Как из отрицательной степени сделать положительную

Прежде чем перейти к изучению определения «отрицательная степень» рекомендуем повторно прочитать урок «Степень» и «Свойства степеней».

Необходимо уверенно понимать, что такое положительная степень числа и уверенно использовать её свойства в решении примеров.

Как возвести число в отрицательную степень

Чтобы возвести число в отрицательную степень нужно:

• «перевернуть» число. Записать его в виде дроби с единицой наверху (в числителе) и с исходным числом в степени внизу;
• заменить отрицательную степень на положительную ;
• возвести число в положительную степень.

Общая формула возведения в отрицательную степень выглядит следующим образом.

a −n =

,где a ≠ 0, n ∈ z ( n принадлежит целым числам).

Примеры возведения в отрицательную степень.

• 6 −2 =

  =

• (−3) −3 =

  =

  = −

• 0,2 −2 =

  =

Любое число в нулевой степени — единица.

Примеры возведения в нулевую степень.

Как найти

10 в минус 1 степени

В уроке 8 класса «Стандартный вид числа» мы уже сталкивались с записью:

Теперь, зная определение отрицательной степени, давайте разберемся, почему « 10 » в минус первой степени равно « 0,1 ».

Возведем « 10 −1 » по правилам отрицательной степени. Перевернем « 10 » и запишем её в виде дроби «

» и заменим отрицательную степень « −1 » на
положительную степень « 1 ».

10 −1 =

Возведем « 10 » в « 1 » степень. Помним, что любое число в первой степени равно самому числу.

10 −1 =

=

Теперь по определению десятичной дроби запишем обыкновенную дробь в виде десятичной.

10 −1 =

=

= 0,1

По такому же принципу можно найти « 10 » в минус второй, третьей и т.д.

Для упрощения перевода « 10 » в минус первую, вторую и т.д степени, нужно запомнить правило:
«Количество нулей после запятой равно положительному значению степени минус один ».

Проверим правило выше для « 10 −2 ».

Т.к. у нас степень « −2 », значит, будет всего один ноль (положительное значение степени « 2 − 1 = 1 ». Сразу после запятой ставим один ноль и за ним « 1 ».

Рассмотрим « 10 −1 ».

Т.к. у нас степень « −1 », значит, нулей после запятой не будет (положительное значение степени « 1 − 1 = 0 ». Сразу после запятой ставим « 1 ».

То же самое правило работает и для « 10 −12 ». При переводе в десятичную дробь будет « 12 − 1 = 11 » нулей и « 1 » в конце.

Как возвести в отрицательную степень дробь

Чтобы возвести дробь в отрицательную степень нужно:

• «перевернуть» дробь;
• заменить отрицательную степень на положительную ;
• возвести дробь в положительную степень.

Пример. Требуется возвести в отрицательную степень дробь.

(

) −3 =
Перевернем дробь «

» и заменим отрицательную степень « −3 » на положительную « 3 ».
(

) −3 = (

) 3

Возведем дробь в положительную степень по правилу возведения дроби в положительную степень. Т.е. возведем и числитель « 3 », и знаменатель « 10 » в третью степень.

(

) −3 = (

) 3 =

=

Для более грамотного ответа запишем полученный результат в виде десятичной дроби.

(

) −3 = (

) 3 =

=

= 0,027

Как возвести отрицательное число в отрицательную степень

Как и при возведении отрицательного числа в положительную степень, в первую очередь необходимо определить конечный знак результата возведения в степень. Вспомним основные правила еще раз.

Отрицательное число, возведённое в чётную степень, — число положительное .

Отрицательное число, возведённое в нечётную степень, — число отрицательное .

Перевернем число « −5 » и заменим отрицательную степень « −2 »
на положительную « 2 ».

(−5) −2 = (−

) 2 =

Так как степень « 2 » — четная , значит, результат возведения в степень будет положительный . Поэтому убираем знак минуса при раскрытии скобок.

Далее откроем скобки и возведем во вторую степень и числитель « 1 »,
и знаменатель « 5 ».

(−5) −2 = (−

) 2 =

=

Как возвести отрицательную дробь в отрицательную степень

Конечный знак результата возведения в степень отрицательной дроби определяется по тем же правилам, что и для целого отрицательного числа.

Отрицательная дробь, возведённая в чётную степень, — дробь положительная .

Отрицательная дробь, возведённая в нечётную степень, — дробь отрицательная .

Разберемся на примере. Задание: возвести отрицательную дробь « (−

) » в « −3 » степень.

По правилу возведения дроби в отрицательную степень перевернем дробь и заменим отрицательную степень « −3 » на положительную « 3 ».

(−

) −3 = (−

) 3 =

Теперь определим конечный знак результата возведения в « 3 » степень.

Степень « 3 » — нечетная , значит, по правилу возведения отрицательного числа в степень дробь останется отрицательной .

Нам остается только раскрыть скобки и возвести в степень и числитель « 3 », и знаменатель « 2 » в третью степень.

(−

) −3 = (−

) 3 = −

= −

Для окончательного ответа выделим целую часть из дроби.

(−

) −3 = (−

) 3 = −

= −

= − 3

Рассмотрим другой пример возведения отрицательной дроби в отрицательную степень.

Правило возведения отрицательного числа в степень гласит: если степень четная , значит, результат возведения будет положительным .

(−

) −2 = (−

) 2 =

=

= 1

Свойства отрицательной степени

Все свойства степени, которые используются для положительной степени, точно также применяются и для отрицательной степени.

В этом уроке мы не будем повторно подробно разбирать каждое свойство степени, но еще раз приведем основные формулы свойств степени и покажем примеры их использования.

Запомните!

• a m · a n = a m + n

• = a m − n

• (a n ) m = a n · m
• (a · b) n = a n · b n

Примеры решений заданий с отрицательной

степенью

Колягин 9 класс.

Задание № 1

Представить в виде степени.

2) a 6 · b 6 = (ab) 6

Колягин 9 класс. Задание № 5

Записать в виде степени с отрицательным числом.

Что такое степень с отрицательным показателем (отрицательная степень)? Как выполнить возведение числа в отрицательную степень? Как возвести в отрицательную степень дробь?

В частности, число в степени минус один — это число, обратное данному:

Если n — целое число, то речь идет о степени с целым отрицательным показателем и равенство верно для любого a, отличного от нуля (т.е. при a≠0).

Если n — дробное число, то речь идет о степени с рациональным показателем:

(m — целое число, n — натуральное число). Степень с дробным показателем определена только для положительных a (a>0).

Дробь в степени с отрицательным показателем равна обратному этой дроби числу в степени с показателем, противоположным данному:

Другими словами, чтобы возвести дробь в отрицательную степень, надо эту дробь «перевернуть»(числитель и знаменатель поменять местами) и изменить знак в показателе степени.

Дробь в минус первой степени — это «перевернутая» дробь.

Рассмотрим примеры возведения чисел в степень с отрицательным показателем.

Для ускорения вычислений используем таблицу степеней.

Чтобы возвести в отрицательную степень смешанное число, надо сначала перевести его в неправильную дробь:

Возведем числа в степень с дробным отрицательным показателем:

При возведении в отрицательную степень десятичной дроби можно сначала перевести ее в обыкновенную и, если возможно, сократить:

Если в показателе степени стоит десятичная дробь, нужно перевести ее в обыкновенную:

Возведение в степень с отрицательным показателем в алгебре встречается достаточно часто, поэтому важно вовремя усвоить эту тему.

13 комментариев

Спасибо! врубился) жаль, что в школе не учился(

Что ж, учиться никогда не поздно). Но всё же лучше вовремя.

Забавно, что за время работы встречал множество коллег, кому приходилось на внутренних курсах разжёвывать какие вещи начального уровня и все сокрушались: «Что же я в школе-то (институте) не учил это? Это же так просто, понятно, полезно и ИНТЕРЕСНО. »

А вся проблема в том, что ни в школе, ни в институте перед тем, как что-то начать рассказывать не проводят красочные, завлекательные, познавательные, весёлые и игровые презентации будущего курса, чтобы было понятно, а где же то, что будем скоро изучать, применяется в жизни? Каким профессиям и в каких житейских ситуациях это может быть полезно?

Учат каким-то абстрактным формулам вместо того, чтобы рассказать, что это пригодится на кухне, при разделе земли, при строительстве сарая на даче, при стрельбе из пушки, при запуске спутника и т. д.

При разбавлении спирта водой, в конце концов! :))

Ведь часто женщины встают в ступор от элементарной задачи:

В рецепте указано «1 ст. ложка 3 %-го уксуса», а у неё на кухне только 9 % или («О, БОЖЕ! Крах! Провал!») вообще уксусная эссенция! А по сути та же кислота, но в концентрации 70 %…

Возведение в отрицательную степень – один из основных элементов математики, который часто встречается при решении алгебраических задач. Ниже приведена подробная инструкция.

Как возводить в отрицательную степень – теория

Когда мы число в обычную степень, мы умножаем его значение несколько раз. Например, 3 3 = 3×3×3 = 27. С отрицательной дробью все наоборот. Общий вид по формуле будет иметь следующий вид: a -n = 1/a n . Таким образом, чтобы возвести число в отрицательную степень, нужно единицу поделить на данное число, но уже в положительной степени.

Как возводить в отрицательную степень – примеры на обычных числах

Держа вышеприведенное правило на уме, решим несколько примеров.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Ответ: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Ответ -4 -2 = 1/16.

Но почему ответ в первом и втором примерах одинаковый? Дело в том, что при возведении отрицательного числа в четную степень (2, 4, 6 и т.д.), знак становится положительным. Если бы степень была четной, то минус сохранился:

Как возводить в отрицательную степень – числа от 0 до 1

Вспомним, что при возведении числа в промежутке от 0 до 1 в положительную степень, значение уменьшается с возрастанием степени. Так например, 0,5 2 = 0,25. 0,25 1/1/4 = 4

Пример 4: Вычислить 0,5 -3
Решение: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Пример 5: Вычислить -0,5 -3
Решение: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Ответ: -0,5 -3 = -8

Исходя из 4-го и 5-ого примеров, сделаем несколько выводов:

• Для положительного числа в промежутке от 0 до 1 (пример 4), возводимого в отрицательную степень, четность или нечетность степени не важна, значение выражения будет положительным. При этом, чем больше степень, тем больше значение.
• Для отрицательного числа в промежутке от 0 до 1 (пример 5), возводимого в отрицательную степень, четность или нечетность степени неважна, значение выражения будет отрицательным. При этом, чем больше степень, тем меньше значение.

Как возводить в отрицательную степень – степень в виде дробного числа

Выражения данного типа имеют следующий вид: a -m/n , где a – обычное число, m – числитель степени, n – знаменатель степени.

Рассмотрим пример:
Вычислить: 8 -1/3

Решение (последовательность действий):

• Вспоминаем правило возведения числа в отрицательную степень. Получим: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3 .
• Заметьте, в знаменателе число 8 в дробной степени. Общий вид вычисления дробной степени таков: a m/n = n √8 m .
• Таким образом, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Получаем кубический корень из восьми, который равен 2. Исходя отсюда, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Ответ: 8 -1/3 = 2

Мы разобрались, что вообще из себя представляет степень числа. Теперь нам надо понять, как правильно выполнять ее вычисление, т.е. возводить числа в степень. В этом материале мы разберем основные правила вычисления степени в случае целого, натурального, дробного, рационального и иррационального показателя. Все определения будут проиллюстрированы примерами.

Понятие возведения в степень

Начнем с формулирования базовых определений.

Возведение в степень – это вычисление значения степени некоторого числа.

То есть слова «вычисление значение степени» и «возведение в степень» означают одно и то же. Так, если в задаче стоит «Возведите число 0 , 5 в пятую степень», это следует понимать как «вычислите значение степени (0 , 5) 5 .

Теперь приведем основные правила, которым нужно придерживаться при таких вычислениях.

Вспомним, что такое степень числа с натуральным показателем. Для степени с основанием a и показателем n это будет произведение n -ного числа множителей, каждый из которых равен a . Это можно записать так:

Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.

Условие: возведите – 2 в степень 4 .

Используя определение выше, запишем: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . Далее нам нужно просто выполнить указанные действия и получить 16 .

Возьмем пример посложнее.

Вычислите значение 3 2 7 2

Данную запись можно переписать в виде 3 2 7 · 3 2 7 . Ранее мы рассматривали, как правильно умножать смешанные числа, упомянутые в условии.

Выполним эти действия и получим ответ: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Если в задаче указана необходимость возводить иррациональные числа в натуральную степень, нам потребуется предварительно округлить их основания до разряда, который позволит нам получить ответ нужной точности. Разберем пример.

Выполните возведение в квадрат числа π .

Для начала округлим его до сотых. Тогда π 2 ≈ (3 , 14) 2 = 9 , 8596 . Если же π ≈ 3 . 14159 , то мы получим более точный результат: π 2 ≈ (3 , 14159) 2 = 9 , 8695877281 .

Отметим, что необходимость высчитывать степени иррациональных чисел на практике возникает сравнительно редко. Мы можем тогда записать ответ в виде самой степени (ln 6) 3 или преобразовать, если это возможно: 5 7 = 125 5 .

Отдельно следует указать, что такое первая степень числа. Тут можно просто запомнить, что любое число, возведенное в первую степень, останется самим собой:

Это понятно из записи .

От основания степени это не зависит.

Так, (− 9) 1 = − 9 , а 7 3 , возведенное в первую степень, останется равно 7 3 .

Для удобства разберем отдельно три случая: если показатель степени – целое положительное число, если это ноль и если это целое отрицательное число.

В первое случае это то же самое, что и возведение в натуральную степень: ведь целые положительные числа принадлежат ко множеству натуральных. О том, как работать с такими степенями, мы уже рассказали выше.

Теперь посмотрим, как правильно возводить в нулевую степень. При основании, которое отличается от нуля, это вычисление всегда дает на выходе 1 . Ранее мы уже поясняли, что 0 -я степень a может быть определена для любого действительного числа, не равного 0 , и a 0 = 1 .

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 – не определен.

У нас остался только случай степени с целым отрицательным показателем. Мы уже разбирали, что такие степени можно записать в виде дроби 1 a z , где а – любое число, а z – целый отрицательный показатель. Мы видим, что знаменатель этой дроби есть не что иное, как обыкновенная степень с целым положительным показателем, а ее вычислять мы уже научились. Приведем примеры задач.

Возведите 3 в степень – 2 .

Используя определение выше, запишем: 2 – 3 = 1 2 3

Подсчитаем знаменатель этой дроби и получим 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8 .

Тогда ответ таков: 2 – 3 = 1 2 3 = 1 8

Возведите 1 , 43 в степень – 2 .

Переформулируем: 1 , 43 – 2 = 1 (1 , 43) 2

Вычисляем квадрат в знаменателе: 1,43·1,43. Десятичные дроби можно умножить таким способом:

В итоге у нас вышло (1 , 43) – 2 = 1 (1 , 43) 2 = 1 2 , 0449 . Этот результат нам осталось записать в виде обыкновенной дроби, для чего необходимо умножить ее на 10 тысяч (см. материал о преобразовании дробей).

Ответ: (1 , 43) – 2 = 10000 20449

Отдельный случай – возведение числа в минус первую степень. Значение такой степени равно числу, обратному исходному значению основания: a – 1 = 1 a 1 = 1 a .

Пример: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 – 1 = 13 9 6 4 – 1 = 1 6 4 .

Как возвести число в дробную степень

Для выполнения такой операции нам потребуется вспомнить базовое определение степени с дробным показателем: a m n = a m n при любом положительном a , целом m и натуральном n .

Таким образом, вычисление дробной степени нужно выполнять в два действия: возведение в целую степень и нахождение корня n -ной степени.

У нас есть равенство a m n = a m n , которое, учитывая свойства корней, обычно применяется для решения задач в виде a m n = a n m . Это значит, что если мы возводим число a в дробную степень m / n , то сначала мы извлекаем корень n -ной степени из а, потом возводим результат в степень с целым показателем m .

Проиллюстрируем на примере.

Вычислите 8 – 2 3 .

Способ 1. Согласно основному определению, мы можем представить это в виде: 8 – 2 3 = 8 – 2 3

Теперь подсчитаем степень под корнем и извлечем корень третьей степени из результата: 8 – 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Способ 2. Преобразуем основное равенство: 8 – 2 3 = 8 – 2 3 = 8 3 – 2

После этого извлечем корень 8 3 – 2 = 2 3 3 – 2 = 2 – 2 и результат возведем в квадрат: 2 – 2 = 1 2 2 = 1 4

Видим, что решения идентичны. Можно пользоваться любым понравившимся способом.

Бывают случаи, когда степень имеет показатель, выраженный смешанным числом или десятичной дробью. Для простоты вычислений его лучше заменить обычной дробью и считать, как указано выше.

Возведите 44 , 89 в степень 2 , 5 .

Преобразуем значение показателя в обыкновенную дробь – 44 , 89 2 , 5 = 49 , 89 5 2 .

А теперь выполняем по порядку все действия, указанные выше: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501 , 25107

Ответ: 13 501 , 25107 .

Если в числителе и знаменателе дробного показателя степени стоят большие числа, то вычисление таких степеней с рациональными показателями – довольно сложная работа. Для нее обычно требуется вычислительная техника. s=frac$.

Сложение, вычитание, умножение, и деление степеней

Сложение и вычитание степеней

Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками.

Так, сумма a³ и b² есть a³ + b².

Сумма a³ — bⁿ и h⁵ -d⁴ есть a³ — bⁿ + h⁵ — d⁴.

Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.

Так, сумма 2a² и 3a² равна 5a².

Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.

Но степени различных переменных и различные степени одинаковых переменных, должны слагаться их сложением с их знаками.

Так, сумма a² и a³ есть сумма a² + a³.

Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.

Сумма a³bⁿ и 3a⁵b⁶ есть a³bⁿ + 3a⁵b⁶.

Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.

Или:
2a⁴ — (-6a⁴) = 8a⁴
3h²b⁶ — 4h²b⁶ = -h²b⁶
5(a — h)⁶ — 2(a — h)⁶ = 3(a — h)⁶

Умножение степеней

Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.

Так, результат умножения a³ на b² равен a³b² или aaabb.

Или:
x^-3 ⋅ a^m = a^mx^-3
3a⁶y² ⋅ (-2x) = -6a⁶xy²
a²b³y² ⋅ a³b²y = a²b³y²a³b²y

Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.

Выражение примет вид: a⁵b⁵y³.

Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат — это число (переменная) со степенью, равной сумме степеней слагаемых.

Так, a².a³ = aa.aaa = aaaaa = a⁵.

Здесь 5 — это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.

Так, aⁿ.a^m = a^m+n.

Для aⁿ, a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;

И a^m, берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;

Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.

Так, a².a⁶ = a²⁺⁶ = a⁸. И x³.x².x = x³⁺²⁺¹ = x⁶.

Или:
4aⁿ ⋅ 2aⁿ = 8a²ⁿ
b²y³ ⋅ b⁴y = b⁶y⁴
(b + h — y)ⁿ ⋅ (b + h — y) = (b + h — y)ⁿ⁺¹

Умножьте (x³ + x²y + xy² + y³) ⋅ (x — y).
Ответ: x⁴ — y⁴.

Умножьте (x³ + x — 5) ⋅ (2x³ + x + 1).

Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых — отрицательные.

1. Так, a^-2.a^-3 = a^-5. Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y^-n.y^-m = y^-n-m.

3. a^-n.a^m = a^m-n.

Если a + b умножаются на a — b, результат будет равен a² — b²: то есть

Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.

Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат, результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой степени.

Так, (a — y).(a + y) = a² — y².

(a² — y²)⋅(a² + y²) = a⁴ — y⁴.

(a⁴ — y⁴)⋅(a⁴ + y⁴) = a⁸ — y⁸. 5}$. Ответ: $\frac{2x}{1}$ или 2x.

3. Уменьшите показатели степеней a²/a³ и a^-3/a^-4 и приведите к общему знаменателю.

a².a^-4 есть a^-2 первый числитель.

a³.a^-3 есть a⁰ = 1, второй числитель.

a³.a^-4 есть a^-1, общий числитель.

После упрощения: a^-2/a^-1 и 1/a^-1.

4. Уменьшите показатели степеней 2a⁴/5a³ и ²/a⁴ и приведите к общему знаменателю.

Ответ: 2a³/5a⁷ и 5a⁵/5a⁷ или 2a³/5a² и 5/5a².

5. Умножьте (a³ + b)/b⁴ на (a — b)/3.

6. Умножьте (a⁵ + 1)/x² на (b² — 1)/(x + a).

7. Умножьте b⁴/a^-2 на h^-3/x и aⁿ/y^-3.

8. Разделите a⁴/y³ на a³/y². Ответ: a/y.

9. Разделите (h³ — 1)/d⁴ на (dⁿ + 1)/h.

Определение степени с целым отрицательным показателем

В курсе математики 7 класса вы научились
вычислять значение степени с любым натуральным показателем.

Напомним, что степенью числа а с
натуральным показателем  (),
называется выражение ,
которое равно произведению  множителей,
каждый из которых равен .

Степенью числа а с показателем единица
является само число а. А вот при возведении в степень нуля всегда
получаем нуль.

Также вам уже известны свойства степеней
с натуральными показателями.

При умножении степеней с одинаковыми
основаниями основание остаётся прежним, а показатели степеней складываются.
Т.е. для любого числа  и
натуральных чисел  и
 верно
равенство:

При делении степеней с одинаковыми основаниями
основание остаётся прежним, а из показателя степени делимого вычитается
показатель степени делителя. Т.е. для любого числа  и
натуральных чисел  и
,
таких, что ,
справедливо равенство:

Чтобы возвести в степень произведение, нужно
каждый множитель возвести в эту степень и результаты перемножить. Аналогично и
для частного. Т.е. для любых чисел  и
 и
натурального числа  верно
равенство:

При возведении степени в степень основание
оставляют прежним, а показатели степеней перемножают. Т.е. для любого числа  и
произвольных натуральных чисел  и верно
равенство:

Заметим, что

Рассмотрим случай, когда
показатель степени делимого меньше показателя степени делителя.

Такое соглашение принимается для степеней с
любыми основаниями, отличными от нуля.

Определение:

Если  и
 –
целое отрицательное число, то верно равенство:

Задание: заменить степень с
целым отрицательным показателем дробью.

Решение:

Замечание: поскольку деление на
нуль невозможно, такие выражения, как ,
не имеют смысла.

Напомним, что при натуральном  выражение .

Задание: представьте числа в
виде степени с основанием 3.

Решение:

Задание: найдите значения
выражений.

Решение:

Итоги:

Урок 6: Степень с целым показателем

План урока:

Определение степени с целым числом

Свойства степени с целым показателем

Преобразование выражений с целыми степенями

Стандартный вид числа

Действия с числами в стандартном виде

Определение степени с целым показателем

В 7 классе мы уже изучили степень с натуральным показателем. Напомним, что запись aⁿозначает произведение, состоящее из n множителей, каждый из которых равен a:

Число а именуется основанием степени, а n – это показатель степени. Отдельно напомним, что число в первой степени равно самому себе:

а¹ = а

Любое число, кроме нуля, возведенное в нулевую степень, дает единицу:

а⁰ = 1

Сам же ноль в нулевую степень возводить нельзя (так же, как и нельзя делить на ноль).

Математики стремятся по возможности расширить используемые ими понятия. Можно ли сделать показатель степени отрицательным числом? Для этого надо дать новое определение степени. При этом важно, чтобы все уже известные нам правила действий со степенями (их умножение и деление) оставались справедливыми.

При делении степеней их показатели вычитаются, например:

8¹⁵:8¹³ = 8^{15 – 13} = 8² = 64

Теперь попробуем произвести деление в том случае, когда показатель делимого меньше показателя делителя:

8¹⁵:8¹⁷ = 8^{15 – 17} = 8^{– 2}

Получили отрицательную степень, смысл которой нам пока не понятен. Выполним это же деление с помощью дробей, при этом учтем, что 8¹⁷ = 8¹⁵•8²:

Итак, мы получили, что

То есть 8^{– 2} – это число, обратное 8². Подобные рассуждения помогают сформулировать определение степени с отрицательным показателем:

Напомним, что обратными называются числа, которые при умножении друг на друга дают единицу. Примерами обратных чисел являются:

• 5 и 1/5
• 2 и 1/2
• (– 15) и – 1/15

Вообще для каждой дроби обратной является «перевернутая дробь», поэтому следующие пары чисел являются обратными:

Теперь покажем, как вычислять отрицательную степень числа, пользуясь определением:

Вообще находить отрицательную степень дроби удобней с помощью формулы

Докажем ее справедливость:

Покажем применение этой формулы:

Заметим, что возвести ноль в отрицательную степень не получится. Действительно, если мы попробуем, например, вычислить 0^{– 2}, то получим деление на ноль:

Вообще, при возведении нуля в любую отрицательную степень получается деление на ноль, а потому выражение 0ⁿ, где n–отрицательное число, не имеет смысла.

Отрицательные степени очень удобны при работе с некоторыми выражениями. В частности, любую дробь с их помощью можно записать в виде произведения:

Пример: Запишите в виде произведения дробь

Решение.

Ответ: а²b^{– 4}

Отдельно заметим, формулу, определяющую отрицательную степень

можно и «перевернуть». В ней число 1 выступает в роли делимого, выражение аⁿ – это делитель, а a^{– n} – это частное. Известно, что делитель можно получить, поделив делимое на частное, то есть верна запись

Это значит, что справедливо не только равенство

но и

Свойства степени с целым показателем

Правила действий со степенями, имеющими целый показатель, не отличаются от тех, которые мы изучали ранее. Напомним их.

Убедимся в этом на нескольких примерах:

Однако эти примеры ещё не являются полноценными доказательствами этого свойства степеней. Приведем общее доказательство для того случая, когда число в натуральной степени умножается на число в отрицательной степени:

Также докажем справедливость этого правила и в том случае, когда перемножаются два числа в отрицательной степени:

Проиллюстрируем это:

Для строгого доказательства заменим операцию деления на умножение. Так как

Здесь мы сначала заменяем степень aⁿ на дробь 1/а^{– n} (по определению отрицательной степени), а потом пользуемся тем, что деление на дробь равносильно умножению на «перевернутую дробь».

Продемонстрируем применение этого правила:

Следующие правила позволяют работать со степенями, у которых различаются основания, но совпадают показатели:

Покажем, как это работает:

Для общего случая доказательство будет выглядеть так:

Это правило можно проиллюстрировать так:

Приведем доказательство этого свойства для отрицательных степеней с целым показателем:

Как видим, свойства степеней с целыми показателями (в частности, с отрицательными), не отличаются от уже изученных нами свойств степеней с натуральными показателями. Единственное исключение – добавляется дополнительное ограничение, согласно которому основанием степени с отрицательным целым показателем не может быть ноль. То есть запись 0^{– 3} не имеет смысла, хотя выражение 0³ имеет смысл:

0³ = 0•0•0 = 0

Рассмотрим несколько заданий, в которых необходимо использовать правила работы со степенями

Пример. Представьте в виде степени выражение

у^{– 8}•у¹⁰

Решение. При перемножении степеней их показатели следует сложить:

у^{– 8}•у¹⁰ = у^{– 8 + 10} = у²

Ответ: у²

Пример. Вычислите значение выражения

(10^{– 1})^{– 6} : (0,1)^{– 3}

Решение.

(10^{– 1})^{– 6} : (0,1)^{– 3} = 10^{(– 1)•(– 6)}: (10^{– 1})^{– 3} = 10⁶: 10³ = 10^{6 – 3} = 10³ = 1000

Ответ: 1000

Пример. Представьте число 3^{– 36} в виде степени с основанием 9.

Решение.

3^{– 36} = 3^{2•(– 18)} = 9^{– 18}

Ответ: 9^{– 18}

Пример. Представьте произведение 64v^{– 3} как степень.

Решение.

64v^{– 3} = 4³v^{– 3} = (1/4)^{– 3}v^{– 3} = (v/4)^{– 3}

Ответ: (v/4)^{– 3}

Преобразование выражений с целыми степенями

Ранее мы рассматривали понятие рационального выражения. Так называлось выражение, в котором используются 4 основные арифметические операции (в том числе деление), а также возведение в степень. Однако использование отрицательной степени помогает избавиться от операции деления как ненужной. Например, возможны такие преобразования:

Во всех случаях мы заменили деление на возведение в отрицательную степень.

Рассмотрим несколько примеров по преобразованию выражений со степенями.

Пример. Упростите выражение

Решение. Возведение в степень (– 1) означает, по сути, переворачивание дроби:

Ответ: ab

Пример. Упростите дробь

Решение. Вынесем в числителе множитель а^{– 3} за скобки

Пример. Представьте в виде дроби выражение

Решение.

В данном случае мы воспользовались формулой суммы кубов:

a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

Пример. Упростите выражение

(h² + ht + t²)(h^{– 2} + h^{– 1}t^{– 1} + t^{– 2})^{– 1}

Решение.

Вынесем из первой скобки множитель h²t². При вынесении множителя каждое слагаемое делится на этот самый множитель:

C учетом этого получаем:

(h² + ht + t²) = h²t²(t^{– 2} + h^{– 1}t^{– 1} + h^{– 2}) = h²t²(h^{– 2} + h^{– 1}t^{– 1} + t^{– 2})

Зная это, можно записать

(h² + ht + t²)(h^{– 2} + h^{– 1}t^{– 1} + t^{– 2})^{– 1} = h²t²(h^{– 2} + h^{– 1}t^{– 1} + t^{– 2})(h^{– 2} + h^{– 1}t^{– 1} + t^{– 2})^{– 1}

В двух скобках стоят одинаковые выражения, но одно из них в степени (– 1). Такие выражения можно сократить, ведь они являются обратными числами:

а•a^{– 1} = 1

Поэтому

h²t²(h^{– 2} + h^{– 1}t^{– 1} + t^{– 2})(h^{– 2} + h^{– 1}t^{– 1} + t^{– 2})^{– 1} = h²t²

Ответ: h²t²

Пример. Докажите тождество

Решение. Преобразуем левую часть:

Стандартный вид числа

В физике и других естественных науках изучаются объекты, чьи характеристики (масса, длина, скорость и т.д.) могут измеряться очень большими или очень малыми величинами. Например, масса атома железа равна 0,0000000000000000000000000927 килограмм, а масса Солнца оценивается в 1988500000000000000000000000000 килограмм. Работать с такими числами достаточно неудобно. Сложно даже сравнивать их между собой, ведь для этого надо подсчитывать количество нулей в каждом числе. Поэтому в науке часто используется особая форма чисел, которую называют стандартным видом числа. Он основан на том, что любое число можно записать как произведение числа a, находящегося в пределах от 1 до 10, и какой-нибудь целой (в том числе отрицательной) степени десятки.

Приведем примеры представления чисел в стандартном виде

90 = 9•10 = 9•10¹

91 = 9,1•10 = 9,1•10¹

900 = 9•100 = 9•10²

912 = 9,12•100 = 9,12•10²

Покажем случаи, когда порядок равен нулю или меньше него

7 = 7•1 = 7•10⁰

7,63 = 7,63•1 = 7,63•10⁰

0,8 = 8•0,1 = 8•10^{– 1}

0,0875 = 8,75•100 = 8,75•10^{– 2}

Посмотрите, насколько короче выглядит запись физических величин с использованием стандартного вида:

• масса Солнца: 1988500000000000000000000000000 кг = 1,9885•10³⁰ кг;
• масса Земли: 5970000000000000000000000 кг = 5,97•10²⁴ кг;
• масса атома железа: 0,0000000000000000000000000927 = 9,27•10^-26 кг.

Пример. Укажите стандартный вид числа 76000000.

Решение. Первой ненулевой цифрой в записи является семерка, поэтому стандартный вид будет выглядеть так:

7,6•10ⁿ

где n– какое-то целое число, которое нам надо найти. Поставим в исходном числе запятую после семерки:

7,6000000

Видно, что мы отделили запятой 7 разрядов, то есть перенесли запятую на 7 разрядов вправо. Поэтому n равно 7:

76000000 = 7,6•10⁷

Действительно, умножение дробного числа на 10 приводит к смещению запятой на одну позицию влево, поэтому при умножении 7,6 на 10⁷ получим 76000000. Наши действия можно проиллюстрировать рисунком:

В случае с числами, меньшими единицы, также надо смотреть на количество разрядов между запятой и первой ненулевой цифрой. Пусть надо представить в стандартном виде десятичную дробь 0,000005605. Значащей частью числа будет 5,605. Для того чтобы получить ее, надо в исходной дроби перенести запятую на 6 разрядов вправо. Поэтому порядок будет равен (– 6):

Теперь попробуем выполнить обратное преобразование – по стандартному виду числа записать его в привычной нам десятичной форме. Пусть есть запись 2,56•10⁵. Для начала искусственно припишем несколько ноликов к значащей части:

2,56 = 2,5600000

Теоретически мы можем дописать любое количество нулей, величина дроби от этого не изменится. Порядок числа равен 5, а потому запятую надо перенести на 5 знаков вправо:

2,5600000•10⁵ = 256000,00

Теперь лишние нули после запятой и саму запятую можно и убрать:

256000,00 = 256000

Обратите внимание, что порядок числа был равен 5, а в итоге мы получили шестизначное число. Можно сформулировать правило: у числа, имеющего в стандартной виде порядок n, в десятичной представлении перед запятой будет стоять (n + 1)знак. Например:

1,23456789•10⁶ = 1234567,89

Здесь порядок числа равен 6, а потому перед запятой стоит 7 знаков.

Напомним, что если число целое и, соответственно, в его записи нет запятой, то ее можно искусственно добавить:

568 = 568,0

Теперь рассмотрим похожий пример с отрицательным порядком числа. Пусть надо записать в десятичном виде число 9,8765•10^{– 4}. Для этого сначала можно условно «подрисовать» нолики перед значащей частью:

0000009,8765

Порядок равен (– 4), а потому надо передвинуть запятую на 4 знака влево

0000009,8765 =000,00098765

Получается, что мы подрисовали слишком много ноликов. Уберем два из нихи получим число в обычной форме:

0,00098765

Вообще, если у числа отрицательный порядок (– n), то первая ненулевая цифра должна оказаться на n-ой позиции после запятой:

Действия с числами в стандартном виде

Стандартный вид чисел удобен тогда, когда есть необходимость сравнивать физические величины, а также перемножать их и делить. Рассмотрим правила сравнения умножения и деления чисел в стандартном виде.

Из двух чисел больше то, у которого больше порядок стандартного вида числа. Так, масса Солнца больше масса Земли, так как у нее порядок равен 30, а у нашей планеты – только 24. Если же порядки одинаковы, то больше то число, у которого больше значащая часть.

Пример. Радиус ядра Солнца оценивается в 1,73•10⁸ м, а радиус Юпитера составляет 6,99•10⁷ м. Какая из этих величин больше?

Решение. Порядок у радиуса ядра Солнца равен 8, а у Юпитера только 7, поэтому радиус ядра Солнца больше радиуса Юпитера.

Пример. Масса протона составляет 1,673•10^{– 27} кг, а масса нейтрона равна 1,675•10^{– 27} кг. Какая из этих двух частиц тяжелее?

Решение. У обоих величин одинаковый порядок, равный (– 27). Однако значащая часть у массы нейтрона больше:

1,675 > 1,673

Следовательно, нейтрон тяжелее.

Ответ: Нейтрон тяжелее.

Посмотрим, как перемножать числа, находящиеся в стандартном виде. Переставляя множители местами, можно получить:

(a•10ⁿ)•(b•10^m) = a•b•10ⁿ•10^m = (ab)•10^n+m

В итоге можно сформулировать правило:

Пример. Земля двигается по своей орбите со средней скоростью 3•10⁴ м/с. Какое расстояние она проходит в течение одного невисокосного календарного года (в каждом таком году 31536000 секунд)?

Решение. Переведем количество секунд в году в стандартный вид

31536000 = 3,1536 •10⁷

Расстояние (обозначим его как S) равно произведению средней скорости на время:

S = 3•10⁴ м/с • 3,1536•10⁷c = 3•3,1536•10^{4 + 7} = 9,4608•10¹¹м.

Ответ: 9,4608•10¹¹м.

Пример. Представьте в стандартном виде произведение чисел 9,5•10⁸ и 1,38•10^{– 2}.

Решение.

(9,5•10⁸)•(1,38•10^{– 2}) = (9,5•1,38)•10^{8 + (– 2)} = 13,11•10⁶

Получили число НЕ в стандартном виде, так как 13,11 > 10. Поэтому следует произвести замену 13,11 = 1,311•10:

13,11•10⁶ = 1,311•10•10⁶ = 1,311•10⁷

Ответ: 1,311•10⁷

Теперь попытаемся поделить два числа, находящихся в стандартном виде:

Видно, что справедливо следующее правило:

Пример. Во сколько раз масса Солнца больше массы Земли?

Решение. Выше мы приводили данные, что масса Солнца оценивается в 1,9885•10³⁰ кг, а масса нашей планеты составляет 5,97•10²⁴ кг. Поделим массу звезды на массу планеты:

(1,9885•10³⁰):(5,97•10²⁴) = (1,9885:5,97)•10^{30 – 24}≈0,333•10⁶ = 333000

Получили, что Солнце примерно в 333 тысячи раз тяжелее Земли.

Ответ: В 333000 раз.

Сила степеней числа 10 « Папа Карп

Чтобы спокойно и качественно изучать физику и химию, надо владеть действиями со степенями числа 10 – уверенно и во всех вариациях.

При решении задачек по физике (даже самых начальных и самых простых) любое число удобно представлять в стандартном виде. То есть в виде “число от 1 до 10 умножить на 10 в какой-то степени”. Причем степень числа 10 может быть и положительной, и отрицательной.

Необходимо уметь действовать с числами, записанными таким образом.

Поэтому к началу изучения физики в 7 классе очень желательно, чтобы ученик полностью освоил все навыки, касающиеся степеней числа 10.

Однако базовая школьная программа по математике не полностью это обеспечивает, к сожалению.

Мой опыт преподавания физики показывает, что весьма целесообразно некоторые недостающие моменты (например, отрицательные степени числа 10 и действия с ними) изучить пораньше. Да и все прочие нюансы данной темы хорошо бы повторить и доработать, если они слегка подзабылись.

Важно видеть цель: мы должны дать ученику в руки надежный математический инструмент для расчетов по сложным физическим и химическим формулам. Это именно математический аппарат. Но нужен он в основном как раз в физике и в химии.

В данной статье я кратко перечислю то, что хорошо бы знать про степени числа 10 к самому началу изучения физики.

Разумеется, моя цель – лишь показать общую схему. Если вам понадобится более подробная информация, то ее легко найти в любых школьных учебниках.

Попадая в стихию физики (а затем и химии), школьники вынуждены оперировать с числами в огромном диапазоне величин: от крошечных размеров атомов до межзвездных расстояний, от массы электрона до массы Юпитера или Солнца… Это очень отличается от привычных масштабов, на которых обычно в основном строится изучение математики.

И вот тут-то и пригождаются положительные и отрицательные степени числа 10. В науке о природе без них просто никак.

Запись чисел в стандартном виде – великолепное изобретение человечества! Но оно, разумеется, используется преимущественно в науке и в технике, а не в обычной нашей жизни. Поэтому надо специально приучить школьника к такому стилю математических вычислений. К нему необходимо привыкнуть.

Для начала как следует разберитесь с положительными степенями числа 10. Это проще и понятнее. Это уже знакомо с начальных классов. Какова положительная степень числа 10 – столько ноликов и приписываем к единичке. Умножение и деление таких чисел не вызывает труда.

Существуют простые правила действий со степенями. Я их нарисовал здесь на картинке конкретно для случая, когда основание степени – число 10. Разумеется, для любого другого основания степени правила будут точно те же самые. Но в физике нас интересует обычно именно 10.

Когда мы сталкиваемся с физическими расчетами, где числа записаны с использованием степеней числа 10, то можно использовать все правила действий со степенями и правило сокращения дробей.

Фактически, обычно удобнее отдельно разбираться со степенями числа 10, а отдельно – со всеми другими числами в выражении. И лишь в конце соединить это в один ответ.

Вот я захотел вычислить плотность объекта. Исходно мне известны его масса и объем. Посмотрите, как просто получилось посчитать по формуле!

Теперь добавим и отрицательные степени числа 10.

Надо хорошо понять определение: что такое отрицательная степень.

Посмотрите на картинку ниже.

Я проиллюстрировал там общий принцип: число в отрицательной степени – это единица делить на то же самое число в такой же степени, но только показатель степени уже без знака “минус”.

Так просто договорились – что такое отрицательная степень. И это потрясающе удобно!

Конечно, само понятие отрицательной степени поначалу может вызвать некоторое недоумение… Возможно, потребуется поразмышлять и посмотреть, как такая штука работает – на самых простых примерах…

Возвращаемся к формулам по физике.

Теперь будем использовать и отрицательные степени числа 10.

Все правила действий со степенями остались те же самые. Мы так же складываем или вычитаем показатели степени при умножении или делении. И все остальные правила сохраняются.

Требуется некоторая практика, конечно. Но если понимать принцип, то сложностей особых нет.

Складывая положительные и отрицательные показатели степени, мы действуем точно так же, как и при сложении положительных и отрицательных чисел.

Поглядите, как легко вычисляется масса объекта, если известны его плотность и объем.

Особенная практическая фишка: “перебрасывать” 10 в какой-то степени через дробную черту – снизу вверх или сверху вниз.

Посмотрите на картинке, как 10 в отрицательной степени “перебирается” из-под дробной черты вверх. И после этого считать делается уже совсем просто.

Важно уловить принцип: при таком “перебросе” через дробную черту знак показателя степени у числа 10 меняется на противоположный. Для практических расчетов по формулам очень удобный прием!

Кстати об удобстве расчетов… Не всегда имеет смысл переводить числа именно в стандартный вид. Иногда проще использовать более свободное сочетание степеней числа 10 и обычных чисел.

Важно приучиться действовать именно так, как наиболее индивидуально удобно, как меньше шансов запутаться и ошибиться.

В физике и в химии вообще главное – получить правильный ответ. А как конкретно мы вычисляли – это наше дело.

Здесь еще надо уверенно владеть навыком переноса десятичной запятой.

Казалось бы, такая простая штука…

Скажем, расстояние в 6300 метров мы хотим записать в километрах почему-то. Ясно, что это будет 6,3 км. А наоборот? Снова получим 6300 м.

Или, к примеру, напряжение 0,00065 В – это сколько будет в милливольтах? Надо перенести запятую на три знака вправо. Получится 0,65 мВ.

Такие переходы используются в физике на каждом шагу. И у школьника не должно быть ну абсолютно никаких проблем с тем, чтобы перемещать запятую вправо или влево на нужное количество знаков.

Само собой, когда мы встречаем числа типа 0,0001 или 10000000, то их сразу же удобнее представить в виде степеней числа 10. И далее во всех расчетах действовать по стандартной процедуре со степенями.

Все эти мучительные размышления, куда и на сколько знаков надо перенести запятую при умножении или делении на 0,0000001… Они нам теперь не нужны! Мы умеем представлять все степени числа 10 именно в виде степеней, а не десятичных дробей. Почти всегда это значительно удобнее!

Отдельный вопрос состоит в том, когда надо вообще начинать говорить с детьми о степенях числа 10…

Мне кажется, что уже в начальной школе сие вполне уместно.

Ведь, по сути, это просто еще один способ записи чисел. Особенно легко его понять для положительных степеней числа 10. Скажем, умножить миллиметр на миллион! Сколько это будет?

С другой стороны, можно попробовать разделить километр на миллион равных частей… Почему бы не представить такую процедуру? Так что и отрицательные степени числа 10 тоже легко вводить на самом элементарном уровне.

Мой личный опыт преподавания показывает, что маленькие дети с удовольствием разбираются с большими числами. Это даже интереснее, чем возиться со сложением и вычитанием в пределах 100. Представляете: целый миллиард разделить пополам! И узнать, сколько это будет!

Но самое главное – к началу изучения физики в 7 классе разобраться со всеми нюансами данной темы!

Тогда изучение физики и химии будет значительно более удобным.

Хотя бы вот даже взять перевод единиц измерения физических величин друг в друга… Насколько проще это делать, используя степени числа 10!

Немного практики – и ученик получает ключ ко всему диапазону масштабов: от ангстремов и нанометров до световых лет и парсеков, от постоянной Планка до числа Авогадро…

Посмотрите, например, как изящно происходит для льда переход от одних единиц плотности к другим.

Итак, овладение почти магической математической силой степеней числа 10 – это надежное подспорье для изучения физики и химии. Данный навык пригодится с 7 класса и до 11 класса включительно.

Удобно, что вся эта тема – проста по сути. Ее легко понимать и осваивать. Важно лишь довести знания до устойчивого системного уровня. Чтобы применять при необходимости, не задумываясь особо и не путаясь по мелочам. Как таблицу умножения и действия столбиком.

И просто по жизни весьма полезно ориентироваться в данном вопросе. Сила степеней числа 10 – один из краеугольных камней нашей интеллектуальной культуры.

7.1.1. Степень с целым показателем.

Автор Татьяна Андрющенко На чтение 2 мин. Просмотров 760 Опубликовано 1 декабря 2012

 I. Определение.  (- n)-й степенью (n – натуральное) числа а, не равного нулю, считается число, обратное n-й степени числа а:

Примеры. Вычислить:

Решение.

II.  Следующая формула позволяет заменить обыкновенную дробь с отрицательным показателем на обратную ей дробь с положительным показателем:

Примеры. Вычислить:

Решение.

 Свойства степени с натуральным показателем справедливы и для  степеней с любым показателем.

Свойства степени с натуральным показателем с примерами смотрите в предыдущем уроке здесь.

Примеры на все свойства степени.

Упростить:

Решение.

       При решении 7) примера  I способом мы использовали свойства умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями:  a^m∙aⁿ=a^m+n  и a^m:aⁿ=a^m-n. При решении II способом мы использовали понятие степени с отрицательным показателем:  и свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями:  a^m∙aⁿ=a^m+n .

Пример 8 ) решаем так же, как решали пример 7) вторым способом.

В примере 9) представим 7³как 7²∙7, а степень 4⁵как 4³∙4², а затем сократим дробь на (7²∙4³).

В 10) примере применим формулу степени произведения: (ab)ⁿ=aⁿ∙bⁿ, а затем сократим дробь на (2⁶∙3⁵).

возвести число в отрицательную степень

Для того, чтобы понять, как возвести число в отрицательную степень – достаточно взглянуть на скриншот, что приведен ниже!

Как видим – число в отрицательной степени равно дроби – 1 деленное на положительную степень этого числа. Напоминаю, что у нас есть калькулятор, который умеет считать отрицательную степень числа!

Пример решения числа в отрицательной степени.

Для того, чтобы понять. Как возводить в отрицательную степень, нужен пример! И давайте пример возьмем из того примера страницы, где мы высчитывали отрицательную степень на калькуляторе.
Число 5 в отрицательной степени

^-25 = 1² 5=125= 0.04

Написать что-нибудь…

отрицательная степень ,
степень с отрицательным показателем ,
отрицательная степень числа ,
степень с целым отрицательным ,
степень с отрицательным целым показателем ,
отрицательная рациональная степень ,
работа с отрицательными степенями ,
степень с отрицательным рациональным показателем ,
рациональные уравнения степень с целым отрицательным показателем ,
отрицательные степени ,
контрольная степень с целым отрицательным показателем ,
отрицательные степени класс ,
степень с отрицательным показателем класс ,
алгебра отрицательные степени ,
как возводить в отрицательную степень ,
алгебра степень с отрицательным показателем ,
степень с целым отрицательным показателем класс ,
отрицательные степени ,
возведение в отрицательную степень ,
тема степень с отрицательным показателем ,
алгебра класс отрицательная степень ,
отрицательная степень ,
отрицательная степень как решать ,
алгебра степень с отрицательным целым показателем ,
тема степень с целым отрицательным показателем ,
выражения с отрицательными степенями ,
как возвести число в отрицательную степень ,
возведение числа в отрицательную степень ,
примеры с отрицательными степенями ,
в отрицательной степени ,

Отрицательные экспоненты

Экспоненты также называются Степень или Индексы

Давайте сначала посмотрим, что такое «экспонента»:

Пример:

5 ³ = 5 × 5 × 5 = 125

На словах: 5 ³ можно назвать «5 в третьей степени», «5 в степени 3» или просто
«5 кубов»

В целом :

А это положительных показателей , как насчет чего-то вроде:

8 ^-2

Этот показатель равен отрицательным … что это значит?

Отрицательные экспоненты

Отрицательно? Что может быть противоположностью умножения? Разделение!

Деление является обратным (противоположным) Умножению .

Отрицательная экспонента означает, сколько раз
разделите на число.

Пример: 8 ^-1 = 1 ÷ 8 = 1/8 = 0,125

Или много делений:

Пример: 5 ^-3 = 1 ÷ 5 ÷ 5 ÷ 5 = 0.008

Но это можно сделать и проще:

5 ^-3 также можно рассчитать как:

1 ÷ (5 × 5 × 5) = 1/5 ³ = 1/125 = 0,008

Последний пример показал более простой способ справиться с отрицательными показателями:

• Вычислить положительный показатель степени (a ⁿ )
• Затем возьмите Reciprocal (т.е. 1 / а ^н )

Чтобы изменить знак (плюс на минус или минус на плюс) экспоненты ,
используйте Reciprocal (т.е. 1 / a ⁿ )

Итак, что насчет 8 ^-2 ?

Пример: 8 ^-2 = 1 ÷ 8 ÷ 8 = 1/8 ² = 1/64 = 0,015625

Другие примеры:

Отрицательная экспонента		Взаимная величина положительной экспоненты		Ответ
4 -2	=	1/4 2	=	1/16 = 0. 0625
10 -3	=	1/10 3	=	1/1000 = 0,001

Все имеет смысл

Мой любимый метод — начать с «1», а затем умножить или разделить столько раз, сколько указано в экспоненте, тогда вы получите правильный ответ, например:

Пример: Полномочия 5
	.. пр.
5 2	1 × 5 × 5	25
5 1	1 × 5	5
5 0	1	1
5 -1	1 ÷ 5	0.2
5 -2	1 ÷ 5 ÷ 5	0,04
	. . и т.д ..

Если вы посмотрите на эту таблицу, вы увидите, что положительный, нулевой или отрицательный показатель степени на самом деле являются частью одного (довольно простого) паттерна.

отрицательных экспонентов | Purplemath

Purplemath

Узнав об отрицательных числах, вы также сможете узнать об отрицательных степенях.Отрицательный показатель просто означает, что основание находится на изнаночной стороне дробной линии, поэтому вам нужно перевернуть основание на другую сторону. Например, « x ^–2 » (произносится как «отстает до минус два») просто означает « x ² , но под ним, как в

1 / ( x ² )» .

• Запишите

  x ^–4 , используя только положительные показатели.

Я знаю, что отрицательный показатель степени означает, что основание, x , принадлежит другой стороне дробной линии.Но дробной черты нет!

MathHelp.com

Чтобы исправить это, я сначала конвертирую выражение в дробь так, как любое выражение может быть преобразовано в дробь: помещая его над «1».Конечно, как только я переставлю основание на другую сторону дробной линии, наверху не останется ничего. Но поскольку все можно рассматривать как умножение на 1, я оставлю 1 сверху.

Вот как это выглядит:

Когда мне больше не нужна была цифра «1» внизу (для создания дроби), я пропустил ее, потому что у меня было выражение переменной внизу, а «умножение на единицу» ничего не меняет.

• Запишите

  x ² / x ^–3 , используя только положительные показатели.

Только один из членов имеет отрицательную степень. Это означает, что я буду перемещать только одно из этих условий. Термин с отрицательной силой находится внизу; это означает, что я буду перемещать его вверх, на другую сторону дробной линии.Уже есть термин сверху; Я буду использовать правила экспоненты, чтобы объединить эти два термина.

Как только я перенесу этот знаменатель наверх, под ним не останется ничего (кроме «понятого» 1), поэтому я опущу знаменатель.

• Запишите 2

  x ^–1 , используя только положительные показатели.

Отрицательная сила станет просто «1», как только я переместу основание на другую сторону дробной линии.Все, что касается силы 1, само по себе, так что я смогу сбросить эту силу, как только переставлю базу.

Убедитесь, что вы понимаете, почему приведенная выше цифра «2» не перемещается вместе с переменной: отрицательная экспонента присутствует только на « x », поэтому перемещается только цифра x ..

• Запишите (3

  x ) ^–2 , используя только положительные показатели.

На этот раз у меня есть число внутри степени, а также переменная, поэтому мне нужно не забыть упростить числовое возведение в квадрат.

В отличие от предыдущего упражнения круглые скобки означают, что отрицательная степень действительно применима к трем, а также к переменной.

• Запишите (-5

  x ^-1 ) / ( y ³ ), используя только положительные степени.

Степень «минус один» на x означает, что мне нужно переместить этот x на другую сторону линии дроби. Но «минус» на 5 означает только то, что 5 отрицательный. Этот «минус» составляет , а не степень, поэтому он ничего не говорит о о перемещении 5 куда-либо!

Перемещая только один бит, который действительно нужно переместить, я получаю:

(-5 x ^-1 ) / ( y ³ ) = -5 / ( x ¹ y ³ ) = -5 / ( x y ³ )

• Запишите (

  x ^–2 / y ^–3 ) ^–2 , используя только положительные показатели.

Есть несколько способов выполнить шаги для этого упрощения. Я начну с того, что отмечу, что отрицательная экспонента за пределами круглых скобок означает, что числитель следует переместить под ним, а знаменатель — наверх. Другими словами, дробь в скобках должна быть перевернута.

После того, как я перевернул дробь и преобразовал отрицательную внешнюю мощность в положительную, я перенесу эту степень в круглые скобки, используя правило power-on-a-power; а именно размножу.В этом случае это приведет к отрицательным степеням в числителе и знаменателе, поэтому я снова переверну. (Да, я как бы изучаю долгий путь.)

Вышеупомянутое упрощение также может быть выполнено как:

Вместо того, чтобы перевернуть дважды, я заметил, что все силы отрицательные, и переместил внешнюю силу на внутренние; так как «минус, умноженный на минус, это плюс», я получил все положительные силы.

Примечание. Хотя это второе решение было бы более быстрым способом выполнения упражнения, «быстрее» не означает «правильнее». В любом случае это хорошо.

Поскольку показатели указывают на умножение, и поскольку порядок умножения не имеет значения, часто будет несколько последовательностей шагов, которые приведут к допустимому упрощению данного упражнения этого типа. Не волнуйтесь, если шаги в вашем домашнем задании будут сильно отличаться от шагов в домашнем задании одноклассника.Если ваши шаги были правильными, в итоге вы оба должны получить один и тот же ответ.

Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в упрощении выражений с отрицательными показателями степени. Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway. (Или пропустите виджет и продолжите урок.)

(Щелкните здесь, чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway, если вы хотите проверить их программное обеспечение или получить дополнительную информацию. )

Между прочим, теперь, когда вы знаете об отрицательных показателях степени, вы можете понять логику правила «все до нуля»:

Все, что находится в нулевой степени, равно «1».

Почему это так? Есть разные объяснения. Можно сказать, что «потому что так работают правила». Другой вариант — проследить прогрессию, подобную следующей:

3 ⁵ = 3 ⁶ ÷ 3 = 3 ⁶ ÷ 3 ¹ = 3 ^6–1 = 3 ⁵ = 243

3 ⁴ = 3 ⁵ ÷ 3 = 3 ⁵ ÷ 3 ¹ = 3 ^5–1 = 3 ⁴ = 81

3 ³ = 3 ⁴ ÷ 3 = 3 ⁴ ÷ 3 ¹ = 3 ^4–1 = 3 ³ = 27

3 ² = 3 ³ ÷ 3 = 3 ³ ÷ 3 ¹ = 3 ^3–1 = 3 ² = 9

3 ¹ = 3 ² ÷ 3 = 3 ² ÷ 3 ¹ = 3 ^2–1 = 3 ¹ = 3

На каждой ступени, где мощность каждой ступени была на единицу меньше предыдущей, упрощенное значение было равно предыдущему значению, разделенному на 3. Тогда по логике, поскольку 3 ÷ 3 = 1, мы должны иметь:

3 ⁰ = 3 ¹ ÷ 3 = 3 ¹ ÷ 3 ¹ = 3 ^1–1 = 3 ⁰ = 1

Объяснение с отрицательными показателями «все, что до нулевой степени равно 1», может быть таким:

м ⁰ = м ^{( n — n )} = м ⁿ × м ^{— n} = м ^÷ m ⁿ = 1

…поскольку все, что делится само по себе, просто «1».

Комментарий: Пожалуйста, не просите меня «определять» 0 ⁰ . Это количество можно оценить как минимум двумя способами:

Все, что находится в нулевой степени, равно «1», поэтому 0 ⁰ = 1.

От нуля до любой степени равно нулю, поэтому 0 ⁰ = 0.

Насколько мне известно, «боги математики» еще не пришли к твердому «определению» 0 ⁰ — хотя, честно говоря, неформальный консенсус, похоже, строится на том, что значение «должно» быть равным 1, и почти любой язык программирования выдаст значение 1.

В математике «0 ⁰ » будет называться «неопределенной формой», что означает, что с математической точки зрения это не имеет смысла и не сообщает вам ничего полезного. Если это количество встречается в вашем классе, не предполагайте: спросите своего инструктора, что вам следует с ним делать.

Чтобы увидеть больше рабочих примеров, попробуйте здесь. Или продолжите этот урок; далее следует научное обозначение.

URL: https: // www.purplemath.com/modules/exponent2.htm

Отрицательные экспоненты — объяснение и примеры

Показатели — это степени или индексы. Экспоненциальное выражение состоит из двух частей: основания, обозначаемого как b, и показателя степени, обозначаемого как n. Общая форма экспоненциального выражения: b ⁿ . Например, 3 x 3 x 3 x 3 можно записать в экспоненциальной форме как 3 ⁴ , где 3 — основание, а 4 — показатель степени.Они широко используются в алгебраических задачах, и по этой причине важно изучить их, чтобы облегчить изучение алгебры.

Многим учащимся будет трудно понимать отрицательные числа и дроби. Когда к уравнениям добавляются отрицательные показатели, это обычно полная катастрофа. Ну не совсем. Изучение отрицательных показателей — важный фундамент для решения сложных математических выражений. Это потому, что он дает учащимся необходимые навыки и знания для решения сложных проблем в классе и за его пределами.

Если вам интересно, с чего начать, не волнуйтесь, эта статья поможет вам превратить ваш курс по отрицательным показателям в положительный опыт.

Чтобы помочь вам лучше понять правило отрицательной экспоненты, в этой статье подробно обсуждаются следующие темы правила отрицательной экспоненты:

• Правило отрицательных показателей
• Примеры отрицательных показателей
• Отрицательные дробные показатели
• Как решать дроби с отрицательные показатели
• Как умножить отрицательные показатели
• Деление отрицательных показателей

Прежде чем мы займемся каждой из этих тем, давайте сделаем краткий обзор правил экспонент.

• Умножение степеней с одинаковым основанием: при умножении одинаковых оснований сложите степени вместе.
• Правило отношения степеней: при делении одинаковых оснований степени вычитаются
• Правило силы степеней: умножение степеней вместе при увеличении степени на другой показатель степени
• Степень правила произведения: Распределение степени на каждую основу при возведении нескольких переменных на степень
• Правило степени частного: Распределите степень по каждой базе при возведении нескольких переменных в степень
• Правило нулевой степени: Это правило подразумевает, что любая основа, возведенная в степень нуля, равна одному
• Отрицательная экспонента Правило: чтобы преобразовать отрицательную экспоненту в положительную, запишите число в обратную.

Как найти отрицательные экспоненты?

Закон отрицательных степеней гласит, что когда число возводится в отрицательную степень, мы делим 1 на основание, возведенное в положительную экспоненту. Общая формула этого правила: a ^-m = 1 / a ^m и (a / b) ^-n = (b / a) ⁿ .

Пример 1

Ниже приведены примеры того, как работает правило отрицательной экспоненты:

• 2 ^-3 = 1/2 ³ = 1 / (2 x 2 x 2) = 1/8 = 0.125
• 2 ^-2 = 1/2 ² = 1/4
• (2/3) ^-2 = (3/2) ²

Дробные отрицательные показатели

Основание b в отрицательной степени n / m эквивалентно 1, деленному на основание b, возведенное в положительную степень n / m:

b ^{-n / m} = 1 / b ^{n / m} = 1 / ( ^m √b) ⁿ

Это означает, что если основание 2 возведено в отрицательную степень 1/2, это эквивалентно 1, деленному на основание 2, возведенному в положительный показатель степени 1/2:

2 ^-1/2 = 1/2 ^1/2 = 1/ √ 2 = 0.7071

Вы должны заметить, что дробная отрицательная экспонента — это то же самое, что найти корень из основания.

Дроби с отрицательными показателями

Правило подразумевает, что если дробь a / b возводится в отрицательный показатель степени n, она равна 1, деленной на основание a / b, возведенное в положительную экспоненту n:

(a / b) ^-n = 1 / (a ​​/ b) ⁿ = 1 / (a ​​ ⁿ / b ⁿ ) = b ⁿ / a ⁿ

Основание 2 / 3, возведенное в отрицательную степень 2, равно 1, деленному на основание 2/3, возведенное в положительную степень 2.Другими словами, 1 делится на обратную величину основания, возведенного в положительный показатель степени 2

(2/3) ^-2 = 1 / (2/3) ² = 1 / (2 ² / 3 ² ) = (3/2) ² = 9/4 = 2,25

Умножение отрицательных показателей

При умножении показателей с одинаковым основанием мы можем сложить показатели:

a ^-n xa ^-m = a ^{— (n + m ) =} 1 / a ^{n + m}

Пример 2

2 ^-3 x 2 ^-4 = 2 ^{— (3 + 4)} = 2 ^-7 = 1/2 ⁷ = 1 / (2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2) = 1/128 = 0. 0078125

В случае различных оснований и общих показателей a и b, мы можем умножить a и b:

a ^-n ⋅ b ^-n = (a ⋅ b) ^-n

Пример 3

3 ^-2 x 4 ^-2 = (3 x 4) ^-2 = 12 ^-2 = 1/12 ² = 1 / (12 x 12) = 1/144 = 0,0069444

В случае, если основания и показатели различаются, мы вычисляем каждый показатель отдельно, а затем умножаем:

a ^-n 40 b ^-m

Пример 4

3 ^-2 x 4 ^-3 = (1/9) x (1/64) = 1/576 = 0.0017361

Как разделить отрицательные показатели

В случае показателей с одинаковым основанием мы вычитаем показатели:

a ^-n / a ^{— m} = a ^{-n + m}

Пример 5

2 ^-6 /2 ^-3 = 2 ^{-6 + 3}

= 2 ^-3

= 1/2 ³

= 1/8

Практические задачи

1. Масса электрона составляет примерно 9 × 10 ^-31 Если полная масса атома составляет 18 × 10 ^-26 кг, каково отношение массы электрона к массе электрона? полная масса атома?
2. Муравей весит 6 × 10 ^-3 граммов, и каждый день он съедает около одной трети своего веса. Сколько еды может съесть конкретный муравей за неделю?
3. Средняя масса белого носорога составляет 2,3 × 10 ³ Взрослая комнатная муха весит около 12 × 10 ^-6 кг. Сколько взрослых комнатных мух нужно, чтобы равняться массе одного белого носорога? Дайте свой ответ с точностью до ближайших ста миллионов.

Ответы

1. 1: 2 × 10 ⁵ или 1: 200000
2. 4 × 10 ^-2 граммов или 0,014 грамма.
3. 200 млн.-3. Однако на самом деле вы можете преобразовать любое выражение в дробь, поставив 1 над числом. Это основная причина, по которой мы можем перемещать экспоненты и решать следующие вопросы.

   Изучение этого урока также поможет вам на один шаг приблизиться к пониманию того, почему любое число с 0 в экспоненте равно 1. В конце этого урока будет ссылка на диаграмму, которая покажет вам, как возникают эти отношения. о. Скоро вы поймете все основные свойства экспонентов!

   Как найти отрицательные показатели

   Давайте попробуем поработать с некоторыми вопросами об отрицательной степени, чтобы увидеть, как мы переместим числа в верхнюю или нижнюю часть дробной черты, чтобы сделать отрицательные экспоненты положительными. -3)

   Решение:

   Если вы когда-нибудь увидите отрицательный показатель в верхней части дроби, вы знаете, что если вы перевернете его вниз, он станет положительным. То же самое действительно работает с отрицательными показателями внизу. Если вы переместите его в числитель, его показатель степени также станет положительным. Имея это в виду, давайте проработаем вопрос. Наш первый шаг — просто перевернуть числитель и знаменатель, чтобы избавиться от всех отрицаний в показателях степени. Затем решите, как обычно, с помощью правила мощности.2)

   = 64/9

   Определенно не так запутанно, как казалось, правда?

   Вот хорошее место, чтобы взглянуть на сравнение отрицательных и положительных показателей и посмотреть, как они ведут себя на графике.

   Решение отрицательных экспонент — Бесплатная справка по математике

   Обзор экспонентов

   Вы уже знаете, что показатель степени представляет собой количество раз, которое вам нужно умножить на само число. 4 \) означает \ (2 * 2 * 2 * 2 \).4 = 16 $$
   $$ x = \ pm2 $$

   Отрицательных показателей нечего бояться. Помните, что когда вы видите отрицательную экспоненту, вы можете поместить ее с другой стороны дробной шкалы и сделать ее положительной. Если вам нужна дополнительная помощь по математике по этой теме, вы можете посетить нашу доску справочных сообщений по математике и задать свой вопрос бесплатно.

   Отрицательные экспоненты: правила умножения и деления

   Обновлено 14 ноября 2020 г.

   Крис Дезил

   Если вы какое-то время занимались математикой, вы, вероятно, встречали экспоненты.Показатель степени — это число, которое называется основанием, за которым следует другое число, обычно записываемое надстрочным индексом. Второе число — это показатель степени или степень. Он сообщает вам, на сколько раз нужно умножить базу на себя. Например, 8 ² означает умножить 8 на себя дважды, чтобы получить 16, а 10 ³ означает 10 × 10 × 10 = 1000. Когда у вас есть отрицательные показатели степени, правило отрицательной экспоненты требует, чтобы вместо умножения основания указанное количество раз вы делите основание на 1 такое количество раз.8

   Чтобы понять, почему это так, обратите внимание, что x ⁵ означает ( x × x × x × x × x ) И x ³ означает ( x x x x x ). Когда вы умножаете эти члены, вы получаете ( x × x × x × x × x × x × x × x ) = x ⁸ .5} {x}

   Отрицательные показатели — как решить

   Как рассчитать отрицательные показатели.

   Правило отрицательных показателей

   Основание b в степени минус n равно деленному на единицу.
   по основанию b в степени n:

   b ^-n = 1/ b ⁿ

   Пример отрицательной экспоненты

   Основание 2 в степени минус 3 равно деленному на 1
   по основанию 2 в степени 3:

   2 ^-3 = 1/2 ³ = 1 / (2⋅2⋅2) = 1/8 = 0. 125

   Дробные отрицательные показатели

   База b в степени минус n / m равна деленному на единицу.
   по основанию b в степени н / м:

   b ^{-н / м} = 1/ b ^{н / м} = 1/
   ( ^м √ b ) ⁿ

   Основание 2 в степени минус 1/2 равно деленному на 1
   по основанию 2 в степени 1/2:

   2 ^-1/2 = 1/2 ^1/2 = 1/ √ 2
   = 0.7071

   Дроби с отрицательным показателем

   Основание a / b в степени минус n равно деленному на единицу.
   по основанию a / b в степени n:

   ( a / b ) ^{— n} = 1 /
   ( a / b ) ⁿ = 1 / ( a ⁿ / b ⁿ )
   = b ⁿ / a ⁿ

   Основание 2 в степени минус 3 равно деленному на 1
   по основанию 2 в степени 3:

   (2/3) ^-2 = 1 / (2/3) ² = 1 / (2 ² /3 ² )
   = 3 ² /2 ² = 9/4 = 2. 25

   Умножение отрицательных показателей

   Для экспонент с одинаковым основанием мы можем добавить показатели:

   a ^-n ⋅ a ^-m = a
   ^{— (п + м )} = 1 /
   а ^{н + м}

   Пример:

   2 ^-3 ⋅ 2 ^-4 = 2 ^{— (3 + 4)}
   = 2 ^-7 = 1/2 ⁷ = 1 / (2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2) = 1/128
   = 0,0078125

   Когда основания разные, а показатели a и b равны
   то же самое, мы можем сначала умножить a и b:

   a ^-n ⋅ b ^-n = ( a ⋅ b )
   ^-n

   Пример:

   3 ^-2 ⋅ 4 ^-2 = (3⋅4) ^-2
   = 12 ^-2 = 1/12 ² = 1 / (12⋅12) = 1/144 =
   0.0069444

   Когда основания и показатели различаются, мы должны
   вычислить каждый показатель, а затем умножить:

   a ^-n ⋅ b ^-m

   Пример:

   3 ^-2 ⋅ 4 ^-3 = (1/9) ⋅ (1/64) = 1
   / 576 = 0,0017361

   Деление отрицательной степени

   Для показателей с одинаковым основанием следует вычесть
   экспонентов:

   a ⁿ / a ^m = a ^n-m

   Пример:

   2 ⁶ /2 ³ = 2 ^6-3 = 2 ³ = 2⋅2⋅2 =
   8

   Когда основания разные, а показатели a и b равны
   то же самое, мы можем сначала разделить a и b:

   a ⁿ / b ⁿ = ( a
   / б ) ^н

   Пример:

   6 ³ /2 ³ = (6/2) ³ =
   3 ³ = 3⋅3⋅3 = 27

   Когда основания и показатели различаются, мы должны
   вычислите каждый показатель и затем разделите:

   a ⁿ / b ^m

   Пример:

   6 ² /3 ³ = 36/27 = 1.