Что называется степенью числа а с натуральным показателем: Урок 2. степень числа — Алгебра — 7 класс

Содержание

Определение степени с натуральным показателем

Вопросы
занятия:

· 
ввести понятия «степень», «основание степени», «показатель степени»;

· 
рассмотреть примеры возведения в степень положительного числа, а также
отрицательного числа в степень с чётным и нечётным показателями;

· 
определить порядок выполнения действий при вычислении значений числовых
выражений, не содержащих скобки.

Материал
урока

В
повседневной жизни мы с вами часто встречаемся со словом «степень». Например,
учёная степень, степень загрязнения воды или атмосферы, степень готовности еды
и так далее.

В
толковом словаре степень определяется как мера, сравнительная величина
чего-нибудь.

На
данном уроке мы поговорим, как применяется слово «степень» в математике.

Нам
известно, что сумму, например, 2 + 2 + 2 + 2 + 2, в которой все
слагаемые равны друг другу, можно записать короче – в виде произведения: 2 ∙
5
. Число 5 показывает, сколько слагаемых в сумме.

Возникает
вопрос: А как записать произведение нескольких одинаковых множителей?

Произведение,
в котором все множители равны друг другу, например,

Читают
его так: 5 в четвёртой степени.

Повторяющийся
множитель 5 называют основанием степени, а число 4, которое показывает,
сколько множителей в произведении – показателем степени.

Сформулируем
определение.

Степенью
числа а с показателем 1 является само число а.

Определение.

Нахождение
значения степени числа называют возведением в степень.

Вторую
степень числа а часто называют квадратом
этого числа. А третью степень – кубом.

Давайте
возведём число 2 в пятую степень.

Отметим,
что при возведении в степень положительного числа получается положительное
число.

Возведём
число – 3 в четвёртую степень.

Обратите
внимание, что в данном примере мы возводили в степень отрицательное
число, а в результате получили положительное. При этом показатель
степени – чётное число.

Возведём
число – 4 в куб.

В
этом примере мы, возведя в степень отрицательное число, получили отрицательный
результат. И при этом показатель степени – нечётное число.

Таким
образом, можем сделать вывод.

Степень
отрицательного числа с чётным показателем – положительное число. Степень
отрицательного числа с нечётным показателем – отрицательное число.

А
вот при возведении в степень 0 всегда получаем 0.

Прежде,
чем приступить к закреплению нового материала, укажем порядок выполнения
действий при вычислении значений числовых выражений, не содержащих скобок.

1. 
Возведение
в степень.

2. 
Умножение
и деление.

3. 
Сложение
и вычитание.

Найдём
значения выражений, содержащих степень.

Пример.

Пример.

Пример.

что такое в алгебре, её свойства, действия с примерами

Степень с натуральным показателем — что такое в алгебре

Степень в алгебре состоит из двух компонентов: основания и показателя. Основание степени — любое число. Показатель — число, которое показывает, сколько раз нужно умножить основание само на себя.

В математике — это степень, показатель которой является натуральным числом.

Вспомним, что натуральными называют все целые числа больше нуля. Так, числа 1; 365; 1890 будут натуральными, а числа 0; –9; 8,7 — нет.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). {100} \ ?\)


Решение:

Решение


Следующая тема

Персональный сайт — Свойства степени

Степень с натуральным показателем.

Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен a:

an

В выражении an :

—  число а (повторяющийся множитель) называют основанием степени

—  число n (показывающее сколько раз повторяется множитель) – показателем степени

Например:
25 = 2·2·2·2·2 = 32,
здесь:
2   – основание степени,
5   – показатель степени,
32 – значение степени

Отметим, что основание степени может быть любым числом.

Вычисление значения степени называют действием возведения в степень. Это действие третьей ступени. То есть при вычислении значения выражения, не содержащего скобки, сначала выполняют действие третьей ступени, затем второй (умножение и деление) и, наконец, первой (сложение и вычитание).

Для записи больших чисел часто применяются степени числа 10. Так, расстояние от земли до солнца примерно равное 150 млн. км, записывают в виде 1,5 · 108

Каждое число больше 10 можно записать в виде: а · 10n , где 1 ≤ a < 10 и n – натуральное число. Такая запись называется стандартным видом числа.

Например:  4578 = 4,578 · 103 ;

103000 = 1,03 · 105.

Свойства степени с натуральным показателем:

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней складываются

a m · a n = a m + n

например:  71.7 · 7 — 0.9 = 71.7+( — 0. 9) = 71.7 — 0.9 =  70.8

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней вычитаются

a m / a n = a m — n ,

где,  m > n,
a ≠ 0

например: 133.8 / 13 -0.2 = 13(3.8 -0.2) = 133.6

3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются.

(a m ) n = a m ·  n

например: (23)2 = 2 3·2 = 26

4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель

(a · b)n = an·bm,

например:(2·3) 3 = 2 n · 3 m ,

5. При возведении в степень дроби в эту степень возводятся числитель и знаменатель

(a / b)n = an / bn

например: (2 / 5)3=(2 / 5)·(2 / 5)·(2 / 5) = 23/53

 

 

Степенью числа а > 0 с рациональным показателем , где m – целое число, а n – натуральное (n > 1), называется число 

Итак:
                                        

Например:

Степень числа 0 определена только для положительных показателей;

по определению 0r = 0  , для любого r > 0

Замечания

  1. Из определения степени с рациональным показателем следует, что для любого положительного а и любого рационального r число ar положительно.
  2. Любое рациональное число допускает различные записи его в виде дроби, поскольку для любого натурального k. Значение аr также не зависит от формы записи рационального числа r.
  3. При а < 0 рациональная степень числа а не определяется.

Для степеней с рациональным показателем сохраняются основные свойства степеней, верные для любых показателей (при условии, что основание степени будет положительным).

 

 

Итак, для любого действительного числа мы определили операцию возведения в натуральную степень; для любого числа мы определили возведения в нулевую и целую отрицательную степень; для любого мы определили операцию возведения в положительную дробную степень; для любого мы определили операцию возведения в отрицательную дробную степень.

Возникает естественный вопрос: можно ли каким-либо образом определить операцию возведения в иррациональную степень, а, следовательно, определить смысл выражения ax и для любого действительного числа x? Оказывается, что для положительных чисел a можно придать смысл записи aα , где α — иррациональное число. Для этого нужно рассмотреть три случая: a = 1, a > 1, 0 < a < 1.

  1. Если a = 1, то по определению полагают, что 1α = 1.
  2. Если a > 1, то выберем любое рациональное число r1 < α и любое рациональное число r2 > α. Тогда, очевидно, r1 < r2 и, следовательно:

    Но и потому (так как a > 1) и, наконец,

    Под понимают такое число, которое лежит между и при любом выборе чисел и обладающих свойством Можно доказать, что число существует и единственно для любого a > 1 и любого иррационального α.

  3. Если 0 < a < 1, то выберем любое рациональное число и любое рациональное число Тогда, очевидно, и, следовательно, (это неравенство доказывается аналогично приведённому выше для a > 1). Под понимают такое число, которое лежит между и при любом выборе чисел и обладающих свойством Можно доказать, что число существует и единственно для любого 0 < a < 1 и любого иррационального α.

Итак, для a > 0 мы определили степень с любым действительным показателем.

Степень и ее свойства 7 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей


Степень и ее свойства


Степенью числа а QEс натуральным показателем n, большим 1, называется выражение an, равное произведению n множителей, каждый из которых равен a.


Степенью числа а с показателем 1 является само число а.


Запись an можно прочитать как «а в степени n», «n-я степень числа а». Если надо найти значение числа в какой-либо степени, то говорим, что надо возвести это число в степень.


При возведении положительного числа в любую степень получается положительное число. Сколько бы раз мы не умножили положительное число само на себя, получим положительное число.


Если возвести число ноль в степень с натуральным показателем, то получим ноль. Действительно, сколько бы раз мы не умножили ноль сам на себя, получится ноль.


А вот при возведении отрицательного числа в степень может получиться как положительное, так и отрицательное число.


Возьмем число -3.


(-4)2 = (-4) · (-4) = 16


(-4)3 = (-4) · (-4) · (-4) = 16 · (-4) = -64


(-4)4 = (-4) · (-4) · (-4) · (-4) = 16 · (-4) · (-4) = (-64) · (-4) = 256


Обратим внимание на то, что если отрицательное число мы возводим в четную степень (2,4 и т.д.), то получаем положительное число, а если в нечетную степень (3,5 и т.д.), то отрицательное число.


Какое же место занимает арифметическое действие возведения в степень, с которым мы только что познакомились в иерархии всех арифметических действий? Если выражение не содержит скобок, то возведение в степень выполняется в первую очередь, потом — умножение или деление, а потом – сложение или вычитание.


Рассмотрим пример: а2 · а4 = (а · а) · (а · а · а · а) = а · а · а · а · а · а = а6 = а2+4.


Для любого числа а и произвольных натуральных чисел m и n верно равенство


а m · an = am+n


При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают.


а m · an · а k = am+n+k


Посмотрим, что получается при делении степеней.


Например, а75 = а · а · а · а · а · а · аа · а · а · а · а · а = а2 = а7-5


Для любого числа а≠0 и произвольных натуральных чисел m и n верно равенство


аmn = аm-n


При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.


Рассмотрим такой случай: an: an = an-n = a0.


Но мы знаем, что если число разделить само на себя, то получится единица. То есть а0 = 1.


Любое а≠0 в нулевой степени равно 1.


Посмотрим, что будет, если возвести в степень произведение. Например:


(аb)3 = ab · ab · ab = a · b · a · b · a · b. Используем переместительное свойство умножения и запишем так: a · a · a · b · b · b = a3 · b3.


Для любых а и b и произвольного натурального числа n верно равенство


(ab)n = anbn


Чтобы возвести в степень произведение, надо возвести в степень каждый множитель, а результаты перемножить.


Аналогично для частного:


abn=anbn


Рассмотрим еще один пример: (х5)2 = (х5) · (x5) = х5+5 = х10.


Для любого числа а и произвольных натуральных чисел m и n верно равенство


(am)n=am∙n


При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают.

Урок по теме «Что такое степень с натуральным показателем». 7-й класс

Цели урока:

  1. формировать понятие степени с натуральным показателем и умение выполнять
    преобразования

    и вычисления со степенями;
  2. воспитывать интерес к предмету;
  3. развивать математический и общий кругозор, внимательность, речь
    учащихся.


Ход урока

I .Организационный момент.

П. Актуализация.

1 .Какие числа знаете?

Какие числа называются натуральными, целыми, рациональными?
(Приложение)
(Слайд 1)

2. Найдите значения следующих выражений: (Слайд 2)

а) 3 + 3 + 3 + 3 (12)

6) 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2(14)

Удобна ли данная запись? Как лучше заменить?

Упростите выражение: х + х + х +. ..+ х (хn)

3. (Cлайд 3)

а) Найдите площадь квадрата со стороной 10 см. (S = a2
=102 = 100см2)

б) Найдите объем куба с ребром 0,5 см3 (V = а3 = 0,53
= 0,125 см3)

III. Изучение нового материала.

–Таким образом, одна из особенностей
математического языка состоит в том, что мы стремимся
использовать более короткие записи.

– А теперь посмотрите на следующий слайд, (Cлайд
4)


1) 10*10

2) 28*28*28
3) 3*3*3*3*3*3*3*3*3


4)
1,5*1,5*1,5*1,5*1,5*1,5


5)
(-2с)*(-2с)*(-2с)*(-2с)*(-2с)


6)
(х +
у)*(х +
у)*(х +
у)8(х +
у)

 
102
283
З9
1,56
(-2с)5
(х + у)4

 

Что вы видите? (Произведение двух чисел заменили квадратом этого числа,
произведение трех чисел – кубом числа. )

– Как бы вы записали по аналогии следующие
произведения?

– Кто запишет на доске?

– Итак, все эти произведения можно заменить более
короткой записью. А если появились новые записи,
значит появляется необходимость новых терминов. Введем новый термин “Степень с
натуральным показателем”.

– Запишем тему урока: “Степень с натуральным
показателем”. (Cлайд 5)

Посмотрим на следующий слайд, (слайд 6). Имеем
произведение п множителей, каждый из которых равен
а.
Коротко это можно записать так: аn,
где а – основание степени, n – натуральный
показатель.

– Читается а в n-ой степени или n-ая степень числа а.

– Прочитайте следующие степени, назовите основание и показатель степени.

– Скажите, а сколько может быть множителей в произведении? А наименьшее
количество? (2)

Получается, что “Степенью числа а с натуральным показателем n
называется произведение n множителей, каждый из
которых равен а, причем n > 2. (Cлайд
7)

– Как вы думаете, полностью ли соответствует
названию темы урока это определение? Ведь тема урока – “Степень с
натуральным показателем”, т. е. подразумевается, что n
– любое натуральное число. Не потеряли ли мы никакое
натуральное число?

– Да, мы потеряли одно натуральное число – 1. Это упущение исправим с помощью
нового определения.

Определение: “Степенью числа с показателем 1 называется само это число”, т.е.
а1 = а.

А операцию отыскания степени называют возведением в степень.

– Выполним несколько упражнений (Cлайд
8)
. Решения запишите в тетрадях.

№1. Представьте в виде произведения третью степень числа 4 и найдите ее
числовое значение. (43 = 4*4*4
= 64) (Cлайд 8)

№ 2. Чему равна сумма кубов чисел 5 и 3? (53
+ 33
= 125 + 27= 152)

№ 3. Вычислите: (Cлайд
9)


1) 53

2) 24 – б2

3) (-4)2 + 25

4) 17
– 92+102
(125)

(-20)

(48)

(20)

№ 4. Представьте данное число в виде степени какого
– либо числа с показателем, отличным от 1.
















1)64 (43
или 26)
2)36 2)
3) 121 (112)
4)
27
3)

5. (слайд 10). Найдите х, если

1)2x
= 32
(х = 5)
2) х3 = 125 (х= 5)

6. Вычислите квадрат куба числа

1)
2
((23)2 = 64)
2)
4
((43)2 = 4096 )

7. (Cлайд 11). Сравните с 0
значения выражений,
конечный результат подсчитывать
только при
необходимости:
1)(-3)4 +
(-81)
(0)
2) (-б)2
– 12
(>0)
3)42*(-1)5 (<0)
4)
(-1,3)*31
(<0)
5)
(-10)6
(>0)
6)
(-5)7
(<0)

Посмотрим следующий слайд (Cлайд 12).

(-2)1 =(– 2) = -2

(-2)2 =(– 2)( – 2)
 = 4

(-2)3 = (– 2) (– 2) (– 2) = -8

(-2)4 = (– 2) (–
2) (– 2)(– 2) = 16

(-2)5 = (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) = -32

(-2)6 = (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) = 64

(-2)7 = (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) = -128

(-2)8 = (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) = 256

(-2)9 = (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) = -512

(-2)10 = (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) (– 2)
= 1024

– В ходе выполнения всех этих упражнений мы
увидели, что при возведении чисел в степень получаются
разные ответы: и положительные, и отрицательные, и 0. Какую закономерность можно
заметить в результате возведения отрицательного числа (-2) в степень?
(Если показатель – четное число, то при возведении в
степень отрицательного числа получается положительное число. Если
показатель – нечетное число, то при возведении в степень отрицательного
числа получается отрицательное число.)

– Составим схему для знака nстепени
числа а. (Cлайд 13)

– Усно возведите в
степень следующие числа: (-2)3,(-5)2, (-1/2)4,
(-1/2)3, (-1)3, (-1)2

III. Закрепление Математический диктант.

– Выполняем задания самостоятельно, потом проверите друг у друга
правильность, поменявшись тетрадями.

№ 1. Запишите в виде произведения 4-ую степень числа а и найдите его значение
при а = 3.

4 = 34 = 81)

№ 2. Чему равна первая степень числа 0,25? (0,25)

№ 3. Чему равна 100-я степень числа 0? (0)

№ 4. Запишите число 125 в виде степени с основанием 5. (53)

№ 5. Сравните -24 и (-2)4. (Слайд 13) (-24
< (-2)4)

– Проверьте работы друг у друга, (Слайд 15)

–У кого все правильно? 1–2 ошибки?

IV.

– А теперь послушаем Лизу Чудновскую. Она получила задание подготовить
небольшую презентацию по теме “Из истории происхождения степени с натуральным
показателем”. (Слайды 16–23).

Хочу сказать, что степень с натуральным показателем в настоящее время широко
используется не только в математике, но и в других науках, в физике, астрономии.
(Слайды 24–26)

Изучение сегодняшней темы закончим словами великого русского ученого,
которому в ноябре исполнилось 300 лет со Дня рождения: “Пусть кто-нибудь
попробует вычеркнуть из математики степени, и он увидит, что без них далеко не
уедешь.” (Слайд 27)

V. Самостоятельная работа.

№ 122,134, 135, 151 (1-й вариант – а, 2-й вариант – б.)

Дополнительное задание (Слайд 28): Найдите значение выражения: n2
+k2, если 2n= 32 и 3к
= 9

VI. Домашнее задание (Cлайд
29):

§ 4 (определения выучить), №№ 136–139,
153.

Презентация «Определение степени с натуральным показателем»

Слайды и текст этой онлайн презентации

Слайд 1

«Определение степени с натуральным показателем».
Муниципальное общеобразовательное учреждение Сынковская общеобразовательная школа Учитель математики Шагова Наталья Александровна

Слайд 2

Что общего в предложенных выражениях?
5∙5∙5 (-1)∙(-1)∙(-1)∙(-1) (а-в)(а-в)(а-в) (ху)(ху)(ху)(ху)(ху) 2/3 • 2/3

Слайд 3

Степень с натуральным показателем.
а=а1 аа = ааа = аааа= ааа∙…∙а=   n раз
а2
а3
а4
аn
а
n
Степень
Основание степени.
Показатель степени.

Слайд 4

Определение:
Степенью числа а с натуральным показателем n большим 1 называется произведение n множителей каждый из которых равен а. Степенью числа а с показателем 1 называется само число а.

Слайд 5

Физкультминутка

Слайд 6

Запишите в виде степени.
5∙5∙5 = (-1)∙(-1)∙(-1)∙(-1)= (а-в)(а-в)(а-в)= (ху)(ху)(ху)(ху)(ху)=
53
(-1)4
(а-в)3
(ху)5

Слайд 7

Найдите ошибку, объясните, дайте правильный ответ.
вввв=4в (-2)(-2)(-2) = -2 3 53 = 15 0 101 = 101 15 = 5 (-1)4 = -1
в4
( )
125
0
1
1

Слайд 8

Вычислите:
54 = 35 = 73 = (-4)4 =
(-2)1 (-2)2 (-2)3
625
243
343
256
= -2
=(-2)(-2) = 4
=(-2)(-2)(-2)(-2) = 16
Какую закономерность можно заметить?

Слайд 9

Укажите порядок действий и вычислите.
3∙(-4)2 = (-2)5∙3 = 100:25- 2∙128 =
1 8
48
-96
2

Слайд 10

Задача.
Найдите площадь квадрата со стороной 1,5 см.
S = а2 S = 1,52 = 2,25см2
Найдите объем куба с ребром 0,6 см.
V = а3 V = 0,63= 0,216 см3

Слайд 11

Домашнее задание.
Учебник: стр. 83-84 (читать, определение выучить). № 130-132 (а, б), 152,155,159.

Слайд 12

Оцени свое настроение на уроке и выбери цифру соответствующего кружочка.

Слайд 13

МОЛОДЦЫ!

( rt )

Где:

A = конечная сумма

P = начальная сумма

e = естественная база = 2,71828

r = ставка (это число будет отрицательным при распаде проблемы и положительные для проблем роста.)

t = время

Вот несколько примеров того, как работает это уравнение.

1.) Радий-226, обычный изотоп радия, имеет период полураспада 1620 лет и скорость распада 0.(-0,086)

A = (120) * (0,)

A = 110 граммов радия-226 останется.

2.) Определенный штамм бактерий растет на кухонном столе со скоростью 0,1386 бактерий в минуту. (0.2,4

A = 10000 * 11,02

A = 110231,76 доллара США

Краткое содержание урока

Натуральное основание, или e , представляет собой математическую константу, равную примерно 2,71828. Он имеет большое применение как в инвестициях, так и в решении научных проблем. e обычно считается одним из пяти основных чисел во всей математике.

Результаты обучения

Работая над уроком, найдите время, чтобы вычислить, насколько хорошо вы можете:

  • Запишите естественную основу
  • Распознавать общие свойства, применимые к нему
  • Используйте общее уравнение для задач роста и распада

Экспоненциальные функции: введение

экспоненциальный
Функции: Введение
(стр.
1 из 5)

Разделы: Введение,
Оценка, построение графиков,
Сложный процент,
натуральная экспонента


Экспоненциальные функции выглядят
чем-то похожи на функции, которые вы видели раньше, поскольку они включают
экспоненты, но есть большая разница в том, что теперь переменная
власть, а не база. Раньше вы сталкивались с такими
функционирует как
f ( x ) = x 2 ,
где переменная x
была база и номер 2
была сила. Однако в случае экспонент вы будете иметь
с такими функциями, как г ( x )
= 2 x ,
где основание — фиксированное число, а степень — переменная.

Посмотрим повнимательнее
у функции г ( x )
= 2 x .
Чтобы оценить эту функцию, мы действуем как обычно, выбирая значения x ,
подключая их и упрощая ответы. Но для оценки 2 x ,
нам нужно помнить, как работают экспоненты. В частности, нам нужно помнить
этот отрицательный
экспоненты означают
«поставить основание по другую сторону линии дроби».

Итак, пока положительный
x -значения
дайте нам такие значения:

. ..отрицательные x -значения
дайте нам такие значения:

Авторские права
Элизабет Стапель 2002-2011 Все права защищены

Собираем вместе
«разумные» (хорошо наглядные) точки, это наша
Т-диаграмма:

…и это наш
график:

Вы должны ожидать экспонент
чтобы выглядеть вот так. То есть они начинаются с малого очень маленького, настолько маленького, что
они практически неотличимы от « y »
= 0 «, что
ось x
а затем, как только они начнут расти, они растут все быстрее и быстрее, так быстро
что они проникают прямо в верхнюю часть вашего графика.

Вам также следует ожидать
что на вашей Т-образной диаграмме не будет много полезных сюжетных точек. Например,
для x
= 4 и x
= 5, значения y
были слишком большими, и почти для всех отрицательных значений x
и -значения
были слишком малы, чтобы их можно было разглядеть, поэтому нужно просто провести линию прямо вдоль
верхняя часть оси x .

Обратите внимание, что моя ось
шкалы не совпадают.Масштаб по оси x
значительно шире шкалы по оси y ;
шкала по оси y
сжат, по сравнению с осью x .
Вы, вероятно, найдете этот метод полезным при построении графиков экспонент,
из-за того, что они так быстро растут. Вы найдете несколько T-диаграмм
точек, а затем, зная общий вид экспонент,
вы будете делать свой график, обычно с левой частью графика
идущий вправо по оси x .


Возможно, вы слышали о
термин «экспоненциальный рост». Это «начинается медленно, но потом
растет все быстрее и быстрее «рост — это то, что они имеют в виду
к. Конкретно наша функция г ( x )
выше удваивается каждый раз, когда мы увеличиваем x .
То есть, когда x
был увеличен на 1
по сравнению с тем, что было, y
увеличился вдвое по сравнению с прежним.Это определение экспоненциальной
рост: существует постоянный фиксированный период, в течение которого функция
увеличится вдвое (или втрое, или в четыре раза и т. д.). Дело в том, что изменение
всегда фиксированная пропорция). Итак, если вы слышите, как кто-то утверждает, что
население мира удваивается каждые тридцать лет, вы знаете, он утверждает
экспоненциальный рост.

Экспоненциальный рост «больше»
и «быстрее», чем полиномиальный рост.Это означает, что неважно
какова степень данного полинома, данной экспоненциальной функции
в конечном итоге будет больше полинома. Хотя экспоненциальный
функция может начаться очень, очень маленькой, со временем она превзойдет
рост полинома, так как он все время удваивается.

Например, x 10
кажется намного «больше», чем 10 x ,
и изначально это:

Но в итоге
10 х
(внизу синим цветом) догоняет и обгоняет x 10
(в красном кружке ниже, где x
десять и лет
составляет десять миллиардов), и это «больше», чем x 10
навсегда после:


Показательные функции всегда
иметь положительное число, отличное от 1
в качестве основы.Если задуматься, наличие отрицательного числа (например,
2)
так как база не будет очень полезной, так как четные полномочия дадут
положительные ответы (например, «(2) 2
= 4 «) и
нечетные степени дадут вам отрицательный ответ (например, «(2) 3
= 8 «), а что
вы бы вообще использовали полномочия, которые не являются целыми числами? Кроме того, имея
0
или 1
поскольку база была бы тупой, так как 0
и 1
к любой мощности просто 0
и 1,
соответственно; какой бы смысл? Вот почему экспоненты всегда
есть что-то положительное, кроме 1
в качестве основы.

Верх
| 1 | 2 | 3
| 4 | 5
|
Вернуться к указателю Далее
>>

Цитируйте эту статью
как:

Стапель, Елизавета.
«Экспоненциальные функции: Введение». Пурпурная математика .
Доступно по номеру
https: //www.purplemath.com / modules / expofcns.htm .
Дата обращения [Дата] [Месяц] 2016 г.

Как определить неизвестную экспоненту

Обновлено 16 февраля 2020 г.

Кевин Бек

Рецензент: Lana Bandoim, B.S.

Если вы видите выражения 3 2 и 5 3 , вы можете с размахом объявить, что они означают «три в квадрате» и «пять в кубе», и сможете найти эквивалентные числа без экспонентов , числа, представленные надстрочными индексами вверху справа вверху.В данном случае это числа 9 и 125.

Но что, если вместо, скажем, простой экспоненциальной функции, такой как y = x 3 , вам придется решить уравнение типа y = 3 x . Здесь x, зависимая переменная, отображается как показатель степени. Есть ли способ избавиться от этой переменной, чтобы упростить математическую обработку?

На самом деле есть, и ответ заключается в естественном дополнении показателей степени, которые являются забавными и полезными величинами, известными как логарифмы .

Что такое экспоненты?

Показатель степени , также называемый степенью , представляет собой сжатый способ выражения повторяющихся умножений числа на себя. 4 5 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 1024.

  • Любое число, возведенное в степень 1, сохраняет то же значение; любое число с показателем 0 равно 1. Например, 72 1 = 72; 72 0 = 1.

Показатели могут быть отрицательными, что приводит к соотношению x −n = 1 / (x n ) .Они также могут быть выражены в виде дробей, например, 2 (5/3) . При выражении в виде дробей числитель и знаменатель должны быть целыми числами.

Что такое логарифмы?

Логарифмы или «бревна» могут рассматриваться как показатели, выраженные как нечто иное, чем степень. Это, вероятно, не очень помогает, так что, возможно, пара примеров поможет.

В выражении 10 3 = 1000 , число 10 является основанием , и оно возводится в третью степень (или степень от тройки).Вы можете выразить это так: «Основание 10 в третьей степени равно 1000».

Пример логарифма: log 10 (1000) = 3 . Обратите внимание, что числа и их отношения друг к другу такие же, как в предыдущем примере, но они были перемещены. На словах это означает, что «логарифм по основанию 10 из 1000 равен 3.»

Величина справа — это степень, в которую необходимо возвести основание 10, чтобы оно равнялось аргументу или входному значению журнала, значению в круглых скобках (в данном случае 1000).A) = A⋅log_ {b} (x) log_ {b} (\ dfrac {1} {y}) = −log_ {b} (y)

Расчет экспоненты

С приведенной выше информацией вы: готовы попробовать найти показатель степени в уравнении.

Пример: если 50 = 4 x , что такое x?

Если вы отнесете журнал к основанию 10 каждой стороны и опустите явную идентификацию основания, это станет log 50 = log 4 x . Из окна выше вы знаете, что log 4 x = x log 4. В результате вы получите

log 50 = x log 4 или x = (log 50) / (log 4).

Используя свой калькулятор или электронное устройство по выбору, вы обнаружите, что решение: (1,689 / 0,602) = 2,82 .

Решение экспоненциальных уравнений с e

Те же правила применяются, когда основание составляет e , так называемый натуральный логарифм , который имеет значение около 2,7183. У вас также должна быть кнопка для этого на вашем калькуляторе. Это значение также получает свое собственное обозначение: log e x записывается просто «ln x».

  • Функция y = e x i, где e не переменная, а константа с этим значением, является единственной функцией с наклоном, равным ее собственной высоте для всех x и y.
  • Аналогично журналу 10 10 x = x, ln e x = x для всех x.

Пример: Решите уравнение 16 = e 2,7x .

Как и выше, ln 16 = ln e 2,7x = 2,7x.

ln 16 = 2,77 = 2,7x, поэтому x = 2/77 / 2,7 = 1,03.

College Algebra
Учебник 42: Экспоненциальные функции


Цели обучения


После прохождения этого руководства вы сможете:

  1. Используйте кнопки экспоненты и e на вашем
    калькулятор.
  2. Вычислить экспоненциальную функцию.
  3. График экспоненциальных функций.
  4. Расчет сложных задач по процентам.

Введение


В этом уроке мы рассмотрим экспоненциальную
функции.
Перед тем, как начать, полезно ознакомиться с экспонентами в целом.
это
урок. В этом руководстве отличается то, что ваша переменная x теперь является показателем степени, тогда как раньше переменная x была в вашей базе.Я не могу этого особо подчеркнуть, если ты
не знакомы с основами экспонентов, которые вам нужны
рассмотрение
экспоненты, которые вы можете найти в учебнике
2: Целочисленные экспоненты.
Одна вещь, которую мы рассмотрим в
этот раздел использует вашу экспоненту и клавиши e на вашем
калькулятор.
Поэтому убедитесь, что ваш калькулятор готов к работе. Так и будет
также
помочь вам с проблемами построения графиков. Скажем, мы посмотрим на
эти экспоненциальные функции.

Учебник


Определение
Экспоненциальная функция

Функция f определена в

где b > 0, b 1,
а показатель степени x — любое действительное число, называется экспоненциальным
функция.

Снова обратите внимание, что переменная x
в
экспонента в отличие от основания, когда мы имеем дело с экспоненциальной
функции.

Также обратите внимание, что в этом определении основание b ограничено положительным числом, отличным от 1.

Показатель экспоненты
на калькуляторе

Прежде чем мы перейдем к фактической экспоненте
функции, я хотел
чтобы убедиться, что все знают, как использовать ключ экспоненты на своем
калькулятор.
Поскольку существует много разных калькуляторов, я перейду
более
общие. На этом этапе вам нужно убедиться, что
ты
знать, как использовать ключ экспоненты, потому что мы будем его интенсивно использовать
повсюду в этом, а также в следующем блоке.

Две основные клавиши экспоненты
найдено на калькуляторах
есть (у вас будет только один из них):

Верхняя клавиша каретки:
^
База поднята до
ключ степени:

ИЛИ

Проверьте, есть ли у вас один из двух основных типов
ключи экспоненты
(у вас не будет обоих).Если у вас его нет, проверьте
Другие.
Если вы не видите ни того, ни другого, посмотрите справочное руководство, прилагаемое к
то
калькулятор, чтобы узнать, какой это ключ.

База e

e примерно
2.718281828 …

Экспоненциальная функция с основанием e имеет вид
называется естественной экспоненциальной функцией
.

e имеет добавленное значение
(аналогично пи). e примерно
2,718281828 …

Эта база используется в экономическом анализе и проблемах
с участием естественных
рост и распад.

На этом этапе мы просто узнаем, как найти
значение e возведено в степень с помощью калькулятора.

Я хочу убедиться, что все знают, как использовать клавишу e на своем калькуляторе. Поскольку есть много разных
калькуляторы
Я рассмотрю наиболее распространенные.На этом этапе вам нужно
убедитесь, что вы знаете, как использовать этот ключ, потому что мы
быть
используя его в большой степени.

На калькуляторах есть два основных ключа e (у вас будет только один из них):

e ключ и
верхняя клавиша Caret:

(2 клавиши)
e , а затем ^
e повышен до
ключ степени:

(1 ключ)

Проверьте, есть ли у вас один из двух основных типов ключей и (у вас не будет обоих).Если у вас его нет, проверьте
Другие. Если вы не видите ни того, ни другого, посмотрите справочное руководство,
пришел с калькулятором, чтобы узнать, какой это ключ.

Использование клавиши e с верхней клавишей каретки чаще всего встречается при построении графиков.
калькуляторы
но можно найти и на других типах калькуляторов.5. Если у вас есть
148.41316 …, вы правильно ввели. Если нет, попробуйте еще раз. Если
вы все еще не можете найти его в справочном руководстве, которое прилагается к
калькулятор.

Ключ, который выглядит
как это наиболее распространено в деловых и научных калькуляторах, но можно найти
на другие типы калькуляторов.

На большинстве деловых и научных калькуляторов функциональная клавиша e выглядит или очень похожа на нее. Так что проверьте этот ключ — обратите внимание, что
разница между этим и приведенным выше в том, что у этого ключа есть
Переменная
экспонента, отображаемая на клавише — на вышеуказанной клавише есть только e (нет
показатель степени. Если у вас есть этот ключ, давайте попрактикуемся, возьмем e и возведем его в 5-ю степень.В этой ситуации вы
первый
введите показатель степени, а затем активируйте свой ключ. Идите вперед и попробуйте, найдя e в 5-й степени. Введите 5 и нажмите.
Вы должны были получить 148,41316 … в качестве ответа. Если нет, попробуйте
очередной раз. Если
вы все еще не можете найти его в справочном руководстве, которое прилагается к
калькулятор.

С помощью калькулятора,
в целом

Как упоминалось выше, существует множество различных типов
калькуляторов
там. Я хочу упомянуть несколько моментов о добавлении
формулы.

Графические калькуляторы:
Большинство графических калькуляторов позволяют ввести всю формулу перед
вы нажимаете ввод. Фактически, вы можете все это увидеть. если ты
собираетесь подключить всю формулу за один раз, просто убедитесь, что вы
осторожны. Обратите особое внимание на скобки
В правильном месте.

Деловые и научные калькуляторы:
На большинстве деловых и научных калькуляторов вам нужно будет поставить
формула частично по частям.Работайте наизнанку из
скобка. ДО
НЕ раунд, пока не дойдете до конца
По мере того, как вы идете шаг за шагом,
не
сотрите то, что у вас есть на экране калькулятора, но используйте это в следующем
шаг,
так что у вас будет полное десятичное число. Примеры
набор
вверх, чтобы показать вам, как собрать все вместе — шаг за шагом.

Все калькуляторы:
НЕ округляйте, пока не дойдете до окончательного ответа .
Ты сможешь
обратите внимание, что во многих примерах я ставлю точки после цифр,
было бы
продолжайте, если бы у меня было больше места на моем калькуляторе. Держать в
помните, что в вашем калькуляторе может быть меньше или больше ячеек, чем в моем
калькулятор
делает — так что ваш калькулятор может дать немного другой ответ
чем
мой из-за округления. Хотя это должно быть очень близко.

Убедитесь, что вы прошли через
эти примеры
с помощью калькулятора, чтобы убедиться, что вы вводите все в порядке

.
Если ты
возникли проблемы, проверьте справочник, прилагаемый к
калькулятор
или спросите об этом своего учителя математики.

Пример
1
: приблизительное число, используя
Калькулятор.Округлить до четырех знаков после запятой.

Попробуйте это с помощью калькулятора и посмотрите, получите ли вы
ответь, что я
получил. Если вы этого не сделали, вернитесь к клавише e на калькуляторе , которая есть у меня выше.
Пример
2
: приблизительное число, используя
Калькулятор.Округлить до четырех знаков после запятой.

Попробуйте это с помощью калькулятора и посмотрите, получите ли вы
ответь, что я
получил. Если вы этого не сделали, вернитесь к клавише e на калькуляторе , которая есть у меня выше.

Построение графиков
Экспоненциальные функции

Шаг 1: Найдите заказанный
пары.

Я обнаружил, что лучший способ сделать это — это сделать
то же самое каждый
время. Другими словами, каждый раз вводите одни и те же значения для x , а затем найдите соответствующее значение y для данной функции.

Это делается точно так же, как вы наносили точки, когда
вы нарисовали
линии и параболы.

Базовая кривая экспоненциальной функции выглядит
например:

ИЛИ ЖЕ
Пример
3
: Постройте график функции.

Обратите внимание, что основание = 4, а показатель степени — наша переменная x .
Также обратите внимание, что это в основной форме, данной определением
выше,
другими словами, на эту функцию не влияют никакие другие факторы.

Я обнаружил, что лучший способ сделать это — это сделать
то же самое каждый
время.Другими словами, каждый раз вводите одни и те же значения для x , а затем найдите соответствующее значение y для данной функции.

Пример
4
: Постройте график функции.

Обратите внимание, что основание = 4, а показатель степени равен x — 1. Есть два внешних фактора, мы вычитаем 1 из нашего
переменная x в экспоненте И мы добавляем 3 к нашей базе после того, как возводим ее в
то
показатель степени x — 1.

Я обнаружил, что лучший способ сделать это — это сделать
то же самое каждый
время.Другими словами, каждый раз вводите одни и те же значения для x , а затем найдите соответствующее значение y для данной функции.

Пример
5
: Постройте график функции.

Обратите внимание, что основание = 1/4, а показатель степени — это наша
переменная x .
На этот раз есть два внешних фактора, мы умножаем наши
базовый
формируем на 4, а затем вычитаем 3.

Будьте осторожны, используйте порядок операций при
работа над проблемой
как это. Нам нужно сначала разобраться с экспонентой, прежде чем мы
умножать
на 4.Очень заманчиво скрестить четверку снаружи с
то
4 в знаменателе нашей базы. Но 4 в знаменателе — это
заключен в () с присоединенной к нему экспонентой, поэтому мы должны иметь дело
с участием
это сначала, прежде чем задействовать 4 внешних.

Давайте найдем пары заказов. Опять же, мы будем использовать то же самое
входные значения
для x мы использовали в примерах 3 и 4 и
найти
соответствующие выходные значения для этой экспоненциальной функции.

Я обнаружил, что лучший способ сделать это — это сделать
то же самое каждый
время. Другими словами, каждый раз вводите одни и те же значения для x , а затем найдите соответствующее значение y для данной функции.

Сложная сумма и проценты

Сложный процент означает, что в конце каждого
процентный период
проценты, полученные за этот период, добавляются к предыдущему принципу (
инвестированная сумма), так что она тоже будет приносить проценты сверх следующих процентов
период.Другими словами, это накопительные проценты.

Сложные проценты
Формула

где,
S = соединение или
накопленная сумма

P = Основная сумма
(начиная
значение)

r = номинальная ставка (годовая
% ставки)

n = количество соединения
периодов в
год

т = количество лет

Обратите внимание, что эта формула может
Выглядит иначе
чем тот, что из вашего учебника по математике.Иногда используется A
для
сложные или накопленные проценты вместо S .

Также иногда r представляет периодическую скорость, где
в
по приведенной выше формуле это номинальная ставка. В этом типе
формула
вы не увидите, что r делится на n ,
но вам все равно придется это делать, если ваш r представляет собой периодическую ставку.Это просто не показано как часть
формула.

Только учтите, что как бы ни формула
выглядит концепция
та же.

Пример
6
: Найдите а) количество соединения И б)
сложный
проценты за данную инвестицию и ставку.

15000 долларов США на 14 лет из расчета 5% годовых
ежемесячно.

Обратите внимание, что шаги, показанные на
примеры 6, 7,
и 8 идут о том, как сделать это по частям в бизнесе или
научный
калькулятор. Если у вас есть графический калькулятор, вы можете выбрать
делать
это так (по частям) или вы можете вставить всю формулу и
тогда
нажмите Enter, чтобы получить окончательный ответ.

Также обратите внимание, что разные
калькуляторы круглые
к разным разрядным значениям. Итак, когда вы кладете это
в
ваш калькулятор имейте в виду, что ваш может округлять до другого
место, чем у меня, поэтому последняя цифра может немного отличаться от
справа от десятичной дроби. Кроме того, не округляйте ничего до тех пор, пока
вы получите окончательный ответ.Например, если вы округлите до 2
десятичный
места на первом этапе, тогда ваш окончательный ответ может быть неверным. Ты
хотите максимально приблизиться к цифрам, поэтому выбирайте все
ваш
калькулятор даст вам, а затем округлится, когда вы напишете окончательный ответ.

P = 15000
r = 5% =.05
t = 14
n = ежемесячно = 12 раз в год

* Подключаемые значения указаны выше
в составную форму.

* Найдите число внутри (
) первая

* Поднимите () до
168-я степень

* Умножить

Итак, сложная СУММА будет 30162 доллара.39

Сумма соединения — это общая сумма, которая находится в
учетная запись. Как
как вы думаете, мы получим интерес ?? Что ж, у нас есть
принцип
что является начальным количеством, и у нас есть сложное количество, которое
конечный результат. Похоже, если мы возьмем разницу между ними, то
покажет нам, сколько процентов было заработано от начала до конца.Какие
делать
Вы думаете?

Сумма сложного платежа — принцип: 30162,39 — 15000 =
15162,39

Итак, наш сложный процент в размере составляет 15162,39 доллара.

Ух ты, наши деньги удвоились, а потом еще немного — конечно
составили 168 раз.

Пример
7
: Найдите а) количество соединения И б)
сложный
проценты за данную инвестицию и ставку.

20500 долларов США на 15 лет из расчета 7,5% годовых
раз в полгода.

P = 20500
r = 7,5% = 0,075
t = 15
n = каждые полгода = 2 раза в год
год.

* Подключаемые значения указаны выше
в составную форму.

* Найдите число внутри (
) первая

* Поднимите () до
30-я степень

* Умножение

Таким образом, сложная СУММА будет 61858,16 долларов США

Сумма соединения — это общая сумма, которая находится в
учетная запись.Как
как вы думаете, мы получим интерес ?? Что ж, у нас есть
принцип
что является начальным количеством, и у нас есть сложное количество, которое
конечный результат. Похоже, если мы возьмем разницу между ними, то
покажет нам, сколько процентов было заработано от начала до конца. Какие
делать
Вы думаете?

Общая сумма — основная сумма: 61858.16 — 20500 =
41358.16

Итак, наш сложный процент в размере составляет 41358,16 доллара.

Соединение непрерывно
Формула

где,
S = соединение или
накопленная сумма

P = Основная сумма
(начиная
значение)

r = номинальная ставка (годовая
% ставки)

t = количество лет

Непрерывно смешивается означает, что
каждое мгновение
времени.

Обратите внимание, что эта формула может выглядеть
в отличии от этого
тот, что из твоего учебника по математике. Иногда A используется для
сложный
или накопленные проценты вместо S .

Только учтите, что как бы ни формула
выглядит концепция
та же.

Пример
8
: Найдите накопленную стоимость инвестиции
из
5000 долларов, которые начисляются непрерывно в течение четырех лет под проценты
показатель
из 4.5%.

P = 5000
r = 4,5% = 0,045
t = 4

* Вставьте значения, указанные выше, в
сложный
форма.

* Поднимите e до
18-я степень

* Умножить

Таким образом, накопленная или составная СУММА будет
5986 долларов.09

Практические задачи


Это практические задачи, которые помогут вам перейти на следующий уровень.
Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы эти
типы проблем. Математика работает как и все
в противном случае, если вы хотите добиться успеха в этом, вам нужно практиковать это.
Даже лучшие спортсмены и музыканты получали помощь и много
практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы стать лучше в своем виде спорта или инструменте.

На самом деле не бывает слишком много практики.

Чтобы получить максимальную отдачу от них, вы должны решить проблему на
свой, а затем проверьте свой ответ, щелкнув ссылку для ответа / обсуждения
для этой проблемы
. По ссылке вы найдете ответ
а также любые шаги, которые позволили найти этот ответ.

Практические задачи 1a — 1b: Приблизительное число
с помощью калькулятора.
Округлить до четырех знаков после запятой.

Практические задачи 2a — 2b: Постройте график заданной функции.

Практические задачи 3a — 3b: Найдите а) количество соединения И
б) соединение
проценты за данную инвестицию и ставку.

Практическая задача 4a: Найдите накопленное значение для
данные инвестиции
и оцените.

Нужна дополнительная помощь по этим темам?




Последний раз редактировал Ким Сьюард 21 марта 2011 г.
Авторские права на все содержимое (C) 2002 — 2011, WTAMU и Kim Seward. Все права защищены.

Алгебра: классифицирующие полиномы

Классифицирующие полиномы

Полином в основном представляет собой последовательность математических групп (называемых членами ), сложенных вместе. Каждая отдельная группа обычно состоит из одной или нескольких переменных, возведенных в экспоненциальную степень, обычно с добавленным коэффициентом. Многочлены могут быть такими простыми, как выражение 4 x , или такими сложными, как выражение 4 x 3 + 3 x 2 -9 x + 6.

Полиномы обычно записываются в стандартной форме, что означает, что члены перечислены в порядке от наибольшего экспоненциального значения до члена с наименьшим показателем. Поскольку член, содержащий переменную в наибольшей степени, указан первым в стандартной форме, его коэффициент называется ведущим коэффициентом . Многочлен, не содержащий переменной, называется константой .

Talk the Talk

Многочлен состоит из суммы различных алгебраических групп (называемых термами ), каждый из которых состоит из числа, одной или нескольких переменных, возведенных в степень, или обоих.Наибольший показатель степени в полиноме называется степенью , а коэффициент переменной, возведенный в этот показатель, называется ведущим коэффициентом . Константа в полиноме не имеет записанной рядом переменной.

Например, если бы вы записали многочлен 2 x 3 -7 x 5 + 8 x + 1 в стандартной форме, это выглядело бы так: -7 x 5 + 2 x 3 + 8 x + 1.(Обратите внимание, что переменная каждого члена имеет меньшую степень, чем член слева от него.) градусов этого полинома равняется 5, его старший коэффициент равен -7, а константа — 1.

Технически, константа в многочлен имеет присоединенную к переменную, но эта переменная возведена в степень 0. Например, вы можете переписать простой многочлен 2 x + 1 как 2 x + 1 x 0 , но поскольку x 0 = 1 (и все, умноженное на 1, равно самому себе), нет причин писать x 0 в конце многочлена.

Поскольку существует так много разных видов полиномов (52 вкуса на последней проверке, включая фисташковый), есть два метода, которые используются для их классификации: один основан на количестве терминов, содержащихся в полиноме (см. Таблицу 10.1), и один, основанный на степени полинома (см. Таблицу 10.2).

Таблица 10.1 Классификация многочлена по количеству его членов

Количество членов Классификация Пример
1 мономиал 19

80 2

19

80 2

2 биномиальный 3 x 3 — 7 x 2
3 трехчленный 2 x 9 — 9 + 5

Обратите внимание, что существуют только специальные классификации многочленов в соответствии с количеством их членов, если это число равно трем или меньше.Полиномы с четырьмя или более членами либо классифицируются по степени, либо просто описываются сверхобщей (и не очень полезной) меткой «многочлен». (Это так же точно, как и ярлык «человек».)

Таблица 10.2. Классификация многочлена на основе его степени

Степень Классификация Пример
0 константа 2 x 0 или 2
1 линейный 6 x 1 + 9 или 6 x + 9
2 квадратичный 9288 2 — 25 x + 6
3 кубический x 3 — 1
4 кварт 2 x 9 — 3 9 — 3 9 — 3 9 — 3 + x -8
5 quintic 3 x 5 -7 x 3 -2
Критическая точка

9000 4 Если вас попросят классифицировать полином, например 3 x 3 y 2 -4 xy 3 + 6 x (который содержит более одного вида переменных в некоторых или всех его членов) в соответствии с его степенью сложите показатели в каждом члене вместе.Самая высокая сумма будет степенью. В 3 x 3 y 2 — 4 xy 3 + 6 x , степень равна 5, так как наибольшая сумма экспоненты происходит от первого члена, а 3 + 2 = 5

Существует больше классификаций степеней для многочленов, но наиболее часто используются те, которые перечислены в таблице 10.2.

При классификации многочлена нет необходимости выбирать тот или иной метод. Фактически, если вы классифицируете многочлен в обоих направлениях сразу, когда это возможно, вы рисуете его более наглядную картину.

У вас есть проблемы

Задача 1: Классифицируйте следующие многочлены:

(a) 4 x 3 + 2

Пример 1 : Классифицируйте следующие многочлены.

  • (a) 3 — 4 x — 6 x 2
  • Решение : Этот многочлен состоит из трех членов, поэтому он является трехчленом. Кроме того, его степень равна 2, что делает его квадратичным. Итак, все вместе это квадратный трехчлен. Когда вы используете обе классификации одновременно, сначала напишите классификатор степеней, поскольку это прилагательное («трехчленный квадратичный» звучит неправильно).
  • (b) 13
  • Решение : есть только один термин, и в нем нет явно записанной переменной; следовательно, это то же самое, что и 13 x 0 . Это выражение лучше всего классифицировать как постоянный моном.

Выдержки из Полное руководство для идиотов по алгебре 2004 У. Майкла Келли. Все права защищены, включая право на полное или частичное воспроизведение в любой форме. Используется по договоренности с Alpha Books , членом Penguin Group (USA) Inc.

Эту книгу можно приобрести на Amazon.com и Barnes & Noble.

Экспоненциальные и логарифмические функции

Экспоненциальные функции

На этом этапе нашего изучения алгебры мы начинаем рассматривать трансцендентные функции или функции, которые кажутся «выходящими за пределы» алгебры. Мы изучили функции с переменным основанием и постоянным показателем, например x2 или y − 3. В этом разделе мы исследуем функции с постоянной базой и переменными показателями. Дано действительное число b> 0, где b ≠ 1 экспоненциальная функция Любая функция с определением вида f (x) = bx, где b> 0 и b ≠ 1.имеет вид

f (x) = bx Экспоненциальная функция

Например, если основание b равно 2, то у нас есть экспоненциальная функция, определяемая как f (x) = 2x. Здесь мы видим, что показатель степени — это переменная. До этого момента рациональные показатели были определены, а иррациональные показатели — нет. Рассмотрим 27, где показатель степени является иррациональным числом в диапазоне

2,64 <7 <2,65

Мы можем использовать эти оценки для оценки 27,

22.7≈6,26

Следовательно, область определения любой экспоненциальной функции состоит из всех действительных чисел (−∞, ∞). Выберите несколько значений для x , а затем определите соответствующие значения y .

xyf (x) = 2xSolutions − 214y = 2−2 = 122 = 14 (−2, 14) −112y = 2−1 = 121 = 12 (−1, 12) 01y = 20 = 1 (0, 1) 12y = 21 = 2 (1, 2) 24y = 22 = 4 (2, 4) 76,26y = 27≈6,26 (2,65, 6,26)

Поскольку показатели определены для любого действительного числа, мы можем нарисовать график, используя непрерывную кривую, проходящую через эти заданные точки:

Важно отметить, что по мере приближения x к отрицательной бесконечности результаты становятся очень маленькими, но на самом деле никогда не достигают нуля.Например,

f (−5) = 2−5 = 125≈0,03125f (−10) = 2−10 = 1210≈0,0009766f (−15) = 2−15 = 12−15≈,00003052

Это описывает горизонтальную асимптоту при y = 0, оси x и определяет нижнюю границу диапазона функции: (0, ∞).

Основание b экспоненциальной функции влияет на скорость ее роста. Ниже мы изобразили y = 2x, y = 3x и y = 10x на том же наборе осей.

Обратите внимание, что все эти экспоненциальные функции имеют один и тот же интервал y , а именно (0,1).Это потому, что f (0) = b0 = 1 для любой функции, определенной с помощью формы f (x) = bx. Поскольку функции читаются слева направо, они интерпретируются как возрастающие или растущие по экспоненте. Кроме того, любая экспоненциальная функция этой формы будет иметь область, состоящую из всех действительных чисел (−∞, ∞), и диапазон, состоящий из положительных значений (0, ∞), ограниченных горизонтальной асимптотой при y = 0.

Пример 1

Нарисуйте график и определите область и диапазон: f (x) = 10x + 5.

Решение:

База 10 используется часто, особенно в научных обозначениях. Следовательно, 10 называется общей базой . Фактически, экспоненциальная функция y = 10x настолько важна, что вы найдете кнопку 10x, посвященную ей, на большинстве современных научных калькуляторов. В этом примере мы нарисуем базовый график y = 10x, а затем сдвинем его на 5 единиц вверх.

Обратите внимание, что горизонтальная асимптота основного графика y = 10x была сдвинута на 5 единиц вверх до y = 5 (показано пунктиром).Найдите минутку, чтобы оценить несколько значений x с помощью своего калькулятора и убедиться, что результат никогда не будет меньше 5.

Ответ:

Домен: (−∞, ∞); Диапазон: (5, ∞)

Затем рассмотрим экспоненциальные функции с дробным основанием 0

xyf (x) = (12) xSolutions − 24f (12) = (12) −2 = 1−22−2 = 2212 = 4 (−2, 4) −12f (12) = (12) −1 = 1 −12−1 = 2111 = 2 (−1, 2) 01f (12) = (12) 0 = 1 (0, 1) 112f (12) = (12) 1 = 12 (1, 12) 214f ​​(12) = (12) 2 = 14 (2, 14)

точек у нас есть,

Если читать график слева направо, он интерпретируется как экспоненциально убывающий.База влияет на скорость уменьшения или затухания экспоненциальной функции. Ниже мы изобразили y = (12) x, y = (13) x и y = (110) x на одном и том же наборе осей.

Напомним, что x − 1 = 1x, и поэтому мы можем выразить экспоненциальные функции с дробным основанием, используя отрицательные показатели. Например,

г (x) = (12) x = 1x2x = 12x = 2 − x.

Кроме того, учитывая, что f (x) = 2x, мы можем видеть g (x) = f (−x) = 2 − x и можем рассматривать g как отражение f относительно оси y .

Таким образом, при b> 0

И для обоих случаев

Область: (- ∞, ∞) Диапазон: (0, ∞) Y-точка пересечения: (0,1) Асимптота: y = 0

Кроме того, обратите внимание, что графики проходят проверку горизонтальной линии и, следовательно, экспоненциальные функции взаимно однозначны. Мы используем эти базовые графики вместе с преобразованиями, чтобы рисовать графики экспоненциальных функций.

Пример 2

Сделайте набросок графика и определите область и диапазон: f (x) = 5 − x − 10.

Решение:

Начните с основного графика y = 5 − x и сдвиньте его на 10 единиц вниз.

Перехват y равен (0, −9), а горизонтальная асимптота y = −10.

Ответ:

Домен: (−∞, ∞); Диапазон: (−10, ∞)

Примечание : Нахождение пересечения x графика в предыдущем примере оставлено для следующего раздела этой главы.А пока нас больше интересует общая форма экспоненциальных функций.

Пример 3

Нарисуйте график и определите область и диапазон: g (x) = — 2x − 3.

Решение:

Начните с основного графика y = 2x и определите преобразования.

y = 2x Базовая диаграмма = −2x Отражение относительно оси xy = −2x − 3 Сдвиг вправо на 3 единицы

Обратите внимание, что горизонтальная асимптота остается неизменной для всех преобразований.В завершение мы обычно хотим включить перехват y . Помните, что для нахождения интервала y мы устанавливаем x = 0.

г (0) = — 20−3 = −2−3 = −123 = −18

Следовательно, интервал y равен (0, −18).

Ответ:

Домен: (−∞, ∞); Диапазон: (−∞, 0)

Попробуй! Нарисуйте график и определите область и диапазон: f (x) = 2x − 1 + 3.

Ответ:

Домен: (−∞, ∞); Диапазон: (3, ∞)

Натуральная база e

Некоторые числа часто встречаются в общих приложениях. Одно из таких знакомых чисел — пи (π), которое, как мы знаем, встречается при работе с кругами. Это иррациональное число имеет специальную кнопку на большинстве калькуляторов π и округлено до пяти десятичных знаков, π≈3,14159. Еще одно важное число e возникает при работе с моделями экспоненциального роста и спада.Это иррациональное число, округленное до пяти десятичных знаков, e≈2,71828. Эта константа естественным образом встречается во многих реальных приложениях и поэтому называется естественным основанием . Иногда e называют постоянной Эйлера в честь Леонарда Эйлера (произносится как «Ойлер»).

Рисунок 7.1

Леонард Эйлер (1707–1783)

Фактически, естественная экспоненциальная функция ,
f (x) = ex
настолько важен, что вы найдете соответствующую ему кнопку ex на любом современном научном калькуляторе.(−2) ≈0,13534

После того, как вы научились пользоваться вашим конкретным калькулятором, теперь вы можете рисовать график, нанося точки. (Округлите до сотых.)

xyf (x) = exSolutions − 20,14f (−2) = e − 2 = 0,14 (−2, 0,14) −10,37f (−1) = e − 1 = 0,37 (−1, 0,37) 01f (0) = e0 = 1 (0, 1) 12,72f (1) = e1 = 2,72 (1, 2,72) 27,39f (2) = e2 = 7,39 (2, 7,39)

Постройте точки и нарисуйте график.

Обратите внимание, что функция аналогична графику y = 3x.Домен состоит из всех действительных чисел, а диапазон — из всех положительных действительных чисел. Имеется асимптота при y = 0 и пересечение y в точке (0,1). Мы можем использовать преобразования, чтобы нарисовать график более сложных экспоненциальных функций.

Пример 4

Нарисуйте график и определите область и диапазон: g (x) = ex + 2−3.

Решение:

Определите основные преобразования.

y = ex Базовый = ex + 2 Сдвиг влево на 2 единицы y = ex + 2−3 Сдвиг вниз на 3 единицы

Для определения точки пересечения y установите x = 0.

г (0) = e0 + 2−3 = e2−3≈4,39

Следовательно, перехват y равен (0, e2−3).

Ответ:

Домен: (−∞, ∞); Диапазон: (−3, ∞)

Попробуй! Нарисуйте график и определите область и диапазон: f (x) = e − x + 2.

Ответ:

Домен: (−∞, ∞); Диапазон: (2, ∞)

Формула сложных процентов

Экспоненциальные функции появляются в формулах, используемых для расчета процентов, полученных на большинстве обычных сберегательных счетов.Сложные проценты возникают, когда проценты, накопленные за один период, добавляются к основной инвестиции перед начислением процентов за следующий период. Сумма, начисленная таким образом с течением времени, моделируется формулой сложных процентов Формула, которая дает сумму, накопленную за счет начисления процентов на основную сумму и проценты с течением времени: A (t) = P (1 + rn) nt .:

А (t) = P (1 + rn) nt

Здесь сумма A зависит от времени t в годах основная сумма P накапливает сложные проценты по годовой процентной ставке r .Значение n представляет, сколько раз начисляются проценты в год.

Пример 5

Инвестиция в размере 500 долларов США производится в шестилетний компакт-диск, который приносит 412% годовых, которые начисляются ежемесячно. Сколько будет стоить компакт-диск в конце шестилетнего срока?

Решение:

Здесь основная сумма P = 500 долларов, процентная ставка r = 412% = 0,045, а поскольку проценты начисляются ежемесячно, n = 12.Инвестиция моделируется следующим образом:

А (т) = 500 (1 + 0,04512) 12 т

Чтобы определить сумму на счете через 6 лет, оцените A (6) и округлите до ближайшего цента.

A (6) = 500 (1 + 0,04512) 12 (6) = 500 (1,00375) 72 = 654,65

Ответ: К концу шестилетнего срока компакт-диск будет стоить 654,65 доллара.

Затем мы исследуем эффекты увеличения n в формуле. Для ясности положим P и r равными 1 и рассчитаем соответственно.

Годовое начисление процентов

(1 + 1н) №

Ежегодно (n = 1)

(1 + 11) 1 = 2

Раз в полгода (n = 2)

(1 + 12) 2 = 2,25

Ежеквартально (n = 4)

(1 + 14) 4≈2.44140

Ежемесячно (n = 12)

(1 + 112) 12≈2,61304

Еженедельно (n = 52)

(1 + 152) 52≈2,69260

Ежедневно (n = 365)

(1 + 1365) 365≈2,71457

Почасовая (n = 8760)

(1 + 18760) 8760≈2.71813

Продолжая эту схему, по мере того, как n увеличивается, чтобы сказать сложение каждую минуту или даже каждую секунду, мы можем видеть, что результат стремится к естественному основанию e≈2,71828. Каждое мгновение начисление процентов приводит к формуле непрерывного начисления процентов Формула, которая дает сумму, накопленную за счет непрерывно начисляемых процентов: A (t) = Pert.,

А (т) = Pert

Здесь P представляет собой начальную инвестированную сумму основного долга, r представляет собой годовую процентную ставку, а t представляет собой время в годах, в течение которого инвестиции могут начислять непрерывно начисленные проценты.

Пример 6

Инвестиция в размере 500 долларов осуществляется в 6-летний CD, приносящий 412% годовых, которые непрерывно начисляются. Сколько будет стоить компакт-диск в конце шестилетнего срока?

Решение:

Здесь основной P = 500 долларов, а процентная ставка r = 412% = 0,045. Поскольку процентная ставка увеличивается непрерывно, мы будем использовать формулу A (t) = Pert. Инвестиция моделируется следующим образом:

А (т) = 500е0.045т

Чтобы определить сумму на счете через 6 лет, оцените A (6) и округлите до ближайшего цента.

А (6) = 500e0,045 (6) = 500e0,27 = 654,98

Ответ: К концу шестилетнего срока компакт-диск будет стоить 654,98 долларов.

Сравните два предыдущих примера и обратите внимание, что непрерывное начисление сложных процентов может быть не таким полезным, как кажется. Хотя лучше чаще вводить сложные проценты, разница не так уж и велика.Конечно, процентная ставка является гораздо большим фактором в конечном результате.

Попробуй! Сколько будет стоить компакт-диск стоимостью 1200 долларов с непрерывным накоплением 5,2% годовых в конце 10-летнего срока?

Ответ: 2 018,43 $

Основные выводы

  • Экспоненциальные функции имеют определение вида f (x) = bx, где b> 0 и b ≠ 1.Область состоит из всех действительных чисел (−∞, ∞), а диапазон состоит из положительных чисел (0, ∞). Кроме того, все экспоненциальные функции этой формы имеют пересечение (0,1) y и являются асимптотическими по отношению к оси x .
  • Если основание экспоненциальной функции больше 1 (b> 1), то ее график увеличивается или растет при чтении слева направо.
  • Если основанием экспоненциальной функции является правильная дробь (0
  • Число 10 называется общим основанием, а число e — натуральным основанием.
  • Естественная экспоненциальная функция, определяемая формулой f (x) = ex, имеет график, очень похожий на график g (x) = 3x.
  • Экспоненциальные функции взаимно однозначны.

Тематические упражнения

    Часть A: Экспоненциальные функции

      Оценить.

    1. f (x) = 3x, где f (−2), f (0) и f (2).

    2. f (x) = 10x, где f (−1), f (0) и f (1).

    3. g (x) = (13) x, где g (−1), g (0) и g (3).

    4. g (x) = (34) x, где g (−2), g (−1) и g (0).

    5. h (x) = 9 − x, где h (−1), h (0) и h (12).

    6. h (x) = 4 − x, где h (−1), h (−12) и h (0).

    7. f (x) = — 2x + 1, где f (−1), f (0) и f (3).

    8. f (x) = 2−3x, где f (−1), f (0) и f (2).

    9. g (x) = 10 − x + 20, где g (−2), g (−1) и g (0).

    10. g (x) = 1−2 − x, где g (−1), g (0) и g (1).

      С помощью калькулятора округлите следующие значения до сотых.

    1. f (x) = 3x − 10, где f (3.2).

    2. f (x) = 10 − x − 2, где f (1.5).

    3. f (x) = 5 − x + 3, где f (1.3).

    4. f (x) = (23) x + 1, где f (−2,7).

    5. f (x) = (35) −x − 1, где f (1.4).

      Нарисуйте функцию и определите домен и диапазон. Нарисуйте горизонтальную асимптоту пунктирной линией.

    1. f (x) = (14) x

    2. h (x) = (13) x

    3. f (x) = (14) x − 2

    4. ч (х) = (13) х + 2

    Часть B: Натуральная основа

    e

      Найдите f (−1), f (0) и f (32) для заданной функции.При необходимости используйте калькулятор для округления до ближайшей сотой.

      Нарисуйте функцию и определите домен и диапазон.Нарисуйте горизонтальную асимптоту пунктирной линией.

    Часть C: Формула сложных процентов

    1. Джим вложил 750 долларов в трехлетний компакт-диск, который принес 4 доллара.2% годовых, которые начисляются ежемесячно. Сколько будет стоить компакт-диск в конце трехлетнего срока?

    2. Хосе инвестировал 2450 долларов в 4-летний CD, который приносит 3,6% годовых, которые начисляются раз в полгода. Сколько будет стоить компакт-диск в конце 4-летнего срока?

    3. Джейн хранит свои сбережения в размере 5 350 долларов США с годовой процентной ставкой 358%, которая начисляется ежеквартально.Сколько будет на счету по истечении 5 лет?

    4. Билл имеет 12 400 долларов на обычном сберегательном счете, приносящий 423% годовых, которые начисляются ежемесячно. Сколько будет на счету по истечении 3 лет?

    5. Если на счет вложено 85 200 долларов, зарабатывающих 5.8% годовых, начисляемых ежеквартально, тогда сколько процентов начисляется в первые 3 года?

    6. Если 124 000 долларов инвестируются в счет, приносящий 4,6% годовых, начисленных ежемесячно, то сколько процентов будет начислено в первые 2 года?

    7. Билл вложил 1400 долларов в трехлетний компакт-диск, который принес 4 доллара.2% годовых, которые начисляются постоянно. Сколько будет стоить компакт-диск в конце трехлетнего срока?

    8. Brooklyn инвестировал 2 850 долларов в пятилетний компакт-диск, который приносит 5,3% годовых, которые постоянно начисляются. Сколько будет стоить компакт-диск в конце 5-летнего срока?

    9. У Омара есть сбережения в размере 4200 долларов на счету, который приносит 438% годовых, которые непрерывно начисляются.Сколько будет на счету по истечении 212 лет?

    10. У Нэнси есть сбережения в размере 8325 долларов США, которые приносят 578% годовых, которые непрерывно начисляются. Сколько будет на счету по истечении 512 лет?

    11. Если 12 500 долларов вложены в счет, приносящий 3.8% годовых, начисляемых непрерывно, тогда сколько процентов будет начислено в первые 10 лет?

    12. Если 220 000 долларов инвестируются в счет, приносящий 4,5% годовых, начисляемых на постоянной основе, то сколько процентов будет начислено в первые 2 года?

    13. Население небольшого городка растет согласно функции P (t) = 12,500 (1.02) t, где t — время в годах после последней переписи. Используйте функцию, чтобы определить численность населения в день переписи (когда t = 0) и оценить численность населения через 6 лет после этого времени.

    14. Население определенного городка уменьшается в соответствии с функцией P (t) = 22,300 (0,982) t, где t — время в годах после последней переписи.Используйте функцию, чтобы определить численность населения в день переписи (когда t = 0) и оценить численность населения через 6 лет после этого времени.

    15. Уменьшение стоимости нового автомобиля в долларах моделируется формулой V (t) = 28 000 (0,84) т, где т. представляет количество лет после покупки автомобиля. Воспользуйтесь формулой, чтобы определить стоимость автомобиля, когда он был новым ( т, = 0), и стоимость через 4 года.

    16. Число уникальных посетителей веб-сайта колледжа можно приблизительно определить по формуле N (t) = 410 (1,32) t, где t представляет количество лет после 1997 года, когда веб-сайт был создан. Примерное количество уникальных посетителей сайта колледжа в 2020 году.

    17. Если не остановить, новый штамм вируса гриппа может очень быстро распространиться от одного человека к другому.Число зараженных людей можно смоделировать с помощью формулы P (t) = e0,22t, где t — количество дней, в течение которых вирусу разрешено беспрепятственно распространяться. Оцените количество людей, инфицированных вирусом, через 30 и 60 дней.

    18. Если не остановить, популяция из 24 диких английских кроликов может расти по формуле P (t) = 24e0.19t, где время t измеряется в месяцах. Сколько кроликов появится через 312 лет?

    19. Население одного города в 1975 году составляло 65 000 человек и росло в геометрической прогрессии на 1,7% в год. В то время рост населения моделировался формулой P (t) = 65000e0.017t, где t представляли количество лет, прошедших с 1975 года.В 2000 году перепись определила, что фактическая численность населения составляла 104 250 человек. Какую группу населения предсказала модель на 2000 год и какова была фактическая ошибка?

    20. Из-за радиоактивного распада количество 10-миллиграммового образца йода-131 уменьшается в соответствии с формулой A (t) = 10e-0,087t, где t представляет собой время, измеренное в днях.Какая часть образца остается через 10 дней?

    21. Число клеток в образце бактерий аппроксимируется моделью логистического роста N (t) = 1,2 × 1051 + 9e − 0,32t, где t представляет время в часах. Определите начальное количество ячеек, а затем определите количество ячеек через 6 часов.

    22. Доля продукта на рынке в процентах приблизительно рассчитывается по формуле P (t) = 1002 + e − 0.44t, где t — количество месяцев после начала агрессивной рекламной кампании. Насколько мы можем ожидать увеличения доли рынка после первых трех месяцев рекламы?

    Часть D: Обсуждение

    1. Почему b = 1 исключено как основание в определении экспоненциальных функций? Объяснять.

    2. Объясните, почему экспоненциальная функция вида y = bx никогда не может быть отрицательной.

    3. Изучите и обсудите вывод формулы сложных процентов.

    4. Изучите и обсудите модель логистического роста.Предоставьте ссылку на дополнительную информацию по этой теме.

    5. Исследуйте и обсудите жизнь и вклад Леонарда Эйлера.

ответы

  1. f (−2) = 19, f (0) = 1, f (2) = 9

  2. г (-1) = 3, г (0) = 1, г (3) = 127

  3. ч (-1) = 9, ч (0) = 1, ч (12) = 13

  4. f (-1) = 12, f (0) = 0, f (3) = — 7

  5. г (−2) = 120, г (−1) = 30, г (0) = 21

  6. Домен: (−∞, ∞); Диапазон: (0, ∞)

  7. Домен: (−∞, ∞); Диапазон: (2, ∞)

  8. Домен: (−∞, ∞); Диапазон: (0, ∞)

  9. Домен: (−∞, ∞); Диапазон: (−4, ∞)

  10. Домен: (−∞, ∞); Диапазон: (−2, ∞)

  11. Домен: (−∞, ∞); Диапазон: (0, ∞)

  12. Домен: (−∞, ∞); Диапазон: (−2, ∞)

  13. Домен: (−∞, ∞); Диапазон: (−3, ∞)

  14. Домен: (−∞, ∞); Диапазон: (−∞, 6)

  15. Домен: (−∞, ∞); Диапазон: (−∞, 5)

  1. ф (−1) ≈2.37, f (0) = 3, f (32) ≈6,48

  2. f (−1) ≈3,90, f (0) = 2, f (32) ≈ −8,45

  3. f (−1) ≈3,72, f (0) = 2, f (32) ≈1,22

  4. ф (−1) ≈9.39, f (0) = 3, f (32) ≈2,05

  5. Домен: (−∞, ∞); Диапазон: (−3, ∞)

  6. Домен: (−∞, ∞); Диапазон: (0, ∞)

  7. Домен: (−∞, ∞); Диапазон: (1, ∞)

  8. Домен: (−∞, ∞); Диапазон: (−∞, 0)

  9. Домен: (−∞, ∞); Диапазон: (−∞, 0)

  1. Исходное население: 12 500 человек; Население 6 лет спустя: 14 077

    человек.

  2. Новый: 28000 долларов; Через 4 года: 13 940 долларов.40

  3. Через 30 дней: 735 человек; Через 60 дней: 540 365 человек

  4. Модель: 99 423 человека; ошибка: 4827 человек

  5. Изначально было 12 000 ячеек, а через 6 часов — 51 736 ячеек.

5.{4} \ nonumber \] — трехчлен. В каждом выражении есть ровно три члена.

У велосипеда два колеса, у бинома два члена. У трехколесного велосипеда три колеса, у трехчлена — три члена. Но как только мы проходим три термина, присвоение специальных имен прекращается, и мы используем общее слово , полином , что означает «много терминов».

Определение: многочлен

Многочлен — это математическое выражение с множеством терминов, в котором члены разделяются знаками плюс или минус.{4} \) — это \ (1 \), \ (- 4 \), \ (6 \), \ (- 4 \) и \ (1 \).

По возрастанию и убыванию

Когда вас просят упростить полиномиальное выражение, мы должны комбинировать любые похожие термины, которые мы находим, и, когда возможно, располагать ответ в возрастающей или убывающей степени.

Пример \ (\ PageIndex {1} \)

Упростите следующее полиномиальное выражение, расположив ответ в порядке убывания \ (x \). После того, как вы выполнили эту задачу, сделайте второй порядок, упорядочив ваши термины в возрастающей степени \ (x \).{3} \)

Когда у нас есть многочлен от одной переменной, такой как многочлен в примере \ (\ PageIndex {1} \), упорядочить термины в порядке возрастания или убывания довольно просто. Однако полином от двух или более переменных немного сложнее, а иногда и невозможно расположить в приличном порядке.

Пример \ (\ PageIndex {2} \)

Упростите следующее полиномиальное выражение, а затем расположите свой ответ в порядке убывания \ (x \). {2} \).2 + 12х + 25 \).

Обратите внимание, что график на рисунке \ (\ PageIndex {4} \) имеет U-образную форму параболы, которая открывается вниз. Его вершина (точка поворота) не видна, но можно предположить, что она находится за пределами верхней части экрана. Нам нужно настроить параметры WINDOW так, чтобы вершина параболы была видна на экране просмотра. После некоторых экспериментов мы выбираем параметры, показанные на первом изображении на рисунке \ (\ PageIndex {5} \), затем нажимаем кнопку GRAPH для создания второго изображения на рисунке \ (\ PageIndex {5} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): Настройте параметры WINDOW так, чтобы вершина была видна на экране просмотра.

Сообщая о результатах домашнего задания, следуйте инструкциям по отправке данных на калькулятор из главы 3, раздел 2.

  1. Начертите оси линейкой.
  2. Обозначьте горизонтальную ось \ (x \) и вертикальную ось \ (y \).
  3. Укажите параметры WINDOW \ (\ mathrm {Xmin}, \ mathrm {Xmax}, \ mathrm {Ymin} \) и \ (\ mathrm {Ymax} \) \) в конце каждой оси.2 −5x − 4 \).

    Ответ

    Когда степень многочлена больше двух, количество поворотных точек графика может увеличиться. Это создает очень интересные кривые. На более продвинутых курсах, таких как средний уровень и алгебра колледжа, вы познакомитесь с различными методами, которые помогут вам определить подходящие окна просмотра для графиков этих полиномов более высокой степени.{2} +24 х + 180 \). Задайте параметры окна следующим образом: \ (\ mathbf {X} \ min = -10, \ mathbf {X} \ max = 10, \ mathbf {X} \ operatorname {scl} = 1, \ mathbf {Y} \ min = -1000, \ mathbf {Y} \ max = 1000, \) и \ (\ mathbf {Y} \ operatorname {scl} = 100 \).

    Решение

    Введите полиномиальную функцию в \ (\ mathbf {Y} \ mathbf {1} \) меню Y = , затем введите предлагаемые параметры окна в меню WINDOW (см. Рисунок \ (\ PageIndex {6}) \)).

    Рисунок \ (\ PageIndex {6} \): введите полином и настройте параметры WINDOW.2 + 24х + 180 \).

    Милая кривая!

    Упражнение \ (\ PageIndex {8} \)

    Используйте свой графический калькулятор, чтобы нарисовать график квадратичного многочлена p (x) = x3 −14×2 + 20x + 60. Задайте параметры окна следующим образом: \ (\ mathbf {X} \ min = -10, \ mathbf {X} \ max = 20, \ mathbf {X} \ operatorname {scl} = 1, \ mathbf {Y} \ min = -200, \ mathbf {Y} \ max = 200, \) и \ (\ mathbf {Y} \ имя оператора {scl} = 20 \).

    Ответ

    Авторы и авторство

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    2021 © Все права защищены.