Арифметические,геометрические прогрессии — Математика — это просто!

Если каждому натуральному числу n (n = 1, 2,…) поставлено в соответствие число x_n, то говорят, что задана числовая последовательность x₁, x₂,…, x_n…, обозначаемая {x_n}. Числаx₁, x₂,…, x_n… называются членами последовательности, а член с номером n – ее n-м членом.

Арифметическая прогрессия

Числовую последовательность {a_n}, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называют арифметической прогрессией. Число d называется разностью арифметической прогрессии: a_n+1 = a_n + d. Число S_n называется суммой n первых членов арифметической прогрессии.

Свойства арифметической прогрессии:

Геометрическая прогрессия

Числовую последовательность {b_n}, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q ≠ 0, называют геометрической прогрессией.

Число q называется называется знаменателем прогрессии: b_n+1 = b_nq.

Число S_n называется суммой n первых членов геометрической прогрессии, P_n — произведением n первых членов геометрической прогрессии.

Свойства геометрической прогрессии:

Сумма первых трех членов возрастающей арифметической прогрессии равна 21. Если от первых двух членов этой прогрессии отнять по 1, а к третьему члену прибавить 2, то полученные три члена составят геометрическую прогрессию. Найти сумму восьми первых членов геометрической прогрессии.

____________________________________________________________________________

Обозначим через a_i — члены арифметической прогрессии c разностью d, через b_i — геометрической, с знаменателем q.

Согласно формуле суммы арифметической прогрессии имеем S₃ = (2a₁ + 2d) · 3 / 2 = 21 или a₁ + d = 7.

По условию a₁ — 1, a₁ + d — 1, a₁ + 2d + 2 — три последовательных члена геометрической прогрессии. Используем свойство геометрической прогрессии:

(a₁ + d — 1)² = (a₁ + 2d + 2)(a₁ — 1).

После замены переменной a₁ = 7 — d и открытия скобок получаем квадратное уравнение

d² + 3d — 18 = 0, т.е. d₁ = 3, d₂ = -6.

Условию удовлетворяет лишь d₁ = 3 (т.к. арифметическая прогрессия возрастающая). В этом случае a₁ = 4. Находим b₁ = a₁ — 1 = 3. b₂ = a₁ + d — 1 = 6, откуда q = 2.

Наконец, согласно формуле суммы членов геометрической прогрессии получаем:

S₈ = [b₁(q₈ — 1)] / (q — 1) = 765.

Ответ: S₈ = 765.

Сумма трех чисел, которые составляют арифметическую прогрессию, равна 2, а сумма квадратов этих же чисел равна ¹⁴/₉. Найти эти числа.

____________________________________________________________________________

Используя тот факт, что числа составляют арифметическую прогрессию, запишем их какa, a + d, a + 2d.

Согласно условию их сумма равна 2, т.е. 3a + 3d = 2, a = ²/₃ — d.

Согласно второму условию a² + (a + d)² + (a + 2d)² = ¹⁴/₉.

После раскрытия скобок получаем 27a² + 45d² + 54ad = 14.

Делаем замену переменной a = ²/₃ — d, раскрываем скобки и получаем:

d² = ¹/₉.

d = ±¹/₃.

Теперь легко найти числа, составляющие арифметическую прогрессию. При любом из значений d = ±¹/₃ числа будут равны ¹/₃, ²/₃, 1.

Ответ: ¹/₃, ²/₃, 1.

Найти четыре числа, составляющие геометрическую прогрессию, в которой третий член больше первого на 9, а второй больше четвертого на 18.

____________________________________________________________________________

Используя тот факт, что числа составляют геометрическую прогрессию, запишем их какb, bq, bq², bq³.

По условию:

1) bq² = b + 9.

2) bq = bq³ + 18.

Домножаем первое уравнение на q и складываем со вторым:

9q + 18 = 0.

Откуда q = -2. Из первого уравнения находим b. b = 3.

Теперь легко найдем все числа: 3, -6, 12, -24.

Ответ: 3, -6, 12, -24.

Найти сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 7.

___________________________________________________

Сначала найдем минимальное и максимальное трехзначные числа, которые делятся на 7. Это числа 105 и 994 соотвественно. Запишем a₁ = 105, a_m = 994.

Найдем m, т.е. количество трехзначных чисел, которые делятся на 7. Используем свойство прогрессии и получаем:

994 = 105 + 7(m — 1).

Откуда m = 128.

А теперь воспользуемся формулой суммы m членов арифметической прогрессии S₁₂₈ = (105 + 994) · 128 / 2 = 70336.

Ответ: 70336.

Задание 12 ОГЭ по математике. Арифметическая и геометрическая прогрессии.

Задание 12 ОГЭ по математике – это задача на арифметическую и геометрическую прогрессии. Надо знать определение и все необходимые формулы.

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел  (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением к нему постоянного числа d (разности прогрессии), т.е.

или .

Любой (n-й) член арифметической прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:

Сумма первых членов арифметической прогрессии может быть найдена по одной из двух формул:

, если известно значение ,

, если неизвестно значение .

Замечание. Практически в любой задаче для успешного её решения необходимо знать два числа: первый член прогрессии и разность .

Приступим к решению задач.

Пример 1. Дана арифметическая прогрессия: −75; −40; −5; … Найдите её девятый член.

Решение.

Определимся с тем, что нам дали в условии задачи. Итак, −75 — это первый член прогрессии, т.е. . Далее необходимо узнать, чему равна разность прогрессии . Можно её найти, например, так: или

Для нахождения используем формулу общего члена .

Отсюда получаем, .

Ответ: 205.

Пример 2. Дана арифметическая прогрессия (), разность которой равна 1,1,=−7. Найдите сумму первых 8 её членов.

Решение. Для нахождения суммы имеются две формулы. Какую из них удобнее использовать в данной задаче? Конечно, вторую, т.к. неизвестно.

Итак,

Ответ:

Пример 3. Найдите сумму всех положительных членов арифметической прогрессии 11,2; 10,8; ….

Решение. По условию . Тогда разность

Найдём последний положительный член арифметической прогрессии и его номер:

Т.к. , то решим неравенство . Отсюда а значит,

Тогда .

Осталось вычислить сумму. Используем формулу для известного значения .

Ответ: .

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается как результат умножения предыдущего на постоянное число (знаменатель прогрессии), т.е.

или .

Любой (n-й) член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:

Сумма первых членов геометрической прогрессии может быть найдена по формуле:

, если .

Замечание. Практически в любой задаче для успешного её решения необходимо знать два числа: первый член прогрессии и знаменатель .

Приступим к решению задач.

Пример 4. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии:

…; 3; X; 75; −375; …

Найдите X.

Решение. В условии этой задачи нет конкретного значения , но при этом можно найти знаменатель прогрессии: . Теперь можно найти Х:

Ответ: −15.

Пример 5. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: −196; 392; −784; … Найдите её пятый член.

Решение. Здесь , а .

Тогда найдём пятый член геометрической прогрессии, используя формулу общего члена:

Ответ: 3136.

Пример 6. Дана геометрическая прогрессия (), знаменатель которой равен 5, а . Найдите сумму первых шести её членов.

Решение. Используем формулу . Подставим все известные значения:

Ответ: .

Решим задачу посложнее.

Пример 7. В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 150, а сумма второго и третьего членов равна 75. Найдите первые три члена этой прогрессии. В ответе запишите первый, второй и третий члены прогрессии без пробелов.

Решение. Запишем условие задачи в виде системы уравнений и решим её, применяя формулу общего члена:

Итак, , , .

Не забудем требование задачи: в ответе запишите первый, второй и третий члены прогрессии без пробелов.

Ответ: 1005025

Больше объяснений и задач:

Арифметическая прогрессия на ОГЭ по математике https://ege-study.ru/arifmeticheskaya-progressiya-v-zadachax-oge-po-matematike/

Геометрическая прогрессия на ОГЭ по математике https://ege-study.ru/geometricheskaya-progressiya-v-zadachax-oge-po-matematike/

Фасетный тест онлайн Арифметическая и геометрическая прогрессии.

Вопросы

ЕСЛИ:

2

пятый и седьмой члены арифметической прогрессии равны 3,5 и 8,25 соответственно

3

если (аn) — последовательность квадратов натуральных чисел

4

сумма тре­тье­го и седь­мо­го чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии равна 100

5

если b1 = 1, а знаменатель равен -2

6

в геометрической прогрессии b10 = 10, а b12 = 40

7

первый член и разность арифметической прогрессии равны 2 и -5 соответственно

8

сумма тридцати одного первого члена арифметической прогрессии равна 217

9

известно, что b1=-4, q=1/2

10

в арифметической прогрессии a15=5, a20=40

ТО:

11

шестой член этой прогрессии равен 5,865.

12

сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии равна 460.

13

числа 1, 100, 10000 являются членами этой последовательности.

14

сумма пер­вых де­вя­ти чле­нов про­грес­сии равна 450.

15

сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 11.

16

знаменатель геометрической прогрессии может быть равен 2

17

знаменатель геометрической прогрессии может быть равен -2.

18

десятый член этой прогрессии равен -43.

19

шестнадцатый член этой прогрессии равен 7.

20

первые первый член геометрической прогрессии равен -4.

21

шестой член геометрической прогрессии равен -1/8.

22

третий член геометрической прогрессии равен -1.

23

разность этой арифметической прогрессии равна 7.

24

первый член арифметической прогрессии равен -93.

Задачи

Номера в списке:

1,12; 2,11; 3,13; 4,14; 5,15; 6,16,17; 7,18; 8,19; 9,20,21,22; 10,23,24;

Очистить поле задачи

Выберите из списка ответ:

8, 192, 111, 123,1310, 23, 245,154,149, 20, 21, 226, 16, 177, 18

Задача уже была решена ранее !

Правила

Показать результат

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

Определение арифметико-геометрической прогрессии

      Рассмотрим более сложный, чем арифметическая или геометрическая прогрессии, тип последовательности чисел. Эта последовательность носит название арифметико-геометрической прогрессии, поскольку обладает рядом свойств, присущих, как арифметической, так и геометрической прогрессиям.

      Определение. Арифметико-геометрической прогрессией называют числовую последовательность

x₁ ,  x₂ , … x_n , …

заданную рекуррентной формулой

с начальным условием

где буквами

q ,   d ,   c₁ ,

обозначены заданные числа, удовлетворяющие условиям

      Замечание. Условия (3) входят в определение, поскольку при   q = 1   арифметико–геометрическая прогрессия превращается в арифметическую прогрессию, а при   d = 0   арифметико–геометрическая прогрессия превращается в геометрическую прогрессию.

Вывод формулы общего члена арифметико-геометрической прогрессии

     Перейдем от последовательности

x₁ ,  x₂ , … x_n , …

к последовательности

y₁ ,  y₂ , … y_n , …

по формулам

где   t   – некоторое число, которое мы определим чуть позже.

      Поскольку

x_{n – 1} = y_{n – 1} + t ,

то формула (1) преобразуется следующим образом:

Следовательно,

      Если теперь положить

то формула (5) принимает вид

откуда вытекает, что последовательность

y₁ ,  y₂ , … y_n , …

является геометрической прогрессией со знаменателем   q.

      Для того, чтобы найти первый член этой геометрической прогрессии, воспользуемся равенствами (2) и (4):

      Итак,

      Поскольку

y_n = y₁q ^{n – 1},

то из формул (7) и (8) получаем формулу для общего члена геометрической прогрессии (7):

      Из формулы (9) с помощью равенств (4) и (6) получаем формулу общего члена арифметико-геометрической прогрессии:

      Итак, формула общего члена арифметико-геометрической прогрессии имеет вид:

      Вывод формулы общего члена закончен.

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Тест: Арифметическая и геометрическая прогрессии

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Тест состоит из 10 вопросов, к каждому предложено 4 варианта ответов, из которых один верный.

Математика 9 класс | Автор: Нажалова Наталья Ивановна | ID: 1893 | Дата: 5.4.2014

«;} else {document.getElementById(«torf1″).innerHTML=»»;};
if (answ.charAt(1)==»1″) {document.getElementById(«torf2″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf2″).innerHTML=»»;};
if (answ.charAt(2)==»1″) {document.getElementById(«torf3″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf3″).innerHTML=»»;};
if (answ.charAt(3)==»1″) {document.getElementById(«torf4″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf4″).innerHTML=»»;};
if (answ.charAt(4)==»1″) {document.getElementById(«torf5″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf5″).innerHTML=»»;};
if (answ.charAt(5)==»1″) {document.getElementById(«torf6″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf6″).innerHTML=»»;};
if (answ.charAt(6)==»1″) {document. getElementById(«torf7″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf7″).innerHTML=»»;};
if (answ.charAt(7)==»1″) {document.getElementById(«torf8″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf8″).innerHTML=»»;};
if (answ.charAt(8)==»1″) {document.getElementById(«torf9″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf9″).innerHTML=»»;};
if (answ.charAt(9)==»1″) {document.getElementById(«torf10″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf10″).innerHTML=»»;};
if (answ.charAt(10)==»1″) {document.getElementById(«torf11″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf11″).innerHTML=»»;};
if (answ.charAt(11)==»1″) {document.getElementById(«torf12″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf12″).innerHTML=»»;};
}
}

Получение сертификата
о прохождении теста

Арифметическая и геометрическая прогрессии.

| Презентация к уроку по алгебре (9 класс):

Слайд 2

Изучена данная тема, Пройдена теории схема, Вы много новых формул узнали, Задачи с прогрессией решали. И вот в этот урок Нас красивый лозунг поведет: “ ПРОГРЕССИО — ВПЕРЕД”

Слайд 3

Основная цель: Повторить и закрепить умения и вычислительные навыки использования основных формул прогрессий при решении задач. Осмыслить и сравнить формулы арифметической и геометрической прогрессий. прогрессии

Слайд 5

Слайд 6

прогрессии

Слайд 7

Сравните графики Разность двух рядом стоящих членов остается одна и та же, вследствие чего члены прогрессии возрастают (убывают) равномерно. Разность двух соседних членов увеличивается по мере удаления их от начала ряда: вследствие этого, члены такой прогрессии, по мере их удаления от начала ряда, возрастают всё быстрее и быстрее, что наглядно изображено на рисунке.

Слайд 8

прогрессии

Слайд 9

Слайд 10

Слайд 11

Математический диктант

Слайд 12

1) 2; 5; 8; 11;14; 17;… 2) 3; 9; 27; 81; 243;… 3) 1; 6; 11; 20; 25;… 4) –4; –8; –16; –32; … 5) 5; 25; 35; 45; 55;… 6) –2; –4; – 6; – 8; … арифметическая прогрессия d = 3 арифметическая прогрессия d = – 2 геометрическая прогрессия q = 3 последовательность чисел геометрическая прогрессия q = 2 последовательность чисел

Слайд 13

Истинно или ложно каждое высказывание 1. В арифметической прогрессии 2,4; 2,6;… разность равна 2. 2. В геометрической прогрессии 0,3; 0,9;… третий член равен 2,7 3. 11-ый член арифметической прогрессии, у которой равен 0,2

Слайд 14

4. Сумма 5 первых членов геометрической прогрессии, у которой равна 11. 5. Последовательность чисел, кратных 5, является геометрической прогрессией. 6. Последовательность степеней числа 3 является арифметической прогрессией. Думай!

Слайд 15

Проверь себя! 1. В арифметической прогрессии 2,4; 2,6;… разность равна 2. d = 2,6 – 2,4 = 0,2 высказывание ложно 2. В геометрической прогрессии 0,3; 0,9;… третий член равен 2,7 высказывание истинно 3. 11-ый член арифметической прогрессии, у которой равен 0,2 высказывание ложно

Слайд 16

4. Сумма 5 первых членов геометрической прогрессии, у которой равна 11. высказывание истинно 5. Последовательность чисел, кратных 5, является геометрической прогрессией. 5; 10; 15;… — арифм. прогрессия высказывание ложно, т.к. 6. Последовательность степеней числа 3 является арифметической прогрессией высказывание ложно, т. к. 3; 9; 27;…- геометрическая прогрессия

Слайд 17

Карточки для индивидуального пользования

Слайд 18

1) Дано: ( а n ) арифметическая прогрессия а 1 = 5 d = 3 Найти: а 6 ; а 10 . Решение: используя формулу а n = а 1 +( n -1) d а 6 = а 1 +5 d = 5+ 5 . 3 = 20 а 10 = а 1 +9 d = 5+ 9 . 3 = 32 Ответ: 20; 32 Решение

Слайд 19

Дано: ( b n ) геометрическая прогрессия b 1 = 5 q = 3 Найти: b 3 ; b 5 . Решение: используя формулу b n = b 1 q n-1 b 3 =b 1 q 2 = 5 . 3 2 =5 . 9=45 b 5 =b 1 q 4 = 5 . 3 4 =5 . 81 =4 0 5 Ответ: 45; 4 0 5. Решение

Слайд 20

3) Дано: ( а n ) арифметическая прогрессия а 4 = 11 d = 2 Найти: а 1 . Решение: используя формулу а n = а 1 + ( n – 1) d а 4 = а 1 +3 d ; а 1 = а 4 – 3 d =11 – 3 . 2 = 5 Ответ: 5. Решение

Слайд 21

4) Дано: ( b n ) геометрическая прогрессия b 4 = 40 q = 2 Найти: b 1 . Решение: используя формулу b n = b 1 q n-1 b 4 =b 1 q 3 ; b 1 = b 4 : q 3 =40:2 3 =40 : 8=5 Ответ: 5. Решение

Слайд 22

5) Дано: ( а n ) арифметическая прогрессия а 4 =12,5; а 6 =17,5 Найти: а 5

Слайд 23

6) Дано: ( b n ) геометрическая прогрессия b 4 =12,5; b 6 =17,5 Найти: b 5

Слайд 24

Самостоятельная работа

Слайд 25

1)Дано: ( а n ), а 1 = – 3, а 2 = 4. Найти: а 16 – ? 2)Дано : ( b n ) , b 12 = – 32, b 13 = – 16. Найти : q – ? 3)Дано: ( а n ), а 21 = – 44, а 22 = – 42.Найти: d — ? 4)Дано : ( b n ) , b п > 0, b 2 = 4, b 4 = 9. Найти: b 3 – ? 5)Дано: ( а n ), а 1 = 28, а 21 = 4. Найти: d — ? 6) Дано: ( b n ) , b 5 = 8 q = 2. Найти: b 1 – ? 7 ) Дано: ( а n ), а 7 = 16, а 9 = 30.Найти: а 8 –?

Слайд 26

Ответы: 1) 102 2) 0,5 3) 2 4) 6 5) – 1,2 6) 0 ,5 7) 23

Слайд 27

Задания ГИА 1 ) Пятый член арифметической прогрессии равен 8,4, а ее десятый член равен 14,4. Найдите пятнадцатый член этой прогрессии. 2) Число –3,8 является восьмым членом арифметической прогрессии (а п ), а число –11 является ее двенадцатым членом. Является ли членом этой прогрессии число а п = -30,8 ? 3) Между числами 6 и 17 вставьте четыре числа так, чтобы вместе с данными числами они образовали арифметическую прогрессию. 4) В геометрической прогрессии b 12 = 3 15 и b 14 = 3 17 . Найдите b 1 .

Слайд 28

Решите задачи Курс воздушных ванн начинают с 15 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 минут. Сколько дней следует принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1 час 45 минут.

Слайд 29

Ребенок заболеет ветрянкой, если в его организме окажется не менее 27000 вирусов ветряной оспы. Если заранее не сделана прививка от ветрянки, то каждый день число попавших в организм вирусов утраивается. Если в течении 6 дней после попадания инфекции болезнь не наступает, организм начинает вырабатывать антитела, прекращающие размножение вирусов. Какое минимальное количество вирусов должно попасть в организм, чтобы ребенок, которому не сделали прививку, заболел

Слайд 30

Ответы: 1. 20,4 2. является 3. 6;8,2;10,4;12,6;14,8;17 4. b 1 =3 4 или b 1 = – 3 4 5. 10 6. 74

Слайд 31

Домашнее задание Сборник «Закрытый сегмент» №1247,1253,1313,1324 Учить формулы

Слайд 32

Урок сегодня завершён, Но каждый должен знать: Познание, упорство, труд К прогрессу в жизни приведут.

Числовая последовательность. Арифметическая и геометрическая прогрессии

Шоткина Нуркия Кенесаровна

nshotkina@mail. ru

Числовая последовательность. Арифметическая и геометрическая прогрессии

Методические разработки педагогов

Международный

Тема: Числовая последовательность.

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Цель занятия:

Повторить основные понятия: числовая последовательность,

арифметическая , геометрическая прогрессия, основные

свойства, формулы п-го члена и суммы п-первых членов

прогрессии и их применение при выполнении тестовых заданий.

Ожидаемые результаты:

Качественное выполнение тестовых заданий

по данной теме

Критерии успешности:

Для всех: применять теоретические знания при

выполнении тестовых заданий.

Для некоторых: применять при выполнении творческих

заданий, заданий повышенной трудности.

Оборудование: интерактивная доска (флипчарты, презентации), компьютер,

слайды, электронный учебник -математика 9.

Ход занятия

1. Организационный момент:

2. Слово учителя ( слайд 1-3)

Эпиграф: « Три пути ведут к знанию:

путь размышления- это путь самый благородный,

путь подражания – это самый легкий и

путь опыта – это самый горький. »

Конфуций

Объявляется тема и цель занятия

3. Актуализация опорных знаний :

1.Определение числовой последовательности, примеры, виды числовой

последовательности (электронный учебник модуль последовательности)

2.Способы задания последовательности ( флипчарт)

3.Арифметическая прогрессия, определение, свойства, формула п-го члена, формула суммы п- первых членов.( презентация)

4.Геометрическая прогрессия, определение, свойства, формула п-го члена, формула суммы п- первых членов, сумма бесконечной геометрической прогрессии( презентация).

4. Входной контроль:

Тест – соответствие ( индивидуальная работа с самопроверкой ),

№п/п задания №п/п ответы

1

1; 1/5; 1/25; 1/125…….

1

Арифметическая прогр.

2 ап = 2п +3; а1; а2 ; а3; 2 48

3 -8; -5; -2; 1; 4…… 3 5; 7; 9

4 в п =4-5п; в1, в2, в3 4 Геометрическая прогр.

5 а 1 =3; а 2=7; а 51 -? 5 203,

6 в1 =3; q = -2. в 5 -? 6 -1; -6; -11

анализ выполнения теста – повторение основных понятий по флипчарту

5. Решение задач: ( с пояснением)

№ 13.( В-11, 2013)

Найдите 50-ый член арифметической прогрессии, если одиннадцатый член равен 23, а двадцать первый член равен 43.

№ 23 (В-20, 2013)

В геометрической прогрессии разность между шестым и четвертым членами равна 192, а разность между третьим и первым членами равна 24. Найдите сумму первых восьми членов этой прогрессии.

6. Решение задач ( самоконтроль с элементом шторка)

№1. В арифметической прогрессии первый член равен 7, п-ый член равен -385, п=50. Найдите разность и сумму пятидесяти первых членов прогрессии.

№2. Найдите число членов конечной арифметической прогрессии, заданной

следующими условиями: первый член равен 5, знаменатель равен 3, сумма

п-первых членов равна 200.

7. Разноуровневые ( дифференцированные задания )

Группа А ( зеленый цвет).

Второй член арифметической прогрессии равен 18, пятый член 9. Найти сумму первого и шестого членов прогрессии.

Группа В ( синий цвет)

Найти сумму шести первых членов геометрической прогрессии у которой четвертый член равен (-16), а первый член равен 2.

Группа С ( красный цвет)

Знаменатель геометрической прогрессии 1/3, четвертый член 1/54, а сумма всех членов 121/162. Найти число членов прогрессии.

8. Решение задач (самоконтроль) ,

Применение электронного учебника, модуль: Арифметическая и

геометрическая прогрессии.

( 6 задач из 20 на выбор ученика )

9. Индивидуальные тесты ( по вариантам) взаимоконтроль

1 вариант

1. Найти сумму 22 первых членов арифметической прогрессии 25, 30, 35, 40,……

А) 1485 В) 1375 С) 1650 Д) 1705 Е) 1320

2. В геометрической прогрессии : в = 24, q= -2. Найдите в .

А) -12 В) -3 С) -6 Д) -8 Е) -4

3. В геометрической прогрессии в = 1/6, в = 1/3. Найдите шестой член прогрессии.

А) 1/ 384 В) 32 С) 1/192 Д) 32/3 Е) 16/3

4. Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных 4.

А) 1088 В) 1180 С) 1188 Д) 1008 Е) 1080

5. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии : 9; -3; 1 …….

А) 6,75 В) -58/9 С) -27 Д) 81 Е) 1/3

6. В арифметической прогрессии известны пятый и шестой члены: пятый член равен (- 150), а

шестой член ( -147). Найти количество отрицательных членов данной прогрессии.

А) 55 В) 45 С) 54 Д) 43 Е) 44

7. Найдите восьмой член арифметической прогрессии, если сумма четвертого и двенадцатого

членов равна 10

А) 5 В) 20 С) 12 Д) 4 Е) 10

2 вариант

1. Найти первый член арифметической прогрессии, если d = 1,5 , а = 12

А) 0 В) 4 С) 1 Д) 10 Е) 24

2. Найти знаменатель геометрической прогрессии , если в = 1/3, в =3

А) 3 В) 1 С) 1/9 Д) -3 Е) 9

3. В геометрической прогрессии в = -1/6, в = 1/2. Найдите пятый член прогрессии.

А) 40 /3 В) 40,5 С) -13,25 Д) -1/486 Е) -13,5

4. Чему равна сумма всех двузначных чисел ?

А) 3905 В) 4500 С) 5105 Д) 4905 Е) 5905

5. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если в =2, q=0.875

А) 18 В) 16 С) 32 Д) 64 Е) 100

6. В геометрической прогрессии с положительными членами в =12, в =48. Сколько членов

начиная с первого, надо взять, чтобы их сумма была равна 189?

А) 7 В) 9 С) 6 Д) 8 Е) 5

7. Найдите натуральные числа, образующие арифметическую прогрессию, если произведение

трех и четырех ее членов равны соответственно 6 и 24.

А) 1,2,3,4… В) 1,3,5,7… С) 2,3,4,5.. Д) 3,6,9,12.. Е)4,2,2,1…

10.Обобщение ( флипчарты- прогрессии)

Заполнение таблицы

Уровень успешности владения темой. Оцените свои знания по теме

теория

формулы Устные упражнения

Решения задач

Тесты

Уровень А В С

! успешно

+ хорошо

— недоста-

точно

12. Постановка Д/З

13. Итог: « Чем больше человек знает о том, что уже сделано, тем больше в его силах понять, что нужно делать дальше»

Б. Дизраэли.

-подготовке-к-ЕНТ.doc

comments powered by HyperComments

Арифметические и геометрические прогрессии | S-cool, сайт доработки

Если у вас есть последовательность 2, 8, 14, 20, 26, то каждый член на 6 больше, чем предыдущий. Это пример арифметической прогрессии (AP) , а постоянное значение, определяющее разницу между любыми двумя последовательными членами, называется общей разницей .

Если арифметическая разность имеет первый член a и общую разность d , то мы можем записать

a, (a + d), (a + 2d) ,… {a + (n-1) d}

, где n ^{-й член} = a + (n − 1) d

Сумма арифметических рядов

Сумма арифметических Ряд из n членов находится путем составления n / 2 пар, каждая со значением суммы первого и последнего члена. (Попробуйте это с суммой первых 10 целых чисел, составив 5 пар из 11.)

Это дает нам формулу:

, где a = первый член и l = последний член.

Поскольку последним членом является n ^th term = a + (n — 1) d, мы можем переписать это как:

(Используйте первую формулу, если вы знаете первый и последний члены; используйте второй, если вы знаете первый член и общее различие.)

Если у вас есть такая последовательность, как: 81, 27, 9, 3, 1, 1/3, 1/9, … , то каждый член составляет одну треть от срок до.

Это можно записать как 81, 81 (1/3), 81 (1/3) ² , 81 (1/3) ³ , 81 (1/3) ⁴ ,…

Это пример геометрической прогрессии (GP) , где каждый член кратен предыдущему. Коэффициент умножения называется обыкновенным коэффициентом .

Таким образом, GP с первым членом a и общим соотношением r с n членов может быть обозначен как

a, ar, ar ² , ar ³ , ar ⁴ . ..ar ^n-1 , где n ^th term = ar ^n-1

Пример:

В последовательности 400, 200, 100, 50 ,… найдите термин 8 ^th .

a = 400, r = 0,5, поэтому 8 ^th term = 400 × 0.5 ⁷ = 3,125

Примечание: Чтобы определить, какой член имеет определенное значение, вам нужно будет использовать логарифмов .

Пример:

В последовательности 2, 6, 18, 54 … какой член первым превышает 1 000 000?

a = 2, r = 3.

2 × 3 ^n-1 > 1000000

3 ^n-1 > 500000

(n — 1) log 3> log 500000

n> 12.94

Следовательно:

n = 13

Пример:

В предыдущей последовательности 400, 200, 100, 50 … какой первый член меньше 1?

400 × 0,5 ^(n-1] <1

0,5 ^(n-1) <0,0025

(n-1) log 0,5

Следовательно:

n> 9, или n = 10

Примечание: Знак неравенства изменился, потому что мы разделили на отрицательное значение (log 0.5 <0)

Сумма геометрического ряда

Сумму членов можно записать двумя способами.

где a = первый член,
r = обычное отношение и r 1.

(используйте эту формулу, когда r <1).

Пример:

Оценить,

( Примечание: состоит из 9 терминов.)

Первый член — это когда n = 2

(т.е. 2,36 ² = 5,5696)

Использование формулы для сумма геометрической прогрессии дает:

, что составляет примерно 9300 (до 3 с.е.).

Сходимость

Сумма бесконечного ряда существует, если:

-1

Это связано с тем, что каждый последующий член становится меньше, и поэтому ряд будет стремиться к определенному пределу. Этот предел находится с помощью второй из двух формул:

If | г | <1, то при n → ∞ r ⁿ → 0

и так:

Пример:

серия 1/3 + (1/3) ² + (1/3) ³ + (1/3) ⁴ +… сходится и его сумма равна 1, когда n приближается к ∞.

(Последовательность, такая как n ³ , имеет первые 6 членов как 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216. По мере приближения n к бесконечности сумма также увеличивается. Следовательно, она не сходится. Этот ряд равен расходящийся .

Каждая точка доступа имеет сумму, которая приближается к бесконечности с увеличением n, поэтому каждая точка доступа расходится.)

Пример

Найти 1 — 1/2 + 1/4 — 1/8 + …

1 — 1/2 + 1/4 — 1/8 + … = 1 + (-1/2) + (-1/2) ² + (-1/2) ³ +…

Это геометрическая прогрессия, где r = -½, поэтому | г | <1.

Следовательно, этот ряд сходится к:

Два последних элемента информации, которые могут быть полезны:

Среднее арифметическое

Среднее арифметическое двух чисел m и n определяется как:

Среднее арифметическое = ½ (m + n)

Это способ поиска пропущенного члена между двумя известными терминами.

Пример:

Термин 4 AP равен 14, срок 6 ^th равен 22.Член 5 ^th будет средним арифметическим этих двух значений.

то есть (14 + 22) / 2 = 18 (здесь d = 4 и a = 2).

Среднее геометрическое

Среднее геометрическое двух чисел m и n определяется как:

Среднее геометрическое = √ (mn)

Это значение между двумя другими в GP.

Пример:

7 ^-й член GP равен 6, 9 ^-й равен 1.5. Срок 8 ^-й :

√ (6 × 1,5) = √9 = 3

Здесь r = 0,5 и a = 384.

Progressions (AP, GP, HP) — GeeksforGeeks

Progressions (или Последовательности и серии) — это числа, расположенные в определенном порядке, так что они образуют предсказуемый порядок. Под предсказуемым порядком мы подразумеваем, что по некоторым числам мы можем найти следующие числа в ряду.

Арифметическая прогрессия (AP)

Последовательность чисел называется арифметической прогрессией, если разница между любыми двумя последовательными членами всегда одинакова.Проще говоря, это означает, что следующее число в серии рассчитывается путем добавления фиксированного числа к предыдущему числу в серии. Это фиксированное число называется общей разницей.
Например, 2,4,6,8,10 является AP, потому что разница между любыми двумя последовательными членами в серии (общая разница) одинакова (4-2 = 6-4 = 8-6 = 10-8 = 2 ).

Если «a» — это первый член, а «d» — общая разница,
• n-й член AP = a + (n-1) d
• Среднее арифметическое = Сумма всех членов в AP / Количество терминов в AP
• Сумма n членов AP = 0.5 n (первый член + последний член) = 0,5 n [2a + (n-1) d]

Геометрическая прогрессия (GP)

Последовательность чисел называется геометрической прогрессией, если соотношение любых двух последовательных членов всегда одно и то же. Проще говоря, это означает, что следующее число в серии вычисляется путем умножения фиксированного числа на предыдущее число в серии. Это фиксированное число называется обычным отношением.
Например, 2,4,8,16 — это GP, потому что соотношение любых двух последовательных членов в серии (общая разница) одинаково (4/2 = 8/4 = 16/8 = 2).

Если «a» является первым членом, а «r» — обычным соотношением,
• n-й член GP = ar ^n-1
• Среднее геометрическое = n-й корень из произведения n членов в GP
• Сумма n членов GP (r <1) = [a (1 - r ⁿ )] / [1 — r]
• Сумма n членов GP (r> 1) = [a (r ⁿ — 1)] / [r — 1]
• Сумма бесконечных членов GP (r <1) = (a) / (1 - r)

Гармоническая прогрессия (HP)

Последовательность чисел называется гармонической прогрессией, если обратная величина членов находится в AP.Проще говоря, a, b, c, d, e, f находятся в HP, если 1 / a, 1 / b, 1 / c, 1 / d, 1 / e, 1 / f находятся в AP.

Для двух терминов ‘a’ и ‘b’
• Среднее гармоническое = (2 ab) / (a ​​+ b)

Для двух чисел, если A, G и H являются соответственно средними арифметическими, геометрическими и гармоническими, тогда

• A ≥ G ≥ H
• AH = G ² , т. е. A, G, H входят в GP

Примеры задач

Вопрос 1: Найдите n-й член для AP: 11, 17, 23, 29,…
Решение: Здесь a = 11, d = 17 — 11 = 23 — 17 = 29 — 23 = 6
Мы знаем, что n-й член AP равен a + (n — 1) d
=> n-й член для данной AP = 11 + (n — 1) 6
=> n-й член для данной AP = 5 + 6 n
Мы можем проверить ответ, подставив значения ‘n’.
=> n = 1 -> Первый член = 5 + 6 = 11
=> n = 2 -> Второй член = 5 + 12 = 17
=> n = 3 -> Третий член = 5 + 18 = 23
и так далее…

Вопрос 2: Найдите сумму AP в приведенном выше вопросе до первых 10 членов.
Решение: Из приведенного выше вопроса
=> n-й член для данной AP = 5 + 6 n
=> Первый член = 5 + 6 = 11
=> Десятый член = 5 + 60 = 65
=> Сумма из 10 членов AP = 0,5 n (первый член + последний член) = 0.5 x 10 (11 + 65)
=> Сумма 10 членов AP = 5 x 76 = 380

Вопрос 3: Для элементов 4 и 6 убедитесь, что A ≥ G ≥ H.
Решение: A = Среднее арифметическое = (4 + 6) / 2 = 5
G = Среднее геометрическое = = 4,8989
H = Среднее гармоническое = (2 x 4 x 6) / (4 + 6) = 48/10 = 4,8
Следовательно , A ≥ G ≥ H

Вопрос 4: Найдите сумму рядов 32, 16, 8, 4,… до бесконечности.
Решение: Первый член, a = 32
Общее отношение, r = 16/32 = 8/16 = 4/8 = 1/2 = 0.5
Мы знаем, что для бесконечного GP Сумма членов = a / (1 — r)
=> Сумма членов GP = 32 / (1 — 0,5) = 32 / 0,5 = 64

Вопрос 5: Сумма трех чисел в GP равна 26, а их произведение — 216. ind числа.
Решение: Пусть числа будут a / r, a, ar.
=> (a / r) + a + ar = 26
=> a (1 + r + r ² ) / r = 26
Также указано, что product = 216
=> (a / r) x (a) x (ar) = 216
=> a ³ = 216
=> a = 6
=> 6 (1 + r + r ² ) / r = 26
=> (1 + r + r ² ) / r = 26/6 = 13/3
=> 3 + 3 r + 3 r ² = 13 r
=> 3 r ² — 10 r + 3 = 0
=> (r — 3) (r — (1/3)) = 0
=> r = 3 или r = 1/3
Таким образом, требуются числа 2, 6 и 18.

Проблемы развития (AP, GP, HP) | Set-2

Эта статья была предоставлена ​​ Nishant Arora

Пожалуйста, напишите комментарии, если у вас есть какие-либо сомнения по теме, обсуждаемой выше, или если вы столкнулись с трудностями в любом вопросе или если вы хотите обсудить вопрос кроме упомянутых выше.

Пожалуйста, напишите комментарии, если вы обнаружите что-то неправильное или хотите поделиться дополнительной информацией по теме, обсужденной выше

Разница между арифметической и геометрической последовательностью (со сравнительной таблицей)

Последнее обновление: , 21 октября 2017 г. , автор: Surbhi S

Последовательность описывается как систематический набор чисел или событий, называемых терминами, которые расположены в определенном порядке.Арифметические и геометрические последовательности — это два типа последовательностей, которые следуют шаблону, описывая, как вещи следуют друг за другом. Когда существует постоянная разница между последовательными членами, последовательность называется арифметической последовательностью ,

.

С другой стороны, если последовательные члены находятся в постоянном соотношении, последовательность будет геометрическая . В арифметической последовательности члены могут быть получены путем добавления или вычитания константы к предыдущему члену, при этом в случае геометрической прогрессии каждый член получается путем умножения или деления константы на предыдущий член.

Здесь, в этой статье, мы собираемся обсудить существенные различия между арифметической и геометрической последовательностями.

Содержание: арифметическая последовательность против геометрической последовательности

1. Сравнительная таблица
2. Определение
3. Ключевые отличия
4. Заключение

Сравнительная таблица

Определение арифметической последовательности

Арифметическая последовательность относится к списку чисел, в котором разница между последовательными членами постоянна.Проще говоря, в арифметической прогрессии мы добавляем или вычитаем фиксированное ненулевое число каждый раз бесконечно. Если a является первым членом последовательности, то его можно записать как:

a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d ..

где, a = первый член
d = общая разница между терминами

Пример : 1, 3, 5, 7, 9…
5, 8, 11, 14, 17…

Определение геометрической последовательности

В математике геометрическая последовательность — это набор чисел, в котором каждый член прогрессии является постоянным кратным предыдущему члену.Проще говоря, последовательность, в которой мы умножаем или делим фиксированное ненулевое число, каждый раз бесконечно, тогда прогрессия называется геометрической. Кроме того, если a является первым элементом последовательности, то его можно выразить как:

a, ar, ar ² , ar ³ , ar ⁴ …

где, a = первый член
d = общая разница между терминами

Пример : 3, 9, 27, 81…
4, 16, 64, 256 ..

Ключевые различия между арифметической и геометрической последовательностями

С точки зрения разницы между арифметической и геометрической последовательностями следует отметить следующие моменты:

1. Арифметическая последовательность представляет собой список чисел, в котором каждый новый член отличается от предыдущего на постоянную величину.Набор чисел, в котором каждый элемент после первого получается умножением предыдущего числа на постоянный коэффициент, известен как геометрическая последовательность.
2. Последовательность может быть арифметической, если существует общая разница между последовательными членами, обозначенная как «d». Напротив, когда существует общее соотношение между последовательными членами, представленное буквой «r», последовательность называется геометрической.
3. В арифметической последовательности новый член получается добавлением или вычитанием фиксированного значения к / из предыдущего члена.В отличие от геометрической последовательности, в которой новый член находится путем умножения или деления фиксированного значения из предыдущего члена.
4. В арифметической последовательности изменение членов последовательности линейно. В отличие от этого, изменение элементов последовательности экспоненциально.
5. Бесконечные арифметические последовательности расходятся, в то время как бесконечные геометрические последовательности сходятся или расходятся, в зависимости от обстоятельств.

Заключение

Следовательно, из приведенного выше обсуждения станет ясно, что существует огромная разница между двумя типами последовательностей.Кроме того, арифметическая последовательность может использоваться для определения экономии, стоимости, конечного приращения и т. Д. С другой стороны, практическое применение геометрической последовательности заключается в определении роста населения, интереса и т. Д.

арифметических и геометрических последовательностей | bartleby

Арифметические и геометрические прогрессии

Ответить на приведенные выше примеры было просто, потому что требовалось вычислить всего несколько терминов. Но что, если бы в примере A увеличение количества минут в день было ограничено 2 минутами.Что, если в Примере B количество лет с начислением сложных процентов было бы равно 12 годам? В таких случаях вычисление каждого члена до получения желаемого значения может занять много времени. Более простой способ решить такие примеры — расшифровать последовательность чисел и разработать для них формулу.

Если мы определим последовательность чисел в примере A, мы увидим, что существует постоянная разница в 5 между любыми двумя последовательными числами.

10,15, 20, 25 = 10, 10 + 5, (10 + 5 + 5), (10 + 5 + 5 + 5)

Когда разница между любыми двумя последовательными терминами всегда одинакова в При заданной последовательности чисел числа, как говорят, находятся в A рифметике P rogression ( AP). Это означает, что следующее число в данной последовательности вычисляется путем добавления фиксированного числа к предыдущему числу в последовательности.

Чтобы выразить это в математической формуле, если мы назовем «первый член последовательности » a , а фиксированный член, который нужно добавить, d ( обычно называют общей разницей ), тогда последовательность чисел может быть записана как:

a, a + d, a + 2d, a + 3d…

Чтобы написать формулу для n членов, обратите внимание, что между последовательными членами будет ( n — 1) количество разностей.

Чтобы найти количество членов до заданного значения n , то есть найти n -й член арифметической прогрессии (AP), обозначенный как Tn, последовательность можно обобщить как:

Tn = a + ( n-1) d

Эта формула может использоваться для вычисления

• Определенный член арифметической последовательности Tn
• Количество членов в данной арифметической последовательности n
• Первое число арифметической последовательности a
• Общее различие арифметическая последовательность d

Однако концепция и формула, упомянутые выше, не подходят для примера B.Числа для примера B:

2000, 2120, 2247.2, 2382

Разница между любыми двумя последовательными заданными числами не является константой, но учтите, что отношение второго числа к первому числу является константой.

23822247,2 = 2247,22120 = 21202000 = 1,06

Пример B представляет собой случай геометрической прогрессии (GP). В GP , соотношение любых двух последовательных членов всегда одинаково. Следовательно, следующее число в последовательности вычисляется путем умножения фиксированного числа на предыдущее число в последовательности.

Чтобы выразить это в математической формуле, назовите первый член последовательности на , а фиксированный член, который нужно умножить, на на (обычно называемый «общим соотношением »). Тогда последовательность чисел может быть записана как

a, ar, ar2, ar3 …

Чтобы найти количество членов до заданного значения n , то есть найти член n ^th ГП, обозначенного Tn , мы можем обобщить последовательность как

Tn = ar (n-1)

Эту формулу можно использовать для расчета

Калькулятор геометрической прогрессии — Расчет высокой точности

[1] 2021 / 03/28 16:30 Мужчина / Уровень 30 лет / Инженер / Очень /

Цель использования

Использование для определения дисконтированных денежных потоков по моему полису страхования жизни

[2] 2020/07/11 02 : 59 Мужской / До 20 лет / Средняя школа / Университет / аспирант / Очень /

Цель использования

Здравствуйте, кто-нибудь может сказать мне геометрическую погрешность между -4 и -9 с пояснением, пожалуйста.Большое спасибо!

[3] 2020/06/04 10:42 Мужской / До 20 лет / Старшая школа / Университет / аспирант / Очень /

Цель использования

Расчет внутриигровых ресурсов

Комментарий / запрос

Очень точный, может отображать большие числа цифра за цифрой

[4] 2020/04/16 21:47 Мужчина / 20-летний уровень / Инженер / Полезный /

Цель использования

Расчет моей пенсионной суммы : P

Комментарий / запрос

Точно и кратко

[5] 03.03.2020 18:35 Женский / 30-летний уровень / Средняя школа / Университет / аспирант / Очень /

Цель использования

За результат

[6] 2019/09/05 04:55 Мужской / До 20 лет / Начальная школа / Младший школьник / Очень /

Цель использования

Learning The Math.

Комментарий / запрос

Изучение математики

[7] 15.04.2019 19:26 Мужчина / 20-летний уровень / Средняя школа / Университет / аспирант / Очень /

Цель использования

Чтобы рассчитать возможные возвраты для ставки на сборщик.

[8] 2019/02/15 08:04 Мужской / До 20 лет / Начальная школа / Младший школьник / Полезно /

Цель использования

математическая задача

Комментарий / запрос

круто

[9] 2018/03/17 07:43 Женский / Моложе 20 лет / Высшая школа / Университет / аспирант / Не совсем /

Цель использования

Я искал калькулятор, чтобы найти общее отношение последовательности, когда даны первые 3 числа этой последовательности.Кажется, я не могу найти один из таких …

[10] 23.03.2013 03:56 Мужской / 50-летний уровень / Другое / Немного /

Цель использования

Фон Нейман оценка зондирования. 400 миллиардов звезд в галактике, сколько итераций перед воспроизводящим зондом дает число, эквивалентное одному зонду на звезду. Предположим, что исходный зонд производит 1 раз в месяц до достижения T. Каждый зонд после этого делает то же самое по прибытии. Среднее время путешествия между звездами предполагает 50 лет.

Арифметическая и геометрическая прогрессия | Что, Примеры, Резюме

Что такое прогресс по математике?

В нашей повседневной жизни мы наблюдаем различные закономерности в природе. Возможно, вы заметили V-образную форму, которую принимают во время полета разные виды птиц, включая гусей, уток и других перелетных птиц, великолепный узор, в котором расположены лепестки розы или подсолнечника, завораживающее геометрическое искусство, образованное качающимся маятником. , положение мерцающих звезд на ночном небе, и этот список можно продолжить.

Математики пытаются выразить такие закономерности в виде чисел, символов и формул. Они придумывают разные термины и определяют эти фундаментальные концепции. Прогрессия (или последовательность) — пример одного из таких жаргонов.

Определение: В арифметике (раздел математики) набор или список упорядоченных элементов называется прогрессией (или последовательностью). Элементами могут быть все, что угодно, например буквы, числа, слова и т. Д. Эти элементы упорядочены на основе некоторого правила.Например, следующий список представляет собой прогрессию (или последовательность).

100, 10, 1, 0,1, 0,01 (1)

Основное правило, управляющее этим списком, довольно очевидно, то есть список из пяти элементов, начиная со 100, где каждый следующий элемент составляет одну десятую текущего элемента с величиной . Следует отметить, что порядок элементов также является важным аспектом прогресса. Например, если мы изменим порядок следования указанным выше i.е., «0,01, 0,1, 1, 10, 100», то мы получаем новую прогрессию.

Здесь также следует отметить, что элементы в прогрессии также могут быть бесконечными. Возможно, вы думаете, как это возможно. Что ж, это просто. Нам не нужно записывать все элементы списка. Все, что нам нужно, это определить правило и упомянуть первые несколько терминов развития. Ниже приводится пример.

-1, -2, -3, -4…. (2)

Глядя на пример, мы сразу можем сделать вывод, что следующие члены будут -5, -6, -7 и так далее.Вот как мы определяем бесконечную прогрессию с использованием всего нескольких элементов этой последовательности.

Обратите внимание, что мы также можем представить прогресс в форме утверждения. Например, указанная выше прогрессия может быть утверждена как «прогрессия всех отрицательных целых чисел, начиная с -1 и расширяясь к отрицательной бесконечности».

Однако здесь нужно помнить одну вещь. Часто невозможно вывести единственное правило из бесконечной прогрессии с упоминанием только его первых нескольких элементов.В качестве примера рассмотрим следующую последовательность действий.

3, 5, 7,…. (3)

Как вы думаете, какое правило управляет этим прогрессом? «Последовательность всех положительных нечетных чисел, начиная с 3»? Да, верно, но не полностью. Мы можем сформулировать другое правило: «Последовательность всех положительных простых чисел, начиная с 3». Другими словами, список из нескольких элементов может представлять более одной прогрессии!

Exercise: В качестве упражнения попробуйте придумать два примера конечных и два примера бесконечных прогрессий.Также укажите управляющее правило, лежащее в основе прогрессий.

В математике есть несколько широко известных типов прогресса. Конечно, каждый из них основан на уникальном правиле. В их числе:

• Арифметическая прогрессия
• Геометрическая прогрессия
• Гармоническая прогрессия
• Прогрессия Фибоначчи

В этой статье мы подробно рассмотрим два из вышеупомянутых типов прогрессий (арифметические и геометрические прогрессии).

Арифметическая прогрессия

Интересным аспектом прогрессии является то, что она основана на единственном правиле. С помощью очень простого правила можно построить уникальный творческий прогресс. Одним из таких примеров является арифметическая прогрессия. Правило простое: «Последовательные элементы прогрессии различаются только постоянным числом». Это постоянное число интуитивно называется общей разницей . Общее различие обычно обозначается буквой «д».Ниже приводится пример арифметической прогрессии.

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13… 900 28 (4)

Как вы можете заметить, каждое следующее число на два больше, чем предыдущее, то есть 3 на два больше, чем 1, 5 — на два больше, чем 3, 7 — на два больше, чем 5 и так далее. Легко понять, что общая разница для этой арифметической прогрессии равна 2, т. Е. D = 2. Обратите внимание, что общая разница может быть как положительной, так и отрицательной.

Exercise: В качестве упражнения попробуйте построить арифметическую прогрессию, начиная с 1 с общей разностью -2.(Подсказка: каждый член будет на два меньше предыдущего)

Обозначение: Для прогрессии (4) мы можем сказать, что «1» — это первый член, «3» — второй член, «5» — третий член и так далее. Было бы здорово, если бы мы могли выразить арифметическую прогрессию в терминах некоторого обобщенного выражения. К счастью, математики достаточно здравомыслящие, чтобы облегчить нам жизнь. Уравнение, которое используется для передачи любого члена (например,

«, члена) арифметической прогрессии, называется термином.Обозначается как «». Нижний индекс «n» обозначает позицию термина. Первый член прогрессии также имеет большое значение. Он также называется начальным термином и обозначается как «». Вся арифметическая прогрессия может быть разработана на основе информации о первом члене и общей разности арифметической прогрессии.

Общая форма и n-й член арифметической прогрессии: Попробуем построить общую форму арифметической прогрессии. Скажем, первый член арифметической прогрессии — «a1».Общее различие арифметической прогрессии — «d». Второй член арифметической прогрессии будет равен предыдущему члену плюс общая разница (т. Е.

‘’).

Точно так же третий член прогрессии будет

. А вот и математический трюк. Обратите внимание, что как ‘’, третий член можно переписать как,. В продолжение этой идеи четвертый член можно найти как,. Вы можете наблюдать здесь закономерность? Вы можете понять, что мы можем переписать арифметическую прогрессию в относительно обобщенной форме как:

(5)

Глядя на вышеприведенное выражение, выражение для n-го члена можно зарегистрировать как:

(6)

Поздравляем! Мы успешно вывели формулу для общего члена арифметической прогрессии.

Можно отметить, что, используя указанное выше соотношение, мы можем найти член

как:

(7)

Используя два приведенных выше уравнения, можно понять, что общая разница может быть выражена как:

(8)

Обратите внимание, что указанное выше соотношение имеет смысл, потому что общая разница на самом деле является разницей между двумя последовательными членами арифметической прогрессии.

Решим два примера. Предположим, что нам дана общая разность «d» арифметической прогрессии, равная -5.Известно, что первый член равен 300. Нас попросили построить арифметическую прогрессию, используя эту информацию. Используя отношение n-го члена, арифметическая прогрессия может быть записана как 300, 295, 290, 285, 280….

В качестве второго примера рассмотрим, что нам дана арифметическая прогрессия 4, 2,5, 1, -0,5…. Нас попросили найти общую разницу, первый член и энный член данной прогрессии. Как подойти к проблеме? Чтобы найти общее различие, мы наблюдаем разницу между любыми двумя последовательными членами прогрессии.Разница составляет -1,5, следовательно, общая разница «d» = -1,5. Очевидно, первый член — 4. Наконец, учитывая, что мы определили первый член, а также общую разницу, n-й член прогрессии получается равным:

Упражнение: Найдите, какие из следующих прогрессий квалифицируются как арифметические. Найдите общую разницу для арифметических прогрессий.

• 10, 20, 40, 80….
• 1,2,4,5,7,8…
• 35, 36, 37, 38….
• 1/3, 2/3, 1, 4/3,….

Найдите соответствующую общую разность, первый член и n-й член каждой из следующих арифметических прогрессий.

• 0,1, 0,9, 1,7, 2,5….
• -10, -9,5, -9,0, -8,5….
• 1400, 1550, 1700, 1850….
• 1, -1, -3, -5… ..

Сумма n членов AP: Иногда полезно знать сумму конечной части арифметической прогрессии. Другими словами, нас часто интересует нахождение суммы первых n членов арифметической прогрессии.С этой темой связана довольно увлекательная история. История об ученике начальной школы, который впоследствии стал известным математиком. Его звали Карл Фридрих Гаусс.

Карл Фридрих Гаусс был немецким математиком. Однажды в классе начальной школы учитель попросил юного Гаусса найти сумму первых 100 натуральных чисел (1–100). Ожидалось, что это будет трудоемкая и трудоемкая задача. Молодой Гаусс быстро нашел ответ на проблему — 5050.Учитель был уже удивлен быстрым ответом юноши, в то время как он попросил его объяснить, как он это сделал. Гаусс объяснил свою простую, но элегантную технику . Его объяснение звучит так. Пусть

будет суммой первых 100 натуральных чисел.

Его можно снова переписать как:

Гаусс утверждал, что два приведенных выше уравнения можно суммировать, и мы получаем

Поскольку в каждом уравнении было 100 членов,

Удивительно, не правда ли?

Этот метод можно расширить, чтобы найти

(сумма первых «n» членов AP).В итоге получается:

Вы можете сделать это самостоятельно и получить его. Попробуйте поэкспериментировать с формулой n-го члена арифметической прогрессии и используйте аналогичный прием, упомянутый выше.

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — это список упорядоченных чисел, в котором каждое следующее число получается умножением предыдущего числа на ненулевое действительное число . Ненулевое действительное число называется общим отношением .Обычное отношение обозначается буквой «р». Ниже приводится пример геометрической прогрессии.

2, 4, 8, 16, 32… (9)

Можно понять, что каждый член фактически вдвое превышает срок, предшествующий ему. Следовательно, общее отношение «r» равно 2. Обратите внимание, что стандартное отношение «r» может быть как положительным, так и отрицательным, но не должно равняться единице (поскольку для r = 1 будет последовательность одинаковых повторяющихся чисел, и это будет скучная прогрессия). Как и в случае с арифметической прогрессией, геометрическая прогрессия может быть конечной и бесконечной, хотя есть огромная разница, когда дело доходит до суммы членов бесконечной арифметической прогрессии и бесконечной геометрической прогрессии (это будет обсуждаться позже).

Примечательно, что если обычное отношение больше 1, то это будет прогрессия, увеличивающаяся по величине. С другой стороны, если обычное отношение меньше 1, то прогрессия будет убывающей.

Геометрические прогрессии находят применение в инженерии, математике, физике, экономике, информатике и даже в биологии.

Exercise: В качестве упражнения попробуйте разработать геометрическую прогрессию, используя обычное отношение «r», равное -2.Первый член прогрессии должен быть 1. (Подсказка: начните с первого члена. Умножьте его на -2, чтобы получить второй член. Затем умножьте второй член на -2, чтобы получить третий член, и так далее).

Обозначение: Что касается обозначений, то те же обозначения используются для геометрической прогрессии. Символ «

» обычно используется для обозначения n-го члена геометрической прогрессии.

Общая форма и n-й член: Теперь давайте выведем общую форму геометрической прогрессии.Известно, что обычное отношение «r» — это отношение между каждым элементом и предыдущим. Следовательно, если мы представим первый элемент геометрической прогрессии как

, то мы можем сделать вывод, что следующий член ‘’ будет равен ‘’. Точно так же третий термин ‘’ был бы равен ‘’. ’’ Можно заменить на ‘’. Таким образом, ‘’ будет равно ‘’ и так далее. Таким образом появляется очень заметный узор. Таким образом, легко сделать вывод, что общая форма геометрической прогрессии будет следующей:

(10)

Из приведенного выше выражения n-й член можно записать как:

(11)

Решим два примера, относящихся к геометрической прогрессии (как мы это сделали для AP).Предположим, что нам дан общий коэффициент r (геометрической прогрессии), равный 1/3. Также известен первый член геометрической прогрессии. Он равен 270. Предлагается построить геометрическую прогрессию, используя вышеупомянутую информацию. Чтобы решить этот пример, мы обратимся к общей форме геометрической прогрессии. После вставки значения «r» и первого члена, т.е.

, мы можем получить геометрическую прогрессию как 270, 90, 30, 10, 10/3,….

В качестве второго примера рассмотрим, что нам дана геометрическая прогрессия 1, 1.1, 1.21, 1.331…. Нас попросили найти первый член «

», знаменатель «r» и n-й член «» данной прогрессии. Первый член просто равен 1. Чтобы найти общее отношение данной геометрической прогрессии, мы можем найти отношение между любым элементом и предыдущим. Возьмем третье число, то есть 1,21, и разделим его на предыдущее число, то есть 1,1. Получаем «r» равным 1,21 / 1,1 = 1,1. Наконец, чтобы найти n-й член прогрессии, мы обращаемся к соотношению.Подставив значение «r», равное 1,1, и «», равное 1, мы получим.

Операция:

1. Найдите значение члена данной геометрической прогрессии.
2. Найдите, какие из следующих прогрессий являются геометрическими. (Подсказка: найдите соотношение между каждой парой чисел. Если соотношения оказываются равными, то прогрессия называется GP)
   1. 1, 1, 2, 4, 8, 16,…
   2. 0,1, 0,5, 2,5, 12,5,…
   4. 100, 10, 100, 10, 100,…
3. Постройте геометрическую прогрессию, учитывая, что ее первый член равен 15, а соотношение между вторым и третьим членами равно 2 (обратите внимание на порядок чисел данного отношения i.е.,. Будьте осторожны с тем фактом, что общее отношение определяется следующим элементом в качестве числителя).

Подробнее об общем соотношении «r» : Есть некоторые интересные детали, связанные с общим отношением «r».

Величина общего отношения определяет характер геометрической прогрессии. Если «r» больше 1, то каждое последующее число больше предыдущего. Следовательно, в целом геометрическая прогрессия расширяется в сторону бесконечности. Если «r» меньше 1, но больше 0, то каждое последующее число меньше по величине, чем предыдущее.В этом случае прогресс сокращается по мере увеличения «n».

Теперь рассмотрим специальную прогрессию ниже,

.

3, 3, 3, 3,… (12)

Можете ли вы найти его общее отношение? Итак, применяя обычную процедуру получения общего отношения, мы видим, что его стандартное отношение оказывается равным единице, т.е. 1.

Что делать, если «r» меньше 0, т. Е. «R» отрицательно? В этом случае мы получаем прогрессию, последовательные числа которой меняются между положительными и отрицательными.Следующий пример является одним из таких примеров.

2, -4, 8, -16… (13)

Значение «r» равно -2 для указанной выше прогрессии. Возникают три случая, когда r <0.

• Когда «r» находится между -1 и 0, GP кажется, что сужается до (абсолютные величины чисел становятся меньше по мере увеличения «n»). Последовательность 10, -1, 0,1, -0,01, 0,001… является примером.
• Когда «r» меньше -1, GP кажется, что расширяется до (абсолютные величины чисел становятся больше с увеличением «n»).Последовательность 10, -100, 1000, -10000… является примером.
• Когда «r» равно -1, GP кажется постоянным (только чередование положительных и отрицательных значений). Последовательность 10, -10, 10, -10, 10… является примером.

Вот вопрос. Что происходит, когда «r» равно 0? У вас может возникнуть соблазн сказать, что прогресс будет выглядеть примерно так, как показано ниже.

, 0, 0, 0, 0…

Но помните, что «r» — это соотношение между последовательными номерами GP.И 0/0 не определяется. Следовательно, «r» не может быть равно 0.

Сумма n-членов GP: Сумму первых n-членов геометрической прогрессии можно вычислить с помощью следующей формулы.

(14)

Вот интересный факт о сумме GP, которую показывает эта формула. Вы должны помнить, что сумма всех членов бесконечной арифметической прогрессии не может привести к одному значению. Но в этом случае мы видим, что если 0

приближается к нулю в приведенном выше выражении и, таким образом, сумма членов бесконечного GP сходится к константе !

Давайте посмотрим на пример.Предположим, нам дана геометрическая прогрессия {3, 6, 12, 24…}. Сумма первых 12 членов прогрессии составит

. Точно так же сумма первых 6 членов будет.

Обратите внимание, что если бы нас попросили найти сумму членов с позиций с 7 по 12, то ее можно было бы просто оценить как разницу между

и .

Операция:

1. Найдите сумму первых 10 членов геометрической прогрессии 1, 2, 4, 8, 16…
2. Найдите сумму

• • Первые 10 терминов
  • Первые 100 терминов
  • Термины с позиций с 11 по 100.
  • Все условия

геометрической прогрессии 1, 1/2, 1/4, 1/8…

Источники:

1. https://byjus.com/maths/arithmetic-progression/
2. https://www.math20.com/en/algebra/arithmetic-progression.html
3. https://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic_progression
4. https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=&ved=2ahUKEwjV-IqijP7uAhXRYcAKHVC9BewQFjARegQIQRAD&url=https%3A%ww2F.mathcentre.ac.uk% 2Fresources% 2Fuploaded% 2Fmc-ty-apgp-2009-1.pdf & usg = AOvVaw1HHTTQe496RZ2V_FquWcOI
5. https://www.mathsisfun.com/algebra/sequences-sums-arithmetic.html
6. https://www.math-only-math.com/arithmetic-progression.html
7. https://brilliant.org/wiki/arithmetic-progressions/

Арифметические и геометрические прогрессии — DAVE4MATH

Я обсуждаю сходство между арифметическими и геометрическими прогрессиями. После этого я привожу примеры каждого типа и объясняю рекурсивные версии каждого из них.Далее я также обсуждаю оба типа последовательностей, и для каждого из них я доказываю формулу суммирования.

Арифметические прогрессии

Арифметическая прогрессия , иногда называемая арифметической последовательностью, представляет собой последовательность чисел с фиксированной общей разностью . Например, последовательность $ 10, 20, 30, 40,… $ — это арифметическая последовательность с общей разностью 10.

Определение . Последовательность вида $$ a, a + d, a + 2d, \ ldots, a + nd, \ ldots $$, где $ a, d \ in \ mathbb {R} $, называется арифметической прогрессией .

Кроме того, арифметическая прогрессия может быть записана как рекурсивная формула как $$ a_0 = a, \ qquad a_n = a_ {n-1} + d \ qquad n \ geq 1. $$

Теорема . Пусть $ a, d \ in \ mathbb {R}. $ Докажите, что для любого натурального числа $ n $, что $$ a + (a + d) + (a + 2d) + \ cdots + (a + nd) = \ гидроразрыв {(2a + nd) (n + 1)} {2}. $$

Доказательство 1 . Доказательство с использованием математической индукции.

Использование математической индукции для вычисления формулы суммирования арифметической прогрессии

Proof 2 .{n + 1} -1} {r-1} \ right) $$

Доказательство 1 . Доказательство с использованием математической индукции.

Использование математической индукции для вычисления формулы суммирования геометрической прогрессии

Заключение

Итак, когда арифметические и геометрические прогрессии используются в повседневной жизни?

Когда вы что-то считаете, вы используете арифметическую прогрессию. Например, когда $ a = 0 $ и $ d = 1 $, арифметическая прогрессия составляет всего $ 0,1,2,3, \ ldots.