Элементы комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания

Ниже калькулятор, подсчитывающий число перестановок, размещений и сочетаний. Под ним, как водится, ликбез, если кто подзабыл.

Элементы комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания

Число перестановок из n

Число размещений из n по m

Число размещений из n по m с повторениями

Число сочетаний из n по m

content_copy Ссылка save Сохранить extension Виджет

Итак, есть множество из n элементов.

Вариант упорядочивания данного множества называется перестановкой (permutation).
Например, есть множество, состоящее из 3 элементов — А, В, и С. Пример перестановки — СВА. Число всех перестановок из n элементов:

Пример: Для случая А, В, С число всех перестановок 3! = 6. Перестановки: АВС, АСВ, ВАС, ВСА, САВ, СВА

Если из множества n элементов выбирают m в определенном порядке, это называется размещением (arrangement).
Пример размещения из 3 по 2: АВ или ВА — это два разных размещения. Число всех размещений из n по m

Пример: Для случая А, В, С число всех размещений из 3 по 2 равно 3!/1! = 6. Размещения: АВ, ВА, АС, СА, ВС, СВ

Также бывают размещения с повторениями, как ясно из названия, элементы на определенных позициях могут повторяться.
Число всех размещений из n по m с повторениями:

Пример: Для случая А, В, С число всех размещений из 3 по 2 с повторениями равно 3*3 = 9. Размещения: AA, АВ, АС, ВА, BB, ВС, СА, СВ, CC

Если из множества n элементов выбирают m, и порядок не имеет значения, это называется сочетанием (combination).
Пример сочетания из 3 по 2: АВ. Число всех сочетаний из n по m

Пример: Для случая А, В, С число всех сочетаний из 3 по 2 равно 3!/(2!*1!) = 3. Сочетания: АВ, АС, СВ

Приведем до кучи формулу соотношения между перестановками, размещениями и сочетаниями:

Обратите внимание, что внизу

Комбинаторика в Python / Хабр

Стандартная библиотека python, начиная с версии 2.2, предоставляет множество средств для генерирования комбинаторных объектов, но в интернете мне не удалось найти ни одной статьи, которая подробно рассказывала бы о работе с ними. Поэтому я решил исправить это упущение.

Начну с того, что расскажу о комбинаторике и ее основных формулах. Если же вы уже знакомы с этим разделом математики — можете пропустить эти абзацы.

Допустим, у нас есть строка, состоящая из n разных букв и мы хотим вычислить все способы переставить эти буквы местами так, чтобы получить новую строку. На первую позицию в строке мы можем выбрать одну из n букв, имеющихся у нас, на вторую позицию одну из n-1-ой буквы и так далее. В итоге получаем произведение n (n-1)… *1 = n! количество перестановок из n элементов без повторений.

Теперь представим, что количество букв в строке ограничено. У нас есть n доступных букв и мы хотим вычислить количество способов составить из них строку длины k, где k < n, каждую букву мы можем использовать лишь единожды.k количество размещений из n по k с повторениями.

До этого мы перебирали последовательности с учетом порядка элементов, а что если порядок для нас не имеет значения. Например, у нас есть есть n разных конфет и мы хотим выбрать k из них, чтобы подарить другу, при чем k < n. Сколько существует способов выбрать k конфет из n без учета порядка? Ответ прост, в начале найдем размещение из n по k без повторений, но тогда одинаковые наборы конфет, имеющие разный порядок их следования будут повторяться. Сколько существует способов переставить k конфет? Правильно, перестановка из k элементов без повторений. Итоговый ответ: размещения из n по k делим на перестановки из k без повторений. Формула: количество сочетаний из n по k.

Рассмотрим случай посложнее, у нас есть n коробок каждая из которых содержит множество конфет одного вкуса, но в разных коробках вкусы разные. Сколько существует способов составить подарок другу из k конфет, при чем один и тот же вкус может встречаться любое количество раз? Так как порядок для нас значения не имеет, давайте разложим подарочные сладости следующим образом: в начале будут лежать последовательно конфеты первого вкуса, затем второго и так далее, а между конфетами разных вкусов положим спички, если конфеты какого-то вкуса отсутствуют в нашем подарке — спички, которые должны были окаймлять этот вкус слева и справа будут стоять рядом. Того у нас получится последовательность, состоящая из k конфет и n-1 спички, ибо вкусов всего n, а спички разделяют их. Теперь заметим, что по расположению спичек, мы можем восстановить исходное множество. Тогда ответом будет количество способов разместить n-1 спичку в n+k-1 ячейку без учета порядка, что равно количеству сочетаний из n+k-1 по n-1, формула: количество сочетаний из n по k с повторениями.

Теперь рассмотрим несколько задач на комбинаторику, чтобы закрепить материал.

Задача 1

Есть 20 человек, сколько существует способов разбить их на пары

Решение: возьмем первого человека, сколько существует способов выбрать ему пару: , возьмем второго человека, сколько существует способов выбрать ему пару: . Ответ: 19!!! = 654729075

Задача 2

Есть 10 мужчин и 10 девушек, сколько существует способов разбить их на компании, состоящие из одинакового количества и мужчин и девушек, пустая компания не считается

Решение:

Cпособ 1: количество способов собрать компанию из одного мужчины и одной девушки равно произведению количества способов выбрать одну девушку и количества способов выбрать одного мужчину. Количество способов выбрать одну девушку из 10 равно сочетанию из 10 по 1 без повторений, с мужчинами аналогично, поэтому возведем в квадрат. Далее аналогично вычислим сочетания из 10 по 2, из 10 по 3 и так далее до сочетания из 10 по 10. Итоговая формула: .

Способ 2: рассмотрим множество мужчин, входящих в компанию и множество девушек, не входящих в нее. По этому множеству можно однозначно восстановить компанию, а количество людей в нем всегда равно 10, так как , k — количество мужчин в компании, — количество девушек, не вошедших в нее. Количество таких множеств равно количеству сочетаний из 20 по 10, в конечном ответе мы также вычтем единицу, чтобы не учитывать пустую компанию, когда в нашем множестве 10 девушек. Итоговая формула: .

Итак, мы разобрались с теорией, теперь научимся генерировать комбинаторные объекты с помощью стандартной библиотеки python.

Работать мы будем с библиотекой itertools

from itertools import *

С помощью функции permutations можно сгенерировать все перестановки для итерируемого объекта.

Пример 1

for i in permutations('abc'):
    print(i, end=' ') # abc acb bac bca cab cba
print()
for i in permutations('abb'):
    print(i, end=' ') # abb abb bab bba bab bba 

Исходя из второго вызова заметим, что одинаковые элементы, стоящие на разных позициях, считаются разными.

Пример 2

for i in permutations('abc', 2):
    print(i, end=' ') # ab ac ba bc ca cb 

Размещение отличается от перестановки ограничением на количество доступных ячеек

Пример 3

for i in product('abc', repeat=2):
    print(i, end=' ') # aa ab ac ba bb bc ca cb cc

C помощью размещений с повторениями можно легко перебрать все строки фиксированной длины, состоящие из заданных символов

Пример 4

for i in combinations('abcd', 2):
    print(i, end=' ') # ab ac ad bc bd cd 

С помощью сочетаний без повторений можно перебрать все наборы не повторяющихся букв из заданной строки, массива или другого итерируемого объекта без учета порядка

Пример 5

for i in combinations_with_replacement('abcd', 2):
    print(i, end=' ') # aa ab ac ad bb bc bd cc cd dd  

Результат аналогичен вызову combinations, но в результат также добавлены множества с одинаковыми элементами.

Материалы:

Н.В. Горбачев «Сборник олимпиадных задач по математике»
Документация по python на русском

все формулы комбинаторики

Вы искали все формулы комбинаторики? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и задачи комбинаторика, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «все формулы комбинаторики».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как все формулы комбинаторики,задачи комбинаторика,как понять комбинаторику,комбинаторика,комбинаторика в математике,комбинаторика в математике это,комбинаторика для чайников,комбинаторика задачи,комбинаторика математика,комбинаторика матпрофи,комбинаторика определение,комбинаторика основные понятия и формулы комбинаторики,комбинаторика основные формулы,комбинаторика перестановка,комбинаторика перестановки,комбинаторика примеры,комбинаторика примеры решения задач,комбинаторика сочетание,комбинаторика сочетания,комбинаторика формула,комбинаторика формулы,комбинаторика это в математике,комбинаторики,комбинаторные формулы,математика комбинаторика,матпрофи комбинаторика,определение комбинаторика,основная формула комбинаторики,основные правила комбинаторики,основные формулы комбинаторика,основные формулы комбинаторики,основные формулы комбинаторики перестановки размещения сочетания,основные формулы комбинаторики размещения перестановки сочетания,основы комбинаторики,перестановки формула,правила комбинаторики,правило комбинаторики,примеры сочетания,сколько способов,сочетание комбинаторика,сочетание формула комбинаторики,сочетания в комбинаторике,сочетания комбинаторика,формула количества размещений,формула комбинаторика,формула комбинаторики,формула комбинаторики сочетание,формула нахождения перестановки,формула перестановки,формула перестановок,формула сочетания в комбинаторике,формулы комбинаторики,формулы комбинаторики все,формулы комбинаторики перестановки размещения сочетания примеры,формулы комбинаторики с примерами,формулы по комбинаторике,что такое комбинаторика,что такое комбинаторика в математике,элементы комбинаторики расчет количества вариантов. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и все формулы комбинаторики. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, как понять комбинаторику).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же все формулы комбинаторики Онлайн?

Решить задачу все формулы комбинаторики вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.

Комбинаторика в Excel

Комбинаторика в Excel

Комбинаторика — раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения элементов) и отношения на них. Термин комбинаторика был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве». Excel поддерживает ряд функций комбинаторики. Чтобы разобраться, какую формулу использовать, следует ответить на ряд вопросов:

1. Исходное множество содержит только уникальные элементы, или некоторые из них могут повторяться?
2. Операция выполняется со всеми элементами множества, или только с некоторой выборкой из них?
3. Важен ли порядок элементов в выборке?
4. После выбора элемента мы его возвращаем назад?

Рис. 1. Дерево решений, какую формулу комбинаторики использовать

Скачать заметку в формате Word или pdf, примеры в формате Excel

Перестановки без повторений

Возьмем несколько различных элементов (предметов) и будем переставлять их всевозможными способами, оставляя неизменным их число и меняя только их порядок (рис. 2). Каждая из получившихся таким образом комбинаций носит название перестановки. Перестановкой из n элементов называется упорядоченное множество, составленное из всех элементов множества.

Рис. 2. Перестановки (картинка взята здесь)

Если все n элементы разные, то число перестановок обозначается P_n от perturbation.

С другой стороны, произведение n первых натуральных чисел называется n-факториал и обозначается n!

Например

По определению: 1! = 1; 0! = 1.

Функция в Excel =ФАКТР(n). Факториал растет очень быстро. Существенно быстрее экспоненты (рис. 3).

Рис. 3. Расчет числа перестановок без повторений с помощью факториала

Перестановки с повторениями

Если в основном n множестве не все элементы разные, то число перестановок будет меньше n! Например, если наше множество состоит из трех яблок и одной груши, то всего возможно 4 перестановки (рис. 4). Груша может быть первой, второй, третьей или четвертой, а яблоки неразличимы).

Рис. 4. Перестановки с повторениями (картинка найдена здесь)

В общем случае, можно сказать: последовательность длины n, составленная из k разных символов, первый из которых повторяется n₁ раз, второй – n₂ раз, третий – n₃ раз, …, k-й – n_k раз (где n₁ + n₂ + … + n_k = n) называется перестановкой с повторениями из n элементов.

Пример. Сколько различных пятибуквенных слов можно составить из букв слова «манна»?

Решение. Буквы а и н повторяются 2 раза, а буква м один раз.

Размещение без повторений

Размещением из n элементов по m называется упорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из n-элементного множества (все элементы множества уникальны; позиции элементов в выборке важны). Число размещений обозначается  от arrangement.

Например, два элемента из трех можно выбрать и расположить шестью способами (рис. 4):

Рис. 5. Размещение без повторений (картинка из презентации)

Если m = n количество элементов совпадает с количеством имеющихся мест для размещения. Знаменатель в формуле (4) превращается в 0! = 1. Остается только числитель n! А это – изученная выше перестановка без повторений; см. формулу (1).

Название функции в Excel несколько обескураживает. Но… что поделаешь: =ПЕРЕСТ(n;m)

Рис. 6. Размещение без повторений; обратите внимание на смешанные ссылки, которые позволяют протянуть формулу на всю таблицу

Размещение с повторениями

Размещение с повторениями по смыслу отличается от перестановок с повторением. Перестановки с повторением – это операция над множеством, которое состоит из нескольких видов элементов, так что каждый вид представлен несколькими одинаковыми элементами. Размещение с повторениями – выборки из множества с возвращением выбранного элемента назад перед каждым новым выбором.

Например, если у вас множество, включающее грушу, яблоко и лимон, и вам нужно выбрать два элемента, так что после первого выбора вы возвращаете выбранный предмет назад, то существует девять различных комбинаций (рис. 7).

Рис. 7. Размещение с повторениями

В общем случае размещение с повторениями или выборка с возвращением – это размещение «предметов» в предположении, что каждый «предмет» может участвовать в размещении несколько раз. По правилу умножения количество размещений с повторениями из n по k:

В Excel используется функция ПЕРЕСТА(n;k).

Задача. Сколько различных номеров можно составить в одном коде региона?

Подсказка. В номере используется 12 букв алфавита, также существующих и в латинском алфавите (А, В, Е, К, М, Н, О, Р, С, Т, У, Х).

Рис. 8. Номер автомобиля

Решение. Можно воспользоваться формулой для размещения с повторениями:

Каждую цифру можно выбрать 10 способами, а всего цифр 3, при этом они могут повторяться, и их порядок важен. Каждую букву можно выбрать 12 способами, при этом буквы могут повторяться, и их порядок важен.

Сочетания без повторений

Сочетаниями из n множества по m элементов называются комбинации, составленные из данных n элементов по m элементов, которые различаются хотя бы одним элементом (в сочетаниях не учитывается порядок элементов).

Например, два элемента из 4 сочетаются 6 способами (порядок следования не важен):

Рис. 9. Сочетания без повторений из 4 по 2

Сочетания без повторений образуют знаменитый треугольник Паскаля (рис. 10). В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Числа в строках, составляющие треугольник Паскаля, являются сочетаниями

где n – номер строки, m – номер элемента в строке, начиная с нулевого. Например, в строке 7:

Рис. 10. Треугольник Паскаля; чтобы увеличить изображение кликните на нем правой кнопкой мыши и выберите Открыть картинку в новой вкладке

В Excel используется функция =ЧИСЛКОМБ(n;m).

Сочетания с повторениями

Сочетания с повторениями по смыслу похожи на размещение с повторениями – это выборки из множества с возвращением выбранного элемента назад перед каждым новым выбором. При этом порядок в выборке не важен.

Например, два предмета из четырех можно выбрать 10 способами, если после каждого выбора предмет возвращается назад (рис. 11).

Рис. 11. Сочетания с повторениями

В общем случае, число сочетаний с повторениями:

Для нашего примера с фруктами

В Excel для подсчета числа сочетаний с повторениями используется функция =ЧИСЛКОМБА(n;m). В нашем примере =ЧИСЛКОМБА(4;2) = 10.

Основные понятия и формулы комбинаторики(перестановки, размещения)

Группа 2

Перестановки-соединения, которые можно составить из n предметов, меняя всеми возможными способами их порядок; число их

Количество всех перестановок из n элементов обозначают

Число n при этом называется порядком перестановки

Произведение всех натуральных чисел от n до единицы, обозначают символом n! (Читается “эн — факториал”). Используя знак факториала, можно, например, записать:

1! = 1,

2! = 2•1 = 2,

3! = 3 •2 •1 = 6,

4! = 4 •3 •2 •1 = 24,

5! = 5 •4 •3 •2 •1 = 120.

Необходимо знать, что 0!=1

Термин “перестановки” употребил впервые Якоб Бернулли в книге “Искусство предположений”.

Примеры решения задач:

Задача №1. Сколькими способами 7 книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же п различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок обозначается Рп и оно равно п!, т.е. Рп = п!, где п! = 1 * 2 * 3 * … п.

Решение: Р7 = 7!, где 7! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 =5040, значит существует 5040 способов осуществить расстановку книг.

Ответ: 5040 способов.

Задача № 2 (о квартете)

В знаменитой басне Крылова “Квартет” “Проказница мартышка, Осел, Козел да косолапый Мишка” исследовали влияние взаимного расположения музыкантов на качество исполнения.

Зададим вопрос: Сколько существует способов, чтобы рассадить четырех музыкантов?

Задания для решения задач в группе:

Сколькими способами Дима и Вова могут занять 2 места за одной двухместной партой?

Из трёх стаканов сока – яблочного, сливового и абрикосового – Коля решил последовательно выпить два. Перечислите все варианты, которыми это можно сделать.

Сергей, Игорь и Миша могут занять 1-е, 2-е и 3-е призовые места в соревнованиях по шахматам. Перечислить всевозможные последовательности из имён мальчиков, где порядковый номер в последовательности соответствует занятому мальчиком месту в

У Влада на обед – первое, второе, третье и пирожное. Он обязательно начнёт с пирожного, а всё остальное съест в произвольном порядке. Найдите число возможных вариантов обеда.

Четыре друга купили билеты в кино: на 1-е и 2-е места в первом ряду и на 1-е и 2-е места во втором ряду. Сколькими способами друзья могут занять эти 4 места в кинотеатре?

Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается цифрами 5, 7, 8, но забыла, в каком порядке эти цифры следуют. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придётся перебрать, чтобы дозвониться подруге.

Семь мальчиков, в число которых входят Сергей и Игорь, становятся в ряд. Найдите число возможных комбинаций, если:

а) Сергей должен находиться в конце ряда;

б) Сергей должен находиться в начале ряда, а Игорь – в конце ряда;

в) Сергей и Игорь должны стоять рядом.

Одиннадцать футболистов школьной команды строятся перед началом

матча. Первым становится капитан, вторым – вратарь, а остальные – случайным образом. Сколько существует способов построения?

В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия, биология, история, химия, физкультура. Сколькими способами можно составить расписание уроков на этот день так, чтобы два урока математики стояли рядом?

Формулы комбинаторики — алгебра, уроки

библиотека
материалов

Содержание слайдов

Номер слайда 1

Учитель: Дученко Е.В.

Номер слайда 2

Пункт 1 Пункт 2 Пункт 3 Вложенный пункт 1 Вложенный пункт 2 Вложенный пункт 3

Номер слайда 3

Номер слайда 4

Номер слайда 5

Номер слайда 6

Размеще́нием (из n по k) называется упорядоченный набор из k различных элементов некоторого n-элементного множества.

Номер слайда 7

Сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений.

Номер слайда 8

Перестановками из n элементов называются соединения, каждое из которых содержит все n элементов, отличающихся поэтому друг от друга только порядком расположения элементов. Pn = n!

Номер слайда 9

Определите число n (общее количество объектов) и k (сколько объектов необходимо выбрать) Порядок важен? Да Нет СОЧЕТАНИЯ Нет Да Нужно выбрать n элементов? РАЗМЕЩЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ

Номер слайда 10

Сколькими способам можно вывезти со склада 10 ящиков на двух автомашинах, если на каждую автомашину грузят по 5 ящиков? Решение: По схеме n=10, k=5,порядок не важен Нужна формула СОЧЕТАНИЯ:

Номер слайда 11

Номер слайда 12

Расписание одного дня состоит из 5 уроков. Определить число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин. Решение: По схеме получаем: n = 11, k=5 , порядок важен (уроки идут по порядку), повторений нет. Нужна формула: Размещения

Номер слайда 13

Номер слайда 14

Сколькими способами 4 человека могут разместиться в четырехместном купе? Решение: По схеме получаем: n = 4,k= 4 , порядок важен (места в купе различны), нужно выбрать все объекты. Нужна формула: Перестановки Pn = n!

Номер слайда 15

Значит, число различных размещений 4 человек в четырехместном купе – это число всех перестановок из 4 элементов: N =4!=1⋅2⋅3⋅4 = 24 способа. Ответ: 24.

Номер слайда 16

№392 №396(1а) №404(1)

Номер слайда 17

Номер слайда 18

Автор данного шаблона: Ермолаева Ирина Алексеевна учитель информатики и математики МОУ «Павловская сош» с.Павловск Алтайский край Название сайта: http://pedsovet.su/

Номер слайда 19

http://www.myjulia.ru/data/cache/2009/07/17/152778_2266-0x600.jpg http://files.botevcheta.webnode.com/200000016-45175461c2/1stationery15-med.jpg http://www.mathknowledge.com/images/custom/LOGO.GIF http://www.ccboe.net/Teachers/Durham_Sharon/images/918F9422010B4BB0B160956D6B9D4E34.JPG http://lake.k12.fl.us/cms/cwp/view.asp?A=3&Q=427619 http://www.533school.ru/nach.htm

Асимптотический анализ и теория вероятностей, осень 2017

В курсе будут разобраны такие темы, как: теория множеств, асимптотики, производящие функции, дискретная и условная вероятность, случайные величины, предельные теоремы.

Сдача курса

Каждое д/з 20 баллов, за все д/з можно набрать 80 баллов. Контрольная стоит 50 баллов. Итого вместе с д/з можно набрать 130 баллов.

• Набравшие 110 баллов получают оценку 5.
• Набравшие 98 баллов получают оценку 4.
• Набравшие 85 баллов получает оценку 3.

(По окончании проверки контрольной не исключено небольшое понижение планок). Слушатели, не набравшие 50 баллов за д/з (в том числе и с помощью иногда встречающихся бонусов), автоматически получают за курс оценку 2 и к контрольной не допускаются.

Необходимые знания для понимания курса

Комбинаторика

Необходимо знание комбинаторики примерно в объеме первой лекции курса «Основы дискретной математики».

Начиная со 2-й лекции нужно: знакомство с факториалами и биномиальными
коэффициентами (число перестановок, число сочетаний), основные
комбинаторные величины и простейшие комбинаторные формулы.

Для понимания некоторых примеров применения теории вероятностей в
комбинаторике (8-я лекция и далее) нужно знакомство с базовыми
определениями теории графов. Достаточно первой лекции по графам из курса
«Основы дискретной математики».

Математический анализ

Необходимо знание математического анализа в объеме первого курса
технического ВУЗа.

Умение вычислять простые пределы (2-я лекция и далее). Знакомство с
определенными интегралами и их связью с площадями (3-я лекция и далее).
Начиная с 4-й лекции нужно умение дифференцировать и интегрировать.
Достаточно уметь интегрировать рациональные функции (точнее нужно уметь
раскладывать их на простейшие, что требуется при интегрировании
рациональных функций), а также некоторые достаточно простые функции.
Знакомство с формулами Тейлора для элементарных функций. Знакомство с формулой
интегрирования по частям. Определение ряда, суммы ряда и сходимости ряда.
В нескольких примерах в курсе (6-я лекция) возникают простые дифференциальные
уравнения, но неумение их решать не влияет на понимание курса.

Алгебра

Иногда в небольших количествах в курсе используются матрицы и комплексные
числа.

Лекции 2016 года доступны по ссылке.

Статистика за 2015 год

• Записалось 86
• Сдавали хоть какие-нибудь д/з 64
• Сдали что-то хотя бы по трем д/з 60
• Писали к/р 50
• Максимальное число баллов, набранных на к/р 48 (из 50 возможных)
• Минимальное число баллов, набранных на к/р 0
• Средний балл за к/р (среди писавших) 22,9
• Итоговая оценка за курс: Отлично 10
• Хорошо 13
• Удовлетворительно 13

Статистика за 2016 год

• Записалось 68
• Сдавали хоть какие-нибудь д/з 60
• Сдали что-то хотя бы по трем д/з 56
• Писали к/р 50
• Максимальное число баллов, набранных на к/р 50 (из 50 возможных, впервые за всю историю)
• Минимальное число баллов, набранных на к/р 1
• Средний балл за к/р (среди писавших) 29,5
• Итоговая оценка за курс: Отлично 22
• Хорошо 15
• Удовлетворительно 10

Калькулятор комбинаций и перестановок

Узнайте, сколько разных способов выбирать предметы.
Для более подробного объяснения формул, пожалуйста, посетите «Комбинации и перестановки».

Примечание. Здесь находится старая версия Flash.

Для более подробного объяснения, пожалуйста, посетите «Комбинации и перестановки».

Опытные пользователи!

Теперь вы можете добавить «Правила», которые уменьшат список:

Правило «имеет» , которое гласит, что определенные элементы должны быть включены (чтобы запись была включена).

Пример: имеет 2, a, b, c. означает, что запись должна иметь как минимум две из букв a, b и c.

Правило «нет» , которое означает, что некоторые элементы из списка не должны встречаться вместе.

Пример: no 2, a, b, c означает, что запись должна содержать , а не , две или более букв a, b и c.

Правило «шаблона» используется для наложения некоторого шаблона для каждой записи.

Пример: шаблон c, * означает, что буква c должна быть первой (может следовать все остальное)

Поместите правило в отдельной строке:

Пример: правило «имеет»

a, b, c, d, e, f, g
имеет 2, a, b

Комбинации a, b, c, d, e, f, g, которые имеют по крайней мере 2 из a, b или c

Правила в деталях

Правило «имеет»

За словом «имеет» следует пробел и число.Затем запятая и список элементов, разделенных запятыми.

Число говорит, сколько (минимум) из списка необходимо для того, чтобы этот результат был разрешен.

Пример имеет 1, a, b, c

Допускается, если есть a , или b , или c , или a и b , или a и c , или b и c , или все три a, b и с .

Другими словами, он настаивает на том, чтобы в результате присутствовали a, b или c.

Итак, {a, e, f} принято, но {d, e, f} отклонено.

Пример имеет 2, a, b, c

Допустим, если есть a и b , или a и c , или b и c , или все три a, b и c .

Другими словами, он настаивает на том, чтобы в результате было по крайней мере 2 из a, b или c.

Итак, {a, b, f} принято, но {a, e, f} отклонено.

Правило «нет»

Слово «нет», за которым следует пробел и число. Затем запятая и список элементов, разделенных запятыми.

Число указывает, сколько (минимум) из списка необходимо для отклонения.

Пример: n = 5, r = 3, Order = no, Replace = no

Что обычно дает:

{a, b, c} {a, b, d} {a, b, e} {a, c, d} {a, c, e} {a, d, e} {b, c, d } {b, c, e} {b, d, e} {c, d, e}

Но когда мы добавляем такое правило «нет»:

а, б, в, г, д, е, г
№ 2, а, б

Получаем:

{a, c, d} {a, c, e} {a, d, e} {b, c, d} {b, c, e} {b, d, e} {c, d, e }

Записи {a, b, c}, {a, b, d} и {a, b, e} отсутствуют, потому что правило говорит, что у нас не может быть 2 из списка a, b (имеющего a или b нормально, но не вместе)

Пример: № 2, а, б, в

Разрешает только это:

{a, d, e} {b, d, e} {c, d, e}

Он отклонил любой с a и b , или a и c , или b и c , или даже все три a, b и c .

Итак, {a, d, e) разрешено (в нем только один из a, b и c)

Но {b, c, d} отклоняется (имеет 2 из списка a, b, c)

Пример: № 3, а, б, в

Разрешает все:

{a, b, d} {a, b, e} {a, c, d} {a, c, e} {a, d, e} {b, c, d} {b, c, e } {b, d, e} {c, d, e}

Отсутствует только {a, b, c}, потому что это единственный, у которого 3 из списка a, b, c

Правило «шаблона»

Слово «шаблон», за которым следует пробел и список элементов, разделенных запятыми.

Вы можете включить эти «особые» предметы:

• ? (вопросительный знак) означает любой предмет. Это похоже на «подстановочный знак».
• * (звездочка) означает любое количество элементов (0, 1 или более). Как «супер-шаблон».

Пример: узор?, C, *, f

Означает «любой элемент, за которым следует c, за которым следует ноль или более элементов, затем f»

Итак, {a, c, d, f} разрешено

И {b, c, f, g} также разрешены (между c и f нет пунктов, и это нормально)

Но {c, d, e, f} нет, потому что перед c нет элемента.

Пример: сколькими способами можно выстроить Алекса, Бетти, Кэрол и Джона в ряд, с Джоном после Алекса.

Используйте: n = 4, r = 4, order = yes, replace = no.

Алекс, Бетти, Кэрол, Джон
узор *, Алекс, *, Джон

Результат:

{Алекс, Бетти, Кэрол, Джон} {Алекс, Бетти, Джон, Кэрол} {Алекс, Кэрол, Бетти, Джон} {Алекс, Кэрол, Джон, Бетти} {Алекс, Джон, Бетти, Кэрол} {Алекс, Джон , Кэрол, Бетти} {Бетти, Алекс, Кэрол, Джон} {Бетти, Алекс, Джон, Кэрол} {Бетти, Кэрол, Алекс, Джон} {Кэрол, Алекс, Бетти, Джон} {Кэрол, Алекс, Джон, Бетти} {Кэрол, Бетти, Алекс, Джон}

Лотереи

Лотерея — это разновидность азартных игр, при которой люди покупают билеты, а затем выигрывают, если выберут их числа.

«Лот» — это то, что происходит случайно. Возможно, вы слышали, как люди говорят: «Давайте решать жеребьевкой» или «Так что это мой удел».

Правила

У разных лотерей разные правила.

Здесь мы будем использовать типичную лотерею, в которой игрок выбирает 6 различных чисел из 49 .

Пример:

Вы участвуете в лотерее, купив билет и выбрав свои шесть чисел.

Вы выбираете: 1, 2, 12, 14, 20 и 21

В субботу проводится розыгрыш лотереи, и выпадают выигрышных номеров :

3, 12, 18, 20, 32 и 43

Вы сопоставили два чисел (12 и 20):

• Этого достаточно, чтобы выиграть что-нибудь? №
• Обычно вы должны угадать не менее трех чисел , чтобы получить небольшой приз.
• Если угадать четырех номеров , вы получите больший приз,
• Соответствие пяти еще больше.
• Но если вы угадываете ВСЕ ШЕСТЬ номеров, вы можете выиграть миллионов .

Шансы на выигрыш всех 6 номеров равны 1 из 13 983 816 (рассчитано ниже).

Выбор номеров

Они могут выиграть.

Цифры не знают, какие они!

Лотерея — это с такой же вероятностью, что выпадет «1,2,3,4,5,6», как «9,11,16,23,27,36»

Серьезно!

Вместо чисел это могут быть символы или цвета, лотерея все равно будет работать.

На самом деле получился результат ниже (Florida Fantasy 5 от 21 марта 2011 г.):

Так что неважно, какие числа вы выберете, шансы одинаковы.

Более вероятные номера?

Значит, вы читали, что одни числа встречаются чаще, чем другие? Ну, конечно, есть, это случайный случай.

У организаторов лотерей есть строгие правила, запрещающие «фальсификацию» результатов. Но случайный случай может иногда приводить к странным результатам.

Например, используя Spinner, я сделал 1000 вращений на 10 чисел и получил следующее:

Ух ты! 7 выпало 115 раз, ,
и 8 только 81 раз.

Означает ли это, что 7 теперь будет появляться чаще или реже ? На самом деле это ничего не значит, 7 с такой же вероятностью, как и любое число, будет выбрано.

Попробуйте сами и посмотрите, какие результаты вы получите.

Популярные номера

Но есть хитрость! У людей есть любимые числа, поэтому, когда выпадают популярные числа, вы делитесь выигрышем с множеством людей.

дней рождения — популярный выбор, поэтому люди выбирают 1–12 и 1–31 чаще. Также счастливые числа.

Так что, возможно, вам стоит выбрать непопулярных номеров , чтобы, когда вы ДЕЙСТВИТЕЛЬНО выиграете, вы получите больше денег.

(Предполагается, что в вашей лотерее призы распределяются между победителями.)

Сожаление

Не выбирайте одни и те же номера каждую неделю . Это ловушка! Если вы забыли неделю, вы беспокоитесь, что выпадут ваши числа , и это заставит вас покупать билет каждую неделю (даже если у вас есть другие более важные дела).

Мой совет:

Составьте список из множества непопулярных номеров.
Выбирать случайным образом из этого списка каждый раз.

Синдикаты

«Синдикат» — это группа людей, которые все вкладывают небольшие деньги, чтобы группа могла купить много билетов. Шансы на выигрыш повышаются, но каждый раз ваша выплата меньше (потому что вы делитесь).

Синдикаты могут быть забавными, потому что они общительны … способ завести и сохранить дружеские отношения. К тому же некоторые синдикаты любят тратить небольшие выигрыши на всех, кто собирается вместе пообедать.

Еще одна веская причина для присоединения к синдикату — это то, что ваши шансы на выигрыш повышаются (но то, что вы выигрываете, снижается).

Подумайте об этом … выигрыш Десяти миллионов действительно изменит вашу жизнь, но Один миллион также значительно улучшит вашу жизнь. Вы можете предпочесть десятикратный шанс выиграть миллион.

Вероятность выиграть большой приз

ОК. Каковы шансы выиграть большой приз?

Шансы на выигрыш всех 6 номеров равны 1 из 13 983816

Вы можете использовать калькулятор комбинаций и перестановок, чтобы вычислить это (используйте n = 49 , r = 6 , «Нет» для параметра «Важен ли порядок?» И «Нет» для параметра «Разрешено ли повторение?»)

Фактический расчет таков:

⁴⁹ С ₆ = 49! / (43! X 6!) = 13983816

Итак, сколько раз вам нужно сыграть, чтобы выиграть?

1 неделя

Предположим, вы играете каждую неделю

Вероятность выигрыша через 1 неделю:

1
13983816
= 0.0000000715 …

Таким образом, вероятность того, что не выиграют через 1 неделю, составляет:

1 —
1
13983816
= 0,9999999285 …

50 лет

Допустим, вы играете 50 лет, это 2600 недель.

Вероятность того, что не выиграют за 2600 недель, составляет:

(1 —
1
13983816
) ²⁶⁰⁰ = 0,999814 …

Это означает, что вероятность выигрыша (через 50 лет) составляет: 1 — 0.999814 … = 0,000186 …

Еще только около 0,02%

И вы бы потратили тысячи на этот маленький шанс.

Вы могли хорошо провести отпуск за эти деньги.

НО это весело думать: «Я могу выиграть на этой неделе!»

Просто оставь это как развлечение , хорошо?

Твоя очередь

Теперь ваша очередь:

• Узнайте правила выигрыша в лотерею в вашем регионе.
• Сколько номеров вам нужно выбрать и из скольких номеров вы выбираете?
• Рассчитайте вероятность выигрыша в любую неделю.
• Подсчитайте вероятность выигрыша, если вы будете играть каждую неделю в течение 50 лет.
• Сколько денег вы сэкономите, не играя? Что можно купить за эти деньги?

Треугольник Паскаля

Одним из самых интересных образов чисел является треугольник Паскаля (названный в честь Блеза Паскаля , известного французского математика и философа).

Чтобы построить треугольник, начните с «1» вверху, затем продолжайте размещать числа под ним в виде треугольника.

Каждое число — это числа непосредственно над ним, сложенные вместе.

(Здесь я выделил, что 1 + 3 = 4)

Узоры внутри треугольника

Диагонали

Первая диагональ, конечно же, всего лишь «1» с

На следующей диагонали расположены счетные числа (1,2,3 и т. Д.).

На третьей диагонали расположены треугольные числа

(Четвертая диагональ, не выделенная, имеет тетраэдрические числа.)

Симметричный

Треугольник тоже симметричный. Цифры на левой стороне имеют одинаковые совпадающие числа на правой стороне, как в зеркальном отображении.

Суммы по горизонтали

Что вы заметили в горизонтальных суммах?

Есть узор?

Они удваивают каждый раз (степени двойки).

Показатели из 11

Каждая строка также является степенью 11:

.

• 11 ⁰ = 1 (первая строка — просто «1»)
• 11 ¹ = 11 (вторая строка — «1» и «1»)
• 11 ² = 121 (третья строка — «1», «2», «1»)
• и т. Д.!

Но что происходит с 11 ^{5 ? Простой! Цифры просто перекрываются, вот так:}

То же самое происходит с 11 ^{6 и т. Д.}

Квадраты

Для второй диагонали квадрат числа равен сумме чисел рядом с ним и под ними обоих.

Примеры:

• 3 ² = 3 + 6 = 9,
• 4 ² = 6 + 10 = 16,
• 5 ² = 10 + 15 = 25,
• …

Есть и веская причина … ты можешь придумать?
(Подсказка: 4 ² = 6 + 10, 6 = 3 + 2 + 1 и 10 = 4 + 3 + 2 + 1)

Последовательность Фибоначчи

Попробуйте следующее: сделайте узор, двигаясь вверх, а затем вдоль, затем сложите значения (как показано на рисунке)… вы получите последовательность Фибоначчи.

(Последовательность Фибоначчи начинается с «0, 1», а затем продолжается добавлением двух предыдущих чисел, например 3 + 5 = 8, затем 5 + 8 = 13 и т. Д.)

Шансы и эвены

Если вы раскрасите четные и нечетные числа, вы получите узор, такой же, как треугольник Серпинского

Использование треугольника Паскаля

Голова и решка

Треугольник Паскаля может показать вам, сколько способов совмещения орла и решки.Это может показать вам вероятность любой комбинации.

Например, если вы подбрасываете монету три раза, есть только одна комбинация, которая даст вам три решки (HHH), но есть три, которые дадут две решки и одну решку (HHT, HTH, THH), а также три, которые дают одну голову и два решки (HTT, THT, TTH) и по одному для всех решек (TTT). Это образец «1,3,3,1» в Треугольнике Паскаля.

Пример: Какова вероятность выпадения ровно двух орлов при подбрасывании 4 монет?

Есть 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 (или 2 ⁴ = 16) возможных результатов, и 6 из них дают ровно две решки. Таким образом, вероятность составляет 6/16, или 37,5%

Комбинации

Треугольник также показывает, сколько комбинаций объектов возможно.

Пример: у вас есть 16 бильярдных шаров.Сколько разных способов вы можете выбрать только 3 из них (игнорируя порядок, в котором вы их выбираете)?

Ответ: спуститесь в начало строки 16 (верхняя строка — 0), а затем по трем разрядам (первое место — 0) и там значение будет вашим ответом, 560 .

Вот отрывок из строки 16:

 1 14  ...
1 15 105 455 1365 ...
1 16 120  560  1820 4368 ... 

Формула для любого входа в треугольник

На самом деле существует формула из Комбинации для вычисления значения в любом месте треугольника Паскаля:

Обозначение: «n выберите k» также можно написать C (n, k) , ⁿ C _k или даже _n C _k .

Таким образом, треугольник Паскаля также может быть
, треугольником «n выберите k» и , подобным этому.

(обратите внимание, что верхняя строка — это , нулевая строка
, а также крайний левый столбец — нулевой)

Пример: строка 4, член 2 в треугольнике Паскаля равен «6» …

… посмотрим, работает ли формула:

Да, работает! Попробуйте другое значение для себя.

Это может быть очень полезно … теперь вы можете вычислить любое значение в треугольнике Паскаля непосредственно (без вычисления всего треугольника над ним).

Полиномы

Треугольник Паскаля также может показать вам коэффициенты в биномиальном разложении:

Первые 15 строк

Для справки я включил строки с 0 по 14 треугольника Паскаля

.

1

10

45

120

210

252

210

120

45

10

1

1

11

55

165

330

462

462

330

165

55

11

1

1

12

66

220

495

792

924

792

495

220

66

12

1

1

13

78

286

715

1287

1716

1716

1287

715

286

78

130009 13

1

14

91

364

1001

2002

3003

3432

3003

2002

1001

364

91

91

91

Китайцы знали об этом

Этот рисунок называется «Схема семи квадратов умножения по старинному методу».Просмотр полного изображения

Это с лицевой стороны книги Чу Ши-Чи « Ssu Yuan Yü Chien» (Драгоценное зеркало четырех элементов) , написанной в году нашей эры 1303 (более 700 лет назад и более чем на 300 лет до Паскаля!) В книге говорится, что треугольник был известен более чем за два столетия до этого.

Квинканкс

Удивительная маленькая машина, созданная сэром Фрэнсисом Гальтоном, представляет собой треугольник Паскаля, сделанный из колышков. Он называется Quincunx.

Шарики падают на первый колышек, а затем отскакивают к нижней части треугольника, где они собираются в маленькие ящики.

Сначала это выглядит совершенно случайным (и это так), но затем вы обнаруживаете, что шары складываются в красивый узор: нормальное распределение.

Действие: Подмножества

Прочтите введение
установить в первую очередь!

Это упражнение исследует , сколько подмножеств имеет набор.

Что такое подмножество?

Подмножество — это набор , содержащийся в другом наборе

Это как если бы вы могли выбрать мороженое со следующими вкусами:

{банан, шоколад, ваниль}

Вы можете выбрать любой аромат {банан} , {шоколад} или {ваниль} ,

Или любые два вкуса: {банан, шоколад} , {банан, ваниль} или {шоколад, ваниль} ,

Или все три вкуса (нет, не жадные),

Или , вы можете сказать «совсем нет, спасибо», что означает «пустой набор»: {}

Пример: набор {alex, billy, casey, dale}

Имеет подмножества:

Также есть подмножества:

• {Алекс, Билли}
• {alex, casey}
• {billy, dale}
• и др…

Также:

• {Алекс, Билли, Кейси}
• {alex, billy, dale}
• и т.д …

А также:

• весь набор: {alex, billy, casey, dale}
• пустой набор: {}

Теперь давайте начнем с пустого набора и продолжим …

г.
Пустой набор

Сколько подмножеств в пустом наборе?

Вы могли выбрать:

• весь комплект: {}
• пустой набор: {}

Но постойте, в данном случае это одно и то же!

Так что
пустой набор действительно имеет только 1 подмножество (которое
есть само, пустое множество).

Это все равно что спросить: «Нет ничего доступного, что вы выберете?» Ответьте «ничего». Это твой единственный выбор. Сделанный.

А
Набор с одним элементом

Набор может быть любым, но скажем так:

{яблоко}

Сколько подмножеств есть в наборе {яблоко}?

• весь набор: {apple}
• пустой набор: {}

И все. Вы можете выбрать один элемент или ничего.

Таким образом, любой набор с одним элементом будет иметь 2 подмножеств.

А
Набор из двух элементов

Давайте добавим еще один элемент в наш набор примеров:

{яблоко, банан}

Сколько подмножеств в наборе {яблоко, банан}?

Это может быть {яблоко} или {банан} , и не забудьте:

• весь набор: {яблоко, банан}
• пустой набор: {}

Итак, набор с двумя элементами имеет 4 подмножеств.

А
Набор из трех элементов

Как насчет:

{яблоко, банан, вишня}

Хорошо, давайте теперь будем более систематичными и перечислим подмножества по количеству элементов в них:

Подмножества с одним элементом: {яблоко} , {банан} , {вишня}

Подмножества с двумя элементами: {яблоко, банан} , {яблоко, вишня} , {банан, вишня}

А:

• весь набор: {яблоко, банан, вишня}
• пустой набор: {}

Фактически мы могли бы поместить это в таблицу:

(Примечание: вы заметили закономерность в цифрах?)

Наборы
с четырьмя стихиями (ваша очередь!)

А теперь попробуйте проделать то же самое для этого набора:

{яблоко, банан, вишня, финик}

Вот вам стол:

(Примечание: если вы все сделали правильно, в числах будет узор.)

Наборы
с пятью элементами

А сейчас:

{яблоко, банан, вишня, финик, яйцо}

Вот вам стол:

(Был ли узор на числах?)

Наборы
с шестью элементами

А как насчет:

{яблоко, банан, вишня, финики, яйцо, помадка}

ОК… нам не нужно заполнять таблицу, потому что …

… вы должны уметь
увидеть образец сейчас!

Удвоение

Первое, что следует заметить, это то, что общее количество подмножеств каждый раз удваивается:

Набор с элементами n содержит 2 ⁿ подмножеств

Итак, вы сможете ответить:

• Сколько подмножеств у набора из 6 элементов? _____
• Сколько подмножеств у набора из 7 элементов? _____

Другой
Узор

А теперь подумаем о
подмножеств и размеров:

• The
  пустой
  набор имеет
  просто 1
  подмножество : 1
• Набор с одним элементом имеет 1 подмножество без элементов и 1
  подмножество с одним элементом: 1 1
• Набор с двумя
  elements имеет 1 подмножество без элементов, 2 подмножества с одним элементом и 1 подмножество с двумя элементами: 1
  2 1
• Набор из трех
  элементов имеет 1 подмножество без элементов, 3 подмножества с одним
  элемент, 3 подмножества с двумя элементами и 1 подмножество с тремя
  элементы: 1 3 3 1
• и так далее!

Вы узнаете это
узор чисел?

Это числа Паскаля.
Треугольник!

Это очень полезный , потому что теперь вы можете проверить, есть ли у вас нужное количество подмножеств.

Примечание: строки начинаются с 0, как и столбцы.

Пример: для набора {яблоко, банан, вишня, финик, яйцо} вы перечисляете подмножества длины три:

• {яблоко, банан, вишня}
• {яблоко, банан, финик}
• {яблоко, банан, яйцо}
• {яблоко, вишня, яйцо}

Но это всего лишь 4 подмножеств, сколько их должно быть?

Итак, вы выбираете 3 из 5, поэтому перейдите к строке 5, позиции 3 Треугольника Паскаля (не забудьте начать отсчет с 0), чтобы обнаружить, что вам нужно 10 подмножеств , так что вы должны подумать больше!

Фактически это результаты: {яблоко, банан, вишня} {яблоко, банан, финик} {яблоко, банан, яйцо} {яблоко, вишня, финик} {яблоко, вишня, яйцо} {яблоко, финик, яйцо} {банан, вишня, финик} {банан, вишня, яйцо} {банан, финик, яйцо} {вишня, финик, яйцо}

Расчет чисел

Есть ли способ вычислить числа, такие как 1, 4, 6, 4 и 1 (вместо того, чтобы искать их в Треугольнике Паскаля)?

Да, мы можем найти количество способов выбора каждого количества
элементы с использованием комбинаций.

В наборе четыре элемента, и:

• Количество способов выбора 0 элементов из 4 = ⁴ C ₀ = 1
• Количество способов
  выбор 1 элемента из 4 = ⁴ C ₁ = 4
• Количество способов выбора 2 элементов из 4 = ⁴ C ₂ = 6
• Количество способов выбора 3 элементов из 4 = ⁴ C ₃ = 4
• Количество способов выбора 4 элементов из 4 = ⁴ C ₄ = 1

• Общее количество
  подмножества = 16

Можете ли вы сделать то же самое для набора из пяти элементов?

Выполните следующее:

• Количество путей
  выбора 0 элементов из 5 = ⁵ C ₀ = 1
• Количество способов
  выбор 1 элемента из 5 = ___________
• Количество способов выбора 2 элементов из 5 = ___________
• Количество способов выбора 3 элементов из 5 = ___________
• Количество способов выбора 4 элементов из 5 = ___________
• The
  количество способов выбора 5 элементов из 5 = ___________

• Общее количество подмножеств = ___________

Заключение

В этом упражнении у вас есть:

• Обнаружил правило для
  определение общего количества подмножеств для данного набора: набор с n
  elements имеет 2 ⁿ подмножеств.
• Обнаружена связь между
  количество подмножеств каждого размера с числами в языке Паскаля
  треугольник.
• Обнаружен быстрый способ
  рассчитайте эти числа, используя Комбинации.

Подробнее
что важно, вы узнали, как различные разделы математики могут
быть объединены вместе.

перестановок и комбинаций (алгебра 2, дискретная математика и вероятность) — Mathplanet

Прежде чем мы обсудим перестановки, мы собираемся взглянуть на то, что означает сочетание слов и перестановка.Вальдорфский салат — это смесь сельдерея, грецких орехов и салата. Неважно, в каком порядке мы добавляем наши ингредиенты, но если у нас есть комбинация для нашего замка, которая составляет 4-5-6, то порядок чрезвычайно важен.

Если порядок не имеет значения, то у нас есть комбинация, если порядок имеет значение, то у нас есть перестановка. Можно сказать, что перестановка — это упорядоченная комбинация.

Количество перестановок n объектов, взятых r за раз, определяется по следующей формуле:

$$ P (n, r) = \ frac {n!} {(N-r)!} $$

Пример

Код состоит из 4 цифр в определенном порядке, цифры от 0 до 9.Сколько существует различных перестановок, если одну цифру можно использовать только один раз?

Четырехзначный код может быть любым в диапазоне от 0000 до 9999, следовательно, существует 10000 комбинаций, если каждая цифра может использоваться более одного раза, но поскольку в вопросе нам сказано, что можно использовать только одну цифру, если она ограничивает наше количество комбинаций. . Чтобы определить правильное количество перестановок, мы просто подставляем наши значения в нашу формулу:

$$ P (n, r) = \ frac {10!} {(10-4)!} = \ Frac {10 \ cdot9 \ cdot8 \ cdot 7 \ cdot 6 \ cdot 5 \ cdot 4 \ cdot 3 \ cdot 2 \ cdot 1} {6 \ cdot5 \ cdot 4 \ cdot 3 \ cdot 2 \ cdot 1} = 5040 $$

В нашем примере порядок цифр был важен, если бы порядок не имел значения, у нас было бы определение комбинации.Количество комбинаций из n объектов, взятых r за раз, определяется по следующей формуле:

$$ C (n, r) = \ frac {n!} {(N-r)! R!} $$

Видеоурок

Четверо друзей сядут за стол с 6 стульями. Какими способами могут сидеть друзья?

формул комбинаторики | Суперпроф

Комбинаторика — Введение

Комбинаторика или комбинаторная математика — это раздел математики, который занимается подсчетом вещей.Задачи, связанные с комбинаторикой, изначально изучались математиками из Индии, Аравии и Греции. Некоторые из выдающихся математиков, изучавших эти проблемы, — это Блез Паскаль, Леонард Эйлер и Якоб Бернулли. Хотя комбинаторика полезна во многих других областях математики, однако наиболее известными из них являются кодирование, криптография, теория графов и вероятность.

Можно сказать, что комбинаторика — это математика расстановки и подсчета элементов множества.Мы знаем, что подсчет объектов прост, однако комбинаторика полезна для подсчета количества или расположения, которые слишком сложны, если они подсчитываются традиционным способом.

Использование комбинаторики не ограничивается математикой, но распространяется и на другие области, такие как информатика. Для определения количества операций, требуемых алгоритмами, используются методы комбинаторики. При дискретной вероятности методы комбинаторики используются для перечисления возможных результатов в эксперименте с однородной вероятностью.

В области комбинаторики существует множество концепций. Эти концепции включают факториалы, биномиальную теорему, комбинации и перестановки. В этом ресурсе мы изучим формулы, относящиеся к комбинаторике. Итак, давайте сначала начнем с факториалов.

Лучшие доступные репетиторы по математике

Первый урок бесплатно

Факториалы

Мы знаем, что комбинаторика сообщает нам количество способов, которыми что-то может случиться. Другими словами, мы можем сказать, что комбинаторика сообщает нам количество возможностей, в которых могут произойти разные события.Например, рассмотрим следующий сценарий:

В комнате пять человек и пять стульев в ряд. В скольких разных порядках люди могут сидеть на этих стульях?

Трудно сказать количество возможностей без формулы. К счастью, в комбинаторике у нас есть факторная формула, с помощью которой можно перечислить количество расстановок, в которых люди могут сидеть на стульях. Эта формула приведена ниже:

Количество расположений = n!

Читается как факториал n.Поскольку в приведенном выше примере упоминается, что в комнате 5 человек, а у нас 5 стульев, мы найдем такое количество расстановок:

Количество расстановок = 5!

Таким образом, в комнате может быть 120 различных вариантов размещения 5 человек на 5 разных стульях.

Перестановки

Мы используем формулу перестановок для расчета количества расположений, когда порядок расположения важен.Есть два типа перестановок:

• Когда разрешено повторение
• Когда повторение запрещено

Когда разрешено повторение

Предположим, если вам дается задача, в которой вам нужно выбрать 3 цифры из набора из 6 цифры (0,1,2,3,4,5), чтобы получилось число. В этом случае вы будете использовать следующую формулу для вычисления количества перестановок:

Здесь n — количество элементов в наборе

m — количество элементов, которые мы выберем из набора

У нас есть Предполагается, что повторение разрешено, потому что вы можете выбрать одну цифру дважды, например, числа могут быть 100, 202, 203 и т. д.

Подстановка значений в приведенную выше формулу даст нам следующее количество перестановок:

Количество перестановок =

= 216

Следовательно, возможны 216 различных перестановок.

Когда повторение не разрешено

Формула для расчета перестановок, когда повторение не разрешено, приведена ниже:

Здесь n = общее количество элементов для выбора из

r = количество объектов, которые мы хотим для выбора

Например, рассмотрим следующий сценарий:

В пуле есть 10 шаров.Вам предлагается выбрать 5 мячей из пула. В скольких возможных вариантах вы сможете собирать шары для бильярда?

Поскольку, взяв один шар, мы не можем взять его снова, поэтому в этом случае мы будем использовать формулу вычисления количества перестановок без повторения.

=

=

Следовательно, возможны 30240 перестановок.

Если общее количество объектов и количество объектов, которые мы хотим выбрать, равны, мы используем следующую формулу:

Круговые перестановки

Круговые перестановки — это количество расположений вокруг фиксированного круга.Это также известно как циклическая перестановка.

Существует два типа циклических или круговых перестановок:

• Когда порядок по часовой стрелке и против часовой стрелки различаются
• Когда порядок по часовой стрелке и против часовой стрелки одинаковы

Формула для циклической перестановки, когда порядок по часовой стрелке и против часовой стрелки различаются, приведена ниже :

Формула для циклических перестановок при одинаковом порядке по часовой стрелке и против часовой стрелки приведена ниже:

Комбинации

В отличие от перестановок, порядок выбора в комбинациях не важен.Есть два типа комбинаций:

• Комбинации без повторов
• Комбинации с повторением

Комбинации без повторов

Ниже приведена формула для определения количества комбинаций без повторов:

Здесь:

n = общее количество предметов на выбор

r = количество предметов, которые мы хотим выбрать

Рассмотрим следующий сценарий:

В магазине есть 4 шара ваших любимых цветов.У вас есть деньги, чтобы купить только 2 из них. Как вы выберете 2 из них?

Что ж, в этом примере порядок, в котором вы хотите выбирать шары, не важен, следовательно, это проблема комбинации. После выбора одного шара вы не можете выбрать его снова, поэтому это задача комбинации без повторения. Подставьте значения в приведенную выше формулу, чтобы получить количество возможных комбинаций:

Таким образом, вы можете выбрать 2 шара 6 способами.

Комбинации с повторением

Формула для расчета количества возможных расположений, когда повторение разрешено, приведена ниже:

Здесь:

n = количество объектов на выбор

k = количество элементов мы хотим выбрать

Рассмотрим следующий сценарий:

Предположим, есть 4 разных вкуса мороженого. У вас может быть только две мерные ложки. Сколько вариантов возможно?

Порядок не важен при выборе вкуса.Следовательно, это показывает, что это проблема комбинации. У вас может быть один ароматизатор дважды, потому что вам разрешено две мерные ложки. Это показывает, что это проблема комбинации с повторением. Подставьте значения в приведенную выше формулу, чтобы получить количество вариантов:

Следовательно, возможно 10 вариантов.

Сводка формул

Перестановка, когда повторение разрешено:

Здесь n — количество элементов в наборе

m — количество элементов, которые мы выберем из набора

Перестановка, когда повторение запрещено:

Здесь n = общее количество элементов для выбора из

r = количество объектов, которые мы хотим выбрать

Круговой перестановка по часовой стрелке и Порядок против часовой стрелки разный:

Круговой перестановка при одинаковом порядке по часовой стрелке и против часовой стрелки:

Комбинация без повторения:

Здесь: 9000 8

n = количество объектов на выбор

k = количество элементов, которые мы хотим выбрать

World of Mathematics — Mathigon

Введение

Леонард Эйлер (1707 — 1783)

Комбинаторика — это раздел математики, который насчитывает около при подсчете — и мы откроем для себя множество захватывающих примеров «вещей», которые можно считать.

Первые комбинаторные задачи изучались математиками Древней Индии, Арабской и Греции. Интерес к этому предмету возрос в XIX и XX веках, вместе с развитием теории графов и таких проблем, как теорема о четырех цветах. Среди ведущих математиков — Блез Паскаль (1623–1662), Якоб Бернулли (1654–1705) и Леонард Эйлер (1707–1783).

Комбинаторика имеет множество приложений в других областях математики, включая теорию графов, кодирование и криптографию, а также вероятность.

Факториалы

Комбинаторика может помочь нам подсчитать количество приказов , в которых что-то может случиться. Рассмотрим следующий пример:

В классе V.CombA1 учеников и V.CombA1 стульев, стоящих в ряд. В скольких различных порядках ученики могут сидеть на этих стульях?

Перечислим возможности — в этом примере V.CombA1 разных зрачков представлены V.CombA1 разных цветов стульев.

Существует {2: 2, 3: 6, 4: 24, 5: 120} [V.CombA1] различных возможных порядка. Обратите внимание, что количество возможных порядков очень быстро увеличивается по мере увеличения количества учеников. У 6 учеников есть 720 различных возможностей, и перечислять их все становится непрактично. Вместо этого нам нужна простая формула, которая говорит нам, сколько имеется заказов на n человек, чтобы сесть на n стулья.Затем мы можем просто заменить 3, 4 или любое другое число на n , чтобы получить правильный ответ.

Предположим, у нас есть стульев V.CombB1 и мы хотим разместить V.CombB1 == 1? ‘Один ученик’: V.CombB1 == 2? ‘Два ученика’: V.CombB1 == 3? ‘Три ученика ‘: V.CombB1 == 4?’ Четыре ученика ‘: V.CombB1 == 5?’ Пять учеников ‘: V.CombB1 == 6?’ Шесть учеников ‘:’ семь учеников ‘ на них.

{7: «Семь учеников могут сесть на первый стул. Затем есть 6 учеников, которые могли бы сесть на второй стул. Есть 5 вариантов для третьего стула, 4 варианта для четвертого стула, 3 варианта для пятого стула, 2 варианта для шестого стула и только один вариант для последнего стула.’,
6: «Есть 6 учеников, которые могли бы сесть на первый стул. Затем есть 5 учеников, которые могли бы сесть на второй стул. Есть 4 варианта для третьего стула, 3 варианта для четвертого стула, 2 варианта для пятого стула и только один вариант для последнего стула. ‘,
5: «Пятеро учеников могли бы сесть на первый стул. Затем есть 4 ученика, которые могут сесть на второй стул. Есть 3 варианта для третьего стула, 2 варианта для четвертого стула и только один вариант для последнего стула.’,
4: «Есть 4 ученика, которые могли бы сесть на первый стул. Затем есть 3 ученика, которые могут сесть на второй стул. Есть 2 варианта для третьего стула и только один вариант для последнего стула. ‘,
3: «Есть 3 ученика, которые могут сесть на первый стул. Затем есть 2 ученика, которые могут сесть на второй стул. Наконец, остался только один ученик, чтобы сесть на третий стул. ‘,
2: «Есть 2 ученика, которые могут сесть на первый стул. Затем остается только один ученик, который может сесть на второй стул.’,
1: ‘Это только один вариант для одиночного стула.’} [V.CombB1]

Всего

возможностей. Чтобы упростить обозначения, математики используют знак «!» называется факториалом. Например, 5! («Пять факториалов») то же самое, что 5 × 4 × 3 × 2 × 1. Выше мы только что показали, что существует n ! возможности заказать н объекта.

Насколько разными способами 23 ребенка могли сесть на 23 стула в классе математики? Если у вас 4 урока в неделю, а в году 52 недели, сколько лет нужно, чтобы изучить все возможности? Примечание: Возраст Вселенной составляет около 14 миллиардов лет.

Для 23 детей, чтобы сесть на 23 стула, их 23! = 25 852 016 738 884 800 000 000 возможностей (это число слишком велико для отображения на экране калькулятора). Испытание всех возможностей потребует

23! 4 × 52 = 124 288 542 000 000 000 000 лет.

Это почти в 10 миллионов раз больше нынешнего возраста Вселенной!

Перестановки

Вышеупомянутый метод требовал, чтобы у нас было столько же учеников, сколько стульев, на которых можно было бы сидеть.Но что будет, если стульев не хватит?

Сколько различных возможностей существует для любых Math.min (V.CombC1, V.CombC2) из V.CombC1 учеников, чтобы сесть на Math.min (V.CombC1, V.CombC2) стульев? Обратите внимание, что Math.max (0, V.CombC1-V.CombC2) останется включенным, и мы не должны включать его при перечислении возможностей.

Давайте начнем снова, перечислив все возможности:

Чтобы найти простую формулу, подобную приведенной выше, мы можем думать о ней очень похожим образом.
«Есть ученики« + V.CombC1 + », которые могут сесть на первый стул. ‘+
(((Math.min (V.CombC1, V.CombC2)) == 2 || (Math.min (V.CombC1, V.CombC2)) == 3 || (Math.min (V.CombC1, V .CombC2)) == 4)? ‘Тогда есть’ + (V.CombC1-1) + ‘ученики, которые могли бы сесть на второй стул.’: ») +
(((Math.min (V.CombC1, V.CombC2)) == 3 || (Math.min (V.CombC1, V.CombC2)) == 4)? ‘Тогда есть’ + (V.CombC1 -2) + ‘ученики, которые могли бы сесть на третий стул.’: ») +
(((Math.min (V.CombC1, V.CombC2)) == 4)? ‘Наконец, остался один ученик, который сядет на последний стул.’:’ ‘) +
((V.CombC1- (Math.min (V.CombC1, V.CombC2)) == 1 || V.CombC1- (Math.min (V.CombC1, V.CombC2)) == 2 || V. CombC1- (Math.min (V.CombC1, V.CombC2)) == 3)? ‘Нас не волнуют оставшиеся’ + (V.CombC1-V.CombC2) + ‘дети, оставшиеся стоять.’: ‘ ‘)

Всего

возможностей. Мы снова должны подумать об обобщении этого. Мы начинаем, как и делали бы с факториалами, но останавливаемся, не дойдя до 1. Фактически мы останавливаемся, как только достигаем числа студентов без стула. При размещении 7 студентов на 3 стульях их

7 × 6 × 5 = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 17 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 7 ! 4! = 7 ! ( 7 — 3 )!

возможностей, поскольку 4 × 3 × 2 × 1 компенсируют друг друга.Опять же, для этого есть более простое обозначение: 7 P 3 . Если мы хотим разместить n объектов на m позиций, то будет

n P m = n ! ( n — m )!

возможностей. P означает « p ermutations», поскольку мы подсчитываем количество перестановок (порядков) объектов. Если m и n такие же, как и в задаче в начале этой статьи, мы имеем

n P n = n ! ( n — n )! = n ! 0 !.

Чтобы понять это, мы определяем 0! = 1. Теперь n P n = n ! как и следовало ожидать от нашего решения первой проблемы.

К сожалению, вы не можете вспомнить код своего четырехзначного замка. Вы только знаете, что не использовали ни одну цифру более одного раза. Сколько разных способов вы должны попробовать? Что вы делаете о безопасности этих замков?

Имеется 10 цифр (0, 1,…, 9), каждая из которых встречается не более одного раза.Число порядков этих цифр составляет 10 P 4 = 5040. Проверка такого количества комбинаций займет очень много времени, поэтому 4-значные блокировки очень безопасны.

Комбинации

Перестановки используются, когда вы выбираете предметы и заботитесь об их порядке — например, о порядке детей на стульях. Однако в некоторых задачах вы не заботитесь о порядке и просто хотите знать, сколько есть способов выбрать определенное количество объектов из большего набора.

В магазине есть пять разных футболок, которые вам нравятся: красный, синий, зеленый, желтый и черный.К сожалению, у вас достаточно денег, чтобы купить три из них. Сколько существует способов выбрать три футболки из пяти, которые вам нравятся?

Здесь нас не волнует порядок (неважно, покупаем ли мы сначала черный, а затем красный или сначала красный, а затем черный), а только количество комбинаций футболок. Возможностей

, итого их 10. Если бы мы вычислили 5 P 3 = 60, мы бы дважды подсчитали некоторые возможности, как показано в следующей таблице:

При перестановках мы считаем каждую комбинацию из трех футболок 6 раз, потому что их 3! = 6 способов заказать три футболки.Чтобы получить количество комбинаций из количества перестановок, нам просто нужно разделить на 6. Мы пишем

5 C 3 = 5 P 33! = 606 = 10.

Здесь C означает « c комбинаций». В общем, если мы хотим выбрать r объекта из n , то будет

n C r = n P r r ! = n ! r ! ( n — r )!

различных комбинаций.Вместо n C r математики часто пишут n C r = ( n r ), как дробь в скобках, но без промежуточной линии. (Для упрощения набора мы продолжим использовать первую строчную нотацию.)

(a) В вашем классе 10 детей, но вы можете пригласить только пятерых на свой день рождения. Сколько разных комбинаций друзей вы могли бы пригласить? Объясните, следует ли использовать комбинации или перестановки.

(б) На вечеринке 75 человек. Каждый раз всем пожимает руку. Как часто в целом рукопожатие? Подсказка: сколько людей участвует в рукопожатии?

(a) Количество комбинаций друзей, которых вы можете пригласить, составляет 10 C 5 = 252. Мы использовали комбинации, потому что не имеет значения, в каком порядке мы приглашаем друзей, а на какие мы приглашаем.

(b) Вы хотите найти количество всех возможных пар гостей вечеринки.Это просто 75 C 2 = 2775. (Это много рукопожатий!)

Комбинаторика и треугольник Паскаля

Рассчитаем некоторые значения n C r . Начнем с 0 C 0. Затем находим 1 C 0 и 1 C 1. Затем 2 C 0, 2 C 1 и 2 C 2. Затем 3 C 0 , 3 C 1, 3 C 2 и 3 C 3. Мы можем записать все эти результаты в таблицу:

Это в точности треугольник Паскаля, который мы исследовали в статье о последовательностях.Его можно создать более легко, если учесть, что любая ячейка представляет собой сумму двух ячеек, указанных выше. В треугольнике Паскаля скрыто бесчисленное множество узоров и числовых последовательностей.

Теперь мы также знаем, что число r в строке n также задается как n C r (но мы всегда должны начинать отсчет с 0, поэтому первая строка или столбец фактически нулевой ряд). Если мы применим то, что мы знаем о создании треугольника Паскаля, к нашим комбинациям, мы получим

( n r )
+
( n r + 1)
знак равно
( № + 1 № + 1)

.

Это известно как идентификатор Паскаля . Вы можете получить его, используя определение n C r в терминах факториалов, или вы можете думать об этом следующим образом:

Мы хотим выбрать r + 1 объектов из набора n + 1 объектов. Это в точности то же самое, что пометить один объект из n + 1 , который будет называться X, и либо выбрать X плюс r других (из оставшихся n), либо не выбрать X и r + 1 другие ( от оставшихся n).

У многих задач комбинаторики есть простое решение, если вы думаете о нем правильно, и очень сложное решение, если вы просто пытаетесь использовать алгебру…

Звезды и решетки

Решение

Пример

Зеленщик на рынке хранит большое количество из из различных видов фруктов. Какими способами мы можем собрать мешок из или фруктов? Обратите внимание, что r может быть меньше, равно или больше n .

Обратите внимание, что с r ≤ n существует n C r способов выбрать по одному фрукту каждого вида. Однако мы также можем съесть более одного фрукта каждого вида, например, два яблока, одну клубнику и один банан.

Мы можем представить любой допустимый выбор фруктов цепочкой звезд и полосок, как показано в этом примере:

Всего имеется r звезды (что соответствует r фруктам, которые нам разрешено брать) и n — 1 столбик (деление n различных фруктов).Это составляет r + n — всего 1 место. Любой заказ r звезды и n — 1 батончик соответствует ровно одному действительному выбору фруктов.

Теперь мы можем применить наши комбинаторные инструменты: есть r + n — 1 мест, и мы хотим выбрать n — 1 из них как столбцы (все остальные — звездочки). Что есть ровно ( r + n — 1) C ( n — 1) возможностей для этого!

Предположим, есть пять видов фруктов, и мы хотим взять десять штук.Исходя из того, что мы подсчитали выше, всего

(10 + 5-1) C (5-1) = 14 C 4 = 24 024

возможностей. Подумайте об этом в следующий раз, когда пойдете за покупками!

Комбинаторика и вероятность

Комбинаторика имеет множество приложений в теории вероятностей. Вы часто хотите найти вероятность одного конкретного события, и вы можете использовать уравнение

P ( X ) = вероятность того, что X произойдет = количество исходов, при которых случится X , общее количество возможных исходов

Вы можете использовать комбинаторику, чтобы вычислить «общее количество возможных результатов».Вот пример:

Четверо детей, которых зовут A, B, C и D, случайным образом сидят на четырех стульях. Какова вероятность того, что А сядет на первый стул?

Мы уже показали, что всего существует 24 способа сесть на четыре стула. Если вы посмотрите на наше решение, вы также обнаружите, что А сидит на первом стуле в шести случаях. Следовательно,

P (A сидит на первом стуле) = количество результатов, где A сидит на первом стуле, общее количество возможных результатов = 624 = 14.

Этот ответ был ожидаемым, поскольку каждый из четырех детей с одинаковой вероятностью сядет на первый стул. Но в других случаях все не так просто…

(a) Почтальон должен доставить четыре письма в четыре разных дома на улице. К сожалению, дождь стер адреса, поэтому он просто раздает их случайным образом, по одной букве на дом. Какова вероятность, что каждый дом получит нужную букву? (☆ Какова вероятность, что каждый дом получит неправильную букву?)

(b) В лотерее нужно угадать 6 номеров из 49.Какова вероятность того, что вы все сделаете правильно? Если каждую неделю отправлять 100 предположений, сколько времени в среднем вам понадобится, чтобы выиграть?

(а) Всего 4! = 24 способа случайного распределения букв и только один способ получить их все правильно. Таким образом, вероятность того, что каждое письмо будет доставлено в нужный дом, составляет 1/24 = 0,0417 = 4,17%.

Определить вероятность того, что каждое письмо будет доставлено не в тот дом, немного сложнее.Это не просто 1 — 0,0417, так как во многих случаях один или два, но не , все домов получают правильную букву. В этом простом случае самым простым решением было бы записать все 24 варианта. Вы обнаружите, что в 9 из 24 случаев каждый дом получает неправильную букву, что дает вероятность 0,375 = 37,5%. Если домов слишком много, чтобы записать все возможности, вы можете использовать идею, называемую принцип включения исключения .

(b) Существует 49 C 6 = 13 983 816 возможных результатов лотереи, поэтому вероятность получить правильное решение составляет 1/49 C 6 = 0.000000072.

В среднем также потребуется 13 983 816 попыток, чтобы выиграть. Если мы отправляем 100 предположений каждую неделю, это соответствует 139 838 неделям, что равняется 2689 годам.