Функция с дробью: Как решать функции с дробью. Функции и их графики

Содержание

Графики дробно-линейной и дробно-рациональной функций.

Дробно-рациональной функцией называется отношение двух многочленов:    
, коэффициенты при степенях x -действительные числа, причём, будем предполагать, что числитель и знаменатель дроби не имеют общих линейных сомножителей. При построении графика дробно-рациональной функции надо исследовать поведение функции на бесконечности, а также вблизи нулей знаменателя, которые определяют вертикальные асимптоты графика.

Рассмотрим поведение функции на . Возможны 4 случая.

1) n<m . Если степень числителя меньше степени знаменателя, то дробно-рациональная функция
стремится к нулю при стремлении x  к .

2) n=m . В этом случае предел функции на равен отношению старших коэффициентов, это значит, что у функции будет горизонтальная асимптота
    .

3) n=m+1 . В этом случае у функции будет наклонная асимптота y=kx+b ,
которая получается в результате деления числителя дроби на знаменатель:     .

4) n≥m+2 . Значения функции стремятся к при стремлении аргумента x к . Знак бесконечности легко определяется по степеням старших членов n,m
и коэффициентам an ,bm при старших степенях, а именно, на +
∞ знак определяется знаком произведения an·bm
, а на —
∞ — знаком выражения (-1)n-m·an·bm
.

Теперь рассмотрим поведение дробно-рациональной функции вблизи точек разрыва, т.е. нулей знаменателя. Пусть
— корень знаменателя кратности k . Это значит, что при разложении знаменателя на множители
одним из сомножителей будет двучлен . При приближении аргумента x к числитель дроби представляет некую константу, отличную от нуля, а знаменатель стремится к нулю, а значит,
дробь будет неограниченно возрастать по абсолютной величине, стремясь к . Таким образом, прямая будет вертикальной асимптотой графика функции. Знак бесконечности, к которой стремится функция слева и справа от
, можно определить непосредственно подстановкой вместо x в выражение функции числа, близкого к числу
с недостатком (слева) или с избытком (справа), но обычно этот знак определяется по методу интервалов,
если нам известны корни числителя и знаменателя.

Рассмотрим частный случай дробно-рациональной функции: дробно-линейную функцию  , в числителе и знаменателе которой линейные функции. Графиком дробно-линейной функции является гипербола.
Расположение гиперболы определяется вертикальной асимптотой и горизонтальной асимптотой. Вертикальная асимптота — это нуль знаменателя,
то есть прямая , а горизонтальная асимптота-прямая ( случай 2 : n=m). Заметим, что рассматривая дробно-линейную функцию, мы предполагаем, что
с ≠ 0 , иначе функция будет линейной, и её графиком будет прямая линия.

Графики дробно-линейной функции

Рассмотрим примеры.

Построить график функции Построить график функции

Дробная линейная функция на занятиях с репетитором по математике

Рассмотрим вопросы методики изучения такой темы, как «построение графика дробной линейной функции». К сожалению, ее изучение удалено из базовой программы и репетитор по математике на своих занятиях не так часто ее затрагивает, как хотелось бы. Однако, математические классы еще никто не отменял, вторую часть ГИА тоже. Да и в ЕГЭ существует вероятность ее проникновения в тело задачи С5 (через параметры). Поэтому придется засучить рукава и поработать над методикой ее объяснения на уроке со средним или в меру сильным учеником. Как правило, репетитор по математике вырабатывает приемы объяснений по основным разделам школьной программы в течение первых 5 -7 лет работы. За это время через глаза и руки репетитора успевают пройти десятки учеников самых разных категорий. От запущенных и слабых от природы детей, лодырей и прогульщиков до целеустремленных талантов.

Со временем к репетитору по математике приходит мастерство объяснений сложных понятий простым языком не в ущерб математической полноте и точности. Вырабатывается индивидуальный стиль подачи материала, речи, визуального сопровождения и оформления записей. Любой опытный репетитор расскажет урок с закрытыми глазами, ибо наперед знает, какие проблемы возникают с пониманием материала и что нужно для их разрешения. Важно подобрать правильные слова и записи, примеры для начала урока, для середины и конца, а также грамотно составить упражнения для домашнего задания.

О некоторых частных приемах работы с темой пойдет речь в данной статье.

С построения каких графиков начинает репетитор по математике?

Нужно начать с определения изучаемого понятия. Напоминаю, что дробной линейной функцией называют функцию вида . Ее построение сводится к построению самой обычной гиперболы путем известных несложных приемов преобразования графиков. На практике, несложными они оказываются только для самого репетитора. Даже если к преподавателю приходит сильный ученик, с достаточной скоростью вычислений и преобразований, ему все равно приходится рассказывать эти приемы отдельно. Почему? В школе в 9 классе строят графики только путем сдвига и не используют методов добавления числовых множителей (методов сжатия и растяжения). Какой график используется репетитором по математике? С чего лучше начать? Вся подготовка проводится на примере самой удобной, на мой взгляд, функции . А что еще использовать? Тригонометрию в 9 классе изучают без графиков (а в переделанных учебниках под условия проведения ГИА по математике и вовсе не проходят). Квадратичная функция не имеет в данной теме такого же «методического веса», какой имеет корень. Почему? В 9 классе квадратный трехчлен изучается досконально и ученик вполне способен решать задачи на построение и без сдвигов. Форма мгновенно вызывает рефлекс к раскрытию скобок, после которого можно применить правило стандартного построения графика через вершину параболы и таблицу значений. С такой маневр выполнить не удастся и репетитору по математике будет легче мотивировать ученика на изучение общих приемов преобразований. Использование модуля y=|x| тоже не оправдывает себя, ибо он не изучается так же плотно, как корень и школьники панически его боятся. К тому же, сам модуль (точнее его «навешивание») входит в число изучаемых преобразований.

Итак, репетитору не остается ничего более удобного и эффективного, как провести подготовку к преобразованиям с помощью квадратного корня. Нужна практика построений графиков примерно такого вида . Будем считать, что эта подготовка удалась на славу. Ребенок умеет сдвигать и даже сжимать/растягивать графики. Что дальше?

Далее стоит напомнить о том, как выглядит обратная пропорциональность и в каких четвертях располагается ее график в зависимости от знака коэффициента k.

Следующий этап – обучение выделению целой части. Пожалуй, это основная задача репетитора по математике, ибо после того, как целая часть будет выделена, она принимает на себя львиную долю всей вычислительной нагрузки на тему. Чрезвычайно важно подготовить функцию к виду, вписывающемуся в одну из стандартных схем построения. Также важно описать логику преобразований доступным понятным , а с другой стороны математически точно и стройно.

Напомню, что для построения графика необходимо преобразовать дробь к виду . Именно к такому, а не к
, сохраняя знаменатель. Почему? Сложно выполнять преобразования того графика, который не только состоит из кусочков, но еще и имеет асимптоты. Непрерывность используется для того, чтобы соединить две-три более-менее понятно передвинутые точки одной линией. В случае разрывной функции не сразу разберешь, какие именно точки соединять. Поэтому сжимать или растягивать гиперболу – крайне неудобно. Репетитор по математике просто обязан научить школьника обходиться одними сдвигами.

Для этого помимо выделения целой части нужно еще удалить в знаменателе коэффициент c.

Выделение целой части у дроби

Как научить выделению целой части? Репетиторы по математике не всегда адекватно оценивают уровень знаний школьника и, несмотря на отсутствие в программе подробного изучения теоремы о делении многочленов с остатком, применяют правило деления уголком. Если преподаватель берется за уголочное деление, то придется потратить на его объяснение (если конечно все аккуратно обосновывать) почти половину занятия. К сожалению, не всегда это время у репетитора имеется в наличии. Лучше вообще не вспоминать ни о каких уголках.

Существует две формы работы с учеником:
1) Репетитор показывает ему готовый алгоритм на каком-нибудь примере дробной функции.
2) Преподаватель создает условия для логического поиска этого алгоритма.

Реализация второго пути мне представляется наиболее интересной для репетиторской практики и чрезвычайно полезной для развития мышления ученика. С помощью определенных намеков и указаний часто удается подвести к обнаружению некой последовательности верных шагов. В отличие от машинального выполнения кем-то составленного плана, школьник 9 класса учится самостоятельно его искать. Естественно, что все пояснения необходимо проводить на примерах. Возьмем для этого функцию и рассмотрим комментарии репетитора к логике поиска алгоритма. Репетитор по математике спрашивает: «Что мешает нам выполнить стандартное преобразование графика , при помощи сдвига вдоль осей? Конечно же, одновременное присутствие икса и в числителе и в знаменателе. Значит необходимо удалить его из числителя. Как это сделать при помощи тождественных преобразований? Путь один – сократить дробь. Но у нас нет равных множителей (скобок). Значит нужно попытаться создать их искусственно. Но как? Не заменишь же числитель на знаменатель без всякого тождественного перехода. Попробуем преобразовать числитель, чтобы в него включалась скобка, равная знаменателю. Поставим ее туда принудительно и «обложим» коэффициентами так, чтобы при их «воздействии» на скобку, то есть при ее раскрытии и сложении подобных слагаемых, получался бы линейный многочлен 2x+3.

Репетитор по математике вставляет пропуски для коэффициентов в виде пустых прямоугольников (как это часто используют пособия для 5 – 6 классов) и ставит задачу — заполнить их числами. Подбор следует вести слева направо, начиная с первого пропуска. Ученик должен представить себе, как он будет раскрывать скобку. Так как ее раскрытия получится только одно слагаемое с иксом, то именно его коэффициент должен быть равным старшему коэффициенту в старом числителе 2х+3. Поэтому, очевидно, что в первом квадратике оказывается число 2. Он заполнен. Репетитору по математике следует взять достаточно простую дробную линейную функцию, у которой с=1. Только после этого можно переходить к разбору примеров с неприятным видом числителя и знаменателя (в том числе и с дробными коэффициентами).

Идем дальше. Преподаватель раскрывает скобку и подписывает результат прямо над ней.
Можно заштриховать соответствующую пару множителей. К «раскрытому слагаемому», необходимо добавить такое число из второго пропуска, чтобы получить свободный коэффициент старого числителя. Очевидно, что это 7.

Итог подбора:

Далее дробь разбивается на сумму отдельных дробей (обычно я обвожу дроби облачком, сравнивая их расположение с крылышками бабочки). И говорю: «Разобьем дробь бабочкой». Школьники хорошо запоминают эту фразу.

Репетитор по математике показывает весь процесс выделения целой части до вида, к которому уже можно применить алгоритм сдвига гиперболы :

Если знаменатель имеет не равный единице старший коэффициент, то ни в коем случае не нужно его там оставлять. Это принесет и репетитору и ученику лишнюю головную боль, связанную с необходимостью проведения дополнительного преобразования, Причем самого сложного: сжатия — растяжения. Для схематического построения графика прямой пропорциональности не важен вид числителя. Главное знать его знак. Тогда к нему лучше перебросить старший коэффициент знаменателя. Например, если мы работаем с функцией , то просто вынесем 3 за скобку и «поднимем» ее в числитель, конструируя в нем дробь . Получим значительно более удобное выражение для построения: Останется сдвинуть на вправо и на 2 вверх.

Если между целой частью 2 и оставшейся дробью возникает «минус», его тоже лучше занести в числитель. Иначе на определенном этапе построения придется дополнительно отображать гиперболу относительно оси Oy. Это только усложнит процесс.

Золотое правило репетитора по математике:
все неудобные коэффициенты, приводящие к симметриям, к сжатиям или растяжениям графика нужно перебросить в числитель.

Трудно описывать приемы работы с любой темой. Всегда остается ощущение некоторой недосказанности. Насколько удалось рассказать о дробной линейной функции — судить Вам. Присылайте Ваши комментарии и отзывы к статье (их можно написать в окошке, которое Вы видите внизу страницы). Я обязательно их опубликую.

Колпаков А.Н. Репетитор по математике Москва. Строгино. Методики для репетиторов.

Урок 13. дробно-линейная функция и её график — Алгебра — 9 класс

Конспект

Функция обратной пропорциональности

Графиком этой функции является гипербола.

Областью определения данной функции является всё множество чисел отличных от нуля.

Возьмём функцию , х > 0, k = 2

Обратим внимание, что при неограниченном возрастании положительных значений аргумента, сами значения функции убывают и стремятся к нулю.

Такая же ситуация происходит при неограниченном уменьшении аргумента функции, значения функции возрастают и стремятся к нулю.

х –0,25 –0,4 –1 –2 –4 –8
y –8 –5 –2 –1 –0,5 –0,25

При x > 0 и x → +∞, то y → 0; при x < 0 и x → –∞, то y → 0.

Обратим внимание на график.

При возрастании положительных значений аргумента x (x → +∞), значения функции y остаются положительными, но убывают и стремятся к нулю. График неограниченно приближается к оси x.

В этом случае говорят, что ось x является асимптотой графика функции.

Для функции при k > 0 ось абсцисс является асимптотой функции.

Асимптотой графика функции называется прямая линия, к которой приближаются бесконечно близко точки графика функции по мере их удаления в бесконечность.

Гипербола имеет еще одну асимптоту – ось ординат.

Ось ординат является асимптотой функции при k > 0.

Функция при k < 0 также будет иметь две асимптоты в виде осей х и y.

Дробно-линейная функция

Функция, в правой части которой представлена дробь с числителем в виде многочлена первой степени или числа отличного от нуля, а знаменатель является многочленом первой степени, называется дробно-линейной функцией.

Пример функции: .

Общий вид дробно-линейной функции

, где

х – переменная; a, b, c, d – произвольные числа.

Важно! с ≠ 0, ad – bc ≠ 0

Пояснение ограничений.

    с = 0

    . Получили линейную функцию.

    ad – bc ≠ 0

Рассмотрим на примере функции . 3 • 4 – 6 • 2 = 0.

 – константа (число).

Правила параллельного переноса графиков функций

График функции y = f(x) + n → y = f(x), при n > 0 – вверх по оси y, n < 0 – вниз по оси y.

График функции y = f(x – m) → y = f(x – m), при m > 0 – вправо по оси x, m < 0 – влево по оси x.

График гиперболы можно переносить вдоль осей по схожему принципу.

Рассмотрим пример №1..

Произведём преобразования, приведём функцию к виду

.

.

Данный вид соответствует тому к которому надо было привести функцию: k = 9, m = 1, n = 3.

График, полученной нами функции можно получить с помощью двух параллельных переносов в соответствии со значениями m = 1 по оси x вправо и n = 3 по оси y вверх графика функции .

Функция . Т. к. это гипербола, т. е. имеет две ветви, то составим две таблицы значений.

x –1 –1,5 –3 –5 –8
y –9 –6 –3 –1,8 –1,1

Построим красным пунктиром асимптоты к нашей целевой функции, так как они тоже сдвинутся на значения m и n.

Т. е., выделив из дроби целую часть, мы нашли асимптоты будущего графика.

Выполним построение гиперболы по указанным значениям.

График функции

x 0 –0,5 –2 –4 –9
y –6 –3 0 1,2 2,1

Рассмотрим пример №2.

Построить график функции .

Найдём асимптоты будущего графика функции.

.

k = 5; m = –1; n = –4.

Асимптоты будущего графика функции нужно сместить на 1 единицу влево по оси x и на 4 единицы вниз по оси y.

Определена «родительская» функция .

Выполним построение гиперболы по указанным значениям.

График функции

x –0,5 0 1,5 4 9
y 6 1 –2 –3 –3,5
x –11 –6 –3 –2 –1,5
y –4,5 –5 –6,5 –9 –14

Выводы.

    • Любую дробно-линейную функцию вида можно представить в виде .
    • Графиком дробно-линейной функции является гипербола, которую можно построить из гиперболы функции с помощью двух параллельных переносов.

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.

Функция РУБЛЬ.ДРОБЬ — Служба поддержки Office


В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции РУБЛЬ.ДРОБЬ в Microsoft Excel.

Описание

Функция РУБЛЬ.ДРОБЬ используется для преобразования десятичных чисел, например стоимости ценных бумаг, в дробные значения.

Синтаксис

РУБЛЬ.ДРОБЬ(дес_руб;дроб)

Аргументы функции РУБЛЬ. ДРОБЬ описаны ниже.


  • Дес_руб    — обязательный аргумент. Десятичное число.


  • Дроб    — обязательный аргумент. Целое число, которое нужно использовать в качестве знаменателя.

Замечания

  • Если значение аргумента «дроб» не является целым числом, оно усекается.

  • Если «дроб» меньше 0, возвращается #NUM! значение ошибки #ЗНАЧ!.

  • Если «дроб» составляет 0, то рубля возвращается #DIV/0! значение ошибки #ЗНАЧ!.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.




Формула


Описание


Результат

=РУБЛЬ.ДРОБЬ(1,125;16)

Преобразует десятичное число 1,125 в число, читаемое как 1 целая и 2/16.

1,02

=РУБЛЬ.ДРОБЬ(1,125;32)

Преобразует десятичное число 1,125 в число, читаемое как 1 целая и 4/32. 3(7+3)}=\cfrac{58}{216*10}=\cfrac{29}{1080}\)

Попробуем узнать коэффициент B

Возьмем первую производную от числителя. Она равна .

Подставим туда единицу, разделим на один факториал  1!=1  и и запомним значение = 3

Теперь знаменатель. Узнаем значения производных знаменателя ( при x=1) через онлайн сервис Значение производной многочлена по методу Горнера

Введя коэффициенты  полинома 

получаем таблицу




Заданная функция









Производная Значение производной при X=1
0 0
1 0
2 0
3 864
4 -288
5 -960
6 720

Первая и вторая производная равны нулю, но это и логично, так как корень 1 имеет кратность 3. 2}\)

Значение коэффициента E я Вам оставляю на домашнее задание, если методика заинтересовала. Если же нет то  вот ответ

\(E=\cfrac{-11}{1200}\)

Онлайн калькулятор который будет все это делать за Вас в автоматическом режиме, работает в том числе и в поле комплексных чисел.

Теперь разложить любую правильную дробно-рациональную функцию на простейшие не составит ни малейшего труда. 

  • Онлайн расчет обратной матрицы >>

Решение пределов с дробями из многочленов

Здесь мы рассмотрим примеры и методы решения пределов функций, составленных из отношений многочленов. Это дроби из многочленов и разности дробей. Обзор и обоснование методов решения пределов изложены на странице «Методы вычисления пределов функций и раскрытия неопределенностей».

Методы решения пределов дробей из многочленов

1. Рассмотрим предел функции, которая является отношением многочленов:
, где
(1)   ,
и – многочлены степеней m и n, соответственно:
;
.

1.1. Пусть есть бесконечность:
.
Тогда возникает неопределенность вида . Для ее раскрытия, нужно числитель и знаменатель дроби разделить на xs, где s – наибольшее из чисел m и n.   Примеры ⇓

1.2. Пусть есть конечное число. Найдем значение знаменателя дроби, подставив :
.
1.2.1. Если , то неопределенности нет. Функция определена и непрерывна при . Значение предела равно значению функции в точке :
.   Пример ⇓

1.2.2. Если знаменатель равен нулю, а числитель нет: ,
то неопределенность также отсутствует. Предел равен бесконечности:
.   Пример ⇓

1.2.3. Пусть теперь и числитель, и знаменатель равны нулю:
.
В этом случае у нас возникает неопределенность вида 0/0. Для ее раскрытия, делим числитель и знаменатель на . Деление можно выполнять либо уголком, либо в уме, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной x.   Примеры ⇓

2. Теперь рассмотрим пределы от суммы или разности отношений многочленов. В этом случае, может возникнуть неопределенность вида бесконечность плюс-минус бесконечность: . Для ее раскрытия, нужно привести дроби к общему знаменателю. В результате получим предел от функции вида (1), методы решения которого мы уже рассмотрели.   Пример ⇓

Примеры решений

Все примеры Далее мы приводим подробные решения пределов дробей из многочленов.
⇓   ⇓   ⇓   ⇓   ⇓   ⇓   ⇓   ⇓   ⇓   ⇓

Пределы при x стремящемся к бесконечности

Пример 1

Все примеры ⇑ Найти предел отношения многочленов при x стремящемся к бесконечности:
.

Решение

Разделим числитель и знаменатель дроби на . При имеем:
.
На основании свойств степенной функции,   при  . Применяя арифметические свойства предела функции, находим:
.

Ответ

.

Пример 2

Все примеры ⇑ Найти предел функции, которая является отношением многочленов:
.

Решение

Разделим числитель и знаменатель дроби на . При имеем:
.
Применяя арифметические свойства предела функции, находим:
.

Ответ

.

Пример 3

Все примеры ⇑ Найти предел:
.

Решение

Разделим числитель и знаменатель дроби на . При имеем:
.
Применим арифметические свойства предела функции к числителю и знаменателю:
;
.
Применим свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций:
.

Мы получили правильную величину предела: . Но бесконечно удаленная точка может включать в себя два частных случая: и . Как , так и являются . Если и, для достаточно больших |x|, , то . Если, для достаточно больших |x|, то .

Выясним, имеет ли наш предел определенный знак? Для этого преобразуем знаменатель и переведем бесконечно большую часть в числитель:
;
.
Поскольку , то . Тогда

.

Ответ

.

Пределы в конечной точке

Пример 4. Непрерывные функции

Все примеры ⇑ Найти пределы функции

a) при ;   б) при .

Решение

а) Найдем значение знаменателя в точке :
.
Поскольку знаменатель не обращается в нуль, то функция непрерывна в точке . Поэтому предел функции равен ее значению при :
.

б) Найдем значение знаменателя в точке :
.
Здесь также знаменатель не обращается в нуль. Функция непрерывна. Ее предел при равен значению при :
.

Ответ

а) ;   б) .

Пример 5. Бесконечно большие функции

Все примеры ⇑ Задана функция в виде отношения многочленов:
.
Найти односторонние пределы:
а) ;   б) .

Решение

Найдем значение знаменателя дроби в точке :
.
Знаменатель равен нулю. Поэтому функция не является непрерывной при . Выясним, есть ли неопределенность вида 0/0? Для этого найдем значение числителя в этой точке:
.
Числитель не равен нулю. Поэтому неопределенности вида 0/0 нет. Предел при равен бесконечности:
.

Но нам нужно найти односторонние пределы. Для этого выделим из многочлена в знаменателе множитель . То есть представим знаменатель в следующем виде:
.
Раскрываем скобки:

.
Сравнивая левую и правую части, находим:
.
Отсюда ,
;
.

Функция непрерывна в точке , поскольку знаменатель дроби не обращается в нуль. При , имеем:
.
Тогда
;
  при  .
а) Подставим :
.
б) Подставим :
.

Ответ

а) ,   б) .

Если бы знаменатель дроби не равнялся нулю при , то функция была бы непрерывной в точке . В этом случае, пределы слева и справа были бы равны:
.

Неопределенность вида 0/0
Пример 6

Все примеры ⇑ Найти предел
.

Решение

Найдем значение знаменателя дроби при :

.
Знаменатель дроби равен нулю. Поэтому функция не определена и, следовательно, не является непрерывной в точке .

Найдем значение числителя при :
.
Числитель дроби также равен нулю. Мы имеем неопределенность вида 0/0. Для ее раскрытия, выделим в многочленах множитель .

Ищем разложение знаменателя в виде:
.
Раскрываем скобки и группируем члены с одинаковыми степенями x:

.
Сравнивая левую и правую части, находим:
.
Отсюда ,
.

На практике, нет необходимости выписывать неопределенные коэффициенты разложения, а затем решать систему уравнений. Подобные вычисления легко проводить в уме. Для числителя имеем:
.

Находим предел:

.

Ответ

.

Пример 7

Все примеры ⇑ Найти предел отношения многочленов:
.

Решение

Найдем значение знаменателя при :
.
Знаменатель равен нулю. Поэтому функция не является непрерывной в точке .

Найдем значение числителя дроби при :
.
Числитель дроби также равен нулю. У нас неопределенность вида 0/0. Для ее раскрытия, выделим в многочленах множитель .

Вычисления делаем в уме:
,
.
Делим числитель и знаменатель на . Тогда при имеем:
.

Снова находим значения числителя и знаменателя при : ;
.
Опять неопределенность 0/0. Снова выделяем множитель :
;
.

При имеем:
.
Функция непрерывна в точке , поскольку знаменатель дроби не равен нулю при . Поскольку функции и отличаются только в одной точке ( определена и непрерывна при , а не определена), то их пределы в любой точке равны (см. «Влияние значений функции в конечном числе точек на величину предела»). Находим искомый предел:
.

Ответ

.

Пример 8. Неопределенность вида ∞

&pm;

Все примеры ⇑ Найти предел разности дробей из многочленов:
.

Решение

При имеем:
;
;
;
.
Поскольку знаменатель каждой из дробей равен нулю, а числители отличны от нуля, то при , каждая из дробей стремится к бесконечности:
  при  .
То есть мы имеем неопределенность вида «бесконечность минус бесконечность».

Для раскрытия неопределенности, приводим дроби к общему знаменателю. Чтобы упростить выкладки, предварительно выделим в знаменателях дробей множитель .3 + 1)

Там же вы можете получить подробное решение производной:



    Применим правило производной частного:

    и .

    Чтобы найти :

        В силу правила, применим: получим

    Чтобы найти :

        дифференцируем почленно:

            Производная постоянной равна нулю.

            Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                В силу правила, применим: получим

            Таким образом, в результате:

        В результате:

    Теперь применим правило производной деления:

    Теперь упростим:

Ответ:

Общее правило

Производную от дроби очень просто посчитать (по-крайней мере от простых дробей)

Производная от дроби «единица, делённая на x» равна минус единице, делённой на x в квадрате.

2 + 10r-2 & = 0,
\ end {выровнен}
(5 + r) 2 + r225 + 10r + 2r22r2 + 10r − 2 = 27 = 27 = 0,

, поэтому r = −5 + 292 r = \ frac {-5+ \ sqrt {29}} 2r = 2−5 + 29 по формуле корней квадратного уравнения.

Следовательно, x = 5 + r = 5 + 292 x = 5 + r = \ frac {5+ \ sqrt {29}} 2x = 5 + r = 25 + 29. □ _ \ квадрат □

Отправьте свой ответ

{1x} = {x} \ left \ {\ frac 1x \ right \} = \ {x \} {x1} = {x}

Найдите такое количество решений xxx в диапазоне [1,6] [1,6] [1,6], чтобы удовлетворялось указанное выше уравнение.

Обратите внимание, что {x} \ {x \} {x} обозначает дробную часть xxx.

Найдите наименьшее действительное число m m m такое, что для всех положительных действительных чисел x x x,

{x} + {1x} <м. 2} 1− (1 + r) 21.- r → 1−, сумма равна 1 + 11 + 1 = 32 1+ \ frac1 {1 + 1} = \ frac {3} {2} 1 + 1 + 11 = 23. Итак, ответ - 32 \ frac {3} {2} 23. □ _ \ квадрат □

(((Упражнение: если разрешено отрицательное значение x x x, ответ будет m = 2.) M = 2.) M = 2.)

Отправьте свой ответ

Найдите число действительных xxx, удовлетворяющих уравнению {x} ⌊x⌋ − 2⌊x⌋ = {x} −1 \ {x \} \ lfloor x \ rfloor- 2 \ lfloor x \ rfloor = \ {x \} -1 {x} ⌊x⌋ − 2⌊x⌋ = {x} −1.

Обозначения :

Нахождение области рациональной функции

Нахождение области определения рациональной функции
Вот шаги, необходимые для поиска области рациональной функции:

Шаг 1 : Рациональная функция — это просто дробь, а знаменатель дроби не может равняться нулю, потому что он не был бы определен. Чтобы найти, какие числа делают дробь неопределенной, создайте уравнение, в котором знаменатель не равен нулю.
Шаг 2 : Решите уравнение, найденное на шаге 1.
Шаг 3 : Напишите ответ, используя интервальную запись.

Пример 1

Шаг 1 : Рациональная функция — это просто дробь, а в дроби знаменатель не может равняться нулю, потому что он был бы неопределенным. Чтобы найти, какие числа делают дробь неопределенной, создайте уравнение, в котором знаменатель не равен нулю.
Шаг 2 : Решите уравнение, найденное на шаге 1. В этом случае вычтите 4 с каждой стороны.
Шаг 3 : Напишите ответ, используя интервальную запись. В этом случае, поскольку x ≠ –4, получаем:

Пример 2

Шаг 1 : Рациональная функция — это просто дробь, а в дроби знаменатель не может равняться нулю, потому что он был бы неопределенным.Чтобы найти, какие числа делают дробь неопределенной, создайте уравнение, в котором знаменатель не равен нулю.
Шаг 2 : Решите уравнение, найденное на шаге 1. В этом случае нам нужно разложить проблему на множители.
Шаг 3 : Напишите ответ, используя интервальную запись. В этом случае, поскольку x ≠ –2 и x ≠ 7, получаем:

Щелкните здесь для практических задач

Пример 3

Щелкните здесь для практических задач

Пример 4

Щелкните здесь для практических задач

Пример 5

Шаг 1 : Рациональная функция — это просто дробь, а в дроби знаменатель не может равняться нулю, потому что он был бы неопределенным.Чтобы найти, какие числа делают дробь неопределенной, создайте уравнение, в котором знаменатель не равен нулю.
Шаг 2 : Решите уравнение, найденное на шаге 1. В этом случае нам нужно разложить проблему на множители.
Шаг 3 : Напишите ответ, используя интервальную запись. В этом случае, поскольку x ≠ –4, x ≠ 0 и x ≠ 2, получаем:

Щелкните здесь для практических задач

Функции дробной мощности | Вики Сообщества

Дробная функция мощности

Степенная функция дроби — это степень, когда наша степенная функция является степенью дроби, а не целого числа.Есть два типа дроби: положительная и отрицательная.

Степенная функция с положительной дробью

Где n — любое положительное целое число.

Важное понятие, которое мы должны помнить для этих функций, — это разница между четными и нечетными функциями.

Когда n четное

Когда n четно, наша функция не имеет значений вдоль отрицательной оси x, поскольку у нас не может быть квадратного корня отрицательного числа.

Домен:

Если n нечетное

Когда n нечетно, наша функция имеет область определения всех действительных чисел, так как мы можем получить кубический корень отрицательного числа, а также положительного числа.

Домен:

Пример функции мощности положительной доли

Обратите внимание на разные домены, когда n нечетно и когда оно четно.

Эти основные функции нарисовать несложно.

Шаг 1: Определите, являются ли они квадратным корнем четного или нечетного числа, чтобы определить домен.

  • Мы видим, что квадратный корень из x является четным числом. Следовательно, он находится только в первом квадранте графика.
  • Мы видим, что кубический корень из x имеет нечетное значение. Следовательно, это будет в первом и третьем квадрантах.

Шаг 2: Найдите точки перехвата.

Когда n четное:

Функция начинается с начала координат.

Когда n четное:

Функция проходит через начало координат.

Как только мы найдем эти числа и запомним основную форму, функцию будет легко нарисовать.

Помните, что при рисовании этих графиков вручную также неплохо пометить другую случайную точку, чтобы мы знали, что нарисовали график правильно, и экзаменатор мог видеть, что это правильный график!

Степенная функция с отрицательной дробью

Построение степенной функции с отрицательной дробью

Шаг 1: Определите домен.

Если n — это четное число этих функций, домен будет равен 0, не включенному в бесконечность.

Домен:

Если n нечетное, все действительные значения бар 0.

Домен:

Основное различие между дробями положительной степени состоит в том, что область не включает ноль, поскольку у нас никогда не может быть число, деленное на ноль.

Шаг 2: Определите асимптоты.

Функция не определена, когда x равно 0, однако будет экспоненциально возрастать, когда приближается к 0. Следовательно, первая ассимптота равна x = 0 .

По мере приближения x к бесконечности дробь будет становиться все меньше, но никогда не будет равна 0.Следовательно, вторая асимптота y = 0.

Шаг 3: Определите другие ключевые точки

Когда n четное:

Когда n четное:

Шаг 4: Нарисуйте график правильной формы

Чтобы закончить рисование графика, необходимо знать правильную форму. Также неплохо добавить координаты другой точки, чтобы убедиться, что вы верны, и показать маркер, что вы верны.

Пример функции мощности с отрицательной долей

Во-первых, мы видим, что это функция дроби отрицательной степени со значением n, равным трем, поэтому домен равен R \ {0}

Секунда, поскольку нет преобразования, он пройдет через точки (-1, -1) и (1,1).

В-третьих, он будет иметь асимптоты при x = 0 и y = 0 .

В-четвертых, проследите общую форму графика, двигаясь от точек (-1, -1) и (1,1) к двум асимптотам, и включите еще одну точку!

Обратная связь

Хотите предложить правку? Есть вопросы? Общие комментарии? Сообщите нам, как мы можем сделать этот ресурс более полезным для вас.

дробей — Рациональные числа — документация Python 3.9.5

Исходный код: Lib / fractions.py


Модуль дробей обеспечивает поддержку арифметики рациональных чисел.

Экземпляр Fraction может быть построен из пары целых чисел из
другое рациональное число или из строки.

класс фракций. Дробь (числитель = 0 , знаменатель = 1 )
класс фракций. Дробь ( other_fraction )
класс фракций. Дробь ( с плавающей запятой )
класс фракций. Дробь ( десятичная )
класс фракций. Дробь ( строка )

Первая версия требует, чтобы числитель и знаменатель были экземплярами
из номеров.Rational и возвращает новый экземпляр Fraction
со значением числитель / знаменатель . Если знаменатель равен 0 , то
вызывает ZeroDivisionError . Вторая версия требует, чтобы
other_fraction является экземпляром чисел. Rational и возвращает
Дробь Экземпляр с тем же значением. Следующие две версии принимают
либо с плавающей точкой , либо десятичным числом . Десятичный экземпляр и возвращает
Дробь Экземпляр с точно таким же значением.Обратите внимание, что из-за
обычные проблемы с двоичными числами с плавающей запятой (см. Арифметика с плавающей запятой: проблемы и ограничения),
аргумент Дробь (1.1) не совсем равна 11/10, и поэтому
Fraction (1.1) не возвращает , а возвращает Fraction (11, 10) , как и следовало ожидать.
(Но см. Документацию по методу limit_denominator () ниже.)
Последняя версия конструктора ожидает строку или экземпляр Unicode.
Обычная форма для этого экземпляра:

 [знак] числитель [знаменатель '/']
 

, где необязательный знак может быть либо «+», либо «-» и
Числитель и знаменатель (если есть) являются строками
десятичные цифры.Кроме того, любая строка, представляющая конечный
значение и принимается конструктором с плавающей запятой также
принимается конструктором Fraction . В любой форме
входная строка также может иметь начальные и / или конечные пробелы.
Вот несколько примеров:

 >>> из импорта фракций Дробь
>>> Дробь (16, -10)
Дробь (-8, 5)
>>> Дробь (123)
Дробь (123, 1)
>>> Дробь ()
Дробь (0, 1)
>>> Дробь ('3/7')
Дробь (3, 7)
>>> Дробь ('-3/7')
Дробь (-3, 7)
>>> Дробь ('1.414213 \ t \ n ')
Дробь (1414213, 1000000)
>>> Дробь ('-. 125')
Дробь (-1, 8)
>>> Дробь ('7e-6')
Дробь (7, 1000000)
>>> Дробь (2.25)
Дробь (9, 4)
>>> Дробь (1.1)
Дробь (2476979795053773, 2251799813685248)
>>> из десятичного числа Импорт Десятичный
>>> Дробь (Десятичная дробь ('1.1'))
Дробь (11, 10)
 

Класс Fraction наследуется от абстрактного базового класса
номеров.Rational , и реализует все методы и
операции из этого класса. Дробь экземпляров могут быть хешированы,
и должны рассматриваться как неизменяемые. Кроме того,
Фракция имеет следующие свойства и методы:

Изменено в версии 3.9: Функция math.gcd () теперь используется для нормализации числителя
и знаменатель . math.gcd () всегда возвращает тип int .
Ранее тип НОД зависел от числителя и знаменателя .

числитель

Числитель дроби в младшем члене.

Знаменатель

Знаменатель дроби в младшем члене.

as_integer_ratio ()

Вернуть кортеж из двух целых чисел, отношение которых равно
в дробь и с положительным знаменателем.

from_float ( flt )

Этот метод класса конструирует Дробь , представляющую точную
значение flt , которое должно быть с плавающей точкой .Остерегайтесь этого
Fraction.from_float (0.3) — это не то же самое значение, что и Fraction (3, 10) .

Примечание

Начиная с Python 3.2, вы также можете построить
Экземпляр фракции непосредственно из поплавка .

from_decimal ( dec )

Этот метод класса конструирует Дробь , представляющую точную
значение dec , которое должно быть десятичным числом .Десятичный экземпляр .

limit_denominator ( max_denominator = 1000000 )

Находит и возвращает ближайшую Fraction к self , имеющий
знаменатель не более max_denominator. Этот метод полезен для поиска
рациональные приближения к заданному числу с плавающей запятой:

 >>> из импорта фракций Дробь
>>> Дробь ('3.1415926535897932'). Limit_denominator (1000)
Фракция (355, 113)
 

или для восстановления рационального числа, представленного в виде числа с плавающей запятой:

 >>> из математического импорта pi, cos
>>> Дробь (cos (pi / 3))
Дробь (4503599627370497, 99254740992)
>>> Дробь (cos (pi / 3)).limit_denominator ()
Дробь (1, 2)
>>> Дробь (1.1) .limit_denominator ()
Дробь (11, 10)
 
__ этаж__ ()

Возвращает наибольшее значение int <= self . Этот метод может
также можно получить через функцию math.floor () :

 >>> от пола импорта математики
>>> этаж (Фракция (355, 113))
3
 
__ceil__ ()

Возвращает наименьшее значение int > = self .Этот метод может
также доступны через функцию math.ceil () .

__круг __ ()
__ вокруг__ ( ndigits )

Первая версия возвращает ближайшее int до self ,
округление от половины до четного. Вторая версия округляет сам до
ближайшее кратное Дробь (1, 10 ** ndigits) (логически, если
ndigits отрицательно), снова округляя половину в сторону четности. {- 1} \ left (\ dfrac {u} {a} \ right) + C.2 − x − 2} \, dx = \ int \ left (\ dfrac {1} {x + 1} + \ dfrac {2} {x − 2} \ right) \, dx. \ Nonumber \]

дюйма В этом разделе мы исследуем метод разложения частичной дроби , который позволяет нам разложить рациональные функции на суммы более простых и легко интегрируемых рациональных функций. Используя этот метод, мы можем переписать такое выражение, как:

Ключ к методу декомпозиции частичной дроби - это способность предвидеть форму, которую примет разложение рациональной функции.Как мы увидим, эта форма предсказуема и сильно зависит от факторизации знаменателя рациональной функции. Также чрезвычайно важно помнить, что разложение на частичную дробь может применяться к рациональной функции \ (\ dfrac {P (x)} {Q (x)} \), только если \ (deg (P (x)) < град (Q (х)) \). В случае, когда \ (deg (P (x)) ≥deg (Q (x)) \), мы должны сначала выполнить длинное деление, чтобы переписать частное \ (\ dfrac {P (x)} {Q (x)} \) в виде \ (A (x) + \ dfrac {R (x)} {Q (x)} \), где \ (deg (R (x))

Чтобы интегрировать \ (\ Displaystyle \ int \ dfrac {P (x)} {Q (x)} \, dx \), где \ (deg (P (x))

Неповторяющиеся линейные множители

Если \ (Q (x) \) можно разложить на множители как \ ((a_1x + b_1) (a_2x + b_2)… (a_nx + b_n) \), где каждый линейный множитель различен, то можно найти константы \ (A_1, A_2,… A_n \) удовлетворяющие

\ [\ dfrac {P (x)} {Q (x)} = \ dfrac {A_1} {a_1x + b_1} + \ dfrac {A_2} {a_2x + b_2} + ⋯ + \ dfrac {A_n} {a_nx + b_n}.2−2x = x (x − 2) (x + 1) \). Таким образом, существуют константы \ (A \), \ (B \) и \ (C \), удовлетворяющие уравнению \ ref {eq: 7.4.1}, такие, что

\ [\ dfrac {3x + 2} {x (x − 2) (x + 1)} = \ dfrac {A} {x} + \ dfrac {B} {x − 2} + \ dfrac {C} { х + 1}. \ nonumber \]

Теперь мы должны найти эти константы. Для этого мы начнем с получения общего знаменателя справа. Таким образом,

\ [\ dfrac {3x + 2} {x (x − 2) (x + 1)} = \ dfrac {A (x − 2) (x + 1) + Bx (x + 1) + Cx (x− 2)} {х (х - 2) (х + 1)}. \ nonumber \]

Теперь мы устанавливаем числители равными друг другу, получая

\ [3x + 2 = A (x − 2) (x + 1) + Bx (x + 1) + Cx (x − 2).2 + (- А + В − 2С) х + (- 2А). \ nonumber \]

Приравнивание коэффициентов дает систему уравнений

\ [\ begin {align *} A + B + C & = 0 \\ [4pt] −A + B − 2C & = 3 \\ [4pt] −2A & = 2. \ end {align *} \]

Чтобы решить эту систему, сначала заметим, что \ (−2A = 2⇒A = −1. \). Подставляя это значение в первые два уравнения, мы получаем систему

\ (В + С = 1 \)

\ (B − 2C = 2 \).

Умножение второго уравнения на \ (−1 \) и прибавление полученного уравнения к первому дает

\ (-3C = 1, \)

, что, в свою очередь, означает \ (C = - \ dfrac {1} {3} \).Подстановка этого значения в уравнение \ (B + C = 1 \) дает \ (B = \ dfrac {4} {3} \). Таким образом, решение этих уравнений дает \ (A = −1, B = \ dfrac {4} {3} \) и \ (C = - \ dfrac {1} {3} \).

Важно отметить, что система, созданная этим методом, является непротиворечивой тогда и только тогда, когда мы правильно настроили декомпозицию. Если система несовместима, в нашей декомпозиции есть ошибка.

Стратегия вторая: Метод стратегической замены

Метод стратегической замены основан на предположении, что мы правильно настроили декомпозицию.Если разложение настроено правильно, тогда должны быть значения \ (A, B, \) и \ (C \), которые удовлетворяют уравнению \ (\ ref {Ex2Numerator} \) для всех значений \ (x \). То есть это уравнение должно быть истинным для любого значения \ (x \), которое мы хотим подставить в него. Следовательно, тщательно выбирая значения \ (x \) и подставляя их в уравнение, мы можем легко найти \ (A, B \) и \ (C \). Например, если мы подставим \ (x = 0 \), уравнение сведется к \ (2 = A (−2) (1) \). Решение относительно \ (A \) дает \ (A = −1 \).Затем, подставив \ (x = 2 \), уравнение сводится к \ (8 = B (2) (3) \) или, что эквивалентно, \ (B = 4/3 \). Наконец, мы подставляем \ (x = −1 \) в уравнение и получаем \ (−1 = C (−1) (- 3). \) Решая, мы имеем \ (C = - \ dfrac {1} {3 } \).

Важно помнить, что если мы попытаемся использовать этот метод с некорректной декомпозицией, мы все равно сможем найти значения для констант, но эти константы бессмысленны. Если мы все же решим использовать метод стратегической замены, то будет хорошей идеей проверить результат, алгебраически перекомбинируя термины.2x− \ sin x} \, dx = - \ ln | u | + \ ln | u − 1 | + C = - \ ln | \ sin x | + \ ln | \ sin x − 1 | + C. \ nonumber \]

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

Вычислить \ (\ displaystyle \ int \ dfrac {x + 1} {(x + 3) (x − 2)} \, dx. \)

Подсказка

\ [\ dfrac {x + 1} {(x + 3) (x − 2)} = \ dfrac {A} {x + 3} + \ dfrac {B} {x − 2} \ nonumber \]

Ответ

\ [\ dfrac {2} {5} \ ln | x + 3 | + \ dfrac {3} {5} \ ln | x − 2 | + C \ nonumber \]

Повторяющиеся линейные множители

Для некоторых приложений нам необходимо интегрировать рациональные выражения со знаменателями с повторяющимися линейными множителями, то есть рациональные функции с хотя бы одним множителем вида \ ((ax + b) ^ n, \), где \ (n \) является целым положительным числом, большим или равным \ (2 \).2 + (- 3A + B − 4C) x + (A − B + C). \ nonumber \]

Приравнивание коэффициентов дает \ (2A + 4C = 0 \), \ (- 3A + B − 4C = 1 \) и \ (A − B + C = −2 \). Решение этой системы дает \ (A = 2, B = 3, \) и \ (C = −1. \)

В качестве альтернативы можно использовать метод стратегической замены. В этом случае замена \ (x = 1 \) и \ (x = 1/2 \) в уравнение \ (\ ref {Ex5Numerator} \) легко дает значения \ (B = 3 \) и \ (C = - 1 \). На данный момент может показаться, что у нас закончился хороший выбор для \ (x \), однако, поскольку у нас уже есть значения для \ (B \) и \ (C \), мы можем подставить эти значения и выбрать любое значение для \ (x \), которое ранее не использовалось.2} \) и ось x на интервале \ ([0,1] \) относительно оси y ​​.

Решение

Начнем с рисования области, которую нужно повернуть (см. Рисунок \ (\ PageIndex {1} \)). Из эскиза мы видим, что метод оболочки - хороший выбор для решения этой проблемы.

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): Мы можем использовать метод оболочки, чтобы найти объем вращения, полученный путем вращения области, показанной вокруг оси \ (y \). 2} \, dx.2} \ nonumber \]

Интеграция рациональных функций

Напомним, что рациональная функция - это отношение двух многочленов \ (\ large {\ frac {{P \ left (x \ right)}} {{Q \ left (x \ right)}}} \ normalsize. \)

Предположим, что у нас есть правильная рациональная функция, в которой степень числителя меньше степени знаменателя.

Чтобы преобразовать неправильную рациональную функцию в правильную, мы можем использовать деление в столбик:

\ [{\ frac {{P \ left (x \ right)}} {{Q \ left (x \ right)}}} = {F \ left (x \ right)} + {\ frac {{R \ left (x \ right)}} {{Q \ left (x \ right)}},} \]

, где \ (F \ left (x \ right) \) - полином, \ (\ large {\ frac {{R \ left (x \ right)}} {{Q \ left (x \ right)}}} \ normalsize \) - правильная рациональная функция.

Чтобы интегрировать правильную рациональную функцию, мы можем применить метод частичных дробей.

Этот метод позволяет превратить интеграл сложной рациональной функции в сумму интегралов более простых функций.

Знаменатели дробных дробей могут содержать неповторяющиеся линейные множители, повторяющиеся линейные множители, неповторяющиеся неприводимые квадратичные множители и повторяющиеся неприводимые квадратичные множители.

Для вычисления интегралов от дробей с линейным или квадратичным знаменателем используются следующие формулы \ (6 \):

\ [{1.2}}} \ normalsize}. \)

Пример 1.

Найдите интеграл \ (\ int {\ large {\ frac {{x + 2}} {{x - 1}}} \ normalsize dx}. \)

Решение.

Поскольку рациональная дробь в подынтегральном выражении неверна, мы выполняем деление в столбик, чтобы получить

\ [\ frac {{x + 2}} {{x - 1}} = 1 + \ frac {3} {{x - 1}}. \]

Теперь мы можем легко вычислить интеграл:

\ [{\ int {\ frac {{x + 2}} {{x - 1}} dx}} = {\ int {\ left ({1 + \ frac {3} {{x - 1}}}) \ right) dx}} = {\ int {dx} + 3 \ int {\ frac {{dx}} {{x - 1}}}} = {x + 3 \ ln \ left | {x - 1} \ right | + С.2} - 9}}}
= {\ frac {{2x + 3}} {{\ left ({x - 3} \ right) \ left ({x + 3} \ right)}}}
= {\ frac {A} {{x - 3}} + \ frac {B} {{x + 3}}.}
\]

Коэффициенты приравнивания:

\ [
{{A \ left ({x + 3} \ right)} + {B \ left ({x - 3} \ right)} = {2x + 3,} \; \;} \ Rightarrow
{ {Ax + 3A + Bx - 3B} = {2x + 3,} \; \;} \ Rightarrow
{{\ left ({A + B} \ right) x + 3A - 3B} = {2x + 3.} }
\]

Следовательно,

\ [
{\ left \ {\ begin {array} {l}
А + В = 2 \\
3A - 3B = 3
\ end {array} \ right.2}}} {2} - x} - {\ ln \ left | {x + 1} \ right | } + {C.}}
\]

Пример 5.

Найдите интеграл \ (\ int {\ large {\ frac {{dx}} {{\ left ({2x - 1} \ right) \ left ({x + 3} \ right)}}} \ normalsize}. \ )

Решение.

Сначала разложим подынтегральное выражение:

\ [{\ frac {1} {{\ left ({2x - 1} \ right) \ left ({x + 3} \ right)}}} = {\ frac {A} {{2x - 1}} + \ frac {B} {{x + 3}}.} \]

Определите коэффициенты \ (A \) и \ (B: \)

\ [1 = A \ влево ({x + 3} \ right) + B \ left ({2x - 1} \ right), \]

\ [1 = Ax + 3A + 2Bx - B, \]

\ [1 = \ left ({A + 2B} \ right) x + \ left ({3A - B} \ right).\]

Получаем следующую систему:

\ [{\ left \ {\ begin {array} {l}
А + 2В = 0 \\
3А - В = 1
\ end {array} \ right.,} \; \; \ Rightarrow {\ left \ {\ begin {array} {l}
A + 2 \ left ({3A - 1} \ right) = 0 \\
В = 3А - 1
\ end {array} \ right.,} \; \; \ Rightarrow {\ left \ {\ begin {array} {l}
7А - 2 = 0 \\
В = 3А - 1
\ end {array} \ right.,} \; \; \ Rightarrow {\ left \ {\ begin {array} {l}
A = \ frac {2} {7} \\
B = - \ frac {1} {7}
\ end {array} \ right ..} \]

Итак, разложение на частичную дробь имеет вид

\ [{\ frac {1} {{\ left ({2x - 1} \ right) \ left ({x + 3} \ right)}}} = {\ frac {2} {{7 \ left ({ 2x - 1} \ right)}}} - {\ frac {1} {{7 \ left ({x + 3} \ right)}}.} \]

Начальный интеграл записывается как сумма двух более простых интегралов:

\ [{I = \ int {\ frac {{dx}} {{\ left ({2x - 1} \ right) \ left ({x + 3} \ right)}}}} = {\ frac {2 } {7} \ int {\ frac {{dx}} {{2x - 1}}}} - {\ frac {1} {7} \ int {\ frac {{dx}} {{x + 3}} }.} \]

Суммарная доходность:

\ [{I = \ frac {2} {7} \ cdot \ frac {1} {2} \ ln \ left | {2x - 1} \ right | } - {\ frac {1} {7} \ ln \ left | {x + 3} \ right | + C} = {\ frac {1} {7} \ left ({\ ln \ left | {2x - 1} \ right | - \ ln \ left | {x + 3} \ right |} \ right) + C } = {\ frac {1} {7} \ ln \ left | {\ frac {{2x - 1}} {{x + 3}}} \ right | + С.2} - 9}}} = {\ frac {x} {{\ left ({x - 3} \ right) \ left ({x + 3} \ right)}}} = {\ frac {A} {{ x - 3}} + \ frac {B} {{x + 3}}.} \]

Вычислить неизвестные коэффициенты:

\ [x = A \ left ({x + 3} \ right) + B \ left ({x - 3} \ right), \]

\ [x = Ax + 3A + Bx - 3B, \]

\ [x = \ left ({A + B} \ right) x + \ left ({3A - 3B} \ right). \]

Отсюда

\ [{\ left \ {\ begin {array} {l}
А + В = 1 \\
3A - 3B = 0
\ end {array} \ right.,} \; \; \ Rightarrow {\ left \ {\ begin {array} {l}
А + В = 1 \\
А - В = 0
\ end {array} \ right.2} - 9} \ right | + C.} \]

f (Функция дроби)

Этот элемент определяет объект дроби, состоящий из числителя и знаменателя, разделенных чертой дроби. Полоса дроби может быть горизонтальной или диагональной, в зависимости от свойств дроби. Объект фракции также используется для представления функции стека, которая помещает один элемент над другим без дробной полосы.

пример:: Примеры дробей:

Суммарная фракция:

Перекошенная фракция:

Линейная дробь:

Объект стека (фракция без стержней):

Дробь представлена ​​как:

  <м: ж> 
    <м: fPr> 
       m: val = "skw"  /> 
     
     
       
          a   
       
     
     
       
          b   
       
     
    

Дочерние элементы

Подпункт

(знаменатель)

§7.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2021 © Все права защищены.