Уравнения пятой степени: Уравнение пятой степени онлайн.Частный случай

Содержание

Уравнение пятой степени онлайн.Частный случай

Заданное уравнение
Корни полинома пятой степени

В данном материале рассматривается одно из решений уравнения пятой степени частного вида. На сегодняшний день, теорема Абеля-Руффинни гласит о том, что нет общего решения уравнения пятой степени, которое можно выразить  конечным числом вычислений  с использованием арифметических операций, возведения в степень и извлечения корня. 

Из этой теоремы можно сделать как минимум два предположения:

— есть частные виды уравнения 5 степени, корни которого могут быть найдены путем подстановки в определенную( конечную по своей сути) формулу

— если нельзя найти общее решение, где «конечное число операций», то теоретически можно поискать общее решение, используя функции где «бесконечное число операций»

Я предложу Вам онлайн решение уравнения пятой степени вот такого вида

\(x^5+ax^3+a^2/5x+b\)

Для этого нам надо рассчитать два вспомогательных параметра \(F\) и \(T\)

\(\cfrac{-i*c}{2b}\sqrt{\cfrac{125}{a}}=F\)

\(\sqrt{\cfrac{4a}{5}}=T\)

После этого мы сможем найти все корни такого уравнения.2}{5}x​+(i)=0\)

На этом уравнении, несмотря на то что все значения совпадают, знак надо менять на противоположный. Почему так и какой критерий, я еще пока не понял.







Корни полинома пятой степени

0.80517978551219-0.90690579788299i

-0.42780028378999-0.63253712529931i

-1.0695749012912+0.51597635530179i

-0.23323335872174+0.95142805026712i

0.92542875829085+0.072038517613355i

Уравнение шестой степени — алгебраическое уравнение, имеющее максимальную степень 6. В общем виде может быть записано следующим образом: a x 6 + b x 5 + c x 4 +

Пользователи также искали:



решение уравнений высших степеней онлайн,

решение уравнений высших степеней,

уравнение 6 степени онлайн,

уравнения 6 степени примеры,

уравнения высших степеней 8 класс,

уравнения высших степеней и методы их решения,

степени,

высших,

степеней,

уравнения,

уравнений,

решение,

класс,

уравнение,

примеры,

онлайн,

Уравнение,

шестой,

уравнения степени примеры,

пятой,

пример,

методы,

решения,

Уравнение шестой степени,

уравнение степени онлайн,

решение уравнений высших степеней,

уравнение пятой степени пример,

уравнения высших степеней и методы их решения,

уравнения высших степеней 8 класс,

решение уравнений 4 степени 9 класс,

решение уравнений высших степеней онлайн,

уравнения 6 степени примеры,

уравнение 6 степени онлайн,

уравнения высших степеней класс,

решение уравнений степени класс,

уравнение шестой степени,

Абель доказал невозможность решения уравнения 5 степени в общем виде

Судя по началу публикации, которое мы здесь опустим, текст писал Юрий Игнатьевич. И написано хорошо, и проблематика злободневная, вот только так называть Россию, как это делает Мухин…

Как бы кто ни относился к антинародной власти, Россия выше неё и не заслуживает оскорблений. Даже от талантливого разоблачителя лжи американского агенства НАСА.

*

Обращение к тов. Мухину Ю.И.

Уважаемый Юрий Игнатьевич! Я знаю, что вы посещаете эти страницы. Поэтому обращаюсь к вам напрямую.

Мы все ценим ваш подвижнический труд на ниве разоблачения лжи Запада, лжи Америки, лжи псевдоучёных, лжи либералов. Мы с удовольствием и пользой для себя и общества задумываемся над серьёзными темами, которые вы нам время от времени подбрасываете, будь то меритократия или метафизика, любовь к  отечественной истории или восстановление справедливости.

Однако ваши определения нашей общей с вами Родины вызывают недоумение и сильно огорчают.

Впрочем, посудите сами: как бы вы охарактеризовали человека, который стал оскорблять свою заболевшую и от этого временно переставшую работать мать?

А ведь Россия, как бы она ни именовалась, и какой бы хорошей или отвратительной ни была власть, — Россия это наша Родина. Родина-мать. За неё наши деды проливали кровь и клали свои жизни.

Поэтому ставить её в один ряд с властью — это опускать духовное возвышенное на уровень материального, да ещё и низкого. Т.е. вы проводите сравнение совершенно различных категорий. Вещь, недопустимая для любого вменяемого человека.

Прошу вас, уважаемый тов. Мухин, серьёзно задуматься над этим.

**

…А с уравнениями (я этого и не знал) положение таково. Как найти корни квадратного уравнения догадались ещё в древнем Египте.

Как найти корни кубического уравнения и уравнения четвёртой степени, нашли в шестнадцатом веке, а вот найти корни уравнения пятой степени до 2016 года не могли. А пытались далеко не простые люди.

В шестнадцатом веке найти корни уравнения пятой степени пытался основоположник символической алгебры Франсуа Виет, в девятнадцатом веке это пытался сделать основатель современной высшей алгебры французский математик Эварист Галуа, после него найти корни уравнений пятой степени пробовал норвежский математик Нильс Хенрик Абель, который, в конце концов, сдался и доказал невозможность решения уравнения пятой степени в общем виде.

Читаем в Википедии о заслугах Абеля: «Абель закончил блестящее исследование древней проблемы: доказал невозможность решить в общем виде (в радикалах) уравнение 5-й степени…

В алгебре Абель нашёл необходимое условие для того, чтобы корень уравнения выражался «в радикалах» через коэффициенты этого уравнения. Достаточное условие вскоре открыл Галуа, чьи достижения опирались на труды Абеля.

Абель привёл конкретные примеры уравнения 5-й степени, чьи корни нельзя выразить в радикалах, и тем самым в значительной степени закрыл древнюю проблему».

Как видите, если теорему Пуанкаре доказать пытались всё время и Перельман оказался удачливее остальных математиков, то после Абеля за уравнения пятой степени математики и не брались.

А в 2014 году математик из Томска Сергей Зайков, о котором по фото можно судить, что он уже в годах, а по данным из статьи о нём, что он выпускник факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, в ходе своей работы получил уравнения пятой степени. Тупик? Да, тупик! Но Сергей Зайков взялся его проломить.

И в 2016 году он нашёл способы решений уравнений пятой степени в общем виде! Сделал то, невозможность чего доказали математики Галуа и Абель.

Я попытался найти сведения о Сергее Зайкове в Википедии, но хрен вам! О математике Сергее Зайкове и о нахождении им решения уравнений пятой степени сведений нет!

Ни СМИ, ни сборищу паразитов, сидящих в Академии наук РФ, это выдающееся математическое открытие и нафиг не надо! Друг Зайкова нашёл деньги на усечённый вариант брошюры об этом решении уравнений пятой степени, брошюрку отпечатали… И на сегодня это всё!

Пикантность делу придаёт и то, что для математиков существует аналог Нобелевской премии — Абелевская премия (Нобель запретил давать премию математикам и теперь её дают за математические испражнения, называя их «физикой»).

Эта математическая премия в честь того самого Абеля, который доказал невозможность того, что сделал Зайков. Однако, самовыдвижение на эту премию не допускается. А Зайков математик-одиночка и нет никаких организаций, которые могли бы предложить его кандидатуру на соискание этой премии.

Правда у нас есть Академия наук, но ведь там академики сидят не для развития математики, а «бабло пилить». Кому там нужен этот Зайков?

Ну а для новостных агентств Зайков — это вам не Перельман! Посему открытие Зайкова для СМИ — это не сенсация.

Вот то, что Порошенко дверью ошибся — это да! Это настоящая сенсация!

Томский математик решил проблему, которую не могли решить двести лет

С появлением алгебры ее основной задачей считалось решение алгебраических уравнений. Решение уравнения второй степени было известно еще в Вавилоне и Древнем Египте. Мы проходим такие уравнения в школе. Помните уравнение x2 + ax + b = 0, и дискриминант?

Сергей Зайков с книгой

Решение алгебраических уравнений третьей и четвертой степени было найдено в шестнадцатом веке. Но решить уравнение пятой степени не удалось. Причину нашел Лагранж. Он показал, что решение уравнений третьей и четвертой степени стало возможным потому, что их можно свести к уравнениям, ранее уже решенным. Уравнение третьей степени можно свести к уравнению второй степени, а уравнение четвертой — к уравнению третьей. Но уравнение пятой степени сводится к уравнению шестой, т. е. более сложному, поэтому традиционные методы решения не применимы.

Вопрос о решении уравнения пятой степени сдвинулся с места лишь двести лет назад, когда Абель доказал, что не все уравнения пятой степени можно решить в радикалах, т. е. в квадратных, кубических и иных корнях, известных нам по школе. А Галуа вскоре, т. е. двести лет назад, нашел критерий, позволяющий определить, какие уравнения пятой степени можно решить в радикалах, а какие нет. Он заключается в том, что группа Галуа, разрешимых в радикалах уравнения пятой степени, должна быть либо циклической или метациклической. Но Галуа не нашел способ решения в радикалах тех уравнений пятой степени, которые разрешимы в радикалах. Теория Галуа очень известна, о ней написано много книг.

До сих пор находились лишь частные решения для разрешимых в радикалах уравнений пятой степени. И только в этом году томский математик Сергей Зайков решил задачу, которую не могли решить двести лет. Опубликовал книгу «Как решаются в радикалах алгебраические уравнения пятой степени», в которой указал способ решения для любых уравнений пятой степени, которые разрешимы в радикалах. Зайков — выпускник факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета. Нам удалось взять у него интервью.

— Сергей, почему Вы стали решать эту задачу?

— Мне нужно было решение уравнения пятой степени для решения задачи из другого раздела математики. Я начал выяснять, как его найти, и узнал, что не все из них решаются в радикалах. Тогда я попытался найти в научной литературе способ решения тех уравнений, которые разрешимы в радикалах, но нашел лишь критерий, по которому можно определить, какие разрешимы, а какие нет. Я не алгебраист, но, разумеется, как выпускник ФПМК, умею применять и алгебраические методы. Поэтому я с 2014 г. всерьез начал искать решение и нашел его сам.

Способ был найден мной два года назад, я подготовил книгу, в которой был описан не только он, но и способы решения некоторых уравнений степеней больше пятой. Но у меня не было денег для ее издания. В этом году я решил, что проще опубликовать лишь часть этой работы, и взял только ее половину, посвященную способу решения уравнения пятой степени в радикалах.

Я поставил своей целью публикацию что-то вроде руководства по решению этой задачи, понятной для математиков, которым необходимо решить конкретное уравнение. Поэтому упростил ее, убрав множество длинных формул и значительную часть теории, урезав более чем наполовину, оставив только необходимое. Поэтому у меня получилось что-то вроде книжки «для чайников», по которой математики, не знакомые с теорией Галуа, могут решить нужное им уравнение.

— А как Вы опубликовали книгу, если у Вас раньше не было средств?

— За это большое спасибо Владиславу Бересневу, с которым мы знакомы много лет. Он проспонсировал издание книги.

— Возможно ли получение Вами какой-либо премии по математике за решение этой задачи? Например, Вы упоминали Абеля. А ведь есть Абелевская премия по математике, которую считают аналогом нобелевской?

— Полностью исключить такую возможность нельзя. Но и надеяться на это не стоит.

Например, заявки на кандидатов на Абелевскую премию 2019 г. подаются до 15 сентября. Причем самовыдвижение не допускается. А я математик-одиночка. Нет никаких организаций или известных математиков, которые предложат мою кандидатуру. Поэтому она не будет рассматриваться независимо от того, заслуживает ли моя работа этой премии, и насколько соответствует духу этой премии вручение ее тем, кто продолжает работы Абеля. Но даже в случае, если она будет представлена, все зависит еще и от уровня работ других кандидатов.

Книга рассчитана на тех, кто не знаком с теорией Галуа. Основы теории Галуа даются только в той части, в которой они необходимы для решения уравнения, детально описан способ решения, показаны приемы, упрощающие решение. Значительная часть книги посвящена примеру решения конкретного уравнения. Рецензентами книги являются доктор технических наук Геннадий Петрович Агибалов и доктор физ. мат. наук, профессор Петр Андреевич Крылов.

ПОДГОТОВИЛА АНАСТАСИЯ СКИРНЕВСКАЯ

***

Решение уравнения 5 степени в радикалах. Решение уравнений высших степеней

На канал на youtube нашего сайта сайт, чтобы быть в курсе всех новых видео уроков.

Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.

Произведение числа a
само на себя происходит n раз, это выражение мы можем записать как a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n /a m = a n — m

Степенные или показательные уравнения
– это уравнения в которых переменные находятся в степенях (или показателях), а основанием является число.

Примеры показательных уравнений:

В данном примере число 6 является основанием оно всегда стоит внизу, а переменная x
степенью или показателем.

Приведем еще примеры показательных уравнений.
2 x *5=10
16 x — 4 x — 6=0

Теперь разберем как решаются показательные уравнения?

Возьмем простое уравнение:

2 х = 2 3

Такой пример можно решить даже в уме. Видно, что x=3. Ведь чтобы левая и правая часть были равны нужно вместо x поставить число 3.
А теперь посмотрим как нужно это решение оформить:

2 х = 2 3
х = 3

Для того, чтобы решить такое уравнение, мы убрали одинаковые основания
(то есть двойки) и записали то что осталось, это степени. Получили искомый ответ.

Теперь подведем итоги нашего решения.

Алгоритм решения показательного уравнения:

1. Нужно проверить одинаковые
ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.
2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем
степени и решаем полученное новое уравнение.

Теперь прорешаем несколько примеров:

Начнем с простого.

Основания в левой и правой части равны числу 2, значит мы можем основание отбросить и приравнять их степени.

x+2=4 Получилось простейшее уравнение.
x=4 — 2
x=2
Ответ: x=2

В следующем примере видно, что основания разные это 3 и 9.

3 3х — 9 х+8 = 0

Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:

Теперь нужно сделать одинаковые основания. Мы знаем что 9=3 2 . Воспользуемся формулой степеней (a n) m = a nm .

3 3х = (3 2) х+8

Получим 9 х+8 =(3 2) х+8 =3 2х+16

3 3х = 3 2х+16 теперь видно что в левой и правой стороне основания одинаковые и равные тройке, значит мы их можем отбросить и приравнять степени.

3x=2x+16 получили простейшее уравнение
3x — 2x=16
x=16
Ответ: x=16.

Смотрим следующий пример:

2 2х+4 — 10 4 х = 2 4

В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (a n) m = a nm .

4 х = (2 2) х = 2 2х

И еще используем одну формулу a n a m = a n + m:

2 2х+4 = 2 2х 2 4

Добавляем в уравнение:

2 2х 2 4 — 10 2 2х = 24

Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 2 2х,вот и ответ — 2 2х мы можем вынести за скобки:

2 2х (2 4 — 10) = 24

Посчитаем выражение в скобках:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Все уравнение делим на 6:

Представим 4=2 2:

2 2х = 2 2 основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.
2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаем
х = 1
Ответ: х = 1.

Решим уравнение:

9 х – 12*3 х +27= 0

Преобразуем:
9 х = (3 2) х = 3 2х

Получаем уравнение:
3 2х — 12 3 х +27 = 0

Основания у нас одинаковы равны трем.В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решить методом замены
. Число с наименьшей степенью заменяем:

Тогда 3 2х = (3 х) 2 = t 2

Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:

t 2 — 12t+27 = 0
Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
D=144-108=36
t 1 = 9
t 2 = 3

Возвращаемся к переменной x
.

Берем t 1:
t 1 = 9 = 3 х

Стало быть,

3 х = 9
3 х = 3 2
х 1 = 2

Один корень нашли. Ищем второй, из t 2:
t 2 = 3 = 3 х
3 х = 3 1
х 2 = 1
Ответ: х 1 = 2; х 2 = 1.

На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим.

Вступайте в группу

В общем случае уравнение, имеющее степень выше 4 , нельзя разрешить в радикалах. Но иногда мы все же можем найти корни многочлена, стоящего слева в уравнении высшей степени, если представим его в виде произведения многочленов в степени не более 4 -х. Решение таких уравнений базируется на разложении многочлена на множители, поэтому советуем вам повторить эту тему перед изучением данной статьи.

Чаще всего приходится иметь дело с уравнениями высших степеней с целыми коэффициентами. В этих случаях мы можем попробовать найти рациональные корни, а потом разложить многочлен на множители, чтобы потом преобразовать его в уравнение более низкой степени, которое будет просто решить. В рамках этого материала мы рассмотрим как раз такие примеры.

Уравнения высшей степени с целыми коэффициентами

Все уравнения, имеющие вид a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 , мы можем привести к уравнению той же степени с помощью умножения обеих частей на a n n — 1 и осуществив замену переменной вида y = a n x:

a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 a n n · x n + a n — 1 · a n n — 1 · x n — 1 + … + a 1 · (a n) n — 1 · x + a 0 · (a n) n — 1 = 0 y = a n x ⇒ y n + b n — 1 y n — 1 + … + b 1 y + b 0 = 0

Те коэффициенты, что получились в итоге, также будут целыми. Таким образом, нам нужно будет решить приведенное уравнение n-ной степени с целыми коэффициентами, имеющее вид x n + a n x n — 1 + … + a 1 x + a 0 = 0 .

Вычисляем целые корни уравнения. Если уравнение имеет целые корни, нужно искать их среди делителей свободного члена a 0 . Выпишем их и будем подставлять в исходное равенство по очереди, проверяя результат. Как только мы получили тождество и нашли один из корней уравнения, то можем записать его в виде x — x 1 · P n — 1 (x) = 0 . Здесь x 1 является корнем уравнения, а P n — 1 (x) представляет собой частное от деления x n + a n x n — 1 + … + a 1 x + a 0 на x — x 1 .

Подставляем остальные выписанные делители в P n — 1 (x) = 0 , начав с x 1 , поскольку корни могут повторяться. После получения тождества корень x 2 считается найденным, а уравнение может быть записано в виде (x — x 1) (x — x 2) · P n — 2 (x) = 0 .Здесь P n — 2 (x) будет частным от деления P n — 1 (x) на x — x 2 .

Продолжаем и дальше перебирать делители. Найдем все целые корни и обозначим их количество как m . После этого исходное уравнение можно представить как x — x 1 x — x 2 · … · x — x m · P n — m (x) = 0 . Здесь P n — m (x) является многочленом n — m -ной степени. Для подсчета удобно использовать схему Горнера.

Если у нас исходное уравнение имеет целые коэффициенты, мы не можем получить в итоге дробные корни.

У нас в итоге получилось уравнение P n — m (x) = 0 , корни которого могут быть найдены любым удобным способом. Они могут быть иррациональными или комплексными.

Покажем на конкретном примере, как применяется такая схема решения.

Пример 1

Условие:
найдите решение уравнения x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = 0 .

Решение

Начнем с нахождений целых корней.

У нас есть свободный член, равный минус трем. У него есть делители, равные 1 , — 1 , 3 и — 3 . Подставим их в исходное уравнение и посмотрим, какие из них дадут в итоге тождества.

При x , равном единице, мы получим 1 4 + 1 3 + 2 · 1 2 — 1 — 3 = 0 , значит, единица будет корнем данного уравнения.

Теперь выполним деления многочлена x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 на (х — 1) в столбик:

Значит, x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = x — 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 .

1 3 + 2 · 1 2 + 4 · 1 + 3 = 10 ≠ 0 (- 1) 3 + 2 · (- 1) 2 + 4 · — 1 + 3 = 0

У нас получилось тождество, значит, мы нашли еще один корень уравнения, равный — 1 .

Делим многочлен x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 на (х + 1) в столбик:

Получаем, что

x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = (x — 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) = = (x — 1) (x + 1) (x 2 + x + 3)

Подставляем очередной делитель в равенство x 2 + x + 3 = 0 , начиная с — 1:

1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0

Равенства, полученные в итоге, будут неверными, значит, у уравнения больше нет целых корней.

Оставшиеся корни будут корнями выражения x 2 + x + 3 .

D = 1 2 — 4 · 1 · 3 = — 11

Из этого следует, что у данного квадратного трехчлена нет действительных корней, но есть комплексно сопряженные: x = — 1 2 ± i 11 2 .

Уточним, что вместо деления в столбик можно применять схему Горнера. Это делается так: после того, как мы определили первый корень уравнения, заполняем таблицу.

В таблице коэффициентов мы сразу можем увидеть коэффициенты частного от деления многочленов, значит, x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = x — 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 .

После нахождения следующего корня, равного — 1 , мы получаем следующее:

Ответ:
х = — 1 , х = 1 , x = — 1 2 ± i 11 2 .

Пример 2

Условие:
решите уравнение x 4 — x 3 — 5 x 2 + 12 = 0 .

Решение

У свободного члена есть делители 1 , — 1 , 2 , — 2 , 3 , — 3 , 4 , — 4 , 6 , — 6 , 12 , — 12 .

Проверяем их по порядку:

1 4 — 1 3 — 5 · 1 2 + 12 = 7 ≠ 0 (- 1) 4 — (- 1) 3 — 5 · (- 1) 2 + 12 = 9 ≠ 0 2 4 · 2 3 — 5 · 2 2 + 12 = 0

Значит, x = 2 будет корнем уравнения. Разделим x 4 — x 3 — 5 x 2 + 12 на х — 2 , воспользовавшись схемой Горнера:

В итоге мы получим x — 2 (x 3 + x 2 — 3 x — 6) = 0 .

2 3 + 2 2 — 3 · 2 — 6 = 0

Значит, 2 опять будет корнем. Разделим x 3 + x 2 — 3 x — 6 = 0 на x — 2:

В итоге получим (x — 2) 2 · (x 2 + 3 x + 3) = 0 .

Проверка оставшихся делителей смысла не имеет, поскольку равенство x 2 + 3 x + 3 = 0 быстрее и удобнее решить с помощью дискриминанта.

Решим квадратное уравнение:

x 2 + 3 x + 3 = 0 D = 3 2 — 4 · 1 · 3 = — 3

Получаем комплексно сопряженную пару корней: x = — 3 2 ± i 3 2 .

Ответ
: x = — 3 2 ± i 3 2 .

Пример 3

Условие:
найдите для уравнения x 4 + 1 2 x 3 — 5 2 x — 3 = 0 действительные корни.

Решение

x 4 + 1 2 x 3 — 5 2 x — 3 = 0 2 x 4 + x 3 — 5 x — 6 = 0

Выполняем домножение 2 3 обеих частей уравнения:

2 x 4 + x 3 — 5 x — 6 = 0 2 4 · x 4 + 2 3 x 3 — 20 · 2 · x — 48 = 0

Заменяем переменные y = 2 x:

2 4 · x 4 + 2 3 x 3 — 20 · 2 · x — 48 = 0 y 4 + y 3 — 20 y — 48 = 0

В итоге у нас получилось стандартное уравнение 4 -й степени, которое можно решить по стандартной схеме. Проверим делители, разделим и получим в итоге, что оно имеет 2 действительных корня y = — 2 , y = 3 и два комплексных. Решение целиком здесь мы не будем приводить. В силу замены действительными корнями данного уравнения будут x = y 2 = — 2 2 = — 1 и x = y 2 = 3 2 .

Ответ:
x 1 = — 1 , x 2 = 3 2

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

В XVI веке математики почти случайно натолкнулись на комплексные числа (см. Главу 11). К XVIII веку комплексные числа считались расширением области действительных чисел, но работа с ними все еще приводила к ошибке четности, как в труде Леонарда Э своем великом труде по теории чисел «Арифметические исследования» (1801) избегал использования так называемых «мнимых чисел». Как мне кажется, самая важная часть этой работы — первое доказательство фундаментальной теоремы алгебры. Гаусс понял, насколько важной была эта теорема, создав за последующие годы несколько дополнительных доказательств. В 1849 году он переделал первый вариант, на сей раз использовав комплексные числа. Пользуясь современными терминами, можно сказать, что для любого конечного многочленного уравнения с действительными или комплексными коэффициентами все его корни будут действительными или комплексными числами. Таким образом, мы получаем отрицательный ответ на давний вопрос о том, требует ли решение полиномиальных уравнений высокого порядка создания чисел более высокого порядка, чем комплексные.

Одной из самых тернистых проблем алгебры того времени был вопрос, разрешим ли алгебраическими методами, то есть с помощью конечного числа алгебраических шагов, полиномиал пятого порядка — квинтик. Сейчас в школе учат формулу решения квадратных уравнений, а с XVI века известны аналогичные методы для решения уравнений третьей и четвертой степени (Глава 11). Но для квинтиков не было найдено ни одного метода. Может показаться, что фундаментальная теорема алгебры содержит перспективу положительного ответа, но на самом деле она просто гарантирует, что решения существуют, в ней ничего не говорится о существовании формул, дающих точные решения (к тому времени уже существовали приблизительные числовые и графические методы). И вот появились два математических гения с трагической судьбой.

Нильс Хенрик Абель (1802–1829) родился в большой бедной семье, жившей в маленькой деревушке в Норвегии — стране, разоренной долгими годами войны с Англией и Швецией. Учитель, доброжелательно настроенный к мальчику, давал ему частные уроки, но после смерти отца, в восемнадцать лет, несмотря на юный возраст и хрупкое здоровье, Абель вынужден был содержать семью. В 1824 году он издал научную статью, в которой заявил, что квинтик не разрешим алгебраическими средствами, как, впрочем, и любой полиномиал более высокого порядка. Абель полагал, что эта статья послужит ему пропуском в научный мир, и послал ее Гауссу в университет Геттингена. К сожалению, Гаусс так и не собрался разрезать страницы ножом (в те дни этим приходилось заниматься любому читателю) и не прочитал статью. В 1826 году норвежское правительство наконец выделило Абелю средства для поездки по Европе. Опасаясь, что личное общение с Гауссом не доставит ему большой радости, математик решил не посещать Геттинген и вместо этого поехал в Берлин. Там он подружился с Августом Леопольдом Крелле (1780–1855), математиком, архитектором и инженером, консультировавшим прусское министерство образования по вопросам математики. Крелл собирался основать «Журнал чистой и прикладной математики». Так Абель получил возможность распространить свой труд и много печатался, особенно в ранних номерах «Журнала», который сразу же стал считаться очень престижным и авторитетным научным изданием. Норвежец напечатал там расширенную версию своего доказательства, что квинтик неразрешим алгебраическими методами. А затем уехал в Париж. Эта поездка очень огорчила Абеля, потому что он практически не получил так необходимой ему поддержки французских математиков. Он сблизился с Огюстеном Луи Коши (1789–1857), который в то время был главным светилом математического анализа, но имел очень сложный характер. Как выразился сам Абель, «Коши безумен, и с этим ничего нельзя поделать, хотя в настоящее время он — единственный, кто на что-то способен в математике». Если пытаться искать оправдания проявлениям неуважения и пренебрежения, исходившим от Гаусса и Коши, можно сказать, что квинтик достиг определенной славы и привлекал внимание как уважаемых математиков, так и оригиналов. Абель возвратился в Норвегию, где все сильнее страдал от туберкулеза. Он продолжал посылать свои работы Крелле, но в 1829 году умер, не зная о том, насколько упрочилась его репутация в научном мире. Через два дня после смерти на адрес Абеля пришло предложение занять научную должность в Берлине.

Абель показал, что любой полиномиал выше четвертого порядка не может быть решен с помощью радикалов, вроде корней квадратных, кубических или более высокого порядка. Однако явные условия, при которых в особых случаях эти полиномиалы могли быть решены, и метод их решения сформулировал Галуа. Эварист Галуа (1811–1832) прожил короткую и богатую событиями жизнь. Он был невероятно одаренным математиком. Галуа был неумолим к тем, кого считал менее талантливым, чем он сам, и при этом терпеть не мог социальную несправедливость. Он не выказывал никаких способностей к математике до тех пор, пока не прочитал труд Лежандра «Начала геометрии» (изданная в 1794 году, эта книга в течение последующих ста лет была основным учебником). Затем он буквально проглотил остальные труды Лежандра и, позднее, Абеля. Его энтузиазм, уверенность в себе и нетерпимость привели к поистине ужасным последствиям в его отношениях с преподавателями и экзаменаторами. Галуа принял участие в конкурсе на поступление в Политехническую школу — колыбель французской математики, но из-за неподготовленности провалил экзамен. Некоторое время после знакомства с новым преподавателем, который признал его дарование, ему удавалось держать свой нрав под контролем. В марте 1829 года Галуа издал свою первую статью о непрерывных дробях, которую считал своей самой значительной работой. Он послал сообщение о своих открытиях в Академию наук, и Коши обещал представить их, но забыл. Более того, он просто потерял рукопись.

Второй провал Галуа при поступлении в Политехническую школу вошел в математический фольклор. Он настолько привык постоянно держать в голове сложные математические идеи, что его привели в бешенство мелочные придирки экзаменаторов. Поскольку экзаменаторы с трудом понимали его объяснения, он бросил тряпку для стирания с доски в лицо одному из них. Вскоре после этого умер его отец, покончивший с собой в результате церковных интриг. На его похоронах практически вспыхнул бунт. В феврале 1830 года Галуа написал следующие три статьи, послав их в Академию наук на соискание гран-при по математике. Жозеф Фурье, в то время бывший секретарем академии, умер, так и не прочитав их, и после его смерти статей среди его бумаг не нашли. Такой поток разочарований свалил бы любого. Галуа восстал против власть имущих, потому что чувствовал: они не признавали его достоинств и погубили его отца. Он с головой окунулся в политику, став ярым республиканцем, — не самое мудрое решение во Франции 1830 года. В последней отчаянной попытке он послал научную статью знаменитому французскому физику и математику Симеону Дени Пуассону (1781–1840), который в ответе потребовал дополнительных доказательств.

Это стало последней каплей. В 1831 году Галуа был дважды арестован — в первый раз за то, что якобы призывал к убийству короля Луи Филиппа, а затем ради того, чтобы его защитить, — власти опасались республиканского бунта! На сей раз он был приговорен к шестимесячному заключению по сфабрикованному обвинению в незаконном ношении формы расформированного артиллерийского батальона, в который он поступил. Освобожденный под честное слово, он занялся делом, которое вызывало у него такое же отвращение, как и все остальное в жизни. В письмах к преданному другу Шевалье чувствуется его разочарование. 29 мая 1832 года он принял вызов на дуэль, причины которой до конца не выяснены. «Я пал жертвой бесчестной кокетки. Моя жизнь гаснет в жалкой ссоре», — пишет он в «Письме всем республиканцам». Самая известная работа Галуа была набросана в ночь перед роковым поединком. На полях рассыпаны жалобы: «У меня больше нет времени, у меня больше нет времени». Он вынужден был оставить другим подробное изложение промежуточных шагов, которые были несущественны для понимания основной идеи. Ему необходимо было выплеснуть на бумагу основу своих открытий — истоки того, что ныне называют теоремой Галуа. Он закончил свое завещание, попросив Шевалье «обратиться к Якоби и Гауссу с просьбой публично высказать свое мнение не относительно правильности, а относительно важности этих теорем». Ранним утром Галуа отправился на встречу со своим соперником. Они должны были стреляться с расстояния в 25 шагов. Галуа был ранен и умер в больнице на следующее утро. Ему было всего двадцать лет.

Галуа опирался на работы Лагранжа и Коши, однако он разработал более общий метод. Это было крайне важное достижение в области решения квинтиков. Ученый уделял меньше внимания исходным уравнениям или графической интерпретации, а больше думал о природе самих корней. Для упрощения Галуа рассматривал только так называемые неприводимые квинтики, то есть те, которые не могли быть разложены на множители в виде полиномиалов более низкого порядка (как мы сказали, для любых полиномиальных уравнений до четвертого порядка есть формулы нахождения их корней). Вообще неприводимый многочлен с рациональными коэффициентами — это полиномиал, который не может быть разложен на более простые многочлены, имеющие рациональные коэффициенты. Например, (x 5 — 1)
может быть разложен на множители (х-1)(x 4 + х 3 + х 2 + х + 1),
тогда как (x 5 — 2)
неприводим. Цель Галуа состояла в том, чтобы определить условия, при которых все решения общего неприводимого многочленного уравнения могут быть найдены в терминах радикалов.

Ключ к решению заключается в том, что корни любого неприводимого алгебраического уравнения не независимы, они могут быть выражены один через другой. Эти соотношения были формализованы в группу всех возможных перестановок, так называемую группу симметрии корней — для квинтика эта группа содержит 5! = 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 120 элементов. Математические алгоритмы теории Галуа очень сложны, и, скорее всего, отчасти именно вследствие этого их поначалу понимали с большим трудом. Но после того как уровень абстракции позволил перейти от алгебраических решений уравнений к алгебраической структуре связанных с ними групп, Галуа смог предсказать разрешимость уравнения на основании свойств таких групп. Более того, его теория также обеспечила метод, которым можно было найти сами эти корни. Что касается квинтиков, то математик Жозеф Лиувилль (1809–1882), который в 1846 году издал большую часть работ Галуа в своем «Журнале чистой и прикладной математики», отметил, что молодой ученый доказал «красивую теорему», и для того, «чтобы неприводимое уравнение исходной степени было разрешимо в терминах радикалов, необходимо и достаточно, чтобы все его корни были рациональными функциями любых двух из них». Поскольку для квинтика это невозможно, он не может быть решен с помощью радикалов.

За три года математический мир потерял две самые яркие новые звезды. Последовали взаимные обвинения и переоценка ценностей, и Абель и Галуа добились заслуженного признания, но лишь посмертно. В 1829 году Карл Якоби через Лежандра узнал о «потерянной» рукописи Абеля, и в 1830 году разразился дипломатический скандал, когда норвежский консул в Париже потребовал отыскать статью своего соотечественника. В конце концов Коши нашел статью, но лишь затем, чтобы ее снова потеряли в редакции академии! В том же году Абелю был присужден Гран-при по математике (совместно с Якоби) — но он был уже мертв. В 1841 году была издана его биография. В 1846 году Лиувилль отредактировал некоторые из рукописей Галуа для публикации и во введении выразил сожаление, что первоначально академия отвергла работу Галуа из-за ее сложности, — «действительно, необходима ясность изложения, когда автор уводит читателя с избитого пути на неизведанные дикие территории». Он продолжает: «Галуа больше нет! Не будем впадать в бесполезный критицизм. Давайте отбросим недостатки и посмотрим на достоинства!» Плоды краткой жизни Галуа умещаются всего на шестидесяти страницах. Редактор математического журнала для кандидатов в Эколь Нормаль и Политехническую школу прокомментировал дело Галуа следующим образом: «Соискатель с высоким интеллектом был отсеян экзаменатором с более низким уровнем мышления. Barbarus hic ego sum, quia non intelligor illis ».

Прежде всего, вторая страница этой работы не обременена именами, фамилиями, описаниями положения в обществе, титулами и элегиями в честь некоего скупого принца, кошелек которого будет открыт с помощью этих фимиамов — с угрозой закрыть его, когда восхваления закончатся. Вы не увидите здесь почтительных восхвалений, написанных буквами втрое большими, чем сам текст, обращенных к тем, кто обладает высоким положением в науке, некоему мудрому покровителю — нечто обязательное (я бы сказал, неизбежное) для кого-то в возрасте двадцати лет, кто хочет что-то написать. Я не говорю здесь никому, что я обязан их совету и поддержке всем хорошим, что есть в моей работе. Я не говорю этого потому, что это было бы ложью. Если бы мне пришлось упомянуть кого-либо из великих в обществе или в науке (в настоящее время различие между этими двумя классами людей практически незаметно), клянусь, это не было бы знаком благодарности. Я обязан им тем, что я издал первые из этих двух статей столь поздно, и тем, что написал все это в тюрьме — в месте, которое вряд ли можно считать подходящим для научных размышлений, и я часто поражаюсь своей сдержанности и способности держать рот на замке по отношению к тупым и злобным зоилам. Мне кажется, я могу использовать слово «зоилы» без опасения быть обвиненным в неблагопристойности, поскольку именно так я именую моих оппонентов. Я не собираюсь писать здесь о том, как и почему я был отправлен в тюрьму, но я должен сказать, что мои рукописи чаще всего просто терялись в папках господ членов академии, хотя, по правде говоря, я не могу представить себе подобной неосмотрительности со стороны людей, на совести которых смерть Абеля. На мой взгляд, любой хотел бы, чтобы его сравнивали с этим блестящим математиком. Достаточно сказать, что моя статья по теории уравнений была направлена в Академию наук в феврале 1830 года, что извлечения из нее были посланы в феврале 1829 года, и при этом ничего из этого не было напечатано, и даже рукопись оказалось невозможно возвратить.

Галуа,

неопубликованное предисловие, 1832 год

Класс:

9

Основные цели:

  1. Закрепить понятие целого рационального уравнения -й степени.
  2. Сформулировать основные методы решения уравнений высших степеней (n >

    3).
  3. Обучить основным методам решения уравнений высших степеней.
  4. Научить по виду уравнения определять наиболее эффективный способ его
    решения.

Формы, методы и педагогические приемы, которые используются учителем на
уроке:

  • Лекционно-семинарская система обучения (лекции – объяснение нового
    материала, семинары – решение задач).
  • Информационно-коммуникационные технологии (фронтальный опрос, устная
    работа с классом).
  • Дифференцированное обучение, групповые и индивидуальные формы.
  • Использование исследовательского метода в обучении, направленного на
    развитие математического аппарата и мыслительных способностей каждого
    конкретного ученика.
  • Печатный материал – индивидуальный краткий конспект урока (основные
    понятия, формулы, утверждения, материал лекций сжато в виде схем или таблиц).

План урока:

  1. Организационный момент.
    Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность, определить
    содержательные рамки урока.
  2. Актуализация знаний учащихся.
    Цель этапа: актуализировать знания учащихся по изученным ранее смежным темам
  3. Изучение новой темы (лекция). Цель этапа: сформулировать основные методы
    решения уравнений высших степеней (n >
    3)
  4. Подведение итогов.
    Цель этапа: еще раз выделить ключевые моменты в материале, изученном на
    уроке.
  5. Домашнее задание.
    Цель этапа: сформулировать домашнее задание для учащихся.

Конспект урока

1. Организационный момент.

Формулировка темы урока: “Уравнения высших степеней. Методы их решения”.

2. Актуализация знаний учащихся.

Теоретический опрос – беседа. Повторение некоторых ранее изученных сведений
из теории. Учащиеся формулируют основные определения и дают формулировки
необходимых теорем. Приводят примеры, демонстрируя уровень полученных ранее
знаний.

  • Понятие уравнения с одной переменной.
  • Понятие корня уравнения, решения уравнения.
  • Понятие линейного уравнения с одной переменной, понятие квадратного
    уравнения с одной переменной.
  • Понятие равносильности уравнений, уравнения-следствия (понятие
    посторонних корней), переход не по следствию (случай потери корней).
  • Понятие целого рационального выражения с одной переменной.
  • Понятие целого рационального уравнения n
    -й степени. Стандартный
    вид целого рационального уравнения. Приведенное целое рациональное уравнение.
  • Переход к совокупности уравнений более низких степеней путем разложения
    исходного уравнения на множители.
  • Понятие многочлена n
    -й степени от x
    . Теорема Безу.
    Следствия из теоремы Безу. Теоремы о корнях (Z
    -корни и Q
    -корни)
    целого рационального уравнения с целыми коэффициентами (соответственно
    приведенного и неприведенного).
  • Схема Горнера.

3. Изучение новой темы.

Будем рассматривать целое рациональное уравнение n
-й степени
стандартного вида с одной неизвестной переменной x: P n (x)
= 0
, где P n (x) = a n x n + a n-1 x n-1
+ a 1 x + a 0
– многочлен n
-й степени от x
,
a
n ≠ 0
. Если a
n
= 1 то такое уравнение называют приведенным целым рациональным уравнением
n
-й степени. Рассмотрим такие уравнения при различных значениях n

и перечислим основные методы их решения.

n
= 1 – линейное уравнение.

n
= 2 – квадратное уравнение.
Формула дискриминанта. Формула
для вычисления корней. Теорема Виета. Выделение полного квадрата.

n
= 3 – кубическое уравнение.

Метод группировки.

Пример: x 3 – 4x 2 – x
+ 4 = 0
(x – 4)(x 2
– 1) = 0

x
1 = 4 , x 2
= 1, x
3 = -1.

Возвратное кубическое уравнение вида ax
3 + bx
2
+ bx
+ a
= 0. Решаем, объединяя члены с одинаковыми
коэффициентами.

Пример: x
3 – 5x
2 – 5x
+ 1 = 0
(x
+ 1)(x
2 – 6x
+ 1) = 0
x
1 = -1, x
2 = 3 + 2,
x
3 = 3 – 2.

Подбор Z-корней на основании теоремы.
Схема Горнера. При применении этого метода необходимо сделать акцент на том, что
перебор в данном случае конечный, и корни мы подбираем по определенному
алгоритму в соответствии с теоремой о Z
-корнях приведенного целого
рационального уравнения с целыми коэффициентами.

Пример: x
3 – 9x
2 + 23x
– 15 = 0.
Уравнение приведенное. Выпишем делители свободного члена {+
1; +
3;
+
5; +
15}. Применим схему Горнера:

x
3
x
2
x
1
x
0
вывод
1 -9 23 -15
1
1 1 х 1 – 9 = -8 1 х (-8) + 23 = 15 1 х 15 – 15 = 0 1 – корень
x
2
x
1
x
0

Получаем
(x
– 1)(x
2 – 8x
+ 15) = 0
x
1 = 1, x
2 = 3, x
3 = 5.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Q-корней на основании теоремы.
Схема Горнера. При применении этого метода необходимо сделать акцент на том, что
перебор в данном случае конечный и корни мы подбираем по определенному алгоритму
в соответствии с теоремой о Q
-корнях неприведенного целого рационального
уравнения с целыми коэффициентами.

Пример: 9x
3 + 27x
2 – x
– 3 = 0.
Уравнение неприведенное. Выпишем делители свободного члена {+
1; +
3}.
Выпишем делители коэффициента при старшей степени неизвестного. {+
1; +
3;
+
9} Следовательно, корни будем искать среди значений {+
1; +
;
+
;
+
3}. Применим схему Горнера:

x
3
x
2
x
1
x
0
вывод
9 27 -1 -3
1
9 1 x 9 + 27 = 36 1 x 36 – 1 = 35 1 x 35 – 3 = 32 ≠
0
1 – не корень
-1
9 -1 x 9 + 27 = 18 -1 x 18 – 1 = -19 -1 x (-19) – 3 = 16 ≠
0
-1 – не корень
9 x 9 + 27 = 30 x 30 – 1 = 9 x 9 – 3 = 0 корень
x
2
x
1
x
0

Получаем
(x

)(9x
2
+ 30x
+ 9) = 0
x
1 =
,
x
2 = —
, x
3 = -3.

Для удобства подсчета при подборе Q-корней
бывает удобно сделать
замену переменной, перейти к приведенному уравнению и подбирать Z-корни
.

  • Если свободный член равен 1

.

  • Если можно воспользоваться заменой вида y = kx

.

Формула Кардано. Существует универсальный метод решения кубических
уравнений – это формула Кардано. Эту формулу связывают с именами итальянских
математиков Джероламо Кардано (1501–1576), Николо Тарталья (1500–1557), Сципиона
дель Ферро (1465–1526). Эта формула лежит за рамками нашего курса.

n
= 4 – уравнение четвертой степени.

Метод группировки.

Пример: x
4 + 2x
3 + 5x
2
+ 4x
– 12 = 0
(x
4 + 2x
3) + (5x
2 + 10x
)
– (6x
+ 12) = 0
(x
+ 2)(x
3 + 5x –
6) = 0
(x
+ 2)(x
– 1)(x
2 + x
+ 6) = 0
x
1 = -2, x
2 = 1.

Метод замены переменной.

  • Биквадратное уравнение вида ax
    4 + bx
    2
    + с = 0
    .

Пример: x
4 + 5x
2
– 36 = 0. Замена y
= x
2 . Отсюда y
1 =
4, y
2 = -9. Поэтому x
1,2 = +
2 .

  • Возвратное уравнение четвертой степени вида ax
    4 +
    bx
    3 + cx
    2 + bx
    + a
    = 0.

Решаем, объединяя члены с одинаковыми коэффициентами, путем замены вида

  • ax
    4
    + bx
    3 + cx
    2 – bx
    + a
    = 0.

  • Обобщенное возвратное уравнение четвертой степени вида ax
    4
    + bx
    3 + cx
    2 + kbx

    + k 2
    a = 0
    .

  • Замена общего вида. Некоторые стандартные замены.

Пример 3.
Замена общего вида
(вытекает из вида конкретного
уравнения).

n
= 3.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Q-корней
n
=
3.

Формула общего вида. Существует универсальный метод решения уравнений
четвертой степени. Эту формулу связывают с именем Людовико Феррари (1522–1565).
Эта формула лежит за рамками нашего курса.

n
>
5 – уравнения пятой и более высоких степеней.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Z-корней на основании теоремы.
Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n
= 3.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Q-корней
на основании
теоремы. Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n
=
3.

Симметрические уравнения. Любое возвратное уравнение нечетной степени
имеет корень x
= -1 и после разложения его на множители получаем, что
один сомножитель имеет вид (x
+ 1), а второй сомножитель – возвратное
уравнение четной степени (его степень на единицу меньше, чем степень исходного
уравнения). Любое возвратное уравнение четной степени вместе с корнем вида x
= φ

содержит и корень вида
.
Используя эти утверждения, решаем задачу, понижая степень исследуемого уравнения.

Метод замены переменной. Использование однородности.

Не существует формулы общего вида для решения целых уравнений пятой
степени (это показали итальянский математик Паоло Руффини (1765–1822) и
норвежский математик Нильс Хенрик Абель (1802–1829)) и более высоких степеней (это
показал французский математик Эварист Галуа (1811–1832)).

  • Напомним еще раз, что на практике возможно использование комбинации

    перечисленных выше методов. Удобно переходить к совокупности уравнений более
    низких степеней путем разложения исходного уравнения на множители
    .
  • За рамками нашего сегодняшнего обсуждения остались широко используемые
    на практике графические методы
    решения уравнений и методы
    приближенного решения
    уравнений высших степеней.
  • Бывают ситуации, когда у уравнения нет R-корней.
  • Тогда решение
    сводится к тому, чтобы показать, что уравнение корней не имеет. Для
    доказательства анализируем поведение рассматриваемых функций на промежутках
    монотонности. Пример: уравнение x
    8 – x
    3
    + 1 = 0 не имеет корней.

  • Использование свойства монотонности функций
  • . Бывают ситуации, когда
    использование различных свойств функций позволяет упростить поставленную
    задачу.
    Пример 1: уравнение x
    5 + 3x
    – 4 = 0 имеет
    один корень x
    = 1. По свойству монотонности анализируемых функций
    других корней нет.
    Пример 2: уравнение x
    4 + (x
    – 1) 4
    = 97 имеет корни x
    1 = -2 и x
    2 = 3.
    Проанализировав поведение соответствующих функций на промежутках
    монотонности, заключаем, что других корней нет.

4. Подведение итогов.

Резюме: Теперь мы овладели основными методами решения различных уравнений
высших степеней (для n >
3).
Наша задача научиться эффективно использовать перечисленные выше алгоритмы. В
зависимости от вида уравнения мы должны будем научиться определять, какой способ
решения в данном случае является наиболее эффективным, а также правильно
применять выбранный метод.

5. Домашнее задание.

: п.7, стр. 164–174, №№ 33–36,
39–44, 46,47.

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12,
9.14–9.16, 9.24–9.27.

Возможные темы докладов или рефератов по данной тематике:

  • Формула Кардано
  • Графический метод решения уравнений. Примеры решения.
  • Методы приближенного решения уравнений.

Анализ усвоения материала и интереса учащихся к теме:

Опыт показывает, что интерес учащихся в первую очередь вызывает возможность
подбора Z
-корней и Q
-корней уравнений при помощи достаточно
простого алгоритма с использованием схемы Горнера. Также учащиеся интересуются
различными стандартными типами замены переменных, которые позволяют существенно
упрощать вид задачи. Особый интерес обычно вызывают графические методы решения.
В этом случае дополнительно можно разобрать задачи на графический метод решения
уравнений; обсудить общий вид графика для многочлена 3, 4, 5 степени;
проанализировать, как связано число корней уравнений 3, 4, 5 степени с видом
соответствующего графика. Ниже приведен список книг, в которых можно найти
дополнительную информацию по данной тематике.

Список литературы:

  1. Виленкин Н.Я.
    и др. “Алгебра. Учебник для учащихся 9 классов с
    углубленным изучением математики” – М., Просвещение, 2007 – 367 с.
  2. Виленкин Н.Я., Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф.
    “За страницами
    учебника математики. Арифметика. Алгебра. 10-11 класс” – М., Просвещение,
    2008 – 192 с.
  3. Выгодский М.Я.
    “Справочник по математике” – М., АСТ, 2010 – 1055
    с.
  4. Галицкий М.Л.
    “Сборник задач по алгебре. Учебное пособие для 8-9
    классов с углубленным изучением математики” – М., Просвещение, 2008 – 301 с.
  5. Звавич Л.И.
    и др. “Алгебра и начала анализа. 8–11
    кл. Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики” – М.,
    Дрофа, 1999 – 352 с.
  6. Звавич Л.И., Аверьянов Д.И., Пигарев Б.П., Трушанина Т.Н.

    “Задания по математике для подготовки к письменному экзамену в 9 классе” –
    М., Просвещение, 2007 – 112 с.
  7. Иванов А.А., Иванов А.П.
    “Тематические тесты для систематизации
    знаний по математике” ч.1 – М., Физматкнига, 2006 – 176 с.
  8. Иванов А.А., Иванов А.П.
    “Тематические тесты для систематизации
    знаний по математике” ч.2 – М., Физматкнига, 2006 – 176 с.
  9. Иванов А.П.
    “Тесты и контрольные работы по математике. Учебное
    пособие”. – М., Физматкнига, 2008 – 304 с.
  10. Лейбсон К.Л.
    “Сборник практических заданий по математике. Часть
    2–9 класс” – М., МЦНМО, 2009 – 184 с.
  11. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г.
    “Алгебра. Дополнительные главы к
    школьному учебнику 9 класса. Учебное пособие для учащихся школ и классов с
    углубленным изучением математики.” – М., Просвещение, 2006 – 224 с.
  12. Мордкович А.Г.
    “Алгебра. Углубленное изучение. 8 класс. Учебник”
    – М., Мнемозина, 2006 – 296 с.
  13. Савин А.П.
    “Энциклопедический словарь юного математика” – М.,
    Педагогика, 1985 – 352 с.
  14. Сурвилло Г.С., Симонов А.С.
    “Дидактические материалы по алгебре
    для 9 класса с углубленным изучением математики” – М., Просвещение, 2006 –
    95 с.
  15. Чулков П.В.
    “Уравнения и неравенства в школьном курсе математик.
    Лекции 1–4” – М., Первое сентября, 2006 – 88 с.
  16. Чулков П.В.
    “Уравнения и неравенства в школьном курсе математик.
    Лекции 5–8” – М., Первое сентября, 2009 – 84 с.

Рассмотрим решения уравнений с одной переменной степени выше второй.

Степенью уравнения Р(х) = 0 называется степень многочлена Р(х), т.е. наибольшая из степеней его членов с коэффициентом, не равным нулю.

Так, например, уравнение (х 3 – 1) 2 + х 5 = х 6 – 2 имеет пятую степень, т.к. после операций раскрытия скобок и приведения подобных получим равносильное уравнение х 5 – 2х 3 + 3 = 0 пятой степени.

Вспомним правила, которые понадобятся для решения уравнений степени выше второй.

Утверждения о корнях многочлена и его делителях:

1.
Многочлен n-й степени имеет число корней не превышающее число n, причем корни кратности m встречаются ровно m раз.

2.
Многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.

3.
Если α – корень Р(х), то Р n (х) = (х – α) · Q n – 1 (x), где Q n – 1 (x) – многочлен степени (n – 1).

4.

5.
Приведенный многочлен с целыми коэффициентами не может иметь дробных рациональных корней.

6.
Для многочлена третьей степени

Р 3 (х) = ах 3 + bx 2 + cx + d возможно одно из двух: либо он разлагается в произведение трех двучленов

Р 3 (x) = а(х – α)(х – β)(х – γ), либо разлагается в произведение двучлена и квадратного трехчлена Р 3 (x) = а(х – α)(х 2 + βх + γ).

7.
Любой многочлен четвертой степени раскладывается в произведение двух квадратных трехчленов.

8.
Многочлен f(x) делится на многочлен g(х) без остатка, если существует многочлен q(x), что f(x) = g(x) · q(x). Для деления многочленов применяется правило «деления уголком».

9.
Для делимости многочлена P(x) на двучлен (x – c) необходимо и достаточно, чтобы число с было корнем P(x) (Следствие теоремы Безу).

10.
Теорема Виета: Если х 1 , х 2 , …, х n – действительные корни многочлена

Р(х) = а 0 х n + а 1 х n — 1 + … + а n , то имеют место следующие равенства:

х 1 + х 2 + … + х n = -а 1 /а 0 ,

х 1 · х 2 + х 1 · х 3 + … + х n – 1 · х n = a 2 /а 0 ,

х 1 · х 2 · х 3 + … + х n – 2 · х n – 1 · х n = -a 3 / а 0 ,

х 1 · х 2 · х 3 · х n = (-1) n a n / а 0 .

Решение примеров

Пример 1.

Найти остаток от деления Р(х) = х 3 + 2/3 x 2 – 1/9 на (х – 1/3).

Решение.

По следствию из теоремы Безу: «Остаток от деления многочлена на двучлен (х – с) равен значению многочлена от с». Найдем Р(1/3) = 0. Следовательно, остаток равен 0 и число 1/3 – корень многочлена.

Ответ: R = 0.

Пример 2.

Разделить «уголком» 2х 3 + 3x 2 – 2х + 3 на (х + 2). Найти остаток и неполное частное.

Решение:

2х 3 + 3x 2 – 2х + 3| х + 2

2х 3 + 4
x 2
2x 2 – x

X 2 – 2
x

Ответ: R = 3; частное: 2х 2 – х.

Основные методы решения уравнений высших степеней

1. Введение новой переменной

Метод введения новой переменной уже знаком на примере биквадратных уравнений. Он заключается в том, что для решения уравнения f(x) = 0 вводят новую переменную (подстановку) t = x n или t = g(х) и выражают f(x) через t, получая новое уравнение r(t). Решая затем уравнение r(t), находят корни:

(t 1 , t 2 , …, t n). После этого получают совокупность n уравнений q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , … , q(x) = t n , из которых находят корни исходного уравнения.

Пример 1.

(х 2 + х + 1) 2 – 3х 2 – 3x – 1 = 0.

Решение:

(х 2 + х + 1) 2 – 3(х 2 + x) – 1 = 0.

(х 2 + х + 1) 2 – 3(х 2 + x + 1) + 3 – 1 = 0.

Замена (х 2 + х + 1) = t.

t 2 – 3t + 2 = 0.

t 1 = 2, t 2 = 1. Обратная замена:

х 2 + х + 1 = 2 или х 2 + х + 1 = 1;

х 2 + х — 1 = 0 или х 2 + х = 0;

Ответ: Из первого уравнения: х 1, 2 = (-1 ± √5)/2, из второго: 0 и -1.

2. Разложение на множители методом группировки и формул сокращенного умножения

Основа данного метода также не нова и заключается в группировке слагаемых таким образом, чтобы каждая группа содержала общий множитель. Для этого иногда приходится применять некоторые искусственные приемы.

Пример 1.

х 4 – 3x 2 + 4х – 3 = 0.

Решение.

Представим — 3x 2 = -2x 2 – x 2 и сгруппируем:

(х 4 – 2x 2) – (x 2 – 4х + 3) = 0.

(х 4 – 2x 2 +1 – 1) – (x 2 – 4х + 3 + 1 – 1) = 0.

(х 2 – 1) 2 – 1 – (x – 2) 2 + 1 = 0.

(х 2 – 1) 2 – (x – 2) 2 = 0.

(х 2 – 1 – х + 2)(х 2 – 1 + х — 2) = 0.

(х 2 – х + 1)(х 2 + х – 3) = 0.

х 2 – х + 1 = 0 или х 2 + х – 3 = 0.

Ответ: В первом уравнении нет корней, из второго: х 1, 2 = (-1 ± √13)/2.

3. Разложение на множитель методом неопределенных коэффициентов

Суть метода состоит в том, что исходный многочлен раскладывается на множители с неизвестными коэффициентами. Используя свойство, что многочлены равны, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях, находят неизвестные коэффициенты разложения.

Пример 1.

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = 0.

Решение.

Многочлен 3-й степени можно разложить в произведение линейного и квадратного множителей.

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = (х – а)(x 2 + bх + c),

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = х 3 +bx 2 + cх – ax 2 – abх – ac,

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = х 3 + (b – a)x 2 + (cх – ab)х – ac.

Решив систему:

{b – a = 4,
{c – ab = 5,
{-ac = 2,

{a = -1,
{b = 3,
{c = 2, т.е.

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = (х + 1)(x 2 + 3х + 2).

Корни уравнения (х + 1)(x 2 + 3х + 2) = 0 находятся легко.

Ответ: -1; -2.

4. Метод подбора корня по старшему и свободному коэффициенту

Метод опирается на применение теорем:

1)
Всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена.

2)
Для того, чтобы несократимая дробь p/q (p – целое, q – натуральное) была корнем уравнения с целыми коэффициентами, необходимо, чтобы число p было целым делителем свободного члена а 0 , а q – натуральным делителем старшего коэффициента.

Пример 1.

6х 3 + 7x 2 – 9х + 2 = 0.

Решение:

6: q = 1, 2, 3, 6.

Следовательно, p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

Найдя один корень, например – 2, другие корни найдем, используя деление уголком, метод неопределенных коэффициентов или схему Горнера.

Ответ: -2; 1/2; 1/3.

Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Лекция по теме «Уравнения высших степеней. Методы их решения». 9-й класс

Основные цели:

  1. Закрепить понятие целого рационального уравнения -й степени.
  2. Сформулировать основные методы решения уравнений высших степеней (n >
    3).
  3. Обучить основным методам решения уравнений высших степеней.
  4. Научить по виду уравнения определять наиболее эффективный способ его
    решения.

Формы, методы и педагогические приемы, которые используются учителем на
уроке:

  • Лекционно-семинарская система обучения (лекции – объяснение нового
    материала, семинары – решение задач).
  • Информационно-коммуникационные технологии (фронтальный опрос, устная
    работа с классом).
  • Дифференцированное обучение, групповые и индивидуальные формы.
  • Использование исследовательского метода в обучении, направленного на
    развитие математического аппарата и мыслительных способностей каждого
    конкретного ученика.
  • Печатный материал – индивидуальный краткий конспект урока (основные
    понятия, формулы, утверждения, материал лекций сжато в виде схем или таблиц).

План урока:

  1. Организационный момент.

    Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность, определить
    содержательные рамки урока.
  2. Актуализация знаний учащихся.

    Цель этапа: актуализировать знания учащихся по изученным ранее смежным темам
  3. Изучение новой темы (лекция). Цель этапа: сформулировать основные методы
    решения уравнений высших степеней (n > 3)
  4. Подведение итогов.

    Цель этапа: еще раз выделить ключевые моменты в материале, изученном на
    уроке.
  5. Домашнее задание.

    Цель этапа: сформулировать домашнее задание для учащихся.

Конспект урока


1. Организационный момент.

Формулировка темы урока: “Уравнения высших степеней. Методы их решения”.


2. Актуализация знаний учащихся.

Теоретический опрос – беседа. Повторение некоторых ранее изученных сведений
из теории. Учащиеся формулируют основные определения и дают формулировки
необходимых теорем. Приводят примеры, демонстрируя уровень полученных ранее
знаний.

  • Понятие уравнения с одной переменной.
  • Понятие корня уравнения, решения уравнения.
  • Понятие линейного уравнения с одной переменной, понятие квадратного
    уравнения с одной переменной.
  • Понятие равносильности уравнений, уравнения-следствия (понятие
    посторонних корней), переход не по следствию (случай потери корней).
  • Понятие целого рационального выражения с одной переменной.
  • Понятие целого рационального уравнения n-й степени. Стандартный
    вид целого рационального уравнения. Приведенное целое рациональное уравнение.
  • Переход к совокупности уравнений более низких степеней путем разложения
    исходного уравнения на множители.
  • Понятие многочлена n-й степени от x. Теорема Безу.
    Следствия из теоремы Безу. Теоремы о корнях (Z-корни и Q-корни)
    целого рационального уравнения с целыми коэффициентами (соответственно
    приведенного и неприведенного).
  • Схема Горнера.


3. Изучение новой темы.

Будем рассматривать целое рациональное уравнение n-й степени
стандартного вида с одной неизвестной переменной x : Pn(x) = 0
, где Pn(x) = anxn + an-1xn-1
+ a1x + a0
– многочлен n-й степени от x,
an≠ 0. Если an
= 1 то такое уравнение называют приведенным целым рациональным уравнением
n-й степени. Рассмотрим такие уравнения при различных значениях n
и перечислим основные методы их решения.

n = 1 – линейное уравнение.

n = 2 – квадратное уравнение. Формула дискриминанта. Формула
для вычисления корней. Теорема Виета. Выделение полного квадрата.

n = 3 – кубическое уравнение.

Метод группировки.

Пример: x3 – 4x2 – x + 4 = 0

(x – 4)(x2
– 1) = 0
x1 = 4 , x2 = 1, x3 = -1.


Возвратное кубическое уравнение вида ax3 + bx2
+ bx + a = 0. Решаем, объединяя члены с одинаковыми
коэффициентами.

Пример: x3 – 5x2 – 5x + 1 = 0

(x + 1)(x2 – 6x + 1) = 0
x1 = -1, x2 = 3 + 2,
x3 = 3 – 2.


Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Z-корней на основании теоремы.
Схема Горнера. При применении этого метода необходимо сделать акцент на том, что
перебор в данном случае конечный, и корни мы подбираем по определенному
алгоритму в соответствии с теоремой о Z-корнях приведенного целого
рационального уравнения с целыми коэффициентами.

Пример: x3 – 9x2 + 23x – 15 = 0.
Уравнение приведенное. Выпишем делители свободного члена {+1; +3;
+5; +15}. Применим схему Горнера:





x3 x2 x1 x0 вывод
1 -9 23 -15
1 1 1 х 1 – 9 = -8 1 х (-8) + 23 = 15 1 х 15 – 15 = 0 1 – корень
x2 x1 x0

Получаем

(x – 1)(x2 – 8x + 15) = 0
x1 = 1, x2 = 3, x3 = 5.


Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Q-корней на основании теоремы.
Схема Горнера. При применении этого метода необходимо сделать акцент на том, что
перебор в данном случае конечный и корни мы подбираем по определенному алгоритму
в соответствии с теоремой о Q-корнях неприведенного целого рационального
уравнения с целыми коэффициентами.

Пример: 9x3 + 27x2x – 3 = 0.
Уравнение неприведенное. Выпишем делители свободного члена {+1; +3}.
Выпишем делители коэффициента при старшей степени неизвестного. {+1; +3;
+9} Следовательно, корни будем искать среди значений {+1; +;
+;
+3}. Применим схему Горнера:







x3 x2 x1 x0 вывод
9 27 -1 -3
1 9 1 x 9 + 27 = 36 1 x 36 – 1 = 35 1 x 35 – 3 = 32 ≠ 0 1 – не корень
-1 9 -1 x 9 + 27 = 18 -1 x 18 – 1 = -19 -1 x (-19) – 3 = 16 ≠
0
-1 – не корень
9

x 9 + 27 = 30


x 30 – 1 = 9


x 9 – 3 = 0
корень
x2 x1 x0

Получаем

(x
)(9x2
+ 30x + 9) = 0
x1 =
,
x2 = —
, x3 = -3.

Для удобства подсчета при подборе Q-корней бывает удобно сделать
замену переменной, перейти к приведенному уравнению и подбирать Z-корни.

  • Если свободный член равен 1

.

  • Если можно воспользоваться заменой вида y = kx

.


Формула Кардано. Существует универсальный метод решения кубических
уравнений – это формула Кардано. Эту формулу связывают с именами итальянских
математиков Джероламо Кардано (1501–1576), Николо Тарталья (1500–1557), Сципиона
дель Ферро (1465–1526). Эта формула лежит за рамками нашего курса.

n = 4 – уравнение четвертой степени.

Метод группировки.

Пример: x4 + 2x3 + 5x2
+ 4x – 12 = 0

(x4 + 2x3) + (5x2 + 10x)
– (6x + 12 ) = 0

(x + 2)(x3 + 5x – 6) = 0

(x + 2)(x – 1)(x2 + x + 6) = 0

x1 = -2, x2 = 1.


Метод замены переменной.

  • Биквадратное уравнение вида ax4 + bx2
    + с = 0.

Пример: x4 + 5x2
– 36 = 0. Замена y = x2. Отсюда y1 =
4, y2 = -9. Поэтому x1,2 = +2 .

  • Возвратное уравнение четвертой степени вида ax4 +
    bx
    3 + cx2 + bx + a = 0.

Решаем, объединяя члены с одинаковыми коэффициентами, путем замены вида

  • Обобщенное возвратное уравнение четвертой степени вида ax4
    + bx3 + cx2bx + a = 0.

  • Обобщенное возвратное уравнение четвертой степени вида ax4
    + bx3 + cx2 + kbx
    + k2a = 0
    .

  • Замена общего вида. Некоторые стандартные замены.


Пример 1:


Пример 3. Замена общего вида (вытекает из вида конкретного
уравнения).


Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Z-корней на основании теоремы.
Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 3.


Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Q-корней на основании
теоремы. Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n =
3.


Формула общего вида. Существует универсальный метод решения уравнений
четвертой степени. Эту формулу связывают с именем Людовико Феррари (1522–1565).
Эта формула лежит за рамками нашего курса.

n > 5 – уравнения пятой и более высоких степеней.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Z-корней на основании теоремы.
Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 3.


Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Q-корней на основании
теоремы. Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n =
3.


Симметрические уравнения. Любое возвратное уравнение нечетной степени
имеет корень x = -1 и после разложения его на множители получаем, что
один сомножитель имеет вид (x + 1), а второй сомножитель – возвратное
уравнение четной степени (его степень на единицу меньше, чем степень исходного
уравнения). Любое возвратное уравнение четной степени вместе с корнем вида x
= φ
содержит и корень вида
.
Используя эти утверждения, решаем задачу, понижая степень исследуемого уравнения.


Метод замены переменной. Использование однородности.


Не существует формулы общего вида для решения целых уравнений пятой
степени (это показали итальянский математик Паоло Руффини (1765–1822) и
норвежский математик Нильс Хенрик Абель (1802–1829)) и более высоких степеней (это
показал французский математик Эварист Галуа (1811–1832)).

  • Напомним еще раз, что на практике возможно использование комбинации
    перечисленных выше методов. Удобно переходить к совокупности уравнений более
    низких степеней путем разложения исходного уравнения на множители.

  • За рамками нашего сегодняшнего обсуждения остались широко используемые
    на практике графические методы решения уравнений и методы
    приближенного решения
    уравнений высших степеней.

  • Бывают ситуации, когда у уравнения нет R-корней.
  • Тогда решение
    сводится к тому, чтобы показать, что уравнение корней не имеет. Для
    доказательства анализируем поведение рассматриваемых функций на промежутках
    монотонности. Пример: уравнение x8x3
    + 1 = 0 не имеет корней.

  • Использование свойства монотонности функций
  • . Бывают ситуации, когда
    использование различных свойств функций позволяет упростить поставленную
    задачу.

    Пример 1: уравнение x5 + 3x – 4 = 0 имеет
    один корень x = 1. По свойству монотонности анализируемых функций
    других корней нет.

    Пример 2: уравнение x4 + (x – 1)4
    = 97 имеет корни x1 = -2 и x2 = 3.
    Проанализировав поведение соответствующих функций на промежутках
    монотонности, заключаем, что других корней нет.


4. Подведение итогов.

Резюме: Теперь мы овладели основными методами решения различных уравнений
высших степеней (для n > 3).
Наша задача научиться эффективно использовать перечисленные выше алгоритмы. В
зависимости от вида уравнения мы должны будем научиться определять, какой способ
решения в данном случае является наиболее эффективным, а также правильно
применять выбранный метод.


5. Домашнее задание.

[1]: п.7, стр. 164–174, №№ 33–36,
39–44, 46,47.

[4]: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12,
9.14–9.16, 9.24–9.27.

Возможные темы докладов или рефератов по данной тематике:

  • Формула Кардано
  • Графический метод решения уравнений. Примеры решения.
  • Методы приближенного решения уравнений.

Анализ усвоения материала и интереса учащихся к теме:

Опыт показывает, что интерес учащихся в первую очередь вызывает возможность
подбора Z-корней и Q-корней уравнений при помощи достаточно
простого алгоритма с использованием схемы Горнера. Также учащиеся интересуются
различными стандартными типами замены переменных, которые позволяют существенно
упрощать вид задачи. Особый интерес обычно вызывают графические методы решения.
В этом случае дополнительно можно разобрать задачи на графический метод решения
уравнений; обсудить общий вид графика для многочлена 3, 4, 5 степени;
проанализировать, как связано число корней уравнений 3, 4, 5 степени с видом
соответствующего графика. Ниже приведен список книг, в которых можно найти
дополнительную информацию по данной тематике.

Список литературы:

  1. Виленкин Н.Я. и др. “Алгебра. Учебник для учащихся 9 классов с
    углубленным изучением математики” – М., Просвещение, 2007 – 367 с.
  2. Виленкин Н.Я., Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф. “За страницами
    учебника математики. Арифметика. Алгебра. 10-11 класс” – М., Просвещение,
    2008 – 192 с.
  3. Выгодский М.Я. “Справочник по математике” – М., АСТ, 2010 – 1055
    с.
  4. Галицкий М.Л. “Сборник задач по алгебре. Учебное пособие для 8-9
    классов с углубленным изучением математики” – М., Просвещение, 2008 – 301 с.
  5. Звавич Л.И. и др. “Алгебра и начала анализа. 8–11
    кл. Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики” – М.,
    Дрофа, 1999 – 352 с.
  6. Звавич Л.И., Аверьянов Д.И., Пигарев Б.П., Трушанина Т.Н.
    “Задания по математике для подготовки к письменному экзамену в 9 классе” –
    М., Просвещение, 2007 – 112 с.
  7. Иванов А.А., Иванов А.П. “Тематические тесты для систематизации
    знаний по математике” ч.1 – М., Физматкнига, 2006 – 176 с.
  8. Иванов А.А., Иванов А.П. “Тематические тесты для систематизации
    знаний по математике” ч.2 – М., Физматкнига, 2006 – 176 с.
  9. Иванов А.П. “Тесты и контрольные работы по математике. Учебное
    пособие”. – М., Физматкнига, 2008 – 304 с.
  10. Лейбсон К.Л. “Сборник практических заданий по математике. Часть
    2–9 класс” – М., МЦНМО, 2009 – 184 с.
  11. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. “Алгебра. Дополнительные главы к
    школьному учебнику 9 класса. Учебное пособие для учащихся школ и классов с
    углубленным изучением математики.” – М., Просвещение, 2006 – 224 с.
  12. Мордкович А.Г. “Алгебра. Углубленное изучение. 8 класс. Учебник”
    – М., Мнемозина, 2006 – 296 с.
  13. Савин А.П. “Энциклопедический словарь юного математика” – М.,
    Педагогика, 1985 – 352 с.
  14. Сурвилло Г.С., Симонов А.С. “Дидактические материалы по алгебре
    для 9 класса с углубленным изучением математики” – М., Просвещение, 2006 –
    95 с.
  15. Чулков П.В. “Уравнения и неравенства в школьном курсе математик.
    Лекции 1–4” – М., Первое сентября, 2006 – 88 с.
  16. Чулков П.В. “Уравнения и неравенства в школьном курсе математик.
    Лекции 5–8” – М., Первое сентября, 2009 – 84 с.

15. Уравнение пятой степени . История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных

В XVI веке математики почти случайно натолкнулись на комплексные числа (см. Главу 11). К XVIII веку комплексные числа считались расширением области действительных чисел, но работа с ними все еще приводила к ошибке четности, как в труде Леонарда Эйлера «Универсальная арифметика» (1767–1770). Он писал, что ? — 2х? — 3 = ?6, а не -?6, смущая более поздних авторов, писавших на ту же тему. Даже Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) в своем великом труде по теории чисел «Арифметические исследования» (1801) избегал использования так называемых «мнимых чисел». Как мне кажется, самая важная часть этой работы — первое доказательство фундаментальной теоремы алгебры. Гаусс понял, насколько важной была эта теорема, создав за последующие годы несколько дополнительных доказательств. В 1849 году он переделал первый вариант, на сей раз использовав комплексные числа. Пользуясь современными терминами, можно сказать, что для любого конечного многочленного уравнения с действительными или комплексными коэффициентами все его корни будут действительными или комплексными числами. Таким образом, мы получаем отрицательный ответ на давний вопрос о том, требует ли решение полиномиальных уравнений высокого порядка создания чисел более высокого порядка, чем комплексные.



Одной из самых тернистых проблем алгебры того времени был вопрос, разрешим ли алгебраическими методами, то есть с помощью конечного числа алгебраических шагов, полиномиал пятого порядка — квинтик. Сейчас в школе учат формулу решения квадратных уравнений, а с XVI века известны аналогичные методы для решения уравнений третьей и четвертой степени (Глава 11). Но для квинтиков не было найдено ни одного метода. Может показаться, что фундаментальная теорема алгебры содержит перспективу положительного ответа, но на самом деле она просто гарантирует, что решения существуют, в ней ничего не говорится о существовании формул, дающих точные решения (к тому времени уже существовали приблизительные числовые и графические методы). И вот появились два математических гения с трагической судьбой.

Нильс Хенрик Абель (1802–1829) родился в большой бедной семье, жившей в маленькой деревушке в Норвегии — стране, разоренной долгими годами войны с Англией и Швецией. Учитель, доброжелательно настроенный к мальчику, давал ему частные уроки, но после смерти отца, в восемнадцать лет, несмотря на юный возраст и хрупкое здоровье, Абель вынужден был содержать семью. В 1824 году он издал научную статью, в которой заявил, что квинтик не разрешим алгебраическими средствами, как, впрочем, и любой полиномиал более высокого порядка. Абель полагал, что эта статья послужит ему пропуском в научный мир, и послал ее Гауссу в университет Геттингена. К сожалению, Гаусс так и не собрался разрезать страницы ножом (в те дни этим приходилось заниматься любому читателю) и не прочитал статью. В 1826 году норвежское правительство наконец выделило Абелю средства для поездки по Европе. Опасаясь, что личное общение с Гауссом не доставит ему большой радости, математик решил не посещать Геттинген и вместо этого поехал в Берлин. Там он подружился с Августом Леопольдом Крелле (1780–1855), математиком, архитектором и инженером, консультировавшим прусское министерство образования по вопросам математики. Крелл собирался основать «Журнал чистой и прикладной математики». Так Абель получил возможность распространить свой труд и много печатался, особенно в ранних номерах «Журнала», который сразу же стал считаться очень престижным и авторитетным научным изданием. Норвежец напечатал там расширенную версию своего доказательства, что квинтик неразрешим алгебраическими методами. А затем уехал в Париж. Эта поездка очень огорчила Абеля, потому что он практически не получил так необходимой ему поддержки французских математиков. Он сблизился с Огюстеном Луи Коши (1789–1857), который в то время был главным светилом математического анализа, но имел очень сложный характер. Как выразился сам Абель, «Коши безумен, и с этим ничего нельзя поделать, хотя в настоящее время он — единственный, кто на что-то способен в математике». Если пытаться искать оправдания проявлениям неуважения и пренебрежения, исходившим от Гаусса и Коши, можно сказать, что квинтик достиг определенной славы и привлекал внимание как уважаемых математиков, так и оригиналов. Абель возвратился в Норвегию, где все сильнее страдал от туберкулеза. Он продолжал посылать свои работы Крелле, но в 1829 году умер, не зная о том, насколько упрочилась его репутация в научном мире. Через два дня после смерти на адрес Абеля пришло предложение занять научную должность в Берлине.

Абель показал, что любой полиномиал выше четвертого порядка не может быть решен с помощью радикалов, вроде корней квадратных, кубических или более высокого порядка. Однако явные условия, при которых в особых случаях эти полиномиалы могли быть решены, и метод их решения сформулировал Галуа. Эварист Галуа (1811–1832) прожил короткую и богатую событиями жизнь. Он был невероятно одаренным математиком. Галуа был неумолим к тем, кого считал менее талантливым, чем он сам, и при этом терпеть не мог социальную несправедливость. Он не выказывал никаких способностей к математике до тех пор, пока не прочитал труд Лежандра «Начала геометрии» (изданная в 1794 году, эта книга в течение последующих ста лет была основным учебником). Затем он буквально проглотил остальные труды Лежандра и, позднее, Абеля. Его энтузиазм, уверенность в себе и нетерпимость привели к поистине ужасным последствиям в его отношениях с преподавателями и экзаменаторами. Галуа принял участие в конкурсе на поступление в Политехническую школу — колыбель французской математики, но из-за неподготовленности провалил экзамен. Некоторое время после знакомства с новым преподавателем, который признал его дарование, ему удавалось держать свой нрав под контролем. В марте 1829 года Галуа издал свою первую статью о непрерывных дробях, которую считал своей самой значительной работой. Он послал сообщение о своих открытиях в Академию наук, и Коши обещал представить их, но забыл. Более того, он просто потерял рукопись.

Второй провал Галуа при поступлении в Политехническую школу вошел в математический фольклор. Он настолько привык постоянно держать в голове сложные математические идеи, что его привели в бешенство мелочные придирки экзаменаторов. Поскольку экзаменаторы с трудом понимали его объяснения, он бросил тряпку для стирания с доски в лицо одному из них. Вскоре после этого умер его отец, покончивший с собой в результате церковных интриг. На его похоронах практически вспыхнул бунт. В феврале 1830 года Галуа написал следующие три статьи, послав их в Академию наук на соискание гран-при по математике. Жозеф Фурье, в то время бывший секретарем академии, умер, так и не прочитав их, и после его смерти статей среди его бумаг не нашли. Такой поток разочарований свалил бы любого. Галуа восстал против власть имущих, потому что чувствовал: они не признавали его достоинств и погубили его отца. Он с головой окунулся в политику, став ярым республиканцем, — не самое мудрое решение во Франции 1830 года. В последней отчаянной попытке он послал научную статью знаменитому французскому физику и математику Симеону Дени Пуассону (1781–1840), который в ответе потребовал дополнительных доказательств.

Это стало последней каплей. В 1831 году Галуа был дважды арестован — в первый раз за то, что якобы призывал к убийству короля Луи Филиппа, а затем ради того, чтобы его защитить, — власти опасались республиканского бунта! На сей раз он был приговорен к шестимесячному заключению по сфабрикованному обвинению в незаконном ношении формы расформированного артиллерийского батальона, в который он поступил. Освобожденный под честное слово, он занялся делом, которое вызывало у него такое же отвращение, как и все остальное в жизни. В письмах к преданному другу Шевалье чувствуется его разочарование. 29 мая 1832 года он принял вызов на дуэль, причины которой до конца не выяснены. «Я пал жертвой бесчестной кокетки. Моя жизнь гаснет в жалкой ссоре», — пишет он в «Письме всем республиканцам». Самая известная работа Галуа была набросана в ночь перед роковым поединком. На полях рассыпаны жалобы: «У меня больше нет времени, у меня больше нет времени». Он вынужден был оставить другим подробное изложение промежуточных шагов, которые были несущественны для понимания основной идеи. Ему необходимо было выплеснуть на бумагу основу своих открытий — истоки того, что ныне называют теоремой Галуа. Он закончил свое завещание, попросив Шевалье «обратиться к Якоби и Гауссу с просьбой публично высказать свое мнение не относительно правильности, а относительно важности этих теорем». Ранним утром Галуа отправился на встречу со своим соперником. Они должны были стреляться с расстояния в 25 шагов. Галуа был ранен и умер в больнице на следующее утро. Ему было всего двадцать лет.



Галуа опирался на работы Лагранжа и Коши, однако он разработал более общий метод. Это было крайне важное достижение в области решения квинтиков. Ученый уделял меньше внимания исходным уравнениям или графической интерпретации, а больше думал о природе самих корней. Для упрощения Галуа рассматривал только так называемые неприводимые квинтики, то есть те, которые не могли быть разложены на множители в виде полиномиалов более низкого порядка (как мы сказали, для любых полиномиальных уравнений до четвертого порядка есть формулы нахождения их корней). Вообще неприводимый многочлен с рациональными коэффициентами — это полиномиал, который не может быть разложен на более простые многочлены, имеющие рациональные коэффициенты. Например, (x5 — 1) может быть разложен на множители (х-1)(x4 + х3 + х2 + х + 1), тогда как (x5 — 2) неприводим. Цель Галуа состояла в том, чтобы определить условия, при которых все решения общего неприводимого многочленного уравнения могут быть найдены в терминах радикалов.

Ключ к решению заключается в том, что корни любого неприводимого алгебраического уравнения не независимы, они могут быть выражены один через другой. Эти соотношения были формализованы в группу всех возможных перестановок, так называемую группу симметрии корней — для квинтика эта группа содержит 5! = 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 120 элементов. Математические алгоритмы теории Галуа очень сложны, и, скорее всего, отчасти именно вследствие этого их поначалу понимали с большим трудом. Но после того как уровень абстракции позволил перейти от алгебраических решений уравнений к алгебраической структуре связанных с ними групп, Галуа смог предсказать разрешимость уравнения на основании свойств таких групп. Более того, его теория также обеспечила метод, которым можно было найти сами эти корни. Что касается квинтиков, то математик Жозеф Лиувилль (1809–1882), который в 1846 году издал большую часть работ Галуа в своем «Журнале чистой и прикладной математики», отметил, что молодой ученый доказал «красивую теорему», и для того, «чтобы неприводимое уравнение исходной степени было разрешимо в терминах радикалов, необходимо и достаточно, чтобы все его корни были рациональными функциями любых двух из них». Поскольку для квинтика это невозможно, он не может быть решен с помощью радикалов.

За три года математический мир потерял две самые яркие новые звезды. Последовали взаимные обвинения и переоценка ценностей, и Абель и Галуа добились заслуженного признания, но лишь посмертно. В 1829 году Карл Якоби через Лежандра узнал о «потерянной» рукописи Абеля, и в 1830 году разразился дипломатический скандал, когда норвежский консул в Париже потребовал отыскать статью своего соотечественника. В конце концов Коши нашел статью, но лишь затем, чтобы ее снова потеряли в редакции академии! В том же году Абелю был присужден Гран-при по математике (совместно с Якоби) — но он был уже мертв. В 1841 году была издана его биография. В 1846 году Лиувилль отредактировал некоторые из рукописей Галуа для публикации и во введении выразил сожаление, что первоначально академия отвергла работу Галуа из-за ее сложности, — «действительно, необходима ясность изложения, когда автор уводит читателя с избитого пути на неизведанные дикие территории». Он продолжает: «Галуа больше нет! Не будем впадать в бесполезный критицизм. Давайте отбросим недостатки и посмотрим на достоинства!» Плоды краткой жизни Галуа умещаются всего на шестидесяти страницах. Редактор математического журнала для кандидатов в Эколь Нормаль и Политехническую школу прокомментировал дело Галуа следующим образом: «Соискатель с высоким интеллектом был отсеян экзаменатором с более низким уровнем мышления. Barbarus hic ego sum, quia non intelligor illis[19]».


Прежде всего, вторая страница этой работы не обременена именами, фамилиями, описаниями положения в обществе, титулами и элегиями в честь некоего скупого принца, кошелек которого будет открыт с помощью этих фимиамов — с угрозой закрыть его, когда восхваления закончатся. Вы не увидите здесь почтительных восхвалений, написанных буквами втрое большими, чем сам текст, обращенных к тем, кто обладает высоким положением в науке, некоему мудрому покровителю — нечто обязательное (я бы сказал, неизбежное) для кого-то в возрасте двадцати лет, кто хочет что-то написать. Я не говорю здесь никому, что я обязан их совету и поддержке всем хорошим, что есть в моей работе. Я не говорю этого потому, что это было бы ложью. Если бы мне пришлось упомянуть кого-либо из великих в обществе или в науке (в настоящее время различие между этими двумя классами людей практически незаметно), клянусь, это не было бы знаком благодарности. Я обязан им тем, что я издал первые из этих двух статей столь поздно, и тем, что написал все это в тюрьме — в месте, которое вряд ли можно считать подходящим для научных размышлений, и я часто поражаюсь своей сдержанности и способности держать рот на замке по отношению к тупым и злобным зоилам. Мне кажется, я могу использовать слово «зоилы» без опасения быть обвиненным в неблагопристойности, поскольку именно так я именую моих оппонентов. Я не собираюсь писать здесь о том, как и почему я был отправлен в тюрьму, но я должен сказать, что мои рукописи чаще всего просто терялись в папках господ членов академии, хотя, по правде говоря, я не могу представить себе подобной неосмотрительности со стороны людей, на совести которых смерть Абеля.{n-1}+\dots+a_1x+a_0\). Таким образом, сокращенно уравнение \((1)\) можно записать в виде \(P_n(x)=0\).

 

Замечание

 

Заметим, что квадратное уравнение — это алгебраическое уравнение, степень которого равна \(2\), а линейное — степень которого равна \(1\).
Таким образом, все свойства алгебраических уравнений верны и для квадратных уравнений, и для линейных.

 

Теорема

 

Если уравнение \((1)\) имеет корень \(x=x_0\), то оно равносильно уравнению

\[(x-x_0)\cdot P_{n-1}(x)=0\]

где \(P_{n-1}(x)\) – некоторый многочлен степени \(n-1\).

 

Для того, чтобы найти \(P_{n-1}(x)\), необходимо найти частное от деления многочлена \(P_n(x)\) на \((x-x_0)\)
(т.к. \(P_n(x)=(x-x_0)\cdot P_{n-1}(x)\)).

 

Следствие: количество корней уравнения

 

Любое алгебраическое уравнение степени \(n\) может иметь не более \(n\) корней.

 

Замечание

 

В частности, квадратное уравнение действительно имеет всегда не более двух корней: два, один (или два совпадающих) или ни одного корня.2-5x-3=0\).

 

В данном случае \(a_0=-3, a_n=2\). Делители числа \(-3\) — это \(\pm 1,
\pm 3\). Делители числа \(2\) – это \(\pm 1, \pm 2\). Комбинируя из полученных делителей дроби, получаем все возможные варианты рациональных корней:

\[\pm 1, \ \pm \dfrac12, \ \pm 3, \ \pm\dfrac32\]

По предыдущим теоремам можно быстро понять, что \(\pm1\) не являются корнями. Подставив \(x=-\dfrac12\) в уравнение, получим:

\[2\cdot \dfrac1{16}+5\cdot \dfrac18-\dfrac 14+5\cdot \dfrac12-3=0
\quad \Leftrightarrow \quad 0=0\]

Значит, число \(x=-\frac12\) является корнем уравнения.

 

Можно перебрать остальные варианты: таким образом мы найдем еще один рациональный корень уравнения \(x=3\). Значит, уравнение можно представить в виде

\[\left(x+\frac12\right)(x-3)\cdot Q_2(x)=0 \quad \text{или}\quad (2x+1)(x-3)\cdot P_2(x)=0\] (тогда \(P_2(x)=\frac12 Q_2(x)\)). Заметим, что второй вид записи уравнения более удобный, т.к. нам не придется при делении в столбик работать с дробями.2+px+q)=0\]

Замечание

 

На самом деле, такой вывод можно сделать о любом алгебраическом уравнении нечетной степени. Но, как правило, в школьном курсе математики крайне редко встречаются уравнения степени выше \(4\).

Как решить полиномиальное уравнение степени 5

КАК РЕШИТЬ ПОЛИНОМИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ СТЕПЕНИ 5

Как решить полиномиальное уравнение степени 5?

Чтобы решить полином степени 5, мы должны максимально разложить данный полином на множители. После факторизации полинома 5-й степени мы находим 5 множителей и приравнивая каждый множитель к нулю, мы можем найти все значения x.

Пример 1:

Решить

6x 5 — x 4 — 43 x 3 + 43x 2 + x — 6

Решение:

Поскольку степень полинома равно 5, у нас 5 нулей.Чтобы найти нули, мы используем синтетическое деление.

Разделение всего уравнения на x²

6 x⁴ / x² + 5 x³ / x² — 38 x² / x² + 5 x / x² + 6 / x² = 0

6 x² + 5 x — 38 + 5 (1 / x ) + 6 (1 / x²) = 0

6 (x² + 1 / x²) + 5 (x + 1 / x) — 38 = 0 —— (1)

Пусть x + 1 / x = y

Чтобы найти из этого значение x² + 1 / x², мы должны взять квадраты с обеих сторон.

(x + 1 / x) ² = y²

x² + 1 / x² + 2 x (1 / x) = y²

x² + 1 / x² + 2 = y²

x² + 1 / x² = y² — 2

Таким образом, мы должны подставить y² — 2 вместо x² + 1 / x²

Давайте подставим это значение в первое уравнение

6 (y² — 2) + 5 y — 38 = 0

6y² — 12 + 5 лет — 38 = 0

6y² + 5y — 12 — 38 = 0

6y² + 5y — 50 = 0

6y² — 15y + 20 лет — 50 = 0

3y (2y — 5) + 10 (2y — 5) = 0

(3y + 10) (2y — 5) = 0

3y + 10 = 0

y = -10/3

2y — 5 = 0

y = 5/2

Когда y = -10/3

(x² + 1) / x = -10/3

3 (x² + 1) = -10x

3x² + 3 = -10 x

3x² + 10 x + 3 = 0

Факторинга получаем:

(3x + 1) (x + 3) = 0

x = -1/3 и 3

Когда y = 5/2

x + 1 / x = y

(x² + 1) / x = 5/2

2 (x² + 1) = 5 x

2x² + 2 — 5x = 0

2x² — 5x + 2 = 0

. ,

(2x — 1) (x — 2) = 0

x = 1/2 и 2

Следовательно, 5 корней равны -1/3, 3, 1/2, 2 и 1.

Пример 2:

Solve

8x 5 — 22 x 4 — 55 x 3 + 55x 2 + 22x — 8

Решение:

Разделение всего уравнения на x²

8 x⁴ / x² — 14 x³ / x² — 69 x² / x² — 14 x / x² + 8 / x² = 0

8 x² — 14 x — 69 — 14 (1 / x ) + 8 (1 / x²) = 0

8 (x² + 1 / x²) — 14 (x + 1 / x) — 69 = 0 —— (1)

Пусть x + 1 / x = y

Чтобы найти значение x² + 1 / x², возьмем квадраты с обеих сторон

(x + 1 / x) ² = y²

x² + 1 / x² + 2 x (1 / x) = y²

x² + 1 / x² + 2 = y²

x² + 1 / x² = y² — 2

Итак, мы должны вставить y² — 2 вместо x² + 1 / x²

Давайте подставим это значение в первую уравнение

8 (y² — 2) — 14y — 69 = 0

8y² — 16 — 14y — 69 = 0

8y² — 14y — 16 — 69 = 0

8y² — 14y — 85 = 0

(2y + 5) (4y — 17) = 0

Решая для y, мы получаем

2y + 5 = 0 и 4y — 17 = 0

y = -5/2 и y = 17/4

Когда y = -5/2

x + 1 / x = y

(x² + 1) / x = -5/2

2 (x² + 1) = -5 x

2x² + 2 + 5x = 0

2x² + 5x + 2 = 0

2x² + 4x + 1x + 2 = 0

2x (x + 2) + 1 (x + 2) = 0

(2x + 1) (x + 2) = 0

Решая для x, получаем

2x + 1 = 0 и x + 2 = 0

x = -1/2 и x = -2

Когда y = 17/4

x + 1 / x = y

(x² + 1) / x = 17/4

4 (x² + 1) = 17x

4x² + 4 = 17 x

4x² — 17 x + 4 = 0

(4x — 1) (x — 4) = 0

(4x — 1) = 0 (x — 4) = 0

Решая для x, мы получаем

x = 1/4 и x = 4

Следовательно, 5 корней равны 1/4, 4, 2, 1/2, 1.

Помимо того, что описано в этом разделе, если вам нужны другие математические данные, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.

Если у вас есть отзывы о наших математических материалах, напишите нам:

[email protected]

Мы всегда ценим ваши отзывы.

Вы также можете посетить следующие веб-страницы, посвященные различным вопросам математики.

ЗАДАЧИ СО СЛОВАМИ

Задачи со словами HCF и LCM

Задачи со словами на простых уравнениях

Задачи со словами на линейных уравнениях

Задачи со словами на квадратных уравнениях

07 Алгебра

07 Алгебра

Проблемы со словами в поездах

Проблемы со словами по площади и периметру

Проблемы со словами по прямой и обратной вариациям

Проблемы со словами по цене за единицу

Проблемы со словами по цене за единицу

Word задачи по сравнению ставок

Преобразование обычных единиц в текстовые задачи

Преобразование метрических единиц в текстовые задачи

Word задачи по простому проценту

Word по сложным процентам

ngles

Проблемы с дополнительными и дополнительными углами

Проблемы со словами с двойными фактами

Тригонометрические проблемы со словами

Проблемы с процентным соотношением слов

Проблемы со словами о прибылях и убытках 0

Задачи

Задачи с десятичными словами

Задачи со словами о дробях

Задачи со словами о смешанных фракциях

Одношаговые задачи о словах с уравнениями

Проблемы со словами с линейными неравенствами

Word Ratio и Задачи

Проблемы со временем и рабочими словами

Задачи со словами на множествах и диаграммах Венна

Задачи со словами на возрастах

Проблемы со словами из теоремы Пифагора

Процент числового слова pr проблемы

Проблемы со словами при постоянной скорости

Проблемы со словами при средней скорости

Проблемы со словами при сумме углов треугольника 180 градусов

ДРУГИЕ ТЕМЫ

Сокращения прибылей и убытков

Сокращение в процентах

Сокращение в таблице времен

Сокращение времени, скорости и расстояния

Сокращение соотношения и пропорции

Область и диапазон рациональных функций

Область и диапазон рациональных функций

функции с отверстиями

Графики рациональных функций

Графики рациональных функций с отверстиями

Преобразование повторяющихся десятичных знаков в дроби

Десятичное представление рациональных чисел

Поиск квадратного корня с использованием длинного di видение

Л.Метод CM для решения временных и рабочих задач

Преобразование словесных задач в алгебраические выражения

Остаток при делении 2 в степени 256 на 17

Остаток при делении 17 в степени 23 на 16

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 6

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 7

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 8

Сумма всех трехзначных чисел, образованных с использованием 1, 3 , 4

Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных ненулевыми цифрами

Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных с использованием 0, 1, 2, 3

Сумма всех трех четырехзначных чисел числа, образованные с использованием 1, 2, 5, 6

Решение уравнений пятой степени | SpringerLink

  • 1.

    E. S. Bring, Meletamata Quaedam Mathematica Circa Transformationem Aequationen Algebraicarum (Uppsala, 1786), Vol. 107.

  • 2.

    В.В. Прасолов, Ю. Соловьев П. Эллиптические функции и алгебраические уравнения (Факториал, М., 1997).

    Google Scholar

  • 3.

    Клейн Ф., Лекции по икосаэдру и решению уравнений пятой степени (Довер, Нью-Йорк, 1956; Наука, М., 1989).

    MATH

    Google Scholar

  • 4.

    Н.Г. Чеботарев, Теория Галуа (НКТП СССР, М., 1936).

    Google Scholar

  • 5.

    А.Ю. Семушева, А.К. Цих, «Продолжение исследований Меллина решений алгебраических уравнений», в книге Комплексный анализ и дифференциальные операторы (Красноярский университет, Красноярск, 2000), сс.134–146 с.

    Google Scholar

  • 6.

    Х. Дж. Меллин, «Решение проблемы Algébrique Générale à l’Aide de la Fonction Gamma», C.R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 172 , 658–661 (1921).

    MATH

    Google Scholar

  • 7.

    М. Пассар, А. К. Цих, А. А. Чешел, “Кратные интегралы Меллина-Барнса как периоды многообразий Калаби-Яу с несколькими модулями”, Теорет.я Матем. Физ. 109 (3), 381–394 (1996).

    MathSciNet

    Google Scholar

  • 8.

    А.Ю. Семушева, “Об областях сходимости гипергеометрических рядов многих переменных”, Сиб. Матем. Журн. 47 (4), 888–897 (2006).

    MathSciNet
    МАТЕМАТИКА

    Google Scholar

  • 9.

    М. Пассаре и А. Цих, «Алгебраические уравнения и гипергеометрические ряды», в Наследие Н.H. Abel (Springer-Verlag, 2004), стр. 653–672).

  • 2. Развитие теории уравнений | Алгебраическая геометрия

    В начальной школе мы научились решать простейшие уравнения, уравнения первой степени, такие как

    2x — 3 = 5 .

    Позже это было расширено до систем уравнений: например, два уравнения первой степени с двумя неизвестными

    2x + 3y = 8 ,
    3x — 5y = 1 .

    В средней школе мы научились решать уравнения второй степени, и мы узнали о многочленах, таких выражениях, как

    x 3 + 2x 2 — 5x + 7 ,

    и о полиномиальном делении.И дошло до того, что средневековье в Европе подошло к концу. Но затем, примерно в 1530 году, в итальянском Возрождении произошло два прорыва. Стало возможным решать уравнение третьей степени

    x 3 + a 1 x 2 + a 2 x + a 3 = 0 ,

    и сразу после него уравнение четвертой степени. В результате этого и расцвета математики в целом появились три нововведения, которые, можно сказать, относятся к алгебре.Во-первых, все больше стали использоваться математические символы. В это время были введены символы +, -, = и √ (знак квадратного корня). В начале 17 века для обозначения неизвестных использовались условные обозначения x , y и z , а для обозначения известных величин использовались a , b и c . Во-вторых, используя формулу для корней уравнения третьей степени, нельзя было избежать извлечения квадратного корня из отрицательного числа, даже если ответ был натуральным числом.Таким образом, впервые пришлось использовать алгебраическую систему комплексных чисел, не имеющую прямого физического толкования. В-третьих, решение уравнения третьей степени вдохновило на дальнейшие дела: можно ли решать уравнения пятой степени, все ли полиномиальные уравнения имеют решения?

    В последующие века математика быстро развивалась. Но, несмотря на огромные усилия, решения уравнения пятой степени найти не удалось. Затем, в 1824 году, Нильс Хенрик Абель показал, что общее уравнение пятой степени не может быть решено с помощью алгебраических операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корня (но многие специальные уравнения пятой степени, такие как x 5 — 3 = 0 все еще можно решить).Его целью было теперь понять, когда можно решать произвольные полиномиальные уравнения. Смерть Абеля в 1829 году наступила слишком рано, но молодой француз Эварист Галуа развил идеи Абеля и в 1831 году составил четкую картину. Когда у нас есть алгебраические решения, центральное место в понимании занимает симметрия уравнения. Симметрии объекта, будь то уравнение, футбольный мяч или кубик Рубика, представляют собой алгебраическую структуру, которая называется группой.

    Читайте о группах.

    Уравнение пятой степени

    По

    Джейн Юн


    В начале девятнадцатого века Руффини и Абель показали
    что уравнения пятой степени нельзя решить с помощью радикалов.Таким образом, общий квинит не похож на
    общие квадратичные, кубические или биквадратичные. Тем не менее, это представляет проблему
    в алгебре, которая теоретически может быть решена с помощью алгебраических операций. Только эти операции настолько сложны, что
    они не могут быть выражены символами радикалов.

    дюйм
    В этом исследовании мы исследуем следующее уравнение, изменив значения
    из
    а
    , исследуем форму графика для
    различные значения
    a , и ищите взаимосвязи.Используя
    Графический калькулятор, мы начнем исследование

    x 5 = ( x 2 y 2 ) ( x 2 ay 2 )

    Во-первых, изучив уравнение, я пришел к выводу, что когда x =
    0, y = 0, а когда y = 0, x = 1.
    Следовательно, Im предсказывает, что пересечения графика являются точками
    (0, 0) и (1, 0), а форма графика изменится при изменении на .


    Сейчас, l ets начинают разведку, когда a = 0, a = 1 , a = 3 , = 50003 и a = 1 0 .

    Уведомление , что как a
    изменяется от 0 до 10, пересечения графика находятся в точках (0,0) и (1, 0), а график
    уравнение симметрично относительно оси абсцисс
    . Также обратите внимание на изменение формы и области графика, когда a
    = 0, a =
    1, a =
    3, a = 5, & a
    = 1 0, но диапазон графика не меняется. Этот диапазон
    (-,).

    Когда
    a = 0, отрицательная сторона x
    -координата показывает непрерывно растягивающиеся петли, а положительная сторона x -координата показывает, что петля становится шире, когда ‘ a ‘ уменьшается до 0 .

    На отрицательной стороне с координатами x график показывает две растянутые петли. Петля тянется длиннее, а ширина петли становится меньше
    в положительной стороне координаты x , поскольку увеличивается на .


    Давайте
    попробуйте, когда a = -1
    .

    Форма графика
    изменился на более похожий на шоколад Hersheys, но

    точки пересечения графика находятся в точках
    (0, 0) и (1, 0) , а область графика — ( , 1].

    Тогда,
    Давайте рассмотрим, когда a = -3, a = -5 и a = -10 .Обратите внимание на изменение формы графика. Форма графика изменяется по мере уменьшения « a », но точки пересечения не меняются. Также домен изменяется при изменении « a », и график симметричен относительно оси x. Также обратите внимание, что график начинает показывать форму сердца, когда a = -1, а форма сердца растягивается, поскольку « a » уменьшается, но до тех пор, пока остаются те же точки пересечения.

    Теперь давайте исследуем, когда a = 0.5 & ​​a = -0,5. Обратите внимание, что петля -0,5 шире, чем

    0,5 петли, и точки пересечения не изменились. График также симметричен относительно оси x.

    Давайте
    посмотрите, когда мы сложим все графики вместе.

    На основе
    По результатам графиков мы можем сделать несколько выводов о графике
    x 5 = ( x 2 y 2 ) ( x 2
    ау 2 )
    .Перехваты находятся в точках (0, 0) и (0, 1), а
    исходное уравнение всегда симметрично относительно оси абсцисс.

    Анимация показана ниже, когда « a » изменяется с -10 на 10.


    Вернуться на домашнюю страницу Джейн


    страница не найдена — Williams College

    ’62 Центр театра и танца, 62 Центр
    Касса 597-2425
    Магазин костюмов 597-3373
    Менеджер мероприятий / Ассистент менеджера 597-4808 597-4815 факс
    Производство 597-4474 факс
    Магазин сцен 597-2439
    ’68 Центр карьерного роста, Мирс 597-2311 597-4078 факс
    Академические ресурсы, Парески 597-4672 597-4959 факс
    Служба поддержки инвалидов, Парески 597-4672
    Прием, Вестон Холл 597-2211 597-4052 факс
    Программа позитивных действий, Хопкинс-холл, 597-4376
    Africana Studies, Hollander 597-2242 597-4222 факс
    Американские исследования, Шапиро 597-2074 597-4620 факс
    Антропология и социология, Холландер 597-2076 597-4305 факс
    Архивы и специальные коллекции, Sawyer 597-4200 597-2929 факс
    Читальный зал 597-4200
    Искусство (История, Студия), Spencer Studio Art / Lawrence 597-3578 597-3693 факс
    Архитектурная студия, Spencer Studio Art 597-3134
    Фотостудия, Spencer Studio Art 597-2030
    Printmaking Studio, Spencer Studio Art 597-2496
    Студия скульптуры, Студия Спенсера Арт 597-3101
    Senior Studio, Spencer Studio Art 597-3224
    Видео / Фотостудия, Spencer Studio Art 597-3193
    Азиатские исследования, Hollander 597-2391 597-3028 факс
    Астрономия / астрофизика, Thompson Physics 597-2482 597-3200 факс
    Департамент легкой атлетики, физическое воспитание, отдых, Ласелл 597-2366 597-4272 факс
    Спортивный директор 597-3511
    Лодочный домик, Озеро Онота 443-9851
    Автобусы 597-2366
    Фитнес-центр 597-3182
    Hockey Rink Ice Line, Lansing Chapman 597-2433
    Intramurals, Спортивный центр Чандлера 597-3321
    Физическая культура 597-2141
    Pool Wet Line, Атлетический центр Чандлера 597-2419
    Спортивная информация, Хопкинс-холл 597-4982 597-4158 факс
    Спортивная медицина 597-2493 597-3052 факс
    Площадки для игры в сквош 597-2485
    Поле для гольфа Taconic 458-3997
    Биохимия и молекулярная биология, Thompson Biology 597-2126
    Биоинформатика, геномика и протеомика, Бронфман 597-2124
    Биология, Thompson Biology 597-2126 597-3495 факс
    Охрана и безопасность кампуса, Хопкинс-холл 597-4444 597-3512 факс
    Карты доступа / системы сигнализации 597-4970 / 4033
    Эскорт-сервис, Хопкинс-холл 597-4400
    Офицеры и диспетчеры 597-4444
    Секретарь, удостоверения личности 597-4343
    Коммутатор 597-3131
    Центр развития творческого сообщества, 66 Stetson Court 884-0093
    Центр экономики развития, 1065 Main St 597-2148 597-4076 факс
    Компьютерный зал 597-2522
    Вестибюль 597-4383
    Центр экологических исследований, класс 1966 г. Экологический центр 597-2346 597-3489 факс
    Лаборатория наук об окружающей среде, Морли 597-2380
    Экологические исследования 597-2346
    Лаборатория ГИС 597-3183
    Центр иностранных языков, литератур и культур, Холландер 597-2391 597-3028 факс
    Арабоведение, Холландер 597-2391 597-3028 факс
    Сравнительная литература, Hollander 597-2391
    Критические языки, Hollander 597-2391 597-3028 факс
    Языковая лаборатория 597-3260
    Россия, Hollander 597-2391
    Центр обучения в действии, Brooks House 597-4588 597-3090 факс
    Библиотека редких книг Чапина, Сойер 597-2462 597-2929 факс
    Читальный зал 597-4200
    Офис капелланов, Парески 597-2483 597-3955 факс
    Еврейский религиозный центр, Стетсон-Корт, 24, 597-2483
    Молельная мусульманская, часовня Томпсона (нижний уровень) 597-2483
    Католическая часовня Ньюмана, часовня Томпсона (нижний уровень) 597-2483
    Химия, Thompson Chemistry 597-2323 597-4150 факс
    Классика (греческий и латинский), Hollander 597-2242 597-4222 факс
    Когнитивная наука, Бронфман 597-4594
    Маршал колледжа, Thompson Physics 597-2008
    Отношения с колледжем 597-4057
    25-я программа воссоединения, Фогт 597-4208 597-4039 факс
    Программа 50-го воссоединения, Фогт 597-4284 597-4039 факс
    Advancement Operations, Мирс-Уэст 597-4154 597-4333 факс
    Мероприятия для выпускников, Vogt 597-4146 597-4548 факс
    Фонд выпускников 597-4153 597-4036 факс
    Связи с выпускниками, Мирс-Уэст 597-4151 597-4178 факс
    Почтовые службы для выпускников / разработчиков, Мирс-Уэст 597-4369
    Разработка, Vogt 597-4256
    Отношения с донорами, Vogt 597-3234 597-4039 факс
    Офис по планированию подарков, Vogt 597-3538 597-4039 факс
    Grants Office, Мирс-Уэст 597-4025 597-4333 факс
    Программа крупных подарков, Vogt 597-4256 597-4548 факс
    Parents Fund, Vogt 597-4357 597-4036 факс
    Prospect Management & Research, Мирс 597-4119 597-4178 факс
    Выпускные и академические мероприятия, Jesup 597-2347 597-4435 факс
    Коммуникации, Хопкинс Холл 597-4277 597-4158 факс
    Спортивная информация, Хопкинс-холл 597-4982 597-4158 факс
    Веб-группа, Саутвортская школа
    Williams Magazines (ранее Alumni Review), Hopkins Hall 597-4278
    Компьютерные науки, Thompson Chemistry 597-3218 597-4250 факс
    Conferences & Events, Парески 597-2591 597-4748 факс
    Запросы Elm Tree House, Mt.Ферма Надежды 597-2591
    Офис диспетчера, Хопкинс Холл 597-4412 597-4404 факс
    Счета к оплате и ввод данных, Хопкинс-холл 597-4453
    Bursar & Cash Receipts, Hopkins Hall 597-4396
    Финансовые информационные системы, Хопкинс-холл 597-4023
    Карты покупок, Хопкинс Холл 597-4413
    Студенческие ссуды, Хопкинс-холл 597-4683
    Танец, 62 Центр 597-2410
    Дэвис-центр (бывший мультикультурный центр), Дженнесс 597-3340 597-3456 факс
    Харди Хаус 597-2129
    Jenness House 597-3344
    Райс Хаус 597-2453
    Декан колледжа, Хопкинс-холл 597-4171 597-3507 факс
    Декан факультета, Хопкинс Холл 597-4351 597-3553 факс
    Столовая, капельницы 597-2121 597-4618 факс
    ’82 Гриль, Парески 597-4585
    Булочная, Пареский 597-4511
    Общественное питание, факультет 597-2452
    Driscoll Dining Hall, Дрисколл 597-2238
    Эко-кафе, Научный центр 597-2383
    Grab ‘n Go, Парески 597-4398
    Lee Snack Bar, Парески 597-3487
    Столовая Mission Park, Mission Park 597-2281
    Whitmans ‘, Парески 597-2889
    Экономика, Шапиро 597-2476 597-4045 факс
    английский, Hollander 597-2114 597-4032 факс
    Сооружения, здание бытового обслуживания 597-2301
    Запрос на автомобиль в колледже 597-2302
    Скорая помощь вечером / в выходные 597-4444
    Запросы на работу оборудования 597-4141 факс
    Особые события 597-4020
    Склад 597-2143 597-4013 факс
    Клуб преподавателей, Дом факультетов / Центр выпускников 597-2451 597-4722 факс
    Бронирование 597-3089
    Fellowships Office, Hopkins Hall 597-3044 597-3507 факс
    Financial Aid, Weston Hall 597-4181 597-2999 факс
    Науки о Земле, Кларк Холл 597-2221 597-4116 факс
    Немецко-Русский, Hollander 597-2391 597-3028 факс
    Глобальные исследования, Холландер 597-2247
    Магистерская программа по истории искусств, Кларк 458-2317 факс
    Службы здравоохранения и хорошего самочувствия, Thompson Ctr Health 597-2206 597-2982 факс
    Медицинское просвещение 597-3013
    Комплексное благополучие (консультирование) 597-2353
    Чрезвычайные ситуации с опасностью для жизни Позвоните 911
    Медицинские услуги 597-2206
    История, Hollander 597-2394 597-3673 факс
    История науки, Бронфман 597-4116 факс
    Лес Хопкинса 597-4353
    Розенбург-центр 458-3080
    Отдел кадров, B&L Building 597-2681 597-3516 факс
    Услуги няни, корпус B&L 597-4587
    Преимущества 597-4355
    Программа помощи сотрудникам 800-828-6025
    Занятость 597-2681
    Заработная плата 597-4162
    Ресурсы для супруга / партнера 597-4587
    Занятость студентов 597-4568
    Линия погоды (ICEY) 597-4239
    Гуманитарные науки, Шапиро 597-2076
    Информационные технологии, Jesup 597-2094 597-4103 факс
    Пакеты для чтения курсов, ящик для сообщений офисных услуг 597-4090
    Центр кредитования оборудования, приложение Додда 597-4091
    Служба поддержки преподавателей / сотрудников, [электронная почта] 597-4090
    Медиа-услуги и справочная система 597-2112
    Служба поддержки студентов, [электронная почта] 597-3088
    Телекоммуникации / телефоны 597-4090
    Междисциплинарные исследования, Холландер 597-2552
    Международное образование и учеба, Хопкинс-холл 597-4262 597-3507 факс
    Инвестиционный офис, Хопкинс Холл 597-4447
    Бостонский офис 617-502-2400 617-426-5784 факс
    Еврейские исследования, Мазер 597-3539
    Правосудие и закон, Холландер 597-2102
    Latina / o Studies, Hollander 597-2242 597-4222 факс
    Исследования лидерства, Шапиро 597-2074 597-4620 факс
    Морские исследования, Бронфман 597-2297
    Математика и статистика, Bascom 597-2438 597-4061 факс
    Музыка, Бернхард 597-2127 597-3100 факс
    Concertline (записанная информация) 597-3146
    Неврология, Thompson Biology 597-4107 597-2085 факс
    Окли Центр, Окли 597-2177 597-4126 факс
    Управление институционального разнообразия и справедливости, Хопкинс-холл 597-4376 597-4015 факс
    Управление счетов студентов, Хопкинс-холл 597-4396 597-4404 факс
    Исследования эффективности, 62 Центр 597-4366
    Философия, Шапиро 597-2074 597-4620 факс
    Физика, Thompson Physics 597-2482 597-4116 факс
    Планетарий / Обсерватория Хопкинса 597-3030
    Старый театр обсерватории Хопкинса 597-4828
    Бронирование 597-2188
    Политическая экономия, Шапиро 597-2327
    Политология, Шапиро 597-2168 597-4194 факс
    Офис президента, Хопкинс Холл 597-4233 597-4015 факс
    Дом Президента 597-2388 597-4848 факс
    Услуги печати / почты для преподавателей / сотрудников, ’37 House 597-2022
    Программа обучения, Бронфман 597-4522 597-2085 факс
    Офис Провоста, Хопкинс Холл 597-4352 597-3553 факс
    Психология, психологические кабинеты и лаборатории 597-2441 597-2085 факс
    Недвижимость, корпус B&L 597-2195 / 4238 597-5031 факс
    Ипотека для преподавателей / сотрудников 597-4238
    Аренда жилья для преподавателей / сотрудников 597-2195
    Офис регистратора, Хопкинс Холл 597-4286 597-4010 факс
    Религия, Холландер 597-2076 597-4222 факс
    Romance Languages, Hollander 597-2391 597-3028 факс
    Планировщик помещений 597-2555
    Соответствие требованиям безопасности и охраны окружающей среды, класс ’37, дом 597-3003
    Библиотека Сойера, Сойер 597-2501 597-4106 факс
    Службы доступа 597-2501
    Приобретения / Серийные номера 597-2506
    Каталогизация / Службы метаданных 597-2507
    Межбиблиотечный абонемент 597-2005 597-2478 факс
    Исследовательские и справочные службы 597-2515
    Стеллаж 597-4955 597-4948 факс
    Системы 597-2084
    Научная библиотека Schow, Научный центр 597-4500 597-4600 факс
    Исследования в области науки и технологий, Бронфман 597-2239
    Научный центр, Бронфман 597-4116 факс
    Магазин электроники 597-2205
    Машинно-модельный цех 597-2230
    Безопасность 597-4444
    Специальные академические программы, Харди 597-3747 597-4530 факс
    Спортивная информация, Хопкинс-холл 597-4982 597-4158 факс
    Студенческая жизнь, Парески 597-4747
    Планировщик помещений 597-2555
    Управление студенческими центрами 597-4191
    Организация студенческих мероприятий 597-2546
    Студенческое общежитие, Парески 597-2555
    Участие студентов 597-4749
    Программы проживания в старших классах 597-4625
    Студенческая почта, Паресский почтовый кабинет 597-2150
    Устойчивое развитие / Центр Зилха, Харпер 597-4462
    Коммутатор, Хопкинс Холл 597-3131
    Книжный магазин Уильямса 458-8071 458-0249 факс
    Театр, 62 Центр 597-2342 597-4170 факс
    Trust & Estate Administration, Sears House 597-4259
    Учебники 597-2580
    вице-президент по вопросам жизни в кампусе, Хопкинс-холл 597-2044 597-3996 факс
    Вице-президент по связям с колледжем, Мирс 597-4057 597-4178 факс
    Вице-президент по финансам и администрированию, Хопкинс-холл 597-4421 597-4192 факс
    Центр визуальных ресурсов, Лоуренс 597-2015 597-3498 факс
    Детский центр Williams College, Детский центр Williams 597-4008 597-4889 факс
    Музей искусств колледжа Уильямс (WCMA), Лоуренс 597-2429 597-5000 факс
    Подготовка музея 597-2426
    Служба безопасности музея 597-2376
    Музейный магазин 597-3233
    Williams International 597-2161
    Williams Outing Club, Парески 597-2317
    Оборудование / Студенческий стол 597-4784
    Проект Уильямса по экономике высшего образования, Мирс-Вест 597-2192
    Уильямс Рекорд, Парески 597-2400 597-2450 факс
    Программа Уильямса-Эксетера в Оксфорде, Оксфордский университет 011-44-1865-512345
    Программа Williams-Mystic, Mystic Seaport Museum 860-572-5359 860-572-5329 факс
    Исследования женщин, гендера и сексуальности, Шапиро 597-3143 597-4620 факс
    Написание программ, Хопкинс-холл 597-4615
    Центр экологических инициатив «Зилха», Харпер 597-4462

    Решение уравнений пятого порядка | Энциклопедия.com

    Обзор

    К девятнадцатому веку математики уже давно интересовались решением уравнений, называемых полиномами. Однако Паоло Руффини (1765-1822) и Нильс Абель (1802-1829) доказали, что некоторые многочлены не могут быть решены известными ранее методами. Частично в ответ Эварист Галуа (1811-1832) разработал новый способ анализа и работы с этими типами уравнений. Этот метод называется теорией групп, и он должен был иметь применение в других областях науки, таких как минералогия, физика и химия.

    Предпосылки

    Полиномиальные уравнения используются почти во всех областях математики и естествознания. Пример полиномиального уравнения: 3 x 2 + 4 x + 5 = 0. Это уравнение называется полиномом второй степени, потому что его максимальная степень x равна 2. Степень полинома указывает количество имеющихся решений. Число называется решением полиномиального уравнения, если его подстановка в уравнение делает уравнение истинным.Например, число 7 является решением уравнения x + 5 = 12. К девятнадцатому веку математики уже открыли способы решения полиномиальных уравнений второй, третьей и четвертой степени. Затем они обратили свое внимание на решение уравнений пятой степени или пятой степени. (Пример уравнения пятой степени: 6 x 5 + 3 x 4 + 3 x 2 + 5 x + 6 = 0.)

    Основная теорема алгебры будет стали важными при поиске решений уравнений пятой степени.Карл Гаусс (1777-1855), которого иногда называют основателем современной математики, доказал эту теорему в 1801 году. Теорема Гаусса касается связи между коэффициентами полиномиального уравнения и его решений. (Для полинома 4 x 2 + 7 x = 0, коэффициенты — это числа 4 и 7.) В частности, основная теорема алгебры касается полиномов с комплексными коэффициентами . Комплексные числа состоят из двух частей: действительной части и мнимой части .Действительные числа — это положительные числа, отрицательные числа и ноль. Мнимые числа являются произведением действительного числа и i. ( i представляет собой квадратный корень из -1.) Число 5 + 3 i является примером комплексного числа; 5 — действительная часть, а 3 i — мнимая часть. Число 7 также является комплексным числом; 7 равно 7 + 0 i. Основная теорема алгебры Гаусса утверждает, что каждое полиномиальное уравнение с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере одно комплексное решение.

    Полиномиальные уравнения степени меньше пяти считаются решаемыми в радикалах. Это означает, что их можно решить, сочетая сложение, вычитание, умножение, деление и извлечение корней. В 1796 году итальянский математик Паоло Руффини предположил, что уравнения пятой степени не могут быть решены с помощью радикалов. Однако из-за фундаментальной теоремы алгебры Руффини знал, что решения квинтик должны существовать. Поэтому его гипотеза предполагала, что для решения этих уравнений потребуется гораздо более сложная математика.Руффини попытался доказать свое предложение в 1799 году, но ему это не удалось. Кроме того, большая часть его работы была настолько сложной, что ее не могли понять даже ведущие математики. Руффини опубликовал дополнительные доказательства, пытаясь убедить других в своем открытии. Тем не менее, ему по-прежнему было трудно добиться признания своей работы.

    В 1824 году норвежский математик Нильс Абель также представил доказательство того, что в общем случае уравнения пятой степени не могут быть решены в радикалах.Абель послал копию своей статьи Карлу Гауссу, который, как и математики, которые видели доказательства Руффини, не осознали их важности. Однако в течение пяти лет работа Абеля стала известна и принята во всем европейском математическом сообществе. Абель также показал, что в некоторых частных случаях уравнения пятой степени могут быть решены радикалами. Эти уравнения теперь называются абелевыми уравнениями. Например, легко увидеть, что уравнение пятой степени x 5 — 1 = 0 верно, когда x = 1.Этот факт заставил Абеля задуматься, существует ли способ определить, легко ли разрешимо уравнение пятой степени. Однако он умер в возрасте 26 лет, прежде чем смог начать расследование этого вопроса.

    Французский математик Эварист Галуа занялся работой Абеля. В частности, Галуа изучал идеи Абеля о группах. Группа — это набор чисел, которые можно объединять попарно, чтобы полученные числа также входили в набор. (Например, целые числа образуют группу для операции сложения.Всякий раз, когда складываются два целых числа, результатом всегда является другое целое число.) Галуа разработал то, что стало известно как групповая теория алгебры. Теория групп — это раздел математики, занимающийся идентификацией групп и изучением их свойств. Его работа по теории групп не получила широкого признания до тех пор, пока она не была опубликована в 1846 году, через 14 лет после его смерти.

    Удар

    Теория групп привела к совершенно иному способу поиска и анализа решений полиномиальных уравнений.Он включал изучение перестановок решений уравнения. Перестановка — это комбинация группы объектов, в которой важен порядок объектов. (Например, перестановки букв A и B — это AB и BA.) Все перестановки решений уравнения образуют группу. Затем эти перестановки можно комбинировать различными способами для образования подгрупп. Анализируя способы, которыми эти подгруппы связаны, Гаусс мог определить, решается ли полиномиальное уравнение радикалами.

    Теория групп Галуа — одно из свидетельств важного перехода, произошедшего в области математики в девятнадцатом веке. Вместо того, чтобы выполнять вычисления для решения конкретной проблемы (например, найти два решения уравнения x 2 + 5 x — 6 = 0), математики начали работать с чрезвычайно сложным анализом общих проблем (таких как определение того, какие типы многочленов разрешимы в радикалах). Галуа понимал, что его метод использования групп был исключительно теоретическим и не предполагал, что это будет практический метод решения уравнений.Фактически, анализ Галуа перестановок решений уравнений проводился без фактического знания числовых значений самих решений.

    В 1870 году французский математик Камиль Жордан (1838-1922) опубликовал отредактированную версию теории Галуа в своей книге Трактат о подстановках и алгебраических уравнениях. Многие современные концепции теории групп впервые появились в работе Джордана. Например, он определил разрешимую группу как группу, принадлежащую уравнению, разрешимому в радикалах.Джордан также ответил на вопрос, поставленный Абелем, о том, какие уравнения пятой степени разрешимы в радикалах. Джордан пришел к выводу, что уравнение пятой степени разрешимо в радикалах, если его решения образуют разрешимую группу.

    Шарль Эрмит (1822–1901), французский математик, опубликовал решение уравнений пятой степени в 1858 году. Его решение включало использование эллиптических функций. Функция определяет отношение между независимой переменной и зависимой переменной. Например, y = 3 x + 5 — это функция, в которой x — независимая переменная, а y — зависимая переменная.Эллиптическая функция может использоваться для вычисления периметра эллипса. Зависимая переменная эллиптической функции сложна (другими словами, она имеет действительную и мнимую части). Таким образом, Эрмит показал, что сложные функции могут использоваться для решения уравнений пятой степени.

    В 1878 году немецкий математик Людвиг Киперт написал статью, описывающую систематическую процедуру, которую можно использовать для решения уравнений пятой степени, основанную на теории групп Галуа и использовании эллиптических функций Эрмитом.Однако процедура Киперта, как и процедуры других математиков, была в значительной степени непрактичной, потому что задействованная математика была слишком сложной для выполнения в то время. Только в конце двадцатого века и с развитием компьютеров такие процедуры не смогли найти практического применения.

    Другое применение теории групп Галуа состоит в том, что ее можно использовать для изучения симметрии физических объектов. Объект имеет симметрию , если кажется, что изменение его положения в пространстве оставляет его неподвижным.Например, когда квадрат повернут на 180 °, кажется, что он вообще не сдвинулся. Таким образом, поворот на 180 ° является элементом симметрии квадрата. Элементы симметрии могут включать вращение, отражение и перенос.

    Феликс Клейн (1849-1925) был одним из первых математиков, которые использовали теорию групп и решения полиномиальных уравнений для изучения симметрии физических объектов. В частности, он изучал уравнения пятой степени. Пятый многочлен имеет пять решений. Группа, составленная из перестановок этих пяти решений, состоит из 120 элементов.(Есть 5! Или 120 перестановок пяти объектов, взятых по пять одновременно.) Икосаэдр — это трехмерная фигура с 20 гранями и 120 элементами симметрии. Эти элементы симметрии образуют группу. Следовательно, группу уравнения пятой степени можно использовать для изучения группы симметрии икосаэдра, и наоборот. Кляйн впервые описал это соотношение в 1884 году.

    Уравнения пятой степени — не единственные многочлены, которые можно использовать для изучения симметрии. Например, полиномы четвертой степени или четвертой степени могут использоваться для анализа симметрии тетраэдров.У тетраэдра четыре грани, каждая из которых представляет собой равносторонний треугольник. В группе перестановок многочленов четвертой степени 4! или 24 элемента, и группа симметрии тетраэдра также имеет 24 элемента.

    Огюст Браве (1811-1863), французский физик и минералог, использовал теорию групп, поскольку она связана с симметрией, для определения структуры кристаллов. Атомы в кристалле расположены определенным образом. Эти устройства демонстрируют элементы симметрии. Браве проанализировал перестановки решений многочленов, чтобы изучить эту симметрию.В 1849 году он опубликовал статью, в которой предложил 32 класса молекулярных структур, обнаруженных в кристаллах.

    В двадцатом веке физики использовали теорию групп для изучения взаимодействия субатомных частиц. Анализируя симметрию, они могли определить, какие взаимодействия между частицами возможны, а какие нет. Химики также изучали симметрию, чтобы определить расположение атомов в молекулах. Например, они определили, что молекула метана имеет форму тетраэдра.Молекула метана состоит из одного атома углерода и четырех атомов водорода. Атом углерода расположен в центре, а атомы водорода расположены вокруг него в четырех углах тетраэдра. Следовательно, симметрия молекулы метана может быть описана полиномиальным уравнением четвертой степени. Есть также молекулы, которые можно изучать с помощью уравнений пятой степени. Например, химическое вещество под названием o -карборан состоит из двух атомов углерода, 10 атомов бора и 12 атомов водорода.Два атома углерода находятся в центре молекулы, а атомы бора и водорода образуют углы икосаэдра. Сегодня ученые и математики во многих областях продолжают находить новые приложения теории групп.

    СТЕЙСИ Р. МЮРРЕЙ

    Дополнительная литература

    Книги

    Амдал, Кевин и Джим Лоутс. Алгебра отключена. Нью-Йорк: Клируотер Паблишинг Компани, 1996.

    Белл, Эрик Темпл. Математики. New York: Touchstone Books, 1986.

    Other

    Архив истории математики MacTutor. Университет Сент-Эндрюс, 1999. http://www-groups.dcs.st_and.ac.uk/~history

    «Краткая история», в Solving the Quintic . Библиотека исследовательских ресурсов Wolfram. 2000. http://library.wolfram.com/examples/quintic/timeline.html

    Наука и ее времена: понимание социальной значимости научных открытий

    Как найти уравнение многочлена пятой степени по его графику

    My Более ранняя статья о том, как найти уравнение квадратичной функции по ее графику, вызвала большой интерес и вызвала много посещений.

    В недавнем комментарии к этой статье читатель Майк спросил:

    «Как мы могли бы вычислить уравнения других типов графиков?»

    Допустим, у меня есть следующий пятый график. Как мне определить функцию? »

    На графике отмечены несколько ключевых точек:

    1. Имеется 5 перехватов x (черные точки)
    2. Есть 2 локальных максимума и 2 локальных минимума (красные точки)
    3. Есть 3 точки перегиба (зеленые точки)

    [Для получения дополнительной информации о значении этих терминов см. Создание эскиза кривой с использованием дифференцирования].

    Этого должно быть достаточно, чтобы найти хорошее приближение для уравнения функции.

    Я собираюсь предположить, что это квинтика (то есть полиномиальная функция степени 5), не только потому, что Майк сказал, что это было так, но также кривая становится очень крутой в крайнем левом и крайнем правом углу, предполагая, что это квинтика. Конечно, возможны и другие кривые за пределами указанной области, но мы можем работать только с тем, что нам дано.

    Общий вид пятерки

    Полиномиальная функция степени 5 (квинтика) имеет общий вид:

    y = px 5 + qx 4 + rx 3 + sx 2 + tx + u

    Сначала найдем простейшее значение — константу и .

    Нахождение константы

    Из графика мы видим, что когда x = 0, y = −1. Подставляя эти значения в нашу квинтику, получаем u = −1

    Итак, наша квинтика становится:

    y = пикселей 5 + qx 4 + rx 3 + sx 2 + tx — 1

    Поиск перехватов

    x

    Наша цель — составить систему из 5 уравнений с 5 неизвестными.

    Затем мы подставим x -перехваты (где y = 0). Слишком сложно оценить места, где кривая пересекает ось x , поэтому мы строим сетку следующим образом:

    Используя эту сетку, мы можем оценить, где находятся черные точки на оси x :

    x = -0,96, -0,15, 1,28, 1,8, 3,05

    Мы заменяем эти 5 точек по одной в наше общее уравнение пятой степени и получаем следующие 5 уравнений (конечно, я использую программное обеспечение для выполнения этих шагов):

    — 0.8154 p + 0,8493 q — 0,8847 r + 0,9216 s — 0,96 t — 1 = 0 … [1]

    — 0,00008 p + 0,0005 q — 0,003 r + 0,0225 s — 0,15 t — 1 = 0 … [2]

    3,4360 p + 2,6844 q + 2,0972 r +1,6384 s + 1,28 t — 1 = 0 … [3]

    18.8957 п. + 10.4976 q + 5,832 r + 3,24 s + 1,8 t — 1 = 0 … [4]

    263.9363 p + 86 5365 q + 28.3726 r + 9.3025 s + 3.05 t — 1 = 0 … [5]

    Затем мы решаем эти 5 одновременных уравнений (используя систему компьютерной алгебры) и получаем:

    п = 0,9882235373

    q = −4.960882158

    r = 4.978373717

    с = 5.015096102

    т = −6,043658926

    Это означает, что наше уравнение пятой степени приблизительно равно:

    y = 0,988 x 5 4,96 x 4 + 4,978 x 3 + 5,015 x 2 — 6,043 x — 1

    (Конечно, я использовал всю доступную точность повсюду, но округлил свои ответы для ясности.)

    Уравнение правильное?

    В предыдущей статье о нахождении уравнения квадратичной кривой мы узнали, что существует бесконечное количество возможностей, если мы будем использовать только интервалы x .

    Однако насколько хорошо решение, которое мы только что нашли?

    Проверим графически, потом аналитически.

    Полученный выше график определенно близок к приведенной исходной кривой.

    Теперь давайте аналитически исследуем, имеют ли смысл другие ключевые точки на графике.

    Локальные максимумы и минимумы

    Локальные максимумы и локальные минимумы («вершины холмов» и «основания долин») находятся путем нахождения первой производной, установки ее равной 0 и последующего решения относительно x .

    Это равно 0, когда x = -0,648, 0,458, 1,551 или 2,655.

    Подставляя их обратно в уравнение для квинтики, мы получаем два локальных максимума:

    (-0,648, 2,680) и (1,551, 0,427),

    и два локальных минимума:

    (0,458, -2,436) и (2,655, -4,653).

    Проверка на графике выше показывает, что они очень близки к красным точкам на кривой.

    Точки перегиба

    На графике показаны три точки перегиба.Давайте найдем точки перегиба, используя уравнение пятой степени, которое я нашел.

    Находим вторую производную и приравниваем к нулю.

    Эта вторая производная равна нулю, когда x = -0,226, 1,004 или 2,234.

    Подставляя их обратно в уравнение для квинтики, получаем точки перегиба:

    (-0,226, 0,552), (1,004, -1,005) и (2,234, -2,540).

    Это очень близко к зеленым точкам на кривой.

    Таким образом, мы можем быть уверены, что у нас есть очень хорошее приближение для уравнения квинтики.

    Исходное уравнение

    Проницательные из вас заметили бы, что полученное мною уравнение на самом деле очень близко к следующему уравнению с целыми значениями коэффициентов:

    y = x 5 5 x 4 + 5 x 3 + 5 x 2 — 6 x — 1

    Фактически, это была исходная кривая, как показано на странице, откуда взят график.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *