Гаусса решение онлайн: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса.

Содержание

Метод Жордана-Гаусса — онлайн калькулятор с подробным решением

Данное решение сделано калькулятором, представленным на сайте.

Пожалуйста, обратите внимание, что коэффициенты расположенные на «красных» позициях исчезают.

3 x1 + 2 x2 + x3 + x4 = — 2
x1 x2 + 4 x3 x4 = — 1
2 x1 2 x2 3 x3 + x4 = 9
x1 + 5 x2 x3 + 2 x4 = 4

Уравнения 1 и 2 поменяем местами.

x1 x2 + 4 x3 x4 = — 1
3 x1 + 2 x2 + x3 + x4 = — 2
2 x1 2 x2 3 x3 + x4 = 9
x1 + 5 x2 x3 + 2 x4 = 4

К уравнению 2 прибавляем уравнение 1, умноженное на -3.   подробнее

( 3 x1 + x1 * ( -3) )

+ ( 2 x2 + ( — x2) * ( -3) )

+ ( x3 + 4 x3 * ( -3) )

+ ( x4 + ( — x4) * ( -3) )

= -2 + ( -1) * ( -3)

«Красный» коэффициент равен нулю.

x1 x2 + 4 x3 x4 = — 1
5 x2 11 x3 + 4 x4 = 1
2 x1 2 x2 3 x3 + x4 = 9
x1 + 5 x2 x3 + 2 x4 = 4

К уравнению 3 прибавляем уравнение 1, умноженное на 2.   подробнее

( -2 x1 + x1 * 2 )

+ ( -2 x2 + ( — x2) * 2 )

+ ( -3 x3 + 4 x3 * 2 )

+ ( x4 + ( — x4) * 2 )

= 9 + ( -1) * 2

«Красный» коэффициент равен нулю.

x1 x2 + 4 x3 x4 = — 1
5 x2 11 x3 + 4 x4 = 1
4 x2 + 5 x3 x4 = 7
x1 + 5 x2 x3 + 2 x4 = 4

К уравнению 4 прибавляем уравнение 1, умноженное на -1.   подробнее

( x1 + x1 * ( -1) )

+ ( 5 x2 + ( — x2) * ( -1) )

+ ( — x3 + 4 x3 * ( -1) )

+ ( 2 x4 + ( — x4) * ( -1) )

= 4 + ( -1) * ( -1)

«Красный» коэффициент равен нулю.

x1 x2 + 4 x3 x4 = — 1
5 x2 11 x3 + 4 x4 = 1
4 x2 + 5 x3 x4 = 7
6 x2 5 x3 + 3 x4 = 5

( 5 x2 + ( -4 x2) )

+ ( -11 x3 + 5 x3)

+ ( 4 x4 + ( — x4) )

= 1 + 7

Данное преобразование позволит нам считать без дробей какое то время.

x1 x2 + 4 x3 x4 = — 1
x2 6 x3 + 3 x4 = 8
4 x2 + 5 x3 x4 = 7
6 x2 5 x3 + 3 x4 = 5

К уравнению 3 прибавляем уравнение 2, умноженное на 4.   подробнее

( -4 x2 + x2 * 4 )

+ ( 5 x3 + ( -6 x3) * 4 )

+ ( — x4 + 3 x4 * 4 )

= 7 + 8 * 4

«Красный» коэффициент равен нулю.

x1 x2 + 4 x3 x4 = — 1
x2 6 x3 + 3 x4 = 8
19 x3 + 11 x4 = 39
6 x2 5 x3 + 3 x4 = 5

К уравнению 4 прибавляем уравнение 2, умноженное на -6.   подробнее

( 6 x2 + x2 * ( -6) )

+ ( -5 x3 + ( -6 x3) * ( -6) )

+ ( 3 x4 + 3 x4 * ( -6) )

= 5 + 8 * ( -6)

«Красный» коэффициент равен нулю.

x1 x2 + 4 x3 x4 = — 1
x2 6 x3 + 3 x4 = 8
19 x3 + 11 x4 = 39
31 x3 15 x4 = — 43

К уравнению 4 прибавляем уравнение 3, умноженное на 31/19.   подробнее

( 31 x3 + ( -19 x3) * 31/19 )

+ ( -15 x4 + 11 x4 * 31/19 )

= -43 + 39 * 31/19

«Красный» коэффициент равен нулю.

x1 x2 + 4 x3 x4 = — 1
x2 6 x3 + 3 x4 = 8
19 x3 + 11 x4 = 39
56/19 x4 = 392/19

Уравнеие 4 разделим на 56/19.

x1 x2 + 4 x3 x4 = — 1
x2 6 x3 + 3 x4 = 8
19 x3 + 11 x4 = 39
x4 = 7

К уравнению 3 прибавляем уравнение 4, умноженное на -11.   подробнее

— 19 x3

+ ( 11 x4 + x4 * ( -11) )

= 39 + 7 * ( -11)

«Красный» коэффициент равен нулю.

x1 x2 + 4 x3 x4 = — 1
x2 6 x3 + 3 x4 = 8
19 x3 = — 38
x4 = 7

К уравнению 2 прибавляем уравнение 4, умноженное на -3.   подробнее

x2

— 6 x3

+ ( 3 x4 + x4 * ( -3) )

= 8 + 7 * ( -3)

«Красный» коэффициент равен нулю.

x1 x2 + 4 x3 x4 = — 1
x2 6 x3 = — 13
19 x3 = — 38
x4 = 7

x1

+ — x2

+ 4 x3

+ ( — x4 + x4)

= -1 + 7

«Красный» коэффициент равен нулю.

x1 x2 + 4 x3 = 6
x2 6 x3 = — 13
19 x3 = — 38
x4 = 7

Уравнеие 3 разделим на -19.

x1 x2 + 4 x3 = 6
x2 6 x3 = — 13
x3 = 2
x4 = 7

К уравнению 2 прибавляем уравнение 3, умноженное на 6.   подробнее

x2

+ ( -6 x3 + x3 * 6 )

= -13 + 2 * 6

«Красный» коэффициент равен нулю.

x1 x2 + 4 x3 = 6
x2 = — 1
x3 = 2
x4 = 7

К уравнению 1 прибавляем уравнение 3, умноженное на -4.   подробнее

x1

+ — x2

+ ( 4 x3 + x3 * ( -4) )

= 6 + 2 * ( -4)

«Красный» коэффициент равен нулю.

x1 x2 = — 2
x2 = — 1
x3 = 2
x4 = 7

x1

+ ( — x2 + x2)

= -2 + ( -1)

«Красный» коэффициент равен нулю.

x1 = — 3
x2 = — 1
x3 = 2
x4 = 7

Ответ:

x1 = — 3

x2 = — 1

x3 = 2

x4 = 7

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса-Жордана

метод Гаусса–Жордана – один из наиболее известных и широко применяемых методов решения систем линейных уравнений. Матричный метод и метод Крамера обладают тем недостатком,
что они не дают ответа в том случае, когда detA = 0, а определяют лишь единственное решение при detA неравном 0. Еще одним недостатком является то, что объем математических вычислений
в рамках этих методов резко возрастает с ростом числа уравнений. Метод Гаусса практически свободен от этих недостатков.

Алгоритм метода Гаусса

  1. На основании системы линейных уравнений составляем расширенную матрицу системы;
  2. Приводим матрицу к “треугольному” виду;
  3. Определяем ранги основной и расширенной матриц, и на основании этого делаем вывод о совместности системы и количестве допустимых решений;
  4. В случае, если система имеет единственное решение производим обратную подстановку и находим его, если система имеет множество решений: выражаем базисные переменные через
    переменные которые могут принимать произвольные значения;

Комментарий к шагу 2 Метода Гаусса. Треугольной называют матрицу, в которой все элементы расположенные ниже главной диагонали равны нулю.

Для приведения исходной расширенной матрицы к треугольному виду используем следующие два свойства определителей:

Свойство 1. Определитель не изменит свое значение, если ко всем элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы параллельной строки (столбца), умноженные на произвольное одно и то же число.

Свойство 2. При перестановке двух любых столбцов или строк матрицы ее определитель меняет знак на противоположный, а абсолютная величина определителя остается неизменной.

На основании этих свойств определителей составим алгоритм преобразования матрицы к треугольному виду:

  1. Рассматриваем строку i(начиная с первой). Если, элемент aii равен нулю, меняем местами i-ю и i+1-ю строки матрицы. Знак определителя при этом изменится на противоположный. Если a11 отличен от нуля – переходим к следующему шагу;
  2. Для каждой строки j, ниже i-й находим значение коэффициента Kj=aji/aii;
  3. Пересчитываем элементы всех строк j, расположенных ниже текущей строки i, с использованием соответствующих коэффициентов по формуле: ajkнов.=ajk-Kj*aik;
    После чего, возвращаемся к первому шагу алгоритма и рассматриваем следующую строку, пока не доберемся до строки i=n-1, где n – размерность матрицы A
  4. В полученной треугольной матрице расчитываем произведение всех элементов главной диагонали Пaii, которое и будет являтся определителем;

Другими словами, суть метода можно сформулировать следующим образом. Нам необходимо сделать нулевыми все элементы матрицы ниже главной диагонали. Сначала мы получаем нули в первом столбце.
Для этого мы последовательно вычитаем первую строку, домноженную на нужное нам число (такое, чтоб при вычитании мы получили ноль в первом элементе строки), из всех ниже лежащих строк.
Затем проделываем то же самое для второй строки, чтобы получить нули во втором столбце ниже главной диагонали матрицы. И так далее пока не доберемся до предпоследней строки.

Комментарий к шагу 3 Метода Гаусса. Рангом матрицы A размера m × n называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы. Ранг матрицы A обозначается через r(A) = rangA = rankA.
Минором M (от латинского “minor” меньший) k-го порядка матрицы A называется определитель некоторой матрицы, составленной из элементов матрицы A, стоящих на пересечении произвольно выбранных k
строк и k столбцов с сохранением их порядка. Если номера столбцов, в которых расположен минор M, совпадают с номерами строк, то этот минор называется главным. Каждая матрица A порядка n имеет
(Ckn)2 миноров k-го порядка. Минорами 1-го порядка являются сами элементы матрицы A.

Основываясь на сравнении полученных значений рангов для основной и расширенной матрицы можно сделать следующие выводы о разрешимости системы:

  • если ранг основной системы равен рангу расширенной и равен числу уравнений системы (rangA=rangA’=n), то система совместна и имеет единственное решение;
  • если ранг основной системы равен рангу расширенной, но меньше числа уравнений в системе (rangA=rangA’
  • если ранг основной системы меньше ранга расширенной (rangA

Онлайн решение системы комплексных линейных уравнений

Вы ввели следующую систему уравнений
Решение системы следующее

Наборы линейных уравнений довольно часто встречаются в повседневных расчетах, поэтому методов их решения придумано великое множество.

Но перед рассмотрением самого простого алгоритма нахождения неизвестных стоит вспомнить о том, что вообще может иметь система таких уравнений:

— иметь только одно верное решение;

— иметь бесконечное множество корней;

— иметь несовместный тип (когда решений быть не может).

Метод Гаусса, используемый нашим АБАК-ботом — самое мощное и безотказное средство для поиска решения любой системы уравнений линейного типа.

Возвращаясь к терминам высшей математики, метод Гаусса можно сформулировать так: с помощью элементарных преобразований система уравнений должна быть приведена к равносильной системе треугольного типа (или т.н. ступенчатого типа), из которой постепенно, начиная с самого последнего уравнения, находятся оставшиеся переменные. При всем этом элементарные преобразования над системами — ровно то же самое, что и элементарные преобразования матриц в переложении для строк.

Наш бот умеет молниеносно выдавать решения системы линейных уравнений с неограниченным количеством переменных!

Практическое применение решение таких систем находит в электротехнике и геометрии: расчетах токов в сложных контурах и выведение уравнения прямой при пересечении трех плоскостей  а также в множестве специализированных задач.

Данный сервис позволяет решать неограниченную по размерам систему линейных уравнений с комплексными коэффициентами.

 

Ну, раз  бот умеет считать решения комплексных систем, то для него не составит труда считать частный случай, когда элементы системы являются вещественные числа. 

 

Второе, в школе Вам это наверняка не понадобится, но вот в институте, особенно институтах связи, при расчетах токов в сложных контурах в электротехнике, наверняка пригодится.

 

 Рассчитаем комплексную систему линейных уравнений такого вида

 

 

Записываем все элементы в поле ввода. Как видите, данные могут быть не только числовые но и быть произвольным выражением, включающее в себя комплексные числа.

 

И получаем следующий результат.

 





Вы ввели следующую систему уравнений
Решение системы следующее

Успехов в расчетах !

 

 

Решение высшей математики онлайн

‹— Назад

Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными . Требуется найти ее общее решение, если она совместна, или установить ее несовместность. Метод, который будет изложен в этом разделе, близок к методу вычисления определителя 5.1.с и к методу нахождения ранга матрицы (раздел 5.8). Предлагаемый алгоритм называется методом Гаусса или методом последовательного исключения неизвестных.

Выпишем расширенную матрицу системы

Назовем элементарными операциями следующие действия с матрицами:

  1. перестановка строк;
  2. умножение строки на число, отличное от нуля;
  3. сложение строки с другой строкой, умноженной на число.

Отметим, что при решении системы уравнений, в отличие от вычисления определителя и нахождения ранга, нельзя оперировать со столбцами.

Читатель легко проверит, что если по матрице, полученной из выполнением элементарной операции, восстановить систему уравнений, то новая система будет равносильна исходной.

Цель алгоритма — с помощью применения последовательности элементарных операций к матрице добиться, чтобы каждая строка, кроме, быть может, первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей.

Шаг алгоритма заключается в следующем. Находим первый ненулевой столбец в матрице . Пусть это будет столбец с номером . Находим в нем ненулевой элемент и строку с этим элементом меняем местами с первой строкой. Чтобы не нагромождать дополнительных обозначений, будем считать, что такая смена строк в матрице уже произведена, то есть . Тогда ко второй строке прибавим первую, умноженную на число , к третьей строке прибавим первую, умноженную на число , и т.д. В результате получим матрицу

(Первые нулевые столбцы, как правило, отсутствуют.)

Если в матрице встретилась строка с номером , в которой все элементы равны нулю, а , то выполнение алгоритма останавливаем и делаем вывод, что система несовместна. Действительно, восстанавливая систему уравнений по расширенной матрице, получим, что -ое уравнение будет иметь вид

Этому уравнению не удовлетворяет ни один набор чисел .

Матрицу можно записать в виде

где По отношению к матрице выполняем описанный шаг алгоритма. Получаем матрицу где , . Эту матрицу снова можно записать в виде и к матрице снова применим описанный выше шаг алгоритма.

Процесс останавливается, если после выполнения очередного шага новая уменьшенная матрица состоит из одних нулей или если исчерпаны все строки. Заметим, что заключение о несовместности системы могло остановить процесс и ранее.

Если бы мы не уменьшали матрицу, то в итоге пришли бы к матрице вида

Далее выполняется так называемый обратный ход метода Гаусса. По матрице составляем систему уравнений. В левой части оставляем неизвестные с номерами, соответствующими первым ненулевым элементам в каждой строке, то есть . Заметим, что . Остальные неизвестные переносим в правую часть. Считая неизвестные в правой части некоторыми фиксированными величинами, несложно выразить через них неизвестные левой части.

Теперь, придавая неизвестным в правой части произвольные значения и вычисляя значения переменных левой части, мы будем находить различные решения исходной системы . Чтобы записать общее решение, нужно неизвестные в правой части обозначить в каком-либо порядке буквами , включая и те неизвестные, которые явно не выписаны в правой части из-за нулевых коэффициентов, и тогда столбец неизвестных можно записать в виде столбца, где каждый элемент будет линейной комбинацией произвольных величин (в частности, просто произвольной величиной ). Эта запись и будет общим решением системы.

Если система была однородной, то получим общее решение однородной системы. Коэффициенты при , взятые в каждом элементе столбца общего решения, составят первое решение из фундаментальной системы решений, коэффициенты при  — второе решение и т.д.

Фундаментальную систему решений однородной системы можно получить и другим способом. Для этого одному переменному, перенесенному в правую часть, нужно присвоить значение 1, а остальным — нули. Вычислив значения переменных в левой части, получим одно решение из фундаментальной системы. Присвоив другому переменному в правой части значение 1, а остальным — нули, получим второе решение из фундаментальной системы и т.д.

        Замечание 15.4   У читателя может возникнуть вопрос: «Зачем рассматривать случай, когда некоторые столбцы матрицы нулевые? Ведь в этом случае соответствующие им переменные в системе уравнений в явном виде отсутствуют.» Но дело том, что в некоторых задачах, например, при нахождении собственных чисел матрицы, такие системы возникают, и игнорировать отсутствующие переменные нельзя, так как при этом происходит потеря важных для задачи решений.                  Пример 15.2   Найдите общее решение системы уравнений где неизвестными являются .

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы

Прибавим ко второй строке первую, умноженную на число , к третьей строке прибавим первую, умноженную на . В результате получим Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на число . Получим Прямой ход метода Гаусса закончен. Выписываем по матрице систему уравнений Переносим в правую часть неизвестные (неизвестное реально в ней присутствовать не будет, коэффициент перед ним равен нулю). Получаем Пусть , , , . Из уравнений находим:

Ответ: , , , , , , где , , ,  — произвольные числа.         

        Замечание 15.5   В процессе решения можно также установить, какие ранги у матриц и и где расположены их базисные миноры. В предыдущем примере , базисный минор расположен в строках с номерами 1, 2, столбцах с номерами 2, 5.                  Пример 15.3   Найдите общее решение системы уравнений

Решение. Запишем расширенную матрицу системы:

Ко второй строке прибавим первую, умноженную на , к третьей строке прибавим первую, умноженную на , к четвертой строке прибавим первую, умноженную на : Вторую строку, умноженную на , прибавим к третьей: В третьей строке все элементы равны нулю, а элемент . Значит, система несовместна.

Ответ: Система несовместна.         

        Пример 15.4   Решите систему

Решение. Имеем:

Первую строку, умноженную на числа , , , прибавим соответственно ко второй, третьей и четвертой строкам: К третьей строке прибавим вторую, умноженную на . Получим К четвертой строке прибавим третью, умноженную на : Выписываем по матрице систему уравнений: Находим последовательно значения неизвестных:

Ответ: .         

        Замечание 15.6   Так же, как и при решении системы уравнений по правилу Крамера, при использовании метода Гаусса приходится выполнять большой объем вычислительной работы. Из-за этого вполне возможно, что будет допущена какая-либо ошибка в вычислениях. Поэтому желательно после решения системы выполнить проверку, то есть подставить полученные значения неизвестных в уравнения системы. Для выполнения полной проверки подстановку нужно произвести во все уравнения системы. Если же по каким-то причинам это не выполнимо, то можно подставить найденные значения в одно уравнение. В отличие от правила Крамера в методе Гаусса эту подстановку нужно производить в ПОСЛЕДНЕЕ уравнение исходной системы. При наличии в этом уравнении всех неизвестных эта подстановка почти всегда покажет наличие ошибки, если таковая была допущена.         

        Пример 15.5   Найдите фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы линейных уравнений:

Решение. Составляем расширенную матрицу системы:

Умножим первую строку последовательно на , 5 и 1 и прибавим соответственно ко второй, третьей и четвертой строкам. Получим матрицу Вторую строку умножим последовательно на числа 4 и 2 и прибавим соответственно к третьей и четвертой строкам. Получим матрицу Прямой ход метода Гаусса закончен. У полученной матрицы легко определить ранг, ее базисный минор . Отсюда следует, что . По  теореме 15.3 число решений в фундаментальной системе равно разности между числом неизвестных и рангом матрицы, в нашем случае фундаментальная система состоит из трех решений.

Переходим к системе уравнений

Неизвестные и оставляем в левой части, остальные переносим в правую часть:

Положим , . Получим , . Первое решение из фундаментальной системы: .

Положим , . Получим , . Второе решение из фундаментальной системы решений: .

Положим , . Получим , . Третье решение из фундаментальной системы решений: . Фундаментальная система решений найдена. Общее решение имеет вид

Ответ: Фундаментальная система решений:
, , , общее решение: .         

        Замечание 15.7   Если решения, составляющие фундаментальную систему, умножить на любые ненулевые числа, то вновь полученные решения снова будут образовывать фундаментальную систему. Поэтому в предыдущем примере фундаментальную систему образуют и такие решения:
, , . Общее решение можно записать так: .         

Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции

Решение уравнений методом Гаусса | matematicus.ru

С помощью метода Гаусса можно решить любую систему линейных уравнений с различным числом уравнений и неизвестных переменных. И именно этим свойством этот метод превосходит матричный метод и метод Крамера.

Суть метода состоит в приведении системы линейных уравнений к ступенчатому (треугольному) виду за счет последовательного исключения неизвестных. Затем её решения с помощью обратной подстановки.


Допустимые преобразования матрицы:

  1. Перестановка местами двух строк или двух столбцов;
  2. Умножение строки на число, которое не равно 0;
  3. Прибавление одной строки к другой.
  4. Исключение или добавление нулевой строки

Допустим, дана система линейных алгебраических уравнений с четырьмя уравнениями и четырьмя неизвестными.

Составим расширенную матрицу СЛАУ:

Затем первое уравнение СЛАУ делим на a11.  При этом a11≠0, если равно нуля, то переставляем две строки или два столбца местами так, чтобы избавится от нуля. После полученное уравнение умножаем на a21 и вычитаем из второго уравнения, дальше, умножаем на a31 и вычитаем из третьего уравнения и т.д.

Также поступаем и с оставшемся уравнениями, т.е. со вторым, третьем и четвёртым. В итоге должна получится матрица ступенчатого или треугольного вида.

Система уравнений примет вид

Такую систему элементарно решить обратным ходом, т.е. последовательным решением уравнений от нижнего к верхнему.

Рассмотрим наиболее подробно метод Гаусса при решении СЛАУ на практике.

Пример 1

Решить методом Гаусса систему уравнений

Решение

Составим расширенную матрицу системы уравнений:

Первую строку разделим на a11, но так как в этой строке a11=0, то необходимо поменять строку у которой первый элемент не равен нулю. Выберем по модулю наибольшей элемент, это a41=2 Поэтому поменяем первую и четвёртую строки местами.

Получаем:

Первую строку разделим на a11=2. Получим матрицу:

Умножаем элементы первой строки на -1 и прибавляем к элементам второй строк. Получим матрицу:

Умножаем элементы первой строки на -1 и прибавляем к элементам третьей строки.

Четвёртую строку оставляем без изменений, так как её первый элемент равен нулю.

Теперь первый столбец не трогаем.

Начинаем повторять действия, которые применяли ранее.

Второе уравнение разделим на a22=-1/2, тогда

Умножаем элементы второй строки на -1/2 и прибавляем к элементам третьей строки.

Умножаем элементы второй строки на -1 и прибавляем к элементам четвёртой строки.

Первый и второй столбец не трогаем.

Третьей столбец разделим на 2.

Умножаем элементы третьей строки на -1 и прибавляем к элементам четвёртой строки.

Получаем ступенчатую систему алгебраических уравнений:

Отсюда, решая систему снизу вверх, получаем корни системы уравнений


Приведём простой пример краткой записи решения СЛАУ методом Гаусса

Пример 2

Решить систему линейных уравнений с тремя неизвестными методом Гаусса.

Решение

Составим расширенную матрицу системы линейных уравнений .

Следовательно, искомая система может быть представлена в ступенчатом виде:

Решая последовательно уравнение, получаем:

Ответ: z = 3; y = 2; x = 1

Метод Гаусса — решение систем линейных уравнений, пример — смотреть онлайн видео урок бесплатно! Автор: alWEBra — Линейная алгебра


В этом видео уроке рассказывается о том, как использовать метод Гаусса при решении систем линейных уравнений, пример. Метод Гаусса является универсальным методом решения систем линейных уравнений. Он основан на последовательном исключении неизвестных. Здесь будет рассмотрен простейший случай, т.е. когда система имеет единственное решение. При решении, системе уравнений сопоставляется, так называемая, расширенная матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных и свободных членов. Суть Метода Гаусса заключается в том, что по определенным правилам выполняется преобразование этой матрицы к виду, в котором ниже главной диагонали располагаются только нули. Элементарные преобразования матрицы выполняются по таким правилам как перемена местами двух строк, умножение (деление) строки на число, добавление к строке другой строки, умножение на число и вычеркивание строки из нулей. После такого преобразования система уравнений легко решается. В качестве примера практического применения метода Гаусса, будет рассмотрено задание с решением системы линейных уравнений с тремя неизвестными. Видео урок «Метод Гаусса — решение систем линейных уравнений, пример» вы можете смотреть онлайн в любое время совершенно бесплатно. Удачи Вам!


  • Автор: alWEBra
  • Длительность: 5:32
  • Дата: 22.11.2013
  • Смотрели: 502
  • Рейтинг: 5.0/1





Если у Вас есть качественные видео уроки, которых нет на нашем сайте, то Вы можете добавить их в нашу коллекцию. Для этого Вам необходимо загрузить их на видеохостинг (например, YouTube) и добавить код видео в форму добавления уроков. Возможность добавлять свои материалы доступна только для зарегистрированных пользователей.

Решение уравнений в Excel методом итераций Крамера и Гаусса

В программе Excel имеется обширный инструментарий для решения различных видов уравнений разными методами.

Рассмотрим на примерах некоторые варианты решений.

Решение уравнений методом подбора параметров Excel

Инструмент «Подбор параметра» применяется в ситуации, когда известен результат, но неизвестны аргументы. Excel подбирает значения до тех пор, пока вычисление не даст нужный итог.

Путь к команде: «Данные» — «Работа с данными» — «Анализ «что-если»» — «Подбор параметра».

Рассмотрим на примере решение квадратного уравнения х2 + 3х + 2 = 0. Порядок нахождения корня средствами Excel:

  1. Введем в ячейку В2 формулу для нахождения значения функции. В качестве аргумента применим ссылку на ячейку В1.
  2. Открываем меню инструмента «Подбор параметра». В графе «Установить в ячейку» — ссылка на ячейку В2, где находится формула. В поле «Значение» вводим 0. Это то значение, которое нужно получить. В графе «Изменяя значение ячейки» — В1. Здесь должен отобразиться отобранный параметр.
  3. После нажатия ОК отобразится результат подбора. Если нужно его сохранить, вновь нажимаем ОК. В противном случае – «Отмена».

Для подбора параметра программа использует циклический процесс. Чтобы изменить число итераций и погрешность, нужно зайти в параметры Excel. На вкладке «Формулы» установить предельное количество итераций, относительную погрешность. Поставить галочку «включить итеративные вычисления».



Как решить систему уравнений матричным методом в Excel

Дана система уравнений:

  1. Значения элементов введем в ячейки Excel в виде таблицы.
  2. Найдем обратную матрицу. Выделим диапазон, куда впоследствии будут помещены элементы матрицы (ориентируемся на количество строк и столбцов в исходной матрице). Открываем список функций (fx). В категории «Математические» находим МОБР. Аргумент – массив ячеек с элементами исходной матрицы.
  3. Нажимаем ОК – в левом верхнем углу диапазона появляется значение. Последовательно жмем кнопку F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter.
  4. Умножим обратную матрицу Ах-1х на матрицу В (именно в таком порядке следования множителей!). Выделяем диапазон, где впоследствии появятся элементы результирующей матрицы (ориентируемся на число строк и столбцов матрицы В). Открываем диалоговое окно математической функции МУМНОЖ. Первый диапазон – обратная матрица. Второй – матрица В.
  5. Закрываем окно с аргументами функции нажатием кнопки ОК. Последовательно нажимаем кнопку F2 и комбинацию Ctrl + Shift + Enter.

Получены корни уравнений.

Решение системы уравнений методом Крамера в Excel

Возьмем систему уравнений из предыдущего примера:

Для их решения методом Крамера вычислим определители матриц, полученных заменой одного столбца в матрице А на столбец-матрицу В.

Для расчета определителей используем функцию МОПРЕД. Аргумент – диапазон с соответствующей матрицей.

Рассчитаем также определитель матрицы А (массив – диапазон матрицы А).

Определитель системы больше 0 – решение можно найти по формуле Крамера (Dx / |A|).

Для расчета Х1: =U2/$U$1, где U2 – D1. Для расчета Х2: =U3/$U$1. И т.д. Получим корни уравнений:

Решение систем уравнений методом Гаусса в Excel

Для примера возьмем простейшую систему уравнений:

3а + 2в – 5с = -1
2а – в – 3с = 13
а + 2в – с = 9

Коэффициенты запишем в матрицу А. Свободные члены – в матрицу В.

Для наглядности свободные члены выделим заливкой. Если в первой ячейке матрицы А оказался 0, нужно поменять местами строки, чтобы здесь оказалось отличное от 0 значение.

  1. Приведем все коэффициенты при а к 0. Кроме первого уравнения. Скопируем значения в первой строке двух матриц в ячейки В6:Е6. В ячейку В7 введем формулу: =B3:Е3-$B$2:$Е$2*(B3/$B$2). Выделим диапазон В7:Е7. Нажмем F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter. Мы отняли от второй строки первую, умноженную на отношение первых элементов второго и первого уравнения.
  2. Копируем введенную формулу на 8 и 9 строки. Так мы избавились от коэффициентов перед а. Сохранили только первое уравнение.
  3. Приведем к 0 коэффициенты перед в в третьем и четвертом уравнении. Копируем строки 6 и 7 (только значения). Переносим их ниже, в строки 10 и 11. Эти данные должны остаться неизменными. В ячейку В12 вводим формулу массива.
  4. Прямую прогонку по методу Гаусса сделали. В обратном порядке начнем прогонять с последней строки полученной матрицы. Все элементы данной строки нужно разделить на коэффициент при с. Введем в строку формулу массива: {=B12:E12/D12}.
  5. В строке 15: отнимем от второй строки третью, умноженную на коэффициент при с второй строки ({=(B11:E11-B16:E16*D11)/C11}). В строке 14: от первой строки отнимаем вторую и третью, умноженные на соответствующие коэффициенты ({=(B10:E10-B15:E15*C10-B16:E16*D10)/B10}). В последнем столбце новой матрицы получаем корни уравнения.

Примеры решения уравнений методом итераций в Excel

Вычисления в книге должны быть настроены следующим образом:

Делается это на вкладке «Формулы» в «Параметрах Excel». Найдем корень уравнения х – х3 + 1 = 0 (а = 1, b = 2) методом итерации с применением циклических ссылок. Формула:

Хn+1 = Xn– F (Xn) / M, n = 0, 1, 2, … .

M – максимальное значение производной по модулю. Чтобы найти М, произведем вычисления:

f’ (1) = -2 * f’ (2) = -11.

Полученное значение меньше 0. Поэтому функция будет с противоположным знаком: f (х) = -х + х3 – 1. М = 11.

В ячейку А3 введем значение: а = 1. Точность – три знака после запятой. Для расчета текущего значения х в соседнюю ячейку (В3) введем формулу: =ЕСЛИ(B3=0;A3;B3-(-B3+СТЕПЕНЬ(B3;3)-1/11)).

В ячейке С3 проконтролируем значение f (x): с помощью формулы =B3-СТЕПЕНЬ(B3;3)+1.

Корень уравнения – 1,179. Введем в ячейку А3 значение 2. Получим тот же результат:

Скачать решения уравнений в Excel

Корень на заданном промежутке один.

Исключение Гаусса · Учебные материалы для студентов-математиков CEGEP

Обзор

На этой странице мы обсуждаем матрицы в сокращенной форме (RREF) и
как использовать операции со строками, чтобы перенести расширенную матрицу SLE в этот
форму, используя методы исключения Гаусса или Гаусса-Жордана
Ликвидация
.

Важно

Базовые и продвинутые цели обучения, перечисленные ниже, предназначены для того, чтобы вы
представление о материале, который вам следует изучить в этом разделе.Это в основном
предназначен для использования в курсе, использующем подход активного обучения,
где студенты должны «читать вперед» перед каждым занятием — но
в равной степени можно использовать в более традиционной обстановке курса.

Если ваш учитель не даст вам конкретных инструкций, это до , вы до
решите, сколько из перечисленных ресурсов вам нужно прочитать или посмотреть — вы
наверное вообще , а не нужно все это пройти. Вы также можете захотеть
посмотрите общие советы и рекомендации по обучению
страницу для некоторых рекомендаций о том, как
эффективно учиться по учебнику математики и видео.

Основные цели обучения

Это те задачи, которые вы должны уметь выполнять с разумными
беглость , когда вы придете на следующее собрание класса . Важное нововведение
словарный запас выделен курсивом .

  • Распознавать, находится ли данная матрица в форме эшелона строк, сокращенный эшелон строк
    форма или ни то, ни другое.
  • Построить решения линейных систем, соответствующие расширенные матрицы которых
    находятся в форме строительного эшелона или сокращенного строительного эшелона.

Расширенные цели обучения

Помимо выполнения основных задач, вот задачи, которые вы
должен уметь выполнять после занятий, с практикой :

  • Используйте метод исключения Гаусса, чтобы найти общее решение линейной системы.
  • Используйте метод исключения Гаусса-Жордана, чтобы найти общее решение линейной системы.
  • Анализировать однородные линейные системы.

Для подготовки к

классу

Уменьшенная форма ряда-эшелона (RREF)

  • Посмотрите это короткое видео, которое показывает разницу между рядами
    форма и сокращенная форма рядов (RREF):

  • Посмотрите это видео, в котором объясняется (с несколькими подробными примерами), как
    узнать количество решений из RREF, и как записать
    решения в параметрической форме, когда решений бесконечно много:

После класса

Исключение Гаусса и исключение Гаусса-Джордана

  • Посмотрите это видео, в котором показан метод исключения Гаусса с
    «Обратная подстановка» на примере СКВ \ (3 \ times 3 \) (с уникальным решением ):

  • Посмотрите это видео, в котором показан метод исключения Гаусса-Джордана на
    пример \ (3 \ times 3 \) SLE (с уникальным решением ):

  • Посмотрите это видео, в котором показан геометрический эффект на плоскостях, когда
    с использованием метода исключения Гаусса-Жордана на \ (3 \ times 3 \) SLE (с уникальным решением ):

Гаусс-Джордан с бесконечным множеством решений

  • Посмотрите это видео, в котором показан метод исключения Гаусса-Джордана на
    пример \ (2 \ times 3 \) SLE (с бесконечным числом решений ):

  • Посмотрите это видео, в котором показан метод исключения Гаусса на
    пример \ (3 \ times 3 \) SLE (с бесконечным числом решений ) — и
    который также демонстрирует изящный (и настоятельно рекомендуемый) трюк с использованием
    row-контрольная сумма
    , чтобы перепроверить ваши вычисления:

  • Посмотрите это видео, в котором показан метод исключения Гаусса на
    пример \ (4 \ times 6 \) SLE (с бесконечным числом решений ) — и
    который также показывает , как записывать решения в параметрической векторной форме :

Онлайн-калькуляторы RREF

Есть много веб-сайтов, которые предлагают «Калькулятор RREF», некоторые даже показывают
пошаговые решения.У большинства из них есть недостаток в том, что они используют только
«официальное», прямое применение алгоритма Гаусса-Джордана —
что не всегда является самым быстрым или лучшим (что часто создает неприятные дроби
чего в противном случае можно было бы избежать гораздо позже).

Следующий веб-сайт, кажется, намного лучше показывает «умный»
последовательность операций со строками в большинстве случаев:

https://matrix.reshish.com/gauss-jordanElimination.php

Примечание:

В пошаговых решениях на этом веб-сайте показана операция «добавления
кратное число строк другому »в 3 отдельных шага: сначала умножив
строки по номеру, затем прибавляя к другой строке — и затем «восстанавливая»
исходный ряд.Вы должны , а не написать это на бумаге вот так — это
сделано только здесь, чтобы вы могли лучше видеть шаги и расчеты.

Наконец, помните, что вы должны использовать этот (и другие веб-сайты) с умом, чтобы
пример, чтобы перепроверить свою работу, или, если вы действительно застряли — не просто используйте
это, чтобы получить отметки «бесплатно» на вашем WebWork, иначе вы сильно потеряетесь в
экзамен … Или, как сказали бы другие:

С большой силой приходит большая ответственность.


  • «Системы линейных уравнений
  • Геометрия линейных систем »

Алгебра — расширенные матрицы

Решите каждую из следующих систем уравнений.

a \ (\ begin {align *} 3x + y — 2z & = 2 \\ x — 2y + z & = 3 \\ 2x — y — 3z & = 3 \ end {align *} \) Показать решение

Давайте сначала запишем расширенную матрицу для этой системы.

\ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} {\ color {Red} 3} & 1 & {- 2} & 2 \\ 1 & {- 2} & 1 & 3 \\ 2 & {- 1} & {- 3} & 3 \ end {array}} \ right] \]

Как и в предыдущих примерах, мы помечаем красным цветом числа, которые мы хотим изменить на данном шаге.Первый шаг здесь — получить 1 в верхнем левом углу, и, опять же, у нас есть много способов сделать это. В этом случае мы заметим, что если мы поменяем местами первую и вторую строки, мы сможем получить 1 в этом месте с относительно небольшой работой.

\ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} {\ color {Red} 3} & 1 & {- 2} & 2 \\ 1 & {- 2} & 1 & 3 \\ 2 & {- 1} & {- 3} & 3 \ end {array}} \ right] \ begin {array} {* {20} {c}} {{R_1} \ leftrightarrow {R_2}} \\ \ to \ end {array} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 2} & 1 & 3 \\ {\ color {Red} 3} & 1 & {- 2} & 2 \\ {\ color {Red} 2} & {- 1} & {- 3} & 3 \ end {array}} \ right] \]

Следующий шаг — получить два числа под этой единицей равными нулю.Также обратите внимание, что это почти всегда требует выполнения операции третьей строки. Кроме того, мы можем сделать и то, и другое за один шаг следующим образом.

\ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 2} & 1 & 3 \\ {\ color {Red} 3} & 1 & {- 2} & 2 \\ {\ color {Red } 2} & {- 1} & {- 3} & 3 \ end {array}} \ right] \ begin {array} {* {20} {c}} {{R_2} — 3 {R_1} \ to {R_2 }} \\ {{R_3} — 2 {R_1} \ to {R_3}} \\ \ to \ end {array} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 2} & 1 & 3 \\ 0 & {\ color {Red} 7} & {- 5} & {- 7} \\ 0 & 3 & {- 5} & {- 3} \ end {array}} \ right] \]

Далее мы хотим превратить 7 в 1.Мы можем сделать это, разделив вторую строку на 7.

\ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 2} & 1 & 3 \\ 0 & {\ color {Red} 7} & {- 5} & {- 7} \\ 0 & 3 & {- 5} & {- 3} \ end {array}} \ right] \ begin {array} {* {20} {c}} {\ frac {1} {7} {R_2}} \\ \ to \ end {array} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 2} & 1 & 3 \\ 0 & 1 & {- \ frac {5} {7}} & {- 1} \\ 0 & {\ color {Красный} 3} & {- 5} & {- 3} \ end {array}} \ right] \]

Итак, здесь фигурирует дробь.Такое случается время от времени, так что не стоит сильно волноваться по этому поводу. Следующий шаг — заменить 3 под этой новой единицей на 0. Обратите внимание, что мы пока не будем беспокоиться о -2 над ней. Иногда так же легко превратить это в 0 на том же этапе. Однако в этом случае это, вероятно, так же легко сделать позже, как мы увидим.

Итак, используя операцию третьей строки, получаем

\ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 2} & 1 & 3 \\ 0 & 1 & {- \ frac {5} {7}} & {- 1} \\ 0 & { \ color {Red} 3} & {- 5} & {- 3} \ end {array}} \ right] \ begin {array} {* {20} {c}} {{R_3} — 3 {R_2} \ в {R_3}} \\ \ в \ end {array} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 2} & 1 & 3 \\ 0 & 1 & {- \ frac {5} {7}} & { — 1} \\ 0 & 0 & {\ color {Red} — \ frac {{20}} {7}} & 0 \ end {array}} \ right] \]

Далее нам нужно преобразовать число в правом нижнем углу в 1.Мы можем сделать это с помощью операции второй строки.

\ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 2} & 1 & 3 \\ 0 & 1 & {- \ frac {5} {7}} & {- 1} \\ 0 & 0 & { \ color {Red} — \ frac {{20}} {7}} & 0 \ end {array}} \ right] \ begin {array} {* {20} {c}} {- \ frac {7} {{ 20}} {R_3}} \\ \ to \ end {array} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 2} & {\ color {Red} 1} & 3 \\ 0 & 1 & {\ цвет {Красный} — \ frac {5} {7}} & {- 1} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \ end {array}} \ right] \]

Теперь нам нужны нули над этой новой единицей.Итак, использование операции третьей строки дважды, как показано ниже, сделает то, что нам нужно.

\ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 2} & {\ color {Red} 1} & 3 \\ 0 & 1 & {\ color {Red} — \ frac {5] } {7}} & {- 1} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \ end {array}} \ right] \ begin {array} {* {20} {c}} {{R_2} + \ frac {5} {7} { R_3} \ to {R_2}} \\ {{R_1} — {R_3} \ to {R_1}} \\ \ to \ end {array} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {\ цвет {Красный} — 2} & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & {- 1} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \ end {array}} \ right] \]

Обратите внимание, что в этом случае последний столбец не изменился на этом этапе.Это произошло только потому, что последняя запись в этом столбце была равна нулю. В общем, этого не произойдет.

Последний шаг — преобразовать -2 над 1 во втором столбце в ноль. Это легко сделать с помощью операции третьего ряда.

\ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {\ color {Red} — 2} & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & {- 1} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \ end {array}} \ right ] \ begin {array} {* {20} {c}} {{R_1} + 2 {R_2} \ to {R_1}} \\ \ to \ end {array} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & {- 1} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \ end {array}} \ right] \]

Итак, у нас есть расширенная матрица в окончательном виде и решение будет

\ [x = 1, \, \, \, y = — 1, \, \, \, z = 0 \]

Это можно проверить, подставив их во все три уравнения и убедившись, что все они удовлетворяются.

b \ (\ begin {align *} 3x + y — 2z & = — 7 \\ 2x + 2y + z & = 9 \\ — x — y + 3z & = 6 \ end {align *} \) Показать решение

Опять же, первый шаг — записать расширенную матрицу.

\ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} {\ color {Red} 3} & 1 & {- 2} & {- 7} \\ 2 & 2 & 1 & 9 \\ {- 1} & { — 1} & 3 и 6 \ end {array}} \ right] \]

На этот раз мы не можем получить 1 в верхнем левом углу, просто поменяв местами строки.Мы могли бы поменять местами первую и последнюю строку, но это также потребовало бы другой операции, чтобы превратить -1 в 1. Хотя это несложно, это две операции. Обратите внимание, что мы можем использовать операцию третьей строки, чтобы получить 1 в этом месте следующим образом.

\ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} {\ color {Red} 3} & 1 & {- 2} & {- 7} \\ 2 & 2 & 1 & 9 \\ {- 1} & { — 1} & 3 и 6 \ end {array}} \ right] \ begin {array} {* {20} {c}} {{R_1} — {R_2} \ to {R_1}} \\ \ to \ end {array} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 1} & {- 3} & {- 16} \\ {\ color {Red} 2} & 2 & 1 & 9 \\ {\ color {Red} — 1 } & {- 1} & 3 & 6 \ end {array}} \ right] \]

Теперь мы можем использовать операцию третьей строки, чтобы превратить два красных числа в нули.

\ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 1} & {- 3} & {- 16} \\ {\ color {Red} 2} & 2 & 1 & 9 \\ { \ color {Red} — 1} & {- 1} & 3 & 6 \ end {array}} \ right] \ begin {array} {* {20} {c}} {{R_2} — 2 {R_1} \ to {R_2 }} \\ {{R_3} + {R_1} \ to {R_3}} \\ \ to \ end {array} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 1} & {- 3 } & {- 16} \\ 0 & {\ color {Red} 4} & 7 & {41} \\ 0 & {- 2} & 0 & {- 10} \ end {array}} \ right] \]

Следующий шаг — получить 1 на месте, занимаемом красной 4.Мы могли бы сделать это, разделив всю строку на 4, но это добавило бы пару несколько неприятных дробей. Итак, вместо этого мы собираемся поменять местами вторую и третью строки. Причина этого станет очевидной достаточно скоро.

\ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 1} & {- 3} & {- 16} \\ 0 & {\ color {Red} 4} & 7 & {41 } \\ 0 & {- 2} & 0 & {- 10} \ end {array}} \ right] \ begin {array} {* {20} {c}} {{R_2} \ leftrightarrow {R_3}} \\ \ to \ end {array} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 1} & {- 3} & {- 16} \\ 0 & {\ color {Red} — 2} & 0 & {- 10 } \\ 0 и 4 и 7 и {41} \ end {array}} \ right] \]

Теперь, если мы разделим вторую строку на -2, мы получим 1 в том месте, которое нам нужно.

\ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 1} & {- 3} & {- 16} \\ 0 & {\ color {Red} — 2} & 0 & { — 10} \\ 0 & 4 & 7 & {41} \ end {array}} \ right] \ begin {array} {* {20} {c}} {- \ frac {1} {2} {R_2}} \\ \ to \ end {array} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 1} & {- 3} & {- 16} \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & {\ color {Red} 4} & 7 & { 41} \ end {array}} \ right] \]

Прежде чем перейти к следующему шагу, давайте заметим здесь пару вещей.Во-первых, нам удалось избежать дробей, что всегда хорошо, а во-вторых, эта строка готова. В конечном итоге нам понадобился бы ноль в этом третьем месте, и мы получили его бесплатно. Более того, это не изменится ни в одной из последующих операций. Это происходит не всегда, но если это произойдет, наша жизнь станет легче.

Теперь давайте воспользуемся операцией третьей строки, чтобы заменить красную 4 на ноль.

\ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 1} & {- 3} & {- 16} \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & {\ color {Red} 4} & 7 & {41} \ end {array}} \ right] \ begin {array} {* {20} {c}} {{R_3} — 4 {R_2} \ to {R_3}} \\ \ to \ end {массив } \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 1} & {- 3} & {- 16} \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & {\ color {Red} 7} & {21} \ end {массив}} \ справа] \]

Теперь мы можем разделить третью строку на 7, чтобы получить число в правом нижнем углу в единицу.

\ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 1} & {- 3} & {- 16} \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & {\ color {Red} 7} & {21} \ end {array}} \ right] \ begin {array} {* {20} {c}} {\ frac {1} {7} {R_3}} \\ \ to \ end {array} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 1} & {\ color {Red} — 3} & {- 16} \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \ end {array}} \ right] \]

Затем мы можем использовать операцию третьей строки, чтобы заменить -3 на ноль.

\ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {- 1} & {\ color {Red} — 3} & {- 16} \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \ end { array}} \ right] \ begin {array} {* {20} {c}} {{R_1} + 3 {R_3} \ to {R _ {\ kern 1pt}}} \\ \ to \ end {array} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {\ color {Red} — 1} & 0 & {- 7} \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \ end {array}} \ right] \]

Последний шаг — затем снова превратить -1 в 0, используя операцию третьей строки.

\ [\ require {color} \ left [{\ begin {array} {rrr | r} 1 & {\ color {Red} — 1} & 0 & {- 7} \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \ end {array}} \ right ] \ begin {array} {* {20} {c}} {{R_1} + {R_2} \ to {R _ {\ kern 1pt}}} \\ \ to \ end {array} \ left [{\ begin { array} {rrr | r} 1 & 0 & 0 & {- 2} \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \ end {array}} \ right] \]

Тогда решение этой системы:

\ [x = — 2, \, \, \, y = 5, \, \, \, z = 3 \]

3×3 Решатель Системы Уравнений

О правиле Крамера

Этот калькулятор использует правило Крамера для решения систем трех уравнений с тремя
неизвестные.Правило Крамера можно сформулировать так:

Учитывая систему:

$$
\ begin {выровнено}
a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\
а_2x + b_2y + c_2z = d_2 \\
a_3x + b_3y + c_3z = d_3
\ end {выровнен}
$$

с

$$
D = \ left | \ begin {array} {ccc}
a_1 и b_1 и c_1 \\
a_2 и b_2 и c_2 \\
a_3 & b_3 & c_3 \\
\ end {array} \ right | \ ne 0
$$
$$
D_x = \ left | \ begin {array} {ccc}
d_1 & b_1 & c_1 \\
d_2 & b_2 & c_2 \\
d_3 & b_3 & c_3 \\
\ end {array} \ right |
$$
$$
D_y = \ left | \ begin {array} {ccc}
a_1 и d_1 и c_1 \\
a_2 & d_2 & c_2 \\
a_3 & d_3 & c_3 \\
\ end {array} \ right |
$$
$$
D_z = \ left | \ begin {array} {ccc}
a_1 и b_1 и d_1 \\
а_2 и b_2 и d_2 \\
a_3 & b_3 & d_3 \\
\ end {array} \ right |
$$

, то решение этой системы:

$$
x = \ frac {D_x} {D}
$$
$$
y = \ frac {D_y} {D}
$$
$$
z = \ frac {D_z} {D}
$$

Пример: Решите систему уравнений, используя правило Крамера

$$
\ begin {выровнено}
4x + 5y -2z = & -14 \\
7x — ~ y + 2z = & 42 \\
3x + ~ y + 4z = & 28 \\
\ end {выровнен}
$$

Решение: Сначала мы вычисляем $ D, ~ D_x, ~ D_y $ и $ D_z $.

$$
\ begin {выровнено}
& D ~~ = \ left | \ begin {массив} {ccc}
{\ color {blue} {4}} & {\ color {red} {~ 5}} & {\ color {green} {- 2}} \\
{\ color {blue} {7}} & {\ color {red} {- 1}} & {\ color {green} {~ 2}} \\
{\ color {blue} {3}} & {\ color {red} {~ 1}} & {\ color {green} {~ 4}}
\ end {array} \ right | = -16 + 30-14-6-8-140 = -154 \\
& D_x = \ left | \ begin {массив} {ccc}
-14 & {\ color {red} {~ 5}} & {\ color {green} {- 2}} \\
~ 42 & {\ color {red} {- 1}} & {\ color {green} {~ 2}} \\
~ 28 & {\ color {red} {1}} & {\ color {green} {~ 4}}
\ end {array} \ right | = 56 + 280 — 84 — 56 + 28 — 840 = -616 \\
& D_y = \ left | \ begin {массив} {ccc}
{\ color {blue} {4}} & -14 & {\ color {green} {- 2}} \\
{\ color {blue} {7}} & ~ 42 & {\ color {green} {~ 2}} \\
{\ color {blue} {3}} & ~ 28 & {\ color {green} {~ 4}}
\ end {array} \ right | = 672 — 84 — 392 + 252 — 224 + 392 = 616 \\
& D_Z = \ left | \ begin {array} {ccc}
{\ color {blue} {4}} & {\ color {red} {~ 5}} & -14 \\
{\ color {blue} {7}} & {\ color {red} {- 1}} & ~ 42 \\
{\ color {blue} {3}} & {\ color {red} {~ 1}} & ~ 28
\ end {array} \ right | = -112 + 630 — 98 — 42 — 168 — 980 = -770 \\
\ end {выровнен}
$$

Следовательно,

$$
\ begin {выровнено}
& x = \ frac {D_x} {D} = \ frac {-616} {- 154} = 4 \\
& y = \ frac {D_y} {D} = \ frac {616} {- 154} = -4 \\
& z = \ frac {D_z} {D} = \ frac {-770} {- 154} = 5
\ end {выровнен}
$$

Примечание: Вы можете проверить решение с помощью вышеуказанного калькулятора

Решение линейных уравнений с использованием метода исключения Гаусса

Вопрос 1:

Решите следующие системы линейных уравнений методом исключения Гаусса:

2x — 2y + 3z = 2, x + 2y — z = 3, 3x — y + 2z = 1

Решение:

Эквивалентная система записывается в форме эшелона:

x + 2y — z = 3 —— (1)

-6y + 5z = -4 —— (2)

-5z = -20

z = -20 / (- 5) = 4

Применяя значение z в (2), мы получаем

-6y + 5 (4) = -4

-6y + 20 = -4

-6y = -4-20

-6y = -24

y = -24 / (- 6) = 4

Применяя значения y и z в (1), мы получаем

x + 2 (4) — 4 = 3

x + 8-4 = 3

x + 4 = 3

x = -1

Итак, решение (-1, 4, 4 )

Вопрос 2:

Решите следующие системы линейных уравнений методом исключения Гаусса:

2x + 4y + 6z = 22, 3x + 8y + 5z = 27, — x + y + 2z = 2

Решение:

x + 2y + 3z = 11 —— (1)

2y — 4z = -6 —— (2)

22z = 44

z = 2

Применяя значение z в (2), получаем

2y — 4 (2) = -6

2y — 8 = -6

2y = -6 + 8

2y = 2

y = 1

Применяя значения y и z в (1), получаем

x + 2 (1) + 3 (2) = 11

x + 2 + 6 = 11

x = 11-8

x = 3

Итак, решение (3, 1, 2)

Помимо вышеперечисленного, если вам нужны еще какие-либо сведения по математике, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.

Если у вас есть какие-либо отзывы о наших математических материалах, напишите нам:

[email protected]

Мы всегда ценим ваши отзывы.

Вы также можете посетить следующие веб-страницы, посвященные различным вопросам математики.

ЗАДАЧИ СО СЛОВАМИ

Задачи со словами в формате HCF и LCM

Задачи со словами на простых уравнениях

Задачи со словами на линейных уравнениях

Задачи со словами на квадратных уравнениях

Алгебра

Алгебра

Проблемы со словами в поездах

Проблемы со словами по площади и периметру

Проблемы со словами по прямой и обратной вариациям

Проблемы со словами по цене за единицу

Проблемы со словами по цене за единицу

Word задачи по сравнению ставок

Преобразование общепринятых единиц словесные задачи

Преобразование метрических единиц текстовые задачи

Word задачи по простому проценту

Word задачи по сложным процентам

Word задачи по типам ngles

Проблемы с дополнительными и дополнительными углами в словах

Проблемы со словами с двойными фактами

Тригонометрические проблемы со словами

Проблемы со словами в процентах

Проблемы со словами о прибылях и убытках

11

Задачи

Задачи с десятичными словами

Задачи со словами о дробях

Задачи со словами о смешанных фракциях

Одношаговые задачи с уравнениями со словами

Проблемы со словами с линейными неравенствами

задачи

задачи со временем и рабочими словами

задачи со словами на множествах и диаграммах Венна

задачи со словами на возрастах

задачи на слова теоремы Пифагора

в процентах от числового слова pr проблемы

Проблемы со словами при постоянной скорости

Проблемы со словами при средней скорости

Проблемы со словами при сумме углов треугольника 180 градусов

ДРУГИЕ ТЕМЫ

Сокращения прибылей и убытков

Сокращения в процентах

Сокращения в таблице времен

Сокращения времени, скорости и расстояния

Сокращения соотношения и пропорции

Домен и диапазон рациональных функций

11

Домен и диапазон рациональных функций

11

Домен и диапазон рациональных функций функции с отверстиями

График рациональных функций

График рациональных функций с отверстиями

Преобразование повторяющихся десятичных знаков в дроби

Десятичное представление рациональных чисел

Поиск квадратного корня с использованием длинного корня видение

Л.Метод CM для решения временных и рабочих задач

Преобразование словесных задач в алгебраические выражения

Остаток при делении 2 в степени 256 на 17

Остаток при делении 17 в степени 23 на 16

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 6

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 7

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 8

Сумма всех трехзначных чисел, образованных с использованием 1, 3 , 4

Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных ненулевыми цифрами

Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных с использованием 0, 1, 2, 3

Сумма всех трех четырехзначных чисел числа, образованные с использованием 1, 2, 5, 6

Квадратурный калькулятор Гаусса-Лежандра — Расчет высокой точности

[1] 2020/10/28 23:46 Мужчина / Моложе 20 лет / Высшая школа / Университет / аспирант / Немного /

Цель использования
вычислить сложный интеграл, когда любой другой калькулятор дает 0

[2] 2019/06/23 05:35 Мужской / 20-летний уровень / Средняя школа / Университет / аспирант / Очень /

Цель использования
Числовой Анализ I

[3] 2017/11/02 17:07 Мужской / 20-летний уровень / Средняя школа / Университет / аспирант / Полезно /

Цель использования
Необходимо проверить ответ для задания.
Комментарий / запрос
Спасибо ..

[4] 25.10.2017 09:47 Женский / 20-летний уровень / Старшая школа / Университет / аспирант / Очень /

Цель использования
Численный анализ II
Комментарий / запрос
Спасибо !! очень хорошо и точно

[5] 2016/03/23 00:09 Женский / 20-летний уровень / Старшая школа / Университет / Аспирант / Полезно /

Цель использования
проверить домашнее задание
Комментарий / Запрос
требует инструкций о том, как правильно вводить обратные тригономические функции.

[6] 17.02.2012 17:29 Мужчина / Уровень 20 лет / Студент / Очень /

Цель использования
ЗАДАНИЯ НА ЛЕКЦИИ
Комментарий / Запрос
ВАЖНО

[7 ] 22.06.2010 21:49 Мужской / Более 60 / Другое / Очень /

Цель использования
Вычисления интеграции высокой точности
Комментарий / Запрос
Замечательный ресурс. Спасибо.

[8] 2010/06/05 08:36 Мужской / Более 60 / Другие / Очень /

Цель использования
Высокая точность интеграции Гаусса-Лежандра
Комментарий / Запрос
Поистине великолепный ресурс.Спасибо!! Предложение. Я только что вычислил результат интеграла из 50 цифр и хочу разделить его на другое число. Как мне это сделать? Я не могу найти возможность обрабатывать числа с высокой точностью и основные функции, такие как +. -. и т.д. Есть способ? Еще раз спасибо за мощный инструмент.

[9] 2010/06/05 08:26 Мужской / Более 60 / Другие / Очень /

Цель использования
Высокая точность интеграции Гаусса-Лежандра
Комментарий / Запрос
Поистине великолепный ресурс.Спасибо!!

Обращение матрицы с использованием исключения Гаусса-Джордана

М. Борна

В этом разделе мы увидим, как работает метод исключения Гаусса-Жордана, на примерах.

Вы можете повторно загружать эту страницу сколько угодно раз и каждый раз получать новый набор чисел. Вы также можете выбрать матрицу другого размера (внизу страницы).

(Если вам сначала нужна дополнительная информация, вернитесь к «Введение в матрицы»).

Выберите размер матрицы, который вас интересует, и нажмите кнопку.

Матрица A:

Пример, сгенерированный случайным образом, показан ниже.

Пользователи телефона

ПРИМЕЧАНИЕ: Если вы разговариваете по телефону, вы можете прокрутить любую матрицу шириной на этой странице вправо или влево, чтобы увидеть все выражение.

Пример (3 × 3)

Найдите матрицу, обратную матрице A , используя метод исключения Гаусса-Жордана.

A = 8 9 4
5 3 6
7 10 11

Наша процедура

Запишем матрицу A слева и матрицу идентичности I справа, разделенные пунктирной линией, как показано ниже.Результат называется расширенной матрицей .

Мы включили номера строк, чтобы было понятнее.

1 0 0 Ряд [1]
0 1 0 Ряд [2]
0 0 1 Ряд [3]

Затем мы выполняем несколько операций со строками для двух матриц, и наша цель — получить единичную матрицу на слева , например:

? ? ? Ряд [1]
? ? ? Ряд [2]
? ? ? Ряд [3]

(Технически мы сокращаем матрицу A до сокращенной формы эшелона строк , также называемой канонической формой строк ).

Результирующая матрица справа будет обратной матрицей от A .

Наша процедура операций со строками выглядит следующим образом:

  1. Получим «1» в верхнем левом углу, разделив первую строку
  2. Затем мы получаем «0» в оставшейся части первого столбца
  3. Затем нам нужно получить «1» во второй строке, втором столбце
  4. Затем мы делаем все остальные записи во втором столбце «0».

Продолжаем так до тех пор, пока слева не останется единичная матрица.

Давайте теперь продолжим и найдем обратное.

Решение

Начнем с:

1 0 0 Ряд [1]
0 1 0 Ряд [2]
0 0 1 Ряд [3]

Новая строка [1]

Разделите строку [1] на 8 (чтобы получить «1» в нужной позиции):

Это дает нам:

1 1.125 0,5
5 3 6
7 10 11
0,125 0 0 Ряд [1]
0 1 0 Ряд [2]
0 0 1 Ряд [3]

Новый ряд [2]

Ряд [2] — 5 × Ряд [1] (чтобы получить 0 в желаемой позиции):

5 — 5 × 1 = 0
3 — 5 × 1.125 = -2,625
6 — 5 × 0,5 = 3,5
0 — 5 × 0,125 = -0,625
1 — 5 × 0 = 1
0 — 5 × 0 = 0

Это дает нам новую строку [2]:

1 1,125 0,5
0 -2,625 3,5
7 10 11
0,125 0 0 Ряд [1]
-0.625 1 0 Ряд [2]
0 0 1 Ряд [3]

Новый ряд [3]

Ряд [3] — 7 × Ряд [1] (чтобы получить 0 в желаемой позиции):

7 — 7 × 1 = 0
10 — 7 × 1,125 = 2,125
11 — 7 × 0,5 = 7,5
0 — 7 × 0,125 = -0,875
0 — 7 × 0 = 0
1 — 7 × 0 = 1

Это дает нам новую строку [3]:

1 1.125 0,5
0 -2,625 3,5
0 2,125 7,5
0,125 0 0 Ряд [1]
-0,625 1 0 Ряд [2]
-0,875 0 1 Ряд [3]

Новый ряд [2]

Разделите строку [2] на -2.625 (чтобы получить «1» в желаемой позиции):

Это дает нам:

1 1,125 0,5
0 1 -1,3333
0 2,125 7,5
0,125 0 0 Ряд [1]
0,2381 -0.381 0 Ряд [2]
-0,875 0 1 Ряд [3]

Новая строка [1]

Ряд [1] — 1,125 × Ряд [2] (чтобы получить 0 в желаемой позиции):

1 — 1,125 × 0 = 1
1,125 — 1,125 × 1 = 0
0,5 — 1,125 × -1,3333 = 2
0,125 — 1,125 × 0,2381 = -0,1429
0 — 1,125 × -0,381 = 0,4286
0 — 1,125 × 0 = 0

Это дает нам новую строку [1]:

1 0 2
0 1 -1.3333
0 2,125 7,5
-0,1429 0,4286 0 Ряд [1]
0,2381 -0,381 0 Ряд [2]
-0,875 0 1 Ряд [3]

Новый ряд [3]

Ряд [3] — 2,125 × Ряд [2] (чтобы получить 0 в желаемой позиции):

0 — 2.125 × 0 = 0
2,125 — 2,125 × 1 = 0
7,5 — 2,125 × -1,3333 = 10,333
-0,875 — 2,125 × 0,2381 = -1,381
0 — 2,125 × -0,381 = 0,8095
1 — 2,125 × 0 = 1

Это дает нам новую строку [3]:

1 0 2
0 1 -1,3333
0 0 10,333
-0.1429 0,4286 0 Ряд [1]
0,2381 -0,381 0 Ряд [2]
-1,381 0.8095 1 Ряд [3]

Новый ряд [3]

Разделите строку [3] на 10,333 (чтобы получить «1» в нужной позиции):

Это дает нам:

1 0 2
0 1 -1.3333
0 0 1
-0,1429 0,4286 0 Ряд [1]
0,2381 -0,381 0 Ряд [2]
-0,1336 0,0783 0,0968 Ряд [3]

Новая строка [1]

Ряд [1] — 2 × Ряд [3] (чтобы получить 0 в желаемой позиции):

1 — 2 × 0 = 1
0 — 2 × 0 = 0
2 — 2 × 1 = 0
-0.1429 — 2 × -0,1336 = 0,1244
0,4286 — 2 × 0,0783 = 0,2719
0 — 2 × 0,0968 = -0,1935

Это дает нам новую строку [1]:

1 0 0
0 1 -1,3333
0 0 1
0,124 0,2719 -0,1935 Ряд [1]
0.2381 -0,381 0 Ряд [2]
-0,1336 0,0783 0,0968 Ряд [3]

Новый ряд [2]

Ряд [2] — -1,3333 × Ряд [3] (чтобы получить 0 в желаемой позиции):

0 — -1,3333 × 0 = 0
1 — -1,3333 × 0 = 1
-1,3333 — -1,3333 × 1 = 0
0,2381 — -1,3333 × -0,1336 = 0,0599
-0,381 — -1,3333 × 0,0783 = -0,2765
0 — -1.3333 × 0,0968 = 0,129

Это дает нам новую строку [2]:

0,124 0,2719 -0,1935 Ряд [1]
0,0599 -0,2765 0,129 Ряд [2]
-0,1336 0,0783 0,0968 Ряд [3]

Мы достигли нашей цели по созданию матрицы идентичности слева.Таким образом, мы можем заключить, что инверсия матрицы A является правой частью расширенной матрицы:

A -1 = 0,1244 0,2719 -0,1935
0,0599 -0,2765 0,129
-0,1336 0,0783 0,0968

Примечания

  1. В приведенном выше объяснении показаны все шаги.Человек обычно может пойти несколькими путями. Кроме того, иногда в правильной позиции уже есть «1» или «0», и в этих случаях нам не нужно ничего делать для этого шага.
  2. Всегда записывайте, что вы делаете на каждом этапе — очень легко заблудиться!
  3. Я показал результаты с точностью до 4 знаков после запятой, но с максимальной точностью использовалось повсюду. Имейте в виду, что небольшие ошибки округления будут накапливаться во всей задаче. Всегда используйте полную точность калькулятора! (Полностью используйте память вашего калькулятора.)
  4. Очень иногда возникают странные результаты из-за внутреннего представления чисел компьютером. То есть он может хранить «1» как 0,999999999872.

Смотрите еще?

Вы можете вернуться к началу страницы и выбрать другой пример.

Страница не найдена | MIT

Перейти к содержанию ↓

  • Образование
  • Исследовать
  • Инновации
  • Прием + помощь
  • Студенческая жизнь
  • Новости
  • Выпускников
  • О MIT
  • Подробнее ↓

    • Прием + помощь
    • Студенческая жизнь
    • Новости
    • Выпускников
    • О MIT

Меню ↓

Поиск

Меню

Ой, похоже, мы не смогли найти то, что вы искали!
Попробуйте поискать что-нибудь еще!

Что вы ищете?

Увидеть больше результатов

Предложения или отзывы?

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.