Формула cosx cosy: Тригонометрические формулы 2

Содержание

Тригонометрические формулы 2

sin и cos суммы и разности двух аргументов

sin()=sin ·cossin·cos

cos()=cos·cos+sin  ·sin

tg   tg

tg () = 1  tg  · tg 

tg () =

= ctg  · ctg + 1 = 1 tg  · tg

ctg   ctg tg   tg

Тригонометрические функции двойного аргумента

sin2x=2sinx cosx

cos 2x = cos2x — sin2x=

= 2cos2x-1=1-2sin2x

tg2x= 2 tgx

1 — tg2x

sin 3x =3sin x — 4 sin3x

cos 3x= 4 cos3 x — 3 cos

ВАЖНО: знак перед корнем зависит от того, где нах-ся угол Ѕ x:

sin Ѕ x= 1-cosx

2

cos Ѕ x= 1+cosx

2

NB! Следующие формулы справедливы при знаменателе  0 и существования функций, входящих в эти формулы (tg, ctg)

tg Ѕ x=sinx =1-cosx =1-cosx

1+cosx sinx 1+cosx

сtgЅ x=sinx =1+cosx =1+cosx

1-cosx sinx 1-cosx

Формулы понижения степени:

sin2 x = 1– cos 2x

2

cos2 x = 1+ cos 2x

2

sin3 x = 3 sin x – sin 3x

4

cos3 x = 3 cos x + cos 3x

4

Преобразование произведения двух функций в сумму:

2 sinx siny = cos(x-y) – cos(x+y)

2 cosx cosy = cos(x-y)+cos(x+y)

2 sinx cosy = sin(x-y) + sin (x+y)

tgx tgy = tgx + tgy

ctgx + ctgy

ctgx ctgy = ctgx + ctgy

tgx + tgy

tgx ctgy = tgx + ctgy

ctgx + tgy

NB! Вышеперечисленные формулы справедливы при знаменателе  0 и существования функций, входящих в эти формулы (tg, ctg)

sinx  siny= 2sin xy cos x+ y

2 2

cosx + cosy =2cos x+y cos x-y

2 2

cosx — cosy = — 2sin x+y sin x-y

2 2

tgx  tgy= sin(xy)

cosx cosy

tgx + сtgy= cos(x-y)

cosx siny

ctgx — tgy= cos(x+y)

sinx cosy

ctgxctgy= sin(yx)

sinx siny

sin x = 1 x= Ѕ  +2n, n Z

sin x = 0 x= n, n Z

sin x = -1 x= — Ѕ  +2n, n Z

sin x = a , [a]≤ 1

x = (-1)karcsin a + k, k Z

cosx=1 x=2n, n Z

cosx=0 x= Ѕ  +n, n Z

cosx= -1 x= +2n, n Z

cosx= -Ѕ x=2/3  +2n, n Z

cosx = a , [a]≤ 1

x=arccos a + 2n, n Z

arccos(-x)= - arccos x

arcctg(-x)=  — ctg x

tg x= 0 x= n, n Z

ctg x= 0 x=Ѕ +  n, n Z

tg x= a x= arctg a +n, n Z

ctg x = a x=arcctg a + n, n Z

Знаки тригонометрических функций в четвертях:

№\f()

рад =  /180; = 180/

Формулы приведения

Значения тригонометрических

функций основных углов:

sin

cos

tg

ctg

I

+

+

+

+

II

+

III

+

+

IY

+

+

– 

/2  

  

3/2   

2 – 

sin

-sin 

cos 

+sin 

— cos 

— sin 

cos

cos 

+sin 

— cos 

 sin 

cos 

tg

— tg 

+ ctg 

 tg 

+ ctg 

— tg 

ctg

— ctg 

+ tg 

 ctg 

+ tg 

-ctg 

0

30

45

60

90

180

270

 / 6

 /4

 /3

 /2

3/2

sin

0

Ѕ

2 / 2

3 / 2

1

0

– 1

cos

1

3 / 2

2 / 2

Ѕ

0

1

0

tg

0

3 / 3

1

3

0

ctg

3

1

3 / 3

0

0

..::Шпаргалки по математике::..










































Формулы
сокращенного умножения
(a ± b)2 =a2
± 2ab+b2
(a-b)3 =a3 — b3
— 3ab(a-b
)
(a ± b)3 =a3
± 3a2b+3ab2 ± b3
xn — an=(x — a)(xn-1+axn-2+a2xn-3+…+an-1)
a2 — b2 =(a+b
)(a-b)
ax2+bx+c=a(x-x1)( x-x2)
a3 + b3=( a+b)(a2
— ab + b2)
где x1 и x2 — корни уравнения
a3 — b3=( a —
b)(a2 + ab + b2)
ax 2 +bx+c=0
(a + b )3 =a3 + b3
+ 3ab(a + b)
 
Квадратное
уравнение
ax2+bx+c=0; (a — не
равно 0)
Приведенное кв. Уравнение:
x1,2 = (-b ± D)/2a;
D=b2 -4ac
x2 + px+q =0
D<0, корней нет. x1+x2 = -p; x1×
x2 = q
Теорема Виета: Если p=2k (p-четн .)
x1 +x 2 = -b /a; x1
× x 2 = c /a
и x2+2kx+q=0, то x1,2 = -k ± (k
2 -q )
Тригонометрия
Ф-лы преобраз.
суммы в произв:
Формулы преобр. произв.
в сумму:
sin x + sin y = 2sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2) sin x sin y = ½(cos (x-y) — cos (x+y))
sin x — sin y = 2cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2) cos x cos y = ½(cos (x-y)+ cos (x+y))
cos x + cos y = 2cos ((x+y)/2) cos ((x-y)/2) sin x cos y = ½(sin (x-y)+ sin (x+y))
cos x — cos y = -2sin ((x+y)/2) sin ((x-y)/2)  
Тригонометрия
Соотнош. между
ф-ями:
sin 3a = 3sin a — 4sin 3a = 3cos2a
sina — sin 3a
sin x = (2 tg x/2)/(1+tg2x/2) cos 3a = 4cos 3a — 3cos a =
cos x = (1-tg2x/2)/ (1+ tg2
x/2)
= cos 3a — 3cosa sin2a
sin2a = 1/(1+ctg2a)
= tg2a/(1+tg2a)
tg3a = (3tga-tg3a)/(1-3tg2a)
cos2a = 1/(1+tg2a) =
ctg2a / (1+ctg2a)
ctg3a = (ctg3a-3ctga)/(3ctg2a-1)
ctg 2a = (ctg 2a-1)/ 2ctg a sin a/2 = ±((1-cos
a)/2)
Производная
Свойства: уравнение к касат. к графику
в точке x0:
(u × v)’ = u’×v + u×v’ 1. Найти производную
(u/v)’ = (u’v — uv’)/ v2 2. Угловой коофициент k =
Уравнение касательной к
графику:
= производная в данной точке x
y = f(x0)+ f ‘(x0)(x-x0) 3. Подставим x0, f(x0), f ‘(x0)


ГЕОМЕТРИЯ(планиметрия)
Теорема косинусов: S=abc/4R; S=pr
c2 = a2 + b2
— 2ab cos C
Трапеция: S = h×(a+b)/2
Теорема синусов: Круг: S= R2
a/sin A = b/sin B = c/sin C Sсектора=(A/360)×R2,
Формула Герона : где величина угла А в градусах
p =½(a+b+c)  
S = (p(p-a)(p-b)(p-c))
 
S = ½(a×b×sin C)  

Прямые перпендикулярные к плоскости — Студопедия

Прямая перпендик к плоскости если она перпендик к любой прямой лежащей в этой плоскости

Теорема: если одна из двух || прямых перпендик к плоскости то и другая прямая перпендик к этой плоскости

Док-во:
Рассмотрит 2 || прямые а и а1 и плоскость альфа так что а перпендик альфа
Докажем что и а1 перпендик альфа
Проведем какую нибудь прямую х в плоскости альфа. Так как а перпендик альфа то а перпендик х. По лемме о перпендикулярности 2ух || прямых к третьей а1 перпендик х
Таким образом а1 перпендик к любой прямой лежащей в плоскости альфа а1 перпендик альфа
Доказано

Теорема: если 2 прямые перпендик то они ||
Рассмотрим а и b перпендик к плоскости альфа. Докажем что а||b
Через какую нибудь точку М прямой b проведем b1 параллельную а. По предыдущей теореме b1 перпендик альфа. Докажем что b1 совпадает с b
Допустим что они не совпадают тогда в плоскости бета содержащей эти прямые через точку М проходят 2 прямые перпендик с по которой пересекаются альфа и бета это невозможно значит b и b1 совпадают а значит а||b
Доказано

Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Теорема:
Если прямая перпендик к двум пересек прямым лежащим в плоскости то она перпендик к этой плоскости

Там большое докозательство я пишу на телефоне так что позже капельку напишу.

Теорема о прямой перпендикулярной к плоскости

Теорема:
Через любую точку пространства проходит прямая перпендикулярная к данной плоскости и при том только одна

26.Перпендикуляр и наклонная.

Пусть даны плоскость и не лежащая на ней точка.

Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости.

Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.

Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости.

Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной.

Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.

AB – перпендикуляр к плоскости α.
AC – наклонная, CB – проекция.
Угол между прямой и плоскостью.

Углом между прямой и плоскостью,пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и её проекцией на плоскость.

Если прямая перпендикулярна к плоскости, то её проекцией на эту плоскость является точка персечения этой прямой с плоскостью. В таком случае угол между прямой и плоскостью считается раным 90.


Если прямая параллельна плоскости, то её проекцией на плоскость является прямая,параллельная данной.В этом случае понятие угла между прямой и плоскостью мы не вводим. ( Иногда договариваются считать, что угол между параллельными прямой и плоскостью равен 0).

27.Двугранный угол

Двугранным угломназывается фигура, образованная прямой a и двумя полуплоскостями с общей граицей а, не принадлежащими одной плоскости.

Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями.

Прямаяа-общая граница полуплоскостей- называетсяребромдвугранного угла.

Двугранные углы измеряются линейным углом.

Линейный угол-это угол образованный пересечением двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной к его ребру.

Двугранный угол называется прямым(острым, тупым), если он равен 90(меньше 90,больше 90).

28. Синус и косинус суммы и разности аргументов.

sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny,

cos(x+y)=cosxcosy-sinxcosy.

Эти формулы обычно называют синус суммы и косинус суммы.

Рассмотрим выражение sin(x-y). Если переписать его в виде sin(x+(-y)), то появляется возможность применить формулу суммы для аргументов x и –y:

sin(x+(-y))=sinxcos(-y)+cosxsin(-y). (1)

А теперь воспользуемся тем,что

cos(-y)=cosy, sin(-y)=-siny.

Это позволит правую часть равенства (1) переписать в виде sinxcosy-cosxsiny.

Таким образом, получилась формула синуса разности:

sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny.

Аналогичные рассуждения позволяют вывести формулу косинуса разности:

cos(x-y)=cos(x+(-y))=cosxcos(-y)-sinxsin(-y)=cosxcosy+sinxsiny.

Итак, cos(x-y)= cosxcosy+sinxsiny.

29.Тангенс суммы и разности аргументов.

tg(x+y)=tgx+tgy/1-tgxtgy

tg(x-y)=tgx-tgy/1+tgxtgy.

При этом предполагается, что все тангенсы имеют смысл, т.е. что x≠π/2+πn, y≠π/2+πk,

x+y≠π/2+πm(для первой формулы), x-y≠π/2+πm(для второй формулы).

P.S Там ещё в конце этого параграфа есть док-во, но там пипеец..

30. Формулы двойного аргумента

Тригонометрические формулы, позволяющие выразить sin 2x, cos 2x, tg 2x через sin x, cos x, tg x формулами двойного аргумента.

1.Рассмотрим выражение sin 2x, представив при этом 2х в виде х+х (применяя к выражению формулу синуса суммы):

Sin 2x=sin(x+x)=sinx*cosx+cosx*sinx= 2sinx*cosx

Таким образом,

Sin 2x=2sinx*cosx

2.Рассмотрим выражение cos 2x, представив при этом 2х в виде х+х ( применяя формулу косинуса суммы):

Cos 2x=cos(x+x)=cosx*cosx-sinx*sinx=cos2x-sin2x

Таким образом,

Cos 2x =cos2x-sin2x

3. аналогично рассмотрим tg 2x:

tg х + tg х 2 tg х

tg 2x = tg (x + х) = —————— = —————

1 – tg х tg х 1 – tg2 х

Таким образом,

Tg х

tg 2x = —————

Tg2 х

Другие формулы двойного аргумента:

sin2x = 2tgx = 2ctgx =
1 + tg2x 1 + ctg2x tgx + ctgx
cos2x = 1 — tg2x = ctg2x — 1 = ctgx — tgx
1 + tg2x ctg2x + 1 ctgx + tgx
                           
tg2x = 2tgx = 2ctgx =
1 — tg2x ctg2x — 1 ctgx — tgx
ctg2x = ctg2x — 1 = ctgx — tgx
2ctgx
         

31.Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение

Теорема. Для любых и справедливы равенства

Доказательство. Все четыре формулы доказываются преобразованием правой части в сумму

32.Преобразование произведения тригонометрических функций в суммы

33.Параллелепипед

Параллелепипед — призма, основанием которой служит параллелограмм, или (равносильно) многогранник, у которого шесть граней и каждая из них — параллелограмм.

Mathway | Популярные задачи

1 Найти точное значение sin(30)
2 Найти точное значение sin(45)
3 Найти точное значение sin(30 град. )
4 Найти точное значение sin(60 град. )
5 Найти точное значение tan(30 град. )
6 Найти точное значение arcsin(-1)
7 Найти точное значение sin(pi/6)
8 Найти точное значение cos(pi/4)
9 Найти точное значение sin(45 град. )
10 Найти точное значение sin(pi/3)
11 Найти точное значение arctan(-1)
12 Найти точное значение cos(45 град. )
13 Найти точное значение cos(30 град. )
14 Найти точное значение tan(60)
15 Найти точное значение csc(45 град. )
16 Найти точное значение tan(60 град. )
17 Найти точное значение sec(30 град. )
18 Найти точное значение cos(60 град. )
19 Найти точное значение cos(150)
20 Найти точное значение sin(60)
21 Найти точное значение cos(pi/2)
22 Найти точное значение tan(45 град. )
23 Найти точное значение arctan(- квадратный корень 3)
24 Найти точное значение csc(60 град. )
25 Найти точное значение sec(45 град. )
26 Найти точное значение csc(30 град. )
27 Найти точное значение sin(0)
28 Найти точное значение sin(120)
29 Найти точное значение cos(90)
30 Преобразовать из радианов в градусы pi/3
31 Найти точное значение tan(30)
32 Преобразовать из градусов в радианы 45
33 Найти точное значение cos(45)
34 Упростить sin(theta)^2+cos(theta)^2
35 Преобразовать из радианов в градусы pi/6
36 Найти точное значение cot(30 град. )
37 Найти точное значение arccos(-1)
38 Найти точное значение arctan(0)
39 Найти точное значение cot(60 град. )
40 Преобразовать из градусов в радианы 30
41 Преобразовать из радианов в градусы (2pi)/3
42 Найти точное значение sin((5pi)/3)
43 Найти точное значение sin((3pi)/4)
44 Найти точное значение tan(pi/2)
45 Найти точное значение sin(300)
46 Найти точное значение cos(30)
47 Найти точное значение cos(60)
48 Найти точное значение cos(0)
49 Найти точное значение cos(135)
50 Найти точное значение cos((5pi)/3)
51 Найти точное значение cos(210)
52 Найти точное значение sec(60 град. )
53 Найти точное значение sin(300 град. )
54 Преобразовать из градусов в радианы 135
55 Преобразовать из градусов в радианы 150
56 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/6
57 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/3
58 Преобразовать из градусов в радианы 89 град.
59 Преобразовать из градусов в радианы 60
60 Найти точное значение sin(135 град. )
61 Найти точное значение sin(150)
62 Найти точное значение sin(240 град. )
63 Найти точное значение cot(45 град. )
64 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/4
65 Найти точное значение sin(225)
66 Найти точное значение sin(240)
67 Найти точное значение cos(150 град. )
68 Найти точное значение tan(45)
69 Вычислить sin(30 град. )
70 Найти точное значение sec(0)
71 Найти точное значение cos((5pi)/6)
72 Найти точное значение csc(30)
73 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень 2)/2)
74 Найти точное значение tan((5pi)/3)
75 Найти точное значение tan(0)
76 Вычислить sin(60 град. )
77 Найти точное значение arctan(-( квадратный корень 3)/3)
78 Преобразовать из радианов в градусы (3pi)/4
79 Найти точное значение sin((7pi)/4)
80 Найти точное значение arcsin(-1/2)
81 Найти точное значение sin((4pi)/3)
82 Найти точное значение csc(45)
83 Упростить arctan( квадратный корень 3)
84 Найти точное значение sin(135)
85 Найти точное значение sin(105)
86 Найти точное значение sin(150 град. )
87 Найти точное значение sin((2pi)/3)
88 Найти точное значение tan((2pi)/3)
89 Преобразовать из радианов в градусы pi/4
90 Найти точное значение sin(pi/2)
91 Найти точное значение sec(45)
92 Найти точное значение cos((5pi)/4)
93 Найти точное значение cos((7pi)/6)
94 Найти точное значение arcsin(0)
95 Найти точное значение sin(120 град. )
96 Найти точное значение tan((7pi)/6)
97 Найти точное значение cos(270)
98 Найти точное значение sin((7pi)/6)
99 Найти точное значение arcsin(-( квадратный корень 2)/2)
100 Преобразовать из градусов в радианы 88 град.

Тригонометрические формулы 2 | reshebniki-online.com

sin
и
cos
суммы и разности двух аргументов

sin(a±b)=sin a·cosb±sinb·cosa

cos(a±b)=cosa·cosb`+sin a·sinb

tg
a
±
tg
b

tg (a±b) = 1±tg a· tg b

tg (a±b) =

=ctg
a
·
c
tg
b
`
+ 1
=1
±
tg
a
·
tg
b

ctg b± ctg atg a± tg b

Тригонометрические функции двойногоаргумента

sin2x=2sinx cosx

cos 2x = cos2x — sin2x=

= 2cos2x-1=1-2sin2x

tg2x=2 tgx

1 — tg2x

sin 3x =3sin x — 4 sin3x

cos 3x= 4 cos3 x — 3 cos

ВАЖНО: знак перед корнем зависит от того, где нах-ся угол Ѕ x:

sin Ѕ x=±1-cosx

2

cosЅ x=±1+cosx

2

NB! Следующие формулы справедливы при знаменателе ¹ 0 и существования функций, входящих в эти формулы (tg, ctg)

tgЅ x=sinx
=1-cosx
1-cosx

1+cosx sinx 1+cosx

сtgЅ x=sinx
=1+
cosx
1+
cosx

1-cosx sinx 1-cosx

Формулы понижения степени:

sin2 x = 1– cos 2x

2

cos2 x = 1+ cos 2x

2

sin3 x = 3 sin x – sin 3x

4

cos3 x = 3 cos x + cos 3x

4

Преобразование произведения двух функций в сумму:

2 sinx siny = cos(x-y) – cos(x+y)

2 cosx cosy = cos(x-y)+cos(x+y)

2 sinx cosy = sin(x-y) + sin (x+y)

tgx tgy =tgx + tgy

ctgx + ctgy

ctgx ctgy =ctgx + ctgy

tgx + tgy

tgx ctgy =tgx + ctgy

ctgx + tgy

NB! Вышеперечисленные формулы справедливы при знаменателе ¹ 0 и существования функций, входящих в эти формулы (tg, ctg)

sinx ± siny= 2sinx
±
y
cosx
`
+
y

2 2

cosx + cosy =2cos x+y
cosx-y

2 2

cosx — cosy = — 2sin x+y
sinx-y

2 2

tgx ± tgy= sin(x
±
y)

cosx cosy

tgx + сtgy= cos(x-y)

cosx siny

ctgx — tgy= cos(x+y)

sinx cosy

ctgx±ctgy= sin(y
±
x)

sinx siny

sin x = 1 x= Ѕp+2pn, nÎ Z

sin x = 0 x= pn, nÎ Z

sin x = -1 x= -Ѕp+2pn, nÎ Z

sin x = a , [a]≤ 1

x = (-1)karcsin a + pk, kÎ Z

cosx=1 x=2pn, nÎ Z

cosx=0 x= Ѕp+pn, nÎ Z

cosx= -1 x=p+2pn, nÎ Z

cosx= -Ѕ x=±2/3 p+2pn, nÎ Z

cosx = a , [a]≤ 1

x=±arccos a + 2pn, nÎ Z

arccos(-x)=p- arccos x

arcctg(-x)= p — ctg x

tg x= 0 x= n, nÎ Z

ctg x= 0 x=Ѕp+p n, nÎ Z

tg x= a x= arctg a +pn, nÎ Z

ctg x = a x=arcctg a + pn, nÎ Z

Знаки тригонометрических функций в четвертях:

№\f(a) sin cos tg ctg
I + + + +
II +
III + +
IY + +

aрад =p×a°/180°; a°=a°× 180°/p

Формулы
приведения

– a p/2 ±a p±a 3/2 p±a 2p – a
sin -sin a cos a `+sin a — cos a — sin a
cos cos a `+sin a — cos a ± sin a cos a
tg — tg a `+ ctg a ± tg a `+ ctg a — tg a
ctg — ctg a `+ tg a ±ctg a `+ tg a -ctg a

Значения тригонометрических

функций основных углов:

0 30° 45° 60° 90° 180° 270°
p / 6 p /4 p /3 p /2 p 3p/2
sin 0 Ѕ Ö2 / 2 Ö3 / 2 1 0 – 1
cos 1 Ö3 / 2 Ö2 / 2 Ѕ 0 -1 0
tg 0 Ö3 / 3 1 Ö3 0
ctg Ö3 1 Ö3 / 3 0 0

Внеклассный урок — Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения

Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения


Формулы преобразования сумм в произведения:

                                                                             x + y            x – y
                                             sin x + sin y = 2 sin ———  cos ———
                                                                                2                  2

                                                                             x – y            x + y
                                             sin x – sin y = 2 sin ———  cos ———
                                                                                2                  2

                                                                              x + y            x – y
                                          cos x + cos y = 2 cos ———  cos ———
                                                                                 2                  2

                                                                                x + y            x – y
                                            cos x – cos y = –2 sin ———  sin ———
                                                                                   2                  2

                                                                              sin (x + y)
                                                        tg x + tg y = —————
                                                                             cos x cos y

                                                                              sin (xy)
                                                        tg x – tg y = —————
                                                                              cos x cos y

                                                                                sin (x + y)
                                                      ctg x + ctg y = —————
                                                                                sin x sin y

                                                                               –sin (xy)
                                                        ctg x – ctg y = —————
                                                                                 sin x sin y

 

1) Объясним первую формулу:

                                  x + y            x – y
sin x + sin y = 2 sin ———  cos ———
                                     2                  2

Она поучена из формул синуса сложения и разности аргументов:

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α – β) = sin α cos β – sin β cos α.

Сложим две формулы:

sin (α + β) + sin (α – β) = sin α cos β + sin β cos α + sin α cos β – sin β cos α = 2 sin α cos β.

Таким образом,

sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β.

К этой формуле вернемся в конце наших вычислений.

Теперь введем новые переменные:

вместо α + β напишем х,

вместо α – β напишем у.

Тогда:

sin х + sin у = 2 sin α cos β.

В то же время, введя новую переменную, мы получили систему уравнений. Решим ее методом алгебраического сложения:

│α + β = х
│α – β = у

 

│α + β + α – β = х + у
│α + β – α + β = х – у

 

│2α = х + у
│2β = х – у

│         х + у
│α = ———
│           2

│          х – у
│ β = ———
│            2

Вернемся к полученной нами сумме двух формул сложения аргументов: sin х + sin у = 2 sin α cos β. Осталось подставить в них полученные значения α и β, чтобы в итоге получить нашу формулу:

                                   x + y             x – y
sin x + sin y = 2 sin ———  cos ———
                                     2                  2

2) Вторая формула из таблицы логически вытекает из первой и доказывается просто.

Вспомним свойство нечетности синуса: sin (y) = sin y.

Из этого следует, что sin x – sin y = sin x + (–sin y). Следовательно:

                                      x + (–y)             x – (–y)                х у           х + у
sin x + (–sin y) = 2 sin ————  cos ———— = 2 sin ——— cos ———.
                                            2                      2                         2                 2

Таким образом:

                                   x – y             x + y
sin x sin y = 2 sin ———  cos ———
                                     2                  2

 

Аналогично преобразуются в произведение суммы косинусов.

Преобразуем еще суммы тангенсов и котангенсов. Порядок прост: представляем тангенсы и котангенсы как отношение синусов и косинусов, находим для полученных дробей общий знаменатель и применяем формулы сложения. То есть совершаем всего три действия:

                      sin x          sin y            sin x cos y + cos x sin y              sin (x + y)
tg x + tg y = ——— + ———  =  ————————————  =  ——————
                      cos x         cos y                   cos x cos y                            cos x cos y

 

                         cos x         cos y             cos x sin y + sin x cos y               sin (x + y)

ctg x + ctg y = ——— + ———  =  ————————————  =  ——————
                         sin x         sin y                      sin x sin y                             sin x sin y     

Преобразование разностей в произведение осуществляется таким же образом.
Остальные формулы, приведенные в таблице, тоже тесно связаны с другими формулами тригонометрии. Попробуйте вычислить их самостоятельно.

 

Решим несколько примеров.

 

Пример 1. Упростить выражение

sin 60º + sin 30º.

Решение.

                                          60º + 30º            60º 30º
sin 60º + sin 30º = 2 sin ————— cos ————— = 2 sin 45º cos 15º =
                                               2                        2

          √2
= 2 · —— cos 15º = √2 cos 15º.
           2

Ответ: sin 60º + sin 30º = √2 cos 15º.

 

Пример 2. Упростить выражение

sin 60º – sin 30º.

Решение.

                                          45º – 15º            45º + 15º 
sin 45º – sin 15º = 2 sin ————— cos ————— = 2 sin 15º cos 30º =
                                               2                        2

                        √3
= 2 sin 15º · —— = √3 sin 15º.
                         2

Ответ: sin 45º – sin 15º = √3 sin 15º.

 

Формулы понижения степени в тригонометрии

Тригонометрические формулы обладают рядом свойств, одно из которых это применение формул понижения степени. Они способствуют упрощению выражений при помощи уменьшения степени.

Определение 1

Формулы понижения работают по принципу выражения степени синуса и косинуса через синус и косинус первой степени, но кратного угла. При упрощении формула становится удобной для вычислений, причем повышается кратность угла от α до nα.

Формулы понижения степени, их доказательство

Ниже приводится таблица формул понижения степени со 2 по 4 для sin и cos угла. После ознакомления с ними зададим общую формулу для всех степеней.

sin2α=1-cos 2α2cos2α=1+cos 2α2sin3=3·sin α-sin 3α4sin4=3-4·cos 2α+cos 4α8cos4 α=3+4·cos 2α+cos 4α8

Данные формулы предназначены для понижения степени.

Существует формулы двойного угла у косинуса и синуса, из которых и следуют формулы понижения степени cos2α=1-2·sin2α и cos2α=2·cos2α-1. Равенства разрешаются относительно квадрата синуса и косинуса, которые предоставляются как sin2α=1-cos2α2 и cos2α=1+cos2α2.

Формулы понижения степеней тригонометрических функций перекликаются с формулами синуса и косинуса половинного угла.

Имеет место применение формулы тройного угла  sin3α=3·sinα-4·sin3αи cos3α=-3·cosα+4·cos3α.

Если решать равенство относительно синуса и косинуса в кубе, получим формулы понижения степеней для синуса и косинуса:

sin3α=3-4·cos2α+cos4α8 и cos3α=3·cosα+cos3α4.

Формулы четвертой степени тригонометрических функций выглядят так: sin4α=3-4·cos2α+cos4α8 и cos4α=3+4·cos2α+cos4α8.

Чтобы понизить степени эти выражений, можно действовать в 2 этапа, то есть дважды понижать, тогда это выглядит таким образом:

sin4α =(sin2α)2=(1-cos2α2)2=1-2·cos2α+cos22α4==1-2·cos2α+1+cos4α24=3-4·cos2α+cos4α8;cos4α=(cos2α)2=(1+cos2α2)2=1+2·cos2α+cos22α4===1+2·cos2α+1+cos4α24=3+4·cos2α+cos4α8

Методом подстановки мы упростили сложное выражение. Для того, чтобы записать общий вид формул понижения степени разделим их на с наличием четных и нечетных показателей. Четные показатели, где n=2, 4, 6…, выражение имеет вид sinnα=Cn2n2n+12n-1·∑(-1)n2-kk=0n2-1·Ckn·cos((n-2·k)α) и cosnα=Cn2n2n+12n-1∑(-1)n2-kk=0n2-1·Ckn·cos((n-2·k)α).

Нечетные показатели, где n=3, 5, 7…, выражение имеет вид

sinnα=12n-1·∑(-1)n-12-kk=0n-12·Ckn·cos((n-2·k)α) и cosnα=12n-1∑(-1)n-12-kk=0n-12·Ckn·cos((n-2·k)α).

Cpq=p!q!·(p-q)! — это число сочетаний из p элементов по q.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Формулы понижения степени общего вида используются на любого выражения с высокой степенью для его упрощения. Рассмотрим пример для понижения кубического синуса. Третья степень нечетная, значит воспользуемся формулой sinnα=12n-1·∑(-1)n-22-kk=0n-12-k·Ckn·sin((n-2·k)α) где значение n присвоим 3. Подставляя n=3 в выражение, получим

sin3α=123-1·∑(-1)3-12-kk=03-12-k·Ck3·sin((3-2·k)α)==14·∑(-1)1-kk=01·Ck3·sin((3-2·k)α)==14·((-1)1-0·C03·sin((3-2·0)α) +(1)1-1·C13·sin((3-2·1)α))==14·((-1)1·3!0!·3!·sin3α+(-1)0·3!1!·(3-1)!·sinα)==14·(-sin3α+3·sinα)=3·sinα-sin3α4

Примеры применения формул понижения степени

Чтобы закрепить материал, необходимо детально разобрать его на примерах с использованием формулы понижения степени. Таким образом будет понятен принцип решения, подстановка и весь алгоритм.

Пример 1

Справедлива ли формула вида cos4α=3+4·cos2α+cos4α8 при α=α6.

Решение

 Для того, чтобы данная формула прошла проверку на возможность понижения степени с заданным значением угла α, необходимо посчитать левую и правую стороны. По условию имеем, что α=π6, тогда 2α=π3, следовательно 4α=2π3.

По таблице тригонометрических функций имеем, что cosα=cosπ6=32, тогда cos2α=cosπ3=12.

Для подробного уяснения необходимо проштудировать статью значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Подставляя в формулу, получим cos4α=(cosπ6)4=(32)4=916 и 3+4cos2α+cos4α8=3+4cosπ3+cos2π38=3+4·12+(-12)8=916

Отсюда видим, что левая и правая части равенства верны при α=π6, значит, выражение  справедливо при значении заданного угла. Если угол отличен от α, формула понижения степени одинаково применима.

Пример 2

При помощи формулы понижения степени преобразовать выражение sin32β5.

Решение

 Кубический синус для угла α имеет формулу вида sin3α=3·sinα-sin3α4. В данном случае необходимо выполнить замену α на 2β5 и подставить в формулу, тогда получаем выражение вида sin32β5=3·sin2β5-sin(3·2β5)4.

Это выражение равно равенству sin32β5=3·sin2β5-sin6β54.

Ответ: sin32β5=3·sin2β5-sin6β54.

Для решения сложных тригонометрических уравнений применяют формулы понижения степени. Они способны упростить выражение и сделать его намного удобным для вычислений или подстановки числовых значений. 

Автор:
Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Тригонометрические тождества и формулы

Ниже приведены некоторые из наиболее важных определений, тождеств и формул в тригонометрии.

  1. Тригонометрические функции острых углов

    грех X = opp / hyp = a / c, csc X = hyp / opp = c / a

    загар X = opp / adj = a / b, детская кроватка X = adj / opp = b / a

    cos X = adj / hyp = b / c, сек X = hyp / adj = c / b,

  2. Тригонометрические функции произвольных углов

    грех X = b / r, csc X = r / b

    tan X = b / a, детская кроватка X = a / b

    cos X = a / r, сек X = r / a

  3. Особые треугольники

    С помощью специальных треугольников можно найти тригонометрические функции специальных углов: 30, 45 и 60 градусов.

  4. Законы синуса и косинуса в треугольниках

    В любом треугольнике мы имеем:

    1 — Синус-закон

    грех A / a = грех B / b = грех C / c

    2 — Законы косинусов

    a 2 = b 2 + c 2 — 2 b c cos A

    b 2 = a 2 + c 2 — 2 a c cos B

    c 2 = a 2 + b 2 — 2 a b cos C

  5. Отношения между тригонометрическими функциями

    cscX = 1 / sinX

    sinX = 1 / cscX

    сек X = 1 / cos X

    cosX = 1 / секX

    tanX = 1 / cotX

    cotX = 1 / tanX

    tanX = sinX / cosX

    cotX = cosX / sinX

  6. Пифагорейские тождества

    sin 2 X + cos 2 X = 1

    1 + загар 2 X = сек 2 X

    1 + детская кроватка 2 X = csc 2 X

  7. Идентификаторы с отрицательным углом

    sin (-X) = — sinX, нечетная функция

    csc (-X) = — cscX, нечетная функция

    cos (-X) = cosX, четная функция

    сек (-X) = секX, четная функция

    tan (-X) = — tanX, нечетная функция

    cot (-X) = — cotX, нечетная функция

  8. Cofunctions Identities

    sin (π / 2 — X) = cosX

    cos (π / 2 — X) = sinX

    загар (π / 2 — X) = cotX

    детская кроватка (π / 2 — X) = tanX

    сек (π / 2 — X) = cscX

    csc (π / 2 — X) = secX

  9. Формулы сложения

    cos (X + Y) = cosX cosy — sinX sinY

    cos (X — Y) = cosX cosy + sinX sinY

    sin (X + Y) = sinX cosy + cosX sinY

    sin (X — Y) = sinX уютно — cosX sinY

    tan (X + Y) = [tanX + tanY] / [1 — tanX tanY]

    tan (X — Y) = [tanX — tanY] / [1 + tanX tanY]

    детская кроватка (X + Y) = [cotX cotY — 1] / [cotX + cotY]

    детская кроватка (X — Y) = [cotX cotY + 1] / [cotY — cotX]

  10. Формулы суммы к произведению

    cosX + cosy = 2cos [(X + Y) / 2] cos [(X — Y) / 2]

    sinX + sinY = 2sin [(X + Y) / 2] cos [(X — Y) / 2]

  11. Отличие от формул продукта

    cosX — cosy = — 2sin [(X + Y) / 2] sin [(X — Y) / 2]

    sinX — sinY = 2cos [(X + Y) / 2] sin [(X — Y) / 2]

  12. Формулы произведения суммы / разности

    cosX cosy = (1/2) [cos (X — Y) + cos (X + Y)]

    sinX cosy = (1/2) [sin (X + Y) + sin (X — Y)]

    cosX sinY = (1/2) [sin (X + Y) — sin [(X — Y)]

    sinX sinY = (1/2) [cos (X — Y) — cos (X + Y)]

  13. Формула разности квадратов

    sin 2 X — грех 2 Y = sin (X + Y) sin (X — Y)

    cos 2 X — cos 2 Y = — sin (X + Y) sin (X — Y)

    cos 2 X — sin 2 Y = cos (X + Y) cos (X — Y)

  14. Формулы двойных углов

    sin (2X) = 2 sinX cosX

    cos (2X) = 1-2sin 2 X = 2cos 2 X — 1

    загар (2X) = 2tanX / [1 — загар 2 X]

  15. Формулы множественных углов

    sin (3X) = 3sinX — 4sin 3 X

    cos (3X) = 4cos 3 X — 3cosX

    sin (4X) = 4sinXcosX — 8sin 3 XcosX

    cos (4X) = 8cos 4 X — 8cos 2 X + 1

  16. Формулы полууглов

    sin (X / 2) = + или — √ ((1 — cosX) / 2)

    cos (X / 2) = + или — √ ((1 + cosX) / 2)

    tan (X / 2) = + или — √ ((1 — cosX) / (1 + cosX))

    = sinX / (1 + cosX) = (1 — cosX) / sinX

  17. Формулы снижения мощности

    sin 2 X = 1/2 — (1/2) cos (2X))

    cos 2 X = 1/2 + (1/2) cos (2X))

    sin 3 X = (3/4) sinX — (1/4) sin (3X)

    cos 3 X = (3/4) cosX + (1/4) cos (3X)

    sin 4 X = (3/8) — (1/2) cos (2X) + (1/8) cos (4X)

    cos 4 X = (3/8) + (1/2) cos (2X) + (1/8) cos (4X)

    sin 5 X = (5/8) sinX — (5/16) sin (3X) + (1/16) sin (5X)

    cos 5 X = (5/8) cosX + (5/16) cos (3X) + (1/16) cos (5X)

    sin 6 X = 5/16 — (15/32) cos (2X) + (6/32) cos (4X) — (1/32) cos (6X)

    cos 6 X = 5/16 + (15/32) cos (2X) + (6/32) cos (4X) + (1/32) cos (6X)

  18. Периодичность тригонометрических функций

    sin (X + 2π) = sin X, период 2π

    cos (X + 2π) = cos X, период 2π

    сек (X + 2π) = сек X, период 2π

    csc (X + 2π) = csc X, период 2π

    tan (X + π) = tan X, период π

    детская кроватка (X + π) = детская кроватка X, период π

  19. Тригонометрические таблицы.
  20. Свойства шести тригонометрических функций. График, область, диапазон, асимптоты (если есть), симметрия, пересечения по осям x и y, а также точки максимума и минимума каждой из 6 тригонометрических функций.

Дополнительные ссылки и ссылки по тригонометрии

Тригонометрия.

Решите задачи тригонометрии.

Бесплатные вопросы по тригонометрии с ответами.
пожаловаться на это объявление

Факторизация тригонометрических уравнений. Тригонометрические уравнения

Методы решения тригонометрических уравнений.



Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида (см. Выше) и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод.



(подстановка переменных и метод подстановки).

2. Факторинг.

П р и м е р 1.Решите уравнение: sin x + cos x = 1.

Решение. Переместите все члены уравнения влево:

Sin x + cos x — 1 = 0,

Преобразуем и разлагаем выражение на множители в

Левая часть уравнения:

П р и м е р 2. Решите уравнение: cos 2

x + sin x Cos x = 1.

РЕШЕНИЕ cos 2 x + sin x Cos x
sin 2 x — cos 2 x = 0,

Sin x Cos x
грех 2 х = 0,

Грех x (Cos x
sin x ) = 0,

П р и м е р 3.Решите уравнение: cos 2 x — cos 8 x + cos 6 x = 1.

РЕШЕНИЕ cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4 x cos 2 x = 2 cos ² 4 x ,

Cos 4 x
·
(cos 2 x — cos 4 x ) = 0,

Cos 4 x
2 sin 3 x Sin x = 0,

один). cos 4 х = 0, 2).sin 3 х = 0, 3). грех x = 0,

3. Приведение к однородному уравнению.

Уравнение называется однородным из
относительный sin и cos
, если все ему
элементов одинаковой степени по отношению к sin и cos с одинаковым углом … Чтобы решить однородное уравнение, вам нужно:

и ) переместить все его элементы в левую сторону;

b ) вынести все общие множители из скобок;

в ) приравнять все множители и скобки к нулю;

r ) круглые скобки, приравненные к нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos (или sin ) в старшей степени;

d ) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

грех 2

x + 4 sin x Cos x + 5 cos 2

х = 2.

РЕШЕНИЕ. 3sin 2 x + 4 sin x Cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

Sin 2 x + 4 sin x Cos x + 3 cos 2 x = 0,

Желто-коричневый 2 x + 4 коричневый x + 3 = 0,
отсюда y
2
+ 4 y +3 = 0,

Корни этого уравнения: y 1
знак равно

1,
y 2 = — 3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4.Переместитесь в половину угла.

Рассмотрим этот метод на примере:

PRI me r. Решите уравнение: 3sin x — 5 cos x = 7.

РЕШЕНИЕ. 6 sin ( x /2) cos ( x /2) — 5 cos ² ( x /2) + 5 sin ² ( x /2) =

7 sin ² ( x /2) + 7 cos ² ( x /2),

2 sin ² ( x /2) — 6 sin ( x /2) cos ( x /2) + 12 cos ² ( x /2) = 0,

желтовато-коричневый ² ( x /2) — 3 tan ( x /2) + 6 = 0,

.. . . . . . . . .

5. Введение вспомогательного уголка.

Рассмотрим уравнение вида:

a sin x + b cos x = c ,

Где а ,
б , г.
c — коэффициенты; x — неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль (абсолютное значение) каждого из которых не больше 1, а сумма их квадратов равна 1.Тогда мы можем обозначить их соответственно как cos и sin (здесь — так называемый вспомогательный угол ) и взять наше уравнение

Тема: «Методы решения тригонометрических уравнений».

Задачи урока:

образовательный:

Развивать навыки различения типов тригонометрических уравнений;

Более глубокое понимание методов решения тригонометрических уравнений;

образовательный:

Воспитание познавательного интереса к учебному процессу;

Формирование умения анализировать поставленную задачу;

развивающиеся:

Сформировать умение анализировать ситуацию с последующим выбором наиболее рационального выхода из нее.

Оборудование: плакат с основными тригонометрическими формулами, компьютер, проектор, экран.

Давайте начнем урок с повторения основной техники решения любого уравнения: приведения его к стандартной форме. Путем преобразований линейные уравнения приводятся к виду ax = b, квадратичные — к виду ax 2 + bx + c = 0. В случае тригонометрических уравнений необходимо привести их к простейшим, вида: sinx = a, cosx = a, tgx = a, которые легко решаются.

Прежде всего, конечно, для этого необходимо использовать основные тригонометрические формулы, которые представлены на плакате: формулы сложения, формулы двойного угла, уменьшение кратности уравнения. Мы уже знаем, как решать такие уравнения. Повторим некоторые из них:

В то же время существуют уравнения, решение которых требует знания специальной техники.

Тема нашего урока — рассмотреть эти приемы и систематизировать методы решения тригонометрических уравнений.

Методы решения тригонометрических уравнений.

1. Преобразование в квадратное уравнение относительно тригонометрической функции с последующей заменой переменной.

Рассмотрим каждый из перечисленных методов на примерах, но остановимся на двух последних подробнее, так как первые два мы уже использовали при решении уравнений.

1. Преобразование к квадратному уравнению относительно тригонометрической функции.

2.Решение уравнений методом факторизации.

3. Решение однородных уравнений.

Уравнения вида называются однородными уравнениями первой и второй степени:

соответственно (a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0).

При решении однородных уравнений обе части уравнения почленно делятся на cosx для уравнения (1) и на cos 2 x для (2). Такое деление возможно, поскольку sinx и cosx не равны нулю одновременно — они обращаются в нуль в разных точках.Рассмотрим примеры решения однородных уравнений первой и второй степени.

Вспомним это уравнение: рассматривая следующий метод — введение вспомогательного аргумента, мы будем решать его по-другому.

4. Введение вспомогательного аргумента.

Рассмотрим уравнение, уже решенное предыдущим методом:

Как видите, получаем тот же результат.

Давайте посмотрим на другой пример:

В рассмотренных примерах в целом было ясно, на что нужно разделить исходное уравнение, чтобы ввести вспомогательный аргумент.Но может случиться так, что выбрать делитель непонятно. Для этого есть специальный прием, который мы сейчас рассмотрим в общих чертах. Пусть дано уравнение.

Методы решения тригонометрических уравнений Содержание

  • Метод замены переменных
  • Метод факторинга
  • Однородные тригонометрические уравнения
  • Использование тригонометрических формул:
  • Формулы сложения
  • Формулы для литья
  • Формулы двойного аргумента

Метод замены переменной

Подстановкой t = sinx или t = cosx, где t ∈ [−1; 1] решение исходного уравнения сводится к решению квадратного или другого алгебраического уравнения.

См. Примеры 1-3

Иногда используется универсальная тригонометрическая подстановка: t = tg

Пример 1 Пример 2 Пример 3 Метод факторинга

Суть этого метода в том, что произведение нескольких факторов равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, при этом остальные не теряют своего значения:

f (x) g (x) h (x)… = 0 f (x) = 0 или g (x) = 0 или h (x) = 0

, и т. Д.при наличии каждого из факторов

См. Примеры 4 — 5

Пример 4 Пример 5 Однородные тригонометрические уравнения Уравнение вида a sin x + b cos x = 0 называется однородным тригонометрическим уравнением первой степени.

а sin x + b cos x = 0

Комментарий.

Деление на cos x допустимо, потому что решения уравнения cos x = 0 не являются решениями уравнения a sin x + b cos x = 0.

a sin x b cos x 0

а тг х + b = 0

тг х = —

Однородные тригонометрические уравнения

a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0

Уравнение вида a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0 называется однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

а tg2x + b tg x + c = 0

a sin2x b sin x cos x c cos2x 0

Комментарий. Если в этом уравнении a = 0 или c = 0, то уравнение решается методом разложения

по факторам.

Пример 6

Пример 8 Пример 9 Пример 10 Пример 11 1. Формулы сложения:



sin (x + y) = sinx cosy + cosx siny

cos (x + y) = cosx cosy — sinx siny

tgx + tgy

тг (x + y) =

1 — tgx tgy

sin (x — y) = sinx cosy + cosx siny

cos (x — y) = cosx cosy + sinx siny

tgx — tgy

тг (х — у) =

1 + tgx tgy

ctgx ctgy — 1

ctg (x + y) =

ctgu + с tgx

ctgx ctgy + 1

ctg (x — y) =

ctgu — с tgx

Пример 12 Пример 13 Использование тригонометрических формул 2.Формулы приведения:



Лошадь правило

В старые добрые времена был рассеянный математик, который при поиске ответа поменял или не менял название функции (синус на косинус ) смотрел на свой умный лошадь, и она кивнула головой вдоль координатной оси, которой принадлежала точка, соответствующая первому члену аргумента π /
2 + α
или π
+ α
.

Если лошадь кивнула по оси OU , то математик полагал, что ответ был «Да, поменять» , если по оси OH , то «Нет, не менять» .

Использование тригонометрических формул 3. Формулы для двойного аргумента:



sin 2x = 2sinx cosx

cos 2x = cos2x — sin2x

cos 2x = 2cos2x — 1

cos 2x = 1-2sin2x

1 — tg2x

ctg 2x =

ctg2x — 1

Пример 14 Использование тригонометрических формул 4.Формулы понижения степени:



5. Формулы половинного угла:

Использование тригонометрических формул 6. Формулы суммы и разности:



Использование тригонометрических формул 7. Формулы продукта:



Мнемоническое правило «Тригонометрия на ладони»

Очень часто нужно знать значения наизусть cos , sin , tg , ctg для углов 0 °, 30 °, 45 °, 60 °, 90 °.

Но если вдруг какой-то смысл забыт, то можно воспользоваться правилом руки.

Правило: Если провести линии через мизинец и большой палец,

, то они пересекутся в точке, называемой «лунный бугорок».

Образуется угол 90 °. Линия мизинца составляет угол 0 °.

Проведя лучи от «лунного холма» через безымянный, средний и указательный пальцы, получаем углы соответственно 30 °, 45 °, 60 °.

Подставляя вместо n : 0, 1, 2, 3, 4, получаем значения sin , для углов 0 °, 30 °, 45 °, 60 °, 90 °.

Для cos обратный отсчет происходит в обратном порядке.

Вы можете заказать детальное решение вашей проблемы !!!

Равенство, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции (sin x, cos x, tan x или ctg x), называется тригонометрическим уравнением, и мы рассмотрим их формулы далее.n arcsin a + \ pi n, n \\ in Z`

2. Уравнение `cos x = a`

Для `| a |> 1` — как и в случае с синусом, у него нет решений среди действительных чисел.

Для `| а | \\ leq 1` имеет бесконечное число решений.

Корневая формула: `x = \ pm arccos a + 2 \ pi n, n \ in Z`

Особые случаи синуса и косинуса в графиках.

3. Уравнение `tg x = a`

Имеет бесконечное количество решений для любых значений `a`.

Корневая формула: `x = arctan a + \ pi n, n \ in Z`

4. Уравнение `ctg x = a`

Также есть бесконечный набор решений для любых значений `a`.

Корневая формула: `x = arcctg a + \ pi n, n \ in Z`

Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице

Для синуса:
Для косинуса:
Для тангенса и котангенса:
Формулы для решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

Методы решения тригонометрических уравнений

Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:

  • с помощью преобразовать в простейший;
  • решает полученное простейшее уравнение, используя записанные выше формулы и таблицы корней.2-3й + 1 = 0`,

    находим корни: `y_1 = 1, y_2 = 1 / 2`, откуда следуют два случая:

    1.` cos (x + \ frac \ pi 6) = 1`, `x + \ frac \ pi 6 = 2 \ pi n`,` x_1 = — \ frac \ пи 6 + 2 \\ пи n`.

    2.` cos (x + \ frac \ pi 6) = 1/2`, `x + \ frac \ pi 6 = \ pm arccos 1/2 + 2 \ pi n`, `x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

    Ответ: `x_1 = — \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`,` x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi п`.2 х / 2 = 0`,

    `2sin x / 2 (cos x / 2-sin x / 2) = 0`,

    1. `sin x / 2 = 0`,` x / 2 = \ pi n`, `x_1 = 2 \ pi n`.
    2. `cos x / 2-sin x / 2 = 0`,` tg x / 2 = 1`, `x / 2 = arctan 1+ \ pi n`,` x / 2 = \ pi / 4 + \ pi n`, `x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`.

    Ответ: `x_1 = 2 \ pi n`,` x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`.

    Приведение к однородному уравнению

    Во-первых, вам нужно привести это тригонометрическое уравнение к одному из двух типов:

    `a sin x + b cos x = 0` (однородное уравнение первой степени) или` a sin ^ 2 x + b sin x cos x + c cos ^ 2 x = 0` (однородное уравнение второй степени) степень). 2 x) (1 + cos x) = 0`

    Учитывая, что знаменатель не может быть равен нулю, получаем `1 + cos x \\ ne 0`,` cos x \\ ne -1`, `x \\ ne \\ pi + 2 \\ pi n, n \\ в Z`.2 x = 0`, `sin x (1-sin x) = 0`. Тогда `sin x = 0` или` 1-sin x = 0`.

    1. `sin x = 0`,` x = \ pi n`, `n \ in Z`
    2. `1-sin x = 0`,` sin x = -1`, `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n, n \ in Z`.

    Учитывая, что `x \ ne \ pi + 2 \ pi n, n \ in Z`, решениями являются` x = 2 \ pi n, n \ in Z` и` x = \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`, `n \\ in Z`.

    Ответ. `x = 2 \ pi n`,` n \ in Z`, `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n`,` n \ in Z`.

    Тригонометрия, и в частности тригонометрические уравнения, используются практически во всех областях геометрии, физики, техники. Учеба начинается в 10 классе, к экзамену обязательно есть задания, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они обязательно пригодятся!

    Впрочем, их даже не нужно запоминать, главное понять суть и уметь делать выводы. Это не так сложно, как кажется. Убедитесь в этом сами, посмотрев видео.

    РЕШЕНО: График y = \ cos 2 x + 2 \ cos x для 0 \ leq…

    Стенограмма видео

    в этой задаче мы дали следующий график, и уравнение графика показывает, почему равно весу плюс два в замороженные яйца. Well Access больше, чем равно нулю, и меньше, чем равно Дубай. В части A. Нам нужно найти приблизительное значение точки пересечения x данного графика. И нам нужно решить уравнение Y, равное нулю.Call X больше, чем равно нулю, и меньше, чем равно Dubai. Итак, здесь мы решили выразить половое сношение в X, равном нулю, используя технометрическую формулу. Это потому, что I в произведениях равно To Interpose Science Square X -1. Таким образом, мы получаем два в Tokyo Science Square x плюс Переход к со знаком X -1 равен нулю. Как видим, это квадратное уравнение. Итак, здесь мы будем использовать формулу корней квадратного уравнения: xs равно двум минус B плюс минус. И маршрут B в квадрате минус четыре A C на a.Итак, мы получаем, потому что I в x равно минусу до плюс минус, понятно. два sq -4 в два в -1 После двух в 2. Упрощая это. Получаем, потому что I в X равно от минус до плюс минус два. По правилу три на четыре, упростив его. Получаем, потому что я XS равно два минус один плюс минус. И сертификат маршрута 3.2. Потому что я имею в виду, что бывшие равны двум, и есть 3 -1 для и -1 -3 после, что меньше, чем мои новости. Отсюда мы получаем значение X, которое приблизительно равно двум, 1.196 и 5.087. В части B. Координаты x поворотной точки P. Q. и R. На графике решения подписанного на заводе места Sin налогов равен нулю. Ну и X. Принадлежит нулевая запятая для покупки и нас просят найти координаты этих точек. Итак, здесь учёные исследуют. Циники теперь равны нулю, если использовать технократическую формулу, согласно которой наука приравнивается к двум циникам. А чтобы стать циниками, мы получаем 20 циников в Токио. Циники. Место в X равно нулю, принимая знак X. Обычный.Мы получаем циников в зимний уют. Далее ставим единицу, равную нулю. Теперь кладем каждый множитель равным нулю. Мы получаем Cynics как равный нулю или 20 косинус X плюс один равен нулю отсюда, переходите. Xs равно двум пи. Все Как мы получаем Косинус X. равняется -1 при to, поэтому мы получаем X. S. Равно двум на минус при трех слоях трубы с запятой, труба на трех. Следовательно, мы получаем Превышение. Это было сделано для того, чтобы купить три комы за четыре страны. Следовательно, точка P заключается в том, чтобы купить страну, которую обманули на троих, плюс собирается пойти знак, чтобы купить страну.Пункт Q. Было бы pika moccasin, чтобы купить Plus два Interco Senpai и указать, что наш будет Или по три Coma Design восемь по три, пожалуйста, два в Токио, подписанных страной. Ммм. Таким образом, мы получаем точку P, которая заключается в покупке облигации через три запятой -3 до комы. Точка Q — это Coma -1, а точка — для министерства облигаций с запятой на

    .

    Табличный калькулятор линейных или нелинейных функций

    Табличный калькулятор линейных или нелинейных функций

    Шаблоны и нелинейные функции Заработок студента E в долларах является единицей измерения количества h отработанных часов.Изобразите функцию, показанную в таблице. Сообщите, является ли действие линейным или нелинейным. Часы, ч Прибыль (S), E 18 36 54 72 10 90 Постройте график функции, показанной в каждой таблице. Сообщите, является ли функция линейной или нелинейной.

    На графиках линейные функции всегда прямые. y = mx + b 3x + 5y — 10 = 0 y = 88x — все это примеры линейных уравнений. Графики нелинейных функций не являются прямыми линиями. В этом разделе мы будем работать с нелинейными функциями вида y = ax 2 + b и y = ax 3 b, где a и b — целые числа.Квадратичные функции: y = ax 2 + b

    В этой статье представлены функции табличных вычислений и их использование в Tableau. Функции табличных вычислений позволяют выполнять вычисления над значениями в таблице. Корреляция Пирсона измеряет линейную связь между двумя переменными.

    2. Найдите корни нелинейных уравнений, используя модифицированный метод Ньютона-Рафсона (многомерный метод Ньютона-Рафсона). 6. Найдите инерполяционный многочлен Лагранжа степени 2, аппроксимирующий функцию y = ln x, определенную следующей таблицей значений.

    Системы нелинейных уравнений: Продвинутые системы (страница 5 из 6) Основной процесс решения более сложных систем нелинейных уравнений остается таким же, как и для предыдущих систем; а именно, решить одно из уравнений для одной из переменных, вставить эту информацию в другое уравнение и решить полученное уравнение с одной переменной.

    Линейная регрессия может давать изогнутые линии, а нелинейная регрессия не названа в честь ее изогнутости. Вообще говоря, вам следует сначала попробовать линейную регрессию.Его проще использовать и легче интерпретировать. Построенный линейный график показывает, что необработанные данные соответствуют точной функции, а R-квадрат равен 98,5 …

    Таблица 1: Данные переписи населения США Обычный метод подбора экспоненциальной функции y = ae bx к данным заключается в следующем: возьмите логарифмы данных y и выполните линейную регрессию для новых данных. Это действие было выполнено с данными выше, а результаты представлены в таблице ниже.

    Круглый стол вставляют в угол комнаты так, чтобы он касался обеих стен.На краю стола царапина 8 дюймов от одной стены и 9 дюймов от другой стены. Какой диаметр стола? Нахождение пересечений по оси Y [12.06.1996] У меня проблема с поиском и графическим отображением точек пересечения по оси Y линейных уравнений.

    Tom thumb designer

    , который идентичен передаточной функции (6.2), вычисленной из описания системы (6.1). Таким образом, передаточная функция инвариантна к изменениям координат в пространстве состояний. Передаточная функция линейного ОДУ Рассмотрим линейную систему ввода / вывода, описываемую дифференциальным уравнением dny dtn + a1 dn¡1y dtn¡1 + ::: + any = b0 dmu dtm + b1… В этой главе описаны функции для многомерной нелинейной аппроксимации методом наименьших квадратов. Обычно существует два класса алгоритмов для решения нелинейных задач наименьших квадратов, которые подпадают под методы линейного поиска и методы доверительной области. В настоящее время GSL реализует только методы доверительной области и …

    Стив Джобс адрес пало-альто

    Таблица 1: Данные переписи населения США Обычный метод подгонки экспоненциальной функции y = ae bx к данным заключается в логарифмировании данные y и выполните линейную регрессию для новых данных.Это действие было выполнено с данными выше, а результаты представлены в таблице ниже.

    Линейные и нелинейные функции: проблема со словом Наша миссия — предоставить бесплатное образование мирового уровня каждому и в любом месте. Khan Academy — некоммерческая организация 501 (c) (3).

    Таблица значений и линейная функция, представленная алгебраическим выражением, определяют, какая функция имеет большую скорость изменения. (8.F.2) качественно описать функциональную взаимосвязь между двумя величинами, анализируя график (например,g., где функция возрастающая или убывающая, линейная или нелинейная). Линейное и нелинейное программирование. Третье издание. Дэвид Г. Люенбергер Стэнфордский университет Йинью Йе Стэнфордский университет. Линейная программа (LP) — это задача оптимизации, в которой целевая функция линейна относительно неизвестных, а ограничения состоят из линейных равенств и линейных неравенств.

    Родители Тэмми Дакворт

    Расчет размера выборки: Введение. Введите аргумент (ы) для функции, включая символ x.Введите минимум и максимум для оси X и оси Y. Чтобы программное обеспечение определяло ось Y автоматически, оставьте оба поля ввода для оси Y пустыми.

    Решатель целочисленных диофантовых уравнений и решатель диофантовых задач решает систему линейных, квадратных, кубических уравнений в системе целых и натуральных чисел.

    Решение линейных уравнений: переменная с обеих сторон Решите каждое уравнение. 1) 6 r + 7 = 13 + 7r 2) 13 — 4x = 1 — x Онлайн-калькулятор линейной регрессии.Эта страница позволяет вам вычислить уравнение для линии наилучшего соответствия из набора двумерных данных: Введите двумерные данные x, y в текстовое поле. x — независимая переменная, а y — зависимая переменная. Данные можно ввести двумя способами: значения x в первой строке и значения y во второй строке или …

    Barnes 30587

    Что лучше, линейная алгебра или многомерное исчисление? У меня есть TI-36X, и мне нравится функция «таблицы функций», которую вы можете использовать для интервального тестирования.Однако я занимаюсь исчислением I, и использование калькулятора, которое может вычислять производные и интегралы, запрещено.

    Лекция 11 Численное решение нелинейных уравнений I Лекция 11 Сценарии и функции: Загрузите (.zip) диаграммы фиксированных точек, паутины, колебаний, хаоса и орбиты (прочтите разделы 10.0-10.3)

    Имя _____ Период _____ 9.2 Примечания — Линейный vs Нелинейные функции Я МОГУ… Определить, являются ли отношения линейными или нелинейными, по таблице, графику, уравнению или словесному описанию.

    Установить шрифты word mac os x

    6 июля 2017 г. · Мы можем легко смешивать термины в GAM, некоторые линейные и некоторые нелинейные термины, а затем сравнивать эти модели с помощью функции anova (), которая выполняет тест Anova на предмет качества Подгонки. Нелинейные члены на предикторах \ (X_i \) могут быть чем угодно, от сглаживающих сплайнов, естественных кубических сплайнов до полиномиальных функций или ступенчатых функций и т. д. GAM аддитивны …

    Калькулятор производных. Рассчитывайте производные онлайн — с помощью шагов и графиков! Существует также таблица производных функций для тригонометрических функций и квадратного корня, логарифма и экспоненциальной функции.На каждом шаге вычислений выполняется или переписывается одна операция дифференцирования.

    Таблица значений и линейная функция, представленная алгебраическим выражением, определяют, какая функция имеет большую скорость изменения. (8.F.2) Опишите качественно функциональную взаимосвязь между двумя величинами, анализируя график (например, где функция увеличивается или уменьшается, линейная или нелинейная). Нелинейная функция не показывает постоянной скорости изменения и поэтому графически не представлена ​​линией.Фактически, вы, вероятно, думаете о нелинейных функциях как о кривых. В следующей таблице приведены некоторые общие различия между линейными и нелинейными функциями:

    Опыт тестирования на наркотики Meps

    College Algebra Version bˇc Corrected Edition Карла Ститца, доктора философии. Дже Зигер, доктор философии Общественный колледж Лейкленда Общественный колледж округа Лорейн 4 июля 2013 г.

    В этом калькуляторе используются данные таблицы целевых функций в виде точек {x, f (x)} для построения нескольких моделей регрессии, а именно: линейная регрессия, квадратичная регрессия, кубическая регрессия , степенная регрессия, логарифмическая регрессия, гиперболическая регрессия, ab-экспоненциальная регрессия и экспоненциальная…

    график функции f (x) = c. Линейные функции Линейная функция — это функция вида f (x) = mx + b, где m и b — константы. Мы называем эти функции линейными, потому что графики представляют собой линии на плоскости. Давайте изобразим график функции f (x) = 2x + 1, чтобы показать, почему это верно. Начнем с составления числовой таблицы значений f: x f (x) -2 -3 … Приложение. Методы нелинейного программирования для распределенной оптимизации. Настройка оптимизации состоит из набора агентов, взаимодействующих через коммуникационный граф, общей целью которых является минимизация функции, выраженной как сумма (возможно, невыпуклых) разделяемых функций.

    Deku and eri fanfic

    Онлайн-решение для аппроксимации кривой, позволяющее быстро выполнить аппроксимацию кривой с использованием различных методов, делать прогнозы, экспортировать результаты в Excel, PDF, Word и PowerPoint, выполнять индивидуальную аппроксимацию с помощью определяемое пользователем уравнение и публикация результатов в Интернете.

    Рейтинг информатики бакалавриат

    Приложение Huawei ai life для iphone

    Двухшаговые уравнения алгебры с рабочими листами дробей

    Пряжа пчела уютный случай темно-серый

    два xbox000

    Магазин приложений Mac продолжает запрашивать пароль Apple ID

    Ww2 оригинальная немецкая форма

    Полет с истинной полицитемией

    Три блока связаны веревками и тянутся вправо силой с величиной f0

    Два поезда отправляются со станций в 384 милях друг от друга

    Док-станция Dell 4 монитора

    Несовершенная пленка с несовершенным субиндо lk21

    Глава 3, тест b, ответы на геометрию webdriver ie

    amc rebel для продажа Craigslist

    Интернет в Северной Корее

    Prediksi hk 2d paling jitu malam ini

    Malena nmplol age

    Labcorp false positive hsv 2

    .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.