Содержание
Определение степени с натуральным показателем
Вопросы
занятия:
·
ввести понятия «степень», «основание степени», «показатель степени»;
·
рассмотреть примеры возведения в степень положительного числа, а также
отрицательного числа в степень с чётным и нечётным показателями;
·
определить порядок выполнения действий при вычислении значений числовых
выражений, не содержащих скобки.
Материал
урока
В
повседневной жизни мы с вами часто встречаемся со словом «степень». Например,
учёная степень, степень загрязнения воды или атмосферы, степень готовности еды
и так далее.
В
толковом словаре степень определяется как мера, сравнительная величина
чего-нибудь.
На
данном уроке мы поговорим, как применяется слово «степень» в математике.
Нам
известно, что сумму, например, 2 + 2 + 2 + 2 + 2, в которой все
слагаемые равны друг другу, можно записать короче – в виде произведения: 2 ∙
5.
Число 5 показывает, сколько слагаемых в сумме.
Возникает
вопрос: А как записать произведение нескольких одинаковых множителей?
Произведение,
в котором все множители равны друг другу, например,
Читают
его так: 5 в четвёртой степени.
Повторяющийся
множитель 5 называют основанием степени, а число 4, которое показывает,
сколько множителей в произведении – показателем степени.
Сформулируем
определение.
Степенью
числа а с показателем 1 является само число а.
Определение.
Нахождение
значения степени числа называют возведением в степень.
Вторую
степень числа а часто называют квадратом
этого числа. А третью степень – кубом.
Давайте
возведём число 2 в пятую степень.
Отметим,
что при возведении в степень положительного числа получается положительное
число.
Возведём
число – 3 в четвёртую степень.
Обратите
внимание, что в данном примере мы возводили в степень отрицательное
число, а в результате получили положительное. При этом показатель
степени – чётное число.
Возведём
число – 4 в куб.
В
этом примере мы, возведя в степень отрицательное число, получили отрицательный
результат. И при этом показатель степени – нечётное число.
Таким
образом, можем сделать вывод.
Степень
отрицательного числа с чётным показателем – положительное число. Степень
отрицательного числа с нечётным показателем – отрицательное число.
А
вот при возведении в степень 0 всегда получаем 0.
Прежде,
чем приступить к закреплению нового материала, укажем порядок выполнения
действий при вычислении значений числовых выражений, не содержащих скобок.
1.
Возведение
в степень.
2.
Умножение
и деление.
3.
Сложение
и вычитание.
Найдём
значения выражений, содержащих степень.
Пример.
Пример.
Пример.
что такое в алгебре, её свойства, действия с примерами
Степень с натуральным показателем — что такое в алгебре
Степень в алгебре состоит из двух компонентов: основания и показателя. Основание степени — любое число. Показатель — число, которое показывает, сколько раз нужно умножить основание само на себя.
В математике — это степень, показатель которой является натуральным числом.
Вспомним, что натуральными называют все целые числа больше нуля. Так, числа 1; 365; 1890 будут натуральными, а числа 0; –9; 8,7 — нет.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления).
{100} \ ?\)
Решение:
Решение
←
Следующая тема
Персональный сайт — Свойства степени
Степень с натуральным показателем.
Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен a:
an =
В выражении an :
— число а (повторяющийся множитель) называют основанием степени
— число n (показывающее сколько раз повторяется множитель) – показателем степени
Например:
25 = 2·2·2·2·2 = 32,
здесь:
2 – основание степени,
5 – показатель степени,
32 – значение степени
Отметим, что основание степени может быть любым числом.
Вычисление значения степени называют действием возведения в степень.
Это действие третьей ступени. То есть при вычислении значения выражения, не содержащего скобки, сначала выполняют действие третьей ступени, затем второй (умножение и деление) и, наконец, первой (сложение и вычитание).
Для записи больших чисел часто применяются степени числа 10. Так, расстояние от земли до солнца примерно равное 150 млн. км, записывают в виде 1,5 · 108
Каждое число больше 10 можно записать в виде: а · 10n , где 1 ≤ a < 10 и n – натуральное число. Такая запись называется стандартным видом числа.
Например: 4578 = 4,578 · 103 ;
103000 = 1,03 · 105.
Свойства степени с натуральным показателем:
1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней складываются
a m · a n = a m + n
например: 71.7 · 7 — 0.9 = 71.7+( — 0.
9) = 71.7 — 0.9 = 70.8
2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней вычитаются
a m / a n = a m — n ,
где, m > n,
a ≠ 0
например: 133.8 / 13 -0.2 = 13(3.8 -0.2) = 133.6
3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются.
(a m ) n = a m · n
например: (23)2 = 2 3·2 = 26
4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель
(a · b)n = an·bm,
например:(2·3) 3 = 2 n · 3 m ,
5.
При возведении в степень дроби в эту степень возводятся числитель и знаменатель
(a / b)n = an / bn
например: (2 / 5)3=(2 / 5)·(2 / 5)·(2 / 5) = 23/53
Степенью числа а > 0 с рациональным показателем , где m – целое число, а n – натуральное (n > 1), называется число
Итак:
Например:
Степень числа 0 определена только для положительных показателей;
по определению 0r = 0 , для любого r > 0
Замечания
- Из определения степени с рациональным показателем следует, что для любого положительного а и любого рационального r число ar положительно.
- Любое рациональное число допускает различные записи его в виде дроби, поскольку для любого натурального k.
Значение аr также не зависит от формы записи рационального числа r. - При а < 0 рациональная степень числа а не определяется.
Значение аr также не зависит от формы записи рационального числа r.Для степеней с рациональным показателем сохраняются основные свойства степеней, верные для любых показателей (при условии, что основание степени будет положительным).
Итак, для любого действительного числа мы определили операцию возведения в натуральную степень; для любого числа мы определили возведения в нулевую и целую отрицательную степень; для любого мы определили операцию возведения в положительную дробную степень; для любого мы определили операцию возведения в отрицательную дробную степень.
Возникает естественный вопрос: можно ли каким-либо образом определить операцию возведения в иррациональную степень, а, следовательно, определить смысл выражения ax и для любого действительного числа x? Оказывается, что для положительных чисел a можно придать смысл записи aα , где α — иррациональное число.
Для этого нужно рассмотреть три случая: a = 1, a > 1, 0 < a < 1.
- Если a = 1, то по определению полагают, что 1α = 1.
- Если a > 1, то выберем любое рациональное число r1 < α и любое рациональное число r2 > α. Тогда, очевидно, r1 < r2 и, следовательно:
Но и потому (так как a > 1) и, наконец,
Под понимают такое число, которое лежит между и при любом выборе чисел и обладающих свойством Можно доказать, что число существует и единственно для любого a > 1 и любого иррационального α.
- Если 0 < a < 1, то выберем любое рациональное число и любое рациональное число Тогда, очевидно, и, следовательно, (это неравенство доказывается аналогично приведённому выше для a > 1). Под понимают такое число, которое лежит между и при любом выборе чисел и обладающих свойством Можно доказать, что число существует и единственно для любого 0 < a < 1 и любого иррационального α.
Итак, для a > 0 мы определили степень с любым действительным показателем.
Степень и ее свойства 7 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей
Степень и ее свойства
Степенью числа а QEс натуральным показателем n, большим 1, называется выражение an, равное произведению n множителей, каждый из которых равен a.
Степенью числа а с показателем 1 является само число а.
Запись an можно прочитать как «а в степени n», «n-я степень числа а». Если надо найти значение числа в какой-либо степени, то говорим, что надо возвести это число в степень.
При возведении положительного числа в любую степень получается положительное число. Сколько бы раз мы не умножили положительное число само на себя, получим положительное число.
Если возвести число ноль в степень с натуральным показателем, то получим ноль.
Действительно, сколько бы раз мы не умножили ноль сам на себя, получится ноль.
А вот при возведении отрицательного числа в степень может получиться как положительное, так и отрицательное число.
Возьмем число -3.
(-4)2 = (-4) · (-4) = 16
(-4)3 = (-4) · (-4) · (-4) = 16 · (-4) = -64
(-4)4 = (-4) · (-4) · (-4) · (-4) = 16 · (-4) · (-4) = (-64) · (-4) = 256
Обратим внимание на то, что если отрицательное число мы возводим в четную степень (2,4 и т.д.), то получаем положительное число, а если в нечетную степень (3,5 и т.д.), то отрицательное число.
Какое же место занимает арифметическое действие возведения в степень, с которым мы только что познакомились в иерархии всех арифметических действий? Если выражение не содержит скобок, то возведение в степень выполняется в первую очередь, потом — умножение или деление, а потом – сложение или вычитание.
Рассмотрим пример: а2 · а4 = (а · а) · (а · а · а · а) = а · а · а · а · а · а = а6 = а2+4.
Для любого числа а и произвольных натуральных чисел m и n верно равенство
а m · an = am+n
При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают.
а m · an · а k = am+n+k
Посмотрим, что получается при делении степеней.
Например, а7:а5 = а · а · а · а · а · а · аа · а · а · а · а · а = а2 = а7-5
Для любого числа а≠0 и произвольных натуральных чисел m и n верно равенство
аm:аn = аm-n
При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
Рассмотрим такой случай: an: an = an-n = a0.
Но мы знаем, что если число разделить само на себя, то получится единица. То есть а0 = 1.
Любое а≠0 в нулевой степени равно 1.
Посмотрим, что будет, если возвести в степень произведение. Например:
(аb)3 = ab · ab · ab = a · b · a · b · a · b. Используем переместительное свойство умножения и запишем так: a · a · a · b · b · b = a3 · b3.
Для любых а и b и произвольного натурального числа n верно равенство
(ab)n = anbn
Чтобы возвести в степень произведение, надо возвести в степень каждый множитель, а результаты перемножить.
Аналогично для частного:
abn=anbn
Рассмотрим еще один пример: (х5)2 = (х5) · (x5) = х5+5 = х10.
Для любого числа а и произвольных натуральных чисел m и n верно равенство
(am)n=am∙n
При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают.
Урок по теме «Что такое степень с натуральным показателем». 7-й класс
Цели урока:
- формировать понятие степени с натуральным показателем и умение выполнять
преобразования
и вычисления со степенями; - воспитывать интерес к предмету;
- развивать математический и общий кругозор, внимательность, речь
учащихся.
Ход урока
I .Организационный момент.
П. Актуализация.
1 .Какие числа знаете?
Какие числа называются натуральными, целыми, рациональными?
(Приложение) (Слайд 1)
2. Найдите значения следующих выражений: (Слайд 2)
а) 3 + 3 + 3 + 3 (12)
6) 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2(14)
Удобна ли данная запись? Как лучше заменить?
Упростите выражение: х + х + х +.
..+ х (хn)
3. (Cлайд 3)
а) Найдите площадь квадрата со стороной 10 см. (S = a2
=102 = 100см2)
б) Найдите объем куба с ребром 0,5 см3 (V = а3 = 0,53
= 0,125 см3)
III. Изучение нового материала.
–Таким образом, одна из особенностей
математического языка состоит в том, что мы стремимся
использовать более короткие записи.
– А теперь посмотрите на следующий слайд, (Cлайд
4)
| 1) 10*10 2) 28*28*28 3) 3*3*3*3*3*3*3*3*3 4) 1,5*1,5*1,5*1,5*1,5*1,5 5) (-2с)*(-2с)*(-2с)*(-2с)*(-2с) 6) (х + у)*(х + у)*(х + у)8(х + у) | 102 283 З9 1,56 (-2с)5 (х + у)4 |
Что вы видите? (Произведение двух чисел заменили квадратом этого числа,
произведение трех чисел – кубом числа.
)
– Как бы вы записали по аналогии следующие
произведения?
– Кто запишет на доске?
– Итак, все эти произведения можно заменить более
короткой записью. А если появились новые записи,
значит появляется необходимость новых терминов. Введем новый термин “Степень с
натуральным показателем”.
– Запишем тему урока: “Степень с натуральным
показателем”. (Cлайд 5)
– Посмотрим на следующий слайд, (слайд 6). Имеем
произведение п множителей, каждый из которых равен
а. Коротко это можно записать так: аn,
где а – основание степени, n – натуральный
показатель.
– Читается а в n-ой степени или n-ая степень числа а.
– Прочитайте следующие степени, назовите основание и показатель степени.
– Скажите, а сколько может быть множителей в произведении? А наименьшее
количество? (2)
Получается, что “Степенью числа а с натуральным показателем n
называется произведение n множителей, каждый из
которых равен а, причем n > 2.
(Cлайд
7)
– Как вы думаете, полностью ли соответствует
названию темы урока это определение? Ведь тема урока – “Степень с
натуральным показателем”, т. е. подразумевается, что n
– любое натуральное число. Не потеряли ли мы никакое
натуральное число?
– Да, мы потеряли одно натуральное число – 1. Это упущение исправим с помощью
нового определения.
Определение: “Степенью числа с показателем 1 называется само это число”, т.е.
а1 = а.
А операцию отыскания степени называют возведением в степень.
– Выполним несколько упражнений (Cлайд
8). Решения запишите в тетрадях.
№1. Представьте в виде произведения третью степень числа 4 и найдите ее
числовое значение. (43 = 4*4*4
= 64) (Cлайд 8)
№ 2. Чему равна сумма кубов чисел 5 и 3? (53
+ 33
= 125 + 27= 152)
№ 3. Вычислите: (Cлайд
9)
| 1) 53 2) 24 – б2 3) (-4)2 + 25 4) 17 – 92+102 | (125) (-20) (48) (20) |
№ 4.
Представьте данное число в виде степени какого
– либо числа с показателем, отличным от 1.
| 1)64 | (43
или 26) |
| 2)36 | (б2) |
| 3) 121 | (112) |
| 4)
27 | (З3) |
| №
5. (слайд 10). Найдите х, если | |
| 1)2x
= 32 | (х = 5) |
| 2) х3 = 125 | (х= 5) |
| №
6.  Вычислите квадрат куба числа | |
| 1)
2 | ((23)2 = 64) |
| 2)
4 | ((43)2 = 4096 ) |
| №
7. (Cлайд 11). Сравните с 0 значения выражений, | конечный результат подсчитывать
только при |
| необходимости: | |
| 1)(-3)4 +
(-81) | (0) |
| 2) (-б)2
– 12 | (>0) |
| 3)42*(-1)5 | (<0) |
| 4)
(-1,3)*31 | (<0) |
| 5)
(-10)6 | (>0) |
| 6)
(-5)7 | (<0) |
Посмотрим следующий слайд (Cлайд 12).
(-2)1 =(– 2) = -2
(-2)2 =(– 2)( – 2)
= 4
(-2)3 = (– 2) (– 2) (– 2) = -8
(-2)4 = (– 2) (–
2) (– 2)(– 2) = 16
(-2)5 = (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) = -32
(-2)6 = (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) = 64
(-2)7 = (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) = -128
(-2)8 = (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) = 256
(-2)9 = (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) = -512
(-2)10 = (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) (– 2) (– 2)
= 1024
– В ходе выполнения всех этих упражнений мы
увидели, что при возведении чисел в степень получаются
разные ответы: и положительные, и отрицательные, и 0. Какую закономерность можно
заметить в результате возведения отрицательного числа (-2) в степень?
(Если показатель – четное число, то при возведении в
степень отрицательного числа получается положительное число.
Если
показатель – нечетное число, то при возведении в степень отрицательного
числа получается отрицательное число.)
– Составим схему для знака nстепени
числа а. (Cлайд 13)
– Усно возведите в
степень следующие числа: (-2)3,(-5)2, (-1/2)4,
(-1/2)3, (-1)3, (-1)2
III. Закрепление Математический диктант.
– Выполняем задания самостоятельно, потом проверите друг у друга
правильность, поменявшись тетрадями.
№ 1. Запишите в виде произведения 4-ую степень числа а и найдите его значение
при а = 3.
(а4 = 34 = 81)
№ 2. Чему равна первая степень числа 0,25? (0,25)
№ 3. Чему равна 100-я степень числа 0? (0)
№ 4. Запишите число 125 в виде степени с основанием 5. (53)
№ 5. Сравните -24 и (-2)4. (Слайд 13) (-24
< (-2)4)
– Проверьте работы друг у друга, (Слайд 15)
–У кого все правильно? 1–2 ошибки?
IV.
– А теперь послушаем Лизу Чудновскую. Она получила задание подготовить
небольшую презентацию по теме “Из истории происхождения степени с натуральным
показателем”. (Слайды 16–23).
Хочу сказать, что степень с натуральным показателем в настоящее время широко
используется не только в математике, но и в других науках, в физике, астрономии.
(Слайды 24–26)
Изучение сегодняшней темы закончим словами великого русского ученого,
которому в ноябре исполнилось 300 лет со Дня рождения: “Пусть кто-нибудь
попробует вычеркнуть из математики степени, и он увидит, что без них далеко не
уедешь.” (Слайд 27)
V. Самостоятельная работа.
№ 122,134, 135, 151 (1-й вариант – а, 2-й вариант – б.)
Дополнительное задание (Слайд 28): Найдите значение выражения: n2
+k2, если 2n= 32 и 3к
= 9
VI. Домашнее задание (Cлайд
29):
§ 4 (определения выучить), №№ 136–139,
153.
Презентация «Определение степени с натуральным показателем»
Слайды и текст этой онлайн презентации
Слайд 1
«Определение степени с натуральным показателем».
Муниципальное общеобразовательное учреждение Сынковская общеобразовательная школа
Учитель математики
Шагова Наталья Александровна
Слайд 2
Что общего в предложенных выражениях?
5∙5∙5
(-1)∙(-1)∙(-1)∙(-1)
(а-в)(а-в)(а-в)
(ху)(ху)(ху)(ху)(ху)
2/3 • 2/3
Слайд 3
Степень с натуральным показателем.
а=а1
аа =
ааа =
аааа=
ааа∙…∙а=
n раз
а2
а3
а4
аn
а
n
Степень
Основание
степени.
Показатель
степени.
Слайд 4
Определение:
Степенью числа а с натуральным показателем n большим 1 называется произведение n множителей каждый из которых равен а.
Степенью числа а с показателем 1 называется само число а.
Слайд 5
Физкультминутка
Слайд 6
Запишите в виде степени.
5∙5∙5 =
(-1)∙(-1)∙(-1)∙(-1)=
(а-в)(а-в)(а-в)=
(ху)(ху)(ху)(ху)(ху)=
53
(-1)4
(а-в)3
(ху)5
Слайд 7
Найдите ошибку, объясните, дайте правильный ответ.
вввв=4в
(-2)(-2)(-2) = -2 3
53 = 15
0 101 = 101
15 = 5
(-1)4 = -1
в4
( )
125
0
1
1
Слайд 8
Вычислите:
54 =
35 =
73 =
(-4)4 =
(-2)1
(-2)2
(-2)3
625
243
343
256
= -2
=(-2)(-2) = 4
=(-2)(-2)(-2)(-2) = 16
Какую закономерность
можно заметить?
Слайд 9
Укажите порядок действий и вычислите.
3∙(-4)2 =
(-2)5∙3 =
100:25- 2∙128 =
1
8
48
-96
2
Слайд 10
Задача.
Найдите площадь квадрата со стороной 1,5 см.
S = а2
S = 1,52 = 2,25см2
Найдите объем куба с ребром 0,6 см.
V = а3
V = 0,63= 0,216 см3
Слайд 11
Домашнее задание.
Учебник: стр. 83-84
(читать, определение выучить).
№ 130-132 (а, б), 152,155,159.
Слайд 12
Оцени свое настроение на уроке и выбери цифру соответствующего кружочка.
Слайд 13
МОЛОДЦЫ!
( rt )
Где:
A = конечная сумма
P = начальная сумма
e = естественная база = 2,71828
r = ставка (это число будет отрицательным при распаде проблемы и положительные для проблем роста.)
t = время
Вот несколько примеров того, как работает это уравнение.
1.) Радий-226, обычный изотоп радия, имеет период полураспада 1620 лет и скорость распада 0.(-0,086)
A = (120) * (0,)
A = 110 граммов радия-226 останется.
2.) Определенный штамм бактерий растет на кухонном столе со скоростью 0,1386 бактерий в минуту.
(0.2,4
A = 10000 * 11,02
A = 110231,76 доллара США
Краткое содержание урока
Натуральное основание, или e , представляет собой математическую константу, равную примерно 2,71828. Он имеет большое применение как в инвестициях, так и в решении научных проблем. e обычно считается одним из пяти основных чисел во всей математике.
Результаты обучения
Работая над уроком, найдите время, чтобы вычислить, насколько хорошо вы можете:
- Запишите естественную основу
- Распознавать общие свойства, применимые к нему
- Используйте общее уравнение для задач роста и распада
экспоненциальный Разделы: Введение, Экспоненциальные функции выглядят Посмотрим повнимательнее
Вы должны ожидать экспонент Вам также следует ожидать Обратите внимание, что моя ось Возможно, вы слышали о Экспоненциальный рост «больше»
Показательные функции всегда Верх
|
Раньше вы сталкивались с такими
..отрицательные x -значенияКак определить неизвестную экспоненту
Обновлено 16 февраля 2020 г.
Кевин Бек
Рецензент: Lana Bandoim, B.S.
Если вы видите выражения 3 2 и 5 3 , вы можете с размахом объявить, что они означают «три в квадрате» и «пять в кубе», и сможете найти эквивалентные числа без экспонентов , числа, представленные надстрочными индексами вверху справа вверху.В данном случае это числа 9 и 125.
Но что, если вместо, скажем, простой экспоненциальной функции, такой как y = x 3 , вам придется решить уравнение типа y = 3 x . Здесь x, зависимая переменная, отображается как показатель степени. Есть ли способ избавиться от этой переменной, чтобы упростить математическую обработку?
На самом деле есть, и ответ заключается в естественном дополнении показателей степени, которые являются забавными и полезными величинами, известными как логарифмы .
Что такое экспоненты?
Показатель степени , также называемый степенью , представляет собой сжатый способ выражения повторяющихся умножений числа на себя. 4 5 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 1024.
- Любое число, возведенное в степень 1, сохраняет то же значение; любое число с показателем 0 равно 1. Например, 72 1 = 72; 72 0 = 1.
Показатели могут быть отрицательными, что приводит к соотношению x −n = 1 / (x n ) .Они также могут быть выражены в виде дробей, например, 2 (5/3) . При выражении в виде дробей числитель и знаменатель должны быть целыми числами.
Что такое логарифмы?
Логарифмы или «бревна» могут рассматриваться как показатели, выраженные как нечто иное, чем степень. Это, вероятно, не очень помогает, так что, возможно, пара примеров поможет.
В выражении 10 3 = 1000 , число 10 является основанием , и оно возводится в третью степень (или степень от тройки).Вы можете выразить это так: «Основание 10 в третьей степени равно 1000».
Пример логарифма: log 10 (1000) = 3 . Обратите внимание, что числа и их отношения друг к другу такие же, как в предыдущем примере, но они были перемещены. На словах это означает, что «логарифм по основанию 10 из 1000 равен 3.»
Величина справа — это степень, в которую необходимо возвести основание 10, чтобы оно равнялось аргументу или входному значению журнала, значению в круглых скобках (в данном случае 1000).A) = A⋅log_ {b} (x) log_ {b} (\ dfrac {1} {y}) = −log_ {b} (y)
Расчет экспоненты
С приведенной выше информацией вы: готовы попробовать найти показатель степени в уравнении.
Пример: если 50 = 4 x , что такое x?
Если вы отнесете журнал к основанию 10 каждой стороны и опустите явную идентификацию основания, это станет log 50 = log 4 x . Из окна выше вы знаете, что log 4 x = x log 4. В результате вы получите
log 50 = x log 4 или x = (log 50) / (log 4).
Используя свой калькулятор или электронное устройство по выбору, вы обнаружите, что решение: (1,689 / 0,602) = 2,82 .
Решение экспоненциальных уравнений с e
Те же правила применяются, когда основание составляет e , так называемый натуральный логарифм , который имеет значение около 2,7183. У вас также должна быть кнопка для этого на вашем калькуляторе. Это значение также получает свое собственное обозначение: log e x записывается просто «ln x».
- Функция y = e x i, где e не переменная, а константа с этим значением, является единственной функцией с наклоном, равным ее собственной высоте для всех x и y.
- Аналогично журналу 10 10 x = x, ln e x = x для всех x.
Пример: Решите уравнение 16 = e 2,7x .
Как и выше, ln 16 = ln e 2,7x = 2,7x.
ln 16 = 2,77 = 2,7x, поэтому x = 2/77 / 2,7 = 1,03.
College Algebra Цели обучения
Введение
Учебник
Практические задачи
Нужна дополнительная помощь по этим темам?
|
Алгебра: классифицирующие полиномы
Классифицирующие полиномы
Полином в основном представляет собой последовательность математических групп (называемых членами ), сложенных вместе. Каждая отдельная группа обычно состоит из одной или нескольких переменных, возведенных в экспоненциальную степень, обычно с добавленным коэффициентом. Многочлены могут быть такими простыми, как выражение 4 x , или такими сложными, как выражение 4 x 3 + 3 x 2 -9 x + 6.
Полиномы обычно записываются в стандартной форме, что означает, что члены перечислены в порядке от наибольшего экспоненциального значения до члена с наименьшим показателем. Поскольку член, содержащий переменную в наибольшей степени, указан первым в стандартной форме, его коэффициент называется ведущим коэффициентом . Многочлен, не содержащий переменной, называется константой .
Talk the Talk
Многочлен состоит из суммы различных алгебраических групп (называемых термами ), каждый из которых состоит из числа, одной или нескольких переменных, возведенных в степень, или обоих.Наибольший показатель степени в полиноме называется степенью , а коэффициент переменной, возведенный в этот показатель, называется ведущим коэффициентом . Константа в полиноме не имеет записанной рядом переменной.
Например, если бы вы записали многочлен 2 x 3 -7 x 5 + 8 x + 1 в стандартной форме, это выглядело бы так: -7 x 5 + 2 x 3 + 8 x + 1.(Обратите внимание, что переменная каждого члена имеет меньшую степень, чем член слева от него.) градусов этого полинома равняется 5, его старший коэффициент равен -7, а константа — 1.
Технически, константа в многочлен имеет присоединенную к переменную, но эта переменная возведена в степень 0. Например, вы можете переписать простой многочлен 2 x + 1 как 2 x + 1 x 0 , но поскольку x 0 = 1 (и все, умноженное на 1, равно самому себе), нет причин писать x 0 в конце многочлена.
Поскольку существует так много разных видов полиномов (52 вкуса на последней проверке, включая фисташковый), есть два метода, которые используются для их классификации: один основан на количестве терминов, содержащихся в полиноме (см. Таблицу 10.1), и один, основанный на степени полинома (см. Таблицу 10.2).
Таблица 10.1 Классификация многочлена по количеству его членов
| Количество членов | Классификация | Пример | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | мономиал | 1980 2 | 1980 2 | 2 | биномиальный | 3 x 3 — 7 x 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| 3 | трехчленный | 2 x 9 — 9 + 5 Обратите внимание, что существуют только специальные классификации многочленов в соответствии с количеством их членов, если это число равно трем или меньше.Полиномы с четырьмя или более членами либо классифицируются по степени, либо просто описываются сверхобщей (и не очень полезной) меткой «многочлен». (Это так же точно, как и ярлык «человек».) Таблица 10.2. Классификация многочлена на основе его степени
Критическая точка9000 4 Если вас попросят классифицировать полином, например 3 x 3 y 2 -4 xy 3 + 6 x (который содержит более одного вида переменных в некоторых или всех его членов) в соответствии с его степенью сложите показатели в каждом члене вместе.Самая высокая сумма будет степенью. В 3 x 3 y 2 — 4 xy 3 + 6 x , степень равна 5, так как наибольшая сумма экспоненты происходит от первого члена, а 3 + 2 = 5 Существует больше классификаций степеней для многочленов, но наиболее часто используются те, которые перечислены в таблице 10.2. При классификации многочлена нет необходимости выбирать тот или иной метод. Фактически, если вы классифицируете многочлен в обоих направлениях сразу, когда это возможно, вы рисуете его более наглядную картину. У вас есть проблемыЗадача 1: Классифицируйте следующие многочлены: (a) 4 x 3 + 2 Пример 1 : Классифицируйте следующие многочлены.
Выдержки из Полное руководство для идиотов по алгебре 2004 У. Майкла Келли. Все права защищены, включая право на полное или частичное воспроизведение в любой форме. Используется по договоренности с Alpha Books , членом Penguin Group (USA) Inc. Эту книгу можно приобрести на Amazon.com и Barnes & Noble. Экспоненциальные и логарифмические функцииЭкспоненциальные функцииНа этом этапе нашего изучения алгебры мы начинаем рассматривать трансцендентные функции или функции, которые кажутся «выходящими за пределы» алгебры. Мы изучили функции с переменным основанием и постоянным показателем, например x2 или y − 3. В этом разделе мы исследуем функции с постоянной базой и переменными показателями. Дано действительное число b> 0, где b ≠ 1 экспоненциальная функция Любая функция с определением вида f (x) = bx, где b> 0 и b ≠ 1.имеет вид f (x) = bx Экспоненциальная функция Например, если основание b равно 2, то у нас есть экспоненциальная функция, определяемая как f (x) = 2x. Здесь мы видим, что показатель степени — это переменная. До этого момента рациональные показатели были определены, а иррациональные показатели — нет. Рассмотрим 27, где показатель степени является иррациональным числом в диапазоне 2,64 <7 <2,65 Мы можем использовать эти оценки для оценки 27, 22.7≈6,26 Следовательно, область определения любой экспоненциальной функции состоит из всех действительных чисел (−∞, ∞). Выберите несколько значений для x , а затем определите соответствующие значения y . xyf (x) = 2xSolutions − 214y = 2−2 = 122 = 14 (−2, 14) −112y = 2−1 = 121 = 12 (−1, 12) 01y = 20 = 1 (0, 1) 12y = 21 = 2 (1, 2) 24y = 22 = 4 (2, 4) 76,26y = 27≈6,26 (2,65, 6,26) Поскольку показатели определены для любого действительного числа, мы можем нарисовать график, используя непрерывную кривую, проходящую через эти заданные точки: Важно отметить, что по мере приближения x к отрицательной бесконечности результаты становятся очень маленькими, но на самом деле никогда не достигают нуля.Например, f (−5) = 2−5 = 125≈0,03125f (−10) = 2−10 = 1210≈0,0009766f (−15) = 2−15 = 12−15≈,00003052 Это описывает горизонтальную асимптоту при y = 0, оси x и определяет нижнюю границу диапазона функции: (0, ∞). Основание b экспоненциальной функции влияет на скорость ее роста. Ниже мы изобразили y = 2x, y = 3x и y = 10x на том же наборе осей. Обратите внимание, что все эти экспоненциальные функции имеют один и тот же интервал y , а именно (0,1).Это потому, что f (0) = b0 = 1 для любой функции, определенной с помощью формы f (x) = bx. Поскольку функции читаются слева направо, они интерпретируются как возрастающие или растущие по экспоненте. Кроме того, любая экспоненциальная функция этой формы будет иметь область, состоящую из всех действительных чисел (−∞, ∞), и диапазон, состоящий из положительных значений (0, ∞), ограниченных горизонтальной асимптотой при y = 0. Пример 1Нарисуйте график и определите область и диапазон: f (x) = 10x + 5. Решение: База 10 используется часто, особенно в научных обозначениях. Следовательно, 10 называется общей базой . Фактически, экспоненциальная функция y = 10x настолько важна, что вы найдете кнопку 10x, посвященную ей, на большинстве современных научных калькуляторов. В этом примере мы нарисуем базовый график y = 10x, а затем сдвинем его на 5 единиц вверх. Обратите внимание, что горизонтальная асимптота основного графика y = 10x была сдвинута на 5 единиц вверх до y = 5 (показано пунктиром).Найдите минутку, чтобы оценить несколько значений x с помощью своего калькулятора и убедиться, что результат никогда не будет меньше 5. Ответ: Домен: (−∞, ∞); Диапазон: (5, ∞) Затем рассмотрим экспоненциальные функции с дробным основанием 0 xyf (x) = (12) xSolutions − 24f (12) = (12) −2 = 1−22−2 = 2212 = 4 (−2, 4) −12f (12) = (12) −1 = 1 −12−1 = 2111 = 2 (−1, 2) 01f (12) = (12) 0 = 1 (0, 1) 112f (12) = (12) 1 = 12 (1, 12) 214f (12) = (12) 2 = 14 (2, 14) точек у нас есть, Если читать график слева направо, он интерпретируется как экспоненциально убывающий.База влияет на скорость уменьшения или затухания экспоненциальной функции. Ниже мы изобразили y = (12) x, y = (13) x и y = (110) x на одном и том же наборе осей. Напомним, что x − 1 = 1x, и поэтому мы можем выразить экспоненциальные функции с дробным основанием, используя отрицательные показатели. Например, г (x) = (12) x = 1x2x = 12x = 2 − x. Кроме того, учитывая, что f (x) = 2x, мы можем видеть g (x) = f (−x) = 2 − x и можем рассматривать g как отражение f относительно оси y . Таким образом, при b> 0 И для обоих случаев Область: (- ∞, ∞) Диапазон: (0, ∞) Y-точка пересечения: (0,1) Асимптота: y = 0 Кроме того, обратите внимание, что графики проходят проверку горизонтальной линии и, следовательно, экспоненциальные функции взаимно однозначны. Мы используем эти базовые графики вместе с преобразованиями, чтобы рисовать графики экспоненциальных функций. Пример 2Сделайте набросок графика и определите область и диапазон: f (x) = 5 − x − 10. Решение: Начните с основного графика y = 5 − x и сдвиньте его на 10 единиц вниз. Перехват y равен (0, −9), а горизонтальная асимптота y = −10. Ответ: Домен: (−∞, ∞); Диапазон: (−10, ∞) Примечание : Нахождение пересечения x графика в предыдущем примере оставлено для следующего раздела этой главы.А пока нас больше интересует общая форма экспоненциальных функций. Пример 3Нарисуйте график и определите область и диапазон: g (x) = — 2x − 3. Решение: Начните с основного графика y = 2x и определите преобразования. y = 2x Базовая диаграмма = −2x Отражение относительно оси xy = −2x − 3 Сдвиг вправо на 3 единицы Обратите внимание, что горизонтальная асимптота остается неизменной для всех преобразований.В завершение мы обычно хотим включить перехват y . Помните, что для нахождения интервала y мы устанавливаем x = 0. г (0) = — 20−3 = −2−3 = −123 = −18 Следовательно, интервал y равен (0, −18). Ответ: Домен: (−∞, ∞); Диапазон: (−∞, 0) Попробуй! Нарисуйте график и определите область и диапазон: f (x) = 2x − 1 + 3. Ответ: Домен: (−∞, ∞); Диапазон: (3, ∞) Натуральная база eНекоторые числа часто встречаются в общих приложениях. Одно из таких знакомых чисел — пи (π), которое, как мы знаем, встречается при работе с кругами. Это иррациональное число имеет специальную кнопку на большинстве калькуляторов π и округлено до пяти десятичных знаков, π≈3,14159. Еще одно важное число e возникает при работе с моделями экспоненциального роста и спада.Это иррациональное число, округленное до пяти десятичных знаков, e≈2,71828. Эта константа естественным образом встречается во многих реальных приложениях и поэтому называется естественным основанием . Иногда e называют постоянной Эйлера в честь Леонарда Эйлера (произносится как «Ойлер»). Рисунок 7.1 Леонард Эйлер (1707–1783) Фактически, естественная экспоненциальная функция , После того, как вы научились пользоваться вашим конкретным калькулятором, теперь вы можете рисовать график, нанося точки. (Округлите до сотых.) xyf (x) = exSolutions − 20,14f (−2) = e − 2 = 0,14 (−2, 0,14) −10,37f (−1) = e − 1 = 0,37 (−1, 0,37) 01f (0) = e0 = 1 (0, 1) 12,72f (1) = e1 = 2,72 (1, 2,72) 27,39f (2) = e2 = 7,39 (2, 7,39) Постройте точки и нарисуйте график. Обратите внимание, что функция аналогична графику y = 3x.Домен состоит из всех действительных чисел, а диапазон — из всех положительных действительных чисел. Имеется асимптота при y = 0 и пересечение y в точке (0,1). Мы можем использовать преобразования, чтобы нарисовать график более сложных экспоненциальных функций. Пример 4Нарисуйте график и определите область и диапазон: g (x) = ex + 2−3. Решение: Определите основные преобразования. y = ex Базовый = ex + 2 Сдвиг влево на 2 единицы y = ex + 2−3 Сдвиг вниз на 3 единицы Для определения точки пересечения y установите x = 0. г (0) = e0 + 2−3 = e2−3≈4,39 Следовательно, перехват y равен (0, e2−3). Ответ: Домен: (−∞, ∞); Диапазон: (−3, ∞) Попробуй! Нарисуйте график и определите область и диапазон: f (x) = e − x + 2. Ответ: Домен: (−∞, ∞); Диапазон: (2, ∞) Формула сложных процентовЭкспоненциальные функции появляются в формулах, используемых для расчета процентов, полученных на большинстве обычных сберегательных счетов.Сложные проценты возникают, когда проценты, накопленные за один период, добавляются к основной инвестиции перед начислением процентов за следующий период. Сумма, начисленная таким образом с течением времени, моделируется формулой сложных процентов Формула, которая дает сумму, накопленную за счет начисления процентов на основную сумму и проценты с течением времени: A (t) = P (1 + rn) nt .: А (t) = P (1 + rn) nt Здесь сумма A зависит от времени t в годах основная сумма P накапливает сложные проценты по годовой процентной ставке r .Значение n представляет, сколько раз начисляются проценты в год. Пример 5Инвестиция в размере 500 долларов США производится в шестилетний компакт-диск, который приносит 412% годовых, которые начисляются ежемесячно. Сколько будет стоить компакт-диск в конце шестилетнего срока? Решение: Здесь основная сумма P = 500 долларов, процентная ставка r = 412% = 0,045, а поскольку проценты начисляются ежемесячно, n = 12.Инвестиция моделируется следующим образом: А (т) = 500 (1 + 0,04512) 12 т Чтобы определить сумму на счете через 6 лет, оцените A (6) и округлите до ближайшего цента. A (6) = 500 (1 + 0,04512) 12 (6) = 500 (1,00375) 72 = 654,65 Ответ: К концу шестилетнего срока компакт-диск будет стоить 654,65 доллара. Затем мы исследуем эффекты увеличения n в формуле. Для ясности положим P и r равными 1 и рассчитаем соответственно.
Продолжая эту схему, по мере того, как n увеличивается, чтобы сказать сложение каждую минуту или даже каждую секунду, мы можем видеть, что результат стремится к естественному основанию e≈2,71828. Каждое мгновение начисление процентов приводит к формуле непрерывного начисления процентов Формула, которая дает сумму, накопленную за счет непрерывно начисляемых процентов: A (t) = Pert., А (т) = Pert Здесь P представляет собой начальную инвестированную сумму основного долга, r представляет собой годовую процентную ставку, а t представляет собой время в годах, в течение которого инвестиции могут начислять непрерывно начисленные проценты. Пример 6Инвестиция в размере 500 долларов осуществляется в 6-летний CD, приносящий 412% годовых, которые непрерывно начисляются. Сколько будет стоить компакт-диск в конце шестилетнего срока? Решение: Здесь основной P = 500 долларов, а процентная ставка r = 412% = 0,045. Поскольку процентная ставка увеличивается непрерывно, мы будем использовать формулу A (t) = Pert. Инвестиция моделируется следующим образом: А (т) = 500е0.045т Чтобы определить сумму на счете через 6 лет, оцените A (6) и округлите до ближайшего цента. А (6) = 500e0,045 (6) = 500e0,27 = 654,98 Ответ: К концу шестилетнего срока компакт-диск будет стоить 654,98 долларов. Сравните два предыдущих примера и обратите внимание, что непрерывное начисление сложных процентов может быть не таким полезным, как кажется. Хотя лучше чаще вводить сложные проценты, разница не так уж и велика.Конечно, процентная ставка является гораздо большим фактором в конечном результате. Попробуй! Сколько будет стоить компакт-диск стоимостью 1200 долларов с непрерывным накоплением 5,2% годовых в конце 10-летнего срока? Ответ: 2 018,43 $ Основные выводы
Тематические упражнения
Часть A: Экспоненциальные функцииОценить. С помощью калькулятора округлите следующие значения до сотых. Нарисуйте функцию и определите домен и диапазон. Нарисуйте горизонтальную асимптоту пунктирной линией. Часть B: Натуральная основа e Найдите f (−1), f (0) и f (32) для заданной функции.При необходимости используйте калькулятор для округления до ближайшей сотой. Нарисуйте функцию и определите домен и диапазон.Нарисуйте горизонтальную асимптоту пунктирной линией.
Часть C: Формула сложных процентов
Часть D: Обсуждениеответы
5.{4} \ nonumber \] — трехчлен. В каждом выражении есть ровно три члена.У велосипеда два колеса, у бинома два члена. У трехколесного велосипеда три колеса, у трехчлена — три члена. Но как только мы проходим три термина, присвоение специальных имен прекращается, и мы используем общее слово , полином , что означает «много терминов». Определение: многочлен Многочлен — это математическое выражение с множеством терминов, в котором члены разделяются знаками плюс или минус.{4} \) — это \ (1 \), \ (- 4 \), \ (6 \), \ (- 4 \) и \ (1 \). По возрастанию и убываниюКогда вас просят упростить полиномиальное выражение, мы должны комбинировать любые похожие термины, которые мы находим, и, когда возможно, располагать ответ в возрастающей или убывающей степени. Пример \ (\ PageIndex {1} \) Упростите следующее полиномиальное выражение, расположив ответ в порядке убывания \ (x \). После того, как вы выполнили эту задачу, сделайте второй порядок, упорядочив ваши термины в возрастающей степени \ (x \).{3} \) Когда у нас есть многочлен от одной переменной, такой как многочлен в примере \ (\ PageIndex {1} \), упорядочить термины в порядке возрастания или убывания довольно просто. Однако полином от двух или более переменных немного сложнее, а иногда и невозможно расположить в приличном порядке. Пример \ (\ PageIndex {2} \) Упростите следующее полиномиальное выражение, а затем расположите свой ответ в порядке убывания \ (x \). {2} \).2 + 12х + 25 \). Обратите внимание, что график на рисунке \ (\ PageIndex {4} \) имеет U-образную форму параболы, которая открывается вниз. Его вершина (точка поворота) не видна, но можно предположить, что она находится за пределами верхней части экрана. Нам нужно настроить параметры WINDOW так, чтобы вершина параболы была видна на экране просмотра. После некоторых экспериментов мы выбираем параметры, показанные на первом изображении на рисунке \ (\ PageIndex {5} \), затем нажимаем кнопку GRAPH для создания второго изображения на рисунке \ (\ PageIndex {5} \). Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): Настройте параметры WINDOW так, чтобы вершина была видна на экране просмотра. Сообщая о результатах домашнего задания, следуйте инструкциям по отправке данных на калькулятор из главы 3, раздел 2.
|