Как найти наибольший общий делитель (НОД) + Свойства, Формулы

Понятие наибольшего общего делителя

Начнем с самого начала и вспомним, что такое общий делитель. У целого числа может быть несколько делителей. А сейчас нам особенно интересно, как обращаться с делителями сразу нескольких целых чисел.

Делитель натурального числа — это такое натуральное число, которое делит данное число без остатка. Если у натурального числа больше двух делителей, его называют составным.

Общий делитель нескольких целых чисел — это такое число, которое может быть делителем каждого числа из указанного множества. Например, у чисел 12 и 8 общим делителем будет четверка. Чтобы это проверить, напишем верные равенства: 8 = 4 * 2 и 12 = 3 * 4. Но у этой пары чисел есть и другие общие делители: 1, -1 и -4.

Любое число можно разделить на 1, -1 и на само себя. Значит у любого набора целых чисел будет как минимум три общих делителя. Если общий делитель больше 0 — противоположное ему значение со знаком минус также является общим делителем.

Если b — делитель целого числа a, которое не равно нулю, то модуль числа b не может быть больше модуля числа a. Значит любое число, не равное 0, имеет конечное число делителей.

Наибольшим общим делителем двух чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка. Для записи может использоваться аббревиатура НОД. Для двух чисел можно записать вот так: НОД (a, b).

Например, для 4 и -16 НОД будет 4. Как мы к этому пришли:

1. Зафиксируем все делители четырех: ±4, ±2, ±1.
2. А теперь все делители шестнадцати: ±16, ±8, ±4, ±3 и ±1.
3. Выбираем общие: это -4, -2, -1, 1, 2 и 4. Самое большое общее число: 4. Вот и ответ.

Наибольшим общим делителем трех чисел и более будет самое большое целое число, которое будет делить все эти числа одновременно.

Найдем наибольший общий делитель нескольких целых чисел: 10, 6, 44, -18. Он будет равен трем. Ответ можно записать так: НОД (12, 6, 42, -18) = 3. А чтобы проверить правильность ответа, нужно записать все делители и выбрать из них самые большие.

Взаимно простые числа — это натуральные числа, у которых только один общий делитель — единица. Их НОД равен 1.

Помимо НОД есть еще и НОК, что расшифровывается, как наименьшее общее кратное и означает наименьшее число, которое делится на каждое из исходных чисел без остатка.

Еще один пример. Рассчитаем НОД для 28 и 64.

Как находим:

1. Распишем простые множители для каждого числа и подчеркнем одинаковые

   Д (28) = 2 * 2 * 7

   Д (64) = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2

2. Найдем произведение одинаковых простых множителей и запишем ответ

   НОД (28; 64) = 2 * 2 = 4

Ответ: НОД (28; 64) = 4

Оформить поиск НОД можно в строчку, как мы сделали выше или в столбик, как на картинке.

Свойства наибольшего общего делителя

У наибольшего общего делителя есть ряд определенных свойств. Опишем их в виде теорем и сразу приведем доказательства.

Важно! Все свойства НОД будем формулировать для положительных целых чисел, при этом будем рассматривать делители только больше нуля.

Свойство 1. Наибольший общий делитель чисел а и b равен наибольшему общему делителю чисел b и а, то есть НОД (a, b) = НОД (b, a). Перемена мест чисел не влияет на конечный результат.

Доказывать свойство не имеет смысла, так как оно напрямую исходит из самого определения НОД.

Свойство 2. Если а делится на b, то множество общих делителей чисел а и b совпадает со множеством делителей числа b, поэтому НОД (a, b) = b.

Доказанное свойство наибольшего делителя можно использовать, чтобы найти НОД двух чисел, когда одно из них делится на другое. При этом НОД равен одному из этих чисел, на которое делится другое число.

• Например, НОД (4, 40) = 4, так как 40 кратно 4.

Свойство 3. Если a = bq + c, где а, b, с и q — целые числа, то множество общих делителей чисел а и b совпадает со множеством общих делителей чисел b и с. Равенство НОД (a, b) = НОД (b, c) справедливо.

Свойство 4. Если m — любое натуральное число, то НОД (mа, mb) = m * НОД(а, b).

Свойство 5. Пусть р — любой общий делитель чисел а и b, тогда НОД (а : p, b : p) = НОД (а, b) : p. А именно, если p = НОД (a, b) имеем НОД (a : НОД (a, b), b: НОД (a, b)) = 1, то есть, числа a : НОД (a, b) и b : НОД (a, b) — взаимно простые.

Так как a = p(a : p) и b = p(b : p), и в силу предыдущего свойства, мы можем записать цепочку равенств вида НОД (a, b) = НОД (p(a : p), p(b : p)) = p * НОД (a : p, b : p), откуда и следует доказываемое равенство.

Способы нахождения наибольшего общего делителя

Найти наибольший общий делитель можно тремя способами. Рассмотрим все три, чтобы при решении задач выбирать самую оптимальную последовательность действий.

1. Разложение на множители

Чтобы найти НОД нескольких чисел, достаточно разложить их на простые множители и перемножить между собой общие множители для всех чисел.

Пример 1. Найти НОД (84, 90).

Как решаем:

1. Разложим числа 84 и 90 на простые множители:

    

2. Подчеркнем все общие множители и перемножим их между собой:

   2 * 3 = 6.

Ответ: НОД (84, 90) = 6.

Пример 2. Найти НОД (15, 28).

Как решаем:

1. Разложим 15 и 28 на простые множители:

    

2. Числа 15 и 28 являются взаимно простыми, так как их наибольший общий делитель — единица.

Ответ: НОД (15, 28) = 1.

2. Разложение двух чисел на простые множители

С последующим перемножением общих из них.

Пример 1. Найти НОД для 24 и 18.

Как решаем:

1. Разложим оба числа на простые множители:

    

2. Найдем общие множители чисел 24 и 18: 2 и 3. Для удобства общие множители можно подчеркнуть.

    

3. Перемножим общие множители:

   НОД (24, 18) =2 * 3 = 6

Ответ: НОД (24, 18) = 6

3. Алгоритм Евклида

Способ Евклида помогает найти НОД через последовательное деление. Сначала посмотрим, как работает этот способ с двумя числами, а затем применим его к трем и более.

Алгоритм Евклида заключается в следующем: если большее из двух чисел делится на меньшее — наименьшее число и будет их наибольшим общим делителем. Использовать метод Евклида можно легко по формуле нахождения наибольшего общего делителя.

Формула НОД: НОД (a, b) = НОД (b, с), где с — остаток от деления a на b.

Пример 1. Найти НОД для 24 и 8.

Как рассуждаем:

Так как 24 делится на 8 и 8 тоже делится на 8, значит, 8 — общий делитель этих чисел. Этот делитель является наибольшим, потому что 8 не может делиться ни на какое число, большее его самого. Поэтому: НОД (24, 8) = 8.

В остальных случаях для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел нужно соблюдать такой порядок действий:

1. Большее число поделить на меньшее.
2. Меньшее число поделить на остаток, который получается после деления.
3. Первый остаток поделить на второй остаток.
4. Второй остаток поделить на третий и т. д.
5. Деление продолжается до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Последний делитель и есть наибольший общий делитель.

Пример 2. Найти наибольший общий делитель чисел 140 и 96:

Как решаем:

1. 140 : 96 = 1 (остаток 44)
2. 96 : 44 = 2 (остаток 8)
3. 44 : 8 = 5 (остаток 4)
4. 8 : 4 = 2

Последний делитель равен 4 — это значит: НОД (140, 96) = 4.

Ответ: НОД (140, 96) = 4

Пошаговое деление можно записать столбиком:

Чтобы найти наибольший общий делитель трех и более чисел, делаем в такой последовательности:

1. Найти наибольший общий делитель любых двух чисел из данных.
2. Найти НОД найденного делителя и третьего числа.
3. Найти НОД последнего найденного делителя и четвёртого числа и т. д.

Знакомство с темой наибольшего общего делителя начинается в 5 классе с теории и закрепляется в 6 классе на практике. В этой статье мы узнали все основные определения, свойства и их доказательства, а также как найти НОД.

Как найти наибольший общий делитель (НОД)

Рассмотрим два способа нахождения наибольшего общего делителя.

Нахождение путём разложения на множители

Первый способ заключается в нахождении наибольшего общего делителя путём разложения данных чисел на простые множители.

Чтобы найти НОД нескольких чисел, достаточно, разложить их на простые множители и перемножить между собой те из них, которые являются общими для всех данных чисел.

Пример 1. Найти НОД (84, 90).

Решение: Раскладываем числа  84  и  90  на простые множители:

Итак, мы подчеркнули все общие простые множители, осталось перемножить их между собой:

2 · 3 = 6.

Таким образом, НОД (84, 90) = 6.

Пример 2. Найти НОД (15, 28).

Решение: Раскладываем  15  и  28  на простые множители:

Числа  15  и  28  являются взаимно простыми, так как их наибольший общий делитель — единица.

НОД (15, 28) = 1.

Алгоритм Евклида

Второй способ (иначе его называют способом Евклида) заключается в нахождении НОД путём последовательного деления.

Сначала мы рассмотрим этот способ в применении только к двум данным числам, а затем разберёмся в том, как его применять к трём и более числам.

Если большее из двух данных чисел делится на меньшее, то число, которое меньше и будет их наибольшим общим делителем.

Пример 1. Возьмём два числа  27  и  9.  Так как  27  делится на  9  и  9  делится на  9,  значит,  9  является общим делителем чисел  27  и  9.  Этот делитель является в тоже время и наибольшим, потому что  9  не может делиться ни на какое число, большее  9.  Следовательно:

НОД (27, 9) = 9.

В остальных случаях, чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел используется следующий порядок действий:

1. Из двух данных чисел большее число делят на меньшее.
2. Затем, меньшее число делят на остаток, получившийся от деления большего числа на меньшее.
3. Далее, первый остаток делят на второй остаток, который получился от деления меньшего числа на первый остаток.
4. Второй остаток делят на третий, который получился от деления первого остатка на второй и т. д.
5. Таким образом деление продолжается до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Последний делитель как раз и будет наибольшим общим делителем.

Пример 2. Найдём наибольший общий делитель чисел  140  и  96:

1) 140 : 96 = 1 (остаток 44)

2) 96 : 44 = 2 (остаток 8)

3) 44 : 8 = 5 (остаток 4)

4) 8 : 4 = 2

Последний делитель равен  4  — это значит:

НОД (140, 96) = 4.

Последовательное деление так же можно записывать столбиком:

Чтобы найти наибольший общий делитель трёх и более данных чисел, используем следующий порядок действий:

1. Сперва находим наибольший общий делитель любых двух чисел из нескольких данных.
2. Затем находим НОД найденного делителя и какого-нибудь третьего данного числа.
3. Затем находим НОД последнего найденного делителя и четвёртого данного числа и так далее.

Пример 3. Найдём наибольший общий делитель чисел  140,  96  и  48.  НОД чисел  140  и  96  мы уже нашли в предыдущем примере (это число  4).  Осталось найти наибольший общий делитель числа  4  и третьего данного числа —  48:

48 : 4 = 12

48  делится на  4  без остатка. Таким образом:

НОД (140, 96, 48) = 4.

НОД и НОК (Тамаркова)

НОД, НОД

НОД — это наибольший общий делитель.

НОК — это наименьшее общее кратное.

Определения:

1. Наибольшим общим делителем чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка.
2. Наименьшее общее кратное (НОК) двух целых чисел m и n есть наименьшее натуральное число, которое делится на m и n без остатка

Способы нахождения НОД двух чисел:

1 способ (следует из определения): Метод полного перебора для нахождения наибольшего общего делителя (НОД)  натуральных чисел.

1. Выписываем все делители числа а;
2. Выписываем все делители числа b;
3. Выбираем среди них общие делители;
4. Среди общих делителей выбираем самое большое число – это и есть НОД(a, b).

2 способ : Метод перебора делителей меньшего числа для нахождения наибольшего общего делителя (НОД)  натуральных чисел.

1. Найти делители меньшего из данных чисел.
2. Найти, начиная с большего, тот из выписанных делителей, который является также делителем другого числа.
3. Записать найденное число – НОД.

3 способ; Метод нахождения наибольшего общего делителя (НОД) натуральных чисел с помощью разложения на множители.

1. Находим разложение чисел на простые множители.
2. Подчеркиваем общие числа.
3. Находим произведение подчеркнутых чисел у одного числа.
4. Записываем ответ.

4 способ: Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя (НОД)  двух натуральных чисел вычитанием.

1. Из большего числа вычитается меньшее.
2. Если получается 0, то числа равны друг другу и являются наибольшим общим делителем.
3. Если результат вычитания не равен 0, то большее число заменяется на результат вычитания.
4. Переход к пункту 1.

Способы нахождения НОК двух чисел:

1 способ: Метод перебора
1.    Выписываем в строчку кратные для каждого из чисел, пока не найдётся кратное, одинаковое для обоих чисел.

2 способ; Метод нахождения наибольшего общего делителя (НОД) натуральных чисел с помощью разложения на множители

1.  Разложить данные числа на простые множители.
2.  Выписать в строчку множители, входящие в разложение самого большого из чисел, а под ним — разложение остальных чисел.
3.  Подчеркнуть в разложении меньшего числа множители, которые не вошли в разложение бóльшего числа и добавить эти множители в разложение большего числа. 
4.  Полученное произведение записать в ответ. 

    Свойства наибольшего общего делителя:

1. НОД(a, b) = НОД(b, a)
2. НОД(a, b) = НОД(-a, b)
3. НОД(a, b) = НОД(|a|,|b|)
4. НОД(a, 0) = |a|
5. НОД(a, к • a) = |a|, при любом к ∈ Z
6. НОД(a, НОД(b, с)) = НОД(НОД(a, b), c)

Свойства наименьшего общего кратного:

1. НОК(a, b) = НОК(b, a)
2. НОД(a, b) = НОД(-a, b)
3. НОД(a, b) = НОД(|a|,|b|)
4. НОК(a, НОК(b, с)) = НОК(НОК(a, b), c)

Наибольший общий делитель / Этюды // Математические этюды

Для нахож­де­ния ${\class{cyr}{НОД}}(a, b)$ можно поступить сле­дующим есте­ствен­ным обра­зом:
раз­ложить оба числа по степе­ням про­стых чисел:
$a = 2^{\alpha_1} \cdot 3^{\alpha_2} \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_n}_n$,
$b = 2^{\beta_1} \cdot 3^{\beta_2} \cdot \ldots \cdot p^{\beta_n}_n$,
($\alpha_k$ и $\beta_k$ могут быть равны нулю). 0 = 75.$

Суще­ствен­ный недо­ста­ток этого спо­соба в том, что раз­ложить большое число на про­стые множи­тели
не так про­сто, а точ­нее — не так быстро.

Евклид в 7 книге «Начал» опи­сы­вает алго­ритм нахож­де­ния «общей меры двух чисел». Алго­ритм опи­сан
геомет­ри­че­ски, как нахож­де­ние общей меры двух отрез­ков. Он сво­дится к «после­до­ва­тель­ному отня­тию» от большего
отрезка меньшего отрезка. Теперь этот алго­ритм изве­стен как алго­ритм Евклида для нахож­де­ния
наи­большего общего дели­теля двух нату­раль­ных чисел.

Основ­ная идея, на кото­рой осно­ван алго­ритм, состоит в том, что НОД чисел $a$ и $b$ равен НОД
чисел $b$ и $a-b.$ Отсюда сле­дуют, что если поде­лить $a$ на $b$ с остат­ком, т.е. пред­ста­вить в виде
$a = b \cdot q + r$, то ${\class{cyr}{НОД}}(a, b) = $ ${\class{cyr}{НОД}}(b, r).$

Опишем кра­си­вую геомет­ри­че­скую интер­пре­тацию алго­ритма, интер­ак­тив­ная реа­ли­за­ция кото­рой пред­ложена выше.

В прямо­уголь­нике с дли­нами сто­рон $a$ и $b$ закраши­ваем мак­симально возмож­ный квад­рат. В оставшемся
прямо­уголь­нике снова закраши­ваем мак­симально возмож­ный квад­рат. И так далее до тех пор, пока весь
исход­ный прямо­уголь­ник не будет закрашен. Длина сто­роны самого маленького квад­рата и будет равна ${\class{cyr}{НОД}}(a, b).$

Более подробно геомет­ри­че­ская интер­пре­тация опи­сана ниже, а парал­лельно при­ве­дено арифме­ти­че­ское опи­са­ние алго­ритма Евклида.

НАХОЖДЕНИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ НОД И НОК

НАХОЖДЕНИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ НОД И НОК

Мульмин В.Н. 1

1ГБОУ ООШ с.Заволжье м.р. Приволжский Самарской области

Шишина И.А. 1

1ГБОУ ООШ с.Заволжье м.р. Приволжский Самарской области

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

 Введение.

В каждодневной жизни человеку приходится решать большое число разного рода задач, которые требуют применения определённых алгоритмов. Когда мы приготавливаем чай, пользуемся определённым алгоритмом (иногда заданным инструкцией, напечатанной на упаковке).

Слово алгоритм стало широко употребляться в последнее время. Оно означает описание совокупности действий, составляющих некоторый процесс. Обычно здесь подразумевают процесс решения некоторой задачи, но и кулинарный рецепт, и инструкция по пользованию стиральной машиной, и ещё многие другие правила, не имеющие отношения к математике, являются алгоритмами

Данная работа знакомит с алгоритмами вычисления НОД и НОК. Знакомство с ними не только дополняет и углубляет математические знания, но и развивает интерес к предмету, любознательность и логическое мышление. Предлагаемая работа рассчитана на учеников, желающих повысить уровень математической подготовки, увидеть красоту математических выкладок и эстетику алгоритма Евклида.

Гипотеза:Есть алгоритмы нахождения НОД и НОК, которые являются удобными и не требующие громоздкого способа вычисления.

Цель исследования: изучить разные алгоритмы вычисления НОД и НОК, выявить наиболее рациональные способы решения, красиво и сравнительно просто приводящие к ответу.

Достижение поставленной цели требует решения следующих основных задач:

1. 
   Рассмотреть несколько алгоритмов вычисления НОД и НОК

2. 
   Сравнить алгоритмы для вычисления НОД и НОК

3. 
   Провести анкетирование «Знание и использование НОД и НОК»

4. 
   Составить список памятку «Применение НОД И НОК»

Предмет исследования: Алгоритмы вычисления НОД и НОК

Объект исследования: умения и навыки вычисления НОД и НОК

Методы исследования: Изучение специальной литературы по данному вопросу: энциклопедии, справочники и учебные пособия. Анкетирование. Сравнение и анализ. Обработка полученных данных (составление обобщающих таблиц, диаграмм). Для решения поставленных задач я изучал как литературные источники, так и интернет-источники, в том числе учебник под редакцией Н. Я. Виленкина «Математика. 6 класс».

Глава 1. Алгоритмы вычисления НОД и НОК 1.1. «Прадедушка» всех алгоритмов

Алгоритм Евклида — эффективный алгоритм для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел. Алгоритм назван в честь греческого математика Евклида, который впервые описал его в VII и X книгах «Начал».

В самом простом случае алгоритм Евклида применяется к паре положительных целых чисел и формирует новую пару, которая состоит из меньшего числа и разницы между большим и меньшим числом. Процесс повторяется, пока числа не станут равными. Найденное число и есть наибольший общий делитель исходной пары.

Первое описание алгоритма находится в «Началах Евклида» (около 300 лет до н. э.), что делает его одним из старейших численных алгоритмов, используемых в наше время. Оригинальный алгоритм был предложен только для натуральных чисел и геометрических длин (вещественных чисел). Позже алгоритм Евклида также был обобщен на другие математические структуры, такие как узлы и многомерные полиномы (многочлен от нескольких переменных) [2.2].

Для данного алгоритма существует множество теоретических и практических применений. В частности он широко распространён в электронной коммерции. Также алгоритм используется при решении диофантовых уравнений (Уравнения в целых числах – это алгебраические уравнения с двумя или более неизвестными переменными и целыми коэффициентами). Решениями такого уравнения являются все целочисленные (иногда натуральные или рациональные) наборы значений неизвестных переменных, удовлетворяющих этому уравнению. Такие уравнения ещё называют диофантовыми, в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского, например: Решить в целых числах уравнение x² – xy – 2y² = 7), при построении непрерывных дробей. Алгоритм Евклида является основным инструментом для доказательства теорем в современной теории чисел. [2.3]

Долгое время алгоритм Евклида был самым эффективным способом отыскания наибольшего общего делителя, однако с появлением электронно-вычислительных машин ситуация изменилась Учет специфических особенностей выполнения арифметических операций компьютером позволил построить более эффективную (для программной реализации) версию алгоритма Евклида.

1. 2. Алгоритмы вычисления НОД 1.2.1 Алгоритм простого перебора

Чтобы найти наибольший общий делитель двух данных натуральных чисел можно действовать по определению: выписать все делители этих чисел, выделить среди них общие и выбрать среди всех общих делителей наибольший.

Пример. Найдем все делители чисел 54 и 36.

54 делится на 1; 2; 3; 6; 9; 18; 27; 54.

36 делится на 1; 2; 3; 4; 6; 9; 18; 36.

Общими делителями являются числа: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Значит НОД(54; 36)=18

1.2.2 Нахождение НОД с помощью разложения чисел на простые множители

Рассмотрим еще один способ нахождения НОД. Наибольший общий делитель может быть найден по разложениям чисел на простые множители.

Что такое разложение на множители? Это способ превращения неудобного и сложного примера в простой и симпатичный. Встречается на каждом шагу и в элементарной математике, и в высшей. Подобные превращения на математическом языке называются тождественными преобразованиями выражений. Смысл любого тождественного преобразования — это запись выражения в другом виде с сохранением его сути.

Смысл разложения на множители предельно прост и понятен. Прямо из самого названия. Например, надо разложить число 12. Можно смело записать: 12=3·4

А можно разложить 12 по-другому: 12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=……..

Вариантов разложения — бесконечное количество.

Сформулируем правило: НОД двух целых положительных чисел a и b равен произведению всех общих простых множителей, находящихся в разложениях чисел a и b на простые множители.

Приведем пример для пояснения правила нахождения НОД.

Пусть нам известны разложения чисел 220 и 600 на простые множители, они имеют вид 220=2·2·5·11 и 600=2·2·2·3·5·5. Общими простыми множителями, участвующими в разложении чисел 220 и 600, являются 2, 2 и 5. Следовательно, НОД(220, 600)=2·2·5=20.

Таким образом, если разложить числа a и b на простые множители и найти произведение всех их общих множителей, то будет найден наибольший общий делитель чисел a и b.

Пример. Найдите наибольший общий делитель чисел 72 и 96.

Решение. Разложим числа 72 и 96 на простые множители.

72=2·2·2·3·3 и 96=2·2·2·2·2·3. Общими простыми множителями являются 2, 2, 2 и 3. Таким образом, НОД(72, 96)=2·2·2·3=24.

Ответ: НОД(72, 96)=24.

В заключение этого пункта заметим, что справедливость приведенного правила нахождения НОД следует из свойства наибольшего общего делителя, которое утверждает, что

НОД(m·a, m·b)=m·НОД(a, b), где m – любое целое положительное число.

1.2.3. Алгоритм Евклида

Одним из простейших алгоритмов нахождения наибольшего общего делителя является Алгоритм Евклида. Он может быть реализован, как при помощи вычитания, так и деления. Рассмотрим каждый из этих двух способов.

а) Описание алгоритма нахождения НОД вычитанием:

Из большего числа вычитаем меньшее. Если получается 0, то значит, что числа равны друг другу и являются НОД (следует выйти из цикла). Если результат вычитания не равен 0, то большее число заменяем на результат вычитания.

Переходим к пункту 1.

Пример:

Найти НОД для 30 и 18.

30 — 18 = 12

18 — 12 = 6

12 — 6 = 6

6 – 6 = 0 Конец: НОД – это уменьшаемое или вычитаемое. НОД (30, 18) = 6

б) Описание алгоритма нахождения НОД делением:

Большее число делим на меньшее. Если делится без остатка, то меньшее число и есть НОД (следует выйти из цикла). Если есть остаток, то большее число заменяем на остаток от деления. Переходим к пункту 1.

Пример.

Пусть требуется найти НОД(102;84). Разделим одно число на другое и определим остаток.

102=84*1+18 0

Просмотров работы: 4403

НОД — это… Что такое НОД?

Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель (ЕГЭ — 2021)

Как ты уже понял, это числа, противоположные натуральным, то есть:

\( \displaystyle  -1;\ -2;\ -3;\ -4\) и т.д.

Отрицательные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить – все как в натуральных.

Казалось бы, что в них такого особенного?

А дело в том, что отрицательные числа «отвоевывали» себе законное место в математике аж до XIX века (до этого момента было огромное количество споров, существуют они или нет).

Само отрицательное число возникло из-за такой операции с натуральными числами, как «вычитание».

Действительно, из \( \displaystyle  3\) вычесть \( \displaystyle  11\) – вот и получается отрицательное число. Именно поэтому, множество отрицательных чисел часто называют «расширением множества натуральных чисел».

Отрицательные числа долго не признавались людьми.

Так, Древний Египет, Вавилон и Древняя Греция – светочи своего времени, не признавали отрицательных чисел, а в случае получения отрицательных корней в уравнении (например, как у нас \( \displaystyle  3-11\)), корни отвергались как невозможные.

Впервые отрицательные числа получили свое право на существование в Китае, а затем в VII веке в Индии.

Как ты думаешь, с чем связано это признание?

Правильно, отрицательными числами стали обозначать долги (иначе — недостачу).

Считалось, что отрицательные числа – это временное значение, которое в результате изменится на положительное (то есть, деньги кредитору все же вернут). Однако, индийский математик Брахмагупта уже тогда рассматривал отрицательные числа наравне с положительными.

В Европе к полезности отрицательных чисел, а также к тому, что они могут обозначать долги, пришли значительно позже, эдак, на тысячелетие.

Первое упоминание замечено в 1202 году в «Книге абака» Леонарда Пизанского (сразу говорю — к Пизанской башне автор книги отношения никакого не имеет, а вот числа Фибоначчи – это его рук дело (прозвище Леонардо Пизанского — Фибоначчи)).

Далее европейцы пришли к тому, что отрицательные числа могут обозначать не только долги, но и нехватку чего бы то ни было, правда, признавали это не все.

Так, в XVII веке Паскаль считал что \( \displaystyle  0-4=0\).

Как думаешь, чем он это обосновывал?

Верно, «ничто не может быть меньше НИЧЕГО».

Отголоском тех времен остается тот факт, что отрицательное число и операция вычитания обозначается одним и тем же символом – минусом «-». И правда: \( \displaystyle  6-8\). Число «\( \displaystyle  8\)» положительное, которое вычитается из \( \displaystyle  6\), или отрицательное, которое суммируется к \( \displaystyle  6\)?… Что-то из серии «что первое: курица или яйцо?» Вот такая вот, своеобразная эта математическая философия.

3.2 Строительные блоки графов: ребра и узлы

Строительные блоки графов: ребра и узлы

Существует математическое определение графика, которое является немного более техническим. График представляет собой набор , обычно обозначаемый заглавной буквой G . Из математики средней школы вы, возможно, помните, что математическое определение набора — это просто набор сущностей, некоторые из которых могут быть упорядочены, а некоторые из которых сами могут быть другими наборами (набор может иметь наборы в качестве своих членов).В случае графов, сущностями внутри коллекции являются узлов и ребер Таким образом, граф представляет собой набор, содержащий два набора в качестве своих членов: набор узлов (обычно представленный заглавной буквой V ) и набор ребер (обычно обозначается заглавной буквой E ). В формальной записи:

\ [\ begin {уравнение}
G = {V, E}
\ tag {2.1}
\ end {Equation} \]

Набор узлов обычно представляет участников реальной социальной сети. Точечные и линейные диаграммы (например, показанные на рисунке 1) используются для представления графиков, которые, в свою очередь, представляют реальную социальную сеть. На этих диаграммах узлы (представляющие актеров) изображены в виде круга. В анализе социальных сетей участниками часто являются либо отдельные лица, либо организации, но в более широких применениях сетевых изображений в физических и биологических науках (обычно идущих под знаменем network science ) узлы могут представлять все, что связано с другими аналогичные объекты в более крупной системе.К ним относятся электростанции и дома, серверы и компьютеры, животные в экосистеме, города, на самом деле все существенное, на что мы можем определить какие-то отношения или из которого можно обмениваться каким-то типом контента.

Ребра представляют наличие соединения или отношения между двумя узлами. В анализе социальных сетей это обычно какой-то тип социальной связи . Мы определим, что такое социальные связи, сколько их типов и каковы их свойства, в следующей главе.На данный момент мы можем сказать, что в анализе социальных сетей эти связи представляют собой отношения между узлами, а ребра в графе предназначены для их представления. В теории графов ребра лучше всего рассматривать как набор из пар узлов, где два члена пары являются узлами, участвующими в фокальной взаимосвязи. Таким образом, если узел A связан с узлом B посредством некоторой связи R , тогда AB является ребром в соответствующем графе.

Фигура 2.3: простая сеть.

В случае электростанций и домов края могут представлять линии электропередач. Между тем, серверы и компьютеры соединены интернет-кабелями и Wi-Fi, а города соединены дорогами. Наличие границ сигнализирует о возможности распространения контента, будь то мощность, компьютерные данные или люди в машинах. В случае социальных сетей контент, передаваемый между двумя узлами, представляет собой отношения определенного типа.

Рисунок 2.3 показан пример графа с тремя узлами и двумя ребрами. Узлы A , B и C представляют собой круги, представляющие актеров A , B и C , социальные отношения которых в реальном мире мы заинтересованы в изучении. Простые линии, проведенные между A и B , а также между B и C , представляют собой ребра, указывающие на наличие взаимосвязи, и ребра, AB и BC на графике.Отсутствие границы между узлами A и C отражает отсутствие взаимосвязи между субъектами с именами A и C в реальном мире.

Хотя в этой книге, когда речь идет о графах, в основном используются термины узел и ребро, это не единственные термины, используемые теми, кто использует методы сетевого анализа. Дополнительные имена для узлов включают вершину или точку . Связи между двумя узлами, помимо того, что они называются ребрами, называются связями или связями .

Работа с математикой | NodeBox

Обо всем по порядку.

Перед тем, как начать этот раздел, вам необходимо:

Математические операции.

Nodebox позволяет выполнять ряд арифметических операций, таких как умножение, деление, сложение, вычитание.Узлы, представляющие эти функции, могут использоваться, например, для сложения чисел, но также могут использоваться в более сложных операциях. В следующем примере мы рассмотрим сеть, которая создаст набор волосков на фигуре.

• Создайте узел эллипса и оставьте все параметры по умолчанию.
• Создайте узел разброса и установите Amount на 1500

Идея состоит в том, чтобы создать сеть, в которой растут волосы во всех этих точках.Чтобы задать ему место, из которого должны расти волосы, мы реализуем узел точки создания с X , установленным на 0,0 , и Y , также установленным на 0 . Этот узел позволит нам изменить направление каждого волоса позже в процессе.

Поскольку узел разброса и узел точки создания содержат точечные элементы, нам понадобится узел для определения значений x и y в виде отдельного списка. Следовательно:

• Создайте 4 узла поиска.Установите ключевой параметр для первого значения x , для второго — y , третьего снова x и, наконец, снова четвертого — y .
• Подключите scatter1 к lookup1 и lookup2.
• Подключите make point1 к lookup3 и lookup4.
• Визуализируйте узел lookup1 и посмотрите на результат (список всех значений x для каждой точки в scatter1).

Теперь мы вычтем значение x узла make point1 из каждого значения x узла scatter1.Мы сделаем то же самое для значений y.

• Создайте два узла вычитания.
• Соедините поиск1 с Value1 и lookup3 с value2 для первого узла вычитания.
• Соедините lookup2 с Value1 и lookup4 со значением value2 для второго.

Эти новые значения будут использоваться как длина каждого волоса. Чтобы можно было изменить эту длину:

• Сложить два узла разделения
• Послать вычитание 1 первому
• Послать вычитание2 второму.
• Измените значение Value2 на 2.0 , что означает, что мы возьмем половину исходного размера.

Теперь мы добавим эти значения к исходным значениям x и y узла разброса и преобразуем их в набор новых точек.

• Добавьте два узла добавления.
• Соедините lookup1 с Value1 и разделите1 с Value2 .
• Соедините lookup2 с Value1 и разделите2 с Value2 .
• Создайте узел точки сборки.
• Подключить add1 к X
• Подключить add2 к Y

Для создания волосков добавьте линейный узел

• Соединить scatter1 с Point1 .
• Соединить точку замыкания 2 с точкой Точка 2 .

Должен быть результат:

Попробовать:

• Изменение исходного эллипса на другую форму, например прямоугольник или текстовый путь, чтобы получить волосатый прямоугольник / текст.
• Изменение значений x и y узла point1 для изменения имплантата волос.

Используя угол и расстояние.

Мы можем выполнять ту же функцию совершенно по-другому. Для этого мы будем использовать узел угла и расстояния.

• Создайте узел текстового пути. Выберите шрифт и увеличьте его размер. Введите текст.
• Создайте узел разброса и установите Amount на 2000 . Подключите textpath2 к Shape .

Теперь мы вычислим угол и расстояние каждой из этих точек до центральной точки.

• Создайте точечный узел. Позвоните в ИТ-центр.
• Создайте узел угла. Переместите центр в Point1 и scatter1 на Point2 .
• Создайте узел расстояния. Отправьте центр в Point1 и scatter1 на Point2 .

Чтобы создать волосы, мы добавим определенное число к этому расстоянию, а затем преобразуем его обратно в точку, используя узел координат.

• Создайте узел добавления. Подключите Distance1 к Value1 и установите Value2 на 20.0 .
• Создайте узел координат. Соедините angle1 с Angle , прибавьте 1 к Distance и отцентрируйте к Position .
• Создайте линейный узел. Соедините scatter1 с Point1 и координаты 1 с Point2 . Должны появиться волоски.

Сравнения.

Предположим, вы хотите создать набор прямоугольников, которые различаются по размерам, но имеют цвет, основанный на среднем значении всех размеров.Nodebox позволяет выполнять сравнения с помощью узла сравнения.

Сначала создадим набор случайных чисел и вычислим их среднее значение. Мы будем использовать количество чисел в сетке, чтобы указать количество случайных чисел.

• Создайте узел сетки. Оставьте настройки по умолчанию.
• Создайте счетный узел. Подключите к нему grid1.
• Создайте узел случайных чисел. Установите Start на 15.0 и End на 35.0 . Подключите счетчик к Amount .
• Создайте средний узел. Подключите к нему random_numbers1.

Мы будем использовать случайные числа в качестве размеров прямоугольника, размещенного в каждой точке сетки. Мы также сравним случайные числа со средним числом, чтобы мы могли использовать эту информацию (логическое значение True-False) для выбора цвета из набора цветов.

• Создайте прямоугольный узел. Подключите grid1 к Position , подключите random_numbers1 к Width и Height .
• Создайте узел раскраски. Соедините rect1 с Shape . Позже он будет использоваться для изменения цвета заливки.
• Создайте узел сравнения. Соедините random_numbers1 с Value1 и average1 с Value2 . Установите Comparator на меньше, чем . Значения меньше среднего возвращают истину, все остальные возвращают ложь.

Теперь о цветной части. Все прямоугольники меньше среднего должны быть одного цвета, остальные — другого цвета.

• Создайте узел умножения. Подключите compare1 к Value1 . Установите Value2 на 1.0 . True / False будет равно 1/0.
• Создайте два цветовых узла и создайте два разных цвета.
• Создайте объединяющий узел и соедините два цветовых узла с List1 и List2 .
• Создайте узел среза. Установите Size на 1 и подключите комбайн 1 к List . Подключите multiply1 к Start_index .
• Подключите slice1 к Залейте colorize1.

Попробуйте изменить его так, чтобы большие прямоугольники превратились в эллипс того же размера и цвета.

Математика и пути.

Nodebox позволяет создавать ряд различных путей и функций на основе синуса и косинуса. В следующем примере показано, как создать путь Лиссажу, основанный на параметрических уравнениях

.

  x = A * sin (при + δ)
y = B * sin (bt + γ)
  

кривых Лиссажу можно увидеть на осциллографах, они являются результатом объединения двух тригонометрических кривых под прямым углом.

Создайте образец узла, чтобы начать с набора чисел.

• Установить Сумма от до 1000 .
• Установить Конец на 15,00 .

Создайте два узла умножения и отправьте образец узла каждому из них.

• Установите Value2 на 10,84 для первого.
• Установите Value2 на 10.00 для второго.

Создайте два узла sin и отправьте узлы умножения соответственно первому и второму.

Создайте еще два узла умножения и отправьте им узлы sin. Эти два узла умножения будут обрабатывать ширину и высоту пути Лиссажу. Вы можете переименовать их, щелкнув правой кнопкой мыши и выбрав опцию переименования.

Создайте узел точки сборки.

• Отправить первый узел умножения в порт x.
• Отправить второй в порт y.

Создайте узел соединения и отправьте ему узел точки создания. В конце создайте узел раскраски, чтобы придать контуру цвет заливки и обводки.

Пишущие фильтры.

Nodebox можно использовать для написания более сложных функций. В качестве первого примера в этом разделе мы описали фильтр для волос. Ниже мы опишем еще два из них.

Webby.

Первым назовем веб-фильтр. Идея состоит в том, чтобы создать подсеть, которая рисует линии между точками на основе их расстояния и вторичного выбора.

Сначала нам нужна форма и точки ее повторной выборки.

• Создайте узел текстового пути.Установите Text на Web , Fontsize to 120.0 и выберите шрифт.
• Создайте узел resample и подключите к нему textpath2. Установите Length на 8.0 .
• Создайте точечный узел и подключите к нему resample1.

Идея состоит в том, чтобы построить сеть для каждой точки списка, которая вычисляет расстояние до точек друг друга. Позже мы выберем несколько из них, чтобы провести линию между точкой и каждой из этих выбранных точек.

• Создайте узел среза. Установите Size на 1 . Это будет наша контрольная точка. Мы можем пролистать их, изменив Start Index .
• Создайте узел сортировки. Помните, что вы выбрали правильный: в описании говорится: «Сортируйте точки или фигуры, используя разные методы сортировки».
• Соедините точку 1 с Фигуры и срез 1 с Позицией .
• Создайте второй узел среза. Установите Size на 8 .Подключите к нему sort1.
• Создайте узел выбора. Установите Amount на 5 и подключите к нему slice2.

Предыдущая процедура сортирует все точки по удаленности от контрольной точки. Второй узел среза выбирает первые 8 и выбирает 5 из них. Теперь проведем линию между контрольной точкой и выбранными точками

.

• Создайте линейный узел. Подключите pick1 к Point1 и slice1 к Point2 .

Теперь функция оценивается на 1 балл.Измените Start_index slice1, чтобы увидеть результат для другой точки. Мы создадим подсеть, чтобы сделать это по всем точкам.

• Выберите slice1, sort1, slice2, pick1 и line1. Щелкните правой кнопкой мыши и Сгруппируйте в сеть .
• Снова щелкните его правой кнопкой мыши и переименуйте в webby.
• Щелкните его правой кнопкой мыши в последний раз и Редактировать дочерние элементы .
• Опубликовать Start_index slice1 и slice2. Назовите их Start index и Size .Сеть должна выглядеть так, как показано ниже.
• Вернуться в корень.

Создание подсети теперь позволяет нам оценивать ее для каждой точки. Для этого мы увеличим число Start_index webby. Построим ассортимент.

• Создайте счетный узел. Подключите к нему точку 1.
• Создайте узел диапазона. Подключите count1 к End .
• Подключите range1 к Start_index webby.
• Визуализировать webby.

Вы можете увеличить количество вторичного выбора на самом веб-сайте. Вы можете изменить количество точек, изменив Length resample1.

Попробуйте применить к нему цвет.

Веб-фильтр применен к этой SVG Обамы.

Альтернативный Интернет.

Процедура запроса, описанная выше, довольно сложна. Иногда это помогает переосмыслить результат. Чего я хочу достичь?

Веб-фильтр также можно получить с помощью процедуры, менее интенсивной к процессору:

• Создайте узел текстового пути.Установите web как Text и задайте для него шрифт и размер корпуса больше 180.
• Создайте узел передискретизации. Conect textpath2 к Shape .
• Создайте точечный узел и отправьте ему resample1.

Идея состоит в том, что мы будем использовать сравнение, чтобы выяснить, находятся ли две произвольные точки на определенном расстоянии друг от друга. Поэтому мы перетасуем исходный список, чтобы мы могли выбирать точки из него. Мы сделаем это несколько раз, чтобы увеличить вероятность того, что нам придется указывать друг на друга.Для этого мы будем использовать повторяющийся узел.

• Создайте повторяющийся узел. Установите Amount на 50 и подключите точку 1 к List .
• Создайте узел в случайном порядке. Подключите repeat1 к List .
• Создайте узел расстояния. Подключите repeat1 к Point1 и shuffle1 к point2 .

Теперь, когда мы знаем расстояние, мы можем выбрать несколько из них на основе процедуры сравнения.

• Создайте узел сравнения.Подключите distance1 к Value1 . Установите Value2 на 40 и выберите меньше в качестве Comparator .
• Создайте два узла отбраковки.
• Соедините repeat1 с List и сравните 1 с Booleans для первого.
• Подключите shuffle1 к List и сравните 1 с Booleans для второго.
• Создайте линейный узел. Подключите cull1 к Point1 и cull2 к Point2 .
• Линия рендеринга 1:

Ближайшая точка.

В качестве второго фильтра мы создадим подсеть, которая будет вычислять ближайшую точку для набора случайных точек. Мы будем визуализировать это, соединив обе точки друг с другом линией.

• Создайте узел эллипса. Установите его размеры: 300,0 на 300,0 .
• Создайте узел разброса. Подключите ellipse1 к Shape . Установите Amount на 40 .
• Создайте узел сортировки. Отправьте scatter1 на Shapes .
• Создайте узел среза. Отправьте scatter1 в список List и установите Size на 1 . Подключите его выход к Position sort1.
• Создайте сменный узел. Установите Amount на 1 и подключите sort1 к List . Нам нужна точка с кратчайшим расстоянием, но не сама она.
• Теперь мы выберем первую точку над первым узлом.Создайте его и отправьте ему shift1.
• Создайте линейный узел. Подключите first1 к Point1 и нарезайте Point2 .
• Сделайте это.

Теперь мы превратим эту процедуру в подсеть, чтобы мы могли оценивать каждую точку, а не только одну.

• Выберите все узлы, кроме ellipse1 и scatter1. Щелкните их правой кнопкой мыши и Сгруппируйте в сеть .
• Снова щелкните его правой кнопкой мыши и переименуйте в closest_point.
• Щелкните его правой кнопкой мыши в последний раз и Редактировать дочерние элементы .
• Опубликовать Start_index slice1. Назовите его Начальный индекс .
• Вернуться в корень.
• Создайте узел подсчета и подключите к нему scatter1.
• Создайте узел диапазона. Подключите count1 к End .
• Подключите диапазон 1 к Start_index ближайшего точечного узла.
• Визуализировать узел ближайшей точки.

Тот же Обама, другой фильтр. Некоторые изменения в цвете и ширине обводки.

обширная математическая библиотека для JavaScript и Node.js

Math.js — обширная математическая библиотека для JavaScript и Node.js. Он имеет гибкий синтаксический анализатор выражений с поддержкой символьных вычислений, поставляется с большим набором встроенных функций и констант и предлагает интегрированное решение для работы с различными типами данных, такими как числа, большие числа, комплексные числа, дроби, единицы и т. Д. матрицы. Мощный и простой в использовании.

• Поддерживает числа, большие числа, комплексные числа, дроби, единицы, строки, массивы и матрицы.
• Совместим со встроенной математической библиотекой JavaScript.
• Содержит гибкий синтаксический анализатор выражений.
• Выполняет символьные вычисления.
• Поставляется с большим набором встроенных функций и констант.
• Может также использоваться как приложение командной строки.
• Работает на любом движке JavaScript.
• Легко расширяется.
• Открытый исходный код.

Вот пример кода, демонстрирующий, как использовать библиотеку.2 ‘) // 0,5
math.evaluate (‘9/3 + 2i’) // 3 + 2i
math.evaluate (‘det ([- 1, 2; 3, 1])’) // -7

// цепочка
math.chain (3)
.add (4)
.multiply (2)
.done () // 14

Попробуйте синтаксический анализатор выражений ниже.
См. Полный текст в Математическом блокноте.

загрузка …

Горячие клавиши:

• Нажмите S , чтобы установить фокус на поле ввода
• Нажмите Ctrl + F11 для переключения в полноэкранный режим
• Введите «очистить» , чтобы очистить историю

Математика | Основы теории графов — Набор 1

Математика | Основы теории графов — набор 1

Граф — это структура данных, которая определяется двумя компонентами:

1. Узлом или вершиной.
2. Ребро E или упорядоченная пара — это соединение между двумя узлами u, v , которое идентифицируется уникальной парой (u, v). Пара (u, v) упорядочена, потому что (u, v) не то же самое, что (v, u) в случае ориентированного графа. Ребро может иметь вес или иметь единицу в случае невзвешенного графа.

Рассмотрим приведенный ниже график,

Чтобы узнать о «Графическом представлении» щелкните здесь

Приложения:
График — это структура данных, которая широко используется в нашей реальной жизни.

1. Социальная сеть: Каждый пользователь представлен как узел, а все его действия, предложения и список друзей представлены как граница между узлами.
2. Карты Google: Различные местоположения представлены как вершины или узлы, а дороги представлены как ребра, и теория графов используется для поиска кратчайшего пути между двумя узлами.
3. Рекомендации для веб-сайтов электронной торговли: В разделе «Рекомендации для вас» на различных веб-сайтах электронной торговли используется теория графов, чтобы рекомендовать товары аналогичного типа по выбору пользователя.
4. Теория графов также используется для изучения молекул в химии и физике.

Для просмотра других приложений щелкните здесь

Подробнее о графиках:
Характеристики графиков:

1. Соседний узел: Узел v считается смежным узлом узла u тогда и только тогда, когда существует ребро между u и v.
2. Степень узла: В неориентированном графе количество узлов, инцидентных узлу, является степенью узла.
   В случае ориентированного графа Независимость узла — это количество прибывающих ребер к узлу.
   Исходящая степень узла — это число исходящих ребер узла.

3. Путь: Путь длиной «n» от узла «u» к узлу «v» определяется как последовательность из n + 1 узлов.

   P (u, v) = (v0, v1, v2, v3 …… .vn)

   Путь прост, если все узлы различны, исключение — источник и назначение одинаковы.

4. Изолированный узел: Узел со степенью 0 называется изолированным узлом. Изолированный узел можно найти с помощью поиска в ширину (BFS). Он находит свое применение в сети LAN для определения, подключена ли система или нет.

Типы графов:

1. Направленный граф:
   Граф, в котором направление ребра определено к конкретному узлу, является ориентированным графом.
   • Направленный ациклический граф: Это ориентированный граф без цикла.Для вершины «v» в DAG нет направленного ребра, начинающегося и заканчивающегося вершиной «v».
     a) Применение: критический анализ игры, оценка дерева выражений, оценка игры.
   • Дерево: Дерево — это просто ограниченная форма графа, то есть DAG с ограничением, что у дочернего элемента может быть только один родитель.
2. Ненаправленный граф:
   Граф, в котором направление ребра не определено. Таким образом, если ребро существует между узлами ‘u’ и ‘v’, то существует путь от узла ‘u’ к ‘v’ и наоборот.
   • Связанный граф: Граф связан, когда между каждой парой вершин существует путь . В связном графе нет недостижимых узлов.
   • Полный граф: Граф, в котором каждая пара вершин графа соединена ребром. Другими словами, каждый узел ‘u’ смежен со всеми остальными узлами ‘v’ в графе ‘G’. Полный граф будет иметь n (n-1) / 2 ребра. Доказательство см. Ниже.
   • Двусвязный граф: Связный граф, который не может быть разбит на какие-либо части путем удаления какой-либо вершины.Это график с без точки сочленения.

Доказательство для полного графа:

1. Рассмотрим полный граф с n узлами. Каждый узел связан с другими n-1 узлами. Таким образом, получается n * (n-1) ребер. Но это учитывает каждое ребро дважды, потому что это неориентированный граф, поэтому разделите его на 2.
2. Таким образом, получится n (n-1) / 2.

Рассмотрим данный граф,
// Пропустить повторяющиеся ребра
Ребра на узле A = (A, B), (A, C), (A, E), (A, C).
Кромки на узле B = (B, C), (B, D), (B, E).
Кромки на узле C = (C, D), (C, E).
Кромки на узле D = (D, E).
Ребра на узле E = EMPTY. Https://en.wikipedia.org/wiki/Graph_theory
Всего ребер = 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 10 ребер.
Количество узлов = 5.
Таким образом, n (n-1) / 2 = 10 ребер.
Таким образом доказано.

Читать следующий набор — Основы теории графов

Вниманию читателя! Не прекращайте учиться сейчас. Изучите все концепции GATE CS с бесплатными живыми классами на нашем канале YouTube.

Определение узла по Merriam-Webster

\ кивок

\

1а

: патологическая припухлость или увеличение (как при ревматическом суставе)

б

: дискретная масса одного вида ткани, заключенная в ткань другого вида.

2

: запутанное осложнение (как в драме) : затруднительное положение

3

: либо из двух точек, где орбита планеты или кометы пересекает эклиптику.

также

: любая из точек, в которых орбита спутника Земли пересекает плоскость экватора.

4а

: точка, линия или поверхность вибрирующего тела или системы, которые свободны или относительно свободны от вибрационного движения.

б

: точка, в которой волна имеет нулевую амплитуду.

5а

: точка начала или центра вспомогательных частей.

б

: точка на стебле, в которую вставляется лист или листья.

c

: точка, в которой кривая пересекает себя таким образом, что ветви имеют разные касательные.

Определение древовидной диаграммы

Что такое древовидная диаграмма в математике?

Древовидная диаграмма — это инструмент в области общей математики, вероятности и статистики, который помогает вычислить количество возможных исходов события или проблемы и упорядочить эти потенциальные результаты.

Древовидные диаграммы, также известные как деревья вероятностей или деревья решений, довольно универсальны и могут быть полезны во многих областях, включая финансы.

Понимание древовидной диаграммы в математике

Древовидная диаграмма позволяет пользователю начинать с одной точки и принимать взаимоисключающие решения или испытывать взаимоисключающие события, чтобы следовать по пути вниз по ветвям дерева. Использовать древовидную диаграмму просто, если вы присвоите соответствующие значения каждому узлу.

Узлам вероятности, представляющим возможный исход, должна быть присвоена вероятность.Узлы принятия решения задают вопрос, и за ними должны следовать узлы ответа, такие как «да» или «нет». Часто значение будет связано с узлом, например стоимость или выплата. Древовидные диаграммы объединяют вероятности, решения, затраты и выплаты решения и дают стратегический ответ. В сфере финансов мы можем смоделировать цену опциона пут или колл, используя дерево решений с учетом цены базовой ценной бумаги в данный момент времени.

Как работают древовидные диаграммы?

Идея древовидной диаграммы состоит в том, чтобы начать слева целиком или с одного.Каждый раз, когда существует несколько возможных исходов, вероятность в этой ветви разделяется на меньшую ветвь для каждого исхода.

Диаграмма начинается с единственного узла, с ветвями, исходящими к дополнительным узлам, которые представляют взаимоисключающие решения или события. На диаграмме ниже анализ начнется с первого пустого узла. Затем решение или событие приведет к узлу A или B. Из этих вторичных узлов будут происходить дополнительные решения или события, ведущие к третьему уровню узлов, пока не будет достигнуто заключение.

Изображение Джули Банг © Investopedia 2020

Помимо математики, древовидные диаграммы используются при принятии стратегических решений, оценке компании или расчетах вероятностей. Древовидные диаграммы объединяют вероятности, решения, затраты и выплаты решения и дают стратегический ответ. В сфере финансов мы можем смоделировать цену опциона пут или колл, используя дерево решений с учетом цены базовой ценной бумаги в данный момент времени. Деревья решений все чаще используются при разработке алгоритмов финтех и пользовательском опыте в финтех-приложениях.Одним из вариантов использования деревьев решений может быть определение подходящей инвестиционной стратегии для нового пользователя робоадвайзера на основе анкетного опроса.

Алгоритм

— Математическая функция для определения количества листовых узлов в двоичном дереве

Это довольно просто. В полностью двоичном дереве (то есть у каждого нелистового дерева есть 2 дочерних элемента) из м внутренних узлов ровно м + 1 листовых узлов. Каждый узел, у которого есть только один дочерний элемент, можно удалить, и при этом у вас останется двоичное дерево.Итак, количество листовых узлов в L равно m + 1 . Или ответив на вопрос: f (m, n) = m + 1 .

Было бы полезно привести пример того, что я имею в виду под «удалением узлов T1 ». Рассмотрим ваш пример. Правый 5 имеет только одного ребенка. Если мы удалим 5 и поместим 9 непосредственно под 2 , количество створок не изменится.

Если мы сделаем то же самое для 9 (поместим 4 непосредственно под 2 ), мы получим полное двоичное дерево, то есть все нелистовые деревья имеют 2 дочерних элемента.

См. Рисунок для графического объяснения того, как удалить все узлы типа T1 без изменения количества конечных узлов .

Все, что осталось, — это доказать, что в дереве из м внутренних узлов, где каждый не-лист имеет ровно 2 дочерних элемента, количество листовых узлов составляет м + 1 :

Доказательство по индукции. Гипотеза индукции: | L | = | T2 | +1

База: дерево состоит из одного узла.Ясно, что | L | = 1 и | T2 | = 0 , так что это верно.

Шаг: Рассмотрим дерево, корень которого не является листом. По предположению, у него двое детей, левый и правый. По предположению индукции: | Lleft | = | T2left | + 1 и | Lright | = | T2right | + 1 . Для всего дерева имеем | T2 | = | T2left | + | T2right | + 1 и | L | = | Lвлево | + | Lright | . Следовательно, | L | = | T2left | + 1 + | T2right | + 1 = | T2 | + 1 .

Альтернативное подтверждение

Свойство также может быть доказано напрямую, без аргумента, связанного с удалением узлов T1 .Снова по индукции с индукционным предположением | L | = | T2 | + 1 .

• База : дерево представляет собой единственный узел, поэтому | L | = 1 и | T2 | = 0 .
• Step case 1 : дерево имеет корень только с 1 дочерним элементом, X , затем | L | = | LX | и | T2 | = | T2X | , т. Е. | L | = | T2 | +1 по предположению индукции.
• Step case 2 : у дерева есть корень с двумя дочерними элементами, левым и правым.По предположению индукции: | Lleft | = | T2left | + 1 и | Lright | = | T2right | + 1 . Для всего дерева имеем | T2 | = | T2left | + | T2right | + 1 и | L | = | Lвлево | + | Lright | . Следовательно, | L | = | T2left | + 1 + | T2right | + 1 = | T2 | + 1 .

Следовательно, | L | = | T2 | + 1 или другими словами f (m, n) = m + 1 .

.