2$
9
6,25
4
2,25
1
0,25
0
0,25
1
2,25
4
6,25
9
Отметим полученные точки на координатной плоскости и соединим их кривой:
Полученный график называют параболой. Точка (0;0) — это вершина параболы. Вершина делит график на левую и правую части, которые называют ветвями параболы.
Содержание
Свойства параболы y=x²
1. Область определения $x \in (- \infty;+ \infty)$ — все действительные числа.
2. Область значений $y \in [0;+ \infty)$ — все неотрицательные действительные числа.
3. Функция убывает при $x \lt 0$, функция возрастает при $x \gt 0$.
4. Наименьшее значение функции y = 0 — в вершине параболы при x = 0. Вершина параболы совпадает с началом координат.
5. Все точки на ветвях параболы лежат выше оси абсцисс, для них $y \gt 0$.2$
Внимательно посмотрим на формулу y = x2 и попытаемся описать словами примерный вид будущего графика.
1. Так как y ≥ 0, то весь график не может располагаться ниже оси OX.
2. График симметричен относительно оси OY. Нам достаточно построить график для положительных значений x, а затем зеркально отразить его для отрицательных значений x.
Найдем несколько значений y:
Построим эти точки (см. рис. 1).
Если мы попробуем соединить их пунктирной линией, как показано на рис. 1 , то некоторые значения функции не попадут на эти линии, например, точки A (x = 0,5; y = 0,25) и B (x=2,5; y=6,25). Даже если мы построим очень много точек и соединим их маленькими прямыми отрезками, всегда найдутся значения y, не попадающие на эти отрезки. Поэтому точки надо соединять плавной кривой линией (см. рис. 2).
Теперь осталось зеркально отразить график для отрицательных значений x (см. рис. 3). Такая кривая называется параболой. Точка О (0;0) называется вершиной параболы. Симметричные кривые называются ветвями параболы.
Примеры
I. Дизайнеру надо покрасить часть стены дома в форме квадрата со сторонами 2,7 метра. Специальная краска для стен продается в фасовке из расчета одна банка на 1 м2. Не проводя вычисления, выясни, сколько банок краски надо купить, что бы после окрашивания не осталось лишних не распечатанных банок.
Решение:
1. Построим параболу.
2. Найдем на параболе точку А, у которой координата x=2,7 (см. рис. 4).
3. Мы видим, что в этой точке значение функции больше 7, но меньше 8. Значит, дизайнеру потребуется минимум 8 банок краски.
II. Построить график функции у= (х + 1)2.
Найдем несколько значений y.
Построим эти точки и прямую x= -1, параллельную оси OY. Очевидно, что построенные точки симметричны относительно этой прямой. В результате у нас получится такая же парабола, только смещенная влево по оси OX (см. рис.5).
Как построить график функций? Постройте график функции у 0 5 х2
Сегодня мы внимательно изучим функции, графиком которых является прямая линия.
Запиши в тетрадь тему урока
«Линейная функция и прямая пропорциональность».
Внимательно выполняй все задания и
старайся запомнить новые для тебя определения.
Запомни определение:
Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида
у = kx + b, где х — независимая переменная, k и b — некоторые числа.
Например: если k = 0,5 и b = -2, то у = 0,5х — 2.
Задание:
Построить график линейной функции у = 0,5х — 2.
Составь таблицу значений пар (х, у).
Отметь их на координатной плоскости.
Соедини точки линией.
Проверь решение:
Построим график линейной функции у = 0,5х — 2.
Для построения графика у = -х + 3 вычислим координаты двух точек
Отметим их на координатной плоскости две точки и соединим их прямой.
А сможешь ли ты определить:
принадлежит ли точка А(36; 5) графику линейной функции ?
Да
Нет
А теперь сравни эти два графика и увидим, что у линейной функции у = kx + b,
еще до его построения можно «предугадать» расположение прямой линии на координатной плоскости!
Как?
Просто надо внимательно посмотреть на числа k и b…
И они многое нам расскажут!
Попробуй догадаться…
| Функция у = 0,5х — 2 | Функция у = -х + 3 |
Итак, наблюдаем и делаем выводы:
1) Первый пересекает ось ОУ в точке (0; -2), а второй в (0; 3)
!!! у первого b = -2, а у второго b = 3
Вывод: по числу b в формуле y = kx + b мы определим в какой точке прямая пересечет ось ординат.
2) Первый наклонен к положительному направлению оси ОХ под острым углом, а второй — под тупым углом.
!!! у первого k > 0, а у второй функции k
Вывод: если в формуле y = kx + b мы видим, что число k > 0 значит график наклонен к положительному направлению оси абсцисс под острым углом;
если же число k Число k (коэффициент при х) называют за это — угловым коэффициентом.
Запомни это все! Нам такие знания еще не раз пригодятся
Если в формуле y = kx + b, мы возьмем b = 0, то получим формулу y = kx.
Запомни определение:
Функция, которую можно задать формулой y = kx, где k — некоторое число не равное 0, х — переменная, называется прямой пропорциональностью.
Выполни в своей тетради задание:
Придумай несколько формул прямой пропорциональности с разными коэффициентами k и построй их графики в одной координатной плоскости.
Поскольку у прямой пропорциональности b = 0, то график пересечет ось ОУ в точке (0; 0).
На одной координатной плоскости мы можем нарисовать и несколько графиков!
У линейной функции график — прямая линия.
А прямые могут быть параллельными или пересекаться в одной точке…
Интересно, а до построения графиков, только посмотрев (внимательно!) на их формулы, мы может сделать вывод:
Графики этих функций — пересекутся,
графики этих функций — расположены параллельно.
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Урок алгебры в 9 классе по теме «Построение
графиков функции, аналитическое выражение
которых содержит знак абсолютной величины» был
построен на основе компьютерных технологии,
применяя исследовательскую деятельность
обучения.
Цели урока: Обучающая: Наглядно
продемонстрировать учащимся возможности
использования компьютера при построении
графиков функции с модулями; для самоконтроля,
экономии времени при построении графиков
функций вида у=f
|(х)| ,
у = | f (х)| , у=|f |(х)| |.
Развивающая: Развитие интеллектуальных умений
и мыслительных операций — анализ и синтез
сравнение, обобщение. Формирование ИКТ
компетентности учащихся.
Воспитывающая: Воспитание познавательного
интереса к предмету путем введения новейших
технологий обучения. Воспитание
самостоятельности при решении учебных задач.
Оборудование: Оборудование: компьютерный
класс, интерактивная доска, презентация на тему
«Построение графиков функции, аналитическое
выражение которых содержит знак абсолютной
величины», раздаточный материал: карточки для
работы с графической моделью функций, листы для
фиксирования результатов исследования функций,
персональные компьютеры. Лист самоконтроля.
Программное обеспечение: презентация Microsoft
PowerPoint «Построение графиков функции,
аналитическое выражение которых содержит знак
абсолютной величины»
Ход урока
1. Организационный момент
2. Повторение, обобщение и систематизация. Это
этап урока сопровождается компьютерной
презентацией.
График функции у=f
|(х)|
у=f |(х)| — четная функция, т.к. | х | = | -х |, то f |-х| =
f | х |
График этой функции симметричен относительно
оси координат.
Следовательно, достаточно построить график
функции у=f
(х) для х>0,а затем достроить его
левую часть, симметрично правой относительно оси
координат.
Например, пусть графиком функции у=f
(х)
является кривая, изображенная на рис.1, тогда
графиком функции у=f
|(х)| будет кривая,
изображенная на рис.2.
1. Исследование графика функции у= |х|
Таким образом, искомый график есть ломанная,
составленная из двух полупрямых. (Рис.3)
Из сопоставления двух графиков: у=х и у= |х|, учащиеся
сделают вывод, что второй получается из первого
зеркальным отображением относительно ОХ той
части первого графика, которая лежит под осью
абсцисс. Это положение вытекает из определения
абсолютной величины.
Из сопоставления двух графиков: у = х и у = -х,
сделают вывод: функции у = f(|х|) получается из
графика у = f (x) при х
0
симметричным отображением
относительно оси ОУ.
Можно ли применять этот метод построения
графиков для любой функции, содержащей
абсолютную величину?
Слайд 3 и 4.
1. Построите график функции у=0,5 х 2 — 2|х| — 2,5
1) Поскольку |х| = х при х
0,
у=0,5 х 2 — 2х — 2,5
.
Если ху=0,5 х 2
+ 2х — 2,5
.
2) Если рассмотрим график у=0,5 х 2 -2х — 2,5
при х
Можно ли применять этот метод построения
графиков дл квадратичной функции, для графиков
обратной пропорциональности, содержащие
абсолютную величину?
1) Поскольку |х| = х при х
0,
требуемый график
совпадает с параболой у=0,25 х 2 — х — 3.
Если
ху=0,25 х 2
+ х — 3.
2) Если рассмотрим график у=0,25 х 2 — х — 3 при
х
0 и
отобразить его относительно оси ОУ мы получим
тот же самый график.
(0; — 3) координаты точки пересечения графика
функции с осью ОУ.
у =0, х 2 -х
-3 = 0
х 2 -4х -12 = 0
Имеем, х 1 = — 2; х 2 = 6.
(-2; 0) и (6; 0) — координаты точки пересечения
графика функции с осью ОХ.
Если х
Значит, часть требуемого графика,
соответствующая значениям х0.
б) Поэтому достраиваю для х
На тетрадях ученики доказывают, что график
функции у = f |(х)| совпадает с графиком функции у = f
(х) на множестве неотрицательных значений
аргумента и симметричен ему относительно оси ОУ
на множестве отрицательных значений аргумента.
Доказательство:
Если х 0, то f |(х)|= f (х),
т.е. на множестве неотрицательных значений
аргумента графики функции у = f (х) и у = f |(х)|
совпадают. Так как у = f |(х)| — чётная функция, то её
график симметричен относительно ОУ.
Таким образом, график функции у = f |(х)| можно
получить из графика функции у = f (х) следующим
образом:
1. построить график функции у = f(х) для х>0;
2. Для х
Вывод: Для построения графика функции у = f |(х)|
1. построить график функции у = f(х) для х>0;
2. Для х
отразить
построенную часть
относительно оси ОУ.
Слайд 5
4. Исследовательская работа по построению
графика функции у = | f
(х)|
Построить график функции у = |х 2 — 2х|
Освободимся от знака модуля по определению
Если х 2 — 2х0,
т.е. если х
0 и х2, то |х 2 —
2х|= х 2 — 2х
Если х 2 — 2х
Видим, что на множестве х
0 и х2 графики функции
у = х 2 — 2х и у = |х 2 — 2х|совпадают, а на
множестве (0;2)
графики функции у = -х 2 + 2х и у = |х 2 — 2х|
совпадают. Построим их.
График функции у = | f (х)| состоит из части
графика функции у = f(х) при у?0 и симметрично
отражённой части у = f(х) при у
Построить график функции у = |х
2 — х —
6|
1) Если х 2 — х -6 0, т.е. если х
-2 и х3, то |х 2 — х -6|= х 2 — х -6.
Если х 2 — х -6
Построим их.
2) Построим у = х 2 — х -6 . Нижнюю часть
графика
симметрично отбражаем относительно ОХ.
Сравнивая 1) и 2), видим что графики одинаковые.
Работа на тетрадях.
Докажем, что график функции у = | f (х)|
совпадает с графиком функции у = f (х) для f(х) >0 и
симметрично отражённой частью у = f(х) при у
Действительно, поопределению абсолютной
величины, можно данную функцию рассмотреть как
совокупность двух линий:
у = f(х), если f(х)
0; у = — f(х), если f(х)
Для любой функции у = f(х), если f(х) >0, то
| f (х)| = f(х), значит в этой части график функции
у = | f (х)| совпадает с графиком самой функции
Если же f(х) )
симметричнаточке(х; f (х)) относительно
оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика
отражаем симметрично относительно оси ОХ
«отрицательную» часть графика у = f(х).
Вывод: действительно для построения графика
функции у = |f(х) | достаточно:
1.Построить график функции у = f(х) ;
F(х)
Вывод: Для построения графика функции у=|f
(х)
|
1.Построить график функции у=f
(х) ;
2. На участках, где график расположен в нижней
полуплоскости, т.е., где f
(х)
Слайды 8-13.
5. Исследовательская работа по построению
графиков функции у=|f
|(х)| |
Применяя определение абсолютной величины и
ранее рассмотренные примеры, построим графиков
функции:
у = |2|х| — 3|
у = |х 2 — 5|х||
у = | |х 2 | — 2| и сделал выводы.
Для того чтобы построить график функции у = | f
|(х)| надо:
1. Строить график функции у = f(х) для х>0.
2. Строить вторую часть графика, т. е.
построенный график симметрично отражать
относительно ОУ, т.к. данная функция четная.
3. Участки получившегося графика, расположенные
в нижней полуплоскости, преобразовывать на
верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.
Построить график функции у = | 2|х | — 3| (1-й
способ по определению модуля)
1. Строим у = 2|х | — 3
, для 2 |х| — 3
> 0 , |
х
|>1,5 т.е. х1,5
а) у = 2х — 3
, для х>0
б) для х
2. Строим у = —2 |х| + 3
, для 2|х | — 3
а) у = —2х + 3
, для х>0
б) для х
У = | 2|х | — 3|
1) Строим у = 2х-3, для х>0.
2) Строим прямую, симметричную построенной
относительно оси ОУ.
3) Участки графика, расположенные в нижней
полуплоскости, отображаю симметрично
относительно оси ОХ.
Сравнивая оба графика, видим, что они
одинаковые.
у = | х 2
— 5|х| |
1. Строим у = х 2 — 5 |х|, для х 2 — 5 |х| > 0
т.е. х >5 и х
а) у = х 2 — 5 х, для х>0
б) для х
2. Строим у = — х 2 + 5 |х| , для х 2 — 5 |х|
а) у = — х 2 + 5 х, для х>0
б) для х
У = | х 2 — 5|х| |
а) Строим график функции у = х 2 — 5 х для
х>0.
Б) Строим часть графика, симметричную
построенной относительно оси ОУ
в) Часть графика, расположенные в нижней
полуплоскости, преобразовываю на верхнюю
полуплоскость симметрично оси ОХ.
Сравнивая оба графика, видим что они
одинаковые. (Рис.10)
3. Подведение итогов урока.
14,15 слайды.
у=f
|(х)|
1.Построить график функции у=f
(х) для х>0;
2.Построить для х
Алгоритм построения графика функции у=|f
(х) |
1.Построить график функции у=f
(х) ;
2. На участках, где график расположен в нижней
полуплоскости, т.е., где f
(х)
Алгоритм построения графика функции у=|f
|(х)|
|
1. Построить график функции у=f
(х) для х>0.
2. Построить кривую графика, симметричную
построенной относительно оси ОУ, т.к. данная
функция четная.
3. Участки графика, расположенные в нижней
полуплоскости, преобразовывать на верхнюю
полуплоскость симметрично оси ОХ.
Здравствуйте, Давид.
График функции представляет собой её геометрический образ. Он показывает, где на координатной плоскости находится точка, координаты которой (Х и У) связаны определенным математическим выражением (функцией).
Перед тем, как приступить к построению графика функций, сначала необходимо начертить оси координат ОХ и ОУ. Лучше всего для этого использовать масштабно — координатную бумагу. Далее следует определить тип функции, потому что у различных функций графики очень сильно отличаются. К примеру, линейная функция, о которой пойдет речь ниже, имеет график в виде прямой линии. После этого нужно определить область определения функций, т.е. ограничения для значений Х и У. К примеру, если Х находиться в знаменателе дроби, то его значение не может быть равным 0. Далее надо найти нули функции, то есть места пересечения графика функции с осями координат.
Приступим к построению графика функции, указанной в пункте а) вашего вопроса.
Функция у= — 6х + 4
, график которой требуется построить в первой задаче вашего вопроса, является линейной функцией, т.к. линейные функции представлены выражением y = kx + m. Областью определения линейной функции считается вся прямая ОХ. Параметр m в линейной функции определяет точку, в которой график линейной функции пересекает ось OY.
Для того, чтобы построить график линейной функции достаточно определить хотя бы две её точки, потому что графиком функции является прямая. Если найти больше точек, то можно построить более точный график. Вообще, при построении графика линейной функции необходимо определить точки, в каких график пересечет оси координат Х, У.
Итак, в вашем случае точки пересечения графика функции с осями координат будут такими:
При Х=0, У= -6*0+4=4 Таким образом, мы получили значение параметра m в линейной функции.
У=0, то есть 0= -6*Х+4, то есть 6х=4, следовательно Х=4/6=0,667
При Х= -1, У=-6*-1+4=10
При Х=1, У= -6*1+4=-2
При Х=2, У= -6*2+4=-8
Получив все вышеуказанные точки, вам остается только отметить их на координатной плоскости, соединить прямой линией, как показано в примере на рисунке, который прикреплен к данной статье.
Теперь построим график функции, указанной в пункте б) вашего вопроса.
Сразу видно, что функция у= 0,5х
, из второй задачи, также является линейной функцией. В отличие от первого примера, в данном выражении отсутствует значение m, а это говорит о том, что график функции у= 0,5х проходит через начало осей координат, то есть в их нулевой точке.
При Х=0, У= 0,5*0=0
При Х= 1, У=0,5*1=0,5
При Х=2, У= 0,5*2=1
При Х=3, У=0,5*3=1,5
При Х= -1, У=0,5*-1= -0,5
При Х= -2, У= 0,5*-2= -1
При Х= -3, У=0,5*3= -1,5
Теперь, имея все вышеуказанные значения Х и У вы без труда сможете поставить эти точки на координатной плоскости, соединить их прямой линией при помощи линейки, и у вас получится график линейной функции у=0,5х
Ниже я привела ссылку, перейдя по которой, вы можете найти уроки по математике, алгебре, геометрии и русскому языку. Я бы посоветовала вам прочитать несколько тем, которые касаются построения графиков функций. В данном учебном материале очень наглядно показано, как можно построить графики линейных функций, а в темах, которые расположены далее можно увидеть примеры построения графиков других функций. Все написано достаточно подробно, поэтому это будет понятно не только тем, кто давно закончил школу и имеет представление о том, как можно построить график функции, но и тем, кто только начинает постигать азы науки. Я считаю, что увидев наглядно на конкретных примерах, как строятся графики функций, вы потом без проблем сможете решить любую задачу по построению графика функций.
Урок 20. построение графиков функций — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №20. Построение графиков функций.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
- Исследование функций;
- Построение графиков функций;
- Применение производной для решения графических задач.
Глоссарий по теме
Асимптота графика функции y = f(x) – прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (х, f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.
Возрастание функции. Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых х1и х2, из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Выпуклость вверх. Функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка.
Выпуклость вниз. Функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.
Максимум функции. Значение функции в точке максимума называют максимумом функции.
Минимум функции. Значение функции в точке минимума называют минимумом функции.
Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, которое характеризует скорость изменения функции (в конкретной точке).
Производная второго порядка (вторая производная). Производная второго порядка есть первая производная от производной первого порядка.
Производную определяют, как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к 0, если такой предел существует.
Точка максимума функции. Точку х0называют точкой максимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство .
Точка минимума функции. Точку х0 называют точкой минимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство .
Точка перегиба. Точки, в которых выпуклость вверх меняется на выпуклость вниз или наоборот, называются точками перегиба.
Точки экстремума функции. Точки минимума и максимума называют точками экстремума.
Убывание функции. Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых х1 и х2 , из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Дополнительная литература:
Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.
Функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит вышепроведенного отрезка.
Полная схема построения графика функции:
- Найти область определения функции D(f).
- Исследовать функцию на четность (найти f(-x)).
- Найти асимптоты.
- Найти стационарные и критические точки.
- Найти промежутки монотонности.
- Найти интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз.
- Найти точки перегиба
- Составить таблицу значений функции для некоторых точек.
- По полученным данным построить график функции.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Пример 1. Постройте график функции у = х3 – 3х + 3, используя краткую схему построения. схему построения.
Решение:
1) D(y) = (-∞; +∞)
2) Функция не является ни четной, ни нечетной, т. к.
3) Асимптот нет
4) f’(x) = 3x2 – 3, f’(x) = 0 при х = 1, х = -1.
х = 1, х = -1 – стационарные точки.
5) f’(x)>0 при . Так как в точках х = 1, х = -1 функция непрерывна, то эти точки также включаются в промежутки возрастания.
f’(x)<0 при . Так как в точках х = 1, х = -1 функция непрерывна, то эти точки также включаются в промежутки убывания.
6) Так как в точке х = -1 производная меняет знак с «+» на «-», то х = -1 – точка максимума.
Так как в точке х = 1 производная меняет знак с «-» на «+», то х = 1 – точка минимума.
7) Результаты исследования представим в виде таблицы.
x | (-∞; -1) | -1 | (-1; 1) | 1 | (1; +∞) |
f’(x) | + | 0 | — | 0 | + |
f(x) | 5 | 1 | |||
max | min |
8) Координаты некоторых точек:
9) По полученным данным строим график (рис. 1)
Рисунок 1 – график функции у = х3 – 3х + 3
Пример 2. Постройте график функции, используя подробную схему построения. схему построения.
Решение:
1)
2) Функция не является ни четной, ни нечетной, т. к.
3) х = 1 – вертикальная асимптота
4) , f’(x) = 0 при х = 2, х = 0.
х = 2, х = 0 – стационарные точки.
5) f’(x)>0 при . Так как в точках х = 0, х = 2 функция непрерывна, то эти точки также включаются в промежутки возрастания.
f’(x)<0 при . Так как в точках х = 0, х = 2 функция непрерывна, то эти точки также включаются в промежутки убывания.
Так как в точке х = 0 производная меняет знак с «+» на «-», то х = 0 – точка максимума.
Так как в точке х = 2 производная меняет знак с «-» на «+», то х = 2 – точка минимума.
х = 1 – не является точкой экстремума
6) Найдем интервалы выпуклости функции.
; при функция выпукла вверх.
; при функция выпукла вниз.
7) Результаты исследования представим в виде таблицы.
x | (-∞; 0) | 0 | (0; 1) | 1 | (1; 2) | 2 | (2; +∞) | ||||||||||||
f’(x) | + | 0 | — | Не сущ.2 называется квадратичной функцией. Графиком квадратичной функции является парабола. Общий вид параболы представлен на рисунке ниже. Квадратичная функцияРис 1. Общий вид параболы Как видно из графика, он симметричен относительно оси Оу. Ось Оу называется осью симметрии параболы. Это значит, что если провести на графике прямую параллельную оси Ох выше это оси. То она пересечет параболу в двух точках. Расстояние от этих точек до оси Оу будет одинаковым. Ось симметрии разделяет график параболы как бы на две части. Эти части называются ветвями параболы. А точка параболы которая лежит на оси симметрии называется вершиной параболы. То есть ось симметрии проходит через вершину параболы. Координаты этой точки (0;0). Основные свойства квадратичной функции1. При х =0, у=0, и у>0 при х0 2. Минимальное значение квадратичная функция достигает в своей вершине. Ymin при x=0; Следует также заметить, что максимального значения у функции не существует.3 называется кубической функцией. Графиком кубической функции называется кубическая парабола. Общий вид параболы представлен на рисунке ниже. Если график квадратичной функции был симметричен оси Оу, то график кубической параболы симметричен относительно начала координат, то есть точки (0;0). Свойства кубической функцииПеречислим основные свойства кубической функции
Нужна помощь в учебе?Предыдущая тема: Умножение одночленов и возведение одночлена в степень + примеры Конспект урока » Построение графика функции у=х2
Функция у=ах ² , её свойства и график. Подготовила : Каровайцева Галина Викторовна 2014 год
Форма организации познавательной деятельности – словесный, наглядный, практический, частично-поисковый, индивидуально- групповая . Оборудование : проектор, ноутбук, индивидуальные карточки, карточки для групповой работы.
— Первое задание.( график функции у=х 2 изображен на доске) 1. Повторение свойств функции у=х 2 Задание : В квадратиках на доске зашифровано название темы урока. За правильный ответ открывается буква из темы урока. Функция у=ах 2 — Название функции — Область определения — Область значений — Если х=0, то… — Если х≠0 — Симметрия относительно … — Возрастает… — Убывает — Наименьшее значение… — Наибольшее значение… — Направление «ветвей» параболы 2. Итак ! Какова же тема урока? 3. Каковы же цели нашего урока?
Тип урока – формирование новых знаний и умений..
Цели урока: Образовательные: Повторить и систематизировать материал по теме: «Функция у=х 2 , ее свойства и график» Выработать умение строить график функции у = ах 2 и описывать ее свойства и особенности; Отработать алгоритм построения графиков квадратичной функции Развивающие: Формирование умений сравнивать, обобщать изучаемые факты. Развитие у учащихся самостоятельности в мышлении и учебной деятельности. Развивать коммуникативные связи, информационную грамотность, логику. Воспитательные: Воспитание взаимопомощи, аккуратности (при выполнении построения графиков функции) Стимулировать учащихся к самооценке образовательной деятельности, вызывая чувство самопознания, самоопределения и самореализации. воспитание ответственности; воспитание культуры диалога.
у=х ² Построим график функции у=х ² для этого значения аргумента ( х ) выберем сами, а значения функции ( у ) вычислим по формуле у=х ² . 1 -3 -2 -1 0 3 2 х У 1 1 4 4 9 0 9 у 9 4 1 х 0 -3 -2 -1 1 2 3
у Построим график функции: y = 2 x 2 9 8 7 х у — 2 -1 0 1 2 6 8 8 0 2 2 5 4 3 Построим график функции: 2 1 y = ½ x 2 -3 -2 -1 0 1 2 3 х х — 3 у — 2 -1 0 1 2 3 0 2 2 0,5 0,5 4,5 4,5
Зависимость «степени крутизны » параболы от коэффициента а. у y = а x 2 9 8 7 а 1 6 5 4 y = а x 2 3 2 0 а 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 х 7
Свойства функции у=ах ² (а0) : 1. Область определения 1. у 8 2. 2. Область значений 0 3. у=0, если х= 6 у0, если х 4 2 4. Функция убывает на 1 х Функция возрастает на 1 2 3 0 -3 -2 -1 -1 Функция ограничена снизу, но не ограничена сверху. 5. 5. Ограниченность 0 у наиб. = НЕТ 6. у наим. = Непрерывна. 7. Непрерывность 7.
Построим график функции у=-х ² для этого значения аргумента ( х ) выберем сами, а значения функции ( у ) вычислим по формуле у=-х ² .
у=-х ² 1 -1 -2 -3 2 3 х У 0 Точка (0;0) – вершина параболы -9 -1 -1 -4 -9 0 -4 у х -3 -2 -1 1 2 3 0 -1 -4 -9
Построим график функции: у х -3 -2 -1 0 1 2 3 y = -2 x 2 -1 -2 х — 2 у -1 0 1 2 -3 -4 — 2 — 8 0 — 2 — 8 -5 -6 Построим график функции: -7 -8 y = -1/2 x 2 -9 х у — 3 — 2 -1 0 1 2 3 0 — 2 — 2 — 0,5 — 0,5 — 4,5 — 4,5
Свойства функции у=ах ² (а : у 1. Область определения 1. 2. 2. Область значений 1 2 3 0 х -3 -2 -1 3. у=0, если х= 0 -2 у х -4 -6 4. Функция возрастает на -8 Функция убывает на Функция ограничена сверху, но не ограничена снизу. 5. Ограниченность 5. 0 НЕТ у наим. = 6. у наиб. = Непрерывна. 7. Непрерывность 7.
Заполнение таблицы свойств построенных функций У =х 2 У=2х 2 Область определения – вся числовая ось (-∞; + ∞). У=0,5х 2
Область значений – промежуток [ 0; +∞) У=ах 2
Если х=0, то у=0. График проходит через начало координат Если х≠0, то у0. График расположен в верхней полуплоскости.
Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. График функции симметричен относительно оси ординат.
Возрастает на промежутке [0;+∞)
Убывает на промежутке (-∞; 0]
Наименьшее значение, равное нулю, функция принимает при х = 0; наибольшего значения функция не имеет.
У =-х 2 Область определения – вся числовая ось (-∞; + ∞). У=-2х 2
Область значений – промежуток ( -∞; 0 ] У=-0,5х 2
Если х=0, то у=0. График проходит через начало координат У=-ах 2
Если х≠0, то у
Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. График функции симметричен относительно оси ординат.
Возрастает на промежутке (-∞; 0]
Убывает на промежутке [0;+∞)
наибольшее значение, равное нулю, функция принимает при х = 0; наименьшего значения функция не имеет.
Динамическая пауза Закройте глаза, расслабьте тело, Представьте – вы птицы, вы вдруг полетели! Теперь в океане дельфином плывете, Теперь в саду яблоки спелые рвете. Налево, направо, вокруг посмотрели, Открыли глаза, и снова за дело!
Просматривают расположение графиков в координатной плоскости в зависимости от значения «а» http://school-collection.edu.ru/catalog/res/e5b3b05d-32e8-4a44-a00a-5e9e4a90f087/view/
закрепление
Задание определите название функции , изображенной на таблице. Рабочая тетрадь стр.29 № 1, 4, 5
Задание из экзаменационной работы
Найти формулы для каждой из функций, изображенной на таблице. http://school-collection.edu.ru/catalog/res/46b09de7-4f94-4ca8-acbf-ca727e94403b/view /
Что мы сделали на уроке? Чему научились? Повторим правила построения графиков. Возвращается к целям урока. Достигли ли мы целей урока. Выставление оценок. Задает домашнее задание. п 5 стр 28-32 №92, 93, 94. 105 2.Квадратичная функция y=x² — Функции и их графикиВ уравнении квадратичной функции: a – старший коэффициент b – второй коэффициент с — свободный член. Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции имеет вид: Точки, обозначенные зелеными кружками – это, так Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент , то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции при любых значениях остальных коэффициентов. График функции имеет вид: Для нахождения координат базовых точек составим таблицу:
Обратите внимание, что график функции симметричен графику функции относительно оси ОХ. Итак, мы заметили: Если старший коэффициент a>0, то ветви параболы напрaвлены вверх. Если старший коэффициент a<0, то ветви параболы напрaвлены вниз. Второй параметр для построения графика функции – значения х, в которых функция равна нулю, или нули функции. На графике нули функции — это точки пересечения графика функции с осью ОХ. Поскольку ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ равна нулю, чтобы найти координаты точек пересечения графика функции с осью ОХ, нужно решить уравнение . В случае квадратичной функции нужно решить квадратное уравнение . В процессе решения квадратного уравнения находим дискриминант: , который определяет число корней квадратного уравнения. И здесь возможны три случая: 1. Если ,то уравнение не имеет решений, и, следовательно, квадратичная парабола не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если ,то график функции выглядит как-то так: 2. Если ,то уравнение имеет одно решение, и, следовательно, квадратичная парабола имеет одну точку пересечения с осью ОХ. Если ,то график функции выглядит примерно так: 3. Если ,то уравнение имеет два решения, и, следовательно, квадратичная парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ: , Если ,то график функции выглядит примерно так: Следующий важный параметр графика квадратичной функции – координаты вершины параболы:
Прямая, прохдящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии паработы. И еще один параметр, полезный при построении графика функции – точка пересечения параболы с осью OY. Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы с осью OY, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль: . То есть точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c). Итак, основные параметры графика квадратичной функции показаны на рисунке: Графические уравнения, система уравнений с программой «Пошаговое решение математических задач»ОписаниеКоманда plot генерирует график практически любой функции или отношения, обнаруживаемого в математике средней школы и колледжа. Он будет отображать функции, заданные в форме y = f (x), например y = x 2 или y = 3x + 1, а также отношения вида f (x, y) = g (x, y) , например x 2 + y 2 = 4. Чтобы использовать команду построения графика, просто перейдите к основному ПримерыВот несколько примеров, иллюстрирующих типы уравнений, для которых вы можете использовать команду построения графика, и результаты, которые возвращает QuickMath. Базовый График y = 2x + 1 от x = -1 до x = 2 График y = x ^ 2 от x = -3 до x = 3 График x ^ 2 + y ^ 2 = 4 от x = -2 до x = 2 График y = sin (x) от x = 0 до x = 2 pi Продвинутый График y = 3x ^ 2 + 1 и y = 2x ^ 3–4 от x = -3 до x = 3, y = -17 до y = 17 с соотношением сторон 1: 2 График x ^ 2 + y ^ 2 = 1, x ^ 2 + y ^ 2 = 4, x ^ 2 + y ^ 2 = 9, x ^ 2 + y ^ 2 = 16, x ^ 2 + y ^ 2 = 25 и x ^ 2 + y ^ 2 = 36 от x = -6 до x = 6, y = -6 до y = 6 График (x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2 = 1 и y = 3 (x-1) ^ 2 от x = 0 до x = 2, y = 0 до y = 3, показывающий линии сетки, но без галочки.2 = 1 от x = -2 до x = 2, y = -1,8 до y = 1,8 Опции (только расширенная страница)Деления Значения: отмечен или не отмечен Когда галочки отмечены, оси на графике будут показывать отметки и числовые шкалы. Линии сетки Значения: установлен или не установлен Если установлен флажок Линии сетки, на график будет наложена синяя сетка. Оси Значения: Нет или Автоматическая исходная точка или Исходная точка в (#, #) Параметр «Оси» управляет внешним видом и расположением осей на графике. Если отмечено «Нет», оси не будут отображаться вообще. Когда установлен флажок «Автоматическое начало координат», будут отображаться оси. Две оси обычно пересекаются в точке (0,0), но иногда эта точка пересечения может быть расположена в другом месте. Когда установлен флажок «Исходная точка в (#, #)» и вводится точка, оси будут отображаться, и их точка пересечения будет принудительно находиться в указанной точке. Соотношение сторон Значения: Один к одному или Золотое сечение или #: # Параметр Соотношение сторон управляет соотношением высоты графика к его ширине. Когда установлен флажок «Один к одному», соотношение составляет 1: 1, и масштабы на двух осях будут идентичными. Это гарантирует, что круги, например, действительно будут отображаться на экране круглыми. Когда выбрано золотое сечение, соотношение сторон составляет 1: 1 / г, где g — золотое сечение (приблизительно 1.6180). Это якобы дает соотношение высоты к ширине, которое особенно «приятно» для глаз. Когда выбрано #: # и введены два значения, будет применяться указанное соотношение сторон. Это полезно, если сюжет сильно сжат в одном или другом направлении и его нужно «растянуть», чтобы сделать его более четким. График параболы — Темы в предварительном исчислении5 Постоянная функция Идентификационная функция Функция абсолютного значения y = x 2 : парабола Функция квадратного корня Кубическая функция Обратная функция СЛЕДУЮЩИЕ ГРАФИКИ встречаются во всей аналитической геометрии и математическом анализе.Учащийся должен уметь рисовать их и узнавать их исключительно по форме. Наносить точки не обязательно. Постоянная функция Вот график y = f ( x ) = 3. Это прямая линия, параллельная оси x . Она называется постоянной функцией, потому что каждое значение x соответствует одному и тому же значению y : 3. Является ли постоянная функция однозначной? Да, это так, потому что каждому значению x соответствует одно и только одно значение y . 3. Постоянная функция имеет вид y = c , , где c — константа, то есть число. Функция идентичности и функция абсолютного значения y = x называется функцией идентичности, потому что значение y идентично значению x .Координатные пары ( x , x ). В функции абсолютного значения отрицательные значения y в функции идентичности отражаются в положительную сторону. Пример. a) Какова область действия функции идентификации? Нет естественного ограничения на значения x .Следовательно, область, в которой «живет» функция, включает каждое действительное число. −x Прежде всего обратите внимание, что бесконечность «» — это не число и не место. Это слово вместе с символом мы используем для обозначения: не существует ограничений на значения x , которые мы могли бы назвать. Обратите внимание, что мы пишем « x меньше ». Равно до бесконечности не имеет смысла. б) Каков диапазон функции идентичности? Диапазон — это те значения y , которые соответствуют значениям в домене.Изучение графика покажет, что y также будут принимать все действительные значения. −y Парабола и функция квадратного корня В параболе y = x 2 , пары координат равны ( x , x 2 ). Мы видим, что на графике есть следующие точки: (1, 1), (−1, 1), (2, 4), (−2, 4) и так далее. График функции квадратного корня связан с y = x 2 .Это его обратное. Координатные пары ( x ,). Например, (1, 1), (4, 2), (9, 3) и так далее. Обратите внимание, что функция извлечения квадратного корня определена только для неотрицательных значений x . Ибо квадратный корень отрицательного числа не является действительным. Кроме того, символ относится к одному неотрицательному числу, называемому главным квадратным корнем. (См. Урок 26 Алгебры, Пример 2.) Следовательно, y = является функцией. Проблема 1.Каков домен функции y = x 2 и каков его диапазон? Эта функция определена для всех значений x : −∞ x Что касается диапазона, то самое низкое значение y равно 0. И нет предела максимальному значению. 0 ≤ y ∞. Проблема 2. Какова область определения функции квадратного корня и каков ее диапазон? Функция квадратного корня определена только для неотрицательных значений x .Домен: x ≥ 0. Что касается диапазона, то самое низкое значение y равно 0. И нет предела максимальному значению. 0 ≤ y Кубическая функция Кубическая функция: y = x 3 . Когда x отрицательно, y отрицательно: Нечетные степени отрицательного числа отрицательны. Проблема 3.Какова область определения кубической функции и каков ее диапазон? Домен: −∞ x Диапазон: −∞ y Обратная функция Когда x — очень большое положительное число (крайнее правое положение оси x ), обратная величина — очень маленькое положительное число. График очень близок к оси x . Когда x — очень маленькое положительное число — близкое к x = 0 — его обратное число является очень большим положительным числом. Подобные свойства сохраняются, когда x отрицательно. Однако обратите внимание, что x не может быть 0. 0 — единственное значение, которое должно быть исключено из домена. Подробнее об этом мы поговорим в теме 18. Следующая тема: Словарь полиномиальных функций Содержание | Дом Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети. Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор Вопросы или комментарии? Эл. Почта: [email protected]
Построение функции y = f (x) в Python (с Matplotlib) В нашем предыдущем уроке мы узнали, как построить прямую линию или линейные уравнения типа $ y = mx + c $.2 здесь # установка осей в центре # построить функцию # показать сюжет Кубическое уравнение Затем мы построим простейшую кубическую функцию $ y = x ^ {3} $.3 здесь # установка осей в центре # построить функцию # показать сюжет Тригонометрические функции Здесь мы строим тригонометрическую функцию $ y = \ text {sin} (x) $ для значений $ x $ между $ — \ pi $ и $ \ pi $.У метода
Построим его вместе с еще двумя функциями, $ y = 2 \ text {sin} (x) $ и $ y = 3 \ text {sin} (x) $. На этот раз мы помечаем функции.
И здесь мы строим вместе как $ y = \ text {sin} (x) $, так и $ y = \ text {cos} (x) $ через один и тот же интервал от $ — \ pi $ до $ \ pi $.
Wolfram | Примеры альфа: построение и графикаФункции Изобразите функцию одной переменной в виде кривой на плоскости. Постройте функцию одной переменной: Укажите явный диапазон для переменной: Постройте функцию с действительным знаком: Постройте функцию в логарифмическом масштабе: График в логарифмическом масштабе: Другие примеры 3D графики Постройте функцию двух переменных как поверхность в трехмерном пространстве. Постройте функцию от двух переменных: Укажите явные диапазоны для переменных: Другие примеры Уравнения Постройте набор решений уравнения с двумя или тремя переменными. Постройте решение уравнения с двумя переменными: Другие примеры Неравенства Постройте набор решений неравенства или системы неравенств. Постройте область, удовлетворяющую неравенству двух переменных: Постройте область, удовлетворяющую множеству неравенств: Другие примеры Полярные графики Нарисуйте график точек или кривых в полярной системе координат. Укажите диапазон для переменной theta: Другие примеры Параметрические графики Графические параметрические уравнения в двух или трех измерениях. Укажите диапазон для параметра: Нарисуйте параметрическую кривую в трех измерениях: Нарисуйте параметрическую поверхность в трех измерениях: Другие примеры Другие примеры Числовые строки Нанесите набор чисел или значений на числовую линию. Визуализируйте набор действительных чисел на числовой строке: Показать несколько наборов в числовой строке: Другие примеры Узнайте, как построить график функции-правила, построить график входов (x) и выходов (y)
В этом видео мы узнаем, как построить график функции.Чтобы построить график функции, вы должны выбрать значения x и подставить их в уравнение. Как только вы подставите эти значения в уравнение, вы получите значение y . Ваши значения x и y составляют ваши координаты для одной точки. Продолжайте вводить значения x, чтобы получить координаты для построения большего количества точек на графике, и тогда вы увидите свою графическую функцию, как только точки будут соединены. Обязательно пометьте свой график. После того, как вы закончите этот урок, просмотрите все наши уроки Алгебры 1 и попрактикуйтесь. Пример построения графика правила функции Эти координаты будут выглядеть следующим образом: Расшифровка видео-урокаПример 1Давайте выберем значения x, а затем решим соответствующие им значения y. У нас есть значения x как. Наша функция. Итак, давайте заменим значения, чтобы получить значения. А теперь нарисуем координаты. Пример 2Давайте выберем значения x, а затем решим соответствующие им значения y. У нас есть значения x как. Наша функция. Итак, давайте заменим значения, чтобы получить значения. А теперь нарисуем координаты. Давайте рассмотрим график правила функции. Например: Давайте выберем значения, а затем решим их соответствующие значения. У нас есть значения as. Наша функция. Итак, давайте заменим значения, чтобы получить значения. Если , то , то есть Если , то , то Если , то , то Если , то , то Если , то , то Если затем , так что И, наконец, если , то так Итак, давайте также запишем наши координаты и Теперь давайте изобразим это. После соединения точек важно поставить стрелки на обоих концах отрезка линии. Потому что мы знаем, что эти точки являются точками в функции. Но дело не только в этом. Функция может перемещаться на обоих концах, обозначенных стрелками. А затем пометьте график. Графические линейные функции | Колледж алгебрыРезультаты обучения
Ранее мы видели, что график линейной функции представляет собой прямую линию.Мы также смогли увидеть точки функции, а также начальное значение на графике. Есть три основных метода построения графиков линейных функций. Первый заключается в нанесении точек, а затем в проведении линии через точки. Второй — с использованием точки пересечения и наклона y- . Третий — применение преобразований к тождественной функции [латекс] f \ left (x \ right) = x [/ latex]. Построение графика функции по точкамЧтобы найти точки функции, мы можем выбрать входные значения, оценить функцию по этим входным значениям и вычислить выходные значения.Входные значения и соответствующие выходные значения образуют пары координат. Затем мы наносим пары координат на сетку. В общем, мы должны оценивать функцию как минимум на двух входах, чтобы найти как минимум две точки на графике функции. Например, учитывая функцию [латекс] f \ left (x \ right) = 2x [/ latex], мы можем использовать входные значения 1 и 2. Оценка функции для входного значения 1 дает выходное значение 2, которое представлена точкой (1, 2). Оценка функции для входного значения 2 дает выходное значение 4, которое представлено точкой (2, 4).Часто рекомендуется выбирать три точки, потому что, если все три точки не попадают на одну линию, мы знаем, что допустили ошибку. Как сделать: для данной линейной функции построить график с помощью точек.
Пример: построение графика по точкамГрафик [латекс] f \ left (x \ right) = — \ frac {2} {3} x + 5 [/ latex] путем нанесения точек. Показать решение Начните с выбора входных значений. Эта функция включает дробь со знаменателем 3, поэтому давайте выберем в качестве входных значений числа, кратные 3. Мы выберем 0, 3 и 6. Оцените функцию для каждого входного значения и используйте выходное значение для определения пар координат. [латекс] \ begin {array} {llllll} x = 0 & & f \ left (0 \ right) = — \ frac {2} {3} \ left (0 \ right) + 5 = 5 \ Rightarrow \ left ( 0,5 \ right) \\ x = 3 & & f \ left (3 \ right) = — \ frac {2} {3} \ left (3 \ right) + 5 = 3 \ Rightarrow \ left (3,3 \ вправо) \\ x = 6 & & f \ left (6 \ right) = — \ frac {2} {3} \ left (6 \ right) + 5 = 1 \ Rightarrow \ left (6,1 \ right) \ end {array} [/ latex] Постройте пары координат и проведите линию через точки.На приведенном ниже графике показана функция [латекс] f \ left (x \ right) = — \ frac {2} {3} x + 5 [/ latex]. Анализ решенияГрафик функции представляет собой линию, как и ожидалось для линейной функции. Кроме того, график имеет наклон вниз, что указывает на отрицательный наклон. Это также ожидается от отрицательной постоянной скорости изменения уравнения для функции. ПопробуйГрафик [латекс] f \ left (x \ right) = — \ frac {3} {4} x + 6 [/ latex] путем нанесения точек. Показать решение Построение линейной функции с использованием точки пересечения по оси y и наклонаДругой способ построения графиков линейных функций — использование конкретных характеристик функции, а не построение точек.Первая характеристика — это точка пересечения y- , которая является точкой, в которой входное значение равно нулю. Чтобы найти точку пересечения y- , мы можем установить [latex] x = 0 [/ latex] в уравнении. Другой характеристикой линейной функции является ее наклон, м , который является мерой ее крутизны. Напомним, что наклон — это скорость изменения функции. Наклон линейной функции равен отношению изменения выходов к изменению входов.Другой способ думать о наклоне — разделить вертикальную разницу или подъем между любыми двумя точками на горизонтальную разницу или бег. Наклон линейной функции будет одинаковым между любыми двумя точками. Мы встретили точку пересечения y- и наклон в линейных функциях. Рассмотрим следующую функцию. [латекс] f \ left (x \ right) = \ frac {1} {2} x + 1 [/ latex] Уклон [латекс] \ frac {1} {2} [/ latex]. Поскольку наклон положительный, мы знаем, что график будет наклоняться вверх слева направо.Пересечение y- — это точка на графике, когда x = 0. График пересекает ось y в точке (0, 1). Теперь мы знаем наклон и точку пересечения y . Мы можем начать построение графика с построения точки (0, 1). Мы знаем, что уклон возрастает над пробегом, [latex] m = \ frac {\ text {rise}} {\ text {run}} [/ latex]. В нашем примере [latex] m = \ frac {1} {2} [/ latex], что означает, что подъем равен 1, а диапазон равен 2. Начиная с нашего интервала y (0, 1) , мы можем подняться на 1 и затем пробежать 2 или пробежать 2 и затем подняться на 1.Мы повторяем, пока не получим несколько точек, а затем проводим линию через точки, как показано ниже. Общее примечание: графическая интерпретация линейной функцииВ уравнении [латекс] f \ left (x \ right) = mx + b [/ latex]
[латекс] m = \ frac {\ text {изменение вывода (подъем)}} {\ text {изменение ввода (запуск)}} = \ frac {\ Delta y} {\ Delta x} = \ frac { {y} _ {2} — {y} _ {1}} {{x} _ {2} — {x} _ {1}} [/ latex] Вопросы и ответыВсе ли линейные функции имеют точки пересечения y ? Да. Все линейные функции пересекают ось Y и, следовательно, пересекаются по оси Y. (Примечание: Вертикальная линия, параллельная оси y, не имеет точки пересечения оси y.Имейте в виду, что вертикальная линия — единственная линия, которая не является функцией.) Практическое руководство. Имея уравнение для линейной функции, постройте график функции, используя точку пересеченияy и наклон.
Пример: построение графика с использованием точки пересеченияy- и наклона График [латекс] f \ left (x \ right) = — \ frac {2} {3} x + 5 [/ latex] с использованием точки пересечения и наклона y- . Показать решение Оцените функцию при x = 0, чтобы найти точку пересечения y- . Выходное значение, когда x = 0, равно 5, поэтому график пересечет ось y в точке (0, 5). Согласно уравнению для функции, наклон линии равен [латекс] — \ frac {2} {3} [/ latex].Это говорит нам о том, что для каждого вертикального уменьшения «подъема» на [латекс] –2 [/ латекс] единиц, «пробег» увеличивается на 3 единицы в горизонтальном направлении. Теперь мы можем построить график функции, сначала построив точку пересечения y . От начального значения (0, 5) мы перемещаемся вниз на 2 единицы и вправо на 3 единицы. Мы можем продлить линию влево и вправо, повторяя, а затем провести линию через точки. Анализ решенияГрафик наклонен вниз слева направо, что означает, что он имеет отрицательный наклон, как и ожидалось. ПопробуйНайдите точку на графике, который мы нарисовали в примере: построение графика с использованием точки пересечения y и угла наклона, которая имеет отрицательное значение x . Показать решение Возможные ответы: [латекс] \ left (-3,7 \ right) [/ latex], [latex] \ left (-6,9 \ right) [/ latex] или [latex] \ left (-9, 11 \ справа) [/ латекс]. Построение линейной функции с помощью преобразованийДругой вариант построения графиков — использовать преобразования в функции идентичности [latex] f \ left (x \ right) = x [/ latex].Функция может быть преобразована сдвигом вверх, вниз, влево или вправо. Функция также может быть преобразована с помощью отражения, растяжения или сжатия. Вертикальное растяжение или сжатиеВ уравнении [латекс] f \ left (x \ right) = mx [/ latex] m действует как вертикальное растяжение или сжатие функции идентичности. Когда м отрицательно, также наблюдается вертикальное отражение графика. Обратите внимание, что умножение уравнения [латекс] f \ left (x \ right) = x [/ latex] на m растягивает график f на коэффициент m единиц, если m > 1, и сжимает график f с коэффициентом м единиц, если 0 < м <1.Это означает, что чем больше абсолютное значение м , тем круче уклон. Вертикальные растяжения, сжатия и отражения функции [латекс] f \ left (x \ right) = x [/ latex]. Вертикальный сдвигВ [латексе] f \ left (x \ right) = mx + b [/ latex], b действует как вертикальный сдвиг , перемещая график вверх и вниз, не влияя на наклон линии. Обратите внимание, что добавление значения b к уравнению [латекс] f \ left (x \ right) = x [/ latex] сдвигает график f в общей сложности на b единиц, если b равно положительный и | b | единиц вниз, если b отрицательное. Этот график иллюстрирует вертикальные сдвиги функции [латекс] f \ влево (x \ вправо) = x [/ латекс]. Использование вертикального растяжения или сжатия вместе с вертикальным сдвигом — еще один способ определения различных типов линейных функций. Хотя это может быть не самый простой способ построить график функций такого типа, все же важно практиковать каждый метод. Практическое руководство. Учитывая уравнение линейной функции, используйте преобразования, чтобы построить график линейной функции в виде [латекс] f \ left (x \ right) = mx + b [/ latex].
Пример: построение графиков с использованием преобразованийГрафик [латекс] f \ left (x \ right) = \ frac {1} {2} x — 3 [/ latex] с использованием преобразований. Показать решение Уравнение для функции показывает, что [latex] m = \ frac {1} {2} [/ latex], поэтому функция идентичности сжимается по вертикали с помощью [latex] \ frac {1} {2} [/ latex].Уравнение для функции также показывает, что [latex] b = -3 [/ latex], поэтому функция идентичности сдвинута по вертикали на 3 единицы. Сначала нарисуйте функцию идентичности и покажите вертикальное сжатие. Функция [latex] y = x [/ latex] сжата в [латекс] \ frac {1} {2} [/ latex] раз. Затем покажите вертикальный сдвиг. Функция [latex] y = \ frac {1} {2} x [/ latex] сдвинута на 3 единицы вниз. ПопробуйГрафик [латекс] f \ left (x \ right) = 4 + 2x [/ latex], с использованием преобразований. Показать решение Вопросы и ответыВ примере: построение графиков с использованием преобразований, могли бы мы изобразить график, изменив порядок преобразований на противоположный? Нет. Порядок преобразований соответствует порядку операций. Когда функция оценивается на заданном входе, соответствующий выход вычисляется в соответствии с порядком операций. Вот почему мы сначала выполнили сжатие. Например, следуя порядку операций, пусть на входе будет 2. [латекс] \ begin {array} {l} f \ text {(2)} = \ frac {\ text {1}} {\ text {2}} \ text {(2)} — \ text {3} \ hfill \\ = \ text {1} — \ text {3} \ hfill \\ = — \ text {2} \ hfill \ end {array} [/ latex] Внесите свой вклад!У вас была идея улучшить этот контент? Нам очень понравится ваш вклад. |