Алгоритм решения системы линейных уравнений, алгебра 7 класс

Система линейных уравнений и её решение

Определение:

Системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными называются два уравнения, объединенные фигурной скобкой.

Фигурная скобка означает, что эти уравнения должны быть решены одновременно.

В общем виде систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными записывают так :

а₁, b₁, c₁, а₂, b₂, c₂ – числа , х и у – неизвестные.

Определение:

Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.

Решить систему уравнений — это значит найти все её решения или установить, что их нет.

Способы решения систем уравнений с двумя неизвестными

Графический

Подстановки

Сложения

1. Выразить у через х в каждом уравнении

2. Построить в одной системе координат графики каждого уравнения

3. Определить координаты точки пересечения: х ≈…; у ≈…

Записать ответ: ( х; у ).

1. Из какого-либо уравнения выразить одну переменную через другую;

2. Подставить полученное выражение для переменной в другое уравнение и решить его;

3. Сделать подстановку найденного значения переменной и вычислить значение второй переменной.

Записать ответ: ( х ; у ).

1. Уравнять модули коэффициентов при какой-нибудь переменной;

2. Сложить почленно уравнения системы;

3. Решить новое уравнение и найти значение одной переменной;

4. Подставить значение найденной переменной в одно из уравнений и найти значение другой переменной.

Записать ответ: ( х ; у ).

Ответ: ( 4; 6 )

1. Выразим из второго

уравнения х:

2. Подставим полученное выражение в первое уравнение и решим его:

3 (35 – 5у) + 2у = 27,

105 – 15у + 2у = 27,

–13у = – 78,

у = 6

3. Найдем х, подставив во второе уравнение вместо у → 6 :

х = 35 – 5 · 6 = 5

х = 5

Ответ: ( 5; 6 )

1. Уравняем модули коэффициентов перед у

|* ( — 3 )

2. Сложим почленно уравнения:

– 21х + 17х = – 3 – 9

3. Решим новое уравнение:

– 21х + 17х = – 3 – 9

– 4х = – 12

х = 3

4. Найдем у, подставив в одно из уравнений вместо х → 3:

Ответ: (3; — 10)

Алгебра 7.

Системы уравнений. Алгоритм решения | Учебно-методическое пособие по алгебре (7 класс):

Решение систем уравнений

1 способ – способ подстановки

1. ,    выбрать удобное уравнение (с коэффициентом 1 при переменной)

;    выразить эту переменную  (получить подстановку)

2. ,     выписать другое уравнение

,  подставить в него выражение одной переменной

,                                          через другую (подстановку)

,     решить уравнение

,

,

;

3. ,                вычислить значение другой переменной

;

                           составить ответ в виде точки

Ответ.  

………………………………………………………………………………………………………………………………….

Решение систем уравнений

1 способ – способ подстановки

1. ,    выбрать удобное уравнение (с коэффициентом 1 при переменной)

;    выразить эту переменную  (получить подстановку)

2. ,     выписать другое уравнение

,  подставить в него выражение одной переменной

,                                          через другую (подстановку)

,     решить уравнение

,

,

;

3. ,                вычислить значение другой переменной

;

                           составить ответ в виде точки

Ответ.  

2 способ – способ алгебраического сложения

       сложить уравнения системы (или вычесть), добиться уничтожения

                                                                                 одной переменной                                                       

,    ;   вычислить переменную

,       выбрать одно из уравнений

,        подставить найденное значение переменной

,        вычислить значение другой переменной

,

,

;                  составить ответ в виде точки

Ответ.  

2 способ – способ алгебраического сложения

       сложить уравнения системы (или вычесть), добиться уничтожения

                                                                                 одной переменной                                                       

,    ;   вычислить переменную

,       выбрать одно из уравнений

,        подставить найденное значение переменной

,        вычислить значение другой переменной

,

,

;                  составить ответ в виде точки

Ответ.  

Алгебра, 7 класс «системы линейных уравнений и способы их решения»

Слайды и текст этой онлайн презентации

Слайд 1

Алгебра, 7 класс «Системы линейных уравнений и способы их решения»

Слайд 2

Знаете ли вы?

1. Какую математическую модель называют линейным уравнением с двумя переменными? 2. Что является решением системы уравнений с двумя переменными? 3. Что значит решить систему уравнений?

Слайд 3

Способы решения систем уравнений

1. Графический способ. 2. Способ подстановки. 3. Способ сложения.

Слайд 4

Алгоритм решения системы уравнений графическим способом

Слайд 5

Решить систему уравнений

Рассмотрим первое уравнение

Выразим из этого уравнения y через x .

Для построения графика найдем две точки.

Слайд 6

Построим график

Слайд 7

Рассмотрим второе уравнение

Выразим из этого уравнения y через x .

Слайд 8

Построим график второй функции

Слайд 9

Найдем координаты точки пересечения прямых

Слайд 10

Координаты точки пересечения прямых ― это решение системы

В этом случае говорят, что система решена графически

Слайд 11

Три случая взаимного расположения двух прямых

1. Прямые пересекаются.

То есть имеют одну общую точку.

Тогда система уравнений имеет единственное решение.

Например, как в рассмотренной системе

Слайд 12

Три случая взаимного расположения двух прямых

2. Прямые параллельны.

То есть не имеют общих точек.

Тогда система уравнений решений не имеет.

Например:

Слайд 13

Три случая взаимного расположения двух прямых

3. Прямые совпадают.

Например:

Тогда система уравнений имеет бесконечно много решений.

Слайд 14

Но

при графическом способе решения системы уравнений обычно получается приближенное решение

Слайд 15

Алгоритм решения системы уравнений способом подстановки

Слайд 16

Способ подстановки

Этот способ удобен тогда, когда хотя бы один из коэффициентов при x или y равен 1 или -1.

Дана система уравнений

Рассмотрим каждое уравнение в отдельности.

1) Выразим одно из неизвестных через другое неизвестное из любого уравнения.

Слайд 17

Способ подстановки

Вернемся в систему:

2) Полученное для y выражение подставим вместо данной неизвестной во второе уравнение.

Получилось уравнение с одной неизвестной

Слайд 18

Способ подстановки

3) Решаем уравнение с одной неизвестной:

Возвращаемся к системе:

Слайд 19

Способ подстановки

Возвращаемся к системе:

4) Подставим найденное значение x в первое уравнение и найдем вторую неизвестную

Запишем ответ.

Ответ:

Слайд 20

Алгоритм решения системы уравнений способом сложения

Слайд 21

Способ сложения

Задача 1. Решить систему уравнений

В тех случаях, когда в обоих линейных уравнениях системы при каком-либо из неизвестных коэффициентами являются противоположные числа, удобно применять способ алгебраического сложения уравнений.

Слайд 22

Способ сложения

Сложим эти равенства почленно. В результате получим тоже верное равенство

+

Слайд 23

Способ сложения

Вернемся в систему, записав одно из исходных уравнений и полученное значение x.

Подставим найденное значение x во второе уравнение, найдем вторую неизвестную.

Тогда пара чисел (5; 4) и будет решением системы.

Ответ:

Слайд 24

Способ сложения

Задача 2. Решить систему уравнений

1) Выберем неизвестную (например x).

уравняем коэффициенты умножением на соответствующие числа.

2) Вычтем одно уравнение из другого.

3) Решим полученное уравнение с одним неизвестным

Слайд 25

Способ сложения

4) Вернемся в систему, записав одно из исходных уравнений и полученное значение y

5)  Подставим найденное значение y в первое уравнение, найдем вторую неизвестную.

Тогда пара чисел (-3; 1) и будет решением системы.

Ответ:

Слайд 26

Решите следующие системы уравнений:

Слайд 27

Урок закончен.

Спасибо за внимание.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Краснослободская основная школа

О дате создания МБОУ Краснослободская ОШ:

Распоряжение главы администрации Борского района Нижегородской области о регистрации учреждения:

№21 от 03.02.1994г. (Регистрационный номер 1254–р)

Юридический адрес:

606458, Российская Федерация, Нижегородская область, городской округ город Бор, Краснослободской сельсовет, д.Красная Слобода, ул.Центральная, д.23

Фактический адрес:

606458, Российская Федерация, Нижегородская область, городской округ город Бор, Краснослободской сельсовет, д.Красная Слобода, ул.Центральная, д.23

Время/режим работы: ПН-ПТ: 06.00 — 18.00

Контактный номер телефона (факс):

8 (83159) 31126; 8 (83159) 31156

Директор: Лезов Николай Николаевич

Часы приема родителей: понедельник, пятница — 8. 00-12.00 ч.

Учредителем ОУ является муниципальное образование городской округ город Бор Нижегородской области. Функции и полномочия Учредителя осуществляет администрация городского округа город Бор Нижегородской области.

Местонахождение Учредителя:

606440, Нижегородская область, г. Бор, улица Ленина, д. 97.

Сайт: http://www.borcity.ru/

График работы: понедельник — пятница, 8.00-17.00

Отдельные функции и полномочия Учредителя осуществляет Управление народного образования администрации городского округа г. Бор.

Местонахождение Управления народного образования:

606440, Нижегородская область, г. Бор, улица Ленина, д. 130.

Начальник: Алексеева Людмила Анатольевна

Тел.: 8 (83159) 2-17-87

Полномочия собственника от имени городского округа город Бор Нижегородской области осуществляет Департамент имущественных и земельных отношений администрации городского округа город Бор Нижегородской области (далее – Собственник).

Местонахождение Собственника:

606440, Нижегородская область, г. Бор, улица Ленина, д. 97.

V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся Старт в науке

Приемы решения линейных уравнений с одной переменной от Древнего Египта до наших дней

Николаева М.В. 1

1МБОУ СОШ №8

Петрунина Е.В. 1

1МБОУ СОШ № 8

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

Введение.

Уравнения для меня важнее, потому что

политика — для настоящего,

а уравнения — для вечности

Альберт Эйнштейн

Алгебра, как искусство решать уравнения, зародилась очень давно в связи с потребностью практики, в результате поиска общих приёмов решения однотипных задач. Самые ранние, дошедшие до нас рукописи свидетельствуют о том, что в Древнем Вавилоне и Древнем Египте были известны приёмы решения линейных уравнений. Теория уравнений интересовала и интересует математиков всех времён и народов, потому что уравнения играют важную роль для человека в повседневной жизни. Я тоже заинтересовалась вопросом: «Как можно легче и быстрее решить уравнение? Какие существуют методы и алгоритмы их решения? Что значит решить уравнение? Что значит исследовать уравнение?» Я думаю, что если найти новые приемы решения уравнений, то можно повысить интерес к математике и успеваемость моих одноклассников.

Класс линейных уравнений — первый в курсе алгебры, поэтому от характера его изучения в значительной мере зависит успешное освоение всей темы «Уравнения».

Можно все линейные уравнения решать, опираясь на два известных тождественных преобразований. Но это путь маленькими шажочками по длинной дороге, что часто приводит к большому количеству вычислительных ошибок. В этом я убедилась на собственном опыте. Я решила помочь себе и своим одноклассникам и найти новые методы для более качественного освоения такой важной темы, как линейные уравнения.

Гипотеза исследования: существуют другие приемы решения линейных уравнений с одной переменной.

Цель работы: систематизировать линейные уравнения по их решениям, познакомиться с новыми приемами решения.

Задачи:

Проанализировать, что мне известно о линейных уравнениях из школьного курса математики;

Найти и изучить новые приемы решения линейных уравнений;

Познакомить одноклассников с новыми приемами решения линейных уравнений;

Провести сравнительный анализ достижений в решении уравнений

Объект исследования: линейные уравнения

Предмет исследования: приёмы решения линейных уравнений с одной переменной.

Методы исследования: опрос (анкетирование) учащихся 6-7 классов МБОУ СОШ №8 г. Калуги, анализ литературы, диагностика.

Актуальность

По моему мнению, математика — предмет, без которого не может быть изучено ни одно явление, ни один процесс в окружающем мире. Применение математических исчислений, в том числе линейных уравнений, является составной частью в новых научных исследованиях и вносит большой вклад в развитие современной науки и технического прогресса в целом.

Уравнения в математике занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.) А также изучение математики развивает у человека логическое мышление, память, гибкость ума, приучает его к точности, к умению видеть главное, сообщает необходимые сведения для понимания сложных задач, возникающих в различных областях деятельности современного человека.

В своей работе я хочу показать разные способы решения уравнений, возможно, некоторые из них будут легче, некоторые интереснее для учеников, и решение уравнений уже не станет для них бесполезным и непонятным делом.

Для подтверждения гипотезы и выполнения поставленных нами задач было проведено анкетирование учащихся на базе МБОУ СОШ №8 г. Калуги. Результаты моей исследовательской деятельности отражены во второй главе.

Новизна

Существуют разные способы решения уравнений, но многими из них мы не пользуемся, а некоторые даже и не знают об их существовании. Новизна моей работы заключается в изучении данной проблемы на примере успеваемости учащихся 6-7 классов моей школы и в анализе различных способов решения уравнений.

Основная часть

Глава 1. Основные понятия. Линейные уравнения: исследование, способы решений, уравнения, приводимые к линейным.

1.1. Исторический экскурс.

Кто придумал уравнения? Ответить на этот вопрос невозможно! Задачи, приводящие к решению простейших уравнений, люди решали на основе здравого смысла. Еще 3–4 тысячи лет до нашей эры египтяне и вавилоняне умели решать простейшие уравнения, вид которых не был похож на современные. Греки унаследовали знания египтян и пошли дальше. Наибольших успехов в развитии учения об уравнениях достиг греческий ученый Диофант¹.

“Он уйму всяких разрешил проблем.

И засухи предсказывал и ливни.

Поистине его познанья дивны”

В одном из древних рукописных сборников задач в стихах жизнь Диофанта описывается в виде следующей алгебраической загадки, представляющей надгробную надпись на его могиле:

«Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей—и камень

Мудрым искусством его скажет усопшего век.

Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.

И половину шестой встретил с пушком на щеках.

Только минула седьмая, с подругою он обручился.

С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец;

Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.

Отнят он был у отца ранней могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,

Тут и увидел предел жизни печальной своей»

Задача-загадка сводится к составлению и решению уравнения:

Решение этого уравнения я рассмотрю позднее.

Большой вклад в преобразование линейных уравнений внес среднеазиатский ученый математик, астроном, историк, географ — один из крупнейших ученых средневековья Мухаммед аль Хорезми (IX век). Его труды по арифметике, изложенные в «Книге об индийском счете», привели к грандиозным последствиям в науке вообще и древней математики в частности.

Аль — Хорезми написал сочинение «Китаб аль — джебр валь — мукабала». На русский переводится как: «Книга о восстановлении и противопоставлении». О каком восстановлении и противопоставлении идет речь?

Рассмотрим решение уравнения: 5x – 9 = 12 — 2x

Вот так рассуждал в своём сочинении аль Хорезми: «-9 перенесём вправо с противоположным знаком и -2x влево, тоже с противоположным знаком: 5x + 2x = 12 + 9

Минусов нет, приведём подобные члены: 7x = 21. Выполняем деление: х = 3

Число 9 было слева от знака равенства, мы его не стали писать с этой стороны, а восстановили (аль — джебр) справа.

Выражение -2х было справа от знака равенства, мы его уничтожили там, но восстановили (аль — джебр) слева. Потом сложили 5х и 2х, сопоставив их рядом (валь – мукабала), а потом поступили так же с 12 и 9»

1.2. Основные понятия.

Уравнение — это равенство, которое выполняется лишь при некоторых значениях входящих в него переменных. Решить уравнение — это значитнайти все значения неизвестных, при которых оно обращается в верное числовое равенство, или установить, что таких значений нет. Такие значения называются корнем уравнения. Корень уравнения — это такое значение переменной, при подстановке которого уравнениеобращается в верное числовое равенство².

Можно провести исследование уравнения. Что это значит? Это значит рассмотреть все особые случаи, которые могут представиться при решении его, и уяснить значение этих случаев для той задачи, из условий которой уравнение составлено. При исследовании уравнения мы подходим более основательно, рассматриваем все особые случаи, которые могут встретиться при его решении. При самом решении уравнении, нашей основной задачей является найти значения переменной

Объектом исследования в работе я выбрала линейные уравнения. Проанализировав теоретический материал учебника, я заметила, что он ограничен только общей теорией и алгоритмом решения простейшего линейного уравнения. Но этого недостаточно для решения задач разного уровня сложности. Поэтому на первом этапе работы я классифицировала методы решения линейных уравнений, опираясь на целесообразность применения тех или иных преобразований. В классификацию были включены также уравнения, решения которых сводится к линейным.

тип – преобразование уравнений;

тип – нахождение общего знаменателя;

тип – пропорция;

тип — уравнение с модулем

тип – уравнение с параметром

1.3. Линейные уравнения

Линейное уравнение с одной переменной — это уравнение, приводимое к виду ax = b, где x – переменная , a и b – некоторые числа.

Разберёмся, сколько корней может иметь линейное уравнение? Количество корней зависит от значений a и b:

Когда a = b = 0, т.е. уравнение принимает вид 0х = 0, решением данного уравнения является х — любое число, т.е у него есть неограниченное количество решений.

Когда a = 0, b ≠ 0, т.е. уравнение принимает вид 0х = b, данное уравнение не имеет корней. А еще говорят, что его решение – пустое множество.

Когда a ≠ 0, b≠ 0 у уравнения есть только один корень x =

1.4 .Способы решения линейных уравнений

Фальшивое правило.³ Способ решения, примененный Ахмесом, называется методом одного ложного положения, использовался метод в Древнем Египте и Вавилоне.

Уравнение первой степени с одним неизвестным мо­жно привести всегда к виду ах + b = с, в котором а, b, с — целые числа. По правилам арифметических действий ах = с — b,

Если b > с, то с — b число отрицательное. (Отрицательные числа были египтянам и многим другим, более поздним народам неизвестны, равноправно с положительными числами их стали употреблять в математике только в семнадцатом веке).

В папирусе Ахмеса 15 задач решается этим методом. Египтяне имели особый знак для обозначения неизвестного числа, который до недавнего прошлого читали “хау” и переводили словом “куча” (“куча” или “неизвестное количество” единиц). Теперь читают неточно: “ага”.

Познакомиться с рассуждениями автора можно в приложении⁴.

Метод «Пристального взгляда» Иногда корень уравнения можно легко увидеть, например, в уравнении 2х + 1 = 3 корень х = 1.

Но чаще всего, чтобы решить уравнение, его надо преобразовать. Для этого используются свойства, которые можно найти в приложении 2.⁵

3. Школьный способ — алгоритмический ⁶

На просторах Internet я нашла видео, в котором рассказывают, как учат американских школьников решать линейные уравнения. Они предлагают два способа: для ленивых и для талантливых учеников.

4.1. Американский способ для «ленивых» учеников⁷

25х + 5 = 105

Первое, что нужно сделать – вычесть с обеих сторон 5, т.е. надо выполнить действие обратное данному. Учитель заставляет ленивых школьников писать все шаги (steps).

Получится: 25х + 5 = 105

+ -5 -5

Подводим черту и выполняем действие, получаем уравнение

25х = 100

Дальше обе стороны уравнения делим на 25:

= ; х = 4

4.2. Американский способ для талантливых детей. Основная идея его состоит в том, что все наши действия идут от обратного:

25х + 5= 105

В уме берём 105 и переходим в обратную сторону и делаем обратное действие:

105 — 5 = 100,

Получаем 25х = 100, но этот результат не записываем, а держим его в уме.

Еще раз идём в обратную сторону и делаем обратное действие

100: 25 = 4

х = 4

Запись в тетради выглядит так,

5. Метод полных форм⁸. Если нам удалось преобразовать уравнение к виду ax + b = cx +d – полная форма линейного уравнения

ax – cx = d – b

x(a — c) = d – b

x =

Если d = b, a = c, то уравнение имеет бесконечно много решений.

Если d ≠ b, a = c, то уравнение не имеет решений.

Далее я хочу рассмотреть несколько типов уравнений, которые сводятся к линейным уравнениям

1.5. Уравнения, приводимые к линейным

I. Нахождение общего знаменателя.

Рассмотрим решение уравнения Диофанта⁹.

Вот сколько лет жил Диофант.

II. Уравнение — пропорции¹⁰:

Пропорцией называется равенство двух отношений:

= или a : b = с : d.

При решении таких уравнений разумно пользоваться основным свойством пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних ее членов: ad = bc

Используя это свойство, решим уравнение:

=

7(5х — 4) = 2(16х + 1)

35х – 28 = 32х + 2

35х – 32х = 2 + 28

3х = 30

х = 30: 3

х = 6

Ответ: 6

Уравнения с модулями

Модуль числа – это абсолютная величина этого числа, т. е.

Модуль числа не может быть равен отрицательному числу.

∣x — 4∣ = 5

х – 4 = 5 или х – 4 = -5

х = 9 х = -1

Ответ: -1; 9.

Уравнение с параметром¹¹.

Уравнение с параметром – это уравнение, в котором некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами (параметрами). Такие уравнения называют еще параметрическими.

Решить такое уравнение – это значит, для всех значений параметра найти все решения. Если хотя бы один случай остался неисследованным, признать такое решение удовлетворительным нельзя. Требуется указать возможные значения параметра, при которых уравнение обладает определенными свойствами. Например, имеет одно решение, не имеет решений, имеет решения, принадлежащие промежутку и т. д. В таких заданиях необходимо четко указать, при каком значении параметра требуемое условие выполняется.

а) Рассмотрим уравнение: х (а – 2) = 4;

При а = 2, (а – 2) = 0, получим уравнение 0х = 4, которое не имеет корней.

Если а – 2 ≠ 0, а ≠ 2, то х =

б) Найдите все целые значения а, при которых корень уравнения ах = 8 является целым числом.

Решение. Найдем значение х при а ≠ 0, х = . Чтобы корень уравнения был целым числом, необходимо, чтобы а являлось делителем числа 8. Следовательно, а = {-8; -4; -2; -1; 1; 2; 4; 8}

Глава 2. Экспериментальная часть

Эксперимент №1. Изучение потребностей учеников 6 — 7 классов в изучении данной темы.

Для того чтобы выяснить актуальность исследуемой темы, мы решили провести опрос среди учащихся 6-7 классов нашей школы. Опрос проводился посредством анкетирования. Респондентам были заданы вопросы¹²: Математику назвали интересным предметом — 76% опрошенных, 83 % — оценили свои знания как хорошие и удовлетворительные.

Многие учащиеся испытывают трудности при изучении предмета.

Эксперимент №2. Диагностика умения решать уравнения

Практическая часть включает в себя изучение динамики развития навыков решения линейных уравнений с одной переменной. Была выдвинута следующая гипотеза: владение новыми способами решения уравнений повышает интерес учащихся к предмету и дает возможность сократить время вычислений. Объекты исследования: учащиеся 7а и 7б классов.

Этапы исследования:

Проверка имеющихся навыков решения уравнений;

Знакомство учащихся с новыми способами решения уравнений;

Проведение повторной диагностики;

Подведение результатов исследования.

В данном исследовании приняло участие 54 семиклассника моей школы.

Для проверки имеющихся навыков мы провели диагностическую работу, в которую включили четыре уравнения. На первом этапе (октябрь 2017 года) работы учащиеся показали, что существуют определённые сложности при решении уравнений. Основные ошибки: перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, смена знака при переносе слагаемых и нахождение значения переменной. Следующим этапом нашей работы (ноябрь — декабрь) был поиск, изучение и отработка новых способов решения уравнений. После этого (январь 2018 года) был проведен повторный срез, который показал, что учащиеся в 1,5 раза быстрее справились со своими заданиями, допустив гораздо меньше ошибок. Результаты работы приведены в приложении 6 ¹³.

В работах учащихся уверенно прослеживается динамика развития навыков решения уравнений и повышения интереса к ним. Исследование показало, что после того как одноклассники узнали больше по решению линейных уравнений, у них повысился интерес к изучаемой теме, а вместе с ним повысились их результаты.

Заключение

Изучив математическую литературу в данной научной исследовательской работе, были проанализированы различные приёмы решения линейных уравнений с одной переменной, в том числе фальшивое правило и американская методика решения уравнений, что повысило интерес учащихся к данной теме. Также были решены поставленные задачи исследования: проанализирован материал школьного курса математики о линейных уравнениях; найдены и изучены новые приемы решения линейных уравнений; одноклассники узнали новые приемы решения линейных уравнений; проведен сравнительный анализ достижений в решении уравнений.

На основе поставленных задач и проведенных методов была достигнута поставленная цель по систематизации линейных уравнений, по их решениям, знакомству с новыми приемами решения.

Доказана гипотеза, что существуют другие приемы решения линейных уравнений, подтвердилась.

Список использованных источников и литературы

Алимов, Ш. А. Алгебра: Учебник для 7 класса средней школы / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. – М.: Просвещение, 1991. – 191 с.: ил.

Мерзляк, А. Г. Алгебра: 7 класс: учебник для учащихся общеобразовательных организаций / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. – 2-е изд., дораб. – М.: Вентана-Граф, 2017. – 272 с.: ил.

Мордкович, А. Г. Алгебра 7 кл. В двух частях. Ч. 1: Учебник для образовательных учреждений. / А. Г. Мордкович, – 5-е изд. – М.: Мнемозина, 2002 . – 160с.: ил.

Парканова, С. И., Линейные уравнения// С. И. Парканова, С. И. Ревтова, Т. М. Катлерова. Школьная педагогика. – 2016. – №2. – С. 19-22.

Пичурин, Л. Ф. За страницами учебника алгебры: Кн. для учащихся 7-9 классов средней школы/ Л. Ф. Пичурин – М.: Просвещение, 1990. – 224с.: ил.

www.uic.unn.ru/~zny/miscellanea/Miscellanea/Magnitski.ps

Приложение

Приложение 1.

“Куча. Ее седьмая часть (подразумевается: “дают в сумме”) 19. Найти кучу”.

Запишем задачу нашими знаками:

Решение Ахмеса может быть представлено в наших символах в следующих четырех столбцах:

Опишем это решение

1) Делается предположение, что куча есть 7; тогда ее часть есть 1. (Это записано в первом столбце)

2) Во втором столбце записано, что при предположении х = 7 куча и ее часть дали бы 8 вместо 19.

3) Удвоение предположения дает 16

4) Автор, (в уме), прикидывает, что дальше удваивать предположение нельзя, так как тогда получится больше 19.

5) Он записывает 16, ставит перед числом две точки для обозначения удвоения первоначального предположения и отмечает значком (у нас — звездочкой) результат;

6) для получения в сумме 19 первоначальное предположение надо умножить — на 2 с некоторым добавлением, так как для получения точного результата, 19, не хватает еще 19—16=3.

7) Ахмес находит от 8, получает 4. Так как это больше нехватки 3, то на предположение умножить нельзя.

8) Но от 8 есть 2, 9) от восьми 1.

9) Ахмес видит, что и первоначального результата дают точно те 3 единицы, которых не хватало.

10) Отметив и значками, Ахмес убедился, что первоначальное предположение для кучи (7) надо помножить на

11) Умножение числа 7 на смешанное число Ахмес заменяет умножением смешанного числа на 7. В третьем столбце выписаны: часть искомой кучи есть , удвоенное это число: и учетверенное: . Сумма этих трех чисел, равная числу , есть произведение первоначального предположения 7 на .

12) Итак, куча равна .

В последнем столбце Ахмес делает проверку, складывая полученное значение для кучи и его части . В сумме получается 19, и решение заканчивается обычным для автора заключением: “Будет хорошо”.

Приложение 2.

Приложение 3.

Алгоритм решения линейных уравнений с одной переменной.

Приложение 4.

Приложение 5.

Эксперимент №1. Изучение потребностей учеников 6 — 7 классов в изучении данной темы.

Приложение 6.

Эксперимент №2. Диагностика умения решать уравнения

Диагностическая работа

Решите уравнения:

25х + 5 = 105

4х – (60 — 3х) = 10х + (22 +2х)

Результаты исследования

1 ^{www.uic.unn.ru/~zny/miscellanea/Miscellanea/Magnitski.ps}

2 ^{Алгебра: 7 класс: учебник для учащихся общеобразовательных организаций. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир.}

3 ^{www.uic.unn.ru/~zny/miscellanea/Miscellanea/Magnitski.ps}

4 ^{Приложение 1}

5 ^{Приложение 2}

6 ^{Приложение 3}

7 ^{https://www.youtube.com/watch?v=ZRPlh6sFHbk}

8 ^{www.uic.unn.ru/~zny/miscellanea/Miscellanea/Magnitski.ps}

9 ^{Приложение 4}

10 ^{.Алгебра: Учебник для 7 класса средней школы. Ш. А. Алимов,}

11 ^{Алгебра 7 класс. В двух частях. Ч. 1: Учебник для образовательных учреждений. А. Г. Мордкович}

12 ^{Приложение 5}

13 ^{Приложение 6}

Просмотров работы: 1360

Линейное уравнение с одной переменной. Алгебра ч.1

1. Решение линейного уравнения с одной переменной

Одним из самых простых и в то же время очень важных видов математических моделей реальных ситуаций являются известные вам из курса математики 5—6-го классов линейные уравнения с одной переменной. Приведём примеры линейных уравнений: 3х = 12, 5у — 10 = 0, 2а + 7 = 0 и т. д. Решить линейное уравнение — это значит найти все те значения переменной, при каждом из которых уравнение обращается в верное числовое равенство. Каждое такое значение переменной называют корнем уравнения. Так, уравнение 3х = 12 имеет корень х = 4, поскольку 3 • 4 = 12 — верное равенство, причём других корней нет; уравнение 5у — 10 = 0 имеет корень у = 2, поскольку 5 • 2 — 10 = 0 — верное равенство, причём других корней нет; уравнение 2а + 7 = 0 имеет корень а = -3,5, поскольку 2 • (-3,5) + 7 = 0 — верное равенство, причём других корней нет.
Вообще линейным уравнением с одной переменной х называют уравнение вида ах + b = 0, где а и b — любые числа (коэффициенты). Если а = 0 и b = 0, т. е. уравнение имеет вид 0 • х + 0 = 0, то корнем уравнения является любое число (бесконечное множество корней). Если а = 0 и b ≠ 0, т. е. уравнение имеет вид 0 • х + b = 0, то ни одно число этому уравнению не удовлетворяет; говорят, что уравнение не имеет корней.
Рассмотрим наиболее часто встречающийся случай, когда а ≠ 0. Рассуждаем так:
1) ах + b = 0, значит, ах = -b; фактически слагаемое b перенесли из левой части уравнения в правую с противоположным знаком;
2) ах = -b, т. е. произведение чисел а и х равно -b; но тогда множитель х равен частному от деления произведения -b на второй множитель. Значит, х = (-b) : а. Вместо знака деления можно использовать черту дроби: х = -b/a.
Фактически мы выработали определённую программу действий, определённый порядок ходов — в математике в таких случаях используется термин алгоритм — для решения линейного уравнения.

Алгоритм решения линейного уравнения ах + b = 0 в случае, когда а ≠ 0.
1. Преобразовать уравнение к виду ах = -b.
2. Записать корень уравнения в виде х = (-b) : а, или, что то же самое, х = -b/a.
А как быть, если уравнение записано в более сложном виде, например 2х — 2 = 10 — х?
Рассуждаем так. Два выражения равны тогда и только тогда, когда их разность равна нулю: (2х — 2) — (10 — х) = 0. Воспользуемся известными из курса математики 5—6-го классов правилами раскрытия скобок и приведения подобных членов:
2х — 2 — 10 + х = 0;
3х — 12 = 0;
3х = 12;
х = 4.
Такие уравнения вы уже решали в курсе математики 5—6-го классов. Обобщим проведённые рассуждения, оформив их в виде ещё одного полезного алгоритма.

Алгоритм решения уравнения ах + b = сх + d (а ≠ с)
1. Перенести все члены уравнения из правой части в левую с противоположными знаками.
2. Привести в левой части подобные слагаемые, в результате чего получится уравнение вида kx + m = 0, где k ≠ 0.
3. Преобразовать уравнение к виду kx = -m и записать его корень: х = —m/k.

Именно так было решено уравнение, которое получилось в предыдущем параграфе в примере 1.

2. Решение примеров
Решить уравнение 2у/3 + 7/8 = 5у/6 — 1/4.
Первый способ. Воспользуемся алгоритмом:
Второй способ. Прежде чем применять алгоритм, умножим обе части уравнения на 24 — это наименьший общий знаменатель имеющихся дробей. При этом мы пользуемся тем, что если А = В, то 24А = 24В, и обратно. Получим:
16у + 21 = 20у — 6.
А далее воспользуемся алгоритмом:
Ответ: y = 6 3/4.

ПРИМЕР 2. Решить уравнение.
Решение. Воспользовавшись основным свойством пропорции (произведение крайних членов пропорции равно произведению средних
членов), получим:
2(3z — 4) = 5(2z + 1).
Дальнейший ход решения, надеемся, уже не требует комментариев:
Ответ: z = -3 1/4.

ПРИМЕР 3. Решить уравнение:
Решение а) Наименьшим общим кратным для знаменателей 3, 6, 4, 12 является число 12. Умножив обе части уравнения на 12, получим:
Получили неверное числовое равенство. Что это означает для данного уравнения? То, что оно не имеет корней: ни при каком значении х уравнение не обращается в верное числовое равенство.
б) Умножив обе части уравнения на 10, получим:
Получили верное числовое равенство. Что это означает для данного уравнения? То, что оно обращается в верное числовое равенство при любом значении х.
Ответ: а) Корней нет; б) корнем является любое число.

3. Линейные уравнения как математические модели реальных ситуаций.

ПРИМЕР 4. Купили некоторое количество книг для библиотеки и пытаются разместить их на одинаковых полках стеллажа. Сначала поставили по 20 книг на каждую полку. В результате две полки оказались пустыми, а остальные заполненными (по 20 книг).
Затем решили ставить по 15 книг на полку. Попытка оказалась удачной: все полки заполнились (по 15 книг на каждой). Сколько книг было куплено?

Решение. I ЭТАП. Составление математической модели.
Обозначим буквой х число полок в стеллаже. Когда на каждую полку поставили по 20 книг, то заполненными оказались (х — 2) полки. Значит, общее число купленных книг выражается формулой 20(х — 2). Далее в задаче сказано, что когда на каждую полку поставили по 15 книг, то все х полок оказались заполненными сплошь. Значит, общее число купленных книг выражается формулой 15х. Остаётся приравнять два полученных выражения числа купленных книг:
20(х — 2) = 15х.
Это уравнение — математическая модель задачи.

II ЭТАП. Работа с составленной моделью. Решаем уравнение:
20(х — 2) — 15х = 0;
20х — 40 — 15х = 0;
5х — 40 = 0;
5х = 40;
х = 8.

III ЭТАП. Ответ на вопрос задачи. Мы выяснили, что в стеллаже 8 полок. Все купленные книги разместили на этих полках по 15 штук на каждой. Значит, всего было куплено 15 • 8 = 120 книг.
Ответ Всего было куплено 120 книг.

Вопросы для самопроверки
1. Что называют корнем уравнения с одной переменной?
2. Приведите пример уравнения, у которого нет корней.
3. Что такое линейное уравнение с одной переменной?
4. Что означает фраза: «Решить линейное уравнение»?
5. Как вы думаете, может ли корнем линейного уравнения с одной переменной быть отрицательное число? Если да, то приведите пример.
6. Найдите корень уравнения 2х + 7 = 11.
7. Приведите пример линейного уравнения с одной переменной, имеющего своим корнем число:
а) 0; б) 2; в) -1.
8. Сформулируйте алгоритм решения линейного уравнения ах + b = 0 в случае, когда а ≠ 0.
9. Сформулируйте алгоритм решения линейного уравнения ах + b = сх + d (а ≠ с).
10. Приведите пример таких значений а и Ь, при которых уравнение ах = b:
а) не имеет корней;
б) имеет бесконечное множество корней.

ОТКРЫТЫЙ УРОК/Системы линейных уравнений/7 класс – УчМет

Сегодня
на уроке………..

Мы
распахнули двери в мир систем,

Мы
изучили методы решений их:

Плюс.

Минус.

Разница.

Равненье.

В
системе этой — Игрек.

Уравненье.

А
чтобы закрепить свои уменья,

Должны
Вы выучит мои стихотворенья!

КБР г.
Прохладный

ул.
Строительная д. 272/а

Тел:
2-19-84.

Муниципальное
бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя
общеобразовательная школа

№4 им.
А. Г. Головко».

Системы

линейных

уравнений

Автор
:

учитель
математики

Н.
А. Корнеева

г. Прохладный

2013 г.

Способ
подстановки:

Самым
первым, самым главным
Этот способ
назову
Применяет его каждый
Изучить
вам помогу.

По
две буквы в уравненьях
Вам их следует
найти
Но для этого смекалку
Мой
дружочек примени.

Из
любого уравненья
Букву вырази одну
И
в другое, без сомненья,
Подстановку
совершу.

Получу
я уравненье —
Неизвестное одно,
Я
найду его решенье,
То — какое-то число.

И
число я в уравненье
Вместо буквы
запишу
Чтоб найти вторую букву
Вычисленья
завершу.

Получу
ответ: икс, игрек
И система решена
В
круглых скобках пара чисел
Запись эта
так важна.

Способ
сложения:

Запишу
два уравненья,
Неизвестных тоже
два.
Применю способ сложенья
Им
владею я сполна
Я домножу уравненья
На
число непросто так
Чтобы выполнить
сложенье,
Между ними ставим знак.
В
левой части икс и игрек
Аккуратно я
сложу
Получу одну лишь букву,
Её
корнем назову.
Эту букву я подставлю
В
уравненье номер два
И вторую найду
букву,
Всё, система решена.

Нет
способа верней.

Способ
замены неизвестного:

Систему
уравнений
Очень легко решить,
Когда
способ замены
Удастся применить
Берутся
выраженья
По виду близнецы,
Их новой
неизвестной
Ты в строчку запиши.
Составь
опять систему
Уж проще будет та
Найди
две новых буквы
Задача так проста.
Потом
вернись к начальным
Ты буквам
поскорей
Опять реши систему

Рене
Декарт

Родился
31
марта 1596 в Лаэ, ныне городок
Декарт1,
регион Центр,
Франция;
умер 11
февраля 1650 в Стокгольме,
Швеция)
— французский математик, философ,
физиолог.

Решение путем сложения / исключения

Системы
линейных уравнений:
Решение сложением /
Ликвидация (стр.
5 из 7)

Разделы: определения, решение с помощью построения графиков, подстановка,
Исключение / добавление, исключение по Гауссу.

Метод сложения решения систем уравнений также называют методом исключения.Этот метод похож на метод, который вы, вероятно, изучили для решения простых уравнений.

Если бы у вас было уравнение « x + 6 = 11», вы бы написали «–6» под каждой стороной уравнения, а затем «сложили», чтобы получить « x = 5» в качестве решение.

Вы проделаете нечто подобное с методом сложения.

• Решите следующую систему, используя сложение.

Обратите внимание, что если я добавлю,
и
аннулируется.Я нарисую полоску «равно» под системой,
и складываем:

Теперь я могу разделить
решить для x = 5, а затем решить,
используя любое из исходных уравнений, чтобы найти значение y .
Первое уравнение имеет меньшие числа, поэтому я верну его обратно:

2 (5) + y = 9
10 + и = 9
y = –1

Тогда решение
равно ( x , y ) = (5, –1) .

Неважно, какое уравнение
вы используете для обратной обработки; в любом случае вы получите один и тот же ответ. Если
Я использовал второе уравнение, и получил бы:

… это тот же результат
как прежде.

• Решите следующие проблемы
  система с использованием сложения.

Обратите внимание, что термины x
отменили бы, если бы только у них были противоположные знаки.Я могу создать это
отмены путем умножения любого из уравнений на –1,
а затем добавляю как обычно. Неважно, какое уравнение я выберу,
при условии, что я буду осторожен, чтобы умножить –1 на все уравнение. (Это означает, что обе стороны «равно»
знак!)

умножу второй
уравнение.

«–1 R ₂ »
Обозначение над стрелкой означает, что я умножил строку 2 на –1.Теперь я могу решить уравнение «–5 y = –25», чтобы получить y = 5. Обратное решение в
первое уравнение, я получаю:

x —
2 (5) = –9
x — 10 = –9
x = 1

Тогда решение
равно ( x , y ) = (1, 5) .

Очень распространенное искушение
— записать решение в виде «(первое число, которое я нашел, второе
номер, который я нашел) «. Однако иногда, как в этом случае, вы обнаруживаете значение y
сначала, а затем значение x
во-вторых, и, конечно же, в пунктах x -значение
на первом месте. Так что будьте осторожны и пишите координаты своих решений.
правильно.Авторские права
© Элизабет Стапель 2003-2011 Все права защищены

• Решите следующие проблемы
  система с использованием сложения.

Здесь ничего не отменяется, но
Я могу умножить, чтобы создать отмену. Я могу умножить первое уравнение
на 4,
и это создаст условия и .
отменить.

Решив это, я получу, что x = 2. Я воспользуюсь первым
уравнение для обратного решения, потому что коэффициенты меньше.

2 (2) — y = 9
4 — y = 9
— y = 5
y = –5

Решение: ( x , y ) = (2, –5) .

• Решите следующее
  система с использованием сложения.

Хм … ничего не отменяет.
Но я могу умножить, чтобы создать отмену. В этом случае ни одна из переменных
это очевидный выбор для отмены. Я могу умножить, чтобы преобразовать x -термов
до 12 x ‘s
или условия y
к 24 y ‘s.Так как я ленив и 12 меньше 24,
Я умножу, чтобы отменить условия x .
(Я бы получил тот же ответ в конце, если бы установил y -terms
отменить. Дело не в том, что я делаю это «правильно»;
это был только мой выбор. Вы могли бы сделать другой выбор, и это
быть столь же правильным.)

умножу первый
ряд по 3 и второй ряд по 4;
тогда я добавлю и решу.




Решая, я получаю, что y = 5. Ни одно из уравнений
выглядит особенно лучше, чем другой для обратного решения, поэтому я переверну
монету и используйте первое уравнение.

Не забудьте поставить координату x .
сначала в решении я получаю:

Обычно при решении
«по добавлению», вам нужно будет создать отмену.Предупреждение:
Самая распространенная ошибка — это забывать о умножении на всем протяжении
уравнение, умноженное на обе стороны знака «равно». Быть
осторожно с этим.

• Решите следующие проблемы
  с помощью сложения.

Думаю, умножу
второе уравнение на 2;
это, по крайней мере, избавит от десятичного знака.

Ой! Этот результат не
правда! Итак, это противоречивая система (две параллельные линии) без каких-либо
решение (без точки пересечения).

• Решите следующие проблемы.
  с помощью сложения.

думаю будет проще всего
отменить условия и ,
поэтому я умножу вторую строку на –3.

Ну да, но …? я уже
знал, что ноль равен нулю. Итак, это зависимая система, и, решая
для « y =» решение
это:

(Ваш текст может отформатировать
ответьте как «( s ,
4 с — 2) «,
или что-то типа того.)

Помните разницу:
глупый ответ (например, «0
= –2 «в предыдущем
проблема) означает противоречивую систему без решения; бесполезный ответ
(например, «0
= 0 «выше) означает
зависимая система, в которой вся линия является решением.

В некоторых книгах используется только « x »
и « и »
для своих переменных, но многие используют дополнительные переменные.Когда ты пишешь
решение для точки x , y ,
вы знаете, что координата x
идет первым, а координата y
идет вторым. Когда вы имеете дело с другими переменными, предполагайте (если только
явно указано иное), что эти переменные записываются в алфавитном порядке
заказывать. Например, если переменные в данной системе равны a и b ,
точка решения будет ( a , b ); это не будет
быть ( b , a ).Если иначе
указано, переменные записываются в алфавитном порядке.

<< Предыдущий Наверх | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
Вернуться к указателю Далее >>

Определение алгебраического метода

Что такое алгебраический метод?

Алгебраический метод относится к различным методам решения пары линейных уравнений, включая построение графиков, замену и исключение.

Что вам говорит алгебраический метод?

Метод построения графиков включает построение графиков двух уравнений. Пересечение двух линий будет координатой x, y, которая является решением.

Используя метод подстановки, переставьте уравнения, чтобы выразить значение переменных x или y в терминах другой переменной. Затем замените этим выражением значение этой переменной в другом уравнении.

Например, чтобы решить:

Взаимодействие с другими людьми

8

Икс

+

6

y

знак равно

1

6

—

8

Икс

—

4

y

знак равно

—

8

\ begin {align} & 8x + 6y = 16 \\ & {- 8} x-4y = -8 \\ \ end {align}
8x + 6y = 16−8x − 4y = −8

Во-первых, используйте второе уравнение, чтобы выразить x через y:

Взаимодействие с другими людьми

—

8

Икс

знак равно

—

8

+

4

y

Икс

знак равно

—

8

+

4

y

—

8

Икс

знак равно

1

—

0

.5

y

{-8} x = -8 + 4yx = \ frac {-8 + 4y} {{- 8} x} = 1-0,5y
−8x = −8 + 4yx = −8x − 8 + 4y = 1−0,5y

Затем замените 1 — 0,5y на x в первом уравнении:

Взаимодействие с другими людьми

8

(

1

—

0

.

5

y

)

+

6

y

знак равно

1

6

8

—

4

y

+

6

y

знак равно

1

6

8

+

2

y

знак равно

1

6

2

y

знак равно

8

y

знак равно

4

\ begin {align} & 8 \ left (1-0,5y \ right) + 6y = 16 \\ & 8-4y + 6y = 16 \\ & 8 + 2y = 16 \\ & 2y = 8 \\ & y = 4 \\ \ end {выровнено}
8 (1−0,5y) + 6y = 168−4y + 6y = 168 + 2y = 162y = 8y = 4

Затем замените y во втором уравнении на 4, чтобы найти x:

Взаимодействие с другими людьми

8

Икс

+

6

(

4

)

знак равно

1

6

8

Икс

+

2

4

знак равно

1

6

8

Икс

знак равно

—

8

Икс

знак равно

—

1

\ begin {align} & 8x + 6 \ left (4 \ right) = 16 \\ & 8x + 24 = 16 \\ & 8x = -8 \\ & x = -1 \\ \ end {align}
8x + 6 (4) = 168x + 24 = 168x = −8x = −1

Второй метод — метод исключения.Он используется, когда одна из переменных может быть исключена путем сложения или вычитания двух уравнений. В случае этих двух уравнений мы можем сложить их вместе, чтобы исключить x:

Взаимодействие с другими людьми

8

Икс

+

6

y

знак равно

1

6

—

8

Икс

—

4

y

знак равно

—

8

0

+

2

y

знак равно

8

y

знак равно

4

\ begin {align} & 8x + 6y = 16 \\ & {- 8} x-4y = -8 \\ & 0 + 2y = 8 \\ & y = 4 \\ \ end {align}
8x + 6y = 16−8x − 4y = −80 + 2y = 8y = 4

Теперь, чтобы найти x, подставьте значение y в любое уравнение:

Взаимодействие с другими людьми

8

Икс

+

6

y

знак равно

1

6

8

Икс

+

6

(

4

)

знак равно

1

6

8

Икс

+

2

4

знак равно

1

6

8

Икс

+

2

4

—

2

4

знак равно

1

6

—

2

4

8

Икс

знак равно

—

8

Икс

знак равно

—

1

\ begin {align} & 8x + 6y = 16 \\ & 8x + 6 \ left (4 \ right) = 16 \\ & 8x + 24 = 16 \\ & 8x + 24-24 = 16-24 \\ & 8x = -8 \\ & x = -1 \\ \ end {выровнено}
8x + 6y = 168x + 6 (4) = 168x + 24 = 168x + 24−24 = 16−248x = −8x = −1

Ключевые выводы

• Алгебраический метод — это набор из нескольких методов, используемых для решения пары линейных уравнений с двумя переменными.
• Наиболее часто используемые алгебраические методы включают метод подстановки, метод исключения и метод построения графиков.

Учебные пособия и рабочие листы по линейным уравнениям, класс 6

Введение в линейное уравнение

Решение линейного уравнения методом проб и ошибок

Правила для линейного уравнения

Правило транспозиции

Тест по линейному уравнению

Рабочий лист по линейным уравнениям

Лист для ответов

Введение в линейное уравнение

Уравнение, в котором наибольшая степень участвующих переменных равна 1, известно как линейное уравнение . Другими словами, уравнение вида ax + b = c,
где a, b, c — константы, a ≠ 0 и «x» — переменная, называется линейным уравнением относительно переменной «x».

Знак равенства в уравнении делит его на две части. Обе стороны известны как левая сторона (LHS) и правая сторона (RHS).
Число, которое при замене переменной в уравнении составляет LHS = RHS и известно как решение уравнения.

Решение линейного уравнения методом проб и ошибок

В этом методе, как правило, мы делаем предположение о решении уравнения.Пробуем несколько значений переменной и находим LHS и RHS. Когда LHS = RHS для определенного значения переменной, мы говорим, что это решение уравнения.
Давайте посмотрим на несколько примеров.

Пример 1. Методом проб и ошибок найти решение уравнения 5p = 15.

Решение. Мы пробуем все значения p и находим LHS и RHS. Мы останавливаемся, когда для определенного значения «p» LHS = RHS.

Итак, P = 3 — решение данного линейного уравнения.

Пример 2. Методом проб и ошибок найти уравнение 2n + 4 = 6 + n.

Решение.

Итак, n = 2 — решение данного линейного уравнения.

Правила для линейного уравнения

1. Мы можем добавить одно и то же число к обеим сторонам уравнения.
2. Мы можем вычесть одно и то же число из обеих частей уравнения.
3. Мы можем умножить ненулевое число на обе стороны уравнения.
4. Мы можем разделить ненулевое число на обе части уравнения.

Давайте решим некоторые линейные уравнения, используя приведенные выше правила.

Пример 1. x + 1 = 10. Найдите значение x.

Решение x + 1 = 10

Добавьте −1 к обеим частям уравнения.

x + 1 — 1 = 10 — 1

x = 9

Пример 2. y — 2 = 22, найти значение y.

Решение. y — 2 = 22

Добавьте 2 к обеим частям уравнения

y — 2 + 2 = 22 + 2

y = 24

Пример 3. 4 × a = 12, найти значение «a».

Решение. 4 × a = 12

Разделим 4 на обе части уравнения

^{4 x a} ⁄ ₄ = ¹² ⁄ ₄

a = 3

Пример 4. n ÷ 5 = 3, найти значение n.

Решение. n ÷ 5 = 3

Умножим 5 на обе части уравнения

ⁿ ⁄ ₅ × 5 = 3 × 5

n = 15

Правило транспозиции

Если член переносится из одной части уравнения в другую, его знак изменится.Посмотрим на несколько примеров.

Пример 1. p + 4 = 12. Найдите значение p.

Решение. p + 4 = 12

Перенос +4 из LHS в RHS путем изменения его знака

p = 12 — 4

p = 8

Пример 2. 2n = 9 — n. Найдите значение n.

Решение. 2n = 9 — n

Транспонируя −n с правой на левую, меняя его знак

2n + n = 9

3n = 9

Разделив на 3 обе стороны LHS и RHS, мы получим значение n. ³ⁿ ⁄ ₃ = ⁹ ⁄ ₃

n = 3

Пример 3. ^м ⁄ ₅ — 4 = 7. Найдите значение m.

Решение. ^м ⁄ ₅ — 4 = 7

Перенос -4 с LHS на RHS путем изменения знака

^м ⁄ ₅ = 7 + 4

^м ⁄ ₅ = 11

Умножение 5 на левую и правую стороны

^{mx 5} ⁄ ₅ = 11 x 5

m = 55

Пример 4. 3 (q — 2) = 2 (q + 1) — 3. Найдите значение q.

Решение. 3 (q — 2) = 2 (q + 1) — 3

Сначала мы должны снять скобки.

3q — 6 = 2q + 2-3

3q — 2q = 2-3 + 6

q = 5

Тест линейного уравнения класса 6

Тест по линейному уравнению — 1

Тест по линейному уравнению — 2

Рабочий лист для линейных уравнений класса 6

Рабочий лист по линейным уравнениям — 1

Рабочий лист по линейным уравнениям — 2

Рабочий лист по линейным уравнениям — 3

Лист ответов

Linear-Equation-Answer Загрузить pdf

Авторские права © LetsPlayMaths, 2021 г.com. Все права защищены.

Решение линейных систем уравнений с использованием HHL

3. Пример: 4-кубит HHL

Давайте возьмем небольшой пример из введения, чтобы проиллюстрировать алгоритм. Это,
$$ A = \ begin {pmatrix} 1 & -1/3 \\ — 1/3 & 1 \ end {pmatrix} \ quad \ text {and} \ quad | b \ rangle = \ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix} $$

Мы будем использовать $ n_ {b} = 1 $ кубит для представления $ | b \ rangle $, а затем решение $ | x \ rangle $, $ n_ {l} = 2 $ кубитов для хранения двоичного представления собственных значений и $ 1 $ вспомогательный кубит для хранения информации о том, было ли условное вращение, а следовательно, и алгоритм, успешным.

В целях иллюстрации алгоритма мы немного обманем и вычислим собственные значения $ A $, чтобы иметь возможность выбрать $ t $ для получения точного двоичного представления измененных собственных значений в регистре $ n_ {l} $. . Однако имейте в виду, что для реализации алгоритма HHL не требуется предварительное знание собственных значений. Сказав это, краткий расчет даст
$$ \ lambda_ {1} = 2/3 \ quad \ text {и} \ quad \ lambda_ {2} = 4/3 $$

Напомним из предыдущего раздела, что QPE выдаст двоичное приближение $ n_ {l} $ — бит ($ 2 $ -бит в данном случае) к $ \ frac {\ lambda_ {j} t} {2 \ pi} $.Следовательно, если мы положим
$$ t = 2 \ pi \ cdot \ frac {3} {8} $$
QPE даст 2-битное двоичное приближение к
$$ \ frac {\ lambda_ {1} t} {2 \ pi} = 1/4 \ quad \ text {и} \ quad \ frac {\ lambda_ {2} t} {2 \ pi} = 1/2 $ $
что, соответственно,
$$ | 01 \ rangle_ {n_ {l}} \ quad \ text {и} \ quad | 10 \ rangle_ {n_ {l}} $$

Собственные векторы, соответственно,
$$ | u_ {1} \ rangle = \ begin {pmatrix} 1 \\ -1 \ end {pmatrix} \ quad \ text {и} \ quad | u_ {2} \ rangle = \ begin {pmatrix} 1 \\ 1 \ end {pmatrix} $$
Опять же, имейте в виду, что нет необходимости вычислять собственные векторы для реализации HHL.{2} \ frac {1} {\ sqrt {2}} | u_ {j} \ rangle _ {n_ {b}} $$

Теперь мы готовы пройти различные этапы алгоритма HHL.

1. Подготовка состояния в этом примере тривиальна, поскольку $ | b \ rangle = | 0 \ rangle $.
2. Применение QPE даст
   $$
   \ frac {1} {\ sqrt {2}} | 01 \ rangle | u_ {1} \ rangle + \ frac {1} {\ sqrt {2}} | 10 \ rangle | u_ {2} \ rangle
   $
3. Условное вращение с $ C = 1/8 $, которое меньше наименьшего (измененного) собственного значения $ \ frac {1} {4} $. Обратите внимание, что конант $ C $ здесь должен быть выбран таким, чтобы он был меньше наименьшего (перемасштабированного) собственного значения $ \ frac {1} {4} $, но как можно больше, чтобы при измерении вспомогательного кубита вероятность того, что он находится в состоянии $ | 1> $, велика.{\ dagger} $ квантовый компьютер находится в состоянии
   $$
   \ frac {1} {\ sqrt {2}} | 00 \ rangle | u_ {1} \ rangle \ left (\ sqrt {1 — \ frac {1} {4}} | 0 \ rangle + \ frac {1} {2} | 1 \ rangle \ right) + \ frac {1} {\ sqrt {2}} | 00 \ rangle | u_ {2} \ rangle \ left (\ sqrt {1 — \ frac {1} {16} } | 0 \ rangle + \ frac {1} {4} | 1 \ rangle \ right)
   $
4. На выходе $ 1 $ при измерении вспомогательного кубита состояние
   $$
   \ frac {\ frac {1} {\ sqrt {2}} | 00 \ rangle | u_ {1} \ rangle \ frac {1} {2} | 1 \ rangle + \ frac {1} {\ sqrt {2} } | 00 \ rangle | u_ {2} \ rangle \ frac {1} {4} | 1 \ rangle} {\ sqrt {5/32}}
   $$
   Быстрый расчет показывает, что
   $$
   \ frac {\ frac {1} {2 \ sqrt {2}} | u_ {1} \ rangle + \ frac {1} {4 \ sqrt {2}} | u_ {2} \ rangle} {\ sqrt {5 / 32}} = \ frac {| x \ rangle} {|| x ||}
   $
5. Без использования дополнительных вентилей мы можем вычислить норму $ | x \ rangle $: это вероятность измерения $ 1 $ во вспомогательном кубите из предыдущего шага.{2}
   $

7 класс — Ошибки по математике

В последнее время я умолял людей присылать мне их ошибки решения линейных уравнений. Пока люди меня потворствуют, это будет серия постов, посвященных размышлениям вслух о том, какие типы линейных уравнений трудно решить, что их усложняет и что именно означает знать, как обрабатывать каждое уравнение. это там. Я имею в виду цель — научить (относительно) нового учителя, с какими уравнениями они могут столкнуться со своими учениками, и (в идеале) как систематически преподавать этот материал, чтобы дети видели все случаи.(Помимо очевидного, например, уравнения с большим количеством вещей, которое требует тонны шагов).

У меня нет окончательных мыслей по этому поводу, но мне нужно место, чтобы разобраться с этим. Эти сообщения незакончены и отрывочны. По сути, это мой дневник математических ошибок. Вам следует читать это только в том случае, если это интересно читать…

… и поехали!

***

Моя сестра из 8-го класса сказала мне, что это было действительно сложно. Это выпущенный PARCC Q, который проходил наш практический тест PARCC.Никаких калькуляторов. pic.twitter.com/SFPOUdn3ct

— Мишель Пжибилек (@MsPrzybylek) 14 марта 2018 г.

Я думаю, что есть много вещей, которые усложняют эту задачу. Я не знаю об учениках Мишель, но умножение дробей — это постоянный процесс с моими учениками, так что это фактор.

Один из самых важных маленьких «микронавыков», связанных с уравнениями, которым я обучаю своих студентов, — это масштабирование уравнений для исключения дробей. Думаю, здесь это было бы полезно.

Есть интересный выбор, делать ли это масштабирование до или после распространения. Это еще один интересный маленький выбор, который придется сделать студенту. Я мог бы представить себе разработку небольшого занятия, сосредоточенного на небольшой стратегии: когда имеет смысл расширяться? Я думаю, что послание детям может заключаться в том, что если вы увеличите масштаб перед распространением, вы сможете избежать некоторой арифметики дробей.

Может быть, действие могло бы выглядеть так. Вы начинаете с этого уравнения, а затем представляете два варианта.

«Аманда взяла это уравнение и сделала следующее: 14 м — 7 — 3 м / 5 = 24/5 — 18 м / 3»

«Первый ход Билли выглядел так: 35 (2–1) — 3–6 (4–3 млн)» [включите аннотации, чтобы прояснить, что сделал Билли!]

И затем вы предлагаете несколько подсказок, чтобы привлечь внимание к выбору, который вы должны сделать?

Микро-навыки здесь: зная, раздавать ли в первую очередь или ждать; масштабирование уравнения, чтобы избежать дробей

***

Вот пара популярных ошибок из IM 8-го класса 4.6… у обоих ответов было больше неправильных, чем правильных. Второй меня не удивил, но я думал, что больше детей получат первое. Лоты умножились на чистые дроби, но забыли -10. pic.twitter.com/DSrX09UCpB

— Рэйчел (@ rhwave2004) 13 марта 2018 г.

Отлично!

Просто укажите ошибку… мы масштабируем обе стороны на -6, но в итоге левая часть масштабируется только на 6. Дроби кажутся случайными для этой. Может быть, это связано с тем, что умножение на отрицательное должно делать вещи отрицательными, а не придавать всему противоположный знак?

В какой степени это ошибка уравнения или ошибка отрицания?

Здесь много чего происходит.Идея о том, что мы масштабируем обе стороны, а не только дроби, кажется сложной. Очевидно, что дроби затрудняют решение уравнения, поскольку оно представляет ряд концептуальных проблем. Насколько полезно для учителя понимать что-либо о том, как дети справляются с уравнениями с дробями, кроме «с трудом»? Кажется, что все интересные решения, которые следует сделать при работе с уравнениями с дробями, связаны с поиском способов преобразования этого уравнения, чтобы мы могли избежать этих дробей.

Есть интересный выбор, когда вы пытаетесь умножить обе части уравнения на 2 или на -2.Что делает это интересным, так это то, что умножение на отрицательное порождает концептуальные проблемы, которые не вводятся x2. Я чувствую, что близок к тому, чтобы сказать, что с точки зрения коучинга имеет смысл поощрять детей масштабировать уравнения положительными числами, когда это возможно. (Что, я думаю, всегда.)

Участвующие микронавыки: На что вы решите масштабировать каждую сторону уравнения? Когда вы решите масштабировать каждую сторону уравнения? (Вы сначала распределяете или сначала масштабируете?)

***

Это был один из моих, о котором я писал в другом месте:

Вчера я давал студентам контрольный опрос по алгебре.Студент, который, как мне сказали в начале года, часто с трудом справляется с математикой, в последнее время добился больших успехов. Она точно знала, как обращаться с обеими системами уравнений, которые использовались в этой короткой викторине, но она запуталась в одном из полученных уравнений:

Я не знал, что сказать, когда она застряла, но я был вполне уверен, что это был пример микронавыка, которого ей не хватало.

Мы с ней договорились, что она хотела бы, чтобы я написал небольшой пример сбоку ее страницы, поэтому я написал следующее:

[Я нарисовал несколько стрелок, спускающихся с каждой стороны, помеченных «+ 2x.”]

Мой ученик прочитал пример, а затем воскликнул (в смысле, который я могу описать только как «радостный»): Ой, подождите, вы можете сделать там 0 ?!

Микро-навыки: Зная, что вы можете заработать 0.

Кажется, есть множество случаев, когда вы вводите нули и управляете ими при решении уравнений. Еще один мой, который таращится в архивах:

Посмотрите внизу справа. Эта пара учеников застыла на y = 2y + 5, потому что они вычли y с каждой стороны и затем не были уверены, позволено ли им получить 0.(Два года назад я разговаривал с этими детьми об этом, поэтому не догадываюсь по их работе.) Это похоже на ситуацию, в которой был студент этого года.

Для меня мораль этой истории заключается в том, что ученикам нужно «разрешение» делать нули. Не с разрешения моего математического авторитета. Я просто хочу сказать, что новичкам нужно понять, что это кошерный ход.

Пока здесь есть эта картинка, детям нужно принять еще одно небольшое решение (см. Вверху справа): прибавлять или вычитать что-то при попытке использовать балансирующее движение.

Microskill: «вычисление нуля», чтобы решить, нужно ли прибавлять / вычитать что-либо из каждой части уравнения

рабочий лист решения матричных уравнений

Статистические калькуляторы. В Excel есть множество функций, которые могут выполнять разные задачи. Давайте решим то же уравнение для лучшего понимания. … Квадратные уравнения Word задачи рабочий лист. Полиномиальное уравнение / функция может быть квадратичным, линейным, квартичным, кубическим и т. Д. Решение кубического уравнения в Excel с помощью поиска цели, решение кубического уравнения в Excel с помощью решателя, решение квадратного уравнения в Excel с помощью функции поиска цели, использование решателя для решения квадратного уравнения в Excel, решение квадратного уравнения в Excel с использованием формулы, решение линейных уравнений в Excel с матричной системой, Решение линейных уравнений в Excel с помощью Solver, Как решать одновременные линейные уравнения в Excel с помощью Solver, 15 лучших онлайн-курсов по обучению Excel | Изучите Advanced Excel Online, Able2Extract Professional 15 Review 2020 (со скидкой 15%), Как удалить запятые в Excel [9 умных способов], Несколько условий в настраиваемом числовом формате Excel, Как рассчитать IRR (внутреннюю ставку доходности) в Excel (9 простые способы), Проверка данных Excel на основе другой ячейки.Найти переменные различных линейных уравнений с помощью решателя довольно просто. Допустим, у нас есть 3 уравнения, в которых значения x, y и z неизвестны. Ознакомьтесь с дополнительными идеями о рабочих таблицах, таблицах по алгебре и математике. Мы будем использовать формулу X = A-1B. После этого запишите полиномиальное уравнение в ячейку G3 относительно ячеек коэффициентов и начального значения X. … Матричные калькуляторы. Распределительное свойство рабочего листа умножения — I. Что вы можете сделать: просто вы можете скопировать всю статью и вставить в текстовый документ, а затем преобразовать его в файл PDF.Здесь мы воспользуемся функцией поиска цели в Excel, чтобы решить уравнение. Используя метод исключения Гаусса, сбалансируйте уравнение химической реакции: x1 C2 H6 + x2 O2 -> x3 h3O + x4 CO2 —- (1). Число атомов углерода в левой части (1) должно быть равно количеству атомов углерода в правой части (1). Решено множество задач, которые показывают учащемуся, как правильно использовать обратное для решения системы …. Просмотрите на уроке рабочий лист по решению уравнений сложения и вычитания; добавление рабочих листов от 10 до 3 цифр; как решать матричные уравнения на техасском ти-83 плюс; математика для однолетнего рабочего листа; рабочий лист наименьшего общего знаменателя; пример математической мелочи с ответом; решение тригонометрических уравнений В этом разделе показан процесс решения тригонометрических уравнений различных форм.Нам было вредно создавать больше проиндексированных страниц в Google. Рабочие листы умножения для родителей и учителей, которые вы захотите распечатать. Определите значения », для которых следующая система уравнений x + y + 3z = 0, 4x + 3y +» z = 0, 2x + y + 2z = 0 имеет (i) единственное решение (ii) не -простое решение. Калькуляторы статистики. Неравенства в одном треугольнике — Word Docs и PowerPoints. Составьте еще одну таблицу, содержащую уравнения с переменными и константами. Справочный центр предоставляет информацию о возможностях и функциях PTC Mathcad Prime.Просмотрите разделы справки, чтобы найти последние обновления, практические примеры, руководства и справочные материалы. При расчете создается матрица Якоби. Пользователь задает систему уравнений, первые приближения корней и точность результата. ПРОВЕРИТЬ ЭТИ БЕСПЛАТНО… Из многих процессов Solver в Excel — лучший вариант. Шансов вернуть эту кнопку очень мало. Мы решим это уравнение, чтобы найти значение «X» с конкретным значением «Y». В математических уравнениях учащиеся могут практиковаться в тестировании линейных уравнений с одной переменной, показывая пошаговое решение с использованием сложения, вычитания, умножения и деления.Решение линейных уравнений. Функция Goal Seek выполнит несколько итераций для окончательного значения Y, которое в этом примере установлено равным 15. Вы пытаетесь решить, как оценивать каждый предмет… Коэффициенты x, y и z задаются в матрице A, а константы — в матрице B. Оценка 7 »Соотношения и пропорциональные отношения» Анализируйте пропорциональные отношения и используйте их для решать реальные и математические задачи. Здесь вы найдете сотни уроков, сообщество учителей для поддержки и материалы, которые всегда соответствуют последним стандартам.Подробнее: 3D-ссылки и внешние ссылки в Excel. После этого запишите уравнение в ячейке F3 относительно ячеек коэффициентов и начального значения X. (i) 3x + 2y + 7z = 0, 4x ∠’3y − 2z = 0, 5x + 9y + 23z = 0. ранг (A) равен 2, а ранг (A, B) равен 2

Pathfinder Kingmaker Best Daggers,
Модель ускоренного времени отказа в R,
Dragon Age: Инквизиция Регионы лещинных болот,
Kid Blue Cast,
Вопросы по экономике уровня A с множественным выбором,
Линдси Стирлинг Косплей,
Как удержать мышь,
Жизнь идет по аккордам яд,

Решение линейных уравнений систематическим методом

Метод проб и ошибок требует времени и не всегда является прямым.На самом деле это грубый метод. Мы изучим лучший метод решения линейных уравнений.
Уравнение можно сравнить с весами. Две стороны уравнения — это две сковороды, а символ равенства «=» говорит нам, что две сковороды сбалансированы.

Все мы знакомы с работой весов. Если на две сковороды положить одинаковые грузы, мы увидим, что обе сковороды остаются в равновесии.

Если мы удалим одинаковые грузы с обеих кастрюль, мы обнаружим, что они все еще остаются в равновесии.

Так как умножение числа на 7 означает его семь раз сложение, а деление числа на 6 означает вычитание из него того же числа 6 раз. Таким образом, сковороды останутся нетронутыми, если мы умножим или разделим веса двух сковородок на одно и то же количество.

Правила решения линейных уравнений систематическим методом:

Правило 1) Мы можем добавить одно и то же число к обеим сторонам уравнения, т. Е. Если x + 5 = 7, то x + 5 + 2 = 7 + 2.
Правило 2) Мы можем вычесть одно и то же число с обеих сторон уравнения, т.е.е., если x + 5 = 7, то x — 5 — 2 = 7 — 2.
Правило 3) Мы можем умножить обе части уравнения на одно и то же ненулевое число, т.е. если, то. Также, .
Правило 4) Мы можем разделить обе части уравнения на одно и то же ненулевое число, т.е. если 3x = 10, то. Также, .

Решение линейных уравнений с добавлением систематическим методом:

Решение линейных уравнений систематическим методом Example1:

Решите уравнение x — 7 = 4 и проверьте результат.
Решение:
Имеем, x — 7 = 4.
Чтобы решить это уравнение, мы должны получить x на L.H.S. Чтобы получить x сам по себе на L.H.S., нам нужно сдвинуть -7. Это можно сделать, прибавив 7 к
с обеих сторон данного уравнения.
x — 7 = 4
=> x — 7 + 7 = 4 + 7 {Добавляя 7 к обеим сторонам}
=> x + 0 = 11 {Так как, 4 + 7 = 11}
=> x = 11 { Поскольку, x + 0 = x}
Итак, x = 11 является решением данного уравнения.
Проверка:
Подставляя x = 11 в данное уравнение, получаем
л.H.S. = 11-7 = 4 и R.H.S. = 4.
Таким образом, при x = 11 имеем L.H.S. = R.H.S.

Решение линейных уравнений систематическим методом Example2:

Решите уравнение x — 4 = -3 и проверьте результат.
Решение:
Имеем, x — 4 = -3.
Чтобы решить это уравнение, мы должны получить x на L.H.S. Чтобы получить x сам по себе на L.H.S., нам нужно сдвинуть -4. Это можно сделать, прибавив 4 к
с обеих сторон данного уравнения.
x — 4 = -3
=> x — 4 + 4 = -3 + 4 {Добавляя 4 к обеим сторонам}
=> x + 0 = 1 {Так как, -3 + 4 = 1}
=> x = 1 {Так как, x + 0 = x}
Итак, x = 1 является решением данного уравнения.
Проверка:
Подставляя x = 1 в данное уравнение, мы получаем
L.H.S. = 1-4 = -3 и R.H.S. = -3.
Таким образом, когда x = 1, мы имеем L.H.S. = R.H.S.

Решение линейных уравнений с использованием вычитания систематическим методом:

Решение линейных уравнений систематическим методом Example3:

Решите уравнение x + 8 = -9 и проверьте результат.
Решение:
Имеем, x + 8 = -9.
Чтобы решить это уравнение, мы должны получить x на L.H.S. Чтобы получить x сам по себе на L.H.S., нам нужно сдвинуть 8. Это можно сделать, вычтя 8 из обеих частей данного уравнения.
x + 8 = -9
=> x + 8 — 8 = -9 — 8 {Вычитанием 8 с обеих сторон}
=> x + 0 = -17 {Поскольку, -9 — 8 = -17}
= > x = -17 {Так как x + 0 = x}
Итак, x = -17 является решением данного уравнения.
Проверка:
Подставляя x = -17 в данное уравнение, мы получаем
L.H.S. = -17 + 8 = -9 и R.H.S. = -9.
Таким образом, когда x = -17, мы имеем L.H.S. = R.H.S.

Решение линейных уравнений систематическим методом Example4:

Решите уравнение x + = 5 и проверьте результат.
Решение:
У нас есть x + = 5.
Чтобы решить это уравнение, мы должны получить x самостоятельно на L.H.S. Чтобы получить x сам по себе на L.H.S., нам нужно сдвинуть. Это можно сделать путем вычитания из обеих частей данного уравнения.
x + = 5
=> x + — = 5 — {Путем вычитания с обеих сторон}
=> x + 0 = {Поскольку, 5 — =}
=> x = {Поскольку, x + 0 = x}
Итак, x = — решение данного уравнения.
Проверка:
Подставляя x = в данное уравнение, мы получаем
L.H.S. = + = 5 и R.H.S. = 5.
Таким образом, при x = имеем L.H.S. = R.H.S.

Решение линейных уравнений с использованием умножения систематическим методом:

Решение линейных уравнений систематическим методом Example5:

Решите уравнение = 7 и проверьте результат.
Решение:
У нас есть, = 7.
Чтобы решить это уравнение, мы должны получить x отдельно от L.H.S. Чтобы получить x отдельно на L.H.S., мы должны удалить 3 из L.H.S. Это можно сделать, умножив обе части данного уравнения на 3. Мы имеем,
= 7
=> x 3 = 7 x 3 {Умножив обе части на 3}
=> xx 1 = 21 {Поскольку, = 1 и 7 x 3 = 21}
=> x = 21 {Так как xx 1 = x}
Итак, x = 21 является решением данного уравнения.
Проверка:
Подставляя x = 21 в данное уравнение, мы получаем
L.H.S. = = 7 и R.H.S. = 7.
Таким образом, при x = 21 имеем L.H.S. = R.H.S.

Решение линейных уравнений с делением систематическим методом:

Решение линейных уравнений систематическим методом Example6:

Решите уравнение 15x = 21 и проверьте результат.
Решение:
У нас есть 15x = 21.
Чтобы решить это уравнение, мы должны получить x самостоятельно на L.H.S. Чтобы получить x отдельно на L.H.S., необходимо удалить 15 из L.H.S. Это можно сделать, разделив обе части данного уравнения на 15.мы имеем,
15x = 21
=> = {Разделив обе стороны на 3}
=> 1 xx = {Так как, = 1 и = =}
=> x = {Поскольку, 1 xx = x}
Итак, x = — решение данного уравнения.
Проверка:
Подставляя x = в данное уравнение, мы получаем
L.H.S. = = 3 x 7 и R.H.S. = 21.
Таким образом, при x = мы имеем L.H.S. = R.H.S.

Решение линейных уравнений систематическим методом Example7:

Решите уравнение 3x + 2 = 11 и проверьте результат.
Решение:
У нас есть 3x + 2 = 11.
=> 3x + 2 — 2 = 11 — 2 {Путем вычитания 2 с обеих сторон}
=> 3x + 0 = 9
=> 3x = 9 { Поскольку, 3x + 0 = 3x}
=> = {Разделив обе части на 3}
=> x = 3.
Таким образом, x = 3 является решением данного уравнения.
Проверка:
Подставляя x = 3 в данное уравнение, мы получаем
L.H.S. = (3 x 3) + 2 = 9 + 2 = 11 и R.H.S. = 11.
Таким образом, при x = 3 имеем L.H.S. = R.H.S.

Решение линейных уравнений систематическим методом Example8:

Решите уравнение и проверьте результат.
Решение:
У нас есть,.
=> = {Сложением с обеих сторон}
=> 2x + 0 =
=> 2x = {Поскольку, 2x + 0 = 2x}
=> = {Разделив обе стороны на 2}
=> x =.
Таким образом, x = является решением данного уравнения.
Проверка:
Подставляя x = в данное уравнение, получаем
L.H.S. = (2 x) — = — = = 3 и R.H.S. = 3.
Таким образом, при x = имеем L.H.S. = R.H.S.

Решение линейных уравнений систематическим методом Example9:

Решите уравнение и проверьте результат.
Решение:
У нас есть,.
=> = {Путем вычитания с обеих сторон}
=> -7x =
=> x = {Разделив обе стороны на -7}
=> x =.
Таким образом, x = является решением данного уравнения.