Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Если в квадратном уравнении ax² + bx + c = 0 второй коэффициент b является чётным, то решение этого уравнения можно немного упростить. Дискриминант для такого уравнения можно вычислить по формуле D₁ = k² − ac, а корни по формулам и .

Примеры

Решим квадратное уравнение x² + 6x − 16 = 0. В нём второй коэффициент является чётным. Чтобы воспользоваться формулами для чётного коэффициента, нужно сначала узнать чему равна переменная k.

Любое четное число n можно представить в виде произведения числа 2 и числа k, то есть 2k.

n = 2k

Например, число 10 можно представить как 2 × 5.

10 = 2 × 5

В этом произведении k = 5.

Число 12 можно представить как 2 × 6.

12 = 2 × 6

В этом произведении k = 6.

Число −14 можно представить как 2 × (−7)

В этом произведении k = −7.

Как видим, сомножитель 2 не меняется. Меняется только сомножитель k.

В уравнении x² + 6x − 16 = 0 вторым коэффициентом является число 6. Это число можно представить как 2 × 3. В этом произведении k = 3. Теперь можно воспользоваться формулами для чётного коэффициента.

Найдем дискриминант по формуле D₁ = k² − ac

D₁ = k² − ac = 3² − 1 × (−16) = 9 + 16 = 25

Теперь вычислим корни по формулам: и .

Значит корнями уравнения x² + 6x − 16 = 0 являются числа 2 и −8.

В отличие от стандартной формулы для вычисления дискриминанта (D=b² − 4ac), в формуле D₁ = k² − ac не нужно выполнять умножение числа 4 на ac.

И в отличие от формул и формулы и не содержат в знаменателе множитель 2 что опять же освобождает нас от дополнительных вычислений.

Пример 2. Решить квадратное уравнение 5x² − 6x + 1=0

Второй коэффициент является чётным числом. Его можно представить в виде 2 × (−3). То есть k = −3. Найдём дискриминант по формуле D₁ = k² − ac

D₁ = k² − ac = (−3)² − 5 × 1 = 9 − 5 = 4

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и

Пример 3. Решить квадратное уравнение x² − 10x − 24 = 0

Второй коэффициент является чётным числом. Его можно представить в виде 2 × (−5). То есть k = −5. Найдём дискриминант по формуле D₁ = k² − ac

D₁ = k² − ac = (−5)² − 1 × (−24) = 25 + 24 = 49

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и

Обычно для определения числа k поступают так: делят второй коэффициент на 2.

Действительно, если второй коэффициент b является чётным числом, то его можно представить как b = 2k. Чтобы из этого равенства выразить сомножитель k, нужно произведение b разделить на сомножитель 2

Например, в предыдущем примере для определения числа k можно было просто разделить второй коэффициент −10 на 2

Пример 5. Решить квадратное уравнение

Коэффициент b равен . Это выражение состоит из множителя 2 и выражения . То есть оно уже представлено в виде 2k. Получается, что

Найдём дискриминант по формуле D₁ = k² − ac

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и

При вычислении корня уравнения получилась дробь, в которой содержится квадратный корень из числа 2. Квадратный корень из числа 2 извлекается только приближённо. Если выполнить это приближённое извлечение, а затем сложить результат с 2, и затем разделить числитель на знаменатель, то получится не очень красивый ответ.

В таких случаях ответ записывают, не выполняя приближённых вычислений. В нашем случае первый корень уравнения будет равен .

Вычислим второй корень уравнения:

Вывод формул

Давайте наглядно увидим, как появились формулы для вычисления корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом.

Рассмотрим квадратное уравнение ax² + bx + c = 0. Допустим, что коэффициент b является чётным числом. Тогда его можно обозначить как 2k

b = 2k

Заменим в уравнении ax² + bx + c = 0 коэффициент b на выражение 2k

ax² + 2kx + c = 0

Теперь вычислим дискриминант по ранее известной формуле:

D = b² − 4ac = (2k)² − 4ac = 4k² − 4ac

Вынесем в получившемся выражении за скобки общий множитель 4

D = b² − 4ac = (2k)² − 4ac = 4k² − 4ac = 4(k² − ac)

Что можно сказать о получившемся дискриминанте? При чётном втором коэффициенте он состоит из множителя 4 и выражения k² − ac.

В выражении 4(k² − ac) множитель 4 постоянен. Значит знак дискриминанта зависит от выражения k² − ac. Если это выражение меньше нуля, то и D будет меньше нуля. Если это выражение больше нуля, то и D будет больше нуля. Если это выражение равно нулю, то и D будет равно нулю.

То есть выражение k² − ac это различитель — дискриминант. Такой дискриминант принято обозначать буквой D₁

D₁ = k² − ac

Теперь посмотрим как выводятся формулы и .

В нашем уравнении ax² + bx + c = 0 коэффициент b заменён на выражение 2k. Воспользуемся стандартными формулами для вычисления корней. То есть формулами и . Только вместо b будем подставлять 2k. Также на забываем, что D у нас равно выражению 4(k² − ac)

Но ранее было сказано, что выражение k² − ac обозначается через D₁. Тогда в наших преобразованиях следует сделать и эту замену:

Теперь вычислим квадратный корень, расположенный в числителе. Это квадратный корень из произведения — он равен произведению корней. Остальное перепишем без изменений:

Теперь в получившемся выражении вынесем за скобки общий множитель 2

Сократим получившуюся дробь на 2

Аналогично вывóдится формула для вычисления второго корня:

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 1; 0,6

Задание 2. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Задание 3. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 1; −1,4

Задание 4. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Задание 5. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Задание 6. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Задание 7. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Дискриминант на 4 | Алгебра

Дискриминант, делённый на 4 — D/4 — удобно использовать для упрощения вычислений при решении квадратных уравнений, если коэффициент b при x — чётное число.

Формула дискриминанта, деленного на 4 —

Как и для случая с обычным дискриминантом, количество корней  квадратного уравнения зависит от знака D/4.

• Если D/4>0, квадратное уравнение имеет два корня:

     

• Если D/4=0, квадратное уравнение имеет один корень

     

• Если D/4<0, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Рассмотрим примеры решения квадратных уравнений с помощью формулы четверти дискриминанта.

Так как b=16 — чётное число, вместо обычного дискриминанта вычислим дискриминант, делённый на 4 (иногда его еще обозначают через D1):

Так как D/4>0, уравнение имеет два корня:

Ответ: -0,2; -3.

Поскольку D/4>0, уравнение имеет два корня:

Ответ: 9; 1/3.

Так как D/4=0, данное квадратное уравнение имеет один корень

Ответ: -2 1/3.

Так как D/4<0, уравнение не имеет корней в действительных числах.

Ответ: нет корней.

Для решения квадратных уравнений вполне достаточно помнить обычную формулу дискриминанта и связанные с ним формулы корней. И все же, дополнительное знание формулы четверти дискриминанта не будет лишним.

Во-первых, с меньшими (по модулю) числами проще работать. Во-вторых, эта формула иногда ускоряет процесс нахождения корней уравнения.

Если находить корни через формулу обычного дискриминанта, придётся раскладывать его на множители, выносить множитель из-под корня, затем общий множитель — за скобки и сокращать дробь.

Ответ:

Дискриминант квадратного уравнения с большими коэффициентами

Сложно встретить старшеклассника, НЕ умеющего находить корни квадратного уравнения через дискриминант.

Но, к сожалению, в отдельных случаях, получая громоздкий дискриминант,  многие начинают паниковать (без калькулятора).

А на ЕГЭ по математике, например, в задачах категории В14, вам вполне может встретиться причудливый дискриминант.

Нет безвыходных ситуаций!

На чем можно сэкономить силы при вычислении дискриминанта

Прежде чем разбирать примеры, вспомним все же  формулу дикриминанта для вычисления корней квадратного уравнения  

Тогда корни  уравнения находим по формуле

Надеюсь, вы помните, что удобно искать корни уравнения через дискриминант в случае, если имеем дело с полным  квадратным уравнением ( и – ненулевые).

Как решать неполные квадратные уравнения мы уже говорили.

1) Используем формулу «разность квадратов».

Допустим, нам нужно решить уравнение  

Ясно, что дискриминант следующий:

Не спешим возводить 53 в квадрат! Замечаем, что , поэтому

Корни данного уравнения, думаю, теперь каждый из вас найдет без труда…

2) Используем прием вынесения общего множителя за скобки.

Допустим, нам нужно решить уравнение (кстати, оно взято из реальной текстовой задачи из открытого банка заданий ЕГЭ по математике).

Ясно, что дискриминант следующий: 

Нет, мы не пойдем напролом!

Замечаем, что , а .

Мы можем вынести за скобку общий множитель

Корни найти – уже не проблема…

3) Формула сокращенного дискриимнанта.

Допустим, нам нужно решить уравнение

Вы знаете, что такое ? + показать

Его очень удобно применять в случае четности второго коэффициента (при x).

Вот формулы дискриминанта и корней в этом случае:

для уравнения , где – четное

Тогда корни следующие: , то есть или

Хоть на чуть-чуть, но упростили вычисления. Считаете, что неоправданно, – лишней формулой забивать голову… Выбор за вами.

4) Вместо дискриминанта – т. Виета.

Допустим, нам нужно решить уравнение

Вспоминаем  теорему  Виета:

Для приведенного квадратного уравнения (т.е. такого, коэффициент при  в котором равен единице)   сумма корней равна коэффициенту , взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену , то есть ,

Так вот, очевидно, на роль корней уравнения  претендуют числа и , так как и

Вот, пожалуй, все основные случае, где можно сэкономить время и силы при решении квадратного уравнения, о которых я хотела рассказать.

За улыбкой –> + показать

Внеклассный урок — Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант

Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант.

Формула №1:

         —b ± √D
x =  ————,  где D = b² – 4ac.
             2a

Латинской буквой D обозначают дискриминант.

Дискриминант — это выражение, от которого зависит число корней данного уравнения.

Если D < 0, то уравнение не имеет корней.

Если D = 0, то уравнение имеет один корень.

Если D > 0, то уравнение имеет два корня.

Пример. Решим уравнение 12x² + 7x + 1 = 0.

Сначала вычислим дискриминант.

Мы видим, что а = 12, b = 7, c = 1.

Итак:

D = b² – 4ac = 7² – 4 · 12 · 1 = 49 – 48 = 1.

D > 0. Значит, уравнение имеет корни (причем два корня), а значит, можно вычислять дальше.

Чтобы найти корни, применим формулу корней квадратного уравнения:

         —b ± √D      -7 ± √1         -7 ± 1
x =  ———— = ———— = ————
             2a                24                 24

Находим оба значения x:

        -7 + 1        -6      -1          1
x₁ = ——— = —— = — = – —
           24           24       4          4

         -7 – 1       -8       -1         1
x₂ = ——— = —— = — = – — .
           24           24       3          3

                        1                   1
Ответ: x₁ = – —,    x₂ = – —
                        4                   3

Формула №2.

Из формулы №1 можно получить другую формулу, которой удобно пользоваться в случаях, когда второй коэффициент – четное число. В этом случае раскладываем его на множители, один из которых – множитель 2. То есть второй коэффициент представляем в виде 2k, где k – это половина изначально заданного числа. Тогда удобно пользоваться формулой:

      —k ± √D₁
x = ————,   где D₁ = k² – ac
             a

Пример. Решим уравнение 5x² – 16x + 3 = 0.

Записываем -16x в виде 2 · (-8x). Тогда k = -8,  a = 5,  c = 3. Мы уже можем найти дискриминант D₁:

D₁ = k² – ac = (-8)² – 5 · 3 = 64 – 15 = 49.

Теперь находим оба значения x:

      —k ± √D₁       — (-8) ± √49      8 ± 7
x = ———— =  ————— = ———
             a                     5                  5

Отсюда:

          8 + 7       15
x₁ = ——— =  — = 3
            5            5

         8 – 7         1
x₂ = ——— =  — = 0,2
             5           5 

Ответ: x₁ = 3; x₂ = 0,2.

При решении квадратного уравнения по данным формулам целесообразно поступать следующим образом:

1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулем;

2) если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой корней; если дискриминант отрицателен, то записать, что корней нет.

1 корень дискриминант

Вы искали 1 корень дискриминант? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 2 формула дискриминанта, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «1 корень дискриминант».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как 1 корень дискриминант,2 формула дискриминанта,2 формулы дискриминанта,b корень из дискриминанта,d 0 формула,d1 дискриминант,d1 дискриминант формула,d1 как найти,d1 формула,d1 формула дискриминанта,x1 x2 дискриминант,x1 дискриминант,алгебра дискриминант,все о дискриминанте,все формулы дискриминанта,вторая формула дискриминанта,вычисление дискриминанта,вычислить дискриминант,д1 дискриминант,две формулы дискриминанта,дескрименант формула,дескриминант,дискременант,дискреминант,дискрименант,дискриминант,дискриминант 0,дискриминант 0 формула,дискриминант 1,дискриминант 1 как найти,дискриминант 1 корень,дискриминант 1 корень формула,дискриминант 1 формула,дискриминант 1 формула д1,дискриминант 2,дискриминант 2 формула,дискриминант d1,дискриминант d1 формула,дискриминант k,дискриминант k2 ac,дискриминант x1,дискриминант x1 x2,дискриминант x1 x2 формула,дискриминант алгебра,дискриминант без с,дискриминант больше нуля,дискриминант в каком классе проходят,дискриминант все формулы,дискриминант вычислить,дискриминант д1,дискриминант д1 формула,дискриминант деленный на 4 формула,дискриминант для четного b,дискриминант и как найти корни,дискриминант и корни,дискриминант и корни формулы,дискриминант из 1,дискриминант икс 1 и икс 2,дискриминант к,дискриминант как найти,дискриминант как найти х,дискриминант как решать,дискриминант как считается,дискриминант квадратного уравнения,дискриминант квадратного уравнения формула,дискриминант квадратное уравнение,дискриминант квадратные уравнения,дискриминант когда равен 1,дискриминант корень,дискриминант корень 1,дискриминант корни,дискриминант корни формула,дискриминант математика,дискриминант матрицы как найти,дискриминант меньше нуля,дискриминант меньше нуля формула,дискриминант меньше нуля что значит,дискриминант неполный,дискриминант ноль,дискриминант один,дискриминант половинный,дискриминант при 0,дискриминант при четном b,дискриминант пример,дискриминант примеры,дискриминант примеры для решения,дискриминант примеры с решением,дискриминант равен,дискриминант равен 0,дискриминант равен 0 как найти,дискриминант равен 0 как найти корень,дискриминант равен 0 квадратное уравнение,дискриминант равен 0 сколько корней,дискриминант равен 0 формула,дискриминант равен 0 формула корня,дискриминант равен 1,дискриминант равен 1 формула,дискриминант равен нулю,дискриминант равен нулю формула,дискриминант решение,дискриминант решение квадратных уравнений,дискриминант решение уравнений,дискриминант решить,дискриминант с минусом,дискриминант сокращенный,дискриминант таблица,дискриминант тема,дискриминант теорема,дискриминант уравнение,дискриминант уравнения,дискриминант формула,дискриминант формула 0,дискриминант формула 1 корень,дискриминант формула 2,дискриминант формула д1,дискриминант формула если 0,дискриминант формула корней,дискриминант формула примеры,дискриминант формула примеры и решение с объяснением,дискриминант формула х1,дискриминант формула х1 х2,дискриминант формула через k,дискриминант формулы,дискриминант формулы и корни,дискриминант формулы х1 х2,дискриминант х1 формула,дискриминант х1 х2 формула,дискриминант через k формула,дискриминант через к,дискриминант четный,дискриминант что такое,дискриминант что это,дискриминант что это такое,дискриминант это,дискриминант это что,дискриминанта,дискриминанта уравнения,дискриминанта формула д1,дискриминантное уравнение,дискриминанты,дискриминация формула,дискримінант,дискримінант формула,если д равен 0,если дискриминант,если дискриминант 0 формула,если дискриминант 1,если дискриминант больше нуля,если дискриминант меньше 0,если дискриминант равен,если дискриминант равен 0 как найти корень,если дискриминант равен 0 какая формула,если дискриминант равен 1,если дискриминант равен 1 какая формула,если дискриминант равен нулю какая формула,если дискриминант равен нулю то как найти корень,задачи дискриминант,задачи с дискриминантом,как вычислить дискриминант,как вычисляется дискриминант,как дискриминант считается,как искать дискриминант,как найти 1 дискриминант,как найти d1,как найти x если дискриминант равен 0,как найти x через дискриминант,как найти x1 и x2 в дискриминанте,как найти дискриминант,как найти дискриминант 1,как найти дискриминант и х1 и х2,как найти дискриминант квадратного уравнения,как найти дискриминант равен 0,как найти дискриминант формула,как найти дискриминант х,как найти дискриминант х1 и х2,как найти дискриминант через k,как найти дискриминант через х,как найти корень дискриминанта,как найти корень если дискриминант равен 0,как найти корень квадратного уравнения если дискриминант равен 0,как найти корни дискриминанта,как найти корни квадратного уравнения через дискриминант,как найти корни уравнения через дискриминант,как найти х дискриминант,как найти х если дискриминант равен 0,как найти х через дискриминант,как найти х через дискриминант формула,как найти х1 и х2 дискриминант,как найти через k дискриминант,как найти через дискриминант x,как находится дискриминант,как находится дискриминант формула,как находить дискриминант,как находить дискриминант формула,как посчитать дискриминант,как решается дискриминант,как решать дискриминант,как решать дискриминант примеры,как решать дискриминантные уравнения,как решать квадратное уравнение через дискриминант,как решать квадратные уравнения через дискриминант,как решать по дискриминанту,как решать уравнение через дискриминант,как решать уравнения с дискриминантом,как решать уравнения через дискриминант,как решать через дискриминант,как решать через дискриминант 1,как решать через дискриминант формула,как решаются квадратные уравнения через дискриминант,как решить дискриминант,как решить дискриминантное уравнение,как решить уравнение с дискриминантом,как решить уравнение через дискриминант,как решить через дискриминант,как считается дискриминант,как считать дискриминант,как через дискриминант найти корни,какая формула если дискриминант равен 0,какая формула если дискриминант равен 1,какая формула если дискриминант равен нулю,какая формула когда дискриминант равен 0,какая формула при дискриминанте 0,квадратное уравнение дискриминант,квадратное уравнение дискриминант равен 0,квадратное уравнение примеры с решением через дискриминант,квадратное уравнение решение через дискриминант,квадратное уравнение с дискриминантом,квадратное уравнение через дискриминант,квадратное уравнение через дискриминант решение,квадратные уравнения дискриминант,квадратные уравнения дискриминант равен нулю,квадратные уравнения примеры с дискриминантом,квадратные уравнения через дискриминант,когда дискриминант равен 0 какая формула,когда дискриминант равен 1,когда дискриминант равен нулю формула,корень дискриминант,корень дискриминанта,корень дискриминанта формула,корень из дискриминанта,корень из дискриминанта формула,корень квадратного уравнения через дискриминант формула,корень при дискриминанте равном 0,корни дискриминант,корни дискриминанта,корни дискриминанта формула,корни из дискриминанта,корни уравнения через дискриминант,корни через дискриминант,математика дискриминант,может ли квадратное уравнение с целыми коэффициентами иметь дискриминант 23,найдите дискриминант уравнения,найти дискриминант,найти дискриминант квадратного уравнения,нахождение дискриминанта,нахождение дискриминанта формула,нахождение корней через дискриминант,нахождение корней через дискриминант формула,неполный дискриминант,нулевой дискриминант,определение дискриминанта,поиск дискриминанта,половинный дискриминант,половинный дискриминант формула,правила дискриминанта,правило дискриминанта,при дискриминанте равном 0,при дискриминанте равном 0 формула,пример дискриминант,пример дискриминанта,пример решения формула дискриминанта,пример с дискриминантом,пример формула дискриминанта,примеры дискриминант,примеры дискриминанта,примеры на дискриминант,примеры на дискриминант 9 класс,примеры по алгебре с дискриминантом,примеры решение квадратных уравнений через дискриминант,примеры решение уравнений через дискриминант,примеры с дискриминантом,примеры с дискриминантом по алгебре,примеры уравнения с дискриминантом примеры,примеры формула дискриминанта,примеры через дискриминант,равен х если дискриминант равен 0,решение дискриминант,решение дискриминанта,решение дискриминанта примеры,решение квадратного уравнения через дискриминант,решение квадратного уравнения через дискриминант формулы,решение квадратных уравнений дискриминант,решение квадратных уравнений через дискриминант,решение по дискриминанту,решение с дискриминантом,решение уравнений дискриминант,решение уравнений с дискриминантом,решение уравнений через дискриминант,решение уравнения через дискриминант,решение через дискриминант,решение через дискриминант формула,решить дискриминант,решить уравнение через дискриминант,свойства дискриминанта,сокращенная дискриминанта формула,сокращенная формула дискриминанта,сокращенный дискриминант,сокращенный дискриминант формула,таблица дискриминант,таблица дискриминанта,таблица дискриминантов,таблица дискриминантов по алгебре,тема дискриминант,теорема дискриминант,теорема дискриминант формула,теорема дискриминанта,уравнение дискриминант,уравнение дискриминанта,уравнение дискриминанта примеры решения,уравнение дискриминанта формула,уравнение с дискриминантом,уравнение с дискриминантом пример,уравнение с дискриминантом формула,уравнение через дискриминант,уравнение через дискриминант примеры,уравнение через дискриминант решить,уравнения дискриминант,уравнения дискриминанта,уравнения на дискриминант,уравнения с дискриминантом,уравнения с дискриминантом как решать,уравнения с дискриминантом примеры,уравнения через дискриминант,уравнения через дискриминант примеры,формула 0 дискриминанта,формула d 0,формула d1,формула d1 дискриминант,формула x1 x2 дискриминант,формула вычисления дискриминанта,формула д1 дискриминант,формула д1 дискриминант к,формула д1 дискриминанта,формула дескрименант,формула дискрименанта,формула дискриминант 0,формула дискриминант деленный на 4,формула дискриминант равен 1,формула дискриминант равен нулю,формула дискриминанта,формула дискриминанта 0,формула дискриминанта 1,формула дискриминанта 1 через k,формула дискриминанта 2,формула дискриминанта d1,формула дискриминанта вторая,формула дискриминанта д1,формула дискриминанта деленного на 4,формула дискриминанта для 0,формула дискриминанта для четных чисел,формула дискриминанта если он равен 0,формула дискриминанта и его,формула дискриминанта и его корней,формула дискриминанта и его корней при 0,формула дискриминанта и его корней через k,формула дискриминанта и корней,формула дискриминанта и нахождения корней,формула дискриминанта и х1,формула дискриминанта и х1 х2,формула дискриминанта квадратного уравнения,формула дискриминанта корня,формула дискриминанта нахождения корней,формула дискриминанта при 0,формула дискриминанта при b четном,формула дискриминанта при четном b,формула дискриминанта пример,формула дискриминанта пример решения,формула дискриминанта примеры,формула дискриминанта равного 0,формула дискриминанта сокращенная,формула дискриминанта сокращенного,формула дискриминанта х1 х2,формула дискриминанта через k,формула дискриминанта через к,формула дискриминанта четверти,формула дискриминанта четная,формула дискриминанта четного,формула дискриминация,формула дискримінант,формула дискримінанта,формула дискримінанту,формула для дискриминанта,формула для дискриминанта 0,формула для нахождения дискриминанта,формула если дискриминант 0,формула если дискриминант равен 0,формула как найти дискриминант,формула квадратного уравнения дискриминант,формула корень дискриминанта,формула корень из дискриминанта,формула корней дискриминанта,формула корня дискриминанта,формула корня если дискриминант равен 0,формула нахождения x1 и x2 через дискриминант,формула нахождения дискриминанта,формула нахождения дискриминанта и корней,формула нахождения корней дискриминанта,формула неполного дискриминанта,формула нулевого дискриминанта,формула отрицательного дискриминанта,формула половинного дискриминанта,формула при дискриминанте 0,формула при дискриминанте равном 0,формула решения квадратного уравнения через дискриминант,формула сокращенного дискриминанта,формула х в дискриминанте,формула х1 дискриминант,формула х1 и х2 дискриминант,формула х1 и х2 при дискриминанте,формула четверти дискриминанта,формула четного дискриминанта,формулы 2 дискриминанта,формулы дискриминанта,формулы дискриминанта 1,формулы дискриминанта 1 через k,формулы дискриминанта 2,формулы дискриминанта все,формулы дискриминанта и корней,формулы дискриминанта корней,формулы дискриминанта при 0,формулы дискриминанта через к,формулы дискриминантов,формулы для дискриминанта,формулы корней дискриминанта,формулы корней квадратного уравнения дискриминант,формулы нахождения дискриминанта,формулы с дискриминантом,формулы х1 х2 дискриминант,функция дискриминанта,чему равен дискриминант,чему равен дискриминант 1,чему равен дискриминант квадратного уравнения,через дискриминант,четверть дискриминанта,четверть дискриминанта формула,четная формула дискриминанта,четный дискриминант,четный дискриминант формула,что делать если дискриминант равен 1,что если дискриминант меньше нуля,что если дискриминант равен 1,что такое в алгебре дискриминант,что такое в математике дискриминант,что такое дискриминант,что такое дискриминант в алгебре,что такое дискриминант в математике. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и 1 корень дискриминант. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, 2 формулы дискриминанта).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 1 корень дискриминант Онлайн?

Решить задачу 1 корень дискриминант вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.

План-конспект урока по алгебре по теме:»Биквадратные уравнения»

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА

Предмет: алгебра

Класс: 9

Тема урока: Биквадратные уравнения

Цели урока

а) образовательная: научить решать биквадратные уравнения методом введения новой переменной.

б) воспитательная: воспитание навыков работы в группах, сознательной деятельности учащихся;

в) развивать логическое мышление учащихся;

г) прививать любовь к предмету.

Тип урока: комбинированный урок.

Используемое оборудование: раздаточный материал.

Форма организации деятельности учащихся: групповая, индивидуальная, фронтальная.

Ход урока.

1.Организационный момент.

2.Проверка домашнего задания.

1).Разобрать на доске решение упражнений, вызвавших затруднения у учащихся.

2). Фронтально проверить домашнее задание у нескольких учащихся класса.

II. Актуализация знаний.

Мы знаем 2 способа решения уравнений 3 и 4 степени:

-разложение на множители;

-введение новой переменной.

Сегодня мы продолжим использовать метод введения новой переменной. Именно с помощью данного метода возможно решить биквадратные уравнения.

1.Разобрать пример 2 в учебнике на стр.62.

2.Решить примеры: (объясняет учитель)

№1

Введем новую переменную, 

получим

Решаем полученное квадратное уравнение одним из способов(по формулам дискриминант и половинный дискриминант, теорема Виета, свойства коэффициентов)

Возвращаемся к исходной переменной:

, , ,

, , 

Значит, исходное уравнение имеет 4 корня.

Аналогично решим следующее уравнение

№2

Один корень: 

Возвращаемся к исходной переменной: 

№3

Введем новую переменную, получим

Решаем полученное квадратное уравнение одним из способов(по формулам дискриминант и половинный дискриминант, теорема Виета, свойства коэффициентов)

, 

Возвращаемся к исходной переменной:

, корней нет

, 

Значит, исходное уравнение имеет 2 корня.

III. Закрепление полученных знаний.

1) Решить на доске и в тетрадях № 222(в,г).

2) Самостоятельно решить №224(а ,б).

3)Решить уравнение (объясняет учитель):

Введем новую переменную, получим

Решаем полученное квадратное уравнение одним из способов(по формулам дискриминант и половинный дискриминант, теорема Виета, свойства коэффициентов)

, 

Возвращаемся к исходной переменной:

 -корней нет, т.к. квадрат числа – неотрицателен,

Получили два корня 0 и -4.

Итоги урока.

Рефлексия.

1.С каким видом уравнений вы сегодня познакомились?

2.Каким способом решаются такие уравнения?

Домашнее задание: П.11, № 221, 222(а,б), 223.

Калькуляторы Создано Нишан Пуджари

Созданный
Внутреннее сопротивление проводимости с учетом числа биот

Созданный
Вязкая сила с учетом числа Грасгофа

Созданный
Вязкая сила с учетом числа Рейнольдса

Созданный
Коэффициент теплопроводности с учетом числа Льюиса

Созданный
Массовая диффузия с учетом числа Льюиса

Созданный
Молекулярная диффузия импульса с учетом числа Прандтля

Созданный
Молекулярная диффузия импульса с учетом числа Шмидта

Созданный
Молекулярная диффузия массы с учетом числа Шмидта

Созданный
Молекулярная диффузия тепла с учетом числа Прандтля

Созданный
Подъемная сила с учетом числа Грасгофа

Созданный
Сила давления с учетом числа Эйлера

Созданный
Сила инерции с учетом числа Грасгофа

Созданный
Сила инерции с учетом числа Рейнольдса

Созданный
Сила инерции с учетом числа Фруда

Созданный
Сила инерции с учетом числа Эйлера

Созданный
Сила тяжести с учетом числа Фруда

Созданный
Скорость теплопередачи стен с учетом числа Стентона

Созданный
Сопротивление поверхностной конвекции

Созданный
Теплопередача за счет конвекции с учетом числа Пекле

Созданный
Теплопередача за счет теплопроводности с учетом числа Гретца

Созданный
Теплопередача за счет теплопроводности с учетом числа Пекле

Созданный
Теплопередача конвекцией с учетом числа Граца

Созданный
Теплопередача конвекцией с учетом числа Стентона

Созданный
Число Био

Созданный
Число Грасгофа

Созданный
Число Грасгофа с учетом числа Рэлея

Созданный
Число Гретца

Созданный
Число Льюиса

Созданный
Число Нуссельта с учетом числа Стентона и других безразмерных групп

Созданный
Число Пекле

Созданный
Число Пекле с учетом числа Рейнольдса

Созданный
Число Прандтля в конвекции

Созданный
Число Прандтля с учетом числа Пекле

Созданный
Число Прандтля с учетом числа Рэлея

Созданный
Число Прандтля с учетом числа Стентона и других безразмерных групп

Созданный
Число Рейнольдса

Созданный
Число Рейнольдса с учетом числа Пекле

Созданный
Число Рэлея

Созданный
Число Стентона для конвекции

Созданный
Число Стентона с учетом числа Нуссельта и других безразмерных групп

Созданный
Число Фруда

Созданный
Число Шмидта

Созданный
Число Эйлера

Созданный
Inradius десятиугольника с учетом высоты

Созданный
Высота десятиугольника с учетом бокового и центрального угла.

Созданный
Высота десятиугольника с учетом радиуса вписанной окружности

Созданный
Высота десятиугольника с учетом радиуса описанной окружности

Созданный
Окружной радиус десятиугольника данной ширины

Созданный
Окружной радиус десятиугольника с учетом высоты и центрального угла

Созданный
Периметр десятиугольника

Созданный
Площадь десятиугольника

Созданный
Площадь десятиугольника с учетом радиуса и длины стороны

Созданный
Площадь центрального угла с учетом длины стороны и центрального угла

Созданный
Радиус вписанной окружности десятиугольника с учетом бокового и центрального угла

Созданный
Радиус вписанной окружности десятиугольника с учетом радиуса описанной окружности и центрального угла

Созданный
Радиус описанной окружности десятиугольника

Созданный
Сторона десятиугольника с учетом высоты и центрального угла

Созданный
Сторона десятиугольника с учетом площади и радиуса

Созданный
Сторона десятиугольника с учетом площади и центрального угла

Созданный
Сторона десятиугольника с учетом радиуса и центрального угла

Созданный
Сторона десятиугольника с учетом радиуса описанной окружности и центрального угла

Созданный
Сторона десятиугольника с учетом ширины

Созданный
Ширина десятиугольника с учетом длины стороны

Созданный
Ширина десятиугольника с учетом радиуса описанной окружности

Проверено
Диаметр волокна от заданной критической длины волокна

Проверено
Модуль упругости волокна относительно модуля упругости композита в продольном направлении

Проверено
Модуль упругости волокна по сравнению с модулем упругости композита (поперечное направление)

Проверено
Модуль упругости композита в продольном направлении

Проверено
Модуль упругости матрицы из композита (поперечное направление)

Проверено
Модуль упругости матрицы от модуля упругости композита в продольном направлении

Проверено
Объемная доля волокна из ЭМ композита (в продольном направлении)

Проверено
Объемная доля волокна из ЭМ композита (поперечное направление)

Проверено
Объемная доля волокна от прочности композита при продольном растяжении

Проверено
Объемная доля матрицы из композита Е (продольное направление)

Проверено
Объемная доля матрицы из ЭМ композита (поперечное направление)

Проверено
Предел прочности матрицы на разрыв от продольного предела прочности композита.

Проверено
Прочность волокна на разрыв от прочности композита при продольном растяжении

Проверено
Прочность волокна на разрыв при заданной критической длине волокна

Проверено
Прочность связи между волокном и матрицей при заданной критической длине волокна

3 Другие калькуляторы Композиты с полимерной матрицей (PMC)

Созданный
Конвективный массообмен при заданной теплопередаче

Созданный
Конвективный массообмен через границу раздела жидкий газ

Созданный
Коэффициент конвективного массообмена во внутреннем потоке

Созданный
Коэффициент конвективного массообмена плоской пластины в комбинированном ламинарном турбулентном потоке

Созданный
Коэффициент конвективного массопереноса при ламинарном потоке на плоской пластине с учетом коэффициента сопротивления

Созданный
Коэффициент конвективного массопереноса при ламинарном потоке на плоской пластине с учетом числа Рейнольдса

Созданный
Коэффициент конвективного массопереноса с учетом коэффициента сопротивления

Созданный
Коэффициент сопротивления ламинарного потока на плоской пластине с учетом числа Шмидта

Созданный
Коэффициент сопротивления ламинарного потока плоской пластины

Созданный
коэффициент сопротивления ламинарного потока плоской пластины с учетом коэффициента трения

Созданный
Коэффициент сопротивления плоской пластины в комбинированном ламинарном турбулентном потоке

Созданный
Коэффициент теплопередачи с учетом массообмена и числа Льюиса

Созданный
Коэффициент трения во внутреннем потоке

Созданный
Коэффициент трения ламинарного потока на плоской пластине

Созданный
Коэффициент трения ламинарного потока на плоской пластине с учетом числа Рейнольдса

Созданный
Массообменное число Стентона

Созданный
Местное число Шервуда для плоской пластины в ламинарном потоке

Созданный
Местное число Шервуда для плоской пластины в турбулентном потоке

Созданный
Местный Шервудский номер

Созданный
Парциальное давление компонента А в смеси 1

Созданный
Плотность материала с учетом коэффициента конвективного тепломассопереноса

Созданный
Скорость набегающего потока плоской пластины во внутреннем турбулентном потоке

Созданный
Скорость набегающего потока плоской пластины с комбинированным ламинарно-турбулентным потоком

Созданный
Скорость свободного потока ламинарного потока плоской пластины с учетом коэффициента сопротивления

Созданный
Скорость свободного потока плоского ламинарного потока

Созданный
Скорость свободного потока плоской пластины при комбинированном потоке с учетом коэффициента Дарга

Созданный
Скорость свободного потока при ламинарном потоке плоской пластины с учетом коэффициента трения

Созданный
Среднее число Шервуда внутреннего турбулентного потока

Созданный
Среднее число Шервуда плоской пластины, сочетающей ламинарный и турбулентный потоки

Созданный
Среднее число Шервуда турбулентного потока на плоской пластине

Созданный
Толщина массообменного пограничного слоя плоской пластины в ламинарном потоке

Созданный
Удельная теплоемкость при конвективном тепло- и массообмене

Созданный
Число Шервуда для плоской пластины в ламинарном потоке

Созданный
Коэффициент местного трения для внешнего потока

Созданный
коэффициент местного трения с учетом числа Рейнольдса

Созданный
коэффициент трения с учетом числа Стентона

Созданный
Напряжение сдвига стены

Созданный
Плотность с учетом местного коэффициента трения

Созданный
Скорость набегающего потока с учетом местного коэффициента трения

Созданный
Среднее число Нуссельта до длины L

Созданный
Средний коэффициент трения

Созданный
Средняя разница температур между пластиной и жидкостью

Созданный
Температура жидкости в свободном потоке

Созданный
Температура пленки

Созданный
Температура поверхности пластины

Созданный
Толщина вытеснения

Созданный
Толщина гидродинамического пограничного слоя на расстоянии X от передней кромки

Созданный
Толщина импульса

Созданный
Толщина теплового пограничного слоя на расстоянии X от передней кромки

Созданный
Число Нуссельта в точке L

Созданный
Число Нуссельта для жидких металлов и силиконов

Созданный
Число Нуссельта для жидких металлов или силиконов

Созданный
Число Нуссельта для постоянного теплового потока для внешнего потока

Созданный
Число Нуссельта для постоянной температуры стенки

Созданный
Число Нуссельта только для жидких металлов

Созданный
Число Нуссельта, если нагрев начинается с расстояния Xo от передней кромки

Созданный
Число Стентона

Проверено
Время заливки с использованием уравнения Бернулли

Проверено
Выталкивающая сила на стержни из области венчика

Проверено
Длина спирали текучести

Проверено
Доходность отливок в процентах

Проверено
Металлическая головка в верхней части литника

Проверено
Металлическая головка на штуцере литника

Проверено
Металлостатические силы, действующие на опоки.

Проверено
Неподдерживаемая нагрузка для ядер

Проверено
Общая масса металла, залитого в кристаллизатор с выхода отливки

Проверено
Отливка массы с использованием уравнения Бернулли

Проверено
Плотность основного материала

Проверено
Плотность расплавленного металла

Проверено
Плотность расплавленного металла по уравнению Бернулли

Проверено
Площадь венка

Проверено
Площадь венчика от неподдерживаемого груза

Проверено
Площадь дросселирования с использованием уравнения Бернулли

Проверено
подъемная сила на вертикальных стержнях

Проверено
подъемная сила на цилиндрических сердечниках, расположенных горизонтально

Проверено
Фактическая масса отливки от текучести отливки

Проверено
Фактор состава по длине спирали текучести

Проверено
Число проницаемости

Проверено
Эмпирическое соотношение для макс. допустимая выталкивающая сила на заданной площади печати сердечника

Проверено
Эмпирическое соотношение для минимальной основной области печати

10 Другие калькуляторы Литейное производство (литье)

Проверено
Внешний радиус составного цилиндра через константы a и b для внутреннего цилиндра

Проверено
Внутреннее давление жидкости в терминах констант для одиночной толстой оболочки в составном цилиндре

Проверено
Внутренний радиус составного цилиндра по внутреннему давлению жидкости

Проверено
Константа a для внутреннего цилиндра по внешнему радиусу цилиндра

Проверено
Константа a для внутреннего цилиндра с точки зрения радиального давления на стыке двух цилиндров

Проверено
Константа A для одиночной толстой оболочки по внешнему радиусу составного цилиндра (радиальное давление = 0)

Проверено
Константа A для одиночной толстой оболочки составного цилиндра с точки зрения внутреннего давления жидкости

Проверено
Константа b для внутреннего цилиндра по внешнему радиусу цилиндра

Проверено
Константа b для внутреннего цилиндра с точки зрения радиального давления на стыке двух цилиндров

Проверено
Константа B для одиночной толстой оболочки по внешнему радиусу составного цилиндра (радиальное давление = 0)

Проверено
Константа B для одиночной толстой оболочки составного цилиндра с точки зрения внутреннего давления жидкости

Проверено
Наружный радиус составного цилиндра через константы A и B для одинарной толстой оболочки

Проверено
Радиальное давление на стыке составного цилиндра через константы a и b для внутреннего цилиндра

Проверено
Радиус ‘x’ для одиночной толстой оболочки с точки зрения кольцевого напряжения только из-за внутреннего давления жидкости

Проверено
Радиус стыка с точки зрения радиального давления на стыке и константы внутреннего радиуса

31 Другие калькуляторы Напряжения в сложных толстых цилиндрах

Проверено
inradius нонагона дан только периметр нонагона

Проверено
inradius нонагона дана только Площадь нонагона

Проверено
в радиусе нонагона дана только высота нонагона

Проверено
высота нонагона дана только в радиусе нонагона

Проверено
высота нонагона с учетом только стороны нонагона

Проверено
окружной радиус девятиугольника дан только периметр девятиугольника

Проверено
окружной радиус девятиугольника дана только высота девятиугольника

Проверено
окружность нонагона заданная площадь нонагона

Проверено
Периметр нонагона заданная сторона нонагона

Проверено
периметр нонагона с учетом длинной диагонали нонагона

Проверено
периметр нонагона с учетом короткой диагонали нонагона

Проверено
периметр нонагона с учетом средней диагонали нонагона

Проверено
Площадь нонагона дана только в радиусе нонагона

Проверено
Площадь нонагона заданная сторона нонагона

Проверено
Площадь нонагона с учетом радиуса окружности нонагона

Проверено
Площадь нонагона с учетом только высоты нонагона

Проверено
сторона нонагона дана только высота нонагона

Проверено
сторона нонагона заданная площадь нонагона

Проверено
Сторона нонагона с учетом периметра нонагона

Проверено
указана только высота нонагона Площадь нонагона

33 Другие калькуляторы Нонагон

Проверено
высота равностороннего треугольника заданный радиус описанной окружности равностороннего треугольника

Проверено
Диагональ квадрата, заданная радиусом описанной окружности квадрата

Проверено
Диагональ прямоугольника задана радиусом описанной окружности прямоугольника.

Проверено
Заданная сторона квадрата Радиус описанной окружности квадрата

Проверено
Основание равнобедренного треугольника с учетом его равной стороны

Проверено
Радиус описанной окружности квадрата по диагонали квадрата

Проверено
Радиус описанной окружности прямоугольника по диагонали прямоугольника

Проверено
Радиус описанной окружности прямоугольника по сторонам прямоугольника

Проверено
Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника с заданными сторонами

Проверено
Радиус описанной окружности равностороннего треугольника, если высота треугольника

Проверено
Радиус описанной окружности равностороннего треугольника, если задана сторона треугольника

Проверено
сторона a прямоугольника заданный радиус описанной окружности прямоугольника

Проверено
сторона b прямоугольника заданный радиус описанной окружности прямоугольника

Проверено
Сторона равностороннего треугольника задана радиусом описанной окружности равностороннего треугольника.

28 Другие калькуляторы Описанный круг

Созданный
Радиус описанной окружности данного квадрата

Созданный
Радиус описанной окружности квадрата с заданной стороной

Созданный
Радиус описанной окружности правильного многоугольника

Созданный
Радиус описанной окружности правильного шестиугольника по диагонали

Созданный
Радиус описанной окружности прямоугольника по диагонали

Созданный
Радиус описанной окружности прямоугольника с двумя сторонами

Созданный
Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника при заданной гипотенузе

Созданный
Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника с заданными двумя сторонами

Созданный
Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника с заданными сторонами

Созданный
Радиус описанной окружности равнобедренной трапеции при заданных сторонах и диагонали

Созданный
Радиус описанной окружности равнобедренной трапеции с учетом полупериметра и большей длины основания.

Созданный
Радиус описанной окружности равнобедренной трапеции, если заданы более длинные стороны и диагональ

Созданный
Радиус описанной окружности равнобедренной трапеции, если заданы полупериметр и длина основания.

Созданный
Радиус описанной окружности равностороннего треугольника со стороной

Созданный
Радиус описанной окружности равностороннего треугольника, если задана высота

Созданный
Радиус описанной окружности треугольника

Созданный
Радиус описанной окружности треугольника

Проверено
Глубина корневой поверхности для минимальной деформации стыкового соединения

Проверено
Глубина первой V-образной канавки для минимальной деформации стыкового соединения

Проверено
Глубина последней V-образной канавки для минимальной деформации стыкового соединения

Проверено
Длина галтели в стыках внахлест от усадки

Проверено
Длина гнутой детали при гибке

Проверено
Длина пролета для максимальной угловой деформации угловых швов

Проверено
Жесткость угловых швов

Проверено
Изменение угла при максимальной деформации угловых швов

Проверено
Коэффициент относительной толщины листа

Проверено
Максимальная угловая деформация угловых швов

Проверено
Металл, наплавленный в первом проходе сварки, когда известна поперечная усадка

Проверено
Общий наплавленный металл в сварном шве, если известна общая поперечная усадка

Проверено
Площадь поперечного сечения сварного шва при заданной поперечной усадке в стыковых соединениях

Проверено
Полезное тепло, подаваемое для достижения заданной скорости охлаждения толстых листов

Проверено
Полезное тепло, подаваемое для достижения заданной скорости охлаждения тонких пластин

Проверено
Полезное тепло, подаваемое, если известен относительный коэффициент толщины

Проверено
Полная поперечная усадка при многопроходной сварке стыкового соединения

Проверено
Положение пика температуры от границы плавления

Проверено
Поперечная усадка при первом проходе, когда общая усадка известна

Проверено
Поперечная усадка при соединении внахлестку с фасоками

Проверено
Раскрытие корня при известной поперечной усадке

Проверено
Скорость охлаждения относительно толстых пластин

Проверено
Скорость охлаждения относительно тонких пластин

Проверено
Теплопроводность основного металла при заданной скорости охлаждения (толстые пластины)

Проверено
Теплопроводность основного металла при заданной скорости охлаждения (тонкие пластины)

Проверено
Толщина заготовки для использования при гибке

Проверено
Толщина листа при заданной поперечной усадке в стыковых соединениях

Проверено
Толщина основного металла для желаемой скорости охлаждения

Проверено
Толщина основного металла, если известен относительный коэффициент толщины

Проверено
Толщина пластин в нахлесточных соединениях

Проверено
Угловая деформация угловых швов в точке x

Проверено
Чистое тепло, подаваемое в зону сварки, чтобы поднять ее до заданной температуры от границы плавления.

Проверено
Ширина между точками контакта при изгибе

18 Другие калькуляторы Сварка

Созданный
Внешний диаметр концентрической сферы

Созданный
Внутренний диаметр концентрической сферы

Созданный
Внутренний радиус от длины зазора

Созданный
Внутренняя температура концентрической сферы

Созданный
Диаметр с учетом числа Гретца

Созданный
Диаметр с учетом числа Рейнольдса

Созданный
Диаметр, при котором начинается турбулентность

Созданный
Длина зазора

Созданный
Длина кольцевого пространства между двумя концентрическими цилиндрами

Созданный
Длина пространства между двумя концентрическими сферами

Созданный
Длина с учетом числа Гретца

Созданный
Кинематическая вязкость жидкости

Созданный
Кинематическая вязкость с учетом числа Рейнольдса в зависимости от скорости вращения

Созданный
Коэффициент конвективного массообмена на расстоянии X от передней кромки

Созданный
Местное число Нуссельта для постоянного теплового потока

Созданный
Местное число Нуссельта для постоянного теплового потока для числа Грасгофа

Созданный
Местный номер Нуссельта

Созданный
Местный номер Нуссельта по номеру Грасгофа

Созданный
Наружный радиус от длины зазора

Созданный
Скорость вращения диска

Созданный
Скорость вращения с учетом числа Рейнольдса

Созданный
Среднее число Нуссельта до L

Созданный
Среднее число Нуссельта до длины L при постоянном тепловом потоке

Созданный
Среднее число Нуссельта при постоянной температуре стенки

Созданный
Теплообмен между концентрическими сферами

Созданный
Теплообмен между концентрическими сферами

Созданный
Теплоотдача на единицу длины для кольцевого пространства между концентрическими цилиндрами

Созданный
Теплопроводность жидкости

Созданный
Теплопроводность жидкости

Созданный
Толщина пограничного слоя на вертикальных поверхностях

Созданный
Число Гретца

Созданный
Число Нуссельта для более высокого значения GrPr

Созданный
Число Нуссельта для всех значений GrPr и постоянного теплового потока

Созданный
Число Нуссельта для всех значений GrPr и постоянной температуры стенки

Созданный
Число Нуссельта для горизонтальной пластины с нагреваемой поверхностью вверх

Созданный
Число Нуссельта для горизонтальной пластины с охлаждаемой верхней поверхностью или нагреваемой нижней поверхностью

Созданный
Число Нуссельта для горизонтальной пластины с подогревом верхней или охлажденной нижней поверхностью

Созданный
Число Нуссельта для горизонтальной пластины с постоянной температурой стенки

Созданный
Число Нуссельта для горизонтальной пластины с постоянным тепловым потоком

Созданный
Число Нуссельта для горизонтальных цилиндров

Созданный
Число Нуссельта для малого формата изображения (H / L)

Созданный
Число Нуссельта для нагреваемой поверхности вниз

Созданный
Число Нуссельта для наклонной пластины с постоянным тепловым потоком

Созданный
Число Нуссельта для наклонных пластин с нагреваемой поверхностью вниз

Созданный
Число Нуссельта для среднего соотношения сторон (H / L)

Созданный
Число Нуссельта для сферы

Созданный
Число Нуссельта для сферы с Pr = 1

Созданный
Число Нуссельта для турбулентного потока

Созданный
Число Нуссельта для турбулентного потока 10 ^ 9 Идти

Любое ненулевое целое число является дискриминантом некоторого поля алгебраических чисел?

Ответ на вопрос заголовка — нет, а ответ на вопрос основной части — да. n} {n!}.

$

RHS всегда строго больше 1 доллара, поэтому дискриминант никогда не может быть равен 1 доллару; то есть $ \ mathbb {Q} $ не имеет неразветвленных расширений. Более того, из этого следует, что числовые поля данного дискриминанта не могут иметь произвольно высокую степень, и на самом деле существует только конечное число числовых полей данного дискриминанта, поэтому для конкретных малых дискриминантов их можно исключить с помощью тематической работы.

Для начала запишем значение границы Минковского для некоторых небольших значений $ n $.

• Для $ n = 2 $ это около 1,57 $, поэтому числовое поле степени не менее $ 2 $ имеет дискриминант абсолютного значения не менее $ 3 $.
• Для $ n = 3 $ это около 3,13 $, поэтому числовое поле степени не менее 3 $ имеет дискриминант абсолютного значения не менее 10 $.
• Для $ n = 4 $ это около 6,58 $, поэтому числовое поле степени не менее 4 $ имеет дискриминант абсолютного значения не менее 44 $.

Напомним также, что для бесквадратного целого числа $ d $ дискриминант $ \ mathbb {Q} (\ sqrt {d}) $ равен $ d $, если $ d \ Equiv 1 \ bmod 4 $, и $ 4d $ в противном случае.Теперь давайте рассмотрим несколько наименьших дискриминантов по порядку, пропуская те, которые не удалось Стикельбергеру, чтобы увидеть, что Минковский говорит о них.

• $ 1 $: Минковский невозможно.
• $ -3 $: реализуется однозначно с помощью $ \ mathbb {Q} (\ sqrt {-3}) $.
• $ 4 $: невозможно по Минковскому (может быть реализовано только квадратичным полем, но не реализуется).
• $ -4 $: реализуется однозначно с помощью $ \ mathbb {Q} (i) $.
• $ 5 $: реализуется однозначно с помощью $ \ mathbb {Q} (\ sqrt {5}) $.
• $ -7 $: реализуется однозначно с помощью $ \ mathbb {Q} (\ sqrt {-7}) $.
• $ 8 $: реализуется однозначно с помощью $ \ mathbb {Q} (\ sqrt {2}) $.
• $ -8 $: реализуется однозначно с помощью $ \ mathbb {Q} (\ sqrt {-2}) $.
• $ 9 $: невозможно по Минковскому (может быть реализовано только квадратичным полем, но не является).
• $ -11 $: реализуется $ \ mathbb {Q} (\ sqrt {-11}) $.
• $ 12 $: реализуется $ \ mathbb {Q} (\ sqrt {3}) $.

$ -12 $ — это первый дискриминант, статус которого я не могу определить только по Штикельбергеру и Минковскому.3 — x — 1) $, но я не знаю, как это доказать.

В любом случае, вот дискриминант, который я могу исключить с помощью дополнительной техники: $ 25 $ конгруэнтно $ 1 \ bmod 4 $ и, согласно оценке Минковского, может быть дискриминантом только кубического поля. Однако я утверждаю, что это не дискриминант кубического поля, и поэтому вообще не может быть дискриминантом. Причина в том, что это квадрат, что означает, что соответствующее кубическое поле — это Галуа с группой Галуа $ A_3 \ cong C_3 $. Следовательно, по теореме Кронекера-Вебера это должно быть подполе циклотомических целых чисел $ \ mathbb {Q} (\ zeta_n) $, и известно, что на самом деле мы должны иметь возможность взять $ n = 5 $.Однако $ \ mathbb {Q} (\ zeta_5) $ не имеет кубических подполей, поскольку имеет степень $ 4 $.

Завершение кв. Квадратичная формула

Содержание | Дом

Вернуться в раздел 1

Завершение квадрата

Квадратичная формула

Дискриминант

Доказательство квадратичной формулы

В УРОК 18 мы увидели технику, называемую завершением квадрата.Теперь мы применим его к решению квадратного уравнения.

Завершение квадрата

Если мы попытаемся решить это квадратное уравнение факторингом,

Этот метод действителен только тогда, когда коэффициент x ² равен 1.

1) Переставьте постоянный член вправо

x ² + 6 x = −2.

x ² + 6 x + 9 = −2 + 9.

Левая часть теперь представляет собой идеальный квадрат ( x + 3).

( x + 3) ² = 7.

3 — это половина коэффициента 6.

Это уравнение имеет вид

То есть решения до

x ² + 6 x + 2 = 0

— сопряженная пара,

−3 +, −3 -.

Чтобы узнать о методе проверки этих корней, см. Теорему о сумме и произведении корней: Урок 10 тем в Precalculus,

В Уроке 18 есть примеры и задачи, в которых коэффициент x является нечетным. Кроме того, некоторые из приведенных ниже квадратиков имеют комплексные корни, а некоторые включают упрощающие радикалы.

Задача 6. Решите каждое квадратное уравнение, заполнив квадрат.

Чтобы увидеть ответ, наведите курсор на цветную область слева направо
.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!

Проблема 7.Найдите два числа, сумма которых равна 10, а произведение равно 20.

х = 5 ±

Согласно теореме о сумме и произведении корней, они являются решениями задачи 6b выше.

Квадратичная формула

Вот формула для нахождения корней любой квадратичной. Это доказывается завершением квадрата. Другими словами, квадратичная формула завершает квадрат за нас.

Теорема. Если

топор ² + bx + c = 0,

, затем

Два корня справа. Один корень имеет знак плюса; другой — знак минус. Если квадратный корень иррационален, то два корня являются сопряженной парой.

Если мы назовем эти два корня r ₁ и r ₂ , то квадратичный фактор можно разложить на

.

( x — r ₁ ) ( x — r ₂ ).

Мы докажем квадратную формулу ниже.

Пример 4. Используйте формулу корней квадратного уравнения, чтобы решить это квадратное уравнение:

3 x ² + 5 x — 8 = 0

Решение . Имеем: a = 3, b = 5,
c = −8.

Следовательно, по формуле:

То есть

Это два корня. И они рациональны. Когда корни рациональны, мы могли бы решить уравнение факторизацией, что всегда является самым простым методом.

Задача 8. Используйте формулу корней квадратного уравнения, чтобы найти корни каждого квадратичного уравнения.

а) x ² — 5 x + 5

a = 1, b = −5, c = 5.

б) 2 x ² — 8 x + 5

a = 2, b = −8, c = 5.

в) 5 x ² — 2 x + 2

a = 5, b = −2, c = 2.

Дискриминант

Подкоренное выражение b ² — 4 ac называется дискриминантом.Если дискриминант

Задача 9. Показать: Если корни ax ² + bx + c сложные, а a, b, c положительны, то

2 a — b + c > 0.

Поскольку корни комплексные, то дискриминант b ² — 4 ac b ² ac.

Сейчас, 2 a — b + c > 0 тогда и только тогда, когда

b a + c

тогда и только тогда, когда

b ² a ² + 4 ac + c ² ,

, что верно.Поскольку, начиная с b ² ac, это меньше 4 ac плюс положительное значение. 4 a ² и c ² положительны.

Студент должен знать логическое выражение

тогда и только тогда, когда.

Доказательство квадратичной формулы

Чтобы доказать формулу корней квадратного уравнения, заполним квадрат. Но для этого коэффициент при x ² должен быть равен 1.Следовательно, мы разделим обе части исходного уравнения на a :

.

при умножении c и a на 4 a , что делает знаменатели одинаковыми (Урок 23),

Это квадратная формула.

Раздел 3: График y = квадратичный

Вернуться в раздел 1

Содержание | Дом

Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
Даже 1 доллар поможет.

Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]

Полу-контролируемая модель дискриминантного анализа Фишера для классификации неисправностей в промышленных процессах

Основные моменты

•

Для классификации неисправностей предлагается модель FDA с полуконтролем.

•

Полуконтролируемый FDA используется для извлечения информации из всех данных.

•

Линейная гауссовская дискриминантная функция используется для классификации признаков.

•

Превосходство метода проверено на численном примере и тесте TE.

Abstract

Хотя дискриминантный анализ Фишера (FDA) широко используется для классификации, он в значительной степени полагается на информацию метки обучающих данных, что означает, что эффективность его классификации не может быть гарантирована, если имеется только небольшое количество маркированные образцы данных, доступные для использования.К сожалению, для классификации неисправностей в промышленных процессах всегда существует гораздо меньшее количество дефектных образцов по сравнению с нормальными образцами. Кроме того, даже если собранных дефектных образцов достаточно для моделирования, все равно потребуется экспертный опыт и предварительные знания процесса, чтобы пометить их по разным типам, что отнимает много времени и дорого. В этой статье предлагается полууправляемая форма модели FDA, которая используется для классификации неисправностей в промышленных процессах. Названное частично контролируемое управление по контролю за продуктами и лекарствами (FDA) соединяет в себе разделимость высшего класса FDA и неконтролируемый характер анализа главных компонентов (PCA).Благодаря включению дополнительных немаркированных выборок данных для моделирования, новая модель значительно повысила эффективность классификации неисправностей. Эффективность полууправляемого моделирования и эффективность классификации разломов оцениваются с помощью двух тематических исследований.

Ключевые слова

Классификация неисправностей

Полуавтоматическое моделирование

Дискриминантный анализ Фишера

Анализ главных компонентов

Рекомендуемые статьи Цитирующие статьи (0)

Полный текст

Copyright © 2014 Elsevier B.V. Все права защищены.

Рекомендуемые статьи

Цитирующие статьи

Линейные дискриминантные функции

Глава 9 Линейное письмо
Дискриминантные функции

9.1 Введение

Максимальная вероятность
и байесовские методы оценки параметров предполагают, что формы для
основная вероятность
плотности были известны, и что мы будем использовать
обучающие выборки для оценки значений их параметров.В этой главе,
вместо этого мы предположим, что знаем правильные формы для дискриминантных функций , и будем использовать выборки для оценки значений параметров
классификатор. Некоторые из дискриминантных функций являются статистическими, а некоторые из них
не. Однако ни один из них не требует знания форм лежащих в основе
распределения вероятностей, и в этом ограниченном смысле их можно назвать
непараметрический.

Линейные дискриминантные функции имеют
множество приятных аналитических свойств.Они могут быть оптимальными, если
лежащие в основе распределения кооперативны, например, гауссианы, имеющие равные
ковариация, которая может быть получена за счет разумного выбора функции
детекторы. Даже если они не оптимальны, мы можем пожертвовать
некоторая производительность, чтобы получить преимущество их простоты. Линейный
дискриминантные функции относительно легко вычислить и в отсутствие
информация, свидетельствующая об обратном, линейные классификаторы являются привлекательными кандидатами
для начальных, пробных классификаторов.

Задача поиска линейного
Дискриминантную функцию сформулируем как задачу минимизации критерия
функция. Очевидная функция критерия для целей классификации — это риск выборки , или ошибка обучения — , средний понесенный убыток
при классификации набора обучающих выборок. Трудно вывести
линейный дискриминант с минимальным риском, и по этой причине он будет пригоден для
исследовать несколько связанных критериальных функций, которые аналитически более
послушный.Большое внимание будет уделено изучению сходимости
свойства и вычислительные сложности различного градиентного спуска
процедуры минимизации целевых функций. Сходства между многими
процедур иногда затрудняют сохранение различий между
им ясно.

9.2 Линейные дискриминантные функции и поверхности принятия решений

Дискриминант
функция, которая является линейной комбинацией компонентов x, может быть записана как

(9.1)

, где w —
вектор веса и w ₀ смещение или порог
масса. Будут изучены линейные дискриминантные функции для
случай с двумя категориями, случай с несколькими категориями и общий случай (рисунок 9.1). Для
в общем случае таких дискриминантных функций будет c , по одной на каждую
c категории .

Рисунок 9.1: Линейные дискриминантные функции.

9.2.1 Дело о двух категориях

Для
дискриминантная функция вида (9.1), двухкатегориальный классификатор
реализует следующее правило принятия решения: Decide w ₁ , если g ( x )> 0 и w ₂ , если g ( x ) <0. Таким образом, x
присваивается w ₁ , если внутренний продукт w ^T x превышает пороговое значение w ₀
и к w ₂
иначе.Если г ( x ) = 0, x может
обычно относится к любому классу или может быть оставлено неопределенным. Уравнение g ( x ) = 0 определяет
поверхность принятия решения, которая отделяет точки, присвоенные w ₁ от точек
присвоено w ₂ . Когда g (x) равно
линейная, эта решающая поверхность представляет собой гиперплоскость . Если x ₁ и x ₂ оба находятся на
поверхность решения, то

(9.2)

или

(9,3)

и это показывает
что w нормально к любому вектору, лежащему в гиперплоскости. В целом
гиперплоскость H делит пространство признаков на два полупространства: решение
регион R ₁ для w ₁ и регион R ₂ для w ₂ . Потому что г ( x )> 0, если x
в R ₁ следует
что нормальный вектор w указывает на R ₁ . это
иногда говорят, что любой x в R ₁ находится на положительном
сторона H, и любые x в R ₂ находится на негативе
Сторона (рисунок 9.2).

Дискриминантная функция g ( x ) дает алгебраический
мера расстояния от x до гиперплоскости.Самый простой способ увидеть
это означает x как

(9,4)

, где x _p — нормальный
проекция x на H, и r является желаемой алгебраической
расстояние, которое положительно, если x находится на положительной стороне, и отрицательно, если x
находится на отрицательной стороне.Тогда, поскольку g ( x _p ) = 0,

С , затем

(9,5)

или

(9.6)

Рисунок 9.2: Линейная граница решения H разделяет пространство признаков на
два полупространства.

В частности,
расстояние от начала координат до H равно . Если w ₀ > 0, исходная точка включена.
положительная сторона H, и если w ₀ <0, это на отрицательная сторона. Если w ₀ = 0, то g ( x )
имеет однородную форму , а гиперплоскость проходит через
происхождение (рисунок 9.2). Линейная дискриминантная функция делит пространство признаков
с помощью гиперплоскостной решающей поверхности. Ориентация поверхности определяется
вектор нормали w , а положение поверхности определяется смещением w ₀ . Дискриминантная функция г ( x )
пропорционально подписанному расстоянию от x до гиперплоскости, при g ( x )> 0
когда x находится на положительной стороне, и g ( x ) <0, когда x находится на
отрицательная сторона.

9.2.2 Случай нескольких категорий

Есть еще
чем один способ разработать многокатегорийные классификаторы, использующие линейный дискриминант
функции. Например, мы можем уменьшить проблему до c двухклассный
задачи, где задача i ^th решается линейным
дискриминантная функция, разделяющая точки, присвоенные w _i ,
из не присвоенных w ₁ .Более экстравагантный
подход заключается в использовании c ( c- 1) / 2 линейных
дискриминанты, по одному на каждую пару классов. Как показано на Рисунке 9.3 , , оба из них
подходы могут привести к регионам, в которых классификация не определена. Мы
должен избежать этой проблемы, определив c линейный дискриминант
функции

(9.7)

и присвоив x
на w _i если для всех j i; в случае ничьей классификация
осталось неопределенным. Получившийся классификатор называется линейной машиной . Линейный станок делит пространство элементов на c решение
области (рисунок 9.4), причем g _j ( x ) является наибольшим дискриминантом
если x находится в регионе R _i . Если R _i и R _j являются
смежны, граница между ними представляет собой участок гиперплоскости H _ij
в соответствии с

или

Сразу следует, что нормально для H _ij и
расстояние со знаком от x до H _ij дается как

Таким образом, с
линейная машина это не сами весовые векторы, а их различия
, что важно.Пока есть c ( c -1) / 2 пары
областей, они не обязательно должны быть смежными, и общее количество гиперплоскостей
сегментов, появляющихся на поверхности принятия решений, часто меньше, чем c ( c -1) / 2,
как показано на Рисунке 9.4 .

Рисунок 9.3: Линейные границы решения для задачи четырех классов с неопределенным
регионы.

Рисунок 9.4: Границы принятия решения, определенные линейной машиной.

9.3 Обобщенные линейные дискриминантные функции

Линейный
дискриминантная функция g ( x ) может быть записана как

(9,8)

, где
Коэффициенты w _i являются компонентами весового вектора w .Добавляя дополнительные условия, включающие продукты пар компонентов размером x ,
получаем квадратичную дискриминантную функцию

(9,9)

Потому что x _i x _j = x _j x _i
можно предположить, что w _ij = w _ji без потерь в
общность.Уравнение 9.9 оценивается в 2D пространстве функций как

(9.10)

, где уравнения 9.9 и 9.10 эквивалентны. Таким образом
квадратичная дискриминантная функция имеет дополнительные d ( d + l) / 2
коэффициенты в его распоряжении, с помощью которых можно производить более сложное разделение
поверхности. Разделительная поверхность, определяемая соотношением г ( x ) = 0, является
второй степени или гиперквадрическая поверхность . Если симметричная матрица W = [ w _ij ],
где элементы w _ij — веса последнего члена в
экв.9.9, неособен, линейные члены в g ( x ) могут быть
устраняется переводом осей. Основной характер разделения
поверхность может быть описана в терминах масштабированной матрицы

, где и W = [ w _ij ].

Типы
Квадратичные поверхности:

Виды
квадратичные разделяющие поверхности, возникающие в многомерном гауссовском
случае заключаются в следующем.

1. Если — это
положительное кратное единичной матрицы, разделяющая поверхность представляет собой гиперсферу
такой, что: ,
где k 0. Также обратите внимание, что гиперсфера определяется как

2. Если — это
положительно определенная, разделяющая поверхность представляет собой гиперэллипсоид , чьи
оси находятся в направлениях собственных векторов .

3. Если ни один из вышеперечисленных случаев не выполняется, то есть некоторые собственные значения
из сот
положительные и другие отрицательные, поверхность — одна из разновидностей типов
гипергиперболоидов .

Продолжая добавлять термины, такие как w _ijk x _i x _j x _k , , мы можем получить класс
полиномиальных дискриминантных функций. Их можно рассматривать как усеченные
расширения ряда произвольных g ( x ), а это в свою очередь
предложить обобщенную линейную дискриминантную функцию

(9.11)

или

(9.12)

, где a
теперь -мерный
вектор веса и где функции y _i ( x )
могут быть произвольными функциями x . Такие функции могут быть вычислены
подсистема обнаружения признаков.Разумно выбирая эти функции и
позволяя быть
достаточно большой, можно аппроксимировать любую желаемую дискриминантную функцию выражением
такое расширение. Результирующая дискриминантная функция не является линейной относительно x, , но
это — это линейное в y . Функции y _i ( x )
просто сопоставьте точки в d -мерном x -пространстве с точками -мерного y -пространства.Однородный дискриминант разделяет точки в этой преобразованной
пространство гиперплоскостью, проходящей через начало координат. Таким образом, отображение от x
до y сводит задачу к поиску однородной линейной
дискриминантная функция.

Некоторые преимущества и недостатки этого подхода могут быть
поясняется рассмотрением простого примера. Пусть квадратичный дискриминант
функция быть

г ( x ) = a ₁ + a ₂ x + a ₃ x ²

(9.13)

, так что
трехмерный вектор y задается

(9.14)

Отображение
от x до y показано на рисунке 9.5 . Данные остаются
по своей сути одномерный, потому что изменение x приводит к трассировке y
кривую в трех измерениях

Рисунок 9.5: Отображение y = (1 x x ² ) ^T занимает линию
и превращает его в параболу.

Отображение
от x до y показано на рисунке 9.5 . Данные остаются
по своей сути одномерный, потому что изменение x приводит к трассировке y
кривую в трех измерениях.

Плоскость , определенная как = 0, делит пространство y
на две области принятия решений и .На рисунке 5.6 показан
разделяющая плоскость, соответствующая a = (-1, 1, 2) ^T ,
области решения и , и их
соответствующие области решения и в исходном пространстве x . В
квадратичная дискриминантная функция g ( x ) = — 1+ x +2 x ² положительна, если x < -1 или если x > 0.5. Даже с относительно простыми функциями y _i ( x ),
Поверхности принятия решений , индуцированные в пространстве x , могут быть довольно сложными.

Хотя может быть трудно реализовать потенциальные преимущества
обобщенную линейную дискриминантную функцию, мы можем, по крайней мере, использовать
удобство записи g (x) в однородной форме aty. в
частный случай линейной дискриминантной функции имеем

(9.15)

, где мы устанавливаем x ₀ = 1. Таким образом, мы можем написать

(9.16)

и y — это
иногда называется дополненной
вектор признаков. Аналогичным образом, вектор расширенных весов может быть записан как:

(9.17)

Это отображение
из d-мерного x-пространства в ( d +1) -мерное y -пространство
математически тривиально, но, тем не менее, довольно удобно. Используя это отображение
мы уменьшаем задачу нахождения вектора весов w и порога
вес Вт ₀ к проблеме поиска
один весовой вектор a .

Рисунок
9.6. Отображение y = (1 x x ² ) ^T
берет линию и преобразует ее в параболу.

9.4 Случай двух категорий, линейно разделимых

Предположим сейчас
что у нас есть набор из n образцов y ₁ ,, y _n , некоторые с маркировкой w ₁ и некоторые с маркировкой w ₂ . Мы хотим использовать эти
образцов для определения весов a в линейной дискриминантной функции g ( x ) = a ^T y .Если существует решение, для которого вероятность ошибки равна
очень низкий, тогда мы будем искать вектор весов, который классифицирует все
образцы правильно. Если такой весовой вектор существует, то говорят, что образцы
быть линейно отделимым.

Образец y _i классифицирован правильно, если a ^T y _i > 0 и y _i помечено _{75 w 900 1} или если a ^T y _i <0 и y _i помечено как w ₂ .Это предполагает
нормализация, упрощающая рассмотрение случая двух категорий, а именно:
замена всех образцов с маркировкой w ₂ на их негативы.
С нормализацией мы можем забыть о метках и искать вектор веса a
так что a ^T y _i > 0 для всех образцов. Такой весовой вектор называется
разделяющий вектор или, в более общем случае, вектор решения .

Вес
вектор a можно рассматривать как задающий точку в весовом пространстве . Каждый
образец y _i мест a
ограничение на возможное расположение вектора решения. Уравнение a ^T y _i = 0
определяет гиперплоскость через начало координат весового пространства, имеющую y _i как
нормальный вектор. Вектор решения должен быть на положительной стороне каждого
гиперплоскость.Таким образом, вектор решения должен лежать на пересечении n полупространств;
действительно, любой вектор в этой области является вектором решения. Соответствующий регион
называется областью решения , , и его не следует путать с
область решений в пространстве признаков, соответствующая любой конкретной категории. А
двумерный пример, иллюстрирующий область решения для ненормированного случая
показан на рисунке 9.7, а для нормализованного случая — на рисунке 9.8.

Из этого обсуждения должно быть ясно, что вектор решения
не уникальный.Есть несколько способов предъявить дополнительные требования к
ограничить вектор решения. Одна из возможностей — найти единичный вес
вектор, который максимизирует минимальное расстояние от образцов до разделяющих
самолет. Другая возможность — найти вектор веса минимальной длины
удовлетворение a ^T y _i b для всех i, , где b — положительная константа, называемая маржей . Как показано на Рисунке 9.9 , область решения, полученная в результате
пересечения полупространств, для которых a ^T y _i b > 0 лежит в пределах области предыдущего решения, будучи изолированной от
старые границы на расстоянии b / .

Мотивация этих попыток найти вектор решения
ближе к середине области решения естественное убеждение, что
полученное решение с большей вероятностью правильно классифицирует новые тестовые образцы.В
в большинстве случаев мы будем удовлетворены любым решением строго в рамках
область решения. Наша главная задача будет заключаться в том, чтобы любая итеративная процедура
не сходится к предельной точке на границе. Эта проблема может
всегда следует избегать, вводя запас, то есть требуя, чтобы a ^T y _i b > 0 для всех i.

Рисунок 9.7: Четыре обучающих образца, синий цвет для w ₁ ,
красный для w ₂ и области решения в пространстве признаков. Сырье
данные показаны. Векторы решений приводят к плоскости, разделяющей
выкройки из двух категорий.

Рисунок 9.8: Четыре обучающие выборки из рисунка 9.7 и
область решения в пространстве признаков. Красные точки нормализованы, то есть
изменен знак.Теперь вектор решения приводит к плоскости, в которой размещаются все
нормализованные точки на одной стороне.

Рисунок 9.9: Влияние запаса на область решения.

Подход мы
потребуется найти решение набора линейных неравенств a ^T y _i > 0 будет определять
функция критерия J ( a ), которая минимизируется, если a является вектором решения.Этот
сводит нашу проблему к задаче минимизации скалярной функции — проблеме, которая может
часто решается с помощью процедуры градиентного спуска (рисунок 9.10).

Рисунок 9.10: Градиент
процедуры спуска.

Основной градиент
спуск очень простой. Начнем с произвольно выбранного вектора весов a (1)
и вычислить вектор градиента J ( a (1)). Следующее значение a (2) получается перемещением некоторого
расстояние от до (1) в направлении наискорейшего спуска, т.е.е., по
отрицательный градиент. Как правило, a ( k +1) получается из a ( k )
по уравнению

(9.18)

, где h — положительный масштабный коэффициент или обучение
rate , который устанавливает размер шага. Надеемся, что такая последовательность весов
векторы будут сходиться к решению, минимизирующему J ( a ) . В
алгоритмическая форма имеем:

Алгоритм (базовый градиентный спуск)

начать инициализацию a, порог q , h (.), k 0

до

к к + 1

до

возврат

конец

Многие проблемы, связанные с процедурами градиентного спуска,
хорошо известно.Перед нами встанет вопрос о выборе скорости обучения ч ( к ). Если h ( k ) слишком мало, схождение ненужно
медленно, тогда как если h ( k ) слишком велико, процесс коррекции
будет промахиваться и даже расходиться.

Теперь рассмотрим принципиальный метод для установки скорости обучения .
Предположим, что целевую функцию можно хорошо аппроксимировать
расширение второго порядка около значения a ( k ) как

(9.19)

где H
— матрица Гессе вторых частных производных ² J / a _{i j} , оцениваемая как a ( k ).
Затем, подставляя на ( k +1) из уравнения 9.18 в уравнение 9.19, мы находим

(9.20)

Отсюда это
следует, что J ( a ( k +1)) может быть минимизировано выбором

(9.21)

где H
зависит от a, и, таким образом, косвенно от k . Тогда это оптимальный
выбор h ( k ) с учетом упомянутых допущений. Обратите внимание, что если
целевая функция J ( a ) квадратична по интересующей области,
тогда H постоянный и h постоянный
Независимо от к .

An
альтернативный подход, полученный путем игнорирования ур.9.18 и выбрав a ( k +1)
чтобы минимизировать расширение второго порядка, алгоритм Ньютона:

Алгоритм (спуск Ньютона)

начать инициализацию, порог q

до

а а —

до

возврат

конец

Ньютона
алгоритм работает для квадратичных функций ошибок, но не для неквадратичных
функции ошибок многослойных нейронных сетей.Алгоритм Ньютона обычно
дает большее улучшение на шаг, чем простой алгоритм градиентного спуска,
даже при оптимальном значении х ( х ). Однако алгоритм Ньютона
неприменимо, если матрица Гессе H сингулярна. Часто требуется меньше
время для установки ч ( к ) на постоянную ч , которая меньше, чем
необходимо и внести еще несколько исправлений, чем необходимо для вычисления оптимального h ( k )
на каждом шагу.

9.5 Критерийная функция персептрона

Рисунок 9.11: Минимизация целевой функции персептрона.

Партия
Алгоритм персептрона: Критерийная функция персептрона (рисунок 9.11) задается как

(9.22)

где y (a) —
набор образцов неверно классифицировал на и .
(Если образцы не классифицированы неправильно, y пусто, и мы определяем J _p равным нулю.) Потому что 0, если y равно нулю.
неправильно классифицирован. J _p ( a ) никогда
отрицательное значение, равное нулю, только если a является вектором решения или если a находится на
Граница решения. Геометрически J _p ( a ) пропорционально сумме расстояний от ошибочно классифицированного
выборки до границы решения.

Базовый
Алгоритм градиентного спуска использует градиент (первая производная). Из уравнения 9.22
j ^th компонент градиента

(9.23)

Использование ур. 9,23
в алгоритме градиентного спуска правило обновления становится

(9.24)

где y _k — набор образцов
ошибочно классифицируется на a ( k ). Таким образом, Персептрон
алгоритм следующий:

Алгоритм (пакетный персептрон)

начать инициализацию a, h (.), Критерий q , k 0

до

к к + 1

до

возврат

конец

Таким образом, пакетный алгоритм Perceptron (рисунок 9.12) для поиска
вектор решения можно сформулировать очень просто: получается следующий вектор весов
добавив несколько единиц суммы ошибочно классифицированных образцов к настоящему
вектор веса. Мы используем термин «партия» для обозначения того факта, что (в общем)
при вычислении каждого обновления веса используется большая группа выборок.

Рисунок 9.12: Алгоритмы, использующие функции критериев персептрона.

Фиксированное приращение
Алгоритм однократного перцептрона: Правило фиксированного приращения для
создание последовательности весовых векторов можно записать как

(9.25)

, где последовательность образцов с надстрочными индексами
по y ¹ , y ² . y ^k где
каждый y ^k является одним из образцов n y ₁ , y ₂ . y _n ,
и где каждый y ^k классифицирован неправильно, а a ^T ( k ) y ^k 0 для всех k. Если обозначить общее количество паттернов n , алгоритм будет следующим:

Алгоритм
(Однократный персептрон с фиксированным приращением)

начать инициализацию a, k 0

до

к к + 1 (мод. N)

если y ^k is
ошибочно классифицирован a , затем a + y ^k

до все модели должным образом классифицированы

возврат

конец

Правило персептрона с фиксированным приращением является самым простым из многих
алгоритмы решения систем линейных неравенств.Геометрически это
интерпретация в пространстве весов особенно ясна. Поскольку a ( k ) неверно классифицирует y ^k , a ( k ) не на положительном
сторона y ^k гиперплоскость a ^T y ^k = 0. Добавление y ^k к a ( k ) перемещает вектор весов
прямо к этой гиперплоскости и, возможно, через нее.Является ли гиперплоскость
пересекается или нет, новый внутренний продукт, a ^T ( k +1) y ^k
больше старого внутреннего продукта a ^T ( k ) y ^k на сумму ║
y ^k ║ ² , и, следовательно, коррекция перемещает вектор веса в хорошее
направление .

Переменное приращение
Персептрон с алгоритмом маржи: Фиксированный
Правило приращения может быть обобщено для предоставления множества связанных алгоритмов.Кратко рассмотрим два варианта, представляющих особый интерес. Первое
вариант вводит переменный шаг h ( k ) и запас b, и требует корректировки всякий раз, когда a ^T ( k ) y ^k не в состоянии
превышают маржу. Обновление выдает

(9.26)

, где сейчас a ^T ( k ) y ^k b для всех k. Таким образом, для шаблонов n
алгоритм:

Алгоритм (персептрон переменного приращения с запасом)

начало инициализации a, порог q , маржа b, h (.) , k 0

до

к к + 1 (мод. N)

если

a ^T y ^k b затем a a + h ( k ) y ^k

до ^T y ^k > b для всех k

возврат

конец

Партия
Алгоритм персептрона с переменным приращением: Другой
интересующим вариантом является наш оригинальный алгоритм градиентного спуска для J _p

(9.27)

где y _k — набор обучающих выборок
ошибочно классифицируется на a ( k ). Нетрудно заметить, что это
алгоритм также даст решение, как только узнает, что если является вектором решения
для y ₁ , y ₂ . y _n , то правильно классифицирует
вектор коррекции. Алгоритм следующий:

Алгоритм (Персептрон пакетной переменной приращения)

begin initialize a, h (.) , к 0

до

к к + 1 (мод. N)

y _k = {}

j = 0

до j j + 1

Если y _j неправильно классифицировано , то Добавить
y _j до y _k

до j = n

+

до y _k = {}

возврат

конец

Преимущество
пакетный градиентный спуск заключается в том, что траектория вектора веса сглаживается,
по сравнению с соответствующими алгоритмами с одной выборкой (например,грамм.,
алгоритм переменного приращения), , потому что при каждом обновлении полный набор
используются неверно классифицированные закономерности — местные статистические вариации в
неправильно классифицированные модели имеют тенденцию отменяться, в то время как крупномасштабный тренд — нет.
Таким образом, если образцы линейно разделимы, все возможные поправки
векторов образуют линейно разделимое множество, последовательность производимых весовых векторов
алгоритмом градиентного спуска для J _p всегда будет
сходятся к вектору решения.

Алгоритм Winnow: Близкий потомок
Алгоритм перцептрона — это алгоритм Винноу. Ключевое отличие в том, что пока
вектор веса, возвращаемый алгоритмом персептрона, имеет компоненты a _i
( i = 0 ,, d ) , в Winnow они масштабируются в соответствии с 2sinh [ a _i ].
В одной версии сбалансированный алгоритм Winnow , есть отдельные
положительные и отрицательные весовые векторы, a ⁺ и a ^—,
каждая связана с одной из двух категорий, которые необходимо изучить.Исправления на
положительный вес делается тогда и только тогда, когда тренировочный образец в w ₁ неправильно классифицирован; наоборот, поправки на отрицательный вес
сделано тогда и только тогда, когда тренировочный образец в w ₂
неправильно классифицирован.

Алгоритм (сбалансированная Winnow)

начать инициализацию ⁺ , ^— , h (.) , k 0, a > 1

если
Sgn [ a ^{+ T} y _k — a ^{+ T} y _k ] z _k (неправильная классификация шаблона)

то если
z _k = +1 , затем

для всех
я

если
z _к = -1
, затем для
все i

возврат ⁺ , ^—

конец

У такой версии Winnow есть два основных преимущества.
алгоритм.Во-первых, во время тренировки каждый из двух составляющих веса
векторы движутся в однородном направлении, и это означает, что для разделяемых данных
Разрыв, определяемый этими двумя векторами, никогда не может увеличиваться в размерах. Второй
Преимущество состоит в том, что схождение обычно происходит быстрее, чем в перцептроне, потому что
для правильной настройки скорости обучения каждая составляющая веса не выходит за пределы
его окончательное значение. Это преимущество особенно ярко проявляется, когда большое количество
присутствуют нерелевантные или избыточные функции.

9.6 Процедуры минимальной квадратичной ошибки

Критерий
функции сосредотачивают свое внимание на неправильно классифицированных выборках. Критерий
функции, основанные на минимальной квадратичной ошибке, включают всех
образцы. Если ранее мы искали весовой вектор , а делали все
внутренние продукты a ^T y _i положительные, теперь мы попробуем сделать a ^T y _i = b _i , где b _i — некоторые произвольно заданные положительные константы.Таким образом, мы заменили
задача нахождения решения системы линейных неравенств с
более строгая, но более понятная проблема поиска решения множества
линейных уравнений.

9.6.1 Минимальная квадратичная ошибка и
Псевдообратная

Лечение
одновременных линейных уравнений упрощается введением матричных обозначений.
Пусть Y будет матрицей n на ( = d + 1), чья строка i ^th является вектором , и пусть b
вектор-столбец b =
( b ₁

b _n ) ^T .Тогда наша задача — найти вектор весов a , удовлетворяющий

или же
Я = б

(9.28)

Если Y
были невырожденными, мы могли бы написать a = Y ^-1 b и
сразу получить формальное решение. Однако Y прямоугольный, обычно
с большим количеством строк, чем столбцов. Когда уравнений больше, чем неизвестных, a
чрезмерно определен, и обычно не существует точного решения. Однако мы можем
искать вектор весов , который минимизирует некоторую функцию ошибки между
Я и б .Если определить вектор ошибки e на

e = Ya — b

(9.29)

затем один
подход состоит в том, чтобы попытаться минимизировать квадрат длины вектора ошибки. Это
эквивалентно минимизации критериальной функции суммы квадратов ошибок

(9.30)

Задача минимизации суммы квадратов ошибок может быть решена следующим образом:
процедура поиска градиента. Простое решение в замкнутой форме также можно найти с помощью
образуя градиент

(9.31)

и установка его
равно нулю. Это дает необходимое условие

(9.32)

и таким образом
мы преобразовали задачу решения Ya = b в задачу решения . Это
знаменитое уравнение имеет большое преимущество, заключающееся в том, что матрица на является квадратной и
часто неособые.Если это неособое число, мы можем однозначно решить для a как

(9,33)

, где матрица на n
называется псевдообратной от Y . Обратите внимание, что если Y квадратный
и невырожденный, псевдообратное совпадает с правильным обратным.Примечание
также, что Y Y = I , но YY I в целом.
Однако всегда существует решение с минимальным квадратом ошибки (MSE).

Решение MSE зависит от вектора запаса b и различных
варианты b придают решению различные свойства. Если b — это
фиксируется произвольно, нет оснований полагать, что решение MSE дает
разделяющий вектор в линейно отделимом случае.Однако разумно
надеюсь, что, минимизируя критериальную функцию квадрата ошибки, мы сможем получить
полезная дискриминантная функция как в сепарабельной, так и в несепарабельной
случаи.

Другой
свойство решения MSE, которое рекомендует его использовать, состоит в том, что если b = 1 _n ,
он приближается к приближению минимальной среднеквадратичной ошибки байесовского
дискриминантная функция

(9.34)

Этот результат дает глубокое понимание процедуры MSE. Приближая
g ₀ ( x ), дискриминантная функция a ^T y дает прямую информацию об апостериорных вероятностях

и

(9,35)

К сожалению, критерий среднеквадратичной ошибки делает упор на
точки, где p ( x ) больше, чем на точках
около решающей поверхности г ₀ ( x ) = 0.Таким образом
дискриминантная функция, которая наилучшим образом аппроксимирует байесовский дискриминант, не
обязательно минимизируйте вероятность ошибки. Несмотря на это свойство, МСЭ
раствор обладает интересными свойствами и получил значительное внимание в
литература.

9.6.2 Процедура Уидроу-Хоффа или LMS

можно свернуть
процедура градиентного спуска. Такой подход имеет два преимущества перед простым
вычисление псевдообратной: (1) Это позволяет избежать проблем, которые возникают, когда Y ^T Y является сингулярным,
и (2) избавляет от необходимости работать с большими матрицами.В дополнение
вычисление фактически представляет собой схему обратной связи, которая автоматически
справляется с некоторыми вычислительными проблемами из-за округления. Поскольку , правило обновления —

(9,36)

В то время как на матрица Y ^T Y обычно меньше, чем -by-n матрица Y , хранилище
требования можно снизить еще больше, рассматривая образцы последовательно
и используя правило Widrow-Hoff или LMS (наименьший средний квадрат):

(9.37)

или в алгоритме
форма:

Алгоритм (LMS)

начало инициализации a, порог q , h (.) , k 0

до к к + 1 (мод. N)

a a + h ( k ) ( b _k —
a ^T y ^k ) y ^k

до

возврат

конец

Решение
не нужно указывать разделяющий вектор, даже если он существует, как показано на рисунке 9.14.

Рисунок 9.13: Две условные плотности классов и апостериорные. Минимизация MSE
также минимизирует среднеквадратичную ошибку между ^T y и дискриминантной функцией g (x), измеренной по распределению данных.

Рисунок 9.14: Решение LMS минимизирует сумму квадратов расстояний между
тренировочные точки на гиперплоскость и не должны сходиться к разделяющей плоскости.

9.7 Реализация MATLAB

Алгоритмы, предложенные в предыдущем
разделы реализованы с использованием MATLAB. Входные векторы, которые используются для
обучение дано ниже.

или

+

_{Точечные данные, используемые для
моделирование приведено ниже.}

или +

или

Результаты правила обучения персептрона
дан для сравнения.
На рисунке 9.15 показана сеть, используемая для
алгоритм обучения перцептрона, данные, используемые для обучения (синий цвет
график), линию классификации и моделирование (график красного цвета).

Алгоритм: Правило обучения персептрона

(а)

(б)

Рисунок 9.15: Классификация с обучением персептрону
алгоритм правила.а. Изучение и моделирование данного набора данных, b. Модель Simulink
сети, использованной для классификации.

Шаги, необходимые для изучения предоставленных данных: 11

Алгоритм: Пакетный персептрон

(а)

(б)

(в)

Рисунок 9.16: Пакетный алгоритм персептрона. а. Классификация после 3000 эпох, б. классификация
после 30000 эпох и ок. Используемая модель сети Simulink.

Шаги, необходимые для изучения предоставленных данных: При реальном обучении нейронной сети, часто
100000 шагов, или эпох , алгоритма градиентного спуска составляют
требуется, чтобы приблизиться к хорошему локальному минимуму. (Эпоха определяется как одна
полное представление данных обучения.) Расширенные алгоритмы обучения могут
сократить это большое количество требуемых эпох на несколько порядков.
Более того, в некоторых из этих алгоритмов скорость обучения не должна быть
регулируется вручную; скорее, все необходимые параметры обучения вычисляются
автоматически в зависимости от локальных свойств ошибки второго порядка
поверхность.

Скрипт: ccBatchPerceptron.m

Алгоритм: Единичная выборка с фиксированным приращением
Персептрон

(а)

(б)

(в)

Рисунок 9.17: Алгоритм одиночной выборки с фиксированным приращением. а. Классификация
через 100 эпох, б. классификация после 1000 эпох, и c. Модель Simulink
используемой сети.

Шаги, необходимые для изучения предоставленных данных:

Цель не может быть достигнута после 1000
эпох

Скрипт: ccFixedIncrSingleSamplePercp.m

Алгоритм: Персептрон переменного приращения
с маржой

(а)

(б)

Рисунок 9.18: Персептрон переменного приращения с алгоритмом маржи.
а.
Классификация по 5 эпохам, б. Используемая модель сети Simulink.

Шаги, необходимые для изучения предоставленных данных:

5

ССЫЛКИ

[1] Дуда, Р.О., Харт, П.Е., и Аист
Д.Г., (2001). Классификация образцов . (2 ^{-е изд.} ). Нью-Йорк:
Публикация Wiley-Interscience.

[2] Schalkoff R.J. (1997). Искусственные нейронные сети . The McGraw-Hill Press, США.

(PDF) Полу-контролируемый локальный дискриминантный анализ Фишера для снижения размерности.

344 M. Sugiyama et al.

в сценариях полууправляемого обучения и, следовательно, перекрестная проверка не является надежной

[3]. К счастью, наши эксперименты показали, что SELF не так чувствителен к параметру «обмен на

» β в небольших выборках, но все еще есть возможности для дальнейшего улучшения

.Вторая проблема заключается в том, что меченые образцы и немаркированные образцы могут иметь различное (входное) распределение. Такая ситуация упоминается как ковариантный сдвиг

в статистике, а обычная перекрестная проверка, как известно, сильно смещена; перекрестная проверка, взвешенная по важности, несмещена при ковариате

shift [8]. В будущей работе мы исследуем, как методы ковариативной адаптации

сдвига могут быть использованы в контексте полууправляемого уменьшения размерности

.

Наконец, важно сравнить производительность предложенного метода

с другими родственными методами, например, [9,10].

Благодарности. Авторы хотели бы поблагодарить участников T-PRIMAL

(Tokyo PRobabilistic Inference и MAchine Learning) за их плодотворные комментарии. MS благодарит за финансовую поддержку MEXT (грант для молодых

ученых 17700142 и грант на научные исследования (B) 18300057) и

Научно-технологический фонд Татейши.

Ссылки

1. Фукунага, К .: Введение в статистическое распознавание образов, 2-е изд. Academic

Press, Inc., Бостон (1990)

2. Сугияма, М .: Уменьшение размерности мультимодальных помеченных данных с помощью дискриминантного анализа местного рыболова

. Journal of Machine Learning Research 8, 1027–1061 (2007)

3. Шапель, О., Шёлкопф, Б., Зиен, А. (ред.): Полу-контролируемое обучение. MIT Press,

Кембридж (2006)

4. He, X., Нийоги, П .: Проекции, сохраняющие местность. В: NIPS 16, MIT Press, Cam-

bridge (2004)

5. Зельник-Манор, Л., Перона, П .: Самонастраивающаяся спектральная кластеризация. In: NIPS 17, pp. 1601–

1608. MIT Press, Cambridge (2005)

6. Ряч, Г., Онода, Т., Мюллер, К.Р .: Мягкие поля для adaboost. Машинное обучение —

,

, 42 (3), 287–320 (2001)

7. Кашима, Х., Коянаги, Т .: Ядра для полуструктурированных данных. В: Proceedings of

ICML 2002, pp.291–298. Морган Кауфманн, Сан-Франциско (2002)

8. Сугияма, М., Крауледат, М., Мюллер, К.Р .: Адаптация ковариативного сдвига с помощью перекрестной проверки, взвешенной по значению

. Journal of Machine Learning Research 8, 985–1005

(2007)

9. Чжан, Д., Чжоу, З.Х., Чен, С.: Полуконтролируемое уменьшение размерности. В:

Proceedings of SDM 2007, Миннеаполис, Миннесота, США, стр. 629–634 (2008)

10. Цай, Д., Хе, Х., Хан, Дж .: Дискриминантный анализ с полу-контролем.В: Proceedings of

ICCV 2007, Рио-де-Жанейро, Бразилия (2008)

Половинный дискриминант — arXiv Vanity

Люсьен Спиро и Томас
Дж. Такер

Люсьен Шпиро

к.э.н. Программа по математике

Центр выпускников CUNY

365 Пятая авеню

Нью-Йорк, Нью-Йорк 10016-4309

Томас Такер

Математический факультет

Hylan Building

Университет Рочестера

Рочестер, Нью-Йорк 14627

Аннотация.

Мы даем геометрическое доказательство того, что можно вычислить конкретную
обобщенный интеграл Малера с использованием равнораспределения предпериодических
точки динамической системы на сфере.Динамическая система
связано с отображением умножения на 2 на эллиптической кривой над
числовое поле K с уравнением Вейерштрасса y2 = P (x) (a
Динамическая система Латте). В каждой конечной точке v докажем
формула локальной равнораспределения

где Hn — замыкание Зарисского в
P1OK изображения в P1K
n-кручение минус 2-кручение, а ∆ — дискриминант
многочлен P (x). Одним из следствий этого результата является
формула

Ключевые слова и фразы:

Равное распределение, мера Малера, эллиптические кривые.

Математика 2000 Классификация предметов:

Начальная 14G40, Средняя 11G50, 11G05

Первого автора поддержали частично
от NSF Grant 0071921. Второй автор был частично поддержан
Грант NSF 0101636

\ xyoption

В [21] Шпиро, Ульмо и Чжан доказали, что для любого абелева
многообразие A над Q, любая непрерывная функция g на A (C) и
любая неповторяющаяся последовательность точки βn∈A (¯¯¯¯Q) с
Высота Нерона-Тейта стремится к нулю, получается

где dμ —
нормализованная мера Хаара на A, а Gal (βn) — это
Группа Галуа замыкания Галуа Q (βn) в C.Этот результат фактически говорит о том, что орбиты Галуа точек с
малая высота Нерона-Тейта равнораспределена в A (C). Ульмо
[22] и Чжан [23] позже использовались
этот факт дает доказательства гипотезы Богомолова для абелевых
разновидности.

Когда абелево многообразие A является эллиптической кривой,
умножение на 2 приводит к отображению на проективной прямой,
называется картой Латте. Таким образом, в данном случае работа [21]
можно рассматривать как результат равнораспределения для рациональной карты на
проективная линия.В последнее время различные авторы доказали, что
общие результаты о равнораспределении для произвольных рациональных отображений степени
больше 1 на проективной прямой; см. Autissier [2] ,
Baker / Rumely [5] , Bilu [6] , Chambert-Loir [7] и
Например, Фавр / Ривера-Летелье [12, 11] . Многие из этих
результаты верны как для мер в конечных точках, так и для архимедовых
места.

В [15] показано, что для любой непостоянной карты
φ: P1⟶P1 степени больше 1 над числом
поле K, каноническая высота hφ (α)
алгебраическую точку α с минимальным многочленом F можно
вычисляется интегрированием log | F | по инвариантным мерам
для отображения φ.Это дает обобщение понятия
меры Малера многочлена (см. [14] ). Эверест,
Уорд и Флатуин [10, 9] имели
ранее расширил понятие мер Малера на эллиптические
кривые.

Однако дополнительные трудности возникают, когда пытаются доказать
результаты эквираспределения для функций log | F | v. Действительно,
точный аналог основного результата [21] неверен, когда
непрерывная функция g заменяется функцией вида
журнал | F | (см. [1] или [4] ).С другой
стороны, можно доказать результат эквираспределения для
функции вида log | F | v при условии, что
все точки периода n, когда n стремится к бесконечности, а не более
Орбиты Галуа семейств точек малой высоты (см.
[19] ). В случае эллиптических кривых, Бейкера, Ih и
Рамели [4] смогли уточнить это, чтобы доказать, что для любого
алгебраическое число α и любое отображение Латте φ имеет

для любой неповторяющейся последовательности алгебраических точек βn такой, что
что hφ (βn) = 0 для всех n.Оба [4] и
[19] используют результаты диофантова приближения,
в частности теорема Рота ( [16] ) и работа А. Бейкера по
линейные формы в логарифмах ( [3] ).

Если применить результаты [4] и [15] к
точки периода 2 для отображения Латте, соответствующего
умножение на 2 на эллиптической кривой E с помощью Вейерштрасса
уравнение y2 = P (x), получаем формулу

где Δ — дискриминант F над K, а τσ
обозначает элемент, соответствующий эллиптической кривой Eσ в
фундаментальная область действия SL (2, Z) на
Верхнее полупространство Пуанкаре в C.Используя формулу продукта
и тот факт, что hφ (α) = 0 для периодических точек
α, это равносильно тому, чтобы показать, что на каждом неархимедовом
место v из K, имеем

где N (v) — мощность поля вычетов в точке v, а Hn
— замыкание Зариского в P1OK образа
в P1K n-кручения минус 2-кручения

Мы даем здесь локальное доказательство с использованием раздутий замкнутых точек и
теория пересечений на P1V.Это доказательство использует
разрешение особенностей (фактически разделение ветвей)
одномерные схемы взрыва. Он также использует информацию
о специальном слое эллиптической кривой с полустабильным
редукция (см. [17] ). Мы не используем диофантин
приближение. Приведенное нами доказательство справедливо для равнохарактерных
V (локальный геометрический случай), а также для неравной характеристики
(местный арифметический случай). Отметим, что в случае положительного
характеристика не следует из результатов [4] и
[19] , поскольку соответствующие аппроксимационные теоремы не
действительно в характеристике p.Отношения между дискриминантом
эллиптической кривой и ее n-кручение изучались в
[13] и [20] . Основная теорема
эта статья состоит в следующем.

Теорема.

Пусть V — кольцо дискретного нормирования с полем дробей K. Пусть
y2 = P (x) — минимальное уравнение Вейерштрасса с коэффициентами
в V эллиптической кривой E. Предположим, что E имеет полустабильную
редукция над V. Пусть D — схема нулей P (x) в
P1V, и пусть Hn — замыкание Зариского в
P1V изображения в P1K ядра
умножение на n в EK минус 2-кручение.Тогда

где v — нормализованная оценка
V, △ — дискриминант E над V, а (−.−) v
является геометрическим пересечением пары на поверхности
P1V.

Для простоты будем считать, что корни P (x) рациональны.
над K. Также для простоты мы предполагаем, что невязка
характеристика V не равна 2. Эти два условия несущественны.
для теоремы, но они упрощают доказательство.Оценка
дискриминант тогда четный; пишем 2k = v (△). Один знает
(см., например, [17] или [8] )
что замкнутый слой минимальной модели E для E над V является
цикл из 2k проективных прямых самопересечения (−2); это
полученное раздутием плоской модели эллиптической кривой k
раз. Напомним, что модель Néron в данном случае —

.

Стратегия доказательства состоит в том, чтобы вычислить пересечения в Néron
модель для E после подходящей базовой замены.Мультипликативный
структура специального волокна просто пересекается Gm с
группа компонентов. Нетрудно увидеть, как n-кручение
распределяется между компонентами, что позволяет
рассчитывать перекрестки без труда.

Мы будем использовать тот факт, что модель Нерона для E имеет 2k
компоненты в специальном волокне (см. [17, стр. 365] ).
Естественно, это покрытие 2: 1 модели для P1 с k + 1
составные части. Гиперэллиптическое отображение индуцирует отображение на компонентах, которые
отправляет обратный компонент и его обратный компонент одному компоненту; там
являются двумя компонентами, которые сами по себе противоположны (тождество и
компонента порядка 2), что в сумме дает (k − 1) / 2 + 2 = k + 1
компоненты на модели P1.

Начнем с модели самолета E для EK из
уравнение y2 = P (x).

Определение 1.

Обозначим через D0 дивизор
D. Определим дивизор Di рекурсивно (для i≤k) как
собственный прообраз Di − 1 для раздутия σi: Xi → Xi − 1 с центром в точке Pi − 1
кратность 2 на Di − 1.

Обратите внимание, что это горизонтальный делитель степени 3, пересекающий
специальный слой F0 расслоения P1V = X0 в 2 точках: одна P0
кратности 2 на D0, второй — кратности 1 на D0.Теперь определим дивизоры в наших моделях Xi, происходящие из Hn.

Определение 2.

Горизонтальный делитель C0
определяется как Hn для некоторого фиксированного нечетного n. Дивизор Ci равен
собственное преобразование Ci − 1 в Xi.

Степень C0 равна (n2−1) / 2, когда n нечетно и (n2 / 2) −3
когда n четно. Это следует из того, что гиперэллиптическая
map отправляет каждую точку и ее обратную точку в одну и ту же точку в P1.

Определение 3.

Определите ℘K: EK → P1K как проекцию
на «ось x» (т.е., ℘ — это Вейерштрасс ℘
функция). Мы, злоупотребляя языком, заметим, что ℘: Ei → Xi является расширением ℘K до модели Ei для EK.
свыше V.

Рисунок 2 иллюстрирует ситуацию.

Лемма.

Предположим, что n нечетно или остаточная характеристика не равна 2,
то после k последовательных раздутий точек Pi
кратности 2 на Di собственный преобразователь Dk этален и
собственные преобразования Dk и Ck не пересекаются.

Доказательство.

(по лемме.) Если ℘ ∗ (Ck) и
℘ ∗ (Dk) находятся в модели Нерона (т.е. если n и
(2k) имеют общий множитель m), то Hn и 2-кручение равны
отчетливый; следовательно, когда характеристика не равна 2, они не соответствуют
в модели Нерона. Если n простое с 2k и ℘ ∗ (Hk) простое
не внутри модели Нерона, то ℘ ∗ (Hk) ⋂℘ ∗ (Dk) = ∅, поскольку ℘ ∗ (Dk) находится в модели Нерона (см. рисунок
3).
∎

Теперь мы готовы доказать основную теорему.

Доказательство.

Сначала рассмотрим случай, когда n простое с 2k.Исключительный
дивизор σi будем обозначать Fi. Путем злоупотребления языком
правильное преобразование Fi будет по-прежнему называться Fi после
σi + 1,…, σk. Обозначим через Qi точку
пересечение Fi с Fi − 1 в Xi (см. рисунок 2).

Обозначим обычное отображение для дивизоров с ∗. Мы
обозначим составное отображение σi⋅σi − 1 ⋯ σ1 через ρi. После того, как я взорвусь, есть целые числа
mj, i такое, что

и

Пока i меньше (k − 1),

, поскольку кратность
Di в точке Pi по-прежнему равно 2. Поскольку σ ∗ i + 1Fi = Fi + Fi + 1, мы
имеем mj, i = mj, j для любого i≥j, поэтому имеем

для всех i≥j.
Таким образом, по индукции имеем mj, j = 2j для каждого j, что означает
что mj, i = 2j для всех i≥j.

Искомая кратность пересечения может быть вычислена как
следует

Остается вычислить каждый
(Ск.Fj). Мы добьемся этого, посмотрев на специальное волокно
различные модели ЭК над V. По формуле проекции для
℘ мы можем вычислить пересечения на минимальной модели E
EK или на k-м взрыве Xk P1. На самом деле мы
будет использовать формулу проекции для вычисления пересечений на
минимальная модель E ′ для E после замены базы SpecV [X] / (Xn − π) → SpecV, где π — униформизирующая
параметр V. Описание разрешения особенностей
изменения базы можно найти в [18, Exposé 1, Propositio
2.2] .

На минимальной модели E ′ специальное волокно имеет компоненты 2kn.
Обозначим через Z0 компоненту начала эллиптической кривой,
а остальные компоненты обозначим Z1,…, Z2kn − 1
таким образом, что Zi пересекает Zi + 1 при 0≤i≤ (2kn − 1), а Z2k − 1 пересекает Z0 (рисунок 4).

Дивизор n-точек кручения пересекает только компоненты Zi
для которых i кратно 2k; кратность каждого
пересечение n. Компоненты Zj, для которых j является
кратные n — единственные, которые не стягиваются морфизмом в
модель самолета E.Вклад в Qj в пересечении
число (Ck.Fj) для j ≠ 0, k будет

Запишите n = 2kq + r с 0≤r <2k. У нас

Таким образом, имеем

С
(Ск.Fk) = nn − rk получаем

с ошибкой не более 2∑j≤ (k − 1) j (2n) = 2k (k − 1) 22n. Следовательно, имеем

т.

Это завершает доказательство в случае, когда n и 2k равны
относительно простое. Для случая, когда n и 2k имеют НОД m
больше 1 формула (*) все еще действительна.N-кручение
распределяются пакетами по m в компонентах
специальное волокно (см. рисунок 5). Таким образом, оценка (**) для
(Ck.Fi) теперь имеет погрешность не более m.

Складывая, как и раньше, получаем

Устремляя n к ∞, мы снова видим, что

∎

Благодарности. Авторы выражают благодарность
М. Бейкер и Р.Румели за полезные обсуждения.

Список литературы

• [1]

  П. Аутисье, письмо Л. Шпиро, сентябрь 2005 г.

• [2]

  того же автора, Очки по арифметике поверхностей , J. Reine.
  Angew. Математика 531 (2001), 201–235.

• [3]

  А. Бейкер, Теория трансцендентных чисел , Cambridge University Press,
  Кембридж, 1975.

• [4]

  М. Бейкер, С. И. И, Р. Рамели, Свойство конечности кручения.
  пункты , 2005 г., препринт, 30 стр.

• [5]

  М. Бейкер и Р. Рамели, Равнораспределение малых точек, рациональное
  динамика и теория потенциала , Ann. Inst. Фурье (2005), чтобы появиться.
  Доступно в arxiv: math.NT / 0407426, 50 страниц.

• [6]

  Y. Bilu, Предельное распределение малых точек на алгебраических торах , Duke
  Математика. J. 89 (1997), 465–476.

• [7]

  A. Chambert-Loir, Mesures et équidistribution sur les espaces de
  Беркович , препринт. Доступно в arxiv: abs / math.NT / 0304023, 20
  страниц, 2004.

• [8]

  P. Deligne, Courbes elliptiques: formulaire (d’apres J.Tate) ,
  Заметки к лекциям Springer 476 (1972), 53–74.

• [9]

  Г. Эверест и Брид Ни Флатуин, Эллиптический Малер
  мера , Матем. Proc. Cambridge Philos. Soc. 120 (1996), 13–25.

• [10]

  Г. Эверест, Т. Уорд, Высоты многочленов и энтропия в
  Алгебраическая динамика , Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1999.

• [11]

  С.Favre and J. Rivera-Letelier, Équidistribution des points de
  petite hauteur , препринт. Доступно в arxiv: abs / math.NT / 0407471, 34
  страниц, 2004.

• [12]

  того же автора, Théorème d’équidistribution de Brolin en Dynamique
  p-adique , C. R. Math. Акад. Sci. Париж 339 (2004), нет. 4,
  271–276.

• [13]

  Sur les propriétés numériques du dualisant relatif d’une surface
  arithmétique, Grothendiek festshrift , Динамические системы,
  Вальпараисо 1986, Биркхасер, 1990.

• [14]

  К. Малер, Применение формулы Йенсена к многочленам ,
  Mathematica 7 (1960), 98–100.

• [15]

  Дж. Пиньейро, Л. Спиро и Т. Такер, Мера Малера для динамических
  системы на P1 и теория пересечений на сингулярной арифметике
  поверхность , Геометрические методы в алгебре и теории чисел (Ф. Богомолов и
  Ю. Чинкель, ред.), Progress in Mathematics 235, Birkhäuser, 2004,
  (Доступно на http://math.gc.cuny.edu/faculty/szpiro/504miami.pdf),
  С. 219–250.

• [16]

  К. Ф. Рот, Рациональные приближения к алгебраическим числам , Математика
  2 (1955), 1–20, исправление, там же. 2 (1955), 168.

• [17]

  Дж. Х. Сильверман, Продвинутые темы по арифметике эллиптических кривых ,
  Тексты для выпускников по математике, т. 151, Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1994.

• [18]

  Л. Шпиро, Seminaire sur les pinceaux de Courbes de genre au moins deux ,
  Звездочка 86 (1981), 1–142.

• [19]

  Л.Шпиро и Т. Дж. Такер, Равнораспределение и обобщенный Малер
  меры , препринт. Доступно в arxiv: math.NT / 0510404, 29 страниц,
  2005 г.

• [20]

  Л. Спиро и Э. Ульмо, Variations de la hauteur de Faltings dans une
  classe d’isogenie , Duke Math. J. 97 (1999), 81–97.

• [21]

  Л. Шпиро, Э. Ульмо и С. Чжан, Equirépartition des petits points ,
  Изобретать. Математика. 127 (1997), 337–347.

• [22]

  E. Ullmo, Positivité et discrétion des points algébriques des
  Courbes , Ann.математики. (2) 147 (1998), нет. 1, 167–179.

• [23]

  S. Zhang, Равнораспределение малых точек на абелевых многообразиях , Ann. из
  Математика. (2) 147 (1998), нет. 1, 159–165.

Совершенствование дискриминантных моделей для выявления кератоконуса

28 октября 2013 г.

Роговица / Внешнее заболевание

Это исследование показало, что выбор определенных объясняющих переменных коэффициентов расширения Цернике топографии роговицы в дискриминантных моделях может способствовать повышению точности обнаружения кератоконуса больше, чем используемая дискриминантная модель.Результаты показали, что соответствующий выбор независимых переменных дал аналогичные результаты, несмотря на использование различных дискриминантных моделей.

Авторы исследования сравнили четыре метода статистической регрессии в идентичных условиях с использованием коэффициентов Цернике аберраций роговицы с целью улучшения способности обнаруживать паттерны кератоконуса с помощью топографии роговицы в клинической практике.

Они изучили 51 глаз с кератоконусом, 46 с подозрением на кератоконус, 50 ​​после процедур LASIK и 65 нормальных глаз.Четыре статистических дискриминантных анализа — линейный дискриминантный анализ, алгоритм k-ближайшего соседа, метод расстояния Махаланобиса и метод нейронной сети — были выполнены с использованием коэффициентов Цернике аберраций роговицы, полученных топографом из Пласидо. Схема обнаружения была построена с использованием обучающего набора данных от одной половины случайно выбранных участников исследования, а эффективность оценивалась с помощью набора для проверки на другой половине.

Они обнаружили, что производительность четырех моделей различалась, когда было включено менее 12 независимых переменных.Однако результативность с большим количеством объясняющих переменных и с использованием терминов Цернике 2–4-го порядка для 4-мм и 6-мм зрачков существенно не различалась между моделями и составила около 78 процентов.

Просмотр аннотации

Jpn J Ophthalmol, 27 августа 2013 г.