Координаты вектора. Направляющие косинусы, формулы и онлайн калькуляторы

Содержание:

Для решения задач с векторами необходимо определить вектор на плоскости или в пространстве, то есть дать информацию о его направлении
и длине.

Координаты вектора

Пусть задана прямоугольная декартова система координат (ПДСК) $x O y$
и произвольный вектор $\overline{a}$, начало которого совпадает
с началом системы координат (рис. 1).

Определение

Координатами вектора $\overline{a}$ называются проекции
$a_{x}$ и $a_{y}$
данного вектора на оси $O x$ и
$O y$ соответственно:

$$a_{x}=Пр_{O x} \bar{a}, a_{y}=Пр_{O y} \bar{a}$$

Величина $a_{x}$ называется абсциссой вектора
$\overline{a}$, а число $a_{y}$
— его ординатой. То, что вектор $\overline{a}$ имеет координаты
$a_{x}$ и $a_{y}$,
записывается следующим образом: $\overline{a}=\left(a_{x} ; a_{y}\right)$.

Пример

Запись $\overline{a}=(5 ;-2)$ означает, что вектор $\overline{a}$
имеет следующие координаты: абсцисса равна 5, ордината равна -2.

Сумма двух векторов, заданных координатами

Пусть заданы $\overline{a}=\left(a_{x} ; a_{y}\right)$ и $\overline{b}=\left(b_{x} ; b_{y}\right)$,
тогда вектор $\overline{c}=\overline{a}+\overline{b}$ имеет координаты
$\left(a_{x}+b_{x} ; a_{y}+b_{y}\right)$ (рис. 2).

Определение

Чтобы найти сумму двух векторов, заданных своими координатами, надо сложить их соответствующие координаты.

Слишком сложно?

Координаты вектора. Направляющие косинусы не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Пример

Задание. Заданы $\overline{a}=(-3 ; 5)$
и $\overline{b}=(0 ;-1)$. Найти координаты вектора $\overline{c}=\overline{a}+\overline{b}$

Решение. $\overline{c}=\overline{a}+\overline{b}=(-3 ; 5)+(0 ;-1)=(-3+0 ; 5+(-1))=(-3 ; 4)$

Умножение вектора на число

Если задан $\overline{a}=\left(a_{x} ; a_{y}\right)$, то тогда вектор
$m \overline{a}$ имеет координаты
$m \overline{a}=\left(m a_{x} ; m a_{y}\right)$, здесь
$m$ — некоторое число (рис. 3).

Определение

Чтобы умножить вектор на число, надо каждую координату этого вектора умножить на заданное
число.

Пример

Задание. Вектор $\overline{a}=(3 ;-2)$.
Найти координаты вектора 2$\overline{a}$

Решение. $2 \overline{a}=2 \cdot(3 ;-2)=(2 \cdot 3 ; 2 \cdot(-2))=(6 ;-4)$

Рассмотрим далее случай, когда начало вектора не совпадает с началом системы координат. Предположим, что в ПДСК заданы две
точки $A\left(a_{x} ; a_{y}\right)$ и $B\left(b_{x} ; b_{y}\right)$.
Тогда координаты вектора $\overline{A B}=\left(x_{1} ; y_{1}\right)$ находятся по формулам (рис. 4):

$x_{1}=b_{x}-a_{x}, y_{1}=b_{y}-a_{y}$

Определение

Чтобы найти координаты вектора, заданного координатами начала и конца, надо от координат
конца отнять соответствующие координаты начала.

Пример

Задание. Найти координаты вектора $\overline{A B}$,
если $A(-4 ; 2), B(1 ;-3)$

Решение.{2} \gamma=1$

Если известны направляющие косинусы вектора $\overline{a}=\left(a_{x} ; a_{y}\right)$,
то его координаты могут быть найдены по формулам:

$a_{x}=|\overline{a}| \cos \alpha, a_{y}=|\overline{a}| \cos \beta$

Аналогичные формулы имеют место и в трехмерном случае — если известны направляющие косинусы вектора
$\overline{a}=\left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}\right)$,
то его координаты могут быть найдены по формулам:

$a_{x}=|\overline{a}| \cos \alpha, a_{y}=|\overline{a}| \cos \beta, a_{z}=|\overline{a}| \cos \gamma$

Читать дальше: длина (модуль) вектора.

Определение координат вектора заданного координатами его начальной и конечной точки.

Основное соотношение.Чтобы найти координаты вектора AB, зная координаты его начальной точек А и конечной точки В, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки.

Формулы определения координат вектора заданного координатами его начальной и конечной точки

Формула определения координат вектора для плоских задач

В случае плоской задачи вектор AB заданный координатами точек A(A_x ; A_y) и B(B_x ; B_y) можно найти воспользовавшись следующей формулой

AB = {B_x — A_x ; B_y — A_y}

Формула определения координат вектора для пространственных задач

В случае пространственной задачи вектор AB заданный координатами точек A(A_x ; A_y ; A_z) и B(B_x ; B_y ; B_z) можно найти воспользовавшись следующей формулой

AB = {B_x — A_x ; B_y — A_y ; B_z — A_z}

Формула определения координат вектора для n -мерного пространства

В случае n-мерного пространства вектор AB заданный координатами точек A(A₁ ; A₂ ; … ; A_n) и B(B₁ ; B₂ ; … ; B_n) можно найти воспользовавшись следующей формулой

AB = {B₁ — A₁ ; B₂ — A₂ ; … ; B_n — A_n}

Примеры задач связанных с определением координат вектора по двум точкам

Примеры для плоских задач

Пример 1. Найти координаты вектора AB, если A(1; 4), B(3; 1).

Решение: AB = {3 — 1; 1 — 4} = {2; -3}.

Пример 2. Найти координаты точки B вектора AB = {5; 1}, если координаты точки A(3; -4).

Решение:

AB_x = B_x — A_x   =>   B_x = AB_x + A_x   =>   B_x = 5 + 3 = 8
AB_y = B_y — A_y   =>   B_y = AB_y + A_y   =>   B_y = 1 + (-4) = -3

Ответ: B(8; -3).

Пример 3. Найти координаты точки A вектора AB = {5; 1}, если координаты точки B(3; -4).

Решение:

AB_x = B_x — A_x   =>   A_x = B_x — AB_x   =>   A_x = 3 — 5 = -2
AB_y = B_y — A_y   =>   A_y = B_y — AB_y   =>   A_y = -4 — 1 = -5

Ответ: A(-2; -5).

Примеры для пространственных задач

Пример 4. Найти координаты вектора AB, если A(1; 4; 5), B(3; 1; 1).

Решение: AB = {3 — 1; 1 — 4; 1 — 5} = {2; -3; -4}.

Пример 5. Найти координаты точки B вектора AB = {5; 1; 2}, если координаты точки A(3; -4; 3).

Решение:

AB_x = B_x — A_x   =>   B_x = AB_x + A_x   =>   B_x = 5 + 3 = 8
AB_y = B_y — A_y   =>   B_y = AB_y + A_y   =>   B_y = 1 + (-4) = -3
AB_z = B_z — A_z   =>   B_z = AB_z + A_z   =>   B_z = 2 + 3 = 5

Ответ: B(8; -3; 5).

Пример 6. Найти координаты точки A вектора AB = {5; 1; 4}, если координаты точки B(3; -4; 1).

Решение:

AB_x = B_x — A_x   =>   A_x = B_x — AB_x   =>   A_x = 3 — 5 = -2
AB_y = B_y — A_y   =>   A_y = B_y — AB_y   =>   A_y = -4 — 1 = -5
AB_z = B_z — A_z   =>   A_z = B_z — AB_z   =>   A_z = 1 — 4 = -3

Ответ: A(-2; -5; -3).

Примеры для n -мерного пространства

Пример 7. Найти координаты вектора AB, если A(1; 4; 5; 5; -3), B(3; 0; 1; -2; 5).

Решение: AB = {3 — 1; 0 — 4; 1 — 5; -2 — 5; 5 — (-3)} = {2; -4; -4; -7; 8}.

Пример 8. Найти координаты точки B вектора AB = {5; 1; 2; 1}, если координаты точки A(3; -4; 3; 2).

Решение:

AB₁ = B₁ — A₁   =>   B₁ = AB₁ + A₁   =>   B₁ = 5 + 3 = 8
AB₂ = B₂ — A₂   =>   B₂ = AB₂ + A₂   =>   B₂ = 1 + (-4) = -3
AB₃ = B₃ — A₃   =>   B₃ = AB₃ + A₃   =>   B₃ = 2 + 3 = 5
AB₄ = B₄ — A₄   =>   B₄ = AB₄ + A₄   =>   B₄ = 1 + 2 = 3

Ответ: B(8; -3; 5; 3).

Пример 9. Найти координаты точки A вектора AB = {5; 1; 4; 5}, если координаты точки B(3; -4; 1; 8).

Решение:

AB₁ = B₁ — A₁   =>   A₁ = B₁ — AB₁   =>   A₁ = 3 — 5 = -2
AB₂ = B₂ — A₂   =>   A₂ = B₂ — AB₂   =>   A₂ = -4 — 1 = -5
AB₃ = B₃ — A₃   =>   A₃ = B₃ — AB₃   =>   A₃ = 1 — 4 = -3
AB₄ = B₄ — A₄   =>   A₄ = B₄ — AB₄   =>   A₄ = 8 — 5 = 3

Ответ: A(-2; -5; -3; 3).

Вектор в системе координат — урок. Геометрия, 9 класс.

Вспомним, что при умножении вектора на число k≠0 мы получаем два коллинеарных (параллельных) вектора, которые или сонаправлены, если k>0, или противоположно направлены, если k<0. Длины векторов различаются \(k\) раз.

Справедливо и обратное суждение.

Если ненулевые векторы коллинеарны, то обязательно можно найти число k≠0 так, что b→=k⋅a→.

Для неколлинеарных векторов справедливо суждение, что каждый вектор на плоскости можно представить в виде c→=k⋅a→+m⋅b→. Говорят, что вектор c→ разложен по векторам a→ и b→, а числа \(k\) и \(m\) называют коэффициентами разложения.

Это справедливо для любого вектора на плоскости, причём коэффициенты определяются единственным образом.

Выберем два не коллинеарных вектора на осях системы координат. Пусть длина каждого из них будет равна единичному отрезку в этой системе координат. Эти векторы называют координатными векторами и обозначают i→ и j→.

Если от начала координат отложить вектор a→, то его можно разложить по векторам i→ и j→ следующим образом: a→=3⋅i→&plus;2⋅j→.

В этом разложении коэффициенты координатных векторов называют координатами вектора a→.

Это записывают как a→3;2.

Любой вектор, который равен с вектором a→, можно переместить и отложить от начала координат. Следовательно, можем сделать вывод.

Равные векторы имеют равные координаты.

Но в то же время в координатной системе можно переместить векторы i→ и j→, таким образом определить координаты векторов независимо от их места расположения в координатной системе.

Легко понять, что разница между абсциссами (координатами x) конечной и начальной точки вектора и есть абсцисса вектора, а разница между ординатами (координатами y) конечной и начальной точки вектора есть ордината вектора.

Связь между координатами противоположных векторов следует из того, что, если умножить вектор на \(-1\), результатом будет противоположный вектор.

У противоположных векторов противоположные координаты.

Важно понять ещё несколько интересных связей между координатами векторов одинаковой длины.

Координаты вектора в декартовой системе координат: векторные координаты, радиус вектор

Для начала дадим определение координат вектора в заданной системе координат. Чтобы ввести данное понятие, определим что мы называем прямоугольной или декартовой системой координат.

Определение 1

Прямоугольная система координат представляет из себя прямолинейную систему координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве.

С помощью введения прямоугольной системы координат на плоскости или в трехмерном пространстве становится возможным описывание геометрических фигур вместе с их свойствами при помощи уравнений и неравенств, то есть использовать алгебраические методы при решении геометрических задач.

Тем самым, мы можем привязать к заданной системе координат векторы. Это значительно расширит наши возможности при решении определенных задач

Прямоугольная система координат на плоскости обычно обозначается Oxy, где Ox и Oy – оси коорднат. Ось Ox называют осью абсцисс, а ось Oy – осью ординат (в пространстве появляется ещё одна ось Oz, которая перпендикулярна и Ox и Oy).

Пример 1

Итак, нам дана прямоугольная декартова система координат Oxy на плоскости если мы отложим от начала координат векторы i→ и j→ , направление которых соответственно совпадет с положительными направлениями осей Ox и Oy , и их длина будет равна условной единице, мы получим координатные векторы. То есть в данном случае i→ и j→ являются координатными векторами.

Координатные векторы

Определение 2

Векторы i→ и j→ называются координатными векторами для заданной системы координат.

Пример 2

Откладываем от начала координат произвольный вектор a→ . Опираясь на геометрическое определение операций над векторами, вектор a→ может быть представлен в виде a→=ax·i→+ay·j→ , где коэффициенты ax и ay — единственные в своем роде, их единственность достаточно просто доказать методом от противного.

Разложение вектора

Определение 3

Разложением вектора a→ по координатным векторам i→ и j→ на плоскости называется представление вида a→=ax·i→+ay·j→.

Определение 4

Коэффициенты ax и ay называются координатами вектора в данной системе координат на плоскости.

Координаты вектора в данной системе координат принято записывать в круглых скобках, через запятую, при этом заданные координаты следует отделять от обозначения вектора знаком равенства. К примеру, запись a→=(2;-3) означает, что вектор a→ имеет координаты (2;-3) в данной системе координат и может быть представлен в виде разложения по координатным векторам i→ и j→ какa→=2·i→-3·j→.

Замечание

Следует обратить внимание, что порядок записи координат, имеет важное значение, если вы запишите координаты вектора в другом порядке, вы получите совершенно другой вектор.

Опираясь на определения координат вектора и их разложения становится очевидным, что единичные векторы i→ и j→ имеют координаты (1;0) и (0;1) соответственно, и они могут быть представлены в виде следующих разложений i→=1·i→+0·j→; j→=0·i→+1·j→.

Также имеет место быть нулевой вектор 0→ с координатами (0;0) и разложением 0→=0·i→+0·j→.

Равные и противоположные векторы

Определение 5

Векторыa→иb→равны тогда, когда их соответствующие координаты равны.

Определение 6

Противоположным вектором называется вектор противоположный данному.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Отсюда следует, что координаты такого вектора будут противоположны координатам данного вектора, то есть, -a→=(-ax;-ay).

Все вышеизложенное можно аналогично определить и для прямоугольной системы координат, заданной в трехмерном пространстве. В такой системе координат имеет место быть тройка координатных векторов i→,j→,k→, а произвольный вектор a→ раскладывается не по двум, а уже по трем координатам, причем единственным образом и имеет вид a→=ax·i→+ay·j→+az·k→, а коэффициенты этого разложения (ax;ay;az) называются координатами вектора в данной (трехмерной) системе координат.

Следовательно, координатные векторы в трехмерном пространстве принимают также значение 1 и имеют координаты i→=(1;0;0) ,   j→=(0;1;0),   k→=(0;0;1), координаты нулевого вектора также равны нулю 0→=(0;0;0) , и в таком случае два вектора будут считаться равными, если все три соответствующие координаты векторов между собой равныa→=b→⇔ax=bx, ay=by, az=bz , и координаты противоположного вектора a→ противоположны соответствующим координатам вектора a→ , то есть,-a→=(-ax;-ay; -az) .

Координаты радиус-вектора точки

Чтобы ввести данное определение, требуется показать в данной системе координат связь координат точки и координат вектора.

Пусть нам дана некоторая прямоугольная декартова система координат Oxy и на ней задана произвольная точка M с координатами M(xM;yM).

Определение 7

Вектор OM→ называется радиус-вектором точки M.

Определим, какие координаты в данной системе координат имеет радиус-вектор точки

Вектор OM→ имеет вид суммы OM→=OMx→+OMy→=xM·i→+yM·j→, где точки Mx и My это проекции точки М на координатные прямые Ox и Oy соответственно (данные рассуждения следуют из определения проекция точки на прямую), а i→ и j→ — координатные векторы, следовательно, вектор OM→ имеет координаты (xM;yM) в данной системе координат.

Иначе говоря, координаты радиус-вектора точки М равны соответствующим координатам точки М в прямоугольной декартовой системе координат.2\), откуда получаем требуемое равенство.

Утверждение

Если в прямоугольной системе координат точка \(M\) – середина отрезка \(PQ\), где \(P(x_1;y_1), \ Q(x_2;y_2)\), то

\[M\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}; \dfrac{y_1 +
y_2}{2}\right)\]

Доказательство

Пусть \(M(a;b)\).

1) Пусть \(PQ\parallel Oy \Rightarrow x_1=x_2=a\). Значит, \(a=\dfrac{x_1+x_2}2=\dfrac{a+a}2\) – верно.

Т.к. \(PM=MQ\), следовательно, \(|y_2-b|=|y_1-b| \Rightarrow
y_2-b=y_1-b\) или \(y_2-b=b-y_1\), что равносильно \(y_2=y_1\) или \(b=\dfrac{y_1+y_2}2\). Первое равенство невозможно (т.к. тогда точки \(P\) и \(Q\) совпадают).

2) Случай \(PQ\parallel Ox \Rightarrow y_1=y_2=b\) доказывается аналогично.

3) \(x_1\ne x_2, y_1\ne y_2\).

Тогда \(Ma=b\) – средняя линия трапеции \(x_1PQx_2\), следовательно, равна полусумме оснований, то есть \(b=\dfrac{y_1+y_2}2\).

Аналогично \(a=\dfrac{x_1+x_2}2\).
 

\[{\Large{\text{Векторы на координатной плоскости}}}\]

Лемма

Если векторы \(\overrightarrow a\) и \(\overrightarrow b\) коллинеарны, то существует такое число \(\lambda\ne 0\), что \(\overrightarrow
a=\lambda\overrightarrow b\).

Доказательство

1) Если \(\overrightarrow a\uparrow \uparrow \overrightarrow b\).

Рассмотрим вектор \(\dfrac1{|\overrightarrow a|}\overrightarrow a\). Данный вектор сонавправлен с \(\overrightarrow a\), а его длина равна \(1\). Тогда вектор \(\dfrac{|\overrightarrow b|}{|\overrightarrow
a|}\overrightarrow a\) также сонаправлен с \(\overrightarrow a\), но его длина равна \(|\overrightarrow b|\). То есть равен вектору \(\overrightarrow b\).

2) Если \(\overrightarrow a\uparrow \downarrow \overrightarrow b\).

Аналогично доказывается, что \(\overrightarrow
b=-\dfrac{|\overrightarrow b|}{|\overrightarrow a|}\overrightarrow
a\).

Определение

Если вектор \(\overrightarrow p\) представлен как линейная комбинация двух векторов: \(\overrightarrow p=\alpha\overrightarrow a+\beta
\overrightarrow b\), то говорят, что вектор \(\overrightarrow p\) разложен по векторам \(\overrightarrow a\) и \(\overrightarrow b\).

\(\alpha, \beta\) – коэффициенты разложения.
 

Пусть векторы \(\overrightarrow i\), \(\overrightarrow j\) – векторы, длины которых равны \(1\), а направление совпадает с направлением осей \(Ox\) и \(Oy\) соответственно. Такие векторы называются единичными векторами.

Тогда если \(\overrightarrow p=a\overrightarrow i+b\overrightarrow
j\), то \(\{a;b\}\) – координаты вектора \(\overrightarrow p\).

Свойства координат вектора

1. Равные векторы имеют равные координаты.

2. Координаты суммы векторов равны сумме координат каждого вектора: если \(\overrightarrow a\{x_1;y_1\}, \ \overrightarrow b\{x_2;y_2\}\), то \(\overrightarrow a+\overrightarrow b=\{x_1+x_2;y_1+y_2\}\).

3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты данного вектора на это число: \(\overrightarrow a\{x;y\}, \ \lambda \) – число, то \(\lambda\overrightarrow a\{\lambda x;\lambda y\}\).2}\).
 

\[{\Large{\text{Скалярное произведение векторов}}}\]

Определение

Пусть от одной точки отложены два вектора \(\overrightarrow {AB}\) и \(\overrightarrow {AC}\). Тогда угол между этими векторами – это угол \(\angle BAC\), не превышающий развернутого угла.

Скалярное произведение векторов \(\overrightarrow a\) и \(\overrightarrow b\) – это число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Обозначение: \(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\) или \((\overrightarrow a, \overrightarrow b)\). \[(\overrightarrow a, \overrightarrow b)=|\overrightarrow a|\cdot
|\overrightarrow b|\cdot \cos\widehat{(\overrightarrow a,
\overrightarrow b)}\]

Следствия

1. Если ненулевые векторы взаимно перпендикулярны, то косинус угла между ними равен нулю, следовательно, и их скалярное произведение равно нулю.

2. Если угол между ненулевыми векторами острый, то скалярное произведение положительно.2=0
\Leftrightarrow |\overrightarrow a|=0\).

2. Переместительный закон: \(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow
b=\overrightarrow b\cdot \overrightarrow a\).

3. Распределительный закон: \(\overrightarrow a \cdot
(\overrightarrow b+\overrightarrow c)=\overrightarrow a\cdot
\overrightarrow b+\overrightarrow a\cdot \overrightarrow c\).

4. Сочетательный закон: \((\lambda\overrightarrow a)\cdot
\overrightarrow b=\lambda (\overrightarrow a\cdot \overrightarrow
b)\).

Координаты вектора. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей |

Координаты вектора. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.

Если векторы a⃗ и b⃗ коллинеарны и a⃗≠0⃗, то существует такое число k, что b⃗=ka⃗.

Пусть a⃗ и b⃗ – два данных вектора. Если вектор p представлен в виде p⃗=xa⃗+yb⃗, где x и y – некоторые числа, то говорят, что вектор p⃗ разложен по векторам a⃗ и b⃗. Числа x и y называются коэффициентами разложения.

Теорема

На плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Напомню, что для задания прямоугольной системы координат нужно провести две взаимно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрать направление (оно обозначается стрелкой) и выбрать единицу измерения отрезков. При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом.

В дальнейшем под длиной отрезка мы будем понимать это число.

Отложим от начала координат O единичные векторы (т.е. векторы, длины которых равны единице) i⃗ и j⃗ так, чтобы направление вектора i⃗совпало с напралением оси Ox, а направление вектора j⃗ – с направлением оси Oy. Векторы i⃗ и j⃗ назовем координатными векторами.

Координатные векторы не коллинеарны, поэтому любой вектор p⃗ можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде p⃗=xi⃗+yj⃗, причем коэффициенты разложения (числа x и y) определяются единственным образом. Коэффициенты разложения вектора p⃗ по координатным векторамназываются координатными векторамиp⃗ в данной системе координат. Координаты вектора будем записывать в фигурных скобках после обозначения вектора: p⃗{x;y}.

Так как нулевой вектор можно представить в виде 0⃗=0.i⃗+0^.j⃗, то его координаты равны нулю: 0⃗{0;0}. Если векторы a⃗=x1i⃗+y1j⃗ и b⃗=x₂i⃗+y₂j⃗ равны, то x₁ = x₂ и y₁ = y₃. Таким образом, координаты равных векторов соответственно равны.

Рассмотрим правила, позволяющие по координатам векторов находить координаты их суммы, разности и произведения вектора на число.

1. Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

   
   

   Докажем это утверждение для двух векторов. Рассмотрим векторы a{x1;y1} и b{x2;y2}. Так как a⃗=x1i⃗+y1j⃗ и b ⃗=x2i⃗ +y2j⃗ ,то, пользуясь свойствами сложения векторов и умножения вектора на число, получим:

   
   

   a⃗+b⃗=x₁i⃗+y₁j⃗+x₂i⃗+y₂j⃗=(x₁+x₂)i⃗+(y₁+y₂)j⃗ .

   
   

   Следовательно, что координаты вектора a⃗+b⃗ равны {x1+x2;y1+y2}.

   
   

   Аналогично доказывается следующее утверждение:

2. Каждая координата разности двух или более векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

   
   

   Иными словами, если a⃗{x₁;y₁} и b⃗{x₂;y₂} – данные векторы, то вектор a⃗–b⃗ имеет координаты {x1-x2;y1-y2}.

3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

   
   

   В самом деле, пусть вектор a⃗ имеет координаты {x;y}. Найдем координаты вектора ka⃗, гдеk – произвольное число. Так как a⃗=xi⃗+yj⃗, то kxi⃗+kyj⃗. Отсюда следует, что координаты вектора ka⃗ равны {kx;ky}.

   
   

   Рассмотренные правила позволяют определить координаты любого вектора, представленного в виде алгебраической суммы данных векторов с известными координатами.

   
   

   Найти координаты вектора a⃗+b⃗,если a⃗{3;2},b⃗{2;5}

   
   

   Чтобы найти координаты вектора суммы, надо сложить соответствующие координаты данных векторов, получим:

   
   

   a⃗+b⃗ имеет координаты {3 + 2; 2 + 5}, то есть {5; 7}

   
   

   Найти координаты вектора 2a⃗, если a⃗{3;2}

   
   

   Значит, вектор 2a⃗ имеет координаты {2 ⋅ 3; 2 ⋅ 2}, то есть {6;4}

Итак, сегодня мы узнали, что любой вектор можно разложить по двум неколлинеарным векторам, ввели понятие координат вектора и рассмотрели правила, позволяющие находить координаты суммы, разности векторов, и произведения вектора на число. А в следующий раз мы найдем связь между координатами вектора и координатами его начала и конца.

Координаты вектора [wiki.eduVdom.com]

Обозначим через $\overrightarrow{i} \,и\, \overrightarrow{j}$ единичные векторы, отложенные от точки О в положительных направлениях на осях Ох и Оу
прямоугольной системы координат (рис. 1).

Рис.1

Пусть $\overrightarrow{a}$ — любой вектор на плоскости хОу. Тогда вектор $\overrightarrow{a}$ можно представить в виде
$$ \overrightarrow{a} = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j} \,\,\, (1)$$
и притом единственным образом.

Если вектор $\overrightarrow{a}$ представлен в виде $\overrightarrow{a} = x \overrightarrow{i} + у \overrightarrow{j}$ , то говорят, что $\overrightarrow{a}$ разложен по векторам $\overrightarrow{i} \,и\, \overrightarrow{j}$ . Векторы $\overrightarrow{a}_х = x \overrightarrow{i} \,и\, \overrightarrow{a}_у = у \overrightarrow{j}$ называют составляющими вектора $\overrightarrow{a}$ по осям Ох и Оу.2}$ .

Теорема 1. Каждая координата суммы векторов $\overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{b}$ равна сумме соответствующих координат этих векторов; каждая координата произведения вектора $\overrightarrow{a}$ на число k равна произведению соответствующей координаты этого вектора на число k.

Доказательство. Пусть $\overrightarrow{a} = x_1 \overrightarrow{i} + _1 \overrightarrow{j}\,\,,\, \overrightarrow{b} = x_2\overrightarrow{i} + y_2 \overrightarrow{j} $ .

Пользуясь свойствами сложения векторов и умножения вектора на число, получим
$ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (x_1 \overrightarrow{i} + y_1 \overrightarrow{j}) + (x_2 \overrightarrow{i} + y_2 \overrightarrow{j}) = (x_1 + x_2)\overrightarrow{i} + (y_1 + y_2)\overrightarrow{j} $ .

Аналогично доказывается:
$ k\overrightarrow{a} = K(x_1 \overrightarrow{i} + y_1 \overrightarrow{j}) = (k x_1)\overrightarrow{i} + (k y_1)\overrightarrow{j} $ .

Значит, координаты вектора $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ равны $х_1 + х_2$ и $у_1 + у_2$ , координаты вектора $k\overrightarrow{a}$ равны $kx_1 \,и\, ky_1$ . Теорема доказана.

Следствие 1. Координаты вектора $\overrightarrow{АВ}$ , заданного двумя точками $А(х_1; у_1) \,и\, В(х_2; у_2)$ , равны разностям соответствующих координат точек А и В.

Доказательство. Имеем $\overrightarrow{АВ} = \overrightarrow{ОВ} — \overrightarrow{ОА}$ (рис.2).

Рис.2

Так как $\overrightarrow{ОА}\{х_1; y_1\},\, \overrightarrow{ОВ}\{х_2; у_2\}$ , то по теореме 1: $\overrightarrow{АВ} \{х_2 — х_1;\, у_2 — у_1\}$ .

Пример 1. Найти координаты вектора $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} — 3\overrightarrow{b}$ , если $\overrightarrow{a}\{3;2\},\,\overrightarrow{b}\{-3;1\}$ .

Решение. Согласно полученной теореме 1:

х = 3 — 3•(-3) = 12 ;

у = 2 — 3•1 = -1 .

Пример 2. Найти координаты вектора $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{AB}$ , если А(1;3) и В(5;8).

Решение. Согласно следствию 1:

x = 5 — 1 = 4 ;

y = 8 — 3 = 5 .

Вектор координат

— обзор

Замечание 1.5.2

Обратите внимание, что процедура определения порога является нелинейной операцией: индексы ( j , k ) сохраненных коэффициентов зависят от функции, которую нужно аппроксимировать. В частности, это означает, что для описания такого адаптивного приближения необходимо хранить как значения сохраненных коэффициентов, так и их индексы. Другой естественный способ определения таких нелинейных приближений — это задание количества сохраняемых коэффициентов, а не порога, т.е.е. определите f _N как приближение к вышеупомянутому f, сохраняя его N наибольших вейвлет-коэффициентов. Затем разреженность многомасштабного представления можно измерить по убыванию ‖fN − f‖L2 , когда N переходит к + ∞, то есть супремум всех s таких, что

(1.5.1) ‖fN− f‖L2≤CN − s.

В частном случае приведенного выше примера можно легко получить из оценок на | d _{j, k} | видно, что эта ошибка затухает как N ⁻¹ или N ⁻² при использовании соответственно системы Хаара или базиса Шаудера.Общие результаты по нелинейным приближениям будут представлены в Глава 4 . В частности, эти результаты будут означать, что (1.5.1) выполняется с произвольно большим s для приведенного выше примера, при условии, что используется вейвлет-базис достаточно высокой точности. Это контрастирует с линейной аппроксимацией, которая определяет f _N , сохраняя N первых коэффициентов f, то есть f _N : = P _j f, когда N = 2 ^j . В этом случае по существу нельзя улучшить скорость N ⁻¹ в приведенном выше примере, даже при использовании вейвлетов высокого порядка, из-за наличия сингулярностей (для базиса Шаудера «сверхсходимость» явление все еще имеет место в нашем примере, поскольку сингулярности расположены в точках грубой сетки, что приводит к искусственно более высокой скорости N ⁻² log ( N ) ). Это также контрастирует с нелинейным приближением в других базисах, таких как ряд Фурье: коэффициенты Фурье c _N ( f ) в приведенном выше примере не являются разреженными в том смысле, что они ведут себя как O (| N | −3/2) для всех N.В свою очередь, ошибки линейного и нелинейного приближения L ² — ведут себя как N ⁻¹ .

Теперь мы проиллюстрируем свойства сжатия многомасштабных разложений в случае двумерных функций, связанных с математическим представлением изображений . Цифровое черно-белое изображение представляет собой двумерный массив I ( m , n ), измеряющий интенсивность уровня серого в каждой точке (или «пиксель»: элемент изображения) ( m , n ).В качестве примера на рисунке 1.5.5 показано изображение размером 512 × 512, каждый пиксель квантован по 8 битам, то есть 256 возможных уровней серого (0 для черного, 255 для белого). Многомасштабное разложение тензорного произведения, которое обобщает систему Хаара для функций двух переменных, специально адаптировано для представления таких изображений: мы можем идентифицировать цифровое изображение на рисунке 1.5.5 с функцией в V ₉ и перейти к многомасштабное разложение с использованием сепарабельного алгоритма, описанного в § 1.4.

Рисунок 1.5.5. Оцифрованное изображение: 512 × 512 пикселей и 256 уровней серого

Мы отображаем организацию декомпозиции на четырех уровнях на рисунке 1.5.6: коэффициенты самого грубого приближения (в V ₅ ) отображаются в верхнем левом углу , а остальная часть массива содержит вейвлет-коэффициенты с промежуточным разрешением.

Рисунок 1.5.6. Многомасштабная декомпозиция тензорного произведения

В рамках обработки изображений иногда нормализует базисные функции в L ¹ вместо L ² : ϕ _{j, k} ( x , y ) = 2 ^{2 j} ϕ (2 ^j x — k _x , 2 ^j y — k _y ), для k = ( k _x , k _y ), и аналогично для ψ .Эта нормализация позволяет нам визуализировать многомасштабную декомпозицию нашего изображения как другого изображения: коэффициенты аппроксимации — это в точности средние значения изображения на квадратах пикселей и, таким образом, также находятся в диапазоне от 0 до 255, а также абсолютные значения вейвлет-коэффициентов. Мы отображаем это изображение разложения на рисунке 1.5.7: коэффициенты самого грубого приближения появляются как упрощенная версия изображения. Остальная часть массива содержит абсолютные значения вейвлет-коэффициентов: как и ожидалось, в основном она разреженная, за исключением краев.Как было отмечено о разложении тензорного произведения (замечание 1.4.1), вертикальные и горизонтальные ребра сопоставляются с помощью определенного вейвлета.

Рисунок 1.5.7. Мультимасштабное разложение изображения

На рисунке 1.5.8 мы реконструировали изображение с 2000 наибольшими коэффициентами (после перенормировки в L ² ), то есть с уменьшением параметра выше 100.

Рисунок 1.5.8. Реконструкция из 2000 наибольших коэффициентов

Очевидно, что система Хаара не очень хорошо приспособлена для задачи представления изображений с несколькими коэффициентами: появляются визуальные артефакты, отражающие квадратные разрывы производящих функций.Однако мы снова наблюдаем, что стратегия пороговой обработки генерирует адаптивную аппроксимацию изображения в том смысле, что уровень разрешения увеличивается по краям.

Наконец, мы хотим показать, что многомасштабная декомпозиция также может применяться для «сжатия» операторов в интегральных уравнениях. Такие уравнения возникают во многих контекстах, либо как прямое моделирование физического процесса, либо как альтернативные формулировки дифференциальных уравнений в частных производных. Они включают применение или обращение интегрального оператора T , определенного формулой типа

(1.5.2) Tf (x) = ∫K (x, y) f (y) dy,

, где ядро ​​ K ( x , y ) — это функция, которая поддерживается во всех диапазонах x . и и . Распределенный характер K ( x , y ) имеет следующие непосредственные последствия: обычная дискретизация T — на основе методов конечных элементов или прямой выборки K ( x , y ). ) — в результате получаются полностью заполненные матрицы, которые тяжело хранить, применять или инвертировать.

Чтобы понять, как многомасштабная декомпозиция может «разрежить» представление T , давайте рассмотрим простой случай, когда x и y находятся в диапазоне I = [0, 1]. Обозначим через V _J , J ≥ 0, пространство кусочно-постоянных функций, определенных в §1.2 и адаптированных к I , и φ _{J, k} , k = 0, ⋯ , 2 ^J — 1, его ортонормированный базис.Затем мы определяем дискретизацию T на V _j как матрицу

(1.5.3) TJ = (〈TφJ, m, φJ, n〉) m, n = 0, ⋯, 2J − 1 .

Эта матрица естественно появляется в двух разных ситуациях.

1.

Приблизительное действие T на функцию: при f , найти приближение g _J дюйм V _J из g = = ТФ . Для этого мы можем начать с аппроксимации f на f _J ∈ V _J , а затем определить g _J = P _J Tf _J , где P _J — ортогональная проекция.Затем вычисление вектора координат G _J из g _J (в базисе φ _{J, k} ) выполняется путем применения T _J к вектору координат F _J из f _J .

2.

Приблизительное действие T ⁻¹ на функцию: при f , найти приближение g _J ∈ V _J из g раствор Tg = f .Метод Галеркина заключается в поиске г _J ∈ V _J таких, что 〈TgJ, uJ〉 = 〈f, uJ〉 для всех u _J ∈ V _J , т. Е. решение T _J G _J = F _J , где F _J — вектор координат f _J = P _J f и G _J вектор координат неизвестного g _J .

Корректность системы во второй задаче, а также оценки ошибок, которые могут быть получены в некоторой предписанной норме для обеих задач, конечно, зависят от специфики оператора T и данные ф .

Поскольку матричные элементы T _J имеют вид

(1.5.4) TJ (m, n) = 〈TφJ, m, φJ, n〉 = ∫K (x, y) φJ, m (x) φJ, n (y) dxdy,

ясно, что распределенная природа K ( x , y ) приведет к полной матрице.Например, если у нас есть равномерная граница | K ( x , y ) | ≤ C , мы уверены, что (1.5.2) определяет ограниченный оператор в L ² ( I ), и что операторы T _J ограничены независимо от J . Мы также получаем из (1.5.4) оценку | TJ (m, n) | <˜2 − J, но эта оценка априори не позволяет аппроксимировать T _J по операторной норме разреженной матрицей .

Если теперь использовать многомасштабную основу, то есть φ _{j 0 , k} , k = 0, ⋯ 2 ^{j ₀} — 1, и ψ _{j, k} , j ₀ ≤ j < J , k = 0, ⋯, 2 ^j — 1, чтобы переформулировать обе задачи, получаем новую матрицу S _J , элементы которого обычно имеют вид

(1.5.5) SJ (j, l, m, n) = 〈Tψj, m, ψl, n〉 = ∫K (x, y) ψj, m (x) ψl, n (y) dxdy,

для j ₀ < j , л < J — 1, м = 0, ⋯, 2 ^j — 1, n = 0, ⋯, 2 ^l — 1 (с аналогичными выражениями для тех элементов, которые содержат базисные функции φ _{j 0 , k} ). Из (1.5.5) видно, что S _J просто получается путем применения к T _J вейвлет-разложения «полного тензорного произведения», описанного в Замечании 1.4.3: дискретизированное ядро ​​«обрабатывается» как цифровое изображение. Структура результирующей матрицы представлена ​​на рисунке 1.5.9 в случае, когда J = 4 и j ₀ = 1.

Рисунок 1.5.9. Мультимасштабная дискретизация ядра

Таким образом, мы можем надеяться получить некоторую разреженность, когда ядро ​​будет иметь некоторые свойства гладкости. В частности, если K ( x , y ) равно C ¹ на опоре ψj, m (x) ψl, n (y), мы можем использовать тот же метод, что и в Замечании 1 .5.1, чтобы получить оценку

(1.5.6) | SJ (j, l, m, n) | ≤ [supIj, m × Il, n | ∇K |] 2−2max {j, l},

что, в отличие от грубой оценки, которая у нас была для T _J , может позволить нам отбросить многие коэффициенты, сохранив хорошее приближение к S _J .

В качестве примера рассмотрим оператор однослойного логарифмического потенциала, который связывает плотность электрического заряда на бесконечном цилиндре единичного радиуса {(z, ei2πx), z∈ℝ, x∈ [0,1]} с индуцированным потенциал на одном цилиндре, когда обе функции не зависят от переменной z .Ассоциированное ядро ​​

(1.5.6) K (x, y) = log | ei2πx − ei2πy |.

является единичным по диагонали { x = y }, но интегрируемым.

Начиная с дискретизации T ₉ в V ₉ , мы вычисляем многомасштабную матрицу S˜9 и определяем разреженную матрицу S ₉ , обнуляя все элементы S ₉ с модулем менее 10 ⁻² × 2 ⁻⁹ . Мы отображаем на рисунке 1.5.10 расположение сохраненных коэффициентов: на каждом подблоке S ₉ , что соответствует паре шкалы ( j , l ), неудивительно, что мы находим важные коэффициенты вблизи диагонали, поскольку он соответствует особой части ядра.

Рисунок 1.5.10. Разрезание ядра логарифмического потенциала

Это приближение S ₉ содержит примерно 30000 ненулевых записей, то есть коэффициент сжатия около 10.Чтобы оценить ее точность, мы можем использовать следующую простую версию леммы Шура для матриц (общую версию см. В главе 4, лемма 4.6.1)

(1.5.8) ‖A‖2≤ [supj∑i | Ai, j |] [supi∑j | Ai, j |],

, что дает оценку ошибки в операторной норме

(1.5.9) ‖S9 − S˜9‖≤10−2.

Вектор координат

Марко Табога, доктор философии

Ранее мы предоставили два
определения векторного пространства:

• неформальное определение: вектор — это конечный массив чисел, и набор таких
  массивы называется векторным пространством тогда и только тогда, когда оно закрыто относительно
  брать линейный
  комбинации;

• формальное определение: векторное пространство — это набор, снабженный двумя операциями,
  называется сложением векторов и скалярным умножением, которые удовлетворяют ряду
  аксиомы.

Мы также объяснили, что более простое неформальное определение идеально
совместим с более формальным определением, как набор числовых массивов
удовлетворяет всем свойствам векторного пространства при условии, что сложение векторов
и скалярное умножение определены обычным образом, и что множество
замкнуты относительно линейных комбинаций.

Теперь мы вводим новую концепцию координатного вектора, которая делает
два определения почти эквивалентны: если мы имеем дело с абстрактным вектором
пространство, но его размерность конечна, и мы можем определить основу для
пробел, то мы можем записать каждый вектор как линейную комбинацию базиса; в виде
как следствие, мы можем представить вектор в виде массива, называемого координатой
вектор, содержащий коэффициенты линейной комбинации.Как только у нас есть
Получив это простое представление, мы можем применить обычные правила матрицы
алгебры к координатным векторам, даже если мы имеем дело с абстрактным
векторное пространство. Это не только очень удобно, но и стирает различия.
между двумя подходами к определению векторов и векторных пространств (по крайней мере, для
конечномерный случай).

Определение

Теперь мы готовы дать определение координатному вектору.

Обратите внимание, что уникальность скаляров

гарантируется
уникальность
представления с точки зрения основы.

Сложение векторов координат

Сложение двух векторов можно осуществить, выполнив обычную
операция сложения вектора на
соответствующие им координатные векторы.

Проба

Скалярное умножение координатных векторов

Умножение вектора на скаляр можно выполнить, выполнив
обычная работа
умножение
скаляром на его координатном векторе.

Проба

Числовые массивы — это векторы координат относительно
каноническая основа

Когда элементы линейного пространства

являются одномерными массивами чисел (векторами в простейшем смысле
член), то они совпадают со своими векторами координат относительно
стандартная основа. Например, пусть

быть пространством для всех

векторы-столбцы. Позволять

быть его каноническим основанием, где

вектор, все элементы которого
,
кроме
-й,
что равно
:
Брать
любой
Потом,

совпадает с его координатным вектором относительно базиса
,
что
это потому что

Решенные упражнения

Ниже вы можете найти несколько упражнений с объясненными решениями.

Упражнение 1

Позволять

— векторное пространство всех многочленов третьего порядка. Выполните добавление
два
полиномы
используя свои координатные векторы относительно
baseCheck
что результат будет таким же, как если бы вы суммировали два полинома
напрямую.

Решение

Упражнение 2

Позволять

быть пространством для всех

векторов.Рассмотрим основу

где найти
вектор координат
с участием
уважение к данной основе.

Решение

У нас есть
thatTherefore,
вектор координат

является

Как цитировать

Укажите как:

Табога, Марко (2017). «Координатный вектор», Лекции по матричной алгебре. https://www.statlect.com/matrix-algebra/coordinate-vector.

Вектор координат

Марко Табога, доктор философии

Ранее мы предоставили два
определения векторного пространства:

• неформальное определение: вектор — это конечный массив чисел, и набор таких
  массивы называется векторным пространством тогда и только тогда, когда оно закрыто относительно
  брать линейный
  комбинации;

• формальное определение: векторное пространство — это набор, снабженный двумя операциями,
  называется сложением векторов и скалярным умножением, которые удовлетворяют ряду
  аксиомы.

Мы также объяснили, что более простое неформальное определение идеально
совместим с более формальным определением, как набор числовых массивов
удовлетворяет всем свойствам векторного пространства при условии, что сложение векторов
и скалярное умножение определены обычным образом, и что множество
замкнуты относительно линейных комбинаций.

Теперь мы вводим новую концепцию координатного вектора, которая делает
два определения почти эквивалентны: если мы имеем дело с абстрактным вектором
пространство, но его размерность конечна, и мы можем определить основу для
пробел, то мы можем записать каждый вектор как линейную комбинацию базиса; в виде
как следствие, мы можем представить вектор в виде массива, называемого координатой
вектор, содержащий коэффициенты линейной комбинации.Как только у нас есть
Получив это простое представление, мы можем применить обычные правила матрицы
алгебры к координатным векторам, даже если мы имеем дело с абстрактным
векторное пространство. Это не только очень удобно, но и стирает различия.
между двумя подходами к определению векторов и векторных пространств (по крайней мере, для
конечномерный случай).

Определение

Теперь мы готовы дать определение координатному вектору.

Обратите внимание, что уникальность скаляров

гарантируется
уникальность
представления с точки зрения основы.

Сложение векторов координат

Сложение двух векторов можно осуществить, выполнив обычную
операция сложения вектора на
соответствующие им координатные векторы.

Проба

Скалярное умножение координатных векторов

Умножение вектора на скаляр можно выполнить, выполнив
обычная работа
умножение
скаляром на его координатном векторе.

Проба

Числовые массивы — это векторы координат относительно
каноническая основа

Когда элементы линейного пространства

являются одномерными массивами чисел (векторами в простейшем смысле
член), то они совпадают со своими векторами координат относительно
стандартная основа. Например, пусть

быть пространством для всех

векторы-столбцы. Позволять

быть его каноническим основанием, где

вектор, все элементы которого
,
кроме
-й,
что равно
:
Брать
любой
Потом,

совпадает с его координатным вектором относительно базиса
,
что
это потому что

Решенные упражнения

Ниже вы можете найти несколько упражнений с объясненными решениями.

Упражнение 1

Позволять

— векторное пространство всех многочленов третьего порядка. Выполните добавление
два
полиномы
используя свои координатные векторы относительно
baseCheck
что результат будет таким же, как если бы вы суммировали два полинома
напрямую.

Решение

Упражнение 2

Позволять

быть пространством для всех

векторов.Рассмотрим основу

где найти
вектор координат
с участием
уважение к данной основе.

Решение

У нас есть
thatTherefore,
вектор координат

является

Как цитировать

Укажите как:

Табога, Марко (2017). «Координатный вектор», Лекции по матричной алгебре. https://www.statlect.com/matrix-algebra/coordinate-vector.

Вектор координат

Марко Табога, доктор философии

Ранее мы предоставили два
определения векторного пространства:

• неформальное определение: вектор — это конечный массив чисел, и набор таких
  массивы называется векторным пространством тогда и только тогда, когда оно закрыто относительно
  брать линейный
  комбинации;

• формальное определение: векторное пространство — это набор, снабженный двумя операциями,
  называется сложением векторов и скалярным умножением, которые удовлетворяют ряду
  аксиомы.

Мы также объяснили, что более простое неформальное определение идеально
совместим с более формальным определением, как набор числовых массивов
удовлетворяет всем свойствам векторного пространства при условии, что сложение векторов
и скалярное умножение определены обычным образом, и что множество
замкнуты относительно линейных комбинаций.

Теперь мы вводим новую концепцию координатного вектора, которая делает
два определения почти эквивалентны: если мы имеем дело с абстрактным вектором
пространство, но его размерность конечна, и мы можем определить основу для
пробел, то мы можем записать каждый вектор как линейную комбинацию базиса; в виде
как следствие, мы можем представить вектор в виде массива, называемого координатой
вектор, содержащий коэффициенты линейной комбинации.Как только у нас есть
Получив это простое представление, мы можем применить обычные правила матрицы
алгебры к координатным векторам, даже если мы имеем дело с абстрактным
векторное пространство. Это не только очень удобно, но и стирает различия.
между двумя подходами к определению векторов и векторных пространств (по крайней мере, для
конечномерный случай).

Определение

Теперь мы готовы дать определение координатному вектору.

Обратите внимание, что уникальность скаляров

гарантируется
уникальность
представления с точки зрения основы.

Сложение векторов координат

Сложение двух векторов можно осуществить, выполнив обычную
операция сложения вектора на
соответствующие им координатные векторы.

Проба

Скалярное умножение координатных векторов

Умножение вектора на скаляр можно выполнить, выполнив
обычная работа
умножение
скаляром на его координатном векторе.

Проба

Числовые массивы — это векторы координат относительно
каноническая основа

Когда элементы линейного пространства

являются одномерными массивами чисел (векторами в простейшем смысле
член), то они совпадают со своими векторами координат относительно
стандартная основа. Например, пусть

быть пространством для всех

векторы-столбцы. Позволять

быть его каноническим основанием, где

вектор, все элементы которого
,
кроме
-й,
что равно
:
Брать
любой
Потом,

совпадает с его координатным вектором относительно базиса
,
что
это потому что

Решенные упражнения

Ниже вы можете найти несколько упражнений с объясненными решениями.

Упражнение 1

Позволять

— векторное пространство всех многочленов третьего порядка. Выполните добавление
два
полиномы
используя свои координатные векторы относительно
baseCheck
что результат будет таким же, как если бы вы суммировали два полинома
напрямую.

Решение

Упражнение 2

Позволять

быть пространством для всех

векторов.Рассмотрим основу

где найти
вектор координат
с участием
уважение к данной основе.

Решение

У нас есть
thatTherefore,
вектор координат

является

Как цитировать

Укажите как:

Табога, Марко (2017). «Координатный вектор», Лекции по матричной алгебре. https://www.statlect.com/matrix-algebra/coordinate-vector.

Вектор координат

Марко Табога, доктор философии

Ранее мы предоставили два
определения векторного пространства:

• неформальное определение: вектор — это конечный массив чисел, и набор таких
  массивы называется векторным пространством тогда и только тогда, когда оно закрыто относительно
  брать линейный
  комбинации;

• формальное определение: векторное пространство — это набор, снабженный двумя операциями,
  называется сложением векторов и скалярным умножением, которые удовлетворяют ряду
  аксиомы.

Мы также объяснили, что более простое неформальное определение идеально
совместим с более формальным определением, как набор числовых массивов
удовлетворяет всем свойствам векторного пространства при условии, что сложение векторов
и скалярное умножение определены обычным образом, и что множество
замкнуты относительно линейных комбинаций.

Теперь мы вводим новую концепцию координатного вектора, которая делает
два определения почти эквивалентны: если мы имеем дело с абстрактным вектором
пространство, но его размерность конечна, и мы можем определить основу для
пробел, то мы можем записать каждый вектор как линейную комбинацию базиса; в виде
как следствие, мы можем представить вектор в виде массива, называемого координатой
вектор, содержащий коэффициенты линейной комбинации.Как только у нас есть
Получив это простое представление, мы можем применить обычные правила матрицы
алгебры к координатным векторам, даже если мы имеем дело с абстрактным
векторное пространство. Это не только очень удобно, но и стирает различия.
между двумя подходами к определению векторов и векторных пространств (по крайней мере, для
конечномерный случай).

Определение

Теперь мы готовы дать определение координатному вектору.

Обратите внимание, что уникальность скаляров

гарантируется
уникальность
представления с точки зрения основы.

Сложение векторов координат

Сложение двух векторов можно осуществить, выполнив обычную
операция сложения вектора на
соответствующие им координатные векторы.

Проба

Скалярное умножение координатных векторов

Умножение вектора на скаляр можно выполнить, выполнив
обычная работа
умножение
скаляром на его координатном векторе.

Проба

Числовые массивы — это векторы координат относительно
каноническая основа

Когда элементы линейного пространства

являются одномерными массивами чисел (векторами в простейшем смысле
член), то они совпадают со своими векторами координат относительно
стандартная основа. Например, пусть

быть пространством для всех

векторы-столбцы. Позволять

быть его каноническим основанием, где

вектор, все элементы которого
,
кроме
-й,
что равно
:
Брать
любой
Потом,

совпадает с его координатным вектором относительно базиса
,
что
это потому что

Решенные упражнения

Ниже вы можете найти несколько упражнений с объясненными решениями.

Упражнение 1

Позволять

— векторное пространство всех многочленов третьего порядка. Выполните добавление
два
полиномы
используя свои координатные векторы относительно
baseCheck
что результат будет таким же, как если бы вы суммировали два полинома
напрямую.

Решение

Упражнение 2

Позволять

быть пространством для всех

векторов.Рассмотрим основу

где найти
вектор координат
с участием
уважение к данной основе.

Решение

У нас есть
thatTherefore,
вектор координат

является

Как цитировать

Укажите как:

Табога, Марко (2017). «Координатный вектор», Лекции по матричной алгебре. https://www.statlect.com/matrix-algebra/coordinate-vector.

Базы как системы координат

Цели

1. Научитесь рассматривать базис как систему координат в подпространстве.
2. Рецепты: вычисляет B-координаты вектора, вычисляет обычные координаты вектора из его B-координат.
3. Рисунок: B-координаты вектора с использованием его положения на нестандартной координатной сетке.
4. Словарь: Координаты B .

В этом разделе мы интерпретируем базис подпространства V как систему координат на V, и мы узнаем, как записать вектор в V в этой системе координат.

Факт

Если B = {v1, v2, …, vm} является базисом для подпространства V, то любой вектор x в V может быть записан как линейная комбинация

x = c1v1 + c2v2 + ··· + cmvm

ровно в одну сторону.

Напомним, что сказать, что B является базисом , для V означает, что B охватывает V, а B линейно независима. Поскольку B охватывает V, мы можем записать любой x в V как линейную комбинацию v1, v2, …, vm. Для уникальности предположим, что у нас есть два таких выражения:

x = c1v1 + c2v2 + ··· + cmvmx = cA1v1 + cA2v2 + ··· + cAmvm.

Вычитание первого уравнения из второго дает

0 = x − x = (c1 − cA1) v1 + (c2 − cA2) v2 + ··· + (cm − cAm) vm.

Поскольку B линейно независим, единственным решением вышеуказанного уравнения является тривиальное решение: все коэффициенты должны быть равны нулю. Отсюда следует, что ci − cAi для всех i, что доказывает, что c1 = cA1, c2 = cA2, …, cm = cAm.

Пример

Рассмотрим стандартную основу R3 из этого примера в разделе 2.7:

e1 = E100F, e2 = E010F, e3 = E001F.

Согласно вышеуказанному факту, каждый вектор в R3 может быть записан как линейная комбинация e1, e2, e3 с уникальными коэффициентами.Например,

v = E35−2F = 3E100F + 5E010F − 2E001F = 3e1 + 5e2−2e3.

В данном случае координаты v в точности совпадают с коэффициентами при e1, e2, e3.

А что такое координаты? Один из способов думать о координатах — это то, что они указывают, как добраться до определенной точки из начала координат. В приведенном выше примере линейную комбинацию 3e1 + 5e2−2e3 можно представить как следующий список инструкций: начать с начала координат, проехать 3 единицы на север, затем проехать 5 единиц на восток, затем на 2 единицы вниз.

Определение

Пусть B = {v1, v2, …, vm} — базис подпространства V, и пусть

x = c1v1 + c2v2 + ··· + cmvm

— вектор в V. Коэффициенты c1, c2, …, cm — это координаты x относительно B . Вектор B координаты x — это вектор

[x] B = GKKIc1c2 … cmHLLJinRm.

Если мы изменим основу, то мы все равно сможем дать инструкции, как добраться до точки (3,5, −2), но инструкции будут другими.Скажем для примера берем основу

v1 = e1 + e2 = E110F, v2 = e2 = E010F, v3 = e3 = E001F.

Мы можем записать (3,5, −2) в этом базисе как 3v1 + 2v2−2v3. Другими словами: начните с начала координат, пройдите 3 раза на северо-восток до точки v1, затем на 2 единицы на восток, затем на 2 единицы вниз. В этой ситуации мы можем сказать, что «3 — это координата v1 отрезка (3,5, −2), 2 — координата v2 отрезка (3,5, −2), а −2 — координата v3 отрезка (3,5, −2). ”

Приведенное выше определение дает способ использования Rm для обозначения точек подпространства размерности m: точка просто помечается ее вектором B-координат.Например, если мы выберем основу для плоскости, мы можем пометить точки этой плоскости точками R2.

Пример

Пусть

v1 = E2−11Fv2 = E10−1F.

Они образуют базис B для плоскости V = Span {v1, v2} в R3. Мы указываем систему координат, определяемую буквой B, путем рисования линий, параллельных «оси v1» и «оси v2»:

Из рисунка видно, что v1-координата u1 равна 1, как и v2-координата, поэтому [u1] B = A11B. Аналогично имеем

[u2] B = M-112N [u3] B = C32-12D [u4] B = M032N.Figure8Left: B-координаты вектора x. Справа: вектор x. Фиолетовая сетка справа — изображение системы координат, определяемой базисом B; один набор линий измеряет координату v1, а другой набор — координату v2. Перетащите заголовки векторов x и [x] B, чтобы понять соответствие между x и его вектором B-координат.

Рецепты: B-координаты

Если B = {v1, v2, …, vm} является базисом для подпространства V и x находится в V, то

[x] B = GKKIc1c2.{3} $. Интересная «структура» $ X $ кодируется картами перекрытия, которые определяют свойства $ X $, которые не зависят от системы координат .

Когда математики говорят о многообразии, имеющем гладкую структуру , они имеют в виду, что некоторый набор систем координат был зафиксирован так, что отображения перекрытия являются диффеоморфизмами. Многообразие, имеющее аффинную структуру , имеет системы координат, перекрытия которых являются аффинными (гораздо более жесткое условие).{3} $. Элемент $ (\ mathbf {x}, \ mathbf {v}) $ из $ TX $ следует рассматривать как состоящий из элемента $ \ mathbf {x} $ из $ X $ вместе с вектором $ \ mathbf {v} $ «на основе» $ \ mathbf {x} $. Линейные комбинации векторов имеют смысл брать только в том случае, если они базируются в одной точке.

На этом рисунке векторное поле на $ X $ — это отображение $ \ Xi: X \ to TX $, которое присваивает каждой точке $ \ mathbf {x} $ из $ X $ вектор $ \ Xi ( \ mathbf {x}) $ на основе $ \ mathbf {x} $. Поля декартовых координат $ \ mathbf {e} _ {i} $ представляют собой постоянных векторных функций , потому что декартовы координаты изменяются на аддитивные константы при перемещении (!).