8 класс неравенства с модулем: Решение неравенств с модулем

Содержание

Урок алгебры в 8-м классе. Тема «Неравенства, содержащие модуль». Повторение



Цель урока: повторить различные
способы решения неравенств с одной переменной и
рассмотреть применение неравенств к решению
задач и упражнений.



Ход урока

  1. Организационный момент. Постановка цели.
  2. Индивидуальная работа по карточкам (во время
    фронтального опроса).



1 карточка.

Решить неравенства:

1. 6x+2>9-x;

2. 2(x+3)-(x-8)<4.



2 карточка.

Решить неравенства:

1. ;

2. 5x+4>12-(x-3).



3 карточка.

Решить неравенства:

  1. ;



4 карточка.

Решить неравенства:

1. x-4>12

2.

  1. Фронтальный опрос
  2. (используются слайды
    презентации учителя).

1.Что называется модулем числа а?

2.Решить неравенства

а)

б)

в)

г)

д)

3. на координатной плоскости
изображены графики двух линейных функций. При
каких x значения обеих функций одновременно
положительны? Отрицательны?

Cм. Презентацию, слайды 3–5.



4.Самостоятельная работа (по
вариантам)

Cм. Презентацию, слайд 6.



5. Актуализация опорных знаний.

Учитель. Очень часто при решении
неравенств со знаком модуля возникает
необходимость перейти либо к системе неравенств,
либо к совокупности.

Вопросы?

  1. Когда неравенство равносильно системе
    неравенств?
  2. Когда число а является решением совокупности
    неравенств?



Экспресс-опрос (шесть человек
работают у доски по карточкам, а в то же время
остальные учащиеся работают со слайдом, на
котором видно задание каждого ребенка, который
стоит у доски).

Задание представлено в виде теста. По
окончании решения необходимо выбрать правильный
ответ, а букву, соответствующую этому варианту
ответа, занести в соответствующую клетку
кроссворда.

1 вариант.

2 вариант.

3 вариант.

4 вариант.

5 вариант.

6 вариант.

Итак, мы прочли Гарриот, это имя.
Историческую справку о Гарриоте подготовил
ученик.



Томас Гарриот (1560-1621)- английский
математик. Родился в Оксфорде. Образование
получил в Оксфордском университете.
Переписывался с Галиллеем и Кеплером. Развивал
алгебраическую символику, в частности, ввел
знаки > и < , которые сразу были приняты.
Гарриот пользовался для обозначений чисел
строчными буквами алфавита, записывал уравнения
в форме, близкой к современной. В этом отношении
он шел дальше своего друга Франсуа Виета. Гарриот
первый заметил, что число корней уравнения
определяется его степенью и что левая часть
уравнения должна разлагаться на такое же число
линейных множителей. Гарриот строил уравнения по
их корням.

Вопрос: какие существуют способы
решения неравенств с одной переменной?

6. Решение задач и упражнений.

1.Задача. При каких значениях х точки
графика функции лежат выше точек графика функции ?

Задача решается графическим способом.



2.Решить неравенство

Используется аналитический способ
решения.



3.Найти допустимые значения переменной



7. Домашнее задание. Его необходимо
выполнить в виде творческой работы:

  1. Составить и решить по 2 неравенства со знаком
    модуля, решениями которых будут в одном случае
    система, а в другом- совокупность неравенств;
  2. Придумать задачу, где применяется неравенство,
    а затем рассмотреть графический и аналитический
    способы решения этой задачи.



8. Сообщение учащегося из
дополнительной литературы.

Учитель: Неравенства занимают
важное место в курсе алгебры не только 8 класса,
они встретятся нам и в 9 классе, и далее. Но уже
сегодня, используя свойства известных нам
неравенств, можно решать и более сложные задачи.

Ученик: напомним, что для любых двух
действительных чисел а и b справедливо
неравенство

(*)

Причем знак равенства достигается в
том и только случае, когда

Решим задачу. Найти наименьшее
значение функции

В силу неравенства (*)

Таким образом , причем знак равенства
достигается только в том случае, когда х=0. Отсюда
наименьшее значение функции равно 1 при х=0.



9. Итог урока. Оценки.

Учитель. Наш великий соотечественник
Давидов Август Юльевич сказал: “Алгебра учит
рассуждать о величинах. При этом она изображает
их буквами и означает особыми знаками
зависимость между ними”.

Вот этим сегодня мы и занимались на
уроке.

Неравенства с модулем. Способы решения неравенств с модулями

Неравенства с модулем

2. Способы решения неравенств с модулями:

2
1. По определению модуля
2. Возведение обоих частей неравенства
в квадрат
3. Замена переменной
4. Раскрытие модуля на промежутке
знакопостоянства
5. Равносильность неравенств системам
6. Важный частный случай

3. 1.По определению модуля

3
| f (x) |
-a
|3x-1|
-7
-6
8
-2
3
8
Ответ: 2;
3
| f (x) |> а
a
5x 2 4
-a
a
5 x 2 4
5 x 2 4
5 x 6
5 x 2
2 6
Ответ : ; ;
5 5

4. 2.Возведение обеих частей в квадрат

4
|x2-1| > |x2-x|
(x2-1)2 > (x2-x)2 — равносильность не нарушена
(x2-1+ x2-x)(x2-1-x2+x) > 0 – разность квадратов
(2×2-x-1)(x-1) > 0

+
1
2
+
1

5.

3.Замена переменной

5
+
-2
0

+
3
t

6. 4. Раскрытие модуля на промежутках знакопостоянства

6
|x-1| + |2-x| > 3
x-1

2-x
+
1
+
Нули подмодульных выражений: x =1 и x =2
2
+
+

а)
б)
в)
x 1
( x 1) 2 x 3
x 1
x 0
1 x 2
x 1 x 3
x 2
x 3 x 3
x 2
x 3
0
1
х ;0
1 x 2
1 3 неверное
Ответ : ;0 3;
2
3
х 3;

7. 5. Равносильность неравенств системам или их совокупности

7
См. решение по определению
Равносильно неравенству:
Можно записать в виде
системы
Неравенство равносильно двум
неравенствам:
Можно записать в виде совокупности

8. 5. Равносильность неравенств системам (примеры)

8
№1
3x | 2 x | 5
№2
5 x 7 | x 2 |
| 2 x | 5 3x
| x 2 | 5 x 7
2 x 5 3 x
2 x 3 x 5
1
x 1 2
x 1 3
4
x 2 5x 7
x 2 7 5x
1
x 2 4
x 5
6
1
Ответ : ( ;1 ]
2
1
Ответ : ( ;2 )
4

9.

6. Один частный случай

9
x 1
1
x 2
x 1
x 2
ОДЗ : x 2
1
умножим на |x+2|>0 в ОДЗ
| x 1 | | x 2 |
возведем в квадрат, обе части
( x 1 x 2)( x 1 x 2) 0
(2 x 1)( 3) 0
2x 1 0
x 12
для преобразования используем
разность квадратов
Учитывая ОДЗ, получим:
1
Ответ : ( ; 2) ( 2; )
2
Обучающая самостоятельная работа
10
Метод решения
1. По определению модуля
условие
ответы
(-5; 1)
По определению модуля
По определению модуля
По определению модуля
(-∞; −2) ∪ (−2; −0,5)
2. Возведение обеих частей в
квадрат
3. Раскрытие модуля на
промежутках
знакопостоянства
4. Замена переменной
Замена переменной
5. Замена совокупностью
систем
0; 2
11

Алгебра 8: С-46 Уравнения и неравенства

Алгебра 8: С-46 Уравнения и неравенства

РЕШЕНИЯ и ОТВЕТЫ на самостоятельную работу «С-46 Уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля» из учебного пособия: «Алгебра 8 класс. Дидактические материалы/ В.И. Жохов, Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк — М.:Просвещение». Представленные ниже образец варианта № 1 самостоятельной работы по алгебре 8 класса и ответы на оба варианта этой работы ориентированы на учебник «Алгебра 8 класс» авторов Ю.Н. Макарычева и др. под редакцией С.А. Теляковского. Ответы на самостоятельную работу по алгебре адресованы учителям и родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения задания.


Самостоятельная работа Уравнения и неравенства (С-46 В-1).

Нажмите на картинку для увеличения !

Ключевые слова самостоятельной работы:

1. Имеет ли уравнение корни и сколько.
2. Решите уравнение.
3. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой.
4. Решите неравенство.
5. Сравните с нулем число а, если известно, что…
6. При каких значениях b верно равенство?
7. Решите уравнение.
8. Найдите координаты точек пересечения графиков функций.
9. Решите уравнение.
10. Решите неравенство:
11. Найдите множество решений двойного неравенства.


 

Ответы на самостоятельную работу «Уравнения и неравенства»

Вариант 1.

 


Вариант 2

 


Вы смотрели «Самостоятельная работа Уравнения и неравенства (С-46)» — ГДЗ на контрольную работу по алгебре 8 класс «Уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля» из учебного пособия: «Алгебра 8 класс. Дидактические материалы/ В.И. Жохов, Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк — М.: Просвещение» (учебник «Алгебра 8 класс» авторов Ю.Н. Макарычева и др. под редакцией С.А. Теляковского).

Вернуться к Списку самостоятельных работ по алгебре 8 класс (УМК Макарычев и др.)

 

Конспект урока по теме «Уравнения и неравенства с модулем. Решение уравнений и неравенств с модулем» 9 класс

Тема: Решение уравнений и неравенств с модулем

Цель: овладение методами решения уравнений и неравенств, содержащих модуль, а именно линейных, квадратных, дробных рациональных уравнений и линейных неравенств

Таблица 1.

Классификация уравнений и неравенств с модулем

Таблица 2.

Решение уравнений и неравенств, содержащих модули

Расстояние между данными точками -3 и 1 (длина отрезка) равно 4, поэтому возможны три случая:

а) a a = 4; в) a 4.

в) если a 4, то расстояние от искомой точки до ближайшего конца данного отрезка

Следовательно, = -3 – = — ; = 1 + = ;.

Этап занятия

Деятельность преподавателя

Деятельность студентов

1

Орг. момент

Приветствие учеников. Отмечает присутствующих и отсутствующих.

Проверяет подготовку учеников к занятию

Приветствие учителя. Подготовка к занятию

2

Актуализация знаний

Предлагает ученикам ответит на ряд вопросов (проводит фронтальный опрос):

1.Что называют модулем числа?

2.Как с помощью системы записать определение модуля?

3.Перечислить все свойства модуля

Предлагает учащимся устно ответить на следующие вопросы:

1) Найдите модуль каждого из чисел: 81; 1,2; -3,6;  -74; 0.

2) Найдите значение выражения:

а) —

б)  +

в)  :

г)  *

3) Известно, что  =7. Чему равен ?

4) Из двух чисел выберите то, у которого модуль больше?

а) -700,1 и 0,24

б) -2 и 3

Отвечают на вопросы преподавателя, тем самым вспоминают тот материал, что изучали в ШКМ в 9-11 классах

1. Модуль числа – само это число, если оно не отрицательное, и противоположное ему число, если данное число отрицательное

2. =

3.Свойства модуля:

1) модуль есть число неотрицательное;

2) модули противоположных чисел равны;

3) модуль разности двух чисел равен расстоянию между точками числовой прямой, соответствующим этим точкам

По ходу выполнения устных упражнений студенты, с помощью преподавателя, вспоминают или изучают понятие и определение «модуля» и его основные свойства;

В случае затруднения при выполнении заданий, пример разбирается у доски с комментированием более подготовленных студентов или преподавателя

3

Постановка цели и задач занятия

Используя определение модуля и его  свойства, можно решить простейшие уравнения и неравенства с модулем

Сможете ли вы самостоятельно сформулировать цель нашего занятия, опираясь на то, что мы выполняли ранее?

Ученики формулируют цели и задачи занятия

Цель: научиться (овладеть методами) решения уравнений и неравенств, содержащих модуль,

4

Изучение нового материала

Учитель раздает учащимся раздаточный материал, на котором представлена систематизация материала,  классификация уравнений и неравенств с модулем в виде таблицы См. Приложение 1

Изучают и анализируют все методы решения уравнений и неравенств с модулем.

Обсуждают в парах, с преподавателем моменты, в которых возникают вопросы

5.

Первичное закрепление материала

Учитель представляет учащимся задания на слайде

См. Приложение 2

Примеры №1 из каждого раздела студенты прорешивают у доски с подробным комментированием и объяснением менее подготовленным студентам;

примеры №2 все учащиеся решают самостоятельно, преподаватели и более подготовленные студенты могут оказывать консультации;

примеры №3 – домашнее задание

Ученик 1:

x2 — 5x│ = 6

Используя правило:

, a ,

Ученик 2:

x2 — 5x6     

Ученик 3:

x2 — 5│ ≥ 4

Используя правило:

, a ,

Ученик 4:

x2 + x – 1│= 2x – 1, x0,5

Используя правило:

, g(x) =

Ученик 5:

1

Ученик 6:

x2 + x – 1│= │-x2 + 2x + 3│

Используя правило:

,

Ученик 7:

x + x2 – 3│≤ │x – 2 + 2x2

Используя правило:

, (fg)(f + g) 0

Для учеников, которые усвоили алгоритмы и приемы решения уравнений и неравенств, предусмотрены дополнительные задания

См. Приложение 3

Используя таблицу с классификацией уравнений и неравенств с модулей, работают над решением заданий, предложенных учителем

Внимательно выслушивают комментарии преподавателя, при этом проводят анализ и соответствие тех заданий, что представлены в таблице №2

Планируют свою деятельность на уроке

Решение:

x2 — 5x│ = 6

Ответ:

Решение:

-6 6

Ответ:

Решение:

Ответ: (- [-1;1]

Решение:

Ответ:

Решение:

Ответ: (-

Решение:

Ответ:

Решение:

(x + x 2 – 3 + x – 2 + 2 x 2)( x + x 2 – 3 – x + 2 – 2 x 2) ≤ 0

(2 x + 3 x 2 – 5)( – x 2 – 1) ≤ 0

(2 x + 3 x – 5)( x 2 + 1) ≥ 0

(2 x + 3 x 2 – 5) ≥ 0

Ответ: (-

6

Проблемное задание

Преподаватель ставит перед учащимися проблемное задание: решить не по заданной схеме в предложенной таблице, а самостоятельно вывести алгоритм решения уравнений и неравенств, объединив некоторые приемы (примеры 8-9) или выработать «свой» метод – метод замены переменной (пример 10)

Пример 8:

2│x – 1│– 3│x + 4│= 1

Пример 9:

x2 – 2x│+ │x – 1│ ≤ x2

Пример 10:

(x – 2)2 – 8│x –2│+ 15 = 0

Используя правило:

Студенты объединяются по группам для того, чтобы найти способ решения уравнений и неравенства с модулем методом замены переменной

Решение:

= 1,  = –4

x = –13

x = –2,2

x = –15 — не удовл.

Ответ:

Решение:

│( x – 2) x │+ │ x – 1│≤ x 2

= 0,  = 2,  = 1

Ответ:

Решение:

x – 2│= t, t 0

и

Ответ:

7

Самостоятельная работа

Учитель предлагает ученикам работу по вариантам (примеры №2)

См. Приложение 2 (таблица №2)

Самостоятельно выполняют задания, осознают уровень владения навыками решения уравнений и неравенств с модулем

8

Подведение итогов. Рефлексия. Домашнее задание

Подводит итоги занятия. Предлагает ученикам ответить на вопросы:

  • Оцените свою деятельность на занятии?

  • Возникали ли трудности на занятии?

  • Почему эти проблемы возникали?

  • Что вам помогло решить проблему?

Предоставляет студентам инструкцию по выполнению домашнего задания

(см. Приложение 1 и 2, примеры №3)

Подводят итоги занятия

Отвечают осознанно и осмысленно на вопросы учителя, корректируя в дальнейшем свою деятельность на уроке, анализируя свои ошибки и недочеты, свои достижения и успехи

Внимательно выслушивают инструкцию к выполнению домашнего задания

Алгебра 8: С-46 Уравнения и неравенства

Алгебра 8: С-46 Уравнения и неравенства

РЕШЕНИЯ и ОТВЕТЫ на самостоятельную работу «С-46 Уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля» из учебного пособия: «Алгебра 8 класс. Дидактические материалы/ В.И. Жохов, Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк — М.:Просвещение». Представленные ниже образец варианта № 1 самостоятельной работы по алгебре 8 класса и ответы на оба варианта этой работы ориентированы на учебник «Алгебра 8 класс» авторов Ю.Н. Макарычева и др. под редакцией С.А. Теляковского. Ответы на самостоятельную работу по алгебре адресованы учителям и родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения задания.


Самостоятельная работа Уравнения и неравенства (С-46 В-1).

Нажмите на картинку для увеличения !

Ключевые слова самостоятельной работы:

1. Имеет ли уравнение корни и сколько.
2. Решите уравнение.
3. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой.
4. Решите неравенство.
5. Сравните с нулем число а, если известно, что…
6. При каких значениях b верно равенство?
7. Решите уравнение.
8. Найдите координаты точек пересечения графиков функций.
9. Решите уравнение.
10. Решите неравенство:
11. Найдите множество решений двойного неравенства.


 

Ответы на самостоятельную «Уравнения и неравенства»

Смотреть РЕШЕНИЯ и ОТВЕТЫ на Вариант № 1

 

Смотреть РЕШЕНИЯ и ОТВЕТЫ на Вариант № 2

 


Вы смотрели «Самостоятельная работа Уравнения и неравенства (С-46)» — ГДЗ на контрольную работу по алгебре 8 класс «Уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля» из учебного пособия: «Алгебра 8 класс. Дидактические материалы/ В. И. Жохов, Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк — М.: Просвещение» (учебник «Алгебра 8 класс» авторов Ю.Н. Макарычева и др. под редакцией С.А. Теляковского).

Вернуться к Списку самостоятельных работ по алгебре 8 класс (УМК Макарычев и др.)

 

§5 Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс: уроки, тесты, задания.















1.

Уравнение с модулем вида |x|=a


Сложность:
лёгкое

1


2.

Неравенство с модулем вида |f(x)|< a


Сложность:
лёгкое

1


3.

Неравенство с модулем вида |f(x)|<0


Сложность:
лёгкое

1


4.

Неравенство с модулем вида |f(x)|≤0


Сложность:
лёгкое

1


5.

Уравнение с модулем, подобные модули


Сложность:
среднее

3


6.

Неравенство с модулем (квадратное неравенство)


Сложность:
среднее

3


7.

Вопросы по равенству с модулем


Сложность:
среднее

1


8.

Уравнение с модулем вида |f(x)|=a


Сложность:
среднее

2


9.

Уравнение с модулем вида |f(x)|=|g(x)|


Сложность:
среднее

3


10.

Уравнение с двумя модулями


Сложность:
сложное

3


11.

Неравенство с модулем вида |f(x)|≥g(x)


Сложность:
сложное

5


12.

Неравенство с модулем вида |f(x)|>a (дробное)


Сложность:
сложное

6


13.

Квадратное уравнение с модулем


Сложность:
сложное

3

Информация

Пробные варианты и вопросы к собеседованию для поступления в лицейские классы.

8 класс

 

Собеседование по математике в 9 класс (2019 г.)

Учащиеся должны уметь (алгебра):

1.Выполнять действия с действительными числами;

2.Решать уравнения: квадратные, сводящиеся к квадратным, биквадратные, дробно-рациональные, иррациональные;

3.Решать неравенства:  системы линейных неравенств, квадратные неравенства (переходом к системе линейных неравенств и графическим способом), решать неравенства методом интервалов, решать неравенства с модулем;

4.Строить графики функций (линейной, квадратичной, обратной пропорциональной зависимости), с заданием по частям;

5.Описывать свойства функций.

Учащиеся должны  знать (геометрия):

1.Треугольник, элементы треугольника. Неравенство треугольника. Равенство треугольников, признаки равенства. Подобие треугольников, признаки подобия. Теорема Пифагора и обратная к ней.Свойства и признаки равнобедренного треугольника.Теорема о пропорциональных отрезках. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

2.Параллельные прямые: определение, свойства, признаки. Теорема Фалеса.

3. Понятие многоугольника, периметра многоугольника, какой многоугольник называется выпуклым; формулы суммы углов выпуклого многоугольника.

4. Четырёхугольники. Параллелограмм, его свойства и признаки. Прямоугольник, ромб, квадрат, их свойства и признаки. Трапеция, средняя линия трапеции. Свойства произвольной и равнобедренной трапеции.

5. Площади многоугольников: площадь треугольника, площадь параллелограмма, площадь ромба, площадь трапеции. Свойства площадей треугольников.


Вопросы для собеседования по физике 9 класс (2019 г.)

Тепловые явления.

 1.  Тепловое движение, внутренняя энергия, способы её изменения, виды теплопередачи.

 2.  Расчёт количества теплоты, необходимого для нагревания тела, выделяемого при сгорании топлива.

 3.  Плавление и отвердевания кристаллических тел. Расчёт количества теплоты.

 4.  Испарение и конденсация. Насыщенный и ненасыщенный пар. Влажность воздуха.

 5.  Кипение. Расчёт количества теплоты.

6. Уравнение теплового равновесия.

7. Тепловые двигатели. ДВС. КПД теплового двигателя.

Электрические явления.

 1. Электризация, два рода зарядов их взаимодействие, проводники и непроводники электричества, электрическое поле.

 2. Делимость электрического заряда. Электрон. Строение атома. Объяснение электрических явлений.

 3.  Электрический ток, направление тока. Электрическая цепь и её составные части. Роль источника тока. Действия электрического тока.

 4.  Сила тока. Амперметр, его подключение в цепь.

5.  Вольтметр, его подключение в цепь.

6.  Сопротивление проводника.   Реостаты.

7.  Закон Ома для участка цепи.

8.  Последовательное и параллельное соединение проводников.

9.  Работа и мощность электрического тока. Закон Джоуля-Ленца.

10. Магнитное поле, магнитные линии прямого и кругового тока, электромагниты и их применение.

11.  Постоянные магниты. Магнитное поле Земли.

Световые явления.  

1.  Законы геометрической оптики: прямолинейного распространения, отражения, преломления света.

2.  Построение изображений в плоском зеркале.

3.  Линзы. Оптическая сила линзы. Формула тонкой линзы. Изображения, даваемое линзой.

4.  Глаз как оптическая система. Дефекты глаза и их исправление.

Вопросы для собеседования по информатике 9 класс (2019 г.)

  1. Определение объемов информации. Кодирование информации. Алфавитный подход к определению объемов информации. Передача информации. (учебник Босова 7 — 8 класс)

  2. Системы счисления. (Перевод чисел «2» — «10» с/с)

  3. Алгебра логики: решение неравенств, запросы к поисковому серверу.

  4. Задачи на файловую систему компьютера.

  5. Исполнители «Чертежник, Черепашка, Умножитель и т.п.

  6. Программирование: операторы паскаля для работы с линейными алгоритмами, алгоритмами ветвления, циклическими, результат работы программы (фрагмента программы).


10 класс

Собеседование по математике в 10 класс (2019 г.)

Учащиеся должны уметь(алгебра):

1. Выполнять действия с действительными числами;

2. Решать уравнения: квадратные, сводящиеся к квадратным, биквадратные, дробно-рациональные, иррациональные, степенные, уравнения с модулем, с параметром;

3. Решать неравенства:  системы линейных неравенств, квадратные неравенства (переходом к системе линейных неравенств и графическим способом), решать неравенства методом интервалов, решать неравенства с модулем;

4. Строить графики и описывать свойства функций (линейной, квадратичной, обратной пропорциональной зависимости, степенной), с модулем, комбинированных;

5.Решать уравнения графическим способом, в том числе и с параметром.

Учащиеся должны знать (геометрия):

1. Треугольник, элементы треугольника. Неравенство треугольника. Равенство треугольников, признаки равенства. Теорема синусов. Теорема косинусов. Решение треугольников.

2. Параллельные прямые: определение, свойства, признаки. Теорема Фалеса.

3. Четырёхугольники. Параллелограмм, его свойства и признаки. Прямоугольник, ромб, квадрат, их свойства и признаки. Трапеция, средняя линия трапеции. Свойства произвольной и равнобедренной трапеции.

4. Площади многоугольников: площадь треугольника, площадь параллелограмма, площадь ромба, площадь трапеции. Свойства площадей треугольников.

5. Подобие треугольников, признаки подобия.

6. Окружность и её элементы. Центральный и вписанный угол. Касательная и секущая к окружности, их свойства. Длина окружности и площадь круга, площадь кругового сектора.

7. Вписанные и описанные многоугольники: свойства, признаки.

8. Правильные многоугольники: определение, свойства, площадь.


Вопросы для собеседования по информатике 10 класс (2019 г.)

  1. Определение объемов информации. Кодирование информации. Алфавитный подход к определению объемов информации. Передача информации. (учебник Босова 8 — 9 класс, ОГЭ — Демо)
  2. Системы счисления. (Перевод чисел «2» — «10» с/с)
  3. Алгебра логики: решение неравенств, запросы к поисковому серверу.
  4. Моделирование: графы (напр. схема дорог), таблицы (длина кратчайшего пути), базы данных (работа с фрагментом)
  5. Файловая система компьютера.
  6. Работа с электронными таблицами (решение задач).
  7. Исполнители «Чертежник, Черепашка, Умножитель, Авитоматы и т.п.
  8. Программирование: операторы паскаля для работы с линейными алгоритмами, алгоритмами ветвления, циклическими, результат работы программы (фрагмента программы). Массивы (обработка массива).
  9. Организация глобальных сетей. Доступ к файлу.

Вопросы собеседования по физике 10 класс (2019 г.)

Основные понятия кинематики.

  1. Механическое движение. Система отсчета. Материальная точка. Траектория. Путь и перемещение. Прямолинейное равномерное движение.
  2. График зависимости координаты точки от времени, график скорости. Относительность механического движения. Сложение скоростей.
  3. Прямолинейное неравномерное движение. Средняя скорость. Мгновенная скорость. Ускорение. Равноускоренное движение Перемещение при равноускоренном движении. Уравнения движений.
  4. Свободное падение тел. Движение тела брошенного вертикально.
  5. Криволинейное движение. Перемещение, скорость и ускорение при криволинейном движении. Движение по окружности. Угол поворота. Радиан. Период. Частота. Угловая и линейная скорости при равномерном движении по окружности. Ускорение при равномерном движении тела по окружности.
  6. Закон движения тела, брошенного под углом к горизонту, траектория.  Дальность полёта и высота подъема.
  7. Период и частота при движении тела по окружности. Линейная скорость при движении тела по окружности. Угловая скорость при движении тела по окружности. Центростремительное ускорение.

Силы в природе.

  1. Сила всемирного тяготения. Сила тяжести. Сила упругости. Вес тела. Сила трения.
  2. Законы сохранения. Статика
  3. Импульс тела. Импульс силы. Закон сохранения импульса. Реактивное движение.
  4. Механическая работа  Мощность. КПД машин и механизмов.
  5. Кинетическая энергия. Потенциальная энергия тела поднятого над землей. Потенциальная энергия упруго деформированного тела. Закон сохранения энергии.
  6. Условие равновесия тел. Центр масс. Центр тяжести.

4. Электромагнитное поле.

Правило буравчика, правило правой руки. Направление силы Ампера и силы Лоренца.

Электромагнитные колебания и волны.

5. Элементы атомной, ядерной физики.

Явление радиоактивности, радиоактивные превращения.

Опыты Резерфорда, строение атома.

Строение ядра, ядерные силы.

Энергия связи, дефект масс.

Ядерные реакции. Деление ядер урана, цепная реакция деления и ее применение.

Термоядерная энергия.

 


11 класс

Вопросы для собеседования в 11 класс (2019 г.)

Геометрия

  1. Аксиомы стереометрии, следствия из аксиом стереометрии.
  2. Параллельные прямые в пространстве: определение и признаки.
  3. Скрещивающиеся прямые: определение, признаки.
  4. Свойство скрещивающихся прямых (теорема о существовании плоскости, проходящей через одну из скрещивающихся прямых  параллельно другой прямой).
  5. Параллельность прямой и плоскости: определение, признаки и свойства.
  6. Параллельность плоскостей: определение, признаки, свойства.
  7. Перпендикулярность плоскостей: определение, признаки, свойства.
  8. Перпендикулярность прямой и плоскости: определение и признак.
  9. Построение сечений многогранников. Метод следа.
  10. Угол между прямыми (включая скрещивающиеся прямые). Угол между прямой и плоскостью.
  11. Двугранный угол (определение). Величина двугранного угла. Понятие угламежду пересекающимися плоскостями.
  12. Трехгранный угол.
  13. Теорема о трех перпендикулярах и теорема, обратная ей.
  14. Прямоугольный параллелепипед. Теорема о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда Теорема о точке пересечения диагоналей параллелепипеда.
  15. Определение вектора в пространстве. Классификация векторов. Действия над векторами.

Алгебра

  1. Рациональные уравнения и неравенства. Методы решения.
  2. Уравнения и неравенства с модулем.Методы решения.
  3. Иррациональные уравнения и неравенства.Методы решения.
  4. Построение графиков кусочно-заданных функций, функций, содержащих модуль.
  5. Многочлены. Теорема Безу, схема Горнера. Уравнения высших степеней.
  6. Основные приемы решения систем уравнений: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных.
  7. Свойства и графики показательной функции.
  8. Свойства и графики логарифмической функции.
  9. Свойства и графики степенной функции.
  10.  Основные методы решения показательных уравнений и неравенств.
  11. Основные методы решения логарифмических уравнений и неравенств.
  12. Преобразование иррациональных, показательных и логарифмических выражений.
  13. Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств.
  14.  Применение метода интервалов для решения иррациональных, показательных и логарифмических  неравенств.
  15. Использование функционально-графических представлений для решения и исследования иррациональных уравнений, неравенств, систем уравнений и  неравенств.
  16. Понятия тригонометрических функций.Основные тригонометрические тождества.
  17. Формулы приведения.
  18. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов.
  19. Синус и косинус двойного угла. Формулы половинного угла.
  20. Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму.
  21. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента.
  22.  Преобразования тригонометрических выражений.
  23. Простейшие тригонометрические уравнения. Решения тригонометрических уравнений. Отбор корней тригонометрических уравнений.
  24. Примеры решения простейших тригонометрических неравенств.
  25. Решение задач с параметром.
  26. Область определения и множество значений тригонометрических функций.
  27.  Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций. Их  свойства и графики.
  28. Обратные тригонометрические функции.

Вопросы для собеседования по физике 11 класс (2019 г.)

Механика  

1.   Основные понятия кинематики.

2.  Уравнения и графики равномерного прямолинейного движения.

3.  Уравнения и графики равноускоренного прямолинейного движения.

4.  Вращательное движение твёрдого тела.

5.  Законы механики Ньютона.

6. Закон всемирного тяготения.

7.  Движение тела под действием силы тяжести. Первая космическая скорость.

8.  Закон Гука. Сила упругости. Движение тела под действием силы упругости.

9.   Силы трения (сопротивления). Движение тела под действием силы трения.

10. Движение тела под действием нескольких сил.

11. Импульс тела. Второй закон Ньютона в импульсной форме. Закон сохранения импульса.

12 Работа силы, мощность, энергия. Работа силы тяжести, силы упругости, силы трения.

 13. Условия равновесия тел.   

МКТ, термодинамика.

  1. Основные положения МКТ и их опытные обоснования. 
  2. Основное уравнение МКТ. 
  3. Температура. Энергия теплового движения молекул. 
  4. Уравнение состояния идеального газа. Газовые законы. 
  5. Взаимные превращения жидкостей и газов. 
  6. Кристаллические и аморфные тела 
  7. Основы термодинамики: внутренняя энергия, работа, количество теплоты. 
  8. Первый закон термодинамики и его применение в различных изопроцессах. 
  9. Тепловые двигатели, принцип действия, КПД.

Электродинамика.

1.  Электрический ток. Закон Ома для участка цепи.

2. Электрические цепи. Последовательное и параллельное соединение проводников.

 3. Работа и мощность тока.

 4.  Понятие ЭДС . Закон Ома для полной цепи.

5.  Электрический ток в металлах. Зависимость сопротивления проводника от температуры. Сверхпроводимость.

6.  Электрический ток в жидкостях.

7.  Электрический ток в полупроводниках.

8.  Электрический ток в вакууме.

9.  Электрический ток в газах.  

Вопросы для собеседования по информатике 11 класс (2019 г.)

  1. Алгебра логики – таблицы истинности.

  2. Системы счисления (с основаниями 2, 10, 8, 16 и др.).

  3. Использование информационных моделей (таблицы, диаграммы, графики).

  4. Кодирование и декодирование информации (с использованием условий Фано).

  5. Выполнение и анализ простых алгоритмов (автоматы).

  6. Поиск алгоритма минимальной длины для исполнителя.

  7. Анализ программы (с циклами и ветвлениями).

  8. Кодирование текстовой, графической информации, звука, передача информации, пропускная способность канала связи.

  9. Вычисление информационного объема сообщения.

  10. Выполнение алгоритмов для исполнителя (цепочки символов).

  11. Графы. Поиск количества путей.

  12. Составление запросов для поисковых систем с использованием  логических выражений.

 

Линейные неравенства и абсолютные неравенства

Результаты обучения

  • Используйте интервальную нотацию для выражения неравенства.
  • Используйте свойства неравенств.
  • Решите сложные неравенства.
  • Решите неравенства абсолютных значений.

Попасть в список почета в большинстве ведущих университетов непросто. Предположим, студенты должны были пройти курс не менее 12 кредитных часов и поддерживать средний балл 3.5 или выше. Как можно математически выразить эти требования к списку почета? В этом разделе мы рассмотрим различные способы выражения различных наборов чисел, неравенств и неравенств по абсолютным значениям.

Как писать о неравенствах и манипулировать ими

Указание решения такого неравенства, как [латекс] x \ ge 4 [/ латекс], может быть достигнуто несколькими способами.

Мы можем использовать числовую линию, как показано ниже. Синий луч начинается с [latex] x = 4 [/ latex] и, как указано стрелкой, продолжается до бесконечности, что показывает, что набор решений включает все действительные числа, большие или равные 4.

Мы можем использовать нотацию конструктора наборов : [latex] \ {x | x \ ge 4 \} [/ latex], что переводится как «все действительные числа x , такие, что x больше или равно 4. ” Обратите внимание, что фигурные скобки используются для обозначения набора.

Третий метод — это обозначение интервала , где наборы решений указываются круглыми или квадратными скобками. Решения для [latex] x \ ge 4 [/ latex] представлены как [latex] \ left [4, \ infty \ right) [/ latex]. Это, пожалуй, самый полезный метод, поскольку он применим к концепциям, изучаемым позже в этом курсе, и к другим курсам математики более высокого уровня.

Основная концепция, которую следует запомнить, заключается в том, что круглые скобки представляют решения больше или меньше числа, а квадратные скобки представляют решения, которые больше или равны или меньше или равны числу. Используйте круглые скобки для обозначения бесконечности или отрицательной бесконечности, поскольку положительная и отрицательная бесконечность не являются числами в обычном смысле слова и, следовательно, не могут быть «равны». Несколько примеров интервала или набора чисел, в который попадает решение: [latex] \ left [-2,6 \ right) [/ latex] или все числа между [latex] -2 [/ латекс] и [латекс] 6 [/ латекс], включая [латекс] -2 [/ латекс], но не включая [латекс] 6 [/ латекс]; [latex] \ left (-1,0 \ right) [/ latex], все действительные числа между, но не включая [latex] -1 [/ latex] и [latex] 0 [/ latex]; и [latex] \ left (- \ infty, 1 \ right] [/ latex], все действительные числа меньше чем [latex] 1 [/ latex] включительно.В таблице ниже представлены возможности.

Указанный набор Обозначение конструктора множеств Интервальное обозначение
Все действительные числа от a до b , за исключением a или b [латекс] \ {x | a [латекс] \ левый (а, б \ правый) [/ латекс]
Все действительные числа больше a , но не включая a [латекс] \ {x | x> a \} [/ латекс] [латекс] \ left (a, \ infty \ right) [/ latex]
Все действительные числа меньше b , но не включая b [латекс] \ {x | x [латекс] \ влево (- \ infty, b \ right) [/ латекс]
Все действительные числа больше a , включая a [латекс] \ {x | x \ ge a \} [/ латекс] [латекс] \ left [a, \ infty \ right) [/ latex]
Все действительные числа меньше b , в том числе b [латекс] \ {x | x \ le b \} [/ латекс] [латекс] \ влево (- \ infty, b \ right] [/ латекс]
Все вещественные числа от a до b , включая a [латекс] \ {x | a \ le x [латекс] \ слева [a, b \ справа) [/ латекс]
Все вещественные числа от a до b , включая b [латекс] \ {x | a [латекс] \ слева (a, b \ справа] [/ латекс]
Все вещественные числа от a до b , включая a и b [латекс] \ {x | a \ le x \ le b \} [/ латекс] [латекс] \ слева [a, b \ справа] [/ латекс]
Все действительные числа меньше a или больше b [латекс] \ {x | x b \} [/ латекс] [латекс] \ left (- \ infty, a \ right) \ чашка \ left (b, \ infty \ right) [/ latex]
Все вещественные числа [латекс] \ {x | x \ text {все вещественные числа} \} [/ latex] [латекс] \ влево (- \ infty, \ infty \ right) [/ латекс]

Пример: использование интервальной записи для выражения всех действительных чисел, больше или равных числу

Используйте обозначение интервала, чтобы указать все действительные числа, большие или равные [latex] -2 [/ latex].

Показать решение

Используйте скобку слева от [latex] -2 [/ latex] и скобки после бесконечности: [latex] \ left [-2, \ infty \ right) [/ latex]. Скобка указывает, что [latex] -2 [/ latex] включен в набор со всеми действительными числами от [latex] -2 [/ latex] до бесконечности.

Попробуйте

Используйте обозначение интервала для обозначения всех действительных чисел между [latex] -3 [/ latex] и [latex] 5 [/ latex] включительно.

Показать решение

[латекс] \ влево [-3,5 \ вправо] [/ латекс]

Пример: использование интервальной записи для выражения всех действительных чисел, меньших или равных

a или больше или равных b

Запишите интервал, выражающий все действительные числа, меньшие или равные [latex] -1 [/ latex] или больше или равные [latex] 1 [/ latex].

Показать решение

Для этого примера нам нужно написать два интервала. Первый интервал должен указывать все действительные числа, меньшие или равные 1. Итак, этот интервал начинается с [latex] — \ infty [/ latex] и заканчивается на [latex] -1 [/ latex], что записывается как [latex ] \ left (- \ infty, -1 \ right] [/ latex].

Во втором интервале должны отображаться все действительные числа, большие или равные [латекс] 1 [/ латекс], который записывается как [латекс] \ left [1, \ infty \ right) [/ latex]. Однако мы хотим объединить эти два набора.Мы достигаем этого, вставляя символ объединения, [latex] \ cup [/ latex], между двумя интервалами.

[латекс] \ left (- \ infty, -1 \ right] \ чашка \ left [1, \ infty \ right) [/ latex]

Попробуйте

Выразите все действительные числа меньше [латекс] -2 [/ latex] или больше или равные 3 в интервальной нотации.

Показать решение

[латекс] \ left (- \ infty, -2 \ right) \ чашка \ left [3, \ infty \ right) [/ latex]

Использование свойств неравенств

Когда мы работаем с неравенствами, мы обычно можем обращаться с ними так же, как с уравнениями, но не в точности.Мы можем использовать свойство сложения и свойство умножения , чтобы помочь нам решить их. Единственное исключение — когда мы умножаем или делим на отрицательное число, мы должны перевернуть символ неравенства.

Общее примечание: свойства неравенств

[латекс] \ begin {array} {ll} \ text {Свойство добавления} \ hfill & \ text {If} a 0, \ text {then} ac bc. \ hfill \ end {array} [/ latex]

Эти свойства также применимы к [латексу] a \ le b [/ latex], [латексу] a> b [/ latex] и [латексу] a \ ge b [/ latex].

Пример: демонстрация свойства сложения

Проиллюстрируйте свойство сложения для неравенств, решив каждое из следующих решений:

  1. [латекс] x — 15 <4 [/ латекс]
  2. [латекс] 6 \ ge x — 1 [/ латекс]
  3. [латекс] x + 7> 9 [/ латекс]

Показать решение

Свойство сложения для неравенств гласит, что если неравенство существует, добавление или вычитание одного и того же числа с обеих сторон не меняет неравенства.

1.

[латекс] \ begin {array} {ll} x — 15 <4 \ hfill & \ hfill \\ x - 15 + 15 <4 + 15 \ hfill & \ text {Добавьте 15 с обеих сторон.} \ Hfill \\ x <19 \ hfill & \ hfill \ end {array} [/ latex]

2.

[латекс] \ begin {array} {ll} 6 \ ge x — 1 \ hfill & \ hfill \\ 6 + 1 \ ge x — 1 + 1 \ hfill & \ text {Добавить 1 с обеих сторон}. \ Hfill \\ 7 \ ge x \ hfill & \ hfill \ end {array} [/ latex]

3.

[латекс] \ begin {array} {ll} x + 7> 9 \ hfill & \ hfill \\ x + 7-7> 9-7 \ hfill & \ text {Вычтите 7 с обеих сторон}.\ hfill \\ x> 2 \ hfill & \ hfill \ end {array} [/ latex]

Попробуйте

Решить [латекс] 3x — 2 <1 [/ латекс].

Пример: демонстрация свойства умножения

Проиллюстрируйте свойство умножения неравенств, решив каждое из следующих решений:

  1. [латекс] 3x <6 [/ латекс]
  2. [латекс] -2x — 1 \ ge 5 [/ латекс]
  3. [латекс] 5-x> 10 [/ латекс]

Показать решение

1.

[латекс] \ begin {array} {l} 3x <6 \ hfill \\ \ frac {1} {3} \ left (3x \ right) <\ left (6 \ right) \ frac {1} {3} \ hfill \\ x <2 \ hfill \ end {array} [/ latex]

2.

[латекс] \ begin {array} {ll} -2x — 1 \ ge 5 \ hfill & \ hfill \\ -2x \ ge 6 \ hfill & \ hfill \\ \ left (- \ frac {1} {2} \ right) \ left (-2x \ right) \ ge \ left (6 \ right) \ left (- \ frac {1} {2} \ right) \ hfill & \ text {Умножить на} — \ frac {1} {2}. \ Hfill \\ x \ le -3 \ hfill & \ text {Обратное неравенство}. \ Hfill \ end {array} [/ latex]

3.

[латекс] \ begin {array} {ll} 5-x> 10 \ hfill & \ hfill \\ -x> 5 \ hfill & \ hfill \\ \ left (-1 \ right) \ left (-x \ right )> \ left (5 \ right) \ left (-1 \ right) \ hfill & \ text {Умножить на} -1.\ hfill \\ x <-5 \ hfill & \ text {Обратное неравенство}. \ hfill \ end {array} [/ latex]

Попробуйте

Решить [латекс] 4x + 7 \ ge 2x — 3 [/ латекс].

Алгебраическое решение неравенств с одной переменной

Как показали примеры, мы можем выполнять те же операции с обеими сторонами неравенства, как и с уравнениями; совмещаем похожие сроки и выполняем операции. Чтобы решить, мы изолируем переменную.

Пример: алгебраическое решение неравенства

Решите неравенство: [латекс] 13 — 7x \ ge 10x — 4 [/ латекс].

Показать решение

Решение этого неравенства аналогично решению уравнения до последнего шага.

[латекс] \ begin {array} {ll} 13 — 7x \ ge 10x — 4 \ hfill & \ hfill \\ 13 — 17x \ ge -4 \ hfill & \ text {Переместите переменные члены в одну сторону неравенства} . \ hfill \\ -17x \ ge -17 \ hfill & \ text {Изолировать термин переменной}. \ hfill \\ x \ le 1 \ hfill & \ text {Разделение обеих сторон на} -17 \ text {отменяет неравенство }. \ hfill \ end {array} [/ latex]

Множество решений задается интервалом [latex] \ left (- \ infty, 1 \ right] [/ latex] или всеми действительными числами, меньшими включительно 1.

Попробуйте

Решите неравенство и запишите ответ, используя интервальную запись: [latex] -x + 4 <\ frac {1} {2} x + 1 [/ latex].

Показать решение

[латекс] \ влево (2, \ infty \ right) [/ латекс]

Пример: решение неравенства с дробями

Решите следующее неравенство и запишите ответ в интервальной записи: [latex] — \ frac {3} {4} x \ ge — \ frac {5} {8} + \ frac {2} {3} x [/ latex ].

Показать решение

Мы начинаем решать так же, как и при решении уравнения.

[латекс] \ begin {array} {ll} — \ frac {3} {4} x \ ge — \ frac {5} {8} + \ frac {2} {3} x \ hfill & \ hfill \\ — \ frac {3} {4} x- \ frac {2} {3} x \ ge — \ frac {5} {8} \ hfill & \ text {Поместите переменные члены на одну сторону}. \ hfill \\ — \ frac {9} {12} x- \ frac {8} {12} x \ ge — \ frac {5} {8} \ hfill & \ text {Запишите дроби с общим знаменателем}. \ hfill \\ — \ frac {17} {12} x \ ge — \ frac {5} {8} \ hfill & \ hfill \\ x \ le — \ frac {5} {8} \ left (- \ frac {12} {17} \ right) \ hfill & \ text {Умножение на отрицательное число отменяет неравенство}. \ hfill \\ x \ le \ frac {15} {34} \ hfill & \ hfill \ end {array} [/ latex]

Множество решений — это интервал [latex] \ left (- \ infty, \ frac {15} {34} \ right] [/ latex].

Попробуйте

Решите неравенство и запишите ответ в интервальной записи: [latex] — \ frac {5} {6} x \ le \ frac {3} {4} + \ frac {8} {3} x [/ latex].

Показать решение

[латекс] \ left [- \ frac {3} {14}, \ infty \ right) [/ latex]

Неравенства составных и абсолютных значений

Сложное неравенство включает два неравенства в одном утверждении. Такое выражение, как [латекс] 4

Пример: решение сложного неравенства

Решите составное неравенство: [латекс] 3 \ le 2x + 2 <6 [/ латекс].

Показать решение

Первый метод — написать два отдельных неравенства: [латекс] 3 \ le 2x + 2 [/ latex] и [latex] 2x + 2 <6 [/ latex]. Решаем их самостоятельно.

[латекс] \ begin {array} {lll} 3 \ le 2x + 2 \ hfill & \ text {and} \ hfill & 2x + 2 <6 \ hfill \\ 1 \ le 2x \ hfill & \ hfill & 2x < 4 \ hfill \\ \ frac {1} {2} \ le x \ hfill & \ hfill & x <2 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Затем мы можем переписать решение в виде составного неравенства, точно так же, как возникла проблема.

[латекс] \ frac {1} {2} \ le x <2 [/ латекс]

В интервальной записи решение записывается как [latex] \ left [\ frac {1} {2}, 2 \ right) [/ latex].

Второй метод — оставить составное неравенство неповрежденным и выполнить процедуры решения для трех частей одновременно.

[латекс] \ begin {array} {ll} 3 \ le 2x + 2 <6 \ hfill & \ hfill \\ 1 \ le 2x <4 \ hfill & \ text {Выделите член переменной и вычтите 2 из всех трех частей }. \ hfill \\ \ frac {1} {2} \ le x <2 \ hfill & \ text {Разделите все три части на 2}.\ hfill \ end {array} [/ latex]

Получаем такое же решение: [латекс] \ left [\ frac {1} {2}, 2 \ right) [/ latex].

Попробуйте

Решите составное неравенство [латекс] 4 <2x - 8 \ le 10 [/ латекс].

Показать решение

[латекс] 6

Пример: решение сложного неравенства с переменной во всех трех частях

Решите сложное неравенство с переменными во всех трех частях: [латекс] 3 + x> 7x — 2> 5x — 10 [/ latex].

Показать решение

Попробуем первый способ. Запишите два неравенства :

[латекс] \ begin {array} {lll} 3 + x> 7x — 2 \ hfill & \ text {and} \ hfill & 7x — 2> 5x — 10 \ hfill \\ 3> 6x — 2 \ hfill & \ hfill & 2x — 2> -10 \ hfill \\ 5> 6x \ hfill & \ hfill & 2x> -8 \ hfill \\ \ frac {5} {6}> x \ hfill & \ hfill & x> -4 \ hfill \\ x <\ frac {5} {6} \ hfill & \ hfill & -4

Набор решений: [latex] -4

Попробуйте

Решите составное неравенство: [латекс] 3y <4 - 5y <5 + 3y [/ latex].

Показать решение

[латекс] \ left (- \ frac {1} {8}, \ frac {1} {2} \ right) [/ latex]

Решение абсолютных неравенств

Как мы знаем, абсолютное значение величины — это положительное число или ноль. От исходной точки точка, расположенная в [latex] \ left (-x, 0 \ right) [/ latex], имеет абсолютное значение [latex] x [/ latex], так как находится на расстоянии x единиц.Считайте абсолютное значение расстоянием от одной точки до другой точки. Независимо от направления, положительного или отрицательного, расстояние между двумя точками представляется как положительное число или ноль.

Неравенство абсолютного значения — это уравнение вида

[латекс] | A | B, \ text {or} | A | \ ge B [/ latex],

, где A , а иногда B , представляет алгебраическое выражение, зависящее от переменной x. Решение неравенства означает нахождение набора всех значений [latex] x [/ latex] , которые удовлетворяют задаче.Обычно этот набор представляет собой интервал или объединение двух интервалов и включает диапазон значений.

Существует два основных подхода к решению абсолютных неравенств: графический и алгебраический. Преимущество графического подхода в том, что мы можем прочитать решение, интерпретируя графики двух уравнений. Преимущество алгебраического подхода состоит в том, что решения являются точными, поскольку точные решения иногда трудно прочитать с графа.

Предположим, мы хотим знать все возможные доходы от инвестиций, если бы мы могли заработать некоторую сумму денег в пределах от 200 до 600 долларов.Мы можем решить алгебраически для набора значений x — , так что расстояние между [latex] x [/ latex] и 600 меньше 200. Мы представляем расстояние между [latex] x [/ latex] и 600 как [ latex] | x — 600 | [/ latex], следовательно, [latex] | x — 600 | \ le 200 [/ latex] или

[латекс] \ begin {array} {c} -200 \ le x — 600 \ le 200 \\ -200 + 600 \ le x — 600 + 600 \ le 200 + 600 \ 400 \ le x \ le 800 \ конец {array} [/ latex]

Это означает, что наша прибыль составит от 400 до 800 долларов.

Для решения неравенств по абсолютным значениям, как и для уравнений с абсолютными значениями, мы записываем два неравенства и затем решаем их независимо.

Общее примечание: Неравенства абсолютных значений

Для алгебраического выражения X и [латекс] k> 0 [/ latex], неравенство по модулю является неравенством вида:

[латекс] \ begin {array} {l} | X | k \ text {, что эквивалентно to} X <-k \ text {или} X> k \ hfill \ end {array} [/ latex]

Эти утверждения также применимы к [latex] | X | \ le k [/ latex] и [latex] | X | \ ge k [/ latex].

Пример: определение числа в пределах заданного расстояния

Опишите все значения [latex] x [/ latex] на расстоянии 4 от числа 5.

Показать решение

Мы хотим, чтобы расстояние между [latex] x [/ latex] и 5 было меньше или равно 4. Мы можем нарисовать числовую линию, чтобы обозначить условие, которое должно быть выполнено.

Расстояние от [latex] x [/ latex] до 5 может быть представлено с помощью символа абсолютного значения, [latex] | x — 5 | [/ latex]. Запишите значения [latex] x [/ latex], которые удовлетворяют условию, как неравенство абсолютных значений.

[латекс] | x — 5 | \ le 4 [/ латекс]

Нам нужно написать два неравенства, так как всегда есть два решения уравнения абсолютного значения.

[латекс] \ begin {array} {lll} x — 5 \ le 4 \ hfill & \ text {and} \ hfill & x — 5 \ ge -4 \ hfill \\ x \ le 9 \ hfill & \ hfill & x \ ge 1 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Если набор решений — [latex] x \ le 9 [/ latex] и [latex] x \ ge 1 [/ latex], то набор решений представляет собой интервал, включающий все действительные числа от 1 до 9 включительно.

Итак, [latex] | x — 5 | \ le 4 [/ latex] эквивалентно [latex] \ left [1,9 \ right] [/ latex] в интервальной нотации.

Попробуйте

Опишите все значения x- на расстоянии 3 от числа 2.

Показать решение

[латекс] | x — 2 | \ le 3 [/ латекс]

Пример: решение неравенства абсолютного значения

Решить [латекс] | x — 1 | \ le 3 [/ latex].

Показать решение

[латекс] \ begin {array} {c} | x — 1 | \ le 3 \ hfill \\ \ hfill \\ -3 \ le x — 1 \ le 3 \ hfill \\ \ hfill \\ -2 \ le x \ le 4 \ hfill \\ \ hfill \\ \ left [-2,4 \ right] \ hfill \ end {array} [/ latex]

Пример: использование графического подхода для решения неравенств абсолютных значений

Учитывая уравнение [latex] y = — \ frac {1} {2} | 4x — 5 | +3 [/ latex], определите значения x , для которых значения y отрицательны.

Показать решение

Мы пытаемся определить, где [latex] y <0 [/ latex], а где [latex] - \ frac {1} {2} | 4x - 5 | +3 <0 [/ latex]. Начнем с выделения абсолютного значения.

[latex] \ begin {array} {ll} — \ frac {1} {2} | 4x — 5 | <-3 \ hfill & \ text {Умножьте обе стороны на -2 и отмените неравенство}. \ Hfill \\ | 4x - 5 |> 6 \ hfill & \ hfill \ end {array} [/ latex]

Далее решаем [latex] | 4x — 5 | = 6 [/ latex].

[латекс] \ begin {array} {lll} 4x — 5 = 6 \ hfill & \ hfill & 4x — 5 = -6 \ hfill \\ 4x = 11 \ hfill & \ text {или} \ hfill & 4x = — 1 \ hfill \\ x = \ frac {11} {4} \ hfill & \ hfill & x = — \ frac {1} {4} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Теперь мы можем изучить график, чтобы увидеть, где значения y- отрицательны.Мы наблюдаем, где ветви находятся ниже оси x-. Обратите внимание, что не важно, как именно выглядит график, если мы знаем, что он пересекает горизонтальную ось в точках [latex] x = — \ frac {1} {4} [/ latex] и [latex] x = \ frac {11} {4} [/ latex], и график открывается вниз.

Попробуйте

Решите [латекс] -2 | k — 4 | \ le -6 [/ latex].

Показать решение

[латекс] к \ ле 1 [/ латекс] или [латекс] к \ л 7 [/ латекс]; в обозначении интервала это будет [латекс] \ left (- \ infty, 1 \ right] \ cup \ left [7, \ infty \ right) [/ latex].

Ключевые понятия

  • Интервальная запись — это способ дать набор решений неравенства. В высшей степени применима в исчислении, это система круглых скобок и скобок, которые указывают, какие числа включены в набор и включены ли также конечные точки.
  • Решение неравенств аналогично решению уравнений. Применяются те же алгебраические правила, за исключением одного: умножение или деление на отрицательное число отменяет неравенство.
  • Сложные неравенства часто состоят из трех частей и могут быть переписаны как два независимых неравенства.Решения задаются граничными значениями, которые указываются как начальная или конечная граница в решениях двух неравенств.
  • Неравенство абсолютных значений приведет к созданию двух наборов решений из-за природы абсолютного значения. Мы решаем, записывая два уравнения: одно равное положительному значению, а второе — отрицательному.
  • Решения абсолютного неравенства значений могут быть проверены с помощью графического представления. Мы можем проверить алгебраические решения с помощью графиков, поскольку мы не можем полагаться на визуальное представление для получения точного решения.

Глоссарий

сложное неравенство
проблема или утверждение, которое включает два неравенства
интервал
интервал описывает набор чисел, в котором выпадает решение
обозначение интервала
математическое выражение, описывающее набор решений и использующее круглые или квадратные скобки, чтобы указать, где интервал начинается и заканчивается
линейное неравенство
аналогично линейному уравнению, за исключением того, что решения будут включать интервал чисел

Как решить и построить график математической формулы класса неравенства 11 по абсолютному значению CBSE

Подсказка: Чтобы решить неравенство, данное в приведенной выше задаче, выполните следующие действия: $ \ left | 2х + 4 \ вправо |> 8 $.Мы знаем, что если нам нужно решить модульное неравенство этой формы, $ \ left | x + a \ right |> b $, то мы преобразуем эту модульную форму следующим образом: $ \ left (x + a \ right) b $. Этот результат объединения дает нам решение указанного выше неравенства. Используя это решение, мы также можем нарисовать график.

Полное пошаговое решение:
Неравенство формы модуля, заданное в приведенной выше задаче, выглядит следующим образом:
$ \ left | 2x + 4 \ right |> 8 $
Теперь мы собираемся решить указанное выше неравенство, открыв эту модульную форму, и мы получим
$ \ begin {align}
& \ Rightarrow \ left (2x + 4 \ right) & \ Rightarrow \ left (2x + 4 \ right)> 8 \\
\ end {align} $
Решение двух вышеперечисленных неравенств одно за другим, а затем объединение этих двух решений неравенств.
Решая первое неравенство из приведенного выше, мы получаем
$ \ Rightarrow 2x + 4 Вычитая 4 с обеих сторон в приведенном выше выражении, мы получаем
$ \ begin {align}
& \ Rightarrow 2x + 4-4 & \ Rightarrow 2x \ end {align} $
Разделив 2 с обеих сторон, мы получим
$ \ begin {align}
& \ Rightarrow \ dfrac {2x} {2} & \ Rightarrow x \ end {align} $
Решение второго неравенства мы получаем
$ \ Rightarrow 2x + 4> 8 $
Вычитая 4 с обеих сторон, получаем
$ \ begin {align}
& \ Rightarrow 2x + 4-4> 8-4 \\
& \ Rightarrow 2x > 4 \\
\ end {align} $
Разделив 2 с обеих сторон, мы получим
$ \ begin {align}
& \ Rightarrow \ dfrac {2x} {2}> \ dfrac {4} {2} \ \
& \ Rightarrow x> 2 \\
\ end {align} $
Теперь, объединив решение двух вышеупомянутых неравенств, мы получим
$ \ left (x2 \ right) $
Теперь, преобразовав указанные выше неравенства в интервальную нотацию получаем,
Преобразование $ \ left (x $ \ Rightarrow x \ in \ left (- \ infty, -6 \ right) $ 90 475 Преобразуя $ \ left (x> 2 \ right) $ в обозначение интервалов, мы получаем
$ \ Rightarrow x \ in \ left (2, \ infty \ right) $
Теперь объединение двух вышеуказанных интервалов выглядит следующим образом:
$ x \ in \ left (- \ infty, -6 \ right) \ bigcup \ left (2, \ infty \ right) $
Следовательно, решение приведенного выше неравенства выглядит следующим образом:
$ x \ in \ left (- \ infty, -6 \ right) \ bigcup \ left (2, \ infty \ right) $
Теперь мы собираемся нарисовать график приведенного выше неравенства.Для этого в первую очередь построим график функции модуля.
Функция, записанная в модуле, имеет следующий вид:
$ \ left | 2x + 4 \ right | $
График этой функции выглядит следующим образом:

Теперь в приведенной выше задаче нам нужны значения, когда y принимает значение больше 8, поэтому мы удалим область на графике выше, где значение y равно меньше или равно 8.

На приведенном выше графике, как вы можете видеть, когда значение функции равно 8, появляются два значения x i.е. (2 и -6), поэтому мы удаляем часть BFA из приведенного выше графика, чтобы получить требуемый график.

Открытые отверстия в точках A и B предполагают, что при x, равном -6 и 2, y не принимает значения. Итак, мы построили график $ \ left | 2х + 4 \ вправо |> 8 $.

Примечание: Как вы можете видеть, график, который мы нарисовали выше, находится в том же интервале, в котором мы вычислили решение неравенства. Решение неравенства $ \ left | 2x + 4 \ right |> 8 $ выглядит следующим образом:
$ x \ in \ left (- \ infty, -6 \ right) \ bigcup \ left (2, \ infty \ right) $
И график, который мы имеем нарисованный выше выглядит следующим образом:

Теперь вы можете видеть, что на приведенном выше графике значение x лежит от отрицательной бесконечности до -6 (в которое не входит -6) и от 2 до бесконечности (в котором 2 не входит ).
Итак, по сути, графическое представление является доказательством того, что найденное нами решение является правильным.

Абсолютные неравенства — проще простого

Для $ | x | \ le v $ решить неравенства $ -v \ le x $, а также $ x \ le v $.

Вы также можете решить такое уравнение, используя числовую прямую. Итак, вы можете увидеть, нужно ли вам использовать и , или .

Для $ | x |> v $ решите неравенства $ x <-v $ или $ x> v $.

Эта числовая строка представляет $ | x-95 | \ le 4 $.

Имейте в виду следующее:

  • $ | x | \ le v $ $ \ rightarrow $ $ -v \ le x $ и $ x \ le v $
  • $ | x | и $ x
  • $ | x | \ ge v $ $ \ rightarrow $ $ x \ le -v $ или $ v \ le x $
  • $ | x |> v $ $ \ rightarrow $ $ x <-v $ или $ v> x

Поскольку неравенства немного сложнее, мы должны каждый раз решать неравенства:

$ ~ $

$ | x-23 | \ le 12 $

$ \ begin {array} {rcr}
-12 & \ le & x-23 \\
\ color {# 669900} {+ 23} && \ color {# 669900} {+ 23} \\
11 & \ le & x
\ end {array} $

$ \ begin {array} {rcr}
х-23 & \ le & 12 \\
\ color {# 669900} {+ 23} && \ color {# 669900} {+ 23} \\
х & \ ле & 35
\ end {array} $

Вместе мы имеем $ 11 \ le x $ и $ x \ le 35 $.

$ ~

$ \ left | \ frac12x + 5 \ right | \ le 7 $

$ \ begin {array} {rcr}
-7 & \ le & \ frac12x + 5 \\
\ color {# 669900} {- 5} && \ color {# 669900} {- 5} \\
-12 & \ le & \ frac12x \\
\ color {# 669900} {\ cdot 2} && \ color {# 669900} {\ cdot 2} \\
-24 & \ le & x
\ end {array} $

$ \ begin {array} {rcr}
\ frac12x + 5 & \ le & 7 \\
\ color {# 669900} {- 5} && \ color {# 669900} {- 5} \\
\ frac12x & \ le & 2 \\
\ color {# 669900} {\ cdot 2} && \ color {# 669900} {\ cdot 2} \\
х & \ le & 4
\ end {array} $

Вместе мы имеем $ -24 \ le x $ и $ x \ le 4 $.

$ ~

$

$ | x + 6 |> 5 $

$ \ begin {array} {rcr}
х + 6 & <& - 5 \\ \ color {# 669900} {- 6} && \ color {# 669900} {- 6} \\ х & <& - 11 \ end {array} $

$ \ begin {array} {rcr}
х + 6 &> & 5 \\
\ color {# 669900} {- 6} && \ color {# 669900} {- 6} \\
х &> & — 1
\ end {array} $

Вместе мы имеем $ x <-11 $ или $ -1

$ ~

$ | 3x-12 | \ ge 9 $

$ \ begin {array} {rcr}
3x-12 & \ le & -9 \\
\ color {# 669900} {+ 12} && \ color {# 669900} {+ 12} \\
3x & \ le & 3 \\
\ color {# 669900} {\ overline {\ div 3}} && \ color {# 669900} {\ overline {\ div 3}} \\
х & \ le & 1
\ end {array} $

$ \ begin {array} {rcr}
3x-12 & \ ge & 9 \\
\ color {# 669900} {+ 12} && \ color {# 669900} {+ 12} \\
3x & \ ge & 21 \\
\ color {# 669900} {\ overline {\ div 3}} && \ color {# 669900} {\ overline {\ div 3}} \\
х & \ ge & 7
\ end {array} $

Вместе мы имеем $ x \ le 1 $ или $ 7 \ le x $.

Абсолютное значение. Уравнения абсолютных значений

12

Алгеграфическое определение

Геометрический смысл

Уравнения абсолютных значений

Абсолютное неравенство

Геометрический смысл | x и |

ЭТОТ СИМВОЛ | x | обозначает абсолютное значение x , то есть число без знака.| +3 | = 3. | −3 | = 3. Можно сказать, что абсолютное значение числа — это чисто арифметическое значение.

Вот алгебраическое определение | x |:

Если x ≥ 0, то | x | = х ;

if x x | = — х .

То есть, если x неотрицательно: | 3 |, то абсолютное значение — это само число.

Если x отрицательно: | −3 |, то абсолютное значение будет отрицательным; что делает абсолютное значение положительным.

Геометрически, | x | расстояние x от 0.

И 3, и −3 — это расстояние из 3 единиц от 0. | 3 | знак равно
| −3 | = 3. Расстояние в математике никогда не бывает отрицательным.

Проблема 1. Оцените следующее.

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!

а) | 6 | = 6 б) | −6 | = 6 в) | 0 | = 0 г) | 2-7 | = 5
e) | 8 | + | −4 | = 8 + 4 = 12 е) | −3 | — | −2 | = 3 — 2 = 1
г) 1 — | −1 | = 1 — 1 = 0 ч) −8 + | −7 | = −8 + 7 = −1
i) −4
| −4 |
= −4
4
= -1 Дж) (−4) | −4 | =
(−4) · 4 = −16

Проблема 2.Объясните следующие правила.

a) | — x | = | x |.

Оба — x и x находятся на одинаковом расстоянии от 0.

б) | b a | = | a b |

b a — отрицательное значение a b .

(Урок 7).

Следовательно, согласно части а) они равны.

c) | x | ² = x ²

Мы можем удалить столбцы абсолютных значений, потому что левая часть никогда не бывает отрицательной, как и правая часть.

Уравнения абсолютных значений

| a | = 5.

Какие значения могут иметь и ?

может быть 5 или -5. Ведь если мы заменим на любым из них, утверждение — уравнение — будет истинным.

Итак, любое уравнение выглядит как

| a | = б

— имеет два решения

a = b или a = — b .

Все, что отображается внутри вертикальных полос — a в этом примере — мы называем аргументом абсолютного значения. Либо аргумент будет равен b , либо он будет равен — b .

Пример 1. Решите относительно x :

| x — 2 | = 8.

Решение . x — 2 аргумента. Либо этот аргумент будет равен 8, либо он будет равен -8.

x — 2 = 8 или x — 2 = −8.

Мы должны решить эти два уравнения. Первый подразумевает

х = 8 + 2 = 10.

Второй подразумевает

х = −8 + 2 = −6.

Это два решения: x = 10 или −6.

Задача 3.

a) Сколько решений имеет уравнение абсолютных значений?
Два.

б) Запишите их для этого уравнения: | x | = 4.

Задача 4. Решите для x .

| x + 5 | = 4.

Решите эти два уравнения:

x + 5 = 4 x + 5 = −4
x = 4–5 х = −4 — 5
x = -1 или х = −9

Проблема 5.Решите относительно x .

| 1 — x | = 7.

1- x = 7 1- x = −7
x = 7–1 х = −7 — 1
x = 6 х = −8
x = −6 или х = 8.

Задача 6. Решите для x .

| 2 x + 5 | = 9.

2 x + 5 = 9 2 x + 5 = −9
2 x = 9–5 2 x = −9 — 5
2 x = 4 2 x = −14
x = 2 или х = −7.

Абсолютные неравенства

Существует две формы неравенства по абсолютной стоимости. Один с меньше , | a | b, а другой больше , | a |> b . Решаются они по-разному. Вот первый случай.

Пример 2. Абсолютное значение меньше .

| a |

Чтобы это неравенство было истинным, какие значения может иметь a ?

Геометрически a меньше 3 единиц от 0.

Следовательно,

−3 а

Это решение. Неравенство будет истинным, если a имеет любое значение от −3 до 3.

В общем, если неравенство выглядит так —

| a | б.

— тогда решение будет выглядеть так:

б а б

для любого аргумента a .

Пример 3. Для каких значений x будет справедливо это неравенство?

| 2 x — 1 |

Решение . Аргумент 2 x -1 будет находиться в диапазоне от −5 до 5:

−5 х — 1

Надо выделить х . Сначала прибавьте 1 к каждому члену неравенства:

−5 + 1 х

−4 х

Теперь разделите каждый член на 2:

-2 х

Неравенство будет истинным для любого значения x в этом интервале.

Задача 7. Решите это неравенство для x :

| x + 2 |

−7 х + 2

Вычтите 2 из каждого члена:

−7 — 2 х

−9 х

Задача 8. Решите это неравенство для x :

| 3 x — 5 |

−10 х — 5

Добавьте 5 к каждому члену:

−5 х

Разделите каждый член на 3:

Проблема 9.Решите это неравенство для x :

| 1-2 x |

−9 х

Вычтите 1 из каждого члена:

−10 х

Разделите каждый член на −2. Смысл изменится.

5> х > −4.

То есть

−4 х

Пример 4.Абсолютное значение больше .

| a | > 3.

Для каких значений a это будет верно?

Геометрически,

a > 3 или a

Это форма решения для любого аргумента a :

Если

| a | > b b > 0),

, затем

a > b или a b.

Задача 10. Решите для x :

| x | > 5.

Проблема 11. Для каких значений x это будет верно?

| x + 2 | > 7.

Первое уравнение подразумевает x > 5. Второе, x .

Задача 12. Решите для x :

| 2 x + 5 | > 9.

2 x + 5> 9 или 2 x + 5

Решите эти два уравнения:

2 x > 4 2 x −14
x > 2 или х −7

Проблема 13.Решить относительно x :

| 1-2 x | > 9.

1-2 x > 9 или 1-2 x

Решите эти два уравнения. При окончательном делении на −2,
чувства изменятся.

−2 x > 8 −2 х −10
x −4 или х > 5.

Геометрический смысл | x и |

Геометрически, | x и | — это расстояние x от до .

| x — 2 | означает расстояние x от 2. Итак, если мы напишем

| x — 2 | = 4

мы имеем в виду, что x на 4 единицы больше, чем 2.

x , следовательно, равно −2 или 6.

С другой стороны, если мы напишем

| x — 2 |

мы имеем в виду, что x на меньше , чем на 4 единицы от 2.

Это означает, что x может иметь любое значение в открытом интервале от -2 до 6.

Задача 14. Каков геометрический смысл | x + a |?

Расстояние x от — до .Для, | x + a | = | x — (- a ) |.

| x + 1 |, значит, расстояние x от −1. Например, если

| x + 1 | = 2,

, то x на 2 единицы от -1.

x = −3 или x = 1.

Задача 15. Каково геометрическое значение каждого из следующих утверждений? И поэтому какие значения имеет x ?

а) | x | = 2

x находится на расстоянии 2 единиц от 0.Для, | x | = | x — 0 |. x , следовательно, равно 2 или −2.

б) | x — 3 | = 1

x находится на расстоянии 1 единицы от 3. x , следовательно, равно 2 или 4.

c) | x + 3 | = 1

x — это 1 единица от −3. x , следовательно, равно −4 или −2.

d) | x — 5 | ≤ 2

x меньше или равно 2 единицам от 5. x , следовательно, может принимать любое значение в закрытом интервале от 3 до 7.

Закрытый интервал.

e) | x + 5 | ≤ 2

x меньше или равно 2 единицам от −5. Следовательно, x может принимать любое значение в закрытом интервале от -7 до -3.

Проблема 16. | x — 5 | d. Укажите геометрическое значение этого слова и проиллюстрируйте его числовой прямой.

x попадает в d единиц из 5.

x , следовательно, попадает в интервал между 5 — d и 5 + d .

5- d x

Следующий урок: Экспоненты

Содержание | Дом


Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
Даже 1 доллар поможет.


Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Электронная почта: themathpage @ яндекс.2 $ = 0 ⇒ a = 0 и b = 0
, т.е. z = 0 + i0 = 0
Итак, | z | = 0, если, z = 0

(III) Абсолют произведения двух комплексных чисел z1 и z2 равен произведению абсолютных значений чисел. т.е.
$ \ left | z1.z2 \ right | $ = $ \ left | z1 \ право. | $ $ \ left | z2 \ right | $

(IV) Абсолют частного двух комплексных чисел z1 и z2 (0) равен частному абсолютных значений делимого и делителя.
$ \ осталось | \ frac {z1} {z2} \ right | $ = $ \ frac {\ left | z1 \ right |} {\ left | z2 \ right |} $

(V) Абсолют суммы двух сопряженных комплексные числа z1 и z2 никогда не могут превышать сумму своих абсолютных значений, т.е. $ \ left | z1 + z2 \ right | $ $ \ leq $ $ \ left | z1 \ right | $ + $ \ left | z2 \ right | $
Это неравенство называется неравенством треугольника .

Математика в 11 классе

От модуля комплексного числа к дому

Covid-19 повлиял на физическое взаимодействие между людьми.

Не позволяйте этому влиять на ваше обучение.

Что такое условное и абсолютное неравенство? [Видео]

Условные и абсолютные неравенства

Привет, и добро пожаловать в это видео об условных и абсолютных неравенствах .

До сих пор большая часть изученной вами алгебры включала уравнений , то есть утверждений, показывающих два равных друг другу математических выражения. Например, если посмотреть на 3x + 5 = 17, то, что находится в левой части уравнения, 3x + 5, равно тому, что находится в правой части уравнения, 17.

Иногда, однако, вместо того, чтобы показать, что выражения равны, мы хотим сравнить два выражения, чтобы показать, что одно больше или меньше другого. Эти типы утверждений называются неравенствами, потому что мы не стремимся генерировать два выражения, которые равны друг другу, как мы это делаем с уравнениями. Неравенства изображают выражения, которые обычно не равны .

Есть четыре символа, которые позволяют нам указать, что выражения больше или меньше друг друга.

Этот символ: меньше ». Например, это означает, что три меньше семи. Уловка, позволяющая запомнить, какая сторона больше или меньше, заключается в том, что сторона символа с точкой «меньше», чем открытая сторона, которая кажется «больше».

Следующий символ ->, что означает « больше ». Пример: «8> 2».

Последние два символа очень похожи на первые два:

Этот символ ≤ означает « меньше или равно ».Это почти то же самое, что больше или равно ». Итак, если мы сказали y6, тогда y может включать такие значения, как 7, 10 или 22, но также может включать 6, поскольку y может быть равно шести.

Иногда можно встретить неравенства, содержащие более одного из этих символов. Они называются двойными неравенствами .

Примером может быть 7> x> 2. Это предполагает, что x меньше 7, но больше 2. Это означает, что 3, 4, 5 и 6 будут приемлемыми значениями x.

Как видите, неравенства могут содержать переменные, как и уравнения. И точно так же, как определенные значения переменной делают уравнение правильным, точно так же определенные значения переменных делают неравенства истинными.

Часто только определенные значения переменной удовлетворяют неравенству, в то время как другие значения делают его ложным. Эти типы неравенств называются условными неравенствами , потому что они верны только при определенных условиях.

Чтобы решить условное неравенство, относитесь к нему, как к стандартному уравнению, и решайте для переменной.

Давайте посмотрим на простой пример:

Допустим, вам дали это:
X + 2> 9

Чтобы вычислить значение X, нужно решить это неравенство так же, как и любое другое уравнение. Как вы помните, чтобы определить значение переменной, вы изолируете переменную на одной стороне уравнения, и мы делаем то же самое для неравенства.

Итак, вы вычтете 2 с обеих сторон, и у вас останется:

X> 7

Это означает, что любое значение X выше 7, не включая 7, сделает это неравенство истинным.

Чтобы быстро проверить свой ответ, давайте используем значение 4 для x. Подключите 4 плюс 2 больше девяти, вы получите 6> 9, что неверно. Однако, используя значение 8 для X, вы можете подключить 8 плюс 2, больше 9, что дает 10> 9, что верно. Он больше 7, значит, правильный.

Давайте попробуем более сложный пример.

3x — 7 8 + 2x

Первый шаг — решить относительно X, как и с любым другим уравнением.

Итак, мы начнем с добавления 7 к обеим сторонам, что даст нам: 3x 15 + 2x.Теперь мы собираемся вычесть 2x с обеих сторон, это оставляет нам X 15. Это означает, что любые значения X, равные 15 или ниже, будут работать для этого неравенства.

Есть одно дополнительное правило, которое вы должны помнить при решении неравенств: всякий раз, когда неравенство умножается или делится на отрицательное число, знак неравенства должен быть перевернутым .

Вот быстрый пример, чтобы увидеть это правило в действии:

Давайте решим это неравенство:

-2x + 10> 8

Итак, мы начнем с вычитания 10 с обеих сторон, что даст вам:

-2x> -2

Чтобы изолировать X, мы делим обе стороны на -2.Вот тут-то и вступает в игру наше правило. После деления на два отрицательных мы обычно останемся с X> 1, но мы меняем знак неравенства, давая нам X абсолютные значения , неравенства также могут включать их. Если вам нужно напомнить, абсолютное значение выражает, насколько далеко число от нуля. Неважно, положительное или отрицательное число.

Скажем, у вас было:

| x | — 5

College Algebra
Урок 22: Линейные неравенства


WTAMU > Виртуальная математическая лаборатория> Алгебра колледжа

Цели обучения


По завершении этого руководства вы сможете:

  1. Используйте свойства сложения, вычитания, умножения и деления
    неравенств для решения линейных неравенств.
  2. Решите линейные неравенства с использованием абсолютных значений.
  3. Запишите ответ на неравенство, используя интервальную запись.
  4. Нарисуйте график, чтобы дать наглядный ответ на проблему неравенства.

Введение


В этом уроке мы рассмотрим решение линейных
неравенства.
При решении линейных неравенств мы используем множество одинаковых концепций.
что
мы используем при решении линейных уравнений (показано в Руководстве
14: Линейные уравнения с одной переменной
). В основном мы
по-прежнему
хотите, чтобы переменная была с одной стороны, а все остальное — с другой
боковая сторона
с помощью обратных операций. Разница в том, что когда переменная
является
установить равным одному числу, это число является единственным решением.Но,
когда
переменная меньше или больше числа, существует бесконечное число
количество значений, которые будут частью ответа. Мы также
пересмотреть определение абсолютного значения и то, как оно применяется к
неравенства.
Если вам нужен обзор абсолютных значений, перейдите к руководству .
21. Уравнения абсолютных значений
. Вы никогда не знаете, когда
ты
нужно будет знать о неравенстве, так что вам лучше начать.

Учебник


Чтение слева направо:

a a меньше b
a < b a меньше или равно b

a> b a больше b
a > b a is
больше или равно b

Обозначение интервалов — это способ обозначить диапазон
ценности, которые
сделать неравенство истинным.Есть два типа интервалов: открытые
а также
закрытые (описанные ниже), каждый из которых имеет определенный способ обозначения, поэтому мы
может
скажите разницу между ними.

Обратите внимание, что в обозначениях интервалов (см. Ниже) вы
увидит
символ ,
который
означает бесконечность .

Положительная бесконечность ()
означает, что он продолжается и продолжается до бесконечности справа от числа — там
справа нет конечной точки.

Отрицательная бесконечность (-)
означает, что он продолжается до бесконечности слева от числа — там
нет конечной точки слева.

Поскольку мы не знаем, какой самый большой или самый маленький
числа есть, нам нужно
использовать бесконечность или отрицательную бесконечность, чтобы указать, что конечная точка отсутствует
в
в том или ином направлении.

Как правило, при использовании обозначения интервалов всегда указывается
меньший
значение интервала первым (слева) поставьте запятую между
два конца, затем ставим большее значение интервала (справа
боковая сторона).
Вы будете использовать изогнутый конец (или) или конец в коробке [или],
в зависимости
по типу интервала (описано ниже).

Если у вас есть бесконечность или отрицательная бесконечность
в любом случае ты
всегда используйте кривую для этого конца. Это будет означать, что нет
определенный
конечная точка в этом направлении, она продолжает идти и двигаться.

Открытый интервал не включает, где
переменная равна
конечная точка.

Чтобы обозначить это, мы используем изогнутый конец, как показано
ниже.

Неравенство

Обозначение интервалов для
Интервалы открытия

x>

( a ,)

x <

(-, a )

При построении графика открытой конечной точки вы используете
такой же изогнутый конец
(Или) на графике, как в интервале
обозначение.
Также затемните часть графика, которая является решением. Для
например,

Неравенство Обозначение интервалов для
Интервалы открытия
График
x > 4 (4,)
x < 4 (-, 4)

Закрытый интервал включает, где ваша переменная
равно конечной точке.

Чтобы обозначить это, мы используем конец в рамке, как показано
ниже.

Как упоминалось выше, несмотря на то, что a является
включены
и имеет закрытый конец, если он стремится к бесконечности или отрицательной бесконечности
на другом конце мы обозначим его изогнутым концом только для этого конца!

Неравенство

Интервальное обозначение для
Закрытые интервалы

x > a

[ a ,)

x < a

(-, a ]

При построении графика конечной точки с закрытым концом вы используете
тот же конец в штучной упаковке
[Или] на графике, как в интервале
обозначение.
Также затемните часть графика, которая является решением. Для
например,

Неравенство Обозначение интервалов для
Замкнутые интервалы
График
x > 4 [4,)
x < 4 (-, 4]

Сочетание открытого и закрытого
Интервалы

Иногда один конец вашего интервала открыт, и
другой конец закрыт.
Вы по-прежнему следуете основным идеям, описанным выше. Закрытый конец
будет иметь [или] на конце, а открытый конец будет иметь
(или) на его конце.

Интервальное обозначение для
Сочетание открытого и

Закрытые интервалы

a < b

( a , b ]

a < x < b

[ a , b )

Неравенство Обозначение интервалов для
Объединение открытых и
закрытых интервалов
График
3 < x <6 [3, 6)
Свойство сложения / вычитания
по неравенствам

Если a

Если a

Другими словами, добавление или
вычитая
одно и то же выражение для обеих сторон неравенства не меняет
неравенство.

Пример
1
: Решите, запишите ответ в интервальной нотации и
график
набор решений :.

Посмотрите видео об этом примере

Интервальное обозначение:

График:

* Инв.суб. 10 — доп. 10

* Открытый интервал с указанием всех
значения меньше чем
5

* Наглядно показаны все числа
менее 5 на
номер строки

Обратите внимание, что неравенство оставалось неизменным на протяжении всего периода
проблема.
Добавление или вычитание одного и того же значения для обеих сторон не меняет
неравенство.

Ответ: x меньше, чем
5 ‘означает, что
если мы вернем в исходную задачу любое число меньше 5, это приведет к
будет решением (левая сторона будет меньше правой).
Как упоминалось выше, это означает, что у нас больше, чем одно число
для
наше решение, существует бесконечное количество значений, которые удовлетворяли бы
это неравенство.

Интервальное обозначение:
У нас есть открытый интервал, так как мы не включаем, где он равен
до 5. x меньше, чем
5, так что
5 — это наибольшее значение интервала, поэтому оно идет вправо.
Поскольку нижней конечной точки нет (ВСЕ значения меньше 5), мы полагаем
символ отрицательной бесконечности слева. Изогнутый конец на
5 указывает на открытый интервал.Отрицательная бесконечность всегда имеет
изогнутый
конец, потому что на этой стороне нет конечной точки.

График :
Для конечной точки мы используем тот же тип обозначений, что и в
интервал
обозначение, загнутый конец. Поскольку нам нужно было указать все
значения
меньше 5, часть числовой строки, которая была слева от 5, была
потемнело.

Обозначение интервала: [-3,)

График:

* Инв. добавления 4 является подпунктом. 4

* Закрытый интервал с указанием всех
ценности больше
чем или = -3

* Наглядно показаны все числа
больше чем или
= до -3 в числовой строке.

Обратите внимание, что неравенство оставалось неизменным на протяжении всего периода
проблема.
Добавление или вычитание одного и того же значения для обеих сторон не меняет
неравенство.

Ответ: x больше
чем или равно
-3 ‘означает, что если мы вернем любое число, большее или равное -3,
исходная проблема, это будет решение (левая сторона будет
больше
чем или равно правой стороне).Как упоминалось выше, это означает
что у нас есть более чем одно число для нашего решения, есть
бесконечный
количество значений, удовлетворяющих этому неравенству.

Интервальное обозначение:
У нас есть закрытый интервал, так как мы включаем, где он равен
до -3. x больше или
равный
до -3, поэтому -3 — наше наименьшее значение интервала, поэтому оно идет на
оставил.
Поскольку нет верхней конечной точки (это ВСЕ значения больше или
равный
до -3) ставим символ бесконечности с правой стороны. В штучной упаковке
конец
на -3 указывает закрытый интервал. Бесконечность всегда изогнута
конец
потому что на этой стороне нет конечной точки.

График :
Для конечной точки мы используем тот же тип обозначений, что и в
интервал
обозначение, конец в штучной упаковке.Поскольку нам нужно было указать
все
значения больше или равные -3, часть числовой строки,
было
справа от -3 затемнено.

Умножение / деление
Свойства неравенства

при умножении / делении на положительное значение

Если a AND c положительно , то ac

Если a AND c положительно , то a / c

Другими словами, умножая
или разделив
одинаковое ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ число для обеих сторон неравенства не меняет
неравенство.

Пример
3
: Решите, запишите ответ в интервальной нотации и
график
набор решений:.

Посмотрите видео об этом примере

Обозначение интервала: (-,
-3)

График:

* Инв.из мульт. на 3 — div. по 3

* Открытый интервал с указанием всех
значения меньше чем
-3

* Наглядно показаны все числа
менее -3 на
номер строки

Обратите внимание, что знак неравенства остался прежним.
направление.Четный
хотя правая часть была -9, число, которое мы делили на обе стороны
на, было положительным 3. Умножение или деление обеих сторон на
в
одинаковое положительное значение не меняет неравенства.

Интервальное обозначение:
У нас есть открытый интервал, так как там мы не включаем, где он
равно -3. x меньше
чем
-3, поэтому -3 — наше наибольшее значение интервала, поэтому оно идет на
верно.
Поскольку нижней конечной точки нет (ВСЕ значения меньше -3), мы
ставить
символ отрицательной бесконечности слева. Изогнутый конец на
-3 указывает на открытый интервал. Отрицательная бесконечность всегда имеет
изогнутый
конец, потому что на этой стороне нет конечной точки.

График :
Для конечной точки мы используем тот же тип обозначений, что и в
интервал
обозначение, загнутый конец.Поскольку нам нужно было указать все
значения
меньше -3, часть числовой строки, которая была слева от -3
было
потемнело.

Умножение / деление
Свойства неравенства

при умножении / делении на отрицательное значение

Если a И c
отрицательное значение
, тогда ac> bc

Если a И c
отрицательно
, тогда a / c> b / c

Другими словами, умножение
или разделив
одинаковое ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ число для обеих сторон неравенства меняет знак
из
неравенство.

Причина этого в том, что когда вы умножаете или делите
выражение
отрицательное число, оно меняет знак этого выражения. На
числовая линия, положительные значения идут в обратном или противоположном направлении
чем отрицательные числа, поэтому, когда мы возьмем противоположность
выражение,
чтобы указать на это, нам нужно обратить вспять наше неравенство.

Интервальное обозначение:

График:

* Инв. из div. by -4 есть мульт.
на -4,
, чтобы знак неравенства был обратным

* Открытый интервал с указанием всех
значения меньше чем
-20

* Наглядно показаны все числа
менее -20 на
номер строки

Я умножил на -4, чтобы учесть оба отрицательных
и разделение
на 4 за один шаг.

В строке 2 обратите внимание, что когда я сделал
показать шаг
умножив обе части на -4, я изменил свой знак неравенства.

Интервальное обозначение:
У нас есть открытый интервал, так как мы не включаем, где он равен
до -20. x меньше, чем
-20,
поэтому -20 — это наше наибольшее значение интервала, поэтому оно идет на
верно.
Поскольку нижней конечной точки нет (ВСЕ значения меньше -20), мы
ставить
символ отрицательной бесконечности слева. Изогнутый конец на
-20 указывает на открытый интервал. Отрицательная бесконечность всегда имеет
изогнутый
конец, потому что на этой стороне нет конечной точки.

График :
Для конечной точки мы используем тот же тип обозначений, что и в
интервал
обозначение, загнутый конец.Поскольку нам нужно было указать все
значения
меньше -20, часть числовой строки, которая была слева от -20
было затемнено.

Интервальное обозначение:

График:

* Инв.из мульт. на -2 — это div.
на -2,
, чтобы перевернуть знак неравенства

* Закрытый интервал с указанием всех
ценности больше
чем или = -5/2

* Наглядно показаны все числа
больше чем или
= -5/2 в числовой строке

В строке 2 обратите внимание, что когда я
показал шаг
разделив обе стороны на -2, я перевернул свой знак неравенства.

Интервальное обозначение:
У нас есть закрытый интервал, так как мы включаем, где он равен
до -5/2. x больше, чем
или равно
до -5/2, поэтому -5/2 — наше наименьшее значение интервала, поэтому он продолжается
в
оставил. Поскольку нет верхней конечной точки (ВСЕ значения больше
чем или равным -5/2), справа ставим символ бесконечности
боковая сторона.
Конец в рамке на -5/2 указывает на закрытый интервал. бесконечность
всегда
имеет изогнутый конец, потому что на этой стороне нет конечной точки.

График :
Для конечной точки мы используем тот же тип обозначений, что и в
интервал
обозначение, конец в штучной упаковке. Поскольку нам нужно было указать
все
значения больше или равные -5/2, часть числовой строки,
был затемнен справа от -5/2.

Стратегия решения линейного
Неравенство

Шаг 1:
Упрощать
с каждой стороны при необходимости.

Это может включать в себя такие вещи, как удаление (),
удаление дробей, добавление
как термины и т. д.

Шаг 2:
Используйте Add./Sub.
Свойства для перемещения члена переменной с одной стороны и всех остальных членов в
Обратная сторона.

Шаг 3: Используйте Mult./Div.
Свойства для удаления любых значений перед переменной.

Обратите внимание, что это тот же базовый
концепция, которую мы использовали
при решении линейных уравнений, как показано в Руководстве
14: Линейные уравнения с одной переменной.

Интервальное обозначение:

График:

* Инв. доп. 5 является суб. 5

* Инв. из мульт. на -2 — это div.обе стороны
-2, значит, обратный знак неравенства

* Открытый интервал с указанием всех
ценности больше
чем -3

* Наглядно показаны все числа
больше чем -3
на номерной строке

Обозначение интервала:
У нас есть открытый интервал, так как мы не включаем, где он равен
до -3. x больше -3,
так
-3 — наше наименьшее значение интервала, поэтому оно идет слева.
Поскольку нет верхней конечной точки (это ВСЕ значения меньше -3), мы
ставить
символ бесконечности справа. Загнутый конец на -3
указывает
открытый интервал. У бесконечности всегда есть изогнутый конец, потому что там
не является конечной точкой на этой стороне.

График :
Для конечной точки мы используем тот же тип обозначений, что и в
интервал
обозначение, загнутый конец.Поскольку нам нужно было указать все
значения
больше -3, часть числовой строки, которая была справа от
-3
было затемнено.

Интервальное обозначение:

График:

* Распределительная собственность
* Условия x на
с одной стороны, константы с другой стороны

* Инв.суб. 3 — доп. по 3

* Открытый интервал с указанием всех
значения меньше чем
-1/2

* Наглядно показаны все числа
менее -1/2
в числовой строке.

Обозначение интервала:
Опять же, у нас есть открытый интервал, так как мы не включаем, где он
равно 8.На этот раз x меньше 8, поэтому 8 — это наибольшее значение интервала, поэтому
идет
справа. Поскольку нет нижней конечной точки (это ВСЕ значения
меньше 8) ставим слева символ отрицательной бесконечности
боковая сторона.
Изогнутый конец на 8 указывает на открытый интервал. Отрицательная бесконечность
всегда имеет изогнутый конец, потому что на этой стороне нет конечной точки.

График :
Опять же, мы используем тот же тип обозначений для конечной точки, что и в
обозначение интервала, изогнутый конец.Поскольку нам нужно было указать
все значения меньше 8, часть числовой строки, которая была до
оставил
из 8 было затемнено.

Интервальное обозначение:

График:

* Мног.с обеих сторон ЖК-дисплеем из 6

* Получите условия x на
с одной стороны, константы с другой стороны

* Инв. доп. 3 является суб. по 3

* Инв. из мульт. на 10 дел. от
10

* Закрытый интервал с указанием всех
ценности больше
чем или равно -3/2

* Наглядно показаны все числа
больше чем или
равно -3/2 в числовой строке.

Обозначение интервала:
На этот раз у нас есть закрытый интервал, так как мы включаем, где он
равно -3/2. x — это
больше
чем или равно -3/2, поэтому -3/2 — наше наименьшее значение интервала, поэтому
он идет слева. Поскольку нет верхней конечной точки (это ВСЕ
значения больше или равные -3/2), мы ставим символ бесконечности на
в
правая сторона.Конец в рамке на -3/2 указывает на закрытый
интервал.
У бесконечности всегда есть изогнутый конец, потому что на ней нет конечной точки.
что
боковая сторона.

График :
Опять же, мы используем тот же тип обозначений для конечной точки, что и в
обозначение интервала, на этот раз конец в рамке. С тех пор, как мы
нужный
для обозначения всех значений, больших или равных -3/2, часть
номер
линия справа от -3/2 была затемнена.

Решение соединения
Неравенство

Сложное линейное неравенство — это неравенство, которое имеет два
неравенство в
одна проблема.
Например, 5 < x + 3 x решить
линейный
неравенства, показанные выше
, за исключением того, что вы выполняете шаги до трех
«стороны»
(или части) вместо двух.

Это пример составного неравенства

Интервальное обозначение:

График:

* Инв. доп.2 является суб. по 2
* Применить шаги ко всем трем
запчасти

* Все значения от -6 до 8,
с закрытым
интервал при -6 (включая -6)

* Наглядно показаны все числа
от -6 до
8, включая -6 в числовой строке.

Обозначение интервала:
На этот раз у нас смешанный интервал, так как мы включаем, где он
равно -6, но не равно 8. x находится между -6 и 8, включая -6, поэтому -6 — это наименьшее значение
интервал
так что он идет слева, а 8 идет справа. В штучной упаковке
конец
на -6 указывает закрытый интервал на этой стороне. Загнутый конец на 8
указывает
открытый интервал с той стороны.

График :
Опять же, мы используем тот же тип обозначений для конечных точек, что и
в обозначении интервалов — конец в рамке слева и изогнутый
конец
справа.Поскольку нам нужно было указать все значения между -6
а также
8, включая -6, часть числовой строки между -6 и
8 был затемнен.

Решение абсолютного значения
Неравенство

Шаг 1: изолировать
выражение абсолютного значения.

Если есть константа, которая находится на той же стороне
неравенство, которое
выражение абсолютного значения находится, но не находится внутри абсолютного значения,
используйте обратные операции, чтобы изолировать абсолютное значение.

Шаг 2: Используйте
определение абсолютного значения для установления неравенства без абсолютного
значения.

Напоминаем, что абсолютное значение измеряет
DISTANCE число
находится далеко от начала координат (нуля) числовой прямой. Независимо от того, если
в
число находится слева (отрицательное) или справа (положительное) от нуля на
номер
линии, РАССТОЯНИЕ от нуля будет положительным. Следовательно,
абсолютное значение всегда положительно (или ноль, если вы берете
абсолютный
значение 0).

Если вам нужен обзор абсолютных значений, не стесняйтесь
to Учебное пособие
21. Уравнения абсолютных значений
.

Если d ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ
и | x |
, затем

-d

На приведенном ниже графике показаны все значения числа
линия, чья
расстояние будет меньше d единиц
из
0.Это показывает нам, почему мы устанавливаем неравенство, показанное выше, способом
мы делаем.

Если d ОТРИЦАТЕЛЬНО
и | x |
, затем

решения нет

Абсолютное значение всегда положительное, а любое положительное
число больше
чем любое отрицательное число, поэтому это не будет решением.

Если d — это
ПОЛОЖИТЕЛЬНО и | x | > d,
, затем

х <-d ИЛИ x> d

График, показанный ниже, иллюстрирует все значения на
числовая строка
расстояние между которыми было бы больше d единиц
от 0.Это показывает нам, почему мы устанавливаем неравенство, показанное
выше,
как мы это делаем.

Если d ОТРИЦАТЕЛЬНО
и | x |
> d,
, затем

x — все действительные числа

Абсолютное значение всегда положительное, а любое положительное
число больше
чем любое отрицательное число, поэтому все действительные числа будут работать.

Эти линейные неравенства решаются точно так же, как
показанные выше.

Выражение абсолютного значения уже выделено.

Расстояние, на котором находится выражение x — 4
находится вдали от начала координат, должно быть меньше 7.

Все числа от -7 до 7 находятся на расстоянии менее 7 единиц.
от происхождения.
Итак, выражение x -4 должно быть
между
-7 и 7.

Интервальное обозначение:

График:

* Инв. суб. 4 — доп. по 4
* Применить шаги ко всем трем частям

* Все значения от -3 до 11

* Наглядно показаны все числа
от -3 до
11

Обозначение интервала:
На этот раз у нас есть открытый интервал, поскольку мы не включаем ни
конечная точка. x составляет от -3 до 11,
так
-3 — наше наименьшее значение интервала, поэтому оно идет слева, а 11
идет направо. Изогнутый конец на обоих числах означает
открытый промежуток с обеих сторон.

График :
Опять же, мы используем тот же тип обозначений для конечных точек, что и
в обозначении интервалов — загнутый конец на обоих концах. С
нам нужно было указать все значения от -3 до 11, часть
в
числовая линия между -3 и 11 была затемнена.

Выражение абсолютного значения уже выделено.

Будьте осторожны, так как абсолютное значение (слева)
всегда позитивный,
а положительные значения всегда больше отрицательных, ответ
нет решения.
Нет никакого значения, которое мы можем ввести для x , которое сделало бы это неравенство истинным.

* Инв. доп. 1 является суб. 1

* Абс. значение эксп. изолированный

Расстояние, на котором выражение (7
— 2 y ) / 2
находится далеко от начала координат, должно быть больше или равно 4.

Все числа, которые меньше или равны — 4 ИЛИ
больше или равно
до 4 больше или равно 4 единицам от начала координат.
Так
выражение (7-2 y ) / 2 должно быть
меньше
чем или равно — 4 ИЛИ больше или равно 4.

ИЛИ

Интервальное обозначение:

График:

* Первое неравенство, где оно
меньше или
= до -4

* Инв.из div. на 2 есть мульт. по 2

* Инв. из мульт. на -2 — это div. от
-2,
, значит, обратный знак неравенства

* Второе неравенство, где оно
больше чем
или = до 4

* Инв.из div. на 2 есть мульт. по 2

* Инв. из мульт. на -2 — это div. от
-2,
, так что знаки неравенства меняются местами

* Все значения меньше или = до
-1/2 или больше
чем или = до 15/2

* Наглядно показаны все числа
меньше или =
до -1/2 или больше или = до 15/2

Обозначение интервала:
На этот раз у нас есть два закрытых интервала, так как мы включаем
конечные точки
-1/2 и 15/2.

В первом интервале y меньше или
равно -1/2, поэтому -1/2 — это самое большое значение интервала, поэтому оно идет
справа. Поскольку у этого первого нет нижнего конца
интервал
мы помещаем отрицательную бесконечность в левую часть. Конец в штучной упаковке на -1/2
указывает закрытый интервал. У бесконечности всегда изогнутый конец
так как
на той стороне нет конечной точки.

Во втором интервале y больше
чем или равно 15/2, поэтому 15/2 — наше наименьшее значение интервала, поэтому
он идет слева. Поскольку нет верхней конечной точки этого
второй
интервал ставим символ бесконечности справа. В штучной упаковке
конец 15/2 означает закрытый интервал. У бесконечности всегда есть
изогнутый
конец, потому что на этой стороне нет конечной точки.

График :
Опять же, мы используем тот же тип обозначений для конечных точек, что и
в обозначении интервала — конец в рамке как на y = -1/2, так и на y = 15/2. С тех пор, как мы
нужный
для обозначения всех значений меньше или равных -1/2 ИЛИ больше или
равный
до 15/2, части числовой строки слева от -1/2 и
справа от 15/2 затемнены.

Выражение абсолютного значения уже выделено.

Опять же осторожно — так как абсолютное значение (левое
сторона) всегда
положительные и положительные значения всегда больше отрицательных значений,
Ответ — все реальные числа.
Независимо от того, какое значение вы подключаете
для x , когда вы берете абсолютное значение
в
левая сторона будет положительной. Все положительные числа больше, чем
-2.

Практические задачи


Это практические задачи, которые помогут вам
следующий уровень.
Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы
эти
типы проблем. Math работает так же, как
что-нибудь
иначе, если вы хотите добиться успеха в этом, вам нужно практиковаться
Это.
Даже лучшие спортсмены и музыканты получали помощь и много
практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы стать лучше в своем виде спорта или инструменте.

На самом деле не бывает слишком много практики.

Чтобы получить максимальную отдачу от них, вы должны работать
проблема на
свой собственный, а затем проверьте свой ответ, щелкнув ссылку для
ответ / обсуждение
для этой проблемы
. По ссылке вы найдете ответ
а также любые шаги, которые позволили найти этот ответ.

Практика
Задачи 1a — 1c:
Решите, запишите ответ через интервал
обозначения и график
набор решений.

Практика
Задачи 2a — 2d:
Решите, напишите ответ через интервал
обозначения и график
набор решений.

Нужна дополнительная помощь по этим темам?



Видео на этом сайте были созданы и продюсированы Ким Сьюард и Вирджиния Уильямс Трайс.
Последнее изменение 17 декабря 2009 г. Ким Сьюард.
Авторские права на все содержимое (C) 2002 — 2010, WTAMU и Kim Seward.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2021 © Все права защищены.