Корень квадратный 10: ЧЕМУ РАВЕН КОРЕНЬ ИЗ 10

Содержание

Квадратный корень

Предварительные навыки

Основные сведения

Чтобы найти площадь квадрата, нужно длину его стороны возвести во вторую степень.

Найдём площадь квадрата, длина стороны которого 3 см

S = 32 = 9 см2

Теперь решим обратную задачу. А именно, зная площадь квадрата определим длину его стороны. Для этого воспользуемся таким инструментом как кóрень. Корень бывает квадратный, кубический, а также n-й степени.

Сейчас наш интерес вызывает квадратный корень. По другому его называют кóрнем второй степени.

Для нахождения длины стороны нашего квадрата, нужно найти число, вторая степень которого равна 9. Таковым является число 3. Это число и является кóрнем.

Введём для работы с корнями новые обозначения.

Символ кóрня выглядит как . Это по причине того, что слово корень в математике употребляется как радикал. А слово радикал происходит от латинского radix (что в переводе означает корень). Первая буква слова radix это r впоследствии преобразилась в символ корня .

Под корнем располагáют подкореннóе выражение. В нашем случае подкоренным выражением будет число 9 (площадь квадрата)

Нас интересовал квадратный корень (он же корень второй степени), поэтому слева над корнем указываем число 2. Это число называют показателем корня (или степенью корня)

Получили выражение, которое читается так: «квадратный корень из числа 9». С этого момента возникает новая задача по поиску самогó корня.

Если число 3 возвести во вторую степень, то получится число 9. Поэтому число 3 и будет ответом:

Значит квадрат площадью 9 см2 имеет сторону, длина которой 3 см. Приведённое действие называют извлечéнием квадрáтного кóрня.

Нетрудно догадаться, что квадратным корнем из числа 9 также является отрицательное число −3. При его возведении во вторую степень тоже получается число 9

Получается, что выражение  имеет два значения: 3 и −3. Но длина стороны квадрата не может быть отрицательным числом, поэтому для нашей задачи ответ будет только один, а именно 3.

Вообще, квадратный корень имеет два противоположных значения: положительное и отрицательное.

Например, извлечём квадратный корень из числа 4

Это выражение имеет два значения: 2 и −2, поскольку при возведении этих чисел во вторую степень, получится один и тот же результат 4

Поэтому ответ к выражению вида  записывают с плюсом и минусом. Плюс с минусом означает, что квадратный корень имеет два противоположных значения.

Запишем ответ к выражению  с плюсом и минусом:


Определения

Дадим определение квадратному корню.

Квадратным корнем из числа a называют такое число b, вторая степень которого равна a.

То есть число b должно быть таким, чтобы выполнялось равенство ba. Число b (оно же корень) обозначается через радикал  так, что . На практике левая и правая часть поменяны местами и мы видим привычное выражение 

Например, квадратным корнем из числá 16 есть число 4, поскольку число 4 во второй степени равно 16

42 = 16

Корень 4 можно обозначить через радикал  так, что .

Также квадратным корнем из числá 16 есть число −4, поскольку число −4 во второй степени равно 16

(−4)2 = 16

Если при решении задачи интересует только положительное значение, то корень называют не просто квадратным, а арифметическим квадратным.

Арифметический квадратный корень из числá a — это неотрицательное число b (b ≥ 0), при котором выполняется равенство ba.

В нашем примере квадратными корнями из числá 16 являются корни 4 и −4, но арифметическим из них является только корень 4.

В разговорном языке можно использовать сокращение. К примеру, выражение  полностью читается так: «квадратный корень из числá шестнадцать», а в сокращённом варианте можно прочитать так: «корень из шестнадцати».

Не следует путать понятия корень и квадрат. Квадрат это число, которое получилось в результате возведения какого-нибудь числá во вторую степень. Например, числа 25, 36, 49 являются квадратами, потому что они получились в результате возведения во вторую степень чисел 5, 6 и 7 соответственно.

Корнями же являются числа 5, 6 и 7. Они являются теми числами, которые во второй степени равны 25, 36 и 49 соответственно.

Чаще всего в квадратных корнях показатель кóрня вообще не указывается. Так, вместо записи можно использовать запись. Если в учебнике по математике встретится корень без показателя, то нужно понимать, что это квадратный корень.

Квадратный корень из единицы равен единице. То есть справедливо следующее равенство:

Это по причине того, что единица во второй степени равна единице:

12 = 1

и квадрат, состоящий из одной квадратной единицы, имеет сторону, равную единице:

Квадратный корень из нуля равен нулю. То есть справедливо равенство , поскольку 0= 0.

Выражение вида  смысла не имеет. Например, не имеет смысла выражение , поскольку вторая степень любого числа есть число положительное. Невозможно найти число, вторая степень которого будет равна −4.

Если выражение вида  возвести во вторую степень, то есть если записать , то это выражение будет равно подкореннóму выражению a

Например, выражение  равно 4

Это потому что выражение  равно значению 2. Но это значение сразу возвóдится во вторую степень и получается результат 4.

Еще примеры:

Корень из квадрата числá равен модулю этого числá:

Например, корень из числá 5, возведённого во вторую степень, равен модулю числá 5

Если во вторую степень возвóдится отрицательное число, ответ опять же будет положительным. Например, корень из числá −5, возведённого во вторую степень, равен модулю числá −5. А модуль числа −5 равен 5

Действительно, если не пользуясь правилом , вычислять выражение  обычным методом — сначала возвести число −5 во вторую степень, затем извлечь полученный результат, то полýчим ответ 5

Не следует путать правило  с правилом . Правило  верно при любом a, тогда как правило  верно в том случае, если выражение  имеет смысл.

В некоторых учебниках знак корня может выглядеть без верхней линии. Выглядит это так:

Примеры: √4, √9, √16.

Мéньшему числу соответствует мéньший корень, а бóльшему числу соответствует бóльший корень.

Например, рассмотрим числа 49 и 64. Число 49 меньше, чем число 64.

49 < 64

Если извлечь квадратные корни из этих чисел, то числу 49 будет соответствовать меньший корень, а числу 64 — бóльший. Действительно, √49 = 7, а √64 = 8,

√49 < √64

Отсюда:

7 < 8


Примеры извлечения квадратных корней

Рассмотрим несколько простых примеров на извлечение квадратных корней.

Пример 1. Извлечь квадратный корень √36

Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 36. Таковым является число 6, поскольку 6= 36

√36 = 6


Пример 2. Извлечь квадратный корень √49

Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 49. Таковым является число 7, поскольку 7= 49

√49 = 7

В таких простых примерах достаточно знать таблицу умножения. Так, мы помним, что число 49 входит в таблицу умножения на семь. То есть:

7 × 7 = 49

Но 7 × 7 это 72

7= 49

Отсюда, √49 = 7.


Пример 3. Извлечь квадратный корень √100

Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 100. Таковым является число 10, поскольку 102 = 100

√100 = 10

Число 100 это последнее число, корень которого можно извлечь с помощью таблицы умножения. Для чисел, бóльших 100, квадратные корни можно находить с помощью таблицы квадратов.


Пример 3. Извлечь квадратный корень √256

Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 256. Чтобы найти это число, воспользуемся таблицей квадратов.

Нахóдим в таблице квадратов число 256 и двигаясь от него влево и вверх определяем цифры, которые образуют число, квадрат которого равен 256.

Видим, что это число 16. Значит √256 = 16.


Пример 4. Найти значение выражения 2√16

В данном примере число 2 умножается на выражение с корнем. Сначала вычислим корень √16, затем перемнóжим его с числом 2


Пример 7. Решить уравнение 

В данном примере нужно найти значение переменной x, при котором левая часть будет равна 4.

Значение переменной x равно 16, поскольку . Значит корень уравнения равен 16.

Примечание. Не следует путать корень уравнения и квадратный корень. Корень уравнения это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. А квадратный корень это число, вторая степень которого равна выражению, находящемуся под радикалом .

Подобные примеры решают, пользуясь определением квадратного корня. Давайте и мы поступим так же.

Из определения мы знаем, что квадратный корень  равен числу b, при котором выполняется равенство ba.

Применим равенство ba к нашему примеру . Роль переменной b у нас играет число 4, а роль переменной a — выражение, находящееся под корнем , а именно переменная x

В выражении 4x вычислим левую часть, полýчим 16 = x. Поменяем левую и правую часть местами, полýчим = 16. В результате приходим к тому, что нашлось значение переменной x.


Пример 8. Решить уравнение 

Перенесем −8 в правую часть, изменив знак:

Возведем правую часть во вторую степень и приравняем её к переменной x

Вычислим правую часть, полýчим 64 = x. Поменяем левую и правую часть местами, полýчим = 64. Значит корень уравнения  равен 64


Пример 9. Решить уравнение 

Воспользуемся определением квадратного корня:

Роль переменной b играет число 7, а роль переменной a — подкореннóе выражение 3 + 5x. Возведем число 7 во вторую степень и приравняем его к 3 + 5x

В выражении 72 = 3 + 5x вычислим левую часть полýчим 49 = 3 + 5x. Получилось обычное линейное уравнение. Решим его:

Корень уравнения  равен . Выполним проверку, подставив его в исходное уравнение:


Пример 10. Найти значение выражения 

В этом выражении число 2 умножается на квадратный корень из числа 49.

Сначала нужно извлечь квадратный корень и перемножить его с числом 2


Приближённое значение квадратного корня

Не каждый квадратный корень можно извлечь. Извлечь квадратный корень можно только в том случае, если удаётся найти число, вторая степень которого равна подкореннóму выражению.

Например, извлечь квадратный корень  можно, потому что удаётся найти число, вторая степень которого равна подкореннóму выражению. Таковым является число 8, поскольку 8= 64. То есть

А извлечь квадратный корень  нельзя, потому что невозможно найти число, вторая степень которого равна 3. В таком случае говорят, что квадратный корень из числа 3 не извлекается.

Зато можно извлечь квадратный корень из числа 3 приближённо. Извлечь квадратный корень приближённо означает найти значение, которое при возведении во вторую степень будет максимально близко к подкореннóму выражению.

Приближённое значение ищут с определенной точностью: с точностью до целых, с точностью до десятых, с точностью до сотых и так далее.

Найдём значение корня  приближённо с точностью до десятых. Словосочетание «с точностью до десятых» говорит о том, что приближённое значение корня  будет представлять собой десятичную дробь, у которой после запятой одна цифра.

Для начала найдём ближайшее меньшее число, корень которого можно извлечь. Таковым является число 1. Корень из этого числа равен самому этому числу:

√1 = 1

Аналогично находим ближайшее бóльшее число, корень которого можно извлечь. Таковым является число 4. Корень из этого числа равен 2

√4 = 2

√1 меньше, чем √4

√1 < √4

А √3 больше, чем √1 но меньше, чем √4. Запишем это в виде двойного неравенства:

√1 < √3 < √4

Точные значения корней √1 и √4 известны. Это числа 1 и 2

1 < √3 < 2

Тогда очевидно, что значение корня √3 будет представлять собой десятичную дробь, потому что между числами 1 и 2 нет целых чисел.

Для нахождения приближённого значения квадратного корня √3 будем проверять десятичные дроби, располагающиеся в интервале от 1 до 2, возводя их в квадрат. Делать это будем до тех пор пока не полýчим значение, максимально близкое к 3. Проверим к примеру дробь 1,1

1,12 = 1,21

Получился результат 1,21, который не очень близок к подкореннóму выражению 3. Значит 1,1 не годится в качестве приближённого значения квадратного корня √3, потому что оно малó.

Проверим тогда дробь 1,8

1,82 = 3,24

Получился результат 3,24, который близок к подкореннóму выражению, но превосходит его на 0,24. Значит 1,8 не годится в качестве приближенного значения корня √3, потому что оно великó.

Проверим тогда дробь 1,7

1,72 = 2,89

Получился результат 2,89, который уже близок к подкореннóму выражению. Значит 1,7 и будет приближённым значением квадратного корня √3. Напомним, что знак приближенного значения выглядит как ≈

√3 ≈ 1,7

Значение 1,6 проверять не нужно, потому что в результате получится число 2,56, которое дальше от трёх, чем значение 2,89. А значение 1,8, как было показано ранее, является уже большим.

В данном случае мы нашли приближенное значение корня √3 с точностью до десятых. Значение можно получить ещё более точно. Для этого его следует находить с точностью до сотых.

Чтобы найти значение с точностью до сотых проверим десятичные дроби в интервале от 1,7 до 1,8

1,7 < √3 < 1,8

Проверим дробь 1,74

1,742 = 3,0276

Получился результат 3,0276, который близок к подкореннóму выражению, но превосходит его на 0,0276. Значит значение 1,74 великó для корня √3.

Проверим тогда дробь 1,73

1,732 = 2,9929

Получился результат 2,9929, который близок к подкореннóму выражению √3. Значит 1,73 будет приближённым значением квадратного корня √3 с точностью до сотых.

Процесс нахождения приближённого значения квадратного корня продолжается бесконечно. Так, корень √3 можно находить с точностью до тысячных, десятитысячных и так далее:

√3 = 1,732 (вычислено с точностью до тысячных)

√3 = 1,7320 (вычислено с точностью до десятитысячных)

√3 = 1,73205 (вычислено с точностью до ста тысячных).

Ещё квадратный корень можно извлечь с точностью до целых. Приближённое значение квадратного корня √3 с точностью до целых равно единице:

√3 ≈ 1

Значение 2 будет слишком большим, поскольку при возведении этого числа во вторую степень получается число 4, которое больше подкоренного выражения. Нас же интересуют значения, которые при возведении во вторую степень равны подкореннóму выражению или максимально близки к нему, но не превосходят его.

В зависимости от решаемой задачи допускается находить значение, вторая степень которого больше подкоренного выражения. Это значение называют приближённым значением квадратного корня с избытком. Поговорим об этом подробнее.


Приближенное значение квадратного корня с недостатком или избытком

Иногда можно встретить задание, в котором требуется найти приближённое значение корня с недостатком или избытком.

В предыдущей теме мы нашли приближённое значение корня √3 с точностью до десятых с недостатком. Недостаток понимается в том смысле, что до значения 3 нам недоставало ещё некоторых частей. Так, найдя приближённое значение √3 с точностью до десятых, мы получили 1,7. Это значение является значением с недостатком, поскольку при возведении этого числа во вторую степень полýчим результат 2,89. Этому результату недостаёт ещё 0,11 чтобы получить число 3. То есть, 2,89 + 0,11 = 3.

С избытком же называют приближённые значения, которые при возведении во вторую степень дают результат, который превосходит подкореннóе выражение. Так, вычисляя корень √3 приближённо, мы проверили значение 1,8. Это значение является приближённым значением корня √3 с точностью до десятых с избытком, поскольку при возведении 1,8 во вторую степень, получаем число 3,24. Этот результат превосходит подкореннóе выражение на 0,24. То есть 3,24 − 3 = 0,24.

Приближённое значение квадратного корня √3 с точностью до целых тоже был найден с недостатком:

√3 ≈ 1

Это потому что при возведении единицы в квадрат получаем единицу. То есть до числа 3 недостаёт ещё 2.

Приближённое значение квадратного корня √3 с точностью до целых можно найти и с избытком. Тогда этот корень приближённо будет равен 2

√3 ≈ 2

Это потому что при возведении числа 2 в квадрат получаем 4. Число 4 превосходит подкореннóе выражение 3 на единицу. Извлекая приближённо квадратный корень с избытком желательно уточнять, что корень извлечен именно с избытком:

√3 ≈ 2 (с избытком)

Потому что приближённое значение чаще всего ищется с недостатком, чем с избытком.

Дополнительно следует упомянуть, что в некоторых учебниках словосочетания «с точностью до целых», «с точностью до десятых», с «точностью до сотых», заменяют на словосочетания «с точностью до 1», «с точностью до 0,1», «с точностью до 0,01» соответственно.

Так, если в задании сказано извлечь квадратный корень из числа 5 с точностью до 0,01, то это значит что корень следует извлекать приближённо с точностью до сотых:

√5 ≈ 2,23


Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 51 с точностью до 1

√51 ≈ 7


Пример 3. Извлечь квадратный корень из числа 51 с точностью до 0,1

√51 ≈ 7,1

Пример 4. Извлечь квадратный корень из числа 51 с точностью до 0,01

√51 ≈ 7,14


Границы, в пределах которых располагаются корни

Если исходное число принадлежит промежутку [1; 100], то квадратный корень из этого исходного числа будет принадлежать промежутку [1; 10].

Например, пусть исходным числом будет 64. Данное число принадлежит промежутку [1; 100]. Сразу делаем вывод, что квадратный корень из числа 64 будет принадлежать промежутку [1; 10]. Теперь вспоминаем таблицу умножения. Какое перемножение двух одинаковых сомножителей даёт в результате 64? Ясно, что перемножение 8 × 8, а это есть 8= 64. Значит квадратный корень из числа 64 есть 8


Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 49

Число 49 принадлежит промежутку [1; 100]. Значит квадратный корень будет принадлежать промежутку [1; 10]. Этим корнем будет число 7, поскольку 7= 49

√49 = 7


Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 1

Число 1 принадлежит промежутку [1; 100]. Значит квадратный корень будет принадлежать промежутку [1; 10]. Этим корнем будет число 1, поскольку 1= 1

√1 = 1


Пример 3. Извлечь квадратный корень из числа 100

Число 100 принадлежит промежутку [1; 100]. Значит квадратный корень будет принадлежать промежутку [1; 10]. Этим корнем будет число 10, поскольку 10= 100

√100 = 10

Понятно, что промежуток [1; 100] содержит ещё и числа, квадратные корни из которых не извлекаются. Для таких чисел корень нужно извлекать приближённо. Тем не менее, приближённый корень тоже будет располагаться в пределах промежутка [1; 10].

Например, извлечём квадратный корень из числа 37. Нет целого числа, вторая степень которого была бы равна 37. Поэтому извлекать квадратный корень следует приближённо. Извлечём его к примеру с точностью до сотых:

√37 ≈ 6,08

Для облегчения можно находить ближайшее меньшее число, корень из которого извлекается. Таковым в данном примере было число 36. Квадратный корень из него равен 6. И далее отталкиваясь от числа 6, можно находить приближённое значение корня √37, проверяя различные десятичные дроби, целая часть которых равна 6.

Квадраты чисел от 1 до 10 обязательно нужно знать наизусть. Ниже представлены эти квадраты:

12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
52 = 25
62 = 36
72 = 49
82 = 64
92 = 81
102 = 100

И обратно, следует знать значения квадратных корней этих квадратов:

Если к любому числу от 1 до 10 в конце дописать ноль (или несколько нулей), и затем возвести это число во вторую степень, то в полученном числе будет в два раза больше нулей.

Например, 6= 36. Допишем к числу 6 один ноль, полýчим 60. Возведём число 60 во вторую степень, полýчим 3600

60= 3600

А если к числу 6 дописать два нуля, и возвести это число во вторую степень, то полýчим число, в котором четыре нуля. То есть в два раза больше нулей:

6002 = 360000

Тогда можно сделать следующий вывод:

Если исходное число содержит знакомый нам квадрат и чётное количество нулей, то можно извлечь квадратный корень из этого числа. Для этого следует извлечь корень из знакомого нам квадрата и затем записать половину количества нулей из исходного числа.

Например, извлечём квадратный корень из числа 900. Видим, что в данном числе есть знакомый нам квадрат 9. Извлекаем из него корень, получаем 3

Теперь из исходного числа записываем половину от количества нулей. В исходном числе 900 содержится два нуля. Половина этого количества нулей есть один ноль. Записываем его в ответе после цифры 3


Пример 2. Извлечём квадратный корень из числа 90000

Здесь опять же имеется знакомый нам квадрат 9 и чётное количество нулей. Извлекаем корень из числа 9 и записываем половину от количества нулей. В исходном числе содержится четыре нуля. Половиной же этого количества нулей будет два нуля:


Пример 3. Извлечем квадратный корень из числа 36000000

Здесь имеется знакомый нам квадрат 36 и чётное количество нулей. Извлекаем корень из числа 36 и записываем половину от количества нулей. В исходном числе шесть нулей. Половиной же будет три нуля:


Пример 4. Извлечем квадратный корень из числа 2500

Здесь имеется знакомый нам квадрат 25 и чётное количество нулей. Извлекаем корень из числа 25 и записываем половину от количества нулей. В исходном числе два нуля. Половиной же будет один ноль:


Если подкореннóе число увеличить (или уменьшить) в 100, 10000 то корень увеличится (или уменьшится) в 10, 100 раз соответственно.

Например, . Если увеличим подкореннóе число в 100 раз, то квадратный корень увеличится в 10 раз:

И наоборот, если в равенстве  уменьшим подкореннóе число в 100 раз, то квадратный корень уменьшится в 10 раз:

Пример 2. Увеличим в равенстве  подкореннóе число в 10000, тогда квадратный корень 70 увеличиться в 100 раз

Пример 3. Уменьшим в равенстве  подкореннóе число в 100 раз, тогда квадратный корень 70 уменьшится в 10 раз

Эта закономерность позволяет извлечь квадратный корень из десятичной дроби, если в данной дроби после запятой содéржатся две цифры, и эти две цифры образуют знакомый нам квадрат. В таких случаях данную десятичную дробь следует умножить на 100. Затем извлечь квадратный корень из получившегося числа и уменьшить подкореннóе число в сто раз.

Например, извлечём квадратный корень из числа 0,25. В данной десятичной дроби после запятой содержатся две цифры и эти две цифры образуют знакомый нам квадрат 25.

Умнóжим десятичную дробь 0,25 на 100, полýчим 25. А из числа 25 квадратный корень извлекается легко:

Но нам изначально нужно было извлечь корень из 0,25, а не из 25. Чтобы исправить ситуацию, вернём нашу десятичную дробь. Если в равенстве  подкореннóе число уменьшить в 100 раз, то полýчим под корнем 0,25 и соответственно ответ уменьшится в 10 раз:

Обычно в таких случаях достаточно уметь передвигáть запятую. Потому что сдвинуть в числе запятую вправо на две цифры это всё равно что умножить это число на 100.

В предыдущем примере в подкоренном числе 0,25 можно было сдвинуть запятую вправо на две цифры, а в полученном ответе сдвинуть её влево на одну цифру.

Например, извлечем корень из числа 0,81. Мысленно передвинем запятую вправо на две цифры, полýчим 81. Теперь извлечём квадратный корень из числа 81, полýчим ответ 9. В ответе 9 передвинем запятую влево на одну цифру, полýчим 0,9. Значит, .

Это правило работает и в ситуации, когда после запятой содержатся четыре цифры и эти цифры образуют знакомый нам квадрат.

Например, десятичная дробь 0,1225 содержит после запятой четыре цифры. Эти четыре цифры образуют число 1225, квадратный корень из которого равен 35.

Тогда можно извлечь квадратный корень и из 0,1225. Умнóжим данную десятичную дробь на 10000, полýчим 1225. Из числа 1225 квадратный корень можно извлечь с помощью таблицы квадратов:

Но нам изначально нужно было извлечь корень из 0,1225, а не из 1225. Чтобы исправить ситуацию, в равенстве  подкореннóе число уменьшим в 10000 раз. В результате под корнем образуется десятичная дробь 0,1225, а правая часть уменьшится в 100 раз

Эта же закономерность будет работать и при извлечении корней из дробей вида 12,25. Если цифры из которых состоит десятичная дробь образуют знакомый нам квадрат, при этом после запятой содержится чётное количество цифр, то можно извлечь корень из этой десятичной дроби.

Умнóжим десятичную дробь 12,25 на 100, полýчим 1225. Извлечём корень из числа 1225

Теперь в равенстве уменьшим подкореннóе число в 100 раз. В результате под корнем образуется число 12,25, и соответственно ответ уменьшится в 10 раз


Если исходное число принадлежит промежутку [100; 10000], то квадратный корень из этого исходного числа будет принадлежать промежутку [10; 100].

В этом случае применяется таблица квадратов:

Например, пусть исходным числом будет 576. Данное число принадлежит промежутку [100; 10000]. Сразу делаем вывод, что квадратный корень из числа 576 будет принадлежать промежутку [10; 100]. Теперь открываем таблицу квадратов и смотрим какое число во второй степени равно 576

Видим, что это число 24. Значит .


Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 432.

Число 432 принадлежит промежутку [100; 10000]. Значит квадратный корень следует искать в промежутке [10; 100]. Открываем таблицу квадратов и смотрим какое число во второй степени равно 432. Обнаруживаем, что число 432 в таблице квадратов отсутствует. В этом случае квадратный корень следует искать приближённо.

Извлечем квадратный корень из числа 432 с точностью до десятых.

В таблице квадратов ближайшее меньшее число к 432 это число 400. Квадратный корень из него равен 20. Отталкиваясь от числа 20, будем проверять различные десятичные дроби, целая часть которых равна 20.

Проверим, например, число 20,8. Для этого возведём его в квадрат:

20,82 = 432,64

Получилось число 432,64 которое превосходит исходное число 432 на 0,64. Видим, что значение 20,8 великó для корня √432. Проверим тогда значение 20,7

20,7= 428,49

Значение 20,7 годится в качестве корня, поскольку в результате возведения этого числа в квадрат получается число 428,49, которое меньше исходного числа 432, но близко к нему. Значит √432 ≈ 20,7.

Необязательно запоминать промежутки чтобы узнать в каких границах располагается корень. Можно воспользоваться методом нахождения ближайших квадратов с чётным количеством нулей на конце.

Например, извлечём корень из числа 4225. Нам известен ближайший меньший квадрат 3600, и ближайший больший квадрат 4900

3600 < 4225 < 4900

Извлечём квадратные корни из чисел 3600 и 4900. Это числа 60 и 70 соответственно:

Тогда можно понять, что квадратный корень из числа 4225 располагается между числами 60 и 70. Можно даже найти его методом подбора. Корни 60 и 70 исключаем сразу, поскольку это корни чисел 3600 и 4900. Затем можно проверить, например, корень 64. Возведём его в квадрат (или умнóжим данное число само на себя)

Корень 64 не годится. Проверим корень 65

Получается 4225. Значит 65 является корнем числа 4225


Тождественные преобразования с квадратными корнями

Над квадратными корнями можно выполнять различные тождественные преобразования, тем самым облегчая их вычисление. Рассмотрим некоторые из этих преобразований.

Квадратный корень из произведения

Квадратный корень из произведения это выражение вида , где a и b некоторые числа.

Например, выражение  является квадратным корнем из произведения чисел 4 и 9.

Чтобы извлечь такой квадратный корень, нужно по отдельности извлечь квадратные корни из множителей 4 и 9, представив выражение  в виде произведения корней . Вычислив по отдельности эти корни полýчим произведение 2 × 3, которое равно 6

Конечно, можно не прибегать к таким манипуляциям, а вычислить сначала подкореннóе выражение 4 × 9, которое равно 36. Затем извлечь квадратный корень из числа 36

Но при извлечении квадратных корней из больших чисел это правило может оказаться весьма полезным.

Допустим, потребовалось извлечь квадратный корень из числа 144. Этот корень легко определяется с помощью таблицы квадратов — он равен 12

Но предстáвим, что таблицы квадратов под рукой не оказалось. В этом случае число 144 можно разложить на простые множители. Затем из этих простых множителей составить числа, квадратные корни из которых извлекаются.

Итак, разлóжим число 144 на простые множители:

Получили следующее разложение:

В разложéнии содержатся четыре двойки и две тройки. При этом все числа, входящие в разложение, перемнóжены. Это позволяет предстáвить произведения одинаковых сомножителей в виде степени с показателем 2.

Тогда четыре двойки можно заменить на запись 2× 22, а две тройки заменить на 32

В результате будем иметь следующее разложение:

Теперь можно извлекáть квадратный корень из разложения числа 144

Применим правило извлечения квадратного корня из произведения:

Ранее было сказано, что если подкореннóе выражение возведенó во вторую степень, то такой квадратный корень равен модулю из подкореннóго выражения.

Тогда получится произведение 2 × 2 × 3, которое равно 12

Простые множители представляют в виде степени для удобства и короткой записи. Допускается также записывать их под кóрнем как есть, чтобы впоследствии перемнóжив их, получить новые сомножители.

Так, разложив число 144 на простые множители, мы получили разложение 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3. Это разложение можно записать под кóрнем как есть:

затем перемнóжить некоторые сомножители так, чтобы получились числа, квадратные корни из которых извлекаются. В данном случае можно дважды перемнóжить две двойки и один раз перемнóжить две тройки:

Затем применить правило извлечения квадратного корня из произведения и получить окончательный ответ:

С помощью правила извлечения квадратного корня из произведения можно извлекать корень и из других больших чисел. В том числе, из тех чисел, которых нет в таблице квадратов.

Например, извлечём квадратный корень из числа 13456. Этого числа нет в таблице квадратов, поэтому воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения, предварительно разложив число 13456 на простые множители.

Итак, разложим число 13456 на простые множители:

В разложении имеются четыре двойки и два числа 29. Двойки дважды предстáвим как 22. А два числа 29 предстáвим как 292. В результате полýчим следующее разложение числа 13456

Теперь будем извлекать квадратный корень из разложения числа 13456

Итак, если ≥ 0 и ≥ 0, то . То есть корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.

Докажем равенство . Для этого воспользуемся определением квадратного корня.

Согласно определению, квадратным корня из числа a есть число b, при котором выполняется равенство b= a.

В нашем случае нужно удостовериться, что правая часть равенства  при возведении во вторую степень даст в результате подкореннóе выражение левой части, то есть выражение ab.

Итак, выпишем правую часть равенства  и возведём ее во вторую степень:

Теперь воспользуемся правилом возведения в степень произведения. Согласно этому правилу, каждый множитель данного произведения нужно возвести в указанную степень:

Ранее было сказано, что если выражение вида  возвести во вторую степень, то получится подкореннóе выражение. Применим это правило. Тогда полýчим ab. А это есть подкореннóе выражение квадратного корня

Значит равенство  справедливо, поскольку при возведéнии правой части во вторую степень, получается подкореннóе выражение левой части.

Правило извлечения квадратного корня из произведения работает и в случае, если под кóрнем располагается более двух множителей. То есть справедливым будет следующее равенство:

, при ≥ 0 и ≥ 0, ≥ 0.


Пример 1. Найти значение квадратного корня 

Запишем корень в виде произведения корней, извлечём их, затем найдём значение полученного произведения:


Пример 2. Найти значение квадратного корня 

Предстáвим число 250 в виде произведения чисел 25 и 10. Делать это будем под знáком корня:

Теперь под кóрнем образовалось два одинаковых множителя 10 и 10. Перемнóжим их, полýчим 100

Далее применяем правило извлечения квадратного кóрня из произведения и получáем окончательный ответ:


Пример 3. Найти значение квадратного корня 

Воспользуемся правилом возведения степени в степень. Степень 114 предстáвим как (112)2.

Теперь воспользуемся правилом извлечения квадратного кóрня из квадрата числа:

В нашем случае квадратный корень из числа (112)2 будет равен 112. Говоря простым языком, внешний показатель степени 2 исчезнет, а внутренний останется:

Далее возводим число 11 во вторую степень и получаем окончательный ответ:

Этот пример также можно решить, воспользовавшись правилом извлечения квадратного корня из произведения. Для этого подкореннóе выражение 114 нужно записать в виде произведения 11× 112. Затем извлечь квадратный корень из этого произведения:


Пример 4. Найти значение квадратного корня

Перепишем степень 34 в виде (32)2, а степень 56 в виде (53)2

Далее используем правило извлечения квадратного кóрня из произведения:

Далее используем правило извлечения квадратного кóрня из квадрата числа:

Вычислим произведение получившихся степеней и полýчим окончательный ответ:


Сомножители, находящиеся под корнем, могут быть десятичными дробями. Например, извлечём квадратный корень из произведения

Запишем корень  в виде произведения корней, извлечём их, затем найдём значение полученного произведения:


Пример 6. Найти значение квадратного корня


Пример 7. Найти значение квадратного корня


Если первый сомножитель умножить на число n, а второй сомножитель разделить на это число n, то произведение не изменится.

Например, произведение 8 × 4 равно 32

8 × 4 = 32

Умнóжим сомножитель 8 скажем на число 2, а сомножитель 4 раздéлим на это же число 2. Тогда получится произведение 16 × 2, которое тоже равно 32.

(8 × 2) × (4 : 2) = 32

Это свойство полезно при решении некоторых задач на извлечение квадратных корней. Сомножители подкореннóго выражения можно умнóжить и разделить так, чтобы корни из них извлекались.

Например, извлечём квадратный корень из произведения . Если сразу воспользоваться правилом извлечения квадратного корня из произведения, то не полýчится извлечь корни √1,6 и √90, потому что они не извлекаются.

Проанализировав подкореннóе выражение 1,6 × 90, можно заметить, что если первый сомножитель 1,6 умножить на 10, а второй сомножитель 90 разделить на 10, то полýчится произведение 16 × 9. Из такого произведения квадратный корень можно извлечь, пользуясь правилом извлечения квадратного корня из произведения.

Запишем полное решение данного примера:

Процесс умножения и деления можно выполнять в уме. Также можно пропустить подробную запись извлечения квадратного корня из каждого сомножителя. Тогда решение станóвится короче:


Пример 9. Найти значение квадратного корня

Умнóжим первый сомножитель на 10, а второй раздéлим на 10. Тогда под кóрнем образуется произведение 36 × 0,04, квадратный корень из которого извлекается:


Если в равенстве поменять местами левую и правую часть, то полýчим равенство . Это преобразовáние позволяет упрощáть вычисление некоторых корней.

Например, узнáем чему равно значение выражения .

Квадратные корни из чисел 10 и 40 не извлекаются. Воспользуемся правилом , то есть заменим выражение из двух корней  на выражение с одним корнем, под которым будет произведение из чисел 10 и 40

Теперь найдём значение произведения, находящегося под корнем:

А квадратный корень из числа 400 извлекается. Он равен 20

Сомножители, располагáющиеся под корнем, можно расклáдывать на множители, группировáть, представлять в виде степени, а также перемножáть для получения новых сомножителей, корни из которых извлекаются.

Например, найдём значение выражения .

Воспользуемся правилом

Сомножитель 32 это 25. Предстáвим этот сомножитель как 2 × 24

Перемнóжим сомножители 2 и 2, полýчим 4. А сомножитель 24 предстáвим в виде степени с показателем 2

Теперь воспóльзуемся правилом и вычислим окончательный ответ:


Пример 12. Найти значение выражения

Воспользуемся правилом

Сомножитель 8 это 2 × 2 × 2, а сомножитель 98 это 2 × 7 × 7

Теперь под кóрнем имеются четыре двойки и две семёрки. Четыре двойки можно записать как 2× 22, а две семёрки как 72

Теперь воспользуемся правилом и вычислим окончательный ответ:


Квадратный корень из дроби

Квадратный корень вида равен дроби, в числителе которой квадратный корень из числа a, а в знаменателе — квадратный корень из числа b

Например, квадратный корень из дроби  равен дроби, в числителе которой квадратный корень из числа 4, а в знаменателе — квадратный корень из числа 9

Вычислим квадратные корни в числителе и знаменателе:

Значит, квадратный корень из дроби равен .

Докáжем, что равенство является верным.

Возведём правую часть во вторую степень. Если в результате полýчим дробь , то это будет означать, что равенство верно:


Пример 1. Извлечь квадратный корень 

Воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из дроби:


Пример 2. Извлечь квадратный корень 

Переведём подкореннóе выражение в неправильную дробь, затем воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из дроби:


Пример 3. Извлечь квадратный корень

Квадратным корнем из числа 0,09 является 0,3. Но можно извлечь этот корень, воспользовавшись правилом извлечения квадратного корня из дроби.

Предстáвим подкоренное выражение в виде обыкновенной дроби. 0,09 это девять сотых:

Теперь можно воспользоваться правилом извлечения квадратного корня из дроби:


Пример 4. Найти значение выражения 

Извлечём корни из 0,09 и 0,25, затем сложим полученные результаты:

Также можно воспользоваться правилом извлечения квадратного корня из дроби:

В данном примере первый способ оказался проще и удобнее.


Пример 5. Найти значение выражения 

Сначала вычислим квадратный корень, затем перемнóжим его с 10. Получившийся результат вычтем из 4


Пример 6. Найти значение выражения 

Сначала найдём значение квадратного корня . Он равен 0,6 поскольку 0,6= 0,36

Теперь вычислим получившееся выражение. Согласно порядку действий, сначала надо выполнить умножение, затем сложение:


Вынесение множителя из-под знака корня

В некоторых задачах может быть полезным вынесение множителя из-под знака корня.

Рассмотрим квадратный корень из произведения . Согласно правилу извлечения квадратного корня из произведения, нужно извлечь квадратный корень из каждого множителя данного произведения:

В нашем примере квадратный корень извлекается только из множителя 4. Его мы извлечём, а выражение  оставим без изменений:

Это и есть вынесение множителя из-под знака корня.

На практике подкореннóе выражение чаще всего требуется разложить на множители.


Пример 2. Вынести множитель из-под знака корня в выражении

Разлóжим подкореннóе выражение на множители 9 и 2. Тогда полýчим:

Теперь воспользуемся правило извлечения квадратного корня из произведения. Извлечь можно только корень из множителя 9. Множитель 2 остáвим под кóрнем:


Пример 3. Вынести множитель из-под знака корня в выражении

Разлóжим подкореннóе выражение на множители 121 и 3. Тогда полýчим:

Теперь воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения. Извлечь можно только корень из множителя 121. Выражение √3 остáвим под корнем:


Пример 4. Вынести множитель из-под знака корня в выражении

Воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения:

Квадратный корень извлекается только из числа 121. Извлечём его, а выражение √15 оставим без изменений:

Получается, что множитель 11 вынесен из-под знака корня. Вынесенный множитель принято записывать до выражения с корнем. Поменяем выражения √15 и 11 местами:


Пример 5. Вынести множитель из-под знака корня в выражении

Разлóжим подкореннóе выражение на множители 4 и 3

Воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения:

Извлечём корень из числа 4, а выражение √3 остáвим без изменений:


Пример 6. Упростить выражение 

Предстáвим второе слагаемое в виде . А третье слагаемое предстáвим в виде

Теперь в выражениях и вынесем множитель из-под знака корня:

Во втором слагаемом перемнóжим числа −4 и 4. Остальное перепишем без изменений:

Замечáем, что получившемся выражении квадратный корень √3 является общим множителем. Вынесем его за скобки:

Вычислим содержимое скобок, полýчим −1

Если множителем является −1, то записывают только минус. Единица опускается. Тогда полýчим окончательный ответ −√3


Внесение множителя под знак корня

Рассмотрим следующее выражение:

В этом выражении число 5 умнóжено на квадратный корень из числа 9. Найдём значение этого выражения.

Сначала извлечём квадратный корень, затем перемнóжим его с числом 5.

Квадратный корень из 9 равен 3. Перемнóжим его с числом 5. Тогда полýчим 15

Число 5 в данном случае было множителем. Внесём этот множитель под знак корня. Но сделать это нужно таким образом, чтобы в результате наших действий значение исходного выражения не изменилось. Проще говоря, после внесения множителя 5 под знак корня, получившееся выражение по-прежнему должно быть равно 15.

Значение выражения не изменится, если число 5 возвести во вторую степень и только тогда внести его под корень:

Итак, если данó выражение , и нужно внести множитель a под знак корня, то надо возвести во вторую степень множитель a и внести его под корень:

Пример 1. Внести множитель под знак корня в выражении

Возведём число 7 во вторую степень и внесём его под знак корня:


Пример 2. Внести множитель под знак корня в выражении 

Возведём число 10 во вторую степень и внесем его под знак корня:


Пример 3. Внести множитель под знак корня в выражении 

Вносить под знак корня можно только положительный множитель. Ранее было сказано, что выражение вида  не имеет смысла.

Однако, если перед знаком кóрня располагается отрицательный множитель, то минус можно оставить за знáком корня, а самó число внести под знак корня.

Пример 4. Внести множитель по знак корня в выражении 

В этом примере под знак корня внóсится только 3. Минус остаётся за знáком корня:


Пример 5. Выполнить возведéние в степень в следующем выражении:

Воспользуемся формулой квадрата суммы двух выражений:

(a + b)2 = a+ 2ab + b2

Роль переменной a в данном случае играет выражение √3, роль переменной b — выражение √2. Тогда полýчим:

Теперь необходимо упростить получившееся выражение.

Для выражений и  применим правило . Ранее мы говорили, что если выражение вида  возвести во вторую степень, то это выражение будет равно подкореннóму выражению a.

А в выражении для множителей и применим правило . То есть заменим произведение корней на один общий корень:

Приведём подобные слагаемые. В данном случае можно сложить слагаемые 3 и 2. А в слагаемом вычислить произведение, которое под кóрнем:


 

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите значение квадратного корня:

Решение:

Задание 2. Найдите значение квадратного корня:

Решение:

Задание 3. Найдите значение квадратного корня:

Решение:

Задание 4. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 5. Найдите значение квадратного корня:

Решение:

Задание 6. Найдите значение квадратного корня:

Решение:

Задание 7. Найдите значение квадратного корня:

Решение:

Задание 8. Найдите значения следующих выражений:

Решение:

Задание 9. Извлеките квадратный корень из числа 4624

Решение:

Задание 10. Извлеките квадратный корень из числа 11025

Решение:

Задание 11. Найдите значение квадратного корня:

Решение:

Задание 12. Найдите значение квадратного корня:

Решение:

Задание 13. Найдите значение квадратного корня:

Решение:

Задание 14. Найдите значение квадратного корня:

Решение:

Задание 15. Найдите значение квадратного корня:

Решение:

Задание 16. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 17. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 18. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 19. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 20. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 21. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 22. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 23. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 24. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 25. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 26. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 27. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 28. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 29. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 30. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 31. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 32. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 33. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 34. Вынести множитель из-под знака корня:

Решение:

Задание 35. Вынести множитель из-под знака корня:

Решение:

Задание 36. Вынести множитель из-под знака корня:

Решение:

Задание 37. Вынести множитель из-под знака корня:

Решение:

Задание 38. Вынести множитель из-под знака корня:

Решение:

Задание 39. Вынести множитель из-под знака корня:

Решение:

Задание 40. Вынести множитель из-под знака корня:

Решение:

Задание 41. Вынести множитель из-под знака корня:

Решение:

Задание 42. Вынести множитель из-под знака корня:

Решение:

Задание 43. Вынести множитель из-под знака корня:

Решение:

Задание 44. Вынести множитель из-под знака корня в следующих выражениях:

Решение:

Задание 45. Внести множитель под знак корня:

Решение:

Задание 46. Внести множитель под знак корня:

Решение:

Задание 47. Внести множитель под знак корня:

Решение:

Задание 48. Внести множитель под знак корня:

Решение:

Задание 49. Внести множитель под знак корня:

Решение:

Задание 50. Внести множитель под знак корня в следующих выражениях:

Решение:

Задание 51. Упростить выражение:

Решение:

Задание 52. Упростить выражение:

Решение:

Задание 53. Упростить выражение:

Решение:

Задание 54. Упростить выражение:

Решение:

Задание 55. Упростить выражение:

Решение:

Задание 56. Упростить выражение:

Решение:

Задание 57. Упростить выражение:

Решение:

Задание 58. Упростить выражение:

Решение:

Задание 59. Упростить выражение:

Решение:

Задание 60. Упростить выражение:

Решение:


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках



Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Корни и степени. Квадратный корень, кубический корень.

Степенью называется выражение вида .

Здесь  — основание степени,  — показатель степени.

Степень с натуральным показателем

Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.

По определению, .

Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

.

Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.

.

Возвести число в натуральную степень  — значит умножить его само на себя раз:

Степень с целым показателем

Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.

По определению,

.

Это верно для . Выражение 00 не определено.

Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.

Конечно, все это верно для , поскольку на ноль делить нельзя.

Например,

Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.

Показатель степени может быть не только целым, но и дробным, то есть рациональным числом. В статье «Числовые множества» мы говорили, что такое рациональные числа. Это числа, которые можно записать в виде дроби , где  — целое,  — натуральное.

Здесь нам понадобится новое понятие — корень -степени. Корни и степени — две взаимосвязанные темы. Начнем с уже знакомого вам арифметического квадратного корня.

Арифметический квадратный корень из числа  — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

Согласно определению,

В школьной математике мы извлекаем корень только из неотрицательных чисел. Выражение    для нас сейчас имеет смысл только при .

Выражение всегда неотрицательно, т.е. . Например, .

Свойства арифметического квадратного корня:

Кубический корень

Аналогично, кубический корень из  — это такое число, которое при возведении в третью степень дает число .

Например, , так как ;

, так как ;

, так как .

Обратите внимание, что корень третьей степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Теперь мы можем дать определение корня -ной степени для любого целого .

Корень -ной степени

Корень -ной степени из числа  — это такое число, при возведении которого в -ную степень получается число .

Например,

Заметим, что корень третьей, пятой, девятой — словом, любой нечетной степени, — можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Квадратный корень, а также корень четвертой, десятой, в общем, любой четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел.

Итак, — такое число, что . Оказывается, корни можно записывать в виде степеней с рациональным показателем. Это удобно.

По определению,

в общем случае .

Сразу договоримся, что основание степени больше 0.

Например,

Выражение по определению равно .

При этом также выполняется условие, что больше 0.

Например,

Запомним правила действий со степенями:

— при перемножении степеней показатели складываются

— при делении степени на степень показатели вычитаются

— при возведении степени в степень показатели перемножаются

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Покажем, как применяются эти формулы в заданиях ЕГЭ по математике:

1.

Внесли все под общий корень, разложили на множители, сократили дробь и извлекли корень.

2.

3.

Здесь мы записали корни в виде степеней и использовали формулы действий со степенями.2=400\\
\hline \end{array}\]

Факт 3.
Какие действия можно выполнять с квадратными корнями?
\(\bullet\) Сумма или разность квадратных корней НЕ РАВНА квадратному корню из суммы или разности, то есть \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt{a\pm b}\] Таким образом, если вам нужно вычислить, например, \(\sqrt{25}+\sqrt{49}\), то первоначально вы должны найти значения \(\sqrt{25}\) и \(\sqrt{49}\), а затем их сложить. Следовательно, \[\sqrt{25}+\sqrt{49}=5+7=12\] Если значения \(\sqrt a\) или \(\sqrt b\) при сложении \(\sqrt
a+\sqrt b\) найти не удается, то такое выражение дальше не преобразуется и остается таким, как есть. Например, в сумме \(\sqrt
2+ \sqrt {49}\) мы можем найти \(\sqrt{49}\) – это \(7\), а вот \(\sqrt
2\) никак преобразовать нельзя, поэтому \(\sqrt 2+\sqrt{49}=\sqrt
2+7\). Дальше это выражение, к сожалению, упростить никак нельзя

 
\(\bullet\) Произведение/частное квадратных корней равно квадратному корню из произведения/частного, то есть \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt{ab}\quad \text{и}\quad
\sqrt a:\sqrt b=\sqrt{a:b}\] (при условии, что обе части равенств имеют смысл)
Пример: \(\sqrt{32}\cdot \sqrt 2=\sqrt{32\cdot
2}=\sqrt{64}=8\);
 
\(\sqrt{768}:\sqrt3=\sqrt{768:3}=\sqrt{256}=16\);
 
\(\sqrt{(-25)\cdot (-64)}=\sqrt{25\cdot 64}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{64}=
5\cdot 8=40\).
 
\(\bullet\) Пользуясь этими свойствами, удобно находить квадратные корни из больших чисел путем разложения их на множители.
Рассмотрим пример. Найдем \(\sqrt{44100}\). Так как \(44100:100=441\), то \(44100=100\cdot 441\). По признаку делимости число \(441\) делится на \(9\) (так как сумма его цифр равна 9 и делится на 9), следовательно, \(441:9=49\), то есть \(441=9\cdot 49\).
Таким образом, мы получили: \[\sqrt{44100}=\sqrt{9\cdot 49\cdot 100}=
\sqrt9\cdot \sqrt{49}\cdot \sqrt{100}=3\cdot 7\cdot 10=210\] Рассмотрим еще один пример: \[\sqrt{\dfrac{32\cdot 294}{27}}=
\sqrt{\dfrac{16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2}{9\cdot 3}}= \sqrt{
\dfrac{16\cdot4\cdot49}{9}}=\dfrac{\sqrt{16}\cdot \sqrt4 \cdot
\sqrt{49}}{\sqrt9}=\dfrac{4\cdot 2\cdot 7}3=\dfrac{56}3\]
\(\bullet\) Покажем, как вносить числа под знак квадратного корня на примере выражения \(5\sqrt2\) (сокращенная запись от выражения \(5\cdot
\sqrt2\)). Так как \(5=\sqrt{25}\), то \[5\sqrt2=\sqrt{25}\cdot \sqrt2=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{50}\] Заметим также, что, например,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\),
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\).2\), поэтому \(\sqrt{16}=4\). А вот извлечь корень из числа \(3\), то есть найти \(\sqrt3\), нельзя, потому что нет такого числа, которое в квадрате даст \(3\).
Такие числа (или выражения с такими числами) являются иррациональными. Например, числа \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt{15}\) и т.п. являются иррациональными.
Также иррациональными являются числа \(\pi\) (число “пи”, приблизительно равное \(3,14\)), \(e\) (это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно \(2,7\)) и т.д.
\(\bullet\) Обращаем ваше внимание на то, что любое число будет либо рациональным, либо иррациональным. А вместе все рациональные и все иррациональные числа образуют множество, называющееся множеством действительных (вещественных) чисел. Обозначается это множество буквой \(\mathbb{R}\).
Значит, все числа, которые на данный момент мы знаем, называются вещественными числами.
 

Факт 5.
\(\bullet\) Модуль вещественного числа \(a\) – это неотрицательное число \(|a|\), равное расстоянию от точки \(a\) до \(0\) на вещественной прямой.2\\
&2>2,25 \end{aligned}\] Видим, что мы получили неверное неравенство. Следовательно, наше предположение было неверным и \(\sqrt 2-1<0,5\).
Заметим, что прибавление некоторого числа к обеим частям неравенства не влияет на его знак. Умножение/деление обеих частей неравенства на положительное число также не влияет на его знак, а умножение/деление на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный!
Возводить обе части уравнения/неравенства в квадрат можно ТОЛЬКО ТОГДА, когда обе части неотрицательные. Например, в неравенстве из предыдущего примера возводить обе части в квадрат можно, в неравенстве \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)!
 
\(\bullet\) Следует запомнить, что \[\begin{aligned}
&\sqrt 2\approx 1,4\\[1ex]
&\sqrt 3\approx 1,7 \end{aligned}\] Знание приблизительного значения данных чисел поможет вам при сравнении чисел!
 
\(\bullet\) Для того, чтобы извлечь корень (если он извлекается) из какого-то большого числа, которого нет в таблице квадратов, нужно сначала определить, между какими “сотнями” оно находится, затем – между какими “десятками”, а потом уже определить последнюю цифру этого числа.2=168\cdot 168=28224\).
Следовательно, \(\sqrt{28224}=168\). Вуаля!

Функция КОРЕНЬ — Служба поддержки Office

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции КОРЕНЬ в Microsoft Excel.

Описание

Возвращает положительное значение квадратного корня.

Синтаксис

КОРЕНЬ(число)

Аргументы функции КОРЕНЬ описаны ниже.

Замечание

Если число отрицательное, то SQRT возвращает #NUM! значение ошибки #ЗНАЧ!.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.






Данные


-16



Формула


Описание


Результат

=КОРЕНЬ(16)

Квадратный корень числа 16.

4

=КОРЕНЬ(A2)

Квадратный корень -16. Так как число отрицательное, #NUM! возвращается сообщение об ошибке.

#ЧИСЛО!

=КОРЕНЬ(ABS(A2))

Старайтесь не #NUM! сообщение об ошибке: сначала с помощью функции ABS можно найти абсолютное значение -16, а затем найти квадратный корень.

4

методы умножения, примеры с объяснением

Известно, что знак корня  является квадратным корнем из некоторого числа. Однако знак корня означает не только алгебраическое действие, но и применяется в деревообрабатывающем производстве — в расчете относительных размеров.

Если вы хотите узнать, как умножить корни «с» или «без» множителей, то эта статья для вас. В ней мы рассмотрим методы умножения корней:

  • без множителей;
  • с множителями;
  • с разными показателями.

Метод умножения корней без множителей

Алгоритм действий:

Убедиться, что у корня одинаковые показатели (степени). Вспомним, что степень записывается слева над знаком корня. Если нет обозначения степени, это значит, что корень квадратный, т.е. со степенью 2, и его можно умножать на другие корни со степенью 2.

Пример

Пример 1: 18×2=?

Пример 2: 10×5=?

Пример 3: 33×93=?

Далее необходимо перемножить числа под корнем. 

Пример

Пример 1: 18×2=36

Пример 2: 10×5=50

Пример 3: 33×93=273

Упростить подкоренные выражения. Когда мы умножаем корни друг на друга, мы можем упростить полученное подкоренное выражение до произведения числа (или выражения) на полный квадрат или куб:

Пример

Пример 1: 36=6. 36 — квадратный корень из шести (6×6=36).

Пример 2: 50=(25×2)=(5×5)×2=52. Число 50 раскладываем на произведение 25 и 2. Корень из 25 — 5, поэтому выносим 5 из-под знака корня и упрощаем выражение.

Пример 3: 273=3. Кубический корень из 27 равен 3: 3×3×3=27.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Метод умножения показателей с множителями

Алгоритм действий:

Умножить множители. Множитель — число, которое стоит перед знаком корня. В случае отсутствия множителя, он, по умолчанию, считается единицей. Далее необходимо перемножить множители:

Пример

Пример 1: 32×10=3?3×1=3

Пример 2: 43×36=12?4×3=12

Умножить числа под знаком корня. Как только вы перемножили множители, смело умножайте числа, стоящие под знаком корня:

Пример

Пример 1: 32×10=3(2×10)=320

Пример 2: 43×36=12(3×6)=1218

Упростить подкоренное выражение. Далее следует упростить значения, которые стоят под знаком корня, — требуется вынести соответствующие числа за знак корня. После этого, необходимо перемножить числа и множители, которые стоят перед знаком корня:

Пример

Пример 1: 320=3(4×5)=3(2×2)×5=(3×2)5=65

Пример 2: 1218=12(9×2)=12(3×3)×2=(12×3)2=362

Метод умножения корней с разными показателями

Алгоритм действий:

Найти наименьшее общее кратное (НОК) показателей. Наименьшее общее кратное — наименьшее число, делящееся на оба показателя.

Пример

Необходимо найти НОК показателей для следующего выражения: 

53×22

Показатели равны 3 и 2. Для этих двух чисел наименьшим общим кратным является число 6 (оно делится без остатка и на 3, и на 2). Для умножения корней необходим показатель 6.

Записать каждое выражение с новым показателем:

56×26

Найти числа, на которые нужно умножить показатели, чтобы получить НОК.

В выражении 53 необходимо умножить 3 на 2, чтобы получить 6. А в выражении 22 — наоборот, необходимо умножить на 3, чтобы получить 6.

Возвести число, которое стоит под знаком корня, в степень равную числу, которое было найдено в предыдущем шаге. Для первого выражения 5 нужно возвести в степень 2, а втором — 2 в степень 3:

2→56=5263→26=236

Возвести в степень выражения и записать результат под знаком корня:

526=(5×5)6=256236=(2×2×2)6=86

Перемножить числа под корнем:

(8×25)6

Записать результат:

(8×25)6=2006

По возможности необходимо упростить выражение, но в данном случае оно не упрощается.

Автор:
Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Возведение в степень и извлечение корня из числа онлайн.

Корень из числа

Корень нечётной степени из положительного числа

В результате вычисления корня нечётной степени из положительного числа будет положительное число: .

Пример Вычислим корни нечётной степени из 8, 27, 125, 243

Корни 3 степени также называют кубическими корнями.

В результате вычисления корней 5-ой степени из положительных чисел, получили также положительные числа.

Корень нечётной степени из отрицательного числа

В результате вычисления корня нечётной степени из отрицательного числа будет отрицательное число: .

Пример Найдем корни 3 и 5 степеней из отрицательных чисел.
Корень четной степени из положительного числа

Корень чётной степени из положительного числа имеет два значения, положительное и отрицательное: .

Пример Вычислим корни 2 и 4 степени.

Корень 2-й степени называют квадратный корнем.

Корень четной степени из отрицательного числа

Корень четной степени из отрицательного числа не существует для вещественных чисел.

Корень любой степени из нуля

Числа в степени -1, 0, 1

Число в -1 степени

Число 3 в -1 степени можно представить в виде дроби .Обратная операция также верна ,
любую дробь можно представить как число в -1 степени, для этого нужно поменять числить и знаменатель местами.

Число является обратным числом 5, т.е. их произведение равно единице , такое равенство выполнено для любого числа

Пример Представить дробь в степени -1
Число в 1 степени

Число в первой степени является самим числом a1=a

Число в 0 степени

Любое число в степени ноль равно единице a0=1

Таблица квадратных корней | Алгебра

В таблице приведены квадратные корни натуральных чисел от 1 до 100.





√1 = 1

√4 = 2

√9 = 3

√16 = 4

√25 = 5

√36 = 6

√49 = 7

√64 = 8

√81 = 9

√100 = 10

√121 = 11

√144 = 12

√169 = 13

√196 = 14

√225 = 15

√256 = 16

√289 = 17

√324 = 18

√361 = 19

√400 = 20

√441 = 21

√484 = 22

√529 = 23

√576 = 24

√625 = 25

√676 = 26

√729 = 27

√784 = 28

√841 = 29

√900 = 30

√961 = 31

√1024 = 32

√1089 = 33

√1156 = 34

√1225 = 35

√1296 = 36

√1369 = 37

√1444 = 38

√1521 = 39

√1600 = 40

√1681 = 41

√1764 = 42

√1849 = 43

√1936 = 44

√2025 = 45

√2116 = 46

√2209 = 47

√2304 = 48

√2401 = 49

√2500 = 50

√2601 = 51

√2704 = 52

√2809 = 53

√2916 = 54

√3025 = 55

√3136 = 56

√3249 = 57

√3364 = 58

√3481 = 59

√3600 = 60

√3721 = 61

√3844 = 62

√3969 = 63

√4096 = 64

√4225 = 65

√4356 = 66

√4489 = 67

√4624 = 68

√4761 = 69

√4900 = 70

√5041 = 71

√5184 = 72

√5329 = 73

√5476 = 74

√5625 = 75

√5776 = 76

√5929 = 77

√6084 = 78

√6241 = 79

√6400 = 80

√6561 = 81

√6724 = 82

√6889 = 83

√7056 = 84

√7225 = 85

√7396 = 86

√7569 = 87

√7744 = 88

√7921 = 89

√8100 = 90

√8281 = 91

√8464 = 92

√8649 = 93

√8836 =  94

√9025 = 95

√9216 = 96

√9409 = 97

√9604 = 98

√9801 = 99

√10000 = 100

квадратный корень из 10 — Как найти квадратный корень из 10?

Квадратный корень из 10 выражается как √10 в радикальной форме и как (10) ½ или (10) 0,5 в экспоненциальной форме. Квадратный корень из 10 с округлением до 10 знаков после запятой равен 3,1622776602. Это положительное решение уравнения x 2 = 10.

  • Квадратный корень из 10: 3,1622776601683795
  • Квадратный корень из 10 в экспоненциальной форме: (10) ½ или (10) 0.5
  • Квадратный корень из 10 в радикальной форме: √10

Что такое квадратный корень из 10?

Квадратный корень любого числа n можно записать как √n . Это означает, что существует такой номер a :

Теперь это также можно записать как:

Здесь a называется квадратным корнем из n . Теперь, если n = 10, то a = √10 является квадратным корнем из 10.

  • Квадратный корень из 10 равен 3,16227.

Является квадратный корень из 10 рациональным или иррациональным?

Квадратный корень из 10 — это иррациональное число с бесконечными цифрами. Квадратный корень из чисел, которые являются точными квадратами, такими как 9, 16, 25 и 100, являются целыми числами, но квадратный корень из чисел, которые не являются полными квадратами, иррациональны с бесконечными цифрами. Значение квадратного корня из 10 в десятичной форме равно 3,16227 … Квадратный корень любого числа имеет два значения; один положительный, а другой отрицательный.

  • √10 = 3,16227 и √10 = — 3,16227

Как найти квадратный корень из 10?

Квадратный корень из 10 или любого числа можно вычислить разными способами. Вот два метода: аппроксимация (Hit и Trial) и метод деления столбиком.

Давайте посмотрим, как найти 10 методом аппроксимации:

  • √9 <√10 <√16
  • 3 <√10 <4

Умножить каждое на 10.

  • 30 <10 √10 <40
  • √900 <10√10 <√1600

Подойдем ближе к неравенству.

  • √961 <10√10 <√1024
  • 31 <10√10 <32

Разделить на 10.

Возьмите среднее значение как нижнего, так и верхнего пределов.

  • √10 прибл. = (3,1 + 3,2) / 2
  • √10 прибл. = 3,15

Квадратный корень из 10 по длинному делению

Метод деления в столбик помогает нам находить более точные значения квадратных корней любого числа. Давайте посмотрим, как найти квадратный корень из 10 с помощью метода деления в длину.

  • Шаг 1. Разделите число 10 на 3 (потому что 3 2 = 9 — точное квадратное число меньше 10)
  • Шаг 2: Возьмите тот же делитель 3 в качестве частного. Умножьте частное на делитель и вычтите результат из 10.
  • Шаг 3: Возьмите такое же частное 3 и сложите с делителем 3.
  • Шаг 4: Добавьте десятичную точку после частного 3 и уменьшите два нуля и поместите ее после 1, чтобы получилось 100. Нам нужно найти цифру, которая, если поместить ее в конец 6 и умножить полученное число на та же цифра, дает число меньше 100.
    61 × 1 = 61
    Вычтем 61 из 100.
    100–61 = 39
  • Шаг 5: Снова введите два нуля и поместите их после 39, чтобы получилось 3900. Возьмите 1 и прибавьте к 61. 61 + 1 = 62. Нам снова нужно найти число, которое при размещении в конце 62 и когда результат умножается на то же число, мы получаем число меньше 3900.
    626 × 6 = 3756
  • Напишите такое же число после 1 в частном. Вычтем 3756 из 3900.
    3900–3756 = 144
  • Шаг 6: Повторите процесс, пока мы не получим остаток, равный нулю.

Квадратный корень из 10 с точностью до двух знаков получается методом деления в длину.

Исследуйте квадратные корни с помощью иллюстраций и интерактивных примеров

  • Для вычисления квадратного корня из любого числа воспользуйтесь методом проб и ошибок.
  • Квадратный корень любого числа можно считать числом между квадратными корнями из двух ближайших полных квадратов этого числа.
    Например, квадратный корень из 54 находится между квадратным корнем из 49 и 64.
    т.е. √49 <√54 <√64
    7 <√54 <8
  • Корень квадратный из числа n может иметь два значения ± √n
  • Найдите квадратный корень из 1000 методом аппроксимации.
  • Найдите квадратный корень из 10000 методом деления в столбик.

Таблица квадратов и квадратного корня

Что такое квадратный корень и почему нам это нужно?

Квадратный корень из числа — это число, которое при умножении само на себя дает желаемое значение.Так, например, квадратный корень из 49 равен 7 (7×7 = 49). Сам процесс многократного умножения называется возведение в квадрат .

Числа, квадратные корни которых являются целыми числами (или, точнее, положительными целыми числами), называются точными квадратными числами. Числа с десятичными знаками не являются точными квадратными корнями.

Все положительные числа будут иметь положительное число в качестве квадратного корня, называемого главным, и отрицательное число. Все эти числа известны как действительные числа.

Все отрицательные числа будут иметь комплексное число в качестве квадратного корня.Комплексное число — это число, умноженное на i. i — это «мнимый» квадратный корень из -1. Это называется мнимым, но для математиков оно существует.

Как нам выписать квадратные корни?

Уравнение квадратного корня записывается с использованием знака корня или символа корня (?). Число, из которого мы хотим получить корень, идет после или под хвостом радикала (например,? 3, если мы хотим найти квадратный корень из 3). Число после корня называется подкоренным.На калькуляторе вместо радикала вы можете увидеть «sqrt».

Для чего мы используем квадратный корень?

Это может быть немного сложно представить, но квадратные корни — одни из самых полезных чисел. Функции квадратного корня очень важны для уравнений физики всех видов. Они также полезны для статистики; статистики всегда используют квадратные корни при анализе корреляции между разными точками данных.

Список идеальных квадратов

Используйте эту таблицу, чтобы найти квадраты и квадратные корни чисел от 1 до 100 .

Эту таблицу также можно использовать для вычисления квадратных корней из больших чисел.

  • Например, если вы хотите найти квадратный корень из 2000 , ищите в среднем столбце , пока не найдете число, наиболее близкое к 2000. Число в среднем столбце, которое ближе всего к 2000, будет 2,025 .
  • Теперь посмотрите на число слева от от 2 025 , чтобы найти его квадратный корень. Корень квадратный из 2 025 составляет 45 .
  • Следовательно, приблизительный квадратный корень из 2000 составляет 45 .

Чтобы получить более точное число, вам нужно использовать калькулятор (44,721 — более точный квадратный корень из 2000).

Готовитесь к длительной учебной сессии? Возможно, вас заинтересует наш список лучших настольных стульев 2020 года.

9030

162

НОМЕР КВАДРАТ КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ
1 1 1.000 2 4 1.414
3 9 1,732
4 16 2,000
5 25 2,236 6242 6242

49 2,646
8 64 2,828
9 81 3.000
10 100

100
11 121 3,317
12 144 3,464
13 169 3,606 9022 9030 3,76 9022 9030 3,760 225 3,873
16 256 4,000
17 289 4,123
18 324

3

5

71

9023

124

9055

487

94,830

94,830

899

19 361 4,359
20 400 4,472
21 441 4,583 4,583 9022 9022 529 4,796
24 576 4,899
25 625 5.000
26 246 90,2099
27 729 5,196
28 784 5,292
29 841 5,385 5,385 9022 9022 961 5,568
32 1,024 5,657
33 1,089 5,745
34 1,156 1,156831
35 1,225 5,916
36 1,296 6,000
37 1,369 6,083 1,369 6,083 1,521 6,245
40 1,600 6,325
41 1,681 6,403
42 1,764481
43 1,849 6,557
44 1,936 6,633
45 2,025 6,708 2,025 6,708 6,708 2,025 6,708 2,209 6,856
48 2304 6,928
49 2,401 7.000
50
51 2,601 7,141
52 2,704 7,211
53 7,280 7,280 7,280 3,025 7,416
56 3,136 7,483
57 3,249 7,550
58 616
59 3,481 7,681
60 3,600 7,746
61 3,721 7,82410 9022 9030

7,82 3,969 7,937
64 4,096 8,000
65 4,225 8,062
66

8,062
66 4
67 4,489 8,185
68 4,624 8,246
69 4,761 8,306 4,761 8,307 5,041 8,426
72 5,184 8,485
73 5,329 8,544
74,47630

602
75 5,625 8,660
76 5,776 8,718
77 5,929 8,775 9022 9022 8,775 9022 8,775

6,241 8,888
80 6,400 8,944
81 6,561 9,000
82

83 6,889 9,110
84 7,056 9,165
85 7,225 9,220 8622 9030

9,220 7,569 9,327
88 7,744 9,381
89 7,921 9,434
90,100 9,434
90,100
91 8,281 9,539
92 8,464 9,592
93 8,649 9,644

8,649 9,644 9022 9022

9,025 9,747
96 9,216 9,798
97 9,409 9,849
9,849
9,849
99 9,801 9,950
100 10,000 10,000

ПРИМЕЧАНИЕ. Квадратные корни в этой таблице округлены до ближайшей тысячной.

Средние и медианные числа и формулы для поиска квадратного корня

Квадратный корень из 10 — значение, метод расчета, решенные примеры и ответы на часто задаваемые вопросы

Квадратный корень

Квадратный корень любого числа дает то же самое число, когда оно умножается само на себя.{2}} \] = p

Символ квадратного корня

Символ, используемый для обозначения квадратного корня, — «√». Он также известен как радикальный символ или основание. Число, записанное под символом квадратного корня, называется подкоренным выражением. Значение квадрата может быть представлено как в радикальной, так и в десятичной форме. Квадратный корень из 10 также может быть представлен как радикал из 10.

Как вычислить значение квадратного корня из 10?

Вычислить значение корня 10 немного сложно, потому что число 10 не является точным квадратом, поскольку его единичная цифра равна 0.Квадратный корень из числа можно легко получить, если оно находится в полном квадрате. Число считается полным квадратом, если его можно обозначить как произведение двух равных целых чисел.

Например, 5×5 = 25, это квадрат числа 5. Он считается полным квадратом, поскольку выражается как произведение двух одинаковых целых чисел, то есть 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36. Он представляет собой квадрат 6. Он даже считается полным квадратом, поскольку выражается как произведение двух одинаковых целых чисел i.е. 6 x 6.

Число является полным квадратом, если единица числа оканчивается на 1,4,5,6 или 9

Число не считается полным квадратом, если оно заканчивается на 2, 3, 7 или 8.

Мы можем вычислить значение квадратного корня или корня из 10 значений двумя способами.

  • Первый метод вычисления значения квадратного корня или значения корня 10 заключается в использовании единичной цифры данного числа,

  • Второй метод вычисления значения квадратного корня или значения корня 10 данного числа с использованием метода длинного деления.

Что такое квадратный корень из 10?

Квадратный корень из 10 или корень из 10 представляется в форме √10. Как мы знаем, 10 — четное, но не простое число. Простыми числами считаются те числа, которые имеют только два делителя, то есть 1 и само число. Например, 2 — простое число, так как оно имеет множители только 1 и 2. Но число 10 не является простым числом, потому что у него есть несколько факторов, например.

1×10 = 10

2 x 5 = 10

10 x 1 = 10

5 x 2 = 10

Чтобы вычислить квадратный корень из значения 10, сначала запишите его множители

10 = 2 x 5

Квадратный корень из 10 можно записать в следующем формате:

\ [\ sqrt 10 \] = \ [\ sqrt 2 \] X \ [\ sqrt 5 \]

Обычные квадратные члены из корня в приведенном выше уравнении не могут быть исключенным, поскольку у него нет общих квадратных терминов.

\ [\ sqrt 10 \] = \ [\ sqrt 2 \] \ [\ sqrt 5 \]

\ [\ sqrt 10 \] или корень 10 находится в радикальной форме. Если вы хотите записать его в десятичной форме, замените приблизительные значения \ [\ sqrt 2 \] и \ [\ sqrt 5 \], которые равны 1,414 и 2,236 соответственно,

8 \ [\ sqrt 10 \] = 1,414 x 2,236

\ [\ sqrt 10 \] = 3,162

Следовательно, значение корня 10 или корня 10 составляет 3,162

Квадратный корень из 10 с использованием метода длинного деления

(изображение метода деления будет загружено в ближайшее время)

Квадратный корень значений

3127.3166

\ [\ sqrt 1 \]

1

\ [\ sqrt 11 \]

\ [\ sqrt 2 \]

1.4142

\ [\ sqrt 12 \]

3,4641

\

\

1,7321

\ [\ sqrt 13 \]

3,6056

\ [\ sqrt 4 \]

2

\ sq 141048 \

\

3,7417

\ [\ sqrt 5 \]

2.2361

\ [\ sqrt 15 \]

3.8730

\ [\ sqrt 6 \]

2.4495

\

    8 \

    16107 4

\ [\ sqrt 7 \]

2,6458

\ [\ sqrt 17 \]

4,1231

\ sqrt

\

\

2,8284

\ [\ sqrt 18 \]

4.2426

\ [\ sqrt 9 \]

3

\ [\ sqrt 19 \]

4,3589

\ [

3,1623

\ [\ sqrt 20 \]

4,4721

Решенный пример

1. Найдите значение √80 + 16√5, если 3√5 + √ 125 = 17,88

Решение: \ [\ frac {x} {\ sqrt {512}} \] = \ [\ frac {\ sqrt {648}} {x} \]

= 3√5 + √125 = 17.88

= 3√5 + (√25 x √5) = 17,88

= 3√5 + 5√5 = 17,88

= 8√5 = 17,88

= √5 = 17,88 / 8

= √ 80 + 16√5 = √16 x √5 + 16 √5

= 4√5 + 16√5 = 20√5

= 20 x 17,88 / 8 = 44,7

2. Упростить: (√7 -1 / √7) 2

= (√7 -1 / √7) 2

= (√7 -1 / √7) 2

= (√7) 2-2 x √7 x 1√7 + ( 1 / √7) 2

= 7-2 +1/7

= 5 + 1/7

= 36/7

Интересные факты

  • У вавилонян Йельского университета есть табличка, датируемая почти 4000 лет назад. устанавливает квадратный корень из 2 до 9 знаков после запятой, используя квадрат и две диагонали.

  • Сообщества в Древней Индии использовали квадратный корень с 800 г. до н. Э.

  • Индийский математик IX века по имени Махавира — первый человек, объявивший, что отрицательные квадратные корни не существуют.

  • Процедура определения квадратного корня изложена в китайской книге «Письма о расчетах», написанной примерно в 200 г. до н.э. во времена династии Хань.

Время проведения теста

1. Квадратный сад площадью 225 квадратных футов.Сколько ограды понадобится садовнику, чтобы установить ограждение вокруг сада?

  1. 60 футов

  2. 112,5 футов

  3. 15 футов

  4. 56,25 футов

2. Какой будет длина одной стороны квадрата, если площадь квадрата равна 100 метров?

  1. √10

  2. 25

  3. 10

  4. 50

3.Каким будет значение: \ [\ sqrt 0.001 \] + \ [\ sqrt 0.81 \] + \ [\ sqrt 1.21 \] + \ [\ sqrt 0.0009 \]

  1. 2.13

  2. 2.03

  3. 2,11

  4. 2,1

Калькулятор квадратного корня. Найдите квадратный корень за один простой шаг.

Наш калькулятор квадратного корня вычисляет квадратный корень любого положительного числа, которое вы хотите. Просто введите выбранный номер и ознакомьтесь с результатами. Все рассчитывается быстро и автоматически ! С помощью этого инструмента вы также можете оценить квадрат желаемого числа (просто введите значение во второе поле), что может оказаться большим подспорьем в поиске точных квадратов по формуле квадратного корня.Вы боретесь с основными арифметическими операциями: сложение квадратных корней, вычитание квадратных корней, умножение квадратных корней или деление квадратных корней? Уже нет! В следующем тексте вы найдете подробное объяснение о различных свойствах квадратного корня, например, как упростить квадратный корень, с множеством различных примеров . Из этой статьи вы раз и навсегда узнаете, как находить квадратные корни!

Вы когда-нибудь задумывались, каково происхождение символа квадратного корня √? Уверяем вас, что эта история не так проста, как вы могли подумать вначале.Происхождение символа корня восходит к древним временам, как происхождение знака процента.

Если вы ищете свойства функции извлечения квадратного корня или функции извлечения квадратного корня, перейдите непосредственно в соответствующий раздел (просто нажмите на ссылки выше!). Здесь мы объясняем, что такое производная квадратного корня, используя определение фундаментального квадратного корня; мы также подробно рассмотрим, как вычислять квадратные корни из экспонент или квадратные корни из дробей. Наконец, если вы будете достаточно настойчивы, вы обнаружите, что квадратный корень из отрицательного числа на самом деле возможен.Таким образом, мы вводим комплексных чисел , которые находят широкое применение в физике и математике.

Символ квадратного корня √

Операция извлечения квадратного корня из числа была известна еще в древности. Самая ранняя глиняная табличка с правильным значением √2 = 1,41421 до 5 знаков после запятой происходит из Вавилонии (1800 г. до н.э. — 1600 г. до н.э.) г. Многие другие документы показывают, что квадратные корни также использовали древние египтяне, индийцы, греки и китайцы. Однако происхождение корневого символа √ все еще остается в значительной степени спекулятивным.

  • Многие ученые считают, что квадратные корни происходят от буквы «r» — первой буквы латинского слова Radix, означающего корень,
  • другая теория утверждает, что символ квадратного корня был взят из арабской буквы ج , которая была помещена в исходной форме ﺟ в слове جذر — корень (арабский язык пишется справа налево).

Первое использование символа квадратного корня √ не включало горизонтальную «черту» над числами внутри символа квадратного корня (или радикала), √‾.«Бар» на латыни известен как vinculum, что означает облигация . Хотя радикальный символ с винкулумом сейчас используется в повседневной жизни, мы обычно опускаем эту черту во многих текстах, например, в статьях в Интернете. Обозначение высших степеней корня было предложено Альбертом Жираром, который поместил указатель степени в начало знака корня, например, ³√ или ⁴√.

Последний вопрос: почему операция извлечения квадратного корня называется корнем независимо от ее истинного происхождения? Объяснение станет более очевидным, если мы запишем уравнение x = ⁿ√a в другой форме: xⁿ = a.x называется корнем или радикалом, потому что это скрытое основание a. Таким образом, слово радикальный не означает далеко идущий или крайний , а вместо этого основополагающий, достигающий первопричины .

Определение квадратного корня

В математике традиционными операциями с числами являются сложение, вычитание, умножение и деление. Тем не менее, мы иногда добавляем в этот список некоторые более сложные операции и манипуляции: квадратных корней , возведение в степень, логарифмические функции и даже тригонометрические функции (например,г., синус и косинус). В этой статье мы сосредоточимся только на определении квадратного корня.

Квадратный корень из заданного числа x представляет собой каждое число y , квадрат которого y² = y * y дает исходное число x . Следовательно, формула квадратного корня может быть выражена как:

√x = y ⟺ x = y² ,

, где — математический символ, который означает тогда и только тогда, когда . Каждое положительное действительное число всегда имеет два квадратных корня — первый положительный, а второй отрицательный.(0,5)

В геометрической интерпретации квадратный корень из данной площади квадрата дает длину его стороны. Вот почему в названии есть слово , квадрат . Аналогичная ситуация и с кубическим корнем . Если вы берете кубический корень из объема куба, вы получаете длину его ребер. В то время как квадратные корни используются при рассмотрении площади поверхности, кубические корни полезны для определения величин, относящихся к объему, например плотности.

Как найти квадратный корень?

Может быть, мы не очень скромны, но мы думаем, что лучший ответ на вопрос, как найти квадратный корень, прост: используйте калькулятор квадратного корня! Вы можете использовать его как на компьютере, так и на смартфоне, чтобы быстро вычислить квадратный корень из заданного числа.К сожалению, бывают ситуации, когда можно рассчитывать только на себя, что тогда? Чтобы подготовиться к этому, вы должны запомнить несколько основных идеальных квадратных корней:

  • квадратный корень из 1: √1 = 1 , так как 1 * 1 = 1 ;
  • квадратный корень из 4: √4 = 2 , так как 2 * 2 = 4 ;
  • квадратный корень из 9: √9 = 3 , так как 3 * 3 = 9 ;
  • квадратный корень из 16: √16 = 4 , так как 4 * 4 = 16 ;
  • квадратный корень из 25: √25 = 5 , так как 5 * 5 = 25 ;
  • квадратный корень из 36: √36 = 6 , так как 6 * 6 = 36 ;
  • квадратный корень из 49: √49 = 7 , так как 7 * 7 = 49 ;
  • квадратный корень из 64: √64 = 8 , так как 8 * 8 = 64 ;
  • квадратный корень из 81: √81 = 9 , так как 9 * 9 = 81 ;
  • квадратный корень из 100: √100 = 10 , так как 10 * 10 = 100 ;
  • квадратный корень из 121: √121 = 11 , так как 11 * 11 = 121 ;
  • квадратный корень из 144: √144 = 12 , так как 12 * 12 = 144 ;

Приведенные выше числа являются простейшими квадратными корнями, потому что каждый раз вы получаете целое число.Попробуй их запомнить! Но что делать, если есть число, у которого нет такого красивого квадратного корня? Есть несколько решений. Прежде всего, можно попробовать спрогнозировать результат методом проб и ошибок . Допустим, вы хотите вычислить квадратный корень из 52 :

  1. Вы знаете, что √49 = 7 и √64 = 8 , поэтому √52 должно быть между 7 и 8 .
  2. Номер

  3. 52 ближе к 49 (фактически ближе к 7 ), поэтому вы можете попробовать угадать, что √52 равно 7.3 .
  4. Затем возводите в квадрат 7,3 , получая 7,3² = 53,29 (как говорит формула квадратного корня), что больше, чем 52 . Вы должны попробовать с меньшим числом, скажем 7,2 .
  5. Квадрат 7,2 равен 51,84 . Теперь у вас меньшее число, но оно намного ближе к 52 . Если такая точность вас устраивает, можете закончить оценку здесь. В противном случае вы можете повторить процедуру с номером от 7.2 и 7,3 , например, 7,22 и так далее и так далее.

Другой подход состоит в том, чтобы сначала упростить квадратный корень, а затем использовать приближения квадратных корней из простых чисел (обычно с округлением до двух знаков после запятой):

  • квадратный корень из 2: √2 ≈ 1,41 ,
  • квадратный корень из 3: √3 ≈ 1,73 ,
  • квадратный корень из 5: √5 ≈ 2,24 ,
  • квадратный корень из 7: √7 ≈ 2.65 ,
  • квадратный корень из 11: √11 ≈ 3,32 ,
  • квадратный корень из 13: √13 ≈ 3,61 ,
  • квадратный корень из 17: √17 ≈ 4,12 ,
  • квадратный корень из 19: √19 ≈ 4,34 и т. Д.

Давайте попробуем снова найти квадратный корень из 52 . Вы можете упростить его до √52 = 2√13 (вы узнаете, как упростить квадратный корень в следующем разделе), а затем замените √13 ≈ 3,61 . Наконец, произведем умножение √52 ≈ 2 * 3.61 = 7,22 . Результат такой же, как и раньше!

Вы можете проверить, является ли число простым или нет, с помощью нашего калькулятора простых чисел. Простое число — это натуральное число (больше единицы), которое не может быть получено как произведение двух меньших натуральных чисел. Например, 7 — простое число, потому что вы можете получить его, только умножив 1 * 7 или 7 * 1 . С другой стороны, число 8 не является простым, потому что вы можете сформировать его, умножив 2 * 4 или 4 * 2 (помимо произведения 1 и 8).

Калькулятор квадратного корня

В некоторых ситуациях вам не нужно знать точный результат вычисления квадратного корня. В этом случае наш калькулятор квадратного корня — лучший вариант для оценки значения за каждый квадратный корень, который вы хотите . Например, предположим, вы хотите узнать, больше ли 4√5 , чем 9 . Из калькулятора вы знаете, что √5 ≈ 2,23607 , поэтому 4√5 ≈ 4 * 2,23607 = 8,94428 . Это очень близко к 9 , но не больше! Калькулятор квадратного корня дает окончательное значение с относительно высокой точностью (до пяти цифр в приведенном выше примере).С помощью калькулятора значащих цифр вы можете вычислить этот результат до любого количества значащих цифр.

Помните, что наш калькулятор автоматически пересчитывает числа, введенные в любое из полей. Вы можете найти квадратный корень из определенного числа, заполнив первое окно, или получить квадрат числа, введенного вами во втором окне. Второй вариант удобен в для нахождения идеальных квадратов , которые необходимы во многих аспектах математики и естественных наук.Например, если вы введете 17 во второе поле, вы обнаружите, что 289 — это полный квадрат.

В некоторых приложениях извлечения квадратного корня, особенно относящихся к таким наукам, как химия и физика, предпочтение отдается результатам в научных обозначениях. Короче говоря, ответ в научном представлении должен иметь десятичную точку между первыми двумя ненулевыми числами и будет представлен как десятичная дробь, умноженная на 10, возведенная в степень. Например, число 0.00345 записывается как 3,45 * 10⁻³ в экспоненциальном представлении, тогда как 145,67 записывается как 1,4567 * 10² в экспоненциальном представлении. Результаты, полученные с помощью калькулятора квадратного корня, можно преобразовать в экспоненциальную нотацию с помощью калькулятора.

Как упростить извлечение квадратного корня?

Во-первых, давайте спросим себя, какие квадратные корни можно упростить. Чтобы ответить на него, вам нужно взять число, стоящее после символа квадратного корня, и найти его множители.Если какой-либо из его множителей является квадратным числом (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 и т. Д.), То вы можете упростить квадратный корень. Почему эти числа квадратные? Они могут быть соответственно выражены как 2², 3², 4², 5², 6², 7² и так далее. Согласно определению квадратного корня, вы можете назвать их полных квадратов . У нас есть специальный инструмент, называемый калькулятором коэффициентов, который может быть здесь очень кстати. Давайте посмотрим на несколько примеров:

  • Можете ли вы упростить √27? С помощью упомянутого выше калькулятора вы получаете множители 27: 1, 3, 9, 27.(1/2) ⟺ √ (x * y) = √x * √y ,

    Как вы можете использовать эти знания? Аргумент квадратного корня обычно не является точным квадратом, который можно легко вычислить, но он может содержать идеальный квадрат среди своих множителей. Другими словами, вы можете записать это как умножение двух чисел, где одно из чисел представляет собой полный квадрат, например, 45 = 9 * 5 (9 — это полный квадрат). Требование иметь по крайней мере один множитель , который является полным квадратом, необходимо для упрощения квадратного корня.(1/2) = √9 * √5 = 3√5 .

    Вы успешно упростили свой первый квадратный корень! Конечно, вам не нужно записывать все эти расчеты. Если вы помните, что квадратный корень эквивалентен степени половины , вы можете сократить их. Попрактикуемся в упрощении квадратных корней на некоторых других примерах:

    • Как упростить квадратный корень из 27? √27 = √ (9 * 3) = √9 * √3 = 3√3 ;
    • Как упростить квадратный корень из 8? √8 = √ (4 * 2) = √4 * √2 = 2√2 ;
    • Как упростить квадратный корень из 144? √144 = √ (4 * 36) = √4 * √36 = 2 * 6 = 12 .

    В последнем примере вам вообще не нужно было упрощать квадратный корень, потому что 144 — это полный квадрат. Вы можете просто вспомнить, что 12 * 12 = 144. Однако мы хотели показать вам, что с помощью процесса упрощения вы также можете легко вычислить квадратные корни из полных квадратов. Это полезно, когда имеет дело с большими числами .

    Наконец, вы можете спросить, как упростить корни более высокого порядка, например, кубические корни. Фактически, этот процесс очень похож на квадратные корни, но в случае кубических корней вы должны найти хотя бы один множитель, который представляет собой идеальный куб , а не идеальный квадрат, т.е.е., 8 = 2³, 27 = 3³, 64 = 4³, 125 = 5³ и так далее. Затем вы делите свое число на две части и кладете под кубический корень. Возьмем следующий пример упрощения ³√192:

    ∛192 = ∛ (64 * 3) = ∛64 * ∛3 = 4∛3

    На первый взгляд это может показаться немного сложным, но после некоторой практики вы сможете упростить корни в своей голове . Доверься нам!

    Сложение, вычитание, умножение и деление квадратных корней

    Сложение квадратных корней и вычитание квадратных корней

    К сожалению, сложение или вычитание квадратных корней не так просто, как сложение / вычитание обычных чисел.Например, если 2 + 3 = 5, это не означает, что √2 + √3 равно √5. Это неправильно! Чтобы понять, почему это так, представьте, что у вас есть два разных типа фигур: треугольники 🔺 и круги 🔵. Что произойдет, если вы добавите один треугольник к одному кругу 🔺 + 🔵? Ничего такого! У вас остались один треугольник и один круг 🔺 + 🔵. С другой стороны, что произойдет, если вы попытаетесь добавить три треугольника к пяти треугольникам: 3 🔺 + 5 🔺? У нас получится восемь треугольников 8 🔺.

    Сложение квадратного корня очень похоже на это.Результат сложения √2 + √3 по-прежнему равен √2 + √3. Вы не можете упростить это дальше. Однако это другая ситуация, когда оба квадратных корня имеют одинаковое число под символом корня . Затем мы можем складывать их как обычные числа (или треугольники). Например, 3√2 + 5√2 равно 8√2. То же самое и с вычитанием квадратных корней. Давайте посмотрим на другие примеры, иллюстрирующие это свойство квадратного корня:

    • Что такое 6√17 + 5√17 ? Ответ: 6√17 + 5√17 = 11√17 ;
    • Что такое 4√7 - 7√7 ? Ответ: 4√7 - 7√7 = -3√7 ;
    • Что такое 2√2 + 3√8 ? Ответ: 2√2 + 3√8 = 2√2 + 6√2 = 8√2 , потому что мы упростили √8 = √ (4 * 2) = √4 * √2 = 2√2;
    • Что такое √45 - √20 ? Ответ: √45 - √20 = 3√5 - 2√5 = √5 , потому что мы упростили √45 = √ (9 * 5) = √9 * √5 = 3√5 и √20 = √ (4 * 5) = √4 * √5 = 2√5;
    • Что такое 7√13 + 2√22 ? Ответ: 7√13 + 2√22 , мы не можем упростить это дальше;
    • Что такое √3 - √18 ? Ответ: √3 - √18 = √3 - 3√2 , мы не можем упростить это дальше, чем это, но мы, по крайней мере, упростили √18 = √ (9 * 2) = √9 * √2 = 3√ 2.(1/2) ⟺ √x * √y = √ (x * y) .

      В отличие от сложения, вы можете умножить на каждые два квадратных корня. Помните, что умножение имеет коммутативные свойства , это означает, что порядок, в котором умножаются два числа, не имеет значения. Несколько примеров должны прояснить этот вопрос:

      • Что такое √3 * √2 ? Ответ: √3 * √2 = √6 ;
      • Что такое 2√5 * 5√3 ? Ответ: 2√5 * 5√3 = 2 * 5 * √5 * √3 = 10√15 , потому что умножение коммутативно;
      • Что такое 2√6 * 3√3 ? Ответ: 2√6 * 3√3 = 2 * 3 * √6 * √3 = 6√18 = 18√3 , мы упростили √18 = √ (9 * 2) = √9 * √2 = 3√ 2.(1/2) ⟺ √x / √y = √ (x / y) .

        Все, что вам нужно сделать, это заменить знак умножения на деление. Однако деление не является коммутативным оператором ! Вы должны вычислить числа перед квадратными корнями и числа под квадратными корнями по отдельности. (1/2) .(1/2) ⟺ √x / √y = √ (x / y) ,

        , где x / y — дробная часть. Ниже вы можете найти несколько примеров квадратных корней из дроби:

        • квадратный корень из 4/9: √ (4/9) = √4 / √9 = 2/3 ,
        • квадратный корень из 1/100: √ (1/100) = √1 / √100 = 1/10 ,
        • квадратный корень из 1/5: √ (1/5) = √1 / √5 = 1 / √5 = √5 / 5 .

        Оставлять корни в знаменателе — не очень хорошая привычка. Вот почему мы избавились от него в последнем примере.Мы просто умножили числитель и знаменатель на одно и то же число (мы всегда можем это сделать, так как число, которое мы умножаем на 1), в данном случае на √5 .

        Функция квадратного корня и график

        Функции играют жизненно важную роль не только в математике, но и во многих других областях, таких как физика, статистика или финансы. Функция f (x) — это не что иное, как формула, которая говорит, как значение f (x) изменяется с аргументом x . Чтобы увидеть некоторые примеры, ознакомьтесь с нашими финансовыми инструментами, созданными финансовыми специалистами, например, калькулятор сложных процентов или калькулятор будущей стоимости.Там вы найдете несколько функций, которые можно применить в реальной жизни. Они очень полезны, если вы хотите знать, как рассчитать сложные проценты или оценить будущую стоимость аннуитета.

        Ниже вы можете найти график квадратного корня, составленный из , половина параболы . Проверьте его и попробуйте проверить, например, является ли функция квадратного корня x = 9 3 и x = 16 4 (как и должно быть).

        Давайте вернемся к функции квадратного корня f (x) = √x и исследуем ее основные свойства .Мы рассматриваем только положительную часть f (x) (как вы можете видеть на графике квадратного корня выше). Итак, функция квадратного корня:

        • непрерывно и увеличивается для всех неотрицательных x ,
        • — это , дифференцируемое для всех положительных x (дополнительные сведения см. В разделе о производной квадратного корня),
        • приближается к пределу бесконечности , когда x приближается к бесконечности ( lim √x → ∞ , когда x → ∞ ),
        • — это действительное число для всех неотрицательных x и комплексное число для всех отрицательных x (подробнее об этом мы пишем в разделе квадратного корня из отрицательного числа).

        Вы, наверное, уже заметили, что квадратный корень из площади квадрата дает длину его стороны. Эта функция используется в одном из наших строительных калькуляторов — калькуляторе квадратных метров. Если вы планируете что-либо отремонтировать в будущем, эти инструменты могут вам очень помочь. Не забывайте их использовать!

        Производная квадратного корня

        Производная функции сообщает нам, насколько быстро эта функция изменяется вместе со своим аргументом. Один из простейших примеров в физике — это положение объекта и его скорость (скорость изменения положения).Допустим, функция x (t) описывает, как расстояние движущегося автомобиля от определенной точки изменяется со временем t . Вы знаете, что определяет, насколько быстро меняется пройденное вами расстояние? Ответ — скорость машины! Таким образом, производная положения x (t) — это скорость v (t) (скорость также может зависеть от времени). Для обозначения производной мы обычно используем апостроф v (t) = x '(t) или символ производной v (t) = dx (t) / dt .(-1/2) = 1 / (2√x) .

        Так как число в отрицательной степени на единицу больше этого числа, оценка вывода будет включать дроби. У нас есть инструмент, который может оказаться незаменимым при сложении или вычитании дробей с разными знаменателями. Он называется калькулятором НОК и объясняет, как найти наименьшее общее кратное.

        Производная квадратного корня необходима для получения коэффициентов в так называемом разложении Тейлора . Мы не хотим слишком углубляться в детали, поэтому, вкратце, серия Тейлора позволяет вам аппроксимировать различные функции с помощью многочленов, которые намного проще вычислить.Например, разложение Тейлора √ (1 + x) вокруг точки x = 0 дается следующим образом:

        √ (1 + x) = 1 + 1/2 * x - 1/8 * x² + 1/16 * x³ - 5/128 * x⁴ + ... ,

        , что действительно для -1 ≤ x ≤ 1 . Хотя в приведенном выше выражении содержится бесконечное количество членов, чтобы получить приблизительное значение, вы можете использовать всего несколько первых членов. Давай попробуем! С x = 0,5 и первыми пятью членами вы получите:

        √ (1,5) = 1 + 1/2 * 0.5 - 1/8 * 0,25 + 1/16 * 0,125 - 5/128 * 0,0625 ,

        √ (1,5) ≈ 1,2241 ,

        , а действительное значение, предоставленное нашим калькулятором, составляет √ (1,5) ≈ 1,2247 . Достаточно близко!

        Пока что это было много математики и уравнений. Для тех из вас, кто достаточно настойчив, мы подготовили следующий раздел, в котором объясняется, как вычислить квадратный корень из отрицательного числа.

        Корень квадратный из отрицательного числа

        В школе вас, вероятно, учили, что квадратного корня из отрицательного числа не существует.Это верно, если рассматривать только действительные числа. Давным-давно для выполнения сложных вычислений математикам приходилось вводить более общий набор чисел — комплексных чисел . Их можно выразить в следующей форме:

        х = а + Ь * я ,

        , где x — комплексное число с действительной частью a и мнимой частью b . Что отличает комплексное число от действительного, так это мнимое число i .Вот несколько примеров комплексных чисел: 2 + 3i , 5i , 1.5 + 4i , 2 . Вы можете быть удивлены, увидев там 2 , что является реальным числом. Да, но это также комплексное число с b = 0 . Комплексные числа являются обобщением действительных чисел.

        Пока что воображаемое число i , наверное, до сих пор для вас загадка. Что это вообще такое? Что ж, хотя это может показаться странным, это определяется следующим уравнением:

        я = √ (-1) ,

        , и это все, что вам нужно для вычисления квадратного корня из каждого числа, независимо от того, положительное оно или нет.Давайте посмотрим на несколько примеров:

        • квадратный корень из -9: √ (-9) = √ (-1 * 9) = √ (-1) √9 = 3i ,
        • квадратный корень из -13: √ (-13) = √ (-1 * 13) = √ (-1) √13 = i√13 ,
        • квадратный корень из -49: √ (-49) = √ (-1 * 49) = √ (-1) √49 = 7i .

        Разве не все просто? Эта проблема не возникает с кубическим корнем, поскольку отрицательное число можно получить, умножив три одинаковых отрицательных числа (чего нельзя сделать с двумя отрицательными числами).Например:

        ³√ (-64) = ³√ [(- 4) * (- 4) * (- 4)] = -4 .

        Это, вероятно, все, что вам следует знать о квадратных корнях. Мы ценим, что вы остались с нами до этого момента! В качестве награды испеките себе что-нибудь сладкое 🙂 Воспользуйтесь нашим калькулятором идеальных блинов, чтобы узнать, как приготовить идеальный блин, каким бы он вам ни нравился. Вам может понадобиться наш калькулятор граммов в чашки, чтобы помочь вам в этом. Он работает в обоих направлениях, то есть для преобразования граммов в чашки и преобразования чашек в граммы.А если вы спросите себя: «Сколько калорий мне нужно съедать в день?», Воспользуйтесь нашим удобным калькулятором калорий!

        FAQ

        Может ли число иметь более одного квадратного корня?

        Да, на самом деле все положительные числа имеют 2 квадратных корня , один положительный, а другой равный первому, но отрицательный. Это потому, что если вы умножите два негатива вместе, негативы аннулируются и результат будет положительным.

        Как найти квадратный корень без калькулятора?

        1. Вычислите квадратного корня.Ближайшее квадратное число приемлемо, если вы в затруднении.
        2. Разделите число, из которого вы хотите найти квадратный корень, на оценку.
        3. Добавьте оценку к результату шага 2.
        4. Разделите результат шага 3 на 2. Это ваша новая оценка .
        5. Повторите шаги 2–4 с новой оценкой. Чем больше раз это повторяется, тем точнее будет результат.

        Как вычислить квадратные корни?

        1. Найдите ближайшее квадратное число выше и ниже числа, о котором вы думаете.
        2. Квадратный корень будет между квадратными корнями этих чисел.
        3. Близость числа к квадратному корню указывает, насколько близок корень. Например, 26 очень близко к 25, поэтому корень будет очень близок к 5.
        4. Попробуйте несколько раз разобраться в этом .

        Является ли квадратный корень из 2 рациональным числом?

        Нет, корень квадратный из 2 не является рациональным . Это связано с тем, что, когда 2 записывается как дробь, 2 / 1 , она никогда не может иметь только четные показатели, и поэтому рациональное число не может быть возведено в квадрат для его создания.

        Как избавиться от квадратного корня?

        В алгебре возведение в квадрат обеих сторон уравнения избавит от любых квадратных корней . Результатом этой операции является то, что квадратные корни будут заменены любым числом, из которого они находили квадратный корень.

        Являются ли квадратные корни рациональными?

        Некоторые квадратные корни являются рациональными , а другие нет. Вы можете определить, является ли квадратный корень рациональным или нет, выяснив, может ли число, которое вы извлекаете квадратным корнем, быть выражено только в терминах четных показателей (например,грамм. 4 = 2 2 /1 2 ). Если может, то его корень рациональный .

        Является ли квадратный корень из 5 рациональным числом?

        Квадратный корень из 5 — это , не рациональное число . Это связано с тем, что 5 не может быть выражено дробью, если числитель и знаменатель имеют четные показатели. Это означает, что рациональное число нельзя возвести в квадрат, чтобы получить 5.

        Является ли квадратный корень из 7 рациональным числом?

        Результатом квадратного корня 7 является иррациональное число .7 не может быть записано как дробь только с четными показателями, а это означает, что число, возведенное в квадрат для достижения 7, не может быть выражено как дробь целых чисел, и поэтому не является рациональным.

        Какова производная квадратного корня из x?

        Производная квадратного корня x равна x 1 / 2 / 2 , или 1 / 2SQRT (x) . Это связано с тем, что квадратный корень из x может быть выражен как x 1 / 2 , от которого обычно происходит дифференцирование.

        Как найти квадратный корень из десятичной дроби?

        1. Преобразует десятичную дробь в дробь .
        2. Найдите любой квадратный корень из дроби или оцените его. Сделайте дробью, равной квадратному корню, который вы нашли в квадрате.
        3. Отмените квадратный корень и квадрат, оставив вам дробь.
        4. Перепишите дробь как десятичную в качестве окончательного ответа.

        Как вы оцениваете значение квадратных корней?

        Четкость квадрата

        Прежде чем мы сможем понять, что такое квадратные корни, мы должны сначала вспомнить, что делает возведение в квадрат.2 равно 3 x 3, что дает нам 9.

        Определение квадратного корня

        Квадратный корень — это величина, обратная квадрату. Что такое обратное? Инверсии — это противоположности, поэтому, например, обратное сложение — вычитание. Обратное умножению — деление. Они противоположны друг другу и имеют обратную связь.

        Что такое идеальный квадрат?

        Когда вы извлекаете квадратный корень из числа, вы можете получить десятичное число. Если вы можете получить в качестве ответа целое число, то исходное число, из которого вы нашли квадратный корень, является точным квадратным числом.Примеры списка идеальных квадратов включают числа 4, 9, 16, 25, 36 и 49. Щелкните здесь, чтобы получить более полный список идеальных квадратов, или воспользуйтесь этим калькулятором идеальных квадратов.

        Как найти квадратный корень без калькулятора

        Давайте перейдем к рассмотрению некоторых примеров квадратного корня и научимся находить ответы на квадратные корни. Сначала вам нужно помнить о шагах по нахождению квадратного корня, а именно:

        1. Оценка: Получите как можно более близкое к числу, которое вы пытаетесь извлечь квадратный корень, найдя два точных квадратных корня, которые дают близкое число.
        2. Divide: разделите ваше число на один из квадратных корней, выбранных вами на предыдущем шаге.
        3. Среднее: Возьмите среднее значение шага 2 и корень.
        4. Повторить: Продолжайте повторять шаги 2 и 3, используя результаты, полученные на шаге 3, пока не получите число, достаточно точное для того, чтобы ответить на вопрос.

        Проще говоря, чтобы оценить квадратные корни, которые не являются точными квадратами, без использования калькулятора, нам нужно хорошо знать точные квадратные числа.Сначала мы поместим число внутри знака квадратного корня в середине числовой строки, а затем найдем два ближайших идеальных квадратных числа слева и справа, чтобы сделать наилучшую оценку. Взгляните на некоторые из приведенных ниже примеров квадратных корней.

        Корень квадратный из 5

        Шаг 1: Оценка

        Квадратные числа 2 и 3 равны 4 и 9 соответственно. Число 5 находится между этими двумя числами.

        Шаг 2: Разделите

        Разделите 5 на 2 или 3.В данном случае выберем 2. У нас будет 2,5.

        Шаг 3: Среднее значение

        Среднее значение 2,5 и 2, что дает нам 2,25.

        Шаг 4: повторить

        Чтобы получить более точное число, продолжайте повторять шаги 2 и 3. В этом случае мы возьмем 5 и разделим его на 2,25, что равно 2,222. 2.

        Шаг 2: Разделите

        Делим 20 на 5. Получаем 4.

        Шаг 3: Среднее значение

        Среднее значение 4 и 5, что дает нам 4,5.

        Шаг 4: повторить

        Чтобы получить более точное число, повторяйте шаги 2 и 3.

        Вы должны получить окончательный ответ 4,47.

        Корень квадратный из 0

        В заключение, мы хотели выяснить, что такое квадратный корень из 0. Вы не можете извлечь квадратный корень из отрицательного числа, но 0 не является отрицательным числом.Квадратный корень из 0 на самом деле равен 0!

        Если вы хотите попробовать найти больше квадратных корней, попробуйте эту забавную игру с множеством примеров.

        Квадратный корень из 10 (√10)

        В этой статье мы собираемся вычислить квадратный корень из 10, выяснить, что такое квадратный корень, и ответить на некоторые из распространенных вопросов, которые могут у вас возникнуть. Мы также рассмотрим различные методы вычисления квадратного корня из 10 (как на компьютере / калькуляторе, так и без него).

        Квадратный корень из 10 Определения

        В математической форме мы можем показать квадратный корень из 10 с помощью знака корня, например: √10. Это обычно называют квадратным корнем из 10 в радикальной форме.

        Так что же такое квадратный корень? В этом случае квадратный корень из 10 — это величина (которую мы назовем q), которая при умножении сама на себя будет равна 10.

        √10 = q × q = q 2

        10 — это идеальный квадрат?

        В математике мы называем 10 точным квадратом, если квадратный корень из 10 является целым числом.

        В этом случае, как мы увидим в расчетах ниже, мы видим, что 10 не является полным квадратом.

        Является ли квадратный корень из 10 рациональным или иррациональным?

        Часто задают вопрос, является ли квадратный корень из 10 рациональным или иррациональным. Рациональные числа можно записать в виде дробей, а иррациональные числа — нет.

        Быстрый способ проверить это — увидеть, является ли 10 точным квадратом.Если да, то это рациональное число. Если это не идеальный квадрат, то это иррациональное число.

        Мы уже знаем, является ли 10 идеальным квадратом, поэтому мы также можем видеть, что √10 — иррациональное число.

        Можно ли упростить квадратный корень из 10?

        10 можно упростить, только если вы можете сделать 10 внутри радикального символа меньше. Это процесс, который называется упрощением сурда.В этом примере нельзя упростить квадратный корень из 10.

        √10 уже находится в простейшей радикальной форме.

        Как вычислить квадратный корень из 10 с помощью калькулятора

        Если у вас есть калькулятор, то самый простой способ вычислить квадратный корень из 10 — использовать этот калькулятор. На большинстве калькуляторов это можно сделать, набрав 10, а затем нажав клавишу √x. У вас должен получиться следующий результат:

        √10 ≈ 3.1623

        Как вычислить квадратный корень из 10 на компьютере

        На компьютере вы также можете вычислить квадратный корень из 10 с помощью Excel, Numbers или Google Sheets и функции КОРЕНЬ, например:

        КОРЕНЬ (10) ≈ 3,162277660168

        Что такое квадратный корень из 10 округленных?

        Иногда может потребоваться округлить квадратный корень из 10 до определенного числа десятичных знаков.Вот решения, если необходимо.

        10-я: √10 ≈ 3,2

        100-я: √10 ≈ 3,16

        1000-я: √10 ≈ 3,162

        Что такое квадратный корень из 10 как дроби?

        Ранее в этой статье мы говорили о том, что только рациональное число может быть записано в виде дроби, а иррациональные числа — нет.

        Как мы уже говорили выше, поскольку квадратный корень из 10 является иррациональным числом, мы не можем превратить его в точную дробь.Однако мы можем преобразовать его в приблизительную дробь, используя квадратный корень из 10, округленный до сотых.

        √10

        ≈ 3,2 / 1

        ≈ 316/100

        ≈ 3 1 / 6,25

        Что такое квадратный корень из 10, записанного с экспонентой?

        Все вычисления квадратного корня можно преобразовать в число (называемое основанием) с дробной степенью.Давайте посмотрим, как это сделать с квадратным корнем 10:

        .

        √b = b ½

        √10 = 10 ½

        Как найти квадратный корень из 10 с помощью длинного деления

        Наконец, мы можем использовать метод деления в длину для вычисления квадратного корня из 10. Это очень полезно для задач теста на деление в столбик. Именно так математики вычисляли квадратный корень из числа до того, как были изобретены калькуляторы и компьютеры.

        Шаг 1

        Задайте 10 в парах по две цифры справа налево и присоедините один набор 00, потому что нам нужен один десятичный знак:


        Шаг 2

        Начиная с первого набора: наибольший полный квадрат, меньший или равный 10, равен 9, а квадратный корень из 9 равен 3. Поэтому поставьте 3 сверху и 9 снизу, как это:


        Шаг 3

        Вычислите 10 минус 9 и укажите разницу ниже.Затем перейдите к следующему набору чисел.


        Шаг 4

        Удвойте число, выделенное зеленым сверху: 3 × 2 = 6. Затем используйте 6 и нижнее число, чтобы решить эту задачу:

        6? ×? ≤ 100

        Знаки вопроса «пустые» и такие же «пустые». Методом проб и ошибок мы обнаружили, что наибольшее число, которое может быть пустым, равно 1.

        Теперь введите 1 сверху:


        Это оно! Ответ показан вверху зеленым цветом.Квадратный корень из 10 с точностью до одной десятичной дроби равен 3,2.

        Обратите внимание, что последние два шага фактически повторяют два предыдущих. Чтобы добавить десятичные разряды к вашему ответу, вы можете просто добавить несколько наборов 00 и повторить последние два шага.

        Упрощение квадратного корня

        Чтобы упростить извлечение квадратного корня: сделайте число внутри квадратного корня как можно меньшим (но все же целым числом):

        Пример: √12 проще как 2√3

        Возьмите калькулятор и проверьте, хотите ли вы: они оба имеют одинаковое значение!

        Вот правило: когда a и b не отрицательны

        А вот как им пользоваться:

        Пример: упрощение √12

        12 равно 4 умножить на 3:

        √12 = √ (4 × 3)

        Используйте правило:

        √ (4 × 3) = √4 × √3

        И квадратный корень из 4 равен 2:

        .

        √4 × √3 = 2√3

        Итак, √12 проще, чем 2√3

        Другой пример:

        Пример: упрощение √8

        √8 = √ (4 × 2) = √4 × √2 = 2√2

        (поскольку квадратный корень из 4 равен 2)

        И еще:

        Пример: упрощение √18

        √18 = √ (9 × 2) = √9 × √2 = 3√2

        Часто помогает разложить числа (лучше всего на простые числа):

        Пример: упростить √6 × √15

        Сначала мы можем объединить два числа:

        √6 × √15 = √ (6 × 15)

        Затем мы множим их:

        √ (6 × 15) = √ (2 × 3 × 3 × 5)

        Дальше видим две тройки и решаем «вытащить их»:

        √ (2 × 3 × 3 × 5) = √ (3 × 3) × √ (2 × 5) = 3√10

        Фракции

        Аналогичное правило для дробей:

        Пример: упрощение √30 / √10

        Сначала мы можем объединить два числа:

        √30 / √10 = √ (30/10)

        Затем упростите:

        √ (30/10) = √3

        Примеры посложнее

        Пример: упрощение

        √20 × √5 √2

        Посмотрите, сможете ли вы выполнить следующие шаги:

        √20 × √5 √2

        √ (2 × 2 × 5) × √5 √2

        √2 × √2 × √5 × √5 √2

        √2 × √5 × √5

        √2 × 5

        5√2

        Пример: упрощение 2√12 + 9√3

        Первое упрощение 2√12:

        2√12 = 2 × 2√3 = 4√3

        Теперь оба члена имеют √3, мы можем сложить их:

        4√3 + 9√3 = (4 + 9) √3 = 13√3

        Surds

        Примечание: корень, который не может упростить , называется Surd.

        Добавить комментарий

        Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

        2021 © Все права защищены.