Что такое трапеция в геометрии: Трапеция — урок. Геометрия, 8 класс.

alexxlab

Содержание

Трапеция

Сегодня на уроке мы познакомимся с геометрической
фигурой, которую называют трапецией.

Итак, трапецией называется четырёхугольник, у
которого две стороны параллельны, а две другие – нет.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями.
 А не параллельные  – боковыми сторонами.

Перпендикуляр, проведённый из любой точки одного из
оснований на другое основание или его продолжение, называется высотой
трапеции.

Трапеция, у которой есть прямой угол, называется прямоугольной.
Следует отметить, что, так как основания AB
и CD  параллельны, прямая BC
–
секущая, а сумма односторонних углов равна 180º, то и угол BCD
также равен 90º.

Трапеция, у которой боковые стороны равны,
называется равнобедренной.

Далее мы рассмотрим некоторые свойства и признаки равнобедренной
трапеции.

Теорема. Свойство углов равнобедренной трапеции. Углы
при основании равнобедренной трапеции равны.

Доказательство.

Рассмотрим прямоугольные  и .

, так как  – равнобедр.
трапеция,

.

по катету и
гипотенузе.

Следовательно, .

Теорема доказана.

Теорема. Свойство диагоналей равнобедренной
трапеции. Диагонали равнобедренной трапеции равны.

Доказательство.

Рассмотрим  и .

, так как  – равнобедр.
трапеция,сторона  – общая,

 как углы при
основании равнобедр. трапеции.

 по первому
признаку.

Следовательно, .

Теорема доказана.

Теорема. Признак равнобедренной трапеции. Если
у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.

Доказательство.

Рассмотрим прямоугольные  и .

 по условию.

.

по катету и
противолежащемуострому углу.

Следовательно, .

Тогда трапеция  –
равнобедренная.

Теорема доказана.

Теорема. Признак равнобедренной трапеции. Если
у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.

Доказательство.

Рассмотрим прямоугольные  и .

 по условию,.

по катету и гипотенузе.

Следовательно, .

Рассмотрим  и .

 по
условию,сторона  – общая,.

по первому
признаку.

Следовательно, .

Тогда трапеция  –
равнобедренная.

Теорема доказана.

А теперь решим несколько задач.

Задача.  – трапеция, у
которой . . Найдите
градусную меру .

Решение.

Так как , то трапеция  –
равнобедренная.

как углы при
основании равнобедр. трапеции.

,  –
внутр. односторонние при  и секущей , то есть

,

,

,

.

Ответ: .

Задача. В прямоугольной
трапеции  проведена
диагональ . , . Найдите
градусную меру .

Решение.

как накр.
лежащие при и секущей ,то есть .

,следовательно,  –
равнобедренный, тогда .

Для : ,

,

,

.

Ответ: .

Урок по геометрии «Трапеция»(8 класс)

Дата:

Тема урока: Трапеция.

Цели урока:

Образовательная:

  • Ввести понятие трапеции и ее элементов, познакомить учащихся видами трапеций;

  • Рассмотреть некоторые свойства и признаки равнобедренной трапеции;

  • Научить учащихся применять полученные знания в процессе решения задач.

Развивающая:

  • Развитие у детей умения обобщать, логически мыслить, применять в своих рассуждениях аналогию, наблюдение, рационально применять свои знания;

Воспитательная:

  • Воспитание интереса к математике с помощью элементов занимательности, знакомства с историей возникновения понятия «трапеция»

Тип урока: урок изучения нового материала и первичное закрепление знаний.

Оборудование: слайды из презентации к уроку, проектор, карточка-тест.

Содержание урока:

  1. Организационный момент (1 мин)

  2. Актуализация опорных знаний (5-7 минут)

  3. Сообщение цели и темы урока. (2-3 минуты)

  4. Изучение нового материала (15 – 20 минут)

  1. Ввести понятие трапеции, ее оснований и боковых сторон.

  2. Ввести понятия равнобедренной трапеции, прямоугольной трапеции.

  3. Изучение свойств равнобедренной трапеции.

  1. Закрепление изученного материала (решение задач на готовых чертежах)
    (10-12 минут)

  2. Самостоятельная работа в виде теста (3- 4 минуты)

  3. Подведение итогов урока. Рефлексия (2 – 3 минуты)

  4. Домашнее задание (1 минута)

Ход урока:

  1. Организационный момент

Учитель: Здравствуйте, ребята. Сегодня на уроке мы продолжаем изучение одного из важнейших разделов геометрии – изучение четырехугольников.

Эта тема является основой решения множества геометрических задач и базой изучения теоретического материала в дальнейшем.

  1. Актуализация опорных знаний

Попробуем систематизировать все, что мы знаем о четырехугольниках.

Слайд 1

Ребята, посмотрите, пожалуйста, на слайд.

На доске представлена схема изучения геометрии 8 класса, но все понятия потеряли свои места. Ваша задача – восстановить порядок изучения материала.

Вспомогательные вопросы:

— Какие бывают четырехугольники? [Выпуклые и невыпуклые]

— Какой четырехугольник называется выпуклым? [четырехугольник – называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины]

— Что вы можете сказать о сумме углов четырехугольника? [Сумма всех углов равна 360°]

— С каким четырехугольником мы уже познакомились?[Параллелограммом]

— Дайте определение параллелограмма? [Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны]

— Какие свойства параллелограмма мы изучили? [В параллелограмме противоположные стороны и углы равны ]; [Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам]

— Какие признаки мы изучили?

[Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм]

[Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм]

[Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм]

— Для чего необходимо использовать признаки, а для чего применять свойства?

[Свойство — это характерная особенность, присущая только этой геометрической фигуре. Признак — это характерная особенность, по которой ищут в многообразии других фигур именно эту].

Молодцы! Вы хорошо справились с заданием!

  1. Сообщение цели и темы урока.

Слайд 2

На доске вы видите разные виды четырехугольников.

— Как вы думаете, у всех ли четырехугольников противоположные стороны параллельны? (Выслушиваются ответы учеников).

-А может ли существовать четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна?

— А как такие четырехугольники называются?

Итак, какова тема нашего урока? [Трапеция]

— Запишем тему урока: Трапеция.

Мы уже изучили параллелограмм, вспомнили с вами структуру изучения темы? По аналогии с параллелограммом, скажите, что мы узнаем о трапеции?

[Сегодня на уроке мы познакомиться с еще одним видом четырехугольников – трапецией, узнаем о её видах, свойствах и признаках; научимся применять эти свойства и признаки при решении задач. ]

  1. Изучение нового материала

— Правильно, а сейчас послушаем рассказ подготовленный Самуйленковым Степаном и узнаем, почему этот четырехугольник — носит такое название?

  • Понятие трапеции формировалось в течение длительного периода времени. «Трапеция» в нашем смысле встречается впервые у древнегреческого математика Посейдона. Сначала трапецией называли любой четырехугольник, не являющийся параллелограммом . Именно в таком смысле термин «трапеция» использовал Евклид в своих «Началах». Лишь в XVIII в. это слово приобретает современный смысл.

  • «Трапеция» — слово греческого происхождения, означавшее в древности «столик» (по гречески «трапедзион» означает столик, обеденный стол).

— Спасибо, Степа! [Сообщение оценки]

  1. Ввести понятие трапеции, ее оснований и боковых сторон.
    В тетрадях и на доске рисунок и записи

Слайд 3
— Ребята, посмотрите на трапецию и дайте определение трапеции самостоятельно. [Выслушиваются ответы учеников].

— Проверьте себя, прочитайте определение в учебнике. ( страница 103)

— Как называются параллельные стороны? [Основания]

Как называются две другие стороны? [боковые стороны]

— Параллельные стороны не могут быть равными? [ Нет, так как в противном случае мы имели бы параллелограмм]

— Правильно, поэтому одну из них мы назовем большим, вторую – малым основаниями трапеции.

2. Ввести понятия равнобедренной трапеции, прямоугольной трапеции. В тетрадях и на доске рисунки и записи. Слайд 4.

— Какие стороны у трапеции могут быть равными? [Боковые]
В зависимости от длин боковых сторон и их расположения трапеции могут быть различных видов. Рассмотрим виды трапеции.

В 7 классе мы изучали треугольник, у которого две равные стороны. Как он называется? [равнобедренный]

Как называется трапеция, которой боковые стороны равны? [равнобедренная]

Слайд 5.

— Следующий вид трапеции — прямоугольная трапеция.

Дайте определение прямоугольной трапеции самостоятельно.

Подведем итог: Трапеция – это …[ответ учащихся]
Трапеции бывают …[ответ учащихся]

Какая трапеция называется равнобедренной? прямоугольной …[ответ учащихся]

  1. Изучение свойств равнобедренной трапеции.
    — Равнобедренная трапеция обладает основными свойствами. Эти свойства мы выведем, решая задачу.

Рассмотрим задачу с учебника №388(а)

№ 388 (а).

В равнобедренной трапеции углы при основании равны.

1. Дополнительные построения: СЕ||АВ.

2. ABСЕ – параллелограмм (СЕ||АВ, АЕ||ВС) => АВ=СЕ.

3. АВ=СЕ=СD=> СЕD равнобедренный => 1=2.

4. Так как АВ||СЕ, то 3=2 – как соответственные => 3=1.

5. В=180º-3=180º-1=С.

Ч.т.д.

В ходе решения задачи, учитель задает наводящие вопросы:

  1. При решении задач, мы используем свойства и признаки уже изученных фигур. Для этого необходимы дополнительные построения. Подумайте, на какие фигуры можно разбить трапецию? Что для этого надо сделать? [Построить отрезок СЕ, такой что СЕ||АВ.]

  2. Что вы можете сказать о четырехугольнике ABСЕ? [ABСЕ – параллелограмм (СЕ||АВ, АЕ||ВС) => АВ=СЕ.]

  3. Рассмотрим другую фигуру – треугольник СЕD. Какой это треугольник? [Равнобедренный, т.к. АВ=СЕ=СD].
    Какими свойствами обладает равнобедренный треугольник? [В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит 1=2.]

  4. Скажите, можно ли утверждать что 3 = 2? Как называются эти углы?
    Итак, если 1=2 , а 2=3 значит 3=1

  5. Мы доказали равенство углов при большем основании. Как доказать, что В=С?
    Что вы можете сказать о А и В? [односторонние]. Что мы знаем про односторонние углы? [сумма односторонних углов равна 180]

Слайд 6. № 388 (б) прочитать задачу.

— Доказательство этого свойства, вы проведете дома самостоятельно.

В тетрадях и на доске рисунок и записи:

Слайд 7.

— Сформулируйте утверждения, обратные свойствам равнобедренной трапеции. Как называются эти обратные свойства? [признаки равнобедренной трапеции]

  1. Закрепление изученного материала (решение задач на готовых чертежах)

Сейчас я предлагаю вам узнать имя ученого, спрятанного за сеткой задач. При правильном ответе сектор открывается и появляется часть изображения.

Много интересного рассказывают про этого учёного. Вот, например, один случай. Учёный, наблюдая звёзды, упал в колодец, а стоявшая рядом женщина посмеялась над ним, сказав: «Хочет знать, что делается на небе, а что у него под ногами, не видит»

Этот учёный сформулировал следующие теоремы: а) Вертикальные углы равны; б) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны; в)Если на одной стороне угла отложить равные отрезки, и провести через них параллельные прямые, то и на другой стороне угла отложатся равные отрезки.

Слайд 8

Ответы:

( слева – направо, 1 ряд – 2 ряд )
1) Е = N = 80;M = 100.

2) F = 90;M=115

3) К =F = 55;M=R= 125;

4) B = 110;M=130

5) D = 55;C=125;F = 105

6) C = 120;A=60;B = 120

При отсутствии времени количество задач сократить, решив их на следущем уроке.

  1. Самостоятельная работа в виде теста

Слайд 9.

ТЕСТ

Определить вид четырехугольника если он имеет:

Трапеция

Паралле-лограмм

Равнобед-ренная

Прямо-угольная

Разносто-ронняя

два прямых угла и все стороны разные

+

два разных острых угла и все разные стороны

+

два одинаковых тупых угла и две одинаковые боковые стороны

+

противоположные стороны равны и углы равны

+

  1. Подведение итогов урока. Рефлексия.
    Ребята, что нового вы узнали на уроке?
    Что было особенно интересно?
    На что еще необходимо обратить внимание?

  2. Домашнее задание
    П. 44, записи в тетрадях, № 388(б), № 390.

Придумать и решить задачу на использование свойства или признака трапеции.

Трапеция

Трапеция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, еда») — четырёхугольник, у которого только одна пара противолежащих сторон параллельна.



Иногда трапеция определяется как четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна (про другую не уточняется), в этом случае параллелограмм является частным случаем трапеции. В частности, существует понятие криволинейная трапеция.



Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.


Элементы трапеции

  • Параллельные стороны называются основаниями трапеции.

  • Две другие стороны называются боковыми сторонами.

  • Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

  • Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.


Виды трапеций

  • Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной.

  • Трапеция, у которой один из углов «прямой», называется прямоугольной.



Основные свойства трапеции

В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

\[ AB + CD = BC + AD \]

Средняя линия трапеции разделяет пополам любой отрезок, который соединяет основы, так же делит диагонали пополам:

\[ AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD \]

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

\[ m = \dfrac{a + b}{2} \]

Точка пересечения диагоналей трапеции и середины оснований лежат на одной прямой. 2 \]



Формулы длин сторон трапеции

Формула длины оснований трапеции через среднюю линию и другую основу:

\[ a = 2m — b , b = 2m — a \]

Формулы длины основ трапеции через высоту и углы при нижнем основании:

\[ a = b + h · (ctg \alpha + ctg \beta) , b = a — h · (ctg \alpha + ctg \beta)\]

Формулы длины основ трапеции через боковые стороны и углы при нижнем основании:

\[ a = b + c·cos \alpha + d·cos \beta, b = a — c·cos \alpha — d·cos \beta \]

Формулы боковых сторон трапеции через высоту и углы при нижнем основании:

\[ с = \dfrac{h}{sin \alpha } , d = \dfrac{h}{sin \beta } \]



Формулы длины средних линий трапеции

Формула определения длины средней линии через длины оснований:

\[ m = \dfrac{a + b}{2} \]

Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:

\[ m = \dfrac{S}{h} \]



Формулы длины высоты трапеции

Формула высоты трапеции через сторону и прилегающий угол при основании:

\[ h = c·sin α = d·sin β \]

Формула высоты трапеции через диагонали и углы между ними:

\[ h = sin γ \cdot \dfrac{d_1\cdot d_2}{a + b} = sin δ \cdot \dfrac{d_1\cdot d_2}{a + b} \]

Формула высоты трапеции через диагонали, углы между ними и среднюю линию:

\[ h = sin γ \cdot \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2m 2m} = sin δ · \dfrac{d_1}{d_2} \]

Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:

\[ h = \dfrac{2S}{a + b} \]

Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:

\[ h = \dfrac{2S}{m} \]



Формулы длин диагоналей трапеции

Формулы длин диагоналей трапеции по теореме косинусов:

\[ d_1 = \sqrt{a^2 + d^2 — 2ad·cos β} \]

\[ d_2 = \sqrt{a^2 + c^2 — 2ac·cos β} \]

Формулы длин диагоналей трапеции через четыре стороны:

\[ d_1 = \sqrt{d^2 + ab — \dfrac{a(d^2 — c^2)}{a — b} } \]

\[ d_2 = \sqrt{c^2 + ab — \dfrac{ a(c^2 — d^2) }{a — b} } \]

Формулы длин диагоналей трапеции через высоту:

\[ d_1 = \sqrt{h^2 + (a — h · ctg β)^2} = \sqrt { h^2 + (b + h · ctg α)^2} \]

\[ d_2 = \sqrt{h^2 + (a — h · ctg α)^2} = \sqrt{h^2 + (b + h · ctg β)^2} \]

Формулы длин диагоналей трапеции через сумму квадратов диагоналей:

\[ d_1 = \sqrt{c^2 + d^2 + 2ab — d_2^2} \]

\[ d_2 = \sqrt{c^2 + d^2 + 2ab — d_1^2} \]



Формулы площади трапеции

Формула площади трапеции через основания и высоту:

\[ S = \dfrac{ (a + b) · h }{2} \]

Формула площади трапеции через среднюю линию и высоту:

\[ S = m · h \]

Формула площади трапеции через диагонали и угол между ними:

\[ S = \dfrac{d_1d_2}{2} · sin γ = \dfrac{d_1d_2}{2} · sin δ \]

Формула площади трапеции через четыре стороны:

\[ S = \dfrac{a + b}{2}\sqrt{c^2 — \left\lgroup\dfrac{(a — b)^2 + c^2 — d^2)}{2\cdot (a — b)} \right\rgroup ^2 } \]

Формула Герона для площади трапеции

\[ S = \frac{a + b}{\left|a-b\right| } \sqrt{(p — a)(p — b)(p — a — c)(p — a — d)} \]

где \( p = \dfrac{a + b + c + d}{2} \) — полупериметр трапеции.

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

      F = 65°

      Найти: В, С, D.

      ВС = 10, СD = 15, А = 60°

      Найти: АD.

      Трапеция, теоремы и
      Проблемы — Индекс

      Трапеция
      Определение

      Медиана трапеции, теоремы и задачи.Индекс.

      Задача геометрии 1424.
      Треугольник, параллелограмм, трапеция, площадь, диагональ, измерение.

      Задача геометрии 1192
      Трапеция, треугольник, диагональ, середина, площадь, параллель.

      Задача геометрии 1188
      Треугольник, параллелограмм, параллельные линии, трапеция, площадь.

      Проблема геометрии
      1031.
      Трапеция, пересекающиеся окружности, общий хорда, касательная линия, середина, параллельные линии.

      Проблема геометрии
      1006.
      Касательные окружности, общий внешний касательный, бицентрическая трапеция, внутренний центр, окружность центра.

      Задача геометрии 994.
      Трапеция, Середины оснований, Параллельные линии.

      Задача геометрии 863
      Описанная трапеция, вписанная окружность, касательная, метрические отношения.

      Задача геометрии 862:
      Трапеция, параллель, равные площади, среднеквадратичное значение, среднеквадратическое значение
      .

      Задача геометрии 771
      Площадь параллелограмма, звезды, пятиугольника, треугольников.

      Проблема геометрии
      747.
      Трапеция, диагонали, параллель, основания, середина, подобие, среднее гармоническое, метрические отношения.

      Проблема геометрии
      743.
      Трапеция, треугольник, перпендикуляр, параллель, угол

      Задача 529.
      Трапеция правая, круг, диаметр.

      Предлагаемая задача 432.
      Трапеция, параллель, измерение, подобие, поперечное.

      Предлагаемая проблема 397.
      Треугольник, высота, средние точки, трапеция, конгруэнтность.

      Предлагаемая задача 337.
      Равнобедренная трапеция, биссектриса угла, параллель, конциклические точки.

      Предлагаемая задача 313.
      Окружность, хорда, касательная, перпендикуляр, среднее геометрическое.

      Предлагаемая задача 230. Треугольник, средние точки, поперечный,
      Перпендикулярные линии.

      Предлагаемая задача 229. Треугольник, центроид, поперечный, перпендикулярный
      линий.

      Предлагаемая проблема 228.Треугольник, Средние точки, Внешняя линия,
      Линии перпендикуляров.

      Предлагаемая задача 227. Треугольник, центроид, внешняя линия,
      Перпендикулярные линии.

      Предлагаемая задача 226. Треугольник, центроид, перпендикуляры.

      Предлагаемая проблема 185.Трапеция,
      Треугольники и углы.

      Предлагаемая задача 172. Трапеция,
      Середины, четырехугольники, площади.

      Предлагаемая задача 171. Трапеция,
      Середины, треугольники, области.

      Предлагаемая проблема 170.Трапеция,
      Середина, треугольник, площадь.

      Предлагаемая задача 163. Трапеция,
      Диагонали, треугольники, площади.

      Предлагаемая проблема 164.
      Параллелограмм, трапеция, диагональ, треугольники, площади.

      Главная |
      Поиск

      | Геометрия
      |

      Четырехугольник | Электронная почта |

      Добавить комментарий
      Последнее обновление: 12 марта, 2019