Чему равен модуль 0: Модуль нуля | Математика

Содержание

Модуль числа, определение и свойства

Определение модуля числа

Алгебра дает четкое определения модуля числа. Модуль в математике — это расстояние от начала отсчёта до точки координатной прямой, соответствующей этому числу.

Если мы возьмем некоторое число «a» и изобразим его на координатной прямой точкой «A» — расстояние от точки «A» до начала отсчёта (то есть до нуля, длина отрезка «OA») будет называться модулем числа «a».

Знак модуля: |a| = OA

Разберем на примере:

Точка «В», которая соответствует числу «−3», находится на расстоянии 3 единичных отрезков от точки 0 (то есть от начала отсчёта). То есть длина отрезка «OB» равна 3 единицам.

Число 3 (длина отрезка «OB») называют модулем числа «−3».

Обозначение модуля: |−3| = 3

Читают символы выше следующим образом: «модуль числа минус три равен трем».

Точка «С», которая соответствует числу «+4», находится на расстоянии четырех единичных отрезков от начала отсчёта, то есть длина отрезка «OС» равна четырем единицам.

Число 4 называют модулем числа «+4» и обозначают так: |+4| = 4.

Также можно опустить плюс и записать значение, как |4| = 4.

Свойства модуля числа

Давайте рассмотрим семь основных свойств модуля. Независимо от того, в какой класс перешел ребенок — эти правила пригодятся всегда.

1. Модуль числа — это расстояние, а расстояние не может быть отрицательным. Поэтому и модуль числа не бывает отрицательным:

2. Модуль положительного числа равен самому числу.

3. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу.

  • |−a| = a, если a < 0

4. Модуль нуля равен нулю.

5. Противоположные числа имеют равные модули.

6. Модуль произведения равен произведению модулей этих чисел.

  • |a b| = |a| |b|, когда

a·b 0

или

−(a·b), когда a·b<0

7. Модуль частного равен частному от деления модуля числа числителя на модуль числа знаменателя: 

Геометрическая интерпретация модуля

Как мы уже знаем, модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа. То есть расстояние от точки −5 до нуля равно 5.

Нарисуем числовую прямую и отобразим это на ней.

Эта геометрическая интерпретация используется для решения уравнений и неравенств с модулем. Давайте рассмотрим на примерах.

Решим уравнение: |х| = 5

Мы видим, что на числовой прямой есть две точки, расстояние от которых до нуля равно 5. Это точки 5 и −5. Значит, уравнение имеет два решения: x = 5 и x = −5.

Когда у нас есть два числа a и b, то их разность |a — b| равна расстоянию между ними на числовой прямой. Или длине отрезка АВ

Расстояние от точки a до точки b равно расстоянию от точки b до точки a, тогда |a — b| = |b — a|.

Решим уравнение: |a — 3| = 4 . Запись читаем так: расстояние от точки а до точки 3 равно 4. Отметим на числовой прямой точки, удовлетворяющие этому условию.

Уравнение имеет два решения: −1 и 7. Мы из 3 вычли 4 — и это один ответ, а также к 3 мы прибавили 4 — и это второй ответ.

Решим неравенство: |a + 7| < 4 .

Эту запись читаем так: расстояние от точки a до точки −7 меньше четырёх. Отмечаем на числовой прямой точки, удовлетворяющие этому условию:

Ответ в данном случае будет таким: (-11; -3).

Решим неравенство: |10 − x| ≥ 7.

Расстояние от точки 10 до точки x больше или равно семи. Отметим эти точки на числовой прямой.

Ответ: ( -; 3] [17, +)

График функции

График функции равен y = |х|.

Для x 0 имеем y = x. 

Для x < 0 имеем y = −x. В результате получаем:

Этот график можно использовать при решении уравнений и неравенств.

Корень из квадрата

В контрольной или задаче ЕГЭ может встретиться задачка, в которой просят вычислить √a2 , где a – некоторое число или выражение.

При этом, √a2= |a|.

По определению арифметического квадратного корня √a2 — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен a2 .  

Оно равно a, при а 0 и -а, при а < 0 , т. е. как раз |a|.

Модуль комплексного числа

У нас есть комплексное число, которое выглядит следующим образом: z=x+i·y, где x и y представляют собой действительную и мнимую части комплексного числа z (и являются действительными), а i — мнимая единица и равна √-1

Чему равен модуль числа в данном случае? Это арифметический квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой части комплексного числа:

Свойства модуля комплексных чисел

  • Область определения: вся комплексная плоскость.
  • Область значений: [0;+∞).
  • Модуль как комплексная функция не дифференцируется ни в одной точке, так как условия Коши-Римана не выполнены.

Модуль рационального числа

Как найти модуль рационального числа — это расстояние от начала отсчёта до точки координатной прямой, которая соответствует этому числу.

Модуль рационального числа, примеры:

|-3,5| = 3,5

|0| = 0

Модуль вещественных чисел

  • Область определения: (−∞;+∞).
  • Область значений: [0;+∞).
  • Функция чётная.
  • Функция дифференцируется везде, кроме нуля. В точке x=0 функция претерпевает излом.

Модуль противоположного числа, нуля, отрицательного и положительного чисел

Исходя из свойств модуля, которые мы рассмотрели выше, получаем:

  • Противоположные числа имеют равные модули, то есть |- а| = |а| = a.
    Если посмотреть это относительно координатной прямой, то две точки, у которых координаты — это противоположные числа, располагаются на одном расстоянии от начала отсчета. То есть модули противоположных чисел одинаковы.
  • Модуль нуля равен нулю.
    |0| = 0, если a = 0
  • Для положительного числа модуль равен самомý числу, а для отрицательного – противоположному числу.
    |а| = — а
    |−a| = a

Приходите заниматься нескучной математикой в детскую онлайн-школу Skysmart. {2}}\Leftrightarrow \\xy>\left| x \right|\cdot \left| y \right|\Leftrightarrow \\xy>\left| xy \right|,\end{array}\)

а это противоречит определению модуля.

Следовательно, таких \( x;y\in \mathbb{R}\) не существует, а значит, при всех \( x,\text{ }y\in \mathbb{R}\) выполняется неравенство \( \left| x+y \right|\le \left| x \right|+\left| y \right|.\)

Примеры для самостоятельного решения:

1) Докажите свойство №6.

2) Упростите выражение \( \left| \frac{31}{8}-\sqrt{15} \right|+\left| \frac{15}{4}-\sqrt{15} \right|\).

Ответы:

1) Воспользуемся свойством №3: \( \left| c\cdot x \right|=\left| c \right|\cdot \left| x \right|\), а поскольку \( c>0\text{ }\Rightarrow \text{ }\left| c \right|=c\), тогда

\( \left| cx \right|=c\cdot \left| x \right|\), ч.т.д.

2) \( \left| \frac{31}{8}-\sqrt{15} \right|+\left| \frac{15}{4}-\sqrt{15} \right|\). {2}}\overset{<}{\mathop{\vee }}\,15\cdot 16\text{ }\Rightarrow \text{ }\)

\( \frac{15}{4}-\sqrt{15}\text{ }<0\text{ }\Rightarrow \text{ }\left| \frac{15}{4}-\sqrt{15} \right|=\sqrt{15}-\frac{15}{4}\).

Складываем значения модулей:

\( \displaystyle \left| \frac{31}{8}-\sqrt{15} \right|+\left| \frac{15}{4}-\sqrt{15} \right|=\frac{31}{8}-\sqrt{15}+\sqrt{15}-\frac{15}{4}=\frac{1}{8}=0.125\)

Модуль

Модулем положительного числа называют само это число; модулем отрицательного числа называют число, ему противоположное; модуль нуля равен нулю.


\(|a|=\begin{cases} a, \;\; если \;  a>0 \\ 0, \; если\;\; a=0\\ -a,\; если \;\;  a<0  \end{cases}\)



Второе название модуля – «абсолютное значение действительного числа».


Фактически модуль делает всё, что находится внутри него положительным. Поэтому чтобы правильно его раскрыть, необходимо сначала выяснить знак выражения внутри него:


— если подмодульное выражение положительно, модуль просто убирается. 4+1\)


Пример. Вычислить значение выражения \(|7-x|-|x+3|\), при \(x>12\).


Решение: При любом \(x\) большем \(12\), первое подмодульное выражение будет отрицательно, а второе – положительно. Соответственно, первый модуль будет раскрываться с минусом, а второй – с плюсом (значит перед ним останется минус, который стоял перед ним до раскрытия):


\(|7-x|-|x+3|=-(7-x)-(x+3)=-7+x-x-3=-10\)


Ответ: \(-10\)

Геометрическое определение модуля

\(|a|\) — это расстояние от \(0\) до числа \(a\) на числовой оси


Пример. Чему равен \(|5|\)  и \(|-5|\)?


Представим числовую ось и отметим на ней точки \(5\) и \(-5\). Какое будет расстояние от нуля до этих точек? Очевидно \(5\).



Значит ответ: \(|5|=5\),   \(|-5|=5\).


Так как модуль это расстояние, а расстояние не может выражаться отрицательным числом, то он всегда положителен.


Понимать легче второе определение, но практике удобнее использовать первое.

Решение простейших уравнений с модулем

Уравнения вида \(|f|=g\) решается с помощью перехода к совокупности   \( \left[ \begin{gathered}f= g\\  f=-g\end{gathered}\right.\) , при условии, что \(g≥0\).


Сначала об условии \(g≥0\). Откуда оно берется? Из определения модуля, ведь модуль всегда неотрицателен (то есть, положителен или равен нулю). Поэтому условие \(g≥0\) обязательно. Иначе уравнение не будет иметь решения.


Теперь о совокупности. Почему уравнение распадается на два? Давайте, к примеру, рассмотрим уравнение \(|x|=3\). Какое число под модулем будет равно \(3\)? Конечно \(3\) и \(-3\), потому что \(|3|=3\), \(|-3|=3\). Корни уравнения \(|x|=3\): \(3\) и \(-3\). Логично? Логично! В общем виде получается, что подмодульное выражение \(f\) должно быть равно \(g\) и \(-g\). Иначе равенство не получится.

Пример.   Решить уравнение:








\(|x-1|=3x\)


Найдем ограничения уравнения. Запишем его немного правее от основного решения


                               \(3x≥0\)

                               \(x≥0\)


 


Когда ограничение записано —  можно со спокойной душой решать уравнение. Избавимся от модуля и перейдем к совокупности уравнений


\( \left[ \begin{gathered}x-1=3x\\ x-1=-3x\end{gathered}\right.\)


 


Перед нами 2 линейных уравнения. Решаем их с помощью известного заклинания: «иксы влево, числа вправо»


\( \left[ \begin{gathered}x-3x=1\\ x+3x=1\end{gathered}\right. \)


 


Приведем подобные слагаемые


\( \left[ \begin{gathered}-2x=1\\ 4x=1\end{gathered}\right.\)



Поделим первое уравнение на \(-2\), второе на \(4\).


\( \left[ \begin{gathered} x=-\frac{1}{2}\\ x=\frac{1}{4}\end{gathered}\right.\)



Корень \(-\)\(\frac{1}{2}\) – не подходит, т.к. \(x≥0\). Остается корень \(\frac{1}{4}\), его и запишем в ответ


Ответ:  \(\frac{1}{4}\)

Решение простейших неравенств с модулем

Неравенство вида \(|f|< c\) решается с помощью перехода к двойному неравенству   \( -c< f< c\) , при условии, что \(c>0\).


Начнем опять с условия. Почему \(c>0\)? Потому что, иначе неравенство не будет иметь решения. Здесь все также как в уравнениях. В самом деле, когда, например, модуль икса меньше \(-7\)? Никогда!


Теперь разберем неравенство \(|x|<3\). Какие иксы нам подойдут? Все от \(-3\) до \(3\). Иначе говоря, икс должен лежать между \(-3\) и \(3\). Это утверждение можно записать вот так \(-3< x <3\) либо системой \(\begin{cases}x<3\\x > -3\end{cases}\). В любом случае ответ будет \(xϵ (-3;3)\).

Неравенство вида \(|f|>c\) решается с помощью перехода к совокупности неравенств \( \left[ \begin{gathered} f>c\\ f< -c\end{gathered}\right.\), при условии, что \(c≥0\).


А здесь почему \(c≥0\)? Потому что иначе решать нечего: если \(c\) отрицательно, то модуль абсолютно любого икса нам подойдет. И значит ответ, икс – любое число.


Теперь о переходе. Рассмотрим неравенство \(|x|>3\). Какие иксы нам подойдут? Все, модуль которых больше трех, то есть от минус бесконечности до \(-3\) и от \(3\) до плюс бесконечности. Записывая системой получим \(\begin{cases}x>3\\x < -3\end{cases}\). Ответ будет \(x ϵ (-∞;-3)⋃(3;∞)\).







\(|3x-7|≤8\)


\(|3x-11|≥11\)


\(-8≤3x-7≤8\) \(|+7\)


\( \left[ \begin{gathered}3x-11≥11\\ 3x-11≤-11\end{gathered}\right.\)


\(-1≤3x≤15\)


 


\( \left[ \begin{gathered}3x≥22\\ 3x≤0\end{gathered}\right.\)


\(-\frac{1}{3}≤x≤5\)


 


\( \left[ \begin{gathered}x≥\frac{22}{3}\\ x≤0\end{gathered}\right. \)


Ответ: \([ -\frac{1}{3};5]\)


 


Ответ: \( (-\infty;0]\cup [ \frac{22}{3};\infty)\)


Смотрите также:
Свойства модуля

Найти модуль с корнем

Как известно, модуль числа — это его абсолютное значение, без учета знака. Модуль всегда неотрицателен. Это значит, что он может быть равен либо положительному числу, либо нулю.

Таким образом, если дается положительное число или ноль, то их модуль будет равен им самим. А вот для отрицательного числа, его модуль будет иметь противоположное значение, т. е. являться противоположным числом. Так

|–3| = 3,
|–1,345| = 1,345.

Если представить числовую прямую (координатную прямую), то можно сказать, что на том расстоянии, на котором от нуля находится отрицательное число в одну сторону, на том же расстоянии от нуля находится его модуль, но в другую сторону.

Однако как найти модуль числового выражения, если его вычислить проблематично. Например, в выражениях с корнями когда получаются иррациональные числа. Пусть требуется найти модуль √2 – 2. Понятно, что здесь получится отрицательное число, т. к. 2 определенно больше √2. Следовательно, модулем этого выражения будет противоположное число. Но каково оно?

Чтобы получить противоположное число, надо умножить его на –1. Обычно просто приписывают к нему знак минуса. Если число отрицательное, то минус на минус дает плюс, и в результате получается положительное. Например, для –5 противоположное –(–5) = 5. Поэтому, когда берется модуль отрицательного числа, то можно не просто писать |–1,2| = |1,2|, а расписывать действие подробно:

|–1,2| = –(–1,2) = 1,2

Сделаем то же самое по отношению к выражению √2 – 2, коли мы уже знаем, что это отрицательное число:

|√2 – 2| = –(√2 – 2) = –√2 + 2 = 2 – √2

Таким образом, при вычислении модуля выражения с корнем следует придерживаться следующего алгоритма:

  1. Определить, является ли число положительным или отрицательным.
  2. Если число положительное или 0, то его модуль будет равен ему самому.
  3. Если число отрицательное, то умножить его на –1, после чего преобразовать выражение к удобному виду.

Теперь обратим внимание на следующее. Выше было сказано, что модуль отрицательного числа отстоит от точки отсчета (нуля) на таком же расстоянии (но в другую сторону), как и само это число. Однако в примере с корнем мы видим, что само выражение и его модуль не выглядят такими уж идентичными по абсолютному значению. Трудно сказать, действительно ли √2 – 2 отстоит от нуля на таком же расстоянии как 2 – √2.

Однако это так. Если записать отрицательное число с корнем как –2 + √2, то понятно, что мы получаем число, которое больше –2, т. е. находится от –2 ближе к нулю на √2. Модуль же числа равен 2 – √2. Это число, которое меньше 2 на √2. То есть тоже находится от 2 ближе к нулю на √2.

6.2.4. Модуль числа

Автор Татьяна Андрющенко На чтение 2 мин. Просмотров 3.6k. Опубликовано

Модулем числа а (записывают |a|) называют расстояние от начала отсчета до точки, соответствующей данному числу а.

Значение модуля любого числа неотрицательно. |3|=3; |-3|=3, т.к. расстояние от начала отсчета и до числа -3, и до числа 3 равно трем единичным отрезкам. Противоположные числа имеют равные модули. Модуль нуля равен нулю: |0|=0.

По определению модуля числа: |a|=a, если a≥0 и |a|=-a, если а<0. Читают: модуль неотрицательного числа равен самому этому числу; модуль отрицательного числа равен противоположному числу.

Примеры.

1. Вычислить: а) |5|-2; б) |-12| : 6; в) |-24| + |13|; г) |65|-|-45|.

Решение. а) |5|-2=5-2=3;

б) |-12| : 6=12 : 6=2;

в) |-24|+|13|=24+13=37;

г) |65|-|-45|=65-45=20.

2. Решить уравнение: а) |m|+4=10; б) 6-|x|=2.

Решение.

а) |m|+4=10;

|m|=10-4; из суммы вычли известное слагаемое;

|m|=6. Так как |-6|=6  и  |6|=6, то m=-6  или m=6.

Ответ: -6; 6.

б) 6-|x|=2.

|x|=6-2;

|x|=4, отсюда х=-4 или х=4.

Ответ: -4; 4.

3. Записать перечислением элементов множество целых чисел А, модуль которых меньше числа 5.

Решение. По определению модуля числа 5 искомые числа должны отстоять от начала отсчета как вправо, так и влево на расстояние, меньшее пяти единичных отрезков. В этом промежутке (показан штриховкой на рисунке) бесконечно много чисел, но нам нужно выбрать из них лишь все целые числа. Берем числа: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4. Числа -5 и 5 не подходят по условию.

Ответ:  множество А={-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}.

4. Записать перечислением множество натуральных чисел В, модуль которых меньше числа 5.

Решение. Из всех чисел, показанных на рисунке штриховкой, нам нужно выбрать натуральные, т.е. только те числа, которые употребляются при счете предметов. Ответ: B={1, 2, 3, 4}.

 

Урок математики в 6 классе по теме МОДУЛЬ ЧИСЛА (Е.В.Буцко, А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский)

04. 02. 2021 год

План-конспект урока
математики в 6 классе

Тема урока: Модуль числа

Цель 
урока:

  • Ввести определение модуля числа, обозначение
    модуля числа. Учить находить модуль числа.
  • Формирование у учащихся общеучебных умений,
    умения организовать себя, осуществлять самоконтроль, взаимоконтроль,
    самооценку.
  • Развитие и обогащение речи учащихся.

Задачи урока:


образовательные (формирование познавательных УУД):  

    научить в процессе реальной
ситуации использовать определения следующих понятий: «модуль числа», модуль
положительного и отрицательных чисел, модуль нуля. Научиться находить модуль
числа, систематизировать знания учащихся по теме «Модуль
числа»;


воспитательные (формирование коммуникативных и личностных УУД):
развивать
коммуникативные качества: умение слушать и вступать
в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем; воспитывать
ответственность и аккуратность; воспитывать  чувство
ответственности, товарищества, взаимопонимания, уважительного отношения друг к
другу,  способствовать пониманию необходимости  интеллектуальных усилий для
успешного обучения, положительного эффекта  настойчивости для достижения цели;


развивающие (формирование регулятивных УУД)

развивать аналитическое
мышление учащихся, внимание; умение обрабатывать
информацию; формировать коммуникативную компетенцию учащихся; выбирать способы
решения задач в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий
действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности.

Тип урока: урок открытия новых знаний

Формируемые результаты:

Предметные: Формировать умение находить модуль числа.

Личностные: Формировать ответственное отношение к обучению, готовность к
саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию

Метапредметные: Формировать умение видеть математическую задачу в контексте
проблемной ситуации.

Планируемые результаты: Обучающийся научится находить модуль числа.

Оборудование: компьютер, проектор, презентация, учебники

ХОД УРОКА:

I.                 
Организационный момент.

 

 -Здравствуйте,
ребята! Я рада приветствовать вас на нашем уроке, где вы узнаете много нового и
интересного. Вы должны быть внимательными и активными.


Сегодняшний урок я хотела бы начать со слов К. Э. Циолковского: “Сначала я
открывал то, что известно многим, затем то, что известно некоторым, а потом –
то, что неизвестно никому”.

На каждом уроке вы, ребята,
приобретаете новые знания, которые когда-то открыли великие математики.
Сегодня, согласно словам ученого К. Э. Циолковского, вы откроете то, что
известно многим. Знания, полученные сегодня, помогут вам в дальнейшем при
изучении многих тем не только в курсе математики, но и при изучении нового
курса, который называется алгебра.

II.
Актуализация знаний

Блиц-опрос:

— Что называется координатной прямой?

— Какие числа называются противоположными?

— Какое число является
противоположным самому себе?

— Какие числа называются целыми?

— Как иначе называются целые
положительные числа?

— Каждое ли натуральное число
является целым?

— Верно ли, что если число рациональное,
то оно является целым?

— Каждое ли целое число является
рациональным?

 

 Задание №1(слайд №2):

 Назовите координаты точек,
отмеченных на координатной прямой.

A(6), L
(4), P(1),
N
(-1), F
(-4)

 Какие из данных точек имеют
противоположные координаты?

L (4) и F
(-4)

 Среди данных чисел укажите пары
противоположных чисел:

 

Задание №2(слайд №3):

—  Назовите отрицательные,
положительные, натуральные,   дробные, целые, неположительные, неотрицательные
числа

III.
Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся.

— Для того, что бы узнать тему
сегодняшнего урока, нужно разгадать ребус

(слайд 4)


Тема нашего сегодняшнего урока «Модуль числа»

(слайд 5)


Термин  «модуль»   ввел в 1806 году  
 французский   математик Жорж Аргон.  В переводе с латинского modulus – «мера» или
«размер».

— Запишем в тетради тему урока: Модуль числа.

— Какие цели мы поставим на этот урок?


Узнать, что такое модуль.


Научиться находить модуль.


Решать задания с модулем.

 

 (слайд №6):

Какие
координаты имеют точки А ,В и С?

Чему
равно расстояние(в единичных отрезках) от начала координат до точек А , В и С?

Определение: Модулем числа называют расстояние от
начала отсчета до точки, изображающей это число на координатной прямой.

 

(слайд №7):

Обозначение:

Например:

|5
|=5

|-5
|=5

|3
|=3

|-3
|=3

Чему
равен модуль числа 0? Почему?

|0
|=0

(слайд №8):

Каким числом не
может быть модуль числа?

Модуль
принимает только положительные значения.

Чему равен модуль
положительного числа? Приведи пример.

Чему равен модуль
отрицательного числа? Приведите пример

Чему равен модуль
0?

Т.о. Модуль
неотрицательного числа равен этому числу, модуль отрицательного числа равен
числу, противоположному данному
.

 

IV.
Первичное усвоение новых знаний

1.     (слайд
№9):

Даны числа: 4 и —
4;  94  и — 94;  — 42 и 42

Найдите модуль
каждого из чисел.

|4|=4        и   
|-4|=4

|94|=94    и   
|-94|=94

|-42|=42   и   
|42|=42

Сравните эти
модули.

какой вывод можно
сделать?

|-а|=|a|
— запишите в тетрадь.

2.      (слайд
№10):

Выполните
самостоятельно №894 из учебника, а затем проверьте ответы:

|2|=2                      
|17 1/7  |=17 1/7             |-129|=129                      

|-3|=3                   
  |-36|=36

|4,3|=4,3                 
|0|=0

|12,6  |=
12,6           |5 11/16  |= 5 11/16

Физкультминутка
(слайд 11):

А
сейчас немного отдохнем. Проведём «Математическую зарядку».

Давайте
встанем.

Сейчас
на слайде будут появляться числа и если число положительное – ученики поднимают
правую руку, если число отрицательное – левую, если 0, то надо подпрыгнуть. 
(7; -8,2; 0; 4,5; 0,1; -7/9; 0; -3; 67;-128; 0; 458, -59; )

V.
Первичное закрепление

1. (слайд №12):

Найдите координаты
точек А,В,С, К изображённых на числовой оси и запишите расстояние от точек до
начала отсчёта, используя знак модуля

|-5|=5    
|-2|=2      |3|=3      |5|=5

2.    
(слайд 13):

Выполнить
задание из учебника № 902 (1-4)  Один ученик выполняет это задание у доски.

Отметьте
на координатной прямой числа, модуль которых равен:

1)   
5;   2) 7;   3) 2,5;   4) 0.

Самопроверка

 

3.    
 (слайд №14):

 Запишите все
числа, имеющие модуль:   а)26;    б)5,7;    в)3¾;    г)0

4.    
  (слайд
№15):

Найдите значение
выражения: (один обучающийся у доски)

|-8|-|-5| =

|-10|*|-5|=

|240|:|-80|=

|-710|+|-290| =

5.    
  Самостоятельная работа: (слайд №16)

1.                
Найдите  значение выражения:

|1,7|+|-1,8|

|-2,9|-|-0,9|

|7,2|:|-0,6|

|-8,4|*|-1,5|

2.                
Сравните модули чисел:

5,6
 и  -5,8         

-3,8
 и 
0

-5/7 
и
  -5/12

 

VI.
Итог урока.

Какую тему сегодня
изучали?

Какие цели мы сегодня
ставили на уроке?

Какое определение модуля
мы с вами дали?

Каким числом не может
быть модуль числа?

Чему равен модуль положительного
числа?

Чему равен модуль
отрицательного числа?

Чему равен модуль 0?

 

VII.
Рефлексия

Оцените свою работу на уроке  (дети
поднимают сигнальные карточки)

«Я сегодня все понял»-знаком «+»

«Я сегодня нечего не понял» — знаком «-»

«Кое-что осталось не понятным»- числом 0     

VIII.
Домашнее задание. (Слайд №17)

§ 32, №896, 898, 915

 

 

Чему равен модуль изменения импульса тела

Решебник по физике за 9 класс (И.К.Кикоин, А.К.Кикоин, 1999 год),
задача №40
к главе «ГЛАВА 6. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА».

1. Что такое импульс тела? Чему равен модуль импульса тела? Как направлен вектор импульса тела?

1. Импульсом тела называется величина, равная произведению массы тела на его скорость.

2. Можно ли сказать, что тело обладает импульсом потому, что на него действует сила?

2. Нет, так как под действием силы происходит только изменение импульса, который имело тело до воздействия этой силы.

3. Что такое импульс силы? Чему равен модуль импульса силы? Как направлен вектор импульса силы?

3. Импульсом силы называется величина, равная произведению силы, приложенной к телу, на время ее действия. Модуль импульса силы равен модулю изменения импульса тела. Вектор импульса силы направлен так же как вектор силы.

4. Может ли импульс тела равняться нулю?

4. Может, когда его скорость V=0.

5. Сила, приложенная к телу, изменяет его импульс. Чему равно изменение импульса?

5. Изменение импульса равно импульсу действующей силы.

Для применения законов изменения и сохранения импульса необходимо уметь рассчитывать изменение импульса.

Изменение импульса Δ P → тела определяется формулой

Δ P → = P → 2 − P → 1 ,

где P → 1 = m v → 1 — начальный импульс тела; P → 2 = m v → 2 — его конечный импульс; m — масса тела; v → 1 — начальная скорость тела; v → 2 — его конечная скорость.

Для вычисления изменения импульса тела целесообразно применять следующий алгоритм :

1) выбрать систему координат и найти проекции начального P → 1 и конечного P → 2 импульсов тела на координатные оси:

2) рассчитать проекции изменения импульса Δ P → по формулам

∆ P x = P 2 x − P 1 x ;

∆ P y = P 2 y − P 1 y ;

3) вычислить модуль вектора изменения импульса Δ P → как

Δ P = Δ P x 2 + Δ P y 2 .

Пример 4. Тело падает под углом 30° к вертикали на горизонтальную плоскость. Определить модуль изменения импульса тела за время удара, если к моменту соприкосновения с плоскостью модуль импульса тела равен 15 кг · м/с. Удар тела о плоскость считать абсолютно упругим.

Решение. Тело, падающее на горизонтальную поверхность под некоторым углом α к вертикали и соударяющееся с данной поверхностью абсолютно упруго,

  • во-первых, сохраняет неизменным модуль своей скорости, а значит, и величину импульса:
  • во-вторых, отражается от поверхности под тем же углом, под каким падает на нее:

где P 1 = mv 1 — модуль импульса тела до удара; P 2 = mv 2 — модуль импульса тела после удара; m — масса тела; v 1 — величина скорости тела до удара; v 2 — величина скорости тела после удара; α 1 — угол падения; α 2 — угол отражения.

Указанные импульсы тела, углы и система координат показаны на рисунке.

Для расчета модуля изменения импульса тела воспользуемся алгоритмом :

1) запишем проекции импульсов до удара и после удара тела о поверхность на координатные оси:

P 1 x = mv sin α, P 2 x = mv sin α;

P 1 y = − mv cos α, P 2 y = mv cos α;

2) найдем проекции изменения импульса на координатные оси по фор­мулам

Δ P x = P 2 x − P 1 x = m v sin α − m v sin α = 0 ;

Δ P y = P 2 y − P 1 y = m v cos α − ( − m v cos α ) = 2 m v cos α ;

3) вычислим модуль изменения импульса как

Δ P = ( Δ P x ) 2 + ( Δ P y ) 2 = ( Δ P y ) 2 = | Δ P y | = 2 m v cos α .

Величина P = mv задана в условии задачи; следовательно, вычисление модуля изменения импульса произведем по формуле

Δ P = 2 P cos 30 ° = 2 ⋅ 15 ⋅ 0,5 3 ≈ 26 кг ⋅ м/с.

Пример 5. Камень массой 50 г брошен под углом 45° к горизонту со скоростью 20 м/с. Найти модуль изменения импульса камня за время полета. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. Если сопротивление воздуха отсутствует, то тело движется по симметричной параболе; при этом

  • во-первых, вектор скорости в точке падения тела составляет с горизонтом угол β, равный углу α (α — угол между вектором скорости тела в точке бросания и горизонтом):
  • во-вторых, модули скоростей в точке бросания v 0 и в точке падения тела v также одинаковы:

где v 0 — величина скорости тела в точке бросания; v — величина скорости тела в точке падения; α — угол, который составляет вектор скорости с горизонтом в точке бросания тела; β — угол, который составляет с горизонтом вектор скорости в точке падения тела.

Векторы скорости тела (векторы импульса) и углы показаны на рисунке.

Для расчета модуля изменения импульса тела во время полета воспользуемся алгоритмом :

1) запишем проекции импульсов для точки бросания и для точки падения на координатные оси:

P 1 x = mv 0 cos α, P 2 x = mv 0 cos α;

P 1 y = mv 0 sin α, P 2 y = − mv 0 sin α;

2) найдем проекции изменения импульса на координатные оси по формулам

Δ P x = P 2 x − P 1 x = m v 0 cos α − m v 0 cos α = 0 ;

Δ P y = P 2 y − P 1 y = − m v 0 sin α − m v 0 sin α = − 2 m v 0 sin α ;

3) вычислим модуль изменения импульса как

Δ P = ( Δ P x ) 2 + ( Δ P y ) 2 = ( Δ P y ) 2 = | Δ P y | = 2 m v 0 sin α ,

где m — масса тела; v 0 — модуль начальной скорости тела.

Следовательно, вычисление модуля изменения импульса произведем по формуле

Δ P = 2 m v 0 sin 45 ° = 2 ⋅ 50 ⋅ 10 − 3 ⋅ 20 ⋅ 0,5 2 ≈ 1,4 кг ⋅ м/с.

Система состоит из двух тел a и b. На рисунке стрелками в заданном масштабе указаны импульсы этих тел.

Чему по модулю равен импульс всей системы? (Ответ дайте в кг·м/с.)

Сложим импульсы по правилу параллелограмма, суммарный импульс обозначен на рисунке красной стрелкой. Видно, что его длина равна 4 клеткам, следовательно, импульс системы по модулю равен

Второй способ (более длинный и менее удачный):

Используя масштаб рисунка, определим модули импульсов тел a и b. Из рисунка видно, что

Импульс всей системы равен Так как вектора и перпендикулярны, то модуль импульса всей системы равен

Система состоит из двух тел 1 и 2, массы которых равны 0,5 кг и 2 кг. На рисунке стрелками в заданном масштабе указаны скорости этих тел. Чему равен импульс всей системы по модулю? (Ответ дайте в кг·м/с.)

Используя масштаб рисунка, определим величины скоростей тел: и Вычислим модули импульсов тел:

и

Импульс всей системы равен Так как вектора и перпендикулярны, то модуль импульса всей системы равен

Понимание оператора модуля%

Двухэтапное решение.

Некоторые ответы здесь мне сложно понять. Я попытаюсь добавить еще один ответ, чтобы упростить взгляд на это.


Краткий ответ:

Пример 1:

7% 5 = 2

Каждый человек должен получить по одному кусочку пиццы.

Разделите 7 ломтиков на 5 человек, и каждый из 5 человек получит один кусок пиццы, и у нас останется 2 ломтиков (оставшихся). 7% 5 равно 2 потому, что 7 больше 5 .


Пример 2:

5% 7 = 5

Каждый человек должен получить один кусок пиццы

Это дает 5 , потому что 5 меньше 7 . Таким образом, по определению нельзя разделить целых 5 элементов на 7 человек.Таким образом, деления вообще не происходит, и вы получаете ту же сумму, с которой начинали, а именно 5 .


Программный ответ:

Процесс состоит в том, чтобы задать два вопроса:

Пример A: (7% 5)

(Q.1) На какое число нужно умножить 5, чтобы получить 7?

  Два условия: множитель начинается с «0». Результат вывода не должен превышать «7».
  

Попробуем:

Множитель равен нулю 0 , значит, 0 x 5 = 0

Тем не менее, мы короткие, поэтому мы добавляем единицу (+1) к множителю.

1 итого, 1 x 5 = 5

У нас еще не было 7, поэтому добавляем один (+1).

2 итого, 2 x 5 = 10

Сейчас мы превысили 7 . Итак, 2 — неправильный множитель.
Вернемся на один шаг назад (где мы использовали 1 ) и запомним результат: 5 . Номер 5 является здесь ключевым.

(Q.2) Сколько нам нужно добавить к 5 (число, которое мы только что получили на шаге 1), чтобы получить 7 ?

Отнимаем два числа: 7-5 = 2 .

Итак, ответ для: 7% 5 2 ;


Пример Б: (5% 7)

1- На какое число мы умножаем 7, чтобы получить 5?

  Два условия: множитель начинается с «0». Результат вывода не должен превышать «5».
  

Попробуем:

0 так, 0 x 7 = 0

Пока не набрали 5, попробуем побольше.

1 итого, 1 x 7 = 7

О нет, мы превысили 5 , давайте вернемся к предыдущему шагу, где мы использовали 0 и получили результат 0 .

2- Сколько нам нужно добавить к 0 (число, которое мы только что получили на шаге 1), чтобы получить значение числа слева 5 ?

Понятно, что число 5. 5-0 = 5

  5% 7 = 5
  

Надеюсь, что это поможет.

Калькулятор по модулю

[Примеры модификаций]

Этот калькулятор по модулю — удобный инструмент, если вам нужно найти результат операций по модулю. Все, что вам нужно сделать, это ввести начальное число x и целое число y , чтобы найти число по модулю r , согласно x mod y = r .Читайте дальше, чтобы узнать, что такое операции по модулю, как вычислить по модулю и как правильно использовать этот калькулятор.

Что такое операции по модулю?

Представьте себе часы, висящие на стене. Допустим, уже поздно — 23 часа. Вы задаетесь вопросом, во сколько вы проснетесь после 8 часов сна. Вы не можете просто прибавить 8 к 11, потому что нет такого времени, как 19 часов утра. Чтобы найти правильный ответ, вам нужно выполнить операцию по модулю (mod 12) — вы складываете эти два числа и продолжаете вычитать 12, пока не получите число меньше 12.В данном случае 7. Вы только что подсчитали, что проснетесь в 7 утра.

Операции по модулю в случае часов настолько интуитивно понятны, что мы их даже не замечаем. В математике есть много типов более сложных операций по модулю, которые требуют большего осмысления. Мы можем записать это:

x mod y = r

истинно, если такое целое число q (называемое частным ) существует, тогда:

y * q + r = x .

В противном случае число r — это , остаток от деления, где x — это дивиденд , а y делитель .

Если определение по модулю вам не нравится, и вы все еще не знаете, как вычислить по модулю, взгляните на следующий абзац, и все должно стать кристально ясным.

Что такое сравнение по модулю?

Два числа a и b считаются равными по модулю n , если их разность a - b целиком делится на n (так что (a - b) кратно n ).

Математически формула сравнения по модулю записывается как:

a ≡ b (мод. N)

и n называется модулем конгруэнции.

С другой стороны, вы можете сказать, что a и b считаются равными по модулю n , когда они оба имеют одинаковый остаток при делении на n:

мод n = r

b мод n = r

, где r — общий остаток.

Итак, проще говоря — совпадение по модулю происходит, когда два числа имеют одинаковый остаток после одного и того же делителя, например:
24 по модулю 10 и 34 по модулю 10 дают тот же ответ: 4.Следовательно, 24 и 34 сравнимы по модулю 10.

Давайте посмотрим на другой пример:

9 ≡ 21 (мод.6) ,

, потому что 21 - 9 = 12 кратно 6. Его также можно записать коротко как 6 | (21-9) . Или, что то же самое, 21 и 9 имеют одинаковый остаток, когда мы делим их на 6:

.

9 мод 6 = 3

21 mod 6 = 3

Как вычислить по модулю — пример

Рассчитать модуль вручную — несложная задача.Просто следуйте инструкциям ниже!

  1. Начните с выбора начального числа (перед выполнением операции по модулю). Допустим, 250. Это наши дивиденды.
  2. Выберите делитель. Возьмем 24. Операция, которую мы хотим вычислить, тогда 250 mod 24 ( 250% 24 , если используется другое соглашение).
  3. Разделите одно число на другое с округлением в меньшую сторону: 250/24 = 10 . Это частное. Кроме того, вы можете думать об этой операции как о целочисленном делении на — типе деления, при котором нам не важна дробная часть результата.
  4. Умножьте делитель на частное. Итак, в нашем примере это 10 * 24 = 240 .
  5. Вычтите это число из вашего начального числа (делимого). Здесь: 250 - 240 = 10 .
  6. Полученное число является результатом операции по модулю. Мы можем записать это как 250 mod 24 = 10 .

Как пользоваться нашим калькулятором модов? 10 mod 3 и другие примеры modulo

Определить модуль с помощью нашего инструмента просто и удобно.Чтобы найти результат операций по модулю между целыми числами, вам необходимо:

  1. Введите начальное число — делимое — в первое поле . Возьмем пример из предыдущего абзаца, поэтому введите 250.
  2. Введите делитель . В нашем случае 24.
  3. Тадааа! Наш калькулятор по модулю вернет вам результат — остаток! И это неудивительно, оно равно 10 — то же самое число, которое мы вычисляли ранее.

Ниже вы найдете несколько типичных запросов, касающихся модуля:

  • 1 mod 1 = 0 (поскольку mod 1 всегда равен 0)
  • 1 мод 2 = 1
  • 1 мод 3 = 1
  • 5 мод 2 = 1
  • 5 мод 3 = 2
  • 6 мод 3 = 0
  • 7 мод 3 = 1
  • 10 мод 3 = 1
  • 18 мод 3 = 0
  • 100 мод 3 = 1
  • 100 мод 7 = 2

Если вы не видите здесь тот, который хотите найти, воспользуйтесь нашим калькулятором по модулю!

Модульная арифметика

Модульная арифметика — это, вообще говоря, арифметическая система для целых чисел, в которой числа «оборачивают» определенное число.Подведем итог тому, что мы узнали о различных представлениях операций по модулю — все приведенные ниже утверждения являются эквивалентами:

  • A ≡ B (мод. C)
  • A мод C = B мод C
  • C | (А - В)
  • A = B + K * C , где K — некоторое целое число

Мы также можем выполнять вычисления по модулю операций.

1. Модульное сложение и вычитание

(A + B) мод C = (A мод C + B мод C) мод C

(A - B) мод C = (A мод C - B мод C) мод C

Итак, сумма по модулю суммы двух чисел равна сумме по модулю этих чисел, вычисленных отдельно, а затем умноженной на делитель по модулю.Первый этап делается для того, чтобы избавиться от частной части, а затем снова используется операция mod. Взгляните на пример:

  • А = 11, В = 7, С = 4

    (11 + 7) по модулю 4 = (11 по модулю 4 + 7 по модулю 4) по модулю 4

    левая часть уравнения: (11 + 7) mod 4 = 18 mod 4 = 2

    правая часть уравнения: (11 mod 4 + 7 mod 4) mod 4 = (3 + 3) mod 4 = 6 mod 4 = 2

Аналогично, вычисления аналогичны для вычитания.

2. Модульное умножение

(A * B) мод C = (A мод C * B мод C) мод C

Такое уравнение может быть полезно при работе с большими числами, и мы не можем сразу узнать модуль этого большого числа. Давайте посмотрим на тот же пример (A = 11, B = 7, C = 4) — можете ли вы найти результат 77 mod 4 на месте? 11 mod 4 и 7 mod 4 вычислить проще:

  • (11 * 7) по модулю 4 = (11 по модулю 4 * 7 по модулю 4) по модулю 4

    левая часть уравнения: (11 * 7) mod 4 = 77 mod 4 = 1

    правая часть уравнения: (11 mod 4 * 7 mod 4) mod 4 = (3 * 3) mod 4 = 9 mod 4 = 1

3.100 мод 3 = (1 * 1) мод 3 = 1

Для некоторых конкретных случаев существуют даже более быстрые методы модульного возведения в степень (если B — степень двойки). Если вы хотите прочитать о них и попрактиковаться в модульной арифметике, ознакомьтесь с отличным учебником от Khan Academy под названием «Что такое модульная арифметика?»

Неопределенность определения модуля

Слово modulo происходит от латинского слова modus , означающего меру. Обычно, когда мы используем слово по модулю , мы имеем в виду операцию по модулю , например, e.грамм. 11 по модулю 3 равно 2, поэтому нужно просто найти остаток. В строгом понимании, модуль означает:

.

По указанному модулю

или

A то же самое, что B по модулю C, за исключением различий, учитываемых или объясняемых C

Это определение, о котором мы писали в сравнении по модулю абзаца.

Однако, по модулю используется не только в математическом контексте.Иногда вы можете услышать это в повседневном разговоре, где это, вероятно, означает игнорирование, не учет чего-либо, с должным учетом чего-то, например:

Дизайн был лучшим до сих пор, по модулю тех частей, которые все еще нуждаются в доработке.

Percent — символ операции по модулю

Операция по модулю часто используется в языках программирования. Для этого% — процент — используется для обозначения этой операции (или иногда оператор остатка для отрицательных чисел).Если вам интересно узнать о происхождении знака%, мы настоятельно рекомендуем вам прочитать составленный нами небольшой абзац об истории знака процента.

Вам нужно быть осторожным, так как при учете отрицательных значений есть некоторая двусмысленность с определением по модулю. Для остатка есть два возможных варианта — отрицательный и положительный, и результат зависит от реализации на выбранном языке программирования.

Приложения Modulo

На первый взгляд они могут быть неочевидными, но существует множество применений модуло — от повседневной жизни до задач по математике и естествознанию!

  1. Наиболее очевидным и известным примером является так называемая арифметика часов 🕞.Это может быть добавление часов, как в объяснении по модулю выше, или минут, или секунд!
    Никто не скажет, что «у вас осталось 40 минут 90 секунд », верно? Единственный вариант — выполнить операцию по модулю и найти частное и остаток — 60 * 1 + 30 = 90 . 41 минута 30 секунд звучит намного лучше.

  2. Операции по модулю используются для вычисления контрольных сумм серийных номеров. Контрольные цифры используются в основном в длинных числах, и это цифры, вычисляемые алгоритмом.Они готовы сообщить вам о возникающих ошибках, например от опечаток. Вы можете найти применение по модулю в:

  • GTIN, UPC, EAN контрольные цифры используются для подтверждения целостности штрих-кода. В формуле для контрольных цифр используется модуль 10.
  • Номера ISBN и ISSN , которые являются уникальными периодическими идентификаторами и идентификаторами книг, имеют модуль 11 или 10, а в формуле контрольной цифры применяется средний вес.
  • IBAN — Номера международных банковских счетов — используйте модуль 97, чтобы проверить, правильно ли клиент ввел номер.
  • NPI — Национальный идентификатор провайдера США использует операцию по модулю 10 для вычисления десятой цифры.

Поскольку контрольные цифры используются для выявления человеческих ошибок транскрипции, они часто используются для длинных серийных номеров. Другие примеры алгоритмов контрольных цифр с использованием операций по модулю:

  • национальный идентификационный номер (например, в Исландии, Турции, Польше)
  • фискальный идентификационный номер (Испания)
  • идентификационный номер автомобиля (США)
  • и многие, многие другие.
  1. Он применяется во многих научных областях, таких как компьютерная алгебра, криптография, информатика или простая школьная математика — как в алгоритме Евклида для вычисления наибольшего общего множителя.

  2. Modulo полезен, когда вам нужно что-то разделить. Примером из реальной жизни может быть разделение пиццы с друзьями или семьей.

Предположим, что в большой пицце для вечеринки 10 ломтиков, а вы — группа из трех человек.Сколько кусочков останется, если пиццу разделить поровну?

Это как раз тот случай, когда можно использовать по модулю! 10 mod 3 = 1. Другими словами, 10, разделенное на 3, равняется 3, но остается 1 кусок 🍕. Это был не самый сложный пример, но мы надеемся, что вы видите полезность модуло.

Кстати , а вы видели нашу коллекцию калькуляторов пиццы? У нас есть удивительный калькулятор вечеринки с пиццей, который может помочь оценить, сколько пиццы вам нужно заказать, а также инструменты, помогающие сравнить размеры пиццы — если вы когда-нибудь задумывались, что лучше купить две пиццы среднего размера или одну большую, пиццу Калькулятор сравнения — беспроигрышный вариант.Также мы приготовили калькуляторы для тех, кто хочет испечь идеальную пиццу самостоятельно!

О нет. Мы проголодались. Давайте оставим это вкусное отвлечение и вернемся на Землю. Если вы заинтересованы в поиске более забавных приложений модульной арифметики, ознакомьтесь с этим сообщением в блоге betterexplained.com.

Оператор по модулю — Что такое натуральные числа

В модульной арифметике мы работаем только с целыми числами, а используемые операции — это сложение, вычитание, умножение и деление.Различия
между евклидовой (регулярной) и гауссовой (по модулю) арифметикой евклидова работает с бесконечным набором целых чисел, тогда как гауссовский работает только с
конечный набор целых чисел.

В модульной арифметике вместо того, чтобы продолжать длинную прямую линию, числа идут по кругу и оборачиваются вокруг определенного значения.
Это значение называется модулем .Модуль также может быть определен как длина круговой числовой линии в модульной арифметике.

Лучший способ описать модульную математику — использовать часы.

12-часовые часы работают с бесконечным набором целых чисел, то есть от 1 до 12. Эти числа идут по кругу и оборачиваются вокруг 12.
Это 12 модуль. После 12 часов он снова начинается с 1, поэтому, когда сейчас 13 часов, это на самом деле 1 час.

Математически мы представляем это как:

  • 13≅1 мод 12

    13≅1 мод 12

    (Когда вы делите 13 на 12, остаток равен 1)

    Это читается как,

    13 конгруэнтно 1 модулю (или модулю) 12

  • 40≅2 мод 12

    (Когда вы разделите 40 на 12, остаток будет 2)

    Это читается как,

    40 сравнимо с 2 по модулю (или по модулю) 12

Оператор по модулю

«Операция по модулю» находит остаток от деления одного числа на другое (иногда называемый модулем).

Оператор по модулю (сокращенно мод) — это остаток от деления положительного числа на другое положительное число. Когда мы делим два положительных числа,
уравнение будет выглядеть так:

`A / B = X` текст (остаток)` Y`

Где,

A — дивиденд

B — делитель

X — частное

Y — остаток

Пример 1:

`9/2 = 4« текст (остаток) `1`

` 9` mod `2` =` 1`, потому что `9` деленное на` 2` оставляет частное `4` и остаток от `1`

Пример 2:

`6/3 = 2` текст (остаток)` 0`

`6` mod` 3 = 0 `, потому что` 6` деленное на `3` оставляет частное` 2` и остаток `0`

Задача 1:


`2`

Пояснение:

Когда 8 делится на 3, остается остаток от 2.

`8/3 = 2` текст (остаток)` 2`, где,

Первый `2` — это частное

Вторая «2» — это остаток или мод.

Задача 2:


`0`

Пояснение:

Когда `9` делится на` 3`, остается остаток `0`

`9/3 = 3« текст (остаток) `0`, где,

`3` — это частное

`0` — это остаток или мод

Как использовать оператор% — Real Python

Python поддерживает широкий спектр арифметических операторов, которые вы можете использовать при работе с числами в вашем коде.Одним из этих операторов является оператор по модулю (% ), который возвращает остаток от деления двух чисел.

Оператор модуля Python иногда может быть упущен из виду. Но хорошее понимание этого оператора даст вам бесценный инструмент в вашем арсенале инструментов Python.

Математический модуль

Термин по модулю происходит от раздела математики, называемого модульной арифметикой. Модульная арифметика имеет дело с арифметикой целых чисел на круговой числовой строке с фиксированным набором чисел.Все арифметические операции, выполняемые на этой числовой строке, будут повторяться, когда они достигнут определенного числа, называемого модулем .

Классический пример модульной арифметики — это двенадцатичасовые часы. Двенадцатичасовые часы имеют фиксированный набор значений от 1 до 12. При подсчете двенадцатичасовых часов вы считаете до модуля 12, а затем возвращаетесь к 1. Двенадцатичасовые часы можно классифицировать как « по модулю 12 », иногда сокращается до« по модулю 12 ».

Оператор по модулю используется, когда вы хотите сравнить число с модулем и получить эквивалентное число, ограниченное диапазоном модуля.

Например, предположим, что вы хотите определить, в какое время будет девять часов после 8:00. В двенадцатичасовом формате вы не можете просто прибавить 9 к 8, потому что вы получите 17. Вам нужно взять результат, 17, и используйте мод , чтобы получить эквивалентное значение в двенадцатичасовом контексте:

  8 часов + 9 = 17 часов
17 мод 12 = 5
  

17 mod 12 возвращает 5 . Это означает, что девять часов после 8:00 — это 17:00. Вы определили это, взяв число 17 и применив его к контексту mod 12 .

Теперь, если подумать, 17 и 5 эквивалентны в контексте mod 12 . Если бы вы посмотрели на часовую стрелку в 5:00 и 17:00, она была бы в том же положении. В модульной арифметике есть уравнение, описывающее эту взаимосвязь:

Это уравнение гласит: « a и b равны по модулю n ». Это означает, что a и b эквивалентны в mod n , поскольку они имеют одинаковый остаток при делении на n .В приведенном выше уравнении n — это модуль как для a , так и для b . Используя значения 17 и 5 из предыдущих, уравнение будет выглядеть так:

Это гласит: « 17 и 5 равны по модулю 12 ». 17 и 5 имеют одинаковый остаток, 5 , при делении на 12 . Итак, в mod 12 числа 17 и 5 эквивалентны.

Подтвердить это можно с помощью деления:

  17/12 = 1 К 5
5/12 = 0 R 5
  

Обе операции имеют одинаковый остаток, 5 , поэтому они эквивалентны по модулю 12 .

Теперь это может показаться сложным математическим делом для оператора Python, но эти знания подготовят вас к использованию оператора по модулю в примерах далее в этом руководстве. В следующем разделе вы познакомитесь с основами использования оператора Python по модулю с числовыми типами int и float .

Основы операторов Python по модулю

Оператор по модулю, как и другие арифметические операторы, может использоваться с числовыми типами int и float . Как вы увидите позже, его также можно использовать с другими типами, такими как math.fmod () , decimal.Decimal и вашими собственными классами.

Оператор по модулю с

int

В большинстве случаев вы будете использовать оператор по модулю с целыми числами. Оператор по модулю, когда он используется с двумя положительными целыми числами, вернет остаток от стандартного евклидова деления:

>>>

  >>> 15% 4
3

>>> 17% 12
5

>>> 240% 13
6

>>> 10% 16
10
  

Будьте осторожны! Как и в случае с оператором деления (/), Python вернет ZeroDivisionError , если вы попытаетесь использовать оператор по модулю с делителем 0 :

>>>

  >>> 22% 0
ZeroDivisionError: целочисленное деление или по модулю нуля
  

Далее вы познакомитесь с использованием оператора по модулю с плавающей точкой .

Оператор по модулю с поплавком

Подобно int , оператор по модулю, используемый с числом с плавающей запятой , вернет остаток от деления, но как значение с плавающей запятой :

>>>

  >>> 12,5% 5,5
1.5

>>> 17,0% 12,0
5.0
  

Альтернативой использованию с плавающей запятой с оператором по модулю является использование math.fmod () для выполнения операций по модулю для значений с плавающей запятой :

>>>

  >>> импорт математики
>>> математика.fmod (12.5, 5.5)
1.5

>>> math.fmod (8.5, 2.5)
1.0
  

Официальные документы Python предлагают использовать math.fmod () вместо оператора Python по модулю при работе со значениями float из-за того, как math.fmod () вычисляет результат операции по модулю. Если вы используете отрицательный операнд, вы можете увидеть разные результаты между math.fmod (x, y) и x% y . В следующем разделе вы более подробно исследуете использование оператора по модулю с отрицательными операндами.

Как и другие арифметические операторы, оператор по модулю и math.fmod () могут столкнуться с проблемами округления и точности при работе с арифметикой с плавающей запятой:

>>>

  >>> 13,3% 1,1
0,09999999999999964

>>> импорт математики
>>> math.fmod (13.3, 1.1)
0,09999999999999964
  

Если для вашего приложения важно поддерживать точность с плавающей запятой, вы можете использовать оператор по модулю с десятичным числом .Десятичный . Вы рассмотрите это позже в этом руководстве.

Оператор по модулю с отрицательным операндом

Все операции по модулю, которые вы видели до этого момента, использовали два положительных операнда и возвращали предсказуемые результаты. Когда вводится отрицательный операнд, все становится сложнее.

Как оказалось, способ, которым компьютеры определяют результат операции по модулю с отрицательным операндом, оставляет неоднозначность относительно того, должен ли остаток принимать знак делимого (делимое число) или знак делителя (число, на которое делится дивиденд).Разные языки программирования обрабатывают это по-разному.

Например, в JavaScript остаток примет знак делимого:

Остаток в этом примере, 2 , положительный, поскольку принимает знак дивиденда 8 . В Python и других языках остаток примет знак делителя:

Здесь вы можете видеть, что остаток -1 принимает знак делителя -3 .

Вам может быть интересно, почему остаток в JavaScript равен 2 , а остаток в Python равен -1 .Это связано с тем, как разные языки определяют результат операции по модулю. Языки, в которых остаток принимает знак делимого, используют следующее уравнение для определения остатка:

Это уравнение состоит из трех переменных:

  1. r — остаток.
  2. a — дивиденды.
  3. n — делитель.

trunc () в этом уравнении означает, что используется усеченное деление , которое всегда округляет отрицательное число до нуля.Для получения дополнительной информации см. Этапы операции по модулю ниже, используя 8 в качестве делимого и -3 в качестве делителя:

  r = 8 - (-3 * усечение (8 / -3))
r = 8 - (-3 * усечение (-2,666666666667))
r = 8 - (-3 * -2) # Округление в сторону 0
г = 8 - 6
г = 2
  

Здесь вы можете увидеть, как такой язык, как JavaScript, получает остаток 2 . Python и другие языки, в которых остаток принимает знак делителя, используют следующее уравнение:

этаж () в этом уравнении означает, что используется этажное деление .При положительных числах деление этажа вернет тот же результат, что и усеченное деление. Но с отрицательным числом деление по этажам округляет результат в меньшую сторону, в сторону от нуля:

.

  r = 8 - (-3 * этаж (8 / -3))
r = 8 - (-3 * этаж (-2.666666666667))
r = 8 - (-3 * -3) # Округление от 0
г = 8 - 9
г = -1
  

Здесь видно, что результат -1 .

Теперь, когда вы понимаете, откуда берется разница в остатке, вам может быть интересно, почему это важно, если вы используете только Python.Как оказалось, не все операции по модулю в Python одинаковы. В то время как модуль, используемый с типами int и float , принимает знак делителя, другие типы — нет.

Вы можете увидеть пример этого, сравнив результаты 8.0% -3.0 и math.fmod (8.0, -3.0) :

>>>

  >>> 8.0% -3
-1,0

>>> импорт математики
>>> math.fmod (8.0, -3.0)
2.0
  

математ.fmod () принимает знак делимого с использованием усеченного деления, тогда как float использует знак делителя. Позже в этом руководстве вы увидите другой тип Python, в котором используется знак делимого — десятичное число . десятичное число .

Оператор по модулю и

divmod ()

Python имеет встроенную функцию divmod () , которая внутренне использует оператор по модулю. divmod () принимает два параметра и возвращает кортеж, содержащий результаты деления этажа и по модулю с использованием предоставленных параметров.

Ниже приведен пример использования divmod () с 37 и 5 :

>>>

  >>> divmod (37, 5)
(7, 2)

>>> 37 // 5
7

>>> 37% 5
2
  

Вы можете видеть, что divmod (37, 5) возвращает кортеж (7, 2) . 7 является результатом разделения этажей на 37 и 5 . 2 является результатом 37 по модулю 5 .

Ниже приведен пример, в котором второй параметр — отрицательное число. Как обсуждалось в предыдущем разделе, когда оператор по модулю используется с int , остаток примет знак делителя:

>>>

  >>> divmod (37, -5)
(-8, -3)

>>> 37 // -5
-8

>>> 37% -5
-3 # Результат имеет знак делителя
  

Теперь, когда у вас была возможность увидеть оператор по модулю, используемый в нескольких сценариях, важно взглянуть на то, как Python определяет приоритет оператора по модулю при использовании с другими арифметическими операторами.

Приоритет оператора по модулю

Как и другие операторы Python, для оператора по модулю существуют особые правила, определяющие его приоритет при оценке выражений. Оператор по модулю (% ) имеет тот же уровень приоритета, что и операторы умножения ( * ), деления (/) и деления пола ( // ).

Взгляните на пример приоритета оператора по модулю ниже:

>>>

  >>> 4 * 10% 12 - 9
-5
  

Операторы умножения и по модулю имеют одинаковый уровень приоритета, поэтому Python будет оценивать их слева направо.Вот шаги для вышеуказанной операции:

  1. 4 * 10 , в результате получается 40% 12 - 9 .
  2. 40% 12 оценивается, в результате получается 4 - 9 .
  3. 4 - 9 , в результате получается -5 .

Если вы хотите переопределить приоритет других операторов, вы можете заключить в круглые скобки операцию, которая должна быть оценена первой:

>>>

  >>> 4 * 10% (12-9)
1
  

В этом примере сначала оценивается (12–9) , затем 4 * 10 и, наконец, 40% 3 , что равно 1 .

Оператор модуля Python на практике

Теперь, когда вы познакомились с основами оператора Python по модулю, вы рассмотрите несколько примеров его использования для решения реальных задач программирования. Иногда бывает трудно определить, когда использовать в коде оператор по модулю. Приведенные ниже примеры дадут вам представление о многих способах его использования.

Как проверить, четное или нечетное число

В этом разделе вы увидите, как использовать оператор по модулю, чтобы определить, является ли число четным или нечетным.Используя оператор по модулю с модулем 2 , вы можете проверить любое число, чтобы узнать, делится ли оно без остатка на 2 . Если оно делится без остатка, то это четное число.

Взгляните на is_even () , который проверяет, является ли параметр num четным:

  def is_even (число):
    вернуть число% 2 == 0
  

Здесь num% 2 будет равно 0 , если num четное, и 1 , если num нечетное.Проверка против 0 вернет логическое значение True или False в зависимости от того, является ли num четным.

Проверка на нечетные числа очень похожа. Чтобы проверить нечетное число, вы инвертируете проверку равенства:

  def is_odd (число):
    вернуть число% 2! = 0
  

Эта функция вернет True , если num% 2 не равно 0 , что означает, что остаток доказывает, что num является нечетным числом.Теперь вам может быть интересно, можно ли использовать следующую функцию, чтобы определить, является ли num нечетным числом:

  def is_odd (число):
    вернуть число% 2 == 1
  

Ответ на этот вопрос — да и нет. Технически эта функция будет работать так же, как Python вычисляет по модулю с целыми числами. Тем не менее, вам следует избегать сравнения результата операции по модулю с 1 , поскольку не все операции по модулю в Python вернут один и тот же остаток.

Вы можете понять, почему, на следующих примерах:

>>>

  >>> -3% 2
1

>>> 3% -2
-1
  

Во втором примере остаток принимает знак отрицательного делителя и возвращает -1 . В этом случае логическая проверка 3% -2 == 1 вернет False .

Однако, если вы сравните операцию по модулю с 0 , то не имеет значения, какой операнд отрицательный. Результатом всегда будет Истинно , если это четное число:

.
>>>

  >>> -2% 2
0

>>> 2% -2
0
  

Если вы будете сравнивать операцию Python по модулю с 0 , то у вас не должно возникнуть проблем с проверкой четных и нечетных чисел или любых других кратных чисел в вашем коде.

В следующем разделе вы узнаете, как можно использовать оператор по модулю с циклами для управления потоком вашей программы.

Как запускать код с определенными интервалами в цикле

С помощью оператора модуля Python вы можете запускать код через определенные интервалы внутри цикла. 15}», end = «»)
если индекс% модуль == 0:
Распечатать()
Распечатать()

Этот код определяет split_names_into_rows () , который принимает два параметра. name_list — это список имен, который следует разбить на строки. Модуль устанавливает модуль для операции, эффективно определяя, сколько имен должно быть в каждой строке. split_names_into_rows () будет перебирать name_list и начинать новую строку после достижения значения модуля .

Прежде чем разбирать функцию более подробно, взгляните на нее в действии:

>>>

  >>> names = ["Пикард", "Райкер", "Трой", "Крашер", "Ворф", "Дейта", "Ла Форж"]
>>> split_names_into_rows (имена)
---- Пикард ----- ----- Райкер ----- ----- Трой ------
---- Дробилка ---- ----- Worf ------ ----- Данные ------
--- Ла Форж ----
  

Как видите, список имен разделен на три строки, максимум по три имени в каждой строке.Модуль по умолчанию 3 , но вы можете указать любое число:

>>>

  >>> split_names_into_rows (имена, модуль = 4)
---- Пикард ----- ----- Райкер ----- ----- Трой ------ ---- Крашер ----
----- Ворф ------ ----- Данные ------ --- Ла Форж ----

>>> split_names_into_rows (имена, модуль = 2)
---- Пикард ----- ----- Райкер -----
----- Трой ------ ---- Дробилка ----
----- Worf ------ ----- Данные ------
--- Ла Форж ----

>>> split_names_into_rows (имена, модуль = 1)
---- Пикард -----
----- Райкер -----
----- Трой ------
----Дробилка----
----- Ворф ------
-----Данные------
--- Ла Форж ----
  

Теперь, когда вы увидели код в действии, вы можете разобрать, что он делает.Во-первых, он использует enumerate () для перебора name_list , присваивая текущий элемент в списке имени и значение счетчика index . Вы можете видеть, что необязательный аргумент start для enumerate () имеет значение 1 . Это означает, что счетчик индекса начнется с 1 вместо 0 :

.

  для индекса, имя в перечислении (name_list, start = 1):
  

Затем внутри цикла функция вызывает print () для вывода name в текущую строку.15 Синтаксис сообщает print () сделать следующее:

  • Выведите не менее 15 символов, даже если строка короче 15 символов.
  • Выровняйте строку по центру.
  • Заполните любое пространство справа или слева от строки символом дефиса ( - ).

Теперь, когда имя напечатано в строке, взглянем на основную часть split_names_into_rows () :

 , если индекс% модуля == 0:
    Распечатать()
  

Этот код берет индекс текущей итерации и, используя оператор по модулю, сравнивает его с модулем .Если результат равен 0 , то он может запустить код, зависящий от интервала. В этом случае функция вызывает print () , чтобы добавить новую строку, которая начинает новую строку.

Приведенный выше код является только одним примером. Использование шаблона index% modulus == 0 позволяет вам запускать другой код через определенные промежутки времени в ваших циклах. В следующем разделе вы немного углубитесь в эту концепцию и рассмотрите циклическую итерацию.

Как создать циклическую итерацию

Циклическая итерация описывает тип итерации, которая сбрасывается при достижении определенной точки.Как правило, этот тип итерации используется для ограничения индекса итерации определенным диапазоном.

Вы можете использовать оператор по модулю для создания циклической итерации. Взгляните на пример использования библиотеки turtle для рисования формы:

  импортная черепаха
случайный импорт

def draw_with_cyclic_iteration ():
    colors = ["зеленый", "голубой", "оранжевый", "фиолетовый", "красный", "желтый", "белый"]

    turtle.bgcolor ("gray8") # Hex: # 333333
    turtle.pendown ()
    turtle.pencolor (random.выбор (цвета)) # Первый цвет случайный

    i = 0 # Начальный индекс

    в то время как True:
        i = (i + 1)% 6 # Обновить индекс
        turtle.pensize (i) # Установить размер pensize на i
        черепаха вперед (225)
        черепаха. правая (170)

        # Выберите случайный цвет
        если я == 0:
            turtle.pencolor (random.choice (цвета))
  

В приведенном выше коде используется бесконечный цикл для рисования повторяющейся формы звезды. После каждых шести итераций он меняет цвет пера. Размер пера увеличивается с каждой итерацией, пока i не будет сброшен обратно на 0 .Если запустить код, то должно получиться примерно следующее:

Важные части этого кода выделены ниже:

  импортная черепаха
случайный импорт

def draw_with_cyclic_iteration ():
    colors = ["зеленый", "голубой", "оранжевый", "фиолетовый", "красный", "желтый", "белый"]

    turtle.bgcolor ("gray8") # Hex: # 333333
    turtle.pendown ()
    turtle.pencolor (random.choice (цвета))

    i = 0 # Начальный индекс

    в то время как True:
        i = (i + 1)% 6 # Обновить индекс
        черепаха.pensize (i) # Установить размер pensize на i
        черепаха вперед (225)
        черепаха. правая (170)

        # Выберите случайный цвет
        если я == 0:
            turtle.pencolor (random.choice (цвета))
  

Каждый раз при прохождении цикла i обновляется на основе результатов (i + 1)% 6 . Это новое значение i используется для увеличения размера .pensize с каждой итерацией. Как только i достигнет 5 , (i + 1)% 6 будет равно 0 , а i вернется к 0 .

Вы можете увидеть шаги итерации ниже для более ясного понимания:

  я = 0: (0 + 1)% 6 = 1
я = 1: (1 + 1)% 6 = 2
я = 2: (2 + 1)% 6 = 3
я = 3: (3 + 1)% 6 = 4
я = 4: (4 + 1)% 6 = 5
i = 5: (5 + 1)% 6 = 0 # Сброс
  

Когда i сбрасывается обратно на 0 , цвет .pencolor меняется на новый случайный цвет, как показано ниже:

 , если i == 0:
    turtle.pencolor (random.choice (цвета))
  

Код в этом разделе использует 6 в качестве модуля, но вы можете установить его на любое число, чтобы настроить, сколько раз цикл будет повторяться перед сбросом значения i .

Как преобразовать единицы

В этом разделе вы узнаете, как можно использовать оператор по модулю для преобразования единиц. В следующих примерах единицы меньшего размера преобразуются в единицы большего размера без использования десятичных знаков. Оператор по модулю используется для определения любого остатка, который может существовать, когда меньшая единица не делится без остатка на большую единицу.

В этом первом примере вы преобразуете дюймы в футы. Оператор по модулю используется для получения оставшихся дюймов, которые неравномерно не делятся на футы.Оператор деления пола ( // ) используется для округления общего количества футов в меньшую сторону:

  def convert_inches_to_feet (total_inches):
    дюймы = total_inches% 12
    футов = total_inches // 12

    print (f "{total_inches} дюймов = {футов} футов и {дюймов} дюймов")
  

Вот пример используемой функции:

>>>

  >>> convert_inches_to_feet (450)
450 дюймов = 37 футов и 6 дюймов
  

Как видно из выходных данных, 450% 12 возвращает 6 , то есть оставшиеся дюймы, которые не были равномерно разделены на футы.Результатом 450 // 12 будет 37 , которое представляет собой общее количество футов, на которое были равномерно разделены дюймы.

В следующем примере вы можете пойти немного дальше. convert_minutes_to_days () принимает целое число, total_mins , представляющее количество минут, и выводит период времени в днях, часах и минутах:

  def convert_minutes_to_days (total_mins):
    дней = total_mins // 1440
    extra_minutes = total_mins% 1440

    часы = extra_minutes // 60
    минут = дополнительные_минуты% 60

    print (f "{total_mins} = {дней} дней, {часов} часов и {минут} минут")
  

Разбив это, вы можете увидеть, что функция выполняет следующие функции:

  1. Определяет общее количество равномерно делимых дней с total_mins // 1440 , где 1440 - количество минут в дне
  2. Вычисляет любые оставшиеся extra_minutes с total_mins% 1440
  3. Использует дополнительных_минут , чтобы получить равные часов и любые дополнительные минут

Вы можете увидеть, как это работает, ниже:

>>>

  >>> convert_minutes_to_days (1503)
1503 = 1 день, 1 час и 3 минуты

>>> convert_minutes_to_days (3456)
3456 = 2 дня, 9 часов и 36 минут

>>> convert_minutes_to_days (35000)
35000 = 24 дня, 7 часов и 20 минут
  

В то время как приведенные выше примеры относятся только к преобразованию дюймов в футы и минут в дни, вы можете использовать любой тип единиц с оператором по модулю, чтобы преобразовать меньшую единицу в большую единицу.

Примечание : Оба приведенных выше примера можно изменить для использования divmod () , чтобы сделать код более лаконичным. Если вы помните, divmod () возвращает кортеж, содержащий результаты деления этажа и по модулю с использованием предоставленных параметров.

Ниже операторы деления по этажам и по модулю были заменены на divmod () :

  def convert_inches_to_feet_updated (total_inches):
    футы, дюймы = divmod (total_inches, 12)
    print (f "{total_inches} дюймов = {футов} футов и {дюймов} дюймов")
  

Как видите, divmod (total_inches, 12) возвращает кортеж, который распакован в футов и дюймов .

Если вы попробуете эту обновленную функцию, то получите те же результаты, что и раньше:

>>>

  >>> convert_inches_to_feet (450)
450 дюймов = 37 футов и 6 дюймов

>>> convert_inches_to_feet_updated (450)
450 дюймов = 37 футов и 6 дюймов
  

Вы получите тот же результат, но теперь код более лаконичный. Вы также можете обновить convert_minutes_to_days () :

  def convert_minutes_to_days_updated (total_mins):
    дней, extra_minutes = divmod (total_mins, 1440)
    часы, минуты = divmod (extra_minutes, 60)

    print (f "{total_mins} = {дней} дней, {часов} часов и {минут} минут")
  

Используя divmod () , функцию легче читать, чем в предыдущей версии, и она возвращает тот же результат:

>>>

  >>> convert_minutes_to_days (1503)
1503 = 1 день, 1 час и 3 минуты

>>> convert_minutes_to_days_updated (1503)
1503 = 1 день, 1 час и 3 минуты
  

Использование divmod () необязательно для всех ситуаций, но здесь имеет смысл, поскольку при расчетах преобразования единиц используется как деление по этажам, так и по модулю.

Теперь, когда вы узнали, как использовать оператор по модулю для преобразования единиц, в следующем разделе вы узнаете, как можно использовать оператор по модулю для проверки простых чисел.

Как определить, является ли число простым числом

В следующем примере вы посмотрите, как можно использовать оператор Python по модулю, чтобы проверить, является ли число простым числом . Простое число - это любое число, которое содержит только два множителя: 1 и само себя. Вот некоторые примеры простых чисел: 2 , 3 , 5 , 7 , 23 , 29 , 59 , 83 и 97 .

Код ниже представляет собой реализацию для определения простоты числа с помощью оператора по модулю:

  def check_prime_number (число):
    если число <2:
        print (f "{число} должно быть больше или равно 2, чтобы быть простым.")
        возвращаться

    факторы = [(1, число)]
    я = 2

    в то время как я * я <= число:
        если num% i == 0:
            Factors.append ((i, num // i))
        я + = 1

    если len (факторы)> 1:
        print (f "{число} не является простым. Имеет следующие множители: {факторы}")
    еще:
        print (f "{num} - простое число")
  

Этот код определяет check_prime_number () , который принимает параметр num и проверяет, является ли это простым числом.Если это так, то отображается сообщение о том, что num - простое число. Если это не простое число, отображается сообщение со всеми множителями числа.

Примечание: Приведенный выше код не самый эффективный способ проверки простых чисел. Если вы хотите копнуть глубже, посмотрите Сито Эратосфена и Сито Аткина, где можно найти примеры более эффективных алгоритмов поиска простых чисел.

Прежде чем вы внимательно посмотрите на функцию, вот результаты с использованием некоторых других чисел:

>>>

  >>> check_prime_number (44)
44 не простое.Он имеет следующие факторы: [(1, 44), (2, 22), (4, 11)]

>>> check_prime_number (53)
53 - простое число

>>> check_prime_number (115)
115 не простое. Он имеет следующие факторы: [(1, 115), (5, 23)]

>>> check_prime_number (997)
997 - простое число
  

Углубившись в код, вы увидите, что он начинается с проверки, меньше ли num 2 . Простые числа могут быть не больше 2 . Если число меньше 2 , то выполнение функции не требуется.Он будет print () сообщение и вернет :

 , если число <2:
    print (f "{число} должно быть больше или равно 2, чтобы быть простым.")
    возвращаться
  

Если num больше 2 , тогда функция проверяет, является ли num простым числом. Чтобы проверить это, функция выполняет итерацию по всем числам от 2 до квадратного корня из num , чтобы увидеть, делятся ли они на num равномерно. Если одно из чисел делится равномерно, значит, был найден множитель, и num не может быть простым числом.

Вот основная часть функции:

  факторов = [(1, число)]
я = 2

в то время как я * я <= число:
    если num% i == 0:
        Factors.append ((i, num // i))
    я + = 1
  

Здесь есть что распаковать, так что давайте рассмотрим это шаг за шагом.

Сначала создается список факторов с начальными факторами (1, num) . Этот список будет использоваться для хранения любых других найденных факторов:

Затем, начиная с 2 , код увеличивается с до , пока не достигнет квадратного корня из num .На каждой итерации он сравнивает num с i , чтобы увидеть, делится ли оно без остатка. Коду нужно только проверить квадратный корень из число включительно, потому что он не будет содержать никаких множителей выше этого:

  я = 2

в то время как я * я <= число:
    если num% i == 0:
        Factors.append ((i, num // i))
    я + = 1
  

Вместо того, чтобы пытаться определить квадратный корень из num , функция использует цикл while , чтобы проверить, не является ли i * i <= num .Пока i * i <= num , цикл не достиг квадратного корня из num .

Внутри цикла while оператор по модулю проверяет, делится ли num без остатка на i :

  факторов = [(1, число)]
i = 2 # Начать начальный индекс с 2

в то время как я * я <= число:
    если num% i == 0:
        Factors.append ((i, num // i))
    я + = 1
  

Если число без остатка делится на i , то i является множителем число , и кортеж множителей добавляется в список множителей .

После завершения цикла и код проверяет, были ли найдены какие-либо дополнительные факторы:

  если len (факторы)> 1:
    print (f "{число} не является простым. Имеет следующие множители: {факторы}")
еще:
    print (f "{num} - простое число")
  

Если в списке факторов существует более одного кортежа, то число не может быть простым числом. Для непростых чисел коэффициенты распечатываются. Для простых чисел функция выводит сообщение о том, что num - простое число.

Как реализовать шифры

Оператор модуля Python может использоваться для создания шифров. Шифр - это тип алгоритма для выполнения шифрования и дешифрования входных данных, обычно текста. В этом разделе вы познакомитесь с двумя шифрами: шифром Цезаря и шифром Виженера .

Цезарь Шифр ​​

Первый шифр, на который вы посмотрите, - это шифр Цезаря, названный в честь Юлия Цезаря, который использовал его для тайной передачи сообщений.Это шифр подстановки, который использует подстановку букв для шифрования строки текста.

Шифр ​​Цезаря работает, беря букву, которую нужно зашифровать, и сдвигая ее на определенное количество позиций влево или вправо в алфавите. Какая бы буква ни была в этой позиции, используется как зашифрованный символ. Это же значение сдвига применяется ко всем символам в строке.

Например, если сдвиг был 5 , то A сдвинулся бы на пять букв вверх, чтобы стать F , B стал бы G и так далее.Ниже вы можете увидеть процесс шифрования текста REALPYTHON со сдвигом 5 :

В результате получается шифр WJFQUDYMTS .

Расшифровка шифра выполняется реверсированием сдвига. Процессы шифрования и дешифрования можно описать следующими выражениями, где char_index - это индекс символа в алфавите:

  encrypted_char_index = (char_index + shift)% 26
decrypted_char_index = (char_index - сдвиг)% 26
  

Этот шифр использует оператор по модулю, чтобы гарантировать, что при сдвиге буквы индекс будет перебираться, если будет достигнут конец алфавита.Теперь, когда вы знаете, как работает этот шифр, взгляните на его реализацию:

  импортная строка

def caesar_cipher (текст, сдвиг, дешифрование = False):
    если не text.isascii () или не text.isalpha ():
        Raise ValueError ("Текст должен быть в формате ASCII и не содержать чисел.")

    нижний регистр = строка.ascii_lowercase
    верхний регистр = строка.ascii_uppercase
    результат = ""

    если расшифровать:
        сдвиг = сдвиг * -1

    для символа в тексте:
        если char.islower ():
            index = lowercase.index (char)
            результат + = нижний регистр [(индекс + сдвиг)% 26]
        еще:
            индекс = верхний регистр.индекс (символ)
            результат + = верхний регистр [(индекс + сдвиг)% 26]

    вернуть результат
  

Этот код определяет функцию с именем caesar_cipher () , которая имеет два обязательных параметра и один необязательный параметр:

  • текст - это текст, который нужно зашифровать или расшифровать.
  • сдвиг - количество позиций для сдвига каждой буквы.
  • дешифровать - это логическое значение, которое задает, нужно ли расшифровывать текст .

decrypt включен, чтобы можно было использовать одну функцию для обработки как шифрования, так и дешифрования. Эта реализация может обрабатывать только буквенные символы, поэтому функция сначала проверяет, является ли текст буквенным символом в кодировке ASCII:

  def caesar_cipher (text, shift, decrypt = False):
    если не text.isascii () или не text.isalpha ():
        Raise ValueError ("Текст должен быть в формате ASCII и не содержать чисел.")
  

Затем функция определяет три переменные для хранения символов нижнего регистра, символов ASCII, символов верхнего регистра, символов ASCII и результатов шифрования или дешифрования:

  нижний регистр = строка.ascii_lowercase # "abcdefghijklmnopqrstuvwxyz"
uppercase = string.ascii_uppercase # "ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ"
результат = ""
  

Затем, если функция используется для расшифровки текста , она умножает shift на -1 , чтобы сдвинуть назад:

  если расшифровать:
    сдвиг = сдвиг * -1
  

Наконец, caesar_cipher () перебирает отдельные символы в тексте и выполняет следующие действия для каждого символа :

  1. Проверьте, является ли char прописными или строчными буквами.
  2. Получите индекс из char в списках в нижнем регистре или в верхнем регистре ASCII.
  3. Добавьте сдвиг к этому индексу , чтобы определить индекс используемого зашифрованного символа.
  4. Используйте % 26 , чтобы убедиться, что сдвиг вернется к началу алфавита.
  5. Добавить зашифрованный символ к строке результата .

После того, как цикл завершает итерацию по значению текста , возвращается результат :

  для символов в тексте:
    если char.islower ():
        index = lowercase.index (char)
        результат + = нижний регистр [(индекс + сдвиг)% 26]
    еще:
        index = uppercase.index (символ)
        результат + = верхний регистр [(индекс + сдвиг)% 26]

вернуть результат
  

Вот еще раз полный код:

  импортная строка

def caesar_cipher (текст, сдвиг, дешифрование = False):
    если не text.isascii () или не text.isalpha ():
        Raise ValueError ("Текст должен быть в формате ASCII и не содержать чисел.")

    нижний регистр = строка.ascii_lowercase
    прописные буквы = строка.ascii_uppercase
    результат = ""

    если расшифровать:
        сдвиг = сдвиг * -1

    для символа в тексте:
        если char.islower ():
            index = lowercase.index (char)
            результат + = нижний регистр [(индекс + сдвиг)% 26]
        еще:
            index = uppercase.index (символ)
            результат + = верхний регистр [(индекс + сдвиг)% 26]

    вернуть результат
  

Теперь запустите код в Python REPL, используя текст meetMeAtOurHideOutAtTwo со сдвигом 10 :

>>>

  >>> caesar_cipher ("meetMeAtOurHideOutAtTwo", 10)
woodWoKdYebRsnoYedKdDgy
  

Зашифрованный результат: woodWoKdYebRsnoYedKdDgy .Используя этот зашифрованный текст, вы можете запустить расшифровку, чтобы получить исходный текст:

>>>

  >>> caesar_cipher ("woodWoKdYebRsnoYedKdDgy", 10, decrypt = True)
MeetMeAtOurHideOutAtTwo
  

С шифром Цезаря интересно поиграть для введения в криптографию. Хотя шифр Цезаря редко используется сам по себе, он является основой для более сложных подстановочных шифров. В следующем разделе вы познакомитесь с одним из потомков шифра Цезаря, шифром Виженера.

Шифр ​​Виженера

Шифр ​​Виженера представляет собой полиалфавитный замещающий шифр. Для шифрования он использует разные шифры Цезаря для каждой буквы входящего текста. Шифр Виженера использует ключевое слово, чтобы определить, какой шифр Цезаря следует использовать для поиска буквы шифра.

Вы можете увидеть пример процесса шифрования на следующем изображении. В этом примере входной текст REALPYTHON зашифрован с использованием ключевого слова MODULO :

Для каждой буквы входящего текста REALPYTHON используется буква из ключевого слова MODULO , чтобы определить, какой столбец шифра Цезаря следует выбрать.Если ключевое слово короче вводимого текста, как в случае с MODULO , то буквы ключевого слова повторяются до тех пор, пока все буквы вводимого текста не будут зашифрованы.

Ниже представлена ​​реализация шифра Виженера. Как вы увидите, оператор по модулю используется в функции дважды:

  импортная строка

def vigenere_cipher (текст, ключ, decrypt = False):
    если не text.isascii () или не text.isalpha () или не text.isupper ():
        Raise ValueError ("Текст должен быть в верхнем регистре ASCII без цифр.")

    uppercase = string.ascii_uppercase # "ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ"
    результаты = ""

    для i, символ в перечислении (текст):
        current_key = ключ [i% len (ключ)]
        char_index = uppercase.index (символ)
        key_index = uppercase.index (текущий_ключ)

        если расшифровать:
            index = char_index - key_index + 26
        еще:
            index = char_index + key_index

        результаты + = верхний регистр [индекс% 26]

    вернуть результаты
  

Вы могли заметить, что подпись для vigenere_cipher () очень похожа на caesar_cipher () из предыдущего раздела:

  def vigenere_cipher (текст, ключ, decrypt = False):
    если не текст.isascii () или не text.isalpha () или не text.isupper ():
        Raise ValueError ("Текст должен быть в верхнем регистре ASCII без цифр.")

    верхний регистр = строка.ascii_uppercase
    результаты = ""
  

Основное отличие состоит в том, что вместо параметра shift , vigenere_cipher () принимает параметр key , который является ключевым словом, используемым во время шифрования и дешифрования. Еще одно отличие - добавление text.isupper () . На основе этой реализации vigenere_cipher () может принимать только вводимый текст в верхнем регистре.

Подобно caesar_cipher () , vigenere_cipher () выполняет итерацию по каждой букве входного текста, чтобы зашифровать или расшифровать его:

  для i, символ в перечислении (текст):
    current_key = ключ [i% len (ключ)]
  

В приведенном выше коде вы можете увидеть, как функция впервые использовала оператор по модулю:

  current_key = ключ [i% len (ключ)]
  

Здесь значение current_key определяется на основе индекса, возвращенного из i% len (key) .Этот индекс используется для выбора буквы из строки ключа , например M из MODULO .

Оператор по модулю позволяет использовать ключевое слово любой длины независимо от длины текста , который нужно зашифровать. Как только индекс i , индекс символа, который в настоящее время шифруется, равен длине ключевого слова, он будет начинаться с начала ключевого слова.

Для каждой буквы входящего текста несколько шагов определяют, как ее зашифровать или расшифровать:

  1. Определите char_index на основе индекса char внутри в верхнем регистре .
  2. Определите key_index на основе индекса current_key внутри в верхнем регистре .
  3. Используйте char_index и key_index , чтобы получить индекс для зашифрованного или дешифрованного символа.

Взгляните на эти шаги в приведенном ниже коде:

  char_index = uppercase.index (символ)
key_index = uppercase.index (текущий_ключ)

если расшифровать:
    index = char_index - key_index + 26
еще:
    index = char_index + key_index
  

Как видите, индексы для расшифровки и шифрования рассчитываются по-разному.Вот почему в этой функции используется расшифровка . Таким образом, вы можете использовать эту функцию как для шифрования, так и для дешифрования.

После определения индекса вы обнаружите, что функция использует второй оператор по модулю:

  результатов + = верхний регистр [индекс% 26]
  

index% 26 гарантирует, что индекс символа не превышает 25 , таким образом гарантируя, что он остается внутри алфавита. С помощью этого индекса зашифрованный или дешифрованный символ выбирается из в верхнем регистре и добавляется к результатам .

Вот еще раз полный код шифра Виженера:

  импортная строка

def vigenere_cipher (текст, ключ, decrypt = False):
    если не text.isascii () или не text.isalpha () или не text.isupper ():
        Raise ValueError ("Текст должен быть в верхнем регистре ASCII без цифр.")

    uppercase = string.ascii_uppercase # "ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ"
    результаты = ""

    для i, символ в перечислении (текст):
        current_key = ключ [i% len (ключ)]
        char_index = uppercase.index (символ)
        key_index = прописные буквы.индекс (текущий_ключ)

        если расшифровать:
            index = char_index - key_index + 26
        еще:
            index = char_index + key_index

        результаты + = верхний регистр [индекс% 26]

    вернуть результаты
  

Теперь запустите его в Python REPL:

>>>

  >>> vigenere_cipher (text = "REALPYTHON", key = "MODULO")
DSDFAMFVRH

>>> encrypted = vigenere_cipher (text = "REALPYTHON", key = "MODULO")
>>> печать (в зашифрованном виде)
DSDFAMFVRH

>>> vigenere_cipher (зашифровано, "MODULO", decrypt = True)
РЕАЛПИТОН
  

Отлично! Теперь у вас есть рабочий шифр Виженера для шифрования текстовых строк.

Расширенное использование оператора модуля Python

В этом заключительном разделе вы поднимете свои знания об операторах по модулю на новый уровень, используя их с десятичными числами и . Вы также узнаете, как добавить .__ mod __ () к своим пользовательским классам, чтобы их можно было использовать с оператором по модулю.

Использование оператора Python по модулю с десятичным числом

. Десятичное число

Ранее в этом руководстве вы видели, как можно использовать оператор по модулю с числовыми типами, такими как int и с плавающей запятой , а также с math.fmod () . Вы также можете использовать оператор по модулю с Decimal из модуля decimal . Вы используете decimal.Decimal , когда вам нужно дискретное управление точностью арифметических операций с плавающей запятой.

Вот несколько примеров использования целых чисел с десятичным числом , десятичным числом и оператором по модулю:

>>>

  >>> импортировать десятичный
>>> десятичное.Десятичное (15)% десятичное.Десятичное (4)
Десятичный ('3')

>>> десятичный.Десятичный (240)% десятичный. Десятичный (13)
Десятичный ('6')
  

Вот некоторые числа с плавающей запятой, используемые с десятичным числом . Десятичное число и оператор по модулю:

>>>

  >>> decimal.Decimal ("12,5")% decimal.Decimal ("5.5")
Десятичный ('1,5')

>>> decimal.Decimal ("13.3")% decimal.Decimal ("1.1")
Десятичный ('0,1')
  

Все операции по модулю с десятичным числом . Десятичное число возвращают те же результаты, что и другие числовые типы, за исключением случаев, когда один из операндов отрицательный.В отличие от int и с плавающей запятой , но, как и math.fmod () , decimal. Decimal использует знак делимого для результатов.

Взгляните на приведенные ниже примеры, в которых сравниваются результаты использования оператора по модулю со стандартными значениями int и с плавающей запятой и с десятичным числом . Десятичное :

>>>

  >>> -17% 3
1 # Знак делителя

>>> десятичное.Десятичное (-17)% десятичное.Десятичное (3)
Десятичный (-2) # Знак дивиденда

>>> 17% -3
-1 # Знак делителя

>>> десятичный.Десятичный (17)% десятичный. Десятичный (-3)
Десятичный ("2") # Знак дивиденда

>>> -13,3% 1,1
1.0000000000000004 # Знак делителя

>>> decimal.Decimal ("- 13,3")% decimal.Decimal ("1,1")
Десятичный ("- 0,1") # Знак дивиденда
  

По сравнению с math.fmod () , десятичное число . Десятичное число будет иметь тот же знак, но точность будет другой:

>>>

  >>> decimal.Decimal ("- 13,3")% decimal.Decimal ("1,1")
Десятичный ("- 0,1")

>>> математика.fmod (-13,3, 1,1)
-0,09999999999999964
  

Как видно из приведенных выше примеров, работа с десятичным числом , десятичным числом и оператором по модулю аналогична работе с другими числовыми типами. Вам просто нужно иметь в виду, как он определяет знак результата при работе с отрицательным операндом.

В следующем разделе вы узнаете, как можно переопределить оператор по модулю в своих классах, чтобы настроить его поведение.

Использование оператора Python Modulo с настраиваемыми классами

Модель данных Python позволяет вам переопределить встроенные методы в объекте Python, чтобы настроить его поведение.В этом разделе вы узнаете, как переопределить .__ mod __ () , чтобы можно было использовать оператор по модулю со своими собственными классами.

В этом примере вы будете работать с классом Студент . Этот класс будет отслеживать количество времени, которое студент учился. Вот начальный класс Student :

  класс Студент:
    def __init __ (я, имя):
        self.name = имя
        self.study_sessions = []

    def add_study_sessions (самостоятельно, сеансы):
        себя.study_sessions + = сеансы
  

Класс Student инициализируется параметром name и начинается с пустого списка study_sessions , который будет содержать список целых чисел, представляющих количество минут, изученных за сеанс. Также существует .add_study_sessions () , который принимает параметр sessions, , который должен быть списком учебных занятий, который нужно добавить к study_sessions .

Теперь, если вы помните из приведенного выше раздела о преобразовании единиц, convert_minutes_to_day () использовал оператор Python по модулю для преобразования total_mins в дни, часы и минуты.Теперь вы реализуете модифицированную версию этого метода, чтобы увидеть, как можно использовать свой собственный класс с оператором по модулю:

  def total_study_time_in_hours (студент, всего_мин.):
    часы = total_mins // 60
    минут = total_mins% 60

    print (f "{student.name} изучил {часы} часы и {минуты} минуты")
  

Эту функцию можно использовать с классом Студент для отображения общего количества часов, которые изучил Студент . В сочетании с классом Student , приведенным выше, код будет выглядеть так:

  класс Студент:
    def __init __ (я, имя):
        себя.name = имя
        self.study_sessions = []

    def add_study_sessions (самостоятельно, сеансы):
        self.study_sessions + = сеансы

def total_study_time_in_hours (студент, total_mins):
    часы = total_mins // 60
    минут = total_mins% 60

    print (f "{student.name} изучил {часы} часы и {минуты} минуты")
  

Если вы загрузите этот модуль в Python REPL, то можете использовать его так:

>>>

  >>> jane = Студент ("Джейн")
>>> jane.add_study_sessions ([120, 30, 56, 260, 130, 25, 75])
>>> total_mins = сумма (джейн.study_sessions)
>>> total_study_time_in_hours (Джейн, total_mins)
Джейн занималась 11 часов 36 минут
  

Приведенный выше код распечатывает общее количество часов, изученных Джейн . Эта версия кода работает, но требует дополнительного шага суммирования study_sessions , чтобы получить total_mins перед вызовом total_study_time_in_hours () .

Вот как можно изменить класс Student , чтобы упростить код:

  класс Студент:
    def __init __ (я, имя):
        себя.name = имя
        self.study_sessions = []

    def add_study_sessions (самостоятельно, сеансы):
        self.study_sessions + = сеансы

    def __mod __ (сам, другое):
        возвратная сумма (self.study_sessions)% other

    def __floordiv __ (я, другой):
        возвратная сумма (self.study_sessions) // другое
  

Переопределив .__ mod __ () и .__ floordiv __ () , вы можете использовать экземпляр Student с оператором по модулю. Вычисление суммы () из study_sessions также включен в класс Student .

С этими изменениями вы можете использовать экземпляр Student непосредственно в total_study_time_in_hours () . Поскольку total_mins больше не требуется, вы можете удалить его:

  def total_study_time_in_hours (студент):
    часы = студент // 60
    минут = студент% 60

    print (f "{student.name} изучил {часы} часы и {минуты} минуты")
  

Вот полный код после изменений:

  класс Студент:
    def __init __ (я, имя):
        себя.name = имя
        self.study_sessions = []

    def add_study_sessions (самостоятельно, сеансы):
        self.study_sessions + = сеансы

    def __mod __ (сам, другое):
        возвратная сумма (self.study_sessions)% other

    def __floordiv __ (я, другой):
        возвратная сумма (self.study_sessions) // другое

def total_study_time_in_hours (студент):
    часы = студент // 60
    минут = студент% 60

    print (f "{student.name} изучил {часы} часы и {минуты} минуты")
  

Теперь, вызвав код в Python REPL, вы увидите, что он гораздо лаконичнее:

>>>

  >>> jane = Студент ("Джейн")
>>> Джейн.add_study_sessions ([120, 30, 56, 260, 130, 25, 75])
>>> total_study_time_in_hours (Джейн)
Джейн занималась 11 часов 36 минут
  

Переопределяя .__ mod __ () , вы позволяете своим пользовательским классам вести себя больше как встроенные числовые типы Python.

Заключение

На первый взгляд, оператор по модулю Python может не привлечь ваше внимание. Тем не менее, как вы видели, в этом скромном операторе есть так много всего. От проверки четных чисел до шифрования текста - вы видели множество различных применений оператора по модулю.

Из этого руководства вы узнали, как:

  • Используйте оператор по модулю с int , float , math.fmod () , divmod () и decimal. Decimal
  • Вычислить результаты операции по модулю
  • Решите реальных задач с помощью оператора по модулю
  • Переопределить .__ mod __ () в ваших собственных классах, чтобы использовать их с оператором по модулю

Знания, полученные в этом руководстве, позволяют теперь с большим успехом начать использовать оператор по модулю в собственном коде.Удачного питонинга!

Функция Mod

Стр. 1 из 3

Какое отношение модульная арифметика имеет к реальному миру?
Ответ, который должен дать вам любой опытный программист, - «много». Это не только основа многих алгоритмов, но и часть оборудования.

Многие программисты озадачены модом (сокращение от modulo) и функциями / операторами целочисленного деления, которые встречаются почти во всех языках.

Модульная арифметика раньше была чем-то, с чем сталкивался каждый программист, потому что она является частью аппаратного обеспечения каждой машины.Вы обнаружите это в том, как числа представлены в двоичном виде, в машинном коде или в инструкциях на языке ассемблера.

Как только вы уйдете от представления чисел в виде битовых строк и арифметики через регистры, многие операции модификации и остатка теряют свое непосредственное значение, столь знакомое программистам на ассемблере.

Вы можете не встретить функцию или оператор мода в процессе обучения программированию, но как только вы начнете писать реальный код, вы обязательно встретите их.Как только вы начнете реализовывать даже простейшие алгоритмы, у вас возникнет необходимость разбираться в моде.

Пассивный и активный

Функция mod (x, y) или оператор мода x% y в Python, C # или JavaScript, скажем, очень проста, но вы можете думать об этом как минимум двумя разными способами - соответствующими, грубо говоря, пассивным и активным моделям. о том, что происходит.

  • Первый пассив:

    Наиболее очевидное определение:

    mod (x, y) или x% y дает остаток, когда вы
    делите x на y

    В этом случае вы думаете о том, что такое осталось, если вы сделаете что-то в `chunks of y '.

    Например, текстовый файл имеет длину 20000 строк, и вы можете уместить 66 строк на странице - сколько текста осталось? Ответ - 2, потому что mod (20000,66) = 20000% 66 = 2.

Всякий раз, когда у вас возникает проблема, связанная с разделением чего-либо на группы обычного размера, функция / оператор мода пригодятся для определения того, как работать с остатками. он сообщает вам остаток после того, как вы сгруппировали x вещей в группы размера y.

Этому определению немного труднее следовать, но оно все еще тривиально, если вы изучали «арифметику часов» как часть современной математики в школе.

Если вы этого не сделали, то еще не поздно.

Часы арифметические

Представьте себе циферблат с числами от 0 до y-1, тогда счет по модулю y - это просто процесс перехода от числа к числу до тех пор, пока вы не дойдете до y-1, когда вы «переключаетесь» на 0 и снова начинаете последовательность.

Таким образом, счет по модулю 6 идет 0,1,2,3,4,5, 0,1,2, ... и так далее.

Обратите внимание, что при подсчете по модулю 6 целое число 6 фактически не встречается.

Аналогичным образом работает арифметический модуль, перемещая стрелку часов вперед или назад на требуемую величину.

Например, 4 + 3 = 1 и 2-5 = 3 в арифметической модификации 6.

То есть на циферблате с номерами от 0 до 5, начиная с 4, переместите стрелку на 3, и она указывает на 1. Точно так же, начиная с 2 и перемещая 5 назад, стрелка становится 3.

Умножение и деление работают точно так же, если вспомнить, что умножение - это повторное сложение, а деление - повторное вычитание.

Однако, как правило, проще выполнять арифметические операции, игнорируя «циферблат», а затем находить представление результата на циферблате.Например, 5 * 8 - это 60, и если вы начнете со стрелкой часов на 0 и переместите ее на 60 позиций, вы получите 4.

При программировании все, что вам нужно сделать, это вычислить арифметику обычным способом, например. 5 * 8 = 40, а затем используйте функцию мода, чтобы найти его представление на циферблате -

мод (5 * 8,6) = мод (40,6) = 4.

В качестве другого примера рассмотрим арифметику по модулю 7, тогда 4 * 2 в модуле 7 будет:

Мод (4 * 2,7) = Мод (8,7) = 1

Как видите, это изображение циферблата и перемещения указателя подходит для всех видов моделирования объектов реального мира.

Например, набор циферблатов, записывающих значения в смешанных единицах на разные базы, может быть представлен подсчетом в разных базах модов.

Если считать в ярдах, футах и ​​дюймах (3 фута в ярде и 12 дюймов в футе), вы должны использовать что-то вроде

.

дюймов = mod (дюймы + 1,12)
ЕСЛИ дюймы перекатываются ТОГДА футы = mod (футы + 1,3)
ЕСЛИ футы перекатываются ТОГДА ярды = ярды + 1

Целочисленное деление

Теперь мы подходим к интересному вопросу; как узнать, когда счетчик модов перевернулся.

Добавлять единицу к счетчику каждый раз слишком просто, потому что вы можете просто проверить, находится ли счетчик на нуле после обновления.

Более интересная проблема заключается в том, как проверить перенос при добавлении произвольного значения. Например, как узнать, на сколько увеличиваются футы после

?

дюймов = mod (дюймы + инкр., 12)

Ответ требует целочисленного деления, которое является второй половиной мода.

Это очевидно, если вы подумаете о Mod в его первой интерпретации как о функции остатка.Если вы используете Mod для разделения x вещей на группы по y, то остаток - это то, что показывает циферблат часов. Количество групп y, которые вы сформировали, - это количество раз, когда часы «переворачивались». Вы можете узнать это, вычислив целочисленное деление x на y, то есть сколько раз y делит x - и это целочисленное деление.

Mod находит остаток на часах и целочисленном делении находит «сколько раз часы перекатывались».

Многие языки выполняют целочисленное деление естественным образом, если вы делите один целочисленный тип на другой и не нужно ничего особенного.

Но в языках с динамической типизацией деление одного целого числа на другое автоматически дает число с плавающей запятой, и для обратного преобразования в целое число вы должны использовать такую ​​функцию, как int, trunc или floor, в зависимости от языка.

Быстрый вызов калькулятора для модульной арифметики

Модульная арифметика

Если вы вспомните деление с целыми числами, вы, возможно, вспомните, как находили результат целого числа и остаток после деления.

Модуль упругости

Модуль упругости - это другое название остатка после деления.

Например, 17 mod 5 = 2, поскольку если мы разделим 17 на 5, мы получим 3 с остатком 2.

Модульную арифметику иногда называют арифметикой часов, поскольку аналоговые часы показывают время, превышающее 12, что означает, что они работают с модулем 12. Если часовая стрелка в настоящее время указывает на 8, то через 5 часов она будет указывать на 1. В то время как 8 + 5 = 13, часы переводятся после 12, поэтому все времена можно рассматривать как модуль 12.Математически 13 mod 12 = 1.

Пример 1

Вычислить следующее:

  1. 10 мод 3
  2. 15 мод 5
  3. 27 мод 5
Ответы
  1. Поскольку 10 делится на 3, получается 3 с остатком 1, 10 по модулю 3 = 1
  2. Поскольку 15 делится на 5, получается 3 без остатка, 15 mod 5 = 0
  3. 2 7 = 128. 128 делить на 5 равно 25 с остатком 3, поэтому 2 7 mod 5 = 3

Попробовать

Вычислить следующее:

  1. 23 мод 7
  2. 15 мод 7
  3. 2034 мод 7

Напомним, что когда мы делим 17 на 5, мы могли бы представить результат как 3 остатка 2, как смешанное число [latex] \ displaystyle3 \ frac {2} {5} \\ [/ latex] или как десятичное число 3.4. Обратите внимание, что модуль 2 совпадает с числителем дробной части смешанного числа, а десятичная часть 0,4 эквивалентна дроби [latex] \ displaystyle \ frac {2} {5} \\ [/латекс]. Мы можем использовать эти преобразования для вычисления модуля не слишком больших чисел на стандартном калькуляторе.

Модуль упругости

на стандартном калькуляторе

Для расчета a mod n на стандартном калькуляторе

  1. Разделить a на n
  2. Вычтем из полученного количества целую часть
  3. Умножьте на n , чтобы получить модуль

Пример 2

Вычислить 31345 mod 419.

Ответ
[латекс] 31345 \ div {419} = 74.80

[/ латекс]

Теперь вычтите 74, чтобы получить только десятичный остаток.
[латекс] 74.80

-74 = 0.80

[/ латекс]

Умножьте это на 419, чтобы получить модуль
[латекс] 0.80

\ times {419} = 339 [/ латекс]

Это говорит о том, что 0.80

был эквивалентен [latex] \ frac {339} {419} [/ latex]

В приведенном выше тексте была записана только часть десятичного значения.На практике вам следует избегать записи промежуточных шагов и вместо этого позволить калькулятору сохранять как можно больше десятичных значений.


Как использовать функцию Excel MOD

Формулы, в которых используется понятие «день недели», основаны на идее, что каждый день недели имеет определенное число. По умолчанию Excel присваивает 1 воскресенью и 7 субботе.

В формуле примера B6 - это дата ...

Функция MOD выполняет операцию по модулю. Он принимает число и делитель и возвращает остаток после деления.

В этой формуле мы вычитаем один результат MOD из другого.

Для первого МОДа мы используем число ...

.

Порядковые номера представляют собой позицию или ранг в последовательном порядке. Обычно они пишутся с использованием номера + буквенного суффикса: 1-й, 2-й, 3-й и т. Д.

Чтобы получить порядковый суффикс для небольшого набора чисел, вы можете использовать расширение...

Функция ФИЛЬТР предназначена для фильтрации и извлечения информации на основе логических критериев. В этом примере цель состоит в том, чтобы извлечь каждую третью запись из показанных данных, но в данных нет информации о номере строки ...

Функция СУММПРОИЗВ работает напрямую с массивами.

Одна вещь, которую вы можете довольно легко сделать с помощью SUMPRODUCT, - это выполнить тест на массиве, используя один или несколько критериев, а затем подсчитать результаты.В этом случае мы запускаем ...

Правила проверки данных срабатывают, когда пользователь добавляет или изменяет значение ячейки. Когда настраиваемая формула возвращает значение ИСТИНА, проверка проходит и вводные данные принимаются. Когда формула возвращает ЛОЖЬ, проверка не выполняется и ...

Первое, что делает эта формула, - сравнивает дату в столбце B с датой начала:

= ЕСЛИ (B4> = начало

Если дата не больше даты начала, формула возвращает ноль.Если дата больше или равна ...

Время в Excel - это дробное значение числа 1. Итак, 12 часов дня - это 12/24 = 0,5, 6:00 - это 24/6 = 0,25 и так далее. Итак, чтобы преобразовать время по заданному числу, вам нужно разделить количество часов на 24, чтобы получить требуемое ...

Условное форматирование оценивается для каждой ячейки в диапазоне относительно левой верхней ячейки в выделенном фрагменте. В этом случае формула использует функцию MOD для проверки остатка от деления значения в каждом...

Даты Excel - это порядковые номера, а день эквивалентен числу 1. Это означает, что 1 час = 1/24 = 0,041666667. Другими словами, время в Excel - это просто дробные числа:

Время
Доля
Часы ...

Время в Excel - это дробное значение 24 часа. Один час времени равен 1/24, а 1 минута времени составляет 1 / (24 * 60) = 1/1440.

В результате, если у вас есть десятичное значение для 15 минут и время в A1, вы можете добавить 15 минут...

Excel обрабатывает даты и время, используя систему, в которой даты - это порядковые номера, а время - дробные значения. Например, 1 июня 2000 г. 12:00 представлено в Excel как число 36678,5, где 36678 - это дата ...

Функция MOD возвращает остаток после деления. Если делитель равен 1, MOD вернет ноль для любого целого числа.

Мы используем этот факт, чтобы построить простую формулу, которая проверяет результат MOD.Когда результат ...

Эта формула преобразует числовое значение в дюймах в текст, представляющий те же измерения в дюймах и футах. Чтобы получить значение для футов, функция INT используется следующим образом:

= ЦЕЛОЕ (B5 / 12) & "'"

Внутри INT .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.