но неправильная форма дроби будет более полезной при проверке вашего решения.
| Обратите внимание, что в этом уравнении есть четыре члена. |
Пример 3 Цена продажи (S) определенного товара составляла 30 долларов.00. Если маржа (M) составляла одну пятую стоимости (C), найдите стоимость товара. Используйте формулу C + M = S.
Решение
Поскольку маржа составляла одну пятую от стоимости, мы можем написать
РЕЗЮМЕ
Ключевые слова
- Уравнение — это обозначение символами того, что два числовых выражения равны.
- Идентификатор верен для всех значений буквальных и арифметических чисел в нем.
- Условное уравнение верно только для определенных значений буквальных чисел в нем.
- Решение или корень уравнения — это значение переменной, которая делает уравнение истинным утверждением.
- Два уравнения эквивалентны , если они имеют один и тот же набор решений.
- Отношение — это отношение к двух чисел.
- Пропорция — это утверждение, что два соотношения равны.
Процедуры
- Если каждый член уравнения разделить на одно и то же ненулевое число, полученное уравнение эквивалентно исходному уравнению.
- Если из обеих частей уравнения вычесть одну и ту же величину, полученное уравнение эквивалентно исходному уравнению.
- Если одна и та же величина добавляется к обеим сторонам уравнения, полученное уравнение эквивалентно исходному уравнению.
- Если каждая сторона уравнения умножается на одно и то же ненулевое число, полученное уравнение эквивалентно исходному уравнению.
- Чтобы решить уравнение, выполните следующие действия:
Шаг 1 Исключите дроби, умножив каждый член на наименьшее общее кратное всех знаменателей в уравнении.
Шаг 2 Объедините одинаковые члены с каждой стороны уравнения.
Шаг 3 Сложите или вычтите члены, чтобы получить неизвестную величину с одной стороны и числа арифметики с другой.
Шаг 4 Разделите каждый член на коэффициент неизвестной величины.
Шаг 5 Проверьте свой ответ.
Калькулятор дробей
Ниже приведены несколько калькуляторов дробей, способных выполнять сложение, вычитание, умножение, деление, упрощение и преобразование дробей в десятичные дроби.Поля над сплошной черной линией представляют числитель, а поля ниже — знаменатель.
Калькулятор смешанных чисел
Калькулятор упрощенных дробей
Калькулятор десятичных дробей
Калькулятор дробей в десятичную
Калькулятор дробей большого числа
Используйте этот калькулятор, если числители или знаменатели являются очень большими целыми числами.
В математике дробь — это число, которое представляет собой часть целого.Он состоит из числителя и знаменателя. В числителе указано количество равных частей целого, а в знаменателе — общее количество частей, составляющих указанное целое. Например, в дроби
числитель равен 3, а знаменатель — 8. Более наглядный пример может включать пирог с 8 кусочками. 1 из этих 8 ломтиков будет составлять числитель дроби, а всего 8 ломтиков, составляющих весь пирог, будут знаменателем. Если бы человек съел 3 ломтика, оставшаяся часть пирога была бы такой, как показано на изображении справа.Обратите внимание, что знаменатель дроби не может быть 0, так как это сделает дробь неопределенной. Дроби могут подвергаться множеству различных операций, некоторые из которых упомянуты ниже.
Дополнение:
В отличие от сложения и вычитания целых чисел, таких как 2 и 8, для этих операций с дробями требуется общий знаменатель. Один из методов нахождения общего знаменателя заключается в умножении числителей и знаменателей всех участвующих дробей на произведение знаменателей каждой дроби.Умножение всех знаменателей гарантирует, что новый знаменатель обязательно будет кратным каждому отдельному знаменателю. Числители также необходимо умножить на соответствующие коэффициенты, чтобы сохранить значение дроби в целом. Это, пожалуй, самый простой способ убедиться, что дроби имеют общий знаменатель. Однако в большинстве случаев решения этих уравнений не будут представлены в упрощенной форме (предоставленный калькулятор вычисляет упрощение автоматически). Ниже приведен пример использования этого метода.
Этот процесс можно использовать для любого количества фракций. Просто умножьте числители и знаменатели каждой дроби в задаче на произведение знаменателей всех остальных дробей (не включая соответствующий знаменатель) в задаче.
Альтернативный метод нахождения общего знаменателя состоит в том, чтобы определить наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей, а затем сложить или вычесть числители, как если бы это было целое число. Использование наименьшего общего кратного может быть более эффективным и, скорее всего, приведет к дроби в упрощенной форме.В приведенном выше примере знаменатели были 4, 6 и 2. Наименьшее общее кратное — это первое общее кратное из этих трех чисел.
| Кратное 2: 2, 4, 6, 8 10, 12 |
| Кратное 4: 4, 8, 12 |
| Кратное 6: 6, 12 |
Первое общее кратное — 12, так что это наименьшее общее кратное. Чтобы выполнить задачу сложения (или вычитания), умножьте числители и знаменатели каждой дроби в задаче на любое значение, которое сделает знаменатели 12, а затем сложите числители.
вычитание:
Вычитание фракции по сути то же самое, что и сложение дроби. Для выполнения операции требуется общий знаменатель. Обратитесь к разделу добавления, а также к приведенным ниже уравнениям для пояснения.
Умножение:
Умножение дробей довольно просто. В отличие от сложения и вычитания, нет необходимости вычислять общий знаменатель для умножения дробей. Просто числители и знаменатели каждой дроби умножаются, и результат образует новый числитель и знаменатель.По возможности решение следует упростить. Обратитесь к приведенным ниже уравнениям для пояснения.
Дивизион:
Процесс деления дробей аналогичен процессу умножения дробей. Чтобы разделить дроби, дробь в числителе умножается на величину, обратную дроби в знаменателе. Число, обратное числу , равно —
. Когда a является дробью, это, по сути, включает замену числителя и знаменателя местами.Следовательно, величина, обратная дроби. Обратитесь к приведенным ниже уравнениям для пояснения.
Упрощение:
Часто проще работать с упрощенными дробями. Таким образом, фракционные растворы обычно выражаются в их упрощенных формах.
, например, более громоздкий, чем. Предоставленный калькулятор возвращает входные дроби как в неправильной форме дроби, так и в форме смешанных чисел. В обоих случаях дроби представлены в их низшей форме путем деления числителя и знаменателя на их наибольший общий множитель.
Преобразование дробей в десятичные дроби:
Преобразование десятичных дробей в дроби выполняется просто. Однако это требует понимания того, что каждый десятичный разряд справа от десятичной точки представляет собой степень 10; первый десятичный разряд — 10 1 , второй — 10 2 , третий — 10 3 и т. д. Просто определите, до какой степени 10 распространяется десятичная дробь, используйте эту степень 10 в качестве знаменателя, введите каждое число справа от десятичной точки в качестве числителя и упростите.Например, если посмотреть на число 0,1234, число 4 находится в четвертом десятичном разряде, что составляет 10 4 или 10 000. Это сделает дробь
, что упрощается до, поскольку наибольший общий делитель между числителем и знаменателем равен 2.
Точно так же дроби, знаменатели которых являются степенями 10 (или могут быть преобразованы в степени 10), могут быть переведены в десятичную форму, используя те же принципы. Возьмем, к примеру, дробь
. Чтобы преобразовать эту дробь в десятичную, сначала преобразуйте ее в дробь.Зная, что первый десятичный разряд представляет 10 -1 , можно преобразовать в 0,5. Если бы вместо этого была дробь, десятичная дробь была бы 0,05 и так далее. Помимо этого, преобразование дробей в десятичные требует операции деления в столбик.
Преобразование общей инженерной дроби в десятичную дробь
В машиностроении дроби широко используются для описания размеров таких компонентов, как трубы и болты. Наиболее распространенные дробные и десятичные эквиваленты перечислены ниже.
| 64 th | 32 nd | 16 th | 8 th | 4 th | 2 nd45 9045 905 (десятичный) 900 mm (десятичное) | ||
| 1/64 | 0,015625 | 0,396875 | |||||
| 2/64 | 1/32 | 9055 | 3125 | 0,79375 | |||
| 3/64 | 0,046875 | 1,1 |
9045 2/64 9045 9045 2/64 9045 2/64 9045 9045 2/64 9045 4/64 9045
75 9455 9045 9045 9045
9045
9045 9045 9045 9045 9045
9045 9045 9045 111369
9045 9045 9045 2345 9045 9045 9045 9045 9045 9045 9045 9045 9045 9045 9045 9045 9045 9045
9045 9045 9045 9045 9045 9045
Решите линейные уравнения с одним неизвестным x / 6 = -5 Tiger Algebra Solver
Переставьте:
Переставьте уравнение, вычитая то, что находится справа знака равенства с обеих сторон уравнения:
x / 6 — (- 5) = 0
Пошаговое решение:
Шаг 1:
x
Упростить -
6
Уравнение в конце шага 1:
x - - -5 = 0 6
Шаг 2:
Переписывание целого как эквивалентной дроби:
2.1 Вычитание целого из дроби
Перепишем целое как дробь, используя 6 в качестве знаменателя:
-5-5 • 6
-5 = —— = ——————
1 6
Эквивалентная дробь: Полученная таким образом дробь выглядит иначе, но имеет то же значение, что и целое
Общий знаменатель: Эквивалентная дробь и другая дробь, участвующие в вычислении, имеют один и тот же знаменатель
Сложение дробей, имеющих общий знаменатель:
2.2 Сложение двух эквивалентных дробей
Сложите две эквивалентные дроби, которые теперь имеют общий знаменатель
Объедините числители вместе, сложите сумму или разность над общим знаменателем, затем уменьшите до наименьшего числа, если возможно:
x - (-5 • 6) х + 30
знак равно
6 6
Уравнение в конце шага 2:
x + 30
—————— = 0
6
Шаг 3:
Когда дробь равна нулю:
3.1 Когда дробь равна нулю ...
Если дробь равна нулю, ее числитель, та часть, которая находится над линией дроби, должна быть равна нулю.
Теперь, чтобы избавиться от знаменателя, Тигр умножает обе части уравнения на знаменатель.
Вот как:
x + 30 ———— • 6 = 0 • 6 6
Теперь, с левой стороны, 6 отменяет знаменатель, в то время как с правой стороны ноль, умноженный на что-либо, по-прежнему равно нулю.
Уравнение теперь принимает форму:
x + 30 = 0
Решение уравнения с одной переменной:
3.2 Решите: x + 30 = 0
Вычтите 30 из обеих частей уравнения:
x = -30
Было найдено одно решение:
x = -30
Уравнения абсолютных значений
Уравнения абсолютных значений
Уравнения абсолютных значений
Выполните следующие действия, чтобы найти равенство по абсолютной величине.
который содержит одно абсолютное значение:
- Выделите абсолютное значение на одной стороне уравнения.
- Число на другой стороне уравнения отрицательное?
Если вы ответили утвердительно, то уравнение не имеет решения. Если вы ответили
нет, переходите к шагу 3. - Напишите два уравнения без абсолютных значений. Первое уравнение
установит количество внутри столбцов, равное количеству на другом
сторона знака равенства; второе уравнение установит количество внутри
столбцы равны противоположному числу на другой стороне. - Решите два уравнения.
Выполните следующие действия, чтобы найти равенство абсолютного значения.
который содержит два абсолютных значения (по одному с каждой стороны уравнения):
- Напишите два уравнения без абсолютных значений. Первое
уравнение установит количество внутри столбцов с левой стороны равным
количество внутри полос с правой стороны. Второе уравнение
установит количество внутри столбцов с левой стороны равным противоположному
количества внутри полос с правой стороны. - Решите два уравнения.
Давайте рассмотрим несколько примеров.
Пример 1: Решить | 2x — 1 | + 3 = 6
| Шаг 1: Изолировать абсолютное значение | | 2x — 1 | + 3 = 6 | 2x — 1 | = 3 | |
| Шаг 2: Is число на другой стороне уравнения отрицательное? | Нет, это положительное число, 3, так что продолжайте шаг 3 | |
| Шаг 3: Запись два уравнения без столбцов абсолютных значений | 2x — 1 = 3 | 2х — 1 = -3 |
| Шаг 4: Решить оба уравнения | 2x — 1 = 3 2x = 4 х = 2 | 2х — 1 = -3 2x = -2 х = -1 |
Пример 2: Решить | 3x — 6 | — 9 = -3
| Шаг 1: Изолировать абсолютное значение | | 3х — 6 | — 9 = -3 | 3x — 6 | = 6 | |
| Шаг 2: Is число на другой стороне уравнения отрицательное? | Нет, это положительное число, 6, так что продолжайте шаг 3 | |
| Шаг 3: Запись два уравнения без столбцов абсолютных значений | 3х — 6 = 6 | 3х — 6 = -6 |
| Шаг 4: Решить оба уравнения | 3x — 6 = 6 3x = 12 х = 4 | 3х — 6 = -6 3x = 0 х = 0 |
Пример 3: Решить | 5x + 4 | + 10 = 2
| Шаг 1: Изолировать абсолютное значение | | 5x + 4 | + 10 = 2 | 5x + 4 | = -8 |
| Шаг 2: Is число на другой стороне уравнения отрицательное? | Да, это отрицательное число, -8.Нет решения к этой проблеме. |
Пример 4: Решить | x — 7 | = | 2x — 2 |
| Шаг 1: Запись два уравнения без столбцов абсолютных значений | х — 7 = 2х — 2 | х — 7 = — (2х — 2) |
| Шаг 4: Решить оба уравнения | х — 7 = 2х — 2 -x — 7 = -2 -x = 5 х = -5 | х — 7 = -2x + 2 3x — 7 = 2 3x = 9 х = 3 |
Пример 5: Решить | x — 3 | = | x + 2 |
| Шаг 1: Запись два уравнения без столбцов абсолютных значений | х — 3 = х + 2 | х — 3 = — (х + 2) |
| Шаг 4: Решить оба уравнения | х — 3 = х + 2 — 3 = -2 ложное заявление Нет решения из этого уравнения | х — 3 = -x — 2 2x — 3 = -2 2x = 1 х = 1/2 |
Итак, единственное решение этой проблемы — x = 1/2
Пример 6: Решить | x — 3 | = | 3 — x |
| Шаг 1: Запись два уравнения без столбцов абсолютных значений | х — 3 = 3 — х | х — 3 = — (3 — х) |
| Шаг 4: Решить оба уравнения | х — 3 = 3 — х 2x — 3 = 3 2x = 6 х = 3 | х — 3 = — (3 — х) х — 3 = -3 + х -3 = -3 Все действительные числа являются решениями этого уравнения |
Так как 3 входит в набор действительных чисел,
мы просто скажем, что решение этого уравнения — все действительные числа
Решение логарифмических уравнений — объяснения и примеры
Как вы хорошо знаете, логарифм — это математическая операция, обратная возведению в степень.Логарифм числа сокращается как « журнал ».
Прежде чем мы перейдем к решению логарифмических уравнений, давайте сначала познакомимся со следующими правилами логарифмов:
Правило произведения гласит, что сумма двух логарифмов равна произведению логарифмов. Первый закон представлен как;
⟹ журнал b (x) + журнал b (y) = журнал b (xy)
Разница двух логарифмов x и y равна отношению логарифмов.
⟹ журнал b (x) — журнал b (y) = журнал (x / y)
⟹ журнал b (x) n = n журнал b (x)
⟹ журнал b x = (журнал a x) / (журнал a b)
Логарифм любого положительного числа по основанию этого числа всегда равен 1.
b 1 = b ⟹ log b (b) = 1.
Пример:
- Логарифм числа 1 до любого ненулевого основания всегда равен нулю.
b 0 = 1 ⟹ журнал b 1 = 0.
Как решать логарифмические уравнения?
Уравнение, содержащее переменные в показателях степени, известно как экспоненциальное уравнение. Напротив, уравнение, которое включает логарифм выражения, содержащего переменную, называется логарифмическим уравнением.
Цель решения логарифмического уравнения — найти значение неизвестной переменной.
В этой статье мы узнаем, как решить два общих типа логарифмических уравнений, а именно:
- Уравнения, содержащие логарифмы в одной части уравнения.
- Уравнения с логарифмами на противоположных сторонах от знака равенства.
Как решить уравнения с односторонним логарифмом?
Уравнения с логарифмами на одной стороне принимают логарифм b M = n ⇒ M = b n .
Чтобы решить этот тип уравнений, выполните следующие действия:
- Упростите логарифмические уравнения, применив соответствующие законы логарифмов.
- Перепишите логарифмическое уравнение в экспоненциальной форме.
- Теперь упростим показатель степени и решим переменную.
- Проверьте свой ответ, подставив его обратно в логарифмическое уравнение. Обратите внимание, что приемлемый ответ логарифмического уравнения дает только положительный аргумент.
Пример 1
Журнал решения 2 (5x + 7) = 5
Решение
Перепишем уравнение в экспоненциальную форму
бревна 2 (5x + 7) = 5 ⇒ 2 5 = 5x + 7
⇒ 32 = 5x + 7
⇒ 5x = 32 — 7
5x = 25
Разделите обе стороны на 5, чтобы получить
х = 5
Пример 2
Решить относительно x в журнале (5x -11) = 2
Решение
Поскольку основание этого уравнения не дано, мы принимаем основание 10.
Теперь изменим запись логарифма в экспоненциальной форме.
⇒ 10 2 = 5x — 11
⇒ 100 = 5x -11
111 = 5x
111/5 = х
Следовательно, x = 111/5 — это ответ.
Пример 3
Журнал решения 10 (2x + 1) = 3
Решение
Перепишите уравнение в экспоненциальной форме
журнал 10 (2x + 1) = 3n⇒ 2x + 1 = 10 3
⇒ 2x + 1 = 1000
2x = 999
Разделив обе стороны на 2, получим;
х = 499.5
Проверьте свой ответ, подставив его в исходное логарифмическое уравнение;
⇒ log 10 (2 x 499,5 + 1) = log 10 (1000) = 3, поскольку 10 3 = 1000
Пример 4
Вычислить ln (4x -1) = 3
Решение
Перепишем уравнение в экспоненциальной форме как;
ln (4x -1) = 3 ⇒ 4x — 3 = e 3
Но, как известно, e = 2,718281828
4x — 3 = (2.718281828) 3 = 20.085537
х = 5,271384
Пример 5
Решите логарифмическое уравнение log 2 (x +1) — log 2 (x — 4) = 3
Решение
Сначала упростите логарифмы, применив правило частного, как показано ниже.
журнал 2 (x +1) — журнал 2 (x — 4) = 3 ⇒ журнал 2 [(x + 1) / (x — 4)] = 3
Теперь перепишем уравнение в экспоненциальной форме
⇒2 3 = [(x + 1) / (x — 4)]
⇒ 8 = [(x + 1) / (x — 4)]
Перемножьте уравнение крестиком
⇒ [(x + 1) = 8 (x — 4)]
⇒ x + 1 = 8x -32
7x = 33 …… (Собираем похожие термины)
х = 33/7
Пример 6
Решите относительно x, если журнал 4 (x) + журнал 4 (x -12) = 3
Решение
Упростите логарифм, используя следующее правило произведения;
журнал 4 (x) + журнал 4 (x -12) = 3 ⇒ log 4 [(x) (x — 12)] = 3
⇒ журнал 4 (x 2 — 12x) = 3
Преобразуйте уравнение в экспоненциальную форму.
⇒ 4 3 = x 2 — 12x
⇒ 64 = x 2 — 12x
Поскольку это квадратное уравнение, мы решаем его путем факторизации.
x 2 -12x — 64 ⇒ (x + 4) (x — 16) = 0
x = -4 или 16
Когда x = -4 подставляется в исходное уравнение, мы получаем отрицательный ответ, который является мнимым. Поэтому 16 — единственное приемлемое решение.
Как решить уравнения с логарифмами с обеих сторон уравнения?
Уравнения с логарифмами по обе стороны от знака равенства принимают log M = log N, что совпадает с M = N.
Процедура решения уравнений с логарифмами по обе стороны от знака равенства.
- Если логарифмы имеют общую основу, упростите задачу, а затем перепишите ее без логарифмов.
- Упростите, собирая одинаковые термины и решая переменную в уравнении.
- Проверьте свой ответ, снова подставив его в исходное уравнение. Помните, что приемлемый ответ приведет к положительному аргументу.
Пример 7
Журнал решения 6 (2x — 4) + лог 6 ( 4) = лог 6 (40)
Решение
Во-первых, упростим логарифмы.
лог 6 (2x — 4) + лог 6 (4) = лог 6 (40) ⇒ лог 6 [4 (2x — 4)] = лог 6 (40)
Теперь опустим логарифмы
.
⇒ [4 (2x — 4)] = (40)
⇒ 8x — 16 = 40
⇒ 8x = 40 + 16
8x = 56
х = 7
Пример 8
Решите логарифмическое уравнение: log 7 (x — 2) + log 7 (x + 3) = log 7 14
Решение
Упростите уравнение, применив правило произведения.
Лог 7 [(x — 2) (x + 3)] = лог 7 14
Отбросьте логарифмы.
⇒ [(x — 2) (x + 3)] = 14
Раздайте ФОЛЬГУ, чтобы получить;
⇒ x 2 — x — 6 = 14
⇒ x 2 — x — 20 = 0
⇒ (x + 4) (x — 5) = 0
x = -4 или x = 5
, когда x = -5 и x = 5 подставляются в исходное уравнение, они дают отрицательный и положительный аргумент соответственно. Поэтому x = 5 — единственное приемлемое решение.
Пример 9
Решить журнал 3 x + журнал 3 (x + 3) = log 3 (2x + 6)
Решение
Учитывая уравнение; log 3 (x 2 + 3x) = log 3 (2x + 6), отбросьте логарифмы, чтобы получить;
⇒ x 2 + 3x = 2x + 6
⇒ x 2 + 3x — 2x — 6 = 0
x 2 + x — 6 = 0 ……………… (Квадратное уравнение)
Фактор множителя квадратное уравнение получить;
(x — 2) (x + 3) = 0
x = 2 и x = -3
Проверяя оба значения x, мы получаем x = 2, что является правильным ответом.
Пример 10
Журнал решения 5 (30x — 10) — 2 = журнал 5 (x + 6)
Решение
журнал 5 (30x — 10) — 2 = журнал 5 (x + 6)
Это уравнение можно переписать как;
⇒ журнал 5 (30x — 10) — журнал 5 (x + 6) = 2
Упростите логарифмы
журнал 5 [(30x — 10) / (x + 6)] = 2
Записать логарифм в экспоненциальной форме.
⇒ 5 2 = [(30x — 10) / (x + 6)]
⇒ 25 = [(30x — 10) / (x + 6)]
При перекрестном умножении получаем;
⇒ 30x — 10 = 25 (x + 6)
⇒ 30x — 10 = 25x + 150
⇒ 30x — 25x = 150 + 10
⇒ 5x = 160
х = 32
Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок
Калькулятор дробей
Калькулятор выполняет базовые и расширенные операции с дробями, выражениями с дробями в сочетании с целыми числами, десятичными знаками и смешанными числами.Он также показывает подробную пошаговую информацию о процедуре расчета дроби. Решайте задачи с двумя, тремя или более дробями и числами в одном выражении.
Правила для выражений с дробями:
Дроби — используйте косую черту «/» между числителем и знаменателем, т.е. для пяти сотых введите 5/100 . Если вы используете смешанные числа, не забудьте оставить один пробел между целой и дробной частью.
Косая черта разделяет числитель (число над дробной чертой) и знаменатель (число ниже).
Смешанные числа (смешанные дроби или смешанные числа) записываются как ненулевое целое число, разделенное одним пробелом и дробью, то есть 1 2/3 (с тем же знаком). Пример отрицательной смешанной дроби: -5 1/2 .
Поскольку косая черта является одновременно знаком для дробной линии и деления, мы рекомендуем использовать двоеточие (:) в качестве оператора деления дробей, то есть 1/2: 3 .
Десятичные числа (десятичные числа) вводятся с десятичной точкой . и они автоматически конвертируются в дроби — i.е. 1,45 .
Двоеточие : и косая черта / являются символом деления. Может использоваться для деления смешанных чисел 1 2/3: 4 3/8 или может использоваться для записи сложных дробей, например 1/2: 1/3 .
Звездочка * или × — это символ умножения.
Плюс + — сложение, знак минус — — вычитание, а () [] — математические скобки. 1/2
• сложение дробей и смешанных чисел: 8/5 + 6 2/7
• деление целого и дробного числа: 5 ÷ 1/2
• комплексные дроби: 5/8: 2 2/3
• десятичное в дробное: 0.625
• Дробь в десятичную: 1/4
• Дробь в проценты: 1/8%
• сравнение дробей: 1/4 2/3
• умножение дроби на целое число: 6 * 3/4
• квадратный корень дроби: sqrt (1/16)
• уменьшение или упрощение дроби (упрощение) — деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же ненулевое число — эквивалентная дробь: 4/22
• выражение в скобках: 1 / 3 * (1/2 — 3 3/8)
• сложная дробь: 3/4 от 5/7
• кратная дробь: 2/3 от 3/5
• разделите, чтобы найти частное: 3/5 ÷ 2 / 3
Калькулятор следует известным правилам порядка операций .Наиболее распространенные мнемоники для запоминания этого порядка операций:
PEMDAS — Круглые скобки, экспоненты, умножение, деление, сложение, вычитание.
BEDMAS — Скобки, экспоненты, деление, умножение, сложение, вычитание
BODMAS — Скобки, порядок, деление, умножение, сложение, вычитание.