Доказательство признаков подобия треугольников

☰

Доказательство первого признака подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников утверждает, что если у треугольников две стороны соответственно пропорциональны, а углы между ними равны, то такие треугольники подобны.

Рассмотрим треугольники ABC и DEF, у которых DE = kAB, EF = kBC и ∠B = ∠E.

Чтобы доказать подобие данных треугольников, требуется доказать, что DF = kAC, так как подобие треугольников определяется по трем пропорциональным сторонам.

Найдем стороны AC и DF по теореме косинусов (квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон за вычетом удвоенного произведения этих сторон, умноженному на косинус угла между ними):

AC² = AB² + BC² – 2 · AB · BC · cos B
DF² = DE² + EF² – 2 · DE · EF · cos E

Так как ∠B = ∠E и AB = kDE, BC = kEF, то мы можем выразить квадрат стороны DF через угол и стороны треугольника ABC:

DF² = (kAB)² + (kBC)² – 2 · kAB · kBC · cos B

Вынесем k² за скобку:

DF² = k²(AB² + BC² – 2 · AB · BC · cos B)

Выражение в скобках равно ранее выраженному через теорему косинусов квадрату стороны AC. Поэтому можно записать так:

DF² = k²AC²

Отсюда получаем, что DF = kAC, что и требовалось доказать. Таким образом, если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами каждого треугольника равны, то оказываются соответственно пропорциональными и третьи их стороны, а, следовательно, такие треугольника подобны.

Доказательство второго признака подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников определяет подобие по наличию двух соответственно равных углов.

Пусть даны треугольники ABC и DEF, у которых ∠A = ∠D, ∠B = ∠E.

Если эти треугольники подобны, то их стороны будут пропорциональны друг другу, т. е. будут соблюдаться равенства AB = kDE, BC = kEF, AB = kDF.

Если в одном треугольнике два угла соответственно равны двум углам в другом треугольнике, то равными будут и третьи углы этих треугольников, т. к. сумма углов любого треугольника равна 180°.

Как известно, у подобных треугольников углы соответственно равны. Т. е. если треугольники подобны, то их углы соответственно равны. Однако нельзя однозначно утверждать обратное: если углы соответственно равны, то треугольники подобны. Ведь можно предположить, что существую треугольники с соответственно равными углами, но у которых стороны не пропорциональны, а значит, такие треугольники не являются подобными.

Согласно теореме синусов, сторона треугольника равна произведению диаметра описанной окружности на синус противолежащего угла.

Если диаметр описанной около треугольника ABC окружности равен d, то мы можем выразить стороны этого треугольника так:

AB = d sin C, BC = d sin A, AC = d sin B

Если диаметр описанной около треугольника DEF окружности равен d₁, то получим:

DE = d₁ sin F, EF = d₁ sin D, DF = d₁ sin E

Так как углы A, B и C соответственно равны углам D, E и F, то мы можем заменить одни на другие. Сделаем это для сторон треугольника DEF:

DE = d₁ sin C, EF = d₁ sin A, DF = d₁ sin B

Найдем отношения сторон одного треугольника к соответствующим сторонам другого:

AB/DE = (d sin С) / (d₁ sin С) = d/d₁
BC/EF = (d sin A) / (d₁ sin A) = d/d₁
AC/DF = (d sin B) / (d₁ sin B) = d/d₁

То есть все три отношения равны одному и тому же значению (d/d₁), а значит, равны между собой; т. е.

AB/DE = BC/EF = AC/DF

Таким образом, стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника. Значит, треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников

Нередко выделяют третий признак подобия треугольников: если все стороны одного треугольника соответственно пропорциональны сторонам другого, то такие треугольники подобны. Однако само определение подобных треугольников нередко ограничивается именно этим признаком, а равенство углов подобных треугольников доказывается в виде теоремы (Углы подобных треугольников).

3 Признака равенства треугольника

Первый признак равенства треугольников

Конечно, равенство треугольников всегда можно доказать наложением одного треугольника на другой. Но, согласитесь, — это несерьезно. Какое может быть наложение, когда есть три теоремы и можно их доказать. 

Давайте рассмотрим три признака равенства треугольников. 

Теорема 1. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними. 

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. 

Даны два треугольника △ABC  и  △A₁B₁C₁,  у которых: AC = A₁C₁,  AB = A₁B₁,  ∠A = ∠A₁.

Докажите равенство треугольников △ABC  =  △A₁B₁C₁.

Доказательство:

△A₁B₁C₁ =  △ABC, если при наложение вершина  A₁  совмещается с вершиной  A,  и сторона  A₁B₁  совмещается со стороной  AB,  AC —  со стороной A₁C₁,
A₁B₁ = AB, вершина B совпадает с вершиной B₁
A₁C₁ = AC,  поскольку ∠A = ∠A₁, вершина C совпадает с вершиной C₁.
B₁C₁ = BC,
△ABC  =  △A₁B₁C₁.

Теорема доказана.

Важно!

Первый признак используют при доказательстве второго и третьего признаков равенства треугольников.

Познавайте математику вместе с нашими лучшими преподавателями, на занятиях по математике для учеников с 1 до 11 класса!

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам. 

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. 

Даны два треугольника △ABC  и  △A₁B₁C₁,  у которых:
AC = A₁C₁,  ∠A = ∠A₁,  ∠C = ∠C₁.

Докажите, что △ABC  =  △A₁B₁C₁.

Доказательство:

Путем наложения △ABC на △A₁B₁C₁, совмещаем вершину А с вершиной  A₁.
Тогда АС совмещается с  A₁C₁, вершина C совпадает с C₁, поскольку мы знаем, что АС = A₁C₁.

AB = A₁B₁, поскольку мы знаем, что ∠A = ∠A₁,
CB = C₁B₁, поскольку мы знаем, что ∠C = ∠C₁.
B совпадает с B₁, △ABC    △A₁B₁C₁.

Теорема доказана.

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Равенство треугольников по трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Даны два треугольника △ABC  и  △A₁B₁C₁,  у которых:
AC = A₁C₁,
AB = A₁B₁,
CB = C₁B₁.  

Докажите, что △ABC  = △A₁B₁C₁.

Доказательство 3 признака равенства треугольников:

Наложим △ABC на △A₁B₁C₁, таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A₁, вершина B — с вершиной B₁, вершина C — с вершиной C₁.

AC = A₁C₁, BC = B₁C₁, то △A₁C₁С и △B₁C₁С — равнобедренные.
∠1=∠2, ∠3=∠4 (по свойству равнобедренного треугольника),
∠A₁СB₁ = ∠A₁C₁B₁.
AC = A₁C₁, BC = B₁C₁. 
∠C = ∠C₁, тогда △ABC  = △A₁B₁C₁.

Теорема доказана. 

Кроме трех основных теорем, запомните еще несколько свойств равенства треугольников.

Равны ли треугольники, можно определить не только по сторонам и углам, но и по высоте, медиане и биссектрисе.

 

1. Если угол, сторона, противолежащая этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника — такие треугольники равны.
2. Если две стороны и медиана, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника — такие треугольники равны.
3. Если сторона и две медианы, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне и двум медианам другого треугольника — такие треугольники тоже равны.
4. Если две стороны и биссектриса, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе другого треугольника — вы уже догадались сами: эти ребята равны.
5. Два треугольника равны, если сторона, медиана и высота, проведенные к другой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника.

Как видите, доказать равенство треугольников можно по множеству признаков и десятком способом. Три признака равенства треугольников — основные. Все остальные способы также стоит запомнить, ведь треугольник — только с виду простая фигура.

В онлайн-школе Skysmart ваш ребенок научится доказывать любые теоремы и справляться с даже самыми сложными задачками на контрольных. Вас ждут опытные преподаватели, удобная интерактивная платформа и даже онлайн-доска, на которой можно чертить фигуры вместе с учителем.

Записывайтесь на бесплатный вводный урок по математике и начните заниматься в удовольствие уже завтра!

Второй признак подобия треугольников / Подобные треугольники / Справочник по геометрии 7-9 класс

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по геометрии 7-9 класс
4. Подобные треугольники
5. Второй признак подобия треугольников

Теорема

Доказательство

Дано: АВС и А₁В₁С₁,  А = А₁,

Доказать: АВСА₁В₁С₁

Доказательство:

Рассмотрим АВС и А₁В₁С₁, у которых и А = А₁:

Для доказательства теоремы, учитывая первый признак подобия треугольников, достаточно доказать, что  В = В₁.

Рассмотрим АВС₂, у которого 1 = А₁, 2 = В₁.

АВС₂А₁В₁С₁ по первому признаку подобия треугольников, поэтому . С другой стороны, по условию . Из этих двух равенств получаем АС = АС₂.

АВС =АВС₂ по первому признаку равенства треугольников (АВ — общая сторона, АС = АС₂ и А = 1, поскольку А = А₁ и 1 = А₁). Отсюда следует, что В = 2, а так как 2 = В₁, то В = В₁. Теорема доказана.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Пропорциональные отрезки

Определение подобных треугольников

Отношение площадей подобных треугольников

Первый признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Средняя линия треугольника

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Практические приложения подобия треугольников

О подобии произвольных фигур

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60

Подобные треугольники

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 553,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 6,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 8,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 613,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 626*,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 630,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 849,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 853,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 854,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1270,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

---

© budu5.com, 2021

Пользовательское соглашение

Copyright

Подобие треугольников. Часть 2

Второй признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними): Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то треугольники подобны (рис. 1). 

Пусть даны треугольники Δ ABC, Δ A₁B₁C₁, в которых углы < A = < A₁ и  АВ/А₁В₁ =  АС/А₁С₁.
Необходимо доказать, что Δ ABC ~ Δ A₁B₁C₁.

Доказательство.

1) Достроим Δ A₁B₂C₁ такой, что < A₁C₁B₂ = < C,
< C₁A₁B₂ = < A = < C₁A₁B₁.

Тогда Δ ABC ~ Δ A₁B₂C₁ по двум углам, следовательно, по определению подобных треугольников, АВ/А₁В₂ = АС/А₁С₁.

2) По условию АВ/А₁В₁ = АС/А₁С₁, из пункта 1
АС/А₁С₁ = АВ/А₁В₂.
Объединив эти равенства, имеем:

АВ/А₁В₁ = АС/А₁С₁ = АВ/А₁В₂, следовательно,  A₁B₁ = A₁B₂.

3) Δ A₁B₂C₁ = Δ A₁B₁C₁ по двум сторонам и углу между ними:
A₁C₁ – общая, A₁B₁ = A₁B₂ из пункта 2,
< C₁A₁B₂ = < C₁A₁B₁ по построению.
Следовательно, по определению равных треугольников, < A₁C₁B₂ = < A₁C₁B₁.

4) Имеем: < A = < C₁A₁B₁ по условию, < C = < A₁C₁B₂ = < A₁C₁B₁ из доказанного,
следовательно, Δ ABC ~ Δ A₁B₁C₁ по двум углам.

Второй признак подобия треугольников позволяет доказать факт, который значительно облегчает решение некоторых задач.

Если AA₁ и CC₁ – высоты треугольника ABC, то треугольник A₁BC₁ подобен треугольнику ABC (рис. 2).

Следует обратить внимание на порядок вершин подобных треугольников ABC и A₁BC₁: вершины одного из них обходятся по часовой стрелке, а второго – против часовой стрелки.

При решении задач второй признак подобия, как правило, используется в сочетании с первым признаком.

Например,  сначала доказывается подобие треугольников с использованием первого признака. Далее делается вывод о пропорциональности сторон. Затем, используя полученную пропорциональность сторон, доказывается подобие другой пары треугольников, опираясь уже на второй признак.

Третий признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников довольно редко используется в решении задач, а доказательство его аналогично доказательству второго признака, поэтому приводить его не будем.

Третий признак подобия треугольников (по трем сторонам): Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники подобны.

Средние пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

Средним пропорциональным или средним геометрическим двух положительных чисел a и b называется число √(ab).

При проведении высоты к гипотенузе прямоугольного треугольника (рис. 3) образуется три подобных треугольника, в результате чего образованные в треугольнике отрезки связаны некоторыми соотношениями. Итак, имеем:

1. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное проекций катетов на гипотенузу.

2. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Кроме того, проекции катетов прямоугольного треугольника на гипотенузу пропорциональны квадратам соответствующих катетов.

Подведем итоги.

В прямоугольном треугольнике выполняются следующие соотношения (рис. 3):

 

а² = b² + c²

h_a² = c_a · b_a

c² = c_a · a

b² = (a · b_a)

h_a = (c · b)/a.

 

 

 Остались вопросы? Не знаете, как решать задачи на подобие треугольников?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Определение подобных треугольников

Два треугольника называются подобными, если отношения всех их соответствующих сторон равны.
Отношение \(k\) соответствующих сторон подобных треугольников называется коэффициентом подобия этих треугольников.

$$
\triangle{ABC} \backsim \triangle{A_1B_1C_1} \Leftrightarrow \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BC}{B_1C_1};
$$
$$
k=\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BC}{B_1C_1}
$$

Первый признак подобия треугольников

Если отношения двух сторон треугольников и равны углы между этими сторонами, то такие треугольники подобны.

$$
\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}, \, \angle{A}=\angle{A_1} \Rightarrow \triangle{ABC} \backsim \triangle{A_1B_1C_1}
$$

Второй признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

$$
\angle{A}=\angle{A_1}, \, \angle{B}=\angle{B_1} \Rightarrow \triangle{ABC} \backsim \triangle{A_1B_1C_1}
$$

Третий признак подобия треугольников

Если отношения всех соответствующих сторон треугольников равны, то такие треугольники подобны.

$$
\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BC}{B_1C_1} \Rightarrow \triangle{ABC} \backsim \triangle{A_1B_1C_1}
$$

Отношение соответствующих линейных элементов подобных треугольников

Отношение любых двух соответствующих линейных элементов подобных треугольников равно коэффициенту подобия этих треугольников.
(Соответствующие линейные элементы – это отрезки подобных фигур, полученные одинаковой конструкцией. Например, медианы треугольников, проведённые к соотвествующим сторонам, радиусы описанных окружностей, периметры, и так далее.)

$$
\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BC}{B_1C_1} \Rightarrow \triangle{ABC} \backsim \triangle{A_1B_1C_1}
$$

Параллельные прямые и подобие треугольников

Если стороны двух треугольников лежат на соответственно параллельных или совпадающих прямых, то такие треугольники подобны.
В частности, параллельные прямые отсекают от угла, либо вертикальных углов, подобные треугольники.

$$
AB || A_1B1, \, AC || A_1C_1, \, BC ||B_1C_1 \Rightarrow \triangle{ABC} \backsim \triangle{A_1B_1C_1};
$$
$$
AB || A_1B_1, \, D=AA_1 \cap BB_1 \Rightarrow \triangle{ABD} \backsim \triangle{A_1B_1D}
$$

Трапеция и подобные треугольники

При пересечении диагоналей трапеции, а также продолжений её боковых сторон, образуются подобные треугольники, прилежащие к основаниям трапеции. Коэффициент подобия в обоих случаях равен отношению оснований трапеции.

$$
\triangle{AOD} \backsim \triangle{COB}, \quad k=\frac{AD}{BC};
$$
$$
\triangle{AED} \backsim \triangle{BEC}, \quad k=\frac{AD}{BC}
$$

Подобие треугольников и пропорциональные отрезки

Теорема 1:

Если на одной из сторон угла отметить равные между собой отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то эти прямые отсекут на второй стороне также равные между собой отрезки.

 

Доказательство:

Докажем сначала лемму: Если в \(\triangle OBB_1\) через середину \(A\) стороны \(OB\) проведена прямая \(a\parallel BB_1\), то она пересечет сторону \(OB_1\) также в середине.

 

Через точку \(B_1\) проведем \(l\parallel OB\). Пусть \(l\cap a=K\). Тогда \(ABB_1K\) — параллелограмм, следовательно, \(B_1K=AB=OA\) и \(\angle
A_1KB_1=\angle ABB_1=\angle OAA_1\). Значит, по второму признаку \(\triangle OAA_1=\triangle B_1KA_1 \Rightarrow OA_1=A_1B_1\). Лемма доказана.

 

Перейдем к доказательству теоремы. Пусть \(OA=AB=BC\), \(a\parallel
b\parallel c\) и нужно доказать, что \(OA_1=A_1B_1=B_1C_1\).

 

Таким образом, по данной лемме \(OA_1=A_1B_1\). Докажем, что \(A_1B_1=B_1C_1\). Проведем через точку \(B_1\) прямую \(d\parallel OC\), причем пусть \(d\cap a=D_1, d\cap c=D_2\). Тогда \(ABB_1D_1, BCD_2B_1\) — параллелограммы, следовательно, \(D_1B_1=AB=BC=B_1D_2\). Значит, по первому признаку \(\triangle A_1B_1D_1=\triangle C_1B_1D_2
\Rightarrow A_1B_1=B_1C_1\).

 

Теорема Фалеса:

Параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.

 

Доказательство:

Пусть параллельные прямые \(p\parallel q\parallel r\parallel s\) разбили одну из прямых на отрезки \(a, b, c, d\). Тогда вторую прямую эти прямые должны разбить на отрезки \(ka,
kb, kc, kd\) соответственно.

 

Проведем через точку \(A_1\) прямую \(p\parallel OD\) (\(ABB_2A_1\) — параллелограмм, следовательно, \(AB=A_1B_2\)). Тогда \(\triangle OAA_1
\sim \triangle A_1B_1B_2\) по двум углам. Следовательно, \(\dfrac{OA}{A_1B_2}=\dfrac{OA_1}{A_1B_1} \Rightarrow A_1B_1=kb\).

 

Аналогично проведем через \(B_1\) прямую \(q\parallel OD \Rightarrow
\triangle
OBB_1\sim \triangle B_1C_1C_2 \Rightarrow B_1C_1=kc\) и т.д.

 

Наиболее часто встречающиеся подобия треугольников:

 

Теорема 2.

Средняя линия треугольника отсекает от него подобный ему треугольник.

 

Доказательство:

Т.к. средняя линия — это отрезок, соединяющий середины двух сторон, то \(\dfrac{AB}{A_1B}=\dfrac{CB}{C_1B}=2\).

 

Таким образом, по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (\(\angle B\) — общий) \(\triangle A_1BC_1 \sim \triangle ABC\).

 

Теорема 3.

Треугольники, образованные диагоналями трапеции и основаниями, подобны.

 

Доказательство:

Т.к. \(AD\parallel BC \Rightarrow \angle OBC=\angle ODA\). \(\angle
BOC=\angle AOD\) как вертикальные. Следовательно, по двум углам \(\triangle BOC\sim \triangle AOD\).

 

Теорема 4.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит его на два подобных треугольника.

 

Доказательство:

Обозначим \(\angle ACH=\alpha, \angle BCH=\beta\), т.\circ-\angle BA_1B_1=\angle BAB_1\).

 

Таким образом, по двум углам (\(\angle O\) — общий) \(\triangle
OAB\sim
\triangle OA_1B_1\).

 

Теорема 7.

Если к окружности из одной точки проведены касательная и секущая, то:

 

Доказательство:

Т.к. угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, заключенной между ними, то \(\angle OKA=\frac12 \buildrel\smile\over{KA}=\angle KBA\).

 

Следовательно, по двум углам (\(\angle O\) — общий) \(\triangle
OKA\sim \triangle OKB\).

 

Теорема 8.

Если в окружности две хорды пересекаются, то:

 

Доказательство:

\(\angle A_1AB_1=\angle A_1BB_1\), т.к. опираются на одну и ту же дугу. \(\angle A_1CB=\angle B_1CA\), т.к. они вертикальные. Следовательно, по двум углам \(\triangle A_1BC\sim
\triangle B_1C\).

 

Аналогично \(\triangle ABC\sim \triangle A_1B_1C\).

 

Второй признак подобия треугольников

На прошлом уроке мы с вами познакомились с первым
признаком подобия треугольников. Вспомним его.

Если два угла одного треугольника соответственно
равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Сегодня на уроке мы познакомимся со вторым
признаком подобия треугольников.

Теорема (2-й признак подобия треугольников). Если
две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого
треугольника и углы между ними равны, то такие треугольники подобны.

Доказательство:

,
.

,
,
тогда  по
1-му признаку.

.

Тогда .

Рассмотрим  и
.

,
–
общая, ,
значит, .

Следовательно, .

Что и требовалось доказать.

Посмотрите на следующие треугольники и найдите среди
них подобные.

Каждый из треугольников имеет угол, равный 65º.
Но только у треугольников а и б известны длины сторон, образующих этот угол.
Проверим пропорциональны ли эти стороны. Составим отношение их длин
,
 .
Видим, что эти отношения равны, а значит, стороны пропорциональны. Таким
образом, мы получили, что треугольники а и б подобны по двум сторонам и углу
между ними, то есть по второму признаку.

Задача. На одной из
сторон  отложены
отрезки  и
,
равные соответственно  см
и  см.
На другой стороне этого же угла отложены отрезки  и
,
соответственно равные  см
и  см.
Подобны ли треугольники  и
?

Решение.

Рассмотрим  и
.

 –
общий,  

;

;

значит, .

Следовательно,  по
2-му признаку.

Ответ: треугольники
подобны.

Задача. На рисунке ,
 см,
 см,
а  см.
Найдите  и
.

Решение.

Рассмотрим  и
.

 как
вертикальные,

,
,
.

Получаем, что  по
2-му признаку, .

,
,
 см,
 см,
 см,
 (см).

Ответ:  см,
 см.

Итак, сегодня на уроке мы познакомились со вторым
признаком подобия треугольников: если две стороны одного треугольника
пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между ними равны, то
такие треугольники подобны.

Также мы решили несколько задач на закрепление
материала.

похожих треугольников — доказательство, определение и теоремы (видео)

Подобные треугольники (определение, доказательство и теоремы)

Сходство в математике не означает того же, что сходство в повседневной жизни. Подобные треугольники — это треугольники одинаковой формы, но с разными размерами сторон.

1. Определение похожих треугольников

Проверка аналогичных треугольников

Теоремы подобия треугольника

Определение похожих треугольников

Мороженое с шоколадной крошкой и мороженое с шоколадной крошкой похожи, но не одинаковы.Слово «подобный» используется в повседневной жизни, но не так, как мы используем его в математике.

В геометрии две формы похожи , если они имеют одинаковую форму, но разные размеры. У вас может получиться квадрат со сторонами 21 см и квадрат со сторонами 14 см; они были бы похожи. Равносторонний треугольник со сторонами 21 см и квадрат со сторонами 14 см не похожи друг на друга, потому что это разные формы.

Подобные треугольники легко идентифицировать, потому что к треугольникам можно применить три теоремы.Эти три теоремы, известные как Угол — Угол (AA) , Сторона — Угол — Сторона (SAS) и Сторона — Сторона — Сторона (SSS) , являются надежными методами определения сходства в треугольниках.

1. Угол — Угол (AA)
2. Сторона — Угол — Сторона (SAS)
3. Сторона — Сторона — Сторона (SSS)

Соответствующие углы

В геометрии соответствие означает, что конкретная часть одного многоугольника точно соответствует аналогичной части другого.Даже если два треугольника ориентированы по-разному друг от друга, если вы можете повернуть их таким же образом и увидеть, что их углы одинаковы, вы можете сказать, что эти углы совпадают.

Три теоремы подобия в треугольниках зависят от соответствующих частей. Вы смотрите на один угол одного треугольника и сравниваете его с таким же углом другого треугольника.

Пропорции

Сходство связано с пропорцией. Треугольники легко оценить на предмет пропорциональных изменений, которые делают их похожими.Их сравнительные стороны пропорциональны друг другу; их соответствующие углы идентичны.

Вы можете установить отношения для сравнения длин сторон двух треугольников. Если отношения совпадают, соответствующие стороны подобны друг другу.

Уголок в комплекте

Включенный угол относится к углу между двумя парами соответствующих сторон. Вы не можете сравнить две стороны двух треугольников, а затем перепрыгнуть на угол, который не находится между этими двумя сторонами.

Доказательство аналогичных треугольников

Вот два равных треугольника. Чтобы облегчить вам жизнь, мы сделали их оба равносторонними треугольниками.

△ FOX сравнивается с △ HEN. Обратите внимание, что ∠O на △ FOX соответствует ∠E на △ HEN. Оба ∠O и ∠E составляют , включая углы между сторонами FO и OX на △ FOX и сторонами HE и EN на HEN.

Side FO конгруэнтен боковому HE; сторона OX конгруэнтна стороне EN, а ∠O и ∠E — входящие конгруэнтные углы.

Два равносторонних треугольника одинаковые, за исключением букв.Они одинакового размера, поэтому представляют собой одинаковых треугольников . Если бы они оба были равносторонними треугольниками, но сторона EN была бы вдвое длиннее стороны HE, это были бы треугольника, аналогичные .

Теоремы подобия треугольника

Угол-угол (AA) Теорема

Угол-угол (AA) говорит, что два треугольника подобны, если у них есть две пары соответствующих углов, которые совпадают. Два треугольника могут быть на больше, чем на аналогичных; они могли быть идентичными.Для AA все, что вам нужно сделать, это сравнить две пары соответствующих углов.

Примерка Угол-Угол

Вот два разносторонних треугольника △ JAM и △ OUT. Мы уже отметили два внутренних угла каждого треугольника с помощью сокращения геометрии для сравнения: маленьких косых черт. Одинарная косая черта для внутреннего A и такая же одинарная косая черта для внутреннего ∠U означает, что они совпадают. Обратите внимание, что ∠M совпадает с ∠T, потому что на каждом из них есть две маленькие косые черты.

Поскольку ∠A конгруэнтно ∠U, а ∠M конгруэнтно ∠T, теперь у нас есть две пары конгруэнтных углов, поэтому теорема AA утверждает, что эти два треугольника подобны.

Уловки торговли

Остерегайтесь уловок из учебников, онлайн-заданий и учителей математики. Иногда треугольники ориентированы по-разному, когда вы на них смотрите. Возможно, вам придется повернуть один треугольник, чтобы увидеть, сможете ли вы найти две пары соответствующих углов.

Еще одна проблема: два угла измеряются и идентифицируются на одном треугольнике, но два разных угла измеряются и идентифицируются на другом.

Поскольку каждый треугольник имеет только три внутренних угла, по одному каждому из идентифицированных углов должен быть конгруэнтным.Вычитая измеренные идентифицированные углы каждого треугольника из 180 °, вы можете узнать меру недостающего угла. Затем вы можете сравнить любые два соответствующих угла для сравнения.

Боковой угол-сторона (SAS) Теорема

Вторая теорема требует точного порядка: сторона, затем включенный угол, затем следующая сторона. Теорема Side-Angle-Side (SAS) гласит, что если две стороны одного треугольника пропорциональны двум соответствующим сторонам другого треугольника, и соответствующие им углы совпадают, эти два треугольника подобны.

Попытка бокового угла

Вот два треугольника, расположенных бок о бок и ориентированных одинаково. △ RAP и △ EMO определили стороны размером 37 дюймов на △ RAP и 111 дюймов на EMO, а также стороны 17 на △ RAP и 51 дюйм на EMO. Обратите внимание, что угол между указанными измеренными сторонами одинаков для обоих треугольников: 47 °.

Отношение 37/111 совпадает с соотношением 17/51? Да; эти два соотношения пропорциональны, так как каждое из них упрощается до 1/3.Эти два треугольника похожи друг на друга с одинаковым углом наклона.

Теорема Сторона-Сторона-Сторона (SSS)

Последняя теорема — Side-Side-Side или SSS . Эта теорема утверждает, что если два треугольника имеют пропорциональные стороны, они подобны. Это может показаться большим скачком, игнорирующим их углы, но подумайте об этом: единственный способ построить треугольник со сторонами, пропорциональными сторонам другого треугольника, — это скопировать углы.

Пробуем бок-бок-бок

Вот два треугольника: △ FLO и △ HIT.Обратите внимание, мы не определили внутренние углы. Стороны △ FLO имеют длину 15, 20 и 25 см. Стороны △ HIT имеют длину 30, 40 и 50 см.

Задайте соотношения сторон и оцените их:

1530 = 12

2040 = 12

2550 = 12

Все они имеют одинаковое соотношение при упрощении. Их всех 12. Итак, даже не зная внутренних углов, мы знаем, что эти два треугольника похожи, потому что их стороны пропорциональны друг другу.

Краткое содержание урока

Теперь, когда вы изучили этот урок, вы можете определять и идентифицировать похожие фигуры, и вы можете описать требования, чтобы треугольники были похожими (они должны иметь либо две конгруэнтные пары соответствующих углов, либо две пропорциональные соответствующие стороны с включенными соответствующими угол конгруэнтный, или все соответствующие стороны пропорциональны).

Вы также можете применить три теоремы подобия треугольников, известные как Угол — Угол (AA), Сторона — Угол — Сторона (SAS) или Сторона — Сторона — Сторона (SSS), чтобы определить, похожи ли два треугольника.

Следующий урок:

Постулаты конгруэнтности треугольника

похожих треугольников — объяснения и примеры

Теперь, когда мы закончили с конгруэнтными треугольниками, мы можем перейти к другой концепции под названием похожих треугольников.

В этой статье мы узнаем о похожих треугольниках, особенностях подобных треугольников, о том, как использовать постулаты и теоремы для определения похожих треугольников, и, наконец, как решать похожие задачи о треугольниках.

Что такое похожие треугольники?

Понятия «одинаковые треугольники» и «равные треугольники» — это два разных термина, которые тесно связаны между собой. Подобные треугольники — это два или более треугольника одинаковой формы, равных пар соответствующих углов и одинакового отношения соответствующих сторон.

Иллюстрация подобных треугольников:

Рассмотрим три треугольника ниже. Если:

1. Соотношение соответствующих сторон равно.

AB / PQ = AC / PR = BC = QR, AB / XY = AC / XZ = BC / YZ

1. ∠ A = ∠ P = ∠X, ∠B = ∠Q = ∠Y, ∠C = ∠R = ∠Z

Следовательно, ΔABC ~ ΔPQR ~ ΔXYZ

Сравнение похожих треугольников и конгруэнтных треугольников

Характеристики	Конгруэнтные треугольники		размер	такой же размер и форма	Такая же форма, но разный размер
Символ	≅	~
Соответствующие длины сторон	Отношение соответствующих сторон всегда равно равным треугольникам постоянное число 1.	Соотношение всех соответствующих сторон в подобных треугольниках согласовано.
Соответствующие углы	Все соответствующие углы равны.	Каждая пара соответствующих углов равна.

Как определить похожие треугольники?

Мы можем доказать сходство в треугольниках, применяя аналогичные теоремы треугольника. Это постулаты или правила, используемые для проверки похожих треугольников.

Существует три правила для проверки похожих треугольников: правило AA , правило SAS или правило SSS.

Правило угла-угла (AA):
Согласно правилу AA два треугольника считаются подобными, если два угла в одном конкретном треугольнике равны двум углам другого треугольника.

Правило стороны-угла-стороны (SAS):
Правило SAS гласит, что два треугольника подобны, если соотношение их соответствующих двух сторон равно, а также угол, образованный двумя сторонами, равен.

Правило стороны-стороны-стороны (SSS):
Два треугольника подобны, если все соответствующие три стороны данных треугольников находятся в одинаковой пропорции.

Как решать похожие треугольники?

Есть два типа одинаковых задач треугольника ; это задачи, которые требуют от вас доказательства того, что данный набор треугольников подобен, и те, которые требуют, чтобы вы вычислили недостающие углы и длины сторон подобных треугольников.

Давайте посмотрим на следующие примеры:

Пример 1

Проверьте, похожи ли следующие треугольники

Решение

Сумма внутренних углов в треугольнике = 180 °

Следовательно, учитывая Δ PQR

P + ∠Q + ∠R = 180 °

60 ° + 70 ° + ∠R = 180 °

130 ° + ∠R = 180 °

Вычтем обе стороны на 130 °.

∠ R = 50 °

Рассмотрим Δ XYZ

∠X + ∠Y + ∠Z = 180 °

∠60 ° + ∠Y + ∠50 ° = 180 °

∠ 110 ° + ∠Y = 180 °

Вычтем обе стороны на 110 °

∠ Y = 70 °

Отсюда;

• По правилу угла-угла (AA) ΔPQR ~ ΔXYZ.
• ∠Q = ∠ Y = 70 ° и ∠Z = ∠ R = 50 °

Пример 2

Найдите значение x в следующих треугольниках, если ΔWXY ~ ΔPOR.

Решение

Учитывая, что два треугольника подобны, тогда;

WY / QR = WX / PR

30/15 = 36 / x

Перекрестное умножение

30x = 15 * 36

Разделите обе стороны на 30.

x = (15 * 36) / 30

x = 18

Следовательно, PR = 18

Давайте проверим, равны ли пропорции соответствующих двух сторон треугольников.

WY / QR = WX / PR

30/15 = 36/18

2 = 2 (RHS = LHS)

Пример 3

Проверьте, похожи ли два треугольника, показанные ниже, и рассчитайте значение k.

Решение

По правилу SAS, два треугольника подобны.

Доказательство:
8/4 = 20/10 (LHS = RHS)

2 = 2

Теперь вычислите значение k

12 / k = 8/4

12 / k = 2

Умножьте оба стороны на k.

12 = 2k

Разделите обе стороны на 2

12/2 = 2k / 2

k = 6.

Пример 4

Определите значение x на следующей диаграмме.

Решение

Пусть треугольник ABD и ECD подобны треугольникам.

Примените правило стороны-угла-стороны (SAS), где A = 90 градусов.

AE / EC = BD / CD

x / 1,8 = (24 + 12) / 12

x / 1,8 = 36/12

Перекрестное умножение

12x = 36 * 1,8

Разделите обе стороны на 12.

x = (36 * 1,8) / 12

= 5,4

Следовательно, значение x равно 5,4 мм.

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

похожих треугольников — открытый справочник по математике

аналогичный треугольник — открытый справочник по математике

Определение: треугольники похожи, если имеют одинаковую форму, но могут быть разных размеров.
(Они все еще похожи, даже если один повернут, или один является зеркальным отображением другого).

Попробуйте это
Перетащите любую оранжевую точку в вершину любого треугольника. Оба треугольника изменят форму и останутся похожими друг на друга.

Треугольники похожи, если они имеют одинаковую форму, но не обязательно одинакового размера.
Вы можете думать об этом как о «увеличении» или «уменьшении», увеличивая или уменьшая треугольник, но сохраняя при этом его основную форму.
На рисунке выше, когда вы перетаскиваете любую вершину треугольника PQR, другой треугольник принимает ту же форму, но в два раза меньше.В формальных обозначениях мы можем написать

который читается как « Треугольник PQR подобен треугольнику P’Q’R ‘».
Буква с небольшой вертикальной чертой после нее, например P ‘, читается как « P prime ».

Свойства подобных треугольников

1. Соответствующие углы совпадают (одна и та же величина)

   Итак, на рисунке выше,
   угол P = P ‘, Q = Q’ и R = R ‘.

2. Соответствующие стороны имеют одинаковую пропорцию.

   Выше PQ вдвое превышает длину P’Q ‘.Следовательно, остальные пары сторон также находятся в такой же пропорции.
   PR вдвое больше P’R ‘, а RQ вдвое больше R’Q’. Формально в двух одинаковых треугольниках PQR и P’Q’R ‘:

Вращение

Один треугольник можно вращать, но пока они одинаковой формы, треугольники остаются похожими.
На рисунке ниже треугольник PQR похож на P’Q’R ‘, хотя последний повернут.
по часовой стрелке 90 °.

В этом конкретном примере треугольники одинакового размера, поэтому они также
конгруэнтный.

Отражение

Один треугольник может быть зеркальным отражением другого, но пока они имеют одинаковую форму, треугольники остаются похожими.
Он может отражаться в любом направлении: вверх, вниз, влево, вправо.
На рисунке ниже треугольник PQR является зеркальным отображением P’Q’R ‘, но по-прежнему считается похожим на него.

Как определить, похожи ли треугольники

Любой треугольник определяется шестью мерками (три стороны, три угла).
Но вам не нужно знать их все, чтобы показать, что два треугольника похожи.Подойдут разные группы по три человека. Треугольники подобны, если:

1. AAA (угол угла)
   Все три пары соответствующих углов одинаковы.
   См. Похожие треугольники AAA.
2. SSS в одинаковой пропорции (боковая сторона)
   Все три пары соответствующих сторон имеют одинаковую пропорцию
   См. Подобные треугольники SSS.
3. SAS (сторона бокового угла)
   Две пары сторон в одинаковой пропорции и равный прилегающий угол.
   См. Подобные треугольники SAS.

Подобные треугольники могут иметь общие части

Два треугольника могут быть похожими, даже если у них есть общие элементы. На рисунке ниже
больший треугольник PQR подобен меньшему STR. S и T — середины
PR и QR соответственно. Они разделяют вершину R и
часть сторон PR и QR. Они похожи по принципу ААА,
поскольку соответствующие углы в каждом треугольнике одинаковы.

Другие похожие темы

Подобные полигоны

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

свойств подобных треугольников | Обзор алгебры [видео]

похожих треугольников

Привет, и добро пожаловать в этот обзор на похожих треугольниках ! Сегодня мы собираемся изучить, как определять похожие треугольники и как мы можем использовать эти знания для решения очень популярной геометрической задачи.

Начнем с простого определения. Подобные треугольники — это треугольники одинаковой формы. Это означает, что у них будут те же три угла .Но вот нюанс — похожие треугольники не обязательно должны быть одинакового размера! Поэтому, если вы возьмете копию треугольника и расширите ее вдвое, она все равно будет похожа на исходный треугольник.

Обратите внимание, что два треугольника имеют одинаковую форму и пропорции. Это потому, что у них одинаковые углы, что делает их похожими треугольниками. Это метод определения подобия Angle-Angle-Angle , или AAA. Следует отметить, что каждый раз, когда вы расширяете треугольник, вы получаете два одинаковых треугольника.

Поскольку мы знаем, что эти два треугольника похожи на треугольники, мы можем выразить это в математической записи следующим образом: \ (△ ABC \) ~ \ (△ A’B’C ‘\)

Хорошо, но что, если бы мы этого не сделали? Не начинаете с расширения и не знаете всех углов? Есть ли другой способ узнать, похожи ли два треугольника?

Давайте посмотрим на пример, в котором нам известны только длины сторон двух треугольников:

Эти два треугольника имеют одинаковую форму, но помните, что в геометрии мы не всегда можем доверять своим глазам.Нам нужно доказать, что они имеют одинаковую форму, и мы можем сделать это, проверив, пропорциональны ли их стороны друг другу. Мы устанавливаем наши пропорции, устанавливая соотношения или доли соответствующих сторон и устанавливая их равными друг другу, например: У нас будут длины сторон для \ (△ ABC \) в числителях, а длины для \ (△ DEF \) — знаменатели. Это сработало бы так же хорошо, если бы мы поменяли его местами.

Очень важно обозначить пропорции, чтобы убедиться, что мы поместили все числа на свои места.

Итак, что эта пропорция делает для нас? Что ж, нам нужно проверить, правда ли это. В этом случае мы можем сделать это, уменьшив каждой из этих фракций до их простейшего вида. Мы видим, что 3 входит в верхнюю и нижнюю часть \ (\ frac {6} {9} \), поэтому мы можем уменьшить его до 2 вместо 3. Четыре входит в \ (\ frac {8} {12} \) а 5 переходит в \ (\ frac {10} {15} \). Когда мы уменьшаем эти две дроби, мы также получаем \ (\ frac {2} {3} \). В уменьшенном виде наша пропорция выглядит так:

Это доказательство того, что все наши стороны пропорциональны.Если все стороны пропорциональны, то мы знаем, что наши треугольники пропорциональны. Это метод Side-Side-Side или SSS, метод доказательства сходства. Итак, теперь мы можем сказать, что \ (△ ABC \) ~ \ (△ DEF \).

Вместо того, чтобы уменьшать, мы могли бы также проверить, пропорциональны ли отношения, преобразовав каждое отношение в десятичное число, разделив верхнюю часть на нижнюю. В этом случае \ (\ frac {6} {9} \), \ (\ frac {8} {12} \) и \ (\ frac {10} {15} \) дали бы нам ту же десятичную дробь. значение, равное 0.66666666.

Итак, теперь мы знаем, что если все углы одинаковы или если все стороны пропорциональны, наши два треугольника похожи.

Существует еще один метод доказательства сходства, который называется Side-Angle-Side , или SAS. Здесь мы знаем, что два треугольника имеют один угол, равный одной и той же величине, и что две стороны, выходящие из этого угла, пропорциональны.

Давайте посмотрим на наши последние два треугольника, но вместо того, чтобы знать все три стороны, мы знаем только два набора соответствующих сторон вместе с углом между ними, например:

Мы видим, что угол между Две измеренные стороны помечены квадратом, что, как мы знаем, означает, что это прямой угол и, следовательно, 90 градусов.Поскольку этот угол одинаков в обоих треугольниках, нам просто нужно проверить, пропорциональны ли две соседние стороны, например:

Уменьшение дробей снова приводит к тому, что они становятся 2 на 3, поэтому стороны пропорциональны. Поскольку угол между этими сторонами одинаковый, или , равный , этот треугольник аналогичен.

Хорошо, а что мы можем сделать с этой способностью распознавать похожие треугольники? Возможно, вы уже видели это раньше, но вот классическая высота задачи о дереве:

Вот что мы знаем.Дерево и флагшток стоят вертикально перпендикулярно земле. Каждый из них отбрасывает тень от одного и того же источника света — солнца. Лучи, исходящие от солнца, представляют собой прямые линии, падающие на предметы под углом. Земля плоская и может считаться плоской, что означает, что любые две точки на ней могут быть соединены прямой линией. Это означает, что я могу нарисовать два треугольника на этом рисунке, например:

Теперь давайте оставим наши треугольники, но потеряем красивый пейзаж.

Затем давайте обозначим все точки, чтобы мы могли ссылаться на них. Неважно, какую букву мы используем для каждой точки.

Мы также знаем, что угол B и угол D являются прямыми углами, поскольку флагшток и дерево указывают прямо вверх перпендикулярно земле, поэтому мы также обозначим это:

Поскольку мы знаем, что угол A тот же для обоих треугольников, и что углы B и D являются прямыми углами и, следовательно, конгруэнтны, это означает, что углы C и E также конгруэнтны.Почему? Потому что внутренние углы треугольника должны составлять в сумме 180 °. Таким образом, если A равно 30 °, а B и D равны 90 °, тогда C и E будут равны 60 °.

Теперь мы знаем, что они похожи на треугольники, используя метод AAA доказательства подобия.

Теперь мы можем перейти к интересной части и использовать эти треугольники, чтобы найти высоту дерева. Во-первых, нам нужно сделать некоторые измерения. Нам нужно измерить флагшток, длину тени от флагштока и длину тени дерева.К счастью, все это легко сделать. Стандартный флагшток для гольфа имеет высоту 7 футов. Очевидно, тени лежат на земле, поэтому мы можем измерить их длинной рулеткой. Затем мы можем добавить их к нашим треугольникам.

Поскольку стороны одинаковых треугольников всегда пропорциональны, мы можем установить пропорцию со всеми помеченными строками и столбцами:

Мы не знаем ни одной из диагональных сторон, но они нам не нужны для этого типа проблемы. Мы знаем стороны обоих треугольников и высоту \ (△ ABC \).Мы можем поместить переменную для высоты дерева, которая равна \ (\ overline {DE} \) в нашем треугольнике. Теперь мы просто используем перекрестные произведения для решения:

Взятие перекрестных произведений приводит к уравнению \ (9x = 45 • 7 \) или \ (9x = 315 \) после умножения 45 и 7. Деление обеих частей на 9 дает нам \ (x = 35 \). Итак, наше дерево имеет высоту 35 футов!

Хорошо, теперь, когда мы все рассмотрели, давайте сделаем краткий обзор:

Подобные треугольники — это треугольники, имеющие одинаковую форму. Есть три способа доказать, что два треугольника подобны.Метод подобия AAA — это когда все три угла треугольников совпадают. Метод SSS — это когда все три стороны треугольников имеют одинаковую длину. И, наконец, метод SAS — это когда два треугольника имеют один угол, равный одной и той же величине, и две стороны, выходящие из этого угла, пропорциональны.

Надеюсь, этот обзор был полезен! Спасибо за просмотр и удачной учебы!

Подобные треугольники: Учебное пособие по доказательству сходства треугольников

Доказательство сходства треугольников

Представьте, что вы попали в ловушку, которая бросает вас и вашу маленькую собачку посреди странной новой земли.Чтобы попасть домой, вы должны доказать, что два треугольника похожи. Как ты это сделаешь?

Просто щелкните пятками три раза и скажите: «Нет места лучше, чем мой класс геометрии. Нет места лучше, чем мой класс геометрии. Нет места лучше, чем мой класс геометрии».

Если только!

Здесь, в реальном мире, есть три метода, которые мы можем использовать, чтобы доказать, что два треугольника похожи. К счастью, они на похожи на , о которых мы уже узнали.Видите, что мы там делали? Разве мы не прикол?

Когда мы впервые увидели эти методы, они выглядели как полезные рабочие, ухаживающие за подходящими свиньями и вспахивающие равные поля. Теперь они пугало, оловянный человечек и лев, и все они помогают вам добраться до волшебника подобия в конце дороги из желтого кирпича. Они могут выглядеть как одни и те же теоремы (в некоторых случаях они даже имеют одни и те же имена), но это не одно и то же. Те другие были примерно равными треугольниками, а эти — примерно аналогичными треугольниками.

Первым методом доказательства сходства является постулат Side-Side-Side (SSS) . Вот что говорится о похожих треугольниках:

Если три стороны двух треугольников пропорциональны по длине, то треугольники подобны.

Пример задачи

Докажите, что эти треугольники похожи.

Заявление	Причина
1. DO = 8, WI = 6	Дано
2. OR = 12, IZ = 9	Дано
3. RD = 16, ZW = 12	Дано
4.	Алгебра
5. ∆ DOR ~ ∆ WIZ	Постулат сторона-сторона-сторона (4)

Второй способ доказать сходство треугольников — это постулат угла-угла (AA) . Это выглядит примерно так:

Если два треугольника имеют две пары совпадающих углов, то треугольники подобны.

Пример задачи

Докажите, что эти треугольники похожи.

Заявление	Причина
1. ∠ T ≅ ∠ M	Приведено (на рисунке)
2.70 ≅ TNI MNA	Теорема о вертикальных углах
3. ∆ TIN ~ ∆ MAN	Постулат угла-угла (1, 2)

Есть еще один способ доказать, что два треугольника подобны : постулат Боковой угол-сторона (SAS) .SAS — это приятное сочетание AA и SSS. В некотором роде летающие обезьяны — это смесь птиц и обезьян, за исключением того, что SAS намного более цивилизован и не подчиняется приказам водорастворимой ведьмы. Мы думаем.

По сути, он говорит следующее:

Если две стороны пропорциональны, а угол между этими двумя сторонами конгруэнтен, то треугольники подобны.

Пример задачи

Докажите, что эти треугольники похожи.

4

Свойство замены . m∠ W = 35, m∠ K = 35

Заявление	Причина
1. WI = 12, WC = 15, KE = 8, KD = 10	Дано
2.	Алгебра
3.	Свойство замещения
Учитывая
5. ∠ W ≅ ∠ K	Переходное свойство
6. ∆ WIC ~ ∆ KED	Боковой угол Боковой (3, 5)

Как рассчитать одинаковые треугольники в геометрии

Ключевые термины

o Преобразование

o Перевод

o Отражение

o Линия отражения

o Вращение

o Центр вращения

o Расширение

o Угловое состояние

o Условие соразмерности (пропорциональности)

o Боковой угол-сторона (пропорциональность)

Цели

o Понять, как преобразования могут использоваться как метод понимания соответствия и сходства

o Докажите, что два треугольника похожи, используя соответствующие критерии

Другой взгляд на совпадение и сходство

Давайте рассмотрим задачу доказательства того, что два треугольника подобны.Напомним, что сравнение означает, что размеры всех трех сторон и всех трех углов одинаковы для двух треугольников. Все, что требуется для подобия, — это совпадение углов. Другой способ взглянуть на конгруэнтность и сходство — с помощью геометрических преобразований . С точки зрения непрофессионала трансформация — это просто движение или изменение фигуры. Четыре основных преобразования — это переводы, отражения, вращения и растяжения. Перенос — это просто перемещение всей фигуры на некоторое расстояние, при этом форма и ориентация фигуры остаются неизменными.Перевод показан ниже.

Еще одно преобразование — это отражение , которое создает зеркальное отображение фигуры. Линия отражения должна быть выбрана в качестве «зеркала» для создания отраженной фигуры. Отражение показано ниже.

Вращение , как следует из названия, просто включает в себя «вращение» фигуры вокруг некоторой точки (этот центр вращения может находиться либо внутри, либо за пределами фигуры). Ниже показаны два поворота: в крайнем левом примере центр вращения находится внутри рисунка, а в крайнем правом примере центр вращения находится за пределами рисунка.

Наконец, расширение — это просто расширение или уменьшение фигуры, так что новая фигура пропорциональна во всех своих размерах.

Если две фигуры совпадают, то одна фигура может быть наложена на другую посредством некоторой комбинации перемещений, отражений и вращений. Рассмотрим два конгруэнтных треугольника ниже.

Если мы повернем треугольник справа на четверть оборота (против часовой стрелки), а затем отразим его, то получится треугольник, который идеально соответствует треугольнику слева.

Эти математические манипуляции представляют собой более строгий способ сказать, что если мы вырежем из листа бумаги два треугольника абсолютно одинаковой формы, то эти треугольники останутся такими же, независимо от того, как мы поворачиваем, переворачиваем или перемещаем эти листы бумаги. !

Если два треугольника (или другие фигуры) могут быть наложены посредством некоторой серии преобразований, включающих расширение, то треугольники подобны. Рассмотрим два подобных треугольника, показанных ниже.

Расширяя и перемещая меньший треугольник, мы можем создать идеальное перекрытие большого треугольника.Поскольку расширение необходимо, эти треугольники похожи, но не совпадают.

Практическая задача: Определите серию преобразований, которая показывает, что треугольники ниже совпадают.

Решение: Чтобы продемонстрировать, что два вышеупомянутых треугольника совпадают, нам нужно выполнить серию преобразований (перемещений, вращений или отражений), чтобы один треугольник полностью перекрывал другой. Выполним наши преобразования в правом треугольнике.Осмотрев, мы видим, что нам нужно повернуть треугольник (180 °), а затем сдвинуть его влево.

Опять же, поскольку треугольники перекрываются, они конгруэнтны (мы также знаем, что треугольники конгруэнтны из данной диаграммы по условию SAS).

Практическая задача : Покажите серией преобразований, что треугольники ниже похожи.

Решение: Если мы сможем найти серию геометрических преобразований (перемещений, вращений, отражений или растяжений), которые позволят нам сделать треугольник справа, перекрывая треугольник слева, то треугольники будут похожи.По условию пропорциональности (пропорциональности) мы уже можем видеть, что треугольники подобны. Чтобы сделать их конгруэнтными, давайте сначала расширим треугольник справа (то есть увеличим его в три раза по сравнению с текущим размером).

Затем мы переместим треугольник влево, чтобы показать идеальное перекрытие, тем самым продемонстрировав, что треугольники похожи.

Доказательство сходства

Как и в случае с конгруэнтностью, мы можем определить несколько условий для доказательства сходства в треугольниках, которые не требуют от нас доказательства того, что все три угла конгруэнтны.Опять же, условием подобия является то, что внутренние углы одного треугольника совпадают с углами другого треугольника.

Первое условие, которое мы можем использовать для доказательства сходства, — это условие угол-угол . Напомним, что сумма всех углов в треугольнике всегда равна 180 °; таким образом, если два треугольника имеют два равных угла, они также должны иметь конгруэнтный третий угол, как показано ниже.

Остальные критерии подтверждают сходство через пропорциональность.Одним из этих критериев является условие сторона-сторона-сторона (пропорциональность) , которое просто гласит, что если соответствующие стороны двух треугольников пропорциональны (то есть имеют одну и ту же константу пропорциональности), то они являются подобными треугольниками. . Рассмотрим, например, два треугольника ниже.

Поскольку каждая сторона крайнего правого треугольника составляет половину длины соответствующей стороны крайнего левого треугольника, эти два треугольника подобны. Таким образом, мы также можем сделать вывод, что соответствующие углы для двух треугольников совпадают.

Последним критерием подобия, который мы обсудим, является условие боковой угол-сторона (пропорциональность) . В этом случае два треугольника подобны, если две соответствующие стороны пропорциональны, а включенные углы совпадают. Рассмотрим два треугольника ниже.

Эти два треугольника подобны, потому что соответствующие помеченные стороны пропорциональны (длина сторон крайнего правого треугольника в 5/3 раза больше длины сторон крайнего левого треугольника), а соответствующие включенные углы конгруэнтны.Таким образом, используя любой из вышеперечисленных критериев, мы можем доказать, что два треугольника конгруэнтны.

Практическая задача: Докажите, что треугольники ABD и BCD подобны.

Решение : Давайте докажем, что треугольники похожи, используя формат доказательства с двумя столбцами. Обратите внимание, что треугольники имеют равные углы и . Мы также можем разделить треугольники для ясности.

1. Учитывая

2. Дано, 8 = 2 ∙ 4

3. Дано, 4 = 2 ∙ 2

4. Стороны BC и BD, а также утверждения 2 и 3

стороны BD и AB равны

пропорциональный

5. Условие пропорциональности треугольников ABD и BCD Сторона-угол-сторона (пропорциональность)

похожи

Таким образом, мы показали, что два треугольника подобны.

Практическая задача : Докажите, что любые два равносторонних треугольника подобны.

Решение : Из нашего изучения треугольников мы знаем, что равносторонний треугольник содержит три совпадающих угла; таким образом, размер каждого угла в равностороннем треугольнике составляет 60 °. В результате по условию угол-угол все равносторонние треугольники должны быть похожи друг на друга.

Практическая задача : Два равнобедренных треугольника имеют внутренний угол 100 °. Докажите, что эти треугольники похожи.

Решение : Начнем с рисования диаграммы (не обязательно в масштабе).Назовем два равнобедренных треугольника ABC и XYZ.

Поскольку в треугольнике всего 180 °, сумма двух других углов в каждом треугольнике должна составлять 80 °; кроме того, поскольку треугольники равнобедренные, эти углы должны совпадать друг с другом. Давайте сделаем доказательство из двух столбцов, чтобы шаг за шагом показать наши рассуждения.

1. Дано

2. Равнобедренный треугольник

3. Равнобедренный треугольник

4. 180 ° в треугольнике

5.Треугольники ABC и XYZ соответствуют условию «Угол-угол

».

аналогичный

В более общем плане мы можем сказать, что любые два равнобедренных треугольника, которые имеют равные тупые углы, должны быть подобны. (Применяются те же рассуждения — все, что требуется, — это то, что оба равнобедренных треугольника имеют тупой угол с одинаковой мерой.)

Геометрия | Решенные примеры | Www.Cuemath.Com

Введение в подобие:

Если два треугольника похожи на , это означает, что:

• Все соответствующих углов пар равны
• Все соответствующие стороны пропорциональны

Однако, чтобы быть уверенным, что два треугольника похожи, нам не обязательно иметь информацию обо всех сторонах и всех углах.

Подумайте: SAS — это критерий сходства, а также критерий конгруэнтности. В чем разница между двумя критериями?

---

Что такое критерий подобия SAS?

Критерий сходства SAS утверждает, что если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны и двум соответствующим сторонам другого , и если включенные углы равны , то два треугольника подобны.

Обратите внимание, что ударение на слове включает . Если равный угол — это не включенный угол, тогда два треугольника могут не быть похожими. Рассмотрим следующую цифру:

Принято, что

\ [\ begin {align} & \ frac {{AB}} {{DE}} = \ frac {{AC}} {{DF}} \ end {align} \]

\ [\ угол A = \ угол D \]

Критерий SAS говорит нам, что \ (\ Delta ABC \) ~ \ (\ Delta DEF \). Посмотрим на оправдание этого.

---

Подтверждение критерия подобия SAS:

Предположим, что AB> DE.

Дано:

1. \ (\ frac {{DE}} {{AB}} = \ frac {{DF}} {{AC}} \)
2. \ (\ угол D = \ угол A \)

Чтобы доказать: \ (\ Delta DEF \) аналогично \ (\ Delta ABC \)

Строительство:

1. Возьмем точку \ (X \) на \ (AB \) такую, что \ (AX = DE \)
2. Через \ (X \) проведите отрезок \ (XY \ parallel BC \), пересекающий \ (AC \) в точке \ (Y \)

Доказательство: Поскольку \ (XY \ parallel BC \), мы можем отметить, что \ (\ Delta AXY \) ~ \ (\ Delta ABC \), и, таким образом:

\ [\ frac {{AX}} {{AB}} = \ frac {{AY}} {{AC}}…. (1) \]

Теперь мы покажем, что \ (\ Delta AXY \) и \ (\ Delta DEF \) конгруэнтны. Дано, что:

\ [\ frac {{DE}} {{AB}} = \ frac {{DF}} {{AC}} …. (2) \]

Так как \ (AX = DE \) (по построению) и из (1) и (2), имеем:

\ [\ frac {{DE}} {{AB}} = \ frac {{AX}} {{AB}} = \ frac {{AY}} {{AC}} = \ frac {{DF}} { {AC}} \]

Таким образом,

\ [AY = DF \]

Теперь, по критерию соответствия SAS,

\ [\ begin {собрано}
& \ Delta AXY \ cong \ Delta DEF \ hfill \\
\ Rightarrow & \ Delta AXY \ sim \ Delta DEF \ hfill \\
\ end {gather} \]

В то время как у нас уже есть, \ (\ Delta AXY \) ~ \ (\ Delta ABC \),

Это означает, что,

\ (\ Delta DEF \) и \ (\ Delta ABC \) похожи.

Следовательно, доказано .

А теперь давайте посмотрим на несколько решенных примеров и проблемных вопросов.

---

Решенных примеров:

Пример 1: Ранее вас спрашивали, в чем разница между критерием подобия SAS и критерием конгруэнтности?

Решение: В критерии конгруэнтности SAS вы должны показать, что две пары сторон равны и их входящие углы также равны. Но в критерии подобия SAS вы должны показать, что две пары сторон пропорциональны и их входящие углы равны.

⚡Совет: Два треугольника, которые похожи по критерию подобия SAS с масштабным коэффициентом 1, будут конгруэнтными.

---

Пример 2: Рассмотрим следующий рисунок:

Предположим, что \ (OA \ times OB = OC \ times OD \). Покажите, что \ (\ angle A \) = \ (\ angle C \) и \ (\ angle B \) = \ (\ angle D \).

Решение: Используя предоставленную нам информацию, мы имеем:

\ [\ frac {{OA}} {{OC}} = \ frac {{OD}} {{OB}} \]

Таким образом, две пары сторон \ (\ Delta AOD \) и \ (\ Delta COB \) соответственно пропорциональны.

Также \ (\ angle AOD \) = \ (\ angle COB \), потому что это вертикально противоположные углы.

Это означает, что,

\ [\ Delta AOD \ sim \ Delta COB \]

А так,

\ (\ angle A = \ angle C \) и \ (\ angle B = \ angle D \)

Задача 1: Рассмотрим ту же цифру:

Предположим, что \ (\ angle A = \ angle C \) и \ (\ angle B = \ angle D \). Покажите, что \ (OA \ times OB = OC \ times OD \)

⚡Совет: Это обратное примеру 2.

---

Пример 3: Рассмотрим следующий рисунок:

Найдите значение \ (\ angle E \).

Решение: Совместите самую длинную сторону с самой длинной стороной, а самую короткую сторону с самой короткой стороной и проверьте все три соотношения.

Отметим, что три стороны двух треугольников соответственно пропорциональны:

\ [\ begin {align} & \ left \ {\ begin {gather} \ frac {{DE}} {{AB}} = \ frac {{4.2}} {6} = 0,7 \\ \ frac {{DF }} {{AC}} = \ frac {{2.0}}
\ end {array} \]

---

Пример 4: Рассмотрим два похожих треугольника, \ (\ Delta ABC \) и \ (\ Delta DEF \):

\ (AP \) и \ (DQ \) — медианы в двух треугольниках соответственно. Покажи, что

\ [\ frac {{AP}} {{BC}} = \ frac {{DQ}} {{EF}} \]

Решение: Поскольку два треугольника подобны, они равны и равны углам .

Это означает, что,

\ [\ angle B = \ angle E \]

Также,

\ [\ begin {align} \ frac {{AB}} {{DE}} & = \ frac {{BC}} {{EF}} \\ \ Rightarrow \ quad \ frac {{AB}} {{DE }} & = \ frac {{BC / 2}} {{EF / 2}} = \ frac {{BP}} {{EQ}} \ end {align} \]

Следовательно, по критерию подобия SAS,

\ [\ Delta ABP \ sim \ Delta DEQ \]

Таким образом, стороны этих двух треугольников будут соответственно пропорциональны, и так:

\ [\ begin {align} \ frac {{AB}} {{DE}} & = \ frac {{AP}} {{DQ}} \\ \ Rightarrow \ quad \ frac {{AP}} {{DQ }} & = \ frac {{BC}} {{EF}} \\ \ Rightarrow \ quad \ frac {{AP}} {{BC}} & = \ frac {{DQ}} {{EF}} \ end {align} \]

Задача 2: Рассмотрим два похожих треугольника, \ (\ Delta ABC \) и \ (\ Delta DEF \):

\ (AP \) и \ (DQ \) — медианы в двух треугольниках соответственно.Покажите, что \ (\ Delta APC \ sim \ Delta DQF \)

⚡Совет: \ (P \) и \ (Q \) — средние точки \ (BC \) и \ (EF \).