Геометрическая прогрессия свойства: Геометрическая прогрессия, последовательность чисел, сумма, знаменатель, сумма, свойства, n-й член нахождение. Тесты

Содержание

Геометрическая прогрессия. Свойства геометрической прогрессии. Алгебра, 9 класс: уроки, тесты, задания.















1.

Нахождение члена геометрической прогрессии, даны два предыдущих


Сложность:
лёгкое

2


2.

Нахождение члена геометрической прогрессии


Сложность:
лёгкое

2


3.

Вычисление членов геометрической прогрессии


Сложность:
лёгкое

3


4.

Вычисление членов геометрической прогрессии


Сложность:
лёгкое

2


5.

Нахождение члена геометрической прогрессии, даны два первых члена


Сложность:
среднее

3


6.

Знаменатель геометрической прогрессии


Сложность:
среднее

2


7.

Сумма членов геометрической прогрессии, даны два первых члена


Сложность:
среднее

2


8.

Сумма членов геометрической прогрессии, даны q и b1


Сложность:
среднее

2


9.

Сумма членов геометрической прогрессии


Сложность:
среднее

3


10.

Преобразование бесконечной десятичной дроби


Сложность:
среднее

2


11.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии


Сложность:
сложное

5


12.

Вычисление значения дроби


Сложность:
сложное

4


13.

Члены геометрической прогрессии


Сложность:
сложное

5

Геометрическая прогрессия: определение, формулы, свойства

Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность, в которой, начиная со второго числа, каждое последующее равняется предыдущему, умноженному на постоянный множитель.

Общий вид геометрической прогрессии

b1, b1q, b2q, …, bn-1q

  • q – знаменатель прогрессии; это и есть постоянный множитель.
  • b ≠ 0, q ≠ 0

Члены прогрессии:

  • b1
  • b2 = b1q
  • b3 = b2q = b1q2
  • и т.д.

Цифры 1,2,3… – это их порядковые номера, т.е. место, которое они занимают в последовательности.

Виды прогрессии:

  • возрастающая: b1 > 0 и q1 > 0;
  • убывающая: 0 < q < 1;
  • знакочередующаяся: q < 0;
  • стационарная: q = 1.

Свойства и формулы геометрической прогрессии

1. Нахождение n-ого члена (bn)

2. Знаменатель прогрессии

3. Характеристическое свойство

Последовательность чисел b1, b2, b3 является геометрической прогрессией, если для любого ее члена справедливо следующее выражение:

При условии: 1 < i < n

Также данное свойство можно представить в таком виде:

4. Сумма первых членов прогрессии

Найти сумму n первых членов геометрической прогрессии можно, используя формулу ниже (если q ≠ 1):

Если q = 1, то Sn = nb1

5. Произведение первых членов прогрессии

6. Произведение членов прогрессии с k по n

7. Сумма всех членов убывающей прогрессии

При условии: |q| < 1, а значит, bn → 0 при n → + ∞.

Некоторые свойства арифметико-геометрической прогрессии | Статья в журнале «Юный ученый»


 


В школьном курсе математики в полной мере изучаются два специальных вида последовательностей — арифметическая и геометрическая прогрессии, однако последовательности, обобщающие их, т. е. сочетающие их свойства и признаки, в явном виде не рассматриваются.


Известно, что ряд различных типов последовательностей по природе своей являются рекуррентными, или возвратными, в том смысле, что каждый следующий член последовательности по определенному правилу выражается через некоторое фиксированное число предыдущих. К таким последовательностям относятся арифметическая и геометрическая прогрессии, последовательность Фибоначчи и др. [1]


В данной статье представлены итоги исследования рекуррентной последовательности , заданной по правилу , где числа и называем соответственно знаменателем и разностью этой последовательности, а саму последовательность — арифметико-геометрической прогрессией.


Актуальность исследования обусловлена тем, что в настоящее время эта проблема стала особенно значима для науки и практики. Этим вопросом занимаются многие теоретики и исследователи. Изучению прогрессий посвящены статьи в периодических изданиях и монографии многих ученых. Как правило, информация, посвященная данной проблеме, изложенная в учебной литературе, имеет общий характер, а в современных монографиях по этой теме анализируются более узкие вопросы проблемы.


Высокая значимость и недостаточная теоретическая разработанность проблемы изучения арифметико-геометрической прогрессии определяют несомненную новизну данного исследования.


Определение 1. [2] Арифметико-геометрическая прогрессия задается следующим рекуррентным соотношением:


, (1)


где и  — постоянные, называемые соответственно знаменателем и разностью арифметико-геометрической прогрессии.


Замечание 1. При q=1 и d=0 получим стационарную последовательность .


В случае и в (1), получим арифметическую прогрессию , а при и , — геометрическую прогрессию: .


Вышеуказанное замечание отражается в названии рассматриваемой последовательности: арифметико-геометрическая прогрессия.


Рассмотрим примеры арифметико-геометрических прогрессий.


1) ;


2) .


Указание явных формул для нахождения общего члена последовательности, а также для суммы ее первых n членов являются основными задачами о последовательностях.


Арифметико-геометрическая прогрессия является обобщением арифметической и геометрической прогрессий. А значит, по аналогии можно вывести формулы для нахождения общего члена арифметико-геометрической прогрессии, а также для суммы ее первых n членов, и установить характеристическое свойство данного типа последовательности, а также ряд других важных свойств.


В ходе исследования были получены конкретные результаты:


1. Выведена формула n-го члена последовательности: .


Пусть в соотношении (1) . Прибавив к обеим частям равенства выражение , получим


.


Последнее соотношение является рекуррентным, поэтому можно записать аналогичные равенства для :


, ,…, .


Перемножив выписанные равенства, имеем:


Разделив обе части последнего равенства на произведение , получим , откуда .


Таким образом, получили формулу общего члена арифметико-геометрической прогрессии


. (2)


2. Доказано, что арифметико-геометрическая прогрессия сходится и ограничена только в случае, когда ;


Из формулы общего члена арифметико-геометрической прогрессии следует, что


а) при арифметико-геометрическая прогрессия сходится к числу


, а значит, при эта последовательность ограничена.


б) при арифметико-геометрическая прогрессия расходится и не ограничена.


3. Выведена формула суммы первых n членов арифметико-геометрической прогрессии: . Также установлено, что сумма бесконечного числа членов последовательности не существует.


Рассмотрим n-ую частичную сумму арифметико-геометрической прогрессии .


Согласно соотношению (1), имеем:


Тогда


. (3)


Умножив последнее равенство на знаменатель , получим


или (4)


Из равенства (3) вычтем равенство (4) и выполним преобразования.


Преобразуя последнее равенство, получим формулу суммы первых n членов арифметико-геометрической прогрессии: .              (5)


4. Доказано, что арифметико-геометрическая прогрессия является возвратной последовательностью второго порядка и задается возвратным уравнением ; как следствия были получены характеристические свойства арифметической и геометрической прогрессий.


Действительно, будем утверждать, что при k=1 и при любом справедливо равенство . Осталось определить значения .


В силу соотношения (1) , тогда


.


Из равенства следует, что


,


,


, откуда уравняв коэффициенты, получим систему линейных уравнений с двумя переменными , решением которой является .


Итак, верно равенство . Что и требовалось доказать.


5. Выведены формулы для нахождения разности и знаменателя арифметико-геометрической прогрессии: и .


6. Доказано характеристическое свойство арифметико-геометрической прогрессии : последовательность , где , является геометрической прогрессией с тем же знаменателем , то есть .              (6)


Доказательство. Согласно формуле (2)


.


Упростив правую часть равенства (6), получим:


.


Тогда .


Таким образом, доказано равенство (6), которое и является характеристическим свойством арифметико-геометрической прогрессии.


Все полученные результаты являются новыми. Данные результаты имеют научную и практическую ценность, в частности, они могут быть использованы при решении геометрических задач. [2]


В доступной нам литературе подобные исследования ранее не встречались, лишь некоторые свойства арифметико-геометрической прогрессии встречаются без доказательства.


 


Литература:


 


  1.      Маркушевич А. И. Возвратные последовательности — М.: Наука, 1975. — 47 с.

  2.      Суконник Я. Н. Арифметико-геометрическая прогрессия. Научно-популярный физико-математический журнал «Квант», № 1 1975г. — с.80

  3.      Вавилов В.  В., Красников П. М. Математические коллоквиумы. — М.: Школа им. А. Н. Колмогорова СУНЦ МГУ, 2006. — с. 60

Геометрическая прогрессия — это… Что такое Геометрическая прогрессия?

У этого термина существуют и другие значения, см. Прогрессия.

Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число (знаменатель прогрессии), где , : [1].

Описание

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле:

Если и , прогрессия является возрастающей последовательностью, если , — убывающей последовательностью, а при  — знакочередующейся[2].

Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству:

то есть каждый член равен среднему геометрическому его соседей.

Примеры

  • Последовательность площадей квадратов, где каждый следующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2. Площади получающихся на каждом шаге треугольников также образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2, сумма которой равна площади начального квадрата[3]:8-9.
  • Последовательность количества зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске.
  • 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — прогрессия со знаменателем 2 из тринадцати членов.
  • 50; −25; 12,5; −6,25; 3,125; … — бесконечно убывающая прогрессия со знаменателем -½.
  •  — геометрическая прогрессия со знаменателем 1 (и арифметическая прогрессия с шагом 0).

Свойства

Доказательство

Пусть — последовательность :

Полученное соотношение является характеристическим для арифметической прогрессии.

Доказательство

  • Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:
    ,

Доказательство

  • Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-ого члена, и заканчивая n-ым членом, можно рассчитать по формуле:

Доказательство

  • Сумма первых членов геометрической прогрессии:

Доказательство

  • Через сумму:

Примечания

См. также

Арифметические,геометрические прогрессии — Математика

Если каждому натуральному числу n (n = 1, 2,…) поставлено в соответствие число xn, то говорят, что задана числовая последовательность x1x2,…, xn…, обозначаемая {xn}. Числаx1x2,. .., xn… называются членами последовательности, а член с номером n – ее n-м членом.

Арифметическая прогрессия

Числовую последовательность {an}, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называют арифметической прогрессией. Число d называется разностью арифметической прогрессии: an+1 = an + d. Число Sn называется суммой n первых членов арифметической прогрессии.

Свойства арифметической прогрессии:

Геометрическая прогрессия

Числовую последовательность {bn}, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q ≠ 0, называют геометрической прогрессией.

Число q называется называется знаменателем прогрессии: bn+1 = bnq.

Число Sn называется суммой n первых членов геометрической прогрессии, Pn — произведением n первых членов геометрической прогрессии.

Свойства геометрической прогрессии:

Сумма первых трех членов возрастающей арифметической прогрессии равна 21. Если от первых двух членов этой прогрессии отнять по 1, а к третьему члену прибавить 2, то полученные три члена составят геометрическую прогрессию. Найти сумму восьми первых членов геометрической прогрессии.

____________________________________________________________________________

Обозначим через ai — члены арифметической прогрессии c разностью d, через bi — геометрической, с знаменателем q.

Согласно формуле суммы арифметической прогрессии имеем S3 = (2a1 + 2d) · 3 / 2 = 21 или a1 + d = 7.

По условию a1 — 1, a1 + d — 1, a1 + 2d + 2 — три последовательных члена геометрической прогрессии. Используем свойство геометрической прогрессии:

(a1 + d — 1)2 = (a1 + 2d + 2)(a1 — 1).

После замены переменной a1 = 7 — d и открытия скобок получаем квадратное уравнение

d2 + 3d — 18 = 0, т.е. d1 = 3, d2 = -6.

Условию удовлетворяет лишь d1 = 3 (т.к. арифметическая прогрессия возрастающая). В этом случае a1 = 4. Находим b1 = a1 — 1 = 3. b2 = a1 + d — 1 = 6, откуда q = 2.

Наконец, согласно формуле суммы членов геометрической прогрессии получаем:

S8 = [b1(q8 — 1)] / (q — 1) = 765.

Ответ: S8 = 765.

 

Сумма трех чисел, которые составляют арифметическую прогрессию, равна 2, а сумма квадратов этих же чисел равна 14/9. Найти эти числа.

____________________________________________________________________________

Используя тот факт, что числа составляют арифметическую прогрессию, запишем их какaa + da + 2d.

Согласно условию их сумма равна 2, т.е. 3a + 3d = 2, a = 2/3 — d.

Согласно второму условию a2 + (a + d)2 + (a + 2d)2 = 14/9.

После раскрытия скобок получаем 27a2 + 45d2 + 54ad = 14.

Делаем замену переменной a = 2/3 — d, раскрываем скобки и получаем:

d2 = 1/9.

d = ±1/3.

Теперь легко найти числа, составляющие арифметическую прогрессию. При любом из значений d = ±1/3 числа будут равны 1/32/3, 1.

Ответ: 1/32/3, 1.

 

Найти четыре числа, составляющие геометрическую прогрессию, в которой третий член больше первого на 9, а второй больше четвертого на 18.

____________________________________________________________________________

Используя тот факт, что числа составляют геометрическую прогрессию, запишем их какbbqbq2bq3.

По условию:

1) bq2 = b + 9.

2) bq = bq3 + 18.

Домножаем первое уравнение на q и складываем со вторым:

9q + 18 = 0.

Откуда q = -2. Из первого уравнения находим bb = 3.

Теперь легко найдем все числа: 3, -6, 12, -24.

Ответ: 3, -6, 12, -24.

 

Найти сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 7.

___________________________________________________

Сначала найдем минимальное и максимальное трехзначные числа, которые делятся на 7. Это числа 105 и 994 соотвественно. Запишем a1 = 105, am = 994.

Найдем m, т.е. количество трехзначных чисел, которые делятся на 7. Используем свойство прогрессии и получаем:

994 = 105 + 7(m — 1).

Откуда m = 128.

А теперь воспользуемся формулой суммы m членов арифметической прогрессии S128 = (105 + 994) · 128 / 2 = 70336.

Ответ: 70336.

Открытый урок по алгебре в 9 классе «Характеристическое свойство геометрической прогрессии»

Открытый урок по алгебре в 9 классе

Тема: «Характеристическое свойство геометрической прогрессии»

Цели урока:

  1. Образовательные: вспомнить и обобщить те знания, которые ученики уже имеют по геометрической прогрессии; активизировать работу по применению этих знаний; вывести и доказать характеристическое свойство геометрической прогрессии; приобрести умение по применению характеристического свойства при решении простых задач.

  2. Развивающие: формировать умения наблюдать, подмечать закономерности, проводить рассуждение по аналогии, делать выводы на основе выявленных закономерностей, строить и интерпретировать модель некоторой реальной ситуации.

  3. Воспитательные: содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, а также активности, умению аргументировано отстаивать свои взгляды.

Тип урока: комбинированный урок.

Структура урока

  1. Подготовительный этап.

  2. Актуализация знаний, умений и навыков.

  3. Изучение нового материала.

  4. Отработка знаний, умений и навыков по теме.

  5. Решение задач практического содержания.

  6. Подведение итогов урока и домашнее задание.

Ход урока

  1. Подготовительный этап (3 мин. ).

– Сегодня мы с вами выведем новое свойство геометрической прогрессии.

– Но сначала проверим домашнее задание.

Один ученик вызывается к доске и записывает определение геометрической прогрессии, формулу n-го члена геометрической прогрессии и формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии.

С остальными учениками проверяем выполнение домашнего задания, опрашивая с места ответы в домашних заданиях.

№17.25 (а, в) а); в)

№17.27 (а, б) а) ; б)

№17.28 (а, в) а) ; в)

№17.29 (а, в) а) , ,

в), ,

  1. Актуализация знаний, умений и навыков (7 мин.).

– Чтобы вспомнить все, что вы знаете о геометрической прогрессии, проведем устную работу по карточкам. Будут работать две группы: группа девочек и группа мальчиков.

Каждой группе выдаются карточки с выбором ответа. После выполнения заданий в каждой группе должно получиться свое слово.

1 группа.

Ответ: Х

1 группа.

Ответ: А

1 группа.

Ответ: К

1 группа.

Ответ: Р

1 группа.

Ответ: Т

1 группа.

Ответ: Е

2 группа.

Ответ: С

2 группа.

Ответ: В

2 группа.

Ответ: Й

2 группа.

Ответ: О

2 группа.

Ответ: Т

1 группа

Под числом, соответствующим номеру задания, напишите букву.

1

Должно получиться слово ХАРАКТЕР.

2 группа

Под числом, соответствующим номеру задания, напишите букву.

1

Должно получиться слово СВОЙСТВО

Примечание:

  1. Если будут присутствовать все ученики, то 1 группа – 4 девочки, 2 – группа – 3 мальчика.

  2. Если не будет 1 девочки, то в группе девочек исключить Карточку №6, а букву в бланк написать учителю.

  3. Карточки с заданием можно раздать с учетом уровня знаний ученика.

– В результате работы в 1 группе получилось слово Характер. По словарю Сергея Ивановича Ожегова характер – это отличительное свойство, качество, особенность кого-либо (чего-либо).

– Итак, сегодня мы с вами выведем еще одно свойство геометрической прогрессии – характеристическое свойство.

  1. Изучение нового материала (14 мин.).

– Вам известно характеристическое свойство арифметической прогрессии, попробуем определить характеристическое свойство для геометрической прогрессии.

Рассмотрим последовательность чисел, являющуюся геометрической прогрессией

: 1, 2, 4, 8, 16, 32, …

Выполните задания:

  1. Найдите произведение членов этой прогрессии:

    с номерами 1 и 3

  • Сравните полученное произведение с тем членом прогрессии, который находится между ними:

  • сравнить 4 и 2

    сравнить 16 и 4

    сравнить 64 и 8

    – Какая закономерность существует?

    Произведение и равно квадрату

    Произведение и равно квадрату

    Произведение и равно квадрату

    – В результате получили формулу…

    для

    – Это свойство геометрической прогрессии называется характеристическим. Оно формулируется так: «Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, кроме первого, равен произведению предыдущего и последующего членов».

    – Докажем это свойство:

    1. (по определению геометрической прогрессии для )

    2. (по определению геометрической прогрессии)

    3. Перемножим и , получим:

    для

    – Верно и обратное: если последовательность , состоящая из чисел, отличных от нуля, такова, что для любого выполняется равенство , то – геометрическая прогрессия.

    – Доказательство этого утверждения разберите дома самостоятельно по учебнику стр. 166 – 167.

    1. Отработка знаний, умений и навыков по теме (7 мин.).

    №17.16 (а) – на доске учитель, ученики помогают.

    а) Между числами 18 и 2 вставьте положительное число так, чтобы получилось три последовательных члена геометрической прогрессии.

    – Из трех последовательных членов геометрической прогрессии известны первый и третий члены. Найти нужно второй член.

    Дано:

    , , ,

    Найти:

    Решение.

    (характеристическое свойство)

    или

    Так как по условию , то – не подходит.

    Ответ:

    №17.31 (б) – ученики самостоятельно.

    б) Между числами 18 и 2 вставьте положительное число так, чтобы получилось три последовательных члена геометрической прогрессии.

    Дано:

    , , ,

    Найти: ,

    Решение.

    1) (характеристическое свойство)

    или

    Так как по условию , то .

    2) (по определению)

    Ответ: ,

    №17.32 – вызвать к доске.

    Найдите те значения t, при которых числа t, 4t, 8 являются последовательными членами геометрической прогрессии.

    Дано:

    : t, 4t, 8

    Найти: t

    Решение.

    1) Так как t, 4t, 8 – члены геометрической прогрессии, то (по определению геометрической прогрессии.

    2) (характеристическое свойство)

    Получим уравнение:

    или

    Так как , то .

    Ответ:

    1. Решение задач практического содержания (8 мин. ).

    №17.51 – на доске учитель вместе с учениками.

    – Бактерия, попав в живой организм, к концу 20-й минуты делится на две бактерии, каждая из них к концу следующих 20 минут делится опять на две и т.д. Найдите число бактерий, образующихся из одной бактерии к концу суток.

    1. этап. Формализация – составление математической модели.

    – К концу 1-ых двадцати минут будет бактерии.

    К концу 2-ых двадцати минут будет бактерии.

    К концу 3-их двадцати минут будет бактерий.

    и т.д.

    Получили последовательность: 2, 4, 8, …

    Так как (), то данная последовательность является геометрической прогрессией, причем

    – Какой же член геометрической прогрессии соответствует концу суток?

    Для этого нужно знать сколько раз 20 минут укладывается в сутках.

    В одном часе двадцать минут укладывается 3 раза, в сутках 24 часа, поэтому в сутках 72 раза укладывается по двадцать минут.

    – Итак, к концу суток в организме будет бактерии. Математическая модель задачи будет представлять формулу 72-го члена: , где ,

    1. этап. Работа с составленной модели.

    1. этап. Ответ на вопрос задачи.

    – По вопросу задачи нужно было найти количество бактерий образующихся из одной бактерии, поэтому из полученного числа нужно вычесть исходную бактерию. Значит, к концу суток образовалось бактерий.

    Ответ: бактерий.

    1. Подведение итогов и домашнее задание (2 мин.).

    1. В начале урока вспомнили определение геометрической прогрессии, формулу n-го члена геометрической прогрессии, формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии, а также вы показали, как можете использовать эти знания при решении заданий.

    2. Потом мы с вами открыли новое для вас характеристическое свойство геометрической прогрессии:

    Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого, равен произведению предшествующего и последующего членов.

    ,

    1. Затем решили несколько номеров, в которых используется это характеристическое свойство.

    2. В конце урока разобрали задачу практического содержания, в которой применяются свойства геометрической прогрессии.

    3. Домашнее задание:

    §17 (стр. 166 – 167) – доказательство.

    №17.16(б), 17.31(а), 17.33, 17.52.

    1. Объявить оценки за урок.

    Карточка №1

    Номер

    1

    Ответ

    Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если ,

    М. 2

    Б.

    Х. –2

    Г. 0,5

    Карточка №2

    Номер

    2

    Ответ

    Найдите первый член геометрической прогрессии, если ,

    Н. 12

    А. 3

    Ч. 6

    О. 1,5

    Карточка №3

    Номер

    3

    Ответ

    Найдите четвертый член геометрической прогрессии, если ,

    М. 54

    Е. 81

    Л. 162

    К. –54

    Карточка №4

    Номер

    4

    Ответ

    Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если – возрастающая, ,

    Р. 2

    Б. –4

    Ф. 4

    В. –2

    Карточка №5

    Номер

    5

    Ответ

    Найдите сумму четырех первых членов геометрической прогрессии, если ,

    К. –160

    Т. –80

    У. –26

    Г. 80

    Карточка №6

    Номер

    6

    Ответ

    Найдите пятый член геометрической прогрессии, если

    И. 8

    Ю. 40

    Е. 4

    А. 2

    Карточка №1

    Номер

    1

    Ответ

    Найдите знаменатель геометрической прогрессии ,

    У. –3

    С.

    Т.

    А. 3

    Карточка №2

    Номер

    2

    Ответ

    Найдите первый член геометрической прогрессии, если ,

    В. –2

    Б.

    Ч. 6

    Г. 2

    Карточка №3

    Номер

    3

    Ответ

    Найдите четвертый член геометрической прогрессии, если ,

    Е. 24

    А. –48

    Й. –24

    И. 48

    Карточка №4

    Номер

    4

    Ответ

    Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если – знакочередующаяся, ,

    Ю. 3

    Б. –9

    У. 9

    О. –3

    Карточка №5

    Номер

    5

    Ответ

    Найдите сумму четырех первых членов геометрической прогрессии, если ,

    М. –21

    Т. –85

    Б. –255

    Д. 85

    2

    4

    2

    3

    5

    6

    4

    2

    4

    3

    1

    5

    2

    4

    = 4

    с номерами 2 и 4

    = 16

    с номерами 3 и 5

    = 64

    Геометрическая прогрессия, сумма геометрической прогрессии

    Определение: Геометрическая прогрессия — числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число, не равное нулю.

    Определения: Знаменатель геометрической прогрессии — постоянное для последовательности число , которое умножают на каждый член.

    — геометрическая прогрессия,

    — геометрическая прогрессия,

    геометрическая прогрессия

     

    знаменатель геометрической прогрессии

    Характеристические свойства геометрической прогрессии

     

     

    Свойством: Квадрат любого члена геометрической прогрессии (начиная со второго члена) равен произведению предыдущего и последующего членов и наоборот, если выполняется указанное властивіть, то последовательность будет геометрической прогрессией.

    Формулы n-ого члена геометрической прогрессии

     

     

    Формулы суммы n первых членов геометрической прогрессии

     

    План решению задач на геометрические прогрессии

    1. Все, о чем говорится в речи задачи (члены прогрессе, их суммы и т. д), выражаем через первый член и разность прогрессии.
    2. Составляем уравнение (или систему уравнений) по условию задачи. В случае, когда в задачи происходит переход от геометрической прогрессии к арифметической прогрессии и наоборот, для составления уравнений обычно используют характеристические свойства прогрессий.

    Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

    Определение: Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — это бесконечная геометрическая прогрессия, знаменатель которой по модулю меньше единицы .

     

    Пример

    Определение: Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии — предел, к которому стремится сумма ее первых членов, при бесконечном росте .

     

     

     

     

     

     

     

     

    .

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    Формула для вычисления суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    Пример нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    Преобразование периодической десятичной дроби в обычный

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    Пример

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    (как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем )

     

     

     

     

     

     

     

    свойств геометрической прогрессии | общее отношение

    В этом разделе мы обсудим важные свойства геометрических прогрессий и геометрических рядов.
    Свойство I: Если все члены G.P умножить или разделить на одну и ту же ненулевую константу, то последовательность останется в G.P с тем же общим соотношением.
    Доказательство: Пусть $ a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, …, a_ {n} $ находятся в геометрической прогрессии с общим отношением ‘r’.
    $ \ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}} $, для всех n $ \ epsilon $ N —— (i)

    Пусть ‘k’ будет любой ненулевой константой, на которую мы умножаем каждый член G.P. Итак, получаем,
    $ ka_ {1}, ka_ {2}, ka_ {3}, …, ka_ {n} $

    Итак, уравнение (i) ⇒ $ \ frac {ka_ {n + 1} } {ka_ {n}} $, для всех n $ \ epsilon $ N

    , который совпадает с $ \ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}} $
    & ther4; новая сформированная последовательность также есть у Г. с обычным отношением «r».

    Свойство II: Величины, обратные условиям данного G.P. сформировать G.P.
    Доказательство: Пусть $ a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, …, a_ {n} $ находятся в геометрической прогрессии с общим отношением ‘r’.
    $ \ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}} $, для всех n $ \ epsilon $ N —— (i)

    Теперь последовательность, образованная обратной величиной, будет
    $ \ frac {1} {a_ {1}}, \ frac {1} {a_ {2}}, \ frac {1} {a_ {3}} ,…, \ frac {1} {a_ {n}} $

    Обычное соотношение = $ \ frac {\ frac {1} {a_ {n + 1}}} {\ frac {1} {a_ {n} }} = \ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}} = \ frac {1} {r} $
    Итак, новая последовательность находится в GP с обычным соотношением $ \ frac {1} {r} $

    Свойство III: Если каждый член G.P. возведенная на тот же показатель степени, результирующая последовательность также в G.P.
    Доказательство: Пусть $ a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, …, a_ {n} $ находятся в геометрической прогрессии с общим отношением ‘r’.
    $ \ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}} $, для всех n $ \ epsilon $ N —— (i)

    Пусть каждый член G.{2} $ = ac

    Свойство ВИ: Если условия данного ГП. выбираются через равные промежутки времени, то сформированная новая последовательность также образует G.

    Свойство VII: Если $ a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, …, a_ {n} $ находятся в геометрической прогрессии, тогда $ log a_ {1}, log a_ {2 }, log a_ {3}, …, log a_ {n} $ — это арифметическая прогрессия и наоборот.

    11 класс по математике

    От геометрической прогрессии к дому

    Covid-19 привел мир к феноменальному переходу.

    За электронным обучением будущее уже сегодня.

    Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться !!!

    Covid-19 повлиял на физическое взаимодействие между людьми.

    Не позволяйте этому влиять на ваше обучение.

    Геометрическая прогрессия — Свойства и сумма GP

    Последовательность и последовательность — важная тема, в рамках которой объединяются несколько подтем, таких как арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия, гармоническая прогрессия и т. Д.В этой статье вы получите краткое представление о геометрической прогрессии и ее формуле для нахождения члена n th и суммы n членов в G. P. а также Infinite G.P. Эта тема важна для экзаменов IIT JEE Main и JEE Advanced.

    Геометрическая прогрессия (G.P.)

    1. Последовательность состоит из ненулевых чисел.
    2. Соотношение члена и предыдущего члена остается постоянным.
    3. Постоянный коэффициент также известен как обычный рацион (r).

    Последовательность a1, a2, a3, a4, a5, a6, ……………, an называется геометрической прогрессией (GP), если

    Геометрическая серия

    Если 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , ……………, a n — это геометрическая прогрессия, тогда

    Геометрическая серия определяется как

    Геометрические ряды могут быть конечными или бесконечными в зависимости от конечного или бесконечного числа членов.

    Г.П. можно записать следующим образом, если он конечен.

    Общий термин Геометрическая прогрессия

    Ниже приведены общие термины геометрической прогрессии,

    первый член = ‘a’

    общий коэффициент = ‘r’

    Затем, n термин GP определяется как

    Где

    n-й от конца конечного GP

    1. Если указано:

    Общее количество терминов = m

    Термин, который необходимо найти = n

    Первый член = a

    Общий коэффициент = r

    Затем

    2. Если задан последний член (l) и обычное отношение (r). Тогда

    коэффициент обыкновенного от конца =

    Выбор терминов в геометрической прогрессии

    Другой вопрос может быть сформирован на основе определенного количества терминов в G.P. Затем следуют различные способы выбора чисел в зависимости от количества терминов.

    Сумма n членов Геометрическая прогрессия

    Сумма n членов G.П., первый член которого — «а», а обычное употребление — «г». Тогда

    1. r ≠ 1

    2. r = 1

    Сумма бесконечных G.P.

    Сумма условий G.P. Ряд, когда число членов в нем бесконечно, определяется следующим образом:

    Некоторые свойства арифметической прогрессии

    1. Когда каждый член G.P умножается и делится на фиксированное ненулевое число, тогда результирующая последовательность также является G. P.
    2. Если есть две геометрической прогрессии

    a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , ………………, ………………, a n и b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 , ………………, b n

    Затем a 1 b 1 , a 2 b 2 , a 3 b 3 , a 4 b 4 , a 5 b 5 , a 6 b 6 , ………………, a n b n также является геометрической прогрессией.

    1. Пусть будет три числа a, b, c. Они есть в G.P. тогда и только тогда, когда

    Среднее геометрическое

    Предположим, есть два числа a и c, которые находятся в G.P. Затем Г. of a и c (скажем, b) — это значение, которое может быть добавлено между a и c, так что a, b, c находятся в G. P.

    Итак,

    Если 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , ……………, n не -нулевые числа, тогда среднее геометрическое задается как

    Кроме того, n чисел среднего геометрического G 1 , G 2 , G 3 , G 4 , …… ..G n можно вставить между двумя числами (скажем, a и b). «A» — это первый член, а b — это (n +2) -й член .

    Тогда полученная ниже последовательность будет в G.P.

    Тогда n чисел между двумя числами a и b будет

    Формула

    1. Найти общее отношение геометрической прогрессии

    2. Найти n членов геометрической прогрессии или найти общее количество членов в G.P. дается по:

    3. Чтобы найти термин с конца G.P.

    или

    4. Чтобы найти сумму n членов конечного G.P.

    5. Чтобы найти сумму бесконечной G.P.

    Чтобы найти среднее геометрическое

    Или,

    Надеюсь, это помогло вам прояснить все концепции геометрической прогрессии.Вы также можете ознакомиться с другими нашими статьями по физике, такими как насыпь дорог, второй закон Кирхгофа и разница между интерференцией и дифракцией.

    Также проверьте:

    Создайте бесплатную учетную запись, чтобы продолжить чтение

    • Получите мгновенные оповещения о вакансиях бесплатно!

    • Получите ежедневный GK и текущие новости Капсула и PDF-файлы

    • Получите 100+ бесплатных пробных тестов и викторин

    Зарегистрироваться бесплатно Создать бесплатный аккаунт? Войти

    Следующее сообщение

    Геометрические прогрессии | Блестящая вики по математике и науке

    Важная терминология

    • Начальный член: В геометрической прогрессии первое число называется «начальным членом». «
    • Общий коэффициент: соотношение между термином в последовательности и термином перед ним, называется «обычным отношением».

    Рекурсивная формула

    Мы можем описать геометрическую последовательность с помощью рекурсивной формулы, которая определяет, как каждый член соотносится с предыдущим. Поскольку в геометрической прогрессии каждый член задается произведением предыдущего члена и общего отношения, мы можем написать рекурсивное описание следующим образом:

    Срок = Предыдущий срок × Общий коэффициент.\ text {Term} = \ text {Предыдущий термин} \ times \ text {Обычное соотношение}. Срок = Предыдущий срок × Общий коэффициент.

    Если говорить кратко, то при обычном соотношении ррр имеем

    an = an − 1 × r.a_n = a_ {n-1} \ times r.an = an − 1 × r.

    Явная формула

    Хотя приведенная выше рекурсивная формула позволяет нам описать отношения между членами последовательности, часто бывает полезно иметь возможность написать явное описание терминов в последовательности, которое позволило бы нам найти любой термин.

    Если мы знаем начальный член, следующие члены связаны с ним путем многократного умножения обыкновенного отношения. Таким образом, явная формула

    Срок = Начальный срок × Общий коэффициент × ⋯ × Общий коэффициент Количество шагов от начального срока. \ text {Term} = \ text {Начальный термин} \ times \ underbrace {\ text {Общий коэффициент} \ times \ dots \ times \ text {Общий коэффициент}} _ {\ text {Количество шагов от начального члена}} . Срок = Начальный член × Количество шагов от начального члена Общее соотношение × ⋯ × Общее соотношение.{n-k} .an = ak × rn-k.

    Теперь давайте разработаем несколько основных примеров, которые могут познакомить вас с приведенными выше определениями.

    Какова явная формула для геометрической последовательности 4,12,36,108,…? 4, 12, 36, 108, \ точек? 4,12,36,108,…?

    Показать ответ

    Начальный член равен 444. Поскольку каждый последующий член является произведением предыдущего члена и 333, общее отношение равно 333. Таким образом, формула, описывающая эту последовательность, имеет вид

    an = 4 × 3n − 1.{n} 5⋅5н

    Что из следующего является явной формулой для геометрической прогрессии???????????????????????????????????????

    5,10,20,40,…? 5, 10, 20, 40, \ точки? 5,10,20,40,…?

    Бесконечная геометрическая серия

    Бесконечный

    геометрическая серия

    это сумма бесконечного

    геометрическая последовательность

    .У этой серии не будет последнего срока. Общий вид бесконечного геометрического ряда:

    а

    1

    +

    а

    1

    р

    +

    а

    1

    р

    2

    +

    а

    1

    р

    3

    +

    , где

    а

    1

    это первый член и

    р

    это обычное отношение.

    Мы можем найти сумму всех конечных геометрических рядов. Но в случае бесконечного геометрического ряда, когда

    обычное отношение

    больше единицы, члены в последовательности будут становиться все больше и больше, и если вы сложите большие числа, вы не получите окончательного ответа.Единственно возможный ответ — бесконечность. Итак, мы не имеем дело с обычным отношением больше единицы для бесконечного геометрического ряда.

    Если обычное отношение

    р

    лежит между

    1

    к

    1

    , мы можем получить сумму бесконечного геометрического ряда. То есть сумма выходит за

    |

    р

    |

    < 1 .

    Сумма

    S

    бесконечного геометрического ряда с

    1

    < р < 1 дается формулой,

    S

    знак равно

    а

    1

    1

    р

    Бесконечный ряд, в котором есть сумма, называется сходящимся рядом, а сумма

    S

    п

    называется частичной суммой ряда.

    Вы можете использовать сигма-нотацию для представления бесконечной серии.

    Например,

    п

    знак равно

    1

    10

    (

    1

    2

    )

    п

    1

    бесконечная серия. Символ бесконечности, расположенный над сигма-обозначением, указывает на то, что серия бесконечна.

    Чтобы найти сумму вышеуказанного бесконечного геометрического ряда, сначала проверьте, существует ли сумма, используя значение

    р

    .

    Здесь значение

    р

    является

    1

    2

    . С

    |

    1

    2

    |

    < 1 Сумма выходит.

    Теперь воспользуемся формулой суммы бесконечного геометрического ряда.

    S

    знак равно

    а

    1

    1

    р

    Заменять

    10

    для

    а

    1

    а также

    1

    2

    для

    р

    .

    S

    знак равно

    10

    1

    1

    2

    Упрощать.

    S

    знак равно

    10

    (

    1

    2

    )

    знак равно

    20

    Геометрическая последовательность и ряд — GeeksforGeeks

    Последовательность определяется как расположение чисел в определенном порядке, т.е.е., упорядоченный список номеров. Например: 1, 3, 5, 7,… и т. Д.

    Есть 2 типа последовательностей:

    Арифметическая последовательность: Арифметическая последовательность — это последовательность, в которой разница между двумя последовательными членами постоянна. Это различие известно как общее различие.

    Геометрическая последовательность: Напротив, геометрическая последовательность — это та, в которой соотношение между двумя последовательными членами постоянно. Это соотношение известно как обычное отношение.

    Серия

    Серия определяется как сумма элементов последовательности. Например: 1 + 4 + 7 + 10 +… и т. Д.

    Серия бывает двух типов:

    Конечная серия: Конечная серия — это серия, в которой известно количество элементов в серии.

    Бесконечная серия: Когда количество элементов в серии неизвестно, то есть серия с бесконечным количеством элементов называется бесконечной серией.

    Геометрическая последовательность

    Геометрическая последовательность — это последовательность, в которой соотношение между двумя последовательными членами постоянно.Это отношение известно как обычное отношение, обозначаемое как ‘r’, где r ≠ 0.

    Пусть элементы последовательности обозначены как:

    a 1 , a 2 , a 3, a 4 ,…, a n

    Данная последовательность является геометрической, если:

    a 1 / a 2 = a 2 / a 3 = a 3 / a 4 =… = a n-1 / a n = r (общее отношение)

    Данная последовательность также может быть записана как:

    a, ar, ar 2 , ar 3 ,…, ar n-1

    Здесь r — это обычное отношение, а a — масштабный коэффициент.

    Общее отношение определяется по формуле:

    r = последующий член / предыдущий член = ar n -1 / ar n-2

    Что такое член N

    th геометрической последовательности?

    Чтобы найти n-й член геометрической последовательности, мы знаем, что ряд имеет форму a, ar, ar 2 , ar 3 , ar 4 ……….

    Термин n th обозначается a n. Таким образом, чтобы найти n-й член геометрической последовательности, будет:

    a n = ar n-1

    Вывод формулы

    Для каждого члена GP как 1 , a 2 , a 3 , a 4 ,…, a n , выражая все эти термины согласно первому члену a 1 , мы получаем

    a 1 = a 1

    a 2 = a 1 r

    a 3 = a 2 r = (a 1 r) r = a 1 r 2

    a 4 = a 3 r = (a 1 r 2 ) r = a 1 r 3

    a м = a 1 r м − 1

    a n = a 1 r n — 1

    где,

    a 1 = первый член, a 2 = второй член и т. Д.

    a n : последний член (или n-й член) и

    a m : любой член перед последним членом

    n-й член из последнего члена определяется по формуле:

    a n = l / r n-1

    где l последний член

    Какова сумма первых n членов геометрической последовательности ?

    Сумма первых n членов геометрической последовательности определяется как:

    S n = a (1 — r n ) / (1 — r), если r <1

    S n = a (r n -1) / (r — 1), если r> 1

    Вывод формулы

    Сумма в геометрической прогрессии (известная как геометрический ряд) равна

    S = a 1 + a 2 + a 3 +… + a n

    S = a 1 + a 1 r + a 1 r 2 + a 1 r 3 +… + a 1 r n − 1 ….Уравнение (1)

    Умножив обе части уравнения (1) на r (обычное отношение), мы получим

    S × r = a 1 r + a 1 r 2 + a 1 r 3 + a 1 r 4 +… + a 1 r n … .Уравнение (2)

    Вычтите уравнение (2) из ​​уравнения (1)

    S — Sr = a 1 — a 1 r n

    (1 — r) S = a 1 (1 — r n )

    S n = a 1 (1 — r n ) / (1 — r), если r <1

    Теперь вычитание уравнения (1) из уравнения (2) даст

    Sr — S = a 1 r n a 1

    (r — 1) S = a 1 (r n -1)

    Следовательно,

    S n = a 1 (r n -1) / (r — 1) , если r> 1

    Сумма бесконечных членов

    Количество членов в бесконечная геометрическая прогрессия приблизится к бесконечности (n = ∞).Сумму бесконечной геометрической прогрессии можно определить только в диапазоне | r | <1.

    S = a (1 — r n ) / (1 — r)

    S = (a — ar n ) / (1 — r)

    S = a / (1 — r) — ar n / (1 — r)

    Для n -> ∞ величина (ar n ) / (1 — r) → 0 для | r | <1,

    Таким образом,

    S = a / (1-r), где | r | <1

    Задача 1: Найти общий коэффициент и масштабный коэффициент последовательности: 4, 12, 36, 108, 324,…

    Решение:

    Предоставленная последовательность: 4, 12, 36, 108 , 324,…

    Общий коэффициент = 12/4 = 3

    Масштабный коэффициент = 4

    Задача 2: Найти общий коэффициент и масштабный коэффициент последовательности: 5, -5, 5, -5, 5, — 5,…

    Решение:

    Заданная последовательность, 5, -5, 5, -5, 5, -5,…

    Общее соотношение = -5/5 = -1

    Масштабный коэффициент = 5

    Задача 3: Найдите n-й член и сумму n членов последовательности: 1, 2, 4, 8, 16, 32

    Решение:

    Заданная последовательность, 1, 2, 4 , 8, 16, 32

    Общий коэффициент r = 2/1 = 2

    Масштабный коэффициент = 1

    6-й член в последовательности = ar n-1 = 1.2 6-1 = 32

    Форма третьего члена last = l / r n-1 = l / 2 3-1 = 32/4 = 8

    Сумма первых трех членов = a (r n -1) / (r — 1) = 1 (2 3 -1) / (2-1) = 7

    Свойства геометрической прогрессии

    • a 2 k = a k -1 * a k + 1
    • a 1 * a n = a 2 * a n-1 =… = a k * a n-k + 1
    • Если мы умножим или разделим ненулевое количество на каждый член GP, то полученное
      последовательность также будет в GP с такой же общей разницей.
    • Взаимность всех условий в GP также образует GP.
    • Если все термины в GP возведены в одну и ту же степень, то новая серия также входит в GP.
    • Если y 2 = xz, то три ненулевых члена x, y и z находятся в GP.

    Явная формула

    Явная формула — это формула, которая определяет термины последовательности по отношению к номеру члена. N-й член геометрической последовательности задается явной формулой:

    a n = a 1 * r n-1

    Проблема: дана геометрическая последовательность с 1 = 3 и 4 = 24, найти 5

    Решение:

    Последовательность может быть записана в терминах начального члена и общего отношения r.

    Запишите четвертый член последовательности в виде 1 и r. Замените 24 на 4. Найдите общее отношение.

    a n = a 1 * r n-1

    a 4 = 3r 3

    24 = 3r 3

    8 = r 3

    r = 2

    Найдите второй член, умножив первый член на обыкновенное отношение.

    a 5 = a 1 * r n-1

    = 3 * 2 5-1

    = 3 * 16 = 48

    Рекурсивная формула

    Рекурсивная формула определяет термины последовательности относительно предыдущего значения.В отличие от явной формулы, которая определяет его по отношению к номеру термина.

    В качестве простого примера рассмотрим последовательность: 1, 2, 4, 8, 16, 32

    Шаблон состоит в многократном умножении 2. Итак, рекурсивная формула:

    term (n) = term (n — 1) * 2

    Обратите внимание, чтобы найти любой термин, вы должны знать предыдущий. Каждый член является продуктом обычного отношения и предыдущего члена.

    терм (n) = член (n — 1) * r

    Задача: Напишите рекурсивную формулу для следующей геометрической последовательности: 8, 12, 18, 27,…

    Решение:

    Первый член равен 6.Обычное отношение можно найти, разделив второй член на первый член.

    r = 12/8 = 1,5

    Подставьте обычное отношение в рекурсивную формулу для геометрических последовательностей и определите 1

    член (n) = член (n — 1) * r

    = член (n -1) * 1,5 для n> = 2

    a 1 = 6

    Формы геометрических последовательностей для преобразований

    Явная форма: a n = k * r n-1

    Рекурсивная форма: a 1 = k, a n = a n-1 * r

    Задача 1: Данная рекурсивная формула для f (n):

    f (1) = 6

    f (n) = f (n-1) * (-6.5)

    Найдите явную формулу для f (n)

    Решение:

    Из рекурсивной формулы мы можем сказать, что первый член последовательности равен 6, а общее отношение равно -6,5

    Явная формула : f (n) = 6 * (-6,5) n-1

    Задача 2: Дана явная формула для f (n):

    f (n) = 6 * (-6,5) n- 1

    Найдите рекурсивную формулу для f (n).

    Решение:

    Из явной формулы мы можем сказать, что первый член последовательности равен 6, а общее отношение равно -6.5

    Рекурсивная формула: f (1) = 6

    f (n) = f (n-1) * (-6,5)

    Арифметические и геометрические свойства в последовательности — Mathlibra

    Арифметические и геометрические ряды
    Когда мы складываем элементы последовательности вместе, мы формируем серию. Мы используем символ S n , чтобы показать сумму первых n членов ряда.

    S n = a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ + a ( n -1) 13 + a

    📌 Пример решения 1: Распознавание арифметических и геометрических последовательностей
    Что из следующего может быть первыми четырьмя членами арифметической последовательности? Геометрической последовательности?
    (A) 1, 2, 3, 5,… (B) -1, 3, -9, 27,…
    (C) 3, 3, 3, 3,… (D) 10, 8.5, 7, 5.5,…
    ✍ Решение:
    (A) Начиная с 2-1 ≠ 5-3, нет общей разницы, поэтому последовательность не является арифметической последовательностью. Поскольку 2/1 ≠ 3/2, нет общего отношения, поэтому последовательность также не является геометрической.
    (B) Последовательность геометрическая с обычным отношением -3, но не арифметическая.
    (C) Последовательность арифметическая с общей разностью 0 и геометрическая с общим отношением 1.
    (D) Последовательность арифметическая с общей разностью -1,5, но не геометрическая.

    📌 Решение2.Рассмотрим последовательность: ½, 4, ¼, 7.⅛, 10,…
    a) Если узор продолжается таким же образом, запишите следующие ДВА члена последовательности. (Подсказка: найдите в шаблоне две разные последовательности и разделите их.)
    б) Вычислите сумму первых 50 членов последовательности.
    ✍ Решение:
    a) a 1 , a 3 и a 5 образуют последовательность с общим отношением 1/2, поэтому a 7 равно 1/16.
    a 2 , a 4 и a 6 образуют последовательность с общей разницей 3, поэтому a 8 равно 13.
    b) S 50 = 25 членов 1-й последовательности + 25 членов 2-й последовательности

    S 50 = (½ + ¼ + ⅛ +… до 25 членов) + (4 + 7 + 10 + 13 +… до 25 сроков).

    📌 Пример решения 3 ▼
    В арифметической последовательности сумма первого члена и третьего члена равна 15. Первый, третий и седьмой члены арифметической последовательности — это первые три члена геометрической последовательности.
    (i) Найдите первый член и общую разность арифметической последовательности, где общая разность положительна.
    (ii) Найдите первые три члена и общее отношение геометрической последовательности.
    ✍ Решение:
    (i) Для арифметической последовательности: u n = a + ( n -1) d .

    u 1 = a ; u 3 = a +2 d ; u 7 = a +6 d
    Дано: u 1 + u 3 = 15
    ∴ ( a ) + ( a +2 d ) = 15
    a + a +2 d = 15
    2 a +2 d = 15… (1)
    Дано: u 1 , u 3 и u 7 , первые три члена геометрической последовательности.
    [обычное соотношение]

    [умножьте обе стороны на a ( a +2 d )]
    a ( a +6 d ) = ( a +2 d ) ( a +2 d )
    a 2 +6 ad = a 2 +4 ad +4 d 2
    6 ad = 4 ad32 +4 +4 2
    2 d -4 d 2 = 0
    ad -2 d 2 = 0
    d ( a -2 d ) = 0
    d = 0 или a -2 d = 0
    d = 0 или a = 2 d
    Таким образом, a = 2 d … (2) (нам дано d > 0)
    Теперь решим между одновременными уравнениями (1) и (2).
    (1)… 2 a +2 d = 15; ( a = 2 d )
    2 a + a = 15
    3 a = 15
    a = 5
    (2)… 2 d = a
    2 d = 5
    d = 5/2
    (ii) Для геометрической последовательности:
    u 1 = a = 5
    u 2 = a +2 d = 5 + 2 (5/2) = 5 + 5 = 10.
    Таким образом, первые три члена геометрической последовательности — это 5, 10 и 20, а обычное отношение равно 2.

    Вывод геометрической формулы суммирования

    Purplemath

    Формула для n -й частичной суммы, S n , геометрического ряда с общим отношением r имеет вид:

    Эту формулу на самом деле довольно просто подтвердить: вы просто используете полиномиальное деление в столбик.

    Сумма первых n членов геометрической последовательности в развернутом виде выглядит следующим образом:

    a + ar + ar 2 + ar 3 + … + ar n –2 + ar n –1

    MathHelp.com

    Полиномы обычно записываются с их членами в «порядке убывания». Изменив порядок суммирования выше, чтобы расположить его члены в порядке убывания, мы получаем расширение ряда:

    ar n –1 + ar n –2 +… + ar 3 + ar 2 + ar + a

    Мы можем взять общий множитель « a » вперед:

    a ( r n –1 + r n –2 + … + r 3 + r 2 + r )

    Основное свойство полиномов состоит в том, что если вы разделите x n -1 на x -1, вы получите:

    x n –1 + x n –2 +… + x 3 + x 2 + x + 1

    Это означает, что:

    Если мы обратим оба вычитания в приведенной выше дроби, мы получим следующее эквивалентное уравнение:

    Применяя вышеуказанное к геометрическому суммированию (используя « r » вместо « x »), получаем:


    Вышеупомянутый вывод может быть расширен, чтобы дать формулу для бесконечного ряда, но требует инструментов из исчисления.А пока просто отметьте, что для | r | <1, основное свойство экспоненциальных функций состоит в том, что r n должен приближаться к нулю по мере того, как n становится больше. Очень быстро r n настолько близок к нулю, что не имеет значения, и «на бесконечности» игнорируется. Грубо говоря, именно поэтому r n отсутствует в формуле бесконечной суммы.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.