Кинематика все формулы и определения таблица. Основные понятия кинематики и формулы

Определение 1

Кинематика
− это раздел механики, который рассматривает движение тел без объяснения вызывающих его причин.

Определение 2

Механическое движение тела
− это изменение положения данного тела в пространстве относительно других тел во времени.

Как мы сказали, механическое движение тела относительно. Движение одного и того же тела относительно разных тел может быть разным.

Определение 3

Для характеристики движения тела указывается, по отношению к какому из тел рассматривается это движение. Это будет тело отсчета
.

Определение 4

Система отсчета
− система координат, которая связана с телом отсчета и временем для отсчета. Она позволяет определить положение передвигающегося тела в любой отрезок времени.

В С И единицей длины выступает метр, а единицей времени – секунда.

У каждого тела есть определенные размеры. Разные части тела расположены в разных пространственных местах. Но в большинстве задач механики не нужно указывать положение отдельных частей тела. Если размеры тела маленькие в сравнении с расстояниями до остальных тел, тогда заданное тело считается его материальной точкой. Таким образом поступают при изучении перемещения планет вокруг Солнца.

Определение 5

Механическое движение называют поступательным
, в случае если все части тела перемещаются одинаково.

Пример 1

Поступательное движение наблюдается у кабин в аттракционе «Колесо обозрения» или у автомобиля на прямолинейном участке пути.

При поступательном движении тела его также рассматривают в качестве материальной точки.

Определение 6

Материальная точка
− это тело, размерами которого при заданных условиях можно пренебречь.

Термин “материальная точка” имеет важное значение в механике.

Определение 7

Траектория движения тела
− некоторая линия, которую тело или материальная точка описывает, перемещаясь во времени от одной точки до другой.

Местонахождение материальной точки в пространстве в любой временной отрезок (закон движения) определяют, используя зависимость координат от времени x = x (t) , y = y (t) , z = z (t) или зависимость от времени радиус-вектора r → = r → (t) , проведенного от начала координат до заданной точки. Наглядно это представлено на рисунке 1 . 1 . 1 .

Рисунок
1 . 1 . 1 . Определение положения точки при помощи координат x = x (t) , y = y (t) и z = z (t) и радиус-вектора r → (t) , r 0 →
– радиус-вектор положения точки в начальный момент времени.

Определение 8

Перемещение тела
s → = ∆ r → = r → — r 0 →
– это направленный отрезок прямой, который соединяет начальное положение тела с его дальнейшим положением. Перемещение является векторной величиной.

Пройденный путь l равняется длине дуги траектории, преодоленной телом за определенное время t . Путь является скалярной величиной.

Если движение тела рассматривается в течение довольно короткого отрезка времени, тогда вектор перемещения оказывается направленным по касательной к траектории в заданной точке, а его длина равняется преодоленному пути.

В случае небольшого промежутка времени Δ t преодоленный телом путь Δ l практически совпадает с модулем вектора перемещения ∆ s → . При перемещении тела по криволинейной траектории модуль вектора движения все время меньше пройденного пути (рисунок 1 . 1 . 2).

Рисунок 1 . 1 . 2 . Пройденный путь l и вектор перемещения
∆ s → при криволинейном движении тела.
a и b – это начальная и конечная точки пути.

Для описания движения в физике введено понятие средней скорости: υ → = ∆ s → ∆ t = ∆ r → ∆ t .

Физиков больше интересует формула не средней, а мгновенной скорости, которая рассчитывается как предел, к которому стремится средняя скорость на бесконечно маленьком промежутке времени Δ t , то есть υ → = ∆ s → ∆ t = ∆ r → ∆ t ; ∆ t → 0 .

В математике данный предел называется производная и обозначается d r → d t или r → ˙ .

Мгновенная скорость υ → тела в каждой точке криволинейной траектории направлена по касательной к траектории в заданной точке. Отличие между средней и мгновенной скоростями демонстрирует рисунок 1 . 1 . 3 .

Рисунок
1 . 1 . 3 . Средняя и мгновенная скорости. ∆ s 1 → , ∆ s 2 → , ∆ s 3 →
– перемещения за время
∆ t 1 соответственно. При
t → 0 , υ → с р → υ → .

При перемещении тела по криволинейной траектории скорость υ → меняется по модулю и по направлению. Изменение вектора скорости υ → за какой-то маленький промежуток времени Δ t задается при помощи вектора ∆ υ → (рисунок 1 . 1 . 4).

Вектор изменения скорости ∆ υ → = υ 2 → — υ 1 → за короткий промежуток времени Δ t раскладывается на 2 составляющие: ∆ υ r → , которая направлена вдоль вектора υ → (касательная составляющая) и ∆ υ n → , которая направлена перпендикулярно вектору υ → (нормальная составляющая).

Рисунок 1 . 1 . 4 . Изменение вектора скорости по величине и по направлению.
∆ υ → = ∆ υ → r + ∆ υ → n – изменение вектора скорости за промежуток времени Δ t .

Определение 9

Мгновенное ускорение тела
a → – это предел отношения небольшого изменения скорости ∆ υ → к короткому отрезку времени Δ t , в течение которого изменялась скорость: a → = ∆ υ → ∆ t = ∆ υ → τ ∆ t + ∆ υ → n ∆ t ; (∆ t → 0) .

Направление вектора ускорения a → , при криволинейном движении, не совпадает с направлением вектора скорости υ → . Составляющие вектора ускорения a → – это касательные (тангенциальные) a → τ и нормальные a → n ускорения (рисунок 1 . 1 . 5).

Рисунок
1 . 1 . 5 . Касательное и нормальное ускорения.

Касательное ускорение показывает, как быстро меняется скорость тела по модулю: a τ = ∆ υ ∆ t ; ∆ t → 0 .

Вектор a → τ направлен по касательной к траектории.

Нормальное ускорение показывает, как быстро скорость тела меняется по направлению.

Пример 2

Представим криволинейное движение, как движение по дугам окружностей (рисунок 1 . 1 . 6).

Рисунок 1 . 1 . 6 . Движение по дугам окружностей.

Нормальное ускорение находится в зависимости от модуля скорости υ и радиуса R окружности, по дуге которой тело перемещается в определенный момент времени: a n = υ 2 R .

Вектор a n → все время направлен к центру окружности.

По рисунку 1 . 1 . 5 видно, модуль полного ускорения равен a = a τ 2 + a n 2 .

Итак, основные физические величины в кинематике материальной точки – это пройденный путь l , перемещение s → , скорость υ → и ускорение a → .

Путь l – скалярная величина.

Перемещение s → , скорость υ → и ускорение a → – векторные величины.

Для того чтобы задать какую-нибудь векторную величину, необходимо задать ее модуль и определить направление. Вектора подчиняются математическим правилам: их можно проектировать на координатные оси, складывать, вычитать и др.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Сессия приближается, и пора нам переходить от теории к практике. На выходных мы сели и подумали о том, что многим студентам было бы неплохо иметь под рукой подборку основных физических формул. Сухие формулы с объяснением: кратко, лаконично, ничего лишнего. Очень полезная штука при решении задач, знаете ли. Да и на экзамене, когда из головы может «выскочить» именно то, что накануне было жесточайше вызубрено, такая подборка сослужит отличную службу.

Больше всего задач обычно задают по трем самым популярным разделам физики. Это механика
, термодинамика
и молекулярная физика
, электричество
. Их и возьмем!

Основные формулы по физике динамика, кинематика, статика

Начнем с самого простого. Старое-доброе любимое прямолинейное и равномерное движение.

Формулы кинематики:

Конечно, не будем забывать про движение по кругу, и затем перейдем к динамике и законам Ньютона.

После динамики самое время рассмотреть условия равновесия тел и жидкостей, т.е. статику и гидростатику

Теперь приведем основные формулы по теме «Работа и энергия». Куда же нам без них!

Основные формулы молекулярной физики и термодинамики

Закончим раздел механики формулами по колебаниям и волнам и перейдем к молекулярной физике и термодинамике.

Коэффициент полезного действия, закон Гей-Люссака, уравнение Клапейрона-Менделеева — все эти милые сердцу формулы собраны ниже.

Кстати!
Для всех наших читателей сейчас действует скидка 10%
на .

Основные формулы по физике: электричество

Пора переходить к электричеству, хоть его и любят меньше термодинамики. Начинаем с электростатики.

И, под барабанную дробь, заканчиваем формулами для закона Ома, электромагнитной индукции и электромагнитных колебаний.

На этом все. Конечно, можно было бы привести еще целую гору формул, но это ни к чему. Когда формул становится слишком много, можно легко запутаться, а там и вовсе расплавить мозг. Надеемся, наша шпаргалка основных формул по физике поможет решать любимые задачи быстрее и эффективнее. А если хотите уточнить что-то или не нашли нужной формулы: спросите у экспертов студенческого сервиса
. Наши авторы держат в голове сотни формул и щелкают задачи, как орешки. Обращайтесь, и вскоре любая задача будет вам «по зубам».

Прежде всего, следует заметить, что речь будет идти о геометрической точке, то есть области пространства, не имеющей размеров. Именно для этого абстрактного образа (модели) и справедливы все представленные ниже определения и формулы. Однако для краткости я в дальнейшем буду часто говорить о движении тела
, объекта
или частицы
. Это я делаю только для того, чтобы Вам легче было читать. Но всегда помните, что речь идет о геометрической точке.

Радиус-вектор
точки — это вектор, начало которого совпадает с началом системы координат, а конец — с данной точкой. Радиус-вектор обозначается, как правило, буквой r
. К сожалению некоторые авторы обозначают его буквой s
. Настоятельно советую не использовать
обозначение s
для радиус-вектора. Дело в том, что подавляющее большинство авторов (как отечественных, так и зарубежных) используют букву s для обозначения пути, который является скаляром и к радиус-вектору, как правило, отношения не имеет. Если вы будете обозначать радиус-вектор как s
, то легко можете запутаться. Еще раз, мы, как и все нормальные люди, будем использовать следующие обозначения: r
— радиус-вектор точки, s — путь, пройденный точкой.

Вектор перемещения
(часто говорят просто — перемещение
) — это вектор
, начало которого совпадает с той точкой траектории, где было тело, когда мы начали изучать данное движение, а конец этого вектора совпадает с той точкой траектории, где мы это изучение закончили. Будем обозначать этот вектор как Δr
. Использование символа Δ очевидно: Δr
— это разность между радиус-вектором r
конечной точки изучаемого отрезка траектории и радиус-вектором r
0 точки начала этого отрезка (рис. 1), то есть Δr =
r
− r
0 .

Траектория
— это линия, вдоль которой движется тело.

Путь
— это сумма длин всех участков траектории, последовательно проходимых телом при движения. Обозначается либо ΔS, если речь идет об участке траектории, либо S, если речь идет о всей траектории наблюдаемого движения. Иногда (редко) путь обозначают и другой буквой, например, L (только не обозначайте его как r, мы уже об этом говорили). Запомните! Путь — это положительный скаляр
! Путь в процессе движения может только увеличиваться
.

Средняя скорость перемещения
v
ср

v
ср = Δr
/Δt.

Мгновенная скорость перемещения v
— это вектор, определяемый выражением

v
= dr
/dt.

Средняя скорость пути
v ср — это скаляр, определяемый выражением

V ср = Δs/Δt.

Часто встречаются и другие обозначения, например, .

Мгновенная скорость пути
v — это скаляр, определяемый выражением

Модуль мгновенной скорости перемещения и мгновенная скорость пути — это одно и то же, поскольку dr = ds.

Среднее ускорение
a

a
ср = Δv
/Δt.

Мгновенное ускорение
(или просто, ускорение
) a
— это вектор, определяемый выражением

a
=dv
/dt.

Касательное (тангенциальное) ускорение a
τ (нижний индекс — это греческая строчная буква тау) — это вектор
, являющийся векторной проекцией
мгновенного ускорения на касательную ось .

Нормальное (центростремительное) ускорение a
n — это вектор
, являющийся векторной проекцией
мгновенного ускорения на ось нормали .

Модуль касательного ускорения

| a
τ | = dv/dt,

То есть это — производная модуля мгновенной скорости по времени.

Модуль нормального ускорения

| a
n | = v 2 /r,

Где r — величина радиуса кривизны траектории в точке нахождения тела.

Важно!
Хочу обратить внимание на следующее. Не путайтесь с обозначениями, касающимися касательного и нормального ускорений!
Дело в том, что в литературе по этому поводу традиционно наблюдается полная чехарда.

Запомните!

a
τ — это вектор
касательного ускорения,

a
n — это вектор
нормального ускорения.

a
τ и a
n являются векторными
проекциями полного ускорения а
на касательную ось и ось нормали соответственно,

A τ — это проекция (скалярная!) касательного ускорения на касательную ось,

A n — это проекция (скалярная!) нормального ускорения на ось нормали,

| a
τ |- это модуль
вектора
касательного ускорения,

| a
n | — это модуль
вектора
нормального ускорения.

Особенно не удивляйтесь, если, читая в литературе о криволинейном (в частности, вращательном) движении, Вы обнаружите, что автор под a τ понимает и вектор, и его проекцию, и его модуль. То же самое относится и к a n . Все, как говорится, «в одном флаконе». И такое, к сожалению, сплошь и рядом. Даже учебники для высшей школы не являются исключением, во многих из них (поверьте — в большинстве!) царит полная неразбериха по этому поводу.

Вот так, не зная азов векторной алгебры или пренебрегая ими, очень легко полностью запутаться при изучении и анализе физических процессов. Поэтому знание векторной алгебры является наиглавнейшим условием успеха
в изучении механики. И не только механики. В дальнейшем, при изучении других разделов физики, Вы неоднократно в этом убедитесь.

Мгновенная угловая скорость
(или просто, угловая скорость
) ω
— это вектор, определяемый выражением

ω
= dφ
/dt,

Где dφ
— бесконечно малое изменение угловой координаты (dφ
— вектор!).

Мгновенное угловое ускорение
(или просто, угловое ускорение
) ε
— это вектор, определяемый выражением

ε
= dω
/dt.

Связь
между v
, ω
и r
:

v
= ω
× r
.

Связь
между v, ω и r:

Связь
между | a
τ |, ε и r:

| a
τ | = ε · r.

Теперь перейдем к кинематическим уравнениям
конкретных видов движения. Эти уравнения надо выучить наизусть
.

Кинематическое уравнение равномерного и прямолинейного движения
имеет вид:

r
= r
0 + v
t,

Где r
— радиус-вектор объекта в момент времени t, r
0 — то же в начальный момент времени t 0 (в момент начала наблюдений).

Кинематическое уравнение движения с постоянным ускорением
имеет вид:

r
= r
0 + v
0 t + a
t 2 /2, где v
0 скорость объекта в момент t 0 .

Уравнение для скорости тела при движении с постоянным ускорением
имеет вид:

v
= v
0 + a
t.

Кинематическое уравнение равномерного движения по окружности в полярных координатах
имеет вид:

φ = φ 0 + ω z t,

Где φ — угловая координата тела в данный момент времени, φ 0 — угловая координата тела в момент начала наблюдения (в начальный момент времени), ω z — проекция угловой скорости ω
на ось Z (обычно эта ось выбирается перпендикулярно плоскости вращения).

Кинематическое уравнение движения по окружности с постоянным ускорением в полярных координатах
имеет вид:

φ = φ 0 + ω 0z t + ε z t 2 /2.

Кинематическое уравнение гармонических колебаний вдоль оси X
имеет вид:

Х = А Cos (ω t + φ 0),

Где A — амплитуда колебаний, ω — циклическая частота, φ 0 — начальная фаза колебаний.

Проекция скорости точки, колеблющейся вдоль оси X, на эту ось
равна:

V x = − ω · A · Sin (ω t + φ 0).

Проекция ускорения точки, колеблющейся вдоль оси X, на эту ось
равна:

А x = − ω 2 · A · Cos (ω t + φ 0).

Связь
между циклической частотой ω, обычной частотой ƒ и периодом колебаний T:

ω = 2 πƒ = 2 π/T (π = 3,14 — число пи).

Математический маятник
имеет период колебаний T, определяемый выражением:

В числителе подкоренного выражения — длина нити маятника, в знаменателе — ускорение свободного падения

Связь
между абсолютной v
абс, относительной v
отн и переносной v
пер скоростями:

v
абс = v
отн + v
пер.

Вот, пожалуй, и все определения и формулы, которые могут понадобиться при решении задач на кинематику. Приведенная информация носит только справочный характер и не может заменить электронную книгу, где доступно, подробно и, надеюсь, увлекательно изложена теория этого раздела механики.

Сессия приближается, и пора нам переходить от теории к практике. На выходных мы сели и подумали о том, что многим студентам было бы неплохо иметь под рукой подборку основных физических формул. Сухие формулы с объяснением: кратко, лаконично, ничего лишнего. Очень полезная штука при решении задач, знаете ли. Да и на экзамене, когда из головы может «выскочить» именно то, что накануне было жесточайше вызубрено, такая подборка сослужит отличную службу.

Больше всего задач обычно задают по трем самым популярным разделам физики. Это механика
, термодинамика
и молекулярная физика
, электричество
. Их и возьмем!

Основные формулы по физике динамика, кинематика, статика

Начнем с самого простого. Старое-доброе любимое прямолинейное и равномерное движение.

Формулы кинематики:

Конечно, не будем забывать про движение по кругу, и затем перейдем к динамике и законам Ньютона.

После динамики самое время рассмотреть условия равновесия тел и жидкостей, т.е. статику и гидростатику

Теперь приведем основные формулы по теме «Работа и энергия». Куда же нам без них!

Основные формулы молекулярной физики и термодинамики

Закончим раздел механики формулами по колебаниям и волнам и перейдем к молекулярной физике и термодинамике.

Коэффициент полезного действия, закон Гей-Люссака, уравнение Клапейрона-Менделеева — все эти милые сердцу формулы собраны ниже.

Кстати!
Для всех наших читателей сейчас действует скидка 10%
на любой вид работы
.

Основные формулы по физике: электричество

Пора переходить к электричеству, хоть его и любят меньше термодинамики. Начинаем с электростатики.

И, под барабанную дробь, заканчиваем формулами для закона Ома, электромагнитной индукции и электромагнитных колебаний.

На этом все. Конечно, можно было бы привести еще целую гору формул, но это ни к чему. Когда формул становится слишком много, можно легко запутаться, а там и вовсе расплавить мозг. Надеемся, наша шпаргалка основных формул по физике поможет решать любимые задачи быстрее и эффективнее. А если хотите уточнить что-то или не нашли нужной формулы: спросите у экспертов студенческого сервиса
. Наши авторы держат в голове сотни формул и щелкают задачи, как орешки. Обращайтесь, и вскоре любая задача будет вам «по зубам».

Масса.

Масса m
— скалярная физическая величина, характеризующая свойство тел притягиваться к земле и к другим телам.

Масса тела — постоянная величина.

Единица массы — 1 килограмм (кг).

Плотность.

Плотностью ρ называется отношение массы m
тела к занимаемому им объёму V:

Единица плотности — 1 кг/м 3 .

Сила.

Сила F — физическая величина, характеризующая действие тел друг на друга и являющаяся мерой их взаимодействия. Сила — векторная величина; вектор силы характеризуется модулем (числовым значением) F, точкой приложения и направлением.

Единица силы — 1 ньютон (Н).

Сила тяжести.

Сила тяжести — сила, с которой тела притягиваются к Земле. Она направлена к центру Земли и, следовательно, перпендикулярна к её поверхности:

Давление.

Давление p
— скалярная физическая величина, равная отношению силы F, действующей перпендикулярно поверхности, к площади этой поверхности S:

Единица давления — 1 паскаль (Па) = 1 Н/м 2 .

Работа.

Работа A — скалярная физическая велечина, равная произведению силы F на расстояние S, пройденное телом под действием этой силы:

Единица работы — 1 джоуль (Дж) = 1 Н*м.

Энергия.

Энергия E
— скалярная физическая величина, характеризующая любое движение и любое взаимодействие и определяющая способность тела совершать работу.

Единица энергии, как и работы, — 1 Дж.

Кинематика

Движение.

Механическим движением тела называют изменение с течением времени его положения в пространстве.

Система отсчёта.

Связанные с телом отсчёта систему координат и часы называют системой отсчёта.

Материальная точка.

Тело, размерами которого можно пренебречь в данной ситуации, называется материальной точкой. Строго говоря, все законы механики справедливы для материальных точек.

Траектория.

Линия, вдоль которой перемещается тело, называется траекторией. По виду траектории движения разделяются на два типа — прямолинейное и криволинейное.

Путь и перемещение.

Путь — скальрная величина, равная расстоянию, пройденному телом вдоль траектории движения. Перемещение — вектор, соединяющий начальную и конечную точки пути.

Скорость.

Скоростью υ называют векторную физическую величину, характеризующую быстроту и направление перемещения тела. Для равномерного движения скорость равна отношению перемещения ко времени, за которое оно произошло:

Единица скорости — 1 м/с, но часто пользуются км/ч (36 км/ч = 10 м/с).

Уравнение движения.

Уравнение движения — зависимость перемещения от времени. Для равномерного прямолинейного движения уравнение движения имеет вид

Мгновенная скорость.

Мгновенная скорость — отношение очень малого перемещения к промежутку времени, за который оно произошло:

Средняя скорость:

Ускорение.

Ускорением a
называют векторную физическую величину, характеризующую быстроту изменения скорости движения. При равнопеременном движении (т.е при равноускоренном или равнозамедленном) ускорение равно отношению изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло:

Осн. формулы и метод. рекомендации по решению задач на кинематику МТ

Ближайшие темы будут посвящены решению
задач на движение тел, без учета причин, вызвавших это движения, т.е. решению
задач по кинематике.

Но для того, чтобы начать рассмотрение решений задач по данной
теме, необходимо вспомнить основные формулы, связанные с этим разделом. Для удобства,
сведём все формулы в таблицу.

Основные формулы равномерного прямолинейного движения

Основные формулы равноускоренного прямолинейного движения

Основные формулы движения тела по окружности с постоянной
по модулю скоростью.

Известно, что для большей наглядности движение можно
описывать с помощью графиков.

Давайте рассмотрим в сравнении графики для равномерного и
равноускоренного движения.

Известно, что при равномерном движении скорость тела не
изменяется с течением времени. Поэтому графиком скорости, в этом случае, будет
прямая линия, параллельная оси времени. При равноускоренном движении тела,
неизменной величиной является ускорение. Поэтому графиком ускорения будет
являться также прямая линия, параллельная оси времени.

По графику скорости для равномерного движения, можно
определить путь, пройденный телом за некоторый промежуток времени. Для этого
достаточно определить площадь прямоугольника, образованного графиком скорости и
осью времени.

Известно, что перемещение тела при равномерном движении
линейно зависит от времени, поэтому графиком перемещения является прямая линия
вида

y = kx.

Наклон же графика к оси времени зависит от модуля скорости. При
равноускоренном движении линейно зависимой величиной является скорость тела.
Поэтому графиком скорости является прямая линия вида

y = kx +b.

Используя график скорости для равноускоренного движения можно
определить перемещение тела за некоторый промежуток времени. Для этого
необходимо определить площадь прямоугольной трапеции или прямоугольного
треугольника, ограниченных графиком скорости и осью времени.

График зависимости координаты от времени при равномерном
движении, то есть график движения, представлен на рисунке ниже. По этому
графику можно определить: координату тела в любой момент времени, путь,
пройденный телом за некоторый промежуток времени, кратчайшее расстояние между
телами в любой момент времени, а также момент и место встречи тел.

А графиком перемещения при равноускоренном движении
является парабола, положение вершины которой зависит от направлений
начальной скорости и ускорения. Так, если проекция ускорения отрицательна,
то возможны следующие три вида графика перемещения:

– когда проекция начальной скороститела равна нулю;

– когда проекция начальной скорости тела меньше нуля;

– когда проекция начальной скорости тела больше нуля.

Если проекция ускорения положительна, то здесь также возможны
три случая:

– когда начальная скорость тела равна нулю;

– когда проекция начальной скорости больше нуля;

– когда проекция начальной скорости меньше нуля.

Методические рекомендации по решению задач на кинематику
материальной точки

1) Сделать схематический рисунок, который лучше всего
представить в виде траектории движущейся точки с изображением векторов
перемещения, скорости и ускорения.

2) Выбрать систему отсчета (то есть тело отсчета, связанную с
ним систему координат и начало отсчета времени) на основании тщательного
анализа условия задачи. Рациональный выбор системы отсчета, как правило,
значительно упрощает решение задачи. При выборе положительных направлений
координатных осей необходимо руководствоваться направлением движения (то есть
направлением вектора скорости) или направлением вектора ускорения.

3) Составить на основании законов движения систему уравнений
в векторном виде для всех тел, участвующих в движении. А затем в скалярной
форме, спроецировав на координатные оси эти векторные уравнения движения. При
записи этих уравнений не забыть привести в соответствие знаки проекций скорости
и ускорения с направлением координатных осей. При необходимости дополнить
систему уравнений соотношениями, составленными на основе данных задачи и
конкретной ситуации, описанной в ней.

4) Решить полученную систему уравнений относительно искомых
величин в общем виде, убедиться в соответствии единиц измерения и проделать
числовые расчеты.

Следование этим простым рекомендациям позволит вам успешнее
справляться с решением задач на кинематику материальной точки.

Формулы равномерного и равноускоренного движения

Равномерное движение

Формула скорости движения при равномерном движении:

v=const
a=0
v — скорость, м/с
s — перемещение, м
t — время, с
Формула перемещения при равномерном движении:

Координата вычисляются через кинематическое уравнение равномерного прямолинейного движения по  формуле:

График — Равномерного прямолинейного движения

Равноускоренное движение

Формула скорости при равноускоренном движении:

a=const
v₀ — начальная скорость, м/с
a — ускорение, м/с²
Формула для нахождения перемещения при равноускоренном движении:

или

Уравнение равноускоренного движения в проекции на оси координат:

Формула для определения ускорения при равноускоренном прямолинейном движении:

v₀ — начальная скорость, м/с
v — мгновенная скорость, м/с
Формула для определения средней скорости движения:

График — Равноускоренное движение при a>0

Равнозамедленное движение

Формула скорости при равнозамедленном движении:

Формула перемещения при равнозамедленном движении:

График — Равнозамедленное движение при a<0

Свободное падение

Постоянная величина скорости свободного падения тела равна g=9,8 м/с²
Формула для вычисления скорости при свободном падении тела:

Формула для вычисления перемещения при свободном падении тела:

Формула координаты при свободном падении тела:

Формула высоты с которой тело свободно падает:

Формула для определения скорости тела в конце свободного падения:

Время свободного падения тела равно:

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Отправить оценку

Средняя оценка 5 / 5. Количество оценок: 5

Оценок пока нет. Поставьте оценку первым.

Кинематические уравнения

Цель этого первого раздела «Класса физики» состояла в том, чтобы исследовать различные средства, с помощью которых можно описать движение объектов. Разнообразие представлений, которые мы исследовали, включает словесные представления, графические представления, числовые представления и графические представления (графики положения-времени и графики скорости-времени). В Уроке 6 мы исследуем использование уравнений для описания и представления движения объектов.Эти уравнения известны как кинематические уравнения.

Есть множество величин, связанных с движением объектов — смещение (и расстояние), скорость (и скорость), ускорение и время. Знание каждой из этих величин дает описательную информацию о движении объекта. Например, если известно, что автомобиль движется с постоянной скоростью 22,0 м / с, на север в течение 12,0 секунд для смещения на север на 264 метра, то движение автомобиля полностью описано.И если известно, что вторая машина ускоряется из положения покоя с ускорением на восток 3,0 м / с ² в течение 8,0 секунд, обеспечивая конечную скорость 24 м / с, восток и смещение на восток 96 метров. , то полностью описывается движение этой машины. Эти два утверждения дают полное описание движения объекта. Однако не всегда такая полнота известна. Часто бывает так, что известны лишь некоторые параметры движения объекта, а остальные неизвестны.Например, приближаясь к светофору, вы можете узнать, что ваша машина развивает скорость 22 м / с, восток и способна к заносу 8,0 м / с ² , запад. Однако вы не знаете, какое смещение испытает ваша машина, если бы вы резко нажали на тормоз и занесло до полной остановки; и вы не знаете, сколько времени потребуется, чтобы остановиться. В таком случае неизвестные параметры могут быть определены с использованием физических принципов и математических уравнений (кинематических уравнений).

БОЛЬШОЙ 4

Кинематические уравнения — это набор из четырех уравнений, которые можно использовать для предсказания неизвестной информации о движении объекта, если известна другая информация. Уравнения можно использовать для любого движения, которое можно описать как движение с постоянной скоростью (ускорение 0 м / с / с) или движение с постоянным ускорением. Их нельзя использовать в течение какого-либо периода времени, в течение которого изменяется ускорение.Каждое из кинематических уравнений включает четыре переменные. Если известны значения трех из четырех переменных, то можно рассчитать значение четвертой переменной. Таким образом, кинематические уравнения предоставляют полезные средства прогнозирования информации о движении объекта, если известна другая информация. Например, если известно значение ускорения, а также начальное и конечное значения скорости буксирующего автомобиля, то смещение автомобиля и время можно предсказать с помощью кинематических уравнений.Урок 6 этого модуля будет посвящен использованию кинематических уравнений для прогнозирования числовых значений неизвестных величин для движения объекта.

Четыре кинематических уравнения, описывающие движение объекта:

В приведенных выше уравнениях используются различные символы. Каждый символ имеет свое особое значение. Символ d обозначает смещение объекта. Символ t обозначает время, в течение которого объект двигался.Символ a обозначает ускорение объекта. А символ v обозначает скорость объекта; индекс i после v (как в v _i ) указывает, что значение скорости является начальным значением скорости, а индекс f (как в v _f ) указывает, что значение скорости является конечным значением скорости.

Каждое из этих четырех уравнений надлежащим образом описывает математическую связь между параметрами движения объекта. Таким образом, они могут использоваться для прогнозирования неизвестной информации о движении объекта, если известна другая информация.В следующей части Урока 6 мы исследуем, как это сделать.

Двумерные уравнения кинематики

Двумерные уравнения кинематики

3.2.
Уравнения кинематики в двух измерениях

Чтобы понять, как смещение, скорость и ускорение применяются к двумерному движению, рассмотрим космический корабль, оснащенный двумя двигателями, установленными перпендикулярно друг другу. Эти двигатели создают единственные силы, которые испытывает аппарат, и предполагается, что космический аппарат находится в начале координат, когда t ₀ = 0 с, так что r ₀ = 0 м. В более поздний момент времени t смещение КА составит Dr = r – r ₀ = r.Относительно осей x и y смещение r имеет компоненты вектора x и y соответственно.

На рисунке 3.3 работает только двигатель, ориентированный вдоль направления x, и транспортное средство ускоряется в этом направлении. Предполагается, что скорость в направлении y равна нулю, и она остается нулевой, поскольку двигатель y выключен. Движение космического корабля в направлении x описывается пятью кинематическими переменными x, a _x , v _x , v _0x и t.Здесь символ «x» напоминает нам, что мы имеем дело с компонентами x векторов смещения, скорости и ускорения. (См. Разделы 1.7 и 1.8 для обзора компонентов вектора.) Переменные x, a _x , v _x и v _0x являются скалярными компонентами (или для краткости «компонентами»). Как обсуждается в разделе 1.7, эти компоненты являются положительными или отрицательными числами (с единицами измерения), в зависимости от того, указывают ли соответствующие компоненты вектора вдоль оси + x или –x. Если космический аппарат имеет постоянное ускорение в направлении x, движение точно такое же, как описано в главе 2, и можно использовать уравнения кинематики.Для удобства эти уравнения записаны в левом столбце таблицы 3.1.

Рисунок 3.4 аналогичен рисунку 3.3, за исключением того, что теперь работает только двигатель y, а космический корабль ускоряется в направлении y. Такое движение можно описать с помощью кинематических переменных y, a _y , v _y , v _0y и t.И если ускорение в направлении y постоянно, эти переменные связаны уравнениями кинематики, как написано в правом столбце Таблицы 3.1. Как и их аналоги в направлении x, скалярные компоненты y, a _y , v _y и v _0y могут быть положительными (+) или отрицательными (-) числами (с единицами измерения).

Если оба двигателя космического корабля работают одновременно, результирующее движение происходит частично по оси x и частично по оси y, как показано на рисунке 3.5. Тяга каждого двигателя придает автомобилю соответствующую составляющую ускорения. Двигатель x ускоряет корабль в направлении x и вызывает изменение x-компоненты скорости. Точно так же y-двигатель вызывает изменение y-компоненты скорости. Важно понимать, что x-часть движения происходит точно так же, как если бы y-часть не происходила вообще. Аналогично, y-часть движения происходит точно так же, как если бы x-часть движения не существовала. Другими словами, движения по осям x и y не зависят друг от друга.

ОБЗОР КОНЦЕПЦИИ Независимость движений по осям x и y лежит в основе двумерной кинематики. Это позволяет нам рассматривать двумерное движение как два отдельных одномерных движения, одно для направления x, а другое — для направления y. Как показано на диаграмме «Обзор концепций» на рис. 3.6, все, что мы узнали в главе 2 о кинематике в одном измерении, теперь будет применяться отдельно к каждому из двух направлений. Поступая таким образом, мы сможем описать переменные x и y по отдельности, а затем объединить эти описания, чтобы понять двумерную картину.В примере 4 этот подход применяется к движущемуся космическому кораблю.

Следующая стратегия рассуждений дает обзор того, как уравнения кинематики применяются для описания движения в двух измерениях, например, в примере 1.

Формула кинематических уравнений

Кинематика — это исследование движущихся объектов и их взаимосвязей. Есть четыре (4) кинематических уравнения, которые относятся к смещению D, скорости v, времени t и ускорению a.

a) D = v _i t + 1/2 при ² b) (v _i + v _f ) / 2 = D / t

c) a = (v _f — v _i ) / t d) v _f ² = v _i ² + 2aD

D = смещение

a = ускорение

t = время

v _f = конечная скорость

v _i = начальная скорость

Формула кинематических уравнений.

1) Боб едет на велосипеде в магазин со скоростью 4 м / с, когда перед ним выбегает кошка. Он быстро тормозит до полной остановки, с ускорением — 2м / с ² . Какое у него перемещение?

Ответ: Поскольку Боб остановлен, конечная скорость v _f = 0. Его начальная скорость v _i = 4 м / с. Ускорение, a = -2 м / с ² . Время не указано, поэтому используйте уравнение (d) для смещения D, потому что оно не зависит от времени.

v _f ² = v _i ² + 2aD

(0) ² = (4 м / с) ² +2 (- 2 м / с ² ) D

0 = 16 м ² / с ² + (- 4 м / с ² ) D

-16 м ² / с ² = (- 4 м / с ² ) D

16 м ² / с ² = 4 м / с ² ) D

(16 м ² / с ² ) / (4 м / с ² ) = D

Водоизмещение полное 4 м.

2) Вы путешествуете с постоянной скоростью 11 м / с в течение 5 минут. Как далеко ты проехал?

Ответ: При постоянной скорости v _i = v _f = 11 м / с. Время t = 5 мин или t = (60 сек / мин x 5 мин) = 300 сек. Теперь используйте уравнение (b), чтобы найти смещение D.

(v _i + v _f ) / 2 = D / t

D = [(v _i + v _f ) / 2] t

D = [(11 м / с + 11 м / с) / 2] x 300 с

D = (22 м / с) / 2 x 300 с

D = 11 м / с x 300 с

D = 3 300 м. Водоизмещение полное 3 300 м.

3) Каково ускорение автомобиля, который разгоняется с 11 до 40 м / с за 10 секунд?

Ответ: V _i = 11 м / с. V _f = 40 м / с. Время, t = 10 с. Используйте кинематическое уравнение c), чтобы найти ускорение.

a = (v _f — v _i ) / t

a = (40 м / с — 11 м / с) / 10 с

a = (29 м / с) / 10 с = 2,9 м / с ²

4) Если автомобиль разгоняется на 3.0 м / с ² от полной остановки, сколько времени потребуется, чтобы проехать 3000 м?

Ответ: Ускорение a = 2,9 м / с ² и перемещение D = 3000 м. Автомобиль был неподвижен, поэтому v _i = 0. Используйте уравнение a), чтобы найти время.

D = v _i t + 1/2 при ²

3000 м = 0т + 1/2 (3,0 м / с ² ) т ²

3000 м = 1/2 (3,0 м / с ² ) / т ²

3000 м / 1.5 м / с ² = t ²

2000 с ² = t ²

t = 44,72 сек

Honors Physics: Kinematic Equations

Разработка набора инструментов

Графики движения, такие как графики положения-времени, скорости-времени и ускорения-времени, являются прекрасным инструментом для понимания движения. Однако бывают случаи, когда графическое отображение движения может быть не самым эффективным или действенным способом понимания движения объекта.Чтобы помочь в этих ситуациях, вы можете добавить набор уравнений для решения проблем в свой набор инструментов физики, известный как кинематические уравнения. Эти уравнения могут помочь вам найти ключевые переменные, описывающие движение объекта при постоянном ускорении. Как только вы узнаете значения любых трех переменных, вы можете использовать кинематические уравнения для решения двух других!

Стратегия решения проблем

При использовании этих уравнений для решения задач движения важно позаботиться о настройке анализа, прежде чем приступать к поиску решения.Ключевые шаги для решения кинематических задач включают:

1. Маркировка вашего анализа для горизонтального (ось x) или вертикального (ось y) движения.
2. Выбор и указание положительного направления (обычно направления начального движения).
3. Создание таблицы анализа движения (v ₀ , v, Δx, a, t). Обратите внимание, что Δx — это изменение положения или смещения, и его можно переписать как x-x ₀ .
4. Используйте то, что вы знаете о проблеме, для заполнения ваших «данностей» в таблице.
5. Как только вы определите три элемента в таблице, используйте кинематические уравнения, чтобы найти все неизвестные.
6. Убедитесь, что ваше решение имеет смысл.

Взгляните на пример задачи, чтобы увидеть, как можно использовать эту стратегию.

Примеры задач

Эти уравнения и шаги по решению проблем применимы как к задачам горизонтального, так и вертикального движения. Давайте попробуем их:

Эта стратегия решения задач и кинематические уравнения работают также и для задач вертикального движения:

В некоторых случаях у вас может не получиться решить напрямую для «найденного» количества.В этих случаях вы можете сначала найти другую неизвестную переменную, а затем выбрать уравнение, которое даст вам окончательный ответ:

Вопрос: Космонавт роняет молот с высоты 2 метра над поверхностью Луны. Если ускорение свободного падения на Луне составляет 1,62 метра в секунду ² , сколько времени потребуется, чтобы молот упал на поверхность Луны?

Ответ:

10.2 кинематика вращательного движения — College Physics

Просто используя нашу интуицию, мы можем начать видеть, как вращательные величины, такие как θθ размер 12 {θ} {}, ωω размер 12 {ω} {} и αα размер 12 {α} {} связаны друг с другом. Например, если колесо мотоцикла имеет большое угловое ускорение в течение довольно длительного времени, оно быстро вращается и совершает много оборотов. С технической точки зрения, если угловое ускорение колеса αα размер 12 {α} {} велико в течение длительного периода времени tt size 12 {α} {}, то конечная угловая скорость ωω размером 12 {ω} {} и угол вращения θθ размер 12 {θ} {} большие.Вращательное движение колеса в точности аналогично тому, что большое поступательное ускорение мотоцикла создает большую конечную скорость, и пройденное расстояние также будет большим.

Кинематика — это описание движения. Кинематика вращательного движения описывает отношения между углом вращения, угловой скоростью, угловым ускорением и временем. Начнем с поиска уравнения, связывающего размер ωω 12 {ω} {}, размер αα 12 {α} {} и размер tt 12 {t} {}. Чтобы определить это уравнение, вспомним знакомое кинематическое уравнение поступательного или прямолинейного движения:

v = v0 + at (константа a) v = v0 + at (постоянная a) размер 12 {v = v rSub {size 8 {0}} + ital «at» «» \ [«constant» a \]} {}

10.17

Обратите внимание, что во вращательном движении a = ata = при размере 12 {a = a rSub {size 8 {t}}} {}, и мы будем использовать символ aa размером 12 {a} {} для тангенциального или линейного ускорения впредь. Как и в линейной кинематике, мы предполагаем, что размер 12 {a} {} является постоянным, что означает, что угловое ускорение αα размер 12 {α} {} также является постоянным, поскольку a = rαa = rα размер 12 {a = rα} { }. Теперь давайте подставим v = rωv = rω size 12 {v = rω} {} и a = rαa = rα size 12 {a = rα} {} в приведенное выше линейное уравнение:

rω = rω0 + rαt.rω = rω0 + rαt.размер 12 {rω = rω rSub {size 8 {0}} + rαt} {}

10,18

Радиус rr размер 12 {r} {} сокращается в уравнении, давая

ω = ω0 + αt (постоянная α), ω = ω0 + αt (постоянная α),

10,19

где ω0ω0 размер 12 {ω rSub {size 8 {0}}} {} — начальная угловая скорость. Это последнее уравнение представляет собой кинематическое соотношение между размером ωω 12 {ω} {}, размером αα 12 {α} {} и размером 12 {t} {}, то есть оно описывает их соотношение без ссылки на силы или массы, которые могут повлиять на вращение.Он также точно аналогичен по форме своему трансляционному аналогу.

Выполнение подключений

Кинематика вращательного движения полностью аналогична поступательной кинематике, впервые представленной в «Одномерной кинематике». Кинематика занимается описанием движения без учета силы или массы. Мы обнаружим, что поступательные кинематические величины, такие как смещение, скорость и ускорение, имеют прямые аналоги во вращательном движении.

Исходя из четырех кинематических уравнений, которые мы разработали в Одномерной кинематике, мы можем вывести следующие четыре кинематических уравнения вращения (представленные вместе с их трансляционными аналогами):

Таблица 10.2 Уравнения кинематики вращения

В этих уравнениях нижний индекс 0 обозначает начальные значения ( _{θ0θ0 размер 12 {θ rSub {размер 8 {0}}} {}} , x0x0 размер 12 {x rSub {размер 8 {0}}} {}, и t0t0 size 12 {t rSub {size 8 {0}}} {} — начальные значения), а средняя угловая скорость ω-ω- размер 12 {{bar {ω}}} {} и средняя скорость vv — размер 12 {{bar {v}}} {} определяется следующим образом:

ω¯ = ω0 + ω2 и v¯ = v0 + v2.ω¯ = ω0 + ω2 и v¯ = v0 + v2. размер 12 {{overline {ω}} = {{ω rSub {size 8 {0}} + ω} больше {2}} «и» {overline {v}} = {{v rSub {size 8 {0}}) + v} над {2}} «» \ («constant» α, a \)} {}

10.20

Уравнения, приведенные выше в таблице 10.2, могут использоваться для решения любой задачи вращательной или поступательной кинематики, в которой размер 12 {a} {} и размер 12 {α} {} постоянны.

Стратегия решения проблем для вращательной кинематики

1. Изучите ситуацию, чтобы определить, задействована ли кинематика вращения (вращательное движение) . Должно быть задействовано вращение, но без учета сил или масс, влияющих на движение.
2. Определите, что именно необходимо определить в проблеме (определите неизвестные) .Набросок ситуации полезен.
3. Составьте список того, что дано или может быть выведено из проблемы, как указано (укажите известные) .
4. Решите соответствующее уравнение или уравнения для определяемой величины (неизвестное значение) . Может быть полезно думать в терминах трансляционного аналога, потому что теперь вы знакомы с таким движением.
5. Подставьте известные значения вместе с их единицами измерения в соответствующее уравнение и получите численные решения вместе с единицами измерения .Обязательно используйте радианы для углов.
6. Проверьте свой ответ, чтобы увидеть, разумен ли он: Имеет ли смысл ваш ответ ?

Пример 10.3

Расчет ускорения рыболовной катушки

Глубоководный рыбак ловит большую рыбу, которая отплывает от лодки, выдергивая леску из своей рыболовной катушки. Вся система изначально находится в состоянии покоя, и леска разматывается с катушки в радиусе 4.50 см от оси вращения. Катушка получает угловое ускорение 110рад / с 2110рад / с2 для размера 12 {«110» «рад / с» rSup {размер 8 {2}}} {} в течение 2,00 с, как показано на рисунке 10.8.

(а) Какова конечная угловая скорость мотовила?

(b) С какой скоростью леска покидает катушку по истечении 2,00 с?

(c) Сколько оборотов делает катушка?

(d) Сколько метров лески сошло с катушки за это время?

Стратегия

В каждой части этого примера стратегия такая же, как и для решения задач линейной кинематики.В частности, идентифицируются известные значения и затем ищется взаимосвязь, которая может использоваться для определения неизвестного.

Решение для (a)

Здесь даны размер αα 12 {α} {} и размер tt 12 {α} {}, а размер ωω 12 {ω} {} необходимо определить. Самым простым уравнением для использования является ω = ω0 + αtω = ω0 + αt size 12 {ω = ω rSub {size 8 {0}} + αt} {}, потому что неизвестное уже находится на одной стороне, а все остальные члены известны. Это уравнение утверждает, что

ω = ω0 + αt.ω = ω0 + αt. размер 12 {ω = ω rSub {размер 8 {0}} + αt «.»} {}

10,21

Нам также дано, что ω0 = 0ω0 = 0 размер 12 {ω rSub {size 8 {0}} = 0} {} (начинается с состояния покоя), так что

ω = 0 + 110 рад / с 22,00 с = 220рад / с. ω = 0 + 110 рад / с 22,00 с = 220рад / с. размер 12 {ω = 0 + слева («110» «рад / с» rSup {размер 8 {2}} справа) слева (2 «.» «00» «s» справа) = «220 рад / с.»} {}

10.22

Раствор по (б)

Теперь, когда известен размер ωω 12 {ω} {}, скорость vv размера 12 {v} {} проще всего найти с помощью соотношения

v = rω, v = rω, размер 12 {v = rω «,»} {}

10.23

, где радиус rr размера 12 {α} {} рулона задан равным 4,50 см; таким образом,

v = 0,0450 м220 рад / с = 9,90 м / с. v = 0,0450 м220 рад / с = 9,90 м / с. размер 12 {v = left (0 «.» «0450» «m» right) left («220» «rad / s» right) = 9 «.» «90» «м / с.»} {}

10.24

Заметим еще раз, что радианы всегда должны использоваться в любых вычислениях, касающихся линейных и угловых величин. Кроме того, поскольку радианы безразмерны, мы имеем m × rad = мм × rad = m размер 12 {m умножить на «rad» = m} {}.

Решение для (c)

Здесь нам предлагается найти количество оборотов.Поскольку 1 оборот = 2π рад1 оборот = 2π рад размер 12 {1 «оборот» = 2π «рад»} {}, мы можем найти количество оборотов, найдя θθ размер 12 {θ} {} в радианах. Нам дан размер αα 12 {α} {} и размер tt 12 {t} {}, и мы знаем, что размер ω0ω0 12 {ω rSub {размер 8 {{} rSub {размер 6 {0}}}}} {} равен ноль, так что θθ размер 12 {θ} {} может быть получен с использованием θ = ω0t + 12αt2θ = ω0t + 12αt2 size 12 {θ = ω rSub {size 8 {0}} t + {{1} over {2}} αt rSup {размер 8 {2}}} {}.

θ = ω0t + 12αt2 = 0 + 0,500110 рад / с 22,00 с2 = 220 рад. Θ = ω0t + 12αt2 = 0 + 0,500110 рад / с 22.00 s2 = 220 rad.alignl {stack {
размер 12 {θ = ω rSub {размер 8 {0}} t + {{1} больше {2}} αt rSup {размер 8 {2}}} {} #
«» = 0 + left (0 «.» «500» right) left («110» «rad / s» rSup {size 8 {2}} right) left (2 «.» «00» «s» right) rSup {size 8 {2}} = «220» «рад» {}
}} {}

10,25

Преобразование радиан в число оборотов дает

θ = 220 рад1 об2π рад = 35,0 об. θ = 220 рад1 об2π рад = 35,0 об. размер 12 {θ = влево («220»  «рад» вправо) {{1 «об.»} больше {2π «рад»}} = «35» «.» 0 «rev.»} {}

10.26

Решение для (d)

Количество метров лески xx размера 12 {x} {}, которое может быть получено через соотношение с размером θθ 12 {θ} {}:

x = rθ = 0,0450 м220 рад = 9,90 м. x = rθ = 0,0450 м220 рад = 9,90 м. размер 12 {x = rθ = left (0 «.» «0450» «m» right) left («220» «rad» right) = 9 «.» «90» «м»} {}

10,27

Обсуждение

Этот пример показывает, что отношения между вращательными величинами очень похожи на отношения между линейными величинами.Мы также видим в этом примере, как связаны линейные и вращательные величины. Ответы на вопросы реалистичны. После раскручивания в течение двух секунд катушка вращается со скоростью 220 рад / с, что составляет 2100 об / мин. (Неудивительно, что барабаны иногда издают высокие звуки.) Длина разыгранной лески составляет 9,90 м, что примерно соответствует тому моменту, когда клюет большая рыба.

Рисунок 10.8 Леска, сходящая с вращающейся катушки, движется линейно. В примерах 10.3 и 10.4 рассматриваются отношения между вращательными и линейными величинами, связанными с рыболовной катушкой.

Пример 10.4

Расчет продолжительности, когда рыболовная катушка замедляется и останавливается

Теперь давайте посмотрим, что произойдет, если рыбак затормозит вращающуюся катушку, получив угловое ускорение –300рад / с2–300рад / с2 размер 12 {«300» «» «рад / с» rSup {размер 8 {2} }} {}. Как долго катушка останавливается?

Стратегия

Нас просят найти время tt size 12 {α} {}, за которое барабан остановится. Начальные и конечные условия отличаются от условий в предыдущей задаче, в которой использовалась та же рыболовная катушка.Теперь мы видим, что начальная угловая скорость равна ω0 = 220 рад / сω0 = 220 рад / с размер 12 {ω rSub {size 8 {0}} = «220» «рад / с»} {}, а конечная угловая скорость ωω размер 12 {ω} {} равен нулю. Угловое ускорение задано равным α = −300рад / с2α = −300рад / с2 размер 12 {α = — «300» «рад / с» rSup {размер 8 {2}}} {}. Изучая доступные уравнения, мы видим все величины, но t известны в ω = ω0 + αt, ω = ω0 + αt, размер 12 {ω = ω rSub {size 8 {0}} + αt} {}, что упрощает использовать это уравнение.

Раствор

Уравнение утверждает

ω = ω0 + αt.ω = ω0 + αt. размер 12 {ω = ω rSub {size 8 {0}} + αt «.»} {}

10,28

Мы решаем уравнение алгебраически для t , а затем подставляем известные значения, как обычно, давая

t = ω −ω0α = 0−220 рад / с − 300рад / с2 = 0,733 st = ω − ω0α = 0−220 рад / с − 300рад / с2 = 0,733 с. размер 12 {t = {{ω — ω rSub {size 8 {0}}} больше {α}} = {{0 — «220» «рад / с»} больше {- «300» «рад / с» rSup {size 8 {2}}}} = 0 «.» «733» «s.»} {}

10.29

Обсуждение

Обратите внимание, что следует проявлять осторожность со знаками, указывающими направление различных величин.Также обратите внимание, что время остановки барабана довольно мало, потому что ускорение довольно велико. Леска иногда ломается из-за участвующих в ней ускорений, и рыбаки часто позволяют рыбе плавать некоторое время, прежде чем затормозить катушку. Уставшая рыба будет медленнее, требуя меньшего ускорения.

Пример 10,5

Расчет медленного ускорения поездов и их колес

Большие грузовые поезда очень медленно ускоряются. Предположим, что один такой поезд ускоряется из состояния покоя, давая ему 0.Колеса радиусом 350 м, угловое ускорение 0,250рад / с 20,250рад / с2 размер 12 {0 «.» «250» `» рад / с «rSup {размер 8 {2}}} {}. После того, как колеса совершат 200 оборотов (предположим, что проскальзывания нет): а) Как далеко поезд продвинулся по рельсам? б) Какова конечная угловая скорость колес и линейная скорость поезда?

Стратегия

В части (a) нас просят найти размер xx 12 {x} {}, а в (b) нас просят найти размер ωω 12 {ω} {} и размер vv 12 {v} {}. Нам даны число оборотов θθ размером 12 {θ} {}, радиус колес rr размером 12 {r} {} и угловое ускорение αα размером 12 {α} {}.

Решение для (a)

Расстояние xx размер 12 {x} {} очень легко найти из соотношения между расстоянием и углом поворота:

θ = xr.θ = xr. размер 12 {θ = {{x} over {r}}} {}

10.30

Решение этого уравнения для xx размера 12 {x} {} дает

х = rθ.x = rθ. размер 12 {x = rθ.} {}

10.31

Перед использованием этого уравнения мы должны преобразовать количество оборотов в радианы, потому что мы имеем дело с соотношением между линейными и вращательными величинами:

θ = 200об2πрад1 оборот = 1257рад.θ = 200об2πрад1 оборот = 1257рад. size 12 {θ = left («200» «rev» right) {{2π «rad»} over {«1 rev»}} = «1257» «rad»} {}

10.32

Теперь мы можем заменить известные значения в x = rθx = rθ size 12 {x = rθ} {}, чтобы найти расстояние, на которое поезд прошел по рельсам:

x = rθ = 0,350 м 1257 рад = 440 м. x = rθ = 0,350 м 1257 рад = 440 м. size 12 {x = rθ = left (0 «.» «350» `m right) left (» 1257 «» rad «right) =» 440 «» m «} {}

10,33

Решение для (b)

Мы не можем использовать какое-либо уравнение, включающее tt, для нахождения ωω, потому что уравнение будет иметь по крайней мере два неизвестных значения.Уравнение ω2 = ω02 + 2αθω2 = ω02 + 2αθ будет работать, потому что мы знаем значения для всех переменных, кроме ωω:

ω2 = ω02 + 2αθω2 = ω02 + 2αθ

10,34

Извлечь квадратный корень из этого уравнения и ввести известное значения дает

ω = 0 + 2 (0,250 рад / с2) (1257 рад) 1/2 = 25,1 рад / с. ω = 0 + 2 (0,250 рад / с2) (1257 рад) 1/2 = 25,1 рад / с .alignl {stack {
размер 12 {ω = влево [0 + 2 \ (0 «.» «250» «рад / с» rSup {размер 8 {2}} \) \ («1257» «rad» \) вправо] rSup {размер 8 {1/2}} «.» } {} #
= «25» «.» 1 рад / с {}
}} {}

10.35

Мы можем найти линейную скорость поезда, размер vv 12 {v} {}, через ее связь с размером ωω 12 {ω} {}:

v = rω = 0,350 м 25,1 рад / с = 8,77 м / с. v = rω = 0,350 м 25,1 рад / с = 8,77 м / с. размер 12 {v = rω = слева (0 «.» «350» «m» справа) слева («25». «1» рад / с «справа) = 8″. » «77» «м / с»} {}

10,36

Обсуждение

Пройденное расстояние довольно велико, а конечная скорость довольно мала (чуть менее 32 км / ч).

Существует поступательное движение даже для чего-то, вращающегося на месте, как показано в следующем примере.На рис. 10.9 изображена муха на краю вращающейся пластины микроволновой печи. В приведенном ниже примере вычисляется общее пройденное расстояние.

Рисунок 10.9 На изображении показана микроволновая пластина. Муха совершает обороты, пока еда разогревается (вместе с мухой).

Пример 10.6

Расчет расстояния, пройденного мухой на краю плиты микроволновой печи

Человек решает использовать микроволновую печь, чтобы разогреть обед. При этом муха случайно влетает в микроволновку, приземляется на внешний край вращающейся пластины и остается там.Если тарелка имеет радиус 0,15 м и вращается со скоростью 6,0 об / мин, рассчитайте общее расстояние, пройденное мухой за 2,0-минутный период приготовления. (Игнорируйте время запуска и замедления.)

Стратегия

Сначала найдите общее количество оборотов θθ, размер 12 {θ} {}, а затем пройденное линейное расстояние xx, размер 12 {x} {}. θ = ω¯tθ = ω¯t размер 12 {θ = {overline {ωt}}} {} можно использовать для определения θθ размера 12 {θ} {}, поскольку ω-ω- размер 12 {{bar {ω}} } {}
дается 6,0 об / мин.

Раствор

Ввод известных значений в θ = ω¯tθ = ω¯t size 12 {θ = {overline {ωt}}} {} дает

θ = ω-t = 6.0 об / мин 2,0 мин = 12 об. Θ = ω-t = 6,0 об / мин 2,0 мин = 12 об.

10,37

Как всегда, необходимо преобразовать обороты в радианы перед вычислением линейной величины, такой как xx, размер 12 {x} {}, из угловой величины, такой как θθ, размер 12 {θ} {}:

θ = 12 rev2π rad1 rev = 75,4 рад. Θ = 12 об. 2π рад1 об. = 75,4 рад. размер 12 {θ = left («12» «rev» right) left ({{2π «rad»} over {«1 rev»}} right) = «75» «.» 4 «рад»} {}

10,38

Теперь, используя соотношение между размером xx 12 {x} {} и размером θθ 12 {θ} {}, мы можем определить пройденное расстояние:

х = rθ = 0.15 м 75,4 рад = 11 м. X = rθ = 0,15 м 75,4 рад = 11 м. размер 12 {x = rθ = left (0 «.» «15» «m» right) left («75» «.» 4 «rad» right) = «11» «.» 3 «м»} {}

10,39

Обсуждение

Неплохая поездка (если выживет)! Обратите внимание, что это расстояние — это полное расстояние, пройденное мухой. Смещение фактически равно нулю для полных оборотов, потому что они возвращают муху в исходное положение. Различие между общим пройденным расстоянием и перемещением было впервые отмечено в «Одномерной кинематике».

Проверьте свое понимание

Кинематика вращения имеет множество полезных взаимосвязей, часто выражаемых в форме уравнений. Являются ли эти отношения законами физики или они просто описательны? (Подсказка: тот же вопрос относится к линейной кинематике.)

Решение

Кинематика вращения (как и линейная кинематика) носит описательный характер и не отражает законы природы. С помощью кинематики мы можем описать многие вещи с большой точностью, но кинематика не учитывает причины.Например, большое угловое ускорение описывает очень быстрое изменение угловой скорости без учета его причины.

Калькулятор SUVAT

«Но, сэр, — мы слышим, как вы спрашиваете, — ». Зачем мне нужно изучать все эти формулы SUVAT, если я могу просто выйти в Интернет и использовать калькулятор SUVAT? ». Затем ваш учитель, очевидно, отвечает: «Может ли этот калькулятор уравнений SUVAT научить вас , что означает SUVAT? Знает ли он все формулы SUVAT и может ли он использовать их для вычисления двух неизвестных в любой ситуации? Предоставляет ли он вам несколько вопросов по SUVAT , чтобы проверить, действительно ли вы знаете свои вещи? Можете ли вы взять их на экзамен? » Что ж, вы можете сказать своему учителю, что этот калькулятор может делать все эти вещи! (Omni Calculator не рекомендует пытаться использовать этот калькулятор на экзамене, независимо от того, насколько мало вы его редактировали.)

Что касается экзаменов, если вы являетесь учеником GCSE или A-level и хотите знать, как вы справились с прошлой работой, мы рекомендуем вам проверить наш калькулятор оценок за тест, а если вам нужно знать, сколько оценок вам нужно на выпускном экзамене, чтобы получить желаемую оценку, воспользуйтесь нашим калькулятором итоговой оценки.

Для преобразования между единицами измерения используйте встроенные конвертеры единиц рядом со входом или используйте наш конвертер длины, конвертер скорости или конвертер времени.

Это простой калькулятор кинематики, полный инструмент можно найти в калькуляторе движения снаряда.

Формулы СУВАТ — скорости

Существует пять формул SUVAT (или формул SUVAT, если вам нравится). Эти пять формул описывают все, что нужно знать о движущейся системе , если она имеет равномерное ускорение , то есть. Они обычно используются в физике, так как описывают широкий спектр систем. Если вам известна начальная скорость объекта u , конечная скорость v и время t , которое потребовалось для достижения скорости v от скорости до , вы можете найти пять SUVAT уравнения…

Выше мы, , построили график зависимости скорости от времени , используя u , v и t , которые мы обсуждали выше. Это означает, что ускорение a — это градиент проведенной прямой линии. Итак:

a = Δскорость / Δвремя .

Поскольку мы знаем и начальную, и конечную скорость, Δvelocity = v - u , и, если мы предположим, что мы начали строить график в момент времени = 0, Δtime = t . Таким образом, вы получаете

а = v - ед / т ,

, который можно переставить в

v = u + при .

Если вас интересует SUVAT, мы предполагаем, что вы сможете сделать эту перестановку самостоятельно.

Формулы SUVAT — водоизмещение

В этом калькуляторе SUVAT мы еще не упомянули смещение с . Смещение — это расстояние, которое объект преодолевает за время t относительно его исходного положения. Этот последний бит важен, поскольку смещение — это не то же самое, что расстояние; , если он попадает в точку начала, то его смещение равно нулю .На графике скорость-время, который мы построили выше, с — это область под графиком. Поскольку у нас есть линейный график, площадь под ним определяется умножением средней скорости (u + v) / 2 на затраченное время t . Записав это и упростив, получим:

s = 1 / 2 (u + v) * t

Иногда бывает полезно иметь больше уравнений для работы; никогда не знаешь, какие переменные у вас будут .Вы можете получить следующее уравнение, подставив v = u + на . Результат:

s = 1 / 2 (u + u + at) * t ,

, что упрощается до s = 1 / 2 (2ut + at 2 ) , что, в свою очередь, также может быть записано как:

s = ut + 1 / 2 at 2 .

Это было не так уж сложно, просто немного алгебры, ты, должно быть, почувствуешь себя снова тринадцатилетним.Чтобы получить другую форму, выполните те же шаги, что и предыдущий, но используйте u = v - вместо :

s = vt - 1 / 2 при 2 .

В качестве своего рода вопроса о SUVAT, мы оставим этот вопрос на ваше усмотрение — мы знаем, что для вас это не будет проблемой :

Формулы SUVAT — время пропуска

Последняя формула SUVAT требует немного более сложной перестройки, так что, возможно, вы почувствуете, что вам четырнадцать.Если мы сделаем t предметом первого выведенного нами уравнения , мы получим:

t = (v - u) / а ,

, которое, если мы подставим во второе выведенное нами уравнение , мы получим:

s = 1 / 2 (u + v) ((v - u) / a) .

Умножая обе стороны на 2a , получаем:

2as = (u + v) (v - u) ,

, который теперь требует самого сложного для освоения навыка — квадратичного расширения! Итак, после большого количества крови, пота и слез у вас должно получиться:

2as = v 2 - u 2 .

Перестановка для v 2 тогда дает вам:

v 2 = u 2 + 2as .

Вау, вы действительно мастер математики!

Итак, это все формулы SUVAT . Если вы нашли этот текст ужасно скучным и непонятным (что не исключено), мы рекомендуем вам это видео на Youtube по этой теме.

Что означает SUVAT?

Вы, вероятно, уже догадались об этом, читая этот калькулятор SUVAT до сих пор (если вы не можете догадаться, вы, возможно, просто пропустили всю эту бессвязную болтовню выше). SUVAT — это аббревиатура пяти переменных , которые описывают систему в движении с постоянным ускорением: смещение с , начальная скорость u , конечная скорость v , ускорение a и время t .

Порядок этих букв совершенно произвольный, так что вы можете не спать по ночам , задаваясь вопросом, почему он не называется TUAVS, SAVUT или USAVT (хотя мы думаем, что, вероятно, лучше всего, чтобы начальная и конечная скорости оставались рядом друг с другом, поэтому может лучше квадроциклы или STAUV).

Несколько простых вопросов о SUVAT

«Хорошо, хорошо, хорошо», теперь говорит ваш учитель. «Итак, вы могли найти калькулятор, который дает вам уравнение SUVAT, и да, он мог бы объяснить, что означает SUVAT, но этот не означает этого. может помочь вам решить любые вопросы! «Что ж, мы можем понять, что он может быть раздражен прямо сейчас — вы задерживали класс в течение десяти минут , пока вы загружаете эту страницу и показываете классу все ее удивительные возможности .Но больше всего его, вероятно, раздражает то, что вы закончили изучать SUVAT давным-давно, а теперь перешли на трение и нормальную силу (и что это тоже класс статистики). Но не волнуйтесь, мы подготовили несколько типовых вопросов , чтобы помочь вам максимально эффективно использовать этот калькулятор SUVAT.

1. Вы видите, как ваш учитель злится на вас. Вы решаете, что пора бежать. Из остального вам потребуется 4 секунды , чтобы добраться до двери, которая находится на расстоянии 7 м от .Как быстро вы идете, когда доберетесь до двери?
2. Вы, , останавливаетесь, когда открываете дверь и проходите через нее. Вы сейчас в коридоре. 50 м дверь, ведущая на улицу. Там ты будешь в безопасности. Вы начинаете бег с с постоянным ускорением 0,75 м / с ² . Какая у вас скорость , когда вы подходите к двери?
3. Через две секунды после того, как вы двинулись по коридору, учитель врывается в дверь, буря.Он снова запускает из покоя , и, движимый не более чем чистой ненавистью, когда вы показываете его перед всем классом, начинает ускоряться со скоростью 2 м / с ² . Он свяжется с вами , прежде чем вы сможете заявить о своей свободе?
4. А что насчет , если дверь в класс будет открыта , когда вы дойдете до него, что позволит вам сохранить скорость ? Если бы вы начали ускорение со скоростью 0,75 м / с ² с этой скорости по коридору, а учитель все равно остановился бы у двери (чтобы посмотреть, куда вы пошли), вы были бы свободны?

Ответы:

Программа кинематики в Excel