Arccos 4: Mathway | Популярные задачи

Содержание

Mathway | Популярные задачи

1 Найти точное значение sin(30)
2 Найти точное значение sin(45)
3 Найти точное значение sin(30 град. )
4 Найти точное значение sin(60 град. )
5 Найти точное значение tan(30 град. )
6 Найти точное значение arcsin(-1)
7 Найти точное значение sin(pi/6)
8 Найти точное значение cos(pi/4)
9 Найти точное значение sin(45 град. )
10 Найти точное значение sin(pi/3)
11 Найти точное значение arctan(-1)
12 Найти точное значение cos(45 град. )
13 Найти точное значение cos(30 град. )
14 Найти точное значение tan(60)
15 Найти точное значение csc(45 град. )
16 Найти точное значение tan(60 град. )
17 Найти точное значение sec(30 град. )
18 Найти точное значение cos(60 град. )
19 Найти точное значение cos(150)
20 Найти точное значение sin(60)
21 Найти точное значение cos(pi/2)
22 Найти точное значение tan(45 град. )
23 Найти точное значение arctan(- квадратный корень 3)
24 Найти точное значение csc(60 град. )
25 Найти точное значение sec(45 град. )
26 Найти точное значение csc(30 град. )
27 Найти точное значение sin(0)
28 Найти точное значение sin(120)
29 Найти точное значение cos(90)
30 Преобразовать из радианов в градусы pi/3
31 Найти точное значение tan(30)
32 Преобразовать из градусов в радианы 45
33 Найти точное значение cos(45)
34 Упростить sin(theta)^2+cos(theta)^2
35 Преобразовать из радианов в градусы pi/6
36 Найти точное значение cot(30 град. )
37 Найти точное значение arccos(-1)
38 Найти точное значение arctan(0)
39 Найти точное значение cot(60 град. )
40 Преобразовать из градусов в радианы 30
41 Преобразовать из радианов в градусы (2pi)/3
42 Найти точное значение sin((5pi)/3)
43 Найти точное значение sin((3pi)/4)
44 Найти точное значение tan(pi/2)
45 Найти точное значение sin(300)
46 Найти точное значение cos(30)
47 Найти точное значение cos(60)
48 Найти точное значение cos(0)
49 Найти точное значение cos(135)
50 Найти точное значение cos((5pi)/3)
51 Найти точное значение cos(210)
52 Найти точное значение sec(60 град. )
53 Найти точное значение sin(300 град. )
54 Преобразовать из градусов в радианы 135
55 Преобразовать из градусов в радианы 150
56 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/6
57 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/3
58 Преобразовать из градусов в радианы 89 град.
59 Преобразовать из градусов в радианы 60
60 Найти точное значение sin(135 град. )
61 Найти точное значение sin(150)
62 Найти точное значение sin(240 град. )
63 Найти точное значение cot(45 град. )
64 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/4
65 Найти точное значение sin(225)
66 Найти точное значение sin(240)
67 Найти точное значение cos(150 град. )
68 Найти точное значение tan(45)
69 Вычислить sin(30 град. )
70 Найти точное значение sec(0)
71 Найти точное значение cos((5pi)/6)
72 Найти точное значение csc(30)
73 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень 2)/2)
74 Найти точное значение tan((5pi)/3)
75 Найти точное значение tan(0)
76 Вычислить sin(60 град. )
77 Найти точное значение arctan(-( квадратный корень 3)/3)
78 Преобразовать из радианов в градусы (3pi)/4
79 Найти точное значение sin((7pi)/4)
80 Найти точное значение arcsin(-1/2)
81 Найти точное значение sin((4pi)/3)
82 Найти точное значение csc(45)
83 Упростить arctan( квадратный корень 3)
84 Найти точное значение sin(135)
85 Найти точное значение sin(105)
86 Найти точное значение sin(150 град. )
87 Найти точное значение sin((2pi)/3)
88 Найти точное значение tan((2pi)/3)
89 Преобразовать из радианов в градусы pi/4
90 Найти точное значение sin(pi/2)
91 Найти точное значение sec(45)
92 Найти точное значение cos((5pi)/4)
93 Найти точное значение cos((7pi)/6)
94 Найти точное значение arcsin(0)
95 Найти точное значение sin(120 град. )
96 Найти точное значение tan((7pi)/6)
97 Найти точное значение cos(270)
98 Найти точное значение sin((7pi)/6)
99 Найти точное значение arcsin(-( квадратный корень 2)/2)
100 Преобразовать из градусов в радианы 88 град.

Mathway | Популярные задачи

1 Найти точное значение sin(30)
2 Найти точное значение sin(45)
3 Найти точное значение sin(30 град. )
4 Найти точное значение sin(60 град. )
5 Найти точное значение tan(30 град. )
6 Найти точное значение arcsin(-1)
7 Найти точное значение sin(pi/6)
8 Найти точное значение cos(pi/4)
9 Найти точное значение sin(45 град. )
10 Найти точное значение sin(pi/3)
11 Найти точное значение arctan(-1)
12 Найти точное значение cos(45 град. )
13 Найти точное значение cos(30 град. )
14 Найти точное значение tan(60)
15 Найти точное значение csc(45 град. )
16 Найти точное значение tan(60 град. )
17 Найти точное значение sec(30 град. )
18 Найти точное значение cos(60 град. )
19 Найти точное значение cos(150)
20 Найти точное значение sin(60)
21 Найти точное значение cos(pi/2)
22 Найти точное значение tan(45 град. )
23 Найти точное значение arctan(- квадратный корень 3)
24 Найти точное значение csc(60 град. )
25 Найти точное значение sec(45 град. )
26 Найти точное значение csc(30 град. )
27 Найти точное значение sin(0)
28 Найти точное значение sin(120)
29 Найти точное значение cos(90)
30 Преобразовать из радианов в градусы pi/3
31 Найти точное значение tan(30)
32 Преобразовать из градусов в радианы 45
33 Найти точное значение cos(45)
34 Упростить sin(theta)^2+cos(theta)^2
35 Преобразовать из радианов в градусы pi/6
36 Найти точное значение cot(30 град. )
37 Найти точное значение arccos(-1)
38 Найти точное значение arctan(0)
39 Найти точное значение cot(60 град. )
40 Преобразовать из градусов в радианы 30
41 Преобразовать из радианов в градусы (2pi)/3
42 Найти точное значение sin((5pi)/3)
43 Найти точное значение sin((3pi)/4)
44 Найти точное значение tan(pi/2)
45 Найти точное значение sin(300)
46 Найти точное значение cos(30)
47 Найти точное значение cos(60)
48 Найти точное значение cos(0)
49 Найти точное значение cos(135)
50 Найти точное значение cos((5pi)/3)
51 Найти точное значение cos(210)
52 Найти точное значение sec(60 град. )
53 Найти точное значение sin(300 град. )
54 Преобразовать из градусов в радианы 135
55 Преобразовать из градусов в радианы 150
56 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/6
57 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/3
58 Преобразовать из градусов в радианы 89 град.
59 Преобразовать из градусов в радианы 60
60 Найти точное значение sin(135 град. )
61 Найти точное значение sin(150)
62 Найти точное значение sin(240 град. )
63 Найти точное значение cot(45 град. )
64 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/4
65 Найти точное значение sin(225)
66 Найти точное значение sin(240)
67 Найти точное значение cos(150 град. )
68 Найти точное значение tan(45)
69 Вычислить sin(30 град. )
70 Найти точное значение sec(0)
71 Найти точное значение cos((5pi)/6)
72 Найти точное значение csc(30)
73 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень 2)/2)
74 Найти точное значение tan((5pi)/3)
75 Найти точное значение tan(0)
76 Вычислить sin(60 град. )
77 Найти точное значение arctan(-( квадратный корень 3)/3)
78 Преобразовать из радианов в градусы (3pi)/4
79 Найти точное значение sin((7pi)/4)
80 Найти точное значение arcsin(-1/2)
81 Найти точное значение sin((4pi)/3)
82 Найти точное значение csc(45)
83 Упростить arctan( квадратный корень 3)
84 Найти точное значение sin(135)
85 Найти точное значение sin(105)
86 Найти точное значение sin(150 град. )
87 Найти точное значение sin((2pi)/3)
88 Найти точное значение tan((2pi)/3)
89 Преобразовать из радианов в градусы pi/4
90 Найти точное значение sin(pi/2)
91 Найти точное значение sec(45)
92 Найти точное значение cos((5pi)/4)
93 Найти точное значение cos((7pi)/6)
94 Найти точное значение arcsin(0)
95 Найти точное значение sin(120 град. )
96 Найти точное значение tan((7pi)/6)
97 Найти точное значение cos(270)
98 Найти точное значение sin((7pi)/6)
99 Найти точное значение arcsin(-( квадратный корень 2)/2)
100 Преобразовать из градусов в радианы 88 град.

4 arccos

Вы искали 4 arccos? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 4 arccos 0, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «4 arccos».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как 4 arccos,4 arccos 0,4 arccos 1,arccos 0 75,arccos 0 8,arccos 1 5,arccos 1 6,arccos 4,arccos 4 3,arccos 5 1,arccos 5 3,arccos калькулятор,arccos калькулятор онлайн,arccos калькулятор онлайн в градусах,arccos онлайн калькулятор,arccos онлайн калькулятор в градусах,арккосинус вычислить,арккосинус калькулятор,арккосинус калькулятор онлайн,арккосинус калькулятор онлайн в градусах,арккосинус онлайн,арккосинус онлайн калькулятор,арккосинус онлайн калькулятор в градусах,арккосинус посчитать,арккосинус посчитать онлайн,вычислите arccos cos 10,вычислить arccos,вычислить арккосинус,калькулятор arccos,калькулятор arccos онлайн,калькулятор арккосинус,калькулятор арккосинус онлайн,калькулятор арккосинуса,найти арккосинус,найти арккосинус онлайн,посчитать арккосинус. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и 4 arccos. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, 4 arccos 1).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 4 arccos Онлайн?

Решить задачу 4 arccos вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.

Тригонометрическая форма комплексного числа

Рассмотрим комплексное число, заданной в обычной (алгебраической) форме:

Задача заключается в представлении комплексного числа (1) в тригонометрической форме. Для этого на комплексной плоскости введем полярные координаты. Примем за полюс начало координат, а за полярную ось вещественную ось R.

Как известно, полярными координатами точки z являются длина r ее радиус-вектора, равной расстоянию от точки z до полюса, и величина ее полярного угла, т.е. угла, образованного между полярной осью и вектором-радиусом точки z. Отметим, что направление отсчета угла берется от полярной оси до вектора-радиуса против часовой стрелки (Рис.1, Рис.2).

На Рис.3 изображено комплексное число z. Координаты этого числа в декартовой системе координат (a, b). Из определения функций sin и cos любого угла, следует:

Откуда имеем:

Подставляя (2) в (1), получим:

Эта форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Уравнения (2) возведем в квадрат и сложим:

Откуда:

r−длина радиус-вектора комплексного числа z называется модулем комплексного числа и обозначается |z|. Очевидно |z|≥0, причем |z|=0 тогда и только тогда, когда z=0.

Величина полярного угла точки, соответвующей комплексному числу z, т.е. угла φ, называется аргументом этого числа и обозначается arg z. Заметим, что arg z имеет смысл лишь при z≠0. Аргумент комплексного числа 0 не имеет смысла.

Аргумент комплексного числа определен неоднозначно. Если φ аргумент комплексного числа, то φ+2πk, k=0,1,… также является аргументом комплексного числа, т.к. cos(φ+2πk)=cosφ, sin(φ+2πk)=sinφ.

Приведение комплексного числа из алгебраической формы в тригонометрическую

Пусть комплексное число представлено в алгебраической форме: z=a+bi. Представим это число в тригонометрической форме. Вычисляем модуль комплексного числа: . Вычисляем аргумент φ комплексного числа из выражений или . Полученные значения вставляем в уравнение (3).

Пример 1. Представить комплексное число z=1 в тригонометрической форме.

Решение. Комплексное число z=1 можно представить так: z=1+0i. Вычислим модуль этого числа: . Вычислим аргумент этого числа: cosφ=1/1. Откуда имеем φ=0. Подставляя значения модуля и аргумента в (3), получим: z=1(cos0+isin0).

Ответ. z=1(cos0+isin0).

Пример 2. Представить комплексное число z=i в тригонометрической форме.

Решение. Комплексное число z=i можно представить так: z=0+1i. Вычислим модуль этого числа: . Вычислим аргумент этого числа: cosφ=0/1. Откуда имеем φ=π/2. Подставляя значения модуля и аргумента в (3), получим: .

Ответ. .

Пример 3. Представить комплексное число z=4+3i в тригонометрической форме.

Решение. Вычислим модуль этого числа: . Вычислим аргумент этого числа: cosφ=4/5. Откуда имеем φ=arccos(4/5). Подставляя значения модуля и аргумента в (3), получим: .

Ответ. , где φ=arccos(4/5).

Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме записи

Пусть заданы комплексные числа z1=r1(cosφ1+i sinφ1) и z2=r2(cosφ2+i sinφ2). Перемножим эти числа:

или

В результате умножения комплексных чисел в тригонометрической форме мы получили комплексное число в тригонометрической форме, следовательно |z1z2|=r1r2, или

т.е. модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей.

Далее имеем arg(z1z2)=φ1+φ2 или

т.е. аргумент произведения комплексных чисел равен сумме аргументов сомножителей.

Пример 4. Умножить комплексные числа и .

Решение. Воспользуемся формулой (5):

Ответ. .

Деление комплексных чисел в тригонометрической форме записи

Пусть заданы комплексные числа z1=r1(cosφ1+i sinφ1) и z2=r2(cosφ2+i sinφ2) и пусть z2≠0, т.е. r2≠0. Вычислим z1/z2:

Получили

Отсюда следует, что или

Далее , или

Следовательно, модуль частного двух комплексных чисел равен модулю делимого, деленному на модуль делителя, а аргумент частного двух комплексных чисел получается вычитанием аргумента делителя от аргумента делимого.

Пример 5. Делить комплексные числа и .

Решение. Воспользуемся формулой (8):

Ответ. .

Геометрический смысл умножения и деления

На рисунке Рис.4 представлено умножение комплексных чисел z1 и z2. Из (6) и (7) следует, что для получения произведения z1z2, нужно вектор-радиус точки z1 повернуть против часовой стрелки на угол φ2 и растянуть в |z2| раз (при 0z2|

Рассмотрим, теперь, деление комплексного числа z1z2 на z1 (Рис.4). Из формулы (8) следует, что модуль искомого числа равен частному от деления модуля числа z1z2 на модуль числа z1, а аргумент равен: φ2=φφ1. В результате деления получим число z2.

Смотрите также:

Значение arccos 1 2 равно. Что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс

Урок и презентация на темы: «Арккосинус. Таблица арккосинусов. arccos(0), arccos(1), arccos(2)»

Дополнительные материалы

Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 10 класса


Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы
Программная среда «1С: Математический конструктор 6.1»

Что будем изучать:

1. Что такое арккосинус?
2. Обозначение арккосинуса.
3. Немного истории.
4. Определение.
5. Таблица значений арккосинуса.
6. Примеры.

Что такое арккосинус?

Ребята, мы с вами уже изучили функцию Y=cos(X), построили ее график и решали некоторые уравнения, например cos(x)= 1/2. Для решения этого уравнения требовалось провести прямую x= 1/2 и
посмотреть, в каких точках она пересекает числовую окружность.

Видно что прямая пересекает окружность в двух точках F и G. Эти точки и являются решением уравнения. Переобозначим F как x1, а G — как x2. Решение уравнения мы нашли довольно легко и определили, что x1 = π/3 + 2πk, а x2 = -π/3 + 2πk.

Решить данное уравнение довольно просто, но как решить, например, уравнение cos(x)=4/7. Очевидно, что решением уравнения будут две точки, но какие значения будут соответствовать решению на числовой окружности?

Обозначение арккосинуса

Давайте внимательно посмотрим на уравнение cos(x)=4/7.

Как мы и говорили, решениями нашего уравнения будут две точки: F=x1+2πk и G=x2+2πk, но, что это за точки? Много лет назад столкнувшись с этой проблемой математики решили, что надо придумать некоторый способ описания решения на математическом языке. И был придуман новый символ – arccos(x). Будем читать как арккосинус.

Тогда решения нашего уравнения запишутся как: x1=arccos(4/7) и x2=-arccos(4/7). И решение в общем виде: x=arccos(4/7) + 2πk и x=-arccos(4/7) + 2πk. Арккосинус — это угол (длина дуги AF, AG), косинус которого равен 4/7.

Немного истории

Символ arccos появляется впервые в 18 веке в работах математика Шерфера и известного французского ученого Жозефа Луи Лагранжа, портрет которого вы видите на этой странице. Несколько ранее понятие арккосинус уже рассматривал Д. Бернули, но записывал его совсем другими символами.

Общепринятыми эти символы стали лишь в конце XVIII столетия. Приставка «arc» происходит от латинского «arcus» (лук, дуга), что вполне согласуется со смыслом понятия:
arccos x — это угол (можно сказать и дуга), косинус которого равен x.

Определение арккосинуса.

Если |а|≤ 1, то arccos(a) – это такое число из отрезка , косинус которого равен а.

Если |а|≤ 1, то уравнение cos(x)=a имеет решение: x=±arccos(a) + 2πk

Есть три случая, в которых предпочитают записывать решения более простым способом:

cos(x)=0, то x= π/2 + πk

cos(x)=1, то x= 2πk

cos(x)=-1, то x= π + 2πk

Также стоит записать важное равенство:

Для любого -1 ≤ а ≤ 1 выполняется равенство: arccos(a) + arccos(-a) = π
; при решение заданий удобнее использовать: arccos(-a) = π — arccos(a), где -1 ≤ а ≤ 1

Таблица значений арккосинуса

Напишем таблицу значений косинуса наоборот и получим таблицу для арккосинуса

Примеры

1. Найти значение функции arccos(-√3/2).
Решение: Пусть arccos(-√3/2)=x, тогда cos(x)=-√3/2 и по определению 0 ≤ x ≤ π. Посмотрим значения косинуса в таблице: x=5π/6, т.к. cos(5π/6)= -√3/2 и 0 ≤ 5π/6 ≤ π.
Ответ: arccos(-√3/2)=5π/6

2. Найти значение функции arccos(√2/2).
Решение: Пусть arccos(√2/2) = x, тогда cos(x)= √2/2 и по определению 0 ≤ x ≤ π. Посмотрим значения косинуса в таблице: x=π/4, т.к. cos(π/4)= √2/2 и 0 ≤ π/4 ≤ π.
Ответ: arccos(√2/2)=π/4

3. Найти значение функции arccos(1).
Решение: Пусть arccos(1) = x, тогда cos(x)= 1 и по определению 0≤ x ≤ π. Посмотрим значения косинуса в таблице: значит x=0, т.к. cos(0)= 1 и 0 ≤ 0 ≤ π.
Ответ: arccos(1)=0

4. Решить неравенство cos(x)> -0.3.
Решение: Косинус — это абсцисса точки числовой окружности. Значит необходимо найти такие точки, абсциссы которых больше -0.3. Нарисуем прямую x=-0.3. Она пересекает числовую окружность в двух точках: F и G. Неравенству x>-0.3 соответствуют точки дуги GF. Точкам F и G соответствуют абсциссы:
±arccos(-0.3)= ±(π — arccos(0.3)). Запишем аналитическую запись дуги GF: -π + arccos(0.3)
Ответ: -π + arccos(0.3)

Задачи для самостоятельного решения

1)Вычислить:
а) $arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$,
б) $arccos(-\frac{1}{2})$,
в) $arccos(0)$,
г) $arccos(-0,5)$.
2) Решить уравнения:
а) $cos(x)=-\frac{1}{2}$,
б) $cos(x)=1$,
в) $cos(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}$,
г) $cos(x)=0,25$,
д) $cos(x)=-1,2$.
3) Решить неравенства:
а) $cos(x)>0,6$,
б) $cos(x)≤0,2$.

Что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс?

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

К понятиям арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс

учащийся народ относится с опаской. Не понимает он эти термины и, стало быть, не доверяет этой славной семейке.) А зря. Это очень простые понятия. Которые, между прочим, колоссально облегчают жизнь знающему человеку при решении тригонометрических уравнений!

Сомневаетесь насчёт простоты? Напрасно.) Прямо здесь и сейчас вы в этом убедитесь.

Разумеется, для понимания, неплохо бы знать, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс. Да их табличные значения для некоторых углов… Хотя бы в самых общих чертах. Тогда и здесь проблем не будет.

Итак, удивляемся, но запоминаем: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс — это просто какие-то углы.
Ни больше ни меньше. Бывает угол, скажем 30°. А бывает угол arcsin0,4.

Или arctg(-1,3).

Всякие углы бывают.) Просто записать углы можно разными способами. Можно записать угол через градусы или радианы. А можно — через его синус, косинус, тангенс и котангенс…

Что означает выражение

arcsin 0,4 ?

Это угол, синус которого равен 0,4
! Да-да. Это смысл арксинуса. Специально повторю: arcsin 0,4 — это угол, синус которого равен 0,4.

И всё.

Чтобы эта простая мысль сохранилась в голове надолго, я даже приведу разбивочку этого ужасного термина — арксинус:

arc
sin
0,4

угол,
синус которого
равен 0,4

Как пишется, так и слышится.) Почти. Приставка arc
означает дуга
(слово арка
знаете?), т.к. древние люди вместо углов использовали дуги, но это сути дела не меняет. Запомните эту элементарную расшифровку математического термина! Тем более, для арккосинуса, арктангенса и арккотангенса расшифровка отличается только названием функции.

Что такое arccos 0,8 ?
Это угол, косинус которого равен 0,8.

Что такое arctg(-1,3) ?
Это угол, тангенс которого равен -1,3.

Что такое arcctg 12 ?
Это угол, котангенс которого равен 12.

Такая элементарная расшифровка позволяет, кстати, избежать эпических ляпов.) Например, выражение arccos1,8 выглядит вполне солидно. Начинаем расшифровку: arccos1,8 — это угол, косинус которого равен 1,8… Скока-скока!? 1,8!? Косинус не бывает больше единицы!!!

Верно. Выражение arccos1,8 не имеет смысла. И запись такого выражения в какой-нибудь ответ изрядно повеселит проверяющего.)

Элементарно, как видите.) У каждого угла имеется свой персональный синус и косинус. И почти у каждого — свой тангенс и котангенс. Стало быть, зная тригонометрическую функцию, можно записать и сам угол. Для этого и предназначены арксинусы, арккосинусы, арктангенсы и арккотангенсы. Далее я всю эту семейку буду называть уменьшительно — арки.
Чтобы печатать меньше.)

Внимание! Элементарная словесная и осознанная
расшифровка арков позволяет спокойно и уверенно решать самые различные задания. А в непривычных
заданиях только она и спасает.

А можно переходить от арков к обычным градусам или радианам?
— слышу осторожный вопрос.)

Почему — нет!? Легко. И туда можно, и обратно. Более того, это иногда нужно обязательно делать. Арки — штука простая, но без них как-то спокойнее, правда?)

Например: что такое arcsin 0,5?

Вспоминаем расшифровку:
arcsin 0,5 — это угол, синус которого равен 0,5.
Теперь включаем голову (или гугл)) и вспоминаем, у какого угла синус равен 0,5? Синус равен 0,5 у угла в 30 градусов
. Вот и все дела: arcsin 0,5 — это угол 30°.
Можно смело записать:

arcsin 0,5 = 30°

Или, более солидно, через радианы:

Всё, можно забыть про арксинус и работать дальше с привычными градусами или радианами.

Если вы осознали, что такое арксинус, арккосинус… Что такое арктангенс, арккотангенс…
То легко разберётесь, например, с таким монстром.)

Несведущий человек отшатнётся в ужасе, да…) А сведущий вспомнит расшифровку:
арксинус — это угол, синус которого… Ну и так далее. Если сведущий человек знает ещё и таблицу синусов… Таблицу косинусов. Таблицу тангенсов и котангенсов, то проблем вообще нет!

Достаточно сообразить, что:

Расшифрую, т.е. переведу формулу в слова: угол, тангенс которого равен 1 (arctg1)
— это угол 45°. Или, что едино, Пи/4. Аналогично:

и всё… Заменяем все арки на значения в радианах, всё посокращается, останется посчитать, сколько будет 1+1. Это будет 2.) Что и является правильным ответом.

Вот таким образом можно (и нужно) переходить от арксинусов, арккосинусов, арктангенсов и арккотангенсов к обычным градусам и радианам. Это здорово упрощает страшные примеры!

Частенько, в подобных примерах, внутри арков стоят отрицательные
значения. Типа, arctg(-1,3), или, к примеру, arccos(-0,8)… Это не проблема. Вот вам простые формулы перехода от отрицательных значений к положительным:

Нужно вам, скажем, определить значение выражения:

Это можно и по тригонометрическому кругу решить, но вам не хочется его рисовать. Ну и ладно. Переходим от отрицательного
значения внутри арккосинуса к положительному
по второй формуле:

Внутри арккосинуса справа уже положительное
значение. То, что

вы просто обязаны знать. Остаётся подставить радианы вместо арккосинуса и посчитать ответ:

Вот и всё.

Ограничения на арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.

С примерами 7 — 9 проблема? Ну да, есть там некоторая хитрость.)

Все эти примеры, с 1-го по 9-й, тщательно разобраны по полочкам в Разделе 555. Что, как и почему. Со всеми тайными ловушками и подвохами. Плюс способы резкого упрощения решения. Кстати, в этом разделе много полезной информации и практических советов по тригонометрии в целом. И не только по тригонометрии. Очень помогает.

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Эта статья про нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса
данного числа. Сначала мы внесем ясность, что называется значением арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Дальше получим основные значения этих аркфункций, после чего разберемся, как находятся значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса. Наконец, поговорим про нахождение арксинуса числа, когда известен арккосинус, арктангенс или арккотангенс этого числа, и т.п.

Навигация по странице.

Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Сначала стоит разобраться, что вообще такое «значение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса
».

Таблицы синусов и косинусов, а также тангенсов и котангенсов Брадиса позволяют найти значение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса положительного числа в градусах с точностью до одной минуты. Здесь стоит оговориться, что нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса отрицательных чисел можно свести к нахождению значений соответствующих аркфункций положительных чисел, обратившись к формулам arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел вида arcsin(−a)=−arcsin a
, arccos(−a)=π−arccos a
, arctg(−a)=−arctg a
и arcctg(−a)=π−arcctg a
.

Разберемся с нахождением значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса по таблицам Брадиса. Будем это делать на примерах.

Пусть нам требуется найти значение арксинуса 0,2857
. Находим это значение в таблице синусов (случаи, когда это значение отсутствует в таблице, разберем ниже). Ему соответствует синус 16
градусов 36
минут. Следовательно, искомым значением арксинуса числа 0,2857
является угол 16
градусов 36
минут.

Часто приходится учитывать и поправки из трех справа столбцов таблицы. К примеру, если нам нужно найти арксинус 0,2863
. По таблице синусов это значение получается как 0,2857
плюс поправка 0,0006
, то есть, значению 0,2863
соответствует синус 16
градусов 38
минут (16
градусов 36
минут плюс 2
минуты поправки).

Если же число, арксинус которого нас интересует, отсутствует в таблице и даже не может быть получено с учетом поправок, то в таблице нужно отыскать два наиболее близких к нему значения синусов, между которыми данное число заключено. Например, мы ищем значение арксинуса числа 0,2861573
. Этого числа нет в таблице, с помощью поправок это число тоже не получить. Тогда находим два наиболее близких значения 0,2860
и 0,2863
, между которыми исходное число заключено, этим числам соответствуют синусы 16
градусов 37
минут и 16
градусов 38
минут. Искомое значение арксинуса 0,2861573
заключено между ними, то есть, любое из этих значений угла можно принять в качестве приближенного значения арксинуса с точностью до 1
минуты.

Абсолютно аналогично находятся и значения арккосинуса, и значения арктангенса и значения арккотангенса (при этом, конечно, используются таблицы косинусов, тангенсов и котангенсов соответственно).

Нахождение значения arcsin через arccos, arctg, arcctg и т.п.

Например, пусть нам известно, что arcsin a=−π/12
, а нужно найти значение arccos a
. Вычисляем нужное нам значение арккосинуса: arccos a=π/2−arcsin a=π/2−(−π/12)=7π/12
.

Куда интереснее обстоит дело, когда по известному значению арксинуса или арккосинуса числа a
требуется найти значение арктангенса или арккотангенса этого числа a
или наоборот. Формул, задающих такие связи, мы, к сожалению, не знаем. Как же быть? Разберемся с этим на примере.

Пусть нам известно, что арккосинус числа a
равен π/10
, и нужно вычислить значение арктангенса этого числа a
. Решить поставленную задачу можно так: по известному значению арккосинуса найти число a
, после чего найти арктангенс этого числа. Для этого нам сначала потребуется таблица косинусов, а затем – таблица тангенсов.

Угол π/10
радиан – это угол 18
градусов, по таблице косинусов находим, что косинус 18
градусов приближенно равен 0,9511
, тогда число a
в нашем примере есть 0,9511
.

Осталось обратиться к таблице тангенсов, и с ее помощью найти нужное нам значение арктангенса 0,9511
, оно приближенно равно 43
градусам 34
минутам.

Эту тему логически продолжает материал статьи вычисление значений выражений, содержащих arcsin, arccos, arctg и arcctg
.

Список литературы.

  • Алгебра:
    Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
  • Башмаков М. И.
    Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1993. — 351 с.: ил. — ISBN 5-09-004617-4.
  • Алгебра
    и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
  • И. В. Бойков, Л. Д. Романова. Сборникк задач для подготовки к ЕГЭ, часть 1, Пенза 2003.
  • Брадис В. М.
    Четырехзначные математические таблицы: Для общеобразоват. учеб. заведений. — 2-е изд. — М.: Дрофа, 1999.- 96 с.: ил. ISBN 5-7107-2667-2

Значение arccos 1 2 равно. Нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Урок и презентация на темы: «Арккосинус. Таблица арккосинусов. arccos(0), arccos(1), arccos(2)»

Дополнительные материалы

Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 10 класса


Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы
Программная среда «1С: Математический конструктор 6.1»

Что будем изучать:

1. Что такое арккосинус?
2. Обозначение арккосинуса.
3. Немного истории.
4. Определение.
5. Таблица значений арккосинуса.
6. Примеры.

Что такое арккосинус?

Ребята, мы с вами уже изучили функцию Y=cos(X), построили ее график и решали некоторые уравнения, например cos(x)= 1/2. Для решения этого уравнения требовалось провести прямую x= 1/2 и
посмотреть, в каких точках она пересекает числовую окружность.

Видно что прямая пересекает окружность в двух точках F и G. Эти точки и являются решением уравнения. Переобозначим F как x1, а G — как x2. Решение уравнения мы нашли довольно легко и определили, что x1 = π/3 + 2πk, а x2 = -π/3 + 2πk.

Решить данное уравнение довольно просто, но как решить, например, уравнение cos(x)=4/7. Очевидно, что решением уравнения будут две точки, но какие значения будут соответствовать решению на числовой окружности?

Обозначение арккосинуса

Давайте внимательно посмотрим на уравнение cos(x)=4/7.

Как мы и говорили, решениями нашего уравнения будут две точки: F=x1+2πk и G=x2+2πk, но, что это за точки? Много лет назад столкнувшись с этой проблемой математики решили, что надо придумать некоторый способ описания решения на математическом языке. И был придуман новый символ – arccos(x). Будем читать как арккосинус.

Тогда решения нашего уравнения запишутся как: x1=arccos(4/7) и x2=-arccos(4/7). И решение в общем виде: x=arccos(4/7) + 2πk и x=-arccos(4/7) + 2πk. Арккосинус — это угол (длина дуги AF, AG), косинус которого равен 4/7.

Немного истории

Символ arccos появляется впервые в 18 веке в работах математика Шерфера и известного французского ученого Жозефа Луи Лагранжа, портрет которого вы видите на этой странице. Несколько ранее понятие арккосинус уже рассматривал Д. Бернули, но записывал его совсем другими символами.

Общепринятыми эти символы стали лишь в конце XVIII столетия. Приставка «arc» происходит от латинского «arcus» (лук, дуга), что вполне согласуется со смыслом понятия:
arccos x — это угол (можно сказать и дуга), косинус которого равен x.

Определение арккосинуса.

Если |а|≤ 1, то arccos(a) – это такое число из отрезка , косинус которого равен а.

Если |а|≤ 1, то уравнение cos(x)=a имеет решение: x=±arccos(a) + 2πk

Есть три случая, в которых предпочитают записывать решения более простым способом:

cos(x)=0, то x= π/2 + πk

cos(x)=1, то x= 2πk

cos(x)=-1, то x= π + 2πk

Также стоит записать важное равенство:

Для любого -1 ≤ а ≤ 1 выполняется равенство: arccos(a) + arccos(-a) = π
; при решение заданий удобнее использовать: arccos(-a) = π — arccos(a), где -1 ≤ а ≤ 1

Таблица значений арккосинуса

Напишем таблицу значений косинуса наоборот и получим таблицу для арккосинуса

Примеры

1. Найти значение функции arccos(-√3/2).
Решение: Пусть arccos(-√3/2)=x, тогда cos(x)=-√3/2 и по определению 0 ≤ x ≤ π. Посмотрим значения косинуса в таблице: x=5π/6, т.к. cos(5π/6)= -√3/2 и 0 ≤ 5π/6 ≤ π.
Ответ: arccos(-√3/2)=5π/6

2. Найти значение функции arccos(√2/2).
Решение: Пусть arccos(√2/2) = x, тогда cos(x)= √2/2 и по определению 0 ≤ x ≤ π. Посмотрим значения косинуса в таблице: x=π/4, т.к. cos(π/4)= √2/2 и 0 ≤ π/4 ≤ π.
Ответ: arccos(√2/2)=π/4

3. Найти значение функции arccos(1).
Решение: Пусть arccos(1) = x, тогда cos(x)= 1 и по определению 0≤ x ≤ π. Посмотрим значения косинуса в таблице: значит x=0, т.к. cos(0)= 1 и 0 ≤ 0 ≤ π.
Ответ: arccos(1)=0

4. Решить неравенство cos(x)> -0.3.
Решение: Косинус — это абсцисса точки числовой окружности. Значит необходимо найти такие точки, абсциссы которых больше -0.3. Нарисуем прямую x=-0.3. Она пересекает числовую окружность в двух точках: F и G. Неравенству x>-0.3 соответствуют точки дуги GF. Точкам F и G соответствуют абсциссы:
±arccos(-0.3)= ±(π — arccos(0.3)). Запишем аналитическую запись дуги GF: -π + arccos(0.3)
Ответ: -π + arccos(0.3)

Задачи для самостоятельного решения

1)Вычислить:
а) $arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$,
б) $arccos(-\frac{1}{2})$,
в) $arccos(0)$,
г) $arccos(-0,5)$.
2) Решить уравнения:
а) $cos(x)=-\frac{1}{2}$,
б) $cos(x)=1$,
в) $cos(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}$,
г) $cos(x)=0,25$,
д) $cos(x)=-1,2$.
3) Решить неравенства:
а) $cos(x)>0,6$,
б) $cos(x)≤0,2$.

Функции sin, cos, tg и ctg всегда сопровождаются арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом. Одно является следствием другого, а пары функций одинаково важны для работы с тригонометрическими выражениями.

Рассмотрим рисунок единичной окружности, на котором графически отображено значений тригонометрических функций.

Если вычислить arcs OA, arcos OC, arctg DE и arcctg MK, то все они будут равны значению угла α. Формулы, приведенные ниже, отражают взаимосвязь основных тригонометрических функций и соответствующих им арков.

Чтобы больше понять о свойствах арксинуса, необходимо рассмотреть его функцию. График имеет вид асимметричной кривой, проходящей через центр координат.

Свойства арксинуса:

Если сопоставить графики sin
и arcsin
, у двух тригонометрических функций можно найти общие закономерности.

Арккосинус

Arccos числа а — это значение угла α, косинус которого равен а.

Кривая y = arcos x
зеркально отображает график arcsin x, с той лишь разницей, что проходит через точку π/2 на оси OY.

Рассмотрим функцию арккосинуса более подробно:

  1. Функция определена на отрезке [-1; 1].
  2. ОДЗ для arccos — .
  3. График целиком расположен в I и II четвертях, а сама функция не является ни четной, ни нечетной.
  4. Y = 0 при x = 1.
  5. Кривая убывает на всей своей протяженности. Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

Возможно, школьникам покажется излишним такое «подробное» изучение «арков». Однако, в противном случае, некоторые элементарные типовые задания ЕГЭ могут ввести учащихся в тупик.

Задание 1.
Укажите функции изображенные на рисунке.

Ответ:
рис. 1 – 4, рис.2 — 1.

В данном примере упор сделан на мелочах. Обычно ученики очень невнимательно относятся к построению графиков и внешнему виду функций. Действительно, зачем запоминать вид кривой, если ее всегда можно построить по расчетным точкам. Не стоит забывать, что в условиях теста время, затраченное на рисунок для простого задания, потребуется для решения более сложных заданий.

Арктангенс

Arctg
числа a – это такое значение угла α, что его тангенс равен а.

Если рассмотреть график арктангенса, можно выделить следующие свойства:

  1. График бесконечен и определен на промежутке (- ∞; + ∞).
  2. Арктангенс нечетная функция, следовательно, arctg (- x) = — arctg x.
  3. Y = 0 при x = 0.
  4. Кривая возрастает на всей области определения.

Приведем краткий сравнительный анализ tg x и arctg x в виде таблицы.

Арккотангенс

Arcctg числа a — принимает такое значение α из интервала (0; π), что его котангенс равен а.

Свойства функции арккотангенса:

  1. Интервал определения функции – бесконечность.
  2. Область допустимых значений – промежуток (0; π).
  3. F(x) не является ни четной, ни нечетной.
  4. На всем своем протяжении график функции убывает.

Сопоставить ctg x и arctg x очень просто, нужно лишь сделать два рисунка и описать поведение кривых.

Задание 2.
Соотнести график и форму записи функции.

Если рассуждать логически, из графиков видно, что обе функции возрастающие. Следовательно, оба рисунка отображают некую функцию arctg. Из свойств арктангенса известно, что y=0 при x = 0,

Ответ:
рис. 1 – 1, рис. 2 – 4.

Тригонометрические тождества arcsin, arcos, arctg и arcctg

Ранее нами уже была выявлена взаимосвязь между арками и основными функциями тригонометрии. Данная зависимость может быть выражена рядом формул, позволяющих выразить, например, синус аргумента, через его арксинус, арккосинус или наоборот. Знание подобных тождеств бывает полезным при решении конкретных примеров.

Также существуют соотношения для arctg и arcctg:

Еще одна полезная пара формул, устанавливает значение для суммы значений arcsin и arcos, а также arcctg и arcctg одного и того же угла.

Примеры решения задач

Задания по тригонометрии можно условно разделить на четыре группы: вычислить числовое значение конкретного выражения, построить график данной функции, найти ее область определения или ОДЗ и выполнить аналитические преображения для решения примера.

При решении первого типа задач необходимо придерживаться следующего плана действий:

При работе с графиками функций главное – это знание их свойств и внешнего вида кривой. Для решения тригонометрических уравнений и неравенств необходимы таблицы тождеств. Чем больше формул помнит школьник, тем проще найти ответ задания.

Допустим в ЕГЭ необходимо найти ответ для уравнения типа:

Если правильно преобразовать выражение и привести к нужному виду, то решить его очень просто и быстро. Для начала, перенесем arcsin x в правую часть равенства.

Если вспомнить формулу arcsin (sin α) = α
, то можно свести поиск ответов к решению системы из двух уравнений:

Ограничение на модель x возникло, опять таки из свойств arcsin: ОДЗ для x [-1; 1]. При а ≠0, часть сиcтемы представляет собой квадратное уравнение с корнями x1 = 1 и x2 = — 1/a. При a = 0, x будет равен 1.

Калькулятор

— arccos (4) — Solumaths

Описание:

Функция arccos позволяет вычислять арккосинус числа.
Функция арккосинуса — это функция, обратная функции косинуса.

arccos онлайн


Описание:

Функция arccosine является обратной функцией
функция косинуса,
Он вычисляет арккосинус числа онлайн .

Число, к которому вы хотите применить функцию arccosine, должно принадлежать диапазону [-1,1].

  1. Расчет арккосинуса
  2. Чтобы вычислить арккосинус числа, просто введите число и примените
    Функция arccos .
    Таким образом, для при вычислении арккосинус числа, следующего за 0,4,
    ты должен войти
    arccos (`0.2) `.

Функция arccos позволяет вычислять арккосинус числа.
Функция арккосинуса — это функция, обратная функции косинуса.


Синтаксис:

arccos (x), где x — число.

Иногда используются другие обозначения: acos


Примеры:

arccos (`1`) возвращает 0


Производная арккосинуса:

Чтобы дифференцировать функцию arccosine онлайн,
можно использовать калькулятор производной, который позволяет вычислить производную функции арккосинуса

Производная от arccos (x) — это производная_вычислитель (`» arccos «(x)`) = `-1 / sqrt (1- (x) ^ 2)`


Первообразная арккозин:

Калькулятор первообразных позволяет вычислить первообразную функции арккозина.2) `


Предел арккосинуса:

Калькулятор пределов позволяет вычислить пределы функции арккосинуса.

Предел для arccos (x) равен limit_calculator (`» arccos «(x)`)


Арккосинус обратной функции:

Функция, обратная арккосинусу , — это функция косинуса, отмеченная как cos.



Графический арккосинус:

Графический калькулятор может построить функцию арккосинуса в интервале ее определения.


Расчет онлайн с помощью arccos (arccosine)

arccos — функция тригонометрического арккосинуса — Librow — цифровые ЖК-панели для автомобилей и лодок

Статья 11 — Приложение A.2

1.Определение

Арккосинус является обратной функцией косинуса.

2. График

Арккосинус — это монотонная функция, определенная в диапазоне [-1, 1]. Его график изображен ниже на рис. 1 .

Рис. 1. График функции арккосинуса y = arccos x .

Функция кодомена ограничена диапазоном [0, π].

3. Личности

Дополнительный угол:

arcsinx + arccosx = π / 2

и как следствие:

arccos sin φ = π / 2 — φ

Отрицательный аргумент:

arccos (−x) = π — arccosx

Обратный аргумент:

arcos (1 / x) = arcsecx

Сумма и разница:

arccosx + arccosy = arccos {xy — √ [(1 — x 2 ) (1 — y 2 )]}
arccosx — arccosy = arccos {xy + √ [(1 — x 2 ) (1 — y 2 )]}

Некоторые значения аргументов:

/12 — 1) / 4
Аргумент x Значение arccos x
0 π / 2
(√6 — √2) / 4
2π / 5
√ (2 — √2) / 2 3π / 8
1/2 π / 3
√ (10 — 2√ 5) / 4 3π / 10
1 / √2 π / 4
(√5 + 1) / 4 π / 5
√3 / 2 √ / 6
√ (2 + √2) / 2 π / 8
√ (10 + 2√5) / 4 π / 10
(√6 + √2) / 4 π / 12
1 0

Таблица 1. Арккосинус для некоторых значений аргументов.

4. Опора

Тригонометрическая функция арккосинуса arccos поддерживается в:

Тригонометрическая функция арккосинуса комплексного аргумента arccos поддерживается в:

5. Как использовать

Для вычисления арккосинуса числа:

Для вычисления арккосинуса текущего результата:

Для вычисления арккосинуса числа x в памяти:

Калькулятор

Arccos.Поиск обратного косинуса

Добро пожаловать в калькулятор arccos, также известный как калькулятор обратного косинуса. Благодаря нашему инструменту вы можете быстро найти arccos — что, как ни удивительно, является основным применением этого калькулятора. Однако для тех из вас, кто хочет узнать больше, мы подготовили короткую статью, объясняющую , что такое обратный косинус , сопровождаемую таблицей и графиком обратного косинуса . Кроме того, если вы немного неохотно или запутались, перейдите к разделу о приложениях arccos , чтобы узнать, что общего у обратного косинуса с физикой, химией или даже с эргономикой строительства и работы!

Что является обратным к косинусу (arccos)?

Arccos — это функция, обратная тригонометрической функции, в частности, функция, обратная косинусу.Однако, поскольку тригонометрические функции являются периодическими, то в строгом смысле, они не могут быть инвертированы . Мы можем решить эту проблему, выбрав интервал, в котором основная функция является монотонной. Вы можете выбрать много разных диапазонов, но для косинуса обычно выбирается [0, π] . Этот диапазон называется набором основных значений .

Сокращение Определение Домен arccos x
для реального результата
Диапазон обычных
основных значений
arccos (x)
cos -1 x,
acos
х = соз (у) -1 ≤ х ≤ 1 0 ≤ y ≤ π
0 ° ≤ y ≤ 180 °

Arccos (x) — наиболее часто используемое обозначение, поскольку cos -1 x может вводить в заблуждение — помните, что обратный косинус — это не то же самое, что обратная величина функции (другими словами, возведение в степень — 1):

cos -1 x ≠ 1 / cos (x)

График обратного косинуса

Функция f имеет обратную функцию тогда и только тогда, когда f является взаимно однозначной функцией.Вся функция косинуса не является взаимно однозначной, поскольку

cos (x) = cos (x + 2πn) , для каждого целого числа n

Что же тогда делать?

Как указано в предыдущем абзаце, нам необходимо ограничить область определения базовой периодической косинусной функции. Таким образом, поскольку косинус всегда находится в диапазоне [-1,1], и мы выбираем область, [0, π], свойства функции обратного косинуса будут обратными:

  • Область обратного косинуса x для реального результата: [-1,1]

  • Диапазон обратного косинуса обычного главного значения: [0, π]

В таблице ниже вы найдете график обратного косинуса, а также некоторые часто используемые значения arccos:

x arccos (x) График
° рад
-1 180 ° π
-√3 / 2 150 ° 5π / 6
-√2 / 2 135 ° 3π / 4
-1/2 120 ° 2π / 3
0 90 ° π / 2
1/2 60 ° π / 3
√2 / 2 45 ° π / 4
√3 / 2 30 ° π / 6
1 0 ° 0

Хотите знать, откуда взялся этот график обратного косинуса? Он просто создается путем отражения графика cos x через линию y = x (не забывайте о наших доменных ограничениях!):

Обратный косинус — какое мне дело? Некоторые малоизвестные приложения arccos

Вы можете подумать, что arccos — еще один бесполезный термин из тригонометрии, но мы хотим убедить вас, что это не так! Функция обратного косинуса действительно полезна для решения многих научных и реальных задач (круто, не правда ли?):

I Наука

Математика:

  • 📐 Решаем треугольник по закону косинусов.Если вы знаете три стороны треугольника и хотите найти любой из углов треугольника, вам нужно использовать arccos.

Физика:

Химия:

  • 🧪 Arccos полезен для оценки оптимальных валентных углов многоатомных молекул, например, H 2 O или CH 4

II Примеры из реальной жизни

  • 🏠 Расчет угла наклона крыши или угла наклона лестницы (хотя, в зависимости от того, какие размеры указаны, могут также пригодиться калькуляторы обратного синуса или арктангенса)
  • Проектирование пандуса для инвалидов или детских колясок.Обратный косинус будет чрезвычайно полезен, если вы знаете длину пандуса и доступное расстояние по горизонтали.
  • 🖥️ Даже выбирая эргономичное положение на работе ! Если вы хотите правильно настроить свою рабочую станцию, вам необходимо знать оптимальную высоту стола или высоту стоячего стола, но, что касается расположения монитора, с помощью этого калькулятора arccos гораздо проще определить угол наклона или угол обзора.

Теперь вы уверены? Не ждите больше, воспользуйтесь нашим калькулятором обратного косинуса, чтобы решить (почти все) ваши проблемы!

Калькулятор обратного косинуса — вычислить arccos (x)

Найдите угол в градусах или радианах, используя обратный косинус с помощью калькулятора arccos ниже.

Как найти Arccos

Arccos — это тригонометрическая функция для вычисления обратного косинуса. Arccos также можно выразить как cos -1 (x).

Arccos используется для отмены или отмены функции косинуса. Если вы знаете косинус угла, вы можете использовать arccos для вычисления угла.

Поскольку arccos — это функция, обратная косинусу, а многие углы имеют одно и то же значение косинуса, arccos является периодической функцией. Каждое значение arccos может привести к нескольким значениям углов.Первичный результат для arccos известен как главное значение и представляет собой угол в диапазоне от 0 ° до 180 °.

Для вычисления arccos используйте научный калькулятор и функцию acos или просто воспользуйтесь калькулятором выше. В большинстве научных калькуляторов для вычисления cos требуется значение угла в радианах.

Формула обратного косинуса

Формула обратного косинуса:

y = cos (x) | х = arccos (у)

Таким образом, если y равно косинусу x , то x равно arccos y .

График обратного косинуса

Если вы построите график функции arccos для каждого возможного значения косинуса, он образует кривую от (-1, π) до (1, 0).

Поскольку значение косинуса всегда находится в диапазоне от -1 до 1, кривая обратного косинуса начинается при x = -1 и заканчивается при x = 1. Поскольку пик косинусоидальной волны находится в 0 радиан, а угол падения волны составляет π радиан, значение y заканчивается в этих точках.

Таблица обратных косинусов

В таблице ниже показаны общие значения косинуса и arccos или угла для каждого из них.

Таблица, показывающая общие значения косинуса и значения обратного косинуса для каждого в градусах и радианах
Косинус Угол (градусы) Угол (радианы)
-1 180 ° π
–√6 + √24 165 ° 11π12
–√32 150 ° 5π6
–√22 135 ° 3π4
–12 120 ° 2π3
–√6 — √24 105 ° 7π12
0 90 ° π2
√6 — √24 75 ° 5π12
12 60 ° π3
√22 45 ° π4
√32 30 ° π6
√6 + √24 15 ° π12
1 0 ° 0

Возможно, вас заинтересуют наши калькуляторы обратного синуса и арктангенса.

Обратные тригонометрические функции — Разделы тригонометрии

Темы | Дом

19

Диапазон y = arcsin x

Диапазон y = arctan x

Диапазон y = arccos x

Диапазон y = arcsec x

sin −1 x .Обратный синус

Обратные отношения

УГЛЫ в исчислении будут в радианах. Таким образом, если нам, например, задан радианный угол, мы можем вычислить его функцию.

(Тема 13.)

И наоборот, если нам дано, что значение синусоидальной функции равно
½, тогда задача состоит в том, чтобы назвать угол в радианах x .

sin x = ½.

«Синус какого угла равен ½?»

Однако мы пишем: Оценить

arcsin ½

«Угол , синус которого равен & frac12.«

Функция

y = arcsin x

называется функцией, обратной

.

y = sin x .

arcsin x — это угол , синус которого равен числу x .

Строго говоря, arcsin x — это дуга arc , синус которой равен x . Потому что в единичном круге длина этой дуги является мерой в радианах.Тема 14.

Итак, есть много углов, у которых синус равен ½. Это будет любой угол, которому соответствует острый угол. Следовательно, мы должны ограничить диапазон y = arcsin x — значения этого угла — так, чтобы он фактически был функцией; так что он будет однозначным.

Как мы это сделаем? Мы ограничим их теми углами, которые имеют наименьшее абсолютное значение.

Они называются главными значениями y = arcsin x .

Таким образом,

arcsin ½ =.

Угол первого квадранта — это угол с наименьшим абсолютным значением, синус которого равен ½.

Пример 1. Вычислить arcsin (−½).

Решение. Углы с отрицательными синусами попадают в 3-й и 4-й квадранты. Угол наименьшего абсолютного значения попадает в 4-й квадрант между 0 и -.

Угол, синус которого равен — x , является просто отрицательной величиной угла, синус которого равен x .

arcsin (−½) = −arcsin (½) = -.

Тогда диапазон функции y = arcsin x будет углами, которые попадают в 1-й и 4-й квадранты, между — и.

Углы с положительными синусами будут углами 1-го квадранта. Углы с отрицательными синусами попадут в 4-й квадрант.

Ограничение диапазона arcsin x эквивалентно ограничению домена sin x теми же значениями.Так будет со всеми последующими ограниченными диапазонами.

sin −1 x . Обратный синус

Другое обозначение для arcsin x — sin −1 x . Прочтите: «Обратный синус x ». −1 здесь , а не показатель степени. (См. Тему 19 Precalculus.)

Задача 1. Вычислите следующее в радианах.

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!

a) sin −1 0 = 0. (Тема 15.)

б) sin −1 1 = π / 2. (Тема 15.)

в) sin −1 (−1) = −π / 2. (Тема 15.)

−π / 3.
−π / 6.

Каждой тригонометрической функции соответствует ее обратная функция.

arcsin x ,

arccos x ,

арктан x ,

arccsc x ,

угловых секунды x ,

arccot ​​ x .

В каждом из них нам дается значение x тригонометрической функции.Мы должны назвать угол в радианах , который имеет это значение.

В каждом случае мы должны ограничить его диапазон, чтобы функция была однозначной.

Диапазон y = arctan x

Как y = arcsin x ,
y = arctan x имеет наименьшие абсолютные значения в 1-м и 4-м квадрантах.

Обратите внимание, что y — угол , тангенс которого равен x — должен быть больше — и меньше чем.Поскольку при этих углах квадранта касательная не существует. (Тема 15.)

Углы, тангенсы которых положительны, будут углами 1-го квадранта. Углы с отрицательными касательными попадают в 4-й квадрант.

То же самое, что и с arcsin (- x ).

Угол, тангенс которого равен — x , является просто отрицательным значением угла, тангенс которого равен x .

= −θ.
= θ.
Следовательно,
arctan (- x ) = −arctan x .

Проблема 2. Оцените следующее.

а) арктангенс 1 = π
4
б) арктангенс (-1) = π
4
в) tan -1 = π
3
г) загар −1 (-) = π
3
д) арктангенс 0 = 0 е) = π
6

Диапазон y = arccos x

Пример 2.Оцените arccos ½.

Раствор . arccos ½ = π
3
.

.

Радианный угол, косинус которого равен ½, равен π
3
(60 °).

Проблема 3. Почему это не так?

arccos (−½) = -.

— угол 4-го квадранта. А в 4-м квадранте косинус положительный.

Урок 15.

.

Угол с отрицательным косинусом попадет во 2-й квадрант, где он будет иметь наименьшее абсолютное значение. (Тема 15.)

Косинус угла 2-го квадранта — это отрицательная величина косинуса соответствующего острого угла, который является его дополнением.

Другими словами:

Угол θ, косинус которого равен — x , является дополнением
к углу, косинус которого равен x .

arccos (- x ) = π — arccos x .

Пример 3. Вычислите arccos (−½).

Решение . Мы видели:

arccos ½ =.

Следовательно, arccos (−½) является дополнением к углу, к которому мы должны прибавить π.

+ θ = π.

Теперь это одна треть числа π. Следовательно, его добавка будет двух-

третей числа π:.

θ = arccos (−½) =.

Тогда диапазон y = arccos x будет от 0 до π.

Угол, косинус которого положителен, будет углом 1-го квадранта; угол с отрицательным косинусом попадет во 2-й угол. Будет дополнением угла 1-го квадранта.

Проблема 4. Оцените следующее.

а) arccos 1 = 0 б) arccos (−1) = π
в) cos -1 2 = π
4
г) cos −1 (- 2 ) = π — π
4
=
4
д) = π
6
е) = π — π
6
=
6
г) arccos 0 = π
2

*

Обратное соотношение выглядит следующим образом:

arccos x = θ тогда и только тогда, когда x = cos θ.

Например,

arccos ½ = π
3
тогда и только тогда, когда ½ = cos π
3
.

В общем, так и есть.

Проблема 5.

a) arctan t = β тогда и только тогда, когда t = tan β.

б) arcsec u = α тогда и только тогда, когда u = sec α.

c) arccos 1 = 0 тогда и только тогда, когда 1 = cos 0.

г) arccot ​​1 = π
4
тогда и только тогда, когда 1 = детская кроватка π
4
.

Диапазон y = arcsec x

В исчислении наиболее важными обратными тригонометрическими функциями являются sin −1 x , tan −1 x и cos −1 x .Тем не менее, вот диапазоны, делающие остальные однозначными.

Если x положительно, то значение обратной функции всегда является углом первого квадранта, или 0. Если x отрицательно, значение обратной будет попадать в квадрант, в котором прямая функция отрицательна. Таким образом, если x отрицательно, arcsec x попадет во 2-й квадрант, потому что именно там sec x отрицательно.

Единственная обратная функция ниже, в которой x может быть 0, — это arccot ​​ x .arccot ​​0 = π / 2.

Опять же, мы ограничиваем значения y теми углами, которые имеют наименьшее абсолютное значение.

Обратные отношения

Если поставить

f ( x ) = sin x

и

г ( x ) = arcsin x ,

, то в соответствии с определением обратных функций (Тема 19 Precalculus):

f ( g ( x )) = x и g ( f ( x )) = x .

sin (arcsin x ) = x и arcsin (sin x ) = x .

В частности, если

arcsin x = y
затем, взяв обратную функцию — синус — обеих сторон:
x = sin y .

Взяв обратную функцию обеих сторон, мы извлекли или освободили аргумент x . (См. Тему 19 Precalculus, Извлечение аргумента.) Это позволяет нам решать многие тригонометрические уравнения.

Пример 4. Решить относительно x :

arcsin ( x — 1) = .

Решение .Взяв обратную функцию — синус — с обеих сторон, мы можем освободить аргумент x — 1 и сразу записать —

x — 1 = грех = 2

Следовательно,

x = 1 + 2 .

Задача 6. Решите для x :

загар ( x + 2) = 1.

х + 2 = арктан 1 = π
4
.
x = π
4
— 2.

Задача 7. Решите для x :

cos x 2 = -1.

x 2 = arccos −1 = π.

х = ±.

Задача 8. Решите для x :

sin −1 ( x 2 — 1) = 0.
x 2 — 1 = arcsin 0 = 0
x 2 = 1
x = ± 1.

Теорема. Если

y = arcsec x ,

, затем продукт

сек y tan y никогда не бывает отрицательным.

Например, если y = arcsec x , то угол y попадает либо в первый, либо во второй квадрант. Когда угол y попадает в первый квадрант, то значения sec y и tan y положительны.Следовательно, их продукт положительный.

Когда угол y попадает во второй квадрант, sec y и tan y оба отрицательны, так что их произведение снова положительно.

Если y = 0, то tan y = 0, следовательно, произведение sec y tan y равно 0.

Следовательно, этот продукт никогда не бывает отрицательным.

(Эта теорема упоминается в доказательстве производной от y = arcsec x .)

Следующая тема: Тригонометрические идентификаторы

Содержание | Дом


Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
Даже 1 доллар поможет.


Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]

Обратные тригонометрические функции | Precalculus II

Понимание и использование функций обратного синуса, косинуса и тангенса

Чтобы использовать обратные тригонометрические функции, мы должны понимать, что обратная тригонометрическая функция «отменяет» то, что «делает» исходная тригонометрическая функция, как и в случае с любой другой функцией и ее обратной.{−1} (б) = а [/ латекс].

Имейте в виду, что функции синуса, косинуса и тангенса не взаимно однозначны. График каждой функции не прошел бы тест горизонтальной линии. Фактически, никакая периодическая функция не может быть взаимно однозначной, потому что каждый выход в ее диапазоне соответствует по крайней мере одному входу в каждом периоде, а количество периодов бесконечно. Как и в случае с другими функциями, которые не являются взаимно однозначными, нам нужно будет ограничить область каждой функции, чтобы получить новую функцию, которая является взаимно однозначной.Мы выбираем область для каждой функции, которая включает число 0. На рисунке 2 показан график синусоидальной функции, ограниченной [latex] \ left [\ frac {- \ pi} {2} \ text {,} \ frac {\ pi } {2} \ right] [/ latex] и график функции косинуса, ограниченной [0, π].

Рис. 2. (a) Синусоидальная функция в ограниченной области [latex] \ left [- \ frac {\ pi} {2} \ text {,} \ frac {\ pi} {2} \ right] [ /латекс]; (b) Косинусная функция в ограниченной области [0, π]

На рисунке 3 показан график касательной функции, ограниченной [latex] \ left (- \ frac {\ pi} {2} \ text {,} \ frac {\ pi} {2} \ right) [/ latex].

Рисунок 3. Функция касания в ограниченной области [latex] \ left (- \ frac {\ pi} {2} \ text {,} \ frac {\ pi} {2} \ right) [/ latex]

Эти обычные варианты выбора для ограниченной области в некоторой степени произвольны, но они имеют важные полезные характеристики. Каждый домен включает начало координат и некоторые положительные значения, и, что наиболее важно, каждый результат дает взаимно однозначную функцию, которая является обратимой. Традиционный выбор для ограниченной области касательной функции также имеет то полезное свойство, что он простирается от одной вертикальной асимптоты к следующей вместо того, чтобы быть разделенным на две части асимптотой.{−1} x [/ latex] имеет область определения всех действительных чисел и диапазон [latex] \ left (- \ frac {\ pi} {2} \ text {,} \ frac {\ pi} {2} \ right) [/латекс]. Чтобы найти область , и диапазон , обратных тригонометрических функций, переключите область и диапазон исходных функций. Каждый график обратной тригонометрической функции является отражением графика исходной функции относительно линии [латекс] y = x [/ latex].

Рисунок 4. Функция синуса и функция обратного синуса (или арксинуса)

Рисунок 5.{−1} (0,96593) \ приблизительно \ frac {5 \ pi} {12} [/ латекс]

Попробуй 1

Учитывая [латекс] \ cos (0,5) \ приблизительно 0,8776 [/ латекс], напишите соотношение, включающее обратный косинус.

Решение

Нахождение точного значения выражений, содержащих функции обратного синуса, косинуса и тангенса

Теперь, когда мы можем идентифицировать обратные функции, мы научимся их оценивать. Для большинства значений в их областях мы должны вычислять обратные тригонометрические функции с помощью калькулятора, интерполяции из таблицы или другого численного метода.\ circ) [/ latex], и их отражения в другие квадранты.

Как: при наличии «особого» входного значения вычислить обратную тригонометрическую функцию.

  1. Найдите угол x , для которого исходная тригонометрическая функция имеет выход, равный заданному входу для обратной тригонометрической функции.
  2. Если x не находится в заданном диапазоне обратного преобразования, найдите другой угол y , который находится в заданном диапазоне и имеет тот же синус, косинус или тангенс, что и x , в зависимости от того, который соответствует данной обратной функция.{−1} (\ frac {1} {2}) [/ латекс]

Решение

Использование калькулятора для вычисления обратных тригонометрических функций

Чтобы оценить обратные тригонометрические функции , , которые не используют специальные углы, обсуждавшиеся ранее, нам понадобится калькулятор или другой тип технологии. Большинство научных калькуляторов и приложений-эмуляторов калькуляторов имеют специальные клавиши или кнопки для функций обратного синуса, косинуса и тангенса. Они могут быть помечены, например, как SIN-1, ARCSIN или ASIN.

В предыдущей главе мы работали с тригонометрией на прямоугольном треугольнике, чтобы найти стороны треугольника с учетом одной стороны и дополнительного угла. Используя обратные тригонометрические функции, мы можем найти углы прямоугольного треугольника с двумя сторонами, и мы можем использовать калькулятор, чтобы найти значения с точностью до нескольких десятичных знаков.

В этих примерах и упражнениях ответы будут интерпретироваться как углы, и мы будем использовать θ в качестве независимой переменной. Значение, отображаемое на калькуляторе, может быть в градусах или радианах, поэтому обязательно установите режим, соответствующий приложению.{\ circ} \ hfill & \ text {Оценить.} \ end {array} [/ latex]

Попробовать 4

Решите треугольник на рисунке 9 для угла θ.

Рисунок 9

Решение

Нахождение точных значений составных функций с обратными тригонометрическими функциями

Бывают случаи, когда нам нужно составить тригонометрическую функцию с обратной тригонометрической функцией. В этих случаях мы обычно можем найти точные значения для результирующих выражений, не прибегая к калькулятору.{−1} (\ sin x) = x \\ [/ латекс]?

Нет. Это уравнение верно, если x принадлежит ограниченной области [latex] \ left [- \ frac {\ pi} {2}, \ frac {\ pi} {2} \ right] \\ [/ latex] , но синус определен для всех реальных входных значений, а для x вне ограниченного интервала уравнение неверно, потому что его обратное всегда возвращает значение в [latex] \ left [- \ frac {\ pi} {2}, \ frac {\ pi} {2} \ right] \\ [\ latex] . {- 1} (\ cos \ theta) = \ frac {\ pi} {2} — \ theta \ text {if} 0 \ leq \ theta \ leq \ pi \\ [/ latex].{−1} (\ cos (\ frac {13 \ pi} {6})) \\ [/ latex]

  1. путем прямой оценки.
  2. способом, описанным ранее.

Решение

  1. Здесь мы можем непосредственно оценить внутреннюю часть композиции.

    [латекс] \ begin {array} \ cos \ left (\ frac {13 \ pi} {6} \ right) = \ cos \ left (\ frac {\ pi} {6} +2 \ pi \ right) \ \ \ hfill = \ cos \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) \\ \ hfill = \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ end {array} \\ [/ latex]

    Теперь мы можем вычислить обратную функцию, как делали раньше.{−1} (\ frac {4} {5}) \\ [/ latex] находится в квадранте I, [latex] \ sin {\ theta} \\ [/ latex] должно быть положительным, поэтому решением будет [latex ] \ frac {3} {5} \\ [/ latex]. См. Рисунок 11.

    Рис. 11. Прямой треугольник, иллюстрирующий, что если [latex] \ cos \ theta = \ frac {4} {5} [/ latex], то [latex] \ sin \ theta = \ frac {3} {5} \ \ [/ латекс]

    Мы знаем, что обратный косинус всегда дает угол в интервале [0, π], поэтому мы знаем, что синус этого угла должен быть положительным; поэтому [латекс] \ sin \ left (\ cos ^ {- 1} \ left (\ frac {4} {5} \ right) \ right) = \ sin \ theta = \ frac {3} {5} \\ [ /латекс].{−1} \ left (\ frac {7} {4} \ right) \ right) \\ [/ latex].

    Решение

    Хотя мы могли бы использовать ту же технику, что и в Примере 6, мы продемонстрируем здесь другую технику. Изнутри мы знаем, что существует такой угол, что [latex] \ tan \ theta = \ frac {7} {4} \\ [/ latex]. Мы можем представить это как противоположные и смежные стороны прямоугольного треугольника, как показано на рисунке 12.

    Рис. 12. Прямоугольный треугольник с двумя известными сторонами

    Используя теорему Пифагора, мы можем найти гипотенузу этого треугольника.{−1} \ left (4x \ right) \ right) \\ [/ latex] для [латекса] — \ frac {1} {4} \ leq x \ leq \ frac {1} {4} \\ [/ латекс].

    Решение

    Ключевые понятия

    • Обратная функция — это функция, которая «отменяет» другую функцию. Область определения обратной функции — это диапазон исходной функции, а диапазон обратной функции — это область определения исходной функции.
    • Поскольку тригонометрические функции не взаимно однозначны в своих естественных областях, обратные тригонометрические функции определены для ограниченных областей.{−1} \ left (\ sin x \ right) = \ frac {\ pi} {2} −x [/ latex] если [латекс] — \ frac {\ pi} {2} \ leq x \ leq \ frac {\ pi} {2} [/ латекс].
    • При оценке состава тригонометрической функции с обратной тригонометрической функцией нарисуйте контрольный треугольник, чтобы помочь определить соотношение сторон, представляющее выходные данные тригонометрической функции.
    • При оценке состава тригонометрической функции с обратной тригонометрической функцией вы можете использовать тригонометрические тождества для помощи в определении соотношения сторон.{−1} (2) [/ латекс]. Объясните, как это можно сделать, используя функцию косинуса или функцию обратного косинуса.

      5. Почему область синусоидальной функции [latex] \ sin x [/ latex] должна быть ограничена [latex] \ left [- \ frac {\ pi} {2} \ text {,} \ frac { \ pi} {2} \ right] [/ latex] для существования функции обратного синуса?

      6. Обсудите, почему это утверждение неверно: [latex] \ arccos (\ cos x) = x [/ latex] для всех x .

      7. Определите, является ли следующее утверждение истинным или ложным, и объясните свой ответ: [latex] \ arccos (−x) = \ pi− \ arccos x [/ latex].{-1} х [/ латекс]? Используйте графический калькулятор, чтобы приблизиться к ответу.

      53. Предположим, что к зданию прислонена 13-футовая лестница, достигающая дна окна второго этажа на высоте 12 футов над землей. Какой угол в радианах образует лестница со зданием?

      54. Предположим, вы проезжаете 0,6 мили по дороге, так что вертикальное расстояние изменяется от 0 до 150 футов. Какой угол подъема дороги?

      55. Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны длиной 9 дюймов.Оставшаяся сторона имеет длину 8 дюймов. Найдите угол между стороной 9 дюймов и стороной 8 дюймов.

      56. Без использования калькулятора приблизьте значение [латекс] \ arctan (10,000) [/ латекс]. Объясните, почему ваш ответ разумен.

      57. Ферма крыши дома состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников. У каждого есть основание 12 футов и высота 4 фута. Найдите величину острого угла, примыкающего к 4-футовой стороне.

      58. Линия [latex] y = \ frac {3} {5} x [/ latex] проходит через начало координат в плоскости x , y .Какова мера угла, который линия составляет с положительной осью x ?

      59. Линия [latex] y = — \ frac {3} {7} x [/ latex] проходит через начало координат в плоскости x , y . Какова мера угла, который образует линия с отрицательной осью x ?

      60. Какой процентный уклон должен иметь дорога, если угол наклона дороги составляет 4 градуса? (Процентный уклон определяется как изменение высоты дороги на 100-футовом горизонтальном расстоянии.Например, уклон 5% означает, что дорога поднимается на 5 футов на каждые 100 футов горизонтального расстояния.)

      61. 20-футовая лестница прислоняется к стене здания так, чтобы ее основание находилось на расстоянии 10 футов от основания здания. Если согласно спецификациям угол подъема лестницы должен составлять от 35 до 45 градусов, соответствует ли размещение этой лестницы требованиям безопасности?

      62. Предположим, что 15-футовая лестница прислонена к стене дома, так что угол подъема лестницы составляет 42 градуса.Как далеко от дома находится подножие лестницы?

      numpy.arccos — NumPy v1.20 Manual

      Тригонометрический обратный косинус, поэлементно.

      Обратная величина cos , так что если y = cos (x) , то x = arccos (y) .

      Параметры
      x array_like

      x — координата на единичной окружности.
      Для реальных аргументов доменом является [-1, 1].

      из ndarray, None или кортеж из ndarray и None, необязательно

      Местоположение, в котором сохраняется результат.Если предусмотрено, он должен иметь
      форма, на которую транслируются входы. Если не указано или Нет,
      возвращается только что выделенный массив. Кортеж (возможно только как
      аргумент ключевого слова) должен иметь длину, равную количеству выходов.

      , где array_like, необязательно

      Это условие транслируется по входу. В местах, где
      Условие равно True, массив out будет установлен на результат ufunc.
      В другом месте массив из сохранит свое исходное значение.Обратите внимание, что если неинициализированный массив из создается по умолчанию
      out = None , местоположения в нем, где условие False будет
      оставаться неинициализированным.

      ** kwargs

      Для других аргументов, содержащих только ключевые слова, см.
      ufunc docs.

      Возвращает
      angle ndarray

      Угол луча, пересекающего единичную окружность в данном
      x — координата в радианах [0, пи].Это скаляр, если x — скаляр.

      Банкноты

      arccos — многозначная функция: на каждые x приходится бесконечно
      много чисел z таких, что cos (z) = x . Соглашение состоит в том, чтобы вернуться
      угол z , действительная часть которого лежит в [0, pi] .

      Для типов входных данных с действительным знаком arccos всегда возвращает действительный вывод.
      Для каждого значения, которое не может быть выражено действительным числом или бесконечностью,
      он дает нан и устанавливает флаг ошибки с плавающей запятой недопустимый .-1.

      Список литературы

      М. Абрамовиц, И.А. Стегун, “Справочник по математическим функциям”,
      10-е издание, 1964 г., с. 79. http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/

      Примеры

      Мы ожидаем, что arccos 1 будет 0, а -1 будет пи:

       >>> np.arccos ([1, -1])
      массив ([0., 3.14159265])
       

      Площадь участка:

       >>> импортировать matplotlib.pyplot как plt
      >>> x = np.linspace (-1, 1, число = 100)
      >>> plt.plot (x, np.arccos (x))
      >>> plt.axis ('плотно')
      >>> plt.show ()
       

      .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.