Формула знаменателя геометрической прогрессии: Геометрическая прогрессия — урок. Алгебра, 9 класс.

Содержание

Геометрическая прогрессия на примерах

Геометрическая прогрессия не менее важная в математике по сравнению с арифметической. Геометрической прогрессией называют такую последовательность чисел b1, b2,…, b[n] каждый следующий член которой, получается умножением предыдущего на постоянное число. Это число, которое также характеризует скорость роста или убывания прогрессии называют знаменателем геометрической прогрессии и обозначают

Для полного задания геометрической прогрессии кроме знаменателя необходимо знать или определить первый ее член. Для положительного значения знаменателя прогрессия является монотонной последовательностью, причем если это последовательность чисел является монотонно убывающей и при монотонно возрастающей. Случай, когда знаменатель равен единице на практике не рассматривается, поскольку имеем последовательность одинаковых чисел, а их суммирование не вызывает практического интереса

Общий член геометрической прогрессии вычисляют по формуле

Сумма n первых членов геометрической прогрессии определяют по формуле

Рассмотрим решения классических задач на геометрическую прогрессию. Начнем для понимания с простейших.

 

Пример 1. Первый член геометрической прогрессии равен 27, а ее знаменатель равен 1/3. Найти шесть первых членов геометрической прогрессии.

Решение: Запишем условие задачи в виде

Для вычислений используем формулу n-го члена геометрической прогрессии

На ее основе находим неизвестные члены прогрессии

Как можно убедиться, вычисления членов геометрической прогрессии несложные. Сама прогрессия будет выглядеть следующим образом

 

Пример 2. Даны три первых члена геометрической прогрессии : 6; -12; 24. Найти знаменатель и седьмой ее член.

Решение: Вычисляем знаменатель геомитрической прогрессии исходя из его определения

Получили знакопеременную геометрическую прогрессию знаменатель которой равен -2. Седьмой член вычисляем по формуле

На этом задача решена.

 

Пример 3. Геометрическая прогрессия задана двумя ее членами . Найти десятый член прогрессии.

Решение:

Запишем заданные значения через формулы

По правилам нужно было бы найти знаменатель, а затем искать нужное значение, но для десятого члена имеем

Такую же формулу можно получить на основе нехитрых манипуляций с входными данными. Разделим шестой член ряда на другой, в результате получим

Если полученное значение умножить на шестой член, получим десятый

Таким образом, для подобных задач с помощью несложных преобразований в быстрый способ можно отыскать правильное решение.

 

Пример 4. Геометрическая прогрессия задано рекуррентными формулами

Найти знаменатель геометрической прогрессии и сумму первых шести членов.

Решение:

Запишем заданные данные в виде системы уравнений

Выразим знаменатель разделив второе уравнение на первое

Найдем первый член прогрессии из первого уравнения

Вычислим следующие пять членов для нахождения суммы геометрической прогрессии

Поскольку найти сумму в данном случае не составляет большого труда, то обходя простые выкладки сводим все слагаемые под общий знаменатель

В общем случае, при нахождении суммы знакопеременных рядов следует выделять их положительную часть и отрицательную и найти отдельно их суммы по приведенным выше формулам. Наконец найденные значения добавить.

Примеры на геометрическую прогрессию не так сложны если знать несколько базовых формул. Все остальное сводится к простым математическим манипуляциям. Практикуйте с примерами самостоятельно и подобные задания будут для Вас несложными.

Похожие материалы:

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

      Определение 1. Числовую последовательность

b1 ,  b2 , … bk , …

все члены которой отличны от нуля, называют геометрической прогрессией, если справедливы равенства

      Определение 2. Если последовательность чисел

b1 ,  b2 , … bk , …

является геометрической прогрессией, то число  q , определенное формулой

называют знаменателем этой геометрической прогрессии.

      Из определений 1 и 2 следует, что для того, чтобы задать геометрическую прогрессию, нужно знать два числа, например, первый член геометрической прогрессии b1 и знаменатель геометрической прогрессии   q . Если числа   b1   и   q   известны, то все остальные члены прогрессии можно найти по формулам:

b2 = b1q ,
b3 = b2q ,
bk = bk – 1q
(1)

      По этой причине многие задачи на геометрическую прогрессию удобно решать при помощи составления системы уравнений для определения чисел   b1   и   q.

      Из формул (1) вытекает общая формула

bk = b1qk – 1,      
k = 1, 2, 3, …
(2)

позволяющая по любому номеру   k   вычислить член bk  геометрической прогрессии, зная первый член и знаменатель прогрессии.  Эта формула носит название формулы общего члена геометрической прогрессии.

      Из формулы (2) вытекает утверждение, называемое характеристическим свойством геометрической прогрессии. Это свойство формулируется так: — «Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению своих соседних членов». Таким образом, характеристическое свойство геометрической прогрессии утверждает, что при справедливо равенство

(3)

      В случае, когда

  b1 > 0   и   q > 0  

все члены геометрической прогрессии будут положительными, и формулу (3) можно переписать в другом виде:

(4)

      Равенство (4) означает, что каждый член такой геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому своих соседних членов.

      Если для суммы первых   k   членов геометрической прогрессии ввести обозначение

Sk = b1 + b2 + … + bk  ,      
k
= 1, 2, 3, …

то, воспользовавшись равенствами (1), получаем

q Sk =
= b
1q + b2q + … + bk q =
= b
2 + b3 + … + bk +1 .

      Следовательно,

Sk – q Sk = b1bk +1 .

      Таким образом , при будет справедливо равенство

которое называется формулой для суммы первых k членов геометрической прогрессии.

      В случае, когда   q = 1, все члены геометрической прогрессии равны, что не представляет особого интереса.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

      Определение 3. Геометрическую прогрессию называют бесконечно убывающей, если её знаменатель удовлетворяет неравенству

  | q | < 1 .

      В этом случае выполнено равенство

а величину  S называют суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

      Более подробно с понятием предела числовой последовательности можно ознакомиться в в разделе «Пределы числовых последовательностей» нашего справочника.

      С примерами решений различных задач по теме «Геометрическая прогрессия» можно ознакомиться в нашем учебном пособии «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

   На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

формула n-го члена прогрессии 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей |


Тема 12.


Геометрическая прогрессия.


Давай рассмотрим последовательность, членами которой являются степени числа 2 с натуральными показателями:


2; 22; 23; 24; 25; …


Каждый член этой последовательности, начиная со второго, получается умножением предыдущего члена на 2. Эта последовательность является примером геометрической последовательности.


Давай дадим определение: Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.


Другими словами, последовательность (bn)– геометрическая прогрессия, если для любого натурального n выполняются условия:


bn ≠ 0 и bn+1 = bnq,где q – некоторое число. Значит, в последовательности натуральных степеней числа 2, для любого натурального n верно равенство bn+1 = bn⋅ 2, то есть q=2.


Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение ее любого члена, начиная со второго, к предыдущему равно q, то есть bn+1bn=q


Это равенство верно при любом натуральном n.


Число q – называют знаменателем геометрической прогрессии, который всегда отличен от 0.


Чтобы задать геометрическую прогрессию достаточно указать ее первый член и знаменатель.


Например:


Если b1 = 2 и q = 3, то мы получим геометрическую прогрессию:


2, 6, 18, 54, …


Если и b1 = 3 и q = -2, то мы получим геометрическую прогрессию:


3, -6, 12, -24,…


Если b1 = 5 и q = 1, то получим геометрическую прогрессию:


5, 5, 5,…


Зная первый член и знаменатель геометрической прогрессии, можно последовательно найти второй, третий и вообще любой член прогрессии:


b2=b1∙q


b3=b2∙q=b1∙q∙q=b1q2


b4=b3∙q=b1∙q2∙q=b1q3


Значит, чтобы найти n-ый член надо первый член умножить на знаменатель в степени на единицу меньше, то есть


bn=b1qn-1


Это и есть формула n-го члена геометрической прогрессии.


Рассмотрим пару примеров:


Найти девятый член геометрической прогрессии:


-2; 4; -8;…


В данном случае: b1=-2,q=4-2=-2


b9=b1q8=-2∙-28=-2∙256=-512


Ответ: -512


Найдите первый член геометрической прогрессии, если шестой член равен 9, а знаменатель равен 3.


b6=b1∙q5


9=b1∙35


b1=935=127


Ответ: 127


Геометрическая прогрессия обладает следующим свойством:


Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению последующего и предыдущего ее членов (произведению своих соседей)


То есть bn2=bn+1∙bn-1


Например, надо найти третий член геометрической прогрессии, если известно, что ее второй член равен 6, а четвертый – равен 24.


Давай воспользуемся этим свойством геометрической прогрессии, тогда


b32=b2∙b4


b32=6∙24=144


b3=±12


Ответ: 12 или –12.

Геометрическая прогрессия | matematicus.ru

Геометрическая прогрессия называется последовательность b1, b2, b3 … bn, у которой задан первый член не равный нулю b1≠0, а каждый следующий, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число не равное нулю q≠0 и задаётся следующим равенством:

bn+1 = bnq

где q – знаменатель прогрессии и b1≠0, q≠0.

Eсли q>0  и b1>0, то геометрическая прогрессия возрастает, а если 0<q<1  и b1>0 — то убывает.

Если q>0, то геометрическая прогрессия не монотонна.

Формула n-го члена геометрической прогрессии равна:

bn = b1⋅qn-1

Формула знаменателя геометрической прогрессии:

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии находится:

где q≠1 — знаменатель прогрессии, а Sn — сумма ее первых n членов,  S1=b1, Sn=bn.

Если q = 1, получаем выражение

Sn=b1⋅n

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии  |q|<1 определяется равенством:

при этом

Характеристическое свойство:

bn2=bn-1⋅bn+1


Пример 1

Найти q, если b1=3, b4=81

Решение

b4 = b1q3

81 = 3q3

q3=27

q=3


Пример 2

Дана геометрическая прогрессия 8; 4; 2; 1; 1/2; 1/4 …

Найти сумму этой прогрессии?

Решение

q = 4/8=1/2

$S = \frac{8}{{1 — \frac{1}{2}}} = 16$


Пример 3

Дана геометрическая прогрессия q=2; b1=5

Найти сумму первых семи её членов?

Решение

${S_7} = \frac{{5\left( {{2^7} — 1} \right)}}{{2 — 1}} = 635$


Пример 4

Дана геометрическая прогрессия 16; 8; 4; 2; 1; 1/2; 1/4 …

Найти сумму b10?

Решение

q = 8/16=1/2

b10 = 16⋅(1/2)9-1 = 1/16 = 0,0625

Знаменатель геометрической прогрессии — Энциклопедия по экономике

Геометрическая прогрессия. Геометрической прогрессией называется последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число q. Число q называется знаменателем геометрической прогрессии.  [c.52]

Это тоже геометрическая прогрессия, но с первым членом (обозначаемым через а) 1200/1,10 и знаменателем 1/1,10. Знаменатель геометрической прогрессии — это множитель, на который предыдущее значение должно быть умножено для того, чтобы получить текущее значение, например  [c.61]

Причем, эти отклонения при составлении нормативных таблиц необходимо выбирать близкими к ряду геометрической прогрессии. Величина знаменателя геометрической прогрессии принимается такой, чтобы получаемые по нормативам времена или элементы режимов резания не выходили за пределы допускаемой погрешности, принятой при расчете нормативных таблиц для данных конкретных организационно-технических условий производства.  [c.384]

Времена, определенные по нормативной линии для максимального и минимального в данном интервале значений фактора, отклоняются от принятого норматива в одинаковой мере, но в разные стороны, причем это отклонение определяется заранее принятой точностью норматива, выраженной в процентах (знаменателем геометрической прогрессии). Следовательно,  [c.384]

Знаменатель геометрической прогрессии равен  [c.386]

Обозначив через Kt знаменатель геометрической прогрессии для значений /ь /2> /3,…, / или  [c.387]

В зависимости от точности составляемых нормативных таблиц назначается знаменатель геометрической прогрессии для зависимого переменного  [c.388]

Определяется значение знаменателя геометрической прогрессии неза-  [c.388]

Так как принимается определенное значение знаменателей геометрической прогрессии для зависимого / и независимого переменного А, то значения как t, так и А, фактически изменяющихся при построении нормативной таблицы, будут находиться в определенных интервалах. Каждый интервал определяется практическими границами значения величины независимого переменного (А).  [c.388]

II. Знаменатель геометрической прогрессии для зависимой переменной, в данном случае подачи s в мм/об, принимаем равным Ks = 1,10.  [c.389]

III. По принятому значению знаменателя геометрической прогрессии для зависимой переменной К3 определяем знаменатель геометрической прогрессии для значений независимого переменного, в данном случае диаметров сверл D в мм  [c. 389]

I. Знаменатель геометрической прогрессии для зависимой переменной, в данном случае времени t в мин., принимаем равным /С[c.390]

II. По принятому значению знаменателя геометрической прогрессии Kt определяем для значений независимого переменного, в данном случае пришабриваемых плоскостей F в см  [c.390]

Следует заметить, что этот коэффициент представляет собой сумму членов геометрической прогрессии, где первый член равен геометрической прогрессии, преобразуем полученное выражение для наращенной суммы ренты к такому виду  [c.91]

Дисконтированные отдельные платежи РМТ( + г)»1, РМТ (1+1) 1У РМТ(( + г)»1)3 представляют собой геометрическую прогрессию с первым членом РМТ( + i) l и знаменателем (1 +/)» Ее сумма имеет вид  [c.99]

Модель (8.32) называется моделью с распределением Койка лаговых объясняющих переменных. Ее еще иногда называют моделью с геометрическим распределением, имея в виду, что коэффициенты при лаговых переменных образуют геометрическую прогрессию со знаменателем yi (напомним, что yjПреобразование модели (8. 15) к виду (8.32) называется обратным преобразованием Койка.  [c.203]

Применим теперь изложенные методологические соображения к ряду динамики глобального использованного народного дохода за период 1950—1967 гг. и исчислим — при гипотезе изменения этого ряда по показательной кривой — знаменатель (д) геометрической прогрессии всеми перечисленными способами, дабы выявить тот, который дает максимальное приближение к эмпирическим данным по критерию минимума среднего квадра-тического отклонения. Результаты получились следующие (табл. 1).  [c.130]

Для параметрического ряда, построенного по законам геометрической прогрессии, степень его густоты характеризует знаменатель прогрессии ф, который и определяет густоту сетки ряда.  [c.11]

Для экономии времени коэффициент дисконтирования аннуитета может быть вычислен по формуле суммы геометрической прогрессии со знаменателем I/O + г)  [c.278]

В рассмотренном условном примере сменные детали имеют всего четыре срока службы — t 2/ 4t 8t. Все они, во-первых, кратны t, т. е. межремонтному периоду, а во-вторых, образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2. Возникает вопрос каким образом можно на практике обеспечить подобную закономерность (или другую, которая может оказаться более целесообразной, в частности арифметическую прогрессию), если детали многих агрегатов в настоящее время характеризуются значительным разнообразием сроков службы В самом деле, в нашем условном примере исключены детали со сроками службы 3t, Ы, 6/ и It.  [c.58]

Последовательность V,]/2,V3,…Vn может быть рассмотрена как геометрическая прогрессия а0, ар а2,. .., а со знаменателем q=V и первым членом a0=V. Тогда  [c.137]

Это степенной ряд, который сходится в силу того, что (1-г) есть число геометрической прогрессии со знаменателем (1-г) и равняется S = bj/(l-q) = 1 / (l-(l-r)) = 1/r > 1. Таким образом, из каждой условной единицы денег, выпущенных ЦБ, образуется 1/г денег в результате прохождения по банковской системе.  [c. 152]

В квадратных скобках мы получили геометрическую прогрессию с первым членом а = (1 + i )» и знаменателем g/(l + i ). Ис-  [c.122]

Sn является суммой первых п членов геометрической прогрессии, первый член которой Ь = —, а знаменатель q = —. Используя  [c.52]

С древнейших времен для построения рядов предпочтительных чисел использовалась геометрическая прогрессия, т. е. такая последовательность чисел, в которой отношение последующего к предыдущему члену (оно называется знаменателем прогрессии) остается постоянным. Примерами геометрической прогрессии являются последовательности  [c.261]

Относительная разность между любыми соседними членами ряда постоянна. Это свойство вытекает из самой природы геометрической прогрессии. Возьмем в качестве примера простейшую прогрессию со знаменателем, равным двум  [c.261]

Из операций (5), (6) и состоит основной итерационный цикл. Теоретическими исследованиями доказана сходимость метода (аккуратные формулировки теорем см. в [10], [11], [25]) со скоростью геометрической прогрессии, знаменатель которой может быть сделан сколь угодно малым за счет достаточно большого а. Однако этот результат не очень полезен в практической работе дело в том, что увеличение а повышает эффективность внешнего итерационного цикла (5), (6), но одновременно отрицательно сказывается на эффективности внутреннего итерационного процесса, с помощью которого решается задача (5). В частности,  [c.462]

Формула геометрической прогрессии со знаменателем, меньшим единицы, например, 1/(1 + г) или 1/1,10 в нашем примере выглядит так  [c.61]

Применяя к правой части уравнения формулу суммы членов геометрической прогрессии с первым членом R и знаменателем (1 + j), получим  [c.195]

В строчных нормативах /н. ш содержится в скрытом виде основное время. Это время изменяется внутри строки в геометрической прогрессии со знаменателем Kt = 1,26 или 1,34. С таким же шагом изменяются шкалы факторов D и L обработки. Если, например, длину обработки увеличить (сдвинуть) на три шага, то основное время внутри / . ш увеличится тоже на три шага, т. е. в 1,263 раз (в 2 раза). Это приведет к абсолютному возрастанию tH. ш, которое легко определить вычитанием. Таким способом просто установить нужную величину t0.  [c.89]

Разработка типажа ведется на основе рядов предпочтительных чисел (ГОСТ 8032—56), которые строятся по закону геометрической прогрессии со знаменателем  [c.49]

Правая часть равенства является геометрической прогрессией из я членов. Первый ее член равен 1, а знаменатель прогрессии составляет (1 + i)-Сумма такой прогрессии равна  [c.60]

Сумма в скобках этого выражения является геометрической прогрессией с q членами (первый член равен (1+i) ) и знаменателем (1+i)»- Используя формулу для суммы геометрической прогрессии, получим  [c.227]

Рассмотрим ситуацию, в которой корпорация планирует выплачивать дивиденд D в конце текущего периода. Предположим, прогнозируется, что дивиденды увеличиваются согласно геометрической прогрессии ориентировочно с общим знаменателем 1 + k и акция приобретается для того, чтобы давать доходность i за период, где -1 цена акции на единицу дивиденда получается путем предельного перехода от обыкновенного аннуитета со сроком п периодов, в котором первый платеж равен 1 и последующие платежи увеличиваются в геометрической прогрессии с одинаковым знаменателем 1 + k. Настоящая стоимость этого аннуитета равна  [c.237]

Дисконтированные отдельные платежи R(1+i)-1, R((1-И)-1)2, R((1 + i)-1)3 представляют собой геометрическую прогрессию с первым членом R(1 + i)-1 и знаменателем (1 + i) -1. Ее сумма имеет вид  [c.39]

Значения t, tz, t3,…, tn зависимой переменной (время или элементы режимов резания) должны представлять собой ряд геометрической прогрессии, знаменатель которой выбирается в зависимости от точности разрабатываемых нормативов и определяется в конечном итоге масштабом производства.  [c.387]

Одним из важнейших направлений конструкторской унификации является сокращение номенклатуры изделий, имеющих одинаковое или сходное эксплуатационное назначение. Оно реализуется в первую очередь путем создания параметрических рядов (гамм) изделий. Каждый ряд представляет собой совокупность изделий, аналогичных по кинематике, рабочему процессу, но различных по габаритным, мощностным или другим основным эксплуатационным параметрам (грузоподъемность грузового автомобиля или крана, рабочий объем двигателя, производительность компрессора и т. д.). Параметрический ряд, как правило, создается в соответствии с ГОСТ 8032—84 Предпочтительные числа и ряды предпочтительных чисел . Обычно пользуются четырьмя десятичными рядами R5 RIO , R20 R40 с соответствующими знаменателями геометрической прогрессии 1,6 1,25 1,12 1,06. Расчет параметрических рядов для выбора экономически рационального разрежения ряда производится по Типовым методикам оптимизации параметрического (типоразмерного) ряда и соответствующей типовой методике для многомерных рядов. Имеются экономико-математические модели их оптимизации, основанные как на классических методах в условиях непрерывности и дифференцируемости функции затрат и функции спроса и наличии экстремума общих затрат, так и неклассических методах оптимизации, разработанных, в частности, Институтом математики Сибирского отделения АН СССР. Параметрические ряды формируют в каждой отрасли перспективный типаж изделий, что весьма ограничивает их возможную номенклатуру.  [c.107]

Определение экономически целесообразного ряда величин основного параметра стандартизируемого или унифицируемого элемента системы. При стандартизации и унификации применяют градацию по одному из следующих рядов чисел построенному по арифметической прогрессии, при которой разность двух соседних членов ряда постоянна (Nn— —i = onst) построенному на основе геометрической прогрессии, при которой каждый член ряда является произведением предыдущего члена и постоянной для принятого ряда величины знаменателя геометрической прогрессии x(Nn=NiXn l) по ступенчато-арифметическим рядам, в которых разность значений остается постоянной только для части ряда. Обычно эта разность принимается меньшей для малых типоразмеров изделия и большей для больших типоразмеров.  [c.134]

Геометрической прозрессие-й называют такую последовательность чисел Of, a2,. .., ап,. .. (членов прогрессии), в которой каждое последующее число получается из предыдущего умножением его на. определенное число q (знаменатель геометрической прогрессии).  [c.10]

В большинстве случаев оптимальный. нагрузочный ряд семейства агрегатов (мощность, момент, давление) будет выражаться геометрической прогрессией с постоянным или ступенчато изменяющимся знаменателем. Для этого необходимо, чтобы и основной параметр агрегата (диаметр, расстояние между центрами) также изменялся по геометрической прогрессии. Характер связи знаменателей нагрузочного и размерного ряда зависит от типа агрегата. Налример, в ходовых колесах и электрогидравлических толкателях связь будет квадратичной, в редукторах и тормозах — кубической. Часто на. практике с целью получения размерного ряда, состоящего из круглых величин, а главное — для наименьшей ломки давно сложившихся размеров применяется арифметическая прогрессия с постоянной или ступенчато изменяющейся разностью. Предпочтение следует отдавать рядам, построенным по геометрической прогрессии. В первую очередь следует применять Предпочтительные числа и ряды предпочтительных чисел по ГОСТу 8032-56. Отступления от этого ГОСТа должны.быть технически обоснованы.  [c.34]

Так как знаменатели лерехода для узлов, комплектующих мостовой кран, неодинаковы и. изменяются в пределах от 1,4 до 1,8, то в качестве знаменателя перехода всего крана целесообразно принять среднюю величину, равную I,i6 я совпадающую со стандартным знаменателем пятого ряда по ГОСТу 8032-56 Предпочтительные числа и ряды предпочтительных чисел . Тогда нагрузочный ряд мостовых кранов должен представлять геометрическую прогрессию со зламенате-лем 1,6.  [c.38]

Еще в Древней Римской империи диаметры колес в водопроводах были выбраны в соответствии с геометрической прогрессией. В конце XVII — начале XVIII вв. в Германии для расчета темперированного музыкального строя была применена геометрическая прогрессия со знаменателем л/2 Во Франции в 1805 г. размеры типографского шрифта были установлены в соответствии с геометрической прогрессией. В конце прошлого века русский ученый академик А.В. Гадолин разработал теорию рационального построения кинематических соотношений в металлообрабатывающих станках, основанную на использовании закономерных рядов чисел, и научно  [c.261]

В радиоэлектронике параметрические стандарты приведены в соответствие с рекомендациями Международной электротехнической комиссии (МЭК). Этими рекомендациями установлены предпочтительные числа по рядам ЕЗ, Е6, Е12, Е24, Е48, Е96 и Е192. Наиболее широкое применение имеют первые четыре. Они построены на базе геометрических прогрессий со следующими знаменателями  [c.268]

Уточним эго предложение. Имеется в виду, что сумма этого ряда стремится к 1 при неограниченном увеличении числа слагаемых. Действительно, вынесем за скобку а, тогда сумма перепишется как а [1 + (1 — а) + (I — а)2 + -h. .J. Но сумма в квадратных скобках представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем 0 [c.21]

Урок 38. формула суммы первых n членов геометрической прогрессии — Алгебра — 9 класс

Напомним, что геометрической прогрессией называется последовательность ненулевых чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии. Из определения следует, что знаменатель геометрической прогрессии отличен от нуля.
Зная первый член и знаменатель, можно найти любой член геометрической прогрессии по его номеру. Это позволяет сделать формула n-го члена.
Мы выяснили, что последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого её члена, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов. Это свойство геометрической прогрессии называется её характеристическим свойством.
Более того, квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная с некоторого, равен не только произведению своих непосредственных соседей, но и произведению членов прогрессии, находящихся от него на одинаковом расстоянии.
Например, квадрат 10-го члена геометрической прогрессии равен произведению 9-го и 11-го членов, а также 8-го и 12-го, 7-го и 13-го, … 1-го и 19-го.
Обозначим сумму первых n членов геометрической прогрессии как эс энное и запишем эту сумму.
Умножим полученное равенство на знаменатель прогрессии q.
Учитывая, что a1q = a2, a2q = a3, a3q = a4 . .. an-1q = an, получаем равенство 2.
Вычитаем из равенства 2 равенство 1.
При q, не равном единице, делим обе части равенства на q минус 1 и получаем формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии.
Вернёмся к задаче, которую мы решали в начале урока. Найдём количество зёрен, которые попросил в награду у принца создатель шахмат: на первую клетку шахматной доски он просил положить одно зерно, на каждую следующую в два раза больше зёрен, чем на предыдущую.
Заметим, что эти числа образуют геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем 2. В этой прогрессии 64 члена – по количеству клеток на шахматной доске. На последнюю клетку нужно было положить 2 в 63-й степени зёрен.
А общее количество зёрен равно сумме первых 64-х членов данной геометрической прогрессии.
Вычислим приближённо массу всего зерна. Заметим, что 2 в десятой степени равно 1024, округлим до 1000. Тогда в награду изобретателю нужно дать 16, умноженное на 10 в 18-й степени зёрен.
Масса одного пшеничного зерна составляет примерно 0,06 грамма.
Масса всех зёрен должна составить примерно 10 в 12-й степени тонн, то есть триллион тонн. Однако, такого количества пшеницы не собрало человечество за все годы своего существования.
По полученной формуле можно находить сумму n первых членов геометрической прогрессии, если известны её первый и n-й члены, знаменатель и количество членов. Но далеко не всегда нам известен n-й член. И не обязательно его находить.
Воспользуемся формулой n – го члена геометрической прогрессии и выведем ещё одну формулу суммы первых n членов – через первый член и знаменатель геометрической прогрессии.
Найдём сумму первых семи членов геометрической прогрессии с первым членом 4400 и знаменателем –0,1.
Сумма первых шести членов геометрической прогрессии равна 364, её знаменатель равен 3. Найдём первый член.
Запишем формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии, подставим в неё известные величины, решим полученное уравнение. n} {1 — q}, \) где \( q ≠ 1\)

\(Sn = \frac{a_1 — a_n *q} {1 — q}, \) где \( q ≠ 1\)

Член геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:

\(a_n = \sqrt{a_n-1 ⋅ a_n+1}, \)  где \(n > 1\)

 

 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!


Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Курсы ОГЭ

  • — Индивидуальные занятия
  • — В любое удобное для вас время
  • — Бесплатное вводное занятие

Геометрия с нуля

  • — Индивидуальные занятия
  • — В любое удобное для вас время
  • — Бесплатное вводное занятие

Математика по Skype

  • — Индивидуальные занятия
  • — В любое удобное для вас время
  • — Бесплатное вводное занятие

Обзор правил для экспонентов

Обзор правил для экспонентов Ниже приведен список правил для экспонентов и пример или два использования каждого правила:

Правило нулевой экспоненты: a 0 = 1, это говорит, что все, что возведено в нулевую степень, равно 1.
Правило мощности (от степеней к степеням): ( m ) n = mn , это говорит о том, что для повышения мощности до степени вам необходимо умножить степень.Есть несколько других правил, которые соответствуют правилу мощности, например, правило произведения к степеням и правило отношения к степеням.
Правило отрицательной экспоненты :, это означает, что отрицательные показатели в числителе перемещаются в знаменатель и становятся положительными показателями. Отрицательные показатели в знаменателе перемещаются в числитель и становятся положительными показателями. Перемещайте только отрицательные показатели.
Правило произведения : a m ∙ a n = a m + n , это говорит о том, что для умножения двух степеней с одинаковым основанием вы сохраняете основание и складываете степени.
Правило частных :, это говорит о том, что для деления двух показателей с одинаковым основанием вы сохраняете основание и вычитаете степени. Это похоже на сокращение фракций; когда вы вычитаете степени, поместите ответ в числитель или знаменатель в зависимости от того, где находится высшая степень. Если в знаменателе указана более высокая степень, поместите разницу в знаменатель и наоборот, это поможет избежать отрицательных показателей степени.

Теперь, когда мы рассмотрели правила для экспонент, вот шаги, необходимые для упрощения экспоненциальных выражений (обратите внимание, что мы применяем правила в том же порядке, что и правило было написано выше):

Шаг 1 : Примените правило нулевой экспоненты.Измените все, что поднят до нулевой степени, на 1.
Шаг 2 : Примените правило мощности. Умножьте (или распределите) показатель степени за пределами круглых скобок с каждым показателем внутри скобок, помните, что если показатель степени не показан, то показатель степени равен 1.
Шаг 3 : Примените правило отрицательной экспоненты. Отрицательные показатели в числителе перемещаются в знаменатель и становятся положительными показателями.Отрицательные показатели в знаменателе перемещаются в числитель и становятся положительными показателями. Перемещайте только отрицательные показатели. Обратите внимание, что порядок, в котором перемещаются объекты, не имеет значения.
Шаг 4 : Примените правило продукта. Чтобы умножить два показателя степени с одинаковым основанием, вы сохраняете основание и складываете степени.
Шаг 5 : Примените правило частного. Это похоже на сокращение фракций; когда вы вычитаете степени, поместите ответ в числитель или знаменатель в зависимости от того, где находится высшая степень.Если в знаменателе указана более высокая степень, поместите разницу в знаменатель и наоборот, это поможет избежать отрицательных показателей степени и повторения шага 3.
Шаг 6 : Увеличьте каждый коэффициент (или число) до соответствующей степени, а затем упростите или уменьшите оставшиеся дроби.

Пример 1 — Упростить:

Пример 2 –Simplify:

Нажмите здесь, чтобы увидеть практические задачи

Пример 3 –Simplify:

Нажмите здесь, чтобы увидеть практические задачи

Пример 4 –Simplify:

Нажмите здесь, чтобы увидеть практические задачи

Пример 5 –Упростить:

Нажмите здесь, чтобы увидеть практические задачи

Решение уравнений с рациональными показателями

Рациональные показатели — это показатели, представляющие собой дроби, где числитель — степень, а знаменатель — корень. {\ frac {1} {3}} [/ latex] — это еще один способ написания [latex] \ text {} \ sqrt [3] {8} [/ latex]. Умение работать с рациональными показателями — полезный навык, так как он очень применим в математическом анализе.

Мы можем решить уравнения, в которых переменная возведена в рациональный показатель степени, возведя обе части уравнения до обратной степени. Причина, по которой мы возводим уравнение к обратной величине экспоненты, состоит в том, что мы хотим исключить показатель степени в переменной составляющей, а число, умноженное на обратную величину, равно 1.{\ frac {3} {2}} = 8 [/ латекс].

Решение

Решение экспоненциальных уравнений без логарифмов

Показательное уравнение включает в себя неизвестную переменную в показателе экспоненты. В этом уроке мы сосредоточимся на экспоненциальных уравнениях, которые не требуют использования логарифма. В алгебре эта тема также известна как решение экспоненциальных уравнений с той же базой. Почему? Причина в том, что мы можем решить уравнение, заставив обе части экспоненциального уравнения иметь одинаковое основание.{\ color {красный} N}}

, затем {\ color {blue} M} = {\ color {red} N}

  • Другими словами, если вы можете выразить экспоненциальные уравнения с одинаковым основанием с обеих сторон, то можно установить их степени или показатели равными друг другу.

Вы также должны помнить о свойствах экспонент, чтобы успешно решать экспоненциальные уравнения.


Основные свойства экспонент

1) Нулевое свойство

2) Свойство с отрицательной экспонентой

3) Правило продукта

4) Правило частного

5) Правило власти над властью

Давайте взглянем на несколько примеров!


Примеры решения экспоненциальных уравнений без логарифмов

Пример 1: Решите показанное ниже экспоненциальное уравнение, используя основные свойства экспонент.3}.

Примените свойство отрицательной экспоненты.

  • На этом этапе основания одинаковы, поэтому установите одинаковые мощности.
  • Это простое линейное уравнение с одним шагом.
  • Чтобы найти x, разделите обе части на 3. Вот и все!

Окончательный ответ здесь x = — 1.


Пример 2: Решите экспоненциальное уравнение ниже, используя основные свойства экспонент.8}.

Примените правило продукта слева, а правило мощности — справа.

  • Здесь мы готовы установить равные силы друг другу, так как мы можем создавать единые базы, одинаковые с обеих сторон.
  • Решите простое линейное уравнение.
  • Вычтите обе стороны на 7x, чтобы выделить x. Сделанный!

Окончательный ответ: x = 3.


Пример 3: Решите показанное ниже экспоненциальное уравнение, используя основные свойства экспонент.0} с использованием нулевого свойства экспоненты.

  • Теперь у нас есть желаемая конфигурация — одинаковые основания с обеих сторон.
  • Установите показатель степени левой части уравнения равным показателю степени правой части, затем решите уравнение для переменной x.
  • Чтобы решить уравнение, начните с добавления обеих частей на 12, чтобы переместить константу вправо.
  • Наконец, разделите обе стороны на 4, чтобы получить значение x.3}

    • Примените свойство отрицательной экспоненты к левой части уравнения.
    • Умножьте внутренние показатели степени на внешние показатели, используя правило «Степень на степень».
    • Так как у них общая основа, сложите экспоненты, используя Правило продукта.
    • Очевидно, что, имея одну и ту же базу с обеих сторон, мы теперь можем установить каждую степень равной друг другу.
    • Решите линейное уравнение, сложив обе части на 6, чтобы получить x = 9.3}

      • Умножьте внутренний и внешний экспоненты, применив Степень к Правилу мощности.
      • На этом этапе мы можем добавить показатели в левой части уравнения, потому что теперь они имеют общие основания.
      • Примените правило произведения, добавляя экспоненты, когда основания равны.
      • Ясно, что мы можем положить степени обеих частей уравнения равными друг другу.
      • В результате получается простое многоступенчатое уравнение.
      • Итак, мы сначала добавляем 6x с обеих сторон. Затем вычтите на 4. И, наконец, разделите на -1, чтобы полностью выделить x !

      Ответ: x = 7. Легкий!


      Пример 6: Решите экспоненциальное уравнение ниже, используя основные свойства экспонент.

      Решение :

      • Выразите каждое число с основанием 2.

      Затем умножьте внутренние показатели степени на внешние показатели, используя правило «Степень на степень».

      • Чтобы сгенерировать единую базу с левой стороны, используйте правило продукта — скопируйте общую базу 2 и добавьте экспоненты.
      • Это когда мы применяем Правило продукта.
      • После сложения экспонент мы получим по одной базе с каждой стороны.

      Пришло время установить равные мощности.

      • Приравняв степени, мы приходим к квадратному уравнению.

      Нам нужно переместить все члены на одну сторону, заставляя противоположную сторону равняться нулю.

      • Решите квадратное уравнение, используя метод разложения. Выносим за скобки 5 в трехчлене, затем выносим простой трехчлен как произведение двух биномов.
      • Используя свойство Zero, мы получаем эти значения для x.

      Правильные ответы: x = 2 и x = — 1.


      Пример 7: Решите экспоненциальное уравнение ниже, используя основные свойства экспонент.

      Решение :

      • Выразите каждое число как экспоненциальное число с основанием 7.
      • Примените свойство отрицательной экспоненты с левой стороны.

      Кроме того, символ квадратного корня можно переписать как показатель степени \ large {1 \ over 2}.

      • Примените силу к правилу мощности с левой стороны.
      • Выразите левую часть одной базой с помощью правила произведения, скопировав общую базу и добавив экспоненты.
      • Теперь мы можем установить степени равными друг другу, а затем решить.
      • Чтобы решить относительно x, вычтите обе части на 2.
      • Чтобы закончить это, разделите обе стороны на 12.

      Окончательное решение: x = — {\ large {1 \ over 8}}.


      Пример 8: Решите экспоненциальное уравнение ниже, используя основные свойства экспонент.

      Решение :

      • Выразите числа, используя основание 5.

      Затем умножьте внутреннюю и внешнюю экспоненты, используя Правило Степени на Степень.

      • Похоже, мы можем использовать правило частных, потому что у нас одинаковые основания для числителя и знаменателя.
      • Вычтите показатель степени в числителе на показатель степени в знаменателе.

      Теперь можно установить «степени» или показатели равными друг другу, а затем решить квадратное уравнение.

      • Решите квадратное уравнение, разложив трехчлен на два бинома. Затем установите каждый бином равным 0, чтобы найти x.
      • Используя свойство нулевого произведения, мы получаем эти значения x.

      Окончательные ответы: x = — 3 и x = 2.


      Вам также может понравиться:

      Решение экспоненциальных уравнений с использованием логарифмов


      Практика с рабочими листами

      Обратная экспоненциальная функция — ChiliMath

      В этом руководстве я рассмотрю трех примеров , показывающих, как алгебраически определить обратную экспоненциальную функцию. Но прежде чем вы взглянете на отработанные примеры, я предлагаю вам сначала просмотреть предлагаемые ниже шаги, чтобы иметь хорошее представление об общей процедуре.


      Шаги, чтобы найти инверсию экспоненциальной функции

      ШАГ 1: Измените f \ left (x \ right) на y.

      \ large {f \ left (x \ right) \ to y}

      ШАГ 2: Поменяйте местами \ color {blue} x и \ color {red} y в уравнении.

      \ large {x \ to y}

      \ large {y \ to x}

      ШАГ 3: Выделите экспоненциальное выражение на одной стороне (левой или правой) уравнения.

      Показанное ниже экспоненциальное выражение является общей формой, где b — основание, а N — показатель степени.{- 1}} \ left (x \ right)

      Давайте применим предложенные выше шаги для решения некоторых проблем.


      Примеры того, как найти инверсию экспоненциальной функции

      Пример 1: Найдите значение, обратное экспоненциальной функции, показанной ниже.

      Это должно быть простой задачей, потому что экспоненциальное выражение в правой части уравнения уже изолировано для нас.

      Начните с замены обозначения функции f \ left (x \ right) на y.

      Следующим шагом является переключение переменных \ color {red} x и \ color {red} y в уравнении.{- 1}} \ left (x \ right). Это означает, что мы нашли обратную функцию.

      Если мы построим график исходной экспоненциальной функции и ее обратной на одной плоскости XY, они должны быть симметричными вдоль линии \ large {\ color {blue} y = x}. Какие они есть!


      Пример 2: Найдите значение, обратное экспоненциальной функции, показанной ниже.

      Единственное отличие этой задачи от предыдущей состоит в том, что экспоненциальное выражение имеет знаменатель 2. В остальном шаги будут такими же.

      Мы меняем обозначение функции f \ left (x \ right) на y, а затем меняем ролями переменных \ color {red} x и \ color {red} y.

      На данный момент мы еще не можем выполнить шаг логарифмирования обеих сторон. Причина в том, что экспоненциальное выражение справа не полностью само по себе. Сначала нам нужно избавиться от знаменателя 2.

      Мы можем добиться этого, умножив обе части уравнения на 2. Левая часть станет 2x, а знаменатель в правой части исчезнет!

      Выделив экспоненциальное выражение с одной стороны, теперь можно получить логи с обеих сторон.{- 1}} \ left (x \ right), чтобы обозначить, что мы получили обратную функцию.

      Как видите, графики экспоненциальной функции и ее обратной симметричны относительно линии \ large {\ color {green} y = x}.


      Пример 3: Найдите значение, обратное экспоненциальной функции, показанной ниже.

      Я вижу, что одно экспоненциальное выражение делится на другое. Хорошо то, что экспоненциальные выражения имеют одинаковое основание 3. Мы должны иметь возможность упростить это, используя правило деления экспоненты.Чтобы разделить экспоненциальные выражения с равным основанием, скопируйте общее основание, а затем вычтите их показатели. Ниже приведено правило. Предполагается, что b \ ne 0.

      Обратите внимание, как исходная задача была значительно упрощена после применения правила деления экспоненты.

      На этом этапе мы можем продолжить решение обратной задачи, как обычно. Перепишите f \ left (x \ right) как y, а затем поменяйте местами переменные \ color {red} x и \ color {red} y.

      Прежде чем мы сможем получить логарифмы обеих сторон, выделите экспоненциальную часть уравнения, сложив обе части на 4.

      Поскольку в экспоненциальном выражении используется основание 3, мы также берем логарифмы обеих частей уравнения с основанием 3! Таким образом, показатель степени \ color {blue} 2y-1 справа упадет, и мы сможем продолжить решение относительно y, которое является необходимой обратной функцией.

      Это подтверждает, что наш ответ правильный, потому что график данной экспоненциальной функции и ее обратная (логарифмическая функция) симметричны вдоль линии \ large {y = x}.


      Возможно, вас заинтересует:

      Инверсия матрицы 2 × 2

      Функция, обратная абсолютному значению

      Функция, обратная постоянной

      Функция, обратная линейной

      Обратная логарифмическая функция

      Обратная квадратичная функция

      Обращение рациональной функции

      Функция, обратная квадратному корню

      4.

      3 — Свойства логарифмов

      4.3 — Свойства логарифмов

      Изменение базовой формулы

      Одна дилемма состоит в том, что в вашем калькуляторе есть логарифмы только для двух оснований.
      База 10 (журнал) и база e (ln). Что произойдет, если вы захотите узнать логарифм
      для какой-то другой базы? Вам не повезло?


      Изменена базовая формула для преобразования между разными базами. К
      найти основание журнала a, где a предположительно некоторое число, отличное от 10 или e ,
      в противном случае вы просто использовали бы калькулятор,

      Возьмите журнал аргумента, разделенный на журнал основания.

      журнал a x = (журнал b x) / (журнал b a)

      Там
      нет необходимости использовать основание 10 или основание e , но поскольку это два
      у вас есть на калькуляторе, вероятно, это те два, которые вы собираетесь
      использовать больше всего. Я предпочитаю натуральный журнал (ln — всего 2 буквы, а log — 3,
      плюс есть дополнительная выгода, о которой я знаю из расчетов). База, которая
      вы используете не имеет значения, только то, что вы используете одну и ту же базу для обоих числителей
      и знаменатель.

      журнал a x = (журнал x) / (журнал a) = (ln x) / (ln a)

      Пример: журнал 3 7 = (ln 7) / (ln 3)

      Логарифмы — экспоненты

      Помните, что логарифмы — это показатели степени, поэтому свойства показателей
      свойства логарифмов.

      Умножение

      Какое правило, когда вы умножаете два значения с одинаковым основанием вместе
      (x 2 * x 3 )? Правило состоит в том, что вы сохраняете базу и добавляете
      экспоненты.Что ж, помните, что логарифмы — это показатели, и когда вы умножаете,
      вы собираетесь сложить логарифмы.


      журнал продукта — это сумма журналов.

      журнал a xy = журнал a x + журнал a y

      Дивизия

      Правило при делении двух значений с одинаковым основанием — вычесть
      экспоненты. Следовательно, правило деления — вычитание логарифмов.


      логарифм частного — это разница журналов.

      журнал a (x / y) = журнал a x — журнал a y

      Возведение в степень

      Когда вы возводите количество в степень, правило состоит в том, что вы умножаете показатели
      все вместе. В этом случае одним из показателей будет лог, а другим —
      экспонента будет степенью, до которой вы увеличиваете количество.


      Показатель аргумента — коэффициент журнала.

      журнал a x r = r * журнал a x

      Мелодическая математика

      Некоторые из приведенных выше утверждений очень мелодичны.То есть звучат хорошо.
      Это может помочь вам запомнить мелодическую математику, а не формулы.

      • Журнал продукта — это сумма журналов
      • Сумма журналов — это журнал продуктов
      • Логарифм частного — это разность бревен
      • Разница журналов — это журнал частного
      • Показатель аргумента — это коэффициент журнала
      • Коэффициент при логарифме — это показатель степени при аргументе

      Ладно, последние два не такие мелодичные.

      Распространенные ошибки

      Я почти не решаюсь помещать сюда этот раздел. Кажется, когда я пытаюсь указать
      ошибка, которую люди собираются совершить, что больше людей совершают ее.

      • The
        журнал суммы НЕ является суммой журналов. Сумма журналов — это журнал
        продукт. Журнал суммы не может быть упрощен.
        журнал a (x + y) ≠ журнал a x
        + журнал a y
      • журнал разницы НЕ является разницей журналов.Разница
        журналы — это журнал частного. Журнал разницы не может быть упрощен.
        журнал a (x — y) ≠ журнал a x
        — журнал a y
      • An
        показатель степени в журнале НЕ является коэффициентом журнала. Только когда аргумент
        возведен в степень, можно превратить показатель степени в коэффициент. Когда
        весь логарифм возведен в степень, то его нельзя упростить.
        (журнал a x) r ≠ r
        * журнал a x
      • журнал частного не является частным из журналов. Частное бревен
        от изменения базовой формулы. Журнал частного — это разница
        журналов.
        журнал a (x / y) ≠ (журнал a x
        ) / (журнал а г)

      Как определить неизвестную экспоненту

      Обновлено 16 февраля 2020 г.

      Кевин Бек

      Обзор: Lana Bandoim, B.S.

      Если вы видите выражения 3 2 и 5 3 , вы можете с размахом объявить, что они означают «три в квадрате» и «пять в кубе», и сможете найти эквивалентные числа без экспонент , числа, представленные надстрочными индексами вверху справа вверху.В данном случае это числа 9 и 125.

      Но что, если вместо, скажем, простой экспоненциальной функции, такой как y = x 3 , вам придется решить уравнение типа y = 3 x . Здесь x, зависимая переменная, отображается как показатель степени. Есть ли способ избавиться от этой переменной, чтобы упростить математическую обработку?

      На самом деле есть, и ответ заключается в естественном дополнении показателей степени, которые являются забавными и полезными величинами, известными как логарифмов .

      Что такое экспоненты?

      Показатель , также называемый степенью , представляет собой сжатый способ выражения повторяющихся умножений числа на себя. 4 5 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 1024.

      • Любое число, возведенное в степень 1, сохраняет то же значение; любое число с показателем 0 равно 1. Например, 72 1 = 72; 72 0 = 1.

      Показатели могут быть отрицательными, что приводит к соотношению x −n = 1 / (x n ) .Их также можно выразить в виде дробей, например, 2 (5/3) . При выражении в виде дробей числитель и знаменатель должны быть целыми числами.

      Что такое логарифмы?

      Логарифмы или «бревна» могут рассматриваться как показатели, выраженные как нечто иное, чем степень. Это, вероятно, не очень помогает, так что, возможно, пара примеров поможет.

      В выражении 10 3 = 1000 , число 10 является основанием , и оно возводится в третью степень (или степень тройки).Вы можете выразить это так: «Основание 10 в третьей степени равно 1000».

      Пример логарифма: log 10 (1000) = 3 . Обратите внимание, что числа и их отношения друг к другу такие же, как в предыдущем примере, но они были перемещены. На словах это означает, что «логарифм по основанию 10 из 1000 равен 3.»

      Величина справа — это степень, в которой должна быть увеличена основа числа 10, чтобы аргумент стал равным , или входному значению журнала, значению в скобках (в данном случае 1000).A) = A⋅log_ {b} (x) log_ {b} (\ dfrac {1} {y}) = −log_ {b} (y)

      Решение для экспоненты

      С приведенной выше информацией вы: готовы попробовать найти показатель степени в уравнении.

      Пример: если 50 = 4 x , что такое x?

      Если вы отнесете журнал к основанию 10 каждой стороны и опустите явную идентификацию основания, это станет log 50 = log 4 x . Из поля выше вы знаете, что log 4 x = x log 4. В результате вы получите

      log 50 = x log 4 или x = (log 50) / (log 4).

      Используя свой калькулятор или электронное устройство по выбору, вы обнаружите, что решение: (1,689 / 0,602) = 2,82 .

      Решение экспоненциальных уравнений с e

      Те же правила применяются, когда основание составляет e , так называемый натуральный логарифм , который имеет значение около 2,7183. У вас также должна быть кнопка для этого на вашем калькуляторе. Это значение также получает свое собственное обозначение: log e x записывается просто «ln x».

      • Функция y = e x i, где e не переменная, а константа с этим значением, является единственной функцией с наклоном, равным ее собственной высоте для всех x и y.
      • Так же, как log 10 10 x = x, ln e x = x для всех x.

      Пример: Решите уравнение 16 = e 2,7x .

      Как и выше, ln 16 = ln e 2,7x = 2,7x.

      ln 16 = 2,77 = 2,7x, поэтому x = 2/77 / 2,7 = 1,03.

      1.9: Предел экспоненциальных функций и логарифмических функций

      Логарифмические функции

      Используя наше понимание экспоненциальных функций, мы можем обсудить их обратные, то есть логарифмические функции.Икс\). Используя этот факт и графики экспоненциальных функций, мы построим график функций \ (log_b \) для нескольких значений b> 1 (рисунок).

      Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): Графики \ (y = log_b (x) \) изображены для \ (b = 2, e, 10 \).

      Прежде чем решать некоторые уравнения, включающие экспоненциальные и логарифмические функции, давайте рассмотрим основные свойства логарифмов.

      Свойства логарифмов

      Если \ (a, b, c> 0, b ≠ 1 \) и \ (r \) — любое действительное число, то

      1. \ (log_b (ac) = log_b (a) + log_b (c) \) (Свойство продукта)
      2. \ (log_b (\ dfrac {a} {c}) = log_b (a) −log_b (c) \) (Свойство частного)
      3. \ (log_b (a ^ r) = rlog_b (a) \) (Свойство мощности)

      Пример \ (\ PageIndex {4} \): решение уравнений, включающих экспоненциальные функции

      Решите каждое из следующих уравнений относительно \ (x \). 3) −4 \ ln (x) = 1 \).

      Подсказка

      Сначала используйте свойство мощности, затем свойство произведения логарифмов.

      Ответ

      \ (x = \ dfrac {1} {e} \)

      Оценивая логарифмическую функцию с помощью калькулятора, вы могли заметить, что единственными параметрами являются \ (log_10 \) или log, называемый десятичным логарифмом , или \ ln, который является натуральным логарифмом.Однако экспоненциальные функции и логарифмические функции могут быть выражены с помощью любого желаемого основания \ (b \). Если вам нужно использовать калькулятор для вычисления выражения с другой базой, вы можете сначала применить формулы замены базы. Используя это изменение основания, мы обычно записываем данную экспоненциальную или логарифмическую функцию в терминах естественных экспоненциальных и натуральных логарифмических функций.

      Правило: формулы замены базы

      Пусть \ (a> 0, b> 0 \) и \ (a ≠ 1, b ≠ 1 \).

      1.ж \). Поскольку экспоненциальные функции взаимно однозначны, мы можем заключить, что \ (u⋅v = w \).

      \ (\ квадрат \)

      Пример \ (\ PageIndex {6} \): изменение баз

      Используйте вычислительную утилиту для вычисления \ (log_37 \) с помощью формулы изменения базы, представленной ранее.

      Решение

      Используйте второе уравнение с \ (a = 3 \) и \ (e = 3 \): \ (log_37 = \ dfrac {\ ln 7} {\ ln 3} ≈1.77124 \).

      Упражнение \ (\ PageIndex {6} \)

      Используйте формулу замены базы и вычислительную утилиту для вычисления \ (log_46 \).

      Подсказка

      Используйте изменение основания, чтобы переписать это выражение в терминах выражений, содержащих функцию натурального логарифма.

      Ответ

      \ (1,29248 \)

      Пример \ (\ PageIndex {7} \): Шкала Рихтера для землетрясений

      Рисунок \ (\ PageIndex {6} \): (кредит: модификация работы Робба Ханнавакера, NPS)

      В 1935 году Чарльз Рихтер разработал шкалу (теперь известную как шкала Рихтера) для измерения магнитуды землетрясения .Шкала представляет собой логарифмическую шкалу с основанием 10, и ее можно описать следующим образом: Рассмотрим одно землетрясение с магнитудой \ (R_1 \) по шкале Рихтера и второе землетрясение с магнитудой \ (R_2 \) по шкале Рихтера. Предположим, \ (R_1> R_2 \), что означает, что землетрясение магнитудой \ (R_1 \) сильнее, но насколько оно сильнее, чем другое землетрясение? Одним из способов измерения интенсивности землетрясения является использование сейсмографа для измерения амплитуды сейсмических волн. Если \ (A_1 \) — это амплитуда, измеренная для первого землетрясения, а \ (A_2 \) — это амплитуда, измеренная для второго землетрясения, то амплитуды и магнитуды двух землетрясений удовлетворяют следующему уравнению:

      \ (R_1-R_2 = log_ {10} (\ dfrac {A1} {A2}) \).

      Рассмотрим землетрясение силой 8 баллов по шкале Рихтера и землетрясение силой 7 баллов по шкале Рихтера. Затем

      \ (8-7 = log_ {10} (\ dfrac {A1} {A2}) \).

      Следовательно,

      \ (log_ {10} (\ dfrac {A1} {A2}) = 1 \),

      , что означает \ (A_1 / A_2 = 10 \) или \ (A_1 = 10A_2 \). {1.7} \), и мы заключаем, что землетрясение в Японии было примерно в 50 раз сильнее землетрясения на Гаити.

      Упражнение \ (\ PageIndex {7} \)

      Сравните относительную силу землетрясения магнитудой \ (8,4 \) с землетрясением магнитудой \ (7,4 \).

      Подсказка

      \ (R_1-R_2 = log_ {10} (A1 / A2) \).

      Ответ

      Землетрясение с магнитудой \ (8.4 \) примерно в \ (10 ​​\) раз сильнее, чем магнитуда \ (7.х = 0. \)

      Ответ

      \ (\ Displaystyle \ lim_ {x → ∞} f (x) = \ frac {3} {5}, \ lim_ {x → −∞} f (x) = — 2 \)

      .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.