Геометрическая прогрессия. Свойства геометрической прогрессии. Алгебра, 9 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Нахождение члена геометрической прогрессии, даны два предыдущих Сложность: лёгкое	2
2.	Нахождение члена геометрической прогрессии Сложность: лёгкое	2
3.	Вычисление членов геометрической прогрессии Сложность: лёгкое	3
4.	Вычисление членов геометрической прогрессии Сложность: лёгкое	2
5.	Нахождение члена геометрической прогрессии, даны два первых члена Сложность: среднее	3
6.	Знаменатель геометрической прогрессии Сложность: среднее	2
7.	Сумма членов геометрической прогрессии, даны два первых члена Сложность: среднее	2
8.	Сумма членов геометрической прогрессии, даны q и b1 Сложность: среднее	2
9.	Сумма членов геометрической прогрессии Сложность: среднее	3
10.	Преобразование бесконечной десятичной дроби Сложность: среднее	2
11.	Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии Сложность: сложное	5
12.	Вычисление значения дроби Сложность: сложное	4
13.	Члены геометрической прогрессии Сложность: сложное	5

Геометрическая прогрессия: определение, формулы, свойства

Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность, в которой, начиная со второго числа, каждое последующее равняется предыдущему, умноженному на постоянный множитель.

Общий вид геометрической прогрессии

b₁, b₁q, b₂q, …, b_n-1q

• q – знаменатель прогрессии; это и есть постоянный множитель.
• b ≠ 0, q ≠ 0

Члены прогрессии:

• b₁
• b₂ = b₁q
• b₃ = b₂q = b₁q²
• и т.д.

Цифры 1,2,3… – это их порядковые номера, т.е. место, которое они занимают в последовательности.

Виды прогрессии:

• возрастающая: b₁ > 0 и q₁ > 0;
• убывающая: 0 < q < 1;
• знакочередующаяся: q < 0;
• стационарная: q = 1.

Свойства и формулы геометрической прогрессии

1. Нахождение n-ого члена (b_n)

2. Знаменатель прогрессии

3. Характеристическое свойство

Последовательность чисел b₁, b₂, b₃ … является геометрической прогрессией, если для любого ее члена справедливо следующее выражение:

При условии: 1 < i < n

Также данное свойство можно представить в таком виде:

4. Сумма первых членов прогрессии

Найти сумму n первых членов геометрической прогрессии можно, используя формулу ниже (если q ≠ 1):

Если q = 1, то S_n = nb₁

5. Произведение первых членов прогрессии

6. Произведение членов прогрессии с k по n

7. Сумма всех членов убывающей прогрессии

При условии: |q| < 1, а значит, b_n → 0 при n → + ∞.

Некоторые свойства арифметико-геометрической прогрессии | Статья в журнале «Юный ученый»

В школьном курсе математики в полной мере изучаются два специальных вида последовательностей — арифметическая и геометрическая прогрессии, однако последовательности, обобщающие их, т. е. сочетающие их свойства и признаки, в явном виде не рассматриваются.

Известно, что ряд различных типов последовательностей по природе своей являются рекуррентными, или возвратными, в том смысле, что каждый следующий член последовательности по определенному правилу выражается через некоторое фиксированное число предыдущих. К таким последовательностям относятся арифметическая и геометрическая прогрессии, последовательность Фибоначчи и др. [1]

В данной статье представлены итоги исследования рекуррентной последовательности , заданной по правилу , где числа и называем соответственно знаменателем и разностью этой последовательности, а саму последовательность — арифметико-геометрической прогрессией.

Актуальность исследования обусловлена тем, что в настоящее время эта проблема стала особенно значима для науки и практики. Этим вопросом занимаются многие теоретики и исследователи. Изучению прогрессий посвящены статьи в периодических изданиях и монографии многих ученых. Как правило, информация, посвященная данной проблеме, изложенная в учебной литературе, имеет общий характер, а в современных монографиях по этой теме анализируются более узкие вопросы проблемы.

Высокая значимость и недостаточная теоретическая разработанность проблемы изучения арифметико-геометрической прогрессии определяют несомненную новизну данного исследования.

Определение 1. [2] Арифметико-геометрическая прогрессия задается следующим рекуррентным соотношением:

, (1)

где и  — постоянные, называемые соответственно знаменателем и разностью арифметико-геометрической прогрессии.

Замечание 1. При q=1 и d=0 получим стационарную последовательность .

В случае и в (1), получим арифметическую прогрессию , а при и , — геометрическую прогрессию: .

Вышеуказанное замечание отражается в названии рассматриваемой последовательности: арифметико-геометрическая прогрессия.

Рассмотрим примеры арифметико-геометрических прогрессий.

1) ;

2) .

Указание явных формул для нахождения общего члена последовательности, а также для суммы ее первых n членов являются основными задачами о последовательностях.

Арифметико-геометрическая прогрессия является обобщением арифметической и геометрической прогрессий. А значит, по аналогии можно вывести формулы для нахождения общего члена арифметико-геометрической прогрессии, а также для суммы ее первых n членов, и установить характеристическое свойство данного типа последовательности, а также ряд других важных свойств.

В ходе исследования были получены конкретные результаты:

1. Выведена формула n-го члена последовательности: .

Пусть в соотношении (1) . Прибавив к обеим частям равенства выражение , получим

.

Последнее соотношение является рекуррентным, поэтому можно записать аналогичные равенства для :

, ,…, .

Перемножив выписанные равенства, имеем:

Разделив обе части последнего равенства на произведение , получим , откуда .

Таким образом, получили формулу общего члена арифметико-геометрической прогрессии

. (2)

2. Доказано, что арифметико-геометрическая прогрессия сходится и ограничена только в случае, когда ;

Из формулы общего члена арифметико-геометрической прогрессии следует, что

а) при арифметико-геометрическая прогрессия сходится к числу

, а значит, при эта последовательность ограничена.

б) при арифметико-геометрическая прогрессия расходится и не ограничена.

3. Выведена формула суммы первых n членов арифметико-геометрической прогрессии: . Также установлено, что сумма бесконечного числа членов последовательности не существует.

Рассмотрим n-ую частичную сумму арифметико-геометрической прогрессии .

Согласно соотношению (1), имеем:

Тогда

. (3)

Умножив последнее равенство на знаменатель , получим

или (4)

Из равенства (3) вычтем равенство (4) и выполним преобразования.

Преобразуя последнее равенство, получим формулу суммы первых n членов арифметико-геометрической прогрессии: .              (5)

4. Доказано, что арифметико-геометрическая прогрессия является возвратной последовательностью второго порядка и задается возвратным уравнением ; как следствия были получены характеристические свойства арифметической и геометрической прогрессий.

Действительно, будем утверждать, что при k=1 и при любом справедливо равенство . Осталось определить значения .

В силу соотношения (1) , тогда

.

Из равенства следует, что

,

,

, откуда уравняв коэффициенты, получим систему линейных уравнений с двумя переменными , решением которой является .

Итак, верно равенство . Что и требовалось доказать.

5. Выведены формулы для нахождения разности и знаменателя арифметико-геометрической прогрессии: и .

6. Доказано характеристическое свойство арифметико-геометрической прогрессии : последовательность , где , является геометрической прогрессией с тем же знаменателем , то есть .              (6)

Доказательство. Согласно формуле (2)

.

Упростив правую часть равенства (6), получим:

.

Тогда .

Таким образом, доказано равенство (6), которое и является характеристическим свойством арифметико-геометрической прогрессии.

Все полученные результаты являются новыми. Данные результаты имеют научную и практическую ценность, в частности, они могут быть использованы при решении геометрических задач. [2]

В доступной нам литературе подобные исследования ранее не встречались, лишь некоторые свойства арифметико-геометрической прогрессии встречаются без доказательства.

Литература:

1. 
        Маркушевич А. И. Возвратные последовательности — М.: Наука, 1975. — 47 с.
2. 
        Суконник Я. Н. Арифметико-геометрическая прогрессия. Научно-популярный физико-математический журнал «Квант», № 1 1975г. — с.80
3. 
        Вавилов В.  В., Красников П. М. Математические коллоквиумы. — М.: Школа им. А. Н. Колмогорова СУНЦ МГУ, 2006. — с. 60

Геометрическая прогрессия — это… Что такое Геометрическая прогрессия?

У этого термина существуют и другие значения, см. Прогрессия.

Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число (знаменатель прогрессии), где , : ^[1].

Описание

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле:

Если и , прогрессия является возрастающей последовательностью, если , — убывающей последовательностью, а при  — знакочередующейся^[2].

Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству:

то есть каждый член равен среднему геометрическому его соседей.

Примеры

• Последовательность площадей квадратов, где каждый следующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2. Площади получающихся на каждом шаге треугольников также образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2, сумма которой равна площади начального квадрата^[3]:8-9.
• Последовательность количества зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске.
• 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — прогрессия со знаменателем 2 из тринадцати членов.
• 50; −25; 12,5; −6,25; 3,125; … — бесконечно убывающая прогрессия со знаменателем -½.
•  — геометрическая прогрессия со знаменателем 1 (и арифметическая прогрессия с шагом 0).

Свойства

Доказательство

Пусть — последовательность :

Полученное соотношение является характеристическим для арифметической прогрессии.

Доказательство

• Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:

  ,

Доказательство

• Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-ого члена, и заканчивая n-ым членом, можно рассчитать по формуле:

Доказательство

• Сумма первых членов геометрической прогрессии:

Доказательство

• Через сумму:

Примечания

См. также

Арифметические,геометрические прогрессии — Математика

Если каждому натуральному числу n (n = 1, 2,…) поставлено в соответствие число x_n, то говорят, что задана числовая последовательность x₁, x₂,…, x_n…, обозначаемая {x_n}. Числаx₁, x₂,. .., x_n… называются членами последовательности, а член с номером n – ее n-м членом.

Арифметическая прогрессия

Числовую последовательность {a_n}, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называют арифметической прогрессией. Число d называется разностью арифметической прогрессии: a_n+1 = a_n + d. Число S_n называется суммой n первых членов арифметической прогрессии.

Свойства арифметической прогрессии:

Геометрическая прогрессия

Числовую последовательность {b_n}, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q ≠ 0, называют геометрической прогрессией.

Число q называется называется знаменателем прогрессии: b_n+1 = b_nq.

Число S_n называется суммой n первых членов геометрической прогрессии, P_n — произведением n первых членов геометрической прогрессии.

Свойства геометрической прогрессии:

Сумма первых трех членов возрастающей арифметической прогрессии равна 21. Если от первых двух членов этой прогрессии отнять по 1, а к третьему члену прибавить 2, то полученные три члена составят геометрическую прогрессию. Найти сумму восьми первых членов геометрической прогрессии.

____________________________________________________________________________

Обозначим через a_i — члены арифметической прогрессии c разностью d, через b_i — геометрической, с знаменателем q.

Согласно формуле суммы арифметической прогрессии имеем S₃ = (2a₁ + 2d) · 3 / 2 = 21 или a₁ + d = 7.

По условию a₁ — 1, a₁ + d — 1, a₁ + 2d + 2 — три последовательных члена геометрической прогрессии. Используем свойство геометрической прогрессии:

(a₁ + d — 1)² = (a₁ + 2d + 2)(a₁ — 1).

После замены переменной a₁ = 7 — d и открытия скобок получаем квадратное уравнение

d² + 3d — 18 = 0, т.е. d₁ = 3, d₂ = -6.

Условию удовлетворяет лишь d₁ = 3 (т.к. арифметическая прогрессия возрастающая). В этом случае a₁ = 4. Находим b₁ = a₁ — 1 = 3. b₂ = a₁ + d — 1 = 6, откуда q = 2.

Наконец, согласно формуле суммы членов геометрической прогрессии получаем:

S₈ = [b₁(q₈ — 1)] / (q — 1) = 765.

Ответ: S₈ = 765.

Сумма трех чисел, которые составляют арифметическую прогрессию, равна 2, а сумма квадратов этих же чисел равна ¹⁴/₉. Найти эти числа.

____________________________________________________________________________

Используя тот факт, что числа составляют арифметическую прогрессию, запишем их какa, a + d, a + 2d.

Согласно условию их сумма равна 2, т.е. 3a + 3d = 2, a = ²/₃ — d.

Согласно второму условию a² + (a + d)² + (a + 2d)² = ¹⁴/₉.

После раскрытия скобок получаем 27a² + 45d² + 54ad = 14.

Делаем замену переменной a = ²/₃ — d, раскрываем скобки и получаем:

d² = ¹/₉.

d = ±¹/₃.

Теперь легко найти числа, составляющие арифметическую прогрессию. При любом из значений d = ±¹/₃ числа будут равны ¹/₃, ²/₃, 1.

Ответ: ¹/₃, ²/₃, 1.

Найти четыре числа, составляющие геометрическую прогрессию, в которой третий член больше первого на 9, а второй больше четвертого на 18.

____________________________________________________________________________

Используя тот факт, что числа составляют геометрическую прогрессию, запишем их какb, bq, bq², bq³.

По условию:

1) bq² = b + 9.

2) bq = bq³ + 18.

Домножаем первое уравнение на q и складываем со вторым:

9q + 18 = 0.

Откуда q = -2. Из первого уравнения находим b. b = 3.

Теперь легко найдем все числа: 3, -6, 12, -24.

Ответ: 3, -6, 12, -24.

Найти сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 7.

___________________________________________________

Сначала найдем минимальное и максимальное трехзначные числа, которые делятся на 7. Это числа 105 и 994 соотвественно. Запишем a₁ = 105, a_m = 994.

Найдем m, т.е. количество трехзначных чисел, которые делятся на 7. Используем свойство прогрессии и получаем:

994 = 105 + 7(m — 1).

Откуда m = 128.

А теперь воспользуемся формулой суммы m членов арифметической прогрессии S₁₂₈ = (105 + 994) · 128 / 2 = 70336.

Ответ: 70336.

Открытый урок по алгебре в 9 классе «Характеристическое свойство геометрической прогрессии»

Открытый урок по алгебре в 9 классе

Тема: «Характеристическое свойство геометрической прогрессии»

Цели урока:

1. Образовательные: вспомнить и обобщить те знания, которые ученики уже имеют по геометрической прогрессии; активизировать работу по применению этих знаний; вывести и доказать характеристическое свойство геометрической прогрессии; приобрести умение по применению характеристического свойства при решении простых задач.

2. Развивающие: формировать умения наблюдать, подмечать закономерности, проводить рассуждение по аналогии, делать выводы на основе выявленных закономерностей, строить и интерпретировать модель некоторой реальной ситуации.

3. Воспитательные: содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, а также активности, умению аргументировано отстаивать свои взгляды.

Тип урока: комбинированный урок.

Структура урока

1. Подготовительный этап.

2. Актуализация знаний, умений и навыков.

3. Изучение нового материала.

4. Отработка знаний, умений и навыков по теме.

5. Решение задач практического содержания.

6. Подведение итогов урока и домашнее задание.

Ход урока

1. Подготовительный этап (3 мин. ).

– Сегодня мы с вами выведем новое свойство геометрической прогрессии.

– Но сначала проверим домашнее задание.

Один ученик вызывается к доске и записывает определение геометрической прогрессии, формулу n-го члена геометрической прогрессии и формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии.

С остальными учениками проверяем выполнение домашнего задания, опрашивая с места ответы в домашних заданиях.

№17.25 (а, в) а); в)

№17.27 (а, б) а) ; б)

№17.28 (а, в) а) ; в)

№17.29 (а, в) а) , ,

в), ,

2. Актуализация знаний, умений и навыков (7 мин.).

– Чтобы вспомнить все, что вы знаете о геометрической прогрессии, проведем устную работу по карточкам. Будут работать две группы: группа девочек и группа мальчиков.

Каждой группе выдаются карточки с выбором ответа. После выполнения заданий в каждой группе должно получиться свое слово.

1 группа.

Ответ: Х

1 группа.

Ответ: А

1 группа.

Ответ: К

1 группа.

Ответ: Р

1 группа.

Ответ: Т

1 группа.

Ответ: Е

2 группа.

Ответ: С

2 группа.

Ответ: В

2 группа.

Ответ: Й

2 группа.

Ответ: О

2 группа.

Ответ: Т

1 группа

Под числом, соответствующим номеру задания, напишите букву.

1

Должно получиться слово ХАРАКТЕР.

2 группа

Под числом, соответствующим номеру задания, напишите букву.

1

Должно получиться слово СВОЙСТВО

Примечание:

1. Если будут присутствовать все ученики, то 1 группа – 4 девочки, 2 – группа – 3 мальчика.

2. Если не будет 1 девочки, то в группе девочек исключить Карточку №6, а букву в бланк написать учителю.

3. Карточки с заданием можно раздать с учетом уровня знаний ученика.

– В результате работы в 1 группе получилось слово Характер. По словарю Сергея Ивановича Ожегова характер – это отличительное свойство, качество, особенность кого-либо (чего-либо).

– Итак, сегодня мы с вами выведем еще одно свойство геометрической прогрессии – характеристическое свойство.

3. Изучение нового материала (14 мин.).

– Вам известно характеристическое свойство арифметической прогрессии, попробуем определить характеристическое свойство для геометрической прогрессии.

Рассмотрим последовательность чисел, являющуюся геометрической прогрессией

: 1, 2, 4, 8, 16, 32, …

Выполните задания:

1. Найдите произведение членов этой прогрессии:

   с номерами 1 и 3

сравнить 4 и 2

сравнить 16 и 4

сравнить 64 и 8

– Какая закономерность существует?

– Произведение и равно квадрату

– Произведение и равно квадрату

– Произведение и равно квадрату

– В результате получили формулу…

– для

– Это свойство геометрической прогрессии называется характеристическим. Оно формулируется так: «Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, кроме первого, равен произведению предыдущего и последующего членов».

– Докажем это свойство:

1. (по определению геометрической прогрессии для )

2. (по определению геометрической прогрессии)

3. Перемножим и , получим:

для

– Верно и обратное: если последовательность , состоящая из чисел, отличных от нуля, такова, что для любого выполняется равенство , то – геометрическая прогрессия.

– Доказательство этого утверждения разберите дома самостоятельно по учебнику стр. 166 – 167.

4. Отработка знаний, умений и навыков по теме (7 мин.).

№17.16 (а) – на доске учитель, ученики помогают.

а) Между числами 18 и 2 вставьте положительное число так, чтобы получилось три последовательных члена геометрической прогрессии.

– Из трех последовательных членов геометрической прогрессии известны первый и третий члены. Найти нужно второй член.

Дано:

, , ,

Найти:

Решение.

(характеристическое свойство)

или

Так как по условию , то – не подходит.

Ответ:

№17.31 (б) – ученики самостоятельно.

б) Между числами 18 и 2 вставьте положительное число так, чтобы получилось три последовательных члена геометрической прогрессии.

Дано:

, , ,

Найти: ,

Решение.

1) (характеристическое свойство)

или

Так как по условию , то .

2) (по определению)

Ответ: ,

№17.32 – вызвать к доске.

Найдите те значения t, при которых числа t, 4t, 8 являются последовательными членами геометрической прогрессии.

Дано:

: t, 4t, 8

Найти: t

Решение.

1) Так как t, 4t, 8 – члены геометрической прогрессии, то (по определению геометрической прогрессии.

2) (характеристическое свойство)

Получим уравнение:

или

Так как , то .

Ответ:

5. Решение задач практического содержания (8 мин. ).

№17.51 – на доске учитель вместе с учениками.

– Бактерия, попав в живой организм, к концу 20-й минуты делится на две бактерии, каждая из них к концу следующих 20 минут делится опять на две и т.д. Найдите число бактерий, образующихся из одной бактерии к концу суток.

1. этап. Формализация – составление математической модели.

– К концу 1-ых двадцати минут будет бактерии.

К концу 2-ых двадцати минут будет бактерии.

К концу 3-их двадцати минут будет бактерий.

и т.д.

Получили последовательность: 2, 4, 8, …

Так как (), то данная последовательность является геометрической прогрессией, причем

– Какой же член геометрической прогрессии соответствует концу суток?

– Для этого нужно знать сколько раз 20 минут укладывается в сутках.

– В одном часе двадцать минут укладывается 3 раза, в сутках 24 часа, поэтому в сутках 72 раза укладывается по двадцать минут.

– Итак, к концу суток в организме будет бактерии. Математическая модель задачи будет представлять формулу 72-го ^{члена: , где} ,

2. этап. Работа с составленной модели.

3. этап. Ответ на вопрос задачи.

– По вопросу задачи нужно было найти количество бактерий образующихся из одной бактерии, поэтому из полученного числа нужно вычесть исходную бактерию. Значит, к концу суток образовалось бактерий.

Ответ: бактерий.

6. Подведение итогов и домашнее задание (2 мин.).

1. В начале урока вспомнили определение геометрической прогрессии, формулу n-го члена геометрической прогрессии, формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии, а также вы показали, как можете использовать эти знания при решении заданий.

2. Потом мы с вами открыли новое для вас характеристическое свойство геометрической прогрессии:

Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого, равен произведению предшествующего и последующего членов.

,

3. Затем решили несколько номеров, в которых используется это характеристическое свойство.

4. В конце урока разобрали задачу практического содержания, в которой применяются свойства геометрической прогрессии.

5. Домашнее задание:

§17 (стр. 166 – 167) – доказательство.

№17.16(б), 17.31(а), 17.33, 17.52.

6. Объявить оценки за урок.

Геометрическая прогрессия, сумма геометрической прогрессии

Определение: Геометрическая прогрессия — числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число, не равное нулю.

Определения: Знаменатель геометрической прогрессии — постоянное для последовательности число , которое умножают на каждый член.

— геометрическая прогрессия,

— геометрическая прогрессия,

— геометрическая прогрессия

— знаменатель геометрической прогрессии

Характеристические свойства геометрической прогрессии

Свойством: Квадрат любого члена геометрической прогрессии (начиная со второго члена) равен произведению предыдущего и последующего членов и наоборот, если выполняется указанное властивіть, то последовательность будет геометрической прогрессией.

Формулы n-ого члена геометрической прогрессии

Формулы суммы n первых членов геометрической прогрессии

План решению задач на геометрические прогрессии

1. Все, о чем говорится в речи задачи (члены прогрессе, их суммы и т. д), выражаем через первый член и разность прогрессии.
2. Составляем уравнение (или систему уравнений) по условию задачи. В случае, когда в задачи происходит переход от геометрической прогрессии к арифметической прогрессии и наоборот, для составления уравнений обычно используют характеристические свойства прогрессий.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Определение: Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — это бесконечная геометрическая прогрессия, знаменатель которой по модулю меньше единицы .

Пример

Определение: Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии — предел, к которому стремится сумма ее первых членов, при бесконечном росте .

.

Формула для вычисления суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Пример нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Преобразование периодической десятичной дроби в обычный

Пример

(как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем )

свойств геометрической прогрессии | общее отношение

В этом разделе мы обсудим важные свойства геометрических прогрессий и геометрических рядов.
Свойство I: Если все члены G.P умножить или разделить на одну и ту же ненулевую константу, то последовательность останется в G.P с тем же общим соотношением.
Доказательство: Пусть $ a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, …, a_ {n} $ находятся в геометрической прогрессии с общим отношением ‘r’.
$ \ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}} $, для всех n $ \ epsilon $ N —— (i)

Пусть ‘k’ будет любой ненулевой константой, на которую мы умножаем каждый член G.P. Итак, получаем,
$ ka_ {1}, ka_ {2}, ka_ {3}, …, ka_ {n} $

Итак, уравнение (i) ⇒ $ \ frac {ka_ {n + 1} } {ka_ {n}} $, для всех n $ \ epsilon $ N

, который совпадает с $ \ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}} $
& ther4; новая сформированная последовательность также есть у Г. с обычным отношением «r».

Свойство II: Величины, обратные условиям данного G.P. сформировать G.P.
Доказательство: Пусть $ a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, …, a_ {n} $ находятся в геометрической прогрессии с общим отношением ‘r’.
$ \ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}} $, для всех n $ \ epsilon $ N —— (i)

Теперь последовательность, образованная обратной величиной, будет
$ \ frac {1} {a_ {1}}, \ frac {1} {a_ {2}}, \ frac {1} {a_ {3}} ,…, \ frac {1} {a_ {n}} $

Обычное соотношение = $ \ frac {\ frac {1} {a_ {n + 1}}} {\ frac {1} {a_ {n} }} = \ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}} = \ frac {1} {r} $
Итак, новая последовательность находится в GP с обычным соотношением $ \ frac {1} {r} $

Свойство III: Если каждый член G.P. возведенная на тот же показатель степени, результирующая последовательность также в G.P.
Доказательство: Пусть $ a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, …, a_ {n} $ находятся в геометрической прогрессии с общим отношением ‘r’.
$ \ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}} $, для всех n $ \ epsilon $ N —— (i)

Пусть каждый член G.{2} $ = ac

Свойство ВИ: Если условия данного ГП. выбираются через равные промежутки времени, то сформированная новая последовательность также образует G.

Свойство VII: Если $ a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, …, a_ {n} $ находятся в геометрической прогрессии, тогда $ log a_ {1}, log a_ {2 }, log a_ {3}, …, log a_ {n} $ — это арифметическая прогрессия и наоборот.

11 класс по математике

От геометрической прогрессии к дому

Covid-19 привел мир к феноменальному переходу.

За электронным обучением будущее уже сегодня.

Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться !!!

Covid-19 повлиял на физическое взаимодействие между людьми.

Не позволяйте этому влиять на ваше обучение.

Геометрическая прогрессия — Свойства и сумма GP

Последовательность и последовательность — важная тема, в рамках которой объединяются несколько подтем, таких как арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия, гармоническая прогрессия и т. Д.В этой статье вы получите краткое представление о геометрической прогрессии и ее формуле для нахождения члена n ^th и суммы n членов в G. P. а также Infinite G.P. Эта тема важна для экзаменов IIT JEE Main и JEE Advanced.

Геометрическая прогрессия (G.P.)

1. Последовательность состоит из ненулевых чисел.
2. Соотношение члена и предыдущего члена остается постоянным.
3. Постоянный коэффициент также известен как обычный рацион (r).

Последовательность a1, a2, a3, a4, a5, a6, ……………, an называется геометрической прогрессией (GP), если

Геометрическая серия

Если ₁ , a ₂ , a ₃ , a ₄ , a ₅ , a ₆ , ……………, a _n — это геометрическая прогрессия, тогда

Геометрическая серия определяется как

Геометрические ряды могут быть конечными или бесконечными в зависимости от конечного или бесконечного числа членов.

Г.П. можно записать следующим образом, если он конечен.

Общий термин Геометрическая прогрессия

Ниже приведены общие термины геометрической прогрессии,

первый член = ‘a’

общий коэффициент = ‘r’

Затем, n ^-й термин GP определяется как

Где

n-й от конца конечного GP

1. Если указано:

Общее количество терминов = m

Термин, который необходимо найти = n

Первый член = a

Общий коэффициент = r

Затем

2. Если задан последний член (l) и обычное отношение (r). Тогда

коэффициент обыкновенного от конца =

Выбор терминов в геометрической прогрессии

Другой вопрос может быть сформирован на основе определенного количества терминов в G.P. Затем следуют различные способы выбора чисел в зависимости от количества терминов.

Сумма n членов Геометрическая прогрессия

Сумма n членов G.П., первый член которого — «а», а обычное употребление — «г». Тогда

1. r ≠ 1

2. r = 1

Сумма бесконечных G.P.

Сумма условий G.P. Ряд, когда число членов в нем бесконечно, определяется следующим образом:

Некоторые свойства арифметической прогрессии

1. Когда каждый член G.P умножается и делится на фиксированное ненулевое число, тогда результирующая последовательность также является G. P.
2. Если есть две геометрической прогрессии

a ₁ , a ₂ , a ₃ , a ₄ , a ₅ , a ₆ , ………………, ………………, a _n и b ₁ , b ₂ , b ₃ , b ₄ , b ₅ , b ₆ , ………………, b _n

Затем a ₁ b ₁ , a ₂ b ₂ , a ₃ b ₃ , a ₄ b ₄ , a ₅ b ₅ , a ₆ b ₆ , ………………, a _n b _n также является геометрической прогрессией.

3. Пусть будет три числа a, b, c. Они есть в G.P. тогда и только тогда, когда

Среднее геометрическое

Предположим, есть два числа a и c, которые находятся в G.P. Затем Г. of a и c (скажем, b) — это значение, которое может быть добавлено между a и c, так что a, b, c находятся в G. P.

Итак,

Если ₁ , ₂ , ₃ , ₄ , ₅ , ₆ , ……………, _n не -нулевые числа, тогда среднее геометрическое задается как

Кроме того, n чисел среднего геометрического G ₁ , G ₂ , G ₃ , G ₄ , …… ..G _n можно вставить между двумя числами (скажем, a и b). «A» — это первый член, а b — это (n +2) ^{-й член} .

Тогда полученная ниже последовательность будет в G.P.

Тогда n чисел между двумя числами a и b будет

Формула

1. Найти общее отношение геометрической прогрессии

2. Найти n ^-й членов геометрической прогрессии или найти общее количество членов в G.P. дается по:

3. Чтобы найти термин с конца G.P.

или

4. Чтобы найти сумму n членов конечного G.P.

5. Чтобы найти сумму бесконечной G.P.

Чтобы найти среднее геометрическое

Или,

Надеюсь, это помогло вам прояснить все концепции геометрической прогрессии.Вы также можете ознакомиться с другими нашими статьями по физике, такими как насыпь дорог, второй закон Кирхгофа и разница между интерференцией и дифракцией.

Также проверьте:

Создайте бесплатную учетную запись, чтобы продолжить чтение

• Получите мгновенные оповещения о вакансиях бесплатно!

• Получите ежедневный GK и текущие новости Капсула и PDF-файлы

• Получите 100+ бесплатных пробных тестов и викторин

Зарегистрироваться бесплатно Создать бесплатный аккаунт? Войти

Следующее сообщение

Геометрические прогрессии | Блестящая вики по математике и науке

Важная терминология

• Начальный член: В геометрической прогрессии первое число называется «начальным членом». «
• Общий коэффициент: соотношение между термином в последовательности и термином перед ним, называется «обычным отношением».

Рекурсивная формула

Мы можем описать геометрическую последовательность с помощью рекурсивной формулы, которая определяет, как каждый член соотносится с предыдущим. Поскольку в геометрической прогрессии каждый член задается произведением предыдущего члена и общего отношения, мы можем написать рекурсивное описание следующим образом:

Срок = Предыдущий срок × Общий коэффициент.\ text {Term} = \ text {Предыдущий термин} \ times \ text {Обычное соотношение}. Срок = Предыдущий срок × Общий коэффициент.

Если говорить кратко, то при обычном соотношении ррр имеем

an = an − 1 × r.a_n = a_ {n-1} \ times r.an = an − 1 × r.

Явная формула

Хотя приведенная выше рекурсивная формула позволяет нам описать отношения между членами последовательности, часто бывает полезно иметь возможность написать явное описание терминов в последовательности, которое позволило бы нам найти любой термин.

Если мы знаем начальный член, следующие члены связаны с ним путем многократного умножения обыкновенного отношения. Таким образом, явная формула

Срок = Начальный срок × Общий коэффициент × ⋯ × Общий коэффициент Количество шагов от начального срока. \ text {Term} = \ text {Начальный термин} \ times \ underbrace {\ text {Общий коэффициент} \ times \ dots \ times \ text {Общий коэффициент}} _ {\ text {Количество шагов от начального члена}} . Срок = Начальный член × Количество шагов от начального члена Общее соотношение × ⋯ × Общее соотношение.{n-k} .an = ak × rn-k.

Теперь давайте разработаем несколько основных примеров, которые могут познакомить вас с приведенными выше определениями.

Какова явная формула для геометрической последовательности 4,12,36,108,…? 4, 12, 36, 108, \ точек? 4,12,36,108,…?

Показать ответ

Начальный член равен 444. Поскольку каждый последующий член является произведением предыдущего члена и 333, общее отношение равно 333. Таким образом, формула, описывающая эту последовательность, имеет вид

an = 4 × 3n − 1.{n} 5⋅5н

Что из следующего является явной формулой для геометрической прогрессии???????????????????????????????????????

5,10,20,40,…? 5, 10, 20, 40, \ точки? 5,10,20,40,…?

Бесконечная геометрическая серия

Бесконечный

геометрическая серия

это сумма бесконечного

геометрическая последовательность

.У этой серии не будет последнего срока. Общий вид бесконечного геометрического ряда:

а

1

+

а

1

р

+

а

1

р

2

+

а

1

р

3

+

…

, где

а

1

это первый член и

р

это обычное отношение.

Мы можем найти сумму всех конечных геометрических рядов. Но в случае бесконечного геометрического ряда, когда

обычное отношение

больше единицы, члены в последовательности будут становиться все больше и больше, и если вы сложите большие числа, вы не получите окончательного ответа.Единственно возможный ответ — бесконечность. Итак, мы не имеем дело с обычным отношением больше единицы для бесконечного геометрического ряда.

Если обычное отношение

р

лежит между

—

1

к

1

, мы можем получить сумму бесконечного геометрического ряда. То есть сумма выходит за

|

р

|

< 1 .

Сумма

S

бесконечного геометрического ряда с

—

1

< р < 1 дается формулой,

S

знак равно

а

1

1

—

р

Бесконечный ряд, в котором есть сумма, называется сходящимся рядом, а сумма

S

п

называется частичной суммой ряда.

Вы можете использовать сигма-нотацию для представления бесконечной серии.

Например,

∑

п

знак равно

1

∞

10

(

1

2

)

п

—

1

бесконечная серия. Символ бесконечности, расположенный над сигма-обозначением, указывает на то, что серия бесконечна.

Чтобы найти сумму вышеуказанного бесконечного геометрического ряда, сначала проверьте, существует ли сумма, используя значение

р

.

Здесь значение

р

является

1

2

. С

|

1

2

|

< 1 Сумма выходит.

Теперь воспользуемся формулой суммы бесконечного геометрического ряда.

S

знак равно

а

1

1

—

р

Заменять

10

для

а

1

а также

1

2

для

р

.

S

знак равно

10

1

—

1

2

Упрощать.

S

знак равно

10

(

1

2

)

знак равно

20

Геометрическая последовательность и ряд — GeeksforGeeks

Последовательность определяется как расположение чисел в определенном порядке, т.е.е., упорядоченный список номеров. Например: 1, 3, 5, 7,… и т. Д.

Есть 2 типа последовательностей:

Арифметическая последовательность: Арифметическая последовательность — это последовательность, в которой разница между двумя последовательными членами постоянна. Это различие известно как общее различие.

Геометрическая последовательность: Напротив, геометрическая последовательность — это та, в которой соотношение между двумя последовательными членами постоянно. Это соотношение известно как обычное отношение.

Серия

Серия определяется как сумма элементов последовательности. Например: 1 + 4 + 7 + 10 +… и т. Д.

Серия бывает двух типов:

Конечная серия: Конечная серия — это серия, в которой известно количество элементов в серии.

Бесконечная серия: Когда количество элементов в серии неизвестно, то есть серия с бесконечным количеством элементов называется бесконечной серией.

Геометрическая последовательность

Геометрическая последовательность — это последовательность, в которой соотношение между двумя последовательными членами постоянно.Это отношение известно как обычное отношение, обозначаемое как ‘r’, где r ≠ 0.

Пусть элементы последовательности обозначены как:

a ₁ , a ₂ , a _3, a ₄ ,…, a _n

Данная последовательность является геометрической, если:

a ₁ / a ₂ = a ₂ / a ₃ = a ₃ / a ₄ =… = a _n-1 / a _n = r (общее отношение)

Данная последовательность также может быть записана как:

a, ar, ar ² , ar ³ ,…, ar ^n-1

Здесь r — это обычное отношение, а a — масштабный коэффициент.

Общее отношение определяется по формуле:

r = последующий член / предыдущий член = ar ^{n -1} / ar ^n-2

Что такое член N

^th геометрической последовательности?

Чтобы найти n-й член геометрической последовательности, мы знаем, что ряд имеет форму a, ar, ar ² , ar ³ , ar ⁴ ……….

Термин n ^th обозначается a _n. Таким образом, чтобы найти n-й член геометрической последовательности, будет:

a _n = ar ^n-1

Вывод формулы

Для каждого члена GP как ₁ , a ₂ , a ₃ , a ₄ ,…, a _n , выражая все эти термины согласно первому члену a ₁ , мы получаем

a ₁ = a ₁

a ₂ = a ₁ r

a ₃ = a ₂ r = (a ₁ r) r = a ₁ r ²

a ₄ = a ₃ r = (a ₁ r ² ) r = a ₁ r ³

…

a _м = a ₁ r ^{м − 1}

…

a _n = a ₁ r ^{n — 1}

где,

a ₁ = первый член, a ₂ = второй член и т. Д.

a _n : последний член (или n-й член) и

a _m : любой член перед последним членом

n-й член из последнего члена определяется по формуле:

a _n = l / r ^n-1

где l последний член

Какова сумма первых n членов геометрической последовательности ?

Сумма первых n членов геометрической последовательности определяется как:

S _n = a (1 — r ⁿ ) / (1 — r), если r <1

S _n = a (r ⁿ -1) / (r — 1), если r> 1

Вывод формулы

Сумма в геометрической прогрессии (известная как геометрический ряд) равна

S = a ₁ + a ₂ + a ₃ +… + a _n

S = a ₁ + a ₁ r + a ₁ r ² + a ₁ r ³ +… + a ₁ r ^{n − 1} ….Уравнение (1)

Умножив обе части уравнения (1) на r (обычное отношение), мы получим

S × r = a ₁ r + a ₁ r ² + ^{a ₁ r 3 + a ₁ r 4 +… + a ₁ r n … .Уравнение (2)}

Вычтите уравнение (2) из ​​уравнения (1)

S — Sr = a ₁ — a ₁ r ⁿ

(1 — r) S = a ₁ (1 — r ⁿ )

S _n = a ₁ (1 — r ⁿ ) / (1 — r), если r <1

Теперь вычитание уравнения (1) из уравнения (2) даст

Sr — S = a ₁ r ⁿ — ^{a ₁}

(r — 1) S = a ₁ (r ⁿ -1)

Следовательно,

S _n = a ₁ (r ⁿ -1) / (r — 1) , если r> 1

Сумма бесконечных членов

Количество членов в бесконечная геометрическая прогрессия приблизится к бесконечности (n = ∞).Сумму бесконечной геометрической прогрессии можно определить только в диапазоне | r | <1.

S = a (1 — r ⁿ ) / (1 — r)

S = (a — ar ⁿ ) / (1 — r)

S = a / (1 — r) — ar ⁿ / (1 — r)

Для n -> ∞ величина (ar ⁿ ) / (1 — r) → 0 для | r | <1,

Таким образом,

S _∞ = a / (1-r), где | r | <1

Задача 1: Найти общий коэффициент и масштабный коэффициент последовательности: 4, 12, 36, 108, 324,…

Решение:

Предоставленная последовательность: 4, 12, 36, 108 , 324,…

Общий коэффициент = 12/4 = 3

Масштабный коэффициент = 4

Задача 2: Найти общий коэффициент и масштабный коэффициент последовательности: 5, -5, 5, -5, 5, — 5,…

Решение:

Заданная последовательность, 5, -5, 5, -5, 5, -5,…

Общее соотношение = -5/5 = -1

Масштабный коэффициент = 5

Задача 3: Найдите n-й член и сумму n членов последовательности: 1, 2, 4, 8, 16, 32

Решение:

Заданная последовательность, 1, 2, 4 , 8, 16, 32

Общий коэффициент r = 2/1 = 2

Масштабный коэффициент = 1

6-й член в последовательности = ar ^n-1 = 1.2 ^6-1 = 32

Форма третьего члена last = l / r ^n-1 = l / 2 ^3-1 = 32/4 = 8

Сумма первых трех членов = a (r ⁿ -1) / (r — 1) = 1 (2 ³ -1) / (2-1) = 7

Свойства геометрической прогрессии

• a ² _k = a _{k -1} * a _{k + 1}
• a ₁ * a _n = a ₂ * a _n-1 =… = a _k * a _{n-k + 1}
• Если мы умножим или разделим ненулевое количество на каждый член GP, то полученное
  последовательность также будет в GP с такой же общей разницей.
• Взаимность всех условий в GP также образует GP.
• Если все термины в GP возведены в одну и ту же степень, то новая серия также входит в GP.
• Если y ² = xz, то три ненулевых члена x, y и z находятся в GP.

Явная формула

Явная формула — это формула, которая определяет термины последовательности по отношению к номеру члена. N-й член геометрической последовательности задается явной формулой:

a _n = a ₁ * r ^n-1

Проблема: дана геометрическая последовательность с ₁ = 3 и ₄ = 24, найти ₅

Решение:

Последовательность может быть записана в терминах начального члена и общего отношения r.

Запишите четвертый член последовательности в виде ₁ и r. Замените 24 на _4. Найдите общее отношение.

a _n = a ₁ * r ^n-1

a ₄ = 3r ³

24 = 3r ³

8 = r ³

r = 2

Найдите второй член, умножив первый член на обыкновенное отношение.

a ₅ = _{a 1 * r ^n-1}

= 3 * 2 ^5-1

= 3 * 16 = 48

Рекурсивная формула

Рекурсивная формула определяет термины последовательности относительно предыдущего значения.В отличие от явной формулы, которая определяет его по отношению к номеру термина.

В качестве простого примера рассмотрим последовательность: 1, 2, 4, 8, 16, 32

Шаблон состоит в многократном умножении 2. Итак, рекурсивная формула:

term (n) = term (n — 1) * 2

Обратите внимание, чтобы найти любой термин, вы должны знать предыдущий. Каждый член является продуктом обычного отношения и предыдущего члена.

терм (n) = член (n — 1) * r

Задача: Напишите рекурсивную формулу для следующей геометрической последовательности: 8, 12, 18, 27,…

Решение:

Первый член равен 6.Обычное отношение можно найти, разделив второй член на первый член.

r = 12/8 = 1,5

Подставьте обычное отношение в рекурсивную формулу для геометрических последовательностей и определите ₁

член (n) = член (n — 1) * r

= член (n -1) * 1,5 для n> = 2

a ₁ = 6

Формы геометрических последовательностей для преобразований

Явная форма: a _n = k * r ^n-1

Рекурсивная форма: a ₁ = k, a _n = a _n-1 * r

Задача 1: Данная рекурсивная формула для f (n):

f (1) = 6

f (n) = f (n-1) * (-6.5)

Найдите явную формулу для f (n)

Решение:

Из рекурсивной формулы мы можем сказать, что первый член последовательности равен 6, а общее отношение равно -6,5

Явная формула : f (n) = 6 * (-6,5) ^n-1

Задача 2: Дана явная формула для f (n):

f (n) = 6 * (-6,5) ^{n- 1}

Найдите рекурсивную формулу для f (n).

Решение:

Из явной формулы мы можем сказать, что первый член последовательности равен 6, а общее отношение равно -6.5

Рекурсивная формула: f (1) = 6

f (n) = f (n-1) * (-6,5)

Арифметические и геометрические свойства в последовательности — Mathlibra

Арифметические и геометрические ряды
Когда мы складываем элементы последовательности вместе, мы формируем серию. Мы используем символ S _n , чтобы показать сумму первых n членов ряда.

S _n = a ₁ + a ₂ + a ₃ + ⋯ + a _{( n -1)} 13 + a

📌 Пример решения 1: Распознавание арифметических и геометрических последовательностей
Что из следующего может быть первыми четырьмя членами арифметической последовательности? Геометрической последовательности?
(A) 1, 2, 3, 5,… (B) -1, 3, -9, 27,…
(C) 3, 3, 3, 3,… (D) 10, 8.5, 7, 5.5,…
✍ Решение:
(A) Начиная с 2-1 ≠ 5-3, нет общей разницы, поэтому последовательность не является арифметической последовательностью. Поскольку 2/1 ≠ 3/2, нет общего отношения, поэтому последовательность также не является геометрической.
(B) Последовательность геометрическая с обычным отношением -3, но не арифметическая.
(C) Последовательность арифметическая с общей разностью 0 и геометрическая с общим отношением 1.
(D) Последовательность арифметическая с общей разностью -1,5, но не геометрическая.

📌 Решение2.Рассмотрим последовательность: ½, 4, ¼, 7.⅛, 10,…
a) Если узор продолжается таким же образом, запишите следующие ДВА члена последовательности. (Подсказка: найдите в шаблоне две разные последовательности и разделите их.)
б) Вычислите сумму первых 50 членов последовательности.
✍ Решение:
a) a ₁ , a ₃ и a ₅ образуют последовательность с общим отношением 1/2, поэтому a ₇ равно 1/16.
a ₂ , a ₄ и a ₆ образуют последовательность с общей разницей 3, поэтому a ₈ равно 13.
b) S ₅₀ = 25 членов 1-й последовательности + 25 членов 2-й последовательности

S ₅₀ = (½ + ¼ + ⅛ +… до 25 членов) + (4 + 7 + 10 + 13 +… до 25 сроков).

📌 Пример решения 3 ▼
В арифметической последовательности сумма первого члена и третьего члена равна 15. Первый, третий и седьмой члены арифметической последовательности — это первые три члена геометрической последовательности.
(i) Найдите первый член и общую разность арифметической последовательности, где общая разность положительна.
(ii) Найдите первые три члена и общее отношение геометрической последовательности.
✍ Решение:
(i) Для арифметической последовательности: u _n = a + ( n -1) d .

u ₁ = a ; u ₃ = a +2 d ; u ₇ = a +6 d
Дано: u ₁ + u ₃ = 15
∴ ( a ) + ( a +2 d ) = 15
a + a +2 d = 15
2 a +2 d = 15… (1)
Дано: u ₁ , u ₃ и u ₇ , первые три члена геометрической последовательности.
[обычное соотношение]

[умножьте обе стороны на a ( a +2 d )]
a ( a +6 d ) = ( a +2 d ) ( a +2 d )
a ² +6 ad = a ² +4 ad +4 d ²
6 ad = 4 ad32 +4 +4 ²
2 d -4 d ² = 0
ad -2 d ² = 0
d ( a -2 d ) = 0
d = 0 или a -2 d = 0
d = 0 или a = 2 d
Таким образом, a = 2 d … (2) (нам дано d > 0)
Теперь решим между одновременными уравнениями (1) и (2).
(1)… 2 a +2 d = 15; ( a = 2 d )
2 a + a = 15
3 a = 15
a = 5
(2)… 2 d = a
2 d = 5
d = 5/2
(ii) Для геометрической последовательности:
u ₁ = a = 5
u ₂ = a +2 d = 5 + 2 (5/2) = 5 + 5 = 10.
Таким образом, первые три члена геометрической последовательности — это 5, 10 и 20, а обычное отношение равно 2.

Вывод геометрической формулы суммирования

Purplemath

Формула для n -й частичной суммы, S _n , геометрического ряда с общим отношением r имеет вид:

Эту формулу на самом деле довольно просто подтвердить: вы просто используете полиномиальное деление в столбик.

Сумма первых n членов геометрической последовательности в развернутом виде выглядит следующим образом:

a + ar + ar ² + ar ³ + … + ar ^{n –2} + ar ^{n –1}

MathHelp.com

Полиномы обычно записываются с их членами в «порядке убывания». Изменив порядок суммирования выше, чтобы расположить его члены в порядке убывания, мы получаем расширение ряда:

ar ^{n –1} + ar ^{n –2} +… + ar ³ + ar ² + ar + a

Мы можем взять общий множитель « a » вперед:

a ( r ^{n –1} + r ^{n –2} + … + r ³ + r ² + r )

Основное свойство полиномов состоит в том, что если вы разделите x ⁿ -1 на x -1, вы получите:

x ^{n –1} + x ^{n –2} +… + x ³ + x ² + x + 1

Это означает, что:

Если мы обратим оба вычитания в приведенной выше дроби, мы получим следующее эквивалентное уравнение:

Применяя вышеуказанное к геометрическому суммированию (используя « r » вместо « x »), получаем:

---

Вышеупомянутый вывод может быть расширен, чтобы дать формулу для бесконечного ряда, но требует инструментов из исчисления.А пока просто отметьте, что для | r | <1, основное свойство экспоненциальных функций состоит в том, что r ⁿ должен приближаться к нулю по мере того, как n становится больше. Очень быстро r ⁿ настолько близок к нулю, что не имеет значения, и «на бесконечности» игнорируется. Грубо говоря, именно поэтому r ⁿ отсутствует в формуле бесконечной суммы.