2 х в квадрате х 3: Решить уравнение 2х в квадрате+х-3=0 — ошкольное образовательное учреждение № 4 «Алёнушка»

Содержание

2 х 3 в квадрате

Вы искали 2 х 3 в квадрате? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 2 х в квадрате х 3, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «2 х 3 в квадрате».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как 2 х 3 в квадрате,2 х в квадрате х 3,2х 3 в квадрате,3 в квадрате х 2. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и 2 х 3 в квадрате. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, 2х 3 в квадрате).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 2 х 3 в квадрате Онлайн?

Решить задачу 2 х 3 в квадрате вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.

Три простых правила относительно квадратного корня. Часть 3

GRE Mathematics
уделяет особое внимание заданиям на квадратный корень. В двух предыдущих частях статьи, мы рассматривали, что делать, если все числа в задании положительные. Если же это не так, то следует применять ещё 2 правила GRE Maths.

Правило №2: если x² = 9, то x = 3, x = -3

Эта ситуация отлична от
описанных ранее
. Мы больше не имеем знака квадратного корня, зато здесь есть показатель степени. Если 3 возвести в квадрат, то мы получим 9. Если мы возведем -3 в квадрат – мы также получим 9. Следовательно, оба числа являются возможным значением x, потому что оба делают равенство верным.

С математической точки зрения, мы бы сказали, что x = 3 или x = -3. Если вы выполняете задание в разделе Quantitative Comparison, подумайте об этом следующим образом: если одно из них является возможным значением x, то оба варианта должны быть рассмотрены возможными значениями при сравнении Величины А и Величины В.

Правило №3: √(x)² = 3, если x = 3, x = -3

Итак, вернемся к знаку квадратного корня, но теперь у нас есть и показатель степени! Что дальше? Указывать только положительное число, потому что мы имеем знак корня? Или указывать оба значения, потому что есть показатель степени?

Сначала вычислите значение x: возведите в степень оба значения √(x)2 = 3, чтобы получить x² = 9. Вычислите квадратный корень, чтобы получить x = 3, x = -3 (как в правиле №2).

Подставьте оба числа в данное равенство, √x² = 3, и посмотрите, делают ли они равенство верным. Если мы подставим 3 в равенство √x² = 3, мы получим: √(3)2 = 3. Верно ли это? Да: √(3)2 = √9 и это действительно равняется 3.

Теперь подставьте в равенство -3: √(-3)2= 3. Под корнем у нас стоит отрицательное число, но также в скобках у нас есть квадратная степень. Следуйте установленному порядку действий: возведите число в квадрат, чтобы получить √9. Больше нет никаких отрицательных чисел под знаком корня! Заканчивая решение задачи, мы получаем √9, и снова это должно равняться 3, поэтому -3 тоже является возможным значением x. X может быть равен как 3, так и -3.

GRE Math Practice: Как это все не забыть?

Запомните: в первом примере представлено либо действительное число, либо очевидная переменная (не возведение в степень!) под знаком квадратного корня. В обоих случаях мы должны получить решение с положительными значениями корня, но не отрицательными.

Второй и третий примеры имеют квадратную степень. Во втором правиле нет знака квадратного корня – в этом случае мы можем получить и положительный, и отрицательный ответ. В нашем третьем правиле есть и знак квадратного корня, и степень в квадрате. В этой ситуации мы должны произвести расчеты, как показано в примере. Сначала мы решаем оба варианта, а затем подставляем их в исходное равенство. Если эти варианты делают равенство верным, то это и есть правильный ответ.

Подготовка к GRE Test включает в себя штудирование не только официальных учебников, но также изучение советов и подсказок, которые представлены здесь. Возможно, на самом тесте вам пригодятся именно они! Успехов!

Пример несложного задания на квадратные корни в тесте GRE:

По материалам сайта: www.manhattanprep.com

Формулы сокращенного умножения

У нас есть сумма (разница) двух чисел и нам необходимо избавиться от скобок, используя
формулы для сокращенного умножения:

(x + y)² = x² + 2xy + y²
(x — y)² = x² — 2xy + y²

Пример: если x = 10, y = 5a
(10 + 5a)² = 10² + 2.10.5a + (5a)² = 100 + 100a + 25a²
(10 — 4)² = 10² — 2.10.4 + 4² = 100 — 80 + 16 = 36
Конечно, если мы имеем следующую ситуацию:
25 + 20a + 4a² = 5² + 2.2.5 + (2a)² = (5 + 2a)²

(x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
(x — y)³ = x³ — 3x²y + 3xy² — y³

Пример: (1 + a²)³ = 1³ + 3.1².a² +
3.1.(a²)² + (a²)³ = 1 + 3a² + 3a⁴ + a⁶

(x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz
(x — y — z)² = x² + y² + z² — 2xy — 2xz + 2yz

x² — y² = (x — y)(x + y)

x² + y² = (x + y)² — 2xy
или
x² + y² = (x — y)² + 2xy

Пример: 9a² — 25b² = (3a)² — (5b)² =
(3a — 5b)(3a + 5b)

x³ — y³ = (x — y)(x² + xy + y²)
x³ + y³ = (x + y)(x² — xy + y²)

Если n есть натуральное число

xⁿ — yⁿ = (x — y)(x^n-1 + x^n-2y +…+ y^n-2x + y^n-1)

Если n есть чётное (n = 2k)

xⁿ + yⁿ = (x + y)(x^n-1 — x^n-2y +.2 + 20$

3) Решите уравнение: x² — 25 = 0
Решение: x² — 25 = (x — 5)(x + 5)
=> чтобы решить это уравнение мы должны решить 2 следующих выражения:
x — 5 = 0 или x + 5 = 0
и поэтому уравнение имеет два решения: x = 5 и x = -5

Больше

Тест — формулы сокращенного умножения

Действия с многочленами — задачи с решениями

Разложиние на множители — задачи с решениями

Формулы сокращенного умножения в математическом форуме

Как сделать х в квадрате в excel?

Одним из наиболее частых математических действий, применяемых в инженерных и других вычислениях, является возведение числа во вторую степень, которую по-другому называют квадратной. Например, данным способом рассчитывается площадь объекта или фигуры. К сожалению, в программе Excel нет отдельного инструмента, который возводил бы заданное число именно в квадрат. Тем не менее, эту операцию можно выполнить, использовав те же инструменты, которые применяются для возведения в любую другую степень.2

Для расчета результата, как и в прошлый раз, щелкаем по кнопке Enter. Приложение производит подсчет и выводит итог в выбранный элемент листа.

Способ 2: использование функции СТЕПЕНЬ

Также для возведения числа в квадрат можно использовать встроенную функцию Excel СТЕПЕНЬ. Данный оператор входит в категорию математических функций и его задачей является возведение определенного числового значения в указанную степень. Синтаксис у функции следующий:

=СТЕПЕНЬ(число;степень)

Аргумент «Число» может представлять собой конкретное число или ссылку на элемент листа, где оно расположено.

Аргумент «Степень» указывает на степень, в которую нужно возвести число. Так как перед нами поставлен вопрос возведения в квадрат, то в нашем случае данный аргумент будет равен 2.

Теперь посмотрим на конкретном примере, как производится возведение в квадрат с помощью оператора СТЕПЕНЬ.

Выделяем ячейку, в которую будет выводиться результат расчета. После этого щелкаем по иконке «Вставить функцию». Она располагается слева от строки формул.
Происходит запуск окошка Мастера функций. Производим переход в нем в категорию «Математические». В раскрывшемся перечне выбираем значение «СТЕПЕНЬ». Затем следует щелкнуть по кнопке «OK».
Производится запуск окошка аргументов указанного оператора. Как видим, в нем располагается два поля, соответствующие количеству аргументов у этой математической функции.
В поле «Число» указываем числовое значение, которое следует возвести в квадрат.
В поле «Степень» указываем цифру «2», так как нам нужно произвести возведение именно в квадрат.
После этого производим щелчок по кнопке «OK» в нижней области окна.
Как видим, сразу после этого результат возведения в квадрат выводится в заранее выбранный элемент листа.

Также для решения поставленной задачи вместо числа в виде аргумента можно использовать ссылку на ячейку, в которой оно расположено.

Для этого вызываем окно аргументов вышеуказанной функции тем же способом, которым мы это делали выше.».
Вариантов выполнения формулы два: в пределах одной ячейки и ссылки на другую ячейку.
Вариант №1
В необходимой ячейке, в которой сразу должен быть выведен результат, нужно указать знак равенства, число, символ возведения в степень, и показатель степени – в данном случае два.
Вариант №2
Предположим, есть одно значение или массив данных в определенных ячейках. А результат расчета должен быть выведен в другом диапазоне.
В одной из ячеек такого диапазона вводится знак равенства. После чего необходимо щелкнуть на число – основание степени.
Оно может быть расположено как на том же листе, где будет отображено расчетное значение, так и на другом листе.
Без пробелов вводится символ возведения степени и значение показателя степени – два.
Есть и другой способ – использование встроенной функции Excel – СТЕПЕНЬ(). В качестве ее аргументов выступает число, которое возводится в степень (в той же ячейке или любой другой), и число, отвечающее за показатель степени.». Второй же задействует специальную функцию, которая так и называется – «Степень». Рассмотрим, как возвести в квадрат в Excel непосредственно на примерах.
Способ 2: с помощью функции «Степень»
Самоучитель Excel предлагает использовать специальную функцию «Степень». Ей, к слову, очень просто пользоваться, хоть она и подразумевает выполнение большего числа действий, чем в предыдущем способе:
1. Установите курсор в ту ячейку, где предполагается делать вычисления.
2. Нажмите на кнопку «Вставить функцию».
3. В окне Мастера функций выберите категорию «Математические».
4. Из списка функций выберите «Степень».
5. Нажмите «ОК».
Появится окно с аргументами выбранной функции. Как видим, в нем всего два раздела: «Число» и «Степень». В первую графу впишите число, которое хотите возвести в степень. Кстати, вместо этого вы можете указать ячейку, в которой находится число. Во второе поле введите цифру «2», так как перед нами стоит задача возведения числа в квадрат. После этого нажмите кнопку «ОК».
Вот так просто можно возвести число в квадрат. Теперь вы знаете, как минимум, два способа выполнения этой операции.
Когда дело доходит до серьезных математических вычислений, то чаще всего в выражении присутствует множество чисел, возведенных в квадрат. В специализированном программном обеспечении данное написание выполняется зачастую проще простого, так как есть соответствующие инструменты для этого. Однако табличный редактор Excel не имеет на панели инструментов отдельной кнопки для возведения того или иного числа в квадрат. Несмотря на это, способы, как возвести в квадрат в Excel, все же есть.
Способы возведения числа в квадрат
Из школьных уроков математики мы знаем, что квадрат – это число, умноженное само на себя, то есть квадрат числа 2 будет равняться 4, а числа 5 – 25. Для выполнения таких вычислений в Excel можно воспользоваться двумя способами. Первый подразумевает использование специальной формулы, где перед степенью устанавливается символ «^».2»
Способ 2: с помощью функции «Степень»
Самоучитель Excel предлагает использовать специальную функцию «Степень». Ей, к слову, очень просто пользоваться, хоть она и подразумевает выполнение большего числа действий, чем в предыдущем способе:
1. Установите курсор в ту ячейку, где предполагается делать вычисления.
2. Нажмите на кнопку «Вставить функцию».
3. В окне Мастера функций выберите категорию «Математические».
4. Из списка функций выберите «Степень».
5. Нажмите «ОК».
Появится окно с аргументами выбранной функции. Как видим, в нем всего два раздела: «Число» и «Степень». В первую графу впишите число, которое хотите возвести в степень. Кстати, вместо этого вы можете указать ячейку, в которой находится число. Во второе поле введите цифру «2», так как перед нами стоит задача возведения числа в квадрат. После этого нажмите кнопку «ОК».
Вот так просто можно возвести число в квадрат. Теперь вы знаете, как минимум, два способа выполнения этой операции.».

Мы возвели 8 в «квадрат» (т.е. ко второй степени) и получили в ячейке «А2» результат вычисления.

Вариант №2. С использованием функции

В Microsoft Office Excel есть удобная функция «СТЕПЕНЬ», которую вы можете активизировать для осуществления простых и сложных математических расчетов.

Функция выглядит следующим образом:

=СТЕПЕНЬ(число;степень)

ВНИМАНИЕ!

Цифры для этой формулы указываются без пробелов и других знаков.
Первая цифра – значение «число». Это основание (т.е. цифра, которую мы возводим). Microsoft Office Excel допускает введение любого вещественного числа.
Вторая цифра – значение «степень». Это показатель, в который мы возводим первую цифру.
Значения обоих параметров могут быть меньше нуля (т.е. со знаком «-»).

Формула возведения в степень в Excel

Примеры использования функции СТЕПЕНЬ().

С использованием мастера функций:

Запускаем мастера функций с помощью комбинации горячих клавиш SHIFT+F3 или жмем на кнопку в начале строки формул «fx» (вставить функцию). Из выпадающего списка «Категория» выбираем «Математические», а в нижнем поле указываем на нужную нам функцию и жмем ОК.
В появившимся диалоговом окне заполняем поля аргументами. К примеру, нам нужно возвести число «2» в степень «3». Тогда в первое поле вводим «2», а во второе — «3».
Нажимаем кнопку «ОК» и получаем в ячейке, в которую вводили формулу, необходимое нам значение. Для данной ситуации это «2» в «кубе», т.е. 2*2*2 = 8. Программа подсчитала все верно и выдала вам результат.

Если лишние клики вы считаете сомнительным удовольствием, предлагаем еще один простой вариант.

Ввод функции вручную:

В строке формул ставим знак «=» и начинаем вводить название функции. Обычно достаточно написать «сте» — и система сама догадается предложить вам полезную опцию.
Как только увидели такую подсказку, сразу жмите на клавишу «Tab». Или можете продолжить писать, вручную вводить каждую букву. Потом в скобках укажите необходимые параметры: два числа через точку с запятой.
После этого нажимаете на «Enter» — и в ячейке появляется высчитанное значение 8.

Последовательность действий проста, а результат пользователь получает достаточно быстро. В аргументах вместо чисел могут быть указаны ссылки на ячейки.

Корень в степени в Excel

Чтобы извлечь корень с помощью формул Microsoft Excel, воспользуемся несколько иным, но весьма удобным способом вызова функций:

Перейдите по закладке «Формулы». В разделе инструментов «Библиотека функций» щелкаем по инструменту «Математические». А из выпадающего списка указываем на опцию «КОРЕНЬ».
Введите аргумент функции по запросу системы. В нашем случае необходимо было найти корень из цифры «25», поэтому вводим его в строку. После введения числа просто нажимаем на кнопку «ОК». В ячейке будет отражена цифра, полученная в результате математического вычисления корня.

ВНИМАНИЕ! Если нам нужно узнать корень в степени в Excel то мы не используем функцию =КОРЕНЬ(). Вспомним теорию из математики:

«Корнем n-ой степени от числа а называется число b, n-ая степень которого равна а», то есть:
n√a = b; bn = a.(1/n)- где a-число; n-степень:

Или через такую функцию: =СТЕПЕНЬ(32;1/5)

В аргументах формулы и функции можно указывать ссылки на ячейки вместо числа.

Как в Excel написать число в степени?

Часто вам важно, чтобы число в степени корректно отображалось при распечатывании и красиво выглядело в таблице. Как в Excel написать число в степени? Здесь необходимо использовать вкладку «Формат ячеек». В нашем примере мы записали цифру «3» в ячейку «А1», которую нужно представить в -2 степени.

Последовательность действий следующая:

Правой кнопкой мыши щелкаем по ячейке с числом и выбираем из выскакивающего меню вкладку «Формат ячеек». Если не получилось – находим вкладку «Формат ячеек» в верхней панели или жмем комбинацию клавиш CTRL+1.
В появившемся меню выбираем вкладку «Число» и задаем формат для ячейки «Текстовый». Жмем ОК.
В ячейке A1 вводим рядом с числом «3» число «-2» и выделяем его.
Снова вызываем формат ячеек (например, комбинацией горячих клавиш CTRL+1) и теперь для нас только доступна вкладка «Шрифт», в которой отмечаем галочкой опцию «надстрочный». И жмем ОК.
В результате должно отображаться следующее значение:

Пользоваться возможностями Excel просто и удобно. С ними вы экономите время на осуществлении математических подсчетов и поисках необходимых формул.

Формулы сокращенного умножения

Продолжаем изучать многочлены. В данном уроке мы научимся перемножать многочлены с помощью формул сокращённого умножения.

Предварительные навыки

Квадрат суммы двух выражений

Существует ряд случаев, когда умножение многочлена на многочлен можно значительно упростить. Таковым к примеру является случай (2x + 3y)².

Выражение (2x + 3y)² это перемножение двух многочленов, каждый из которых равен (2x + 3y)

(2x + 3y)² = (2x + 3y)(2x + 3y)

Получили умножение многочлена на многочлен. Выполним его:

(2x + 3y)² = (2x + 3y)(2x + 3y) = 4x²+ 6xy + 6xy + 9y²= 4x²+ 12xy + 9y²

То есть выражение (2x + 3y)² равно 4x² + 12xy + 9y²

(2x + 3y)² = 4x²+ 12xy + 9y²

Решим аналогичный пример, который попроще:

(a + b)²

Выражение (a + b)² это перемножение двух многочленов, каждый из которых равен (a + b)

(a + b)² = (a + b)(a + b)

Выполним это умножение:

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a²+ ab + ab + b² = a²+ 2ab + b²

То есть выражение (a + b)² равно a²+ 2ab + b²

(a + b)² = a²+ 2ab + b²

Оказывается, что случай (a + b)²можно распространить для любых a и b. Первый пример, который мы решили, а именно (2x + 3y)² можно решить с помощью тождества (a + b)² = a²+ 2ab + b². Для этого нужно подставить вместо переменных a и b соответствующие члены из выражение (2x + 3y)². В данном случае переменной a соответствует член 2x, а переменной b соответствует член 3y

a = 2x

b = 3y

И далее можно воспользоваться тождеством (a + b)² = a²+ 2ab + b², но вместо переменных a и b нужно подставлять выражения 2x и 3y соответственно:

(2x + 3y)² = (2x)² + 2 × 2x × 3y + (3y)² = 4x²+ 12xy + 9y²

Как и в прошлый раз получили многочлен 4x²+ 12xy + 9y². Решение обычно записывают покороче, выполняя в уме все элементарные преобразования:

(2x + 3y)² = 4x²+ 12xy + 9y²

Тождество (a + b)² = a²+ 2ab + b² называют формулой квадрата суммы двух выражений. Эту формулу можно прочитать так:

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Рассмотрим выражение (2 + 3)². Его можно вычислить двумя способами: выполнить сложение в скобках и возвести полученный результат в квадрат, либо воспользоваться формулой квадрата суммы двух выражений.

Первый способ:

(2 + 3)² = 5² = 25

Второй способ:

(2 + 3)² = 2² + 2 × 2 × 3 + 3² = 4 + 12 + 9 = 25

Пример 2. Преобразовать выражение (5a + 3)² в многочлен.

Воспользуемся формулой квадрата суммы двух выражений:

(a + b)² = a²+ 2ab + b²

(5a + 3)² = (5a)²+ 2 × 5a × 3 + 3² = 25a² + 30a + 9

Значит, (5a + 3)² = 25a² + 30a + 9.

Попробуем решить данный пример, не пользуясь формулой квадрата суммы. У нас должен получиться тот же результат:

(5a + 3)² = (5a + 3)(5a + 3) = 25a² + 15a + 15a + 9 = 25a² + 30a + 9

Формула квадрата суммы двух выражений имеет геометрический смысл. Мы помним, что для вычисления площади квадрата нужно возвести во вторую степень его сторону.

Например, площадь квадрата со стороной a будет равна a². Если увеличить сторону квадрата на b, то площадь будет равна (a + b)²

Рассмотрим следующий рисунок:

Представим, что сторону квадрата, изображённого на данном рисунке увеличили на b. У квадрата все стороны равны. Если его сторону увеличить на b, то остальные стороны тоже увеличатся на b

Получился новый квадрат, который больше предыдущего. Чтобы хорошо увидеть его, достроим отсутствующие стороны:

Чтобы вычислить площадь этого квадрата, можно по отдельности вычислить квадраты и прямоугольники, входящие в него, затем сложить полученные результаты.

Сначала можно вычислить квадрат со стороной a — его площадь будет равна a². Затем можно вычислить прямоугольники со сторонами a и b — они будут равны ab. Затем можно вычислить квадрат со стороной b

В результате получается следующая сумма площадей:

a² + ab + ab + b²

Сумму площадей одинаковых прямоугольников можно заменить на умножение 2ab, которое буквально будет означать «повторить два раза площадь прямоугольника ab». Алгебраически это получается путём приведения подобных слагаемых ab и ab. В результате получается выражение a²+ 2ab + b², которое является правой частью формулы квадрата суммы двух выражений:

(a + b)² = a²+ 2ab + b²

Квадрат разности двух выражений

Формула квадрата разности двух выражений выглядит следующим образом:

(a − b)² = a²− 2ab + b²

Эту формулу можно прочитать так:

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Формула квадрата разности двух выражений выводится таким же образом, как и формула квадрата суммы двух выражений. Выражение (a − b)² представляет собой произведение двух многочленов, каждый из которых равен (a − b)

(a − b)² = (a − b)(a − b)

Если выполнить это умножение, то получится многочлен a²− 2ab + b²

(a − b)² = (a − b)(a − b) = a²− ab − ab + b² = a²− 2ab + b²

Пример 1. Преобразовать выражение (7x − 5)² в многочлен.

Воспользуемся формулой квадрата разности двух выражений:

(a − b)² = a²− 2ab + b²

(7x − 5)² = (7x)²− 2 × 7x × 5 + 5² = 49x² − 70x + 25

Значит, (7x − 5)² = 49x² − 70x + 25.

Попробуем решить данный пример, не пользуясь формулой квадрата разности. У нас должен получиться тот же результат:

(7x − 5)² = (7x − 5)(7x − 5) = 49x² − 35x − 35x + 25 = 49x² − 70x + 25.

Формула квадрата разности двух выражений тоже имеет геометрический смысл. Если площадь квадрата со стороной a равна a², то площадь квадрата, сторона которого уменьшена на b, будет равна (a − b)²

Рассмотрим следующий рисунок:

Представим, что сторону квадрата, изображённого на данном рисунке уменьшили на b. У квадрата все стороны равны. Если одну сторону уменьшить на b, то остальные стороны тоже уменьшатся на b

Получился новый квадрат, который меньше предыдущего. На рисунке он выделен жёлтым. Сторона его равна a − b, поскольку старая сторона a уменьшилась на b. Чтобы вычислить площадь этого квадрата, можно из первоначальной площади квадрата a² вычесть площади прямоугольников, которые получились в процессе уменьшения сторон старого квадрата. Покажем эти прямоугольники:

Тогда можно написать следующее выражение: старая площадь a² минус площадь ab минус площадь (a − b)b

a² − ab − (a − b)b

Раскроем скобки в выражении (a − b)b

a² − ab − ab + b²

Приведем подобные слагаемые:

a² − 2ab + b²

В результате получается выражение a² − 2ab + b², которое является правой частью формулы квадрата разности двух выражений:

(a − b)² = a²− 2ab + b²

Формулы квадрата суммы и квадрата разности в общем называют формулами сокращённого умножения. Эти формулы позволяют значительно упростить и ускорить процесс перемножения многочленов.

Ранее мы говорили, что рассматривая член многочлена по отдельности, его нужно рассматривать вместе со знаком, который перед ним располагается.

Но применяя формулы сокращённого умножения, знак исходного многочлена не следует рассматривать в качестве знака самого этого члена.

Например, если дано выражение (5x − 2y)², и мы хотим воспользоваться формулой (a − b)² = a²− 2ab + b², то вместо b нужно подставлять 2y, а не −2y. Это особенность работы с формулами, которую не следует забывать.

(5x − 2y)²
a = 5x
b = 2y
(5x − 2y)² = (5x)² − 2 × 5x × 2y + (2y)² = 25x² − 20xy + 4y²

Если подставлять −2y, то это будет означать, что разность в скобках исходного выражения была заменена на сумму:

(5x − 2y)² = (5x + (−2y))²

и в таком случае нужно применять не формулу квадрата разности, а формулу квадрата суммы:

(5x + (−2y)²
a = 5x
b = −2y
(5x + (−2y))² = (5x)² + 2 × 5x × (−2y) + (−2y)² = 25x² − 20xy + 4y²

Исключением могут быть выражения вида (x − (−y))². В данном случае, применяя формулу (a − b)² = a²− 2ab + b² вместо b следует подставить (−y)

(x − (−y))² = x² − 2 × x × (−y) + (−y)² = x² + 2xy + y²

Но возводя в квадрат выражения вида x − (−y), удобнее будет заменять вычитание на сложение x + y. Тогда первоначальное выражение примет вид (x + y)² и можно будет воспользоваться формулой квадрата суммы, а не разности:

(x + y)² = x² + 2xy + y²

Куб суммы и куб разности

Формулы куба суммы двух выражений и куба разности двух выражений выглядят следующим образом:

(a + b)³ = a³+ 3a²b + 3ab²+ b³

(a − b)³ = a³− 3a²b + 3ab²− b³

Формулу куба суммы двух выражений можно прочитать так:

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

А формулу куба разности двух выражений можно прочитать так:

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

При решении задач желательно знать эти формулы наизусть. Если не запомнили — не беда! Их можно выводить самостоятельно. Мы это уже умеем.

Выведем формулу куба суммы самостоятельно:

(a + b)³

Выражение (a + b)³ представляет собой произведение из трёх многочленов, каждый из которых равен (a + b)

(a + b)³ = (a + b)(a + b)(a + b)

Но выражение (a + b)³ также может быть записано как (a + b)(a + b)²

(a + b)³ = (a + b)(a + b)²

При этом сомножитель (a + b)² является квадратом суммы двух выражений. Этот квадрат суммы равен выражению a²+ 2ab + b².

Тогда (a + b)³ можно записать как (a + b)(a²+ 2ab + b²).

(a + b)³ = (a + b)(a²+ 2ab + b²)

А это есть умножение многочлена на многочлен. Выполним его:

(a + b)³ = (a + b)(a²+ 2ab + b²) = a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³ = a³+ 3a²b + 3ab²+ b³

Аналогично можно вывести формулу куба разности двух выражений:

(a − b)³ = (a − b)(a² − 2ab + b²) = a³ − 2a²b + ab² − a²b + 2ab² − b³ = a³− 3a²b + 3ab²− b³

Пример 1. Преобразуйте выражение (x + 1)³ в многочлен.

Воспользуемся формулой куба суммы двух выражений:

(a + b)³ = a³+ 3a²b + 3ab²+ b³

(x + 1)³ = x³ + 3 × x² × 1 + 3 × x × 1² + 1³ = x³ + 3x² + 3x + 1

Попробуем решить данный пример, не используя формулу куба суммы двух выражений. У нас получится тот же результат, но решение станет длиннее:

(x + 1)³ = (x + 1)(x + 1)(x + 1) = (x + 1)(x² + 2x + 1) = x³ + 2x² + x + x² + 2x + 1 = x³ + 3x² + 3x + 1

Пример 2. Преобразовать выражение (6a²+ 3b³)³ в многочлен.

Воспользуемся формулой куба суммы двух выражений:

(a + b)³ = a³+ 3a²b + 3ab²+ b³

(6a² + 3b³)³= (6a²)³+ 3 × (6a²)² × 3b³ + 3 × 6a²× (3b³)² + (3b³)³ = 216a⁶ + 3 × 36a⁴ × 3b³+ 3 × 6a²× 9b⁶ + 27b⁹

Пример 3. Преобразовать выражение (n² − 3)³ в многочлен.

Воспользуемся формулой куба разности двух выражений:

(a − b) = a³− 3a²b + 3ab²− b³

(n² − 3)³ = (n²)³ − 3 × (n²)² × 3 + 3 × n² × 3² − 3³ = n⁶ − 9n⁴ + 27n² − 27

Пример 4. Преобразовать выражение (2x²− x³)³ в многочлен.

Воспользуемся формулой куба разности двух выражений:

(a − b) = a³− 3a²b + 3ab²− b³

(2x²− x³)³= (2x²)³− 3 × (2x²)² × x³ + 3 × 2x²× (x³)²− (x³)³=
8x⁶ − 3 × 4x⁴ × x³ + 3 × 2x²× x⁶ − x⁹ =
8x⁶ − 12x⁷ + 6x⁸ − x⁹

Умножение разности двух выражений на их сумму

Встречаются задачи, в которых требуется умножить разность двух выражений на их сумму. Например:

(a − b)(a + b)

В этом выражении разность двух выражений a и b умножена на сумму этих же двух выражений. Выполним данное умножение:

(a − b)(a + b) = a² + ab − ab − b² = a² − b²

То есть выражение (a − b)(a + b) равно a² − b²

(a − b)(a + b) = a² − b²

Видим, что при умножении разности двух выражений на их сумму, получается разность квадратов этих выражений.

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Случай (a − b)(a + b) можно распространить для любых a и b. Проще говоря, если при решении задачи потребуется умножить разность двух выражений на их сумму, то это умножение можно заменить на разность квадратов этих выражений.

Пример 1. Выполнить умножение (2x − 5)(2x + 5)

В этом примере разность выражений 2x и 5 умножена на сумму этих же выражений. Тогда согласно формуле (a − b)(a + b) = a² − b² имеем:

(2x − 5)(2x + 5) = (2x)² − 5²

Вычислим правую часть, получим 4x² − 25

(2x − 5)(2x + 5) = (2x)² − 5² = 4x² − 25

Попробуем решить данный пример, не пользуясь формулой (a − b)(a + b) = a²− b². У нас получится тот же результат 4x² − 25

(2x − 5)(2x + 5) = 4x²− 10x + 10x − 25 = 4x² − 25

Пример 2. Выполнить умножение (4x − 5y)(4x + 5y)

Воспользуемся формулой умножения разности двух выражений на их сумму:

(a − b)(a + b) = a² − b²

(4x − 5y)(4x + 5y) = (4x)² − (5y)² = 16x² − 25y²

Пример 3. Выполнить умножение (2a + 3b)(2a − 3b)

Воспользуемся формулой умножения разности двух выражений на их сумму:

(a − b)(a + b) = a² − b²

(2a + 3b)(2a − 3b) = (2a)² − (3b)² = 4a² − 9b²

В данном примере сумма членов 2a и 3b располагалась раньше, чем разность этих членов. А в формуле (a − b)(a + b) = a² − b² разность располагается раньше.

Нет никакой разницы как располагаются сомножители (a − b) в (a + b) в формуле. Они могут быть быть записаны как (a − b)(a + b), так и (a + b)(a − b). Результат по прежнему будет равен a² − b², поскольку от перестановки сомножителей произведение не меняется.

Так и в данном примере сомножители (2a + 3b) и (2a − 3b) можно записать как (2a + 3b)(2a − 3b), так и (2a − 3b)(2a + 3b). Результат всё так же будет равен 4a²− 9b².

Пример 3. Выполнить умножение (7 + 3x)(3x − 7)

Воспользуемся формулой умножения разности двух выражений на их сумму:

(a − b)(a + b) = a² − b²

(7 + 3x)(3x − 7) = (3x)² − 7² = 9x² − 49

Пример 4. Выполнить умножение (x²− y³)(x²+ y³)

(a − b)(a + b) = a² − b²

(x²− y³)(x²+ y³) = (x²)² − (y³)² = x⁴ − y⁶

Пример 5. Выполнить умножение (−5x − 3y)(5x − 3y)

В выражении (−5x − 3y) вынесем за скобки −1, тогда исходное выражение примет следующий вид:

(−5x − 3y)(5x − 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y)

Произведение (5x + 3y)(5x − 3y) заменим на разность квадратов:

(−5x − 3y)(5x − 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x)² − (3y)²)

Разность квадратов была заключена в скобки. Если этого не сделать, то получится, что −1 умножается только на (5x)². А это приведет к ошибке и изменению значения исходного выражения.

Далее вычисляем выражение в скобках:

(−5x − 3y)(5x − 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x)² − (3y)²) = −1(25x²− 9y²)

Теперь умножим −1 на выражение в скобках и получим окончательный результат:

(−5x − 3y)(5x − 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x)² − (3y)²) =
−1(25x²− 9y²) = −25x²+ 9y²

Умножение разности двух выражений на неполный квадрат их суммы

Встречаются задачи, в которых требуется умножить разность двух выражений на неполный квадрат их суммы. Выглядит это произведение следующим образом:

(a − b)(a² + ab + b²)

Первый многочлен (a − b) является разностью двух выражений, а второй многочлен (a² + ab + b²) является неполным квадратом суммы этих двух выражений.

Неполный квадрат суммы это многочлен вида a² + ab + b². Он похож на обычный квадрат суммы a² + 2ab + b² за исключением того, что в нём произведение первого и второго выражений не удваивается.

Например, выражение 4x² + 6xy + 9y² является неполным квадратом суммы выражений 2x и 3y.

Действительно, первый член выражения 4x² + 6xy + 9y², а именно 4x² является квадратом выражения 2x, поскольку (2x)² = 4x². Третий член выражения 4x² + 6xy + 9y², а именно 9y² является квадратом выражения 3y, поскольку (3y)² = 9y². Член находящийся в середине 6xy, является произведением выражений 2x и 3y.

Итак, умножим разность (a − b) на неполный квадрат суммы a² + ab + b²

(a − b)(a² + ab + b²) = a(a² + ab + b²) − b(a² + ab + b²) =
a³ + a²b + ab² − a²b − ab² − b³ = a³ − b³

То есть выражение (a − b)(a² + ab + b²) равно a³ − b³

(a − b)(a² + ab + b²) = a³ − b³

Это тождество называют формулой умножения разности двух выражений на неполный квадрат их суммы. Эту формулу можно прочитать так:

Произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы равно разности кубов этих выражений.

Пример 1. Выполнить умножение (2x − 3y)(4x² + 6xy + 9y²)

Первый многочлен (2x − 3y) это разность двух выражений 2x и 3y. Второй многочлен 4x² + 6xy + 9y² это неполный квадрат суммы двух выражений 2x и 3y. Это позволяет не приводя длинных вычислений, воспользоваться формулой (a − b)(a² + ab + b²) = a³ − b³. В нашем случае умножение (2x − 3y)(4x² + 6xy + 9y²) можно заменить на разность кубов 2x и 3y

(2x − 3y)(4x² + 6xy + 9y²) = (2x)³ − (3y)³ = 8x³− 27y³

Попробуем решить этот же пример, не пользуясь формулой (a − b)(a²+ ab + b²) = a³− b³. У нас получится тот же результат, но решение станет длиннее:

(2x − 3y)(4x² + 6xy + 9y²) = 2x(4x² + 6xy + 9y²) − 3y(4x² + 6xy + 9y²) =
8x³ + 12x²y + 18xy² − 12x²y − 18xy² − 27y³ = 8x³ − 27y³

Пример 2. Выполнить умножение (3 − x)(9 + 3x + x²)

Первый многочлен (3 − x) является разностью двух выражений, а второй многочлен является неполным квадратом суммы этих двух выражений. Это позволяет воспользоваться формулой (a − b)(a² + ab + b²) = a³ − b³

(3 − x)(9 + 3x + x²) = 3³ − x³ = 27 − x³

Умножение суммы двух выражений на неполный квадрат их разности

Встречаются задачи, в которых требуется умножить сумму двух выражений на неполный квадрат их разности. Выглядит это произведение следующим образом:

(a + b)(a² − ab + b²)

Первый многочлен (a + b) является суммой двух выражений, а второй многочлен (a² − ab + b²) является неполным квадратом разности этих двух выражений.

Неполный квадрат разности это многочлен вида a² − ab + b². Он похож на обычный квадрат разности a² − 2ab + b² за исключением того, что в нём произведение первого и второго выражений не удваивается.

Например, выражение 4x² − 6xy + 9y² является неполным квадратом разности выражений 2x и 3y.

(2x)² − 2x × 3y + (3y)² = 4x² − 6xy + 9y²

Вернёмся к изначальному примеру. Умножим сумму a + b на неполный квадрат разности a² − ab + b²

(a + b)(a² − ab + b²) = a(a² − ab + b²) + b(a² − ab + b²) =
a³ − a²b + ab² + a²b − ab² + b³ = a³ + b³

То есть выражение (a + b)(a² − ab + b²) равно a³ + b³

(a + b)(a² − ab + b²) = a³ + b³

Это тождество называют формулой умножения суммы двух выражений на неполный квадрат их разности. Эту формулу можно прочитать так:

Произведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности равно сумме кубов этих выражений.

Пример 1. Выполнить умножение (2x + 3y)(4x²− 6xy + 9y²)

Первый многочлен (2x + 3y) это сумма двух выражений 2x и 3y, а второй многочлен 4x² − 6xy + 9y² это неполный квадрат разности этих выражений. Это позволяет не приводя длинных вычислений, воспользоваться формулой (a + b)(a² − ab + b²) = a³ + b³. В нашем случае умножение (2x + 3y)(4x² − 6xy + 9y²) можно заменить на сумму кубов 2x и 3y

(2x + 3y)(4x² − 6xy + 9y²) = (2x)³ + (3y)³ = 8x³+ 27y³

Попробуем решить этот же пример, не пользуясь формулой (a + b)(a²− ab + b²) = a³+ b³. У нас получится тот же результат, но решение станет длиннее:

(2x + 3y)(4x² − 6xy + 9y²) = 2x(4x² − 6xy + 9y²) + 3y(4x² − 6xy + 9y²) =
8x³ − 12x²y + 18xy² + 12x²y − 18xy² + 27y³ = 8x³ + 27y³

Пример 2. Выполнить умножение (2x + y)(4x² − 2xy + y²)

Первый многочлен (2x + y) является суммой двух выражений, а второй многочлен (4x² − 2xy + y²) является неполным квадратом разности этих выражений. Это позволяет воспользоваться формулой (a + b)(a²− ab + b²) = a³+ b³

(2x + y)(4x² − 2xy + y²) = (2x)³ + y³ = 8x³ + y³

(2x + y)(4x² − 2xy + y²) = 2x(4x² − 2xy + y²) + y(4x² − 2xy + y²) =
8x³ − 4x²y + 2xy² + 4x²y − 2xy² + y³ = 8x³ + y³

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Преобразуйте выражение (m + n)² в многочлен.

Решение:

(m + n)² = m² + 2mn + n²

Задание 2. Преобразуйте выражение (x + 8)² в многочлен.

Решение:

(x + 8)² = x² + 2 × x × 8 + 8² = x² + 16x + 64

Задание 3. Преобразуйте выражение (2x² + 3x³)² в многочлен.

Решение:

(2x² + 3x³)² = (2x²)² + 2 × 2x² × 3x³ + (3x³)² = 4x⁴ + 12x⁵ + 9x⁶

Задание 4. Преобразуйте выражение (5a + 5)² в многочлен.

Решение:

(5a + 5)² = (5a)² + 2 × 5a × 5 + 5² = 25a² + 50a + 25

Задание 5. Преобразуйте выражение (9 − x)² в многочлен.

Решение:

(9 − x)² = 9² − 2 × 9 × x + x² = 81 − 18x + x²

Задание 6. Преобразуйте выражение (x − 25)² в многочлен.

Решение:

(x − 25)² = x² − 2 × x × 25 + 25² = x² − 50x + 625

Задание 7. Преобразуйте выражение (3x² − y³)² в многочлен.

Решение:

(3x² − y³)² = (3x²)² − 2 × 3x² × y³ + ( y³)² = 9x⁴ − 6x²y³ + y⁶

Задание 8. Выполните умножение (x − y)(x + y)

Решение:

(x − y)(x + y) = x² − y²

Задание 9. Выполните умножение (2x − y)(2x + y)

Решение:

(2x − y)(2x + y) = (2x)² − y² = 4x² − y²

Задание 10. Выполните умножение (7 + 3y)(3y − 7)

Решение:

(7 + 3y)(3y − 7) = (3y)² − 7² = 9y² − 49

Задание 11. Выполните умножение (x² − 5)(x² + 5)

Решение:

(x² − 5)(x² + 5) = (x²)² − 5² = x⁴ − 25

Задание 12. Выполните умножение (a³ − b²)(a³ + b²)

Решение:

(a³ − b²)(a³ + b²) = (a³)² − (b²)² = a⁶ − b⁴

Задание 13. Выполните умножение (5a² + 2b³)(5a² − 2b³)

Решение:

(5a² + 2b³)(5a² − 2b³) = (5a²)² − (2b³)² = 25a⁴ − 4b⁶

Задание 14. Выполните умножение (9x − y²)(y² + 9x)

Решение:

(9x − y²)(y² + 9x) = (9x)² − (y²)² = 81x² − y⁴

Задание 15. Выполните умножение (2 − x)(4 + 2x + x²)

Решение:

(2 − x)(4 + 2x + x²) = 2³− x³ = 8 − x³

Задание 16. Выполните умножение (3 − 2)(9 + 6 + 4)

Решение:

(3 − 2)(9 + 6 + 4) = 3³− 2³ = 27 − 8 = 19

Задание 17. Выполните умножение (4x + 1)(16x² − 4x + 1)

Решение:

(4x + 1)(16x² − 4x + 1) = (4x)³+ 1³ = 64x³+ 1

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра — Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения включают в себя следующие группы формул:

Степень суммы

Группа формул «Степень суммы» составляет Таблицу 1. Эти формулы можно получить, выполняя вычисления в следующем порядке:

(x + y)² = (x + y)(x + y) ,
(x + y)³ = (x + y)²(x + y) ,
(x + y)⁴ = (x + y)³(x + y)

и т.д.

Группу формул «Степень суммы» можно получить также с помощью треугольника Паскаля и с помощью бинома Ньютона, которым посвящены специальные разделы нашего справочника.

Таблица 1. – Степень суммы

Название формулы	Формула
Квадрат (вторая степень) суммы	(x + y)² = x² + 2xy + y²
Куб (третья степень) суммы	(x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
Четвертая степень суммы	(x + y)⁴ = x⁴ + 4x³y + 6x²y² + 4xy³ + y⁴
Пятая степень суммы	(x + y)⁵ = x⁵ + 5x⁴y + 10x³y² + 10x²y³ + 5xy⁴ + y⁵
Шестая степень суммы	(x + y)⁶ = x⁶ + 6x⁵y + 15x⁴y² + 20x³y³ + 15x²y⁴ + 6xy⁵ + y⁶
…	…

Квадрат (вторая степень) суммы

(x + y)² = x² + 2xy + y²

Куб (третья степень) суммы

(x + y)³ =
= x³ + 3x²y + 3xy² + y³

Четвертая степень суммы

(x + y)⁴ = x⁴ + 4x³y +
+ 6x²y² + 4xy³ + y⁴

Пятая степень суммы

(x + y)⁵ = x⁵ + 5x⁴y +
+ 10x³y² +
+ 10x²y³ +
+ 5xy⁴ + y⁵

Шестая степень суммы

(x + y)⁶ = x⁶ + 6x⁵y +
+ 15x⁴y² +
+ 20x³y³ +
+ 15x²y⁴ + 6xy⁵ + y⁶

…

Общая формула для вычисления суммы

(x + y)ⁿ

с произвольным натуральным значением n рассматривается в разделе «Бином Ньютона» нашего справочника.

Степень разности

Если в формулах из Таблицы 1 заменить y на – y , то мы получим группу формул «Степень разности» (Таблица 2.):

Таблица 2. – Степень разности

Название формулы	Формула
Квадрат (вторая степень) разности	(x – y)² = x² – 2xy + y²
Куб (третья степень) разности	(x – y)³ = x³ – 3x²y + 3xy²– y³
Четвертая степень разности	(x – y)⁴ = x⁴ – 4x³y + 6x²y² – 4xy³ + y⁴
Пятая степень разности	(x – y)⁵ = x⁵ – 5x⁴y + 10x³y² – 10x²y³ + 5xy⁴– y⁵
Шестая степень разности	(x – y)⁶ = x⁶ – 6x⁵y + 15x⁴y² – 20x³y³ + 15x²y⁴ – 6xy⁵ + y⁶
…	…

Квадрат (вторая степень) разности

(x – y)² = x² – 2xy + y²

Куб (третья степень) разности

(x – y)³ =
= x³ – 3x²y + 3xy²– y³

Четвертая степень разности

(x – y)⁴ = x⁴ – 4x³y +
+ 6x²y² – 4xy³ + y⁴

Пятая степень разности

(x – y)⁵ = x⁵ – 5x⁴y +
+ 10x³y² –
– 10x²y³ +
+ 5xy⁴– y⁵

Шестая степень разности

(x – y)⁶ = x⁶ – 6x⁵y +
+ 15x⁴y² –
– 20x³y³ +
+ 15x²y⁴ – 6xy⁵ + y⁶

…

Квадрат многочлена

Следующая формула применяется достаточно часто и называется «Квадрат многочлена»:

Словами эту формулу можно выразить так: — «Квадрат многочлена равен сумме квадратов всех его членов плюс сумма всевозможных удвоенных произведений его членов».

Куб трехчлена

Следующая формула называется «Куб трехчлена»:

(x + y + z)³ =
= x³ + y³ + z³ + 3x²y +
+ 3x²z + 3xy² +
+ 3xz² +
+ 3y²z + 3yz² + 6xyz .

Другие формулы сокращенного умножения приведены в разделе «Формулы сокращенного умножения: сумма степеней, разность степеней» нашего справочника.

Уравнения в целых числах (диофантовы уравнения) / math5school.ru

Немного теории

Уравнения в целых числах – это алгебраические уравнения с двумя или более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями

такого уравнения являются все целочисленные (иногда натуральные или рациональные) наборы значений неизвестных переменных, удовлетворяющих этому

уравнению. Такие уравнения ещё называют диофантовыми, в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который исследовал некоторые типы таких уравнений ещё до нашей эры.

Современной постановкой диофантовых задач мы обязаны французскому математику Ферма.

Именно он поставил перед европейскими математиками вопрос о решении неопределённых уравнений только в целых числах. Наиболее известное уравнение в

целых числах – великая теорема Ферма: уравнение

xⁿ + yⁿ = zⁿ

не имеет ненулевых рациональных решений для всех натуральных n > 2.

Теоретический интерес к уравнениям в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел.

В 1970 году ленинградский математик Юрий Владимирович Матиясевич доказал, что общего способа, позволяющего за конечное число шагов решать в целых

числах произвольные диофантовы уравнения, не существует и быть не может. Поэтому следует для разных типов уравнений выбирать собственные методы

решения.

При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы:

способ перебора вариантов;

применение алгоритма Евклида;

представление чисел в виде непрерывных (цепных) дробей;

разложения на множители;

решение уравнений в целых числах как квадратных (или иных) относительно какой-либо переменной;

метод остатков;

метод бесконечного спуска.

Задачи с решениями

1. Решить в целых числах уравнение x² – xy – 2y² = 7.

Решение

Запишем уравнение в виде (x – 2y)(x + y) = 7.

Так как х, у – целые числа, то находим решения исходного уравнения, как решения следующих четырёх систем:

1) x – 2y = 7, x + y = 1;

2) x – 2y = 1, x + y = 7;

3) x – 2y = –7, x + y = –1;

4) x – 2y = –1, x + y = –7.

Решив эти системы, получаем решения уравнения: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) и (–5; –2).

Ответ: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2).

2. Решить в целых числах уравнение:

а) 20х + 12у = 2013;

б) 5х + 7у = 19;

в) 201х – 1999у = 12.

Решение

а) Поскольку при любых целых значениях х и у левая часть уравнения делится на два, а правая является нечётным числом, то уравнение не имеет решений в

целых числах.

Ответ: решений нет.

б) Подберём сначала некоторое конкретное решение. В данном случае, это просто, например,

x₀ = 1, y₀ = 2.

Тогда

5x₀ + 7y₀ = 19,

откуда

5(х – x₀) + 7(у – y₀) = 0,

5(х – x₀) = –7(у – y₀).

Поскольку числа 5 и 7 взаимно простые, то

х – x₀ = 7k, у – y₀ = –5k.

Значит, общее решение:

х = 1 + 7k, у = 2 – 5k,

где k – произвольное целое число.

Ответ: (1+7k; 2–5k), где k – целое число.

в) Найти некоторое конкретное решение подбором в данном случае достаточно сложно. Воспользуемся алгоритмом Евклида для чисел 1999 и 201:

НОД(1999, 201) = НОД(201, 190) = НОД(190, 11) = НОД(11, 3) = НОД(3 , 2) = НОД(2, 1) = 1.

Запишем этот процесс в обратном порядке:

1 = 2 – 1 = 2 – (3 – 2) = 2·2 – 3 = 2· (11 – 3·3) – 3 = 2·11 – 7·3 = 2·11 – 7(190 – 11·17) =

= 121·11 – 7·190 = 121(201 – 190) – 7·190 = 121·201 – 128·190 =

= 121·201 – 128(1999 – 9·201) = 1273·201 – 128·1999.

Значит, пара (1273, 128) является решением уравнения 201х – 1999у = 1. Тогда пара чисел

x₀ = 1273·12 = 15276, y₀ = 128·12 = 1536

является решением уравнения 201х – 1999у = 12.

Общее решение этого уравнения запишется в виде

х = 15276 + 1999k, у = 1536 + 201k, где k – целое число,

или, после переобозначения (используем, что 15276 = 1283 + 7·1999, 1536 = 129 + 7·201),

х = 1283 + 1999n, у = 129 + 201n, где n – целое число.

Ответ: (1283+1999n, 129+201n), где n – целое число.

3. Решить в целых числах уравнение:

а) x³ + y³ = 3333333;

б) x³ + y³ = 4(x²y + xy² + 1).

Решение

а) Так как x³ и y³ при делении на 9 могут давать только остатки 0, 1 и 8 (смотрите таблицу в разделе «Делимость целых чисел и остатки»), то x³ + y³

может давать только остатки 0, 1, 2, 7 и 8. Но число 3333333 при делении на 9 даёт остаток 3. Поэтому исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

б) Перепишем исходное уравнение в виде (x + y)³ = 7(x²y + xy²) + 4. Так как кубы целых чисел при делении на 7

дают остатки 0, 1 и 6, но не 4, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

4. Решить

а) в простых числах уравнение х² – 7х – 144 = у² – 25у;

б) в целых числах уравнение x + y = x² – xy + y².

Решение

а) Решим данное уравнение как квадратное относительно переменной у. Получим

у = х + 9 или у = 16 – х.

Поскольку при нечётном х число х + 9 является чётным, то единственной парой простых чисел, которая удовлетворяет первому равенству, является (2; 11).

Так как х, у – простые, то из равенства у = 16 – х имеем

2 х 16, 2 у 16.

С помощью перебора вариантов находим остальные решения: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

Ответ: (2; 11), (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

б) Рассмотрим данное уравнение как квадратное уравнение относительно x:

x² – (y + 1)x + y² – y = 0.

Дискриминант этого уравнения равен –3y² + 6y + 1. Он положителен лишь для следующих значений у: 0, 1, 2. Для каждого из этих значений из

исходного уравнения получаем квадратное уравнение относительно х, которое легко решается.

Ответ: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2).

5. Существует ли бесконечное число троек целых чисел x, y, z таких, что x² + y² + z² = x³ +

y³ + z³ ?

Решение

Попробуем подбирать такие тройки, где у = –z. Тогда y³ и z³ будут всегда взаимно уничтожаться, и наше уравнение будет иметь

вид

x² + 2y² = x³

или, иначе,

x²(x–1) = 2y².

Чтобы пара целых чисел (x; y) удовлетворяла этому условию, достаточно, чтобы число x–1 было удвоенным квадратом целого числа. Таких чисел бесконечно

много, а именно, это все числа вида 2n²+1. Подставляя в x²(x–1) = 2y² такое число, после несложных преобразований

получаем:

y = xn = n(2n²+1) = 2n³+n.

Все тройки, полученные таким образом, имеют вид (2n²+1; 2n³+n; –2n³– n).

Ответ: существует.

6. Найдите такие целые числа x, y, z, u, что x² + y² + z² + u² = 2xyzu.

Решение

Число x² + y² + z² + u² чётно, поэтому среди чисел x, y, z, u чётное число нечётных чисел.

Если все четыре числа x, y, z, u нечётны, то x² + y² + z² + u² делится на 4, но при этом 2xyzu не делится

на 4 – несоответствие.

Если ровно два из чисел x, y, z, u нечётны, то x² + y² + z² + u² не делится на 4, а 2xyzu делится на 4 –

опять несоответствие.

Поэтому все числа x, y, z, u чётны. Тогда можно записать, что

x = 2x₁, y = 2y₁, z = 2z₁, u = 2u₁,

и исходное уравнение примет вид

x₁² + y₁² + z₁² + u₁² =

8x₁y₁z₁u₁.

Теперь заметим, что (2k + 1)² = 4k(k + 1) + 1 при делении на 8 даёт остаток 1. Поэтому если все числа x₁, y₁,

z₁, u₁ нечётны, то x₁² + y₁² + z₁² +

u₁² не делится на 8. А если ровно два из этих чисел нечётно, то x₁² + y₁² +

z₁² + u₁² не делится даже на 4. Значит,

x₁ = 2x₂, y₁ = 2y₂, z₁ = 2z₂, u₁ =

2u₂,

и мы получаем уравнение

x₂² + y₂² + z₂² + u₂² =

32x₂y₂z₂u₂.

Снова повторив те же самые рассуждения, получим, что x, y, z, u делятся на 2ⁿ при всех натуральных n, что возможно лишь при x = y = z = u = 0.

Ответ: (0; 0; 0; 0).

7. Докажите, что уравнение

(х – у)³ + (y – z)³ + (z – x)³ = 30

не имеет решений в целых числах.

Решение

Воспользуемся следующим тождеством:

(х – у)³ + (y – z)³ + (z – x)³ = 3(х – у)(y – z)(z – x).

Тогда исходное уравнение можно записать в виде

(х – у)(y – z)(z – x) = 10.

Обозначим a = x – y, b = y – z, c = z – x и запишем полученное равенство в виде

abc = 10.

Кроме того очевидно, a + b + c = 0. Легко убедиться, что с точностью до перестановки из равенства abc = 10 следует, что числа |a|, |b|, |c| равны либо 1, 2, 5,

либо 1, 1, 10. Но во всех этих случаях при любом выборе знаков a, b, c сумма a + b + c отлична от нуля. Таким образом, исходное уравнение не имеет решений в

целых числах.

8. Решить в целых числах уравнение 1! + 2! + . . . + х! = у².

Решение

Очевидно, что

если х = 1, то у² = 1,

если х = 3, то у² = 9.

Этим случаям соответствуют следующие пары чисел:

х₁ = 1, у₁ = 1;

х₂ = 1, у₂ = –1;

х₃ = 3, у₃ = 3;

х₄ = 3, у₄ = –3.

Заметим, что при х = 2 имеем 1! + 2! = 3, при х = 4 имеем 1! + 2! + 3! + 4! = 33 и ни 3, ни 33 не являются квадратами целых чисел. Если же х > 5, то, так как

5! + 6! + . . . + х! = 10n,

можем записать, что

1! + 2! + 3! + 4! + 5! + . . . + х! = 33 + 10n.

Так как 33 + 10n – число, оканчивающееся цифрой 3, то оно не является квадратом целого числа.

Ответ: (1; 1), (1; –1), (3; 3), (3; –3).

9. Решите следующую систему уравнений в натуральных числах:

a³ – b³ – c³ = 3abc, a² = 2(b + c).

Решение

Так как

3abc > 0, то a³ > b³ + c³;

таким образом имеем

Складывая эти неравенства, получим, что

b + c

С учётом последнего неравенства, из второго уравнения системы получаем, что

a²

Но второе уравнение системы также показывает, что а – чётное число. Таким образом, а = 2, b = c = 1.

Ответ: (2; 1; 1)

10. Найти все пары целых чисел х и у, удовлетворяющих уравнению х² + х = у⁴ + у³ + у² + у.

Решение

Разложив на множители обе части данного уравнения, получим:

х(х + 1) = у(у + 1)(у² + 1),

или

х(х + 1) = (у² + у)(у² + 1)

Такое равенство возможно, если левая и правая части равны нулю, или представляют собой произведение двух последовательных целых чисел. Поэтому,

приравнивая к нулю те или иные множители, получим 4 пары искомых значений переменных:

х₁ = 0, у₁ = 0;

х₂ = 0, у₂ = –1;

х₃ = –1, у₃ = 0;

х₄ = –1, у₄ = –1.

Произведение (у² + у)(у² + 1) можно рассматривать как произведение двух последовательных целых чисел, отличных от нуля,

только при у = 2. Поэтому х(х + 1) = 30, откуда х₅ = 5, х₆ = –6. Значит, существуют ещё две пары целых чисел, удовлетворяющих

исходному уравнению:

х₅ = 5, у₅ = 2;

х₆ = –6, у₆ = 2.

Ответ: (0; 0), (0; –1), (–1; 0), (–1; –1), (5; 2), (–6; 2.)

Задачи без решений

1. Решить в целых числах уравнение:

а) ху = х + у + 3;

б) х² + у² = х + у + 2.

2. Решить в целых числах уравнение:

а) х³ + 21у² + 5 = 0;

б) 15х² – 7у² = 9.

3. Решить в натуральных числах уравнение:

а) 2^х + 1 = у²;

б) 3·2^х + 1 = у².

4. Доказать, что уравнение х³ + 3у³ + 9z³ = 9xyz в рациональных числах имеет единственное решение

x = y = z = 0.

5. Доказать, что уравнение х² + 5 = у³ в целых числах не имеет решений.

2 «.

Пошаговое решение:

Шаг 1:

Уравнение в конце шага 1:

 (2x ² - x) - 3 = 0

Шаг 2:

Попытка разложить на множители путем разделения среднего члена

2.1 Факторинг 2x ² -x-3

Первый член 2x ², его коэффициент равен 2.
Средний член, -x, его коэффициент -1.
Последний член, «константа», равен -3

Шаг-1: Умножьте коэффициент первого члена на константу 2 • -3 = -6

Шаг-2: Найдите два множителя -6, сумма которых равен коэффициенту среднего члена, который равен -1.

	-6	+	1	=	-5
	-3	+	2	=	-1	Вот и все

Шаг 3: Перепишите полином, разделяющий средний член, используя два множителя, найденных на шаге 2 выше, -3 и 2
2x ² — 3x + 2x — 3

Шаг 4: Сложите первые 2 члена, извлекая одинаковые множители:
x • (2x-3)
Сложите последние 2 члена, вытащив общие множители:
1 • (2x-3)
Шаг 5: сложите четыре члена шага 4:
(x + 1) • (2x-3)
Требуемая факторизация

Уравнение в конце шага 2:

 (2x - 3) • (x + 1) = 0

Шаг 3:

Теория — Истоки продукта:

3.1 Произведение нескольких членов равно нулю.

Если произведение двух или более членов равно нулю, то хотя бы одно из членов должно быть равно нулю.

Теперь мы решим каждый член = 0 отдельно

Другими словами, мы собираемся решить столько уравнений, сколько членов есть в продукте

Любое решение для члена = 0 также решает продукт = 0.

Решение уравнения с одной переменной:

3.2 Решите: 2x-3 = 0

Добавьте 3 к обеим сторонам уравнения:
2x = 3
Разделите обе части уравнения на 2:
x = 3/2 = 1.500

Решение уравнения с одной переменной:

3.3 Решите: x + 1 = 0

Вычтите 1 из обеих частей уравнения:
x = -1

Приложение: Решение квадратного уравнения напрямую

 Решение 2x ² -x-3 = 0 непосредственно

Ранее мы разложили этот многочлен на множители, разделив средний член. Давайте теперь решим уравнение, заполнив Квадрат и используя квадратичную формулу

Парабола, Нахождение вершины:

4.1 Найдите вершину y = 2x ² -x-3

Параболы имеют самую высокую или самую низкую точку, называемую вершиной. Наша парабола открывается и, соответственно, имеет самую низкую точку (также известную как абсолютный минимум). Мы знаем это даже до того, как нанесли «y», потому что коэффициент первого члена, 2, положительный (больше нуля).

Каждая парабола имеет вертикальную линию симметрии, проходящую через ее вершину. Из-за этой симметрии линия симметрии, например, будет проходить через середину двух x-точек пересечения (корней или решений) параболы.То есть, если парабола действительно имеет два реальных решения.

Параболы могут моделировать множество реальных жизненных ситуаций, например высоту над землей объекта, брошенного вверх через некоторый промежуток времени. Вершина параболы может предоставить нам информацию, например, максимальную высоту, которую может достичь объект, брошенный вверх. По этой причине мы хотим иметь возможность найти координаты вершины.

Для любой параболы Ax ² + Bx + C координата x вершины задается как -B / (2A).В нашем случае координата x равна 0,2500

Подставив в формулу параболы 0,2500 для x, мы можем вычислить координату y:
y = 2,0 * 0,25 * 0,25 — 1,0 * 0,25 — 3,0
или y = -3,125

Парабола, Графическое изображение вершины и пересечения с осью X:

Корневой график для: y = 2x ² -x-3
Ось симметрии (пунктирная линия) {x} = {0,25}
Вершина в точке {x, y} = {0,25, — 3.12}
x -Перехват (корни):
Корень 1 при {x, y} = {-1.00, 0.00}
Корень 2 при {x, y} = {1.50, 0.00}

Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат

4.2 Решение 2x ² -x-3 = 0, заполнив квадрат.

Разделите обе части уравнения на 2, чтобы получить 1 в качестве коэффициента первого члена:
x ² — (1/2) x- (3/2) = 0

Добавьте 3/2 к обеим сторонам уравнения:
x ² — (1/2) x = 3/2

Теперь умный бит: возьмите коэффициент при x, равный 1/2, разделите его на два, получив 1/4, и, наконец, возведите в квадрат, получая 1/16

Добавьте 1/16 к обеим сторонам уравнения:
В правой части мы имеем:
3/2 + 1/16 Общий знаменатель двух дробей равен 16. Сложение (24/16 ) + (1/16) дает 25/16
Таким образом, прибавляя к обеим сторонам, мы окончательно получаем:
x ² — (1/2) x + (1/16) = 25/16

Добавление 1/16 завершено. левая сторона в полный квадрат:
x ² — (1/2) x + (1/16) =
(x- (1/4)) • (x- (1/4)) =
( x- (1/4)) ²
Вещи, которые равны одному и тому же, также равны друг другу.Поскольку
x ² — (1/2) x + (1/16) = 25/16 и
x ² — (1/2) x + (1/16) = (x- (1/4)) ²
тогда, согласно закону транзитивности,
(x- (1/4)) ² = 25/16

Мы будем называть это уравнение уравнением. # 4.2.1

Принцип квадратного корня гласит, что когда две вещи равны, их квадратные корни равны.

Обратите внимание, что квадратный корень из
(x- (1/4)) ² равен
(x- (1/4)) ^2/2 =
(x- (1/4)) ¹ =
x- (1/4)

Теперь, применяя принцип квадратного корня к уравнению.# 4.2.1 получаем:
x- (1/4) = √ 25/16

Добавьте 1/4 к обеим сторонам, чтобы получить:
x = 1/4 + √ 25/16

Поскольку квадратный корень имеет два значения, одно положительное, а другое отрицательное
x ² — (1/2) x — (3/2) = 0
имеет два решения:
x = 1/4 + √ 25/16
или
x = 1/4 — √ 25/16

Обратите внимание, что √ 25/16 можно записать как
√ 25 / √ 16, что равно 5/4

Решите квадратное уравнение, используя квадратичную формулу

4.3 Решение 2x ² -x-3 = 0 по квадратичной формуле.

Согласно квадратичной формуле, x, решение для Ax ² + Bx + C = 0, где A, B и C — числа, часто называемые коэффициентами, определяется по формуле:

— B ± √ B ² -4AC
x = ————————
2A

В нашем случае A = 2
B = -1
C = -3

Соответственно B ² — 4AC =
1 — (-24) =
25

Применение квадратичной формулы:

1 ± √ 25
x = —————
4

Можно ли упростить √ 25?

Да! Разложение 25 на простые множители равно
5 • 5
Чтобы можно было удалить что-либо из-под корня, должно быть 2 экземпляра этого (потому что мы берем квадрат i.2-x-3

Это касается упрощения или других простых результатов.

Пошаговое решение

Шаг 1:

Уравнение в конце шага 1:

 ((0 - 2x ²) - x) - 3

Шаг 2:

Шаг 3:

Вытягивание как термины:

3.1 Коэффициенты вытягивания:

-2x ² — x — 3 = -1 • (2x ² + x + 3)

Попытка разложить на множители путем разделения среднего члена

3.2 Факторинг 2x ² + x + 3

Первый член равен 2x ², его коэффициент равен 2.
Средний член, + x, его коэффициент равен 1.
Последний член, «константа», равен +3

Шаг-1: Умножьте коэффициент первого члена на константу 2 • 3 = 6

Шаг-2: Найдите два множителя 6, сумма которых равна коэффициенту среднего члена, который равен 1.

-6	+	-1	=	-7
-3	+	-2	=	-5
-2	+	-3	=	-5
-1	+	-6	=	-7
1	+	6	=	7
2	+	3	=	5
3	+	2	=	5
6	+	1 9 0041	=	7

Наблюдение: Два таких фактора не могут быть найдены !!
Заключение: Трехчлен нельзя разложить на множители

Конечный результат:

 -2x ² - x - 3

Зачем это изучать

Термины и темы

Ссылки по теме

X в квадрате — Cuemath

В этом мини-уроке мы исследуем, что такое x в квадрате, разность квадратов и решим квадратичное решение, заполнив квадраты.2 = х \ раз х \) \ (2x = 2 \ раз x \) 3

\ (3 \ умножить на 3 = 9 \)

2 (3) = 6 -1

\ (- 1 \ раз -1 = 1 \)

2 (-1) = -2 -2

\ (- 2 \ раз -2 = 4 \)

2 (-2) = -4

Специальный факторинг: разница квадратов

Разлагая алгебраические выражения на множители, мы можем встретить выражение, представляющее собой разность квадратов.2-4 х-6 у + 8 = 0 \]
Подсказка: сгруппируйте члены \ (x \) отдельно и члены \ (y \) отдельно, а затем заполните квадраты.

Интерактивные вопросы

Вот несколько занятий для вас.

Выберите / введите свой ответ и нажмите кнопку «Проверить ответ», чтобы увидеть результат.

Подведем итоги

Мини-урок был посвящен увлекательной концепции x в квадрате.Мы исследовали x в квадрате, x в квадрате равно, квадратный корень, x в кубе, что такое x в квадрате x, x 2, x в квадрате, умноженном на x, x в квадрате плюс x в квадрате, x в квадрате, символ x в квадрате, x в квадрате минус x, x в квадрате, деленный на x, и x в квадрате плюс y в квадрате.

Математическое путешествие вокруг x в квадрате начинается с того, что студент уже знает, и переходит к творческому созданию новой концепции в молодых умах. Сделано таким образом, чтобы оно не только было понятным и понятным, но и навсегда осталось с ними. В этом заключается магия Куэмат.

О компании Cuemath

В Cuemath наша команда математиков стремится сделать обучение интересным для наших любимых читателей, студентов!

Благодаря интерактивному и увлекательному подходу к обучению-обучению-обучению учителя исследуют тему со всех сторон.

Будь то рабочие листы, онлайн-классы, сеансы сомнений или любые другие формы отношений, мы в Cuemath верим в логическое мышление и интеллектуальный подход к обучению.

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

1.2} = 3 \]

Математическая сцена — Уравнения III — Урок 1

Математическая сцена — Уравнения III — Урок 1 — Квадратные уравнения

2008 Rasmus ehf и Jhann sak Ptursson

Уравнения III

Урок 1

Квадратичный
уравнения

Теперь мы рассмотрим, как решать квадратные уравнения (вторая степень
уравнения).Это тот же процесс, что и поиск, где график квадратичной
функция, такая как

f (x) = ax ² + bx + c пересекает ось x

Сначала мы будем
Рассмотрим уравнения, в которых коэффициенты b или c равны нулю (b = 0 или c = 0).

Пример 1

а) 2x ² — 8 = 0
2x ² = 8
х ² = 4

х = 2

Первый
переместите постоянный член над знаком равенства, затем разделите обе части
уравнение на 2.Наконец, извлеките квадратный корень из обеих частей
уравнение с запоминанием + и -.

б) 2x ² + 8 = 0
2x ² = −8

х ² = −4
нет решения

В этом
Например, мы не можем извлечь квадратный корень из-за знака минус.

Пример 2

а) 2x ² — 8x = 0
2х (х — 4) = 0
2x = 0 шт. X — 4 = 0
x = 0 ea x = 4

Факторизуйте, взяв 2x вне скобки. Один из двух факторов должен быть
ноль, чтобы умножение было нулем.

б) 2x ² + 8x = 0
2х (х + 4) = 0
2x = 0 шт. X + 4 = 0
x = 0 ea x = −4

Снова мы
есть два решения.Квадратные уравнения, где c = 0, всегда есть два
решения.

ср
есть более сложная проблема, если ни один из коэффициентов
a, b и c равны нулю.

Самый простой для решения тип — это уравнения, которые вписываются в схему

p ² 2pq + p ² = (p q) ²

Пример 3

a) x ² + 2x + 1 = 0

(x + 1) ² = 0

(х + 1) = 0

х = -1

Это
точно вписывается в вышеприведенный образец.

б) 2x ² — 8x + 8 = 0
2 (x ² −4x + 4) = 0

2 (х 2) ² = 0

(х — 2) = 0

х = 2

Если мы
возьмите 2 за скобку, это тоже соответствует шаблону.

Иногда мы можем разложить уравнение на множители путем осмотра (угадывая коэффициенты),
затем найти значение x, при котором каждый фактор равен нулю.

Пример 4

Решите
уравнение x ² — 5x + 6 = 0

x ² — 5x + 6 = 0

(х — 2) (х — 3) = 0

x = 2 или x = 3

Пример 5

Решите уравнение x ² — 4x — 5 = 0.

x ² — 4x — 5 = 0

x ² — 4x + 2 ² — 2 ² —
5 = 0

(x ² — 4x + 4) — 9 = 0

Здесь
мы завершаем квадрат, добавляя (а затем вычитая) половину
коэффициент b в квадрате. Затем мы можем использовать правило

p ² 2pq + q ² = (p q) ²

(x — 2) ² — 9 = 0

Результат
имеет вид (x + r) ² + s

х — 2 = 3

х = 2 3

x = 5 или x = −1

, который был
введен в 3-м.Урок Функций 1

Пример
6

Решите уравнение 3x ² — 24x + 21 = 0

3 (x ² — 8x) + 21 = 0

3 (x ² — 8x + 4 ² ) — 3 ∙ 4 ² + 21 = 0

3 (x — 4) ² — 48 + 21 = 0

3 (x — 4) ² = 27

(x — 4) ² = 9

х — 4 = 3

x = 4 + 3 = 7 или x = 4 — 3 = 1

Пример 7

Едем
найти формулу, которую можно использовать для решения любого уравнения второй степени
форма ax ² + bx + c = 0

Взять
вне скобки..

Добавьте половину
коэффициент x в квадрате. Вычтите то же число, не забывая
умножить на.

Напишите первую
три члена уравнения в виде квадратной скобки

Переместите два других
над знаком равенства и найдите общий знаменатель.

Теперь возьмем площадь.
корень обеих частей уравнения, помня о плюсах и минусах.

Наконец решите относительно x
перемещая член внутри скобки над знаком равенства.

Алгебра в
это доказательство довольно сложно, но как только мы нашли формулу, у нас нет
чтобы пройти через процесс снова, и мы можем использовать его для решения любых квадратичных
уравнение.

Это
формулу, которую мы можем использовать для решения уравнения ax ² + bx + c = 0

Эта формула
одна из самых известных и полезных формул в математике.

Пример 8

Теперь будем использовать
эта формула для решения уравнения 2x ² — 10x + 8
= 0

The коэффициенты:	а = 2
	б = -10
	с = 8

Поставьте эти цифры
для a, b и c в формулу

Пример 9

Решите
уравнение x ² — 3x + 6 = 0

коэффициенты равны a = 1, b = −3 и c = 6.

Помещая их в
формула.

В этом примере
число под квадратным корнем отрицательно, поэтому уравнение не имеет решения.

Пример10

Мы можем решить
квадратичные экватоны с помощью графического калькулятора.

Вот как
решите уравнение 2x ² — 10x + 8 = 0 с помощью графического
калькулятор.

Первый выбор
EQUA в меню.

Тогда получаем:

Теперь выберите
Полином с F2.

Решаем
квадратное уравнение, выбрав 2 (нажмите F1). Мы также можем решить третью степень
уравнений, выбрав 3. Это экран, который мы видим:

Вставляем
значения a = 2, b =
−10 и c = 8, нажимая exe между каждым значением.

Следующие
показывает последовательность действий:

Finall выберите SOLV
нажав F1. Решения 4 и 1 появляются на следующем экране:

Пример 11

Давайте посмотрим, как
калькулятор работает с уравнением, которое не имеет решения. Посмотрите на уравнение x ² — 3x + 6 = 0. Мы вводим значения a = 1, b = −3 и c = 6. Калькулятор дает
следующее решение:

Это означает, что
ответ — то, что известно как комплексное число, а не действительное число.2-4 * A3 * C3 в ячейке B5

В ячейку B7 кладем
формула

= ЕСЛИ (B5 <0, "Нет решение! ", (- B3 + SQRT (B5)) / (2 * A3))

В ячейку B9 кладем
формула

= ЕСЛИ (B5 <0, "Нет решение! ", (- B3-SQRT (B5)) / (2 * A3))

Если мы воспользуемся этим
программа для решения уравнения, которое имеет только одно решение, например x ² — 2x + 1 = 0, мы получим один и тот же ответ дважды.

Если уравнение не имеет решения, например уравнение

x ² — 3x + 6 = 0, то вот что нам даст EXCEL:

Попробуйте пройти тест 1 по уравнениям III.
Не забудьте использовать контрольный список, чтобы отслеживать свою работу.

Три правила экспонент — Полный курс алгебры

Урок 13, Раздел 2

Вернуться в раздел 1

Правило 1. То же основание

Правило 2. Мощность продукта

Правило 3. Мощность мощности

Правило 1. То же основание

«Чтобы умножить степени одного основания, сложите экспоненты.«

Например, a ² a ³ = a ⁵.

Почему мы складываем экспоненты? Из-за того, что означают символы. Раздел 1.

Пример 1. Умножение 3 x ² · 4 x ⁵ · 2 x

Решение . Задача означает (Урок 5): умножьте числа, затем сложите степени x :

3 x ² · 4 x ⁵ · 2 x = 24 x ⁸

Два фактора x — x ² — умножить на пять факторов x — x ⁵ — умножить на один фактор x , получить всего 2 + 5 + 1 = 8 множителей x : x ⁸.

Задача 1. Умножить. Примените правило Same Base.

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!

а)	5 x ² · 6 x ⁴ = 30 x ⁶	б)	7 x ³ · 8 x ⁶ = 56 x ⁹

в)	x · 5 x ⁴ = 5 x ⁵	г)	2 x · 3 x · 4 x = 24 x ³

e)	x ³ · 3 x ² · 5 x = 15 x ⁶	е)	x ⁵ · 6 x ⁸ y ² = 6 x ¹³ y ²

г)	4 x · y · 5 x ² · y ³ = 20 x ³ y ⁴	ч)	2 x y · 9 x ³ y ⁵ = 18 x ⁴ y ⁶

i)	a ² b ³ a ³ b ⁴ = a ⁵ b ⁷	к)	a ² bc ³ b ² ac = a ³ b ³ c ⁴

к)	x ^м y ⁿ x ^p y ^q = x ^{m 83 p 900 n + q}	л)	a ^p b ^q ab = a ^{p + 1} b ^{q + 1}

Проблема 2.Различают следующие:

x · x и x + x .

x · x = x ². x + x = 2 x .

Пример 2. Сравните следующее:

а) x · x ⁵ б) 2 · 2 ⁵

Решение .

а) x · x ⁵ = x ⁶

б) 2 · 2 ⁵ = 2 ⁶

Часть b) имеет ту же форму , что и часть a). Это часть а) с x = 2.

Один множитель 2 умножает пять множителей 2, давая шесть множителей 2.

2 · 2 = 4 здесь неверно.

Проблема 3. Примените правило Same Base.

а)	x x ⁷ = x ⁸	б)	3 · 3 ⁷ = 3 ⁸	в)	2 · 2 ⁴ · 2 ⁵ = 2 ¹⁰

г)	10 · 10 ⁵ = 10 ⁶	д)	3 x · 3 ⁶ x ⁶ = 3 ⁷ x ⁷

Проблема 4.Примените правило Same Base.

а)	x ⁿ x ² = x ^{n + 2}	б)	x ⁿ x = x ^{n + 1}

в)	x ⁿ x ⁿ = x ^{2 n}	г)	x ⁿ x ^{1 — n} = x

e)	x · 2 x ^{n — 1} = 2 x ⁿ	е)	x ⁿ x ^м = x ^{n + m}

г)	x ^{2 n} x ^{2 — n} = x ^{n + 2}

Правило 2: Сила произведения факторов

«Увеличьте каждый коэффициент до той же степени.«

Например, ( ab ) ³ = a ³ b ³.

Почему мы можем это сделать? Опять же, в соответствии с тем, что означают символы:

( ab ) ³ = ab · ab · ab = aaabbb = a ³ b ³.

Порядок факторов не имеет значения:

ab · ab · ab = aaabbb .

Задача 5. Применить правила экспонент.

а)

( x y ) ⁴ = x ⁴ y ⁴

б)

( pqr ) ⁵ = p ⁵ q ⁵ r ⁵

в)

(2 abc ) ³ = 2 ³ a ³ b ³ c ³

d) x ³ y ² z ⁴ ( xyz ) ⁵	=	x ³ y ² z ⁴ · x ⁵ y ⁵ z ⁵ Правило 2.

	=	x ⁸ y ⁷ z ⁹ То же основание.

Правило 3: Сила силы

«Чтобы взять степень степени, умножьте экспонент».

Например, ( a ²) ³ = a ^{2 · 3} = a ⁶.

Почему мы это делаем? Опять же, из-за того, что означают символы:

( a ²) ³ = a ² a ² a ² = a ^{3 · 2} = a ⁶

Задача 6. Примените правила экспонент.

а)

( x ²) ⁵ = x ¹⁰

б)

( a ⁴) ⁸ = a ³²

в)

(10 ⁷) ⁹ = 10 ⁶³

Пример 3.Примените правила экспонент: (2 x ³ y ⁴) ⁵

Решение . В скобках указаны три фактора: 2, x ³ и y ⁴. Согласно Правилу 2 мы должны брать пятую степень каждого из них. Но чтобы взять степень степени, мы умножаем показатели. Следовательно,

(2 x ³ y ⁴) ⁵ = 2 ⁵ x ¹⁵ y ²⁰

Проблема 7.Применяйте правила экспонент.

а)	(10 a ³) ⁴ = 10 000 a ¹²	б)	(3 x ⁶) ² = 9 9 1083 x ¹²

в)	(2 a ² b ³) ⁵ = 32 a ¹⁰ b ¹⁵	г)	( xy ³ z ⁵) ² = x ² y ⁶ z ¹⁰

e)	(5 x ² y ⁴) ³ = 125 x ⁶ y ¹²	е)	(2 a ⁴ bc ⁸) ⁶ = 64 a ²⁴ b ⁶ c ⁴⁸

Проблема 8.Применяйте правила экспонент.

a) 2 x ⁵ y ⁴ (2 x ³ y ⁶) ⁵ = 2 x ⁵ y ⁴ · 2 ⁵ x ¹⁵ y ³⁰ = 2 ⁶ x ²⁰ y ³⁴

b) abc ⁹ ( a ² b ³ c ⁴) ⁸
= abc ⁹ · a ¹⁶ b ²⁴ c ³² = a ¹⁷ b ²⁵ c ⁴¹

00

Проблема 9.Используйте правила экспонент, чтобы вычислить следующее.

а) (2 · 10) ⁴ = 2 ⁴ · 10 ⁴ = 16 · 10 000 = 160 000

б) (4 · 10 ²) ³
= 4 ³ · 10 ⁶ = 64 000 000

в) (9 · 10 ⁴) ²
= 81 · 10 ⁸ = 8,100,000,000

В степенях 10 столько же нулей, сколько в экспоненте 10.

Пример 4. Квадрат x ⁴.

Решение . ( x ⁴) ² = x ⁸.

Чтобы возвести в квадрат степень, удвойте показатель степени.

Проблема 10. Возведите следующее.

а)	x ⁵ = x ¹⁰	б)	8 a ³ b ⁶ = 64 a ⁶ b ¹²

в)	−6 x ⁷ = 36 x ¹⁴	г)	x ⁿ = x ^{2 n}

Часть c) иллюстрации: Квадрат числа никогда не бывает отрицательным.

(−6) (- 6) = +36. Правило знаков.

Задача 11. Примените правило экспонент — если возможно.

а)

x ² x ⁵ = x ⁷, Правило 1.

б)

( x ²) ⁵ = x ¹⁰, Правило 3.

в)	x ² + x ⁵
	Невозможно. Правила экспонент применяют только к умножению.

В итоге: Добавьте показателя степени, когда одно и то же основание появляется дважды: x ² x ⁴ = x ⁶. Умножьте экспоненты, когда основание появится один раз — и в скобках:
( x ²) ⁵ = x ¹⁰.

Задача 12. Примените правила экспонент.

а)

( x ⁿ) ⁿ = x ⁿ · ⁿ = x ^{n ²}

б)

( x ⁿ) ² = x ² ⁿ

Проблема 13.Примените правило экспонент или добавьте похожие термины — если возможно.

а) 2 x ² + 3 x ⁴
Невозможно. Это не похоже на термины .

б) 2 x ² · 3 x ⁴ = 6 x ⁶. Правило 1.

в) 2 x ³ + 3 x ³
= 5 x ³.Как термины. Показатель степени не меняется.

г) x ² + y ²
Невозможно. Это не похоже на термины.

e) x ² + x ²
= 2 x ². Как термины.

е) x ² · x ²
= x ⁴. Правило 1

г) x ² · y ³
Невозможно.Разные базы.

ч) 2 · 2 ⁶
= 2 ⁷. Правило 1

i) 3 ⁵ + 3 ⁵ + 3 ⁵ =
3 · 3 ⁵ (При добавлении подобных терминов) = 3 ⁶.

Мы продолжим правила экспонентов в 21 уроке.

Следующий урок: Умножение. Распределительное правило.

Вернуться в раздел 1

Содержание | Дом

Вопросы или комментарии?

Электронная почта: themathpage @ яндекс.com

Коэффициент x в квадрате: квадратная формула

Это все хорошо, этот метод «завершения квадрата» (можно сказать), но что, если коэффициент x ² не является идеальным квадратом? Мы не можем завершить квадрат в такой ситуации, не так ли?

Ну не совсем так. Но есть кое-что, что мы можем сделать . Рассмотрим следующее:

3x ² — 8x — 3 = 0

3 — не полный квадрат, но предположим, что мы взяли это уравнение и умножили обе стороны на 3…тогда у нас будет следующее:

9x ² — 24x -9 = 0

Что нам теперь нужно сделать, чтобы завершить квадрат? Постоянный член должен быть 16, и, поскольку это -16, нам нужно добавить 25:

9x ² — 24x + 16 = 25
(3x — 4) ² = 5 ²
3x — 4 = 5 или 3x — 4 = -5
3x = 9 или 3x = -1
x = 3 или x = -1/3

Проблема № 1
Решить относительно x, если 2x ² + x — 15 = 0

Решение № 1
Если мы умножим все уравнение на 2, мы получим:

4x ² + 2x — 30 = 0

Таким образом, чтобы заполнить квадрат, постоянный член должен быть 1/4.Так как это -30 (или -120/4), нам нужно добавить 121/4 к обеим сторонам:

4x ² + 2x — 30 + 121/4 = 121/4
4x ² + 2x + 1/4 = 121/4
(2x + 1/2) ² = (11/2) ²
2x + 1/2 = 11/2 или 2x + 1/2 = -11/2
2x = 10/2 или 2x = -12/2
x = 5/2 или x = -3

Задача № 2
Решите относительно x, если 12x ² — 13x — 4 = 0

Решение № 2
У вас может возникнуть соблазн умножить это на 12, чтобы получить идеальный квадрат (144), но это действительно перебор! Потому что, если мы умножим 12 на 3, мы получим 36, что также является полным квадратом.[ПОДСКАЗКА: в разложении на простые множители 12, 3 является единственным простым множителем, у которого нет четной степени — вот почему я подумал умножить на 3]

Итак, у нас есть 36x ² — 39x — 12 = 0

Чтобы квадрат закончился, постоянный член должен быть (13/4) ² или 169/16. Но на самом деле это -12 или -192/16. Таким образом, нам нужно добавить 361/16:

36x ² — 36x -12 + 361/16 = 0 + 361/16
36x ² — 36x + 169/16 = 361/16
(6x — 13/4) ² = (19/4) ²
6x — 13/4 = 19/4 или 6x — 13/4 = -19/4
6x = 32/4 или 6x = -6/4
x = 4/3 или x = -1/4

Специальный совет
Иногда можно сделать коэффициент при x ² полным квадратом на делением вместо умножения.Например, в 2x ² + 2x — 12 = 0, если вы заметили, что все коэффициенты кратны 2, вы можете разделить два, оставив x ² + x — 6 = 0, что намного проще. .

Решите каждую приведенную ниже задачу, заполнив квадрат.

Факторинговые квадратные уравнения — GMAT Math Study Guide

Определения

Квадратное уравнение — Уравнение, которое можно записать в форме ax ² + bx + c = 0.
Например, 6x ² + 2x + 1 = 0 является квадратным уравнением, а 6x + 2 не является квадратным уравнением.
Факторинг — процесс разделения уравнения на множители (или отдельные члены) таким образом, что при умножении отдельных членов получается исходное уравнение.
Например, x ² — x — 2 = (x + 1) (x-2). В этом случае уравнение x ² — x — 2 = 0 может быть разбито на два фактора [т.е. (x + 1) (x-2) = 0], так что когда эти два отдельных члена (i.е., множители) перемножаются, в результате получается исходное уравнение.

Базовый факторинг

При факторизации основного квадратного уравнения, такого как x ² + 6x + 8 = 0, вы должны найти два числа, которые складываются с b (т.е. +6 в данном случае) и умножаются на c (+8 в данном случае). У чисел +4 и +2 есть необходимые свойства. Следовательно, (x + 4) и (x + 2) — два фактора.

Суммируем:

При разложении квадратичной формы x ² + bx + c найдите два числа, которые складываются с b и умножаются на c

Примеры базового факторинга

Если вы не производили факторинг годами или это совершенно новый метод, вы можете запутаться на этом этапе.Однако следующие примеры и объяснение перехода между факторизованной и квадратичной формой должны прояснить большую часть путаницы.

x ² + x — 12 = 0
Найдите два числа, которые складываются до +1 и умножаются на -12.
Два таких числа: +4 и -3.
(x + 4) (x — 3) = 0
x = -4 или x = +3, поскольку каждое значение удовлетворяет уравнению (x + 4) (x — 3) = 0.

Другой пример:

x ² — 3x — 10 = 0
Найдите два числа, которые добавляют к -3 и умножают на -10.
Два таких числа: -5 и +2.
(x — 5) (x + 2) = 0
x = +5 или x = -2, поскольку каждое значение удовлетворяет уравнению (x — 5) (x + 2) = 0.

Другой пример:

x ² + 7x + 6 = 0
Найдите два числа, которые добавляют к +7 и умножают на +6.
Два таких числа: +6 и +1.
(x + 6) (x + 1) = 0
x = -6 или x = -1, поскольку каждое значение удовлетворяет уравнению (x + 6) (x + 1) = 0.

Обратный факторинг

Обратный факторинг называется FOIL, что означает f irst, o uter, i nner, l ast.Чтобы получить квадратичную форму (ax ² + bx + c = 0) из факторизованной формы [(x — a) (x — b) = 0]: (1) умножьте первые члены, затем внешние члены, затем внутренние члены и, наконец, последние члены (2) складывают каждый из терминов вместе и упрощают. Например:

(х — 4) (х + 2) =?
Первый: x (x) = x ²
Внешний: x (2) = 2x
Внутренний: (-4) (x) = -4x
Последний: -4 (2) = -8
(x — 4 ) (x + 2) = x ² + 2x — 4x — 8 = x ² — 2x — 8

Перевод между факторизованной и квадратичной формой

Факторинг, как определено выше, — это процесс разделения уравнения на множители (или отдельные члены), так что при умножении отдельных членов получается исходное уравнение.Факторинг работает по следующим фундаментальным отношениям:

(x — r ₁) (x — r ₂) = 0 = x ² + bx + c
где r ₁ и r ₂ — корни или решения квадратного уравнения

Например:

Корни: +6, -4
(x — 6) (x + 4) =?
x ² + 4x — 6x — 24
x ² — 2x — 24

Следовательно, если вы видели x ² — 2x — 24 = 0 как вопрос, вы могли бы быстро решить его, разложив на множители следующим образом:

x ² — 2x — 24 = 0
(x — 6) (x + 4) = 0
x = 6, -4, поскольку оба этих значения составляют уравнение (x — 6) (x + 4) = 0 правда.

Три общие формы

Есть три общие формы, которые легко разложить на множители. Важно, чтобы вы могли распознать эти три факторизованные формы и быстро с ними работать:

Разница квадратов

а ² — б ² = (а + б) (а — б)

Например:

х ²-4 = (х + 2) (х — 2)
а = х, b = +2

A Plus B в квадрате

а ² + 2ab + b ² = (а + б) ²

Например:

x ² + 4x + 4 = (x + 2) ²
a = x, b = +2

A Минус B в квадрате

а ² — 2ab + b ² = (а — б) ²

Например:

x ² — 4x + 4 = (x — 2) ²
a = x, b = +2

Деление на ноль: не определено

Правила математики и деления, в частности, гласят, что нельзя делить на ноль.Следовательно, x, деленное на ноль, не определено, так же как 1, деленное на ноль, не определено, а 0, деленное на 0, не определено. Кроме того, если вы факторизуете уравнение с переменной в знаменателе, любое значение этой переменной, которое делает знаменатель равным нулю, не является законным решением. Лучше всего это объяснить и понять на примерах.

Начните с максимально возможного факторизации уравнения.
Вверху: два числа, которые складываются с +4 и умножаются на -12, это +6 и -2.
Внизу: два числа, которые добавляют к +5 и умножают на +4, это +1 и +4.

Решения (или корни) равны x = -6 или x = +2. Поскольку знаменатель не может быть равен нулю, x = -4 или x = -1 [оба значения, которые приводят к тому, что весь знаменатель становится равным нулю] не являются решениями, а являются значениями x, которые приводят к неопределенности всего выражения.

Другой пример

Начните с максимально возможного факторизации уравнения.
Вверху: два числа, которые складываются с -10 и умножаются на +21, — это -7 и -3.
Внизу: два числа, которые складываются с -6 и умножаются на +8: -4 и -2.

Решения (или корни): x = +3 или x = +7. Поскольку знаменатель не может быть равен нулю, x = +2 или x = +4 [оба значения, которые приводят к тому, что весь знаменатель становится равным нулю] не являются решениями, а являются значениями x, которые приводят к неопределенности всего выражения.

Обзор решений

Квадратные уравнения могут иметь ноль, одно или два действительных решения.

х ² + 9 = 0; Нет реального решения

х ² + 6х + 9 = 0; Одно реальное решение: x = -3

х ² — 4 = 0; Два реальных решения: x = 2 или x = -2

2 х 3 в квадрате

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 2 х 3 в квадрате Онлайн?

Три простых правила относительно квадратного корня. Часть 3

GRE Math Practice: Как это все не забыть?

Пример несложного задания на квадратные корни в тесте GRE:

Формулы сокращенного умножения

Больше

Как сделать х в квадрате в excel?

Способ 2: использование функции СТЕПЕНЬ

Способ 2: с помощью функции «Степень»

Способы возведения числа в квадрат

Способ 2: с помощью функции «Степень»

Вариант №2. С использованием функции

Формула возведения в степень в Excel

Корень в степени в Excel

Как в Excel написать число в степени?

Формулы сокращенного умножения

Квадрат суммы двух выражений

Квадрат разности двух выражений

Куб суммы и куб разности

Умножение разности двух выражений на их сумму

Умножение разности двух выражений на неполный квадрат их суммы

Умножение суммы двух выражений на неполный квадрат их разности

Задания для самостоятельного решения

Навигация по записям

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра — Формулы сокращенного умножения

Степень суммы

Степень разности

Квадрат многочлена

Куб трехчлена

Уравнения в целых числах (диофантовы уравнения) / math5school.ru

Немного теории

Задачи с решениями

Задачи без решений

Пошаговое решение:

Шаг 1:

Уравнение в конце шага 1:

Шаг 2:

Попытка разложить на множители путем разделения среднего члена

Уравнение в конце шага 2:

Шаг 3:

Теория — Истоки продукта:

Решение уравнения с одной переменной:

Решение уравнения с одной переменной:

Приложение: Решение квадратного уравнения напрямую

Парабола, Нахождение вершины:

Парабола, Графическое изображение вершины и пересечения с осью X:

Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат

Решите квадратное уравнение, используя квадратичную формулу

Пошаговое решение

Шаг 1:

Уравнение в конце шага 1:

Шаг 2:

Шаг 3:

Вытягивание как термины:

Попытка разложить на множители путем разделения среднего члена

Конечный результат:

Зачем это изучать

Термины и темы

Ссылки по теме

X в квадрате — Cuemath

1.2} = 3 \]

Математическая сцена — Уравнения III — Урок 1

Три правила экспонент — Полный курс алгебры

Урок 13, Раздел 2

00

Коэффициент x в квадрате: квадратная формула

Факторинговые квадратные уравнения — GMAT Math Study Guide

Определения

Базовый факторинг

Примеры базового факторинга

Обратный факторинг

Перевод между факторизованной и квадратичной формой

Три общие формы

Разница квадратов

A Plus B в квадрате

A Минус B в квадрате

Деление на ноль: не определено

Обзор решений

Добавить комментарий Отменить ответ